ESCANEO ULTRASÓNICO PARA LA DETECCIÓN DE DEFECTOS …

ESCANEO ULTRASÓNICO PARA LA DETECCIÓN DE DEFECTOS OCULTOSIMPLEMENTANDO TRAYECTORIAS CAÓTICAS

Tesis que presenta:

ING. KARLA IVONNE FERNÁNDEZ RAMÍREZ

Para obtener el grado de:

MAESTRO EN CIENCIAS

en

ROBÓTICA Y MANUFACTURA AVANZADA

Directores de tesis:

Dr. Arturo BaltazarDr. Chidentree Treesatayapun

Ramos Arizpe, Coahuila Abril, 2013

Resumen

La Teoría de Búsqueda tiene como objetivo encontrar rutas de búsqueda más óptimas encircunstancias generales. La búsqueda exhaustiva y aleatoria generalmente son utilizadas pa-ra explicar los principios utilizados en la Teoría de Búsqueda, pero siendo solo la exhaustivala utilizada en la práctica. La metodología típica de escaneado ultrasónico utilizado en laspruebas de evaluación no destructiva usa trayectorias sistemáticas, una de las formas en lasque se puede realizar la búsqueda exhaustiva. Este tipo de búsqueda en muchos casos es inefi-ciente con respecto al tiempo, en el área de cobertura, al igual que en energía y requerimientocomputacional.

En la presente tesis se propone remplazar las trayectorias sistemáticas por trayectoriascaóticas para realizar un escaneo, incorporando la técnica pulso-eco para la detección defallas. Con el objetivo de disminuir el tiempo de búsqueda sin afectar la probabilidad de de-tección. Para realizar el escaneado se utiliza un robot de coordenadas cartesianas en el planoX-Y. Este prototipo utiliza sensores ultrasónicos, capaces de detectar pequeños defectos ocul-tos en los materiales de prueba.

El caos ocurre en varios sistemas no lineales, donde su evolución en el tiempo es im-predecible. Para clasificar el comportamiento de un sistema como caótico, debe cumplir conciertas propiedades: debe ser sensible a las condiciones iniciales, el error en la predicción delsistema caótico crece exponencialmente con el tiempo, y presentar transitividad topológica.En la tesis, la trayectorias caóticas son obtenidas mediante la solución de estado estacionariode Euler para fluidos perfectos no comprensibles. Para garantizar que las trayectorias caóticasgeneradas cubrirán el área de escaneo se utiliza la técnica de mirror mapping para delimitarel área de trabajo.

Se realizaron comparaciones entre las trayectorias caóticas, sistemáticas y aleatorias. Lametodología de análisis que fue desarrollada en este trabajo, pueden proveer un óptimo esca-neo para la detección de fallas ocultas en los materiales.

En esta tesis se logró desarrollar un sistema autónomo, logrando que la trayectoria caó-tica no sobrepasara el área deseada y donde no fue necesario un conocimiento previo del área.

I

Abstract

The main objective of search theory is to find the optimum search trajectories. The fun-damentals of the search theory are in general explained by the random and exhaustive search;but in practice only exhaustive search is implemented. Ultrasonic scan methodology fornondestructive evaluation, based on systematic trajectories, is an example of the exhausti-ve search implementation. However, these types of systematic scans are time consuming andcomputationally inefficient.

In this, thesis the use of chaotic instead of systematic trajectories, to improve the ultra-sonic scan, is proposed. The use of chaotic trajectories will optimize the search time withoutaffecting the probability of defect detection. To achieve defect detection in the inner structureof the studied sample, immersion ultrasonic tests using the pulse-echo technique were per-formed implementing an X-Y Cartesian-robot developed in our lab.

Chaos occurs in many nonlinear systems where the evolution of the system in time is un-predictable. In a chaotic nonlinear system the associated prediction error grows exponentiallywith time and exhibits sensitivity to initial conditions. Here, chaotic trajectories were obtai-ned by the steady state Euler solution for non-compressible perfect fluids. To ensure that thegenerated chaotic trajectories cover the scanning area, the technique of textit mirror mappingwas implemented.

A comparison between chaotic, systematic and random trajectories was obtained. Thescanning methodology developed in this work could provide an improved method for defectdetection.

In this thesis an autonomous system which scans a specified area without prior knowledgeusing chaotic trajectories was developed.

II

Dedicado a mis padres, que son mi fuente de inspiracióny mi mayor soporte y a mis niños por estar siempre a mi lado...

III

Agradecimientos

Quisiera agradecer a mis asesores Dr. Arturo Baltazar y Dr. Chidentree Treesatayapunpor sus asesorías, paciencia y apoyo para lograr el desarrollo de ésta tesis.

Agradezco a mis revisores de tesis Dra. Abril Torres y Dr. Keny Ordaz por sus comenta-rios y correcciones en ésta tesis.

También quisiera agradecer al plantel que forma el área de Robótica y Manufactura Avan-zada por su ayuda y apoyo durante mi estancia.

Quisiera agradecer a mi familia que gracias a su apoyo, comprensión y cariño incondi-cional he salido a delante, en especial a mis padres Luz Ramírez y Juan Manuel Fernándezque son las personas más importantes en mi vida.

Agradezco a mis amigos y compañeros en especial a Antonio Balvatín, Sergio Rosales,Uriel Sánchez, Flabio Mirelez, Felipe Romo, Isaac Castanedo, César Navarro y Josafat Delfínque sin su amistad y apoyo la maestría no hubiera sido la misma. A mis amigas y hermanasDiana Villalobos y Aurora Domínguez que siempre me han brindado su apoyo incondicional.A Carlos Izaguirre por apoyarme en los momentos más difíciles.

Finalmente, agradezco a CONACYT por el apoyo económico que brindó para mis estu-dios a través de la beca No. 243167.

IV

Publicaciones

Las siguientes publicaciones fueron realizadas durante el desarrollo de la tesis:

I. Fernández-Ramírez, A. Baltazar & C. Treesatayapun, Escaneo ultrasónico para ladetección de fallas utilizando trayectorias caóticas, 1er Congreso Internacional de In-geniería.

Karla Fernández, Arturo Baltazar & Chidentree Treesatayapun, Search trajectories foran ultrasonic scanner based on chaotic maps, sometido para presentación al AmericanSociety for Non-Destructive Evaluation (ASNT) Annual Conferences 2013.

V

Índice general

1. Introducción 11.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Contribuciones de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5. Preguntas de investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.7. Organización de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Ultrasonido 82.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2. Propagación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1. Ondas longitudinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2. Ondas transversales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3. Características de las ondas ultrasónicas en el medio . . . . . . . . . . . . . 112.3.1. Velocidad de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2. Longitud de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.3. Ángulo de incidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.4. Atenuación de la señal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4. Técnica del pulso-eco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5. Caracterización del sensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5.1. Área iluminada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6. Cálculo del tiempo de arribo del eco de la señal . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7. Conclusiones del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3. Caos 223.1. Mapa logístico y atractor extraño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2. Principios básicos del caos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3. Generación de la trayectoria caótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4. Técnica mirror mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4.1. Mirror mapping y “malla” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5. Exponente de Lyapunov y Método para el cálculo . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.5.1. Separación de órbitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.6. Resultados numéricos del exponente de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.6.1. Sistema de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

VI

3.6.2. Sistema de Arnold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.6.3. Sistema de Lorenz acoplado a un robot móvil . . . . . . . . . . . . . 443.6.4. Sistema de Arnold acoplado a un robot móvil . . . . . . . . . . . . . 45

3.7. Conclusiones del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4. Teoría de Búsqueda 484.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2. Curva de alcance lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3. Probabilidad de detección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3.1. Desarrollo general del modelo basado en la tasa de detección . . . . . 514.3.2. Búsqueda exhaustiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3.3. Búsqueda aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3.4. Ley del cubo inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3.5. Comparación entre la búsqueda exhaustiva y aleatoria . . . . . . . . 54

4.4. Porcentaje de área cubierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.5. Conclusiones del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5. Sistema automático de escaneo 565.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.2. Descripción del sistema desarrollado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2.1. Sistema mecánico para el movimiento del sensor ultrasónico . . . . . 585.2.2. Sensor ultrasónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.2.3. Controlador de los motores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2.4. Generación de señales ultrasónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2.5. Sistema de comunicación de datos con la PC . . . . . . . . . . . . . 60

5.3. Interfaz del usuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.3.1. Adquisición de señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.3.2. Generación de trayectorias y control del escáner . . . . . . . . . . . 615.3.3. Visualización de la trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64


6. Resultados experimentales 666.1. Metodología del desarrollo experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.2. Cálculo del la curva de rango lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.3. Implementación de la trayectoria caótica en el robot cartesiano X-Y . . . . . 70

6.3.1. Escaneado sin conocer los límites del área deseada . . . . . . . . . . 706.4. Comparación de movimiento caótico, aleatorio y sistemático . . . . . . . . . 78

6.4.1. Generación de las trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.4.2. Tiempo de búsqueda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.4.3. Porcentaje de área cubierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.4.4. Detección del defecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83


VII

7. Conclusiones y Trabajo futuro 877.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.2. Contribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.3. Trabajo futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Appendices 89

A. Programas de MATLAB 90A.1. Programa generación trayectoria caótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90A.2. Programa ecuación de Arnold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92A.3. Programa generación trayectoria sistemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92A.4. Programa generación trayectoria aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94A.5. Programa delimitación del área, utilizando la técnica mirror mapping . . . . 95A.6. Programa delimitación del área, utilizando la técnica mirror mapping y “malla” 97A.7. Programa delimitación mirror mapping y señal del primer rebote . . . . . . . 99A.8. Programa porcentaje de área cubierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100A.9. Programa para el cálculo de la probabilidad de detección . . . . . . . . . . . 101A.10.Programa para el cálculo del máximo exponente de Lyapunov . . . . . . . . 102A.11.Programa para el cálculo de n exponente de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . 104

B. Programas de LabVIEW 111B.1. Estructura del panel del diagrama de bloques de LabVIEW 8.6 para la inter-

faz de control de señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111B.2. Estructura del panel del diagrama de bloques de LabVIEW 8.6 para la inter-

faz de generación de las trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112B.3. Estructura del panel del diagrama de bloques de LabVIEW 8.6 para la inter-

faz de escaneo automático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Referencias 114

VIII

Índice de figuras

1.1. Áreas necesarias para la realización de la tesis. . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1. a) Reflexión y transmisión en el límite con incidencia normal; b) reflexión yrefracción en el límite con un ángulo de incidencia. . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Ondas longitudinales [32], donde λ es la longitud de onda. . . . . . . . . . . 102.3. Ondas transversales [32]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4. Onda ultrasónica al chocar de un medio líquido a un medio sólido. . . . . . . 122.5. Coeficiente de reflexión de amplitud y fase de variación con el ángulo de

incidencia de la interfaz líquido-sólido [35]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.6. Dispersión del haz ultrasónico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.7. a) Gráfica de la atenuación de las señales, distancia contra la amplitud ; b)

esquema utilizado para la demostración de la atenuación y señales adquiridas. 152.8. Principio de la técnica pulso-eco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.9. Haz ultrasónico del transductor [32]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.10. Representación del ángulo de apertura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.11. Esquema para la obtención del valor de x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.12. a) Esquema del rebote de las señales; b) señal obtenida del osciloscopio. . . . 20

