Eremu-teorietako objetu hedatuen ezaugarri bitxiak...Unibertsoaren lehenengo momentuetan unibertsoak...

Eremu-teorietako objetu hedatuen ezaugarri bitxiak

Jakintza-arloa: Fisika

Egilea: JON URRESTILLA URIZABAL Urtea: 2003 Zuzendaria: ANA ACHUCARRO JIMÉNEZ Unibertsitatea: UPV/EHU ISBN: 978-84-8438-139-6

Hitzaurrea “Eremu-Teorietako Objektu Hedatuen Ezaugarri Bitxiak" izenburuko lana 2003. urtean amaitutako doktorego tesia da; eta lau urte beranduago hona hemen bere argitalpen digitala. Lana Euskal Herriko Unibertsitateko Fisika Teorikoaren Sailean burutu nuen, eta harrezkero atzerriko goi mailako instituzioetan jarraitu dut tesiko ildoko ideiak jorratzen. Hemen aurkituko duzun testuak, defektu topologikoak izeneko objektuak aztertzen ditu. Nahiz eta Fisikako alor ugaritan agertu, gure jarduera ikuspuntu kosmologiko batetik abiatu zen; hau da, unibertsoaren lehenengo momentuetan gertatutako prozesu Fisikoen ondorioz formatu ziren defektuen ezaugarriak aztertu genituen. Azken lau urte hauetan, esperimentu kosmologikoek datu oso zehatzak lortu dituzte, batez ere WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) izeneko esperimentuak, eta unibertsoari buruzko informazio paregabea eskaini digute. Beste alde batetik, energia altuko teoria Fisiko estandarra oso ongi aztertua izan da, eta partikula gehienak eta beraien arteko elkarrekintzak ezagunak dira. Datozen urteetan bi sail hauek, kosmologia eta energia-altuko Fisika, beste bultzada bat jasoko dute beste bi esperimentu internazionalei esker: Europako ESA-k (European Space Agency) PLANCK sateliteari esker kosmologian eta Suitzan, CERN-en (Conseil Europeen pour la Recherche Nucleaire) eraikitzen ari diren LHC (Large Hadron Collider) esperimentuari esker energia-altuko Fisikan. Unibertsoaren lehenengo momentuetan unibertsoak energi-dentsitate itzela zuenez, enegia-altuko teoria fisikoak erabili behar ditugu Unibertsoa ulertzeko. Baina nahiz eta bai modelo kosmologikoak eta bai energia-altuko fisika ezagunak eta arrakastatsuak izan, modelo kosmologikoen atzean dagoen energia-altuko fisika ezezaguna da; Unibertsoaren lehengo momentuak esplikatzeko behar ditugun energia eskalak laborategian lortutakoak baino askoz handiagoak dira. Alde batetik, unibertsoaren energia gehiena (95/energia ilunaz eta materia ilunaz osatua dago; eta ez dakigu zer diren ez bata eta ez bestea. Beste aldetik, unibertsoaren lehen momentuak esplikatzeko dugun modelo fisiko onenetarikoek, partikula supersimetrikoak aurresaten dituzte, eta esperimentu kosmologikoetan ez dugu partikula supersimetriko horien aztarnarik aurkitu. Bi sail horien arteko zubia dira defektu topologikoak. Unibertso primitiboa ulertzeko erabiltzen diren hainbat modeluek defektu topologikoak aurresaten dituzte, eta defektuen eragina esperimentu kosmologikoetan neur daitezke. Gaur egun, Unibertso primitiboko fisikaren ikerketa gai oso bizia da, eta hemen argitaratutako tesiaren ondorioak puzzlearen pieza txiki bat dira.

Euskal Herriko Unibertsitatea

Fisika Teorikoaren eta Zientziaren Historiaren Saila

Eremu-Teorietako Objektu Hedatuen

Ezaugarri Bitxiak

Euskal Herriko Unibertsitateko

Ana Achucarro Jimenez irakasleak

zuzenduriko lana

Jon Urrestilla Urizabal

Fisikan Doktore-gradua

lortzeko aurkezturiko Txostena

Zuentzat,

ama eta aita

Muxu bat, Miren Josu

Esker Onak

Lehendabizi eta batez ere, nire tesi zuzendaria den Ana Achucarro eskertu nahi dut, tesi

honetan eskaini didan laguntza eta babesagatik. Fisika/akademia munduan zeharreko

gidari ezin hobea izan da, eta are lagun hobea. Gracias Ana. Koen, Marta eta Teresa

Kuijken ere eskertu nahi ditut, elkartu garen guztietan etxean bezala sentiarazi nautelako.

Oso gustokoa izan dut Anne-Christine Davis, Julian Borrill, Andrew R. Liddle eta Michael

Pickles ikertzaileekin lan egitea; tesi honetan aurkeztutako emaitzak beraiekin egindako

elkarlanaren ondorio dira.

Nire esker ona Inigo L. Egusquizarentzat eta Josu M. Igartuarentzat da baita ere; beren

laguntzarik gabe tesiaren euskal bertsioa, eta beste hainbat gauza, askoz ere zailagoak

suertatu izan bailitzaizkidake. Tanmay Vachaspati ere eskertu nahi nuke, 3.1 soka elek-

troahulen egonkortasun irudiagatik.

Beraiekin lan egiteko aukera eman didatelako, esker mila University of Sussex-eko Centre

for Theoretical Physics eta the Astronomy Centre zentroei; Lawrence Berkeley Natio-

nal Laboratory-ko National Energy Research Scientific Computing Center eta University

of California at Berkeley-ko Center for Particle Astrophysics zentroei; Rijksuniversiteit

Groningen-eko Institute for Theoretical Physics institutuari; eta Universiteit Leiden-eko

Lorentz Institute for Theoretical Physics institutuari.

Mila esker baita ere Euskal Herriko Unibertsitateko Fisika Teorikoaren Sailari eta Juan

Luis Manesi beren laguntzagatik, eta ikasle baten bizimodua errazteagatik; batez ere gai-

nontzeko bekadunei: Ruth Lazkoz, Itsaso Olasagasti, Jose Marıa Martınez, Luis Gonzalo,

Rodolfo del Moral, Andres D. Baute eta Alfonso J. Garcıa-Parrado. Beste departamentuko

pertsona batzuk ere aipatu nahi ditut, benetan merezitako kafetxoak elkarrekin hartzean

igarotako uneengatik: Eider Landa, Estibaliz Apinaniz, Ana Garcıa, Arantzazu Garcıa

eta Elena Rodrıguez.

Tesi hau burutzeari esker lortu dudan gauzarik garrantzitsuenetarikoa ezagutu ditudan

lagunak izan dira. Batzuekin harremanetan nago oraindik, eta beste batzuekin dudan adis-

kidetasuna ximelduz doa denboraren poderioz; baina, akademikoki edota ez-akademikoki

beren laguntza nabari izan dut behar izan dudanean:

Sally&Dave Stevens, Claire Eckman, Jose Angel Hernando, Felix Busque, Marıa Jose

Costa, Louise Griffiths, Igor Villareal, Ainhoa Elices, Guillermo Menendez, Monica Luna,

Manuel Sanguesa, Lide M. Rodrıguez, Nicole R. Rauch, Peter H. Nalbach, Eike Zim-

mermann, Andrew G. MacPhee, Manel Luque, Raquel Serrano, Ara H. Merjian; Beatriz

de Carlos, Mark Hindmarsh, Roberto Emparan, Mairi Sakellariadou, Filipe Freire, Nu-

no Antunes, Luis Bettencourt; Francesca Pozzi, Alberto Calesini, Astrid Wachter, Silvia

Pascoli, Neil McNair, Marıa Eugenia Angulo, Jayesh De Silva, Yaiza Schmohe, Jordan

Morton, Kevin Mc Louhlin, Fernando Santoro, Majd Ranjous; Alix Y. Alfonso, Patri-

cia Eguino, Marina Gastesi, Isabel Pastora Lopez, Javier Barrionuevo, Ohiana Molina,

Ana Gutierrez, Oihane Lakar; Olalla Castro, David Ali, Christopher A. Johnson, Miguel

Aguado, Lorenzo Cazon, Veronica Sanz, Jonathan Esole, Giuseppe de Risi. . .

Lagun berri horiez gain, betiko lagunak hor izan ditut laguntzeko prest ere, eta nire al-

darte-aldaketak pairatu dituzte estoikoki urte hauetan: UEUko fisika saileko kideak, Lu-

rra Dantza Taldea, Maier Rodrıguez, Junkal Fernandez, Xabier Lizarralde, Txema Tena,

Olatz Holgado, Ane Miren Ormazabal, Agurtzane Albisua, Christiane Koch, Kristina Zu-

za, Fernando Morillo, Silvia Arrese-Igor, Olatz Adarraga, Eba M. Karraskal, Inigo Arregi,

Oier Bikondoa, Aitor Mugarza, Marta Pazos, Vivian L. Mancebo. . .

Azkenik, nire benetako eskerrik beroenak Bakko eta nire familiarentzat. Beren laguntza

ez da akademikoki hain lagungarria suertatu; baina, askoz ere beharrezkoa izan da, batez

ere momentu txarretan. Eskerrik asko kanpoan nengoenean zuen ondoan egon ezin izana

ulertzeagatik. Lan hau ezin izango nukeen burutu eman didazuen indarrarik gabe.

Och en kram till min bastis.

AURKIBIDE OROKORRA

Gainbegirada 5

1 Defektu topologikoak 7

1.1 Sarrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Defektuak eremu-teorian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.2 Defektuak Kosmologian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Higgs eredu trukakorra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.1 Nielsen-Olesen zurrunbiloa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.2 Nielsen-Olesen zurrunbiloaren egonkortasuna . . . . . . . . . . . . . 21

1.3 Soka erdilokalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.1 Soka erdilokalen egonkortasuna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Monopolo globalak 31

2.1 Sarrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Eredua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3 Egonkortasun erradiala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Egonkortasun angeluarra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.1 r finkoko perturbazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.2 r finkoko zenbakizko simulazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1

2

2.4.3 Belavin-Polyakov monopoloa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.4.4 r guztietarako simulazioa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4.5 Energia-langaren kalkulua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.5 Perturbazio txikiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.5.1 Ekuazioen lorpena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.5.2 Ekuazioen analisia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.6 Potentzial orokorragoak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.7 Ondorioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3 Dumbbell-ak 77

3.1 Sarrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2 Eredua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.3 Soka elektroahulak eta dumbbell-ak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.4 Zenbakizko simulazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.5 Emaitzak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.6 Ondorioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4 Defektuak eredu supersimetrikoetan 95

4.1 Sarrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.2 Superaljebra eta (super)multipleteak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.2.1 Superaljebra eta karga topologikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.3 N=1 Higgs motako eredu supersimetrikoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.3.1 N=1 kasurako huts-aukeratzearen efektua . . . . . . . . . . . . . . 105

4.3.2 Huts-aukeratzearen efektua Bogomol’nyi-ren bornetik at . . . . . . 110

4.3.3 N=1 Supersimetria-apurketa biguneko masa-gaiak . . . . . . . . . 115

4.4 N=2 QED supersimetrikoa – Bosoiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3

4.4.1 N=2 kasurako huts-aukeratzearen efektua . . . . . . . . . . . . . . 118

4.4.2 N=2 Supersimetria-apurketa bigunerako masa-gaiak . . . . . . . . 121

4.5 N=2 QED supersimetrikoa – Fermioiak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.5.1 Modu nulu fermioidarrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.5.2 Higidura-ekuazio fermioidarrak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.6 Ondorioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Bibliografia 137

A Hitzarmenak 143

A.1 Hitzarmenak supersimetrian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

B Sine-Gordon eredua 147

C Translazio-modu nulua 151

D Eredu elektroahularen higidura-ekuazioen diskretizazioa 153

E Sare-loturaren aldagaien metodoa 159

E.1 Lotura-aldagaien bidezko hamiltondarraren diskretizazioa . . . . . . . . . . 159

E.2 Eredu erdilokaleko simulazioak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Gainbegirada

Zenbait eredu fisikoetako defektuen ezaugarriak deskribatu ditugu tesi honetan. Hemen

aurkezturiko lana ondoko ikertzaileekin batera burutu dut: nire zuzendari den Ana Achu-

carro; eta Julian Borrill, Anne-Christine Davis, Andrew R. Liddle eta Michael Pickles.

Berezko simetri-apurketa emango den eremu-teorietan sortuko diren objektuak dira defek-

tuak; hau da, energia-kontzentrazio edota karga-kontzentrazio handiagoa duten espazio-

-denborako zonaldeek osatzen dituzten objetu hedatu iraunkorrak. Fisikako alor ugaritan

agertuko dira; adibidez, soka-teorian, kosmologian eta materia kondentsatuaren fisikan.

Zenbait teoriatan, argudio topologikoek defektu topologikoen eraketa aurresango dute.

Horiez gain, defektu ez-topologikoak ager daitezke. Azken horien izatea eta portaera ezin

da a priori jakin; eta, dituzten propietateak ezagutzeko, beren dinamika aztertu beharra

dago. Zenbait testuingurutako bai defektu topologiko zein ez-topologikoen deskribapena

eman dugu sarreran (1. kapitulua). Deskribapena literaturako hainbat artikulu, review

eta liburuetan oinarritu dugu.

Defektu topologiko mota bat aztertu dugu 2 kapituluan: O(3) monopolo globalak, hain

zuzen ere. Ikusiko dugunez, monopolo globalen azterketa garrantzitsua da, propietate ha-

rrigarriak aurkituko baititugu. Ondorengo artikuluko emaitzak aurkituko ditugu kapitulu

horretan

’Stability of global monopoles revisited’

Ana Achucarro and Jon Urrestilla

Phys. Rev. Lett. 85, 2091 (2000); hep-ph/0003145

5

6

Baita soka erdilokaletarako ere garrantzitsua da monopolo globalen dinamika. Soka erdi-

lokalek muturrak izan ditzateke, ez-topologikoak baitira; hain zuzen ere, soka erdilokalen

muturretan monopolo globalak daude. Soka erdilokalen deskribapena ondoko erakoa izan

daiteke: eredu elektroahuleko limite jakinean murgildutako soka kosmikoak (topologikoak

direnak); zehazki, SU(2) gauge-eremuak bananduko diren limitean. Limite horretatik

kanpoko sistemaren portaera aztertu dugu 3. kapituluan; eta dummbell-sarearen –soka

elektroahulen segmentu-sarearen– izatea eta iraunkortasuna ikertu dugu. Emaitza horiek,

kolaboratzileekin burututako lanean lortu genituen, eta ondoko artikuluan argitaratuta

daude:

’The evolution and persistence of dumbbells’

Jon Urrestilla, Ana Achucarro, Julian Borrill and Andrew R. Liddle

JHEP 08, 033 (2002); hep-ph/0106282

Soka kosmikoak (eta soka erdilokalak) eredu supersimetrikoetan murgildu daitezke. De-

fektuen egitura askoz aberatsagoa da eredu horietan. Alde batetik, potentzial eskalarrak

norabide laukoa da, orokorrean; eta, beraz, ez dago argi defektuak zein funtsezko egoe-

ratan sortuko diren. Beste alde batetik, fermioiak era naturalean agertuko dira eredu

supersimetrikoetan; eta fermioien eragina garrantzitsua izan daiteke sokaren propieta-

teetarako. Teoria supersimetrikoetako objektu hedatuen propietateak aztertu ditugu 4.

kapituluan, eta bai soka kosmikoak zein erdilokalak aurkitu ditugu. Kapitulu horretako

ikerketa honako hiru artikuluetan aurkitu daiteke

’Vortices in theories with flat directions’

Ana Achucarro, Anne-Christine Davis, Michael Pickles and Jon Urrestilla

Phys. Rev. D 66, 105013 (2002), hep-th/0109097

’Nielsen-Olesen strings in SUSY theories’

Michael Pickles and Jon Urrestilla

JHEP 01, 052 (2003), hep-th/0211240

’Fermionic zero modes in a supersymmetric N=2 model’

Ana Achucarro, Anne-Christine Davis, Michael Pickles and Jon Urrestilla

hep-th/0212125, submitted to Phys. Rev. D

1. KAPITULUA

Defektu topologikoak

1.1 Sarrera

Gaur egungo fisikaren helburu nagusietako bat da, fisikaren arau guztiak bateratzen dituen

teoria lortzea, eskala azpiatomikoetatik eskala kosmologikoetara. Simetria apurtzen duten

fase-trantsizioak dituzten teorien bidez indar nuklear ahula eta elektromagnetikoa, eta

hein haundi batean, nuklear bortitza, bateratzen badakigu. Hortaz, unibertsoa Big-Bang

berotik hasi eta hoztuz doan neurrian, simetria apurtzen duten fase-trantsizioak izan

dituela uste dugu.

Simetria apurtzen duten fase trantsizioak dituzten teoriek, soluzio ez-barreiakor, klasikoak

eduki ditzakete, “defektuak” deritzenak. Nahiz eta materia kondentsatuko sistemetan

defektuak ikusi diren, partikulen fisikan oraindik ez da mota horretako soluziorik neurtu.

Partikulen fisikan soluzio klasiko, ez-barreiakorrak daudenentz erantzunik gabeko galdera

da oraindik.

Sistema batean defekturen bat detektatzeak, sistemari buruzko informazio baliagarria

emango liguke. Defektua soluzio ez-perturbagarria denez, teoriaren egitura ez-perturba-

garriari buruzko informazio gureganatuko genuke. Defektu topologikoak egoteak, teoriaren

topologiari buruzko informazioa emango liguke, baita sakabanaketa-esperimentu pertur-

bagarrien bidez aztertu ezin daitezkeen hainbat propietate ere. Bestalde, defektu ezak,

7

8 Defektu topologikoak

gaur egungo teoria fisikoen berraztertzea derrigortuko luke. Gainera, defektuak testuin-

guru fisiko ezberdin askotan agertzen direnez, azeleragailuetako esperimentuen, materia

kondentsatuaren eta kosmologiaren arteko lotura izan litezke.

Kapitulu honetan, defektuen oinarrizko propietateak aztertuko ditugu bai eremu-teorian

bai kosmologian. Ondoren, defektuen bi adibide jorratuko ditugu, Higgs eredu trukakorra

eta eredu erdilokala, bidean aurrerago erabiliko ditugun hainbat kontzeptu azalduz.

1.1.1 Defektuak eremu-teorian

Atal honetan defektuak eremu-teorian nola agertzen diren aztertuko dugu. Oinarrizko

propietateak ulertzeko, eredu erraz batekin hasiko gara [28, 58, 98].

Demagun

L = (∂tφ)2 − (∂xφ)2 − V (φ) (1.1)

lagrangear dentsitateak deskribatzen duen espazio-dimentsio batean eta denbora-dimen-

tsio batean bizi den φ eremu eskalar bakarreko teoria1, non

V (φ) = λ(

φ2 − η2)2

(1.2)

potentziala den. (1.1) lagrangearrak Z2 simetria du, φ → −φ aldaketak lagrangearra

berdin uzten duelako.

φ eremuaren higidura-ekuazioa

∂µδL

δ(∂µφ)+δL∂φ

= 0 ⇒

∂ttφ = ∂xxφ− 2λφ(

φ2 − η2)

(1.3)

da, eta sistemaren energia

E =

∫

dx[

(∂tφ)2 + (∂xφ)2 + V (φ)]

. (1.4)

Energia erdidefinitu positiboa (E ≥ 0) da argi eta garbi, eta energia nulua da eremua

φ(t, x) = η edo φ(t, x) = −η denean.

1A eranskinean, lan honetan erabilitako hitzarmenak deskribatu ditugu

1.1 Sarrera 9

Energia finitudun soluzioak nahi baditugu, infinituan (x = ±∞) eremuak potentzialaren

minimo batean egon behar duela ikus dezakegu

Vmin = V (φ = η) = V (φ = −η) = 0 , (1.5)

baina ez du minimo berean egon behar. Adibidez, infinituan

φ(−∞) = −η , φ(∞) = η , edo (1.6)

φ(−∞) = η , φ(∞) = −η (1.7)

balioa duten konfigurazioek energia finitukoak dira baita ere. Higidura-ekuazioak ebatziz,

muga baldintza horiek beteko duten konfigurazio estatikoak lor daitezke

φ±(x) = ±ηtanh(√ληx) , (1.8)

non + ikurrak (1.6) kink soluzioari dagokion, eta − ikurrak (1.7) anti-kink soluzioari. Bi

soluzio horiek energia berekoak dira, hots,

E± =

∫

dx[

(∂xφ±)2 + V (φ±)]

=8

3

√λη3 . (1.9)

1.1 irudia: Kink soluzioa (φ+) eta dagokion energia λ = η = 1 kasurako. Energia gehienbat

x = 0 inguruan dago, kink soluzioaren muinean.

kink soluzioaren profila eta dagokion energia dentsitatea adierazi ditugu 1.1 irudian. Kink-

ak φ(−∞) = −η eta φ(∞) = η balioen bitarteko balioak ditu, eta funtzio jarraitua da.

Beraz, φ = 0 baliotik pasatzen da eta, ondorioz, energia potentziala bereganatuko du.


Energia gehiena x = 0 inguruan metaturik dago (E(0) = Emax = 2√λη3); ingurune hori

defektuaren muina (core) dela esan ohi da.

Gure sistema aldaezintasun espazialekoa denez, φ = −η baliotik φ = η baliorako aldaketa

x aldagaiaren edozein baliotan gerta daiteke (ez bakarrik x = 0 puntuan), baina φ eremua

derrigorrean potentzialaren minimoak ez diren balioak hartu behar ditu; hau da, energia-

-kontzetrazio handiko ingurunea higi daiteke, baina ezin daiteke barreiatu.

Kink soluzioaren existentzia argudio topologikoak erabiliz aurresan genezakeen: demagun

M0 huts-barietatea dela, i. e., V (φ) potentziala minimoa egiten duten φ balioen multzoa

M0 ≡ {φ : V (φ) = 0} = {−η, η} . (1.10)

Gorago esan dugunez, (1.1) lagrangearrak Z2 simetriakoa da, eta honek, G = Z2 taldeak

definitzen dituen transformazioekiko aldaezina dela esan nahi du. Baina hutsaren simetria

ez da Z2. Sistema batek, hutsak ez dituen simetriak dituenean, simetria berez apurtu dela

esan ohi da. Ondorioz, aztertzen ari garen kasuan, simetria Z2 simetriatik I simetriara

berez apurtu da.

1+1 dimentsiodun eredu honetan, S0 infinitu espazialen multzoak bi puntu ditu baita

ere: S0 = {−∞,+∞}. Hizkuntza-mota hori erabiliz, (1.6,1.7) energia finitua lortzeko

baldintza, S0 infinitu espazialetatik M0 huts-barietaterako aplikazioa dela esan dezakegu.

Karga topologikoa, n, definituz

n =φ(∞) − φ(−∞)

2η, (1.11)

hiru aukera dago:

• n = 0 kasua, S0 multzoko bi elementuak, M0 barietateko elementu berberarekin

erlazionatuta daude

• n = 1 (1.6) kink konfigurazioari dagokio

• n = −1 (1.7) anti-kink konfigurazioari dagokio

Karga topologikoa kontserbatu egiten da: gure sistema n jakin batekoa bada, energia kan-

titate infinitua behar da konfigurazioa n desberdineko konfigurazio bihurtzeko. Beste era

1.1 Sarrera 11

batera esanda, ezin da karga topologiko jakineko konfigurazioa era jarraituan deformatu

beste karga topologikoko konfigurazioa lortzeko. Matematikoki esanda, S0-tik M0-rako

aplikazioa topologikoki ez-tribiala da.

Analisi horretatik ondorio interesgarria lortu dugu: defektuak dauden ala ez jakiteko nahi-

koa da eremuek infinituan duten portaera aztertzea. Konfigurazioak definitzen duen in-

finitotik huts-barietaterako aplikazioa era jarraituan ezin deformatu badaiteke aplikazio

tribialera, defektuak agertuko dira.

Orokortu dezagun emaitza hori [28, 80]:

σ kurba itxia ondoko eran definitu dezakegu: zenbaki errealen I unitate tartetik, Mbarietaterako aplikazio jarraitua; σ : I → M, non σ(0) = σ(1). Beste era batera esanda,

σ : S1 → M, non S1 unitate zirkunferentzia den.

Bi kurba itxi bata bestearekiko homotopikoak direla esango dugu, M barietatearen ba-

rruan bata era jarraituan deformatu badaiteke bestea lortzeko. Erlazio hori, baliokideta-

sun-erlazioa da; beraz, kurbak homotopia-klasetan banatu daitezke. Klase horiek talde ba-

ten elementuak dira, M-ren funtsezko taldea edo lehenengo homotopia-taldea, eta π1(M)

ikurraren bidez adierazten da. Arrazonamendu berdinari jarraituz, M-ren n-garren ho-

motopia-taldea –πn(M)– n-gainazal itxien σ : Sn → M homotopia-klaseak definitutakoa

izango da.

π0(M) zerogarren “homotopia-taldeak”, M huts-barietateak dituen elementu ez-kone-

xuak neurtzen ditu. Beste homotopia-taldeen analogoa da: σ : S0 → M aplikazioak, non

S0 = {−1, 1}, sailkatzen baititu. Hala ere, kasu orokorrean, terminologia ez da zuzena, π0

ez baitu zertan talde bat osatu.

Gure adibidean, energia finitua lortzeko baldintza berridatziz

φ : S0 → M0 . (1.12)

Dakigunez, huts-barietateak elementu ez-konexuak ditu, hau da, π0(M) 6= I, non I aplika-

zio tribiala den. Ondorioz, eredu horretan, topologikoki ez-tribialak diren soluzioak daude,

kink soluzioa adibidez. Beste homotopia-taldeekin berbera gertatuko da: homotopia-talde

jakin batzuk ez-tribialak direnean, defektuak ager daitezke.


Defektu topologikoak sailkatzeko, huts-barietateko homotopia-propietateak erabiltzen di-

ra. Huts-barietateak uzkurtu ezinak diren n-esferak baditu, orduan n+1 espazio-dimen-

tsiotan, eremu eskalarrak esfera horien inguruan biribilkatu daitezke r → ∞ puntuan.

Konfigurazio horiek ez-barreiakorrak dira, eremu eskalarra jarraitua izanik, espazio-den-

boran puntu batek gutxienez potentzial eskalarra ez-nulua baitu.

Adibidez, M ez bada simpleki konexua, hau da, funtsezko taldea tribiala ez bada π1(M) 6=I, orduan, huts-barietatearen inguruan biribilkapen ez-tribialak daude. Bi dimentsiotan,

φ(r → ∞) → eiθ konfigurazioa ezin da era jarraituan deformatu aplikazio tribiala lortu

arte, eta beti izango dugu puntu bat non potentzial eskalarra ez-nulua den.

Hiru dimentsio espazialetan, puntu-itxurako defektuak, dimentsio bakarrekoak eta bi di-

mentsiokoak, izen bereziak dituzte, monopoloa, soka kosmikoa, eta domeinu-pareta, hu-

rrenez hurren (ikus 1.1 taula). Baita ere, karga topologiko negatiboko monopoloari anti-

monopolo deritzo.

π0(M) 6= I M ez-konexua Domeinu-pareta

π1(M) 6= I M-n esfera uzkurtezinak Soka kosmikoa

π2(M) 6= I M-n 2-esfera uzkurtezinak Monopoloa

π3(M) 6= I M-n 3-esfera uzkurtezinak Testura

1.1 taula: Huts-barietatearen topologiaren arabera gerta daitezken defektu topologikoak. Irudia

osatzeko, testurak ere aipatu ditugu, nahiz eta testuren sailkapen topologikoa ezberdina izan.

3 dimentsiotan hain zuzen ere, testurak sektore topologiko batetik beste batera era jarraituan

deforma daitezke energia finitua erabiliz, eta hortaz, ez-egonkorrak dira.

Sistema simetria lokalekoa denean, i. e., gauge-eremuak dituenean, defektuei defektu lokal

deritze; simetria globaleko kasuan, berriz, defektu globalak.

Hutsaren topologia eta defektu egonkorren arteko erlazioa nahiko zolia da. Orain arte

erakutsi dugu huts-barietateko homotopia ez-tribialak soluzio ez-barreiakorrak aurresaten

dituela. Hau ikusteko, demagun e(x, y, z, t) energia dentsitatea definitu positiboa dela, eta

nulua dela sistemaren oinarrizko egoerarako. Higidura-ekuazioen soluzio bat ez-barreia-

korra da [28]

limt→∞

maxx,y,z

e(x, y, z, t) = 0 (1.13)

1.1 Sarrera 13

denean. Baina eremu eskalarrak infinituan biribilkapena badu, eremu eskalarraren jarrai-

tasuna dela eta, (x0, y0, z0) espazioko puntu jakin batetan eremu eskalarra nulua izan

behar da φ = 0. V (φ = 0) > 0 denez, (x0, y0, z0) puntuan

e(x0, y0, z0, t) > 0 , (1.14)

eta ondorioz

limt→∞

maxx,y,z

e(x, y, z, t) 6= 0 , (1.15)

hau da, soluzioa ez-barreiakorra da.

Baina soluzio horiek ez dute zertan estatikoak izan, ezta ere perturbazio txikiekiko egon-

korrak. Kasu bakoitzerako egonkortasun-analisia egin behar izango dugu.

Are gehiago, tesi honetan ikusiko dugunez (ikus 2. kapitulua), kasu batzuetan nahiz eta

sektore topologiko batetik bestera joateko energia infinitua izan, bi konfigurazioen arteko

energia-diferentzia finitua suertatu daiteke.

Bestalde, hutsaren homotopia ez-tribialak defektuak aurresan arren, homotopia tribiala

izateak ez du esan nahi defekturik ez dela egongo; defektu bat beste teoria orokorrago, eta

topologikoki tribial, batetan murgiltzeko baldintzak ez dira oso gogorrak eta, ondorioz,

murgildutako defektuak ia edozein teoriatan aurkitu genitzazke. Halere, defektu horien

egonkortasuna lortzea askoz ere zailagoa da.

Kasu topologikoan ziur dakigu potentzial eskalarra gutxienez puntu batean ez-nulua dela.

Baina kasu ez-topologikoetarako ezin dugu hori ziurtatu; sistema desbiribilkatu daite-

ke. Propietate garrantzitsu horretan datza defektu topologiko eta ez-topologikoen arteko

desberdintasunetako bat. Defektu ez-topologikoen egonkortasuna ereduaren energiaren

araberakoa da, eta gehienetan ez-egonkorrak dira.

Defektu ez-topologiko egonkorren adibide ezaguna soka erdilokalak dira, kapitulu honetan,

1.3 atalean, deskribatuko ditugunak. Soka erdilokalak, Higgs eredu trukakorrean (ikus 1.2

atala) gertatzen diren Nielsen-Olesen zurrunbiloak teoria zabalago batean murgiltzean lor

ditzakegu.


1.1.2 Defektuak Kosmologian

Aurreko atalean defektu-motako soluzioak aurkitu ditugu zenbait eremu-teoriatan. Atal

honetan aldiz, kontestu kosmologikoetan defektuak ere ager daitezkela erakutsiko dugu.

Big-Bang delako eredu estandarrean, oinarrizko simetrien berezko simetria-apurketak sor-

tarazten dituzten fase-trantsizioak daude. Temperatura txikiko simetria-apurketak nahiko

ongi ezagutzen dira: simetria-apurketa elektroahula T ∼ 102 GeV eskalan gutxi gorabehe-

ra, eta confinement-deconfinement delako fase-trantsizioa T ∼ 102 MeV eskalan. Oinarriz-

ko elkarrekintzen teoriak beste fase trantsizio batzuk aurresaten ditu, e.g. GUT (Grand

Unification Theories) teorien simetria-apurketak T ∼ 1016 GeV eskalan, eta supersime-

tria-apurketa eredu supersimetrikoetan.

Big-Bang delako eredu estandarraren arabera, unibertsoa oso temperatura handian sortu

da, simetria guztiak apurtzeke daude eta Higgs eremuaren oinarrizko egoera φ = 0 da.

Unibertsoa hoztuz doan neurrian, Tc “temperatura kritiko” batetara heldu eta simetria

apurtu egingo da, Higgs eremuaren balioa potentzialaren minimora jaitsiz (φ 6= 0).

φ eremuaren balio “berria” ez da orokorrean uniformea izango espazioan, ξ korrelazio-dis-

tantzia jakina baino urrutiago dauden puntuek ezin baitira korrelaturik egon, kausalitatea

dela-eta. Ohiko korrelazio-distantzia ξ <∼ t da, t horizonte kausala izanik. Elkarrengandik

oso hurrun dauden zonaldeak korrelaturik ez daudenez, zonalde bakoitzean Higgs eremuak

norabide desberdina hautatuko du. Oso norabide ezberdinak dituzten zonaldeak gertu-

ratzean, oso zaila da beren konfigurazioak adostea, eta mugan defektuak sortuko dira.

Eskema orokor horri Kibble-ren mekanismo deritzo [63].

ξ korrelazio-distantzia ezagutu beharko genuke defektu-dentsitatea kalkulatzeko. Balio

zehatzak lortzea benetan lan zaila da, baina kosmologian erabiltzeko, gutxi gorabeherako

balioak ondorio garrantzitsuak eman diezazkiguke. Oso defektu gutxi sortuko diren kasuan

ere, efektu kosmologikoa izugarria izan daiteke [98].

Honen adibide domeinu-paretak dira. Domeinu-paretak sortuko dituen fase-trantsizioa

eta gero, gutxienez bolumen-horizonteko domeinu-pareta bat sortuko da. Badakigu gaur

egungo unibertsoaren energia gehiengoa ez dela domeinu-pareten energia. Domeinu-pare-

ten berezko energia, eta energia hori gaur egongo unibertsoaren gehiengoa ez izatea, ba-

1.1 Sarrera 15

tera kontsideratuz, sistema horretarako lotura gogorrak lortuko ditugu. Adibidez, eskala

elektroahularen energia-eskalan edo energia-eskala handiagoetan sortuko diren domeinu-

-paretak ez dira onargarriak, unibertsoaren energia menperatuko bailukete.

Monopolo magnetikoarekin (lokalarekin) antzeko zerbait gertatzen da. Bolumen-horizonte

bakoitzean monopolo magnetiko bat gutxienez sortzea espero dugu, eta dentsitate hori

nahikoa da GUT monopoloak energia-dentsitatea menperatzeko, eta unibertsoa ixteko.

Baina kasu horretan ez ditugu monopolo horiek aurresaten dituzten ereduak baztertuko:

elkarrekintza elektroahula eta elkarrekintza nuklear bortitza bateratu nahi dituen edozein

GUT teoriak, elkarrekintza horien artean beste elkarrekintza berririk ipini gabe, mono-

poloak aurresango ditu. Izan ere, barnean U(1) hiperkarga-taldea edukiko duen azpitalde

batetara apurtuko da GUT teoria, eta hori nahiko da monopoloak aurresateko. Meka-

nismo berriren bat behar dugu monopolo-ugaritasunaren problema konpontzeko. Inflazioa

oso irtenbide ona dela dirudi. Inflazio-denboraldian espazioa esponentzialki hazten da mo-

nopoloak asko diluituz, eta beraz, monopolo-dentsitateak kaltegarri izateari utziko dio.

Monopolo globalen kasua desberdina da. Monopolo-antimonopolo bikote baten arteko

indarra irismen luzekoa da (2. kapitulua), eta nahikoa da elkar deuseztatzeko. Horrela,

monopolo ugaritasunaren problema ez da agertuko monopolo globalen kasuan.

Testura globalen kasua berezia da. Defektu horiek ez dira topologikoak (ikus 1.1.1 atala),

ez dira inoiz huts-barietatik irtengo, eta ez-egonkorrak dira. Ez-egonkortasun hori dela-eta,

ezin dute unibertsoaren energia dentsitatea menperatu, eta printzipioz, fase-trantsizio

kosmologiko batean suertatu daitezke.

Soka kosmikoak ez dira arrisku bat ikuspuntu kosmologikotik ere. GUT eskaletan eratzen

diren sokak izan arren, beren energia-dentsitatea oso txikia da dentsitate kritikoarekin

alderatuz, eta ez dituzte esperimentuak gezurtatu. Zergatia soken eboluzioan datza.

Zenbakizko lanek eta lan analitikoek [18, 97] agertzen dute soka kosmikoek eta monopolo

globalek scaling soluzio batera jotzen dutela: eratuak izan eta gero, defektu-sarearen ebo-

luzioaren ondorioz, Hubble bolumen bakoitzean soka infinituen segmentu, edo monopolo,

gutxi batzuk daude Hubble-ren denborarekiko. Hau da, sarearen propietate estatistikoak

ez dute denborarekiko menpekotasunik Hubble-ren erradioa distantzia-eskalatzat hartuz

gero.


Soka kosmikoen beste propietate interesgarria da, korronte elektromagnetikoaren eramale

izan daitezkela [104], eta honek, beren partehartze kosmologikoa alda dezake. Soka kosmi-

ko batek osatutako eraztun itxia –bortoia– txikitu egingo da desagertu arte. Baina sokak

korronte elektromagnetikoa badarama, eraztuna txikituz doan neurrian momentu ange-

luarra handituz doa, eta momentu angeluarrak txikitzea geldiaraziko du. Orduan, bortoi

[34] horiek unibertsoaren energia-dentsitatea menperatuko lukete bortoi ugari baleude,

eta honenbestez, arrazoi kosmologikoen bidez, teoria batek aurresan ditzakeen bortoi-ko-

purua mugatua da [25, 27, 69]. Geroago ikusiko dugunez (4. kapitulua), bortoi hauek

kiralak izan daitezke eta ezaugarri interesgarriak izango dituzte [26, 33, 78, 89].

Orain arte, abiapuntu kosmologikotik hasita defektuak sortu ditzaketen partikulen fisika-

rako zenbait eredu gaitzetsi ditugu. Bestalde, defektuek beste hainbat arazo kosmologikoei

buruzko erantzunak eman diezazkigukete, adibidez, bariogenesia [24, 31], energia handiko

izpi-kosmikoak [22], gamma izpi eztandak (bursts) [19] eta jatorrizko eremu magnetikoak

[94, 96].

Defektu topologikoak, unibertsoaren egitura-eraketan partaide izan direla uste izan da

(ikus adibidez [12, 37, 41, 68, 95] eta bertako errefentziak). Duela gutxi, neurketa kosmo-

logiko oso zehatzak egin dira, egitura-eraketari buruzko datu berriak eman dituztenak.

Adibidez, Boomerang [20] eta Maxima [53] globo-aerostatikoko esperimentuek CMB-ko

(Cosmic Microwave Background edo Mikrouhineko erradiazioaren Hondo-Kosmikoa) [76]

tenperatura-fluktuazio oso txikiak neurtu ahal izan dituzte zehaztasun izugarriz. Datu ho-

riek, egitura-eraketarako garrantzi nagusia duen prozesua inflazioak sortua dela erakutsi

dute. Dirudienez, egitura-eraketaren arrazoi nagusia inflazioari esker areagotutako hase-

rako fluktuazio kuantikoak dira. Halere, defektuek bigarren mailako efektua izan dezakete

egitura-eraketan; eta bai inflazioa bai defektu topologikoak dituzten ereduak ere aintza-

kotzat hartu izan dira [23, 29]. Are gehiago, inflazio eredu errealista batzuetan, inflazioa

eta gero datorren aurre-berotze fasean, soka kosmikoak agertzen dira zuzenean [62, 90].

Ondorioz, kontestu kosmologikoetan oraindik ere defektu topologikoek badute zerresana,

eta edozein kasutan, defektu-ugaritasunak edo defektu ezak, fase-trantsizio kosmologikoak

esplikatzeko erabiltzen diren partikulen eremu-teoriak mugatzeko erabil daitezke.

1.2 Higgs eredu trukakorra 17

1.2 Higgs eredu trukakorra

Φ eremu eskalar komplexuak eta Yµ U(1) gauge-eremu batek osatzen dute, d = 3 + 1

dimentsiotan bizi den Higgs eredu trukakorra. Ereduari dagokion lagrangearra ondokoa

da

L = |DµΦ|2 − 14YµνY

µν − λ

(

Φ†Φ − η2

2

)2

, (1.16)

non DµΦ = (∂µ − iqYµ)Φ, eta Yµν = ∂µYν − ∂νYµ magnitudea U(1) eremu intentsitatea

den. Teoria U(1) gauge-aldaketekiko aldaezina da; hots, ondoko transformazioek

Φ(x) → eiqχ(x)Φ(x) , Yµ(x) → Yµ(x) + ∂µχ(x) , (1.17)

ez dute (1.16) lagrangearra aldatuko.

1.2 irudia: “Mexikar Kapela” itxurako potentzialaren adierazpen grafikoa. |Φ|2 = η2 betetzen

duten puntu guztiak, potentzialaren minimo dira.

Sistemaren potentzialak “Mexikar Kapela” itxurakoa da (1.2 irudia); potentzial horrek

maximo lokal bakarra du, Φ = 0, eta minimo-multzo bat, |Φ| = η. Huts-barietatea (i. e.

potentzialaren minimoek osatzen duten barietatea)

M ={

Φ ∈ C | |Φ| =η√2

}

∼= S1 (1.18)

da eta sistemaren simetria berez apurtuko da U(1) taldetik I unitatera. Simetria-apurketa

horrek masa emango die bai eremu eskalarrari bai Yµ eremuari ere. Gauge-transformazioak

direla-eta, potentzialaren minimo guztiak baliokideak dira; hortaz, minimoetako bat au-

keratu dezakegu simetria apurtuaren hutsa aztertzeko. Gauzak errazteko, Φ erreala den

18 Defektu Topologikoak

kasua aukeratuko dugu, hots, Φ0 = η/√

2 izango da aukeratutako minimoa. Minimo ho-

rren inguruan Φ eremua Φ = Φ0 + α eran garatuz, ondoko adierazpena lortuko dugu

L = −14YµνY

µν + (∂µα)2 + 2λη2α2 + 12q2η2(Yµ)

2 + Lint , (1.19)

non Lint eremu ezberdinen arteko elkarrekintzei dagozkio. Argi ikus daiteke α eremu es-

kalarrak masa irabazi duela (ms =√

2λη2 = l−1s ) eta baita Yµ eremu bektorialak ere

(mv = qη = l−1v ).

Egin dezagun ondorengo aldagai-aldaketa, problemaren berezko eskalak erabiltzearren:

Φ(x) → η√2Φ(x) , x→

√2

qηx =

√2lvx , qYµ → qη√

2Yµ =

Yµ√2lv

. (1.20)

Luzera fisikoa lv da orain, eta η energia-unitatea (zenbakizko faktore batzuk gorabehera).

Lagrangearra unitate berri horietan ondokoa da

L = |DµΦ|2 − 14YµνY

µν − β

2

(

Φ†Φ − 1)2, (1.21)

eta orain DµΦ = (∂µ − iYµ)Φ eta β = m2s

m2v

= 2λq2

. Aldaketa egindakoan, sistemaren para-

metro bakarra β da.

