Erregulazio automatikoa - Elhuyar · Ingeniaritzako garapen azkar hauek froga/errore-metodoak behar...
26
ERREGULAZIO AUTOMATIKOA Arantxa Tapia Otaegi Julian Florez Esnal –2,25 -1,45 1 2 I r G(s)H(s) E r 1 2 -112°
Transcript of Erregulazio automatikoa - Elhuyar · Ingeniaritzako garapen azkar hauek froga/errore-metodoak behar...
ERREGULAZIOAUTOMATIKOA
Arantxa Tapia Otaegi
Julian Florez Esnal
–2,25
-1,45
1 2
Ir G(s)H(s)
Er
1
2
-112°
AURKIBIDEAOr.
1. SARRERA ....................................................................................................... 1
1.1. BERRELIKADURAK KONTROLA ..................................................... 1
1.2. BERRELIKADURA ERABILTZEN DUTEN KONTROL-SISTEMEN
SAILKAPENA .......................................................................................... 2
1.2.1. Eskuz eta Automatikoki egindako berrelikadurako kontrol-
-sistemak........................................................................................ 4
1.2.2. Berrelikadurako kontrol-sistema Aktibo eta Pasiboak ............ 5
1.2.3. Erreguladorea eta Serbomekanismoa ........................................ 6
1.2.4. Sarrera eta irteera bakarreko edota sarrera eta irteera anitzeko
kontrol-sistemak ........................................................................... 7
1.2.5. Datu jarraiak (kontrol analogikoa) eta lagindutako datuak
(kontrol digitala) erabiltzen dituzten sistemak.......................... 9
1.3. PORTAERAKO-ESPEZIFIKAZIOAK ETA DISEINU-METODOA 10
1.3.1. Portaerako espezifikazioak ......................................................... 10
1.3.1.1. Hardwarearen hautaketa .................................................. 11
1.3.1.2. Egonkortasun-tarte nahikoa duen portaera egonkorra..... 11
1.3.1.3. Egoera iragankorreko erantzun egokia............................ 11
1.3.1.4. Maiztasunaren arloko espezifikazioak ............................ 12
1.3.1.5. Perturbazioen arbuioa...................................................... 12
1.3.1.6. Parametroen aldaketekiko sentikortasuna ....................... 12
1.3.1.7. Portaeraren indizea .......................................................... 13
1.3.2. Diseinu-metodoa ........................................................................... 13
1.4. EREDU MATEMATIKOAK .................................................................. 14
1.4.1. Parametro banatuak eta parametro elkartuak dituzten
ereduak .......................................................................................... 14
1.4.2. Eredu linealak eta ez-linealak ..................................................... 15
1.4.3. Denboran zehar parametro aldakorrak eta finkoak dituzten .
ereduak .......................................................................................... 16
1.4.4. Eredu estokastikoak eta deterministikoak................................. 16
1.4.5. Eredu jarraiak eta diskretoak..................................................... 16
1.5. LABURPENA ........................................................................................... 17
1.6. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................... 17
VII
2. SISTEMAK ETA EREDUAK ................................................................. 19
2.1. SARRERA ................................................................................................. 19
2.2. SISTEMA MEKANIKO SINPLEEN DESKRIBAPENA .................... 20
2.3. EREDUZTAPEN MATEMATIKOARI BURUZ.................................. 27
2.4. ESEKIDURA-SISTEMA BATEN EREDUA......................................... 28
2.5. SISTEMA ELEKTRIKOEN EREDUZTAPENA ................................. 31
2.6. SISTEMA HIDRAULIKOEN EREDUZTAPENA ............................... 35
2.7. SISTEMA PNEUMATIKOEN EREDUZTAPENA.............................. 37
2.8. SISTEMA TERMIKOEN EREDUZTAPENA ...................................... 41
2.9. SISTEMA KIMIKOEN EREDUZTAPENA ......................................... 43
2.10. ERAGINGAILUAK ................................................................................. 46
2.10.1. Korronte zuzeneko motore elektrikoa........................................ 46
2.10.2. Korronte alternoko motore elektrikoa ....................................... 48
2.10.3. Serbomotore hidraulikoa............................................................. 50
2.10.4. Diafragma pneumatikoa erabiltzen duen eragingailua ............ 53
2.11. LINEALAK EZ DIREN EKUAZIOEN LINEALIZAZIOA................ 55
2.12. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................... 58
2.13. ARIKETAK............................................................................................... 59
3. MATEMATIKAREN BEHARRA ......................................................... 67
3.1. SARRERA ................................................................................................. 67
3.2. EKUAZIO DIFERENTZIAL LINEALEN ERANTZUNA METODO
KLASIKOA ERABILIZ .......................................................................... 68
3.3. LAPLACEREN TRANSFORMAZIOAREN SARRERA .................... 72
3.4. LAPLACEREN TRANSFORMAZIOAREN EZAUGARRI BATZUK 73
3.5. FUNTZIO BATZUEN TRANSFORMAZIOAK................................... 76
3.5.1. Inpultsu funtzioa .......................................................................... 76
3.5.2. Maila funtzioa ............................................................................... 76
3.5.3. Arrapala-funtzioa......................................................................... 76
3.5.4. Funtzioa esponentziala................................................................. 77
3.5.5. Funtzioa sinusoidala..................................................................... 77
3.5.6. Esponentzialki murrizten den funtzio sinusoidala (e–at sin ωωt) 77
3.6. POLINOMIOEN ERROAK .................................................................... 77
3.6.1. Ekuazio algebraikoen teoria sinplea........................................... 78
3.6.2. Polinomio bakoitiak ..................................................................... 79
3.6.3. Ordena bikoitia duten polinomioak ........................................... 81
VIII
3.7. FRAKZIO PARTZIALEN ZATIKETA ................................................ 82
3.8. EKUAZIO DIFERENTZIAL LINEALEN EBAZPENA LAPLACE-
REN TRANSFORMAZIOA ERABILIZ ............................................... 87
3.9. BIGARREN ORDENAKO EKUAZIO DIFERENTZIALAK ............. 90
3.9.1. Erro errealak eta desberdinak (ξξ > 1) ........................................ 91
3.9.2. Erro berdinak (ξξ = 1) ................................................................... 92
3.9.3. Erro konplexu konjugatuak (ξξ < 1) ............................................ 92
3.10. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................... 97
3.11. ARIKETAK............................................................................................... 98
4. KONTROL-SISTEMEN AURKEZPENA......................................... 103
4.1. SARRERA ................................................................................................. 103
4.2. TRANSFERENTZIA FUNTZIOAK ...................................................... 105
4.3. BLOKE-DIAGRAMAK........................................................................... 107
4.3.1. Serbosistemen bloke-diagramak ................................................. 108
4.3.2. Aldagai anitzeko sistemen bloke-diagramak ............................. 116
4.4. EKUAZIO KARAKTERISTIKOA ........................................................ 118
4.5. LABURPENA ........................................................................................... 120
4.6. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................... 120
4.7. ARIKETAK............................................................................................... 121
5. SISTEMEN ERANTZUNA DENBORAN ZEHAR ....................... 125
5.1. EGOERA IRAGANKORREKO ERANTZUNAREN AZTERKETA 125
5.1.1. Lehen ordenako sistemak ............................................................ 125
5.1.1.1. Maila unitarioa................................................................. 126
