UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA

Matemática

Aplicación de derivadas

Medina H. Raúl C.i. 1900816321

19 de noviembre del 2014

Aplicación de derivadas

La derivación es crucial en cuanto al cálculo se refiere, pero, ¿para qué nos sirve en cálculo y las derivadas en primer lugar?

Bien, tomemos en cuenta esto, el cálculo y todo lo que conlleva se considera un paso más adelante de la matemática elemental, va más allá, por así decir; resumiendo, la matemática elemental es constante, estática, fija, mientras que el cálculo es dinámico se enfoca en momentos, movimientos, aproximaciones, etc. Por ejemplo, aplicando la matemática elemental, si quiero saber en cuanto tiempo se consumirá un cigarrillo encendido, lo podemos hacer obteniendo datos como el tiempo en que se consume 1 cm del cigarro, pero, si queremos saber en cuánto se consume si lo están fumando, la frecuencia aumenta, varía con cada inhalación, en la primera se consumió 2 cm, en la segunda, ½ cm, en la tercera 3 cm, en este caso la matemática elemental puede que se quede atrás, para este caso utilizaríamos el cálculo para determinar el tiempo en consumirse; otro ejemplo, si se va en auto del punto A al B, cuya distancia comprende 64Km, con la matemática elemental, utilizaríamos una velocidad constante para determinar valores, como tiempos, o en caso de no tenerla, la distancia… pero cuando se viaja no se mantiene una misma velocidad de principio a fin ¿o sí?, no, hay aceleraciones, retrasos, paros, y otras variaciones de velocidad, entonces para determinar los valores empleamos el cálculo.

El cálculo y derivadas, además de servir para valores variables, también ayuda para la determinación de áreas irregulares, en el caso de límites, sirve para obtener la pendiente con solo un punto, y muchos usos más. La derivación consiste en la conversión de las ecuaciones ordinarias a través del uso de las siguientes reglas de la derivación

Fig.1

Un campo donde se aplican las derivaciones de ecuaciones trigonométricas y problemas de cónicas es el campo espacial, para ser más preciso, el campo de la predicción de posicionamiento de satélites artificiales en orbitas cercanas a la tierra y superiores a los 5000km.

Algoritmos para la predicción de satélites artificiales.- Desde 1957 la cantidad de satélites lanzados al espacio ha

crecido casi de forma exponencial, dando hasta la actualidad una población de satélites aproximada de 26000. Actualmente se le realiza seguimiento a nada más que 8000 de estos satélites, puesto que el resto está fuera de órbita, de estos 8000 satélites solo 560 se encuentran en funcionamiento mientras que el resto es considerado basura espacial como se muestra en la fig.2 Para darle seguimiento a estos satélites en 1980 se desarrolló un modelo determinístico o algoritmo computacional que no requería mucho esfuerzo computacional, era el “Simple General Perturbations” o SGP.

Fig.2

Pero, en la actualidad, gracias a las mejoras computacional se implementar otros algoritmos, por ejemplo, para orbitas cercanas a la tierra se deriva del SGP el SGP4 y para orbitas superiores a los 5000 Km se deriva del SGP el SDP4. La precisión de cada algoritmo es inversamente proporcional a los incrementos de tiempo con los que se realiza el cálculo, similar a lo que ocurre con la pendiente de una curva con un solo punto.

Otro ejemplo más especificado sería el del problema de los dos cuerpos y el problema principal del satélite artificial.

El problema de los dos cuerpos.- Debido a que las ecuaciones empleadas para la determinación de la posición, fuerzas y velocidades de dichos cuerpos comprenden lo que son ecuaciones diferenciales de primer orden (mismas que por el momento son más avanzadas de lo que abarca mi comprensión) no podré ahondar mucho en la determinación de dichas ecuaciones.

Las ecuaciones indicadas en la fig.4 son ecuaciones diferenciales de primer orden, derivadas de las razones trigonométricas y matemáticas vectoriales del plano de la fig.5 Que tienen por objetivo el determinar en base a condiciones iniciales dadas una solución que permita encontrar las componentes del vector posición y velocidad para cualquier tiempo.

El problema principal del satélite artificial.- Cuando un cuerpo como el satélite está en el espacio se presentan muchas variantes como cambio de presiones, otros cuerpos aproximándose, u otros tipos de fuerza aproximándose se conoce como perturbación Des mismo modo, como se derivaron las ecuaciones para obtener las ecuaciones diferenciales de primer grado. El potencial de un cuerpo

se puede presentar mediante la expresión de la fig.6:

La primera expresión describe el comportamiento de un cuerpo en el espacio afectado solo por la fuerza gravitacional. Todas estas expresiones algebraicas de ecuaciones diferenciales de primer orden restantes están en función a un plano vectorial

Fig.3

Fig.444

Fig.5

como el de la fig.5 pero con la inclusión de una cónica que describe la trayectoria del cuerpo a estudiar, en este caso, el satélite artificial.

Saltando directamente a un ejemplo práctico, Si un satélite orbita a baja altura pero desprecia la resistencia del aire, se conoce que para el instante t=0 el vector posición y velocidad en radio terrestre son R.T.=6378. 14 y radio terrestre por dia (d) son:

Ahora, se desea determinar el valor velocidad y posición del satélite para un tiempo de 3 días a partir del tiempo inicial, empleando las ecuaciones diferenciales de primer orden indicadas en la fig.7

tomando como valor de K = 107.0926758 R.T. 3/2 /d se obtiene como resultado para t= 3.0 d los siguientes valores:

Cabe decir que todos los valores están en base a las coordenadas cartesianas de la fig.8

Conclusiones y recomendaciones.-

Es recomendable practicar constantemente la derivación, puesto que la cantidad de reglas lo ameritan, además de practicar algebra elemental para no tener problemas con la simplificación de expresiones algebraicas.

Las derivaciones son indispensables para todo campo que incluye dinamismo Los componentes tecnológicos resultaron un gran salto en el cálculo, evitando bochornosos

procesos algebraicos antes necesarios.

Bibliografía-Jose Gordillo Portilla. (1996). El problema de los dos cuerpos y el problema principal del satélite artificialen ecuaciones diferenciales de primer orden. [en línea]: Universidad nacional de Colombia Disponible en: http://www.accefyn.org.co/revista/Vol_20/76/25-32.pdf-Díaz Federico, Tinetti Fernando Gustavo, Casas Nicanor , De Luca Graciela, Martín Sergio, Giulianelli Daniel Alberto. (octubre 2013). Análisis de rendimiento del algoritmo SGP4/SDP4 para predicción de posición orbital de satélites artificiales utilizando contadores de hardware. [en

linea]. XVIII Congreso Argentino de Ciencias de la Computación. Disponible en: http://sedici.unlp.edu.ar/handle/10915/32425

Fig.7