Lagrangian horretatik lortuko ditugun higudura-ekuazioak

DµDµΦ + β(Φ†Φ − 1)Φ = 0 ;

∂µYµν + i[

Φ†DνΦ − (DνΦ)†Φ]

= 0 (1.22)

dira, eta sistemaren energia

E =

∫

d3x

[

|D0Φ|2 + |DiΦ|2 +β

2

(

|Φ|2 − 1)2

+ 12E2 + 1

2B2

]

, (1.23)

non Y0i = Ei eta Yij = ǫijkBj diren, eremu elektrikoa eta magnetikoa, hurrenez hurren.

1.2.1 Nielsen-Olesen zurrunbiloa

Gure sistemaren huts-barietatea S1 dela ikusi dugu, eta π1(S1) = Z denez, eredu horrek

soka topologiko motako soluzioak eduki ditzake (ikus 1.1.1 atala). Ardatz-simetriadun

konfigurazio estatikoak bilatzen ari gara, d = 3 + 1 dimentsiotan; hots, z ardatzaren


norabideko soka zuzen infinitua. (t, ρ, ϕ, z) koordenatu zilindrikoak erabiliko ditugu, eta n

biribilkapen-zenbakiko sokarako (Abrikosov)Nielsen-Olesen [1, 74] fisikariek proposaturiko

ansatz-a:

Φ = f(ρ)einϕ , Yϕ = nv(ρ) , Yt = Yρ = Yz = 0 . (1.24)

(1.22) higidura-ekuazioetan aurreko ansatz-a ordezkatzerakoan bi ekuazio mihiztatu lor-

tuko dira

f ′′(ρ) +f ′(ρ)

ρ− n2f(ρ)

ρ2

(

1 − v(ρ))2

+β(

1 − f(ρ)2)

f(ρ) = 0 ;

v′′(ρ) − v′(ρ)

ρ+ 2f 2(ρ)

(

1 − v(ρ))

= 0 , (1.25)

non primatuak ρ-rekiko deribatuei dagozkien.

Ekuazio diferentzial pare hori aztertuz, eta (1.24) definizioa erabiliz, ρ = 0 denean f(0) =

v(0) = 0 izan behar dela ondorioztatuko dugu. Baldintza horrek ρ = 0 puntuan funtzioen

erregulartasuna ziurtatuko du, eta egoera simetrikoa eta ez-simetrikoa leunki lotaraziko

ditu.

Energia finitua izatea eskatuz, muga-baldintza gehiago lortuko ditugu. (1.23) ekuazioak

ondokoa erakutsiko digu: ρ → ∞ denean DiΦ eta Yµν adierazpenek 1/ρ baina azkarra-

go joan behar dute zerorantz; eta, limite horretan, eremu eskalarraren balioak energia

potentzialaren minimo izan behar du. Hortaz, f(ρ→ ∞) → 1 eta

Diφ(ρ→ ∞) = 0 ⇒ (∂ϕ − iYϕ)einϕ ⇒ v(ρ→ ∞) = 1 . (1.26)

Beraz, (1.25) ekuazioen mugalde baldintzak f(0) = v(0) = 0 eta f(∞) = v(∞) = 1 dira.

(1.22) ekuazioen soluzio analitikoa ezezaguna da n orokorrerako. Hala eta guztiz ere, higi-

dura-ekuazioen analisiak informazio partziala eman diezaguke. ρ txikia denan, f ∼ ρn eta

v ∼ ρ2; eta ρ handirako, funtzioek hutseko baliorantz doaz esponentzialki. Erdialdea zen-

bakizko metodoak erabiliz aztertu behar da, eta 1.3 irudian fNO eta vNO funtzioen ohiko

profila ikus daiteke; NO azpi-indizeak Nielsen-Olesen higidura-ekuazioen (1.25) soluzio

direla gogoraraziko digu. Irudiaren arabera, f eta v funtzioak m−1s eta m−1

v neurriko ingu-

runetan, hurrenez hurren, beren hutseko baliotik hurrun daude. Zonalde hori defektuaren

muina da, eta energia muin horren barruan metaturik dago. 1.2 taulan β parametroaren


1.3 irudia: fNO eta vNO funtzioen profilak n = 1, λ = 0.6 kasurako, (1.25) ekuazioak zenbakizko

metodoen bidez ebatziz lortuak.

balio ezberdinetarako zenbakizko kalkuluen bidez lorturiko muinaren erradioaren balioa

eta B eremuaren balio maximoa adierazi ditugu, n = 1 kasurako. Erradioa honela de-

finitu dugu: eremu magnetikoaren balioa, Bmax balio maximoaren %25 deneko puntutik

jatorriraino dagoen distantzia.

Ohar zaitezte fluxu magnetikoa kuantizaturik dagoela. Gure ansatz-aren arabera Yt = Yz = 0

direnez eta beste gauge-eremu guztiek ez dutenez z eta t aldagaieiko menpekotasunik, on-

dokoa ondorioztatuko dugu: ~E eremu elektrikoa nulua da; eta, ~B eremu magnetikoaren

osagai bakarra z norabidean dago. xy planuan zeharreko fluxu magnetikoa hau da∫

d2xB =

∮

ρ=∞~Yϕ · ~dl . (1.27)

Baina lehenago, energia finitoa izatea eskatzerakoan, DϕΦ(∞) = 0 erlazioa lortu dugu.

Ereduaren parametro guztiak berrezarriz – eskala aldatu baino lehenagoko unitateak era-

biliz – eta eremu eskalarraren balioa infinitoan honela idatziz

Φ(∞) = f(∞)eiqχ(ϕ) =η√2eiqχ(ϕ) , (1.28)

ondoko hau lortuko dugu:

DϕΦ(∞) =iqη√

2eiqχ(ϕ)(∂ϕχ(ϕ) − Yϕ) = 0 . (1.29)

Ondorioz, fluxu magnetikoa hau da

∫

d2xB =

∫ 2π

0

∂ϕχ · dl = χ(2π) − χ(0) . (1.30)


β 12B2

max Bmax rmax πr2max

0.05 0.13 0.51 2.25 15.9

0.1 0.19 0.62 2.03 12.9

0.2 0.28 0.75 1.83 10.5

0.3 0.35 0.83 1.72 9.3

0.4 0.40 0.90 1.65 8.5

0.5 0.45 0.95 1.59 7.9

0.6 0.49 0.99 1.55 7.5

0.7 0.53 1.03 1.53 7.3

0.8 0.56 1.06 1.50 7.1

0.9 0.59 1.09 1.48 6.9

1.0 0.62 1.12 1.46 6.7

1.1 0.64 1.13 1.45 6.6

1.2 0.66 1.14 1.44 6.5

1.3 0.67 1.16 1.43 6.4

1.4 0.69 1.17 1.42 6.3

1.5 0.71 1.19 1.41 6.2

1.2 taula: Eremu magnetikoaren balio maximoak, eta sokaren erradioa, β parametroaren balio

ezberdinetarako, n = 1 deneko kasuan.

χ(2π) − χ(0) = 2πn/q da Φ eremua balio-bakarrekoa izatea nahi dugulako; eta fluxu

magnetikoaren kuantizazioa lortu dugu:

∫

dx2B =2πn

q. (1.31)

1.2.2 Nielsen-Olesen zurrunbiloaren egonkortasuna

Higidura-ekuazioen soluzio klasiko bat lortu dugu. Ikertu beharreko hurrengo propieta-

teak, orduan, soluzio horren egonkortasun propietateak dira. Soluzio hori infinitesimalki

perturbatzean datza ikerketa hori burutzeko modu bat: energia jaitsiko duen perturba-

ziorik ez dagoela frogatuz gero, soluzioa egonkorra da; ez-egonkortasunak aurkituz gero,


aldiz, soluzioa ez-egonkorra da. Monopolo globalaren egonkortasuna aztertzerakoan era-

biliko dugu metodo hori, 2.5 atalean.

Beste era bat, Bogomol’nyi fisikariak [21] proposatu zuen. Energiaren behe-borne bat

aurkitu behar dugu. Soluzioak borne hori aseko duela frogatuz gero, egonkortasuna auto-

matikoa da; baina modo nuluak egon daitezke. Metodo hau jarraituko dugu Nielsen-Olesen

zurrunbiloen kasuan.

Gradienteak ondoko eran konbinatuko ditugu Nielsen-Olesen zurrunbiloen luzera-unita-

teko energia (1.23) berridazteko

(D1Φ)†(D1Φ) ± (D2Φ)†(D2Φ) = |(D1 ± iD2)Φ|2 ∓ i[

(D1Φ)†D2Φ − (D2Φ)†D1Φ]

=

|(D1 ± iD2)Φ|2 ± Φ†[D1, D2]Φ ∓ i[

∂1(Φ†D2Φ) − ∂2(Φ

†D1Φ)]

. (1.32)

Ji = −iΦ†DiΦ korrentearen errotazionala da azken gaia. ρ→ ∞ kasuan,∮

~J ·d~l → 0 izan

behar da, DiΦ magnitudea 1/ρ baina azkarrago zerorantz joan behar denez.

Deribatuen arteko erlazio hau erabiliz

[D1, D2]Φ = −i(∂1Y2 − ∂2Y1)Φ = −iBΦ , (1.33)

luzera-unitateko energia honela berridatzi dezakegu:

E =

∫

d2x

[

|(D1 ±D2)Φ|2 ±B|Φ|2 + 12B2 +

β

2

(

|Φ|2 − 1)2]

=

∫

d2x[

|(D1 ± iD2)Φ|2 + 12

{

B ±(

|Φ|2 − 1)}2

+ 12(β − 1)

(

|Φ|2 − 1)2]

±∫

d2xB . (1.34)

Azken integrala fluxu totala da (1.31). Integrala positiboa izan dadin aukeratuko dugu

plus/minus zeinua. Notazioa erraztearren, demagun n > 0 dela; orduan, fluxu magnetikoa

positiboa egiteko zeinu positiboa behar dugu. Ondorioz, energia honela idatziko dugu

E = 2πn+

∫

d2x[

|(D1 + iD2)Φ|2 + 12

{

B +(

|Φ|2 − 1)}2

+ 12(β − 1)

(

|Φ|2 − 1)2]

. (1.35)

Erlazio honek argi erakusten digu energia behetik bornaturik dagoela: E ≥ 2πn, β ≥ 1

kasurako. β = 1 kasu berezia da: ms = mv, eta Higgs eredu trukakorra supersimetriko


bihurtu dezakegu (ikus 4. kapitulua). Energiaren espresioko azken gaia nulua da; eta β = 1

kasurako, Bogomol’nyi-ren bornea aseko duten soluzioek hau beteko dute:

(D1 + iD2)Φ = 0 , B + |Φ|2 − 1 = 0 . (1.36)

f eta v funtzioak erabiliz ondoko adierazpenak lortuko ditugu

f ′(ρ) +nf(ρ) (v(ρ) − 1)

ρ= 0 ;

nv′(ρ) + ρ(

f(ρ)2 − 1)

= 0 . (1.37)

Azken ekuazioak beteko dituzten soluzioak energiaren minimo dira; eta ondorioz, egon-

korrak.

β > 1 kasurako ez dago Bogomol’nyi-ren bornea aseko duen soluziorik. Bi ekuazio hauek

B + |Φ|2 − 1 = 0 , |Φ|2 − 1 = 0 (1.38)

bete beharrak, B = 0 izatea ondorioztatzera garamatza; eta hau ezinezkoa da (1.31)

fluxuaren kuantizazioa dela-eta. Baina honek ez du esan nahi β > 1 kasurako soka-motako

soluziorik ez dagoenik:

Eremu eskalarrak infinitoan biribilkapen ez-tribiala badu, topologiak soluzio ez-barreiakor

bat dagoela ziurtatuko du. Ekarpen honek ez du β-rekiko menpekotasunik. Ondorioz,

edozein β-rako soluzio ez-barreiakor bat dago topologiaren arabera. Halere, soluzio ez-

-barreiakorren egonkortasuna ez da derrigorrezkoa. Adibidez:

n = 1 eta β = 1 kasurako, zurrunbiloak egonkorrak dira; (1.35) energiaren beheko bornea

asetuko dutelako.

n = 1 eta edozein β-rako, zurrunbiloak egonkorrak dira baita ere. Energia potentzial eta

magnetikoaren arteko lehiak sokaren erradioa definituko du. Ez-egonkortasun angelua-

rrak ez ditugu kontuan hartu analisi honetan; baina [49] lanaren idazleen arabera, kasu

honetarako ez-egonkorasun angeluarrik ez dagoela frogatu zuten.

n > 1 eta β > 1 kasuan aldiz zurrunbiloak ez dira egonkorrak. Zurrunbilo hauek n = 1

biribilkapeneko n zurrunbilo bihurtzeko joera dute.

Zenbakizko simulazioen bidez lorturiko Nielsen-Olesen zurrunbilo-sarea ikus daiteke 1.5

irudian. Soka hauek ez dira inon amaituko: kurba itxiak osatuko dituzte; edo “infinitoak”


dira (“infinitoak” muga baldintza periodikoak erabili baititugu simulazioan). Honen arra-

zoia defektuen jatorri topologikoan datza: eremuen zeroak continuum-a osatu arazten ditu

topologiak; eta honela, sokek ezin dute “muturrik” izan.

1.3 Soka erdilokalak

Zabal dezagun Higgs eredu trukakorra: ordezka dezagun aurreko ataleko eremu eskalar

konplexua ΦT = (φ1, φ2) SU(2) bikoteaz, non φ1, φ2 ∈ C [92].

Sistema berriaren lagrangearra hau da

L =

[

|(∂µ − iqYµ)Φ|2 − 14YµνY

µν − λ

(

Φ†Φ − η2

2

)2]

. (1.39)

Higgs trukakorraren kasuan bezala, Yµ eremua U(1) gauge-potentziala da, eta Yµν eremu-

-intentsitatea.

Honako U(1)lokal gauge-aldaketarekiko aldaezina da eredua

Φ → eiqγ(x)Φ , Yµ → Yµ + ∂µγ(x) , (1.40)

eta baita ere SU(2)global gauge-aldaketarekiko

Φ → eiαaτa

Φ , Yµ → Yµ , (1.41)

non τa Pauli-matrizeak diren (ikus A eranskina).

Ohar zaitezte (α, γ) transformazioa eta (α + 2π, γ + πq) transformazio berbera direla,

non α =√

α21 + α2

2 + α23 ∈ [0, 4π) den. Beraz, (SU(2)globala × U(1)lokala) /Z2 da ereduaren

benetako simetria; eta bai simetria lokala bai globala dituenez, eredu erdilokala izendatu

zuten [92].

Higgs mekanismoaren bidez Φ eremuak hutsean esperotako balio (v.e.v.) ez-nulua lor-

tuko du. Beraz, simetria berez apurtuko da: (SU(2)globala × U(1)lokala) /Z2 simetriatik

U(1)globala simetriara [6]. Ereduak dituen partikulak hauek dira: Goldstone-bosoi bi, ms =√

2λη2 = l−1s masako bosoi eskalarra eta mv = qη = l−1

v masako bosoi bektoriala. β pa-

rametroa Higgs eredu trukakorrean bezela definituko dugu: β = m2s

m2v

= 2λq2

. Kasu honetan,

1.3 Soka erdilokalak 25

ereduko parametro bakarra da. Hau ikusteko, Higgs eredu trukakorrean egindako eskala-

-aldaketa egin dezakegu, eta lagrangearra ondoko ean idatziko dugu

L = |(∂µ − iYµ)Φ|2 − 14YµνY

µν − β

2(Φ†Φ − 1)2 . (1.42)

Energiak berriz honako formakoa da

E =

∫

d3x

[

|D0Φ|2 + |DiΦ1|2 + 12B2 + 1

2E2 +

β

2(Φ†Φ − 1)2

]

, (1.43)

non F0i = Ei eta Fij = ǫijkBk diren, aurrerago ikusi dugunez.

Sistemaren huts-barietatea hau da

M ={

Φ ∈ C2∣

∣Φ†Φ = 1} ∼= S3 , (1.44)

π1(S3) = I denez, ez ditu onartuko soka topologikoko motako soluzioak.

Baina higidura-ekuazioak idatziz gero; hots

DµDµΦ + β(|Φ|2 − 1) = 0 , ∂µYµν = −iΦ†↔

DνΦ , (1.45)

konturatuko gara horiek eta Nielsen-Olesen zurrunbilorako lortu ditugun ekuazioak berdi-

nak direla. Desberdintasun bakarra hau da: eremu eskalarra SU(2) bikoteaz ordezkatu du-

gu; eta, komplexu konjokatuak, Φ-ren konjokatu hermitikoen bidez. (1.24) Nielsen-Olesen

zurrunbiloa eredu hontan murgiltzen saiatu gaitezke, ondoko moduan [92]:

Φ = fNO(ρ)einϕΦ0 , Yφ = nvNO(ρ) , (1.46)

non Φ0 eremua SU(2) bikotea den, eta Φ†0Φ0 = 1.

Azken ansatz hori, (1.45) higidura-ekuazioetan ordezkatzerakoan honako ondoriora iris-

tsiko gara: Nielsen-Olesen ereduaren soluzioak badira fNO eta vNO funtzioak (ikus 1.3

irudia), orduan n biribilkapen-zenbakidun eredu erdilokalaren soluzioak dira.

n “biribilkapen-zenbakia” ez da topologikoki kontserbatuko den magnitudea aurreko ata-

lean ikusitako zentzuan, π1(S3) = I baita. Izan ere, edozein zirkulu maximala puntu bat

izateraino uzkur daiteke jarraiki S3 esferan. Baina energia finitoko konfigurazioak sailka-

tuko dituen espazioa ez da huts-barietatea. Aldiz, Φ0 ∈ M edozein erreferentzia punturi

dagokion gauge-orbitak sailkatuko ditu energia finituko konfigurazioak; eta espazio hau


ez da sinpleki konexua: π1(Glokala/Hlokala) = Z da. Zirkulu maximala S3 esferan puntu bat

izatera jarraiki uzkurtzerarte, erdian dauden konfigurazio guztiek energia infinitua du-

te. “Biribilkapen-zenbakia” kontserbatu egiten da beraz, biribilkapen-zenbaki ezberdina

duten edozein bi konfigurazioen arteko energia-langa infinitua delako.

Baina honek ez du esan nahi biribilkapena duten konfigurazioek ez-barreiakorrak direnik:

Higgs eredu trukakorrean ez bezala, topologiak ez du ziurtatuko eremu eskalarra puntu

batetan gutxienez zero izan behar duenik. Infinituan biribilkapena duen edozein konfigu-

razio barrurantz jarraitu daiteke huts-barietatik atera gabe.

Hurrengo atalean soka erdilokalen egonkortasun propietateak berrikusiko ditugu; eta, sis-

temaren parametroaren balio batzuetarako, egonkorrak direla erakutsiko dugu. Sistemaren

energia-propietateen menpekoak izango dira egonkortasuna emango duten parametroaren

balioak.

1.3.1 Soka erdilokalen egonkortasuna

Nielsen-Olesen ereduaren kasuan (ikus 1.2.2 atala) erabili dugun bide berdina jarraituko

dugu soka erdilokalen egonkortasuna aztertzeko: Bogomol’nyi-ren metodoa erabiliko dugu

[6]. Higgs eredu trukakorreko eremu eskalarra SU(2) bikoteaz ordezkatuz, eta n > 0

suposatuz, honela idatziko dugu energia

E = 2πn+

∫

d2x[

|(D1 + iD2) Φ|2 + 12(B + (|Φ| − 1))2 + 1

2(β − 1)

(

|Φ|2 − 1)]

. (1.47)

Argi dago, β = 1 kasurako gutxienez, Bogomol’nyi-ren ekuazioak, hots,

(D1 + iD2)Φ = 0 , B +(

|Φ|2 − 1)

= 0 , (1.48)

beteko dituzten konfigurazioak energiaren minimo lokalak direla; eta ondorioz, konfigu-

razio horiek egonkorrak dira klasikoki. Baina eredu honetako Bogomol’nyi-ren ekuazioak

eta (1.36) Higgs eredu trukakorrekoak berdinak dira Ondorioz, (1.46) ekuazioek definituko

dituzten soka erdilokalak klasikoki egonkorrak dira β = 1 kasurako, edozein Φ0 emanik.

ρ = ∞ puntuetan konfigurazioak biribilkapena badu, infinitutik barrurantz hedatuko

den heinean, posibilitate bi ditu: konfigurazioa desbiribilkatu daiteke (gradiente-energia


irabaziz) ala soka erdilokala eratu (potentzial energia irabaziz). Bietatik zein gertatuko

den, energia-integralean gai bakoitzaren garrantziaren araberakoa izango da; eta hau β

parametroaren araberakoa izango da.

β handia denean, energia potentzialaren garrantzia gradiente-energiarena baina handiagoa

da: sistema desbiribilkatuko da, energetikoki errexago baita. Bestalde, β txikia den kasuan,

soka erdilokalak eratuko dira, energia potentzialaren irabazia gradiente-energiarena baino

txikiagoa delako.

Hindmarsh-ek [55] (1.46) soka erdilokala ez-egonkorra zela erakutsi zuen β > 1 kasurako:

Φ0-rekiko ortogonalak diren perturbazioek soka erdilokala ez-egonkortzen dute. Perturba-

zio hauek fluxu magnetikoa infinitoraino hedatzen dute, nahiz eta, harrigarria badirudi

ere, fluxua kuantizaturik dirauen [81].

Demagun ondorengo ardatz-simetriako ansatz-a dugula

Φ = f(ρ)eiϕΦ0 + g(ρ)ei∆Φ⊥ , Yϕ = v , (1.49)

non ∆ konstantea den; Φ†0Φ⊥ = 0 eta |Φ0| = |Φ⊥| = 1 dira. Energia finitua izatea eskatuz

gero, f(0) = g′(0) = v(0) = 0 behar dugu, baita ere f(∞) = v(∞) = 1, g(∞) = 0.

Nielsen-Olesen eredua berreskuratuko dugu g = 0 kasuan. Baina Hindmarsh-ek [55],

g(0) 6= 0 kasuak energia jaitsiko duela erakutsi zuen; hortaz, (1.46) soka erdilokalen ez-

-egonkortasuna frogatu zuen.

Bestalde, β < 1 kasurako, zenbakizko simulazioen arabera [55], energia jaitsiko duen

perturbaziorik ez dago (perturbazio angeluarrak barne). Soluzioak simulatzeko erabilitako

zenbakizko kalkuluek erakutsi zuten egonkorrak direla z aldagaiaren menpekotasunik ez

duten perturbazioekiko [2, 3].

β = 1 kasua, bi jokaera horien muga da. (1.49) ansatz-a Bogomol’nyi-ren ekuazioetan

ordezkatuz ondoko adierazpenak lortuko ditugu

f ′(ρ) +v(ρ) − 1

ρf(ρ) = 0 ;

g′(ρ) +v(ρ)

ρg(ρ) = 0 ;

v′(ρ) + ρ[

f 2(ρ) + g2(ρ) − 1]

= 0 . (1.50)


Bogomol’nyi-ren bornea dela-eta, badakigu (1.46) ansatz-a –edo g=0 kasua (1.50) ekuazioetan–

egonkorrak direla. Halere, modu nuluak egon daitezke; hau da, soka erdilokalen energia

berebereko soluzio beriak.

(1.50) ekuazioak ez dira independenteak:

g(ρ)=q0f(ρ)/ρ (1.51)

espresioa bigarren ekuazioaren soluzio baita,

g′ +v

ρg =

q0ρ

[

f ′ +v − 1

ρf

]

= 0 . (1.52)

q0 hautazko konstantea da (ikus 1.4 irudia). Beraz, honako hau ondorioztatu dezakegu:

parametro bakarraren menpekotasuna duten soka konfigurazio multzoa dago. Soka guz-

tiak Bogomol’nyi-ren bornea aseko dute; eta beraz, denak energia endekatua dute. q0

zenbakiak, sokaren erradioaren neurria ematen digu: q0 =0 baliotik (Nielsen-Olesen soka)

hasi eta q0 → ∞ balioraino hel daiteke. q0 → ∞ kasuan, sokaren muina hedatu egingo da;

eta soluzioa hutsetik nahi bezain gertu egon daiteke espazio osoan zehar. g funtzioak ez

du biribilkapenik; eta muinean kondentsatu eskalarra sortuko da q0 6= 0 kasurako. Baina

edozein q0 baliorako, fluxua kuantizatua egongo da soluzio guztietarako.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ρ

g’(ρ)

0.10.51.02.0

1.4 irudia: g(ρ) funtzioaren profila q0 konstantearen balio desberdinetarako.

Halere, sistemak q0 → ∞ kausa aukeratuko du posibilitate guztien artetik [66]; hots,

fluxua ez dago konfinatuta; eta, erradio geroz eta handiagoko fluxu-hodietara hedatuko

da, soka hutseraino iritsiko den arte.


1.5 irudia: Nielsen-Olesen soken sarearen (ezkerrean), eta soka erdilokalen sarearen (eskubian)

arteko konparaketa. Higgs eredu trukakorraren kasuan, soka itxiak edo soka infinituak eratuko

dira (soka infinituak, muga baldintza periodikoak direla-eta). Baina soka-segmentu finituak aurki

daitezke eredu erdilokalaren kasuan.

Nielsen-Olesen zurrunbiloen kasuan ez bezela, soka erdilokalak ez dute zertan infinituak

edo itxiak izan; beraien jatorria ez baita topologikoa. Hortaz, soka erdilokaleko segmen-

tuak aurki ditzakegu; eta sokak, monopolo/antimonopolo globalen antzeko energia-lainoe-

tan bukatuko dira (ikus 2 kapitulua). 1.5 irudian Nielsen-Olesen soken eta soka erdilokalen

simulazioen arteko alderaketa ikus daiteke. Zenbakizko simulazioak sare kubikoan egin di-

tugu, muga baldintza periodikoak erabiliz. Argi ikus daiteke Nielsen-Olesen kasuan sokek

muturrik ez dutela; soka erdilokalen sarea, aldiz, soka-segmentuez osatuta dago gehienbat.

Soka erdilokalen segmentuak beren tentsioaren ondorioz txikitu egingo dira. Baina soka

muturretan dauden monopolo/antimonopolo globalek luzera handiko elkarrekintzak di-

tuzte elkarren artean; eta inguruko monopolo/antimonopoloak nabarituko dituzte, elkar

deuseztatuko dutelarik. Deuseztatu diren monopolo/antimonopolo parea soka segmentu

biri badagozkio, segmentu bi horiek bat egingo dute segmentu luzeagoa eratuz. Monopo-

lo/antimonopolo parea soke segmentu berberan badaude, soka itxi bat eratuko dute [5].

Soken muturren jokaera hori dela-eta, Nielsen-Olesen soken dinamika baino askoz korapi-

latsuagoa da soka erdilokalen dinamika. Hala eta guztiz ere, denborak aurrera egiten duen

heinean, segmentuak desegingo dira; edo elkar lotuko dira soka itxiak edo soka infinituak

eratzeko: Nielsen-Olesen soka-sarearen itxura hartuko du soka erdilokalen sareak.


Soka erdilokalen sarea eta soka elektroahulen sarea aldaratzea interesgarria da (ikus 3.

kapitulua). Eredu elektroahulean, (anti)monopolo magnetikoak daude soka muturretan;

eta, monopolo magnetikoen arteko elkarrekintza ez da monopolo globalen elkarrekintza

bezain eraginkorra. Hala ere, ikusiko dugunez, soka-segmentuak elkar lotuko dute para-

metro-espazioko zenbait eremuetan [91].

2. KAPITULUA

Monopolo globalak

2.1 Sarrera

Aurreko kapituluan deskribatu ditugun defektu topologietako bat, O(3) monopolo globa-

la da. O(3) simetria globalak berez apurtzerakoan [16] agertuko zaizkigu defektu horiek,

geroxeago azterteku dugun legez. Sistemaren huts-barietata S2 esfera da, eta Π2(S2) 6= I

denez, monopolo topologikoak espero ditugu. Are gehiago, sistemak simetria globala due-

nez (eta ez gauge-simetria), lortutako defektua globala izango da.

Denbora luzez aztertu izan da monopolo globala, unibertsoko egitura-eraketaren hazi izan

litezkeelako [68, 98]. Baina azken datu kosmologikoen arabera, defektuak ezin dira izan

egitura-eraketara azalpen bakarra [12, 37, 41]. Halere, defektuak inflazioarekin batera

emango dira eredu batzuen arabera. Gainera, materia kondentsatuan –eta beste sistema

batzuetan– monopolo globalak daudenez, eta dituzten berezko propietate bereziengatik,

defektu horien azterketa oso interesgarria da.

Monopolo isolatuaren energia dibergentea da, eremuaren gradiente angeluarrak zerorantz

polikiegi doazelako; baina egoera fisikoetan dibergentzia moztuko da, gertuen dagoen

defektuarekiko R distantzia, cut-off delakoa, erabiliz. Ondorio garrantzitsua ondorioztatu

dezakegu: monopolo globalen sarearen bilakaera eta monopolo magnetikoen sarearena

oso desberdinak dira. Monopolo globalen arteko elkarrekintza luzera handikoa izanik,

monopolo globalak behar beste deuseztatuko dute elkar, eta monopolo ugaritasuneran

31

32 Monopolo globalak

problema saiestuko dute [98] (ikus 1.1.2 atala). Bestalde, grabitate-propietate bereziak

dituzte; adibidez, angelu-solido mentsa (deficit) [16].

Hurrengo atalean, monopolo globalak agertzen diren eredua aurkeztuko dugu, eta mo-

nopolo globalaren zenbait propietate aztertuko dugu. 2.3 ataletik 2.5 ataleraino, O(3)

monopolo globalen egonkortasuna aztertuko dugu, literaturan eztabaidak sortu izan di-

tuena [47, 77, 83]. Eztabaida argitzen saiatuko gara; horretarako:

• Perturbazio erradialekiko monopoloa egonkorra dela erakutsiko dugu [77] (2.3 atala).

• Monopolo esferikoaren egonkortasuna aztertuko dugu ardatz-simetriako deformazio

finituekiko (2.4 atala). Monopoloa eta hutsaren arteko energia-diferentzia finitua

dela erakutsiko dugu; hau da, monopolo esferikotik hasita, hutsera ebainduko den

konfigurazioa lortzeko behar den energia, finitua da. Lehenengo, erradio finkodun ge-

ruza esferikoaren egonkortasuna aztertuko dugu, Belavin-Polyakov monopolora [17]

eramango gaituena; eta, orduan, erradioa aldatu daitekeen kasua landuko dugu.

Azkenik, purturbatu gabeko monopolotik hutsera ebainduko den monopolo-konfi-

gurazioa lortzeko beharrezkoa den energia kalkulatuko dugu. Harrigarria da karga

topologiko ezberdineko sektoreak energia finituko langaren bidez banandurik ego-

tea. Kasu honetan, r konstanteko bi-dimentsioko gainazaletan gradiente-energiaren

eskala-aldaezintasunaren ondorio da.

• Ardatz-simetriako perturbazio-ekuazioak aztertuko ditugu, R cut-off parametroa

infinitura doan limitean (2.5 atala). Frogatuko dugu ardatz-simetriako perturbazio

infinitesimalekiko egonkorra dela O(3) monopolo globala.

Emaitza horiek orokortuko ditugu 2.6 atalean, monopoloaren egonkortasunerako poten-

tzial eskalarraren xehetasunak garrantzitsuak ez direla erakutsiz. Azkenik, 2.7 atalean

kapitulu honetako emaitza garrantzitsuenak laburbilduko ditugu.

2.2 Eredua 33

2.2 Eredua

O(3) monopolo globalak ager daitezkeen eredurik simpleena ondorengo lagrangearrak des-

kribaturikoa da

L = 12∂µΦ

a∂µΦa − 14λ(|Φ|2 − η2)2 , (2.1)

non Φa, a = 1, 2, 3 hirukote eskalarra den, |Φ| eremuaren modulua (|Φ| ≡√

ΦaΦa), eta µ =

0, 1, 2, 3 indize espazio-denboralak. Eredu horrek O(3) simetria du, berez O(2) simetriara

apurtuko dena. Sistemaren (2.1) lagrangearraren energia potentzialak “Mexikar Kapela”-

ren itxurakoa da (1.2 irudia); eta, honenbestez, hutsaren endekapena gertatuko da, i. e.,

|Φ| = η betetzen duten eremuen konfigurazio guztiak izango dira sistemaren oinarrizko

egoerak. Oinarrizko egoera guztiak baliokideak dira; bada, horietako bat aukera dezakegu,

adibidez Φ = (0, 0, η), teoriaren benetako espektroa lortzearren. Beraz, argi dago hutseko

egoerek O(2) simetria dutela (eginiko aukerarako, O(2) simetria goiki bi gaien errotazioei

dagokie); horregatik diogu simetria berez apurtu dela. Φa eremuak, (0, 0, η) oinarrizko

egoeraren (α, β, ν) perturbazio moduan idatziko ditugu:

Φ =

α

β

(η + ν)

, (2.2)

eta (2.1) lagrangearra garatuko dugu:

L = 12(∂µα∂

µα + ∂µβ∂µβ + ∂µν∂

µν) − λη2ν2 + Lint , (2.3)

non Lint eremuen arteko elkarrekintzak deskribatuko dituen. Lagrangearra aurreko (2.3)

moduan idatzita dagoela, zenbat partikula dugun irakur dezakegu: Goldstone-ren 2 bosoi

(α eta β eremuei dagozkienak), eta ms =√

2λη2 masadun eremu eskalarra (ν eremuari

dagokiona).

Hasierako (2.1) lagrangearrean dauden λ eta η parametroak desagertarazi ditzakegu, bai

eremuak bai koordenatuak ondoko eran berdefinituz:

Φa → Φa =Φa

η;

xµ → xµ =√

λη2xµ . (2.4)


Ondokoa da benetan egin duguna: η energia-unitatetzat hartu, eta m−1s eremu eskalarra-

ren masaren alderantzizkoa luzera-unitatetzat, zenbakizko zenbait faktore gora-behera.

Eskala-aldaketa hori egin eta gero, lagrangearra

L = 12∂µΦ

a∂µΦa − 14(|Φ|2 − 1)2 (2.5)

moduan idatz daiteke, tildeak kendu eta gero. Sistemaren higidura-ekuazioak

2Φa + (|Φ|2 − 1)Φa = 0 (2.6)

dira, eta sistemaren energia

E =

∫

d3x[

12∂µΦ

a∂µΦa + 14(|Φ|2 − 1)2

]

. (2.7)

Huts-barietatea S2 denez, π2(S2) = Z da, eta karga topologiko ez-tribialeko konfigurazioak

eduki ditzakegu. Horietako soluzio bat, simetria esferikoa eta unitate “biribilkapen-zen-

bakia” duena da; hots,

Φa = f(r)xa

r, (2.8)

non r koordenatu esferikoetako koordenatu erradiala den, eta muga-baldintzak f(0) = 0

eta f(r → ∞) = 1.

2.1 irudia: f(r) funtzioaren profila, (2.10) energia zenbakizko metodoen bidez minimizatuz lortua.

Sistemaren energia (2.8) ansatz-a erabiliz ondokoa da

E∞ =

∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

dθ

∫ ∞

0

dr[

12r2(∂rf)2 + f 2 + 1

4r2(f 2 − 1)2

]

. (2.9)

2.2 Eredua 35

Esan beharra dago sistemaren energia erradioarekiko linealki dibergentea dela, gradiente

angularrak ez direlako behar bezain azkar deuseztatzen. Baina, egoera fisikoetan, integrala

ez da infinituraino hedatuko; baizik eta gertuen duen defekturaino bakarrik. Gertuen

dagoen defektua r = R (cut-off) distantziara dagoela emanik, energia finitoa da; hau da,

ER =

∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

dθ

∫ R

0

dr[

12r2(∂rf)2 + f 2 + 1

4r2(f 2 − 1)2

]

. (2.10)

η eta λ parametroak ez bezala, R parametroa garrantzitsua da, eta topologia ez-tribialeko

soluzioen dinamika alda dezake.

(2.8) ansatz-a erabiliz, (2.6) Euler-Lagrangeren ekuazioak

frr(r) +2

rfr(r) −

2

r2f(r) − f(r)(f(r)2 − 1) = 0 (2.11)

moduan idatziko ditugu, non fr = ∂rf . . . Ekuazio horren ebazpen analitikorik ez da

ezagutzen; baina f(r) funtzioaren hurbilketa lor daiteke zenbakizko kalkuluaren bidez

(2.1 irudia).

f(r) funtzioaren jokaera aztertzeko r → ∞ ingurunean, (2.11) ekuazioan t = 1r

aldagai-

-aldaketa egingo dugu:

t4ftt(t) − 2t2f(t) − f(t)(f(t)2 − 1) = 0 . (2.12)

ft(0) ≈ 0 izan behar duela ikus dezakegu t ≈ 0 limitean. f(t) funtzioa Taylor-en seriearen

bidez garatuz, eta t = 1r

deseginez, ondokoa izango dugu

f(r → ∞) ≈ 1 − 1

r2− 3

2

1

r4. . . (2.13)

2.1 irudiaren arabera, f(r = 0) ≈ 12r da; eta r = 0 inguruan, eremuaren balioa ez dago

potentzialaren minimoan; beraz, energia potentziala zonalde hortan, muinean hain zuzen

ere, metaturik dago. Muinetik hurrun, f(r) ≈ 1 denez, eremu eskalarraren dinamika

ikertzearren sistemaren gain beste lotura bat imposatu ohi da: Φa hirukotea ΦaΦa = 1

esferan egon behar duela da lotura berria. Hau da, monopolo globalak muinik izango ez

balu bezela ikertu izan da askotan (σ eredu ez-lineala). Kapitulu honetan, O(3) monopolo

globalen dinamika eta egonkortasuna aztertuko ditugu, askatasun-gradu guztiak erabiliz.


2.3 Egonkortasun erradiala

Monopolo globalaren egonkortasun erradiala aztertzearren, lehen pausoa Derrick-en teo-

rema [36] erabiltzea da:

Demagun Ψ eremu eskalarra dugula denbora dimentsio bakarrean eta D dimentsio espa-

zialetan, eta bere lagrangearra ondokoa dela

L = 12∂µΨ∂

µΨ − U(Ψ) . (2.14)

U(Ψ) erdi-definitu positiboa da, eta teoriaren oinarrizko egoeretarako nulua. Derrick-ek,

D ≥ 2 dimentsioetarako, energia finitodun eta denborarekiko independentea diren soluzio

ez-singular bakarrak oinarrizko egoerak direla frogatu zuen:

Lehenik eta behin, V1 eta V2 magnitudeak definituko ditugu

V1[Ψ] =

∫

dDx 12(∇Ψ)2 ;

V2[Ψ] =

∫

dDxU(Ψ) , (2.15)

non V1 eta V2 erdi-definitu positiboak diren; eta oinarrizko egoeretarako bakarrik biak

batera nuluak dira. Demagun Ψ(x) denborarekiko menpekotasunik ez duen soluzioa dela.

Izan bedi

Ψα(x) ≡ Ψ(αx) (2.16)

eremuaren parametro-bakarreko familia, non α zenbaki positiboa den. Familia horren

energia honako hau da

E[Ψα] = V1(Ψα) + V2(Ψα) = α2−DV1(Ψ) + α−DV2(Ψ) . (2.17)

α parametroarekiko energiaren aldakuntza eginez, ondokoa lortuko dugu

δE

δα= (2 −D)V1(Ψ)α1−D −Dα−(D+1)V2(Ψ) = 0 , (2.18)

eta α = 1 finkatuz beste hau

(D − 2)V1(Ψ) +DV2(Ψ) = 0 . (2.19)

2.3 Egonkortasun erradiala 37

D ≥ 2 kasurako, bi funtzioek nuluak izan behar dute; eta, ondorioz, teorema frogatu dugu

(D = 2, V2 ≡ 0 kasu berezia neutroki egonkorra da; beranduago erabiliko dugu 2.4.3

atalean).

Monopolo globalaren energia ez da finitua; eta, ondorioz, Derrick-en teorema ezin da apli-

katu. Horrek ez du zuzenean esan nahi monopoloa eskala-aldaketekiko egonkorra denik;

baizik eta Derrick-en teorema nolabait aldatu behar dugula kasu honetarako:

[77] lanean eginikoaren arabera, monopolo globalaren (2.10) energian x → αx aldagai-

-aldaketa eginez idatziko dugu

Eα =1

α

(

I1(αR) + I2(αR) +1

4α2I3(αR)

)

, (2.20)

non I1, I2 eta I3 honela definiturik dauden:

I1(αR) =

∫ αR

0

dr 12r2(∂rf(r))2 ;

I2(αR) =

∫ αR

0

drf(r)2 ;

I3(αR) =

∫ αR

0

drr2(f(r)2 − 1)2 . (2.21)

Sistema egonkorra bada, f(αr) eremuaren energiak α parametroarekiko minimoa izan

behar du; hau da,

δEαδα

∣

∣

∣

∣

α=1

= 0 ; (2.22)

δ2Eα

δα2

∣

∣

∣

∣

α=1

≥ 0 . (2.23)

(2.22) ekuaziotik

I1(R) + I2(R) +3

4I3(R) = 1

4R3(f(R)2 − 1)2 +Rf(R)2 + 1

2R3fr(R)2 (2.24)

erlazioa ondorioztatu dezakegu, eta f(r) funtzioaren (2.13) eite asintotikoa erabiliz ondo-

koa lortuko dugu

I1(R) + I2(R) +3

4I3(R) = R , (2.25)

O(1/R) ordenako gaiak arbuiatuz. Ekuazio hori birialen teorema da, monopoloaren gra-

diente-energia eta energia potentziala erlazionatzen baititu.


2.2 irudia: (2.25) birialen teoremaren zenbakizko simulazioa Perivolaropoulos-en arabera [77].

(2.25) ekuazioaren ezkerraldeko integralen zenbakizko hurbilketei dagozkie puntuak, eta (2.25)

ekuazioak aurresaten duen unitate maldari dagokio lerro zuzena.

Era berean, (2.23) ekuaziotik abiatuta

I1(R) + I2(R) +3

2I3(R) − R ≥ 0 (2.26)

lor dezakegu (2.13) ekuazioa erabiliz; eta, (2.25) kontuan hartuz ondoko hau ere bai

3

4I3(R) ≥ 0 . (2.27)

I3 integralaren integrakizuna positiboa denez, azken inekuazioa egia da.

Aurreko atalean lortutako f(r) funtzioa erabiliz (ikus 2.1 irudia), monopolo globalen bi-

rialen teorema bete egiten da, 2.2 irudian ikus daitekeenez,

Ondorioz, monopolo globalak eskala-aldaketekiko egonkorrak dira.

2.4 Egonkortasun angeluarra

2.4.1 r finkoko perturbazioak

Ardatz-simetriako perturbazio angeluarrei dagokienez, hainbat desadostasun egon da li-

teraturan [47, 77, 83]; eta, lan honen bidez, perturbazio horiekiko monopolo globalaren

2.4 Egonkortasun angeluarra 39

egonkortasuna argitzen saiatuko gara [7].