5.1.1.2. Arrapala unitarioa............................................................ 127
5.1.1.3. Inpultsu unitarioa............................................................. 129
5.1.1.4. Denboran zehar aldatzen ez diren sistemen ezaugarri
garrantzitsua .................................................................... 129
5.1.2. Bigarren ordenako sistemak ....................................................... 130
5.1.2.1. Maila unitarioa................................................................. 130
5.1.2.2. Arrapala unitarioa............................................................ 133
5.1.3. Orden garaiagoa duten sistemak ................................................ 134
5.1.4. Bigarren ordenako sistemetan sarrera bezala maila erako sei-
nalea erabiltzen denean lortzen den erantzun iragankorraren
espezifikazioak .............................................................................. 137
5.1.5. Komentario batzuk ...................................................................... 138
IX
5.2. SISTEMEN EGONKORTASUNA ......................................................... 143
5.2.1. Kontrol-sistemen egonkortasuna aztertzeko metodoak ........... 144
5.2.2. Routh-Hurwitz-en metodoa......................................................... 145
5.2.3. Kasu bereziak ............................................................................... 147
5.3. EGOERA EGONKORREKO ANALISIA ETA SISTEMEN
SAILKAPENA .......................................................................................... 150
5.3.1. Sistemen sailkapena ..................................................................... 151
5.3.2. Maila sarrera erabiltzen denean lortzen den egoera egon-
korreko errorea ............................................................................ 152
5.3.3. Abiadura sarrera erabiltzen denean lortzen den egoera egon-
korreko errorea ............................................................................ 153
5.3.4. Azelerazio sarrera erabiltzen denean lortzen den egoera egon-
korreko errorea ............................................................................ 154
5.3.5. Perturbazioak agertzen direnean lortzen den errorea ............. 156
5.4. LABURPENA ........................................................................................... 157
5.5. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................... 157
5.6. ARIKETAK............................................................................................... 157
6. ERANTZUN FREKUENTZIALA ERABILTZEN DUTENMETODOAK.................................................................................................. 163
6.1. SARRERA ................................................................................................. 163
6.2. SISTEMA BATEN ERANTZUN FREKUENTZIALA ........................ 163
6.2.1. s planoan egindako aurkezpena .................................................. 169
6.3. FUNTZIO FREKUENTZIALAREN AURKEZPEN GRAFIKOA..... 171
6.3.1 Diagrama polarra edo Nyquist-en diagrama............................. 173
6.3.1.1. k irabazpena..................................................................... 173
6.3.1.2. 1/s integrazioa.................................................................. 173
6.3.1.3. s diferentziazio-gaia......................................................... 174
6.3.1.4. 1/(Ts+1) lehen ordenako gaia izendatzailean .................. 174
6.3.1.5. Ts+1 lehen ordenako gaia zenbakitzailean...................... 175
6.3.1.6. 1/(T2s2+2ξTs+1) bigarren ordenako gaia izendatzailean 175
6.3.1.7. T2s2+2ξTs+1 bigarren ordenako gaia zenbakitzailean.... 177
6.3.2. Fase minimoa ez duten sistemak................................................. 182
6.3.3. Bode-ren diagrama....................................................................... 182
6.3.3.1. k irabazpena..................................................................... 184
6.3.3.2. 1/s integrazio-gaia ........................................................... 184
X
6.3.3.3. s gai deribatiboa............................................................... 185
6.3.3.4. 1/(Ts+1) lehen ordenako atzerapen-gaia ......................... 185
6.3.3.5. (Ts+1) lehen ordenako aurreratze-gaia............................ 187
6.3.3.6. 1/(T2s2+2ξTs+1) bigarren ordenako gaia izendatzailean 187
6.3.3.7. (T2s2+2ξTs+1) bigarren ordenako gaiazenbakitzailean .. 188
6.3.3.87. e–Ts atzerapen-gaia .......................................................... 189
6.3.4 Nichols-en diagrama .................................................................... 193
6.4. EGONKORTASUNAREN AZTERKETA NYQUIST-EN DIAGRA-
MA ERABILIZ ......................................................................................... 194
6.4.1 Planoaren traslazioa eta zirkuluaren teorema .......................... 195
6.4.2 Nyquist-en egonkortasuna ........................................................... 197
6.4.3 Egonkortasun baldintzatua ......................................................... 200
6.5. EGONKORTASUN ERLATIBOA: FASEAREN ETA IRABAZPE-
NAREN TARTEAK ................................................................................. 204
6.6. PORTAERAKO ZEHAZTASUNAK ..................................................... 207
6.7. NYQUIST-EN ALDERANTZIZKO DIAGRAMA............................... 208
6.8. ESPERIMENTAZIO BIDEZ LORTUTAKO TRANSFERENTZI
FUNTZIOAK ............................................................................................ 209
6.8.1 Bode-ren diagrama erabiliz lortutako fase minimoa duten
transferentzi funtzioak................................................................. 209
6.8.2 Fase minimoa ez duten transferentzi funtzioak ........................ 212
6.9. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................... 214
6.10. ARIKETAK............................................................................................... 215
7. ERROEN KOKAERAKO METODOA .............................................. 221
7.1. SARRERA ................................................................................................. 221
7.2. POLO ETA ZEROEN KONFIGURAZIOA.......................................... 222
7.3. ERROEN KOKAERAKO METODOA ................................................. 224
7.4. ERROEN KOKAERAKO DIAGRAMA EGITEKO ERREGELAK . 226
7.5. ADIBIDEAK ............................................................................................. 235
7.6. ERANTZUN IRAGANKORRAREN KALKULUA ............................. 240
7.7. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................... 245
7.8. ARIKETAK............................................................................................... 245
XI
8. KONTROLADOREEN DISEINUA ..................................................... 251
8.1. SARRERA ................................................................................................. 251
8.1.1. Funtzionamendu-espezifikazioak ............................................... 251
8.1.2. Proba eta aldaketak erabiltzen dituzten metodoak .................. 251
8.1.3. Prozesuko dinamikaren aldaketa ............................................... 252
8.1.4. Sistemen konpentsazioa ............................................................... 252
8.1.5. Serie-erako konpentsazioa eta berrelikadurako konpentsazioa 253
8.1.6. Konpentsadoreak ......................................................................... 254
8.1.7. Diseinuko prozesua ...................................................................... 254
8.1.8. Sistema konplexuen diseinua ...................................................... 255
8.2. PROIEKTUEN HASIERAKO EZAUGARRIAK................................. 256
8.2.1. Kontrol-sistemak diseinatzeko erroen kokaera erabiltzen
duten metodoak ............................................................................ 256
8.2.1.1. Poloen gehikuntzak duen ondorioa ................................. 257
8.2.1.2. Zeroen gehikuntzak duen ondorioa ................................. 257
8.2.2. Kontrol-sistemak diseinatzeko erantzun frekuentziala erabil-
tzen duten metodoak .................................................................... 258