3.1. Comportamiento del mapa logístico. a) Comportamiento del mapa logísticocuando tiende a un punto fijo; b) comportamiento del mapa logístico cuan-do el comportamiento es periódico; c) comportamiento del mapa logísticocuando es caótico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2. Trayectoria caótica generada con t0=0, tf=50. Con parámetros A=1, B=0.5,C=0.5 y v=2. Los valores iniciales x1=4, x2 =3.5, x3=0, x=0 y y=0. a) Tra-yectoria en el plano 3D; b) trayectoria en el plano x-y. . . . . . . . . . . . . . 26

3.3. Principio del reflejo de la trayectoria generada (mirror mapping). . . . . . . . 273.4. Reflejo de un vector por medio de una matriz de rotación. . . . . . . . . . . . 273.5. Sentido del giro para la aplicación del mirror mapping. . . . . . . . . . . . . 293.6. Ejemplo de la técnica del mirror mapping. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.7. Representación de las áreas. a) Área que se desea escanear; b) representación

del área de forma binaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.8. Ejemplo de transitividad topológica, con valores de x1=4, x2=3.5, x3=0, x=10

y y=7.5 y parámetros A=1, B=0.5, C=0.5 y v=2. Tiempo de 0 a 250. a) Áreaen forma de H; b) área en forma de I; c) área en forma L; d) área en forma de T. 31

IX

3.9. Ejemplo de transitividad topológica, con valores de x1=4, x2=3.5 y x3=0 yparámetros A=1, B=0.5, C=0.5 y v=2. Tiempo de 0 a 250. a) Área en formade H, con x=20 y y=5; b) área en forma de I con x=14 y y=22; c) área enforma L con x=7 y y=15; d) área en forma de T con x=10 y y=1. . . . . . . . 32

3.10. Trayectoria generada con valores iniciales x1=4, x2=3.5, x3=0, x=7 y y=15 yparámetros de A=1, B=0.5, C=0.5 y v=2. Tiempo de 0 a 800. . . . . . . . . . 33

3.11. Trayectoria generada con los y parámetros de A=1, B=0.5, C=0 y v=2 yvalores iniciales x1=4, x2=3.5, x3=0, x=1 y y=7.5. a) Tiempo de 0 a 500; b)tiempo de 0 a 700. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.12. Trayectoria caótica generada con t0=0, tf=50 (sin límites), con parámetrosA=1, B=0.5 y C=0.5 y valores iniciales x1=4,x2=3.5. Con variaciones pe-queñas al valor de x3, se muestra la sensibilidad a las condiciones inicialesdel sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.13. Ilustración de la divergencia de las órbitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.14. Exponente de Lyapunov del mapa logístico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.15. Ejemplo visual del método de separación de órbitas. . . . . . . . . . . . . . . 373.16. Dinámica del máximo exponente de Lyapunov. Los valores de los parámetros

σ=10, ρ=28 y β = 83, y valores iniciales de x=4, y=3.5 y z=0. . . . . . . . . . 38

3.17. Dinámica del máximo exponente de Lyapunov. Los valores de los parámetrosσ=10, ρ=15 y β = 8

3, y valores iniciales de x=4, y=3.5 y z=0. . . . . . . . . . 38

3.18. Dinámica de los exponentes de Lyapunov. Los valores de los parámetrosσ=10, ρ=28 y β = 8


3.19. Dinámica de los exponentes de Lyapunov. Los valores de los parámetrosσ=10, ρ=15 y β = 8


3.20. Dinámica del máximo exponente de Lyapunov. Los valores de los parámetrosA=1,B=0.5 y C=0.5, y valores iniciales de x1=4, x2=3.5 y x3=0. a) tf = 100;b) tf=1000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.21. Dinámica del máximo exponente de Lyapunov con valores iniciales de x1=4,x2=3.5 y x3=0. a) Parámetros deA=1,B=0.5 yC=0; b) parámetros deA=0.27,B=0.135 y C=0.135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.22. Valores de los parámetros A=1, B=0.5 y C=0.5, y valores iniciales de x1=4,x2=3.5 y x3=0. a) Dinámica de los exponentes de Lyapunov; b) gráfica de lasvariables x, y y z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.23. Valores de los parámetros A=1, B=0.5 y C=0, y valores iniciales de x1=4,x2=3.5 y x3=0. a) Dinámica de los exponentes de Lyapunov; b) gráfica de lasvariables x, y y z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.24. Valores de los parámetros A=0.27, B=0.135 y C=.135, y valores iniciales dex1=4, x2=3.5 y x3=0. a) Dinámica de los exponentes de Lyapunov; b) gráficade las variables x, y y z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.25. Valores de los parámetros σ=10, ρ=28 y β = 83, y valores iniciales de x=4,

y=3.5, z=0, X=0 y Y =0. a) Dinámica de los exponente de Lyapunov; b)trayectoria caótica en el plano X-Y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.26. Valores de los parámetros σ=10, ρ=15 y β = 83, y valores iniciales de x=4,

y=3.5, z=0, X=0 y Y =0. a) Dinámica de los exponente de Lyapunov; b)trayectoria caótica en el plano X-Y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

X

3.27. Valores iniciales son x1=4, x2=3.5, x3=0, x=0 y y=0. a) A=1, B=0.5, C=0.5y v=2; b) trayectoria caótica en el plano X-Y; c) A=1, B=0.5, C=0 y v=2;d) trayectoria caótica en el plano X-Y; e) A=0.27, B=.135, C=.135 y v=2; f)trayectoria caótica en el plano X-Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.1. Ilustración del rango lateral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2. Ejemplos de las curvas de alcance lateral [9]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3. Probabilidad de detección y tamaño de la falla. . . . . . . . . . . . . . . . . 504.4. Representación de una búsqueda exhaustiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.5. Definición del ángulo sólido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.6. Comparación de los métodos de búsqueda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.1. Esquema del sistema automático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.2. Sensor ultrasónico de inmersión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.3. Controlador VXM de los motores a pasos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.4. Pulsador/Receptor Olympus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.5. Parte de la adquisición de datos de la interfaz del usuario. . . . . . . . . . . . 605.6. Primer panel, se guarda la posición actual como inicial. . . . . . . . . . . . . 615.7. Panel del movimiento lineal del escáner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.8. Panel de generación de las trayectorias caóticas con límites establecidos. . . . 625.9. Panel de generación de las trayectorias aleatorias con límites establecidos. . . 635.10. Panel de generación de las trayectorias caóticas. . . . . . . . . . . . . . . . . 635.11. Panel de generación de las trayectorias sistemáticas con límites establecidos. . 645.12. Panel de visualización las trayectorias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.1. Colocación de la placa del tanque y nivelación con respecto al plano del escaner. 666.2. Señales cuando el sensor se encuentra (A) dentro y (B) fuera de la placa. . . . 676.3. Zoom de la señal del defecto. a) Señal cuando el sensor se encuentra arriba

de la señal del defecto; b) señal cuando el sensor está alejado del defecto. . . 686.4. Demostración de la obtención de la curva del rango lateral. . . . . . . . . . . 696.5. Resultados obtenidos de la curva de rango lateral. . . . . . . . . . . . . . . . 696.6. Ejemplo visual de la metodología a seguir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.7. Trayectoria caóticas. a) Trayectoria sin límites; b) trayectoria proporcionando

los límites; c) trayectoria sin límites conocidos. . . . . . . . . . . . . . . . . 726.8. Cálculo del porcentaje de área cubierta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.9. Generación de trayectorias modificando la posicion inicial del escaner, sin

modificar la trayectoria original (Figura 6.7(a)). a) Trayectoria 1a con untiempo de 10:54 s; b) trayectoria 1b con un tiempo de 10:50 s; c) trayectoria1c con un tiempo de 11:13 s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.10. Cálculo del porcentaje de área cubierta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.11. Diferentes arreglos de áreas. a) Área 1; b) área 2; c) área 3. . . . . . . . . . . 766.12. Escaneo de áreas irregulares utilizando la técnica del mirror mapping con la

señal del primer rebote. a) Área 1; b) área 2; c) área 3. . . . . . . . . . . . . . 776.13. Esquema de la trayectoria aleatoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.14. Tratectorias aleatorias. a) Trayectoria 1; b) trayectoria 2; c) trayectoria 3. . . . 79

XI

6.15. Tratectorias caóticas. a) Trayectoria 1 original; b) trayectoria 1 aplicando elmirror mapping; c) trayectoria 2 original; d) trayectoria 2 aplicando el mirrormapping. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.16. Trayectoria sistemática. a) Sin superposición (distancia entre punto y puntode 1.524 cm); b) 25 % de superposición (distancia entre punto y punto de0.9673 cm); c) 50 % superposición (distancia entre punto y punto de 0.6157cm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.17. Porcentaje de área cubierta. a) Trayectorias caóticas; b) trayectorias aleato-rias; c) trayectoria sistemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.18. Señales obtenidas. a) Señal dentro del área escaneada; b) señal arriba deldefecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

XII

Índice de tablas

1.1. Investigaciones de sistemas de escaneo automático por ultrasonido. . . . . . . 31.2. Aplicaciones del caos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.1. Valores de parámetros utilizados para el cálculo del exponente de Lyapunov.Valores utilizados en [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.1. Características principales de los motores del escaner. . . . . . . . . . . . . . 58

6.1. Valores utilizados para generar la trayectoria caótica. . . . . . . . . . . . . . 716.2. Tiempo necesario para recorrer la trayectoria generada. . . . . . . . . . . . . 736.3. Tiempo necesario para recorrer la trayectoria generada. . . . . . . . . . . . . 756.4. Valores utilizados para generar la trayectoria caotica. . . . . . . . . . . . . . 796.5. Resultados del tiempo de búsqueda de las trayectorias. . . . . . . . . . . . . 826.6. Trayectorias que lograron identificar el defecto. . . . . . . . . . . . . . . . . 85

XIII

Capítulo 1

Introducción

Cuando se realiza la búsqueda de objetos, personas, etc., el tiempo es un factor importan-te. Por ejemplo, cuando se desea encontrar una persona extraviada, si el tiempo de búsquedase extiende demasiado, la posibilidad de localizarla será menor. Para disminuir el tiempo,desde la Segunda Guerra Mundial se ha buscado la manera de optimizar la forma de realizaruna búsqueda [1].

Durante la Segunda Guerra Mundial se desarrollan metodologías para la operacion debúsqueda, donde su objetivo era encontrar el camino más eficiente y efectivo para conduciroperaciones militares. Hoy en día a estas operaciones se les conoce como Teoría de Bús-queda, cuyas aplicaciones van más allá de las operaciones militares, y se usan en una granvariedad de problemas, incluyendo operaciones de rescate, en la búsqueda por medio de radaren los satélites, etc., [1].

La búsqueda exhaustiva y aleatoria son las más utilizadas en la Teoría de Búsqueda; aun-que utilizar ésta última no es la meta de los investigadores debido a que la exploración serealiza de manera desorganizada; sin embargo, es una de las más usadas debido a que elefecto aleatorio tiene comportamientos similares a los que se presentan en las búsquedas noartificiales. Para búsquedas aleatorias, hay ocasiones que se busca en un mismo espacio másde una vez. Esto se le denomina superposición (overlap). Cuando se realiza una búsquedaexhaustiva se podría considerar que no existe superposición [2].