Perturbazio angeluarren eragina argitzeko, ondorengo ardatz-simetriako ansatz-a plaza-

ratu zuen Goldhaber-ek [47]

Φ1 = F (r, θ) sin θ(r, θ) cosϕ ;

Φ2 = F (r, θ) sin θ(r, θ) sinϕ ;

Φ3 = F (r, θ) cos θ(r, θ) . (2.28)

y = ln(

tan( θ2))

aldagai-aldaketa eginez, monopoloaren energia ondoko eran idatz daiteke

E =

∫ 2π

0

dϕ

∫ ∞

−∞dy

∫ R

0

dr 12

(

ρ1 + r2sech2yρ2

)

, (2.29)

non

ρ1 = (∂yF )2 + F 2(

sin2θ + (∂y θ)2)

; (2.30)

ρ2 = (∂rF )2 + F 2(∂rθ)2 + 1

2(F 2 − 1)2 (2.31)

diren. (2.30) ekuazioan parentesi artean dagoen batugaiak sine-Gordon solitoiaren energia

berbera du (ikus B eranskina). Ondorioz,

F (r, y) = f(r) ;

tan(

θ2

)

= eξ+y = tan(

θ2

)

eξ , ξ = const , (2.32)

moduko konfigurazioak, (2.8) konfigurazioaren energia berbera du, sine-Gordon ereduaren

soluzio estatikoa dela-eta. ξ konstantea hautazkoa da, sine-Gordon ereduaren aldaezinta-

sun translazionalaren konstantearen analogoa. ξ ≫ 1 egitean, sistemaren gradiente-ener-

gia nahi bezain txikia den ipar poloaren ingurune batean meta dezakegu, energiarik erabili

gabe! (ikus 2.3 irudia).

Gradiente-energia nahi bezain txikia den ingurune batean meta ahal izateak ondokoa

esan nahi du: sistemak energia-dentsitate altuak lor ditzakeela. Eta energia-dentsitatea

behar bezain handia denean, sistemak eremuaren modulua jaitsi nahi izango du, poten-

tzial-langaren gainetik salto eginez, eta biribilkapena deseginez. Beste era batera esanda,

gradiente-energiaren kontzentrazio handia dagoenez, energia potentzial bihurtuko da gra-

diente-energia, eta biribilkapen-zenbaki nuluko hutsera ebainduko da.


2.3 irudia: Φ eremua ϕ = 0, π planoan r finkorako; a) ξ = 0, b) ξ = 0.7, c) ξ = 1.4. Bektore

horizontala (Φ3 = 0) azpimarratuta dago gradiente-kontzentrazioa hobeto ikus ahal izateko.

Monopolo globalaren propietate horrek sortu du literaturan dagoen eztabaida. 2.4 a) iru-

dian perturbatu gabeko monopolo global esferikoa ikus daiteke; eta, 2.4 b) irudian, aldiz,

ξ konstanteko monopolo globala. 2.4 b) itxurako konfigurazioko monopoloak potentzial-

-langa salto egin lezakela arrazoitu zuen Goldhaber-ek [47]; horrela hutsera ebainduz.

Beste alde batetik, konfigurazio hori duten monopoloak goranzko bultzada nabarituko

dela diote [83] artikuluan; eta, hortaz, monopoloa gorantz higituko dela. Hirugarren ikus-

puntu bat ere badago [77], aurreko bi fenomenoak gertatu daitezkeela argudiatzen duena:

monopoloa potenzial-langaren gainetik salto egingo du, baina, aldi berean, gorantz higi-

tuko da. 2.4 b) irudiaren arabera, θ konstanteko kono batean metatuko ditu gradienteak

ξ =konstanteko (2.32) konfigurazioak. Muinetik gertu gradiente-dentsitatea handiagoa

denez, barruko geruzetan gertatuko da gradiente-energiaren transformazioa energia po-

tentzialera; eta, gero, konpoaldera joango da. Horrela, bada, monopoloaren translazioa

eta desbiribilkapena gauza berbera dira.

Sistemak biribilkapena deuseztatzeko behar duen gradiente-energiaren estimazioa egiteko

asmoz, kalkulu semianalitikoa egin dezakegu. Sistemak simetria berrezartzeko behar duen

azalera-unitateko energia potentziala honako hau da

EpotA

≈ η4λ

4. (2.33)

Eskala aldatu gabe erabili ditugu eremu eta koordenatuak, λ eta η parametroak esplizituki


2.4 irudia: Monopolo globalaren adierazpide eskematikoa kasu ezberdinetarako: a) ξ = 0, b)

ξ =konst, c) ξ = konst+ ln(r).

ager daitezen nahi baitugu. Ipar poloaren inguruko geruza esferikoak (ikus 2.5 irudia)

energia potentzialaren maximora “igotzeko” behar duen energia (θ txikia denean) ondokoa

da:

A ≈ πr2θ2 , Epot ≈η4λ

4πr2θ2 , (2.34)

r eta θ koordenatuak, jatorria monopoloaren muinean duten ohizko koordenatu esferikoak

izanik.

r erradioko esferaren energia osoa ondokoa izango da

Egrad ≈ 4πη2 , (2.35)

eta energia horren zati bat, ipar poloaren inguruan dugun geruza esferikoan egongo da

metaturik. Orduan, r jakin baterako, badakigu zein θ0 angeluaren barruan egon behar

duten gradienteek metaturik (2.5 irudia)

γ4πη2 ≈ η4λ

4πr2θ2

0 ⇒ θ20 ≈ 16γ

r2η2λ, (2.36)

non γ parametroa geruza esferikoan dagoen gradiente-energiaren proportzioa den (γ ≈ 12).

Φ3(θ0) = 0 dela badakigu, θ0 angeluaren definizioagatik; eta, hortaz, (2.32) konfigurazioa


2.5 irudia: Bektore horizontalaren Φ3 = 0 (ikus 2.3 irudia) aplikazio puntua θ0 angelua osatzen

du z ardatzarekiko. Angelua behar bezain txikia bada, ipar poloaren inguruko gradiente-kon-

tzentrazioa nahikoa izango da biribilkapena desegiteko. Gradienteak A ∼ πx20 ∼ πr2θ2 azaleran

egongo dira metaturik.

erabiliz ondokoa lortuko dugu

Φ3(θ0) = cos θ0 = 0 ⇒ θ0 = π2

⇒

⇒ tan(

θ02

)

= tan(

θ02

)

eξ = 1 ⇒ θ0 ≈ 2e−ξ . (2.37)

Emaitza hori eta (2.36) ekuazioa erabiliz, ξ parametroa –monopoloa desegiteko sistemak

behar duen gradiente-kontzentrazioa– kalkulatu dezakegu; honela:

ξ ≈ 12ln

(

η2λ

4γ

)

+ ln(r) ⇒ ξ ≈ const + ln(r) . (2.38)

2.4 c) irudian horrelako konfigurazioaren adierazpidea ikus daiteke.

2.4.2 r finkoko zenbakizko simulazioa

Aurreko ataleko kalkulu semianalitikoa egiaztatzearren, zenbait zenbakizko simulazio egin-

go dugu. Orain arte, monopolo globalaren egonkortasuna aztertu dugu; baina, r finkoa

denean; hots, geruza ezberdinen arteko elkarrekintza arbuiatuz. Honenbestez, r finkoko

kasuan, eta deribatu erradialak kontuan hartu gabe, (2.5) lagrangearraren aldakuntza

eginez lorturiko ekuazioen analisia burutuko dugu zenbakizko metodoak erabiliz:

Φa =1

r2sin θ∂θ(sin θΦ

aθ) +

1

r2sin2θΦaϕϕ − Φa(|Φ|2 − 1) . (2.39)


Ardatz-simetriako sistemak soilik kontuan hartu ditugunez, ondorengo ansatz-a erabiliko

dugu:

Φ1 = h(r, θ, t)cosϕ ;

Φ2 = h(r, θ, t)sinϕ ;

Φ3 = g(r, θ, t) , (2.40)

non r aldagai dinamikoa ez den; baizik eta parametroa. Bada, h eta g funtzioek beteko

dituzten

h =1

r2

(

hθθ +1

tanθhθ −

h

sin2θ

)

− h(h2 + g2 − 1) − βh ;

g =1

r2

(

gθθ −g

sin2θ

)

− g(h2 + g2 − 1) − βg (2.41)

ekuazioen denbora-eboluzioaren kalkuluan datza gure problema; zenbakizko simulazioak

erabiliz. β biskositate-gaia sartu dugu ekuazioetan, zenbakizko integrazioa azkartzeko.

Zenbait simulazio egin dugu β desberdinetarako: β = 0 baliotik β = 0.5 balioraino. Ez da

aldaketa nabarmenenik ageri β desberdinetarako; diferentzia bakarra izanik simulazioak

behar duen denbora sistemaren bilakaerarako. Atal honetako simulazioetan β = 0.1 erabili

dugu; balio horrekin sistemaren dinamika ez da ez azkarregia ez motelegia.

Kontuan hartu behar da θ = 0 eta θ = π puntuetan, ekuazioak ez daudela ongi definituta:

hθθ + hθ

tanθ− h

sin2θ

∣

∣

θ∼0= −h(0)

θ2+(

−h(0)3

+ 32hθθ(0)

)

+O(θ) ;

hθθ + hθ

tanθ− h

sin2θ

∣

∣

θ∼π = − h(π)(θ−π)2

+(

−h(π)3

+ 32hθθ(π)

)

+O(θ − π) ;

gθθ + gθ

tanθ

∣

∣

θ∼0= gθ(0)

θ+ 2gθθ(0) +O(θ) ;

gθθ + gθ

tanθ

∣

∣

θ∼π = gθ(π)(θ−π)

+ 2gθθ(π) +O(θ − π) , (2.42)

non hθ = ∂θh. . . Ekuazioak ongi definituak egon daitezen, h(θ = 0) = h(θ = π) = 0 eta

gθ(θ = 0) = gθ(θ = π) = 0 muga-baldintzak erabiliko ditugu. Ohar zaitezte h funtzioaren

muga-baldintza lehenago ere behar genuela, (2.40) ansatz-a ongi definitua egon zedin.

(2.41) ekuazioak ebatziko ditugu, ondoko ekuazio-sorta

h = f(r) sin θ ;

g = f(r) cos θ ;

tan θ = tan θ eξ0 , (2.43)


hasierako konfigurazio gisa erabiliz, r eta ξ0 parametroen balioa finkatu ostean. Horreta-

rako, pauso-anitzeko Runge-Kutta metodoa erabili dugu1.

2.6 irudia: (2.43) konfigurazioa hasierako baldintza erabiliz (2.41) ekuazioen zenbakizko simu-

lazioen irudia, denbora desberdinetarako: a) ξ0 = 0.2 denenan, b) ξ0 = 1 denean. Bi kasuetan

bektore horizontala azpimarratu dugu, irudien arteko ezberdintasuna argiago ikusteko.

r eta ξ0 parametroen balio batzuetarako biribilkapena desegin daitekeela erakutsi dute

simulazioek. 2.6 irudian, denbora ezberdinetarako simulazioen emaitzak ikus daitezke,

non r = 8, β = 0.1 diren. a) irudian, ξ0 = 0.2 kasua adierazi dugu; eta b) irudian, aldiz,

ξ0 = 1.0 kasua.

Monopoloak ipar poloaren inguruan astiro kontzentratzen dituela gradienteak ikus daiteke

a) irudian. b) irudian, aldiz, gradienteen kontzentrazioa oso argi dakusagu; eta, gainera,

t = 23.6 aldiunean, monopoloaren biribilkapena deuseztatu egin da.

Hurrengo urratsa izango da edozein r-ren baliotarako biribilkapena deuseztatzeko behar

den ξ0 minimoa kalkulatzen duen programa erabiltzea. r finkoko prozesua, behin eta

berriz errepikatu dugu r parametroaren balio ezberdinetarako; eta, balio bakoitzerako,

1Dormand&Price-en [52] dopri5 kodean oinarritu dugu gure kodea.


ξ0 aldatuz joan gara, biribilkapena deuseztatu dezakeen ξ0 minimoa lortu arte. Sistema

hutsera noiz ebaindu den programak jakin dezan, irizpide bat aukeratu behar dugu: 2.6

irudian ikus daitekeenez, hutsean ez dauden konfigurazioetan bektore horizontala dago;

eta hutsean daudenetan, ez. Bektore horizontalik ez egotea eta g funtzioak inon nulua ez

izatea, gauza berbera da. Ondorioz, g funtzioak zerorik ez duenean, konfigurazioa hutsean

dagoela erabakiko du programak.

Hori egin eta gero, adierazpen analitiko bakuneko kurba baten bidez hurbildu ditugu

lorturiko datuak. 2.7 irudian ikus daitekeenez,

ξ0(r) = a0 + b0lnr ,

a0 = −1.12

b0 = 1.07(2.44)

funtzioaren bidez, oso hurbilketa ona lortu dugu.

2.7 irudia: Puntuak, zenbakizko kalkuluaren bidez lorturiko balioak dira, eta lerro jarraitua,

(2.44) ekuazioaren adierazpide-grafikoa da.

Kalkulu semianalitikoen bidez lorturiko (2.38) ekuazioarekin bat dator (2.44) ekuazioa-

ren forma funtzionala. Ondorioz, ξ-ren ξ0 balio kritiko batetik aurrera desbiribilkapena

gertatuko dela uste dugu; eta, gainera, ξ-ren r-rekiko menpekotasuna logaritmikoa da

(ξ ∼ ln r+konst). Kontuan hartu behar da, halere, zenbakizko simulazio horiek ez direla

gai monopoloaren muinaren translazioa eta monopoloaren desbiribilkapena desberdintze-

ko; eta, ondorioz, ezin izango dute literaturan dagoen eztabaida argitu [47, 77, 83].


2.4.3 Belavin-Polyakov monopoloa

Elkarrekintza erradialak arbuiatuz, biribilkapenaren desegitea ulertzeko, r konstanteko

esferak aztertzeaz gain, z konstanteko planoak azter genitzake. Ikuspuntu honek Belavin-

Polyakov monopolora [17] garamatza.

Belavin-Polyakov monopoloaren eredua da, unitate moduluko hiru osagaiko eremu-teoria,

bi dimentsiotan. Ereduaren lagrangearra honako hau da

L = 12∂µΦ

a∂µΦa , (2.45)

non |Φ|2 = 1 den. Φa eremuaren muga-baldintzak ondoko hauek dira (ikus 2.8 irudia)

Φa(r = 0) = (0, 0, 1) ;

Φa(r → ∞) = (0, 0,−1) . (2.46)

Azken propietate horrengatik, z konstanteko planoa eta S2 esfera topologikoki baliokideak

dira; r → ∞ puntua eta S2 esferaren hego poloa identifikatuz gero. Hortaz, Φa eremua

S2 → S2 aplikazioa da, eta topologikoki baliokide ez diren konfigurazioak eduki ditzakegu.

Gure kasuan (ikus 2.8 irudia) karga topologikoa unitatea izango da.

Bi dimentsiotan dagoen testura da Belavin-Polyakov monopoloa. Aurreko kapituluan ikusi

degunez (1.1.1 atalean), testuren sailkapen eta beste defektu topologikoena ez da berdina.

Topologiak ez du ziurtatuko espazioko punturen bat huts-barietatik kanpo egongo denik;

eta karga topologiko ezberdineko konfigurazioen artean ez dago energia infinituko langarik.

y = ln(r) aldagai-aldaketa eginez, eta

Φ1 = sin θ(y) cosϕ ;

Φ2 = sin θ(y) sinϕ ;

Φ3 = cos θ(y) , (2.47)

ansatz-a erabiliz, lagrangearra honela idatz dezakegu:

L = 12e−2y

(

θ2y + sin2θ

)

. (2.48)


2.8 irudia: Belavin-Polyakov monopoloaren Φ eremuaren adierazpide-grafikoa. (2.32) konfigura-

zioak z konstanteko ebakidura plano batetan duen itxurarekin antz handia du (ikus 2.4 irudia).

Bektoreak goranzko norantza du r = 0 puntuan, eta beheranzkoa r → ∞ denean.

Ikus daitekeenez, sine-Gordon ereduarekin egin dugu topo berriro ere (ikus B eranskina);

bada, badakigu problemaren ebazpena ondokoa dela:

tan

(

θ

2

)

= ey−y0 . (2.49)

Arestian ikusi dugunez, horrelako sistema baten egonkortasun erradiala Derrick-en teore-

maren bidez azter daiteke. Derrick-en teoremaren D = 2 eta V2 = 0 kasu bereziari dagokio

Belavin-Polyakov eredua, eta eskala-aldaketekiko egonkorra da.

Baina monopolo globalaren z konstanteko planoaren bidezko ebakidura ez da Belavin-

Polyakov monopoloaren guztiz baliokide: monopolo globalaren moduluak ez du unitatea

izan behar (ez gaude σ eredu ez-linealean); eta, gainera, energia potentziala du. Planoan

dugun lagrangearra ondokoa da

L = 12∂µΦ

a∂µΦa − 14(|Φ|2 − 1)2 . (2.50)

Kasu horretan, Derrick-en teoremaren arabera, konfigurazio hori ez-egonkorra da eskala-

-aldaketekiko. Egiaztatu dezagun, sistemaren dinamikaren zenbakizko simulazioa eginez.

Simetria erradiala denez (bi dimentsiotan), ondorengo ansatz-a erabil dezakegu

Φ1 = ψ1(r, t)cosϕ ;

Φ2 = ψ1(r, t)sinϕ ;

Φ3 = ψ2(r, t) , (2.51)


eta Belavin-Polyakov monopoloaren soluzioa izango da hasierako konfigurazioa. y = ln(r)

aldagai-aldaketa deseginez eta α = ey0 definituz, ondokoa idatzi ahal izango dugu:

ψ1 =2 r α

1 + r2α2;

ψ2 =1 − r2α2

1 + r2α2. (2.52)

Zenbakizko metodoen bidez ebatzi ditugun ekuazioak honako hauek dira

ψ1tt − ψ1

rr − ψ1r

r+ ψ1

r2+ ψ1(|ψ|2 − 1) = 0 ;

ψ2tt − ψ2

rr − ψ2r

r+ ψ2(|ψ|2 − 1) = 0 . (2.53)

r = 0 puntuko dibergentziak desagertarazteko, ψ1(0) = 0 eta ψ2r(0) = 0 erabiliko dugu,

arestian egin dugun moduan (2.42). Aurreko kasuan erabili dugun zenbakizko metodoa

erabili dugu kasu honetan ere.

Simulazioetan ikus daiteke sistema ez dela eskala-aldaketekiko egonkorra (ikus 2.9, 2.10,

2.11 irudiak); eta sistemaren dinamikak berez desegingo duela biribilkapena. α = 1 kasuko

simulazioaren adierazpide-grafikoa 2.9 irudian ikus daiteke. Monopoloa desbiribilkatu dela

dakusagu, uzkurtzeko denborarik eduki gabe. Orduan, energia igorriko du hutsera iritsiko

den arte. 2.10 eta 2.11 irudietan, α = 0.5 eta α = 0.2 kasuetako emaitzak ikus daitez-

ke, hurrenez hurren. Kasu horietan, desbiribilkapena gertatu baino lehen, monopoloaren

uzkurketa dakusagu. Eremua puntu guztietan beheranzko noranzkoa denean, sistemak

energia igorriko du hutsera helduko den arte (ez dugu igorpena irudietan adierazi, 2.9

irudiaren azken irudien berdina baita prozesua).

Ondorioz, nahiz eta Belavin-Polyakov monopoloa egonkorra den |Φ|2 = 1 loturarekin

(σ eredu ez-lineala), ez da sistema osoaren zela-puntua ere. Are gehiago, ikuspuntu hori

harturik, monopolo globala sistemaren hutsera ebaindu edo muina higituko dela ikusi

dugu, deribatu erradialak arbuiatuz gero.

2.4.4 r guztietarako simulazioa

Ikusi dugunez, r bakoitzari dagokion ξ konstantea aukeratuz, monopoloaren biribilkapena

deuseztatu daiteke. (2.28) ansatz-a orokortzeko bidea, ξ parametroa funtzio bihurtzea da;


2.9 irudia: (2.53) higidura-ekuazioen zenbakizko simulazioen adierazpide-grafikoa, α = 1 kasura-

ko. Φa eremua dago adierazita aldiuna desberdinetan, bektoreen osagaiak (ψ1, ψ2) izanik, hau da,

z=konstanteko planoa dago adierazita ϕ = 0 eginez. Ordenatuetan simulazioari dagokion aldiu-

nea irakur daiteke. t = 0.8 denean, monopoloaren biribilkapena deuseztatu egin da, eta ondoren,

hutseko konfiguraziora heldu gara.


2.10 irudia: (2.53) higidura-ekuazioen zenbakizko simulazioen adierazpide-grafikoa, α = 0.5 ka-

surako. Φa eremua dago adierazita, 2.9 irudian bezala. Monopoloa uzkurtu egin da t = 1.5

aldiunerarte. Orduan, desbiribilkatu egin da eta energia igorri du hutsera heltzeraino, α = 1

kasuan bezala.


2.11 irudia: (2.53) higidura-ekuazioen zenbakizko simulazioen adierazpide-grafikoa, α = 0.2 ka-

surako. Adierazpide hau, α = 1 eta α = 0.5 kasuen analogoa da (ikus 2.9 , 2.10 irudiak). Kasu

honetan, sistemak denbora gehiago behar du uzkurtzeko, baina azkenean, t = 3.9 aldiunean,

desegin egin da monopoloa eta hutsera ebaindu da energia igorriz.


r aldagaiarekiko menpekotasuna duen funtzio hain zuzen ere, hots, ξ = ξ(r):

tan

(

θ

2

)

= tan

(

θ

2

)

eξ(r) . (2.54)

Berori ansatz orokortzat erabiliz, ξ(r) > ξ0(r) kasuetarako biribilkapena deuseztatzea

espero dugu; non r bakoitzerako ξ0 balioa (2.44) ekuazioak emanikoa da.

Arestian ikusi dugunez, muinaren translazioaren ondorio izan daiteke monopoloaren itxu-

razko desbiribilkapena. Problema horri aurre egiteko, konfigurazio nahasi bat erabiliko

dugu: perturbatu gabeko monopoloa r < r1 zonaldean (ikus 2.4 a) irudia); soka motako

konfigurazioa r < r2 zonaldean (2.4 b) irudia); eta, interpolazio jarraitua bi zonaldeen

artean:

F (r, y) = f(r) ;

ξ(r) =

0 r < r1

c(

1 − r1r

)

r1 < r < r2

a+ b ln(r) r2 < r

, (2.55)

non a, b eta c aukeratuko ditugun ξ(r) funtzioa jarraitua izan dadin (hasierako konfi-

gurazioaren adierazpide da, adibidez, irudiko t = 0.0 aldiunea). Konfigurazio horretatik

abiatuz, zenbakizko simulazioak egin ditugu ondoko higidura-ekuazioak askatzeko

2Φa + Φa(|Φ|2 − 1) − βΦa = 0 . (2.56)

Integrazioa azkarrago gerta dadin, biskositate-gaia batu dugu. 2.4 atalean bezala, β pa-

rametroaren balio ezberdinetarako eginiko simulazioen arabera ez ditugu aldaketa nabar-

menak ikusi, sistemaren bilakaerarako behar den denbora izan ezik.

Gure sistemak ardatz-simetria duenez, eremuaren Φ1 osagaiaren ekuazioa eta Φ2 osagaia-

ren ekuazioa, ekuazio berbera da. Koordenatu zilindrikoak (ρ,ϕ,z) erabiliz, eremuaren ϕ

aldagaiarekiko menpekotasuna ezaguna da simetriagatik. Ondorioz, askatu behar ditugun

ekuazioak Φ1 eta Φ3 osagaien ekuazioak dira (adibidez); eta eremuaren osagai bakoitzak ρ

eta z aldagaiekiko menpekotasuna izango du. Aurreko metodo bera erabili dugu ekuazioak

askatzeko: pauso anitzeko Runge-Kutta metodoa.


2.12 irudia: Zenbakizko simulazioak egiteko erabili ditugun (2.55) hasierako konfigurazio desber-

dinen ξ funtzioaak eta (2.44) kurba (lerro jarraitua), r > r2 puntuetarako.

Zenbakizko simulazioen emaitzak 2.13–2.17 irudietan ikus daitezke. (2.55) hasierako kon-

figurazioaren zenbait parametroren balio ezberdineko simulazioak adierazi ditugu. Guz-

tietan, b = 1, r1 = 3, r2 = 6 eta β = 0.5 dira; baina a, aldatu egin dugu guztietan (eta

ondorioz c ere bai, konfigurazioaren jarraitasuna mantentzeko).

Lehengo a = −1.3 kasua simulatu dugu (ikus 2.13 irudia); gero, a = −0.54 kasua (2.14,2.15

irudiak); eta azkenik, a = 0.9 kasua (2.16,2.17 irudiak). 2.12 irudian, hasierako konfigu-

razio horiek eta aurreko atalean lortutako (2.44) kurbaren arteko alderaketa ikus daiteke.

Kasu guztietan, ϕ = 0, π planoan adierazi ditugu bektoreak; eta, ondoan, energia poten-

tziala puntu grisen bidez; puntua geroz eta argiagoa izan orduan eta handiagoa izango

da energia potentziala. Monopolo global esferikoaren deformazio angeluarra baino ez da

hasierako konfigurazioa; eta beraz, monopolo esferiko perturbatu gabearen berdina da

hasierako konfigurazioen energia potentziala (ikus t = 0 aldiunea irudietan). t aldiune

desberdinei dagozkie ondorengo irudiak, irudi bakoitzaren beheko aldean irakur daitekee-

nez.

Lehenengo kasuan (a = −1.3; 2.13 irudia), biribilkapena deuseztatzeko beharrezko direla

aurresan ditugunak baino txikiagoak dira deformazio parametroak (ikus 2.12 irudia). z

ardatzean zehar metaturik dagoen gradiente-energiak monopoloaren muina gorantz bul-

tzatzen du, monopoloa higiaraziz.

Beste bi kasuetan, ξ funtzioaren balioak monopoloaren biribilkapena deuseztatzeko haina

handiak dira, printzipioz. Muinaren iparraldean gradiente-metaketa dagoela ikus dezake-


2.13 irudia: Aldiune desberdinetarako eremuen eta energia potentzialaren adierazpide-grafikoa;

non a = −1.3, b = 1, c = 1, r1 = 3, r2 = 6, β = 0.5 diren.



non a = −0.54, b = 1., c = 2.51, r1 = 3, r2 = 6, β = 0.5 diren.


2.15 irudia: 2.14 irudiaren jarraipena.



non a = 0.9, b = 1, c = 5.38, r1 = 3, r2 = 6, β = 0.5 diren.


2.17 irudia: 2.16 irudiaren jarraipena.


gu; eta gradiente-energiaren dentsitatea behar bezain handia bada, infiniturainoko (edo

R-rainoko) soka bat sortuko dela ikus dezakegu 2.14 t = 1.5 eta 2.16 t = 0.7 irudietan.

Hori ez da hain harrigarria; z konstanteko plano bakoitzean, Belavin-Polyakov monopoloa-

ren baliokidea den sistema baitugu, eta biribilkapena berez desegingo baituelako sistema

horrek, energia potentziala duen kasuan.

Nahiz eta b) eta c) kasuetan monopoloek biribilkapena desegitea espero genezakeen, joka-

molde ezberdinak dituzte. r2-ren barnean dagoen masaren arabera, bi bilakaera desberdin

ikusi ditugu. Sortu den sokak masa horretatik tira egin behar du. Sokak muina higiarazi

dezake masa hori behar bezain handia ez bada (a = −0.54) ; eta, monopoloa higituz

doan heinean biribilkapena desegingo da. Ezin dugu biribilkapenaren deuseztatzea eta

translazioa distingitu (2.14, 2.15 irudiak, t = 3.0 aldiunetik aurrera).

Baina masa behar bezain handia bada (a = 0.9), monopoloaren muina ez da higituko

(2.16, 2.17 irudiak). Kasu horretan, soka desegingo da, monopolo/antimonopolo bikote bat

sortuz: antimonopoloa, r ≈ r2 puntuan (2.16 irudia, t = 1.4 aldiunean); eta monopoloa,

infinituan (edo r = R puntuan). Antimonopoloa monopolorantz doa (2.16 irudia, t = 2.1

aldiunean); eta elkar deuseztatuko dute, (2.17 irudia, t = 2.8 aldiunean). Deuseztatu

ondoren, askatutako energia igorri egingo du sistemak (2.17 irudia, t = 3.5 eta t = 4.1

aldiunetan), hutsera ebaindu arte (2.17 irudia, t = 4.8 aldiunean).

Bada, parametroen balio desberdinetarako, jokamolde ezberdinak ditugu: a = −1.3 de-

nean, translazio soila; a = −0.54 denenan, monopoloa higiarazi duen sokaren sorrera; eta

a = 0.9 denean, berez hutsera ebainduko den konfigurazioa, nahiz eta, printzipioz, karga

topologikoa kontserbatu behar den.

2.4.5 Energia-langaren kalkulua

Aurreko atalean, (2.55) hasierako konfiguraziotik hasita, monopoloa hutsera ebainduko

dela ikusi dugu. Propietate hori are harrigarriagoa da oraindik ere: (2.8) monopolo esferi-

kotik (2.55) konfiguraziora heltzeko behar den energia finitua dela froga baitaiteke; baita

R → ∞ kasuan ere.


(2.55) konfigurazioaren energia ondokoa da

E[ξ] =

∫ 2π

0

dϕ

∫ ∞

−∞dy

∫ ∞

0

dr 12

[

f 2(

sin2θ + θ2y

)

+

r2sech2y(

f 2r + f 2 θ2

r + 12(f 2 − 1)2

)]

, (2.57)

eta (2.54) konfigurazioa erabiliz honako hau idatz daiteke

E[ξ] = 4π

∫ R

0

dr(

12r2f 2

r + f 2 + 14(f 2 − 1)2

)

+

2π

∫ ∞

−∞dy

∫ R

0

drr2

2f 2 (∂rξ(r))

2 sech2(y) sech2(y + ξ(r)) . (2.58)

2.18 irudia: Zenbakizko metodoen bidez kalkulatutako (2.60) ekuazioko I(ξ) funtzioaren profila:

I(0) = 43 eta I(ξ ≥ 5) ≈ 0.

Perturbatu gabeko monopolo globalaren (2.10) energia da lehenengo integrala; hortaz,

E[ξ] − E[0] = 2π

∫ R

0

drr2

2f 2(r)(∂rξ(r))

2I[ξ] , (2.59)

non

I(ξ) =

∫ +∞

−∞dy sech2(y) sech2(y + ξ(r)) (2.60)

den. I(ξ) integrala alderantzizko kanpaiaren itxurakoa da (ikus 2.18 irudia): I(0) = 4/3

puntuan hasi eta zerorantz doa, oso azkar:

I(ξ) ∼ 16 (|ξ| − 1) e−2|ξ| |ξ| > ξ∗ ≈ 5 denean . (2.61)

2.5 Perturbazio txikiak 61

Bana dezagun integrala bi zatitan propietate hau erabiltzearren

E[ξ] −E[0] = 2π

[∫ r∗

r1

+

∫ R

r∗

] [

drr2

2f 2ξ2

r I(ξ)

]

, (2.62)

non r∗ balioa, ξ(r∗) = ξ∗ betetzen duen erradioa den (r = 0 eta r = r1 tarteko integrala

nulua da, ξ(r) = 0 baita tarte horretan). Lehenengo integrala finitua da, argi ikus dai-

tekeenez. Bigarren integralaren balioa I(ξ) funtzioaren (2.61) forma asintotikoa erabiliz

hurbildu daiteke; eta, ξ = a + ln(r) formako funtzioetarako arbuigarria dela ikus dai-

teke. R → ∞ kasuan, integralaren balioa arbuiagarria da baita ere; integralaren balioa

∼ e−a ξ∗ e−ξ∗ baita.

Are gehiago, konfigurazio-espazioan (2.8) konfigurazioa eta (2.55) konfigurazioa lotu dai-

tezke, E[ξ] − E[0] energia-diferentzia finitua mantenduz: lehenengo, ξ funtzioaren balioa

handitu behar dugu, r > r∗ kanpoko geruzetan (ξr = 0) Goldhaber-en deformazioa erabi-

liz, ξ funtzioak ξ∗ balioa lortuko duen arte. Orduan, menpekotasun erradiala doitu (2.55)

konfigurazioarekin bat egin arte.

Ondorioz, (2.54) konfiguraziotik abiatuta, monopoloak potentzial langa gainditu eta hu-

tsera ebaintzeko behar duen energia, finitua da; gainera,

E[ξ] −E[0]

E[0]→ 0 R→ ∞ denean . (2.63)

R handituz doan heinean, monopolo globalaren E[0] ohiko energiaren zatiki geroz eta

txikiago da energia-diferentzia.

2.5 Perturbazio txikiak

2.5.1 Ekuazioen lorpena

Monopolo globalaren ardatz-simetriako perturbazioak ikertuko ditugu atal honetan. Gold-

haber-ek plazaratutako (2.28) eran idatziko dugu Φa eremua; eta perturbazioak ondorengo

eran parametrizatuko ditugu:

F (t, r, y) = f(r) + δ(t, r, y) ; (2.64)

tan

(

θ

2

)

= (1 + ξ(t, r, y))ey , (2.65)


non f(r) funtzioa (2.8) ekuaziokoa den, eta ey = tan (θ/2). Perturbazio txikiak soilik

kontuan hartuko ditugunez, δ eta ξ funtzioen atal linealak soilik kontuan hartuko ditugu.

Orduan, sin θ eta cos θ adierazpenak ondoko moduan idatzi ahal izango ditugu

sin θ =2tan

(

θ2

)

1 + tan2(

θ2

) ∼ sin θ(1 + ξ cos θ) +O(ξ2) ; (2.66)

cos θ =

(

1 − tan2(

θ2

))2

(

1 + tan2(

θ2

))2 ∼ cos θ − ξ sin2θ +O(ξ2) , (2.67)

eta Φa eremuaren osagaiak, berriz, ondoko era honetan

Φ1 ∼ (f + δ + f ξ cos θ)sin θ cosϕ ;

Φ2 ∼ (f + δ + f ξ cos θ)sin θ sinϕ ;

Φ3 ∼ (fcos θ + δ cos θ − f ξ sin2θ) . (2.68)

Horregatik, sinθ(δ+fξcosθ) espresioa z ardatzean nulua izatea da muga-baldintza zuzena.

δ(θ = 0) eta ξ(θ = 0) finituak izan behar dira; ez dute zertan nuluak izan. Perturbazioen

higidura-ekuazioak lortzeko, (2.5) lagrangearraren F eta θ-rekiko aldakuntza egin behar

dugu; horretarako, ondorengo deribatuak beharko ditugu:

∂ytan

(

θ

2

)

=1

2 cos2(

θ2

) θy = ey(1 + ξ + ξy) ;

∂ttan

(

θ

2

)

=1

2 cos2(

θ2

) θt = eyξt ;

∂rtan

(

θ

2

)

=1

2 cos2(

θ2

) θr = eyξr . (2.69)

Aldagaiak bananduz

θy = sin θ

(

1 + ξy1 + ξ

)

;

θt = sin θ

(

ξt1 + ξ

)

;

θr = sin θ

(

ξr1 + ξ

)

(2.70)


espresioak lortuko ditugu. Berriro deribatuz, eta batugai linealak soilik kontuan hartuz,

ondoko espresioak lortuko ditugu

θyy ∼ sin θ(cos θ + ξ cos(2θ) + ξy sin θ + 2ξy cos θξyy +O(ξ2) ;

θtt ∼ sin θ ξtt +O(ξ2) ;

θrr ∼ sin θ ξrr +O(ξ2) . (2.71)

Orain, lagrangearraren aldakuntza egin dezakegu zuzenean. ξ funtzioa ondoko eran ber-

definituz

X = fξ , (2.72)

lortutako ekuazioak hauek dira:

0 = r22δ + 2δ + r2(3f 2 − 1)δ + 2Xy − 4Xtanhy ;

0 = r2sech2y2X + sech2y(

r2(f 2 − 1) + 2)

X + 2tanhyXy − 2δy . (2.73)

δ = eiωtδ(r, y) eta X = eiωtX(r, y) eran idatziz gero, (2.73) ekuazioak ω2 balio propioen

sistema bilakatu daitezke. δ eta X funtzio propioei dagokien ω2 negatiboa denean, ez-

-egonkortasunak daude. Txapel-ikurra kenduz, eta u = tanhy aldagai-aldaketa eginez,

ondoko ekuazioak lortuko ditugu

r2ω2δ = −∂r(r2δr) − (1 − u2)δuu + 2uδu +

(2 + r2(3f 2 − 1))δ + 2(1 − u2)Xu − 4uX ;

r2ω2X = −∂r(r2Xr) − (1 − u2)Xuu + 4uXu +

(2 + r2(f 2 − 1))X − 2δu . (2.74)

Gaiak berridatziz, adierazpen horiek ondoko eran idatzi daitezke

R1δ + ∂u[(u2 − 1)δu] − 2∂u[(u

2 − 1)X] = ω2r2δ ; (2.75)

R2X + ∂2u[(u

2 − 1)X] − 2δu = ω2r2X (2.76)

non

Ri = −∂r(r2∂r) + Vi(r) , i = 1, 2 ;

V1(r) = r2(3f 2(r) − 1) + 2 ;

V2(r) = r2(f 2(r) − 1) (2.77)


2.19 irudia: a) V1(r) potentziala r = 0 eta r = 8 balioen artean. b) V1(r) potentziala r = 0 eta

r = 1.5 balioen artean. Minimoa rmin ≈ 0.9 puntuan dago, eta V1(rmin) ≈ 1.63.

2.20 irudia: V2(r) potentziala. Minimoa rmin ≈ 3.52 puntuan dago, eta V2(rmin) ≈ −2.17.

diren (2.19, 2.20 irudietan V1 eta V2 funtzioen profila adierazi da).

Ekuazio horiei begiratuz, ondorengo aldagai-aldaketa egitea otu dakiguke

χ ≡ ∂u[(1 − u2)X] , (2.78)

eta funtzioak Pl(u) Legendre-ren polinomioen oinarrian idatziz:

χ =∑

χl(r)Pl(u) ;

δ =∑

δl(r)Pl(u) . (2.79)

Aldaketa horien ondoren, (2.75) ekuazioa ondoko hau bilakatuko da

R1δl(r)Pl(u) + ∂u[(u2 − 1)∂uPl(u)]δl(r) + 2χl(r)Pl(u) = ω2r2δl(r)Pl(u) , (2.80)


eta Legendre-ren polinomioak betetzen duten propietatea erabiliz

∂u[(1 − u2)∂uPl(u)] + l(l + 1)Pl(u) = 0 , (2.81)

(2.75) ekuazioa Pl(u) desberdineko zatitan banatu dezakegu, ondoko eran:

R1δl + l(l + 1)δl + 2χl = ω2r2δl . (2.82)

(2.76) ekuazioa, Pl(u) desberdina duten zatitan banatu ahal izateko, (1 − u2) binomioaz

biderkatu behar da; eta gero, u-rekiko deribatu. Eragiketa horien ondoren, (2.76) ekuazioa

ondokoa bilakatuko da

ω2r2χl(r)Pl(u) = R2 χl(r)Pl(u) + ∂u [(1 − u2)∂uPl(u)]χl(r) −

2 ∂u [(1 − u2)∂uPl(u)] δl(r) , (2.83)

eta (2.81) propietatea berriro erabili eta gero, ekuazioa ondorengo eran idatz daiteke

R2χl(r) + l(l + 1)χl(r) + 2l(l + 1)δl(r) = r2ω2χl(r) . (2.84)

Azken notazio-aldaketa eginez, x =√

l(l + 1) eta ∆l = xδl, l bakoitzerako perturbazioen

ekuazioak era errazagoan idatziko ditugu:

R1∆l + x2∆l + 2xχl = ω2r2∆l ; (2.85)

R2χl + x2χl + 2x∆l = ω2r2χl . (2.86)

(2.86) ekuazioa lortu ahal izateko, u-rekiko deribatu behar izan dugunez, (2.85,2.86) sis-

temak jatorrizko problemaren ebazpen ez diren soluzioak izan ditzake. Adibidez, l = 0

kasua z ardatzean singularrak diren perturbazioei dagokie; eta fisikoak ez direnez, ez di-

tugu kontuan hartuko. Aldiz, ekuazio horiek ez badute ω2 < 0 baldintza beteko duen

ebazpenik, jatorrizko problemak ere ez ditu edukiko.

(2.85, 2.86) ekuazioak, ondorengo funtzionalaren aldakuntza eginez lor daitezkeela ikus

daiteke

El ≡∫

dr[r2(∆2r + χ2

r) + (V1 + x2)∆2 + (V2 + x2)χ2 + 4x∆χ]

= ω2

∫

r2[∆2 + χ2] , (2.87)


non −r2 ∆ ∆r|∞0 eta −r2 χχr|∞0 muga-gaiak arbuiatu ditugun. Bada, infinituan 1/√r

baino azkarrago doazen soluzioak soilik onartuko ditugu. ∆ eta χ funtzio guztiekiko alde

batetik, eta bestetik l ≥ 1 balioetarako, El funtzionala minimizatuz, ω2 balio propioaren

balio minimoa lortuko dugu.

2.5.2 Ekuazioen analisia

Aurreko atalean, perturbazioen ekuazioak lortu ditugu; eta baita ere ez-egonkortasun

klasikoak lortu ahal izateko minimizatu beharreko funtzionala.

Lehenik, l = 1 sektorea energia minimokoa dela erakutsiko dugu. ∆ eta χ jakinen kasu-

rako, El − E1 enegia-diferentzia ondoko moduan idatz daiteke

El −E1 =

∫

dr[x2(∆2 + χ2) + 4x∆χ− 2(∆2 + χ2) − 4√

2∆χ]

=

∫

dr[Al,+(∆ + χ)2 + Al,−(∆ − χ)2] , (2.88)

non Al,± ≡ [x2 − 2 ± 2(x−√

2)]/2 den. l > 1 (x >√

2) kasurako, Al,± > 0 izango da; eta

orduan, funtzionalaren minimoa l = 1 sektorean dagoela frogatu dugu.

Are gehiago, l > 1 kasuetarako funtzionala positiboa dela frogatu dezakegu funtzionalaren

gai guztiak behetik bornatuz. 2.19 irudian ikus daitekeenez, V1(r) potentziala positibo

definitua da; eta behetik zenbaki positibo batez bornatua (V1(r) > v1 = 1.5). Bestalde,

V2(r) potentziala tarte batean negatiboa da (2.20 irudian ikus daiteke); baina, azpitik

bornatua dago, V2(r) > v2 = −2.17 baita r guztietarako.