8.2.2.1. Maiztasunaren arloan egindako diseinuaren ezaugarri
nagusiak........................................................................... 259
8.2.2.2. Bigizta irekiko erantzun frekuentzialetik atera daitekeen
informazioa...................................................................... 259
8.2.2.3. Bigizta irekiko erantzun frekuentzialaren betebeharrrak 259
8.2.2.4. Aurreratze, atzeratze eta aurreratze/atzeratze konpentsa-
zioen oinarrizko ezaugarriak ........................................... 261
8.3. AURRERATZE-KONPENTSAZIOA .................................................... 261
8.3.1. Aurreratze-sareen ezaugarriak................................................... 262
8.3.2. Erroen kokaerako metodoan oinarritutako aurreratze-
-konpentsazioa egiteko teknikak................................................. 264
8.3.3. Erantzun frekuentzialaren metodoan oinarritutako konpen-
tsazio-teknikak.............................................................................. 271
8.4. ATZERATZE-KONPENTSAZIOA ....................................................... 276
8.4.1. Atzeratze-sareen ezaugarriak ..................................................... 276
8.4.2. Erroen kokaerako metodoan oinarritutako konpentsazio-
-teknikak ....................................................................................... 278
8.4.3. Erantzun frekuentzialaren metodoan oinarritutako konpen-
tsazio-teknikak.............................................................................. 282
8.4.4. Atzeratze-konpentsazioaren ezaugarri batzuk.......................... 285
XII
8.5. AURRERATZE/ATZERATZE-KONPENTSAZIOA .......................... 286
8.5.1. Aurreratze/atzeratze-sareen ezaugarriak .................................. 287
8.5.2. Erroen kokaerako metodoa erabiltzen duten diseinu-
-teknikak ....................................................................................... 288
8.5.3. Erantzun frekuentzialeko metodoan oinarritutako teknikak .. 294
8.6. KONTROL-SISTEMEN KONPENTSAZIOA EGITEKO TEKNIKEN
ONDORIOAK........................................................................................... 296
8.6.1. Aurreratze, atzeratze eta aurreratze/atzeratze-konpentsazioen
arteko konparaketa ...................................................................... 296
8.6.2. Nahi ez diren poloen ezereztea .................................................... 297
8.6.3. Konplexu konjugatuak diren poloen ezereztea ......................... 298
8.6.4. Perturbazioek duten eraginaren deuseztea zuzeneko kontrola
erabiliz ........................................................................................... 300
8.6.5. Sistema baten zuzeneko kontrola ............................................... 302
8.7. ONDORIOAK........................................................................................... 303
8.8. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................... 303
8.9. ARIKETAK............................................................................................... 304
9. PID KONTROLADOREAK .................................................................... 311
9.1. SARRERA ................................................................................................. 311
9.2. OINARRIZKO ALGORITMOA ............................................................ 313
9.2.1. Ekintza proportzionala ................................................................ 313
9.2.2. Ekintza integrala .......................................................................... 315
9.2.3. Ekintza deribatiboa...................................................................... 316
9.2.4. Beste aurkezpen batzuk ............................................................... 318
9.3. WINDUP INTEGRALA .......................................................................... 319
9.4. ERREFERENTZIAKO BALIOAK........................................................ 323
9.5. EZARPEN DIGITALA ............................................................................ 325
9.5.1. Laginketa ...................................................................................... 325
9.5.2. Aurreiragazketa ........................................................................... 327
9.5.3. Diskretizazioa ............................................................................... 328
9.5.3.1. Ekintza proportzionala..................................................... 328
9.5.3.2. Ekintza integrala.............................................................. 328
9.5.3.3. Ekintza deribatiboa.......................................................... 329
9.5.3.4. Era inkrementala.............................................................. 331
9.5.3.5. Kuantizazioa eta hitzen luzera......................................... 332
9.5.3.6. Konputadore-kodea ......................................................... 333
XIII
9.6. NOIZ ERABIL DAITEKE PID KONTROLA? .................................... 334
9.6.1. Noiz da nahikoa PI kontrola? ..................................................... 334
9.6.2. Noiz da nahikoa PID kontrola? .................................................. 334
9.6.3. Noiz behar da kontrol sofistikatuagoa? ..................................... 335
9.7. PID KONTROLADOREEN DISEINUA, ZIEGLER-NICHOLS-en
METODOAK ............................................................................................ 336
9.7.1. Maila sarreraren aurrean lortutako erantzunaren metodoa ... 336
9.7.2. Ziegler-Nichols-en erantzun frekuentzialaren metodoa ........... 338
9.7.3. Ziegler-Nichols-en metodoen arteko erlazioak.......................... 340
9.8. ONDORIOAK........................................................................................... 340
9.9. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................... 341
9.10. ARIKETAK............................................................................................... 341
ERANSKINA.................................................................................................. 345
KONTZEPTU NAGUSIEN AURKIBIDEA ..................................... 349
XIV
1.1. BERRELIKADURAKO KONTROLA
Ingeniaritza-sistemek, sistema ekonomiko, sozial, psikologiko edota beste edozein
sistemak, portaera egokia izango badute, kontrola behar dute. Kontrol horren kalitatea,
gradua eta egiteko bidea oso desberdinak izan daitezke. Lehenbizi, portaerak izan behar
dituen espezifikazioak finkatzen dira helburu bezala eta ondoren, sarrera berezi batzuk
ipintzen zaizkio sistemari, beronen portaerak helburu bezala ezarri diren espezifikazioak
lor ditzan. Gure kasuan, ingeniaritza-sistemen kontrola aztertuko da, hau da, lege fisikoak
erabiltzen dituzten sistemena; ondorioz, sistema fisikoak izango dira.
Sistema baten kontrola egiterakoan, aldagai bat edo gehiago erabiliko dira eta aldagai
hauek kontrolatutako irteerak izango dira. Sarrerako erreferentziak kontrolatutako
irteerek hartu behar dituzten balioak dira. Bigizta itxiko edo berrelikadurako kontrol-
-sistema batean, kontrolatu behar den irteera neurtu eta sarrerako erreferentziarekin
konparatzen da. Bien artean errorerik agertzen bada, errore hori, kontrolatutako irteerak
erreferentzia jarrai dezan erabiltzen da. Bigizta irekiko kontrol-sistema batean, ez da
irteerarik neurtzen ez eta konparaketarik egiten. Beraz, kontrol-sistema horietan sarrera
eta irteeraren arteko errore handiak sor daitezke perturbazioak edota parametroen
aldaketak direla eta. Bigizta irekiko kontrol-sistema oso sinplea eta merkea da, baina
gerta daitezkeen errore handiak direla eta, kontrol zehatza behar denean ez da erabiltzen.
Beraz, kontrol-sistema gehienetan berrelikadura sartzen da.
Ingeniaritzaren arloan berrelikadurako kontrolaren erabilerak baditu urte batzuk.
Kristo aurreko III. mendean, Alexandriako Ktebios-ek urezko ordularia egin zuen. Bertan
sartzen zen uraren kopurua balbula batez mantentzen zen. Europan erabiltzen ziren haize-
-errotak haizerantz biratzeko, Andrew Meikle holandarrak 1750. urtean berrelikadura-
-sistema bat asmatu zuen. Orduan, lurrinaren garaia iritsi zen eta 1788. urtean, James
Watt-ek lurrinezko makinen abiadura erregulatzeko sistema garatu zuen Eskozian.