Otro punto a considerar en el uso de la búsqueda exhaustiva es el área. Si la propiedadgeométrica del área es irregular se tendrían espacios sin cubrir, búsqueda fuera del área desea-da y partes donde se buscaría más de una vez. La ventaja de la exhaustiva es que conociendoel área, velocidad de búsqueda y el radio de cobertura se puede determinar el tiempo totalde búsqueda. Con la aleatoria no es posible determinar el tiempo, debido a que no tiene unorden prestablecido.

Recientemente, en el área de robótica se ha propuesto el uso de dinámica caótica y su in-corporación a un robot móvil para lograr mejorar la exploración en zonas de vigilancia [3, 4]como una alternativa a la búsqueda exhaustiva y aleatoria.

1

En este trabajo se propone el uso de trayectorias caóticas para búsqueda de discontinui-dades ocultas. Las trayectorias caóticas serán incorporadas a un robot cartesiano en el planoX-Y para generar un movimiento caótico [5]. Con éste, se pretende realizar un escaneo en unaplaca de aluminio utilizando la técnica del ultrasonido. La finalidad es optimizar el tiempode búsqueda e incrementar el área escaneada. Al utilizar las propiedades del caos, se quierelograr el escaneado de áreas irregulares y el escaneo del área sin un conocimiento a priori desus las características espaciales del área de búsqueda.

1.1. AntecedentesLa teoría de cómo buscar un objeto perdido, oculto fijo o incluso para objetos en mo-

vimiento, ha sido estudiada por científicos por más de 50 años. Fue Koopman [6, 7] quienintrodujo la Teoría de Búsqueda durante la Segunda Guerra Mundial para U.S Navy, dondelos primeros objetos buscados fueron submarinos y naves enemigas. A partir de que Koopmandiera los principios para la Teoría de Búsqueda, se han utilizado para diferentes aplicaciones.

En 1966, la Teoría de Búsqueda fue utilizada para la localización de bombas en el Me-diterráneo, cerca de España. En 1968, se utilizó para la búsqueda del submarino nuclearScorpion. La Guardia Costera de los Estados Unidos emplea esta teoría para la planificaciónde rescates. También es usada en astronomía y en otras áreas como en la industria, en medi-cina, biología y en la exploración de minerales. Además, ésta es utilizada para la inspeccióny mantenimiento de máquinas, ver [8].

Washburn menciona en [9] que la Teoría de Búsqueda no era utilizada para descubrir loscaminos más óptimos. Recientemente la búsqueda de caminos más óptimos para circunstan-cias generales se ha dado con la evolución de la computadora [10].

El ultrasonido ha sido utilizado en la inspección de estructuras desde hace cerca de un si-glo, aunque las bases fundamentales de propagación de onda fueron desarrolladas en el sigloXIX con los estudios de Lord Rayleigh. En 1929 y 1939, Sokolov estudió el uso de las ondasultrasónicas para la detección de objetos en metales.

Firestone en 1940 y Simons en 1945 desarrollaron una técnica de pulso ultrasónico, in-troduciendo el principio de la técnica pulso-eco [11].

En 1952 Hitt introduce bloques de prueba con fallas artificiales planas que sirven comoreferencia para materiales con fallas internas del mismo material, de esta manera Hislop reali-zó el estudio y medición del tamaño de una falla con transductores de inmersión sobre estosbloques de prueba. El uso de la técnica de pulso-eco para la detección de defectos pequeñosy el establecimiento de la relación entre la altura, la distancia y el tamaño del eco de la fallafue introducido por Krauträmer en 1959 [12].

2

Después del término de la Segunda Guerra Mundial, investigadores japoneses comenza-ron a explorar las capacidades del ultrasonido en el área de diagnóstico médico. Estas inves-tigaciones se basaron en el sonar. El primer instrumento utilizado en el diagnóstico médicofue el A-Scan en 1948, donde se muestra la energía ultrasónica como una función del tiempo,y las discontinuidades pueden estimarse comparando la amplitud de las señales.

Después del A-Scan se desarrolló el B-Scan, el cual muestra una imagen de dos dimensio-nes en escala de grises. En los años 1950 y 1960, se desarrolló un transductor que se pusieraen contacto directo con el paciente. Antes de esto el paciente tenía que ser sumergido en aguapara producir las imagenes. Este fue el comienzo de las imágenes de ultrasonido como seconocen hoy en día.

Después del B-Scan fue desarrollado el C-Scan (imágenes en 3D) donde las imágenesgeneradas se obtuvieron mediante la técnica pulso-eco. El desarrollo de estas técnicas de es-caneo se incrementó mediante el uso de tanques de inmersión, lo que permitió a los sistemasde inmersión generar imágenes de tipo C-Scan de manera más eficiente ya que funcionabancomo un acoplante completamente uniforme entre el transductor y el material a inspeccionar(generalmente agua).

Las investigaciones de inspección ultrasónica automatizada continuaron gracias al desa-rrollo de equipos más efectivos y complejos. Debido a la versatilidad de los sistemas automá-ticos de ultrasonido, tienen diferentes aplicaciones, algunas de las aplicaciones se muestranen la Tabla 1.1.

Año Investigación realizada

1984Application of electronic focussing and scanning systems to ultrasonic tes-ting, Bardouillet P. [13]

1992 Ultrasonic scanning of log, Han W. & Birkeland R. [14]

2002Method for monitoring environmental degradation of adhesivebonds,Rokhlin S. I., Baltazar A., Xie B., Chen J. & Revenue R.[15]

2005Development and applications of C-Scan ultrasonic facility,Anish K., Raj-kumar K. V., Palanichamy P. P. & Jayakumar T. [16]

2008New type of ultrasonic high-definition micro-scanning imaging non-destructive testing system,Dai G., Chen T., Xue J. & Yao P. [17]

2010PE-CMOS based C-Scan ultrasound for foreign object detection in softtissue,Liu C. C., Lo S. C. Freedman M. T., Lasser M. E., Kula J., SarconeA. & Wang Y. [18]

Tabla 1.1: Investigaciones de sistemas de escaneo automático por ultrasonido.

El desarrollo de la Teoría del Caos inicio Henri Poincaré en 1890 estudió de manera muysimplificada el sistema solar de tres cuerpos y concluyó que el movimiento en ocasiones

3

era muy complejo. Durante 1950, el meteorólogo Edward Lorenz trabajó con un sistema deecuaciones para realizar predicciones climáticas basadas en tres variables. Las ecuaciones seretroalimentaban con los valores resultantes, con el objetivo de obtener valores futuros [19,20]. En un primer experimento, los cálculos se realizaron con una precisión de 6 decimales,en un segundo experimento, los cálculos fueron realizados con 3 decimales de precisión.Los resultados obtenidos fueron diferentes en ambos procesos, a lo que Lorenz llamó a ésto,dependencia a las condiciones iniciales (“efecto mariposa”), es decir, pequeños cambios enuna variable pueden ser el origen de grandes variaciones del sistema en el tiempo. Debido aeste descubrimiento se le conoce como uno de los pioneros de la Teoría del Caos, además dedescubrir el atractor extraño. En la Tabla 1.2 se presentan aplicaciones recientes de la Teoríadel Caos.

Año Investigación realizada

1990Model of biological pattern recognition with spatially chaotic dynamics,Yao Y. & Freeman W. J. [21]

1993Synchronization of lorenz-based chaotic circuits with application to com-munications, Cuomo K. , Oppenheim A. V, & Strogatz S. H. [22]

1995Chaotic synchronization and controlling chaos based on contraction map-pings, Ushio T. [23]

1997Global bifurcation structure of chaotic neural networks and its applicationto traveling salesman problems, Tokuda I., Nagashima T., & Aihara K. [24]

Tabla 1.2: Aplicaciones del caos.

Actualmente, el caos ha sido utilizado en robots móviles [3, 25, 26]. El uso de robotscon trayectorias caóticas se debe a la necesidad de navegación y exploración en ambientesdesconocidos [27, 28]. En este trabajo, el movimiento de dinámica caótica se incorporará alescaneo ultrasónico para detectar fallas ocultas, mediante la técnica pulso-eco, incorporandomodelos probabilísticos para optimizar las trayectorias.

1.2. Contribuciones de la tesisLos sistemas actuales de escaneo comerciales se basan comúnmente en escaneos exhaus-

tivos, los cuales consumen tiempo y poder computacional. Además, requieren para su imple-mentación un conocimiento previo de la forma y dimensiones del área de escaneo.

La contribución de esta tesis es la investigación para el desarrollo de un sistema autónomode escaneo en un ambiente no estructural (sin un conocimiento previo de las característicasdel área de escaneado).

4

1.3. Planteamiento del problemaEl trabajo de la tesis se basa en optimizar las trayectorias de escaneo, utilizando diná-

micas caóticas para realizar la búsqueda de las discontinuidades ocultas. Las trayectorias seaplicarán a un sistema ultrasónico de escaneado desarrollado en nuestro laboratorio. Ademásse incorpora la probabilidad de detección para observar la eficiencia de la trayectoria.

Los siguientes son los problemas que se elaboran en esta tesis:

Acoplar las trayectorias caóticas a un robot cartesiano en el plano del móvil.

Verificar si el acoplamiento de las trayectorias al robot no afectan las propiedades caó-ticas del sistema.

Calcular el porcentaje de área cubierta con o sin superposición.

Desarrollar un sistema de escaneado autónomo, que realice el escaneado de un áreadonde su forma sea desconocida, sin la necesidad de una supervisión constante.

Desarrollar una estrategia para lograr la sincronización entre el movimiento caótico yla actualización de las señales.

En el Figura 1.1 se muestran las tres áreas necesarias para el desarrollo de la tesis. Delárea de ultrasonido se utilizará la técnica pulso-eco para identificar la señal del defecto y elescaneo usa el principio del A-Scan. La Teoría del Caos se utiliza para generar las trayectoriascaóticas que serán acopladas a un robot cartesiano en el plano X-Y, para lograr un movimientocaótico. La Teoría de Búsqueda se utilizará para calcular la probabilidad de detección dela trayectoria exhaustiva y la aleatoria. Utilizando conceptos de la Teoría de Búsqueda secalculará el porcentaje de área cubierta.

Figura 1.1: Áreas necesarias para la realización de la tesis.

5

El sensor ultrasónico será colocado en el robot cartesiano que seguirá las diferentes tra-yectorias, que serán comparadas en tiempo y en porcentaje de área cubierta. Además, sedetectará un defecto oculto en una placa de aluminio.

1.4. HipótesisMediante el desarrollo del sistema automático de escaneo con trayectorias caóticas, se

conseguirá optimizar el tiempo de búsqueda y maximizar el área cubierta, cuando éste secompara con trayectorias exhaustivas y aleatorias.

1.5. Preguntas de investigaciónAl realizar el acoplamiento de las trayectorias caóticas al robot móvil en el plano X-Y,¿Se modifican las propiedades del sistema caótico?

Utilizando las señales ultrasónicas, ¿Se puede lograr que el sistema reconozca que seencuentra dentro o fuera del área?

Utilizando una escala de blanco y negro, ¿Se puede lograr obtener el porcentaje de áreacubierta sin tomar en cuenta la superposición?

¿Se puede desarrollar un sistema autónomo de escaneo siguiendo trayectorias caóticasel cual sea capaz de cubrir áreas no estructuradas?

Al realizar un escaneado con trayectorias caóticas ¿Se puede mejorar la probabilidadde detectar un defecto?

1.6. ObjetivosEl objetivo general es desarrollar un sistema automático de escaneado que siga trayec-

torias caóticas y que, mediante señales ultrasónicas se logre detectar defectos ocultos enmateriales.

