UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA

Matemática

Aplicación de Matrices y Determinantes

Medina Hidalgo Raúl Clemente C.I. 19008216321

24 de octubre del 2014

Aplicación de Matrices y Determinantes

Introducción

La matriz es un conjunto rectangular de elementos que se representan encerrándolos

dentro de un paréntesis. Las determinantes es una función exclusiva de las matrices cuadradas y

son muy útiles para estudiar más a profundidad las matrices, un determinante es un número real

asociado mediante la función determinante. Las matrices tiene una amplia gama de utilidades,

entre las que destacan está la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, la propiedad de estas

de despejar incógnitas mediante razonamiento y aplicación de matemáticas elementales las ha

hecho meritorias de su ampliado uso en diferentes áreas, como economía, arquitectura,

ingeniería, construcción, etc.

Análisis

Una matriz es un conjunto de números con forma cuadrada o rectangular, con a como

valor constante, n de columnas y m de filas, cada número trae por nombre elemento de la matriz

2x2 3x3 m x n

Las matrices se las emplea principalmente como método de solución para sistemas de ecuaciones

lineales, convirtiendo estos de su expresión algebraica a una matriz aumentada.

Sistema lineal Matriz aumentada

Las matrices se pueden sumar o restar siempre y cuando tengan la misma cantidad de filas y

columnas o mejor dicho, dimensión.

Si A = [a ij] B = [b ij] matrices de la misma dimensión y teniendo c como cualquier número real

Suma.- la suma A + B es la matriz m x n obtenida al sumar sus elemento correspondientes

A = 5 3 B = 4 6 A+B = 9 9

2 1 3 2 5 3

Resta.- la resta A – B es la matriz m x n obtenida al restar los elementos de las matrices

0correspondientes, tal como en el ejemplo anterior pero sustrayendo

a11 a12

a21 a22

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 A32 a33

a 11 a 12 … a 1n

a 21 a 22 … a 2n

... … … … a m1 a m2 … a mn

3x - 2y + z = 5 x + 3y – z = 0 -x + 4z = 11

3 -2 1 5 1 3 -1 0 -1 0 4 11

Nota: si no hay variables

en el sistema lineal se

reemplaza con “0” en la

matriz aumentada

A = 5 3 B = 4 6 A-B = 1 -3

2 1 3 2 -1 -1

Producto.- el producto en las matrices se puede dar de dos maneras, sea para un número

real c o para otra matriz, siempre y cuando la cantidad de filas y columnas de esta lo permita.

A = 4 8 c = 3 Ac = 12 24

2 3 6 9

A = 3 2 B = 1 3 A*B = (3+6) (9+4) = 9 13

1 4 3 2 (1+12) (3+8) 13 11

Una determinante es un número real asociado a una matriz cuadrada (2x2, 3x3, 4x4 etc.)

a b 1 4

c d = ad – bc 2 6 = 1*6 – 4*2 = 2 determinante = 2

Desarrollo

Para resolver la matriz se puede emplear el método más común conocido como método

de eliminación de “Gauss-Jordan” (el método “Gauss” solo consiste en convertir a 0 las cifras

inferiores a la forma escalonada) que consiste primero en convertir el número superior izquierdo a

1 y los números que están bajo este a 0, en la segunda fila o renglón, el número que está a la

derecha del uno se lo convierte en uno también, así mismo los números superiores e inferiores se

los convierte a 0, así sucesivamente hasta completar la forma escalonada. Para la eliminación de

Gauss se necesita conocer las reglas básicas de las operaciones en los renglones o filas, citadas a

continuación:

1.- Sumar un múltiplo de un renglón a otro

2.- multiplicar un renglón por un número diferente a 0, y, si el caso requiere sumar el resultado al

renglón que lo requiera

3.- intercambiar los renglones.

En ocasiones se necesita determinar la cantidad de material a emplear y el costo del mismo, o se

necesita calcular las cantidades nutricionales que se va a aportar, a continuación, se presenta un

ejemplo de aplicación de matrices en un problema de tipo nutricional.

Ejemplo de aplicación. Método de eliminación Gauss-Jordan (tomado de: Pre cálculo Matemática

para el cálculo, James Stewart)

Análisis nutricionales usando un sistema de ecuaciones lineales

Un nutriólogo está ejecutando un experimento con estudiantes voluntari os. Desea

alimentar a uno de sus individuos con una dieta diaria que consiste en una combinación de tres

alimentos comerciales dietéticos: Minical, LiquiFast y SlimQuick. Por lo que se refiere al

experimento, es importante que la persona consuma todos los días exactamente 500 mg de

potasio, 75g de proteína y 1150 unidades de vitamina D. Las cantidades de estos nutrientes en una

onza de cada alimento se proporcionan en la tabla, ¿Cuántas onzas de cada alimento debe de

comer la persona todos los días para que cumpla con las cantidades exactas de los nutrientes?

MiniCal LiquiFast SlimQuick

Potasio (mg) 50 75 10 Proteína (g) 5 10 3 Vitamina D (unidades) 90 100 50

Sean x, y y z Las cantidades de los productos nutricionales a consumir, sería 50x mg de potasio del

MiniCal, 75y mg de LiquiFast y 10z mg de SlimQuick, para tener un total de 50x + 75y + 10z mg de

potasio en total, puesto que requerimos 500 mg de potasio, tenemos la primera ecuación,

hacemos lo mismo con el resto de valores dándonos:

Al dividir la primera ecuación para 5 y la tercera

para 10 obtenemos el sistema siguiente

10x + 15y + 12z = 500

5x + 10y + 3z = 75

9x + 10y +5z = 1150

Matriz aumentada Resolución mediante eliminación Gauss-Jordan

Conclusiones y recomendaciones

La resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices resulta interesante al

limitarse a operaciones elementales de las matemáticas y al razonamiento lógico.

El uso de matrices para la resolución de sistemas de ecuaciones resulta producente, acorta

y simplifica el proceso de despeje de variables.

Es recomendable utilizar las matrices y determinantes para la resolución de problemas de

aplicación, incentiva al razonamiento, además de resultar, de cierta manera, desafiante,

pero algo entretenida.

Bibliografía

- Educar Editores Ltda. (1982). MemoFichas Matemática. Librería Selecciones, S.A. Quito

Ecuador.

- James Stewart, Lothar Redlin y Salem Watson. (2017). PreCalculo Matemáticas para el

cálculo. CENGAGE Learning.

- Richard N. Aufmann y Joanne S. Lockwood. (2013). Algebra Intermedia. CENGAGE

Learning.

50x + 75y + 10z = 500 Potasio 5x + 10y + 3z = 75 Proteína 90x + 100y +50z = 1150 Vitamina D

10 15 2 100 5 10 3 75 9 10 5 115

1 0 0 5 0 1 0 2 0 0 1 10

Mediante la eliminación Gauss-

Jordan en la matriz aumentada

obtenemos. Por tanto…

X = 5 Y = 2 Z = 10

MiniCal: 725

LiquiFast: 370

SlimQuick: 630