ERREGULAZIO AUTOMATIKOA 1
1. SARRERA
Ingeniaritzako garapen azkar hauek froga/errore-metodoak behar zituzten aurrera
ateratzeko. Lehendabiziko kontrol-sistemak garatzeko erabiltzen zen metodoa zera zen:
asmatzea, eraikitzea, saiakuntza egitea eta aldaketak. Une horietan garapena, zientzia bai-
no gehiago artea zen. Beharbada, hurbilketa zientifikoak Maxwell-ekin hasi ziren 1868.
urtean. Orain, kontrol-sistemen teoria oso maila sofistikatura iritsi da eta diseinua nahikoa
analitiko bihurtu da. Dena den, "ingeniaritzako arteak", garrantzia du oraindik ere.
Kapitulu honetan zehar, kontrol-sistema gehienek berrelikadura erabiltzearen arrazoia
aztertuko da eta, orduan, bigizta itxiko sistemen sailkapen desberdinak emango dira.
Gero, kontrol-sistemen portaera zehazteko erabiltzen diren ezaugarriak eta diseinua
egiterakoan jarraitzen diren urratsak emango dira. Ondoren, kontrol-sistemen portaera
dinamikoa aztertzeko erabilitako eredu matematikoak aurkeztuko dira.
1.2. BERRELIKADURA ERABILTZEN DUTEN KONTROL--SISTEMEN SAILKAPENA
Kontrol-sistemetan berrelikadura erabiltzeko dagoen arrazoirik garrantzitsuena, kon-
trolatutako irteera eta nahi den balioaren (erreferentziako sarrerako balioaren) arteko
errorea zuzentzea da. Berrelikadurak, sistemaren portaerako beste espezifikazioetan ere
badu eragina: egonkortasuna, sentikortasuna, irabazpena, etab.; hauek guztiak aurrerago
aztertuko dira. 1.1 Irudian, bigizta irekiko sistema baten bloke-diagrama ikusten da.
Bertan, eragingailua kontrol-elementua da (adibidez motorea, elektrikoa nahiz hidrau-
likoa) eta beronek emango du sistema kontrolatuko duen kontrol-seinalea.
1.1 Irudia. Bigizta irekiko sistema baten bloke-diagrama.
2
Eragingailua
Perturbazioa, d(t)
Sarrera, r(t) Irteera, c(t)Kontrolatu behar densistema
1.1. Adibidea
1.2 Irudian, gela bateko tenperatura erregulatzeko erabiltzen den bigizta irekiko
kontrol-sistema ikusten da. Lortu nahi den tenperatura, hau da, Tr sarrerako erre-
ferentzia, kalibratutako dial batean ipintzen da. Honek, balbularen posizioa mugitzen du
erradiadorean zehar ur beroa joan dadin. Beraz, qi bero-fluxua gelarantz joaten da eta
qe bero-fluxua, gelatik beste inguruetara ateratzen da. qe fluxua, kanpoan dagoen Tetenperaturarekin aldatzen da eta, normalean, zeharo aldakorra da. Sartzen den eta
ateratzen den fluxuen arteko diferentziak, gelaren tenperatura igotzen du.
1.2 Irudia. Bigizta irekiko tenperaturaren kontrol-sistema.
Tr gela barnean lortu nahi den tenperatura, To orain dagoena eta Te kanpoko ten-
peratura (perturbazioa) dira.
Adibide honetan, balbularen posizioa ematen duen eragingailua eskuak dira. Balbula
hori kalibratzeko, Te eta sistemaren parametroek balio zehatzak izan behar dituzte. Balio
horiek asko aldatzen direnean, kontrolatutako To tenperatura Tr baliotik asko aldenduko
da eta, ondorioz, ez da kontrol zehatza lortuko.
1.3 Irudian bigizta itxiko edota berrelikadurako kontrol-sistema baten bloke-diagrama
ikusten da. c(t) irteera, sentsore batez neurtu eta konparadore edo errore-detektorea
erabiliz, lortu nahi den balioarekin konparatzen da, hau da, r(t) seinalearekin.
ERREGULAZIO AUTOMATIKOA 3
Ur beroa
Tr
Teqe
qi
To
10° C
20° C
30° C
Balbula
GELA
Erradiadorea
1.3 Irudia. Berrelikadurako kontrol-sistemaren bloke-diagrama.
e(t) errorea u(t) kontrol-sarrera sortzeko erabiltzen da. Kontrol-lege baten bitartez sei-
nale hori eragingailura eramaten da errorea zuzentzeko. u(t) kontrol-seinalea e(t) erro-
rearen funtzio bezala jartzen duen erlazioa kontrol-legea da. Dena den, berrelikadurako
sistema batek bigizta irekikoak baino osagai gehiago ditu eta, ondorioz, garestiagoa da.
Baina kontrolaren zehaztasunak dituen abantailak, aplikazio gehienetan behintzat,
garestiago izatearen desabantailak baztertzen ditu eta, beraz, berrelikadurako kontrol-
-legea hobea da.
1.2.1. Eskuz eta Automatikoki egindako berrelikadurako kontrol-sistemak
Bigizta itxiko kontrol-funtzio batzuk, sentsoreen erabilera, errore-detekzioa, kontrol-
-legearen erabilera edota aktuazioa gizaki batek egiten dituenean, eskuzko kontrola
lortzen da. Bigizta itxiko funtzio guztiak automatikoki eta ekipoekin egiten direnean,
kontrol-sistema automatikoa dela esango da. Lehendabiziko kontrol-sistemak eskuzkoak
ziren eta bertan, gizakia zen kontrol-bigizta ixten zuena. Gizakiak entrenamendu ona eta
esperientzia handia duenean, oso kontrol-maila egokia eman dezake eta, gainera, egoera
aldatzen denean erraz egokituko da.
Eskuz kontrolatzen diren kontrol-sistema sofistikatuen ereduztapena eta portaera ez da
askotan oso ezaguna. Oraintsu, oso aspergarriak eta errepikakorrak edo gustukoak ez
diren lanen kalitate-kontrolaren hobekuntzak, kontrol automatikoaren garapenerako behar
den laguntza ekonomikoa bultzatu dute. Robotikaren arloan egindako azken garapenek,
eskuz egiten ziren kontrol-lan ugari, kontrol automatikoaren bidez egitera eraman dute.
4
Perturbazioa, d(t)
Kontrolatu beharden sistema
Sentsorea
Irteera, c(t)Sarrera, r(t) e(t) u(t)Kontrol--legea
Errore--detektorea
Eragingailua
1.2. Adibidea
Tren-makinaren operadorea, abiadurako kontrol-sistema baten eskuzko kontrolaren
adibidea da. Kontrolaren helburua, tren-makinaren abiadura, abiadura-mugen barne
egotea da, muga horiek aldatuz joango direlarik.
Trenaren bidean bilatutako malda bat perturbazioa izango da eta ondorioz tren-
-makinaren abiadura aldatu egingo da.
1.4 Irudia. Tren-makinaren eskuzko kontrola.
Beraz, abiadura-kontrol zehatza eta ziurra lortzeko kontrol-lege zehatza behar da.
Adibidez, kurba batean balaztak erabiliz gero, trena trenbidetik atera liteke.
