Els satèl·lits galileans de Júpiter

Treball de recerca

Els satèl·lits galileans de Júpiter

Alba Casellas i de Ciurana Tutor: Llorenç Vallmajó

2n de Batxillerat IES-SEP Montilivi


1

Índex 1 Introducció ................................................................................... 2

1.1 Motivació ............................................................................................... 2 1.2 Objectius................................................................................................ 2 1.3 Metodologia ........................................................................................... 2 1.4 Agraïments ............................................................................................ 3

2 Marc teòric ................................................................................... 5

2.1 Història de la concepció geocèntrica a la heliocèntrica de l'Univers...... 5 2.1.1 Aristòtil (384 a.C. - 322 a.C.) ............................................................................... 5 2.1.2 Aristarc de Samos (310 a.C. – 230 a.C.)............................................................. 6 2.1.3 Claudi Ptolemeu (138 d.C. - 180 d.C.) ................................................................ 7 2.1.4 Nicolau Copèrnic (1473 - 1543)........................................................................... 8 2.1.5 Tycho Brahe (1546 - 1601)................................................................................ 10 2.1.6 Johannes Kepler (1571 - 1630) ......................................................................... 11 2.1.7 Galileo Galilei (1564 - 1642).............................................................................. 12 2.1.8 Isaac Newton (1642 – 1727) ............................................................................. 14

2.2 Sistema Solar ...................................................................................... 15 2.2.1 Representació a escala ..................................................................................... 16

2.3 Júpiter i els satèl·lits galileans.............................................................. 20 2.3.1 El planeta........................................................................................................... 20 2.3.2 Els satèl·lits ........................................................................................................ 22

2.4 La física i els moviments planetaris ..................................................... 26 2.4.1 Lleis de Kepler ................................................................................................... 26 2.4.2 Llei de la gravitació universal ............................................................................ 31

3 Treball de camp ......................................................................... 32

3.1 Observacions....................................................................................... 32 3.2 Anàlisi gràfic ........................................................................................ 33 3.3 Càlculs................................................................................................. 37

3.3.1 Ganímedes i Cal·listo......................................................................................... 37 3.3.2 Ió ........................................................................................................................ 37 3.3.3 Europa ............................................................................................................... 38 3.3.4 Comprovació de la tercera llei de Kepler........................................................... 41

4 Conclusions ............................................................................... 43

4.1 Càlcul dels períodes ............................................................................ 43 4.2 Tercera Llei de Kepler ......................................................................... 43 4.3 Causes d’error ..................................................................................... 43

5 Bibliografia ................................................................................. 45

6 Annexos..................................................................................... 47


2

1 Introducció

1.1 Motivació Per mi, des de petita, el fet de mirar el cel durant la nit em fascinava: veure la lluna plena o en una de les seves fases, observar les constel·lacions (a dalt d'una muntanya amb els teus companys d'escoltisme), guaitar una pluja d'estrelles amb admiració...

I, encara era més apassionant poder-ho fer amb un telescopi: poder observar amb més atenció els cràters de la Lluna, mirar les dos franges visibles que té Júpiter en la superfície, veure amb tota perfecció els impressionants anells de Saturn...

Per aquest fet, quan el meu pare em va suggerir un conjunt de variats temes pel meu futur treball de recerca em vaig decidir de seguida per aquest tema, el qual crec que és distret i al mateix temps molt interessant. Així se'm fa més atractiu i amè com a treball de recerca.

1.2 Objectius El principal objectiu del meu treball de recerca és arribar a conèixer el període de rotació de cadascun dels satèl·lits de Júpiter mitjançant la seva observació a través d'un telescopi i, més tard, fer els càlculs respectius després d'haver realitzat les gràfiques corresponents a les llunes galileanes.

Un cop obtingudes aquestes dades, podré arribar al segon objectiu, que és comprovar la tercera llei de Kepler.

1.3 Metodologia Aquest apartat es basa en el procés que he utilitzat per a realitzar el meu treball de recerca.

Les dades teòriques a les quals faig referència estan totes lligades als satèl·lits de Júpiter. Primer, faig una introducció dels astrònoms que van col·laborar a la història del pas de la concepció geocèntrica a la heliocèntrica. Seguidament, explico els trets més importants dels Sistema Solar per continuar parlant de Júpiter i, finalment, em centro amb els seus satèl·lits.


3

Aleshores, faig la explicació i deducció de les tres lleis de Kepler i de la llei de la gravitació universal. Aquestes lleis em seran útils per dur a terme el meu treball de camp.

Les fases pràctiques usades són, aproximadament les mateixes que va seguir en Galileu per calcular el període de rotació dels satèl·lits galileans i són les que m'ajuden a arribar a les diferents conclusions indicades en el penúltim apartat.

Inicialment, he seguit un mètode basat en l'anotació diària de les diferents posicions de les llunes de Júpiter, que sense un telescopi, evidentment, no hauria sigut possible. En un full quadriculat he anat apuntant el que observava i ho he fet basant-me en què el diàmetre de Júpiter és cada quadrat i, a partir d'això, he pogut anar col·locant cada satèl·lit en la situació, anteriorment, observada.

Aleshores, he pogut veure que cada lluna dibuixava una trajectòria sinusoïdal amb diferents amplituds. Seguidament, he realitzat les gràfiques de cada satèl·lit i he pogut observar que en la trajectòria de cada lluna hi ha un número determinat de períodes.

Per tant, he obtingut el període de rotació de Cal·listo i Ganímedes dividint el número de dies que he seguit l’observació per el número de períodes complets que forma cada un. Per obtenir el període de Ió i Europa ho he fet de forma diferent per certes dificultats, que explicaré amb més detall en l’apartat 3.3.

Després d’haver obtingut cada període de rotació he comprovat la tercera llei de Kepler, és a dir, la relació que hi ha entre el període i el radi de les òrbites de cada satèl·lit.

1.4 Agraïments Primer de tot m’agradaria agrair l’ajuda i el suport que m’ha donat en Llorenç Vallmajó, perquè fins i tot ja abans de ser el meu tutor del treball de recerca em va donar un cop de mà amb la bibliografia, a la qual podia recórrer.

També voldria agrair al departament de ciències de l’IES-SEP Montilivi per haver-me deixat el telescopi, durant el període d’observació dels satèl·lits de Júpiter.

Sobretot m’agradaria agrair l’ajut, l’interès i l’empenta que m’ha donat el meu pare, Tavi Casellas, per poder realitzar el meu treball, ja que en un principi la idea se li va ocórrer a ell. Des del primer moment em va fascinar poder fer càlculs a través de l’observació del planeta i els seus satèl·lits, així que de seguida em vaig decidir per aquest treball de recerca, perquè tan ell com jo som amants de l’astronomia.


4

Finalment, voldria agrair al professor Robert Estalella de la Universitat de Barcelona del departament d’astronomia, perquè li vaig fer una consulta sobre el meu treball de recerca (ja que no sabia com cercar una dada mitjançant càlculs) i em va contestar en menys d’una setmana sense que ens coneguéssim.


5

2 Marc teòric

2.1 Història de la concepció geocèntrica a la heliocèntrica de l'Univers L’inici de la història de la Astronomia va estar marcada per la creença d’un model geocèntric defensat per Aristòtil . Però, més tard, un conjunt d’astrònoms grecs, incloent-hi Aristarc de Samos , van trencar la tradició capgirant la teoria, perquè consideraven el Sistema Solar com un sistema heliocèntric (260 a.C.).

Aquest sistema va durar molts anys i, més tard, primer Hiparc i després Ptolemeu van confirmar la hipòtesi tot explicant els moviments aparents dels planetes. A més, el segon astrònom va aprofundir en la teoria i va crear un esquema general per demostrar-ho (100 a.C.).

Tot i això, l'any 1453, Copèrnic va elaborar una nova teoria, perquè creia que el sistema ptolemèic no estava del tot raonat i, per tant, faltaven proves per demostrar-lo. Però aquest sistema es basava en la perfecció, cosa que després va ser rectificada, perquè els planetes no descriuen òrbites circulars, sinó el·líptiques. Aquest pas del geocentrisme al heliocentrisme va crear una gran revolució coneguda amb el nom de: revolució científica .

El 1583, un astrònom molt conegut per ser un gran observador amb el telescopi, Tycho Brahe , va proposar un nou sistema basat en què tots els planetes excepte la Terra giraven al voltant del Sol i aquest, juntament amb la resta dels planetes, seguien òrbites entorn de la Terra.

Però no va ser fins 1609-1610 que Galileu va provar l'exactitud de la teoria copernicana a base de l'observació dels quatre satèl·lits més grans de Júpiter. A la mateixa época, Johannes Kepler va trobar l'explicació exacte del sistema de Copèrnic.

2.1.1 Aristòtil (384 a.C. - 322 a.C.) Va ser un filòsof i científic grec molt important, ja que les seves opinions van iniciar la major part del pensament cosmològic. Va fer la següent síntesi de la seva teoria: "De tals consideracions, se'n desprèn d'immediat que la

Bust d'Aristòtil


6

Terra està en repòs i situada al centre" (De Caelo. Llibre II, cap. 14. Segle IV a.C.).

La seva tesis era geocèntrica i, per tant, es basava en la immobilitat de la Terra i en la creença que el nostre planeta era el centre de l'Univers i que aquest no havia sigut creat per Déu, sinó que ja havia existit sempre. A més, creia que tot el que formava l’Univers eren figures perfectes i seguien un moviment totalment uniforme.

El seu mètode empíric consistia a analitzar les realitats observables directament per, més tard, reconstruir el món de forma racional a partir de les dades ja obtingudes.

A més, va dedicar molt de temps a determinar el número concret d’esferes celestes cristal·lines i va arribar a la conclusió que havien de ser cinquanta cinc, és a dir, cinquanta cinc esferes imaginàries que permetien que els planetes es moguessin de forma circular.