(2.87) ekuazioko ∆χ gai gurutzatua bornatu daiteke baita ere, ondoko garapenaren bidez:

∆(r)χ(r) = 12

[

(

∆(r)K(r)

+ χ(r)K(r))2

− ∆(r)2

K(r)2− χ(r)2K(r)2

]

⇒ (2.89)

⇒ ∆(r)χ(r) ≥ −12

[

∆(r)2

K(r)2+ χ(r)2K(r)2

]

⇒

⇒∫

dr∆(r)χ(r) ≥ −12

∫

dr[

∆(r)2

K(r)2+ χ(r)2K(r)2

]

, (2.90)

non K(r) zerorik gabeko funtzioa den.

Deribatuak dituzten gaiak bornatzeko, Hardy-ren desberdintza [54]∫ ∞

0

dr r2h2r(r) ≥ 1

4

∫ ∞

0

dr h2(r) (2.91)


erabil daiteke. Hardy-ren desberdintza ondoko arrazonamenduari jarraituz lor dezakegu:

∫ ∞

0

dr(

rhr + 12h)2

=

∫ ∞

0

dr[

r2h2r + rhhr + 1

4h2]

≥ 0 , (2.92)

eta gai gurutzatua zatika integratuz, ondoko adierazpena lortuko dugu

∫ ∞

0

dr[

r2h2r − 1

4h2]

+ 12rh2∣

∣

∞0

≥ 0 ⇒∫ ∞

0

dr r2h2r ≥ 1

4

∫ ∞

0

dr h2 . (2.93)

Lortu ditugun adierazpenak (2.87) ekuazioan ordezkatuz, funtzionala ondoko eran berri-

datziko dugu

El ≥∫

dr

[(

14

+ v1 + x2 − 2x

K2

)

∆2 +(

14

+ v2 + x2 − 2 xK2)

χ2

]

. (2.94)

χ2 funtzioaren koefizientea zero izan dadin aukeratuko dugu K2 funtzioa; hots,

K2(r) =14

+ v2 + x2

2x. (2.95)

K2 konstante positiboa da x ≥√

2 kasurako: 14

+ x2 > |v2| = 2.17 baita. K2 horretarako,

∆2 funtzioaren koefizientea positiboa da; hau da,

14

+ v1 + x2 − 4x2

14

+ v2 + x2, (2.96)

adierazpena positiboa dela dakusagu x >∼ 2.21 kasurako; honenbestez, l > 1 denean, (2.87)

funtzionala positiboa da.

Ondorioz, funtzionalaren minimoa l = 1 sektorean dago; eta gainera, ez-egonkortasuna

egotekotan, l = 1 sektorean baino ezin daiteke egon.

(2.85, 2.86) perturbazio-ekuazioen soluzio bat ezaguna da l = 1 sektorean eta ω2 = 0

duena: translazio-modu nulua (ikus C eranskina).

∆1 =√

2fr(r) ;

χ1 = −2f(r)/r . (2.97)

Funtzio horien profilaren adierazpide-grafikoa da 2.21 irudia. Higidura-ekuazioen soluzioa

denez, (2.87) funtzionalaren ordezkatzean, integrakizuna nulua da puntu guztietan; eta

ω2 = 0 da edozein R-tarako.


2.21 irudia: Zero modu translazionalean agertzen diren ∆1 eta χ1 funtzioan profilak.

Problemak funtzio bakar baten menpekotasuna balu, problema ebatzita legoke, Sturm-

Liouville problema bat izango bailitzateke. Sturm-Liouville teorian, oinarrizko egoerak

zerorik ez duela ezaguna da [101]. ∆1 eta χ1 funtzioek zerorik ez dutenez, oinarrizko

egoera izango lirateke; eta, ω2 = 0 balioari dagozkionez, monopoloa egonkorra izango

litzateke.

Baina Sturm-Liouville teoriaren emaitza hori ezin da dimentsio bat baino gehiagorako oro-

kortu; kontradibideak ere badaude. Ondorioz, funtzionalaren analisi matematiko zehatza-

goa egin behar da. Horretarako, Hardy-ren desberdintza orokortuko dugu, G(r) hautazko

funtzioaren bidez:∫ ∞

0

dr

(

rhr +G

rh

)2

=

∫ ∞

0

dr

[

r2h2r + 2Ghhr +

G2

r2h2

]

. (2.98)

Gai gurutzatua integratuz ondoko hau izango dugu

∫ ∞

0

dr

[

r2h2r +

G2

r2h2 −Grh

2

]

+ Gh2∣

∣

∞0

=

∫ ∞

0

dr

(

rhr +G

rh

)2

⇒∫ ∞

0

dr r2h2r =

∫ ∞

0

dr

[

(

rhr +G

rh

)2

+ h2

(

Gr −G2

r2

)

]

− Gh2∣

∣

∞0. (2.99)

Erlazio hori eta (2.89) erabiliz, (2.87) funtzionala berridatziko dugu:

E1[∆1, χ1] =

∫ ∞

0

dr

[

(

r∂r∆1 +G

r∆1

)2

+

(

r∂rχ1 +H

rχ1

)2

+ 2√

2

(

∆1

K+Kχ1

)2

+

(

V1 + 4 − 2√

2

K2+Gr −

G2

r2

)

∆21 +

(

V2 + 2 − 2√

2K2 +Hr −H2

r2

)

χ21

]

−


2.22 irudia: G, H eta K2 funtzioen adierazpen grafikoa.

(

G∆21 +Hχ2

1

∣

∣

∞0. (2.100)

Hautatu ditzagun G(r), H(r) eta K(r) funtzioak ondoko eran

G(r) = −r2∂r∆1

∆1

= −r2 frr(r)

fr(r);

H(r) = −r2∂rχ1

χ1= r

f(r) − rfr(r)

f(r);

K2(r) = −∆1

χ1

=1√2

rfr(r)

f(r), (2.101)

non ∆1 eta χ1 funtzioak, (2.97) translazio-modu nulua diren. G, H eta K2 funtzioak

r ∈ [0,∞) tartean portaera onekoak direla ikus daiteke 2.22 irudian.

Ez-egonkortasunak sor ditzaketen gai bakarrak hauek dira: funtzionalean zuzenean positi-

bo ez diren gaiak; hau da, ∆21 eta χ2

1 funtzioei dagozkien gaiak. Azter ditzagun gai horiek,

aukeratu ditugun G, H eta K funtzioak erabiliz:

χ21 funtzioaren koefizientea nulua dela ikus daiteke, ondoko eran

V2 + 2 − 2√

2K2 + Hr −H2

r2= −r

2

f

[

frr +2frr

− 2f

r2− f(f 2 − 1)

]

= 0 , (2.102)

giltza artean dagoen adierazpena f funtzioaren (2.11) higidura-ekuazioa baita.

Bestalde, ∆21 funtzioaren koefizientea hau da:

V1 + 4 − 2√

2

K2+ Gr −

G2

r2= −r

2

fr

[

frrr +2frrr

− 4frr2

+4f

r3− (3f 2 − 1)fr

]

. (2.103)


f funtzioaren (2.11) higidura-ekuazioaren deribatua erabiltzera garamatza frrr gaiak. Hi-

gidura-ekuazioa deribatuz ondoko adierazpena lortuko dugu:

frrr +2frrr

− 4frr2

+4f

r3− (3f 2 − 1)fr = 0 , (2.104)

hots, (2.103) ekuazioan giltza artean dagoenaren berdina.

Hortaz, (2.100) funtzionala honako era honetan idatz daiteke

E1[∆1, χ1] =

∫ ∞

0

(

r∂r∆1 +G

r∆1

)2

+

(

r∂rχ1 +H

rχ1

)2

+ 2√

2

(

∆1

K+ Kχ1

)2

−

(

G∆21 + Hχ2

1

∣

∣

∣

∞

0. (2.105)

Bai H funtzioak zein G funtzioak r aldagaiarekiko menpekotasun lineala dute infinitoan;

ondorioz, funtzionala erdi-definitu positiboa da, infinituan 1/√r baino azkarrago doazen

edozein ∆1 eta χ1 funtziotarako, muga-gaiak zero baitira.

Goldhaber-en modua (χ1 = f(r)) analisi horretatik kanpo dago, infinituan konstanterantz

baitoa. Nahiz eta modu hori arbuiatu egin dugun normalizagarria ez delako, perturbazio-

-ekuazioetan zer gertatuko den ikus dezakegu. Demagun

∆1 = c1 rm ;

χ1 = c2 (2.106)

direla. f(r) funtzioaren (2.13) forma asintotikoa eta (2.85,2.86) ekuazioak erabiliz, ondo-

koa lortuko dugu:

c1 ω2 rm+2 = −c1m(m+ 1) rm + c1 2 rm+2 + c2 2

√2 ;

c2 ω2 r2 = −c2 2 r−2 + c1 2

√2 rm . (2.107)

Ekuazio horiek bateraezinak dira ω2 6= 0 kasurako; eta Goldhaber-en modua ez da ez-egon-

kortasun posibleetako bat. Edozein kasutan, modu nulu posibletako bat izan zitekeen.

Horrekin guztiarekin monopolo globalaren egonkortasun klasikoaren analisia amaitu dugu,

monopoloa ardatz-simetriako perturbazioekiko egonkorra dela erakutsiz.

2.6 Potentzial orokorragoak 71

2.6 Potentzial orokorragoak

Arestian,

V (Φ) = 14(|Φ|2 − 1)2 (2.108)

“mexikar kapela” motako potentzialeko sistemaren propietateak aztertu ditugu; baina

ondorioak potentzial orokorragoetara hedatu ditzakegu, potentzialaren zehaztasunak ga-

rrantzitsuak ez direla erakutsiz. Lagrangear orokorra ondokoa da

L = 12∂µΦ

a∂µΦa − V (|Φ|) , (2.109)

non V O(3) simetriako hautazko potentziala den. Potentzial hori maximoa da |Φ| = 0

puntuan; eta minimo bakarra |Φ|min punturen batetan. Orokortasuna galdu gabe mini-

moa |Φ|min = 1 puntuan aukeratuko dugu. |Φ| balio guztietarako potentziala positiboa

dela (V (|Φ|) > 0) suposatuko dugu; potentzialari konstante bat batuz beti lor daiteke

potentziala positiboa izatea.

Ardatz-simetriako soluzioa idatzi dezakegu ((2.8) ekuazioaren analogoa)

Φa = f(r)xa

r. (2.110)

f funtzioaren higidura-ekuazioak ondokoak dira:

frr +2

rfr −

2

r2f − V ′(f) = 0 , (2.111)

eta f(0) = 0 da, (2.110) konfigurazioa ongi definituta egotea nahi badugu. (2.111) ekuazioa

aztertuz erlazio bera lor daiteke. Kontuan hartu behar da

fr(0) 6= 0 (2.112)

izan behar dela, bestela f(r) = 0 izango litzateke.

Energia berria honela idatzi dezakegu:

E =

∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

dθ

∫ ∞

0

dr[

12r2f 2

r + f 2 + r2V (f)]

, (2.113)

eta hortik, energia finitua izatea eskatuz,

V (f) → 0 , r → ∞ denean (2.114)


erlazioa lor daiteke. Beraz, f(r → ∞) = 1 da. r aldagaiaren balio handietarako f fun-

tzioaren portaerari buruzko informazioa lortzearren, r = 1s

aldagai-aldaketa erabiliko dugu

(2.111) ekuazioan:

s4fss − 2s2fs − V ′(f) = 0 . (2.115)

f(r → ∞) potentzialaren minimoa denez, V ′′(f(r → ∞)) 6= 0 izango da; eta ondorioz,

f ′(r → ∞) → 0.

Kasu horretan, energia R-rekiko dibergentea da baita ere era linealean. Baina 2.3 atalean

lortutako emaitzak errez orokortu daitezke kasu honetarako. Aldaketa bakarra hau da:

r → αr eskala aldatzean, I3 integrala aldatu egingo da ondoko eran:

I3(αR) =

∫ αR

0

dr r2V (f) , (2.116)

eta beste integraletan, f(αr) funtzioaren ordez f(αr) funtzioa agertuko da. 2.3 atalean

erabilitako arrazonamendu berberari jarraituz, eta (2.111) higidura-ekuazio erabiliz, bi-

rialen teorema berdina lortuko dugu.

Kasu honetan egonkortasun-baldintzak aurreko kasuko berberak dira:

δEαδα

∣

∣

∣

∣

α=1

= 0 ,δ2Eαδα2

∣

∣

∣

∣

α=1

≥ 0 . (2.117)

Lehen ekuazioa garatuz,

I1(R) + I2(R) +3

4I3(R) = R , (2.118)

erlazioa lortuko dugu, O(1/R) ordenako gaiak arbuiatuz. Bigarren ekuazioa garatuz, be-

rriz,3

4I3(R) ≥ 0 (2.119)

erlazioa. fr(R) ∼ 0 erlazioa erabiliz eta O(1/R) ordenako gaiak arbuiatuz, hautazko

potentzialaren kasurako egonkortasun erradiala frogatu daiteke.

Ezin dugu monopolo orokortu horretarako zenbakizko analisirik egin; dinamikoki mono-

polora hutsera ebainduko den ala ez aztertzeko, potentzialaren xehetasunak behar geni-

tuzkeelako. Halere, monopoloa hutsera ebaindu daitekeela espero genezake (2.28) ekua-

zioko ξ(r) funtzioa lehen bezela aukeratuz gero, honela: muinaren inguruan monopoloa

perturbatu gabe uzten badugu, eta muinetik hurrun, gradienteak m−1s masa eskalarren

2.6 Potentzial orokorragoak 73

alderantzizkoa baino txikiagoa den zonalde batean metatutzen baditugu (masa eskalarra

kasu honetan ms =√

V ′′(1) da).

Hala eta guztiz ere, kasu orokorrerako E[ξ(r)]−E[ξ(r) = 0] energia-diferentzia kalkulatu

dezakegu; hau da, monopolo deformatuaren eta monopolo deformatu gabearen arteko

energia-diferentzia:

E[ξ(r)] − E[ξ(r) = 0] = 2π

∫ ∞

0

drr2

2f 2(r) (∂rξ(r))

2 I[ξ] , (2.120)

non I[ξ] funtzionala 2.18 irudian adierazitakoa den.

Energia-diferentzia horrek ez du potentzialarekiko menpekotasunik; eta hortaz, energia-

-diferentzia finitua dela ziurta dezakegu potentzial orokorrerako.

Are gehiago, ardatz-simetriako perturbazio txikietarako egonkortasun angeluarra azter

dezakegu potentzial orokorrerako, Goldhaber-en (2.28) ansatz-a erabiliz.

Ardatz-simetriako perturbazio txikiak, lehengo moduan idatziko ditugu

F (t, r, θ) = f(r) + δ(t, r, θ) , tan

(

θ

2

)

= tan

(

θ

2

)

(1 + ξ(t, r, θ)) , (2.121)

eta 2.5 atalean eginiko analisiari zehazki jarraituz, banandutako ekuazio-bikote honako

hau lortuko dugu:

R1∆l + x2∆l + 2xχl = ω2r2∆l ;

R2χl + x2χl + 2x∆l = ω2r2χl , (2.122)

non

Ri = −∂r(r2∂r) + Vi(r) , i = 1, 2 ;

V1(r) = r2V ′′(f) + 2 ;

V2(r) =r2V ′(f)

f. (2.123)

V2 funtzioa ez da infinitua r = 0 puntuan, fr(0) 6= 0 baita (ikus 2.112).

(2.122) ekuazioak funtzional baten aldakuntza egitetik datozela suposatu dezakegu kasu

honetan ere; aipatutako funtzionala ondokoa izanik:

El ≡∫ ∞

0

dr[

r2(∆2r + χ2

r) + (V1 + x2)∆2 + (V2 + x2)χ2 + 4x∆χ]

= ω2

∫ ∞

0

dr r2[

∆2 + χ2]

.

(2.124)


Kasu orokorrean ere ondorioztatu dezakegu l = 1 sektorean egongo direla bai funtzionala-

ren minimoa zein ez-egonkortasun klasikoak lortzeko aukera bakarra. Lehen bezela G(r),

H(r) eta K(r) funtzioak erabiliz berridatziko dugu funtzionala

E =

∫ ∞

0

dr

[

(

r∆r +G

r∆

)2

+

(

rχr +H

rχ

)2

+ 2√

2

(

∆

K+Kχ

)2

+

(

V1 + 2 − 2√

2

K2+Gr −

G2

r2

)

∆2 +

(

V2 + 2 − 2√

2K2 +Hr −H2

r2

)

χ2

]

−(

G(r)∆(r)2∣

∣

∞0−(

H(r)χ2(r)∣

∣

∞0. (2.125)

Translazio-modu nulua, kasu horretan, ∆1 =√

2fr, χ1 = −2fr

da; eta G, H , K funtzioak

aukeratzeko erabil dezakegu:

G(r) =−r2∂r∆1

∆1

, H(r) =−r2∂rχ1

χ1

, K2(r) = −∆1

χ1

. (2.126)

Aukeratu ditugun G, H , K funtzioak erabiliz, ∆21 eta χ2

1 funtzioen koefizienteak nuluak

direla ikus daiteke:

V2 + 2 − 2√

2K2 + Hr −H2

r2= −r

2

f

[

frr +2frr

− 2f

r2− V ′

]

= 0 ; (2.127)

V1 + 4 − 2√

2

K2+ Gr −

G2

r2= −r

2

fr

[

frrr +2frrr

− 4frr2

− 4f

r2− V ′′fr

]

= 0 ,

giltzen arteko adierazpenak (2.111) higidura-ekuazioa eta berorren deribatua baitira.

Aztertzeko dagoen gai bakarra muga-gaia da: G eta H funtzioak infinituan r aldagaia-

rekiko linealak direla ikus daiteke. Hortaz, O(3) monopolo globalak egonkorrak direla

ondorioztatuko dugu; infinituan 1√r

baino azkarrago doazen ardatz-simetriako perturba-

zio txikiekiko eta sistemaren potentzialaren eite orokorturako.

2.7 Ondorioak

Kapitulu honetan O(3) monopolo globalen egonkortasuna aztertu dugu. Horiek objektu

interesgarriak dira: berezko propietateez gain, testuinguru kosmologikoetarako eta materia

kondentsaturako.

2.7 Ondorioak 75

Literaturan zegoen sistemaren ez-egonkortasun posibleei buruzko eztabaida argitzen la-

gundu dute lortu ditugun emaitzek. Alde batetik, gure analisian ardatz-simetriako per-

turbazio infinitsimalen ekuazioak lortu ditugu; eta perturbazio horiekiko O(3) monopo-

lo globala egonkorra dela ondioroztatu dugu, cut-off delakoa infinitura doan limiterako.

Emaitza horrek ez du potentzialaren xehetasunekiko menpekotasunik. Beste alde batetik,

monopolo esferikoaren deformazio bat dinamikoki hutsera ebainduko dela erakutsi dugu.

Hasierako konfigurazioan parametroak aldatuz, bilakaera desberdinak ikusi ditugu:

• Muinaren translazioa

• Eremua potentzialaren minimotik at dagoen soka itxurako objektuaren sorrera. Soka

horrek monopoloaren muinetik tira egiten du, muina trasladatuz

• Soka baten sorrera, hutsera ebaindu ondoren antimonopolo bat sortuz (eta mono-

polo bat infinituan). Antimonopolo berri horren eta genuen monopoloaren arteko

elkarrekintzaren bidez, monopoloa hutsera ebainduko da

Azken kasu hori egoera berezia da: sektore topologiko batetik beste batera doa sistema,

nahiz eta karga “kontserbatu” bat eduki. Are harrigarriagoa da egoera hau, monopolo es-

ferikoaren eta monopolo deformatuaren arteko energia-diferentzia finitua baita; cut-off de-

lakoa infinitura doanean ere bai. Energia-diferentzia finitua izanik, badirudi temperatura

dugun egoeretan monopoloa hutsera ebaintzeko bide berri bat dagoela; K T ∼ E[ξ]−E[0]

betetzen duten temperaturaren balioetarako.

Are gehiago, monopolo-antimonopolo bikotea lotu dituen zuzenarekiko plano perpendiku-

larra hartuz gero, Belavin-Polyakov monopoloaren egoeraren berdintsua dugu. Eskala-al-

daezintasuna duen soluzioa aurresaten du eredu horren σ ereduaren bidezko hurbilketak.

Aldiz, eremu-teoria osoa kontuan hartuz, σ ereduaren bidez lorturiko soluzioa ez da ere-

duaren zela-puntua ere; eta sektore topologiko berri batera ebainduko da sistema.

Azken urteotan O(3) monopolo globalak egitura-eraketaren hazi bakarrak ez direla era-

kutsi du CMB-aren analisiak [12, 37, 41, 68]. Orokorrean, defektu topologikoak ez dira

egitura-eraketaren oinarrizko iturria; nahiz eta, agian, bigarren mailako garrantzia eduki

dezaketen. Emaitza hauek lortzeko, defektu topologikoen simulazioak egin dira kontestu


kosmologikoetan, σ eredu ez-linealak erabiliz. Adibidez, lan honetan lorturiko ebaintze-

-bide berria ezin da simulazio horietan gertatu. Horregatik, simulazioen baliotasuna za-

lantzan jarri genezake; eta, eremu-teoria osoa erabiliz, emaitzak aldatuko ote diren ikertu

beharko litzateke.

Eredu kosmologikoetan erabili ohi den beste hurbilketa da, tenperatura efektuak kontuan

ez hartzea. [13] laneko autoreek, tenperatura erabiliz lortutako emaitzak koalitatiboki

desberdinak direla erakutsi dute. Lan honek, tenperaturea-efektuak kontutan hartu behar

direla bermatu du.

3. KAPITULUA

Dumbbell-ak

3.1 Sarrera

Simetria apurtuaren huts-barietatean orden txikiko homotopia-talde ez-tribialen menpe

dago defektu topologikoen eraketa [63, 98] (ikus 1.1.1 atala). Hala ere, homotopia-talde ez-

-tribialak egon ez arren, dinamikoki egonkorrak diren defektu ez-topologikoak sor daitezke

batzuetan; baina orokorrean, egonkortasuna ahulegia dela suposatu ohi da defektu-sarea

veratzeko. Eredu erdilokala (ikus 1.3 atala) salbuespena da, espazio osoan hedaturik da-

goen soka-sarea sor baitaiteke: fase-trantsizioan agertutako soka-segmentu motzak hazi

eta elkar lotzean. Soka elektroahulen kasu berezia dira [6, 72, 93] soka erdilokalak.

Soka elektroahulen egonkortasuna Glashow-Salam-Weinberg (GSW) eredurako [46, 84, 99]

aztertu izan da. Hurrengo atalean, fermioiak arbuiatuz gero, bi parametroen menpeko

teoria dela ikusiko dugu (eskala-aldaketak salbu): θW weak-mixing1 angelua eta β para-

metroa, hots, Higgs eta Z-bosoiaren masen arteko zatiduraren karratua. Benetako teoria

elektroahulean neurtutako θW parametroaren balioa sin2θW ≃ 0.23 da. β parametroaren

balio zehatza ez da ezaguna zehazki; baina, ziurrenik, unitatea baino handiagoa da.

Eskuartean dugun kasurako, huts-barietatearen topologia S3 esfera da; eta, ondorioz, ez

ditugu defektu topologikoak espero 3+1 dimentsioko ezpazio-denboran. Baina defektu

1elkarrekintza elektroahularen teorian parikula desberdinen arteko nahastea azaltzen duen angelua

77

78 Dumbbell-ak

ez-topologikoak egongo direla susma dezakegu. θW = π/2 limitean, eredu erdilokala be-

rreskuratuko dugu. Eredu hori 1.3 atalean aurkeztu dugu; eta, nahiz eta eredu honen

huts-barietatea S3 den baita ere, soka ez-topologiko egonkorrak onar ditzakeela ikusi du-

gu, bai lan analitiko zein zenbakizko simulazioak erabiliz. Soka erdilokal zuzen infinitua

beste era batera deskribatu dezakegu: hain zuzen ere, SU(2)global×U(1)lokal simetria-talde

zabalago bateko teorian murgildutako Nielsen-Olesen U(1) zurrunbiloa. Hala ere, soka er-

dilokalaren kasurako biribilkapen-zenbakia definitu genuen; eta, nahiz eta ohiko zentzuan

aldaezin topologikoa ez izan, nolabait “topologikoki” kontserbatuko da.

Teoria elektroahuleko SU(2)L × U(1)Y simetria-talde osoan Nielsen-Olesen zurrunbiloak

murgilduz, Z-sokak eta W -sokak lortuko ditugu (ikus [6] erreferentzia). W -sokak ez-egon-

korrak dira [64]. Baina, [61, 93] lanen arabera, parametroen balioen tarte batean ardatz-

-simetriako Z-soka infinituak perturbazioekiko egonkorrak dira. Z-sokak defektu erabat

ez-topologikoak dira; ez dago topologikoki kontserbatutako magnituderik.

Kapitulu honetan, defektu erabat ez-topologiko horien bilakera eta iraunkortasuna zen-

bakizko metodoen bidez aztertuko dugu GSW modelu orokortuan; β eta θW parametroen

balio guztiak kontuan hartuz. Ardatz-simetriako Z-soka infinitu isolatuko konfigurazioak

ez dira sortuko benetako sistema batean. Eratuko den ohiko konfigurazioa Z-soken seg-

mentu-sarea izango da; eta, soka erdilokal sarearen antzekoa izango da (ikus 1.5 irudia).

Segmentu horien muturretan monopolo-antimonopolo bikoteak egongo dira, eta Nambu-k

[72] dumbbell2 izena eman zien. Sokaren tentsioa dela-eta, dumbbell isolatuak uzkurtze-

ko joera izango dute; eremu magnetikoak, errotazioa eta jittering3 arbuiatzean gutxienez

[44, 72, 85]. Parametro-espazioko tarteren batean dumbbell-dentsitatea handia denentz

aztertzea interesgarria izan daiteke. Horrela bada, dumbbell-en muturretako monopoloen

arteko elkarrekintzaren bidez dumbbell-ek bat egingo dute; eta soka-sare iraunkor bat osa-

tu, hain zuzen ere, kasu erdilokalaren antzera [5]. Hala ere, soka erdilokaleko muturretan

monopolo globalak daude, eta Z-soken kasuan monopolo magnetikoak. Eta monopolo

magnetikoak ez dira globalak bezain eraginkorrak inguruneko monopoloak nabaritu eta

elkar deuseztatzeko.

Segmentuen arteko bat egiteak gertatzekotan, θW eta β parametroen balio-tarteren ba-

2halterofilian erabiltzen diren pisuen antza dutela-eta deitzen dira dumbbell3Ingelerako jittering hitza dardara esan nahi du, gutxi gora behera

3.2 Eredua 79

terako baino ez litzateke emango; eta tarte hori, neurturiko balioetatik hurrun egongo

da. Baina tarte hori balego (eta ikusiko dugunez, egon badago), oso harrigarria izango

litzateke. Erakutsiko dugunez, eredu fisikoetatik gertu dauden ereduetan, defektu erabat

ez-topologikoen sareak eratu daitezke; eta iraun. Hortaz, defektu ez-topologikoak ezin

dira zuzenean arbuiatu ondoko egoeratan: (i) GSW ereduaren hedaduretan (simetria-tal-

de zabalagoetara edo eremu gehiagoko teorietara); (ii) hondoan eremu-magnetikoa duten

ereduetan [44]; (iii) limiteren batean soka topologikoak (edo erdilokalak) ager daitezkeen

ereduetan.

Are gehiago, unibertso gaztearen beste ezaugarri batzuk ulertzeko erabil daiteke dumbbell-

en dinamikaren azterketa, adibidez, jatorrizko eremu magnetikoaren helizitatearen azter-

ketan [94, 96].

3.2 Eredua

Kapitulu honetan, GSW eredu elektroahularen sektore bosonikoa soilik erabiliko dugu.

Sektore bosonikoan Φ eremua daukagu, SU(2)L taldeko oinarrizko errepresentazioan; eta

teoriak SU(2)L × U(1)Y aldaezintasuna du:

L = |DµΦ|2 − 14W aµνW

aµν − 14YµνY

µν − λ

(

ΦΦ† − η2

2

)2

. (3.1)

Deribatu kobariantea honela definitu dugu:

Dµ ≡ ∂µ −igW

2τaW a

µ − igY

2Yµ , a = 1, 2, 3 , (3.2)

non Φ eremua bikote konplexua den, τa matrizeak Pauli-matrizeak (A.1), W aµ eremua

SU(2) gauge-eremua eta Yµ eremua U(1) gauge-eremua. Gauge-eremu hauei dagozkien

eremu-intentsirateak

W aµν = ∂µW

aν − ∂νW

aµ + gWǫ

abcW bµW

cν ;

Yµν = ∂µYν − ∂νYµ , (3.3)

dira, hurrenez hurren; eta ez dago goiko eta beheko talde-indizeen arteko desberdintasunik

(ǫ123 = 1).

80 Dumbbell-ak

Potentzialaren minimo multzoak ez du SU(2) × U(1) simetria; baizik eta U(1) simetria.

Hortaz, SU(2)L×U(1)Y simetriatik U(1)e.m. simetriarako berezko simetria-apurketa dago.

Teoria horren benetako espektroa lortzearren, potentzialaren minimoetako bat aukeratu

dezakegu; esaterako Φ† = (0, 1); eta beraren inguruan garatu. Honela, mH =√

2λη ma-

sako eremu-eskalarra, Aµ masagabeko fotoi neutrala, mz = gzη/2 ≡ l−1v masako Z-bosoi

neutrala (Zµ) eta mW = gWη/2 masako bi W -bosoi kargatuak (W±µ ) lortuko ditugu, non

gz =√

g2Y

+ g2W

den.

Lagrangear honi dagozkion higidura-ekuazioak ondoko hauek dira:

DµDµΦ + 2λ(

Φ†Φ − η2)

Φ = 0 ;

∂νWµνa + gWǫ

abcW bνW

µνc =i

2gW

[

Φ†τaDµΦ − (DµΦ)† τaΦ]

;

∂νYµν =

i

2gY

[

Φ†DµΦ − (DµΦ)† Φ]

. (3.4)

Partikulen fisikan, ohikoa da gauge unitarioa erabiltzea, Higgs eremuaren hutseko itxarota-

ko balioa (v.e.v) < Φ† >= (0, 1) aukeratzea eta Z-eremua eta A-eremua honela definitzea:

Zµ ≡ cos θWW3µ − sin θWYµ , Aµ ≡ sin θWW

3µ + cos θWYµ , (3.5)

non θW mixing-angelua, tan θW ≡ gY/gz den. Baina, gauge unitarioa ez da egokiena de-

fektuekin gabiltzanean. Gauge horren ordez, |Φ| 6= 1 betetzen duten espazio-denborako

puntuak daudenean, A-eremuaren eta Z-eremuaren definizio orokorrago bat erabiliko du-

gu, puntu bakoitzen Higgs eremuaren menpekoan dena [72]:

Zµ ≡ cos θW na(x)W aµ − sin θW Yµ ;

Aµ ≡ sin θW na(x)W aµ + cos θWYµ . (3.6)

Fierz-en identitatea, hots,∑

a

(

Φ†τaΦ)2

=(

Φ†Φ)2

, erabiliz, honako espresioa

na(x) ≡ −Φ†(x)τaΦ(x)

Φ†(x)Φ(x)(3.7)

unitate bektorea da. Eremu intentsitatea definitzeko aukera desberdinak daude (ikus adi-

bidez [57] erreferentziako puntu horren inguruko eztabaida); gure simulazioetarako ondo-

koa da egin dugun aukera:

Zµν = cos θW na(x)W aµν − sin θW Yµν ;

Aµν = sin θW na(x)W aµν + cos θW Yµν . (3.8)

3.3 Soka elektroahulak eta dumbbell-ak 81

Ohar zaitezte defektuen muinetik kanpo (3.6-3.8) ekuazioak ohiko definizioarekin bat

datozela.

Eskala aldatuko dugu (1.20) Nielsen-Olesen kasuan bezala:

Φ → η√2Φ , xµ →

√2

gzηxµ , gYYµ → gzη√

2Yµ , gWW

aµ → gzη√

2W aµ , (3.9)

eta, era honetan, η-rekiko menpekotasuna desagertarazi. lv luzera-unitate, η energia-uni-

tate eta eskalar eremuaren Z-karga (gz) karga-unitatea aukeratzea baino ez da eskala-alda-

keta hau (zenbakizko faktoreak gora behera). Eskala-aldaketa hori egin eta gero, eremuen

ekuazio-klasikoak honela berridatz ditzakegu:

DµDµΦ +2λ

g2z

(

Φ†Φ − 1)

Φ = 0 ;

∂νWµνa + ǫabcW b

νWµνc =

i

2cos2 θW

[


;

∂νYµν =

i

2sin2 θW

[


, (3.10)

eta, orain, gW eta gY kargekiko menpekotasuna desagertarazi dugu:

W aµν ≡ ∂µW

aν − ∂νW

aµ + ǫabcW b

µWcν ;

Dµ ≡ ∂µ −i

2τaW a

µ − i

2Yµ . (3.11)

Ekuazio horiek aztertuz, modeloak bi parametroen menpekotasuna baino ez duela ikus

daiteke (θW mixing-angelua eta β = 2λ/g2z = m2

H/m2z); parametro bakarrarekiko menpe-

kotasuna duten Nielesen-Olesen eredua eta eredu erdilokalean ez bezela.

3.3 Soka elektroahulak eta dumbbell-ak

Sistemaren huts-barietatea S3 esfera da, simpleki konexua dena (π1(S3) = I). Hortaz,

ez dago soka topologiko soluziorik (ikus 1.1.1 atala). Edozein kasutan, Nielsen-Olesen

zurrunbiloak teoria honetan murgiltzen saia gaitezke, eredu erdilokalean egin dugun legez

(1.3 atalean).

82 Dumbbell-ak

(t, ρ, ϕ, z) koordinatu zilindrikoak erabiliz, ondoko era honetan idatz ditzakegu eremuak

Φ = f(ρ)eiϕ

(

0

1

)

;

Z = − 2

gzv(ρ)dϕ ;

Aµ = W±µ = 0 . (3.12)

z ardatzean zeharreko Z-soka zuzen infinitua deskribatuko digu horrek [93]. Soluzio hori

biribilkapen-zenbakiko unitateari dagokion arren, biribilkapen-zenbaki handietarako oro-

kortzea zuzena da.

Hala eta guztiz ere, kasu honetan biribilkapen-zenbakiak ez du esanahi topologikorik:

sokak desbiribilkatu daitezke eta hutsera ebaindu. Eredu erdilokalean ez bezela, biribilka-

pen-zenbakia ez da Z-soka elektroahul batentzat “kontserbatuko” (ikus 1.3 atala). Kasu

elektroahulean, gauge-orbita simpleki-konexua da baita ere π1(Glokal/Hlokal) = I. Honen-

bestez, soka elektroahulak objektu erabat ez-topologikoak dira.

(3.12) ansatz-a (3.10) ekuazioan ordezkatuz lortuko ditugun f(ρ) eta v(ρ) funtzioen higi-

dura-ekuazioak, (1.25) Nielsen-Olesen ekuazioak dira. Hortaz, gure ansatz-a honela berri-

datz dezakegu

Φ = fNO(ρ)eiϕ

(

0

1

)

;

Z = − 2

gzvNO(ρ)dϕ ;

Aµ = W±µ = 0 . (3.13)

Egiaztatu daiteke baita ere (3.12) ansatz-a energiaren minimo dela [93].

Era berean,W± eremuetarako soka motako soluzioak aurkitu ditzakegu; baina, soka horiek

ez-egonkorrak dira [64], eta ez ditugu aurrerantzean kontuan hartuko.

Bestalde, Z-sokek egonkortasun propietate harrigarriak dituzte. θW → π/2 denean eredu

erdilokala berreskuratuko dugu; eta Z-soka, soka erdilokal bihurtuko da (1.3.1 atalean

ikusi dugun bezela, β < 1 balioetarako egonkorra dena). Hortaz, jarraitasuna dela-eta,

eredu erdilokaletik gertu eta β < 1 balioetarako, Z-soka egonkorra izatea espero dugu.

3.3 Soka elektroahulak eta dumbbell-ak 83

[61] erreferentzian eginiko analisi luze eta korapilatsuaren arabera, Z-sokak parametro-

-espazioko tarte (estu xamar) batean klasikoki egonkorrak dira (ikus 3.1 irudia4).

10.50 w0.23

1

Scaling instability

Stable

Semilocal

Experiment

0.9 sin2θ

Zm/Hm

3.1 irudia: Z-soka egonkorra da, marraztutako hiruki itxurako parametro-espazioko tartean, [6]

lanaren arabera. Parametroen balio esperimentalak tarte honetatik kanpo daude. sinθW = 0.5

puntuan, sokak eskala-aldaketekiko ez-egonkorra da.

Z-sokek ez dira arrazoi topologikoetan oinarritzen, eta muturrak eduki ditzakete [6] lanean

diotenez. Y eta W eremuen arteko konbinazio da Z-eremua; bada, sokaren barnean bi

eremu horien fluxua dago. Y eremuaren dibergentzia nulua denez ezin da inon bukatu; eta

sokaren muturra eta gero, nolabait jarraitu beharko du. Baina eremu eskalarra masaduna

da sokatik kanpo, eta baita Y eremua ere. Beraz, Y eremua infinitoraino iristeak energia

infinitua eskatuko luke. Alabaina, W eta Y eremuek, A eremu masagabea eratuko dute;

eta A eremuaren bidez Y eremuak jarraitzeko aukera lortuko du. Ondorioz, Z-sokaren

muturra A eremuaren iturri da, i. e., eremu elektromagnetikoaren iturri; (anti)monopoloa,

hain zuzen.

Eta honela, dumbbell-ak lortu ditugu; hau da, monopolo/antimonopolo bikotea, Z-soka

segmentu batez loturik. Objektu horiek Nambu-k [72] aztertu zituen lehendabiziko aldiz:

GSW ereduan era horretako objektuak egon zitezkeela aurresan zuen. Eredu elektroahu-

lean soka infinituak ez dira agertuko; baina, dumbbell-sarea eratuko da. Dumbbell isola-

tuak uzkurtu eta desagertuko diren arren, sare batean denbora gehiago iraun dezakete,

dumbbell-en muturretako (anti)monopoloen arteko elkarrekintza dela-eta.

4Irudia, [6] artikulutik hartu dugu

84 Dumbbell-ak

3.4 Zenbakizko simulazioak

Espazio lauean egingo dugu lan; eta gauge denborala aukeratuko dugu (W a0 = Y0 ere-

muak nuluak dira a = 1, 2, 3 balioetarako); hortaz, D0Φ = ∂0Φ. (3.10) higidura-ekuazioak

sare kubikoan diskretizatuko ditugu, muga-baldintza periodikoak erabiliz. Bai eremu es-

kalarrak eta baita guage eremuak sareko puntuei dagozkie. Denbora diskretizatu dugu

staggered leapfrog delako ereduaren bidez; hau da, eremuak denbora-pauso osoetan kalku-

latuko ditugu; eta eremuen deribatuak denbora-pauso erdietan (ikus D eranskina).

Aukeratu dugun prozedura honek, [5] artikuluan aurkeztutako soka erdilokalen emaitze-

kiko konparaketa erreztuko digu; eta interesgarri suerta dakizkigun eskaletarako doitasun

ona espero dugu. Lotura-aldagaiak (link variables) erabiliz, diskretizazioa egiteko beste

prozedura lor daiteke [65, 70]. (3.10) ekuazioak eredu erdilokalaren kasurako (θW = π/2)

aztertu dugu prozedura biak erabiliz, eta errorea baino txikiagoak dira emaitzen arteko

desberdintasunak; E eranskinean prozeduren arteko alderaketa deskribatu dugu.

Simulazioetan, denbora-pausoa 0.2 aldiz espazio-pausoa izatea aukeratu dugu; hots, ∆t =

0.2∆x (c = 1, ∆x = 1). Biskositate numerikoa gehitu dugu ad hoc ekuazio bakoitzean

(γ Φ, γ Y eta γ W a, hurrenez hurren) sistemaren indargetze-denbora txikitzeko. Uniber-

tsoaren espantsio-tasa magnitudea da biskositate numerikoaren aitzindari; baina espan-

tsioaren kasuan γ(t) denboraren menpekoa izango da; orokorrean 1/t dependentzia du.

Simulazioen arabera γ desberdinetarako jokamoldea antzekoa da. Lan honetan, γ = 0.5

balioa aukeratuko dugu.

Prozedura honetan Gauss-en legea ez da automatikoki beteko, lotura-aldagaien proze-

duraren kasuan ez bezela (ikus E eranskina). Hori dela eta, Gauss-en legea kodearen

egonkortasuna frogatzeko erabiliko dugu. Honela idatz daiteke Gauss-en legea:

−∂j(∂0Yj) =i

2sin2θW

[

Φ†∂0Φ − (∂0Φ)†Φ]

;

−∂j(∂0Waj ) − ǫabcW b

j ∂0Wcj =

i

2cos2θW

[

Φ†τa∂0Φ − (∂0Φ)†τaΦ]

, (3.14)

non j = 1, 2, 3 den.

Hasierako baldintzak aukeratzeko bi estrategia desberdin erabili ditugu:

3.4 Zenbakizko simulazioak 85

a/ Eremu guztien abiadurei zero balioa atxeki (|φ| = |W ai | = |Yi| = 0), eta sareko

puntu bakoitzeko eremu eskalarrei zorizko balio esleitu. Orduan, puntu bakoitzeko

eremuaren eta inguruko 6 puntuetako eremuen batazbesteko normalizatua egingo

dugu, iteratiboki (50 aldiz), konfigurazio leuna lortzearren. Eremu eskalarraren balio

horiek erabiliz, gauge-eremuen balioak honela aukeratuko ditugu:

Yµ = 0

W 1µ = 2 (ψ1∇jψ4 − ψ4∇jψ1 + ψ3∇jψ2 − ψ2∇jψ3)

W 2µ = 2 (ψ3∇jψ1 − ψ1∇jψ3 + ψ4∇jψ2 − ψ2∇jψ4)

W 3µ = 2 (ψ1∇jψ2 − ψ2∇jψ1 + ψ4∇jψ3 − ψ3∇jψ4) (3.15)

non ΦT = (ψ1 + i ψ2, ψ3 + i ψ4) den. Gauge-eremu aukeraketa horren bidez energia

pseudo-minimizatuko dugu, [3] erreferentzian bezala:

Sistemaren energia-dentsitatea (gauge denboralean) hau da:

E = |Φ|2 + 12|W a

i |2 + 12|Yi|2 + |DiΦ|2 + 1

4W aijW

aij + 14YijY

ij + λ(

ΦΦ† − 1)2. (3.16)

Deskribatutako hasierako-baldintzak erabiliz (|Φ| = 1, |φ| = |W ai | = |Yi| = 0 eta

(3.15) ekuazioak), honela geldituko da energia-dentsitatea

E = 14W aijW

aij . (3.17)

b/ Eremu guztiei zero balioa atxeki, eta baita ere gauge-eremuen abiadurei (Φ = W aµ =

W aµ = Yµ = Yµ = 0). Orduan, eremu eskalarrei zorizko hasierako abiadura esleitu

(Φ 6= 0), eta iteratiboki leundu, aurreko kasuan bezela. Hasierako baldintza horiekin,

energia honela idatziko dugu

E = |Φ|2 . (3.18)

Gure simulazioen emaitzen arabera, bi kasu horien artean ez dago desberdintasun nabar-

menik. Gainera, lehen kasuan, energiaren pseudo-minimizazio oso eraginkorra ez dela-eta,

eremu eskalarra energia potentzialaren maximora igo daiteke simulazioaren lehen pausoe-

tan, fase simetrikoa berreskuratuz; eta, beranduago, potentzialaren minimoetara berriro

jaitsiz. Baita ere, soka erdilokalekin eginiko simulazioen emaitzek, hasierako baldintzekiko

86 Dumbbell-ak

menpekotasun txikia dutela erakutsi zuten [5]. Gure azterketarako (b) motako hasierako

baldintzak aukeratuko ditugu.