Los objetivos particulares son:

Acoplar las trayectorias caóticas a un robot cartesiano.

Observar el efecto que se produce al acoplar el sistema con dinámica caótica a un robotcartesiano.

Conseguir que el sistema sea autónomo, es decir, que realice el escaneado sin un cono-cimiento previo del área.

Comparar la trayectoria exhaustiva, aleatoria y caótica, obteniendo el porcentaje deárea cubierta.

6

1.7. Organización de la tesisEn el capítulo 2 se da una introducción a la teoría de generación de ondas ultrasónicas. Se

muestran las propiedades de la propagación de las ondas mecánicas. Se describe la técnicautilizada para la detección de defectos ocultos, la cual será utilizada en el desarrollo de latesis. Además, se determina las propiedades de los sensores ultrasónicos y se caracterizan laspropiedades del haz ultrasónico.

En el capítulo 3, se presenta la teoría de los sistemas con dinámica caótica. Se explicalas propiedades que caracterizan a estos sistemas. Se presenta la manera en que se genera latrayectoria caótica utilizada para realizar el escaneado, al igual que la técnica utilizada paradelimitar el área de trabajo. Se presenta la teoría del exponente de Lyapunov y los métodosutilizados para calcularlo.

En el capítulo 4, se da una introducción a la Teoría de Búsqueda. Se describe la proba-bilidad de detección (POD por sus siglas en inglés Probability of Detection). Se muestra eldesarrollo general para el cálculo del POD y se muestra cómo calcular los diferentes tipos debúsquedas. Se realiza una comparación entre estas búsquedas mediante el cálculo del POD.Se muestra una alternativa de poder comparar los tipos de búsqueda sin utilizar la POD. Ade-más, se presenta una manera de clasificar los sensores por medio de la probabilidad.

En el capítulo 5, se da una breve introducción de la evolución de los sistemas automáti-cos de escaneo. Se describen los componentes que forman el sistema automático de escaneodesarrollado en nuestro laboratorio y se explica la manera en que se logró la comunicaciónentre cada uno. Además se muestra la interfaz desarrollada en LabVIEW 8.6, que controla alsistema.

En el capítulo 6, se describe la parte experimental de la tesis, cada uno de los experimentosrealizados y los resultados obtenidos. También se hace una comparativa entre la trayectoriaexhaustiva, aleatoria y caótica.

Finalmente, en el capítulo 7 se presentan las conclusiones de este trabajo, así como trabajofuturo.

7

Capítulo 2

Ultrasonido

Es este capítulo se presentan las propiedades y características de la propagación de ondasmecánicas. Se da una descripción de la técnica ultrasónica para la detección de defectos. Semuestran las propiedades de los sensores ultrasónicos que son utilizados en la tesis y la carac-terización de las propiedades del haz ultrasónico. Por último, se aplica la técnica ultrasónicaen nuestro sistema experimental.

2.1. IntroducciónEl ultrasonido es una técnica de ensayos no destructivos (NDT por sus siglas en inglés

Non Destructive Testing), donde ondas mecánicas de alta frecuencia son utilizadas para lainspección de defectos en materiales [29]. Su principal aplicación en la inspección de me-tales no es sólo la detección y caracterización de defectos internos, sino la localización dedefectos superficiales, definición de características, medición del espesor y extensión de lacorrosión, y en menor medida para la determinación de las propiedades físicas, estructura,tamaño del grano, y las constantes elásticas del material [30].

Las ondas ultrasónicas son ondas mecánicas, que consisten en la vibración de las partí-culas atómicas o moleculares de un medio sobre la posición de equilibrio de estas partículas[31]. Una característica principal de las ondas ultrasónicas es la frecuencia, que va de 20 kHzhasta el rango de 1 GHz.

Cada onda viaja a una velocidad característica en un medio dado. Al igual que el haz deluz, los rayos ultrasónicos se reflejan en las superficies, se refractan al cruzar una fronteraentre dos medios que tienen diferentes velocidades de sonido, y se produce una difracción enlos bordes o alrededor de obstáculos. La dispersión por superficies ásperas, reduce la energíade un haz de ultrasonidos, comparable a la forma en que la dispersión reduce la intensidad deun haz de luz [12].

El comportamiento de reflexión y refracción del frente de onda en una interfaz juega unpapel importante en las investigaciones por ultrasonido. Especialmente porque es el efecto,

8

que determina la presencia del defecto o anomalía en los materiales.

En la Figura 2.1(a) se observa que el frente de onda (onda incidente i) viaja en formaparalela a la frontera entre el material I y II. Al golpear el límite, parte de la energía se reflejade nuevo en el material I y parte de ella se transmite al material II. La parte de la energíatransmitida y reflejada está en función de las propiedades del material I y II.

(a) (b)

Figura 2.1: a) Reflexión y transmisión en el límite con incidencia normal; b) reflexión yrefracción en el límite con un ángulo de incidencia.

Cuando el frente de onda se encuentra con una interfaz entre dos materiales en un ánguloinclinado, se presentan varios fenómenos. En primer lugar, la refracción, la cual se produceen la misma forma que ocurre en las ondas de luz óptica (ver Figura 2.1(b)). El ángulo derefracción puede ser calculado por la Ley de Snell

c1senθr = c2senθi, (2.1)

donde θi es el ángulo incidente, θr es el ángulo de refracción, c1 y c2 la velocidad del materialI y II, respectivamente.

El segundo fenómeno que se produce en la interfaz es la conversión de modo. La energíase distribuye en ondas longitudinales y transversales en el segundo material. La ecuación deSnell, se utiliza para calcular los ángulos de refracción transversales en el material II

c1LsenβL = c2Lsenαi, (2.2)

c1LsenβT = c2T senαi, (2.3)

donde c1L es la velocidad longitudinal del material I, c2L es la velocidad longitudinal delmaterial II y c2T es la velocidad transversal del material II. αi es el ángulo de incidencia,βL el ángulo de refracción de la onda longitudinal y βT el ángulo de refracción de la ondatangencial.

9

2.2. Propagación de ondasLas pruebas por ultrasonido se basan en pequeñas vibraciones que viajan a través del ma-

terial. En los sólidos, las ondas de sonido pueden propagarse en principio de cuatro modos,que se basan en la forma en que las partículas pueden: oscilar el sonido puede propagar comoondas longitudinales, transversales, ondas superficiales y ondas Lamb. En el desarrollo de es-ta tesis, dado el sistema experimental que se plantea, sólo se generan las ondas longitudinalesy transversales.

2.2.1. Ondas longitudinalesLas ondas longitudinales son ondas en la que el movimiento de oscilación de las partículas

del medio es paralelo a la dirección de propagación, son llamadas también ondas de presión uondas de compresión. Las ondas longitudinales viajan a través de materiales como una seriede compresiones alternas en el que las partículas se transmiten la onda de vibración de ida yvuelta en el sentido de la marcha de las olas. Estas ondas tienen la cualidad que la direcciónde propagación de la onda elástica y la dirección del movimiento de la partícula son la misma,como se muestra en la Figura 2.2.

Figura 2.2: Ondas longitudinales [32], donde λ es la longitud de onda.

2.2.2. Ondas transversalesLas ondas transversales se visualizan fácilmente en términos de vibraciones de una cuerda

que se agita rítmicamente, en el que cada partícula, en vez de vibrar en paralelo a la direccióndel movimiento ondulatorio (como en la onda longitudinal), vibran hacia arriba y hacia abajoen un plano perpendicular a la dirección de propagación. La dirección del movimiento dela partícula es perpendicular a la dirección de la propagación de la onda elástica como semuestra en la Figura 2.3.

10

Figura 2.3: Ondas transversales [32].

2.3. Características de las ondas ultrasónicas en el medioLas ondas mecánicas se originan por el movimiento forzado en una parte de un medio

deformable. Los elementos del medio son deformados, la perturbación es trasmitida de unpunto al siguiente y la onda se propaga a través del medio. Debido a esto, la propagación delas ondas ultrasónicas en los sólidos es el fenómeno fundamental en el área de evaluaciónno destructiva (END). Las características de las ondas se pueden utilizar para caracterizar lacomposición de un material, estructura, propiedades elásticas, densidad y geometría.

Las propiedades y características de las ondas que se propagan en los materiales sólidosisotrópicos (en los materiales isotrópicos las propiedades son las mismas en cualquier direc-ción de un punto dado) que hay que tomar en cuenta son: la longitud de onda, la velocidad deonda, la atenuación de la señal y propiedades de la señal en función del ángulo de incidenciay las condiciones de frontera.

2.3.1. Velocidad de ondaUna onda ultrasónica viaja a diferentes velocidades en materiales distintos, debido a que

la masa de partículas atómicas y las constantes elásticas son diferentes para cada material.La masa de las partículas se relaciona con la densidad del material, y la constante del resortese relaciona con las constantes elásticas del material. Existen varias fórmulas que se han pre-sentado para el cálculo de la velocidad de onda, sin embargo, la relación generalmente másusada en END es para la velocidad de ondas longitudinales volumétricas

v =

√E

ρ, (2.4)

donde v es la velocidad de onda, E es la constante elástica y ρ es la densidad del material.

2.3.2. Longitud de ondaLa longitud de onda (λ) puede ser calculada como función de la frecuencia de entrada (f)

y la velocidad de onda. La longitud de onda es directamente proporcional a la velocidad de

11

la onda e inversamente proporcional a la frecuencia de la onda, relación dada por la ecuación:

λ =v

f. (2.5)

2.3.3. Ángulo de incidenciaComo se mencionó en la sección 2.1, cuando una onda de ultrasonido pasa de un medio I

a un medio II se produce una reflexión y refracción del haz ultrasónico. Cuando la onda ul-trasónica incide perpendicularmente en la interfaz, la reflexión y refracción que se producenocurren sin ningún cambio en la dirección del haz. A cualquier otro ángulo de incidencia, elfenómeno de la conversión de modo (un cambio en la naturaleza del movimiento ondulato-rio) y el ángulo de refracción (cambio en la dirección de propagación de ondas) deben serconsideradas.

Para las condiciones de frontera sólido-sólido, se tiene un ángulo de incidencia del hazultrasónico, una parte de la onda se transmite del material I al material II y otra parte es re-flejada devuelta al material I. Parte del haz que es transmitido al medio II se divide a su vezen una onda longitudinal y una transversal. El mismo efecto ocurre con la energía reflejadaen el medio I.

Cuando las condiciones de frontera son líquido-sólido, condiciones de frontera utilizadasen el desarrollo del trabajo, las ondas transversales en el líquido no existen [12, 33, 34]. En laFigura 2.4 muestra el efecto que tiene una onda ultrasónica el pasar de un material líquido aun material sólido, donde Li es la onda incidente a un ángulo αi, Lr es la onda reflejada a unángulo αr, igual al ángulo incidente, Lt es la onda longitudinal transmitida a un ángulo βLLy Tt es la onda transversal reflejada a un ángulo βLT .

Figura 2.4: Onda ultrasónica al chocar de un medio líquido a un medio sólido.

12

La ley de Snell permite el cálculo de los ángulos a los cuales se encuentra cada ondareflejada o refractada (ecuaciones 2.2 y 2.3).

En las pruebas de ultrasonido se busca que solamente un haz ultrasónico se propague enel material, de manera de no crear confusión en las señales detectadas, por lo que se buscaeliminar una de las dos ondas generadas.

