Elipsoide
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Elipsoide Un elipsoide es una superficie curva cerrada cuyas tres secciones ortogonales principales son elípticas, es decir, son originadas por planos que contienen dos ejes carte- sianos. En matemáticas, es una cuádrica análoga a la elipse, pero en tres dimensiones. Un elipsoide se obtiene al «deformar» una esfera, me- diante una transformación homológica, en la dirección de sus tres diámetros ortogonales. 1 Ecuación cartesiana de un elip- soide La ecuación de un elipsoide con centro en el origen de coordenadas y ejes coincidentes con los cartesianos, es: x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 =1 donde a, b y c son las longitudes de los semiejes del elip- soide respecto de los ejes x, y , z; son números reales posi- tivos y determinan la forma del elipsoide. Si dos de estos semiejes son iguales, el elipsoide es un esferoide; si los tres son iguales, se trata de una esfera. 2 Superficie La superficie de un elipsoide está dada por la siguiente fórmula: S =2π ( c 2 + b √ a 2 - c 2 E(α, m)+ bc 2 √ a 2 - c 2 F (α, m) ) , donde α = { arccos ( c a ) escaleno o achatado arccos ( a c ) alargado , es su excentricidad angular, m = b 2 -c 2 b 2 sin 2 (α) ,y F (α, m) , E(α, m) son las integrales elípticas de primera y segunda especie. Una ecuación aproximada de su superficie es: S ≈ 4π ( a p b p + a p c p + b p c p 3 ) 1/p donde p ≈ 1,6075. Con esta expresión se obtiene un error máximo de ±1,061%, en función de los valores de a, b y c. El valor p = 8/5 = 1,6 es óptimo para elipsoides cuasi esféricos, con un error relativo máximo de 1,178%. [1] 3 Volumen El volumen de un elipsoide está dado por la ecuación: V = 4π 3 abc Utilizando Geometría diferencial se puede demostrar la expresión anterior. Se sabe que el volumen de una región cerrada Ω corresponde a la integral triple de la función f(x,y,z) = 1 y que si se realiza algún cambio de coorde- nadas ( por ejemplo esféricas) se ha de multiplicar por el Jacobiano del Cambio de Variable y adaptar los límites de integración. V Ω = ∫∫∫ Ω dV = ∫∫∫ Ω |J Ψ(ρ, θ, φ)| dρdθdφ, En este caso el cambio de variable es de tipo pseudoesfé- rico, mucho más general que el de la esfera (por un mo- tivo lógico, un elipsoide con todos sus parámetros a,b,c iguales genera una esfera, es decir, que la esfera es un elipsoide particular con un alto grado de simetría). Tam- bién se han definido los límites de integración. 1
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Elipsoide
Un elipsoide es una supercie curva cerrada cuyas tressecciones ortogonales principales son elpticas, es decir,son originadas por planos que contienen dos ejes carte-sianos.En matemticas, es una cudrica anloga a la elipse, peroen tres dimensiones.Un elipsoide se obtiene al deformar una esfera, me-diante una transformacin homolgica, en la direccin desus tres dimetros ortogonales.
1 Ecuacin cartesiana de un elip-soide
La ecuacin de un elipsoide con centro en el origen decoordenadas y ejes coincidentes con los cartesianos, es:
x2
a2+y2
b2+z2
c2= 1
donde a, b y c son las longitudes de los semiejes del elip-soide respecto de los ejes x, y , z; son nmeros reales posi-tivos y determinan la forma del elipsoide. Si dos de estossemiejes son iguales, el elipsoide es un esferoide; si lostres son iguales, se trata de una esfera.