U(1) soka kosmikoen kasuan baino zailzagoa da soka elektorahuleko simulazioen emaitzen

azterketa. Soka elektroahulak ez-topologikoak dira; eta ez dago biribilkapen-zenbakia de-

finitzerik. Horregatik, sokak identifikatzea ez da zuzena. [3] artikuluan proposatutako

bidea erabiliko dugu soken eraketa aztertzeko. Sistemaren bilakaera simulatuko dugu eta

gauge-aldaezinak diren magnitudeak kalkulatuko ditugu denbora-pauso bakoitzean: Z-

eremuaren eta A-eremuaren intentsitateak eta |Φ| eremu eskalarren modulua.√

12ZijZ ij

Z-eremuaren intentsitatea eta eremu eskalarren moduluaren sestra-gainazalak marraztuko

ditugu soken eraketa ikuste arren.

Arestian esan dugunez, gure ereduaren parametro aske bakarrak β eta θW dira; eta so-

ka elektroahulak iraun dezaten parametro-balioen tartea aurresan dezakegu. Lehenik,

θW = π/2 eta β < 1 direnean, soka erdilokalak egonkor diren tartean gaude, eta

soka-segmentuek bat egingo dute segmentu luzeagoak osatuz. Baita ere, sin2θW <∼ 1 eta

β < 1 direnean, soka infinituak perturbazioekiko egonkor diren tartean gaude [61, 93].

Emaitza horiek kontuan hartuz, simulazioen bidez aztertuko ditugun parametro-tarteak

0.9 ≤ sin2θW ≤ 1 eta 0.05 ≤ β ≤ 1.5 dira. Simulazioak eta adierazpide grafikoak 643, 1283

eta 2563 dimentsioko sareetan egingo ditugu, nahiz eta kapitulu honetan deskribaturiko

emaitza gehienak 2563 dimentsiotako kuboan lorturikoak izan.

3.5 Emaitzak

Lehenik eta behin, kodearen egonkortasuna egiaztatuko dugu. Arestian esan dugunez,

sin2θW = 1 kasua eredu erdilokalari dagokio, non guztiz egonkorrak diren defektuak dau-

den (ikus 1.3 atala). Gainera, Higgs eremu-bikote bati nulua balioa atxekiz, Higgs-en

eredu trukakorra lortuko dugu (ikus 1.2 atala). Bi sistema horiei buruz dakiguna erabiliz,

gure kodearen egokitasuna frogatu dezakegu. Ardatz-simetriako Z-soka infinituak erabil

ditzakegu baita ere (soka “infinituak” lor ditzakegu muga-baldintza periodikoak baititugu:

soka-bikoteak erabiliko ditugu, fluxu neto totala zero izaten jarraitu dezan). Parametro-

-espazioko hainbat puntutan behatu ditugu Z-sokak: tarte egonkor eta ez-egonkorrean;

3.5 Emaitzak 87

eta tarte ez-egonkorrean Z-soken desagerketa egiaztatu dugu. Kodea egiaztatu ondoren,

θW eta β parametroen zenbait baliotarako exekutatu dugu simulazioa, parametro-balio

bakoitzerako hasierako konfigurazio berbera erabiliz. Simulazio txiki asko egin beharrean,

simulazio handi bakarra egitea aukeratu dugu, bilakaera dinamiko aberatsagoa behatzeko

asmoz. Simulazioetan (3.14) Gauss-en legea konprobatu dugu, kodearen egonkortasuna

berriro ere egiaztatzeko.

Espero genuenez, erantzun iragankorraren ondoren, dumbbell-ak dira ohiko konfigurazioa;,

hots, monopolo/antimponopolo bikotean bukatuko den soka-segmentua. Soka erdilokalak

egonkorrak diren tartearen inguruko parametroen balioetarako, Z-soken muturreko mo-

nopoloen arteko elkarrekintzak sokak bat eginaraziko dituela espero dugu, jarraitasuna

dela-eta.

Simulazioetan ikus daitekeenez, Z-soka segmentuek bat egiten dute, espero bezela. Hale-

re, eredu erdilokalean baino elkar-lotze gutxiago ikus ditzakegu; eta, are gutxiago sin2θW

parametroaren balioa jaitsitakoan edo β parametroarena hazitakoan. Honenbestez, eredu

erdilokalean bat egingo luketen segmentuak uzkurtu eta desagertu dira eredu elektroahu-

lean, sokaren tentsioagatik. Hori ez da harrigarria: eredu erdilokalean, soken muturretan

monopolo globalak daude (ikus 2. kapitulua) – gradiente-energia dibergentekoak – eta ho-

riek, inguruko monopoloak bilatzen oso eraginkor dira. Kasu elektroahulean, aldiz, soken

muturretan monopolo magnetikoak daude; eta gauge-eremuek gradiente eskalarrak ezez-

tatu ditzakete. sin2θW → 1 denean, monopoloaren muina handiagoa da, eta segmentuek

bat egingo dute monopoloek elkar estaliko dutenean. Baina eredu erdilokaletik hurrun,

muinak txikiagoak dira; eta sokek bat egitea zailagoa dute.

Ohiko bi simulazioren emaitza adierazi dugu 3.2 irudian; eta A-eremuaren eta Z-eremuaren

intentsitateei kolore desberdinak dagozkie. Z-eremuak soka itxurako eitea du; eta, aldiz,

soken muturreko A-eremuak (monopolo magnetikoei dagokiena) eite esferikoa. A-eremua-

ren morfologia hodi-eitekoa izan daiteke baita ere, aztertzen ari garen dinamikaren zailta-

sunaren seinale. Sokaren tentsioaren eta monopolo-antimonopolo elkarrekintzaren arteko

lehia dago; bada, soka batzuk uzkurtu eta desagertuko dira; bete batzuek bat egingo dute

eta soka luzeagoak eratuko.

Hasierako denbora-pausoetan, simulazioetako konfigurazioak berdintsuak dira. Simetria-

88 Dumbbell-ak

3.2 irudia: Z-eremuaren (horia) eta A-eremuaren (urdina) intentsitatearen sestra-gainaza-

lak bi simulazio desberdinetarako. Goiko lerroan simulazioaren lehen denbora-pausoak adiera-

zi ditugu (t = 50), eta behekoan simulazioaren bukaerako egoera (t = 200). Ezker zutabean

β = 0.1, sin2θW = 0.994 kasua adierazi dugu (kasu iraunkorra), eta eskubikoen β = 0.5,

sin2θW = 0.995 (kasu ez-iraunkorra). Lehen kasuan, simulazioaren bukaeran zenbait soka lu-

ze daude eta dumbbell-en arteko bat egiteak gerta daitezke oraindik. Bigarrenean, defektu guztiak

desagertzear daude.

3.5 Emaitzak 89

-apurketa gertatu den fase irangankorrean (lehenengo denbora-pausoak) ez dago defektu-

rik. Eremu eskalarrak balio ez-nulua izaten hasten denez, soka oso motz ugari sortuko da;

eta gero, soken muturretan monopoloak agertuko dira, inguruko A fluxu magnetikoa meta-

tutakoan. 3.2 adierazpide grafikoko goiko irudietan t = 50 aldiuneko Z-eremu magnetikoa

eta A-eremu magnetikoa ikus ditzakegu, bi simulaziorako. Lehen denbora pauso horietan

konfigurazioak berdintsuak dira, eta hasierako baldintza desberdinak erabiltzean emaitza

berdintsuak lortu ditugu. Beraz, hasierako baldintzak baino, beranduagoko eremu eskalar

eta gauge-eremuen arteko elkarrekintza garrantziatsuagoa dela ondoriozta dezakegu.

Sistema aurrera doan neurrian, adierazitako bi kasuetatik batean bakarrik ikus ditzakegu

segmentu txikiak hazten eta inguruko defektuekin bat egiten, defektu-sarea mantenduz.

Beheko irudietan t = 200 aldiuneko konfigurazioa adierazi dugu. Ezkerrekoan soka luzeak

daude; eta bat egiteak gerta daitezke oraindik. Bestean, defektu guztiak desagertzear

daude.

Zehaztu nahi duguna hau da: parametro-espazioko zein balioetarako izango diren de-

fektuak iraunkorrak. Parametroen balio berbereko Z-soka infinitua egonkorra izatea da

iraunkortasunerako beharrezko baldintzetako bat. Baina ez da baldintza nahikoa; soka in-

finitua eratu lezaketen soka segmentuak ez baitira agian bat egiteko gai izango. Ondorioz,

iraunkortasun-zonaldea egonkortasun-zonaldearen barruan egongo da.

Z-sokak iraunkorrak diren ala ez neurtzeko, irizpideren bat aukeratu behar dugu. Ez dago

irizpidea aukeratzeko era bakarra; eta, parametroen balio ezberdinetarako eginiko simu-

lazioak behatuz, ondoko irizpidea aukeratu genuen [91] artikulan: simetria hedatuagoko

teoria batean murgildutako Nielsen-Olesen zurrunbilotzat kontsidera ditzakegu Z-sokak.

Horregatik, parametro-espazioan iraunkortasun-zonaldea definitzeko irizpidea hautatzeko

Nielsen-Olesen soken propietateak erabiliko ditugu. β jakinari dagokion Nielsen-Olesen

sokaren BNO eremu magnetiko maximoa kalkulatu dugu (ikus 1.2 taula). 2563 kuboetan

simulatu dugu sistema, muga-baldintza periodikoak erabiliz. Z-eremu magnetikoa BNO

balioaren laurdena baino handiagoa duten sareko puntuak 1000 baino gehiago badira

t = 200 aldiunean, sistema iraunkorra dela esango dugu. Adibidez: irizpide honen arabe-

ra, β = 0.3 kasurako, sistema iraunkorra izango da sin2θW > 0.995 denean; 3.3 irudian ikus

dezakegunez. Bai sin2θW txikiagotzean, bai β haztean, Z-eremu magnetiko altua duten

90 Dumbbell-ak

1000

10000

100000

1e+06

0 50 100 150 200

punt

u-ko

puru

a

denbora

β=0.31.0000.9990.9970.9950.9940.9930.9900.980

3.3 irudia: (√

12ZijZ

ij) Z-eremuaren intentsitatea, BNO maximoaren %25-a baino handiago du-

ten sareko puntu kopurua; non BNO, Nielsen-Olensen kasuko muineko eremu intentsitatea den.

Simulazioak 2563 sarean egin ditugu, β = 0.3 baliora Lerro desberdinak θW parametroaren balio

desberdinei dagozkio (adierazi ditugun balioak sin2θW dira). β parametroaren balio honetarako,

testuan aukeratutako iraunkortsun-irizpidearen arabera, sin2θW >∼ 0.995 baliorako dira iraunkor

defektuak.

sare-puntuen kopurua txikiagoa da.

Erraz automatizatu daitekeen iraunkortasuna neurtzeko beste irizpidea honako hau da:

β parametroaren balio jakin baterako, Nielsen-Olesen zurrunbiloaren BNO eremu mag-

netikoa kalkulatuko dugu (ikus 1.2 taula). Nielsen-Olesen zurrunbiloaren rNO “erradioa”

kalkulatuko dugu baita ere; zentrotik eremu magnetiko maximoaren %25 den puntura-

ko distantzia hartuko dugu erradiotzat. Z-soka bakoitzaren bolumena neurtuko dugu,

Z-eremu magnetikoa BNO balioaren %25 baino handiagoa duten puntu konexuak zenba-

tuz. Gero, bolumena zatituko dugu Nielsen-Olesen zurrunbiloaren zeharkako sekzioaren

gainazalaren balioaz (πr2NO). Azkenik, Nielsen-Olesen zurrunbiloaren diametroaren balioa

(2rNO) erabiliko dugu, zabalera-unitateko luzera lortzeko. Simulazioaren bukaeraldera be-

ren zabalerarekiko luzeak diren sokak badaude, konfigurazioa iraunkortzat hartuko dugu.

Aukeratu dugun irizpide zehatza hau da: konfigurazioa orokorra da, zabalera baino bost

aldiz luzeago diren sokak badaude t = 200 aldiunean.

3.4 irudian bi kasu ezberdin ikus ditzakegu. Goiko irudietan, x ardatza soka-luzerari dago-

3.5 Emaitzak 91

0

50

100

150

200

250

300

5 10 15 20 25 30 35 40 45

Luze

raβ=0.1 sin2θw=0.994

0

50

100

150

200

250

300

5 10 15 20 25 30 35 40 45

Luze

ra

β=0.5 sin2θw=0.995

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

5 10 15 20 25 30 35 40 45

"Ene

rgia

"

β=0.1 sin2θw=0.994

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

5 10 15 20 25 30 35 40 45

"Ene

rgia

"

β=0.5 sin2θw=0.995

3.4 irudia: Denbora pauso desberdinetarako, luzera desberdinetako sokak adierazten duten histo-

gramak. Ezkerreko irudietan β = 0.1, sin2θW = 0.994 parametroei dagozkien irudiak daude, eta

eskubikoetan β = 0.5, sin2θW = 0.995 parametroei dagozkienak. Lau irudietan bi aldiune des-

berdin aukeratu ditugu, hots, t = 50 (lauki txuriak) eta t = 200 (lauki beltzak). Goiko irudietan

soken luzera totala (zabalera unitateko) ikus daiteke, eta behekoetan soka luzera desberdinetarako

“energia” (ikus testua).

kio (2rNO unitatetan); eta y ardatza x balio horretako soka-luzeraren baturari. Adibidez:

x = 10 kasurako, 10 eta 11 aldiz zabalagoak baino luzeagoak diren soka guztien luze-

ra batu egin dugu, eta hori da y balioari dagokiona. Goiko ezkerreko irudian (β = 0.1,

sin2θW = 0.994) t = 200 aldiunean oraindik soka luzeak daude (bereziki, x = 40 pun-

tuan). Eskuinaldekoan, aldiz, (β = 0.5, sin2θW = 0.995) ikusi ditzakegun estrukturak,

beraien zabalera baino bost aldiz luzeagoak dira, asko jota. Beheko bi irudietan, soken

artean banandutako “energia” adierazi nahi izan dugu. “Energia” hitzaz, energia magne-

tikoari buruz soilik ari gara: soketan metaturiko energia magnetiko guztia kalkulatu dugu,

92 Dumbbell-ak

eta energia hori soken artean nola dagoen antolatuta marraztu dugu. Beheko ezkerreko

irudian, soka luzeek energiaren zati haundia dutela ikus daiteke; beheko eskubiko irudia

behatuz, aldiz, parametro-espazioko puntu horretan soka luze eza azpimarra daiteke.

Irizpide biak erabiliz, “iraunkortasun-limitea” lortu dugu simulazioen bidez, 3.5 irudian

adierazi duguna. Espero genuenez, iraunkortasun-zonaldea egonkortasun-zonaldearen za-

tikia baino ez da; eta sin2θW balioa unitatetik oso gertu dagoenean bakarrik lor dezake

iraunkortasuna sistemak. Irizpide bietatik abiatuz, antzerako kurbak lortu ditugu.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1

θw 2/π

β

3.5 irudia: Lerro jarraitua, ardatz-simetriadun Z-soka infinituen egonkortasun-zonaldeari [61]

dagokio, eta puntuak, testuan deskribituriko bi irizpideak erabiliz lortu dugun iraunkortasun-

-zonaldearen mugari. Espero genuenez, iraunkortasun-zonaldea egonkortasun-zonaldearen zatikia

baino ez da. Karratuak, t = 200 aldiunean eremu magnetikoaren 25% baino altuagoa duten puntu

kopurua 1000 deneko irizpidea erabiliz lortu ditugu; hirukiak, t = 200 aldiunean, beraien zabalera

baino bost aldiz luzeago diren sokak daudeneko irizpidearen bidez.

3.6 Ondorioak

Fase-trantsizio elektroahul baterako, GSW eredu orokorrean, defektu ez-topologikoko sa-

rea sor daitekeela erakutsi dute kapitulu honetan deskribatutako zenbakizko simulazioek.

Sarearen dinamika oso korapilatsua da: soka-segmentu batzuek uzkurtu, eta beste ba-

tzuek ingurukoekin bat egiten dute. Bi parametroekiko (θW eta β) menpekotasun handia

du ereduak. Ondokoa da lan honen ondorio nagusia: parametro-espazioko zonalde batean,

3.6 Ondorioak 93

iraunkorrak diren defektu erabat ez-topologikoen sarea ager daiteke. Hautatutako iraun-

kortasun-kriterioaren menpekoa da lorturiko zonaldea; baina, nahiz eta koantitatiboki

eztabaidagarria izan, koalitatiboki zonaldea egon badagoela argi dago.

Nahiz eta gure unibertsoko benetazko teoria elektroahula parametro-zonalde horretatik

kanpo egon, emaitza horien arabera hau ondorioztatu dezakegu: limiteren batetan defektu

topologikoak edo erdilokalak posible diren ereduetarako, defektu ez-topologikoen sareak

sor daitezke limite horretatik gertu. Literaturan aurkitu daitezkeenez [14, 61, 93], defektu

topologikoak (edo erdilokalak) dauzkaten ereduetan, defektu ez-topologikoak egonkorrak

diren zonaldeak daude. Gure lanaren bidez emaitza hori bermatu dugu; eta, zonalde es-

tuago batean bada ere, fase-trantsizio horietan nahikoa iraunkorra den defektu-sarea ager

daitekeela erakutsi dugu.

Soka-segmentuen sorrera guztiz dinamikoa da, eta ezin da hasierako baldintzei buruzko

analisien bidez aztertu. Zehazkiago, gure emaitzak eta [73] laneko emaitzak bateragarriak

dira. Hemen, sare baten eboluzio tenporala kontuan hartu dugu, eta ez bakarrik hasiera-

ko baldintza. Gainera, fase-trantsizio bati baino, tarte-iragankor bati dagozkio hasierako

baldintzak gure simulazioetan. Tarte-iragankorraren ondoren, fisikoki arrazonagarriak di-

ren hasierako baldintzak sortuko ditu sistemak berak. Tarte-iragankorra pasa eta gero

har dezakegu aintzakotzat eboluzioa; tartea pasa ondoren lortutako konfigurazioa da de-

fektuak iraun edo desagertu diren erabakiko duena. Defektuen eraketan gauge-eremuak

garrantzitsuak dira, beraz, eta lortutako ondorioak beste eredu ez-topologikoetara orokor

daitezkeen jakitea interesgarria da. Adibidez: bi-Higgs eremuko eredu estandarra [14, 38].

Kapitulu honetan erabili dugun diskretizazio-metodoa, lotura-aldagaiak erabiltzen dituen

metodoarekin alderatu dugu E eranskinean. Erabilitako diskretizazioa ez bezela, lotura-al-

dagaiak erabiltzean gauge-aldaezintasuna ziurtatuta dago. Eredu erdilokalaren kasurako,

bi diskretizazio metodoak erabiliz lortutako eboluzioak puntuz-puntu bateragarriak di-

ra; lotura-aldagaien kasuan noizbehinka soka luzexeagoak lortu arren. Hala eta guztiz

ere, emaitza estatistikoen ziurgabetasuna, errore estatistikoa baino txikiagoa da. Azter-

keta horretan soka erdilokalak baino ez ditugu simulatu, ez eredu elektroahul osoa; baina

lotura-aldagaiak erabiliz lan honetako emaitzak nabarmen aldatuko ez direla ziur gaude.

4. KAPITULUA

Defektuak eredu supersimetrikoetan

4.1 Sarrera

Arestian, gauge-simetriadun teorietan ager daitezkeen defektuak deskribatu ditugu. Gau-

ge-teorien ezaugarri garrantzitsua ondokoa da: elkarrekintza desberdinak teoria bakun eta

naturalaren bidez argitu ditzakete. Adibidez: elkarrekintza elektromagnetiko eta nuklear

ahula batera azaldu daitezke, SU(2)×U(1) gauge-simetriaren bidez; eta nuklear bortitza,

bestalde, SU(3) simetriako teoria baten bidez azaldu daiteke. Hiru elkarrekintza horiek

gauge-teorien bidez deskribatu daitekeenez, hirurak teoria bakar baten bidez bateratze-

ko ahaleginak izan dira: GUT (Grand Unification Theory) teoria. Baina, elkarrekintza

grabitatorioa ez da modu horretakoa. Elkarrekintza grabitatorioa beste elkarrekintzekin

bateratzeko aukeretako bat supersimetriak emango digu.

Supersimetria (ikus [15, 88, 102] adibidez) fermioien eta bosoien arteko simetria da. Gau-

ge-simetria, aldiz, bosoiak bosoiekin erlazionatzen ditu; eta fermioiak fermioiekin. Super-

simetriari tokian tokiko simetria izaten utziz gero, translazioak espazio-denborako puntuz

puntu aldatuko dira; eta, ondorioz, grabitatea teoriaren osagaietako bat da. Eredu horiei

deritze eredu supergrabitatorio.

Zientzia fisikoetan, esperimentuek esan beharko digute teoria bat baztertu behar denentz.

Supersimetriaren arabera, fermioiek (bosoiek) masa berbereko eta kontrako estatistikako

95

96 Defektuak eredu supersimetrikoetan

bosoi (fermioi) superkide bana dute. Oraindik kide supersimetrikorik ez da aurkitu esperi-

mentalki; eta, beraz, supersimetria egotekotan, gaur egungo azeleragailuak lor ditzaketen

energia (∼ 103 GeV) baino energia handiagoetara apurtuta dago.

Nahiz eta supersimetriaren ebidentzia esperimentalik egon ez, oso ideia interesgarria da.

Arestian esan bezala, elkarrekintza grabitatorioa beste elkarrekintzekin bateratzeko auke-

ra ona da. Bestalde, grabitate kuantikoaren ez-errenormalizazio arazoa konpondu dezake.

Hain zuzen ere, teoria supersimetrikoek dibergentzia kuantiko koadratikoekiko jokaera

ona dute; ekarpen desberdinen arteko doitze-zehatz fine-tuning lortzen baitute gai diber-

genteak ezetatuz.

Teoria supersimetrikoek dibergentziekiko duten portaera dela eta, technical hierarchy pro-

blem delako problema konpondu dezakete: (1016 GeV) ohiko GUT masaren eta (102 GeV)

W bosoiaren masaren arteko aldea izugarria da. Garapen perturbatiboekiko ezengonkorra

da orokorrean alde hori, doitze-zehatza eman ezean behintzat. Baina doitze-zehatza berez

emango da teoria supersimetrikoetan.

Eredu supersimetrikoetan ager daitezkeen zenbait defektu aztertuko ditugu kapitulu ho-

netan. Hurrengo atalean supersimetria ezagutaraziko dugu; eta defektu horiek aztertzeko

beharrezko diren zenbait kontzeptu azalduko dugu. Testuingurua finkatu eta gero, horieta-

ko zenbait eredutan sokak ager daitezkeela ikusiko dugu. Hain zuzen ere, Fayet-Iliopoulos

D-gaidun eredu simetrikoen ohiko ondorioa sokak eratzea da [32, 75]. Halere, soka-soluzio

hauek ohiko Nielsen-Olesen zurrunbiloa [1, 74] baino aberatsagoak dira. Horretarako bi

arrazio nagusi dago:

Lehenik, eredu supersimetrikoetako klase zabal batek norabide lauak ditu potentzial eska-

larrean zehar. Horregatik, huts endekatuen modulua dugu; eta ezin dugu zuzenean jakin

zein huts-egoerak sortu ditzakeen soka-erako soluzioak. Azken urteetan, norabide lauen in-

guruan asko ikertu da; batez ere, gauge-eredu ez-trukakor supersimetrikoen akzio efektibo

eta konfinamendua aztertu direnean (ikus adibidez [11, 35, 40, 86, 87, 105, 106]).

Bigarrenik, supersimetria dagoenez, sokaren muinean modu nulu fermioidarrak agertuko

zaizkigu era naturalean [32]; eta horrek, supereroale bihurtuko du soka. Orokorrean, soka-

-begizta supereroaleak –bortoiak– agertuko dira. Bortoiak sortuko dira barneko korronteak

4.1 Sarrera 97

soka-begiztaren uzkurketa galeraztean. Zenbait eredu supersimetrikotan begizten zeharre-

ko korrontea kirala izango da; eta honela, bortoiek propietate berri interesgarriak edukiko

dituzte [26, 33, 78, 89]. Bortoien edukiko lituzketen behaketa propietateek, partikulen

fisikarako ereduak lotu ditzakete; eta, batzuetan, ereduak baztertu ditzakete [25, 27, 69].

[75] erreferentzian, N=1 eredu supersimetriko baten sektore bosoidarrean ager zitezkeen

soka topologikoak aztertu zituzten [75] erreferentzian ; nahiz eta modulu-eremuak hutsa

aukera dezakeen huts-multzo uniparametrikoaren artean, aukera zehatz batek soilik eman

ditzake soka topologikoak. Emaitza hori modulu-eremuak zurrunbiloaren muinetik hurrun

duen jokaeran datza. Huts-aukeratzearen efektu hori orokorra da norabide lauak dituzten

teoria trukakorretarako; zeren eta, ikusiko dugunez, zurrunbiloaren muinean bektorearen

masa minimizatzearren gertatuko da [8]. Bada, bai soka topologikoetan bai ez-topologi-

koetan ere gertatzea espero dugu; eta, agian, beren egonkortasuna hobetu lezakete.

4.3.1 atalean, lortu dugun soka kosmikoak Bogomol’nyi-ren bornea beteko duela erakutsi-

ko dugu era esplizituan (hau da, BPS-soka izango da); ondorioz, guztiz egonkorra da. Baita

ere azalduko dugu zergaitik aukeratutako hutsak bektorearen masa minimizatuko duen.

Horrela, zein huts aukeratuko diren jakiteko irizpidea eraikiko dugu teoria jakin bateta-

rako; karga guztiak berberak direnean balio absolutoan. Gero, Bogomol’nyi-ren bornetik

kanpoko huts-aukeratzearen efektua aztertuko dugu 4.3.2 atalean. Zenbakizko analisia de-

rrigorrezkoa izango da kasu horretan. Soka ez-BPS horietarako huts-aukeratzearen efektua

aldatuko ez dela ikusiko dugu. 4.3 atala amaitzeko, supersimetria apurtuko dugu masa-gai

bigunen bidez, eta defetuen gaineko ondorioa aztertuko dugu ( 4.3.3 atala).

Aurreko N = 1 eredua mailaz igoko dugu, kontrako kargako hipermultiplete bi dituen

N=2 QED eremu supersimetrikora (4.4 atala). Eredu hori II motako supersoken Calabi–

Yau kompaktifikazioaren energia-txikietarako akzio efektiboa ikertzeko erabili zuten [50]

erreferentzian, non karga magnetikoen konfinamenduarekin erlazionatu zituzten zurrunbi-

loak. Frogatuko dugunez, huts-aukeratzearen efektua dela-eta, BPS zurrunbiloen egitura

soka erdilokalen egitura berbera izango da [92] (1.3 atala).

Garrantzi fisikoaz gain, eredu horrek abaintaila bat du: kalkulu guztiak era esplizituan egin

daitezke. Eta oso garrantzi handikoa da kalkuluak era esplizituan egin ahal izatea, soka

erdilokalen egonkortasuna intuizoaren kontrakoa baita. Huts-barietatea sinpleki-konexua


izan arren ondokoa azpimarragarria da: gauge-bosoia masaduna da; eta, fluxu magneti-

koa “topologikoki” kuantizatuta dago eta kontserbatuko da. Fluxu magnetiko unitatea

daramaten zinezko BPS egoerak dira aztertu ditugun sokak.

Eta hala eta guztiz ere, praktikan, ez dago zurrunbilo egonkorrik eredu horretan; zeha-

tzago esatearren: zurrunbiloak egonkortasun neutrokoak dira soilik (BPS baldintzarekin

bateragarria dena); eta nahi bezain zabalak diren BPS “fluxu-hodi magnetiko” familia oso

batekin endekatuak dira [6, 55]. Perturbaziorik txikienak ere modu nulua kitzikatuko du;

eta zurrunbiloa hedatu egingo da [66]. huts-aukeratzearen efektuak ez du (estuena den)

Nielsen-Olesen zurrunbiloa aukeratuko beste BPS fluxu-hodi lodiagoen artean. Horrek

bortoi sorrera ezabatuko du testuinguru kosmologikoan. Supersoken konpaktifikazioaren

testuinguruan, aldiz, [50] erreferentzian proposaturiko karga-magnetikoa konfinatzeko me-

kanismoa zalantzan jarriko du huts-aukeratzearen efektuak.

Ondoren, 4.4.2 atalean, supersimetria apurtuko duten masa-gaiak gehituko ditugu, N=1

kasuan bezela. Masa-gai horiek potentzialaren endekapena desegingo dute; eta benetako

Nielsen-Olesen sokak eratuko zaizkigu.

4.4 atala modu nulu fermioidar posibleen azterketarekin amaituko dugu; huts-aukeratzea-

ren efektua areagotu eta soka egonkortu al dezaketen ikertzeko. Horrela izango balitz,

soka erdilokalak soka kiral bihurtuko lirateke [26]. Hau da, fermioiak noranzko bakarrean

higitzen diren bortoi bihurtuko lirateke. Baina, ikusiko dugunez, ez da hori gertatuko; bi

arrazoi dela medio: lehena, fermioiek beteko duten huts-aukeratzea bosoiek beteko du-

tenaren berbera da; eta beraz, sokak erdilokal izaten jarraituko dute. Bestea, fermioiak

bi noranzkotan higituko direla sokan zehar. Hainbat testuingurutan, hondoko sokaren

egonkortasuna aldatu egiten da fermioien erreakzioaren ondorioz [71, 67, 51]. Eskuartean

dugun testuinguruan hori ez da gertatuko [9], ondoko arrazoiengatik: [71, 67, 51] lanetan

ikertutako sistemetan ez bezela, apurtu gabeko supersimetriak Bogomol’nyi-ren bornean

babestuko du. “Karga topologikoa” berbera da familiako zurrunbilo guztietarako; eta, ez

da familiako kide bereziren bat aukeratuko fermioien erreakzioaren ondorioz.

Halere, soka erdilokalaren modu nulu bosoidarra dela-eta, zenbait fermioi sokaren muinean

nulua ez den eremuarekin mihiztatuta dagoela aurkituko dugu; eta literaturan esan izan

denaren arabera, ez genukeen horrelakorik espero behar izango. Gure ustez, eremu eskalar

4.1 Sarrera 99

kargatu eta biribilkapen gabeak modu nulu fermioidarretan duten efektua ikertu den lehen

aldia da. Aztertutako eredua, hondoan zurrunbilodun eskalarrez eta fermioiez osatutako

sistemei buruzko zenbait indize-teoremetik at dagoela azpimarratu nahiko genuke [30, 42].

Bukatzeko, kapitulu honen konklusioen laburpena eskainiko dugu.

4.2 Superaljebra eta (super)multipleteak

Atal honetan, aurrerago behar izango ditugun supersimetriaren ezaugarri orokorrak aur-

keztuko ditugu. Azalpen zehatzagoak aurkitu daitezke [15, 88, 102] erreferentzietan.

Talde-teoriaren ikuspuntutik supersimetria Poincare taldearen zabalkuntza da, Lie alje-

bra graduatua erabiliz; zenbait sortzaile, Qα supersimetriaren sortzaileak, fermioidarrak

direlarik. Beraz, supersimetriak erdiaz aldatuko du egoera baten espina; fermioiak bosoi

bihurtuz, eta alderantziz. Fermioi baten superkidea sfermioi deitu ohi da, eta bosoiarena

bosino. Sortzaile independente bat baino gehiago egon daiteke: Qiα (i = 1, ...N) eta N

zenbakiaren balio bakoitzerako teoria desberdina dugu. Kapitulu honetan N=1 eta N=2

kasuen inguruan arituko gara.

Aljebra supersimetrikoaren sortzaile bosoidarrek Poincare taldearen aljebra beteko dute;

sortzaile fermiodarrek ostera (ikus A eranskina hitzarmenak ezagutzeko):

[Qαi, Pµ] = [Qiα, Pµ] = 0 ;

[Qαi,Mµν ] = 12(σµν)

βα Qβi ;

[Qiα,Mµν ] = −1

2Qi

β(σµν)

βα ;

{Qαi, Qj

β} = 2δji (σ

µ)αβPµ ;

{Qαi, Qβj} = 2εαβZij ;

{Qiα, Q

j

β} = −2εαβZ

ij , (4.1)

non Pµ eta Mµν espazio-denborako translazioak eta Lorentz transformazioak diren hurre-

nez hurren; eta Zij karga zentralak dira (Zij = −Zji).

Transformazio supersimetriko infinitesimalaren parametroak ǫα eta ǫα Grassman-en zen-

bakiak dira. Parametro horien laguntzaz, φ eremuaren transformazio supersimetriko infi-


nitesimala definituko dugu:

δφ ≡ −i[φ, ǫQ + Qǫ] . (4.2)

Teoria supersimetrikoetan, Lie aljebra graduatuaren errepresentazio jakin bateko eremu-

edo egoera-”multzoak agertuko dira. Errepresentazio laburtezinen, hots, (super)multipleteen,

zenbait ezaugarri orokor lortu daitezke aljebra bera aztertuz:

• supersimetriadun teorietako energia ez da negatiboa

• multiplete bakoitzean, gutxienez bosoi bat eta fermioi bat dago, beren espin-dife-

rentzia 12

izanik

• multiplete baten egoera guztiek masa berekoak dira

• multiplete batean fermioi- eta bosoi-kopuru bera dago

• supersimetria berez apurtuko da baldin eta soilik baldin hutseko energia zehazki

nulua ez bada

Supersimetriaren arabera, multiplete bakoitzean masa berberko bosoi/fermioi bikoteak

daude. Ondorioz, apurtu gabeko supersimetriaren espektroa ez da errealista; naturan ez

dago bosoien eta fermioien arteko masa endekapenik. Hotaz, supersimetriak apurtuta egon

behar du; baina, ez dugu edonola apurtu nahi: teoriaren dibergentzia koadratikoekiko por-

taera ona mantendu nahi dugu. Poertaera ona mantenduko duten gaiak dira gai bigunak.

N = 1 eta N = 2 teoria supersimetrikoetan gai bigun mota bat –eskalarren masa-gaiak–

gehitzean gertatutako zenbait ezaugarri ikertuko dugu 4.3.3 eta 4.4.2 ataletan.

Kapitulu honetan 3 + 1 dimentsiotako ereduak ikertuko ditugu; eta, honako multiplete

hauek erabiliko ditugu:

1. Multiplete kirala

φ eremu eskalar konplexuak eta ψ Weyl-espinoreak osatuko dute Φ (N =1) multi-

plete kirala. Transformazio supersimetrikoa egitean, eremu horiek beren higidura-

-ekuazioa betetzea beharrezkoa da superaljebra ixteko. Baina aljebra ixteko beste

4.1 Sarrera 101

aukera bat F eremu laguntzaile konplexua gehitzea da. Eremu hori ez da fisikoa;

eta, bere higidura-ekuazio (aljebraikoa) erabiliz, eliminatu ahal izango dugu.

Φ(φ, ψ, F ) multiplete kiralaren lagrangearra ondoko hau da

L = ∂µφ†∂µφ+ iψσµ∂µψ + F †F , (4.3)

eta honako eremuen transformazio supersimetriko hauekiko aldaezina da:

δφ = 2ǫψ ;

δψ = −ǫF − i∂µφσµǫ ;

δF = −2i∂µψσµǫ . (4.4)

Transformazio horiek behatuz ondokoa egiaztatu dezakegu: Bosoiak fermioi bihurtu

dira, eta fermioiak bosoi (bosoien deribatuak). Eremu laguntzailea deribatu oso

bihurtu da. F eremu laguntzailearen higidura-ekuazioa tribiala da lagrangear aske

horren kasurako (F = 0); eta, dinakimatik at geratuko da. Baina elkarrekintza

dagoen teorietan, eremu laguntzaileen higidura-ekuazioak aljebraikoak izango dira

baita ere; eta, higidura-ekuazio horiek erabiliz, eremu laguntzaileak desagertaraziko

ditugu.

Era berean, Φ multiplete antikirala definitu dezakegu. Φ multipletearen konjokatu

hermitikoa erabiliz lortu dezakegu Φ = (φ†, ψ, F †) multiplete antikirala; eta, multi-

pleteare osagaien transformazio supersimetrikoak honako hauek dira:

δφ† = 2ψǫ ;

δψ = −F †ǫ+ iǫσµ∂µφ ;

δF † = 2iǫσµ∂µψ . (4.5)

2. N=1 mutiplete bektorial trukakorra

Wess-Zumino gauge-a erabiliz, ondoko eremuek osatuko dute multipletea: Aµ gau-

ge-eremu trukakorra, λ Weyl-espinorea eta D eremu laguntzailea. V (Aµ, λ,D) mul-

tipletearen lagrangearra honako hau da

L = −14F µνFµν +

i

2λσµ∂µλ+ 1

2D2 + κD . (4.6)


Azkeneko gaiari –κD– Fayet-Iliopoulos gaia deritzo. Gai hori gauge-teoria trukako-

rretan bakarrik gehitu daiteke; U(1) taldearekiko aldaezina baita eta transformzio

supersimetrikoekiko deribatu oso bihurtuko baita. Fayet-Iliopoulos gaia izango da

aztertuko ditugun ereduetan berezko simetria-apurketaren arrazoia.

3. Hipermultipletea

Hipermultipleteak N =2 supersimetriako materia-multipleteak dira. Multiplete ki-

ral bate eta multiplete antikiral baten gainezarmen bezala uler daitezke. Hipermul-

tipletean h1 eremu eskalar konplexu bi, ψ Dirac-fermioia eta Fi eremu konplexu

laguntzaile bi daude, non i = 1, 2. 4.5 atalean hi = h∗i izango da.

4. N=2 multiplete bektorial trukakorra

Multiplete kiral baten eta N =1 multiplete bektorial trukakor baten gainezarmena

da N = 2 multiplete bektorial trukakorra. Ondoko eremuek osatzen dute: M eta

N eremu eskalarrek, Weyl-fermioi bi (N=1 mutiplete bektorial trukakorreko λ eta

multiplete kiraleko ψ), Aµ gauge-eremu trukakorrak, eta hiru eremu laguntzailek (~D

3-bektorearea erabiliz adieraziko ditugunak).

4.5 atalean, multiplete horretako fermioiak beste era batera idatziko ditugu, espinore

SU(2)-kobarianteak erabiliz: Majorana-espinore simplektikoak hain zuzen ere (ikus

A eranskina).

Ohartu zaitezte multiplete honi dagokion Lagrangearreari Fayet-Iliopoulos gaia gehi-

tu diezaiokegula baita ere.

4.2.1 Superaljebra eta karga topologikoa

Aljebra supersimetrikoa aldatu egingo da gure sisteman defektuak daudenean. Aljebra

supersimetrikoaren zabalkuntza zentralarekin erlazionatuta dago soluzioen karga topolo-

gikoa. Defeftu motako soluzioa BPS egoera bada, supersimetriaren erdia babestuta dago;

eta, soluzioa, 12-BPS asetua dagoela esan ohi da. Kink-aren kasurako (ikus 1.1.1 atala)

frogatu zen erlazio hori [103]:

4.1 Sarrera 103

1+1 dimentsioko sistema honetan, supersimetriaren sortzaileak Q± osagai kiralak erabiliz

idatzi zituzten [103] laneko ikertzaileek. Notazio hori erabiliz, kink-arik gabeko aljebra

supersimetrikoa honako era honetan idatzi daiteke

Q2± = P± , {Q+, Q−} = 0 , (4.7)

non P± ≡ 12(P0 ± P1) . Beraz (Q+ + Q−)2 = (Q + −Q−)2 = H da. Hamiltondarraren

edozein |χ > egoera propioak ondoko erlazioa beteko du

H|χ >= E|χ >= (Q− +Q−)2|χ >= (Q+ −Q−)2|χ > . (4.8)

Egoerak aldaezinak dira supersimetria guztiekiko (eta beraz E = 0 energia nulua dute),

edo ez dira aldaezinak edozein supersimetriarekiko. Supersimetria guztiz apurtuta edo

apurtu gabe egongo da.

Baina kink-a dugunean, (4.7) erlazioak aldatu egingo dira. Hain zuzen ere, [103] lanean

frogatu zutenez, kink-aren karga topologikoa aljebra supersimetrikoaren karga zentrala

da; eta, beraz, ondokoa beteko da

Q2± = P± , {Q+, Q−} = T , (4.9)

non T karga topologikoa den. Ekuazio horiek ondorio garrantzitsua dute:

(Q+ +Q−)2 = H + T , (Q+ −Q−)2 = H − T . (4.10)

|χ > BPS egoera badugu, i.e., E = T baldintza betetzen badu |χ > egoerak, orduan

honako hau dugu

(H − T )|χ >= 0 , (H + T )|χ > 6= 0 , (4.11)

eta (4.10) ekuazioa erabiliz

(Q+ −Q−)|χ >= 0 , (Q+ +Q−)|χ > 6= 0 . (4.12)

Ondorioz, Q+ +Q− apurtu egin da eta modu nulu fermioidarrak sortuko ditu; bestalde,

Q+ − Q− ez da apurtu. Sortzaile supersimetrikoen erdia bakarrik apurtu da; eta, beste

ez-BPS egoeretan sortuko diren modu nulu fermioidarren erdia sortuko da. Egoeraren

energia korrekzio kuantikoetatik babestu egingo du apurtzeke geratu den supersimetriak.


Beste defektuetara zabaldu daiteke idea hori [10]; eta, ondorioak analogoak dira: defektu

batek Bogomol’nyi-ren bornea beteko badu, supersimetria erdi-apurtuta egongo da. Apur-

tutako sortzaile supersimetrikoek modu nulu fermiodarrak sortuko dituzte; eta multiple-

teak sortuko dituzte apurtu gabeko sortzaileek. Apurtzeke dagoen supersimetria horrek

masaren balioa babestuko du; eta, beraz, BPS baldintza.