A medida que aumenta el valor del ángulo de incidencia, aumentan los valores de losángulos βLL y βLT , hasta que la onda longitudinal transmitida se propague a la superficielímite. El ángulo de incidencia, para el cual se cumple que el ángulo de refracción de la ondalongitudinal sea igual de 90◦, se conoce como primer ángulo crítico.

Si el ángulo de incidencia sigue aumentando, llegará un momento en que la longitud deonda transversal se propague también a la superficie. A este ángulo se le conoce como se-gundo ángulo crítico.

En las condiciones de frontera líquido-sólido, en específico agua-aluminio (condicionesde frontera utilizados en el desarrollo de la tesis), el primer ángulo crítico aparece aproxima-damente a los 13.5◦. En la Figura 2.5, se grafica el ángulo de incidencia contra el coeficientede reflexión del Agua-Aluminio.

Figura 2.5: Coeficiente de reflexión de amplitud y fase de variación con el ángulo de inciden-cia de la interfaz líquido-sólido [35].

13

Para la parte experimental se utilizará incidencia normal, generando mayormente ondaslongitudinales. Sin embargo el haz ultrasónico se dispersa, ocasionando incidencias con unángulo, como se muestra en la Figura 2.6, que será explicada en mayor detalle más adelante.

Figura 2.6: Dispersión del haz ultrasónico.

2.3.4. Atenuación de la señalSe dice que la señal es atenuada cuando viaja a través de un material, y la intensidad del

haz ultrasónico que es detectado por el transductor receptor sea considerablemente menor a laintensidad del pulso inicial. Los principales factores responsables de la pérdida de intensidaddel haz, que se pueden clasificar como las pérdidas de transmisión, son la dispersión y losefectos de interferencia, los cuales son estudiados con más detalle en [36, 37].

El cambio relativo en la amplitud de la señal se mide comúnmente en decibeles. Losvalores de los decibeles son los valores logarítmicos de la relación de la amplitud de dosseñales, se pueden calcular utilizando la ecuación

α = 20 log10(A1/A2), (2.6)

donde α es la atenuación en decibeles, A1 es la amplitud de la señal 1 y A2 es la amplitud dela señal 2. En la Figura 2.7(a) se grafica la distancia contra la amplitud de la señal del defecto.La distancia es 0 cuando el sensor se coloca arriba del defecto, dando la máxima amplituddel defecto. Si el sensor se aleja del defecto la amplitud de la señal decae como se observaen las señales de la Figura 2.7(b). En la parte superior de esta figura se muestra la manera enque se obtuvieron estas señales.

14

(a)

(b)

Figura 2.7: a) Gráfica de la atenuación de las señales, distancia contra la amplitud ; b) esque-ma utilizado para la demostración de la atenuación y señales adquiridas.

15

2.4. Técnica del pulso-ecoLas técnicas para la detección y caracterización de fallas en los materiales han sido desa-

rrolladas para lograr su localización, forma, orientación, entre otros. Mediante la técnica delpulso-eco se puede determinar la profundidad de la falla, usando el arribo del eco de la señal.En la Figura 2.8 se muestra el principio de la técnica.

Figura 2.8: Principio de la técnica pulso-eco.

Es fácil observar que al medir el tiempo de arribo (∆t) entre el eco de la superficie frontaldel material al eco de la falla interna y el valor de la velocidad de la onda en el material deprueba (c), es posible calcular la distancia (d) mediante un sencillo cálculo

d = ∆t ∗ c. (2.7)

2.5. Caracterización del sensorEl haz ultrasónico de un sensor de inmersión (tipo de sensor utilizado en el desarrollo

de la tesis) está dividido en dos zonas: el campo cercano (near field) y el campo lejano (farfield). El campo cercano es la región directamente enfrente del transductor donde la amplituddel eco oscila entre una serie de valores máximos y mínimos y termina en el valor máximo,a una distancia N del transductor (ver Figura 2.9).

La localización del máximo valor se conoce como el campo cercano (N). El campo lejanoes el área después de N, donde el haz ultrasónico se va dispersando hasta cero. La distanciadel campo cercano esta en función de la frecuencia y diámetro del transductor, y la velocidaddel material.

16

Figura 2.9: Haz ultrasónico del transductor [32].

N =D2f

4c, (2.8)

donde N es el campo cercano, D es el diámetro del sensor, f la frecuencia del sensor, c lavelocidad del material.

Al conocer el valor del campo cercano, se conoce la distancia mínima que se necesitaentre el sensor y el material a analizar. El sensor utilizado es de 1 MHz y de diámetro 0.5′′.El sensor es sumergido en agua. Utilizando la ecuación 2.8 se obtiene el campo cercano.

N =(0.5 ∗ 25.4)2 mm2(1 MHz)

4(1.480 mm/µs)

= 27.2 mm.

A la altura calculada del campo cercano se aumenta 10 mm más, así la apertura del hazultrasónico aumentará, y el rango de detección será mayor. Se probaron alturas diferentes(resultados que no se muestran). Cuando la altura es mayor de 37.2 mm, la señal del defectono se logra identificar debido al ruido generado en la señal.

2.5.1. Área iluminadaEl área iluminada del sensor (representada por un círculo), indica la zona de detección.

Para los transductores de inmersión, el área depende de la altura entre el material y el trans-ductor, así como del diámetro y frecuencia de éste. Para obtener el área, es necesario conocerel ángulo de apertura del haz ultrasónico (Ver Figura 2.10). Utilizando la ecuación 2.9 secalcula la mitad del ángulo.

17

Figura 2.10: Representación del ángulo de apertura.

sen(α/2) =0.514c

fD, (2.9)

donde α es el ángulo de apertura, y se reduce a la mitad cuando la amplitud de la señal seatenua a -6dB.

α/2 = sen−1[0.514(1.480 mm/µs)

(1 MHz)(12.7 mm)]

= 3.43◦.

Utilizando funciones trigonométricas, la altura del sensor al material (obtenida en la sec-ción anterior) y el ángulo, se calcula la distancia en x1 (Figura 2.11), dando como resultadox1 = 2.22 mm.

Figura 2.11: Esquema para la obtención del valor de x.

La distancia calculada es sólo en la superficie del segundo materia (Aluminio). Cuandoel haz ultrasónico pasa del material líquido al material sólido con un ángulo de incidencia,hay una refracción y la energía se distribuye en ondas longitudinales y transversales. Con larefracción, el rango de detección aumenta dentro del segundo material. Aunque se generanlas dos ondas, en el agua sólo se produce la onda longitudinal, debido a esto se utiliza laecuación 2.2 para calcular sólo el ángulo longitudinal.

β = sen−1[sen3.48◦(6.250 mm/µs)

1.480 mm/µs]

= 14.85◦.

18

Calculado el ángulo longitudinal, se calcula la distancia en xa como se muestra en la Fi-gura 2.11. Para el cálculo de la distancia en xa en el material II, la altura es el espesor de laplaca L = 25.4 mm. La distancia en obtenida es de xa = 6.63 mm. Sumando las distancias elresultado es de 8.85 mm. Esta distancia es el radio del área iluminada. Este radio se utilizaráen cálculos posteriores de la probabilidad de detección y el porcentaje de área cubierta, temasque se desarrollarán en el capítulo 4.

2.6. Cálculo del tiempo de arribo del eco de la señalEn la sección 2.4 se introdujo la teoría del pulso-eco, la cual es utilizada para la detección

de defectos mediante el tiempo de arribo de las señales. Utilizando la ecuación 2.7, se calculael tiempo de arribo para la señal de la pared frontal (señal del primer rebote), la señal de lafalla y de la pared posterior (segundo rebote).

Para el cálculo del primer rebote se utiliza la velocidad del agua (c). La distancia entre elsensor y el material (d1), es la calculada en la sección 2.5. La distancia es multiplicada pordos, porque la señal viaja dos veces la distancia (ida y vuelta).

t =2 ∗ 37.2 mm

1.480 mm/µs

= 50.27 µs.

Para el cálculo del segundo rebote, se utiliza la velocidad del Aluminio. La distancia esel espesor de la placa (dp) utilizada en la sección 2.5.1. El tiempo obtenido se suma al delprimer rebote para obtener el tiempo total. El tiempo total es de tT = 57.84 µs.

t =2 ∗ 25.4 mm

6.25 mm/µs

= 8.12 µs.

La señal del defecto se encuentra entre el tiempo del primer y segundo rebote. Conocien-do la distancia entre la parte frontal del material y la del defecto (df ) se obtiene la distancia yse calcula el tiempo de arribo. En la placa se realizó una perforación de 12.7mm, para simularel defecto.

t =2 ∗ 12.7 mm

6.25 mm/µs

= 4.08 µs.

19

Sumando el valor del defecto y del primer rebote, la señal del defecto debe aparecer en untiempo de 54.35 µs. Para comprobar los resultados calculados, se coloca la placa de aluminiode 25.4 mm de espesor, se introduce en agua y el sensor se coloca a una distancia de 37.2mm como se muestra en el esquema de la Figura 2.12(a), donde se muestra también el arribode las señales. Utilizando un Pulsador/Receptor para generar las señales y el osciloscopiopara mostrar la señal. En la Figura 2.12(b) se muestra la señal obtenida del osciloscopio, semuestran los tiempos de cada señal y se identifica cada una, observando que los cálculos y laseñal obtenida coincidan.

(a)

(b)

Figura 2.12: a) Esquema del rebote de las señales; b) señal obtenida del osciloscopio.

20

2.7. Conclusiones del capítuloEn este capítulo se da una introducción a una de las técnicas utilizadas en END, el ultraso-

nido. Esta técnica utiliza la propagación de ondas para la detección de defectos en materiales.Se describen algunas de las características de las ondas ultrasónicas en el medio, además seexplican dos de las ondas que se generan en el desarrollo de la tesis. Se muestra la diferenciacuando el haz ultrasónico presenta algún ángulo de incidencia y lo que sucede en las condi-ciones de frontera líquido-sólido.

Se presenta la técnica pulso-eco, la cual se utiliza para detectar defectos ocultos en losmateriales. Con esta técnica se calcula el tiempo de arribo de las señales para la placa y conel sensor que se utiliza en la parte experimental.

Se muestra la manera de cómo se caracteriza un sensor de inmersión, se estima el áreailuminada, que nos indica el rango de detección del sensor.

21

Capítulo 3

Caos

El objetivo de este capítulo es analizar los sistemas con dinámica caótica y la manera deacoplar el sistema a un robot móvil cartesiano, que será implementado para realizar esca-neado en una pieza de prueba. Se presenta el exponente de Lyapunov, método utilizado paramedir la sensibilidad del sistema a las condiciones iniciales. Además, se describe la técnicautilizada para delimitar las trayectorias al área de trabajo.

3.1. Mapa logístico y atractor extrañoLa Teoría del Caos ha sido desarrollada durante las dos últimas décadas por científicos de

diversas ramas Física, Biología, Meteorología, Economía, etc., que se han tratado de explicareste fenómeno. El interés por el caos creció rápidamente después de 1963, cuando EdwardLorenz publicó su trabajo de un modelo simplificado de convección y discutió sus implica-ciones en la predicción del clima [38].

