ELS NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA...
Transcript of ELS NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA...
ELS NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA POLAR _ Marta Bachs Fornt Pàgina 1
ELS NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA POLAR
DIFERENTS FORMES D’ESCRIURE UN NOMBRE COMPLEX
Sigui z un nombre complex
z a bi és la forma binòmica de z on a i b
a s’anomena la part real del nombre
b s’anomena la part imaginària del nombre 2i 1 i 1
Nota: si a 0 el nombre és imaginari pur
si b 0 el nombre és real
z r
és la forma polar de z amb r 0 i 0º 360º
r s’anomena el mòdul del nombre
s’anomena l’argument del nombre
Pas de forma binòmica a polar :
Representació del nombre complex:
2 2r a b
barctg
a
ELS NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA POLAR _ Marta Bachs Fornt Pàgina 2
Nota: No té sentit posar el nombre complex 0 en forma polar
z r(cos isin ) és la forma trigonomètrica de z
r i són el mòdul i argument de z
Pas de forma polar a binòmica :
EXEMPLES :
Troba la forma polar i la representació dels nombres complexos :
11 z i 2 2 2
45º
12
1
11 45º
1
a
a bb
arctg ar g
r
ct
23 2 z i 2 2 13
146,31
313
2
20,6 146, º31º
3
aa b
b
arctg g
r
arct
a rcos
b rsin
z1 està en el primer quadrant ( observa que
hi ha dos angles que compleixen tg 1
que són 45º i 225º)
z2 està en el segon quadrant ( observa que
hi ha dos angles que compleixen 2
tg3
que són 146,31o i 326,31o )
ELS NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA POLAR _ Marta Bachs Fornt Pàgina 3
38 6 z i 2 28
1006
6
100 10
323,3
323,13º4
13º8
aa b
b
arct
r
g arctg
44 z 2 2 16 4
180
416
0
00 180º
4º
aa b
b
arctg a
r
rctg
52z i 2 2 4 2
04
2
2
0
aa b
b
arctg p
r
erò2
90º0
z3 està en el quart quadrant ( observa que hi
ha dos angles que compleixen 3
tg4
que són 143,13o i 323,13o )
Z4 està damunt l’eix d’abscisses en la part
negativa ( observa que hi ha dos angles que
compleixen tg 0 que són 0 o i 180o )
Z5 està damunt l’eix d’ordenades en la part
positiva ( observa que hi ha dos angles que
no tenen tangent que són 90 o i 270o )
ELS NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA POLAR _ Marta Bachs Fornt Pàgina 4
63 4 z i 2 23
254
4 4233,13º
3
5
233,13º3
aa b
b
arctg a
r
rctg
7 z i 2 20
1
0
111
ra
a bb
arctg però 21
070º
80z No hi ha forma polar
Z6 està en el tercer quadrant ( observa que
hi ha dos angles que compleixen 4
tg3
que són 233,13o i 53,13o )
Z7 està damunt l’eix d’ordenades en la part
negativa ( observa que hi ha dos angles que
no tenen tangent que són 90 o i 270o )
ELS NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA POLAR _ Marta Bachs Fornt Pàgina 5
92 7 z i
2 22 22
2 7 2 7 97
7241,8
3
241,º 7º72
8
ra
a bb
arctg
Escriu en forma binòmica els nombres
1 2 3 4 5 660 210 180 270 315 185z 3 , z 4 , z 5 , z 4 , z 1 , z 2
01 603 z
1 33·(cos60º sin60º) 3·
2
3 3
2 22
3
i i i
02 2104 z
3 14·(cos210º sin210º ) 4·( cos30º sin30º ) 4·
2 2
4 3 42
23
22
i i i
i i
03 1805 z 5 180 180 4 1 0 4·(cos º sin º) ·( · )i i
04 2702 z 22 270 270 2 0 1·(cos º sin º) ·( ·( ))i ii
Z9 està en el tercer quadrant ( observa que hi
ha dos angles que compleixen 7
tg2
que són 61,87o i 241,87o )
ELS NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA POLAR _ Marta Bachs Fornt Pàgina 6
0 1 2 1' , , , ...
arg :
·360º0,1,2... 1
:
n nn
n
k
z r hi ha n arrels d índex n que anomenarem z z z z
Totes elles tenen per mòdul r i els seus uments són
kamb k n
nAixí doncs queda que les arrels n èsimes són
05 3151 z 1·(cos315º sin315º ) 1·(cos45º ·( sin 45º))
2 2·
22
2 2
22
i i
i i
06 1852 z 2 185 18 3 984 0 35 4 0 996 0 087 48·(cos º sin º) ·( , ,, ) ,i i i
OPERACIONS DELS COMPLEXOS EN FORMA POLAR
Siguin z i w dos nombres complexos que la seva expressió en forma polar és
z r i w r' , aleshores
· · ' ( · ') z w r r r r
: : ' ( : ') z w r r r r
·( ) ( ) n n nnz r r on n
0,1,2... 1·360º
nz r amb k nkkn
Nota: si representem les arrels n-èsimes d’un nombre z veurem
que estan formant un polígon regular de n costats centrat en
l’origen de coordenades i de radi n r
ELS NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA POLAR _ Marta Bachs Fornt Pàgina 7
4 2 0 1 2 3, , i
EXEMPLES :
Donats els nombres complexos , efectua les operacions
que s’indiquen
· z w 130 125 30 125 55
102 5 25 ºº º º º· ( · )
: z w30 125 30 125
95 265
22 5
2
55 2
5º º º º
º º
: ( : )
5 z 5
5
30 5 30 1502 322º º º
·
5 3· z w 5 3
5 3
30 125 150 375 150 3755 30 3 125
52 655 1
2 5 2 5 32 125 32125
400 04 000
º º º º º º
º
º º
º
· ·· · · ·
5
· z w
5 5 5 5
30 125 30 125 155 775 55 15 55100002 5 25 10 10 10000 00º º º º º ººº·
· ( · )
4 z n’hi ha quatre que són z0 , z1 , z2 i z3 , totes elles amb el mateix mòdul
que val i els seus arguments són on
0
1
2
3
30º 0·360º7,5º
430º 1·360º
97,5º4
30º 2·360º187,5º
430º 3·360º
277,5º4
Així tenim doncs les quatre arrels quartes de z que són : 47 50
497 51
4187 52
4277 53
2
2
2
2
, º
, º
, º
, º
z
z
z
z
º º30 125z 2 i w 5
ELS NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA POLAR _ Marta Bachs Fornt Pàgina 8
5 32
Troba i representa les arrels cinquenes de z = -32
Cal trobar doncs . En primer lloc expressarem z en forma polar
32 z 2 22 32 0 1024
0
32
10 180 8º3
02
º
r
arctg arc
r
tg
Ara ja podem calcular les 5 arrels cinquenes de z i representar-les
5 180º 0·360º0 5
5 180º 1·360º1 5
5 180º 2·360º2 5
5 180
36º
108º
180
º 3·360º3 5
5 180º 4·360º4 5
º
252º
324º
z 32
z 32
z 32
z 32
2
2
32
2
z
2
2