4.3 N =1 Higgs motako eredu supersimetrikoa

Atal honetan V (Aµ, λ,D) multiplete bektorial trukakorrak eta berarekin mihiztatutako

bi Φ±(φ±, ψ±, F±) N=1 multiplete kiralek osatuko duten 4-dimentsioko eredua aztertuko

dugu. Multiplete kiralek elkarren kontrako karga dute. Simetria berez apurtuko den kasua

ikertu nahi dugunez, κD Fayet-Iliopoulos D-gaia gehituko dugu, aurreko atalean esan

dugun eran.

Gure ereduari dagokion lagrangearra ondokoa da

L = Lgauge + Lmatter + Linteraction , (4.13)

non

Lgauge = −1

4FµνF

µν +i

2λσµ∂µλ+ κD + 1

2D2 ; (4.14)

Lmatter = |Dµφ+|2 + |Dµφ−|2 + iψ+σµDµψ+ + iψ−σ

µDµψ− + |F+|2 + |F−|2 ;

Linteraction = i√

2qλ(φ†+ψ+ − φ†

−ψ−) + i√

2q(φ−ψ− − φ+ψ+)λ+ q(|φ+|2 − |φ−|2)D .

φ± eremu eskalarrak ±q aurkako karga dute, eta baita F± eremu laguntzaileek ere. D ere-

mu laguntzailea erreala da; eta, Aµ eremua U(1) gauge-eremua da. Deribatu kobarianteak

honela definitu ditugu: Dµφ± = (∂µ ± iqAµ)φ±. Gainera, Fµν = ∂µAν − ∂νAµ da. Fermio

guztiak Weyl-fermioiak dira.

Eremu laguntzaileak, beren higidura-ekuazioak erabiliz desagertarazi ditzakegu (ikus 4.2 ata-

la)

F+ = F− = 0 , D + κ + q(|φ+|2 − |φ−|2) = 0. (4.15)

4.3 N=1 Higss motako eredu supersimetrikoa 105

D eremu laguntzailea duten gaiak, honela idatz ditzakegu

12D2 + κD + q

(

|φ+|2 − |φ−|2)

D = −κ2

2− κq

(

|φ+|2 − |φ −|2)

− 12q2(

|φ+|2 − |φ−|2)2

= −12

(

q|φ+|2 − q|φ−|2 + κ)2

(4.16)

eta ondoko lagrangearra lortu

L = |Dµφ+|2 + |Dµφ−|2 −1

4FµνF

µν + iλσµ∂µλ+ iψ+σµDµψ+ + iψ−σ

µDµψ−

+i√

2q(φ†+ψ+ − φ†

−ψ−)λ+ i√

2q(φ−ψ− − φ+ψ+)λ

−12

(

q|φ+|2 − q|φ−|2 + κ)2. (4.17)

Lagrangear honen sektore bosoidarra izango da datozen bi atalen abiapuntua. Bertan

huts-aukeratzearen efektua ikertuko dugu; eta, baita ere supersimetria masa-gai bigunen

bidez apurtzean sortutako zenbait ezaugarri.

4.3.1 N=1 kasurako huts-aukeratzearen efektua

Ondorengo lagrangearra erabiliko dugu atal honetan

L = |Dµφ+|2 + |Dµφ−|2 −1

4FµνF

µν − V (φ+, φ−)

V (φ+, φ−) =β

2(|φ+|2 − |φ−|2 − η2)2 . (4.18)

Lagrangear hori (4.17) lagrangearraren orokorpena da, β = q2 limitea aukeratuz gero;

hots, Bogomol’nyi-ren limitea. (4.17) berreskuratuko dugu κ ≡ −qη2 kasurako. κ parame-

troaren zeinu-hautaketa orokorra da; kontrako zeinua aukeratuko bagenu emaitza berbera

lortuko genuke baina φ+ eta φ− eremuen zeregina trukatuta.

Huts-barietatea ondokoa da

|φ+|2 − |φ−|2 − η2 = 0 , (4.19)

eta horren soluzioak

|φ+| = ηcoshu ≡ v+ , |φ−| = η sinh u ≡ v− , (4.20)


non u parametroak modulu-espazioa (baliokide ez diren huts-espazioa) parametrizatuko

duen. Potentzial horrek norabide lauak ditu; hau da, u norabidean zehar higitu gaitezke

energia potentzialeko kosturik gabe. D-gaia gehitzean simetria berez apurtuko da; eta de-

fektuak eratu daitezke. Are gehiago: printzipioz, u guztietarako lor genitzazke defektuak.

Simetria apurtu eta gero, espektro fisikoa ondokoa da: masa gabeko bi eremu eskalar

(Goldstone-n bosoia eta modulu-eremua), m2s = 2βη2cosh2u masadun partikula eskalarra

eta m 2v = 2q2η2cosh2u masadun partikula bektoriala. ms eta mv balioen minimoa u = 0

balioari dagokio; hau da, φ− = 0 kasuari. Kasu horretan Higgs eredu trukakorra berres-

kuratuko dugu. Arestian ikusi dugunez, eredu horrek zurunbilo estatikoak eduki ditzake

(ikus 1.2.1 atala): Nielsen-Olesen zurrunbiloak [74] hain zuzen ere.

Soka zuzen estatiko infinitoak nahi ditugu z-norabidean; bada, t-rekiko eta z-rekiko men-

pekotasuna kenduko dugu; eta At = Az = 0 ipini. Eskalak aldatuz zenbait parametro

desagertarazi ditzakegu (4.18) lagrangearrean

φ± → ηφ± , xµ → xµηq

, Aµ → ηAµ , (4.21)

eta B = ∂1A2 − ∂2A1 dela emanik, energia honela idatziko dugu

E =

∫

d2x

[

|(∂µ + iAµ)φ+|2 + |(∂µ − iAµ)φ−|2 + 12B2 +

β

2

(

|φ+|2 − |φ−|2 − 1)

]2

(4.22)

non E = E/η2 den. Masa eskalarraren eta masa bektorialen karratuen zatidura da β

parametroa: β = m2s/m

2v = β/q2.

Energia finitua izan dadin, Dµφ± → 0, B → 0 izan behar dute 1/r baino azkarrago,

r → ∞ denean. Energia potentzialetik behatuz, φ± eremuek huts-barietaterantz jo behar

dutela ikus dezakegu, r → ∞ denean:

φ± ∼ v± ein±θ . (4.23)

Baldintza hori gradienteetan ordezkatuz ondokoa lortuko dugu

Dθφ+ → 0 ⇒ in+ + iAθ → 0 ⇒ Aθ → −n+

Dθφ− → 0 ⇒ in− − iAθ → 0 ⇒ Aθ → n−

⇒ n+ = −n− = n . (4.24)


qa kargadun eremuek einqaθ moduan biribilkatu behar direla ondorioztatuko dugu. Gau-

ge-eremua balio konstante baterantz doanez, eremu magnetikoaren (1.31) kuantizazioa

berreskuratu dugu:∫

d2xB =

∮

ρ=∞~Aθ · ~dl = −2πn . (4.25)

Printzipioz, r → ∞ puntuan edozein (4.20) huts-barietatearen baliorantz doazen zu-

rrunbiloak sortzea esperoko genuke. Halere, [75] erreferentzian erakutsi zutenez, β = 1

limitean, i. e. Bogomol’nyi-ren limitean, u = 0 baliorako bakarrik lor daitezke soluzio

estatikoak. Beste edozein muga-baldintzek sortutako zurrunbiloak ez-egonkorrak dira, eta

u = 0 kasuko zurrunbilorako joera dute. Egonkortasuna oso makala da, eta geratuko den

zurrunbiloa Nielsen-Olesen zurrunbiloa izango da. Frogatu dezagun Soka egonkorra dela.

Datorren guztirako, ardatz-simetriako konfigurazioak erabiliko ditugu, n = 1 kasurako:

φ+ = f+(r)eiθ ;

φ− = f−(r)e−iθei∆ ;

Aθdθ = a(r)dθ . (4.26)

f±(r) funtzio errealak dira; gainera, f+(0) = f−(0) = a(0) = 0 eta f±(∞) = v±,

a(∞) = −1 dira. φ± funtzioek r-rekiko menpekotasuna duten eiψ±(r) faseak eduki di-

tzakete. Baina, energia minimorako ∂rψ± = 0 bete behar da; beraz, ez ditugu kontuan

hartuko. ∆ konstante erreala da.

Egonkortasuna frogatzearren, (1.35) Bogomol’nyi-ren erako argudioa erabiliko dugu. (4.22)

energia ondoko eran idatziko dugu

E =

∫

d2x[

|(D1 ± iD2)φ+|2 + |(D1 ± iD2)φ−|2 + 12

[

B ∓(

|φ+|2 − |φ−|2 − 1)]2

+β − 1

2

(

φ+|2 − |φ−|2 − 1)2]

∓∫

d2xB , (4.27)

zenbait gainazal-gai gorabehera (energia finituko konfigurazioetarako nuluak direnak).

Erabili ditugun (4.26) konfigurazioetarako, goiko zeinuak hautatu behar ditugu; eta (4.25)

erabiliz, E ≥ 2π dela ikusiko dugu β = 1 Bogomol’nyi-ren limitean. Atal honetan, Bogo-

mol’nyi-ren limitean lan egingo dugu soilik.


E energiaren minimoak Bogomol’nyi-ren ekuazioak bete behar ditu

(D1 + iD2)φ± = 0 , B − (|φ+|2 − |φ−|2 − 1) = 0 , (4.28)

hau da,

f ′+ − a+1

rf+ = 0 ; f ′

− + a+1rf− = 0 ;

a′

r− (f 2

+ − f 2− − 1) = 0 . (4.29)

f−(r) = 0 bada, (4.29) ekuazioak Higgs eredu trukakorraren ohiko (1.36) Bogomol’nyi-ren

ekuazioak dira.

Muineko muga-baldintza bete dezakeen f− funtzioaren soluzio bakarra f−(r) = 0 dela ikus

daiteke; honenbestez, Nielsen-Olesen soluzioak Bogomol’nyi-ren bornea beteko du auto-

matikoki. Horrela, zurrunbiloa egonkorra dela frogatu dugu; energiaren minimo globala

baita, eta ez dago ardatz-simetriako modu nuluak agertzeko aukerarik.

Hain zuzen ere, ez dugu zertan ardatz-simetriara murriztu [10]: φ−φ+ biderkadura azter

dezagun. (4.29) ekuazioen arabera, ondokoa beteko du biderkardura horrek

(∂1 + i∂2)(φ+φ−) = 0 , (4.30)

edo, z = x+ iy eta z = x− iy aldagai konplexuak erabiliz ondokoa

∂z(φ+φ−) = 0 . (4.31)

Beraz, φ+φ− biderkadura z aldagaiaren hautazko funtzioa da. φ+ eta φ− funtzioek ez

dute singularitaterak planoan, eta bornaturik daude. Ondorioz, φ+φ− analitikoa da; eta

bornaturik dago. Hortaz, φ+φ− =konst. da. Baina φ+(r → 0) = 0 denez, konstanteak zero

izan behar du; eta φ− ≡ 0 ondorioztatuko dugu. Geratuko zaizkigun ekuazioak Nielsen-

Olesen zurrunbiloen ekuazio berberak dira.

[75] erreferentzian azaldu den bezela, huts-aukeratzearen efektua ulertzeko gakoa ondoko

hau da: muin magnetikoaren barneko dinamika eta muinaren kanpoko modulu-eremuaren

dinamika bananduta daude. Eremu magnetikoa nulua da muinetik hurrun; eremu eskala-

rrak huts-barietatean daudenez ez dago energia potentzialik; eta (behar bezala normali-

zatutako) modulu-eremua masagabea da. Ekuazio aske masagabeen soluzioa r aldagaia-

rekiko logaritmikoki hazten da bi dimentsiotan; ondorioz, modulu-eremua infinitoraino


haziz joango da, bere huts-balioarantz jo ordez. Joera hori gertatuko ez den kasu berezia

u = 0 kasua da. Beraz, u = 0 balioa aukeratua izango da. Emaitza hori zurrunbiloetarako

bakarrik beteko da, masagabeko eremuen propietatea baita; baina, bi dimentsiotan soilik;

hots, zurrunbiloaren zeharkako dimentsioetan.

Beste ere batera ikus dezakegu emaitza hori: muinaren kanpoan eremu eskalarrak modulu-

-espazioan zehar higi daitezke, u = 0 baliotik beste edozein balio asintotikorantz, energia-

-koste hautemangarririk gabe. Izan ere, muinetik kanpo eremu magnetikoa oso txikia

da; eta eremu eskalarrak huts-barietatean daude. Orduna, energia ondoko hau da, gutxi

gorabehera

E ∼∫

d2x (Dµφ+)2 + (Dµφ−)2 ∼ 2π

∫

dr r(∂ru)2cosh2u . (4.32)

Kalkulatu dezagun bi huts desberdinen artean interpolatuko duen energia minimoko u(r)

konfigurazioa. Demagun u(R1) = u1 eta u(R2) = u2 direla, R1, R2 >> rmuina balioetarako.

Ondoko aldagai-aldaketa eginez

z′(r) = u′(r)√

cosh(2u(r)) (4.33)

(4.32) energia honako era honetan idatziko duu

2π

∫

dr r(∂ru)2cosh2u = 2π

∫ R2

R1

dr r (∂rz(r))2 , (4.34)

eta funtzional horren muturra ondokoa da

0 = [2rz′(r)]′ ⇒ z′(r) =

z0r. (4.35)

z0 zehaztu behar dugun konstantea da. (4.33) ekuazioa integratuz

∫ u2

u1

du√

cosh(2u) =

∫ R2

R1

drz0r

= z0 (lnR2 − lnR1) (4.36)

lortuko dugu, eta hemendik z0:

z0 =

∫ u2

u1du√

cosh(2u)

lnR2 − lnR1. (4.37)

Hortaz, (4.32) energiaren minimoa

E ∼ 2π

∫ R2

R1

dr rz20

r2= 2π z2

0 (lnR2 − lnR1) ⇒ E ∼ I(u1, u2)

lnR2 − lnR1(4.38)


da, nonI(u1, u2)

2π =[

∫ u2

u1du

√cosh2u

]2 (4.39)

den. E energia nahi bezain txikia izan daiteke R2 → ∞ eginez. Beraz, muineko dinamikak

ez du zerikusirik modulu-eremuen portaerarekin; zurrunbiloaren muinak berak energia txi-

kitzeko behar duen muga-baldintza aukera dezake. Muinean, eremu magnetikoa nulua ez

den zonaldean, φ− eremua nulua da; eta muina Nielsen-Olesen zurrunbiloaren muinoaren

berbera da. Baina, aurreko argudioaren arabera, energiaren minimoa ezin da lortu I = 0

(u1 = u2) izan ezean. Ondorioz, huts-aukeratzearen efektua muinean gertatuko da.

φ− = 0 aukeratzeko arrazoia gauge-eremuaren masa minimizazioan datza (gogora deza-

gun m2v = 2cosh 2u dela eskala-aldatutako unitateak erabiliz). Zurrunbiloaren muinean

eremu magnetikoa dago, m−1v mailako zonaldean metatuta. Eremu magnetikoko lerroek

elkar aldaratzen dute; beraz, mv balio txikiak muin magnetiko zabalagoa sorraraziko du.

Ondorioz, fluxu magnetiko osoa kuantizaturik dagoenez, huts-aukeraketa horrek muinaren

energia txikituko du.

4.3.2 Huts-aukeratzearen efektua Bogomol’nyi-ren bornetik at

Orain arte, Bogomol’nyi-ren limitean egin dugu analisia; baina, huts-aukeratzearen efek-

tua β parametroaren beste balioetarako emango den galdetu genezake. Bogomol’nyi-ren

bornetik kanpo ezin dugu ikuspuntu analitikoa erabili; horregatik, eremuen zenbakizko si-

mulazioak egin ditugu huts-aukeratzearen aztarnik dagoen ikusteko [79]. Izan ere, arestian

esan bezala, muin magnetikoaren dinamika eta eremu eskalarren dinamika muinetik kanpo

banandurik daude. Muinetik hurrun, eremu magnetikoa oso txikia da eta eremu eskalarrak

huts-barietatean daude. Hortaz, eremu eskalarrak mudulu-espazioan zehar higi daitezke

energiarik erabili gabe; orduan, φ− eremuaren konkorrak agertzea espero genezake soka-

ren muinetik hurrun, eta horrek ondorio kosmologikoak izan litzake. Baina simulazioen

arabera, erabili ditugun parametro-tartean behintzat, norabide laueko minimo posible

guztietatik bakarra aukeratuko du sistemak; eta Nielsen-Olesen sokak eratu.

Abiapuntua, aurreko ataleko berbera izango da: (4.18) Lagrangearra; baina, orain, β pa-

rametroak ez du zertan β = 1 izan. Sistemaren huts-barietatea bera da oraindik, (4.20)


emandakoa; bada, sistemak norabide lauak ditu.

Sistema zenbakizko metodoen bidez simulatzeko, (4.18) lagrangearraren bertsio diskre-

tizatua erabili dugu. Lehenengo, eremuetan eta koordenatu espazio-denboraletan (4.21)

eskala-aldaketa erabiliz, η = q = 1 kasura helduko gara. Orduan, sarean definituriko

hamiltondar gauge-teorietako zenbait teknika (ikus E eranskina) erabiliko ditugu simula-

zioak egiteko.

Sare-loturako eta plaquette eragileak

Ui(x) = e−ilAi(x) ; (4.40)

Qij = Uj(x)Ui(x+ xj)U†j (x+ xi)U

†i (x) (4.41)

dira, hurrenez hurren. l sare-tartea da; hiru dimentsio espazialei dagokion indizea i da

(1, 2, 3 balioak hartuko dituena); eta Ai gauge-eremuak dira. x+ xi espresioa, x puntutik

abiatuta i norabidean dagoen hurrengo puntuari dagokio. Plaquette eragileak gauge-ere-

muen balioei dagokie. Aldez, sare-loturako eragilea, aldiz, deribatu kobariante diskretuak

definitzeko erabiliko dugu:

Diφ+(x) =1

l

(

U †i (x)φ+(x+ xi) − φ+(x)

)

;

Diφ−(x) =1

l(Ui(x)φ−(x+ xi) − φ−(x)) . (4.42)

Ondokoa da (4.18) lagrangearrari dagokion dentsitate hamiltondarra

H = |Π+|2 + |Π−|2 + 12EiEi +

β

2

(

|φ+|2 − |φ−|2 − 1)2

+|Diφ+|2 + |Diφ−|2 +1

2l4

∑

i6=j(1 − Re(Qij)) , (4.43)

non φ± eta Ai eremuen momentu konjokatuak Π± eta Ei diren, hurrenez hurren. l → 0

doan limitean, continuum-eko hamiltondarra berreskuratuko dugu.

Gauge-aldaezina da (4.43) hamiltondarra: Λ(x) funtzioak emaniko U(1) transformazio

orokor baten ondorioz, honela aldatuko dira eremuak

φ+(x) → Λ(x)†φ+(x) ;

φ−(x) → Λ(x)φ−(x) ;

Ui(x) → Λ(x)Ui(x)Λ†(x+ xi) , (4.44)


eta hamiltondarra aldaketa horiekiko aldaezina da.

Gauge-aukeraketa bat egin dugu (4.43) moduko hamiltondarra lortzeko, hots, A0 = 0.

Ondoko hau da A0 eremuari dagokion higidura-ekuazioa

φ†+(x)Π+ −Π†

+φ+(x)+Π†−(x)φ−(x)−φ†

−(x)Π−(x) =i

l

∑

k

(Ek(x) − Ek(x− xk)) , (4.45)

eta Gauss-en legearen baliokide da testuinguru horretan.

Sistemak Gauss-en legea bete behar du derrigorrean, arrazoi geometrikoak direla-eta;

hasierako baldintzak (4.45) erlazioa beteko badute, (4.43) ekuazioen bidezko eboluzioak

(4.45) erlazioa beteko ditu baita ere.

φ± eta Ai eremuei dagozkien higidura-ekuazio hamiltondarretan, γΠ± eta γEi gai ba-

rreiakor gauge-aldaezinak gehitu ditugu, hurrenez hurren. Gai berri horiek Gauss-en legea

betetzen dutenez, sistema osoak Gauss-en legea betetzen darrai. γ parametroa ereduaren

parametro askea da; baina, simulazioetan γ parametroaren balio desberdinak erabiliz,

bilakaera koalitatiboki berdina lortu dugu.

(4.43) hamiltondarretik lortutako higidura-ekuazioak 643 neurriko sarean simulatu geni-

tuen. Sistemaren dinamikak φ− eremuarekiko duen menpekotasuna aztertu nahi dugu,

ez fase-trantsizio beraren xehetasunetan. Are gehiago, defektuei buruz zenbakizko simu-

lazioetan [3, 91] erreferentzietan ikusi zutenez (eta baita 3.4 atalean), defektuen eraketa

eremu eskalarren eta gauge-eremuen arteko elkarrekintzaren menpekoa da; eta ez du era-

bilitako hasierako baldintzaren menpekotasun haundirik. Halere, lortutako emaitzak sis-

temaren hasierako baldintzaren menpekoa ez zirela ikusteko, zenbait hasierako baldintza

desberdin erabili genituen; eta emaitza koalitatibo berdinak lor genituen erabilitako bal-

dintza guztiekin. Lehenengo denbora-tarteak erantzun irangankorra dira; sistemak energia

oso azkar galduko du. Orduan, gauge-eremu eta eremu eskalarren arteko elkarrekintzak

defektuak eratuko ditu.

Atal honetan adierazitako emaitza guztiak ondoko hasierako baldintzak erabiliz lortu

ditugu: φ± = 0, Aµ = 0 eta Ei = 0; eta eremu eskalarrek zorizko abiadura dute. Aukera

horrek Gauss-en legea betetzen du; eta simulazioan Gauss-en legea beteko dela ziurtatu

dugu. Hasierako baldintza ezberdinei dagozkien eboluzioetarako Gauss-en legea behatuz,

kodearen egonkortasuna bermatuko dugu.


4.1 irudia: β = 0.3 eta γ = 0.5 erabiliz, 643 neurritako kubo batean eginiko simulazioaren

adierazpide grafikoa. a) irudian, |φ+| < 0.75 eta |φ−| > 0.1 duten sare-puntuen kopurua adierazi

ditugu, lerro marradun eta jarraituaren bidez, hurrenez hurren. b) irudian aldiz, sare-puntu

bakoitzean eremu bakoitzaren moduluaren batura adierazi dugu, sare-puntu kopuru totalarekiko:∑

x |φ+| (marradun lerroa),∑

x |φ−| (lerro jarraitua). Baitaere, 1−∑x V (x)/Vmax espresioaren

balioak adierazi ditugu (puntudun lerroa), non V (x) energia potentziala den.

4.1 irudian simulazioen emaitzak adierazi ditugu. Hasierako denbora-tarteetan erantzun

iragankorra dagoela ikus daiteke; sistemak energia barreiatuko du. Eremu eskalar biek

balio ez-nuluak dituzte; zehazki, φ− 6= 0. Hasierako energia kinetikoaren zati bat energia

potentzial bihurtu da; baina, ez da inolako egiturarik ikusi. Tarte iragankorra amaituta-

koan, φ− txikituz doa, oso azkar, |φ−| ∼ 0 izan arte.

Ikus daitekeenez, a) irudian, |φ+| < 0.75 eta |φ−| > 0.1 betetzen duten sare-puntuen

kopurua adierazi dugu, sare-puntu osoarekiko. Tarte iragankorra eta gero (t ∼ 15), ez dago

punturik sarean |φ−| > 0.1 betetzen duenik; bestalde, |φ+| eremuaren modulua 0.75 balioa

baino handiagoa da ia edonon. Eremu eskalarrek energia potentziala minimizatzen saiatu

beharko luteke, eta emaitza horren arabera, φ+ eremua da minimizazioa lortzen saiatzen

den bakarra. Honela, dirudienez, sistemak u = 0 balioa aukeratu du (4.20) norabide

lauetako balio guztien artean.

Aldiz, 4.1 b) irudian, 1−∑

xV (x)Vmax

espresioaren balioa adierazi dugu, non V (x) funtzioa x

puntuko energia potentziala adierazi duen; eta Vmax balioa hau da: puntu guztietan φ± = 0

dela emanik lortutako energia potentzialaren balioa.∑

x |φ+(x)| eta∑

x |φ−(x)| adierazi

ditugu baita ere, sare-puntuen kopuru totalarekiko. a) irudian ezezik, irudi horretan ere


ikus daiteke tarte iragankorra eta gero φ− zerorantz oso azkar doala; eta |φ+| ∼ 1 da ia

edonon. Energia potentzialak φ+ eremuaren jokaera jarraituko du zehatz mehatz; eta ez

du φ− funtziaren jokaerarekiko menpekotasunik. Horren arabera, energia potentzialaren

minimizazioa φ+ eremuak bakarrik lortuko du.

4.2 irudia: β = 0.3 eta γ = 0.5 balioetarako 643 neurriko simulazioaren emaitza t = 40 aldiunean.

Ezkerreko irudian φ+ eremuaren moduluaren sestra gainazalak adierazi ditugu, |φ+| ∼ 0.75

baliorako. Eskubian aldiz,√

12FijF

ij eremu magnetikoa adierazi dugu, neurtutako maximoaren

%25 balioari dagokion sestra gainazalen bidez.

Sistema ez dago puntu guztietan potentzialaren minimoan, sarean |φ+| < 0.75 betetzen

duten puntuak baitaude. Horren arabera, φ+ = φ− = 0 duten puntuak daude; eta, agian,

sokak eratuko zaizkigu sisteman. 4.2 irudian, φ+ eremuaren moduluaren eta eremu mag-

netikoaren adierazpide grafikoak ikus daitezke, t = 40 aldiunerako, tarte iragankorra eta

gero. Argi dago, |φ+| < 0.75 duten puntuek egiturak eratzen dituztela; sokak, hain zuzen

ere. Eremu magnetikoaren metatzeak eremu eskalarren moduluaren jokaerari jarriatu dio

zehatz-mehatz. |φ−| erabiliz lortutako irudiak puntu guztietan |φ−| ∼ 0 dela erakutsiko

luke. Eremu magnetikoaren eta |φ+| moduluaren arteko adostasuna kodearen egonkor-

tasunaren seinale da. β parametroaren zenbait baliotarako eginiko simulazioek (β = 0.1

baliotik β = 2.0 balioara) jokaera berbera erakutsi dute.

Emaitza horien arabera, hasierako tarte iragankorraren ondoren, eremu eskalar bakarra

da dinamikoa ((φ+) eremua); eta bestea ((φ−) eremua) zerorantz doa oso azkar, puntu

guztietan. Beraz, β = 1 baliorako lortutako emaitza analitikoa β 6= 1 kasuetarako beteko

dela ikusi dugu. Kasu guztietarako, sitemak u = 0 hutsa aukeratuko du. Dinamikatik


at geratuko da φ− eremua; eta funtsean, Higgs eremu trukakorra dugu. Beraz, sistemak

Nielsen-Olesen zurrunbiloak eduki ditzake, gauge-eremua eta φ+ eremuaren arteko elka-

rrekintzaren ondorioz sortuak.

4.3.3 N=1 Supersimetria-apurketa biguneko masa-gaiak

4.2 atalean esan dugunez, supersimetria apurtuta egon behar da eskalaren batean, energia

txikietan supersimetriarik ez baitago. Supersimetria apurtzeko aukeretako bat lagrangea-

rrari supersimetria-apurketako masa-gai bigunak gehitzea da. Aukera hori komenigarria

da, simetria-apurketa nola gertatuko den zehaztasunak behar ez ditugulako. Higgs ere-

muak masa hartuko du esplizituki; bestalde, higgsinoek masagabe izaten jarraituko dute.

Horrela, supersimetria apurtuko dugu: multiplete bereko bi kideek masa desberdina bai-

tute. Arestian jorratutako N=1 ereduan sortutako Nielsen-Olesen zurrunbiloei masa-gai

berri horien eraginez gertatukoa aztertuko dugu.

Ondoko Lagrangearra lortuko dugu (4.18) lagrangerarrari gai berriak gehituz:

L = |Dµφ+|2+|Dµφ−|2− 14FµνF

µν−λ

2

(

|φ+|2 − |φ−|2 − η2)2−m2

+|φ+|2−m2−|φ−|2 . (4.46)

Orain, sistemaren potentziala honako hau da

V =λ

2

(

|φ+|2 − |φ−|2 − η2)2

+m2+|φ+|2 +m2

−|φ−|2 , (4.47)

eta potentzialaren bi muturrak

φ+ = 0 , φ− = 0 (4.48)

eta

|φ+|2 = η2 − m2+

λ, φ− = 0 (4.49)

puntuetan gertatuko dira. λη2 < m2+ denean, bigarren soluzioa ezin da gertatu; eta

φ+ = φ− = 0 aukera bakarrik dugu. Berorie da kasu horretan sistemaren minimo

bakarra. Ez dago berezko simetria-apurketarik, eta ez dira sokak eratuko. Oraingo ho-

netan aurreko ataleko Nielsen-Olesen zurrunbiloa ez da aukeretako bat. Emaitza hori

naturala da: Higgs eremua oso astuna bada, energiaren ikuspuntutik hobea baita Higgs

eremu guztiak zero izatea.


Beste alde batetik, λη2 > m2+ kasurako egoera desberdina da. Bi mutur ditugu kasu

horretan:

V (φ+ = 0, φ− = 0) = 12η4λ ;

V (|φ+| =

√

η2 − m2+

λ, φ− = 0) = m2

+

(

η2 − 12

m2+

λ

)

. (4.50)

Potentzialaren bigarren deribatuak {φ+ = 0 , φ− = 0} puntuan ondokoak dira:

V++ = 2(m2+ − η2λ) < 0 , V+− = 0 , V−− = 2(η2λ+m2

−) > 0 , (4.51)

non ± azpi-indizeek φ± aldagaiekiko deribatuei dagozkien, hurrenez hurren. Bestalde,

{|φ+| =

√

η2 − m2+

λ, φ− = 0} puntuan honako hau lortuko dugu

V++ = 4(η2λ−m2+) > 0 , V+− = 0 , V−− = 2(m2

+ +m2−) > 0 . (4.52)

Beraz, potentzialaren minimoa {|φ+| =

√

η2 − m2+

λ, φ− = 0} puntuan dago. Potentzialaren

minimoen endekapena desagertu egin da: ez dugu norabide lauik, eta sokak φ+ eremuan

bakarrik agertu daitezke. Sistema eraldatu horrek u = 0 balioa aukeratuko du baita ere

(4.20) huts-balio guztien artean; eta benetako Nielsen-Olesen zurrunbiloa dugu. Aurreko

kasuan bezela, eremuak ez du zeresanik defektuak eratzerako orduan, eta m− masaren

balioa hutsala da sokarik eratuko den jakiteko.

4.4 N =2 QED supersimetrikoa – Bosoiak

4.3 atalean deskribaturiko N =1 eredua, mailaz igoko dugu N =2 QED (Quantum Elec-

troDynamics) eredu supersimetrokora. N = 2 multiplete bektorial trukakorrari lotutako

hipermultiplete bik osatuko dute eredu hori (ikus 4.2 atala).

Greene, Morrison eta Vafa ikertzaileak aztertu zuten eredu hau [50]: II motako supersoken

Calabi–Yau kompaktifikazioaren energia-txikietarako akzio efektiborako eredu erraztzat

hartu zuten. Konfigurazio magnetikoak aurkitu zituzten, zikloetan bildutako D–branei

esker. Energia txikirako teorian, zurrunbilo-magnetiko ez-topologiko baten bidez lotuta-

ko monopolo/antimonopolo bikote itxura hartuko dute konfigurazio magnetiko horiek;

honela, konfinamendu magnetikoa lortuz.

4.4 N=2 QED supersimetrikoa – Sektore Bosoidarra 117

Baina [4] erreferentzian erakutsi zutenez, Fayet-Iliopoulos gairik gabe zurrunbilo horiek ez

dira egonkorrak; eta, beraz, ezin dute konfinatu. Zurrunbiloak egonkortzeko nahian, Fayet-

Iliopoulos D-gaia gehituko diogu sistemari. Akzio efektiboaren N =2 supersimetriarekin

bateragarri den aldaketa bakarra da hori. Frogatuko dugunez, ez-egonkortasuna modu

nulu bihurtuko da kasu honetan, baina ez da nahikoa izango konfinamendua lortzeko.

Wess-Zumino gaugean, eredu honen lagrangearra ondokoa da [88]

L = Lgauge + Lmatter + Linteraction , (4.53)

non

Lgauge =1

2(∂µM)2 +

1

2(∂µN)2 +

i

2λi γ

µ ∂µλi − 1

4F µνFµν +

1

2~D 2 ;

Lmatter =1

2Dµh i

a Dµhai + i ψa γµDµ ψa + F i

a Fai ;

Linteraction = i qa hia λi ψa − i qa ψa λ

i hai − qa ψa (M − γ5N)ψa −1

2h ia (M2 +N2) hai +

1

2qa h

ia ~τ

ji~D haj . (4.54)

Hipermultiplete ezberdinak izendatu ditu a indizeak; eta qa dagozkien kargak dira (qa =

+q,−q). h ia = h∗ai moduan definitu dugu. Deribatu kobarianteak honako hauek dira:

Dµhai = (∂µ + i qaAµ) hai . (4.55)

Eredua aldaezina da multiplete bakoitzean hia eremu eskalarrak bata bestean biratuko di-

tuen SU(2) simetria globalarekiko. (4.54) lagrangearrean Fayet-Iliopoulos D-gai hirukotea

gehitu dugu baita ere, hots, ~k · ~D. Orokortasuna galdu gabe, ~k = (0, 0, 12|q|ω2) aukeratu

dezakegu: horrek SU(2) simetria apurtuko du. Halere, beste SU(2) simetria dago siste-

man, (h11 eta h∗22) eta (h12 eta h∗21) bikoteen artekoa; eta D-gaia gehitutakon simetria hori

ez da apurtuko.

Eremu laguntzaileak ordezkatu ondoren, eta hutsean itxarotako balioa nulua duten ere-

muak arbuiatu ondoren, eredua nahiko samurtuko dugu. Eremuen eta aldagaien eskala

aldatuz, hau da, hij → ωhij, xµ → xµ/ωq eta Aµ → ωAµ definituz, (4.54) lagrangearra

ondoko eran idatzi dezakegu:

L = 12Dµh iaDµhai + iψaγ

µDµψa +i

2λiγ

µ∂µλi

−14F µνFµν + iqah

iaλiψa − iqaψaλ

ihai

−12

(

H 11 −H 2

2 + 12

)2 − 12

(

H 12 −H 2

1

)2+ 1

2

(

iH 12 − iH 2

1

)2(4.56)


non qa = qa/q, Dµ = ∂µ + iqaAµ eta H ij = −(qa/2)h iahaj .

4.4.1 N=2 kasurako huts-aukeratzearen efektua

Atal honetan, (4.56) ereduko zurrunbiloen huts-aukeratzearen efektua aztertuko dugu.

Zurrunbilo zuzen eta estatikoaren energia ondoko hau da

2E

ω2= E =

∫

d2x

[

|Dµh11|2 + |Dµh12|2 + |Dµh21|2 + |Dµh22|2 +1

2B2

+(H 11 −H 2

2 + 1/2)2 + (H 12 +H 2

1 )2 + (iH 12 − iH 2

1 )2]

. (4.57)

r → ∞ denean energia finitua izan dadin, Dµhai = 0 izan behar dela ikusiko dugu. Horrek

espazioko infinituan multipleteen faseak korrelazioan jarriko ditu; hau da, ha ∼ einqaθ

erlazioa bete beharko da. Gainera,

Aθdθ ∼ −ndθ (4.58)

erlaziotik eremu magnetikoaren fluxuaren kuantizazioa lortuko dugu. Kontuan hartu gure

konfigurazioaren kasuan, B < 0 dugula n = 1 denean. Energia finitu izatearen baldintza

erabiliz, eskalarrak huts-barietatean egon behar direla ikusiko dugu baita ere; hau da,

H 12 = H 2

1 = 0 eta H 22 −H 1

1 = 12.

Eremu eskalarrak hai = rai ei χai eran idatziz gero,

χ11 − χ12 = χ21 − χ22 + 2mπ , (4.59)

r11 r12 − r21 r22 = 0 , (4.60)

(r11)2 + (r22)

2 − (r12)2 − (r21)

2 = 1 (4.61)

moduan idatziko dugu lagrangearra.

Gauge-eremuaren masa r211 + r2

12 + r221 + r2

22 da. huts-aukeratzearen efektua kasu honetan

ere gertatzen bada, orduan, (4.60,4.61) ekuazioak kontutan hartuz, masa horren minimi-

zazioak h12 = h21 = 0 emaitza aurresango du. Berau benetan gertatuko dela frogatzeko,

berridatzi dezagun energia ondoko eran

E =

∫

d2x[

[

B + (H 11 −H 2

2 + 12)]2

+ (H 12 +H 2

1 )2 + (iH 12 − iH 2

1 )2+


|(D1 + iD2)h11|2 + |(D1 − iD2)h12|2 + |(D1 + iD2)h21|2 + |(D1 − iD2)h22|2]

−12

∫

d2xB , (4.62)

eta lortu ditzagun hortik Bogomol’nyi-ren ekuazioak:

(D1 + iD2)h11 = 0 , (D1 − iD2)h22 = 0 ; (4.63)

(D1 − iD2)h12 = 0 , (D1 + iD2)h21 = 0 ; (4.64)

H 21 = H 1

2 = 0 ; (4.65)

B + [H 11 −H 2

2 + 1/2] = 0 . (4.66)

Oharra: H 21 = 0 dela kontuan hartuz, D+H

21 = 0 izan behar da; eta hori betetzeko,

D+h11 = D+h∗12 = D+h21 = D+h

∗22 = 0 gertatu behar da; beraz, gradiente-gaietako ±

zeinuen aukera ez da hautazkoa.

Hipermultiplete eskalarren ardatz-simetriako konfigurazio orokorrena ondokoa da [4]

h1 ≡(

h11(r)

h12(r)

)

eiθ , h2 ≡(

h21(r)

h22(r)

)

e i∆e−iθ ;

Aθ = a(r) , Ar = 0 . (4.67)

Bogomol’nyi-ren ekuazioen analisia egiteko, (h11, h21) eta (h∗22, h∗12) bikoteak aurreko atale-

ko N=1 ereduko (h11, h21) eremu bikoteen joera berbera dutela konturatzearekin nahikoa

da: beren karga ±1 da, eta (4.66) ekuazioko kortxetean +1, -1 zeinuarekin daude. Beraz,

(4.64) betetzeko aukera bakarra honako hau da

h12 = h21 = 0 . (4.68)

Emaitza honek (4.65) ekuazioa zuzenean beteteko du. Konfigurazio horiek bektorearen

masa minimizatuko dute; eta, kasu horretan, huts-aukeratzea gertatuko dela ondorioz-

tatuko dugu (ohar gaitezen bigarren hipermultipletea kenduz gero, huts-aukeratzearen

efektuak zurrunbilo topologikoa emango duela h11 eremuan [39, 43, 59]).

Horrela, (4.63), (4.66) ekuazioak geratuko zaizkigu, eta horiek eredu erdilokalaren Bogo-

mol’nyi-ren ekuazioak dira [92] hain zuzen ere, (h11, h∗22) eremu-bikoterako. Soka horiek


[45, 49, 55] lanetan aztertu dituzte; eta 1.3 atalean deskribatu ditugunez, hemen emaitzak

baino ez ditugu aipatuko. n = 1 kasurako, (4.67) ansatz-aren osagai ez-nulu bakarrak

(

h11

h∗22

)

=

(

f(r)eiθ

g(r)ei∆

)

(4.69)

dira (SU(2) biraketak salbu), non ∆, f(r) eta g(r) funtzio errealak diren: f(0) = 0,

f(∞) = 1 eta g(0) 6= 0, g(∞) = 0 muga baldintzak beteko dituztenak. Funtzio hauek 1.3.1

atalean lortutako eredu erdilokaleko profilak dituzte. Bi funtzioak erlazionatuta daudela

ikus genuen atal horretan:

g(r) = q0f(r)

r, (4.70)

non q0 soluzio ezberdinak izendatuko dituen parametroa den. q0 bakoitzerako, a(r) gauge-

-eremua (D1 + iD2)h11 = 0 baldintzatik askatuz lor daiteke.

g funtzioak biribilkapenik ez duenez, muinean kondentsatu eskalarra dugu; hots, g(0) 6= 0.

Ohartu gaitezen baita ere h11 eta h∗22 eremuen arteko SU(2) transformazioak ez direla

N = 2 supersimetriak emandakoak, hipermultiplete desberdineko osagaiak erlazionatuko

baititu. Modu nuluak ez du simetria global bi horiekiko menpekotasunik, infinituko muga-

-baldintzak ez baititu aldatuko.

1.3.1 atalean ikusi dugunez, zabalera desberdineko “zurrunbilo” magnetikoko multzo uni-

parametrikoa dago: Nielsen-Olesen zurrunbilotik hasi (q0 = 0 kasua) eta zurrunbiloaren

muinaren zabalkuntza mugagabea izateraino (q0 → ∞ kasua).

Azkenik, potentzialaren norabide lau bati dagokio modu nulua: bektorearen masa beti mi-

nimoa den norabideari. Hortaz, huts-aukeratzearen efektuak ez du Nielsen-Olesen soluzioa

aukeratuko beste zurrunbilo “zabalagoen” artean. Izan ere, erradio geroz eta handiagoko

fluxu-hodietarantz joko du sistemak [66]. Ondorioz, eredu horretan fluxu magnetikoa ez

da konfinatuko neurri zehatzeko hodietan. Ikuspuntu kosmologikorako, zabalera infinituko

hodiranzko erlajazioaren denbora-eskala oso garrantzitsua da, baina lan honetatik kanpo

dago analisi hori; halere, argi dago bortoien eraketa ez dela emango.


4.4.2 N=2 Supersimetria-apurketa bigunerako masa-gaiak

Atal honetan, aurreko atalean ikertutako ereduaren Higgs eskalarrei supersimetria apur-

tzen duten masa-gai bigunak gehituko dizkiegu, eta lortutako zurrunbiloak aztertu (ikus

4.3.3 atala).

Sistemaren energia (eskala aldaketarik gabe) ondoko hau da

E =

∫

d2x12

[

|Dµh11|2 + |Dµh12|2 + |Dµh21|2 + |Dµh22|2 +1

2B2

+(H 11 −H 2

2 +η2

2)2 + (H 1

2 +H 21 )2 + (iH 1

2 − iH 21 )2

+m211|h11|2 +m2

12|h12|2 +m221|h21|2 +m2

22|h22|2

, (4.71)

non, (4.56) lagrangearraren moduan, Dµ = ∂µ + i(qa)Aµ den ( qa = +q,−q) eta H ij =

−(qa/2) h∗aihaj . Notazioa erraztearren η2 = |q|ω2 definitu dugu.