En 1976 el biólogo Robert May popularizó la ecuación del mapa logístico en su trabajo[39], la cual fue creada por Verhulst en su trabajo [40]. El objetivo de May era hallar un mo-delo demográfico sencillo que explicara la dinámica de una población. En la actualidad, laecuación del mapa logístico es a menudo citada como un ejemplo del comportamiento caóti-co. Esta ecuación de una dimensión y no lineal está dada por

xn+1 = µxn(1− xn), (3.1)

donde xn es un número entre cero y uno y µ es una constante positiva. May comprobó queal cambiar los valores de µ se presentaban soluciones muy distintas. Si se comienza con unvalor inicial x0 = 0.2 y se escoge el valor de µ = 2, los puntos siguientes se generan repetiti-vamente hasta que el valor de x converge a un estado de equilibrio donde xn+1 = xn (Figura3.1(a)). Si se realizan varios experimentos con el mismo valor de µ, el comportamiento es elmismo para todas las condiciones iniciales. Si se incrementa el valor de µ a 3.3 se observa(ver Figura 3.1(b)) que los valores de xn oscilan entre dos valores. Si el valor de µ sigue

22

aumentando a 3.9, el valor de xn no se limita a unos puntos y divergen para casi todos los va-lores iniciales (Figura 3.1(c)), generando un comportamiento caótico. Este comportamientose genera debido a lo que Lorenz llamó atractor extraño.

(a) (b)

(c)

Figura 3.1: Comportamiento del mapa logístico. a) Comportamiento del mapa logístico cuan-do tiende a un punto fijo; b) comportamiento del mapa logístico cuando el comportamientoes periódico; c) comportamiento del mapa logístico cuando es caótico.

En [41] se define a un atractor como un conjunto al que todas las trayectorias vecinasconvergen. Un atractor extraño es un conjunto que difiere de un simple punto fijo o de unciclo periódico. Es invariante y atrae a un conjunto abierto de condiciones iniciales.

3.2. Principios básicos del caosEn los sistemas no lineales la impredecibilidad e irregularidad conforme evoluciona el

tiempo se le denomina caos. La característica principal es que los sistemas no repiten sucomportamiento anterior. Sólo bajo condiciones iniciales idénticas es posible repetir el mismo

23

comportamiento [42]. Este fenómeno puede ocurrir en oscilaciones mecánicas, en reaccionesquímicas, y otros sistemas no lineales [43]. Sin embargo, a pesar de su falta de regularidad,los sistemas con dinámica caótica se describen por ecuaciones determinísticas.

Para clasificar un sistema como caótico, éste debe cumplir con las siguientes propiedades:

Sensibilidad a las condiciones iniciales: Henri Poincaré (1854-1912) fue el primero enreconocer este fenómeno y lo describe como: “...puede ocurrir que pequeñas diferen-cias en las condiciones iniciales produzcan grandes diferencias en el fenómeno final.Un pequeño error al principio produce un enorme error después. La predicción se con-vierte imposible y tenemos un fenómeno fortuito.” [44]. Si se conocen sus ecuacionescaracterísticas, y condiciones iniciales, se puede conocer exactamente su evolución enel tiempo. En el caso de los sistemas caóticos, una mínima diferencia en esas condicio-nes hace que cambie la evolución del sistema. Este se comportaría de manera idénticasólo si sus condiciones iniciales fueran exactamente las mismas.

El error a la predicción crece exponencialmente: Mientras que en sistemas no-caóticosel error en la predicción sólo crece linealmente con el tiempo, en los sistemas caóticoscrecen exponencialmente, lo que hace que sea impredecible, ya que para cortos tiem-pos el comportamiento es diferente.

La transitividad topológica: El concepto de transitividad topológica fue introducido porG. D. Birkhoff en 1920 [45]. Esta propiedad implica que las órbitas alejadas puedenllegar a aproximarse, como consecuencia de la peculiar estructura de los atractorescaóticos [46]. Dadas dos zonas cualquiera del espacio donde esta definida la función,existe un punto en la primera zona cuya órbita visita, en algún momento, la segunda.

Actualmente, se han encontrado varios modelos que pueden generar una dinámica caó-tica, como se mencionó, el mapa logístico de 1D [40], el mapa de Hénon de 2D que es unmapeo en el plano del modelo de Lorenz más simple [47], el sistema de Lorenz de 3D, quetrata de simular las condiciones del clima [38]. Otro sistema de 3D es el de Arnold, el cualdescribe una solución de estado estable de la ecuación tridimensional de Euler. Este últimoexpresa el comportamiento de un fluido perfecto no comprensible en un espacio de trabajotridimensional.

3.3. Generación de la trayectoria caóticaLa manera en que un fenómeno presenta cambios en el tiempo es a menudo descrita por

una ecuación diferencial o una ecuación de diferencias. Las ecuaciones de diferencias sonllamadas mapas, mientras que las ecuaciones diferenciales se denominan flujo. El caminoque el flujo toma a medida que pasa el tiempo genera trayectorias y al conjunto de puntos

24

que un mapa mueve a través de las iteraciones genera órbitas. Mediante estas trayectorias uórbitas se logra generar el movimiento caótico.

El movimiento caótico ha sido utilizado para la búsqueda en lugares inseguros [48] y don-de no se tiene un conocimiento previo del área de trabajo [3]. En este trabajo, se generan lastrayectorias caóticas que incorporadas a un robot cartesiano generarán movimientos caóticospara realizar un escaneo ultrasónico para la detección de fallas ocultas.

El movimiento caótico generado para el robot cartesiano, está basado en la ecuación deArnold, la cual es conocida por mostrar el comportamiento caótico de un fluido perfecto in-comprensible. La ecuación de Arnold es definida comox1x2

x3

=

A sen x3 + C cosx2B sen x1 + A cosx3C sen x2 +B cosx1

, (3.2)

donde A, B y C son constantes, (x1, x2, x3) denota la posición y (x1, x2, x3) es la velocidad.La ecuación 3.2 describe una solución estable de la ecuación de Euler tridimensional(3D),dada por

∂ν

∂t+

3∑k=1

νk∂νi∂xk

= −1

ρ

∂p

∂xi+ fi, (3.3)

3∑k=1

∂νi∂xk

= 0, (3.4)

la cual expresa el comportamiento de fluidos perfectos incompresibles en un espacio toroidede tres dimensiones o espacio ”toroidal” en 3D, (v1, v2, v3) denotan el campo de velocidadde una partícula; p expresa la presión, (f1, f2, f3) son las fuerzas externas y ρ la densidad. Elrango de la dinámica del sistema de la ecuación 3.2 va desde ser integrable (cuando un coe-ficiente es igual a cero) hasta altamente no integrable y “caótica” [49], es decir, bajo ciertosvalores de A, B y C de la ecuación 3.2 es posible generar trayectorias caóticas.

Para utilizar la ecuación 3.2 en un sistema de robot cartesiano, es necesario obtener laecuación de estado, que podría ser realizado para un robot móvil en [3]. Este modelo estádefinido como

x1x2x3xy

=

A sen x3 + C cosx2B sen x1 + A cosx3C sen x2 +B cosx1

v ∗ cosx3v ∗ sen x3

, (3.5)

25

donde v es la velocidad lineal, x3 es la velocidad angular del móvil y x, y denotan las veloci-dades.

La ecuación 3.5 incluye las ecuaciones diferenciales de Arnold acopladas al robot móvilen el plano X-Y. Con esto, la ecuación 3.2 es trasformada a un sistema 2D como (x, y). Pararesolver numéricamente la ecuación 3.5 se utilizó el Software MATLAB usando el ODE45,integrando las ecuaciones diferenciales del sistema de un tiempo inicial (t0) hasta un tiempofinal (tf ). Resolviendo este sistema de ecuaciones podemos obtener la trayectoria en X-Ymediante una proyección en el plano. En la Figura 3.2(a) se observa la trayectoria generadaen Matlab en el plano 3D. En la Figura 3.2(b) se muestra la proyección en el plano X-Y.

(a)

(b)

Figura 3.2: Trayectoria caótica generada con t0=0, tf=50. Con parámetros A=1, B=0.5,C=0.5 y v=2. Los valores iniciales x1=4, x2 =3.5, x3=0, x=0 y y=0. a) Trayectoria en elplano 3D; b) trayectoria en el plano x-y.

26

3.4. Técnica mirror mappingCuando se genera la trayectoria caótica utilizando la ecuación de Arnold, no toma en

cuenta ningún área específica o delimitada. Sin embargo, el escaneo debe estar restringido aun área específica. En la Figura 3.2(b) se muestra la trayectoria generada sin límites.

En [3] utilizan la técnica de mirror mapping para delimitar el área de trabajo. Este métodoestá basado en el “reflejo” de la trayectoria al salir de los límites establecidos, delimitando elárea de trabajo. La Figura 3.3 muestra el principio bajo el cual se basa esta técnica, donde θes el ángulo de reflexión.

Figura 3.3: Principio del reflejo de la trayectoria generada (mirror mapping).

El reflejo puede ser explicado mediante rotaciones utilizando una matriz de transforma-ción (T). La Figura 3.4 muestra el principio de la transformación de un vector. El vector V esla parte de la trayectoria que sobrepasa el límite. El vector V debe rotarse 2θ con respecto aleje X en este ejemplo (ver Figura 3.3) para quedar “reflejado” dentro del límite y obtener unnuevo vector V’.

Figura 3.4: Reflejo de un vector por medio de una matriz de rotación.

27

Sea un vector V en el plano cartesiano definido por sus componentes en (x,y), descritovectorialmente como:

V =

[V xV y

]. (3.6)

La operación de rotación del punto señalado por el vector (V) alrededor de un eje de giro,puede escribirse como la acción de un operador lineal, expresado como:

V ′ = T ∗ V, (3.7)

donde T es la matriz de rotación de dos dimensiones para el vector V, que puede expresarsecomo:

T =

[cos 2θ − sen 2θsen 2θ cos 2θ

]. (3.8)

Al hacer la multiplicación de la matriz por el vector, obtendremos un nuevo vector V’.[V ′xV ′y

]=

[cos 2θ − sen 2θsen 2θ cos 2θ

] [V xV y

]. (3.9)

Con la operación 3.9 obtenemos el nuevo vector V ′ después de la rotación:

V ′x = V x cos 2θ − V y sen 2θ. (3.10)

.V ′y = V x sen 2θ + V y cos 2θ. (3.11)

.Las ecuaciones 3.10 y 3.11 son utilizadas cuando el eje de rotación es el origen, pero

en nuestro caso el eje de rotación que se utiliza es el último punto (xc, yc) antes de que latrayectoria sobrepase el límite, utilizando:

V ′x = xc + (V x− xc) cos 2θ − (V y − yc) sen 2θ. (3.12)

.V ′y = yc + (V x− xc) sen 2θ + (V y − yc) cos 2θ. (3.13)

.El ángulo varía dependiendo del eje, es decir, cuando la trayectoria pasa del límite en Y ,

el ángulo es 2α. Si la trayectoria pasa del límite X , el ángulo es 2θ = 90◦−α. El sentido delgiro depende del origen de la trayectoria y del eje, en la Figura 3.5 se muestran los diferentescasos que se puedan presentar, por ejemplo en el límite en X la Figura superior izquierda latrayectoria va de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo, el sentido de giro es positivo.

28

Figura 3.5: Sentido del giro para la aplicación del mirror mapping.

En la Figura 3.6 se muestra la aplicación del mirror mapping, para la trayectoria originaly la trayectoria después de aplicar la técnica. En el ejemplo primero se pasa en el límite enY , la trayectoria es rotada. Después se pasa en el eje X .