Per poder-ho deduir va adoptar el model celest que havia dissenyat Èudox de Cnidos (astrònom platònic) amb tan sols vint-i-set esferes concèntriques. Júpiter necessitava quatre d’aquestes esferes per tal de seguir un moviment més o menys semblant al correcte (en aquella època es creia que tots els astres seguien moviments circulars).

Degut a tot això va marcar una època, fins l'arribada de la revolució copernicana, que li va treure part de la importància.

2.1.2 Aristarc de Samos (310 a.C. – 230 a.C.) Va ser un astrònom grec amb una nombrosa obra, però la que va marcar més va ser De la magnitud i la distància del Sol i de la Lluna. En aquesta obra emblemà-tica és on es va donar a conèixer, per primera vegada, l’afirmació que el Sol és molt més gran que la Terra (unes tres-centes vegades segons els càlculs que va dur a terme ell mateix).

A més d’aquesta afirma-ció tan important, va

Sistema proposat per Aristarc de Samos


7

formular una teoria heliocèntrica , també per primer cop. Es va basar en la següent hipòtesi: “la Terra és un planeta que, com els altres planetes, gira entorn del Sol; acompleix aquesta volta en un any”.

Segons la seva teoria, que ell mateix va comprovar geomètricament, el Sol és un estel fix (com tots els altres estels) i entre ell i la Terra hi ha una gran distància i encara és major si parlem dels estels. També va arribar a la conclusió que la Terra seguia òrbites circulars al voltant del Sol, ja que és impossible que una massa més petita (com és la Terra) sigui el centre immòbil del Sol (massa molt més superior). A més, va poder perfeccionar la teoria basada en què la Terra gira sobre el seu propi eix explicant els cicles estacionals per la inclinació terrestre.

El seu sistema heliocèntric va ser denunciat i rebutjat per gran part dels astrònoms, perquè creien que era insuficient i pel prestigi de les teories aristotèliques. Per això va ser oblidada i durant molt temps es va conservar la teoria geocèntrica, fins al Renaixement amb la defensa de Copèrnic.

2.1.3 Claudi Ptolemeu (138 d.C. - 180 d.C.) A més de matemàtic i geògraf grec, era un gran astrònom. Va ser conegut per vàries obres, però, bàsicament, per la seva obra principal titulada: Gran sintaxi matemàtica, que es basava en la síntesi de tots els coneixements de l'astronomia alexandrina. Més tard, l'anomenaren Almagest.

En l'obra mencionada anteriorment, l'autor va escriure-hi el seu sistema astronòmic conegut com el sistema ptolemeic: considera que el nostre planeta era el centre immòbil de l'Univers i, per tant, al voltant de la

Terra hi giraven tots els planetes coneguts fins aleshores, el Sol i una gran quantitat d'estels fixos.

Aquest llibre escrit per Ptolemeu va tenir una importància creixent en la història, ja que va determinar la visió geocèntrica de l'astronomia durant un miler d'anys.

Ptolemeu va presenciar el problema dels planetes i va elaborar-ne un esquema com a resolució d’aquest. Aquest problema planetari es basava en

Bust de Ptolemeu

Sistema de Ptolemeu


8

què el moviment dels planetes no era circularment perfecte, com s’havia cregut durant molt de temps, sinó que seguia una trajectòria normal (cap a l’est) i per un interval de temps canviava de direcció anant cap a l’oest amb un moviment de retrocés (conegut com el moviment de retrogradació).

També va ser molt conegut, ja que per elaborar les seves teories astronòmiques seguia un procés basat en la utilització de mètodes matemàtics per comprovar les dades obtingudes per realitzar-la.

2.1.4 Nicolau Copèrnic (1473 - 1543) Va ser un gran astrònom considerat com el "fundador de l'astronomia moderna" i va sintetitzar la seva teoria de la següent manera: "Els moviments dels quals aparentment està dotat el Sol no es deuen en realitat a ell, sinó al moviment de la Terra i de la nostra pròpia esfera, amb la qual girem entorn del Sol exactament igual que els altres planetes. La Terra té, doncs, més d'un moviment" (Commentariolus. Text del 6è postulat. 1507).

Per elaborar la seva teoria es va basar en l’observació i estudi de les teories comprovades per astrònoms anteriors a la seva època. Però no tan sols dels ja mencionats, sinó molts altres. A més, va realitzar un centenar d’observacions, de les quals només en va utilitzar una part per elaborar el seu sistema i la seva teoria va sobreviure gràcies al contin-gut matemàtic i no pas ideològic.

Copèrnic va capgirar la teoria d'Aristòtil i de Ptolemeu contradient-la, ja que la seva teoria era heliocèntrica i, per tant, estava argumentada amb la creença de què el Sol era el centre de l'Univers. Tot i que el sistema copernicà contenia nombroses innovacions també mantenia alguns punts comuns en la creença d’Aristòtil.

Gravat de Copèrnic

Esquema de Ptolomeu del problema planetari

Sistema copernicà editat en el De revolutionibus


9

Les innovacions de la seva teoria són: la Terra deixa de ser el centre del món per passar a ser un planeta, el Sol és considerat com el centre del Sistema Solar i, per tant, els planetes giren entorn d’ell, la Lluna gira entorn de la Terra i no del Sol. D’altra banda es troben dos semblances molt importants: continua la creença de la imatge del cosmos formada per una gran esfera amb esferes que giren al voltant d’un punt immòbil i el moviment de les esferes continua essent circular i uniforme.

La senzillesa i la racionalitat que tenia aquest sistema respecte la complexitat de la teoria geocèntrica va fer que Copèrnic cregués més en la seva teoria.

Aquesta tesis va aparèixer l'any de la seva mort (1543) en el seu llibre: De revolutionibus orbium coelestium, que dóna pas a la coneguda revolució copernicana. El seu llibre no volia expressar la veritable constitució de l’Univers, sinó que era un simple conjunt d’hipòtesis, és a dir, un conjunt de bases de càlcul en que l’únic que importava era que els fenòmens dels moviments fossin comprovats. De revolutionibus va transformar l’astronomia al plantejar nous problemes als astrònoms i va ser molt important, però més importants van ser els descobriments als quals es va arribar gràcies a aquest llibre.

Aquest canvi de plantejament, és a dir, transferir al Sol gran part de les funcions atribuïdes, fins aleshores, a la Terra va fer que l'obra de Copèrnic iniciés la coneguda Revolució Científica dels segles XVI i XVII, que va suposar un canvi de paradigma i va ser considerada com el punt de partida de la física. Aquesta transformació va afectar a totes les àrees del saber, principalment, a l'astronomia. La transformació va causar la substitució de l'astronomia geocèntrica (ptolemaica) per l'astro-nomia heliocèntrica (copernicana). Aquest període revolucionari va ser iniciat pel refús del punt de vista heliocèntric, per part del món culte, i per la incompatibilitat que tenia amb la Bíblia, ja que en aquella

època la religió era de gran importància; i va finalitzar amb l'aparició del Principia de Newton.

Explicació copernicana contrastada amb la ptolemàica respecte la retrogradació del

planetes exteriors


10

Tot i l’avanç astronòmic que va permetre Copèrnic, tan a Alemanya com a la resta d’Europa, es van acceptar els procediments de càlcul, però no les seves teories.

A part de tot això, Copèrnic va fer molts altres descobriments com: el moviment terrestre degut a l'observació del canvi de posició del cel o que la Terra és esfèrica, que la Terra i l'aigua creen una sola esfera o bé que el moviment dels cossos celestes és uniforme, circular o format per moviments circulars... També va plantejar una explicació esquemàtica del problema planetari , ja explicat amb anterioritat.

2.1.5 Tycho Brahe (1546 - 1601) Va ser un astrònom important i va ser apreciat com la autoritat astronòmica, però tot i la innovació de la revolució copernicana ell mai no hi va creure i, a més, s'oposava en la teoria heliocèntrica. Va destacar per ser un excel·lent observador, però fluix matemàtic i teòric.

Brahe és reconegut per la gran precisió en les seves observacions particulars, tot i fer-ho sense instruments òptics. Per aquest motiu, es podia confiar en totes les dades que acumulava, que van resoldre una bona part dels problemes relacionats amb l'astronomia. Va ser el primer astrònom a elaborar les seves teories astronòmiques mitjançant les observacions regulars dels planetes , canviant la pràctica tradicional d’observar-los només en situacions particulars.

Tot i ser un excel·lent observador, no tenia tant prestigi en el món de les teories i les matemàtiques, però en va fer una coneguda amb el nom de "teoria ticònica" , basada en el geo-heliocentrisme , la qual explicava que la Terra estava immòbil en el centre geomètric de l'esfera estel·lar o cúpula celeste. Era un sistema de compromís que va tenir un èxit immediat i va encaminar als astrònoms contempo-ranis, juntament amb les seves observacions, cap a una nova

cosmologia. Tot i això no va ser acceptat pels astrònoms més importants.

Les seves observacions constants li van permetre crear un nou plantejament del clàssic problema planetari, és a dir, el fet de saber que

Pintura de Tycho Brahe

Sistema ticònic de Brahe


11

les òrbites dels planetes no eren circulars i seguien un moviment de retrogradació . Aquest problema dels planetes es va poder resoldre, perquè va dur a terme un seguit d’observacions diàries que van confirmar que els planetes descrivien un moviment circular (també anomenat moviment normal) cap a l’est i per un interval de temps seguien un moviment de retrocés cap al oest (o el ja mencionat moviment de retrogradació).

Després de prendre dades en feia els pronòstics. Però no només dels planetes, sinó que també hi incloïa les estrelles, les quals influïen en el món subllunar (els astres situats entre la Lluna i la Terra) segons la seva teoria de la contextura.