2 SupercieLa supercie de un elipsoide est dada por la siguientefrmula:
S = 2
c2 + b
pa2 c2E(;m) + bc
2
pa2 c2F (;m)
;
donde
=
(arccos
ca
escaleno o achatado
arccosac
alargado ;
es su excentricidad angular,m = b2c2b2 sin2() , y F (;m) ,
E(;m) son las integrales elpticas de primera y segundaespecie.Una ecuacin aproximada de su supercie es:
S 4apbp + apcp + bpcp
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1/pdonde p 1,6075. Con esta expresin se obtiene un errormximo de 1,061%, en funcin de los valores de a, b yc. El valor p = 8/5 = 1,6 es ptimo para elipsoides cuasiesfricos, con un error relativo mximo de 1,178%.[1]
3 VolumenEl volumen de un elipsoide est dado por la ecuacin:
V = 43 abc
Utilizando Geometra diferencial se puede demostrar laexpresin anterior. Se sabe que el volumen de una regincerrada corresponde a la integral triple de la funcinf(x,y,z) = 1 y que si se realiza algn cambio de coorde-nadas ( por ejemplo esfricas) se ha de multiplicar por elJacobiano del Cambio de Variable y adaptar los lmitesde integracin.
V =RRR
dV =RRR
jJ(; ; ')j ddd';
En este caso el cambio de variable es de tipo pseudoesf-rico, mucho ms general que el de la esfera (por un mo-tivo lgico, un elipsoide con todos sus parmetros a,b,ciguales genera una esfera, es decir, que la esfera es unelipsoide particular con un alto grado de simetra). Tam-bin se han denido los lmites de integracin.
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2 7 ENLACES EXTERNOS
(; ; ') =
8>:x = a sin cos' : 2 [0; 1]y = b sin sin' : 2 [0; ]z = c cos : ' 2 [0; 2]
;
Para calcular el Jacobiano habra que calcularse la ma-triz en derivadas parciales respecto de ; ; y el deter-minante de esta matriz cuadrada tres por tres da comoresultado:
jJ(; ; ')j = abc 2 sin ;
Por lo tanto la integral que hay que resolver es teniendoel cuenta lo dicho anteriormente es:
abcR 20
R 0
R 102 sin ddd';
Operando:
abc
Z 10
2d
Z 0
sin dZ 20
d' = abcr3
3
10
[ cos ]0 [']20 = abc1
322 = 4
3abc
(Q,E,D)Una demostracin alterna se puede hacer con sumas deRiemann. Esta consiste en sumar a lo largo del eje Xlas reas de la secciones transversales. Como la seccintransversal de un elipsoide es una elipse, su rea est dadaporAx = z(x) y(x)por lo que el volumen del elipsoideestara dado por:
2
Z a0
z(x)y(x)dx
Nuevamente como las secciones transversales son elipsesse tiene:
z = c
r1
xa
2y = b
r1
xa
2Reemplazando:
2
Z a0
bc
1
xa
2dx =
4
3a b c
4 Otras caractersticasLa interseccin de un elipsoide con un plano suele ser unaelipse. Tambin puede ser una circunferencia.Se puede denir un elipsoide en espacios de ms de tresdimensiones.
5 Vase tambin Cudrica Esferoide Esfera Elipse Anexo:Ecuaciones de guras geomtricas
6 Referencias[1] Surface Area of an Ellipsoid, frmulas de Knud Thomsen
y David W. Cantrell.
7 Enlaces externos Weisstein, Eric W. Ellipsoid. En Weisstein, EricW. MathWorld (en ingls). Wolfram Research.
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Elipsoide Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Elipsoide?oldid=79678053 Colaboradores: Oblongo, Sabbut, Moriel, JorgeGG, Cdlfd, In-terwiki, Sms, Tano4595, Jsanchezes, Renabot, Orgullobot, RobotQuistnix, Yrbot, YurikBot, KnightRider, Eskimbot, CEM-bot, JMCC1,Davius, Ggenellina, Thijs!bot, JAnDbot, TXiKiBoT, AlnoktaBOT, Technopat, Matdrodes, Elabra sanchez, Muro Bot, Gato ocioso, Dragon-Bot, Alecs.bot, Alexbot, AVBOT, MelancholieBot, Luckas-bot, Yonidebot, Alanfeynman, Ricardogpn, MauritsBot, Avarela1965, Emaus-Bot, ZroBot, MerlIwBot, KLBot2, Xaulo97, Fedegar91, Addbot, Ineditable y Annimos: 26
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