1.2.2. Berrelikadurako kontrol-sistema Aktibo eta Pasiboak
Irteera aldatzeko behar den potentzia sarrerako erreferentziatik ez datorrenean, berre-
likadurako kontrol-sistema aktiboa dela esaten da; bestela, sistema pasiboa izango da.
Sistema gehienak aktiboak diren arren, sistema pasiboak ere erabiltzen dira, bibrazioen
kontrola eta isolamendua egiterakoan batez ere. Ibilgailuen kasuan adibidez, esekidura-
-sistemaren helburu nagusia, masa nagusia lurreko irregulartasunetatik isolatzea da, hau
da, masa hori maila konstantean mantentzea perturbazioak sartzen badira ere.
1.3. Adibidea
1.5(a) Irudian, berrelikadurako kontrol-sistema pasiboa ikusten da. Kontrol-helburua,
pendulu alderantzikatua oreka desegonkorrean mantentzea da, θ = 0 . Malgukia, sen-
tsore eta eragingailu bezala erabiltzen da. θ desplazamendu angeluarra, malgukiaren
ERREGULAZIO AUTOMATIKOA 5
(Burmuina)Perturbazioak
Kontrol-legea Eragingailua
Sentsorea
Sentsorea
Abiadura--muga Abiadura
(Eskuak)
(Begiak)
(Begiak)
Dinamika
desplazamenduaren bitartez, oreka-posiziotik neurtzen da. Orduan, zuzentze-momentua
aplikatzen zaio θ zerorantz joan dadin.
1.5 Irudia. Kontrol-sistema pasiboa.
1.5 (b) Irudian, sistemaren bloke-diagrama ikusten da. Bilatutako θ = 0 da, hau da,
sarrera, r = 0. Malgukia nahikoa gogorra denean, bigizta itxiko sistema nahikoa egon-
korra izango da.
1.2.3. Erreguladorea eta Serbomekanismoa
Kontrolaren helburua perturbazioak agertzen direnean ere irteera bere oreka-puntuan
mantentzea denean, kontrol-sistema erreguladorea dela esango da. 1.3 Irudian agertzen
zen r(t) sarrera konstantea izango da eta set point deritzo. Puntu hori denboran zehar alda
daiteke, hau da, balio konstante batetik beste batera pasa daiteke.
Jarraipen-kontrolaren sistema batean berriz, irteera denboran zehar aldatuz doan
sarrerari jarraitzea lortu nahi da. Horrelako sistema bat, hau da, irteera bezala posizio,
abiadura edo azelerazio mekanikoa duen sistema, serbomekanismoa dela esango da. Dena
den, sailkapenaren aldetik, irteera mekanikoa edo bestelakoa izateak ez du garrantzi
handirik eta jarraipen-kontrolaren sistema guztiei serbomekanismo deitzen zaie.
1.4. Adibidea
Hegazkin baten pilotu automatikoa erreguladore bat da. Norabidea eta altitudea
konstante mantentzea du helburu, perturbazioak agertzen badira ere (haizea etab.).
6
Deformaziorikgabeko luzera
(Malgukia)
Perturbazioa
Momentua
r = 0
θ
(a) (b)
θSistema
Sentsoreaeta
Eragingailua
Erreguladore hori aktibatzeko, lortu nahi diren norabidea eta altitude egonkorra eman
behar zaizkio. Uneoro hegazkinak duen norabidea eta altitudea konpasaren eta altime-
troaren bitartez neurtzen dira eta ondoren, lortu nahi diren balioekin konparatzen dira.
Erroreen funtzio diren kontrol-lege egokiak aplikatzen dira eragingailuetan erroreak
zuzentzearren. Baina aireratzeko eta lurhartzeko maniobretan, hegazkinak denboran
zehar aldatzen den ibilbideari jarraitu behar dio abiadura aldakorraz. Orduan, pilotua
da berrelikadurako sistemaren kontrolatzailea eta eskuzko kontrol hori, serbo-
mekanismoa da.
Berrelikadurako kontrol-sistema, erreguladorea nahiz serbomekanismoa izango da.
Etxe bateko tenperatura-kontrola erreguladorea da, termostatoak ematen duen neurrian
perturbazioak agertzen badira ere, kontroladorearen helburua tenperatura konstantea
mantentzea delako. Aire/aire misiletako gidasistema serbomekanismoa da, bere helburua
etsaiaren hegazkinari jarraitzea delako eta, beharbada, hegazkin hori aldentzeko manio-
brak egiten arituko delako. Misil batzuetan, hegazkinaren bidea infragorrizko sentsoreen
bitartez emango zaio misilari sarrera bezala.
1.2.4. Sarrera eta irteera bakarreko edota sarrera eta irteera anitzeko kontrol-
-sistemak
Kontrol-sistema sinple askotan, irteera bakarra sarrera bakar batez kontrolatzen da eta
sistema horiek, sarrera eta irteera bakarrekoak izango dira, (SISO=Single-Input Single-
-Output). Irteera eta sarrera bat baino gehiago dituzten sistemak aldagai anitzekoak
izango dira (MIMO=Multiple-Input Multiple-Output). Azken hauetan, sarrera batek
bere eragina irteera bakar batean agertzen duenean, sistema hori akoplaturik gabe dagoela
esango da. Orduan, aldagai anitzeko sistema, sarrera eta irteera bakarreko n sistematan
banatzen da eta ez da beharrezkoa izango aldagai anitzeko sistemen matematika era-
biltzea. Baina kasu gehienetan, irteera bakar bat kontrolatu behar duen sarrera batek beste
irteera batzuetan ere eragina duela ikusten da. Eragin horri elkarrekintza deritzo. Elkarre-
kintza horiek direla eta, sistema ezingo da banatu eta akoplamenduak kontutan hartu
beharko dira.
1.5. Adibidea
Suposa dezagun 1.6 Irudiko sistema mekanikoa.
ERREGULAZIO AUTOMATIKOA 7
1.6 Irudia. Aldagai anitzeko sistema mekanikoa.
Ikusten denez, y1 eta y2, m1 eta m2 masen posizioak, independente diren bi
berrelikadurako kontrol-sistemekin kontrolatu behar dira. Lehen sisteman, y1 posizioa
neurtu eta erreferentziarekin konparatzen da; errorea zuzentzeko F1 indarra aplikatzen
da. Halaber, bigarren sisteman F2 indarra sortuko da.
Bestalde, F1 indarrak y1 eta y2 posizioetan eragina duela ikusten da eta gainera, F2
indarrari gauza bera gertatzen zaio. Ondorioz, aldagai anitzeko sistema honetan bi
kontrol-sistemak ezin dira independenteki aztertu elkarrekintzak ere kontutan hartu behar
direlako.
1.6. Adibidea
Ibilgailu bat daraman gidaria aldagai anitzeko eta eskuz egindako berrelikadurako
kontrol-sistema da. Kontrolatu behar den sistemak bi sarrera (azeleradorea/balazta eta
gidatzea) eta bi irteera (abiadura eta norabidea) ditu. Sarrerako erreferentziak bidearen
norabidea eta abiadura-mugak dira. Sistema honen bloke-diagrama 1.7 Irudikoa da.