A més, va elaborar les conegudes “Taules Rodolfines” , que són la sistematització de tots els mesuratges astronòmics realitzats fins aleshores. Aquestes taules realitzades per Tycho Brahe van ser molt utilitzades per altres astrònoms.

2.1.6 Johannes Kepler (1571 - 1630) Va ser un astrònom que estava a favor del sistema heliocèntric , el qual el va atreure per l'harmonia i la bellesa matemàtica de l'Univers creat per Déu. Al contrari que Brahe, va ser un genial teòric, però no va tenir tant d'èxit en l'observació.

Sempre va creure en la teoria copernicana i els seus arguments eren els mateixos que els de Copèrnic, però molt més nombrosos, més desenvolupats i acompanyats de diagrames molt detallats. Tot i que Kepler aprovava la teoria heliocèntrica era molt crític amb el sistema matemàtic elaborat per Copèrnic.

També va ser un deixeble de Tycho Brahe i va treballar amb ell durant els últims anys. Quan aquest va morir va seguir estudiant el problema dels planetes fins arribar a la conclusió final. Aquest estudi li va portar molts anys de treball i, finalment, va aconseguir la seva resolució, que li va permetre formular les seves dos primeres lleis de Kepler (i més tard sorgiria la tercera).

Pintura de Kepler

Moviment retrograd de Mart observat per Brahe


12

Va escriure un llibre anomenat Misteri cosmogràfic, en el qual defensava la teoria copernicana i ho demostrava amb arguments matemàtics, que van ser utilitzats per primera vegada.

La gran majoria dels astrònoms creia en la perfecció dels moviments celestes, però, finalment, Kepler va trencar la tradició. Va proposar que els planetes són objectes materials formats per substància imperfecta i amb les observacions de Tycho Brahe va poder confirmar que el Sistema Solar estava dissenyat amb òrbites planetàries el·líptiques i no circulars. A part d'això, creia que la Terra era un planeta governat pel Sol, tal i com succeeix amb els altres.

Va ser un astrònom que treballava de forma constant, la qual cosa afegida a la disposició de les observacions de Tycho Brahe li va permetre formular les tres lleis de Kepler (mencionades anteriorment) sobre el moviment planetari, que el van fer encara més important (aquestes lleis seran comentades en l’apartat 2.4.1 amb més extensió per la seva gran importància dins el meu treball de recerca).

2.1.7 Galileo Galilei (1564 - 1642) Va ser un home molt conegut degut a la perfecció del telescopi que va dur a terme, la qual va permetre la localització de més testimonis a favor de Copèrnic.

Aquest nou instrument creat poc abans de ser perfeccionat per Galileu va fer que, amb la seva ajuda, ell pogués fer nous descobriments, que van arribar a ser molt importants, ja que van col·laborar en l'argumentació a favor de la teoria heliocèntrica .

Gràcies al telescopi, va poder realitzar un conjunt de descobriments que li van permetre reforçar el sistema heliocèntric. Aquests descobriments són: la semblança entre la Terra i la Lluna trencava la distinció del món sublunar i supralunar, les taques

canviants del Sol van afirmar les imperfeccions del món supralunar, les fases de Venus semblants a la Lluna confirmava les idees copernicanes...

També va fer altres descobriments, no menys, importants com l'observació de noves estrelles i el fet de saber que la Via Làctia està formada per la unió d'una gran infinitat d'estrelles.

Galileu va ser un dels molts astrònoms amb problemes, perquè els seus descobriments sobre el sistema heliocèntric no estaven permesos en la seva època i va ser condemnat per la Inquisició. Aquest fet va fer

Pintura de Galileo Galilei


13

que renunciés públicament, contra la seva voluntat, a la seva teoria. Tot i això, va continuar treballant-hi de forma particular.

Però, dintre de tot, Galileu és el personatge que té més importància en el meu treball de recerca, degut al seu descobriment de les quatre llunes de Júpiter usant el telescopi. I, va ser a través de les observacions que dedicava a aquest planeta, que va poder veure quatre cossos celestes situats en una distància propera a Júpiter. A causa de que aquests cossos tenien un comportament molt semblant al de la Lluna, va poder deduir l'existència de satèl·lits que són governats per planetes.

Aquest gran descobriment va significar un model perceptible del Sistema Solar heliocèntric, encara que també tenia moltes altres observacions telescòpiques que afavorien al sistema presentat per Copèrnic.

Galileu, durant molt de temps, va fer el seguiment de l'observació i l'anotació de les diferents posicions que anaven seguint els satèl·lits de Júpiter. Aquest mètode és el que jo he utilitzat per fer l'estudi de la rotació de les llunes galileanes i, per això, Galileu és tan important en el meu treball, perquè he pres el seu exemple per poder-ho dur a terme.

A l’esquerra, trobem les anotacions fetes per Galileu per realitzar el

seguiment del satèl·lits de Júpiter amb l’objectiu de trobar el període de rotació de cada un de les llunes

galileanes.

A dalt a la dreta, podem observar les anotacions que he pres per

poder dur a terme el meu treball de recerca, seguint els mètodes

utilitzats per Galileu, astrònom descubridor dels quatre satèl·lits més grans de Júpiter (Ió, Europa,

Ganímedes i Cal·listo)


14

2.1.8 Isaac Newton (1642 – 1727) Va ser un físic molt important per les teories que va elaborar. A part de dur a terme moltes investigacions, estudis químics i recerques en el temps.

Entre els anys 1665 al 1667, mentre la Universitat estava tancada degut a una epidèmia, Newton va poder construir el primer telescopi de reflexió i va arribar a comprendre l’atracció gravitatòria de la naturalesa universal.

El 1687 va publicar Philosophia Naturalis Principia Mathematica (Principis matemàtics de la filosofia natural). En aquest llibre hi apareix la llei de la gravitació :

uR

m·MGF

2−=

Aquesta expressió permet derivar la tercera llei de Kepler d’una senzilla hipòtesi. Aquesta obra, més coneguda com Principia, és la que més ha influenciat el pensament modern.

El que fa destacar més a Newton dins del meu treball és la llei de la gravitació i les tres lleis de la dinàmica, perquè els he hagut d’utilitzar per verificar la relació que hi ha entre el període i el radi de cada un dels satèl·lits de Júpiter (apartat 3.3.4).

Les tres lleis de la dinàmica de Newton són les següents:

a. Principi d’inèrcia

Tot cos es manté en els seu estat de repòs o de moviment rectilini uniforme, excepte si se’l altera mitjançant forces que actuen damunt d’ell.

b. Principi fonamental

La variació de l’estat de moviment que experimenta un cos (o acceleració) és proporcional a la força neta que actua sobre aquest cos, i es realitza en la direcció en què actua la força. La constant de proporcionalitat entre la força i l’acceleració és la massa del cos.

a·mF =∑

Pintura de Newton


15

c. Principi d’acció - reacció

Quan un cos exerceix una força al damunt d’un segon cos, el segon cos efectua sobre el primer una altra força que té el mateix mòdul i la mateixa direcció, però en sentit contrari. A una de les forces l’anomenem acció i, a l’altra, reacció.

2.2 Sistema Solar Primer de tot, cal definir el Sistema Solar com el conjunt d'astres que giren al voltant del Sol degut al fet d'estar sotmesos a la gravitació d'aquest.

Està format pel Sol, centre d'aquest sistema i conté més del noranta per cent de la massa del Sistema planetari, i per molts altres objectes que fan òrbites al seu voltant, és a dir: nou planetes, seixanta satèl·lits (aproximadament), infinitat de cometes i asteroides. Tot el sistema solar es va desplaçant per l'espai amb gran velocitat.

Com ja he dit, els planetes fan òrbites en forma d'el·lipse movent-se en la mateixa direcció i estan situades en el mateix pla (excepte Mercuri, Plutó i determinats asteroides), però ho fan a diferents velocitats. I, al mateix temps cada planeta gira entorn del seu propi eix. Tot i això, es dedueix que el nostre sistema es quasi totalment pla.

Entre els nou planetes es fa una diferenciació, que els divideix en dos grups:

� Planetes interiors: format pels següents planetes: Mercuri, Venus, la Terra i Mart. Aquests planetes estan separats de la resta per l'anomenat "cinturó d'asteroides" i estan formats per roca i ferro. Les seves mides són més diminutes comparat amb els planetes del sistema exterior, exceptuant Plutó (que és el més petit).

� Planetes exteriors: format per la resta de planetes del Sistema Solar, que són: Júpiter, Saturn, Urà, Neptú i Plutó. Els planetes

Muntatge fotogràfic del Sistema Solar. No manté l'escala de distàncies entre els planetes


16

anomenats anteriorment estan compostos principalment, per hidrogen, gel i heli, però hi ha una excepció: Plutó, que és més aviat rocós. A més, els quatre primers planetes del sistema exterior tenen un conjunt d'anells que els envolta.

2.2.1 Representació a escala Com que les distàncies del Sistema Solars són immensament grans he cregut necessari elaborar una representació a escala d’aquest, perquè ens resulti més creïble. Aquesta representació l’he situat a Girona, ja que així ens és més fàcil d’imaginar-ho.

El Sol l’he situat al centre de la Plaça d’Europa i he anat situant la resta dels planetes al llarg del carrer Emili Grahit, continuant cap a Quart i Llambilles en direcció Sant Feliu de Guíxols.

A les pàgines següents hi ha la taula amb les dades calculades a escala per poder elaborar les representacions que també estan a continuació.

