REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO “SANTIAGO MARIÑO”

EXTENSION BARINAS. SAIA – INGENIERÍA EN SISTEMA

ENERGIA CINETICA DE ROTACIÓN Y COLISIÓN

y

DINÁMICA DE CUERPOS RIGIDOS

Integrantes:

Jehilin Zambrano C.I: 15.176.919

Vanessa Delgado CI: 18.402.897

Wendy Ochoa C.I: 13.979.479

Guatire, Agosto de 2014

Energía cinética de un sistema de partículas

La energía cinética del sistema es la suma escalar de las energías cinéticas individuales

Descomposición de la energía cinética

Para la energía cinética podemos efectuar una descomposición análoga a la del momento

cinético. Escribiendo cada velocidad como suma de la del CM más la relativa queda, para

la energía cinética individual,

y para la energía cinética total

El segundo término se anula por aparecer en él , lo que reduce la energía cinética a

La energía cinética del sistema relativa al centro de masas.

Esta descomposición se interpreta como que el sistema posee una energía cinética por el

movimiento de traslación colectivo, más un término debido al movimiento sobre sí mismo.

Esta energía cinética intrínseca, K' es parte de la energía interna del sistema. Puede estar

asociada a:

Un movimiento organizado. Por ejemplo, en la rotación de la Tierra alrededor de su

eje.

Un movimiento desorganizado. Por ejemplo, en un gas que se encuentra a una cierta

temperatura, el centro de masas puede estar estacionario y sin embargo el gas posee

una energía cinética debido al movimiento de las moléculas que lo componen. Esta

energía cinética es lo que llamamos agitación térmica.

Una combinación de ambos. Este es el caso general. La energía cinética del sistema

parte se encuentra en movimientos macroscópicos (rotación o traslación de partes del

sistema) y parte en movimientos microscópicos caóticos.

Por la presencia de estos términos microscópicos caóticos la energía cinética total del

sistema es normalmente desconocida. En su lugar nos limitamos a la suma del

término con la suma de las energías cinéticas debidas a los movimientos

macroscópicos.

Conservación de la energía cinética

Para la energía cinética no existe un teorema tan simple como para la cantidad de

movimiento o el momento cinético. Operando del mismo modo que para estas dos

cantidades, en sencillo probar que

esto es, la derivada de la energía cinética es la potencia desarrollada por todas las fuerzas

ejercidas en el sistema. Sin embargo, en este caso, no podemos eliminar las fuerzas internas

de la ecuación. La razón es que las fuerzas internas sí pueden variar la energía cinética

total.

Un ejemplo sencillo lo tenemos en las fuerzas de rozamiento entre dos partes de un sistema

mecánico. La fricción (debida a fuerzas puramente internas) produce calor, que se

manifiesta en un aumento de la temperatura del sistema, esto es, en un incremento de la

energía cinética total.

Dos casos particulares en que sí se conserva la energía cinética son:

Dinámica del sólido rígido

Un sólido rígido se caracteriza porque las distancias entre todas las partículas

permanecen constantes en todo momento. En este caso las fuerzas internas no

realizan trabajo y la variación de la energía cinética se debe exclusivamente a las

fuerzas externas.

Colisiones elástica

En las colisiones de dos partículas no se conserva la energía cinética de manera

general. Sin embargo, en el caso de choques entre cuerpos rígidos puede

aproximarse que la disipación de energía cinética es nula.

Relación trabajo y energía para un sistema de Partículas

En el tema de dinámica de una partícula se dedujo que el trabajo realizado por todas las

fuerzas que actúan sobre ella es igual a la variación de energía cinética de la misma. En el

caso de un sistema de partículas veremos cómo se modifica esta expresión, considerando

que pueden actuar fuerzas internas y externas. También definiremos nuevas magnitudes,

más útiles a la hora de determinar cómo un sistema intercambia energía con el exterior.

Variación de energía cinética

Imaginemos un sistema formado por dos partículas, sobre las que actúan fuerzas externas

(en verde) y fuerzas internas (en rojo)

En cada instante, la energía cinética del sistema es la suma de la energía cinética de cada

partícula; por tanto, la variación de energía cinética del sistema en un intervalo de tiempo

será E:

Aplicando para cada partícula que la variación de su energía cinética es igual al trabajo de

todas las fuerzas que actúan sobre ella:

Sumando ambas variaciones, obtenemos finalmente que:

Es importante destacar que aunque la suma de las fuerzas internas siempre es cero, no lo es

la suma de los trabajos realizados por ellas, ya que para calcular el trabajo hay que tener en

cuenta la trayectoria que describe cada partícula.