1.7 Irudia. Ibilgailu/gidari kontrol-sistema.
8
m1 F1
y1
m2 F2
y2
Kontrol--legea
Eragingailua
Eragingailua
Bolantea
(Eskuak)(Adimena)(Begiak)
Bidekonorabidea
Abiadura--mugak
(Hankak)
Norabidea
Abiadura
Trafikoaren perturbazioa
Airearen perturbazioa
Balazta/Azelerad.
IbilgailuarenDinamika
Abiadura kontrolatzeko ibilgailua balaztatzen denean, norabideko kontrolaren
indarra galtzen da gurpiletan eta gurpil horiek blokeatzen direnean, norabide-kontrola
zeharo galtzen da.
1.2.5. Datu jarraiak (kontrol analogikoa) eta lagindutako datuak (kontrol digitala)
erabiltzen dituzten sistemak
Datu jarraiko sistemetan, sistema osoan zehar erabiltzen diren seinaleak denboraren
funtzio jarraiak dira. Sistema hauei kontrol analogikoko sistemak deritze. Kontrol digita-
leko sistemetan, kontrolatzaile bezala konputadore digitala erabiltzen da. Konputadore
digitalak datu digitalak erabiltzen ditu eta seinaleak une zehatz batzuetan bakarrik alda-
tzen dira; seinale hauek lagindutako seinaleak dira. Seinale jarraiak nahiz lagindutakoak
erabiltzen dituen sistema datuak lagintzen dituen sistema da. Beraz, denboraren funtzio
jarraiak diren aldagaiak kontrolatzeko konputadore digitala erabiltzen denean, horrelako
sistema lortzen da. Kontrol digitaleko sistema arrunt baten oinarrizko osagaiak 1.8
Irudian agertzen direnak dira. Sistema digital batzuetan, sarrera bezala seinale analogikoa
erabiltzen da eta errore detektorearen ondoren, A/D bihurgailu bat sartzen da. Kontrol-
-legea konputadore digitalak ematen du.
1.8 Irudia. kontrol-sistema digital baten bloke-diagrama.
Mikroprozesadore nahiz mikrokonputadoreen merketzeak, kontrol-bigiztan barne-
-konputadoreak sartzea merketzea lortu du. A/D eta D/A bihurgailuak ere merkeak eta
interfaze errazekoak dira. Beraz, mikrokonputadoreak erabiliz kontrol-lege sofistikatuak
ezartzea ere erraza da. 1.9 Irudian kontrol analogiko eta digitalaren kostua kontrol-siste-
maren konplexutasunaren arabera aurkezten dira.
ERREGULAZIO AUTOMATIKOA 9
(Konp. Digitala) (Interfazea)
Kontrol--legea
D/ABihurgailua
A/DBihurgailua Sentsorea
SistemaIrteerauu*e*Sarrera
Digitala Eragingailua
1.9 Irudia. Kostua/konplexutasuna kontrol analogiko eta digitalean.
Ikusten denez, kontrol-sistema sinpleentzako kontrol analogikoa ona da, kostuaren
aldetik behintzat.
Kontrol digitalaren abantailak, kontrol-legea aldatzeko malgutasuna, denboraren ba-
naketa kontroleko kanalen artean, zehaztasuna, erabakiak hartzeko gaitasuna eta gaitasun
logikoa dira. Gainera, kontroleko funtzioan, konputadoreak optimizazioa, datuen murriz-
pena, etab. egin ditzake. Hauek guztiak direla eta, konputadore digitala erabiltzen duten
kontrolak ugaltzen ari dira.
1.3. PORTAERAKO ESPEZIFIKAZIOAK ETA DISEINU--METODOA
1.3.1. Portaerako espezifikazioak
Kontrol-sistemaren diseinu egokia egiteko, portaerako espezifikazioak oso ongi
finkatu behar dira. Portaera-espezifikazioak ezartzea ez da lan erraza izaten eta normalean
esperientzia behar da ongi egiteko. Batetik, portaera-espezifikazioak oso estu eta zorro-
tzak badira, kontrol-sistemaren konplexutasuna eta kostua izugarriak izango dira.
Bestetik, espezifikazioak zabalak badira, kontrol-sistemaren portaera ez da egokia izango.
Kontu handiz erabaki behar diren gauzen artean, kostua, fidagarritasuna, pisua eta
neurria, erantzunaren abiadura, egonkortasuna, zehaztasuna eta operazio nahiz manteni-
mendu erraza daude. Ondoren, guztiak aztertuko dira.
10
Analogikoa
Digitala
Kostua
Konplexutasuna
1.3.1.1. Hardwarearen hautaketa
Berrelikadurako kontrol-sistemek osagai mekanikoak, elektrikoak, hidraulikoak,
pneumatikoak edo guztien konbinazioak erabiliko dituzte sentsore, eragingailu eta errore-
-detektore bezala nahiz kontrol-legeak ezartzeko. Robotikaren arloan eta manufaktura
automatikoan, potentzia handia behar ez bada, korronte zuzeneko motore elektrikoak
erabiltzen dira. Potentzia handia behar denean berriz, eragingailu hidraulikoak erabiltzen
dira, berauen potentzia/pisua erlazioaren abantailak direla eta. Hegazkinen nahiz misilen
kasuan berriz, kontrol-sistemak elektrohidraulikoak izango dira lehen aipatu diren
abantailengatik.
Leherketa eta su-arriskuen aurrean duten segurtasun erlatiboarengatik, prozesu petro-
kimikoetan sistema pneumatikoak erabiltzen dira. Aire konprimatua urrun kokatuta
dagoen depositoren batetik eramaten da. Sistema pneumatikoek oso erantzun mantsoa
dute elektriko edota hidraulikoen aldean, baina prozesu petrokimikoek oso mantso eran-
tzuten dutenez, ez da desabantaila handia.
1.3.1.2. Egonkortasun-tarte nahikoa duen portaera egonkorra
Berrelikadurako kontrol-sistemek desegonkortzeko joera izaten dute. Berrelikadurako
kontrol-sistema aktiboen puntu bat baino gehiagotan potentzi iturriak ager daitezke eta
ondorioz, desegonkortasuna agertu. Operazio-puntua desegonkorra bada, sistemaren
erantzun azkar eta suntsitzaileak kontrola ezertarako balio ez duen zerbaitetara eramango
du. Kasu batzuetan, ez-linealtasunek (adibidez asetasunek) erantzun desegonkorraren
haziera-mugak jarri eta autokitzikatutako oszilazioak sortuko ditu; azken hauei, mugako
zikloak esaten zaie. Beraz, kontrol-sistemak egoera egonkorrean lan egin dezan lortu nahi
da eta, aldi berean, parametroen aldaketen aurrean ongi erantzuteko behar den egonkor-
tasun-tartea ere finkatu behar da.
1.3.1.3. Egoera iragankorreko erantzun egokia
Erreguladore nahiz serbomekanismoetan, erantzunaren abiadura neurtu eta sarrera eta
irteeraren arteko diferentzia aztertzeko, erreferentziako sarrera eta denboran zehar lortzen
den irteera konparatzea komenigarria da. Egoera iragankorreko erantzun egokia zehaz-
teko, sarrera bezala maila unitarioa duen seinalea erabiltzen da normalean. Erantzun
horren ezaugarriak finkatzeko erabiltzen diren parametroen artean, atzerapen-denbora,
ERREGULAZIO AUTOMATIKOA 11
haziera-denbora (lehendabiziko unean duen abiadurarekin neurtuta), gehienezko gain-
diketa eta egonkortze-denbora (erantzunaren azken balioa muga batzuen barne egoteko
igaro behar duen denbora) daude.