Per poder dur-ho a terme he fet una taula amb els seus respectius càlculs a escala 1:1.000.000.000:

Astres

Diàm

etre real (km

)

Distància real

(106km

)

Diàm

etre a escala (cm

)

Exem

ple

Distància a

escala (m)

Situació (E

mili

Grahit)

Sol 1.392.530 139,25 Globus gegant Plaça d’Europa

Mercuri 4.878 58 0,49 Pèsol 58 Via del tren

Venus 12.104 108 1,21 Cigró 108 La Farinera

La Terra 12.756 150 1,28 Bala 150 Carretera Barcelona

Mart 6.794 228 0,68 Llentia 228 Carrer Manel Quer

Júpiter 142.800 778 14,28 Bombeta gran 778 Església de St. Josep

Saturn 120.000 1.427 12,00 Roda patinet 1.427 Fi del doble carril

Neptú 52.000 2.870 5,20 Pilota de pingpong 2.870 Pisos Barceló

Urà 48.400 4.497 4,84 Pilota de golf 4.497 Quart

Plutó 3.000 5.899 0,30 Gra d’arròs 5.899 Llambilles


18

Sol Mercuri Venus La Terra Mart

Saturn

Plaça d’Europa

C/ Barcelona

C/ Emili Grahit

Júpiter

Urà


19

Neptú Plutó


20

2.3 Júpiter i els satèl·lits galileans

2.3.1 El planeta La paraula planeta és un terme provinent de Grècia que significa rodamón. El nom del planeta és degut al rei dels déus de la mitologia romana.

És molt important perquè es pot considerar un sistema planetari en si mateix , pel fet de tenir la seva pròpia atmosfera d'hidrogen i heli amb núvols de colors clars, una immensa magnetosfera, anells i

satèl·lits.

Júpiter és el cinquè planeta des del Sol, que dista uns 778 milions de km, el seu període orbital és de 11'86 anys terrestres amb una velocitat de 13 km/s. Té una gravetat superior a la Terra, ja que és de 2'34 m/s2 si la terrestre és de 1. La seva massa és 317,89 vegades la de la Terra, és a dir, 1,91·1027 kg.

El que més destaca de Júpiter és la seva grandària, perquè és el major dels planetes del Sistema Solar , per això el seu diàmetre és molt elevat: 142.984 km. És poc més petit que una estrella, per això s'anomena a Júpiter com "quasi-estrella". També té un volum molt elevat. Però s'ha confirmat que no és un planeta perfectament rodó.

Tot i la seva grandària, Júpiter és el planeta que gira més ràpidament sobre el seu eix tardant tan sols 9'9 hores de forma no uniforme i té una inclinació axial molt baixa: 3'1º. Això provoca que el planeta prengui una forma lleugerament ovalada i també ocasiona les fortes corrents atmosfèriques, que fan que l'atmosfera es divideixi en dos franges diferenciades pels colors pastel dels núvols.

Està format bàsicament per gasos en diversos estats molt lleugers, encara que té un petit nucli rocós i en això és similar al Sol. Els gasos els quals componen Júpiter són, en la major part: hidrogen (87%) i heli (la major part del 13% restant), que són els dos elements més lleugers i abundants en l'Univers.

Varis estudis que s'han realitzat confirmen, no amb tota seguretat, que el seu interior ha de ser calent i dens, perquè Júpiter posseeix una enorme font interna de calor . La seva temperatura, tal com fa la pressió, varia de forma creixent depenent de la profunditat. Però també es diu que el seu interior ha de tenir la mateixa composició que

Foto de Júpiter


21

l'atmosfera i un nucli de material semblant al de la Terra, és a dir, format, bàsicament, per níquel i ferro.

En el seu exterior es pot observar la seva gran regió roja anomenada "Gran Taca Roja" , que fa que aquest planeta no passi desapercebut. Aquesta taca es va formar per una extraordinària turmenta i presenta unes enormes dimensions, ja que supera les dimensions de la Terra. En el seu aspecte també es pot veure varies franges causades pel sistema de vents i normalment està voltat de núvols en les parts superiors. Té una forma ovalada i la

seva coloració (des del vermellós al rosa) es deu als rastres de compostos formats per la llum ultraviolada o les turmentes o bé el calor.

En la superfície de Júpiter es troba el camp magnètic (anomenat “jovià”, és a dir, que pertany a Júpiter), el qual és catorze vegades més fort comparat amb el de la Terra i, a més, la seva polaritat és contrària al nostre planeta.

La seva atmosfera és turbulenta i conté nombrosos tipus de núvols, que això causa que sigui freda. Les molècules que més hi predominen són: el metà, l'amoníac i l'aigua.

S'hi produeixen llampecs en zones de baixa pressió. Aquest fenomen es dóna degut a l'energia transferida del seu interior càlid cap a l'atmosfera visible. En canvi, a la Terra succeeix quan aquesta energia s'allibera quan la humitat de l'aire es condensa i aleshores cau en forma de pluja.

Júpiter consta d'un conjunt de setze satèl·lits que l'orbiten i un sistema d'anells molt pròxim al planeta, que el rodegen.

El seu dèbil sistema d'anells està format per un material que ha de renovar-se contínuament, ja que es pot veure que es mou en direcció al planeta. Aquest material pot ser el resultat de la desintegració de petits satèl·lits que hi ha movent-se en el complex d'anells.

Els satèl·lits seran comentats a continuació de forma detallada i amb la següent classificació que els diferencia segons siguin: satèl·lits galileans o no galileans.

Imatge de la superfície de Júpiter

on s'observen turbulències de la seva atmosfera

Foto de la inmensa Taca Roja


22

2.3.2 Els satèl·lits Els satèl·lits de Júpiter els podem classificar segons si haguessin estat descoberts i estudiats per Galileu (satèl·lits galileans) o no haguessin pogut ser observats per l’astrònom, és a dir, els satèl·lits no galileans.

A. Satèl·lits galileans Es denominen "satèl·lits galileans", ja que van ser les llunes que Galileu va descobrir observant amb el telescopi l'any 1610. Això va succeir degut a la seva grandària, que fa possible diferenciar-los de la resta, perquè són els únics que es poden veure amb un telescopi de pocs augments. Van rebre noms dels amants mitològics de Júpiter. Tradició que segueix amb la resta dels seus satèl·lits.

a. Ió

Rep aquest nom, ja que, mitològicament, era la amada de Zeus el rei dels Déus (nom que va rebre Júpiter en el món llatí).

És el satèl·lit galileà més proper a Júpiter amb una distància de 421.600 km, per això pateix els efectes de la marea. El seu diàmetre és de 3.630 km, té una massa molt semblant a la de la Lluna i tarda només 1'77 dies a donar la volta a Júpiter (aquest és l'objectiu del meu treball, és a dir, saber d'una forma aproximada el temps que triga a fer una volta al seu planeta).

Ió és semblant a Europa (que és el satèl·lit que el segueix), ja que els dos són densos i rocosos com els planetes interiors del Sistema Solar. A diferència de les altres llunes, la seva superfície no està recoberta de glaç, però s’hi ha pogut observar determinades zones de diòxid de sofre gelat.

Aquesta lluna conté una gran activitat volcànica i el seu interior encara està fos, però al seu exterior es troben els primers volcans

Muntatge dels satèl·lits Galileans ordenats segons la seva proximitat a Júpiter (d’esquerra a dreta: Ió, Europa, Ganímedes i Cal·listo)

Foto de Ió


23

actius descoberts d’on surt grans riuades de lava. Degut a això, les cendres procedents dels volcans fan que el satèl·lit tingui una coloració molt variable per la presència de sofre i els seus derivats. En canvi, la zona equatorial de Ió és relativament llisa, però en la seva crosta també s’hi observen algunes esquerdes.

Ió pateix l’efecte de les marees degut a l’enorme massa de Júpiter. La proximitat que hi ha entre la lluna i el seu planeta és la causa més evident d’aquest fenomen. Aquestes marees provoquen la deformació de la superfície del satèl·lit.

Està formada bàsicament pels colors: vermell, taronja, groc, negre i blanc. Aquesta coloració tan viva fa que sigui el satèl·lit galileà més espectacular.

Tot i que a la seva superfície hi abunden cràters originats pels volcans, no s'hi han trobat cràters formats per impacte, que significa que Ió és un

satèl·lit jove . Els cràters causen uns canvis de temperatura molt sobtats, perquè estan a uns 20ºC, en canvi, al seu voltant estan a 146ºC sota zero (aproximadament).

A més, algunes partícules de Ió s'escapen de la seva atmosfera i així formen l'anomenada "cua de plasma" , la qual té una estructura que segueix al satèl·lit amb la seva òrbita.

b. Europa

El seu nom és degut a una noia que va ser raptada pel rei dels Déus, que es va convertir en brau.

És el satèl·lit que està situat darrere de Ió i la seva distància amb relació a Júpiter és de 670.800 km. Té el diàmetre més petit de la resta de llunes de Galileu (al voltant d'uns 3.000 km), però és el que té la densitat més gran i tarda 3'5 dies a donar la volta sencera al seu planeta (i

l'objectiu del meu treball és comprovar-ho, com ja he dit anteriorment).

Aquest satèl·lit és relativament brillant i la seva lluminositat és d'un 70%. A més, la seva densitat de 3'03 g/cm3 permet saber que la major part de la superfície està formada per aigua líquida o sòlida i silicats.

Fotografia de les dos cares d'Europa

Imatges de les diferents zones de la superficie


24

En la superfície d'Europa coberta de glaç s'hi veuen un "conjunt d'estries", que van en totes direccions i fan que el satèl·lit prengui un color blanquinós amb un mosaic ataronjat. Aquestes estries encorbades o irregulars tenen unes mides molt considerables: mínim uns 70 km d’amplada i milers de quilòmetres de llargada.

No té una forma particular ni l’estructura geològica clàssica, perquè en el seu exterior només s’hi ha pogut observar tres cràters d'impacte. Però aquests són prou significatius, ja que han fet sorgir vàries teories sobre aquest tema, la més lògica és que la superfície d'Europa s'hagués rejovenit.