Energía propia

Teniendo en cuenta que las fuerzas internas suelen ser conservativas, por ser centrales,

el trabajo realizado por ellas se puede expresar en función de una energía potencial

asociada. Utilizando la relación anterior, queda entonces

Definimos una nueva magnitud, llamada energía propia (U) como la suma de la energía

cinética y la potencial interna:

Conviene hacer notar que la energía cinética debe estar referida a un sistema de

referencia inercial, ya que se calcula a partir de las velocidades. Sin embargo, la energía

potencial interna es independiente del sistema de referencia, ya que sólo depende de las

distancias relativas entre las partículas.

Conservación de la energía

En términos de la energía propia, el trabajo de las fuerzas externas es:

Podemos distinguir tres casos:

Sistema aislado (no actúan fuerzas externas): el trabajo de las fuerzas externas es nulo de lo

que se deduce que en un sistema aislado la energía propia se conserva

Las fuerzas externas son conservativas: en este caso el trabajo de dichas fuerzas se expresa

en función de una energía potencial externa Sustituyendo:

La energía mecánica de un sistema es la suma de la energía cinética, la potencial interna y

la potencial externa.

Entonces, cuando las fuerzas internas y externas son conservativas, la energía mecánica del

sistema se conserva.

Actúan fuerzas de rozamiento (no conservativas): en el término del trabajo de las fuerzas

externas hay que considerar también el trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento, y la

expresión final queda.

Es decir, cuando actúan fuerzas de rozamiento, la variación de energía mecánica es igual al

trabajo de las fuerzas de rozamiento.

Colisión (Choque)

El choque se define como la colisión entre dos o más cuerpos. Entre ellos actúan fuerzas

internas que hacen que su momento lineal y su energía varíen, produciéndose un

intercambio entre ellos de ambas magnitudes.

Es preciso recalcar que, para que se produzca una colisión, no es necesario que los cuerpos

hayan estado físicamente en contacto en un sentido microscópico; basta que se aproximen

lo suficiente como para que haya habido interacción entre ellos

La característica fundamental de una colisión es que las fuerzas que determinan lo que

ocurre durante la misma son únicamente fuerzas internas (de interacción entre los distintos

cuerpos que colisionan).

Como consecuencia de este hecho la velocidad del centro de masas del sistema durante la

colisión va a ser constante ya que la aceleración del centro de masas es producida

únicamente por las fuerzas externas que actúan sobre el sistema.

En todo choque el momento lineal total del sistema se conserva

Momento lineal en una colisión

El momento lineal de un sistema de partículas es igual al momento lineal de su centro de

masas. Como durante una colisión éste es constante,

La ecuación anterior es una ecuación vectorial y como tal hay que utilizarla al analizar un

choque entre partículas.

Choque elástico

Un choque elástico es aquél en que las fuerzas internas no hacen trabajo. De la ecuación

anterior se deduce que en este caso la energía cinética del sistema de partículas se conserva

durante el choque. Para el caso de una colisión entre dos partículas representado en la

figura anterior se tiene entonces:

Un ejemplo típico de colisión elástica lo constituye el choque de las bolas de billar. Puesto

que éstas son rígidas no cambian de forma, y por tanto las fuerzas internas no hacen trabajo.

El choque de las bolas de billar es elástico. Durante un choque elástico se conservan el

momento lineal y la energía cinética.

Choque inelástico

En un choque inelástico las fuerzas internas hacen trabajo, por lo que la energía cinética del

sistema ya no permanece constante, aunque el momento lineal sigue conservándose. Si el

trabajo de las fuerzas internas es negativo, la energía cinética del sistema disminuirá

durante la colisión.

Cuando un automóvil choca contra un obstáculo se deforma, por lo que las fuerzas internas

hacen trabajo y el choque es inelástico. La energía cinética disminuye.

El grado de inelasticidad de un choque viene determinado por el coeficiente de restitución:

Que puede tomar valores entre cero y uno. Para un choque elástico e = 1 y para uno

totalmente inelástico (las masas quedan unidas después del choque) e = 0.

Dinámica de un Cuerpo Rígido

Un cuerpo rígido no es más que un sistema de partículas donde las distancias entre ellas

permanecen invariables, por lo tanto aplica todo lo de un sistema de partículas que ya

conocemos. La rigidez del cuerpo introduce simplificaciones a la descripción del

movimiento de ese sistema de partícula pues no es necesario conocer las posiciones ni el

movimiento de cada una de ellas, sino que el movimiento de unas pocas determina el de

todas.