Jatorrizko ereduak, SU(2) simetria du U(1) gauge-simetriaz gain, (h11 eta h∗22) eta (h12 eta

h∗21) beren artean erlazionatuko dituena. Soka erdilokalak lortzearen arrazoia zen simetria

hori. Beraz, m11 6= m22 masa desberdinak gehitzean Nielsen-Olesen zurrunbiloak lortzea

espero dugu, masa desberdinek SU(2) simetria apurtuko baitute.

Eremu eskalarrak hai = raieiχai moduan idatziz, potentziala honela idatzi daiteke

V =1

8

(

(

−r211 + r2

21 + r212 − r2

22 + η2)2

+ 4r211r

212 + 4r2

21r222

− 8 (r11r12r21r22cos(χ11 + χ22 − χ12 − χ21) ) )

+12

(

m211r

211 +m2

12r212 +m2

21r221 +m2

22r222

)

. (4.72)

Potentzialaren minimoa lortzeko, cos(χ11+χ22−χ12−χ21) maximizatu behar dugu; bada,

χ11+χ22−χ12−χ21 = 0 mod 2π izan behar da. Huts-barietatea kalkulatzeko, (4.72) V -ren

bariazioa egin behar dugu eremu guztiekiko; hau da, δVδrai

= 0, eta ondoko mutur hauek

lortuko ditugu:

r211 = η2 − 2m2

11 , r12 = r21 = r22 = 0 ; (4.73)

r212 = −η2 − 2m2

12 , r11 = r21 = r22 = 0 ; (4.74)


r221 = −η2 − 2m2

21 , r11 = r12 = r22 = 0 ; (4.75)

r222 = η2 − 2m2

22 , r11 = r12 = r21 = 0 ; (4.76)

r11 = r12 = r21 = r22 = 0 , (4.77)

masa guztiak desberdinak direnean. r12 6= 0 eta r21 6= 0 dituzten soluzioek balio ez dutela

ikus dezakegu; hortaz, bakarrik hiru minimo izan ditzakegu.

Potentzialaren bigarren deribatuak aztertuz, minimoa gertatu daitekeen hiru egoera aur-

kituko ditugu:

Eremuen masak η2 baino handiagoak badira (η2 < 2m211, 2m

222), potentzialaren minimoa

rij = 0 puntuan emango da; eta, beraz, ez dugu zurrunbilo posiblerik izango. Beste bi

minimoak r11 edo r22 eremuetarako Nielsen-Olesen zurrunbiloei dagozkie; eta, m11 eta

m12 masen balioen arabera, batean ala bestean eratuko dira. m211 < m2

22,η2

2kasurako

Nielsen-Olesen zurrunbiloa h11 eremuan eratuko da. Bestalde, m222 < m2

11,η2

2kasuan, h22

eremuan.

m11 = m22 < η2/2 kasu berezia da, h11 eta h∗22 eremuen arteko SU(2) simetria ez bai-

ta apurtu, eta aurreko ataleko soka erdilokalak berreskuratuko ditugu. Kasu horretan,

minimoak

r211 + r2

22 = η2 − 2m211 (4.78)

dira, soluzio-familia osoa dugu [55]; horietako bat Nielsen-Olesen soka da.

Hortaz, m11 m22 masen balioen arabera kasu desberdinak ditugula ondoriozta dezake-

gu: sokarik eratuko ez direla; soka erdilokalak eratuko direla; eta sistemak h11 edo h22

eremuetan Nielsen-Olesen zurrunbilo egonkorrak eratu ditzakela.

4.5 N =2 QED supersimetrikoa – Fermioiak

4.4.1 atalean aztertutako N =2 QED eredu supersimetrikoari dagozkion modu nulu fer-

mioidar erako soluzioak ikertuko ditugu. Ikusi dugunez, sektore bosoidarrean, huts-au-

keratzearen efektuaren bidez zenbait huts aukeratuko dira huts poible guztien artean;

baina, efektua ez da nahikoa konfinamendu magnetikoa lortzeko. Sektore fermioidarrak

4.5 N=2 QED supersimetrikoa – Sektore Fermioidarra 123

huts-aukeratzea aldatu dezakeen ikusi nahi dugu; eta, agian, konfinamendua lortu. Soluzio

horiek higidura-ekuazio fermioidarrak askatzen lor daitezke; orokorrean, zailtasun handiko

lana dena. Baina gure eredua supersimetrikoa denez, soluzio bosoidarren transformazio

supersimetrikoak emango dizkigu hainbat modu nulu fermiodar zuzenean [32]. Prozedura

honek sokaren zeharreko planoan estatiko diren soluzioak emango dizkigu, eta gero t eta

z aldagaiekiko menpekotasuna ezarriko dugu.

Modu nulu erako soluzioei buruz hitz egitean zera esan nahi dugu: akzioa aldaezin utziko

duten soluzioak –edo konfigurazio estatikoetan, energia aldaezin utziko dutenak, gauza

berbera baita– eta beren higidura-ekuazioak beteko dituztenak. Konfigurazio jakin baten

transformazio supersimetrikoak energia aldaezin utziko du. Are gehiago, transformatuko

dugun konfigurazioa higidura-ekuazio bosoidarren soluzio da; eta, beraz, transformazio

horren bidez lortutako fermioiek beren higidura-ekuazioak automatiokoki beteko dituzte.

Hortaz, higidura-ekuazio bosoidarrak betetzen dituzten konfigurazio bosoidar estatikoen

supersimetria-transformazioen bidezko modu-fermiodarrak modu nulua dira zuzenean.

Hurrengo atalean, arestian aipatutako transformazio-supersimetrikoa erabiliko dugu modu

nulu fermioidarrak esplizituki lortzearren. Huts-aukeratzearen efektua ez dutela aldatuko

ikusiko dugu; baina, halere, defektuaren muinean nuluak ez diren eskalar eremuei lotutako

fermioiak lortuko ditugu, harrigarria dena. 4.5.2 atalean modu nulu fermioidarrei dagoz-

kien higidura-ekuazioak aztertuko ditugu, eta kondentsatu eskalarrei lotutako moduak

ulertzen saiatuko gara.

4.5.1 Modu nulu fermioidarrak

Gure sistemaren fermioi-edukia1 honako hau da: hipermultipleteetatik datozen bi higgsino

(ψ1 eta ψ2 bi Dirac-fermioi), eta multiplete bektorialetik datozen bi gaugino (λ1 eta λ2 bi

Majorana-fermioi sinplektikoak).

N=1 supersimetriaren hizkuntza erabiliz, ondoko hauek dira gauginoak: N=1 multiple-

te bektorialaren gauginoa eta multiplete kiral neutroaren higgsinoa (neutroa multiplete

bektorialarekiko). Supersimetria-sortazile biak (ξα(1), ξα(2)) nahastatu egingo ditugu ǫ1, ǫ2

1Ikus A eranskina hitzarmenak jakiteko.


Majorana-fermioi sinplektikoak lortzeko:

ǫ1 =

(

−i ξα(2)

ξα(1)

)

, ǫ2 =

(

i ξα(1)

ξα(2)

)

. (4.79)

Aztertu nahi dugun ereduaren lagrangearra (4.56) ekuazioak emandakoa da, ondoko su-

persimetria-transformazioekiko aldaezina dena [4, 88]

δhai= 2 ǫi ψa ;

δψa = −i ǫ i Fai − (i γµDµ +M + γ5N) ǫ i hai ;

δFai= 2 ǫi (γµDµ + iM − i γ5N)ψa − 2ǫj λ

j hai ;

δAµ= i ǫi γµ λi ;

δM = i ǫi λi ;

δN = i ǫi γ5 λi ;

δλi = − i

2σµν ǫ iFµν − γµ ∂µ (M + γ5N) ǫ i − i ǫ j ~τ i

j~D ;

δ ~D = ǫi ~τi

j γµ ∂µλj . (4.80)

Erabil ditzagun (4.80) ekuazioak hondoan 4.4.1 ataleko soka bosoidar erdilokala duen sis-

temaren transformazio supersimetrikoa kalkulatzeko. Transformazio ez-nulua duten eremu

bakarrak fermioiak dira, bosoiak fermioi bihurtuko baitira; eta horiek, nuluak dira hon-

doko konfigurazioan.

Gure hitzarmenen arabera (A eranskina)

γµ =

(

0 σµ

σµ 0

)

, (4.81)

non σµ = (1, σ), σµ = (1,−σ) eta σi Pauli-matrizeak diren.

Higgisnoak eta gauginoak era esplizituagoan idatz daitezke, honela hain zuzen:

δψ(1) = − i

2

[

(D1 − iD2)h11

(

γ1 + iγ2)

ǫ(1) + (D1 + iD2) h12

(

γ1 − iγ2)

ǫ(2)]

;

δψ(2) = − i

2

[

(D1 + iD2) h22

(

γ1 − iγ2)

ǫ(2) + (D1 − iD2)h21

(

γ1 + iγ2)

ǫ(1)]

;

δλ(1) = γ1γ2ǫ(1)B − i(

H 11 −H 2

2 + 12

)

ǫ(1) ;

δλ(2) = γ1γ2ǫ(2)B + i(

H 11 −H 2

2 + 12

)

ǫ(2) , (4.82)


non (4.63,4.64,4.65,4.66) Bogomol’nyi-ren ekuazioak erabili ditugun; hau da,

(D1 + iD2)h11 = 0 , (D1 − iD2)h22 = 0 ;

(D1 − iD2)h12 = 0 , (D1 + iD2)h21 = 0 ;

H 21 = H 1

2 = 0 ;

B + [H 11 −H 2

2 + 1/2] = 0 . (4.83)

Ondoko ekuazioen arabera definitu ditugu Di eragileak:

Dj = ∂j + iAj on h11 , h12 ;

Dj = ∂j − iAj on h21 , h22 . (4.84)

Sokak 12-BPS asetuak izatea espero dugu [103] (ikus 4.2.1 atala); beraz, saia gaitezen

supersimetria-transformazioaren zati apurtua eta ez-apurtua lortzen, i.e., lor ditzagun

modu nulu fermioidarrak. Ondoko proiektoreak erabili ditzakegu horretarako

P± ≡ 12

(

1 ± iγ1γ2)

, (4.85)

eta gure hitzarmenen arabera,

P+ ≡ diag(1, 0, 1, 0) , P− ≡ diag(0, 1, 0, 1) . (4.86)

Proiektore horiek, P 2± = P †

± = P± eta P±P∓ = 0 propietateak betetzeaz gain, ondoko

propietateak beteko dituzte:

γ1P± = P∓γ1 ;

γ2P± = P∓γ2 ;

P±γ1 = ±iP±γ

2 . (4.87)

Funtsean, γ5 matrizearen bertsio bi-dimentsionala da iγ1γ2 konbinazioa, , sokaren zehar-

kako planoan jardungo duena. Fermioiei proiektore horien bidez eraginez ondoko adieraz-

penak lortuko ditugu:

P+δψ(1) ≡ δψ(1)+ = −i (D1 − iD2) h11γ1P−ǫ

(1) = −2iD1h11γ1P−ǫ

(1) ;

P−δψ(1) ≡ δψ(1)− = −i (D1 + iD2)h12γ1P+ǫ

(2) = 0 ;

P+δψ(2) ≡ δψ(2)+ = −i (D1 − iD2) h21γ1P−ǫ

(1) = 0 ;

P−δψ(2) ≡ δψ(2)− = −i (D1 + iD2)h22γ1P+ǫ

(2) = −2iD1h22γ1P+ǫ

(2) , (4.88)


eta

P+δλ(1) ≡ δλ

(1)+ = −i

(

B +H 11 −H 2

2 + 1)

P+ǫ(1) = 0 ;

P−δλ(1) ≡ δλ

(1)− = i

(

B −H 11 +H 2

2 − 1)

P−ǫ(1) = 2iBP−ǫ

(1) ;

P+δλ(2) ≡ δλ

(2)+ = −i

(

B −H 11 +H 2

2 − 1)

P+ǫ(2) = −2iBP+ǫ

(2) ;

P−δλ(2) ≡ δλ

(2)− = i

(

B +H 11 −H 2

2 + 1)

P−ǫ(2) = 0 . (4.89)

δψ(1)− eta δψ(2)+ fermioiak BPS egoeretarako nuluak izatearen arrazoia, (4.68) huts-au-

keratzearen efektuan datza.

h12 = h21 = 0 . (4.90)

Argi ikus daitekeenez, P−ǫ(1) eta P+ǫ

(2) sortzaileek modu nulu fermioidarrak sortuko dituz-

te; bestalde P+ǫ(1) eta P−ǫ

(2) apurtu gabeko supersimetrien sortzaile dira. Ohartu gaitezen

bi kiralitateko modu nulu fermioidarrak ditugula, N=2 supersimetria ez-kirala baita.

4.5.2 Higidura-ekuazio fermioidarrak

Atal honetan, modu nulu fermioidarren egitura aztertuko dugu, beren higidura-ekuazioak

zuzenean aztertuz, supersimetriarik erabili gabe. Bi-espinore notazioa erabiliko dugu:

δψ(1) ≡(

φα(1)

χα(1)

)

, δψ(2) ≡(

φα(2)

χα(2)

)

, δλ(1) ≡(

−iΛα(2)

Λα(1)

)

, δλ(2) ≡(

iΛα(1)

Λα(2)

)

.

(4.91)

Ondoko eran definitu daitezke proiektoreak i-espinore notazioan

σ+ =

(

1 0

0 0

)

, σ− =

(

0 0

0 1

)

. (4.92)

Notazio horretan, arestian aurkitutako modu nuluak ondoko hauek dira

φα(1) = −2iD1h11σ1σ−ξ

α(1) ;

χα(1) = −2D1h11σ1σ−ξα(2) ;

φα(2) = −2iD1h22σ1σ+ξ

α(2) ;

χα(2) = 2D1h22σ1σ+ξα(1) ;

Λα(1) = −2iBσ+ξα(1) ;

Λα(2) = 2iBσ−ξα(2) , (4.93)


non h11, h22 eta B eremuek (4.83) ekuazioak beteko dituzten.

Egin dezagun (4.56) lagrangearraren bariazioa higidura-ekuazio fermioidarrak lortzeko,

zurrunbilo bosoidarraren hondoa erabiliz. Gogoratu hondoko zurrunbilorako Bogomol’nyi-

ren ekuazioak (4.83) direla; eta huts-aukeratzearen efektuak h12 = h21 = 0 aukertu

duela. Eremu bosoidar guztiek ez dute t edo z aldagaiekiko menpekotasunik. Orduan,

higidura-ekuazio fermioidarrak ondoko hauek dira:

(σµ)Dµφ(1) − Λ(1)h11 = 0 ;

(σµ)Dµχ(1) + iΛ(2)h11 = 0 ;

(σµ)Dµφ(2) + Λ(2)h22 = 0 ;

(σµ)Dµχ(2) + iΛ(1)h22 = 0 ;

(σµ) ∂µΛ(1) + h∗11φ(1) + iχ(2)h22 = 0 ;

(σµ) ∂µΛ(2) − h∗22φ(2) + iχ(1)h11 = 0 . (4.94)

z aldagaiarekiko menpekotasunik ez duten (4.93) konfigurazio estatikoek ekuazio horiek

betetzen dituztela froga daiteke. Aztertu dezagun φ(1) eremuaren (4.94) higidura-ekuazioa

α = 1 kasurako (t, z) aldagaiekiko menpekotasuna lortzeko asmoz:

(σµ)1αDµφα(1) − Λ1(1)h11 = 0 ⇒ (σµ)1αDµφα(1) = 0 ⇒

(σ0)11D0φ1(1) + (σ3)11D3φ1(1) = (∂0 − ∂3)φ1(1) = 0 ⇒ φ(1) ∝ t+ z . (4.95)

Gainontzeko (4.94) ekuazioen analisia burutuz, hiru fermioi (t−z) konbinazioaren funtzio

direla ikusiko dugu; eta horrenbestez, z norabide positiboan higituko dira. Beste hirurak

z norabide negatiboan higituko dira, (t+ z) konbinazioaren funtzio baitira:

φα(1), χα(2), Λα(1) → t+ z ;

φα(2), χα(1), Λα(2) → t− z . (4.96)

Fermioiak aurkako norazkotan higitzea ez da harrigarria, N = 2 supersimetria berez ez-

-kirala baita; eta eredu honetan ez baitugu apurtu. Izan ere, t + z menpekotasuna du-

ten fermioiak ξ(1) sortzailearekiko proportzionalak dira; eta besteak ξ(2) sortzailearekiko.


(t, z) aldagaiekiko menpekotasuna dakigunez, modu nuluen (r, θ) menpekotasuna kalku-

latu behar dugu.

Hondoko soka konfigurazioak, (4.69) familiak osatutakoa da; hots,

(

h11

h∗22

)

=

(

f(r)eiθ

g(r)ei∆

)

, (4.97)

eta

g(r) = q0f(r)

r. (4.98)

Familia osoaren artean Nielsen-Olesen soka aukera dezakegu h22 =0 eginez; horrek, (4.94)

ekuazioetako sei Weyl-fermioietatik bi ezereztatuko ditu: φ(2) = χ(2) =0. Egoera hori [59]

erreferentzian aztertu zuten, eta guk emaitza berdinak lortu ditugu. Are gehiago, supersi-

metria-sortzaile bietatik bat kenduz gero, Nielsen-Olesen soka berreskuratuko dugu, baina

fermioiak kiralak izango dira; eta noranzko batean bakarrik higituko dira [32]. Horiek gure

emaitzen egiaztapenak dira.

Egoera aldatu egingo da h226=0 denean. φ(2) eta χ(2) fermioiak h22 eremuari lotuta daude;

eta h22 eremua ez da nulua r = 0 puntuan (gogora dezagun orokorrean g ez dela nulua

izango sokaren muinean). Hori harrigarria iruditu dakiguke: askotan esan ohi denez, soken

muineko modu nulu fermioidarren zergatia da fermioiei dagozkien bosoiak muinean nuluak

direla. (4.97) ansatz-a erabili nahi dugu fermioi horiek idazterakoan. Koordenatu polarrak

erabili ditugunez, σ1 eta σ2 matrizeen eginkizuna σr eta σθ matrizeek beteko dute (ikus

A eranskina):

φ(2) = −2i ∂rg(r) eiθ

(

0

ξ 1(2)

)

;

χ(2) = −2 ∂rg(r) e−iθ

(

ξ 2(1)

0

)

, (4.99)

non ∆ = 0 aukeratu dugun. 4.3 irudian ikus daitekeenez, biak zerorantz doaz r = 0

puntuan. Bi fermioi hauek biribilkapena duten bakarrak dira, beste higssinoak honela

idatziko baititugu:

φα(1) = −2i ∂rf(r)

(

ǫ2(1)

0

)

;


χα(1) = 2 ∂rf(r)

(

ǫ2(2)

0

)

. (4.100)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 1 2 3 4 5 6 7

r

f’(r)

0.10.51.02.0

-0.14

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

r

g’(r)

0.10.51.02.0

4.3 irudia: (4.97) eta (4.98) ekuazioek emaniko f(r) eta g(r) funtzioen deribatuen profilak, q0

parametroaren balio ezberdinetarako.

Higidura-ekuazio fermioidarrak aztertzearren; eta kondentsatu eskalarraren eta fermioien

arteko lotura ulertzearren, (4.94) Dirac-en ekuazioak bigarren ordenako ekuazio bihurtuko

ditugu. Horretarako σ ·D eta σ ·D eragileak erabiliko ditugu, non σ ·D = σ1D1 + σ2D2

eta σ1,2 = −σ1,2 diren, ondokoa ekuazioak lortuz:

(2 + σ3B + |h11|2)φ(1) + ih11h22χ(2) − (σ ·D)h11Λ(1) = 0 ;

(2 + σ3B + |h22|2)χ(2) − ih∗11h∗22φ(1) + i(σ ·D)h∗22Λ

(1) = 0 ;

(2 + |h11|2 + |h22|2)Λ(1) + (σ ·D)h∗11φ(1) + i(σ ·D)h22χ(2) = 0 ;

(2 − σ3B + |h22|2)φ(2) − ih11h22χ(1) + (σ ·D)h22Λ(2) = 0 ;

(2 − σ3B + |h11|2)χ(1) + ih∗11h∗22φ(2) + i(σ ·D)h∗11Λ

(2) = 0 ;

(2 + |h11|2 + |h22|2)Λ(2) − (σ ·D)h∗22φ(2) + i(σ ·D)h11χ(1) = 0 . (4.101)

Lau-fermioi notzioan bezela (4.5.1 atala), bi-proiekzio eragileak erabiliko ditugu kasu ho-

netan. Edozein Ψ bi-espinoretarako, Ψ± proiektatutako bi-espinoreak Ψ± ≡ σ±Ψ moduan

definituko ditugu, non σ± (4.92) ekuazioan definitu ditugun.

Apurtu gabeko supersimetriari dagozkion fermioiak dira (4.101) ekuazioen erdia; hots,

ondoko hauek:

(2 − B + |h11|2)φ(1)− + ih11h22χ(2)− = 0 ;


(2 − B + |h22|2)χ(2)− − ih∗11h∗22φ(1)− = 0 ;

(2 + |h11|2 + |h22|2)Λ(1)+ = 0 ;

(2 − B + |h22|2)φ(2)+ − ih11h22χ(1)+ = 0 ;

(2 − B + |h11|2)χ(1)+ + ih∗11h∗22φ(2)+ = 0 ;

(2 + |h11|2 + |h22|2)Λ(2)− = 0 . (4.102)

Ekuazio horiek modu honetara uler ditzakegu: fermioiek posizioaren menpekotasuna duten

masa (karratua) dute; zeren eta diagonalizatu eta gero, sei ekuazio horiek 2Ψ+M 2Ψ = 0

eran idatziko ditugu, non

M 2 = diag(−B + |h|2,−B, |h|2,−B + |h|2,−B, |h|2) , (4.103)

eta |h|2 = |h211| + |h22|2 diren. Ohar gaitezen M2 matrizea ez dela fermioien masa-matri-

zearen karratuaren berdina, deribatuak dituzten gaiak daudelako (bereziki, M2 matrizean

eremu magnetikoa agertuko zaigu; eta gauge-aldaezina da). Matrize biak berbera dira, nos-

ki, hondo bosoidar konstantetarako. Egiaztapen gisa, muinetik hurrun fermioien masak

berreskuratuko ditugu. Hain zuzen ere, B → 0, h11 → 1 eta h22 → 0 dira r → ∞ doa-

nean; eta diagonaleko gaiak (1, 0, 1, 1, 0, 1) izango dira, kiralitate bakoitzeko higgsinoari,

goldstinoari eta gauginoari dagozkienez.

Gogra dezagun erabiltzen ari garen signatura (+,−,−,−) dela. Sokaren zeharreko planoko

laplacearra 2 = −∇2 da. Beraz, denborarekiko independente diren Schrodinger-en ekuazio

dira (4.102) ekuazioak, (r, θ) aldagaietan; eta, enegia nuluko egoeren bila gabiltza. Nabaria

denez, “potentziala” positiboa bada puntu guztietarako, ez dago energia nuluko egoera

propiorik. (4.103) ekuazioetako M2 funtzioak positiboak dira puntu guztietarako; eta,

beraz, ez dago (4.102) ekuazioen soluzio normalizagarririk. Ekuazio horiek Ψ∗ eremuaz

biderkatuz eta zatikako integrazioa eginez ikusiko dugu:

∫

[

−Ψ∗∇2Ψ +M2Ψ∗Ψ]

= 0 ⇒∫

[

(∇Ψ)2 +M2|Ψ|2]

= 0 . (4.104)

Beraz, fermioien osagai horiek guztiak zuzenean nuluak dira beren higidura-ekuazioak di-

rela eta. Emaitza hori supersimetria-transformazioak erabiliz lortutako (4.94) soluzioekin

bat dator.


Ekuazioen beste erdia ondoko hauek dira:

(2 +B + |h11|2)φ(1)+ + ih11h22χ(2)+ − 2σ2Λ(1)− D2h11 = 0 ;

(2 +B + |h22|2)χ(2)+ − ih∗11h∗22φ(1)+ + 2iσ2Λ

(1)− D2h

∗22 = 0 ;

(2 + |h11|2 + |h22|2)σ2Λ(1)− − 2φ(1)+D2h

∗11 − 2iχ(2)+D2h22 = 0 ;

(2 +B + |h22|2)φ(2)− − ih11h22χ(1)− + 2σ2Λ(2)+ D2h22 = 0 ;

(2 +B + |h11|2)χ(1)− + ih∗11h∗22φ(2)− + 2iσ2Λ

(2)+ D2h

∗11 = 0 ;

(2 + |h11|2 + |h22|2)σ2Λ(2)+ + 2φ(2)−D2h

∗22 − 2iχ(1)−D2h11 = 0 , (4.105)

non, berriro ere, (4.83) Bogomol’nyi-ren ekuazioak erabili ditugun.

Ekuazio horiek mihiztatutako hiru ekuazioz osotutako multzo bi dira2; eta lortutako masa-

-matrizeak diagonalizatu nahi ditugu:

2

φ(1)+

χ(2)+

σ2Λ(1)−

+

B + |h11|2 ih11h22 −2D2h11

−ih∗11h∗22 B + |h22|2 2iD2h∗22

−2D2h∗11 −2iD2h22 |h11|2 + |h22|2

φ(1)+

χ(2)+

σ2Λ(1)−

= 0 (4.106)

2

φ(2)−

χ(1)−

σ2Λ(2)+

+

B + |h22|2 −ih11h22 2D2h22

ih∗11h∗22 B + |h11|2 2iD2h

∗11

2D2h∗22 −2iD2h11 |h11|2 + |h22|2

φ(2)−

χ(1)−

σ2Λ(2)+

= 0 (4.107)

Kalkulua errazteko, lehenengo multzoa soilik aztertuko dugu. Ekuazioen analisi osoa ko-

rapilatsua da; eta lehenengo, familia erdilokalaren kide bat, Nielsen-Olesen soka, ikertuko

dugu. Kasu honetan q0 = 0 da; beraz, h22 = 0. χ(2)+ eta φ(2)− espinoreak ez daude beste

espinoreekin lotuta; eta beren masa karratua B da, sokaren muinean negatiboa dena eta

infinituan nulua. Hortaz, h22 eremuarekin lotuta dagoen fermioia ez du “masa” nulua

muinean, baizik eta “masa” negatiboa.

Diagonalizatu eta gero, beste masa (karratu) gaiak hauek dira:

s± = 12

(

B + 2|h11|2 ±√

B2 + 16D2h11D2h∗11

)

, (4.108)

eta φ(1)+ eta σ2Λ(1)− eremuen konbinaketa linealei dagozkie. r=0 puntuan, masa horienn

zeinuak +,− dira, hurrenez hurren. Infinitoan, masak 1, 1 dira; eta masa egoera-propioak

2Ohar gaitezen ekuazio-multzo bakoitza kiralitate jakin bateko eta supersimetria-sortziale bakarrak

emandako fermioiei dagozkiola.


espinore hutsak dira (elkarrekin konbinatu gabekoak). Hortaz, hiru balio-propioen zeinuak

honela adieraz ditzakegu:

zeinua r → 0 r → ∞B − 0

s+ + +

s− − 0

(4.109)

Aurreko argudio berbera erabiliz, (s+) balioari dagokion fermioi-konbinaketa nulua da

puntu guztietarako, bere masa karratua positiboa baita puntu guztietan. Beraz, bi fermioi

ditugu soilik: bata h22 eremuari lotuta dagoen higgsinoa; eta, bestea, higgsinoaren eta

gauginoaren konbinaketa.

q0 6= 0 kasu orokorrerako, 3 × 3 matrize bi diagonalizatu behar ditugu. M2 matrizeen

(s1, s2, s3) “balio-propioen” zeinuak +,−,− dira, r = 0 puntuan; eta +, 0,+ infinitoan.

“Bektore-propioak” hiru fermioien konbinaketa dira.

zeinua r → 0 r → ∞s1 + +

s2 − 0

s3 − +

(4.110)

Berriro ere, nulua da masa-karratua edonon positiboa duen “bektore-propioa”; eta, ho-

rrenbestez, “bektore-propio” ez-nulu bi soilik dago. Kasu guztietarako, fermioien masak

infinitoan 1, 0, 1, 1, 0, 1 dira; eta hori, h11, h12, Aµ, h22, h21,M + iN eremuen masekin bat

dator. Horrela izan beharko litzateke, supersimetria ez baitago apurtuta infinituan.

4.6 Ondorioak

Kapitulu honetan, norabide lauak dituzten QED eredu supersimetrikoetako soka kosmo-

logikoak aztertu ditugu, U(1) gauge-simetria Fayet-Iliopoulos D-gaiaren bidez apurtuta

dagoenean. Materia-eremu guztiek karga-balio absolutu berbera duten kasuan, huts-au-

keratzearen efektuak bosoi bektorialaren masa minimizatuko duela frogatu dugu. Eredu

hauen artean, honako hauek aurkitu ditzakegu: [75] erreferentzian aztertutako eredua, aur-

kako kargadun eremu kiral bi dituen N=1 QED eredu supersimetrikoa, eta horren N=2

4.6 Ondorioak 133

supersimetriarako luzapen zuzena den hipermultiplete bakarreko eredua ([59] erreferen-

tzian ikertutakoa). Kasu horietan, huts-aukeratzearen efektuak zurrunbilo topologikoak

emango dizkigu; soluzio horiek Bogomol’nyi-ren bornea beteko dutela frogatu dugu, eta

ondorioz egonkorrak dira.

Potentzialean norabide lauak dituzten eremu eskalarreko zenbait klase orokorragoetan,

i.e., Bogomol’nyi-ren bornetik at dauden zenbait kasutan, huts-aukeratzearen efektua ger-

tatuko dela ikusi dugu. Are gehiago, aukeratutako hutsaren balioa sistemaren Bogomol’nyi-

ren limiteko huts berbera da, parametroaren edozein baliotarako. Gauge-simetria apur-

tuta dagoenez, simulazioetan soka kosmikoak eratuko direla ikusi dugu, eremu bakarrean

sortuko diren Nielsen-Olesen sokak direnak. Beste eremua sistemaren dinamikatik kanpo

geratuko da, huts-aukeratzearen efektua dela eta.

Bestalde, norabide lauak dituzten N = 1 eredu supersimetrikoei supersimetria-apurketa-

rako masa-gaiak gehituz gero, Nielsen-Olesen sokak eratuko dira baita ere, huts-aukera-

tzearen efektuak aukeratutako huts-balio berbera aukeratuz.

Ondoren, |qa| karga berdineko hipermultiplete batzuk dituzten N=2 QED eredu supersi-

metrikorako hedapena ikertu dugu. Kontrako karga duten hipermultiplete biren kasua era

esplizituan ebatzi dugu; eta huts-aukeratzearen efektua emango dela ikusi dugu. Baina

kasu horretan soka erdilokalak sortuko dira. Berriro ere, soka-soluzioak Bogomol’nyi-ren

bornea beteko du, baina modu nulu bat dagoenez (SU(2) errotazioa ez dena), egonkorta-

sun neutrokoa izango da soilik. Barneko askatasun gradu bat edo batzuek parametrizatuko

dute Bogomol’nyi-ren bornea aseko duten soluzio hauek, eta soka-soluzioaren ezberdinak

dira; bereziki, muinaren zabalera nahi bezain handiak izan daiteke.

N =2 kasuarako lortutako emaitzak M hipermultipletedun teoria trukakorretara orokor-

tu daitezke, hipermultipleteek |qa| karga berbera badute. Soka erdilokalak agertuko dira

berriro ere; baina, barne-simetria SU(M) izango da SU(2) izan beharrean [56]. Fluxu

magnetiko kuantizatuta egongo da oraindik ere. Zenbait gauge-eremu dauden kasuan ere

aplikatu daitezke emaitza horiek. Adibidez, II motako supersokak Calabi–Yau barieta-

tean konpaktifatuko den kasuan, non kapitulu honetan aztertutako ereduaren 15 kopia

agertuko diren [50].

Karga desberdina duten hipermultipleteak kontuan hartuz gero, egoera aldatu egingo


da. Kasu horretan huts-aukeratzearen efektua zapuztu daiteke; eta aukeratutako huts-

-balioa edo balioak ez dira izango bektorearen masa minimizatuko dutenak. Agertuko

diren zurrunbiloen egitura eta hemen deskribatuak guztiz ezberdinak izan daitezke; muin

bitar edo muin anitzak eta hainbat efektu bitxi ager daitezke; eta oraindik erantzunik

gabeko galdera interesgarri da.

Nahiz eta apurtzeke dagoen teorian soka egonkorrak ager ezin daitezkeen, deskribatu-

tako N = 2 ereduari masa-gaiak gehitutakoan, sistemak Nielsen-Olesen soka egonkorra

aukeratuko du, masa-gai gabeko ereduko soluzio guztien artetik.

Supersimetria dela-eta, sokaren muinean modu nulu fermioidarrak agertuko dira. Super-

simetria-transformazioak erabiliz, modu nuluak aurkitu ditugu era esplizituan. N = 1

ereduetan bortoiak agertzen diren arren [32], ikertutako N = 2 ereduan bortoiak ez dira

agertuko. Modu nulu fermioidarrak ez dute zurrunbiloen egonkortasuna hobetuko; zu-

rrunbiloak ez dira bortoi kiralak bihurtuko. Arrazoia ondokoa da: fermioiek beteko duten

huts-aukeratzearen efektua eta bosoiek beteko dutena, efektu berebera dira. Bestalde,

N = 2 ez-kirala izanik, korronte fermioidarra ez da kirala izango, ez da noranzko baka-

rrean higituko, eta fermioiak bata bestearekin nahastatuko dira.

Egonkortasuna ez da aldatuko fermioien erreakzioaren ondorioz: familiako zurrunbilo guz-

tiek karga topologiko berbera dute; eta, denek beteko dute Bogomol’nyi-ren bornea. Be-

raz, familiako kide guztietarako egongo da supersimetria erdi apurtua. Kasu guztietarako

babestuko du Bogomol’nyi-ren bornea apurtu gabeko supersimetriak; multipleteak labur-

tu egingo baitira (kink supersimetrikoen zuzenketa kuantikoen inguruko analisi zehatzak

erakutsi zuen Bogomol’nyi-ren bornea babesturik dagoela [48, 82]). Beraz, BPS baldintza

familiako kide guztietarako mantenduko da; eta kide guztiek karga topologiko berbera

dutenez, guztien energia berbera izango da. Ondorioz, fermioien erreakzioaren ondorioz

ez da familiako kiderik aukeratuko.

Sistema honetako zenbait fermioi beste arrazoi bategatik dira interesgarriak baita ere: zu-

rrunbiloaren muinean ez-nuluak diren eremu eskalarrei lotuta daude. Zurrunbiloak mui-

nean modu nulu fermioidarrak izatearen arrazoia hau dela aipatu izan da hainbatetan

literaturan: fermioien masak (eskalarrarekin dituzten loturarengatik sortuak) muinean

nuluak dira. Argudio heuristiko hori oker dagoela erakutsi dugu, muinean nulua ez den

4.6 Ondorioak 135

eremu eskalarrarekin, hau da, muinean nulua ez den eremuarekin (h22, soka h11 eremuan

eratu bada) lotutako modu-zeroak era esplizituan kalkulatuz.

Supersimetria erabiliz lorturiko modu nuluak eta higidura-ekuazioen bidez lorturikoak

erlazionatzea interesgarria da. Supersimetriaren bidez lorturiko modu nuluak, sektore bo-

soidarreko modu nulu translazionalekin erlazionaturik daude. Bigarren ordenako higidu-

ra-ekuazioak erabiliz, beste bi modu nulu fermioidar daudela ikus daiteke: sektore bosoi-

darrean, soka erdilokalaren muina hedatuko duen q0 parametroaren aldaketei dagozkien

modu nuluak daude. Modu nulu bosoidar hori muinean masa negatiboa eta infinituan ma-

sagabeak diren modu nulu fermioidarrei dagozkie. Horrela dela ikusteko era bat (hi, ψ, Fi)

mutiplete bakarra dagoen kasua ikertzea da. Kasu horretan, Nielsen-Olesen soka arrunta

eratuko da; eta ez du modu nulu bosoidarrik edukiko. Are gehiago, φ2 eta χ2 espinoreak ez

dira agertuko. Geratuko diren egoera propioen masen karratuak +,−,+,− zeinuak edu-

kiko dituzte r = 0 puntuan; eta +,+,+,+ infinitoan. Hortaz, bi egoera propio bakarrik

izango dira ez nuluak. Bigarren hipermultipletea berrezartzerakoan, modu nulu fermioi-

dar berria agertuko da; h22 eremuari dagokion modu nulu bosoidarrarekin erlazionaturik

agoena.

Modu nulu bosoidarraren supersimetria-transformazioa egin genezake baita ere modu

nulu fermioidarra lortzearren. h22 perturbatuko dugu; eta beste eremuak adostu (4.83)

Bogomol’nyi-ren ekuazioak bete ditzaten. Honela, energia berdin mantenduko dugu. q0 =

0 den limitean soka erdilokalak h22 = 0 beteko du; eta h22 ermeuaren perturbazio txiki

batek (δh22 = q0h11 (hondo)/r erakoak) ez ditu beste eremuak aldatuko. Horrenbestez, mo-

du nulu horren transformazio-supersimetrikoaren bidez lorturiko modu nulua φ(2) eta χ(2)

espinoreak bakarrik erabiliko ditu.

Infinituan, sokaren zabalera aldatuko duen modu nulua Goldstone-en bosoia da, eta hori

higidura-ekuazio fermioidarren azterketa eginez jabetutakoarekin bat dator: infinituan

masagabeak diren egoera propioak φ(2) edo χ(2) dira, q0 = 0 kasurako.

Soka erdilokal orokorraren kasuan (q0 6= 0 kasuan) eremu bosoidar guztiak aldatuko di-

tu sokaren zabalera aldatuko duen perturbazioak; orduan, horiei dagozkien modu nulu

fermioidarrak multzo bakoitzeko hiru espinoreen konbinaketa dira.

Davis, Davis eta Perkins [30] ikertzaileak plazaratutako modu nuluak zenbatzen dituen


teorema ez da aplikagarria soka erdilokalen kasuan: eremuetako batek biribilkapenik ez du

muinean; eta teorema eraikitzerakoan hipotesi hori erabili zuten. Hori dela-eta, ezin dugu

teorema erabili kasu honetan lortutako modu nulu fermioidar kopurua jakiteko. Teorema

aplikagarria den kasuan (Nielsen-Olesen sokaren kasuan, i.e., hipermultiplete bakarra), gu-

re emaitzak teoremarekin bat datoz. Soka erdilokalaren kasuan beste modu nulu bi dago,

sokaren zabaleraren aldaketei dagozkienak: modu nulu fermioidarrak modu nulu bosoida-

rrei dagozkienak dira. Soka erdilokalaren Nielsen-Olesen limiterako era esplizituan lortu

ditugu modu nulu horiek. Eredua, Ganoulis eta Lazarides [42] ikerltzaileen modu nuluak

zenbatzen dituen teorematik kanpo geratuko da baita ere: h22 eremua U(1) taldearekiko

karga eduki arren, infinituan zerorantz baitoa. Gure emaitzak Weiberg-en indize-teore-

marekin bat datoz [100] (ikus baita ere [60]): modu nulu berriek kontrako kiralitatekoak

direnez, modu nulu fermioidarren zenbaketa netoan (ezkerrerantz doazen fermioiak ken

eskuinera doazenak) ez dute eraginik izango. Adostasun hori, infinituan neurturiko fluxu

magnetikoa soka erdilokal guztietarako (Nielsen-Olesen soka barne) berbera izatearekin

bat dator.