La forta energia tèrmica , que conté al seu interior, produïda a través d’elements radioactius és la principal causa de les importants modificacions de les seves capes més exteriors (el mantell i la crosta). Aquesta energia produeix moviments de convecció

els quals causen la deformació i, finalment, el trencament de la crosta de glaç causant grans fractures.

També pateix els efectes de la marea, però no són tan notables com els de la lluna galileana més propera a Júpiter (Ió). Al voltant d'aquest satèl·lit s'hi ha pogut detectar un tènue vel d'oxigen .

c. Ganímedes

Rep aquest nom, perquè era com es deia un heroi mitològic de Troia, que va ser elegit per Zeus com al seu coper, el qual tenia per ofici curar el vi i servir-lo.

És el següent satèl·lit, que dista 1.070.000 km de Júpiter i amb 7'15 dies ja ha donat tota la volta al seu planeta. El seu diàmetre és sorprenentment elevat , de 5.256 km, i això fa que sigui el satèl·lit més gran del Sistema Solar (la seva mida supera la de Mercuri) i, a

més, és el més brillant.

La seva diminuta densitat (1'93 g/cm3), semblant a la de Cal·listo, fa pensar que les dos últimes llunes galileanes estiguin formades bàsicament per gel i silicats, que els diferencien en tres capes.

La seva morfologia és molt complexa , ja que la seva superfície dos tipus de terrenys: la zona ombrejada (presenta cràters d’impacte de meteorits) i la zona clara (constituïts, bàsicament, de grans canals col·locats de forma paral·lela). Tot i a aquestes

Foto de Ganímedes

Ampliació de les diferents zones de la superfície

Dos fotos de les diferents zones


25

diferències, tan una zona com l’altra estan cobertes per gel.

Ganímedes té una atmosfera d'oxigen que és molt tènue i amb una pressió que pot ser comparada a la terrestre a uns 400 m.

Amb les fotografies del "Voyager" s'han pogut obtenir dades molt interessants, com per exemple l'existència de la zona fosca o ombrejada i antiga amb una gran quantitat de cràters molt ressents i d'altres formats per impactes de meteorits o bé la zona clara amb les seves canals.

d. Cal·listo

El seu nom és degut a una nimfa, que va ser estimada pel rei dels Déus i, més tard, va ser convertida en óssa i aleshores Zeus la transformà en l’Óssa Major.

El satèl·lit més exterior de Galileu, que està situat a 1.880.000 km de distància del seu planeta. Té un diàmetre de 4.800 km (que el fa quasi tan gran com Mercuri) i una densitat molt petita: 1'83 g/cm3, que indica la seva constitució de gel i silicats (com n'he fet referència anteriorment). Recórrer l'òrbita al voltant de Júpiter amb 16 dies.

La seva superfície està tota plena de cràters causats pels impactes de diversos meteorits. La mida d’aquestes cràters és sorprenent (poden arribar a mesurar més de 100 km de diàmetre), perquè no hi ha cap altre cos del Sistema Solar que contingui cràters

tan amples. Aquests cràters indiquen la gran antiguitat geològica de la seva part exterior. Per això, se suposa que és poc després de l'inici del Sistema Solar, quan hi va haver un intens bombardeig dels meteorits creats recentment amb el sistema planetari.

Cal·listo ha patit, com tots els altres cossos del Sistema Solar, allaus de meteoris de totes les mides, però, a diferència dels altres, conté una capa de glaç que recobreix la superfície i impedeix l’observació de les empremtes d’aquests impactes.

Però en Cal·listo hi destaca de forma sorprenent "Valhalla" , que és una estructura d'impacte enorme. Això fa que sigui una de les més grans del Sistema Solar, amb un diàmetre de 4800 km.

Muntatge de Cal·listo amb el territori marcat de "Valhala"

Imatge pròxima de la

superfície


26

B. Satèl·lits no Galileans Aquestes altres llunes són molt més petites que les de Galileu i, per tant, han estat menys estudiades.

Es poden trobar diferents classificacions, però la que utilitzaré els agrupa de quatre en quatre i ho fan amb ordre des de Júpiter fins a la lluna més exterior. Aquesta classificació és la següent:

� Quatre satèl·lits interiors: Adrasthea, Metis, Amalthea i Thebe. Tots ells, marquen òrbites circulars entre 128.000 a 221.000 km, que estan situades en el pla de l'equador del seu planeta. Les seves mides són bastant semblants, excepte de Amalthea que és molt més gran que les altre llunes (el doble o més depenent del satèl·lit). Metis està exactament en el límit del sistema d'anells i podria haver estat formada per aquest material.

� Quatre petits satèl·lits: Leda, Himalia, Lysithea i Elara. Aquestes llunes orbiten a uns 11 o 12 milions de quilòmetres de Júpiter amb una inclinació de 28º respecte l'equador del planeta. Les mides de cadascuna són molt diferents, però són força petites (no superen els 180 km).

� Quatre satèl·lits exteriors: Ananke, Carme, Pasiphae i Sinope. El seu moviment manté unes òrbites molt excèntriques i amb una exagerada inclinació entre 147º a 180º. Totes les seves mides són bastant similars, en excepció de Pasiphae que té 70 km de diàmetre i, en canvi, les altres tenen un diàmetre que volta els 35 km.

2.4 La física i els moviments planetaris

2.4.1 Lleis de Kepler Anteriorment ja he parlat de Kepler i la seva importància dins de l'astronomia, però com també he avançat, l'astrònom va arribar a tres lleis molt conegudes anomenades lleis de Kepler, que tenen una

Imatge de quatre de les llunes no Galileanes


27

importància creixent en el meu treball de recerca, perquè he comprovat la tercera llei.

Les lleis de Kepler són les següents:

1. Els planetes descriuen òrbites el·líptiques al v oltant del Sol, el qual ocupa un dels focus.

De fet, no va ser tan fàcil d'arribar en aquesta teoria, ja que Copèrnic va fer una suposició equivocada basant-se en què les òrbites dels planetes eren circulars, tot i que era el que trobava més lògic, senzill i, encara més, perfecte.

El que va convèncer a Kepler de que aquesta llei és certa van ser els fets que constaten que hi ha una diferència de magnitud de la brillantor aparent i de la retrogradació de les posicions de Mart i també, la distància variable de Mercuri respecte al Sol. Així va poder arribar a la conclusió de que si dos planetes formaven òrbites el·líptiques, també ho poden fer la resta.

Actualment, s'ha arribat a la conclusió que és gairebé impossible que es doni el fet que un planeta marqui òrbites completament circulars. Com també s'ha pogut saber que aquestes òrbites són el·lipsis molt poc excèntriques i que, a part de Mercuri, Mart i Plutó, si poguéssim observar en l'espai les òrbites que dibuixen ens semblarien pràcticament circulars.

2. El segment imaginari que uneix un planeta amb el Sol defineix àrees iguals en temps iguals.

Aquesta és la petita representació sobre la segona llei on surten el Sol i el principal planeta dins d'aquest treball, és a dir, Júpiter.


28

Com es pot veure, ens explica, de forma representativa, el fet que l'òrbita d'un planeta és el·líptica i el Sol és un focus d'aquesta (1a Llei de Kepler) i que, per tant, el planeta sempre estarà en un determinat moment més lluny del Sol que l'altre.

A partir de la representació podem arribar a la conclusió que les dos superfícies són iguals (S = S'), però no podem dir el mateix sobre les velocitats, perquè aquestes són completament diferents i una és més gran que l'altre (V > V').

Com he dit abans, hi ha moments en què el planeta es trobarà més proper al Sol i la seva velocitat serà més gran, però com més lluny d'ell més lenta serà la seva velocitat. Per tant, la velocitat en què va un planeta és variable, tot i que les acceleracions i desacceleracions no són gaire perceptibles.

3. El quadrat del període de qualsevol planeta en e l seu moviment al voltant del Sol és directament proporci onal al cub de la distància mitjana al Sol.

Per arribar a aquesta equació s'han d'haver seguit els següents passos:

Segons Kepler

Per poder arribar a conèixer aquesta relació va haver de realitzar vàries gràfiques. Primer va elaborar una gràfica amb la relació entre el període de rotació i el radi orbital de cada planeta.

Les dades dels planetes i els càlculs per elaborar les gràfiques estan situades en l’apartat d’annexos (6).

-50,00

0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

300,00

0 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000

Radi (m ilions de km )

Per

íode

(an

ys)


29

Però desprès de fer-la es va donar compte que aquesta gràfica no representava la proporcionalitat directe, ja que no era lineal i, a més, els quatre primers planetes quedaven massa units.

Així que va decidir elaborar una gràfica logarítmica:

Aleshores va observar que a la nova gràfica els planetes no quedaven tan separats entre sí, però continuaven sense ajustar-se a una funció lineal proporcional. Aleshores va arribar a la conclusió que havia de fer la gràfica amb una determinada proporcionalitat: el període elevat al quadrat era igual a la constant multiplicada pel radi del planeta al cub, és a dir, la següent equació:

Aleshores va aconseguir realitzar una gràfica perfectament lineal i, per tant, havia aconseguit trobar la proporcionalitat entre el període orbital i el radi de cada planeta.

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

2,20

2,40

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00

ln Radi (ln m ilions de km )

ln P

erío

de (

ln a

nys)

-4,00

-2,00

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00

ln Radi^3 (ln m ilions de km ^3)

ln P

erío

de^2

(ln

any

s^2)

32 R·KT =


30

Segons Newton

Newton va utilitzar mètodes matemàtics per resoldre aquest problema físic. Per poder utilitzar el mateix procés començarem amb la segona llei de Newton o la llei fonamental de la dinàmica.