Cuerpo rígido continuo: Este es un concepto idealizado donde nos olvidamos de las

partículas reales que componen el cuerpo, los átomos o moléculas, y el cuerpo es

reemplazado por un continuo de masa donde las "partículas" son elementos infinitésimos de

volumen "dv" que tiene alguna cantidad de masa también infinitesimal "dm".

La rigidez se establece aquí manteniendo constantes las distancias entre los puntos de este

cuerpo. Esta es otra idealización porque en la vida real no existen cuerpos rígidos. Todos

los cuerpos son deformables en alguna medida.

Un cambio arbitrario de posición de un cuerpo rígido en el espacio puede siempre ser

reducido a una traslación paralela seguida de una rotación en torno a un eje fijo.

Cuando un cuerpo tal como una lámina se mueve sobre un plano fijo, el ángulo que el

cuerpo gira se define entre alguna línea fija en el cuerpo con alguna línea fija en el plano.

ROTACIÓN PURA Y TRASLACIÓN PURA

Un cuerpo se traslada cuando todos sus puntos se mueven paralelamente y con la misma

velocidad, tal como se ilustra en la figura 1a. Un cuerpo rota cuando todos sus puntos giran

alrededor de un mismo eje (llamado eje de rotación) con la misma velocidad angular, tal

como se ilustra en la figura 1b (en este caso el eje de rotación es perpendicular al plano

representado por la hoja de papel que estamos observando y pasa por el punto O). En

general el movimiento del cuerpo será una combinación de ambos.

Cuando el cuerpo está en traslación pura (o cuando el interés es en analizar su movimiento

de traslación), se puede asumir como si fuera una partícula. Son ejemplos:

Un esquiador deslizándose por una montaña (figura 2a).

Un ciclista trasladándose (en cuyo caso no hay interés en lo que pasa con la bicicleta,

sino con el sistema como un todo - figura 2b -).

El análisis de la traslación de la Tierra alrededor del sol (en este caso la Tierra se

consideraría una partícula).

En el caso de querer estudiar la rotación del cuerpo no se puede asumir como una partícula.

En la figura 3a se ilustra la rotación del planeta Tierra alrededor de su eje (eje que pasa por

los polos). En la figura 3b se ilustra la transmisión de movimiento de rotación entre dos

piñones.

Un cuerpo sólido rígido realiza un movimiento de traslación cuando, considerando un

segmento entre dos puntos A y B del cuerpo, éste se mantiene siempre paralelo a sí mismo,

durante todo el movimiento. Considerando el cuerpo rígido como un conjunto continuo de

puntos materiales, cada punto material describirá, en el movimiento, una trayectoria

determinada y a todos los demás puntos materiales describirán trayectorias equidistantes

entre sí.

Si la traslación es rectilínea, las trayectorias son rectas y paralelas entre sí (equidistantes), y

si la traslación es curvilínea, las trayectorias de los puntos materiales son curvas planas o

alabeadas equidistantes entre sí.

Ejemplos:

En un sólido en movimiento de traslación todos sus puntos tienen la misma velocidad

instantánea y la misma aceleración instantánea.

Se dice que un sólido rígido está animado de un movimiento de rotación alrededor de un eje

fijo cuando todos sus puntos describen trayectorias circulares centradas sobre dicho eje y

contenidas en planos normales a éste.

El eje de rotación puede atravesar el cuerpo o ser exterior al mismo; en el primer caso, los

puntos del sólido que están sobre el eje permanece en reposo en tanto que los demás puntos

describen circunferencias en torno al eje; en el segundo caso, todos los puntos del sólido

están en movimiento circular alrededor del eje exterior al sólido. En cualquier caso, la

velocidad "v" de un punto "P" del sólido será tangente a la circunferencia descrita y, en un

instante dado, tendrá un módulo tanto mayor cuanto mayor sea la distancia del punto al eje

de rotación.

Dicha velocidad viene dada por

El módulo de la velocidad, es decir, la celeridad, es

pero se verifica que ds = rd?, midiéndose el ángulo en radianes (rad), de modo que

El cociente d?/dt recibe el nombre de velocidad angular y se designa por ?:

y podemos expresar la velocidad "v" de cualquier punto del sólido como el producto de la

velocidad angular por la distancia "r" del punto al eje de rotación. Designando por "?" la

velocidad angular, podemos escribir

La introducción del concepto de velocidad angular es de gran importancia por la

simplificación que supone en la descripción del movimiento de rotación del sólido, ya que,

en un instante dado, todos los puntos del sólido poseen la misma velocidad angular, en

tanto que a cada uno de ellos le corresponde una velocidad que es función de su distancia al

eje de rotación. Así pues, la velocidad angular caracteriza al movimiento de rotación del

sólido rígido en torno a un eje fijo. La celeridad o velocidad angular se mide en radianes

por segundo (rad/s)

Tipos de movimientos de cuerpos rígidos

Movimiento de Traslación

Es el movimiento en que todas las partículas del cuerpo describen trayectorias iguales.