1.3.1.4. Maiztasunaren arloko espezifikazioak
Maiztasunaren arloan espezifikazioak finkatzeko, erreferentziako sarrera bezala sei-
nale sinusoidal bat ipintzen da. Espezifikazioak definitzeko erabiltzen diren parametroak
banda-zabalera eta gehienezko gehikuntza dira. Gehienezko gehikuntza, gehienezko gain-
diketarekin eta erantzun iragankorraren egonkortze-denborarekin erlazionaturik dago.
Banda-zabalera berriz, seinalean ager daitezkeen zaratak iragazteko sistemak duen gaita-
sunari lotuta dago.
1.3.1.5. Perturbazioen arbuioa
Erreguladoreetan, perturbazioen arbuioeko berezitasun egokia egoera egonkorreko
espezifikazioei lotuta dago, hau da, perturbazioak agertzen direnean erreferentziako
sarrera eta lortzen den irteeraren arteko errorea nahikoa txikia izatea nahi da. Adibidez,
ibilgailu baten abiadura-erreguladorearen kasuan, ibilgailua maldan gora eta maldan
behera doanean sortzen den errorea, muga onargarri batzuen barne egotea lortu nahi da.
Serbomekanismoetan, perturbazioen arbuio egokia, erreferentziako sarrera denboran
zehar aldatzen denean, errorea txikia mantentzeko sistemak duen gaitasunari lotuta dago.
Adibidez, kohete bat gidatzerakoan, kohetea nahi den ibilbidetik ahalik eta hurbilen egon
dadin, haizearen perturbazioaren eragina minimizatzen da.
1.3.1.6. Parametroen aldaketekiko sentikortasuna
Kontrol-sistemaren portaera beronen parametroen funtzio da eta parametro horiek
aldatuz joaten dira osagaien zahartze nahiz agortzea eta ingurugiroaren aldaketak direla
eta. Beraz, diseinua egiterakoan parametroen aldaketen eragina minimizatzeko, ondo
hautatu behar da. Sistema batek perturbazioen arbuio egokia eta parametroen aldaketen
aurrean sentikortasun txikia duenean, sistema hori sendoa dela esango da.
12
1.3.1.7. Portaeraren indizea
Kontrol-sistema bat diseinatzerakoan kontrol optimoaren teknika erabiltzen bada,
portaeraren indizea deritzon zerbait optimizatu behar da. Indize horrek, optimizatu nahi
den kontrol-sistemaren aldagai garrantzitsuenak hartzen ditu kontutan. Azken batean
diseinuaren helburua, denbora, fuela, errorea, kontrol-emaitza edo hauen konbinazioren
bat minimizatzea izango da.
1.3.2. Diseinu-metodoa
Eraiketa, proba eta aldaketak egiterakoan proba/errorearen diseinu-metodoa erabil-
tzeak desabantaila handiak ditu eta hobe izaten da diseinu-metodo analitikoa erabiltzea.
Aurrerago aztertu eta ikasiko diren teknikak erabili baino lehen, ona izango litzateke
kontrol-sistemak diseinatzeko erabiltzen den metodo analitikoa aztertzea. Zaila da
diseinu-teknika bakar bat azaltzea. Praktikan, betebehar batzuek elkarren kontrakoak
izaten dira eta beraz, konpromezu batzuetara iritsi behar da. Adibidez, zehaztasun handia
lortu nahi denean, oso kostu handiak aterako dira. Dena den, ondoren aurkeztuko den
metodoa nahikoa fidagarria da.
• Portaerako espezifikazioak. Lehenbizi portaeraren helburuak finkatzen dira eta
ondorioz, lortu nahi diren espezifikazioak ezartzen dira. Erabilienak, 1.3.1 atalean
aipatu dira.
• Diseinu kontzeptuala. Kontrol-sistemaren sentsoreak, eragingailuak eta kontrol-legea
ezartzeko behar den hardware-a, osagai elektriko, elektroniko, pneumatiko, hidrauliko
edo berauen konbinazio bat izan daiteke, aipatu diren baldintzak kontutan hartuz.
Zehaztasuna, erantzuna eta osagaien neurriak oso kontu handiz hautatu behar dira.
Ondoren, diseinu kontzeptualaren diagrama lortuko litzateke.
• Ereduztapen matematikoa. Diseinu kontzeptualaren diagrama osoa aurkezten duen
ekuazio-talde baten bitartez, kontrol-sistemaren eredu matematikoa lortzen da.
• Ereduaren balioztapena eta parametroen identifikazioa. Normalean, eredu
matematikoa lortzerakoan sinplifikazio eta suposizio ugari egiten dira. Beraz, lortu
nahi den eredua baliagarria den frogatu eta beronen parametroak identifikatu behar
dira.
ERREGULAZIO AUTOMATIKOA 13
• Eredu matematikoaren analisia. Kontrol-sistemaren portaera beronen eredu
matematikoaren bitartez aztertzen da. Egonkortasun-tarte egokia, erantzun-abiadura
eta perturbazioen arbuioa, metodo hauek aztertzen dituzten zehaztasunen artean daude.
• Eraiketa eta probak. Azkeneko urratsa, kontrol-sistema osoa edo prototipoa eraiki eta
probatzea da. Hau, sistemaren benetako portaera eredu matematikoak aurresandakoa
bezalakoa dela frogatzeko egiten da.
1.4. EREDU MATEMATIKOAK
Lehen aipatu den diseinu-metodo analitikoak diseinatu behar den kontrol-sistemaren
eredu matematikoaren beharra dakar. Ereduztapena, kontrol-sistemaren azterketaren lan
garrantzitsuenetakoa da. Ikertu behar den sistemaren ezaugarri garrantzitsuenak barne
izan ditzan, eredu matematikoak nahikoa zehatza izan behar du. Bestalde, eredu matema-
tikoa konplexuegia bihur ez dadin, garrantzi gabeko portaerak ez ditu kontutan hartu
behar. Serbomekanismoetan, erreferentziako sarrera eta perturbazioak denborarekin
aldatuz joaten dira eta gainera, sistemaren aldagaiak denboraren funtzio dira. Erregula-
dorean ere, sistemaren aldagaiak denboraren funtzio dira, perturbazioak agertzen direnean
erreferentzia konstantea bada ere. Beraz, denbora aldagai independentea da eta supo-
satzen diren ereduak, eredu dinamikoak dira. Ondoren, kontrol-sistemen deskribapena
egiteko erabiltzen diren eredu dinamikoak aurkeztuko dira.
1.4.1. Parametro banatuak eta parametro elkartuak dituzten ereduak
Kontrol-sistemak deskribatzeko erabiltzen diren ereduak makroskopikoak dira eta
mikroskopikoetan ez bezala, materiaren izaera molekularra ez da kontutan hartzen.
Parametro banatuak dituzten ereduek "continuum hipothesis" erabiltzen dute eta
ondorioz, materia jarraiki betea dagoen espazioa dela pentsatuz, propietate guztiak efektu
molekularrak adierazteko erabiltzen direla suposatzen dute. Beraz, aldagai guztiak espa-
zioan zehar banatuta daude eta koordenatu espazialekin eta denborarekin aldatzen dira.