∑ = ca·mFr

Aquesta està formada per la força (F), la massa (m) i la acceleració circular (a amb el subíndex c). Seguidament substituirem aquesta equació per la corresponent a la força i a l'acceleració circular:

Rv

·mR

m·MG

2

2=

Per tant ens queda una equació formada per:

A l’esquerra del signe igual (=) trobem la contant de gravitació que té el valor de 6,67·10-11(G), seguidament una multiplicació on hi trobem la multiplicació de dos masses (M, massa superior a m) i a baix la distancià entre les dos masses elevada al quadrat (R).

A la dreta hi observem la massa inferior m, que multiplica a la seva velocitat elevada al quadrat (v), que està dividida pel seu radi R.

A l'anterior equació eliminarem la m de cada costat, ja que tan una com l'altre estan multiplicant. Per tant, queda:

Rv

RM

G2

2=

Si tenim en compte que la velocitat d’un moviment circular és:

TR2

R·vπ=ω=

Podem fer la següent substitució tenint present que la velocitat està elevada al quadrat:

R·T

R·

R

MG

2

22

2

4π=


31

Aleshores podem treure, de la part dreta de l'equació, el quadrat de la R de la part superior i la R de la part baixa.

2

2

2 TR·4

RM

Gπ=

Després aïllarem la T, que està elevada al quadrat i obtindrem la següent equació:

M·GR·4

T32

2 π=

Finalment, podem arribar a l'última equació on obtenim la "tercera Llei de Kepler".

32 R·KT =

On la K és una constant que és equivalent a:

2.4.2 Llei de la gravitació universal Aquesta llei diu que la força d'atracció entre dues partícules de masses M i m, que estan separades per una distància r, és directament proporcional al producte de les masses i inversament proporcional al quadrat de la distància entre elles.

Per tant, aquesta expressió és matemàticament la següent:

On G és la constant de gravitació universal amb un valor de 6'67·10 11−

N·m2/kg2 i la u és el vector unitari amb la direcció de la recta que uneix les masses. El signe negatiu que porta la G al seu davant indica que la força entre les masses és d'atracció.

M·G4 2π

ur

M·mGF

2−=


32

3 Treball de camp Per realitzar el treball de camp he seguit els passos, anteriorment, comentats en la metodologia de l’apartat 1.3. Per dur-lo a terme he utilitzat el mètode que va seguir Galileu (astrònom descobridor de les llunes de Júpiter) per obtenir el període de rotació de cada satèl·lit.

Aquestes fases són les següents: primer l’observació de les llunes galileanes, seguidament analitzar-ho gràficament i tercer fer els càlculs pertinents per, més tard, comparar les dades obtingudes amb les dades estàndards per veure els errors sorgits en el meu treball de recerca.

3.1 Observacions Durant el període de gener - juny he estat observant diàriament a les nou del vespre (les deu del canvi d’hora) els satèl·lits galileans amb un telescopi de 96 augments (1.200mm de llargada i 12,5mm de distància focal de l’ocular).

Malgrat que els satèl·lits descriuen un moviment de rotació circular al voltant de Júpiter (part superior de la imatge), en fer l’observació amb el telescopi es veuen sempre alineats (part inferior de la imatge) amb el planeta degut al fet que la Terra està en el mateix pla de rotació (eclíptica).

Seguidament anotava en un full quadriculat el dia de l’observació, el planeta Júpiter al centre i els quatre satèl·lits galileans, segons la posició en la qual es trobaven tenint en compte que el diàmetre de Júpiter és un quadrat del full.

Representació de la situació de les llunes galileanes (1 de gener de 2003, 21:59)


33

Però, a primer cop d’ull, he vist que Ió i Europa segueixen amb les dades preses una trajectòria molt irregular i, per tant, això suggereix que el seu període de rotació és molt més petit que el de Ganímedes i Cal·listo.

Això ha fet que per poder obtenir el període de rotació he hagut de fer una observació de la situació d’aquestes llunes durant tota una nit (en períodes d’una hora).

3.2 Anàlisi gràfic Més tard, he passat les dades obtingudes de les observacions en el programa informàtic “Microsoft Excel” per realitzar les gràfiques de cada satèl·lit.

Amb els gràfics fets he observat que cada lluna formava la seva trajectòria sinusoïdal que correspon, aproximadament, a la projecció d’una trajectòria més o menys circular. A partir d’aquests gràfics i fixant-me en les trajectòries periòdiques he analitzat les grans diferències entre els períodes de cada satèl·lit.

El gràfic (1) de les meves observacions sobre Ganímedes i Cal·listo és el següent:

-30

-20

-10

0

10

20

30

20/01 /2

002

27/01 /2

00203

/02 /2

002

10/02 /2

002

17/0

2/2002

24/0

2 /2002

03/03 /2

002

10/0

3 /2002

17/0

3 /200

224/0

3 /200

231

/03/2

00207

/04 /2

002

14/04 /2

002

21/0

4 /2002

28/0

4 /200

205/0

5 /2002

12/0

5 /2002

19/0

5 /200

226/0

5 /200

202

/06/2

00209/0

6 /200

2

Cal·listo Ganímedes

ñ

8 períodes de Cal·listo

19 períodes de Ganímedes Radis

Però degut als dies de núvol i pluja, sumat al fet de que les observacions que he fet són a ull nu i no amb fotografies, que permetria tenir menys errors, he elaborat una altra gràfica. Aquesta gràfica l’he pogut fer amb l’ajuda del programa informàtic “Sky Map”, on he pogut trobar-hi la situació dels satèl·lits a les hores, les quals no he pogut observar o he comés algun error alhora d’apuntar les observacions. A continuació trobem la gràfica (2) :

-30

-20

-10

0

10

20

30

20/0

1/200

227

/01/2

002

03/0

2/200

210

/02/2

002

17/0

2 /200

224

/02/2

002

03/0

3/200

210

/03 /2

002

17/0

3/200

224

/03 /2

002

31/0

3/200

207

/04/2

002

14/0

4 /200

221

/04/2

002

28/0

4 /200

205

/05/2

002

12/0

5/200

219

/05 /2

002

26/0

5/200

202

/06/2

002

09/0

6/200

2

Cal·listo Ganímedes

8 períodes de Cal·listo

19 períodes de Ganímedes

Radis

Com es pot observar no he inclòs la trajectòria de Ió i Europa, perquè si les poséssim en la mateixa gràfica no aconseguiria trobar la seva trajectòria, ja que tarden molt menys a fer una volta entorn del seu planeta. Per aquest motiu he elaborat una gràfica a part, on apareixen les anotacions de Ió i Europa fetes la nit de l’observació horària des de les set del vespre del 8 de febrer de 2002 fins les quatre de la matinada. Aquesta gràfica (3) és la següent:

-2

-1

0

1

2

3

4

19 20 21 22 23 24 1 2 3 4

Ió Europa

Diàmetres

Hores


37

3.3 Càlculs A continuació, un cop he observat que en la gràfica cada lluna seguia un nombre determinat de períodes complets, he calculat el període de rotació dividint tots els dies d’observació per el número de períodes que segueix cada satèl·lit.

Els càlculs fets per obtenir els períodes de rotació són els següents:

Satèl·lit galileà

Dies observats

Períodes complets Càlcul Període

(dia)

Ió 0,375 0,25 0,375 : 0,25 1,5

Europa - - - 3,51

Ganímedes 135 19 135 : 20 7,105

Cal·listo 132 8 132 : 8 16,5

3.3.1 Ganímedes i Cal·listo Els càlculs fets per calcular el període de rotació tant de Ganímedes com de Cal·listo han estat molt més senzills que els de Ió i Europa, ja que tan sols he comptat el número de dies que he observat les llunes i l’he dividit pel número de períodes complets que fan cada satèl·lit.

En canvi, alhora de calcular el període de rotació de Ió i Europa he tingut més complicacions, perquè, tot i l’observació nocturna, no he aconseguit obtenir un període complet. Això ha implicat que hagi utilitzat altres recursos, que no pensava que hauria de seguir. A més el procés per cada lluna ha estat diferent, ja que la seva trajectòria no és la mateixa.

3.3.2 Ió El mètode seguit per obtenir el període de Ió és el següent.

Per començar he elaborat una gràfica sinusoïdal perfecta (4):

1 Els càlculs realitzats en aquest cas per trobar el període de rotació són diferents als de la resta de satèl·lits.


38

Seguidament he superposat la part necessària de la gràfica (mig període), per tal de trobar la situació de la trajectòria a la qual pertany. A continuació tenim la superposició que he obtingut (no és del tot perfecte, però és la situació que més coincideix) o gràfica 5:

Així, he pogut deduir que si amb nou hores (0,375 dies) fa un quart del període, donarà una rotació completa en 36 hores (4 · 0,375 dies = 1,5 dies).