BIBLIOGRAFIA

[1] A.A. Abrikosov, Sov. Phys. JETP 5, 1174 (1957)

[2] A. Achucarro, K. Kuijken, L. Perivolaropoulos, T. Vachaspati, Phys. Rev. Lett. 72,

3646 (1994)

[3] A. Achucarro, J. Borrill, A.R. Liddle, Phys. Rev. D 57, 3742 (1998)

[4] A. Achucarro, M. de Roo, L. Huiszoon, Phys. Lett. B 424, 288 (1998)

[5] A. Achucarro, J. Borrill, A. R. Liddle, Phys. Rev. Lett. 82, 3742 (1999)

[6] A. Achucarro, T. Vachaspati, Phys. Rep. 327, 347 (2000)

[7] A. Achucarro, J. Urrestilla, Phys. Rev. Lett. 85, 3091 (2000)

[8] A. Achucarro, A.C. Davis, M. Pickles, J. Urrestilla, Phys. Rev. D 66, 105013 (2002)

[9] A. Achucarro, A.C. Davis, M. Pickles, J. Urrestilla, hep-th/0212125

[10] A. Achucarro, ondoko liburuan agertuko da: Patterns of symmetry breaking, NATO-

ASI, Ed. J. Dziarmaga, Kluwer Scientific

[11] O. Aharony, A. Hanany, K.A. Intriligator, N. Seiberg, M.J. Strassler,

Nucl. Phys. B499, 67 (1997)

[12] A. Albrecht, ondoko liburuan: Proceedings of 35th Rencontres de Moriond: Energy

Densities in the Universe, Les Arcs, Savoie, France (2000); astrp-ph/0009129

[13] N.D. Antunes, L.M.A. Bettencourt, A. Yates, Phys. Rev. D 64, 065020 (2001)

137

138 Bibliografia

[14] C. Bachas, B. Rai, T.N. Tomaras, Phys. Rev. Lett. 82, 2443 (1999)

[15] D. Bailin, A. Love, Supersymmetric gauge field theory and string theory, Institute of

Physics Publishing, Bristol and Philadelphia (1994)

[16] M. Barriola, A. Vilenkin, Phys. Rev. Lett. 63, 341 (1989)

[17] A.A. Belavin, A.M. Polyakov, JETP Lett. 22, 245 (1975)

[18] D.P. Bennet, S.H. Rhie, Phys. Rev. Lett. 65, 1709 (1990)

[19] V. Berezinsky, B. Hnatyk, A. Vilenkin, Phys. Rev. D 64, 043004 (2001)

[20] P. de Bernardis et al, Nature 404, 955 (2000)

[21] E.B. Bogomol’nyi, Sov. J. Nucl. Phys. 24, 449 (1976)

[22] S. Bonazzola, P. Peter, Astroparticle Phys. 7, 161 (1997)

[23] F.R. Bouchet, P. Peter, A. Riazuelo, M. Sakellariodou, Phys. Rev. D 65, 021301(R)

(2001)

[24] R. Brandenberger, A.C. Davis, M. Hindmarsh, Phys. Lett. B 263, 239 (1991)

[25] R. Brandenberger, B. Carter, A.C. Davis, M. Trodden, Phys. Rev. D 54, 6059 (1996)

[26] B. Carter, P. Peter, Phys. Lett. B 466, 41 (1999)

[27] B. Carter, A.C. Davis, Phys. Rev. D 61, 123501 (2000)

[28] S. Coleman, Aspects of Symmetry, Selected Erice Lectures, Cambridge University

Press (1985)

[29] C. Contaldi, M. Hindmarsh, J. Magueijo, Phys. Rev. Lett. 82, 2034 (1999)

[30] S.C. Davis, A.C. Davis, W.B. Perkins, Phys. Lett. B 408, 81 (1997)

[31] A.C. Davis, W.B. Perkins, Phys. Lett. B 393, 46 (1997)

[32] S.C. Davis, A.C. Davis, M. Trodden, Phys. Lett. B 405, 257 (1997)

4.6 Bibliografia 139

[33] A.C. Davis, T.W.B. Kibble, M. Pickles, D.A. Steer, Phys. Rev. D 62, 083516 (2000)

[34] R.L. Davis, E.P.S. Shellard, Nucl. Phys. B323, 209 (1989)

[35] M.R. Douglas, S.H. Shenker, Nucl. Phys. B447, 271 (1995)

[36] G.H. Derrick, J. Math. Phys. 5, 1252 (1964)

[37] R. Durrer, M. Kunz, A. Melchiorri, Phys. Rept. 364, 1 (2002)

[38] M.A. Earnshaw, M. James, Phys. Rev. D 48, 5818 (1993)

[39] J. D. Edelstein, C. Nunez, F. Schaposnik, Phys. Lett. B 329, 39 (1994)

[40] J.D. Edelstein, W. Garcıa Fuertes, J. Mas, J. Mateos Guilarte, Phys. Rev. D 62,

065008 (2000)

[41] A. Gangui, astro-ph/0110285

[42] N. Ganoulis, G. Lazarides, Phys. Rev. D 38, 547 (1988)

[43] W. Garcıa Fuertes, J. Mateos Guilarte, Phys. Lett. B 437, 82 (1998)

[44] J. Garriga, X.Montes, Phys. Rev. Lett. 75, 2268 (1995)

[45] G.W. Gibbons, M.E. Ortiz, F. Ruiz-Ruiz, T.M. Samols, Nucl. Phys. B385, 127 (1992)

[46] G. Glashow, Nucl. Phys 22, 579 (1961)

[47] A.S. Goldhaber, Phys. Rev. Lett. 63, 2158 (1989)

[48] A.S. Goldhaber, A. Rebham, P. van Nieuwenhuizen, R. Wimmer hep-th/0211087

[49] M. Goodband, M. Hindmarsh, Phys. Rev. D 52, 4621 (1995)

[50] B. R. Greene, D. R. Morrison, C. Vafa, Nucl. Phys. B481, 513 (1996)

[51] M. Grooves, W.B. Perkins, Nucl. Phys. B573, 449 (2000)

[52] E. Hairer, S.P. Norsett, G. Wanner, Solving ordinary differential equations I, nonstiff

problems, Springer Series in Computational Mathematics, Springer-Verlag (1993)

140 Bibliografia

[53] S. Hanany et al., Astrophys. J. 545, L5 (2000)

[54] G. Hardy, J.E. Littlewood, G.Polya, Inequalities, 2nd edition, Cambridge University

Press (1973)

[55] M. Hindmarsh, Phys. Rev. Lett.68, 1263 (1992)

[56] M. Hindmarsh, Nucl. Phys. B392, 461 (1993)

[57] M. Hindmarsh, ondoko liburuan: Proceedings of the NATO Workshop on “Electro-

weak Physics and the Early Universe”, eds. J. C. Romao, F. Freire, Sintra, Portugal,

1994; Series B: Physics Vol. 338, Plenum Press, New York, (1994)

[58] M.B. Hindmarsh, T.W.B. Kibble, Rept. Prog. Phys. 58, 477 (1995)

[59] X. Hou, Phys. Rev. D 63, 045015 (2001)

[60] R. Jackiw, P. Rossi, Nucl. Phys B190, 681 (1981)

[61] M. James, L. Perivolaropoulos, T. Vachaspati, Nucl. Phys. B395, 534 (1993)

[62] S. Kasuya, M. Kawasaki, Phys. Rev. D 58, 083516 (1998)

[63] T.W.B. Kibble, J. Phys. A9, 1387 (1976)

[64] F.R. Klinkhamer, P. Olesen, Nucl. Phys. B422, 227 (1994)

[65] J. Kogut, L. Susskind, Phys. Rev. D 11, 395 (1975)

[66] R.A. Leese, Phys. Rev. D 46, 4677 (1992)

[67] H. Liu, T. Vachaspati, Nucl. Phys. B470, 176 (1996)

[68] J. Magueijo, R.H. Brandenberger, ondoko liburuan: Large Scale Structure Formation,

Kluwer, Dordrecht (2000); astro-ph/0002030

[69] C.J.A.P. Martins, E.P.S. Shellard, Phys. Lett. B 445, 43 (1998)

[70] K.J.M. Moriarty, E. Myers, C. Rebbi, Phys. Lett. B 207, 411 (1988)

[71] S.G. Naculich, Phys. Rev. Lett. 75, 998 (1995)

4.6 Bibliografia 141

[72] Y. Nambu, Nucl. Phys. B130, 505 (1977)

[73] M. Nagasawa, J. Yokoyama, Phys. Rev. Lett. 77, 2166 (1996)

[74] H. B. Nielsen, P. Olesen, Nucl. Phys. B61, 45 (1973)

[75] A.A. Penin, V.A. Rubakov, P.G. Tinyakov, S.V. Troitsky, Phys. Lett. B 389, 13

(1996)

[76] A.A. Penzias, R.W. Wilson, Astrophys. J. 142, 419 (1965)

[77] L. Perivolaropoulos, Nucl. Phys. B375, 664 (1992)

[78] M. Pickles, A.C. Davis, Phys. Lett. B 520, 345 (2001)

[79] M. Pickles, J. Urrestilla, JHEP 0301, 052 (2003)

[80] J. Preskill, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 34, 461 (1984)

[81] J. Preskill, Phys. Rev. D 46, 4218 (1992)

[82] A. Rebham, P. van Nieuwenhuizen, R. Wimmer, Nucl. Phys. B648, 174 (2003)

[83] S.H. Rhie, D.P. Bennett, Phys. Rev. Lett. 67, 1173 (1991)

[84] A. Salam, Elementary particle physics (Nobel Symp. no. 8), ed. N. Svartholm, Almq-

vist y Wilsell, Stocholm (1968)

[85] M. Salem, T. Vachaspati, Phys. Rev. D 66, 025003 (2002)

[86] N. Seiberg, E. Witten, Nucl. Phys. B431, 484 (1994)

[87] M. Shifman, A. Yung, Phys. Rev. D 66, 045012 (2002)

[88] M.F. Sohnius, Phys. Rept. 128, 39 (1985)

[89] D.A. Steer, Phys. Rev. D 61, 123501 (2000)

[90] I. Tkachev, S. Khlebnikov, L. Kofman, A. Linde, Phys. Lett. B 440, 262 (1998)

[91] J. Urrestilla, A. Achucarro, J. Borrill, A.R. Liddle, JHEP 08, 033 (2002)

142 Bibliografia

[92] T. Vachaspati, A. Achucarro, Phys. Rev. D 44, 3067 (1991)

[93] T. Vachaspati, Phys. Rev. Lett. 68, 1977 (1992); erratum 69, 216 (1992)

[94] T. Vachaspati, G.B. Field, Phys. Rev. Lett. 73, 373 (1994); erratum 74, 1258 (1995)

[95] T. Vachaspati, ondoko liburuan: Topological defects and the non-equilibrium dynamics

of symmetry breaking phase transitions, Les Houches (1999); astro-ph/9903362

[96] T. Vachaspati, Phys. Rev. Lett. 87, 251302 (2001)

[97] A. Vilenkin, Phys. Rep. 121, 263 (1985)

[98] A. Vilenkin, E.P.S. Shellard, Cosmic Strings and Other Topological Defects, Cam-

bridge University Press, Cambridge (1994)

[99] S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 19, 1264 (1967)

[100] E.J. Weinberg, Phys. Rev. D 24, 2669 (1981)

[101] H.F. Weinberger, A first course in Partial Differential Equations with Complex Va-

riables and Transform Methods, Blaisdell (1965)

[102] J. Wess, J. Bagger, Supersymmetry and supergravity, Princeton University Press

(1992)

[103] E. Witten, D.I. Olive, Phys. Lett. B405, 256 (1997)

[104] E. Witten, Nucl. Phys. B405, 257 (1997)

[105] E. Witten, Nucl. Phys. B403, 159 (1993)

[106] A. Yung, Nucl. Phys. B562, 191 (1999)

A ERANSKINA

Hitzarmenak

Eranskin honek lan honen zehar erabilitako hitzermenen laburpena dakarkigu, testuan

kontrakoa esan ezean.

Erabilitako unitateak c = ~ = kBoltzmann = 1 dira; eta oinarrizko unitatea energia edo

luzera. Ondokoa da hautatu dugun metrikaren signatura: (+,−,−,−).

Espazio-denboraren osagaiak µ, ν, . . . indize grekoen bidez adierazi ditugu; orokorrean,

beren balioa 0−3 tartekoa izango da. 3 dimentsioko espazioaren osagaien indizeak, latindar

alfabetoko erdialdeko hizkien bidez adierazi ditugu; hots, i, j, . . . , eta latindar alfabetoko

haserako hizkiak, a, b, . . . , barne-taldeko indizeei dagozkie.

Erabilitako Pauli-matrizeen adierazpena ondoko hau da

τ 1 =

(

0 1

1 0

)

, τ 2 =

(

0 − i

i 0

)

, τ 3 =

(

1 0

0 − 1

)

. (A.1)

A.1 Hitzarmenak supersimetrian

Kortxeteen bidez trukatzaileak adierazi ditugu

[A,B] = AB − BA , (A.2)

eta giltzen bidez antitrukatzaileak

{A,B} = AB +BA . (A.3)

143

144 A eranskina

Espinorei dagozkien hitzermenak [88] erreferentzian emandakoak dira:

1. bi-espinoreren idazkera

Espinoreen beheratzea tentsore antisimetrikoen bidez egin dugu

ψα ≡ εαβψβ , ψα ≡ ψβεβα , (A.4)

non tentsore antisimetrikoak ondoko eran normalizatu ditugun

ε12 = ε12 = −ε12 = −ε12 = +1 . (A.5)

Espinoreak uzkurtzeko bidea ondoko hau da

ξψ ≡ ξαψα = −ξαψα = ψαξα ≡ ψξ

ψξ ≡ ψαξα = −ψαξα = ξαψ

α ≡ ξψ . (A.6)

Espinoreen ordena aldaketa kontuan har dezan definitu dugu konplexu-konjokatua

(ξψ)∗ = (ξαψα)∗ = (ψα)

∗(ξα)∗ = ψαξα = ψξ . (A.7)

Erabilitako σ matrizeak ondoko hauek dira

σµ = (I, σ) , σµ = (I,−σ) , (A.8)

non σi (A.1) Pauli-matrizeak diren.

Baita ere σr eta σθ matrizeak erabili ditugu

σr =

(

0 e−iθ

eiθ 0

)

, σθ =

(

0 −ie−iθ

ieiθ 0

)

. (A.9)

Horiek, σ1 eta σ2 matrizeen lana beteko dute koordenatu polarretan.

2. lau-espinore idazkera

Dirac-matrizeak 2 × 2 bloketan agertuko diren adierazpena aukeratu dugu

γµ ≡(

0 σµ

σµ 0

)

. (A.10)

1.0 Hitzarmenak 145

γ5 matrizea honela definituko dugu

γ5 ≡ γ0γ1γ2γ3 , ⇒ γ5 =

(

−i 0

0 i

)

, (A.11)

eta beraz

(γ5)2 = −1 . (A.12)

Oinarri honetan, lau osagaieko ψ Dirac-espinorea ondoko elementuak erabiliz ida-

tziko dugu: bi-osagaieko objektu konplexu anti-trukakor bi, χα and φα, non α = 1, 2

den eta α = 1, 2. Dirac-matrizeak ondoko eran adieraziko dira:

ψ ≡(

χα

φα

)

, ψ ≡ (φα , χα) . (A.13)

χ eremua Weyl-espinore kirala da, eta φ Weyl-espinore anti-kiral. ψ Dirac espino-

rearen χα eta φα espinoreak proiektatu ditzakegu 12(I ± γ5) proiektorea erabiliz:

(I + γ5)ψ = χ , (I − γ5)ψ = φ . (A.14)

Orokorrean Dirac-espinorearen bi osagai kiralak ez daude erlazionaturik, baina Ma-

jorana baldintza beteko badute, hots,

φα = (χα)† (A.15)

beteko bada, orduan Majorana-espinoreak izango ditugu eskuartean:

ψ =

(

χα

χα

)

. (A.16)

Bi-espinoreen bidez (λαi, λiα) definituriko lau-espinore SU(2)-kobarianteak dira Ma-

jorana-espinore sinplektikoak:

λi ≡(

−iεijλαjλαi

)

; λi =(

λαi , iεijλjα

)

, (A.17)

non

λiα ≡ (λαi)†. (A.18)

B ERANSKINA

Sine-Gordon eredua

Sine-Gordon eredua, ondoko lagrangearrak deskribaturikoa da [28]:

L = 12(∂µΦ)(∂µΦ) − α

β2[1 − cosβ Φ] , (B.1)

eta eredu honen energia honako hau da

E =

∫

dt dx

(

12(∂tΦ)2 + 1

2(∂xΦ)2 +

α

β2(1 − cosβ Φ)

)

(B.2)

B.1 a) irudiak potentzialaren profilaren adierazpide grafikoa da.

Sistemaren oinarrizko egoerak Φ ∝ 2 π/β betetzen dutenak dira,

1 − cos

(

β2 π n

β

)

= 0 (B.3)

baita. Minimo hauetako baten inguruan (adibidez Φ = 0 minimoaren inguruan) garatuz,

honela berridatzi dezakegu lagrangearra

L = 12∂µΦ∂

µΦ +α

2Φ2 − αβ2

4!Φ4 + . . . (B.4)

edo parametroak α ∼ λ η2 eta αβ2 ∼ λ eran berdefinituz

L = 12∂µΦ∂

µΦ +λ η2

2Φ2 − λ

4Φ4 + . . . (B.5)

α = β = 1 aukeratuko ditugu, monopolo globala aztertzean lortutako lagrangearrekin

aldaratzeko.

147

148 B eranskina

B.1 irudia: a) Sine-Gordon ereduaren potentziala (1 − cos(Φ)). b) Sine-Gordon ereduaren solu-

zioetako bat (Φ = 2 tan−1ex−2).

Energia finitua izatea eskatzean, x → ±∞ puntuetan eremua potentzialaren zero batera

joan behar dela ondoriozta dezakegu. Propietate hau betetzen duen egoera tribiala badago:

eremua potentzialaren minimo batean dago, eta bertan jarraituko du. Baina badaude kasu

korapilatsuagoak; adibidez, eremua x → −∞ puntuan minimo batean dagoenean, eta

x→ ∞ puntuan aldameneko beste minimo ezberdin batean.

Honelako soluzio estatikoak lortzeko, energia berridatzi behar dugu, ondorengo erlazio

trigonometrikoa erabiliz

cosΦ = 1 − 2sin2 Φ

2. (B.6)

Φ = 2Φ aldagai aldaketa eginez, energia honela idatzi daiteke:

E =

∫ ∞

−∞dx 2

(

(∂xΦ)2 + sin2Φ)

. (B.7)

Berridazketa honen bidez lortutako energia, (2.30) ekuazioan parentesi artean dagoenaren

berbera da. Berriro ere energia berridatziz:

E =

∫ ∞

−∞dx 2

[

(Φx ± sinΦ)2 ∓ 2 Φx sinΦ]

, (B.8)

eta zatikako integrazioa eginez

E =

∫ ∞

−∞dx 2

[

(Φx ± sinΦ)2]

± 4cosΦ∣

∣

∣

∞

−∞. (B.9)

2.0 Sine-Gordon eredua 149

Muga-gaia karga topologikoa da, eta x → ±∞ puntuetan eremuak aukeratu duen mini-

moaren araberakoa da.

Karga topologiko bakoitzerako, energia minimodun soluzioek ondoko erlazioa bete behar

dute:

Φx = ∓sinΦ , (B.10)

eta ebazpena hauxe da:

tan

(

Φ

2

)

= e∓x−x0 , (B.11)

non x0 integrazio-konstantea den, problemaren espazio-aldaezintasunari dagokiona. B.1

irudian soluzio hauetako baten adierazpide grafikoa ikus daiteke.

C ERANSKINA

Translazio-modu nulua

O(3) monopoloaren zero modu translazionala lortzearren, simetria esferikoa erabiliz ida-

tziko ditugu eremuak:

Φ1(r, θ, ϕ) = f(r) sin θ cosϕ ;

Φ2(r, θ, ϕ) = f(r) sin θ sinϕ ;

Φ3(r, θ, ϕ) = f(r) cos θ , (C.1)

eta z ardatzean zehar transladatuz

Φa(z − z0) = Φa − z0 ∂zΦa|z + . . . (C.2)

koordenatu esferikoetan idatziko dugu ∂z deribatua

∂z = cos θ ∂r −sin θ

r∂θ , (C.3)

ekuazioak ondoko eran idatz ahal izateko

Φ1(z − z0) =

(

f − z0 fr cos θ +z0 f

rcos θ

)

sin θ cosϕ ;

Φ2(z − z0) =

(

f − z0 fr cos θ +z0 f

rcos θ

)

sin θ sinϕ ;

Φ1(z − z0) = f cos θ − z0 fr cos2θ − z0 f

rsin2θ . (C.4)

151

152 C eranskina

Ardatz-simetriadun perturbazioak (2.65) ekuazioa erabiliz idazterakoan, (2.28) Goldhaber-

en ansatz-ak ondoko itxura hartuko du:

Φ1 ∼ (f + δ + f ξ cos θ)sin θ sinϕ ;

Φ2 ∼ (f + δ + f ξ cos θ)sin θ cosϕ ;

Φ3 ∼ (fcos θ + δ cos θ − f ξ sin2θ) . (C.5)

hau da, (2.68) ekuazioak.

Bi azken ekarpenak alderatuz,

δ = −z0 fr cos θ ;

ξ =z0r

(C.6)

erlazioak lortuko genituzke.

2.5 atalean, perturbazioen ekuazioak aztertzean, aldagaien berdefinizio anitz erabili ditu-

gu:

ey ≡ tan

(

θ

2

)

⇒ u ≡ tanh y , (C.7)

eta baita ere δ eta ξ funtzioak berdefinitu ditugu:

δ ≡∑

l

δl(r)Pl(u) ⇒ ∆l ≡√

l(l + 1)δl ;

ξ ≡ X

f⇒ χ ≡ ∂u

[

(1 − u2)X]

⇒ χ ≡∑

l

χl(r)Pl(u) . (C.8)

Lortu dugun modu nuluan aldaketa hauek ordezkatuz, eta z0 = 1 aukeratuz ondokoa

lortuko dugu:

∆1 =√

2 fr(r) ;

χ1 = −2f(r)

r, (C.9)

non tiletak, ∆ eta χ funtzioak translazio-modu nuluak direlako erabili ditugun. 2.21 iru-

dian funtzio hauen profilak ikus daitezke.

D ERANSKINA

Eredu elektroahularen

higidura-ekuazioen diskretizazioa

3. kapituluan ikusi dugunez, ondokoak dira teoria elektroahularen (3.4) higidura-ekuazioak

DµDµΦ + 2λ(

Φ†Φ − η2)

Φ = 0 ;

∂νWµνa + gWǫ

abcW bνW

µνc =i

2gW

[


;

∂νYµν =

i

2gY

[


. (D.1)

l sare-tarteko eta mugalde-baldintza periodikoko sare kubikoan diskretizatuko ditugu.

Aukeratu dugun diskretizazio-metodoaren arabera, eremu eskalar eta gauge-eremuen ba-

lioak sare-puntuei dagozkie. Jakina da metodo horrek ez duela gauge-aldaezintasuna ziur-

tatuko. Hala eta guztiz ere, gure ekuazioak jokaera oneko higidura-ekuazio klasikoak dira,

gauge jakin batean; eta gauge-aldaezintasuna ez ziurtatzeak ez luke garrantzitsua izan

behar. Gainera, Gauss-en legea automatikoki beteko ez denez, eboluzioan zehar behatuko

dugu lege hori, diskretizazioa behar bezain zehatza dela egiaztatzeko. Diskretizazio-me-

todo honek, aurreko lanetan [3] lortutako emaitzekiko aldaraketa erreztuko digu. Sare-lo-

turaren aldagaiak erabiliko dituen beste metodo bat deskribatuko dugu E eranskinean; bi

diskretizazioen arteko alderaketarekin batera.

Diskretizatutako higidura-ekuazioak lortzeko lehen pausoa, ψα lau eremu eskalar definitzea

da, non α = 1, 2, 3, 4; beren balioa sare-puntuetan egongo da. Eremu eskalar horiek SU(2)

153

154 D eranskina

bikote konplexuarekin duten erlazioa ondoko hau da: ΦT = (ψ1 + iψ2, ψ3 + iψ4). Gauge-

-eremuek ere sare-puntuetan hartuko dituzte balioak. Gauge denborala aukeratu dugunez;

hots, Y0 = 0 eta W a0 = 0 a = 1, 2, 3 balioetarako, 12 zenbaki gorde behar ditugu gauge-

-eremuetarako: Yi eta W ai , non i = 1, 2, 3 espazio-norabideak diren, eta a = 1, 2, 3 SU(2)

gauge-taldeko indizea.

Zenbakizko ebazpena burutuko duen kodea lortzeko onuragarria da (D.1) ekuazioak modu

zehatzago batean idaztea:

W 0i ≡ Yi definituko dugu, eta baita ondorengo matrizeak ere (indizeek 0-tik 3-rako balioa

hartuko dute)

sij ≡

+1 − 1 + 1 − 1

+1 − 1 + 1 − 1

−1 − 1 + 1 + 1

+1 − 1 − 1 + 1

, cij ≡

4 3 2 1

4 3 2 1

3 4 1 2

2 1 4 3

, gi ≡

gY

gW

gW

gW

. (D.2)

Horiek erabiliz, eremu eskalarren higidura-ekuazioak honela idatz daitezke:

∂20ψα =

3∑

i=1

3∑

n=0

[

∂i∂iψα + snαgnW n

i ∂iψcnα + 12snαg

n∂iWni ψcnα − 1

4gnW n

i gnW n

i ψα]

−

−12

3∑

i=0

g0W 0i

(

g1W 1i ψc2α + s3

αg2W 2

i ψc1α − s2αg

3W 3i ψα

)

−β(

4∑

n=1

(ψnψn) − 1

)

ψα . (D.3)

Bestalde, gauge-eremuetarako ekuazioak hauek dira:

∂20Yj =

3∑

i=1

[∂i∂iYj − ∂j∂iYi] + gY (ψ1∂jψ2 − ψ2∂jψ1 + ψ3∂jψ4 − ψ4∂jψ3)

−gWgY

(

W 1j (ψ1ψ3 + ψ2ψ4) +W 2

j (ψ1ψ4 − ψ2ψ3) + 12W 3j

(

ψ21 + ψ2

2 − ψ23 − ψ2

4

))

−12g2

YYj

4∑

n=1

ψnψn ;

∂20W

1j =

3∑

i=1

[

∂i∂iW1j − ∂j∂iW

1i −

g2W

(

W 2i W

2i W

1j +W 3

i W3i W

1j −W 1

i W2i W

2j −W 1

i W3i W

3j

)

4.0 Eredu elektroahularen higidura-ekuazioak diskretizatzen 155

−gW

(

W 2j ∂iW

3i −W 3

j ∂iW2i −W 2

i ∂iW3j +W 3

i ∂iW2j +W 2

i ∂jW3i −W 3

i ∂jW2i

)]

+gW (ψ1∂jψ4 − ψ4∂jψ1 + ψ3∂jψ2 − ψ2∂jψ3) − gWgY (ψ1ψ3 + ψ2ψ4)Yj

−12g2

WW 1j

4∑

n=1

ψnψn ;

∂20W

2j =

3∑

i=1

[


2i −

g2W

(

W 3i W

3i W

2j +W 1

i W1i W

2j −W 2

i W3i W

3j −W 2

i W1i W

1j

)

−gW

(

W 3j ∂iW

1i −W 1

j ∂iW3i −W 3

i ∂iW1j +W 1

i ∂iW3j +W 3

i ∂jW1i −W 1

i ∂jW3i

)]

+gW (ψ3∂jψ1 − ψ1∂jψ3 + ψ4∂jψ2 − ψ2∂jψ4) − gWgY (ψ1ψ4 − ψ2ψ3) Yj

−12g2

WW 2j

4∑

n=1

ψnψn ;

∂20W

3j =

3∑

i=1

[


3i −

g2W

(

W 1i W

1i W

3j +W 2

i W2i W

3j −W 3

i W1i W

1j −W 3

i W2i W

2j

)

−gW

(

W 1j ∂iW

2i −W 2

j ∂iW1i −W 1

i ∂iW2j +W 2

i ∂iW1j +W 1

i ∂jW2i −W 2

i ∂jW1i

)]

+gW (ψ1∂jψ2 − ψ2∂jψ1 + ψ4∂jψ3 − ψ3∂jψ4)

−12gWgY

(

ψ21 + ψ2

2 − ψ23 − ψ2

4

)

Yj − 12g2

WW 3j

4∑

n=1

ψnψn . (D.4)

(D.3, D.4) higidura-ekuazioetako deribatu espazial desberdinak diskretizatu behar ditugu.

Edozein f emanik, non f funtzioa ψα, Yi edo W ai eremua izan daitekeen,

∂if(x) ≡ 1

2l(f(x+ xi) − f(x− xi)) , (D.5)

eta

∂i∂if(x) ≡ 1

l2(f(x+ xi) − 2f(x) + 2f(x− xi)) , (D.6)

non xk = lk, eta k espazio-norabideei dagokion.

Diskretizatzeke dagoen adierazpen bakarra, ∂j∂iYi, honela garatuko dugu

∂j∂iYi ≡1

2l∂j [Yi(x+ xi) − Yi(x− xi)] ≡ (D.7)

1

4l2[Yi(x+ xi + xj) − Yi(x+ xi − xj) − Yi(x− xi + xj) + Yi(x− xi − xj)] .

156 D eranskina

Ohiko staggered leapfrog delako metodoa erabiliz diskretizatu dugu denbora. Hots, eremu

eskalarra eta gauge-eremua denbora-tarte osoetan bizi dira, eta eremuen denbora-deriba-

tuak denbora-tarte erdietan:

f(t+1

2δt) =

1

δt(f(t+ δt) − f(t)) ;

f(t+ δt) =1

δt

(

f(t+3

2δt) − f(t+

1

2δt)

)

, (D.8)

non δt denbora-tartea den. Eguneratze-prozedura honela geratuko zaigu:

f(t+ δt) = f(t) + δtf(t+1

2δt) ; (D.9)

f(t+3

2δt) = f(t+

1

2δt) + δt [esk] , (D.10)

non esk (D.3, D.4) ekuazioaren eskuineko atalari dagokion.

Honela, f(0) eta f(12δt) ezagunak bazaizkigu, (D.9) ekuazioa erabiliz f funtzioa eguneratu

dezakegu, f(δt) lortuz. Orduan, f(12δt) eta f(δt) ezagunak direnez, eta esk kalkulatzeko

bi balio horiek baino behar ez ditugunez, f eguneratu dezakegu, eta f(t+ 32δt) kalkulatu.

Prozedura honi jarraituz, sistemaren bilakaera kalkulatu dezakegu.

3.4 atalean esan dugunez, γf(t) erako gai barreiakorrak gehitu ditugu. Erabilitako diskre-

tizazioan denbora-deribatuak denbora-tarte erdietan bizi direnez, gai disipakorra ondoko

moduan berridatziko dugu

γ

2(f(t+

1

2δt) + f(t+

3

2δt) , (D.11)

eta f funtzioaren eguneraketa aldatu egingo da:

f(t+3

2δt) = f(t+

1

2δt) +

γ

2

[

f(t+1

2δt) + f(t+

3

2δt)

]

+ δt [rhs] ⇒

f(t+3

2δt) = (Γ−)−1

[

Γ+f(t+1

2δt) + δt [rhs]

]

, (D.12)

non

Γ− = 1 − γ

2, Γ+ = 1 +

γ

2, (D.13)

diren. Gauss-en legearen jokaera jarraitu dugu eboluzioan zehar, kodearen egonkortasuna

bermatzeko. (3.14) Gauss-en legea era esplizituan honela idatzi dezakegu

3∑

i=1

[

∂iYi

]

= gY

(

ψ1ψ2 − ψ2ψ1 + ψ3ψ4 − ψ4ψ3

)

; (D.14)

4.0 Eredu elektroahularen higidura-ekuazioak diskretizatzen 157

3∑

i=1

[

∂iW1i + gW

(

W 2i W

3i −W 3

i W2i

)]

= gW

(

ψ1ψ4 − ψ4ψ1 + ψ3ψ2 − ψ2ψ3

)

;

3∑

i=1

[

∂iW2i + gW

(

W 3i W

1i −W 1

i W3i

)]

= gW

(

ψ3ψ1 − ψ1ψ3 + ψ4ψ2 − ψ2ψ4

)

;

3∑

i=1

[

∂iW3i + gW

(

W 1i W

2i −W 2

i W1i

)]

= gW

(

ψ1ψ2 − ψ2ψ1 + ψ4ψ3 − ψ3ψ4

)

.(D.15)

Puntudun eremuak denbora-tarte erdietan bizi dira, eta punturik gabekoak denbora-tarte

osoetan. Ekuazio horiek denbora-tarte berdinetan idaztearren, f funtzioak denbora-tarte

erdian hartuko duen balioa interpolatu egingo dugu ondoko moduan

f(t+1

2δt) =

2

δt

(

f(t+1

2δt) − f(t)

)

⇒ f(t+1

2δt) = f(t) +

1

2δtf(t+

1

2δt) . (D.16)

(D.15) ekuazioan “puntudun” eremuen balioa (D.16) balioarekin ordezkatuko dugu.

E ERANSKINA

Sare-loturaren aldagaien metodoa

E.1 Lotura-aldagaien bidezko hamiltondarraren dis-

kretizazioa

3. kapituluan (3.10) higidura-ekuazioak diskretizatzeko aukeratutako metodoaren arabera,

eremu guztiak sare-puntuetan dituzte balioak; hots, eremu eskalarren eta gauge-eremuen

balioak sare-puntuetan daude (ikus D eranskina). Honek ez du gauge-aldaezintasuna ziur-

tatuko.

Badago beste metodo bat ekuazioak diskretizatzeko: sare-loturaren aldagaien (Lattice Link

variables) metodoa [65, 70]. Metodo horrek gauge-aldaezintasuna ziurtatuko du; eta sare-

-tartea zerorantz doanean, jatorrizko higidura-ekuazioak berreskuratuko ditu. Sare-lotura-

ren aldagaiak erabiliz, soka erdilokaletarako simulazio multzoa egingo dugu, 3. kapituluko

ondorioak bermatzearren.

Sare-loturaren aldagaien metodoak sistemaren formulazio hamiltondarra behar du; ondo-

rioz, soka erdilokalen (ikus 1.3 atala) dentsitate hamiltondarra kalkulatuko dugu

H = Π†Π + 12EiEi + 1

4YijY

ij + (DiΦ)†(DiΦ) +

β

2

(

Φ†Φ − 1)2

+ Ei(∂iY0) + iY0

(

Π†Φ − Φ†Π)

, (E.1)

159

160 E eranskina

non momentu-konjokatuak honela definitu ditugun

Π =∂L

∂(∂0Φ†)= D0Φ ;

Ei =∂L

∂(∂0Yi)= Y0i . (E.2)

Hamiltondar horretatik higidura-ekuazioak lortu eta ondoren diskretizatu beharren, alde-

rantzizkoa egingo dugu prozedura honetan: (E.1) hamiltondarra diskretizatu; eta bertatik

higidura-ekuazioak lortu. Hamiltondarra l sare-tarteko sare kubikoan definitzearren, sa-

re-loturaren eragilea definituko dugu:

Uk(x) = e−ilYk(x) . (E.3)

Eragile horrek gauge-eremuaren lana beteko du; baina, gauge-eremua konexio afina dela

literalki onartuz; hots, eremu eskalarraren garraio paraleloaren egilea (parallel transporter)

da gauge-eremua. Eremu eskalarren balioak sare-puntuetan egongo dira; eta sare-lotura-

ren eragileenak sare-loturetan. Horrela, deribatu kobariante (berri) honen bidez puntu

desberdinetako eremu eskalarrak erlazionatuko ditugu:

DkΦ =Uk(x)Φ(x+ xk) − Φ(x)

l(E.4)

non xk = lk, eta k espazio-norabideei dagokion.

Definizio horrek bi propietate garrantzitsu ditu: alde batetik, l → 0 limitean continuum-

eko deribatu kobariantea da

liml→0

DkΦ = liml→0

1

l

[

(

1 − ilYk(x) +O(l2))

Φ(x+ li) − Φ(x)]

∂kΦ(x) − iYk(x)Φ(x) = (DkΦ(x))continuum . (E.5)

Bestetik, hamiltondarraren (|DkΦ(x)|2) gradienteen gaia, ondorengo aldaketekiko gauge-

-aldaezina da

Φ → A(x)Φ(x) , Uk(x) → A(x)Uk(x)A†(x+ xk) , (E.6)

hain zuzen ere,

(DkΦ(x))†DkΦ(x) →1

l2

∣

∣

(

A(x)Uk(x)A†(x+ xk)A(x+ xk)Φ(x+ xk) − A(x)Φ(x)

)∣

∣ =

(DkΦ(x))†A†(x)A(x)DkΦ(x) = (DkΦ(x))†DkΦ(x) . (E.7)

5.0 Sare-loturaren aldagaien metodoa 161

Sare-loturaren eragile horiek beste ezaugarri garrantzitsua dutela ikus daiteke plaquette

eragilea definitzean

Qij(x) ≡ Uj(x)Ui(x+ xj)U†j (x+ xi)U

†i (x) . (E.8)

Horiek ere gauge-aldaezinak dira

Qij(x) →

A(x)Uj(x)A†(x+ xj) · A(x+ xj)Ui(x+ xj)A

†i (x+ xj + xi) ·

A(x+ xj + xi)U†j (x+ xi)A

†(x+ xi) · A(x+ xi)U†i (x)A

†(x) =

A(x)Qij(x)A†(x) = Qij(x) , (E.9)

matrize horiek trukakorrak baitira.

Plaquette eragilea l sare-tarte txikietarako garatuz ondokoa lortuko dugu

ReQij(x) = cos [−l (Yj(x) + Yi(x+ xj) − Yj(x+ xi) − Yi(x))] ≈

1 − l2

2(Yj(x+ xi) − Yj(x) − Yi(x+ xj) − Yi(x))

2 +O(l4) . (E.10)

Adierazpen hori YijYij gaiarekin erlazionatu dezakegu, zeren eta

Yij = ∂iYj(x) − ∂jYi(x) ∼1

l[Yj(x+ xi) − Yj(x) − (Yi(x+ xj) − Yi(x))] (E.11)

da; eta, ondorioz,

YijYij ∼2

l4(1 − ReQij(x)) . (E.12)

Orain dentsitate hamiltondarra diskretizatu dezakegu. Oraingoz, denbora diskretizatzeke

utziko dugu; baina, geroago, δt ≪ l denbora-tartea erabiliz diskretizatuko dugu. Diskre-

tizatutako hamiltondarra ondoko hau da

H = Π†Π + 12EiEi +

β

2

(

Φ†Φ − 1)2

+ (DiΦ)† (DiΦ) +1

2l4

∑

i6=j(1 − ReQij)

+iY0

(

Π†Φ − Φ†Π)

+ Ei (∂iY0) . (E.13)

Gure gauge-aukeraketa Y0 = 0 da; eta, ondorioz, eremu honi dagokion higidura-ekuazioa

eboluzioaren lotura bat izango da:

Π(x)†Φ(x) − Φ†(x)Π(x) = −i∂kEk =−il

∑

k

(

Ek(x) − Ek(x− xk))

. (E.14)

162 E eranskina

Ekuazio hori, sarean eginiko Gauss-en legearen itzulpena da. Hasierako konfigurazioak

(E.14) ekuazioa beteko badu, baita ere (E.15) ekuazioen bidezko sistemaren garapenak.

Eremu dinamikoetarako higidura-ekuazioak ondoko hauek dira:

Φ(x) = Π(x)

Π(x) = −β(

Φ†(x)Φ(x) − 1)

Φ(x) − 6

l2Φ(s)

+1

l2

[

∑

j

Uj(x)Φ(x+ xj) + U †j (x− xj)Φ(x− xj)

]

Yi(x) = Ei(x)

Ei(x) = −il

(

Φ†(x)Ui(x)Φ(x+ xi) − Φ†(x+ xi)U†i (x)Φ(x)

)

1

l3

∑

j 6=i(ImQij(x) − ImQij(x− xj)) . (E.15)

Staggered leapfrog delako metodoaren bidez diskretizatu dugu denbora (ikus (D.8) ekua-

zioa). Eremuak denbora-tarte osoetan bizi dira; eta, momentuak, denbora-tarte erdietan.

Higidura-ekuazioak ondoko eran idatziko ditugu

Φ(x, t+ δt) = Φ(x, t) + δtΠ(x, t+ δt)

Yi(x, t+ δt) = Yi(x, t) + δt Ei(x, t+1

2δt)

Π(x+3

2δt) = (Γ−)−1Γ+ Π(x,

1

2δt) + (Γ−)−1δt

{

−β(

Φ†(x)Φ(x) − 1)

Φ(x) − 6

l2Φ(x)

+1

l2

[

∑

j

Uj(x)Φ(x+ xj) + U †j (x− xj)Φ(x− xj)

]}

Ei(x,3

2δt) = (Γ−)−1Γ+E

i(x,1

2δt) + (Γ−)−1δt

{

1

l3

∑

j 6=i(ImQij(x) − ImQij(x− xj))

−il

(

Φ†(x)Ui(x)Φ(x+ xi) − Φ†(x+ xi)U†i (x)Φ(x)

)

}

, (E.16)

gauge-aldaezin diren γΠ(x) eta γEi(x) gai barreiakorrak gehitu ondoren. Γ+ eta Γ− fak-

toreak (D.13) ekuazioan definitutakoak dira; eta gai barreiakorrei dagozkie. Batutako gai

barreiakorrak gauge-aldaezinak direnez, Gauss-en legea automatikoki beteko dela ziur

dakigu oraindik ere.

5.0 Sare-loturaren aldagaien metodoa 163

E.1 irudia: Eredu erdilokaleko eremu magnetikoaren balioa; t = 40 aldiunean (goiko irudiak) eta

t = 56 aldiunean (beheko irudiak). Hasierako baldintza berbera izanik, 3. kapituluko diskretizazioa

erabiliz lortutako eboluzioa adierazi dugu ezkerreko irudietan; eskuinekoetan, aldiz, sare-lotura-

ren aldagaien bidezko diskretizazioaren araberako eboluzioa, eranskinean deskribatu dugunez. Bi

simulazioek antzeko erantzuna jalgi zuten, sare-loturaren aldagaien kasuan soka zertxobait luzea-

goak lortu arren.

E.2 Eredu erdilokaleko simulazioak

Sare-loturaren aldagaiak erabiliz 3. kapituluan lortutako emaitzak egia izaten jarraituko

duten ikustearren, eredu erdilokalerako simulazio multzoa egingo dugu; eta eboluzioa ba-

teragarria den ikusi. Hasierako baldintza berberetik abiatuz, bi diskretizazio metodoak

erabiliz (D eranskineko metodo naıve-a eta sare-loturaren aldagaien metodoa) sistemaren

bilakaera eragingo dugu. Simulazioetan ikusi dugunez, metodo bien emaitzak oso antze-

koak dira puntuz puntu, E.1 irudian adierazi dugunez. Halere, ezberdinatasun xumeak

ageri dira: soka zertxobait luzeagoak daude sare-loturaren aldagaien kasuan; eta soken

arteko lotura berriak gertatu daitezke aldizka.

Desberdintasun txiki horiek zenbaitetarainoko garrantzia duten ikusteko, eta gure emaitza

estatistikoak aldatuko ote diren jakiteko, beste 120 simulazio burutuko ditugu metodo biak

164 E eranskina

E.2 irudia: Soka-zabalera unitatetzat hartuz, soka-luzeren adierazpena (ikus testua). Laukiak me-

todo naıve-ari dagozkio; eta borobilak sare-loturaren aldagaiei. Datuak t = 56 aldiunean neurtu

ditugu. Errore-barrak 10 simulazioen 1 σ-ko erroreari dagozkio.

erabiliz. Kalkulu-ahalmena aurreztuko dugu eredu erdilokalean simulatuz sistema; hots,

sin2θW = 1 kasua simulatuko dugu. Simulazioak 643 kuboetan burutuko ditugu β parame-

troaren balio ezberdinetarako. Hasierako baldintza desberdinak erabiliko ditugu; baina,

hasierako baldintza jakin bakoitzerako, metodo biak erabiliko ditugu: (D.3, D.4) higidu-

ra-ekuazio lagrangearrak gW = 0 kasuan diskretizatzeko D eranskinean deskribatutako

metodo naıve-a; eta (E.15) higidura-ekuazioa hamiltondarrak diskretizatzeko sare-lotura-

ren aldagaiak erabiliz. Hasierako baldintzak kalkulatzeko, 3.4 atalean deskribaturiko b)

metodoa erabiliko dugu. Simulazio elektroahulen kasuan bezala, gai barreiakorra gehituko

dugu ad hoc; kasu honetan, γ = 0.5 da. Soka-sarearen tarte iraunkorreko portaera aztertu

nahi dugunez, eta sarearen neurriaren arabera denbora t <∼ 64 izan behar denez, soken

luzera t = 56 aldiunean kalkulatzea hautatuko dugu.

Emaitzak E.2 irudian ikus daitezke. 3.5 atalean deskribatu dugun eran kalkulatu ditugu

soken luzerak; eta, gero, beren zabalera baino 5 aldiz luzeago diren soken luzerak ba-

tu ditugu. Neurri hori da E.2 irudian adierazitakoa. Argi ikus daiteke desberdintasuna

ziurgabetasuna baino txikiagoa dela. 643 kubotan kalkulatu dugun arren, emaitzak kubo

handiagoetarako ere iraun beharko lukete.

Eremu-teorietako objetu hedatuen ezaugarri bitxiak...Unibertsoaren lehenengo momentuetan unibertsoak...

Documents

Transcript of Eremu-teorietako objetu hedatuen ezaugarri bitxiak...Unibertsoaren lehenengo momentuetan unibertsoak...