Figura 3.6: Ejemplo de la técnica del mirror mapping.

29

3.4.1. Mirror mapping y “malla”Utilizando la técnica del mirror mapping se logra delimitar el área de trabajo, la desven-

taja de la técnica es que es necesario conocer los límites del área. Uno de los objetivos de latesis es lograr el escaneo de áreas sin conocer los límites. Para lograr esto, el área es represen-tada en forma binaria a la que llamaremos “malla”. Las casillas con valor de 0 representan elárea no deseada y las casillas con valor a 1 es el área deseada. En la Figura 3.7(a) se muestrael área y en la Figura 3.7(b) se muestra la representación del área en forma binaria, donde elnegro representa las casillas con valor 1 y lo blanco las casillas con valor 0.

(a) (b)

Figura 3.7: Representación de las áreas. a) Área que se desea escanear; b) representación delárea de forma binaria.

La trayectoria generada se compara con la “malla”, cuando la trayectoria se encuentra enuna casilla con valor 0, antes de aplicar la técnica del mirror mapping, es necesario identi-ficar si la trayectoria sobrepasa el eje X o en el eje Y . Para lograrlo se calcula la distanciaen x entre los puntos xi y xi−1 y se obtiene las nuevas coordenadas en (x,y), donde y tiene elmismo valor que el último punto (yi−1) y se compara con la casilla. Si el punto se encuentraen una casilla con valor de 1, la trayectoria se pasa en el eje Y. Si el valor de la casilla es 0, sepasa en el eje X. Identificado el eje se aplica la técnica del mirror mapping antes mencionada.

En la Figura 3.8 se observan ejemplos de diferentes formas de áreas utilizando la técnicadel mirror mapping y la “malla”. En la Figura 3.8(a) se puede observar que la trayectorialogra escanear dos áreas que están conectadas, gracias a las propiedad de la transitividadtopológica.

30

(a) (b)

(c) (d)

Figura 3.8: Ejemplo de transitividad topológica, con valores de x1=4, x2=3.5, x3=0, x=10 yy=7.5 y parámetros A=1, B=0.5, C=0.5 y v=2. Tiempo de 0 a 250. a) Área en forma de H;b) área en forma de I; c) área en forma L; d) área en forma de T.

31

Otras pruebas fueron realizadas, la Figura 3.9 muestra la misma topología, pero el com-portamiento de la trayectoria es diferente debido a que se modificaron los valores iniciales dex y y.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 3.9: Ejemplo de transitividad topológica, con valores de x1=4, x2=3.5 y x3=0 y pará-metros A=1, B=0.5, C=0.5 y v=2. Tiempo de 0 a 250. a) Área en forma de H, con x=20 yy=5; b) área en forma de I con x=14 y y=22; c) área en forma L con x=7 y y=15; d) área enforma de T con x=10 y y=1.

32

Si se aumenta el número de puntos utilizados en la generación de la trayectoria, se observaen la Figura 3.10 que se incrementa el área cubierta, comparada con la Figura 3.9(c). Esobvio que al aumentar el número de puntos se incrementará el tiempo de búsqueda, lo cualen principio podríamos decir que es mejor la posición de inicio de la trayectoria.

Figura 3.10: Trayectoria generada con valores iniciales x1=4, x2=3.5, x3=0, x=7 y y=15 yparámetros de A=1, B=0.5, C=0.5 y v=2. Tiempo de 0 a 800.

En la Figura 3.11 se muestran otros resultados obtenidos modificando los valores inicialesy los parámetros. La trayectoria no logra pasar de una región, aunque el tiempo sea incremen-tado (ver Figura 3.11(b)). Este extraño comportamiento se explica en la sección 3.5, y para elpropósito de la tesis estos valores deben ser evitados.

(a) (b)

Figura 3.11: Trayectoria generada con los y parámetros de A=1, B=0.5, C=0 y v=2 y valoresiniciales x1=4, x2=3.5, x3=0, x=1 y y=7.5. a) Tiempo de 0 a 500; b) tiempo de 0 a 700.

33

3.5. Exponente de Lyapunov y Método para el cálculoEl exponente de Lyapunov es usado para medir la sensibilidad a las condiciones iniciales

de un sistema, es una de las condiciones que indica si el comportamiento del sistema escaótico. En la Figura 3.12 se muestra la sensibilidad a las condiciones iniciales del sistemade ecuaciones 3.5, generando varias trayectorias con pequeñas variaciones en el valor de x3.

Figura 3.12: Trayectoria caótica generada con t0=0, tf=50 (sin límites), con parámetros A=1,B=0.5 y C=0.5 y valores iniciales x1=4,x2=3.5. Con variaciones pequeñas al valor de x3, semuestra la sensibilidad a las condiciones iniciales del sistema.

Si un sistema evoluciona a partir de dos estados, inicialmente con una ligera diferencia(ε), y y y + ε, después de n iteraciones su divergencia puede ser caracterizada aproximada-mente como

ε(n) ≈ εeλn, (3.14)

donde λ da la tasa media de divergencia. El promedio debe ser asumido bajo varias “condi-ciones iniciales”, repartidas en la trayectoria. Si λ es negativo, las trayectorias ligeramenteseparadas convergerán y la evolución no será caótica. Si λ es positivo, las trayectorias cerca-nas divergirán; la evolución es sensible a las condiciones iniciales y por lo tanto es caótica.La Figura 3.13 muestra un ejemplo visual de la divergencia de las órbitas.

Considerando un sistema unidimensional del mapa logístico y(n+1) = f(yn). La diferen-cia entre dos estados inicialmente cercanos después de nth pasos se escribe como:

fn(y + ε)− fn(y) = nλ. (3.15)

34

Figura 3.13: Ilustración de la divergencia de las órbitas.

Para un valor pequeño de ε, la expresión se convierte en:

λ ≈ 1

nlog | df

n

dy| . (3.16)

Finalmente, usando la regla de la cadena para derivar la n-ésima iteración y tomando lí-mites de n a infinito obtenemos

λ = lımn→∞

1

n

n−1∑i=0

log | f ′(yi) | . (3.17)

En la Figura 3.14, el exponente de Lyapunov es graficado para un mapa logístico comofunción del parámetro µ. Cuando µ se encuentra entre los valores de 2.8 hasta 3.56, el sistemamuestra un comportamiento no caótico (como se mostró en la sección 3.1), los valores deλ son negativo. Después de 3.56, λ es positivo, indicando que el sistema es caótico. Lospuntos A y B nos muestran valores negativos, intervalo en el que el sistema deja de tener uncomportamiento caótico y sólo es periódico, debido a las “ventanas” que se presentan en lasbifurcaciones, en [42] se profundiza más en este tema.

Para sistemas de n dimensiones existen n exponentes de Lyapunov. Para un sistema di-sipativo, la suma de los exponentes debe ser negativo. Si el sistema es caótico, entonces almenos un exponente es positivo para asegurar la sensibilidad a las condiciones iniciales.

Para calcular el exponente de Lyapunov para sistemas de dos a más dimensiones existendos métodos: calcular el máximo exponente de Lyapunov o calcular todos los exponentes,con el método desarrollado por Wolf [50] o el utilizado en [51].

35

Figura 3.14: Exponente de Lyapunov del mapa logístico.

3.5.1. Separación de órbitasLa separación de órbitas (OS por sus siglas en inglés), es el método que calcula el máxi-

mo exponente de Lyapunov para un sistema de ecuaciones diferenciales. Dos órbitas y y y∗

son inicializadas y = y∗. Después y∗ es perturbada por una pequeña contante ε (ver la Figura3.13). En este punto se resuelve numéricamente el sistema de ecuaciones diferenciales conun paso de tiempo (4t) constante, lo que nos da las siguiente órbita o puntos y1 y y∗1 . Ladistancia que separa y1 de y∗1 es calculada para 4t. Después y∗1 se reajustada para que estéseparada ε de y1. Si ck = yk − y∗k y dk = |ck| para k ≥ 1, entonces la ecuación

y∗k = yk +ε

dkck. (3.18)

La ecuación describe el procedimiento de normalización que tiene lugar cada4t [51]. Elproceso se repite n iteraciones, como se observa en la Figura 3.15.

Para calcular el exponente de Lyapunov, no se toman en cuenta los primeros puntos uórbitas, debido a que no están suficientemente cercas del atractor. Se desea calcular la se-paración de las órbitas después de que comiencen a exhibir un comportamiento aperiódico.Después de cada4t, el logaritmo natural de la separación relativa es calculado

Lf = log(| d1ε|). (3.19)

Ls es inicializado en cero y con el paso de4t cambia de forma Ls = Ls + Lf . Despuésde n iteraciones y con el paso del tiempo4t, el exponente de Lyapunov más grande está dado

36

Figura 3.15: Ejemplo visual del método de separación de órbitas.

por

λ =Ls/n

4t. (3.20)

3.6. Resultados numéricos del exponente de Lyapunov

3.6.1. Sistema de LorenzPara asegurar que los resultados obtenidos del cálculo del exponente de Lyapunov son

correctos utilizaremos el sistema de Lorenz (3.21), unos de los sistemas más conocidos yutilizados para representar el caos y se compararan con los resultados en [51].xy

z

=

σ(y − x)x(ρ− z)− yxy − βz

, (3.21)

donde σ, ρ y β son constantes.

Máximo exponente de Lyapunov

En la Figura 3.16 se muestra el resultado obtenido del cálculo del máximo exponente deLyapunov, con los parámetros de σ, ρ y β cuando presenta un comportamiento caótico. Elresultado obtenido es positivo, por lo que se confirma que el sistema es caótico.

En la Figura 3.17 se muestran los resultados obtenidos cambiando el valor de ρ a un valordonde se conoce que el comportamiento del sistema no es caótico. El resultado del cálculo del

37

Figura 3.16: Dinámica del máximo exponente de Lyapunov. Los valores de los parámetrosσ=10, ρ=28 y β = 8

3, y valores iniciales de x=4, y=3.5 y z=0.

exponente es negativo, indicando que el sistema no es caótico y confirmando que el métodoutilizado es correcto.

Figura 3.17: Dinámica del máximo exponente de Lyapunov. Los valores de los parámetrosσ=10, ρ=15 y β = 8


Método de Wolf

Como se mencionó en la sección 3.5 dependiendo de las dimensiones del sistema se pue-den obtener n exponentes de Lyapunov. En el caso del sistema de Lorenz 3D, obtendremos

38

3 valores de exponentes de Lyapunov. Para observar el comportamiento de x, y y z de laecuación 3.21 se utiliza el programa [52] desarrollado por Govorukhim que utiliza el métodode Wolf para el cálculo de los exponentes de Lyapunov. Además en este parte se incorpora lagráfica de x, y y z donde se observa el comportamiento del sistema. A partir de esto se puedeobservar la diferencia cuando el sistema es o no caótico.

En la Figura 3.18(a) se observa el resultado del cálculo de los exponentes, donde λ1,λ2 y λ3 corresponden a x, y y z respectivamente. Para determinar si el sistema presenta uncomportamiento caótico por lo menos uno de los exponentes debe ser positivo. Si el sistematiene todos los exponentes negativos tendrá un punto de atracción o ciclos periódicos y nopresentará un comportamiento caótico. Al ver el comportamiento del sistema (Figura 3.18(b))se observa que no tiende a ningún punto fijo ni oscila entre dos valores, si no presenta uncomportamiento extraño, su forma se parece a las alas de una mariposa.