3.3.3 Europa Finalment, el mètode que he utilitzat per obtenir el període de rotació de Europa és diferent tan en el procés seguit en Cal·listo i Ganímedes com el seguit en Ió. Aquesta diferència és deguda a que amb l’observació nocturna no ha sigut suficient per fer els càlculs amb el mètode utilitzat per Ió. Per tant, he hagut de recórrer, encara, en un altre recurs, que és el següent:

A primera vista, segons les observacions diàries he observat que el seu període ha de estar entre els tres o quatre dies. Per aquest motiu he elaborat un càlcul de mitjana del període , és a dir, he comptat el número de períodes complets situats en els extrems de l’òrbita que tarden entre tres i quatre dies. Les dades obtingudes són:

-1,00

-0,80

-0,60

-0,40

-0,20

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390

-2

-1

0

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Ió

Europa


39

Número del període Dia inicial Dia final Dies tardats a

fer el període

1 4/2/2002 7/2/2002 3

2 7/2/2002 11/2/2002 4

3 18/2/2002 22/2/2002 4

4 22/2/2002 25/2/2002 3

5 25/2/2002 1/3/2002 3

6 22/1/2002 26/1/2002 4

7 26/1/2002 29/1/2002 3

8 29/1/2002 2/2/2002 4

9 9/5/2002 13/5/2002 4

10 20/5/2002 23/5/2002 3

Després d’elaborar la taula ja es pot passar a calcular la mitjana. El càlcul tracta d’obtenir el període de rotació a partir de la suma feta després de multiplicar el número de dies tardats a fer un període complet per el número de períodes que hi ha que ho facin en aquest instant de temps i després dividir-ho pel número total de períodes utilitzats. Aquest càlcul dóna el següent resultat:

Mperíode = 10

)5·4()5·3( + = 3,5

Les dades de la taula anterior són les extretes de la gràfica realitzada a partir de l’anotació diària. Aquesta gràfica és la següent:

-15

-10

-5

0

5

10

15

20/01

/200

227

/01 /2002

03/02/2

00210/

02/2

002

17/02 /2

002

24/02 /2

00203

/03/2

00210/

03/2

002

17/03 /2

002

24/03

/2002

31/03

/200

207/

04 /200

214

/04 /2002

21/04

/2002

28/04

/200

205/

05 /200

212

/05 /2002

19/05

/2002

26/05

/200

202/

06 /200

209

/06/2002

Europa

1 2 3 4

5

6 7 8

9 10

Radis


41

3.3.4 Comprovació de la tercera llei de Kepler En aquest apartat he verificat la relació que hi ha entre el període (T) i el radi (R) de cada un dels satèl·lits, és a dir, he comprovat la tercera llei de Kepler , que és l’equació que he obtingut amb anterioritat (punt 2.4.1) després de seguir els passos que va utilitzar l’astrònom per obtenir-la.

Per tant, l’equació que utilitzaré és:

32

2 RM·G

4T

π=

En els càlculs, la massa (M) es refereix a Júpiter i el radi (R) correspon al radi de l’òrbita de la lluna, que podem posar com un múltiple del radi de Júpiter segons les observacions fetes (R = n·RJ). Per tant, a partir d’ara l’equació usada serà:

3J

J

322 R

M·Gn·4

Tπ=

Per poder fer els càlculs de comprovació aïllarem la massa de Júpiter (MJ), per tant, obtindrem la següent equació:

3J2

32

RT·Gn·4

MJ

π=

Aleshores he elaborat una taula per substituir totes les dades necessàries per obtenir la relació entre el període i el radi. Aquesta taula és la següent:

Satèl·lits Radi de l’òrbita (R)

Període (T) (dia)

Període (T) (segon)

MJ

Ió 5,5·RJ 1,5 129.600 5.863·RJ3

Europa 10·RJ 3,5 302.400 6.472·RJ3

Ganímedes 15,5·RJ 7,105 613.872 5.849·RJ3

Cal·listo 26·RJ 16,5 1.425.600 5.119·RJ3

Mitjana 5.826·RJ3


42

Ara he calculat l’error d’aquestes mesures:

707MMmàxe JJa =−=

De manera que l’error relatiu comès és:

%1212,0M

ee

J

ar ===

És un error bastant raonable si es té en compte que les observacions han estat preses a ull nu.

Segons les dades del meu treball, el radi de Júpiter és de 71.492 km, que em permet calcular, segons la fórmula anterior, la massa del planeta:

kg10·13,2R·826.5M 273JJ ==

Resultat que dóna, aproximadament, el valor que he consultat en els llibres (1,91·1027 kg). En aquest cas l’error relatiu comès en el càlcul ha estat d’11,5%.


43

4 Conclusions En aquest apartat, faig referència a les conclusions que he pogut arribar un cop fet el treball de camp. Una d’elles és el fet d’haver pogut complir tots els objectius plantejats.

4.1 Càlcul dels períodes En aquest cas, he arribat a la conclusió que com més gran és el radi de l’òrbita del satèl·lit més gran és el temps que tarda a donar una volta sencera a Júpiter. Això implica que es compleix, de forma qualitativa, la tercera llei de Kepler.

Els càlculs que he realitzta per obtenir el període de rotació de cada lluna no són els mateixos, perquè cada satèl·lit té un període diferent. Això ha fet que hagi utilitzat tres mètodes diferents, que estan lligats al les meves condicions d’observació.

4.2 Tercera Llei de Kepler En aquest apartat he fet els càlculs de forma quantitativa i puc arribar a la conclusió que també es compleix, ja que el període de rotació (T2) i el radi (R3) són proporcionals. Tot i que donen un error, que és relativament petit si tenim en compte els mètodes usats.

4.3 Causes d’error Les causes d’error són, bàsicament, les següents:

a. Observació a ull nu

Les meves observacions han estat preses a ull nu, la qual cosa implica que les dades extretes no són del tot exactes.

La millora d’aquest aspecte implicaria disposar d’un telescopi amb camera inclosa i motor rotatori.

b. Suposició de la forma de les òrbites

Per realitzar el meu treball he suposat que les òrbites que segueixen els satèl·lits galileans són circulars i no el·líptiques. Però per saber,


44

vertaderament, si les òrbites són circulars o el·líptiques hauria d’haver fet observacions de molt més llarga durada.

c. Dificultat d’observació en determinats dies

Tant els dies de núvol com els dies de pluja han dificultat l’observació i han fet que les dades puguin tenir més errors.

Per poder millorar aquest aspecte hauria d’haver fet les observacions des de una zona on els núvols i les pluges fossin inferiors a Girona, com per exemple a les Canàries.

d. Limitació d’horari

L’ horari d’observació de les llunes es bastant limitat, la qual cosa implica una menor exactitud, sobretot en l’estudi de la rotació dels satèl·lits de període més curt.

En els casos, tan de Ió com d’Europa, hauria millorat l’exactitud si l’horari d’observació fos molt més ampli, per exemple: una nit sencera.

e. Període de temps observable limitat

El planeta Júpiter únicament va ser observable de gener a juny de l’any 2002, per tant, només el vaig poder veure a través del telescopi durant aquest període de temps.

Però si aquest període de temps fos més llarg hauria implicat una major exactitud en el meu treball de recerca.


45

5 Bibliografia � AUDOUZE, Jean; ISRAËL, Guy. Le grand atlas de

l’astronomie. Paris: Ed. Universalis, S.A., 1983.

� CALVO MARTÍNEZ, Tomás. Aristóteles y el aristotelismo. Madrid: Ed. Akal, S.A., 1996.

� COMELLAS, Jose Luis; CRUZ, Manuel. El Sol y el Sistema Solar. Madrid: Ed. Equipo Sirius, S.A., 1987.

� El geocentrisme i la física antiga. http://www.edicionspuc.es/ paper/caplln.htm

� GARCÍA HOURCADE, Joan Luis. La rebelión de los astrónomos Copérnico y Kepler. Madrid 1a edición: Ed. Nivola, S.A., agost 2000.

� Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona 2a edició: Ed. Enciclopèdia Catalana, S.A., juny del 1990.

� HULL, L. W. H. Historia i filosofía de la ciencia. Barcelona: Ed. Ariel, S.A., 1973.

� Institut de Ciències de l’Educació. http://www.udles/centres/ ice/cat/inov-recer/index.htm

� KEPPLER, Erhard. Sol, lunas y planetas. Barcelona: Colección Ed. Salvat, S.A., 1985.

� KUHN, Thomas S. La revolución copernicana. Barcelona 1a edició: Ed. Ariel, S.A., 1985.

� MARTÍNEZ, Vicent J. Universitat de València. http://www.uv.es/ ~martinez/tocat.pdf

� MENZEL, Donald H.; PASACHOFF, Jay M.. Guía de campo de las estrellas y los planetas de los hemisferios norte y sur. Barcelona: Ed. Omega, S.A., 1990.

� MOORE, Patrick. El atlas del universo. Barcelona: Ed. Labor, S.A., 1970.

� MORELLE, Marc Alexis. Copernic. http://www.malexism.com/ copernic/astr/univers.html

� MOSTERÍN, Jesús. Historia de la filosofia (vol. 4). Madrid: Ed.Alianza, S.A., 1984.

� PARRA, Antoni. Astronomia. http://www.xtec.es/recursos/ astronom/index.htm


46

� Philocours. http://www.philocours.com/frame1.html

� RONAN, Collin A. Els amants de l’astronomia. Barcelona 1a edició: Ed. Blume, S.A., 1982.

� SAGAN, Carl. Cosmos. Barcelona: Ed. Planeta, S.A., 1987.

� SÁNCHEZ LAVEGA, Agustín; CRUZ, Manuel. Planetas exteriores. Madrid: Ed. Equipo Sirius, S.A., 1987.

� SERRA, Salvador; MERCADÉ, Joan; ARMENGOL, Montserrat. Física (Batxillerat, crèdits: 4, 5, 6). Madrid: Ed. McGraw Hill, S.A., 1999.

� SHEA, William R. La revolución intelectual de Galileo. Barcelona 1a edició: Ed. Ariel, S.A., novembre 1983.

� SOBEL, Dava. La filla de Galileu. Barcelona: Edicions 62, S.A., 2000.

� STOTT, Carole; TWIST, Clint. Gran Enciclopedia de bolsillo. Barcelona: Ed. Molino., octubre del 1995.

� TREBESCHI, Alberto. Manual de historia del pensamiento científico. Barcelona: Ed. Avance, S.A., 1977.

� VERNET, Juan. Astrología y astronomía en el Renacimiento. Barcelona 1a edició: Ed. Quaderns Crema, S.A., 2000.