Guzti honen ondorio bezala lortzen diren eredu dinamikoak, parametro banatuak dituzten
ereduak dira. Hauek, ekuazio diferentzial partzialez osatuta daude eta denbora eta koor-
dinatu espazialak, aldagai independentetzat hartzen dira. Fluidoaren fluxuaren Navier-
-Stokes ekuazioak, Fourier-en bero-kondukzioaren ekuazio iragankorra eta solido mal-
guen elastizitate dinamikoaren Navier-en ekuazioak, horietako ereduak dira.
14
Parametro elkartuak dituzten ereduetan, materia guztia espazioaren puntu zehatz
batzuetan elkartuta dagoela edota espazioa gelaxka batzuetan banatu eta materia bertan
elkartuta dagoela suposatzen da. Lortzen diren eredu dinamikoak, ekuazio diferentzial
arruntez osatuta egongo dira, aldagai independentea bezala denbora besterik agertzen ez
delarik. Adibidez, solidoa gorputz zurruna dela suposatzeak, beronen masa guztia masa-
-zentruan kokatzea ahalbidetzen du eta parametro elkartuak dituzten ereduak sortzen ditu.
Parametroak elkartuta daudela suposatzeak, eredu matematiko errazagoak ematen ditu.
Solido eta fluido gehienak, parametro banatuak dituzten sistemak dira egitez eta ondorioz,
berauen elkartutako ereduztapena kontu handiz egin behar da.
1.4.2. Eredu linealak eta ez-linealak
Edozein transformazio, operazio eta funtzio lineala izango da, hurrengo baldintzak
betetzen baditu:
• Baldintza batukorra, hau da, f funtzioaren dominioan dauden edozein x1 eta x2-rentzat,
• Baldintza homogenoa, f funtzioaren dominioan dagoen edozein x-rentzat eta edozein αeskalarerentzat,
Bi baldintza hauek, sistema linealak aztertzerakoan erabiltzen den gainezarpen-prin-
tzipioaren barne daude. Baldintza hauek betetzen ez dituen edozein sistema, ez da lineala
izango. Adibidez, d/dt diferentziazio-operazioa eta integrazioa linealak dira bi
baldintzak betetzen dituztelako. x(t) funtzio baten Laplace-ren transformazioa hurrengoa
da:
lineala da bi baldintzak betetzen dituelako. Baino, f (x) = x2 funtzioa ez da lineala zeren,
(x1 + x2 )2 ≠ x12 + x2
2 eta (αx)2 ≠ α (x)2
L x(t){ } = x(t)e−stdt0
∞
∫
(.)dt∫
f (αx) = αf (x)
f (x1 + x2 ) = f (x1) + f (x2 )
ERREGULAZIO AUTOMATIKOA 15
Kontrol-sistemaren ereduko ekuazio diferentzialak linealak edo ez-linealak izango
dira. Ez-linealtasun horiek, kontrolatu behar den sistemak edota kontrol-osagaiek
(sentsoreak, eragingailuak eta balbulak) sar ditzakete. Beraz, kontrol-osagai linealak
nahiago izango dira ez-linealak direnak baino. Dena den, ez-linealtasun horiek, batzuetan
nahita sartuko dira (dena/deus ez kontrolean bezala). Normalean, kontrol-sistementzat
erabiliko diren ereduak linealak eta parametro elkartuak dituztenak izango dira. Operazio-
-puntutik urrun dauden arloetan osagai batzuk ez-linealak bezala portatuko direla eta
ondorioz, linealizazioak oreka-puntutik desbideratze txikiak egongo direla supotzen duela
ere kontutan hartu beharko da.
1.4.3. Denboran zehar parametro aldakorrak eta finkoak dituzten ereduak
Ereduaren ekuazio-diferentzialen parametroak denborarekin aldatzen badira, eredua
denborarekin aldakorra dela esango da. Parametro horiek konstanteak badira, ereduak
finkoak direla esango da. Adibidez, kohete baten gidaritza eta kontrola egiterakoan,
beronen masa erregaia agortu ahala denborarekin aldatuz joango dela, eta altitudearekin
airearen dentsitatea aldatzen delako hezetasun aerodinamikoa ere aldatu egingo dela kon-
tsideratu behar da. Kontrol-sistemen konplexutasuna zeharo handitzen da denborarekin
aldatzen diren parametroak agertzen direnean, ereduak linealak badira ere.
1.4.4. Eredu estokastikoak eta deterministikoak
Kasu batzuetan, sistemaren parametroak edota perturbazioak denboraren funtzio
aldakorrak dira eta probabilitate-funtzioen bitartez deskribatzen dira. Gainera, sentsoreen
neurriak ere ustekabeko zaratekin nahasten dira. Kasu horietan, ereduaren ekuazio
diferentzialak estokastikoak direla esango da.
Sarrera guztiak denboraren funtzio deterministikoak direnean eta parametroak ere
konstanteak edo deterministikoak direnean, ereduaren ekuazio diferentzialak deter-
ministikoak izango dira.
1.4.5. Eredu jarraiak eta diskretoak
Datu jarraiak erabiltzen dituen sistemaren seinaleak denborarekin era jarraian aldatzen
dira. Eredu dinamikoak, aldagai independentea bezala denbora duten ekuazio diferen-
tzialez osatuta daudenean, eredu horiek jarraiak direla esango da. Lagindutako datuak
16
erabiltzen dituzten sistemek edo sistema digitalek, denboraren une zehatz batzuetan
besterik ez dute seinalerik neurtzen. Eredu dinamikoek, denboraren ekuazio diferen-
tzialekin deskribatzen dira eta eredu diskretoak dira. Beraz, eredu hauek, konputadore
digital baten bidez egindako kontrolean erabiltzen dira.
1.5. LABURPENA
Kapitulu honen zeregina, terminologia erabili eta kontrol-sistemen nahiz eredu
matematikoen sailkapena egitea izan da. Aurrerantzean, SISO sistemekin bakarrik egingo
da lan eta azterketek erreguladore nahiz serbomekanismoentzat balioko dute.
Eredu matematikoentzat egindako sailkapena behar-beharrezkoa da gero egingo den
kontrol-sistemen azterketa ongi ulertzeko. Ondoren ikasiko diren teknika bereziak hobeto
aztertzeko, diseinu-metodoaren laburpena ere egin da.
1.6. BIBLIOGRAFIA
• D’SOUZA, A.F. (1988). "Design of Control Systems". Englewood Cliffs, NJ:
Prentice-Hall
• HALE, F.J. (1973). "Introduction to Control System Analysis and Design". Englewood
Cliffs, NJ: Prentice-Hall
• KUO, B.C. (1982). "Automatic Control Systems". 4th ed. Englewood Cliffs, NJ:
Prentice-Hall
• NEWTON, G.C., GOULD, L.A. and KAISER, J.F. (1957). "Analytical Design of
Linear Feedback Controls". New York: John Wiley & Sons.
• PALM, W.J. (1983). "Modelling, Analysis and Control of Dynamic Systems". New
York: John Wiley & Sons.
ERREGULAZIO AUTOMATIKOA 17