El movimiento de traslación de un cuerpo rígido queda descrito por el movimiento de

cualquiera de sus partículas, generalmente este punto es su c.m. (centro de masa)

Dinámica del movimiento de traslación.

El movimiento de traslación queda determinado por la ecuación:

Dónde: son la aceleración y la

Velocidad del c.m. del cuerpo de masa M.

Si el cuerpo rígido está aislado, es decir, entonces se debe cumplir:

Para el movimiento de traslación del cuerpo rígido, se tiene que la energía cinética está

dada por:

ó

ó y

ó ó

Movimiento de Rotación

Es el movimiento de un cuerpo rígido en el cual todas sus partículas describen

trayectorias circulares respecto de un eje común, con la misma velocidad angular. El

movimiento de rotación, respecto de un eje fijo en el espacio, de un cuerpo rígido queda

descrito por el movimiento circular de cualquiera de sus partículas.

El eje de rotación puede atravesar el cuerpo o ser exterior al mismo; en el primer caso,

los puntos del cuerpo rígido que están sobre el eje permanece en reposo en tanto que los

demás puntos describen circunferencias en torno al eje; en el segundo caso, todos los

puntos del cuerpo rígido están en movimiento circular alrededor del eje exterior al cuerpo.

En cualquier caso, la velocidad v de un punto P del cuerpo será tangente a la circunferencia

descrita y, en un instante dado, tendrá un módulo tanto mayor cuanto mayor sea la distancia

del punto al eje de rotación. Dicha velocidad viene dada por

Siendo un vector unitario de módulo igual a la unidad tangente a la trayectoria y v el

módulo de la velocidad. Téngase en cuenta que necesariamente cambiará a lo largo del

movimiento, ya que irá continuamente modificando su dirección hasta llegar de nuevo a la

orientación original, tras completar un giro de radianes.

Dinámica del movimiento de Rotación

Dado un sólido rígido que rota alrededor de un eje, la velocidad lineal v de una partícula se

puede expresar a partir de la velocidad angular ω:

Mientras que la aceleración a es:

Si el sólido rígido además de rotar alrededor de un eje tiene un movimiento adicional de

traslación con velocidad instantánea V entonces las fórmulas anteriores deben substituirse

por:

Movimiento de Roto-traslación

Es el movimiento del cuerpo rígido obtenido de la combinación simultánea de los

movimientos de traslación y de rotación. La descripción de este movimiento se establece en

tres etapas:

a) Se describe el movimiento de traslación por medio del movimiento del c.m.

b) Se describe el movimiento de rotación del cuerpo respecto del c.m.

c) Con ayuda de las ecuaciones de transformación de los parámetros cinemáticos y

dinámicos entre un SRI y el c.m. se logra la descripción del movimiento del cuerpo

rígido respecto del SRI.

Dinámica del movimiento de Roto-traslación

El c.m. de un cuerpo rígido es el punto cuya posición es:

Donde es la posición del elemento de masa dm del cuerpo cuya masa es M y cuyo

volumen es V.

Si la densidad de masa del cuerpo es entonces: donde dV es

el elemento de volumen del elemento de masa dm, por lo que:

Trabajo y Energía para cuerpos rígidos

Si el Cuerpo Rígido se está trasladando, su energía cinética se expresa por

Si el Cuerpo Rígido está rotando, su energía cinética se expresa por

Si el Cuerpo Rígido está trasladándose y rotando, entonces su energía cinética está

expresada por

Aplicando el teorema de Trabajo y Energía para un Cuerpo Rígido, se tiene

Equilibrio de cuerpos rígidos

Cuando las fuerzas están actuando sobre un cuerpo rígido, es necesario considerar el

equilibrio en relación tanto a la traslación como a la rotación. Por tanto se requieren las

condiciones siguientes:

1) Primera condición (Equilibrio de traslación): La suma de todas las fuerzas debe ser cero.

2) Segunda condición (Equilibrio Rotacional): La suma de momentos con respecto a

cualquier punto debe ser cero.

Ejercicios resueltos

Ejemplo de Movimiento rotación. Reproductor de discos compactos

Ejemplo de Movimiento Traslación.

Ejemplo de Equilibrio de Cuerpos rígidos.

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