47

6 Annexos Taula dels càlculs de la representació a escala del Sistema Solar (2.2.1):

Taula dels càlculs de les gràfiques de la tercera llei de Kepler (2.4.1):

Radi Període ln Radi ln Període ln Radi^3 ln Període^2 km.10^6 anys ln km.10^6 ln anys ln (km.10^6)^3 ln anys^2

58 0,24 4,06 1,40 12,18 -2,85 108 0,62 4,68 1,54 14,05 -0,97 150 1,00 5,01 1,61 15,03 0,00 228 1,90 5,43 1,69 16,29 1,28 778 11,90 6,66 1,90 19,97 4,95

1.427 29,50 7,26 1,98 21,79 6,77 2.870 84,00 7,96 2,07 23,89 8,86 4.497 164,80 8,41 2,13 25,23 10,21 5.899 247,70 8,68 2,16 26,05 11,02

Escala 1:1000.000.000 Diàmetre real Distància real Diàm. Escala Distàn. Escala

km km.10e6 cm m 1.392.530 139,25

4.878 58 0,49 58 12.104 108 1,21 108 12.756 150 1,28 150 6.794 228 0,68 228

142.800 778 14,28 778 120.000 1.427 12,00 1.427 52.000 2.870 5,20 2.870 48.400 4.497 4,84 4.497 3.000 5.899 0,30 5.899


48

Taula de les dades preses de les meves observacions i dades de les correccions fetes a partir del programa de SkyMap utilitzades en els càlculs dels períodes de rotació d’Europa, Cal·listo i Ganímades (3.3) i també amb el punt màxim de les òrbites de cada satèl·lit:

Dat

a

Obs

erva

ció

Eur

opa

Obs

erva

ció

Cal

·list

o

Cal

·list

o se

gons

S

kyM

ap

Obs

erva

ció

Gan

ímed

es

Gan

ímed

es

sego

ns

Sky

Map

Màxims 10,00 24,00 26,00 15,50 15,50

Nota: les caselles en blanc corresponen a dies ennuvolats

20/01/2002 4,7 15 15 -15 -12 21/01/2002 7 6 6 -13,1 -13,1 22/01/2002 -8 -4,5 -4,5 -1,2 -1,2 23/01/2002 -13 8,8 24/01/2002 -17,2 15 25/01/2002 -0,5 -21 -21 9 9 26/01/2002 -9,5 -21,3 -21,3 -4,6 -4,6 27/01/2002 3,5 -19 -19 -11 -11 28/01/2002 9 -14,8 -14,8 -10,8 -10,8 29/01/2002 -9 -10,6 -10,6 -2,9 -2,9 30/01/2002 -3 0,2 0,2 7 7 31/01/2002 9,8 15 01/02/2002 1 17 18 9,25 9,25 02/02/2002 -10 17 23,9 -3 -3 03/02/2002 26 -12 04/02/2002 7 24 24 -13,1 -13,1 05/02/2002 20 -4,8 06/02/2002 11,25 7,7 07/02/2002 7,5 1,4 1,4 12,8 12,8 08/02/2002 2 -8,3 -8,3 13 13

09/02/2002 -15 -0,25 10/02/2002 -22 -11,8 11/02/2002 7 -19 -25 -11 -14 12/02/2002 -4 -21,6 -24,4 -5,3 -5,3 13/02/2002 -7 -21,8 -21,8 5,2 5,2 14/02/2002 -15,1 14 15/02/2002 -6 11,8 16/02/2002 4,1 1,6 17/02/2002 13,2 -10,6 18/02/2002 8 16 21 -12 -14 19/02/2002 -3 15,8 25,1 -6 -8,6 20/02/2002 26 4 21/02/2002 5 17,2 23 11 14 22/02/2002 6 14 16,9 9,25 12,25


49

23/02/2002 -7 7,8 7,8 2,1 2,1 24/02/2002 -3 -2,2 -2,2 -9 -9 25/02/2002 8 -10,4 -10,4 -13 -13 26/02/2002 -20 -10,2 27/02/2002 -24,5 2,1 01/03/2002 6 -23 -26 13 13 02/03/2002 -6,5 -21 -21 4,6 4,6 03/03/2002 -3 -9 -12,1 -6,25 -6,25 04/03/2002 -3 -13 05/03/2002 7 -11,2 06/03/2002 15,9 0,4 07/03/2002 21,8 11,3 08/03/2002 7 22 26 12 15 09/03/2002 -6,2 23 24,7 5,7 5,7 10/03/2002 -6,5 20,6 20,6 -5,3 -5,3 11/03/2002 -8 12 13 -12 -13,4 12/03/2002 1,5 4,7 4,7 -9 -9 13/03/2002 -4,5 -2 14/03/2002 1,2 -11 -13 7,2 10 15/03/2002 10 -17 -21,1 10 15 16/03/2002 -5 -21,4 -25,4 7,9 9,9 17/03/2002 -26 -3,1 18/03/2002 -24 -13,3 19/03/2002 4 -24 -18,2 -9,1 -9,1 20/03/2002 -7,8 -9,6 -3 -3 21/03/2002 0,2 0,2 7,4 8,4 22/03/2002 7 9,7 9,7 11 15 23/03/2002 17,8 11,6 24/03/2002 17,6 23,9 -1,6 -1,6 25/03/2002 17 26 -8,3 -12,3 26/03/2002 17,4 25,2 -9 -9 27/03/2002 -6 18,2 20 -4 -4 28/03/2002 -1,5 11 12 6 6,8 29/03/2002 3,1 14 30/03/2002 -7,2 11,8 31/03/2002 -16 0,8 01/04/2002 4 -16,4 -21,9 -9,2 -11,2 02/04/2002 -25,8 -13,9 03/04/2002 -25,6 -7,5 04/04/2002 3 -18,8 -22,6 3,7 5,1 05/04/2002 8,5 -11 -15,7 10 14 06/04/2002 -6,9 12,8 07/04/2002 2,8 2,4 08/04/2002 12,25 -9,6 09/04/2002 19,9 -13,4 10/04/2002 24,6 -9,4 11/04/2002 26 3,1 12/04/2002 23,8 13 13/04/2002 18,1 14


50

14/04/2002 9,6 4,6 15/04/2002 0,2 -7,6 16/04/2002 -9,5 -14 17/04/2002 -7 -13 -17,7 -10,2 -10,2 18/04/2002 -5 -18 -24,1 0,7 0,7 19/04/2002 8 -20 -25,9 8,2 11,8 20/04/2002 -25,2 14 21/04/2002 -11 -16 -21,6 4,2 4,2 22/04/2002 -10,2 -14 -5,1 -5,1 23/04/2002 -3,5 -3,5 -12,2 -14 24/04/2002 -3 5 5 -8,6 -12,6 25/04/2002 10,2 14 -1,5 -1,5 26/04/2002 20,9 10 27/04/2002 25,3 14,6 28/04/2002 26 8,6 29/04/2002 23 -3,7 30/04/2002 9 12,6 16,6 -10,5 -13,5 01/05/2002 7,8 -13,8 02/05/2002 -1,7 -3,8 03/05/2002 -11,2 8,5 04/05/2002 -19,1 15 05/05/2002 -24,5 7,2 06/05/2002 -25,9 -1,25 07/05/2002 -25 -12,1 08/05/2002 -20 -14,6 09/05/2002 -9 -9,3 -12 -6 -6 10/05/2002 -2,9 6,5 11/05/2002 6,7 14,6 12/05/2002 -6 13 15,6 12 12 13/05/2002 -3,4 15,7 22 1,1 1,1 14/05/2002 7 19,7 25,7 -9 -10,8 15/05/2002 1,2 20 25,3 -11,3 -14,8 16/05/2002 16 22 -7 -7 17/05/2002 14,9 4,2 18/05/2002 7 7 11,7 15,5 19/05/2002 -2,5 -2,5 11 12,8 20/05/2002 -7 -8,6 -12 2,9 2,9 21/05/2002 -20,1 -9,1 22/05/2002 -25 -14,8 23/05/2002 -7 -19,7 -26 -7 -10,1 24/05/2002 -17,4 -24,4 2,2 2,2 25/05/2002 9 -15 -18,7 9,7 12,6 26/05/2002 -10,9 14,1 27/05/2002 -1,4 5,5 28/05/2002 8,25 -7 29/05/2002 4 15,5 16,7 -12 -14,4 30/05/2002 22,8 -11,8 31/05/2002 -2 22 26 -0,25 -0,25 01/06/2002 9 21 24,8 11 11


51

02/06/2002 -1,8 16,7 21 15,5 14,6 03/06/2002 10 13,4 7 7,7 04/06/2002 4,25 -4,2 05/06/2002 -4,8 -13,9 06/06/2002 -14,2 -12 07/06/2002 -21 -3 08/06/2002 -25,2 9,1 09/06/2002 -26 14,6 10/06/2002 -23,6 7,2 11/06/2002 3,4 -13,7 -17,7 -2,8 -2,8

Taula de les dades utilitzades per realitzar la gràfica dels períodes de rotació de Ió i Europa, que van ser observats durant la nit del 8 de febrer de 2002 (3.3):

Hora Ió Europa

19 1,2 1,5 20 1,6 1,2 21 2,1 1 22 2,3 0,7 23 2,5 0,2 24 2,8 -0,1 1 3,2 -0,4 2 3,5 -1 3 3,4 -1,5 4 3 -1,5


52

En les següents pàgines s’inclouen:

� Els fulls de les dades preses directament a partir de les observacions diàries amb el telescopi, des del dia 20 de gener de 2002 fins el dia 11 de juny de 2002.

� El full de les dades preses, cada hora, en l’observació realitzada durant la nit del 8 de febrer de 2002.

� La gràfica realitzada manualment de les dades preses durant els mesos de gener a juny.

Els satèl·lits galileans de Júpiter

Documents

Transcript of Els satèl·lits galileans de Júpiter