(a)

(b)

Figura 3.18: Dinámica de los exponentes de Lyapunov. Los valores de los parámetros σ=10,ρ=28 y β = 8


En la Figura 3.19(a) observamos el comportamiento del sistema de Lorenz es no caótico,debido a que los exponentes tienen un valor negativo. Se observa la diferencia entre la Figura

39

3.18(b) y 3.19(b), cuando el sistema es no caótico se observa que la trayectoria es atraída aun punto.

(a)

(b)

Figura 3.19: Dinámica de los exponentes de Lyapunov. Los valores de los parámetros σ=10,ρ=15 y β = 8


3.6.2. Sistema de ArnoldUtilizando la ecuación 3.2, sistema utilizado para generar la trayectoria caótica implemen-

tada en el sistema automático de escaneo, se calcula el exponente de Lyapunov modificandolos valores de los parámetros para observar el comportamiento del sistema. Los valores ini-ciales son los mismos x1=4, x2=3.5 y x3=0. En la Tabla 3.1 se muestran los valores de los

40

parámetros utilizados para generar la trayectoria caótica y calcular el exponente de Lyapunov.

Parámetros A B CTrayectoria 1 1 0.5 0.5Trayectoria 2 1 0.5 0Trayectoria 3 0.27 0.135 0.135

Tabla 3.1: Valores de parámetros utilizados para el cálculo del exponente de Lyapunov. Valo-res utilizados en [3]

.

Máximo exponente de Lyapunov

En la Figura 3.20(a) se observa el comportamiento del exponente de Lyapunov de losprimeros valores de la Tabla 3.1. En la Figura 3.20(b) se utilizan los mismos valores peroaumentando el tiempo a 1000 s., esto debido a que con un tiempo menor no se logra observarbien el comportamiento del exponente.

(a) (b)

Figura 3.20: Dinámica del máximo exponente de Lyapunov. Los valores de los parámetrosA=1, B=0.5 y C=0.5, y valores iniciales de x1=4, x2=3.5 y x3=0. a) tf = 100; b) tf=1000.

En la Figura 3.21 se muestran los cálculos para los otros dos valores de parámetros de laTabla 3.1.

Los resultados obtenidos muestran que con los valores seleccionados el sistema muestraun comportamiento caótico.

41

(a) (b)

Figura 3.21: Dinámica del máximo exponente de Lyapunov con valores iniciales de x1=4,x2=3.5 y x3=0. a) Parámetros de A=1, B=0.5 y C=0; b) parámetros de A=0.27, B=0.135 yC=0.135

Método de Wolf

Utilizando los mismos parámetros, con el método de Wolf se observará el comportamien-to de las tres variables, así como el comportamiento de los exponentes de Lyapunov. En laFigura 3.22 se observa el comportamiento de los exponentes de Lyapunov, dos de los valoresdan positivos indicando que el sistema es caótico.

(a) (b)

Figura 3.22: Valores de los parámetros A=1, B=0.5 y C=0.5, y valores iniciales de x1=4,x2=3.5 y x3=0. a) Dinámica de los exponentes de Lyapunov; b) gráfica de las variables x, yy z.

En la Figura 3.23 se observa que los exponentes tienden a cero mientras que el compor-tamiento del sistema Figura 3.23(b) es diferente a la Figura 3.22(b).

42

(a) (b)

Figura 3.23: Valores de los parámetrosA=1,B=0.5 yC=0, y valores iniciales de x1=4, x2=3.5y x3=0. a) Dinámica de los exponentes de Lyapunov; b) gráfica de las variables x, y y z.

Utilizando los últimos valores de la Tabla 3.1, los exponentes muestran una tendencia casiconstante (ver Figura 3.24), resultados similares a los de la Figura 3.22.

(a) (b)

Figura 3.24: Valores de los parámetros A=0.27, B=0.135 y C=.135, y valores iniciales dex1=4, x2=3.5 y x3=0. a) Dinámica de los exponentes de Lyapunov; b) gráfica de las variablesx, y y z.

43

3.6.3. Sistema de Lorenz acoplado a un robot móvilEl sistema de Arnold y Lorenz poseen la misma dinámica; debido a esto, el acoplamiento

a un robot móvil se realiza de la misma manera (ecuación 3.22). Al realizar el acoplamientoel sistema de 3D es transformado a un sistema de 5D.

xyz

X

Y

=

σ(y − x)

x(ρ− z)− yxy − βzv ∗ cos(z)v ∗ sen(z)

. (3.22)

Utilizando el programa descrito en el apéndice A.11 se calcularan los exponentes de Lya-punov para los 5 estados de la ecuación, los datos usados para el cálculo son los utilizados enla sección 3.6.1.

En la Figura 3.25 se muestra el resultado cuando el sistema es caótico, se observa queel acoplamiento no afecta el comportamiento del sistema. En este apartado se incorpora lagráfica de la trayectoria que se genera en el plano X-Y.

(a) (b)

Figura 3.25: Valores de los parámetros σ=10, ρ=28 y β = 83, y valores iniciales de x=4,

y=3.5, z=0, X=0 y Y =0. a) Dinámica de los exponente de Lyapunov; b) trayectoria caóticaen el plano X-Y.

En la Figura 3.26 los valores obtenidos del exponente son todos negativos, comprobandolos resultados anteriores, al modificar el valor de ρ = 15 el sistema es no caótico, el acopla-miento no afecta el comportamiento.

44

(a) (b)

Figura 3.26: Valores de los parámetros σ=10, ρ=15 y β = 83, y valores iniciales de x=4,

y=3.5, z=0, X=0 y Y =0. a) Dinámica de los exponente de Lyapunov; b) trayectoria caóticaen el plano X-Y.

3.6.4. Sistema de Arnold acoplado a un robot móvilComo se comprobó en la sección anterior, el acoplamiento del sistema de Lorenz al robot

móvil no afecta el comportamiento del sistema. El mismo resultado se espera tener con el sis-tema de Arnold, esto es debido a que poseen la misma dinámica. Los valores de la Tabla 3.1son los utilizados para calcular los exponentes de Lyapunov. En la Figura 3.27 se muestranlos resultados obtenidos. Si son comparados con los resultados obtenidos en la sección 3.6.2se observa que el comportamiento es similar a los obtenidos con el acoplamiento.

Al observar las trayectorias generadas se observan que en la Figura 3.27(d) después deun tiempo se tiene un comportamiento periódico. Dicho comportamiento no es deseado pararealizar un escaneo, por lo tanto los valores que se utilizan para realizar los experimentos sonlos que presentan un comportamiento contante en los valores de los exponentes. Al observarlos exponentes de Lyapunov se puede determinar los valores y parámetros que se necesitanpara generar las trayectorias caóticas, que permitan realizar un escaneado de toda el área.

3.7. Conclusiones del capítuloEn éste capítulo se introduce el concepto de caos. Se da una breve explicación de las

propiedades que caracterizan a un sistema caótico. Se explica la técnica del mirror mapping,la cual es utilizada para lograr delimitar el área de trabajo. Se presentan las modificacionesrealizadas a esta técnica para lograr que el sistema visite la superficie desea, pero sin que setenga un conocimiento previo de la misma.

Se observó que las propiedades del caos se pueden aprovechar para hacer que la trayec-toria logre cubrir más espacio. Esto se puede lograr, aumentando el tiempo de integración,

45

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura 3.27: Valores iniciales son x1=4, x2=3.5, x3=0, x=0 y y=0. a) A=1, B=0.5, C=0.5 yv=2; b) trayectoria caótica en el plano X-Y; c)A=1,B=0.5, C=0 y v=2; d) trayectoria caóticaen el plano X-Y; e) A=0.27, B=.135, C=.135 y v=2; f) trayectoria caótica en el plano X-Y

46

modificando la posición de inicio de la trayectoria o modificando los valores iniciales y pará-metros.

Además en el capítulo se presenta el exponente de Lyapunov, método que ayuda a medirla sensibilidad a las condiciones iniciales de un sistema y por lo tanto conocer si es caóticoo no. Con el método propuesto en [51] se calcula el máximo exponente de Lyapunov, con elcual se puede conocer si el sistema es caótico. También se utiliza el método propuesto porWolf, donde se calcula los exponentes de Lyapunov de cada una de las variables utilizadasen el sistema. Con este último se observó que dependiendo de los parámetros y valores utili-zados, el comportamiento de los exponentes puedes ser casi constantes o con una tendenciaa cero. Cuando los exponentes tiende a cero, se presenta un comportamiento periódico en elplano X-Y, el cual para el desarrollo de la tesis son evitados.

47

Capítulo 4

Teoría de Búsqueda

El objetivo del capítulo es presentar conceptos fundamentales de la Teoría de Búsque-da. Aquí se explica la probabilidad de detección (POD) usada para medir el rendimiento delsistema desarrollado. Además se muestra la POD para diferentes tipos de búsqueda y la com-paración entre los distintos tipos de trayectoria, así como el porcentaje de área que cubren.

4.1. IntroducciónLa búsqueda es una tarea compleja, ardua, costosa que consume tiempo. Estas caracterís-

ticas justifican el esfuerzo de planificación para lograr resultados óptimos al respecto.

La acción de buscar se puede realizar en múltiples campos, en el internet, en la localiza-ción de sobrevivientes, etc. [53]. En este caso se trata de la búsqueda de objetos físicos consensores que actúan de manera similar a nuestros oídos y ojos. Los ojos detectan la radiaciónelectromagnética, al igual que los radares, láseres y cámaras. El oído siente las vibracionesdel sonido, como lo hacen los micrófonos y sonares. El fenómeno fundamental en cada casoes que la señal, auditiva y/o visula, disminuye con la distancia. Lo mismo sucede en nuestrocaso, por lo que la proximidad sensor-objeto es un requerimiento de la detección [2].

Para tener éxito en la búsqueda de un objeto, es necesario detectar y reconocer el objetode la búsqueda. La detección es cuando el observador o sensor percibe la presencia y posible-mente la posición e incluso en algunos casos el movimiento del objeto. Existen dos hechosbásicos en la detección [6]:

Existen conjuntos de requerimientos físicos que se tienen que cumplir si la detecciónes posible. Por ejemplo, el objetivo no debe de estar muy lejos para poder ser percibida;la vista del observador no debe de ser obstruida, etc.

La detección es un evento que bajo condiciones definidas tiene una probabilidad defi-nida, que puede tomar valores de 0 hasta 1. Cuando el objetivo apenas cumple con lascondiciones físicas la probabilidad de detección tenderá a 0. Si las condicionas mejo-ran, la probabilidad tenderá a 1.

48

4.2. Curva de alcance lateralSi se imagina un buscador siguiendo una línea recta infinita, buscando por ambos lados del

camino. La curva de rango lateral p(x) es la probabilidad de detectar un objeto estacionarioque está a una distancia x (rango lateral) de la trayectoria (Ver Figura 4.1). Para establecer laprobabilidad de detección, se debe repetir tantas veces como sea posible el experimento hastaobtener la probabilidad.

Figura 4.1: Ilustración del rango lateral.

En teoría, durante el experimento, sólo se observa la detección sin importar la localizacióna lo largo de la línea en la cual fue detectado el defecto, pero realizando suficientes trayecto-rias independientes, la probabilidad de detección puede ser establecida. Los sensores puedenser clasificados por la forma de la curva de alcance lateral (ver Figura 4.2). En la sección 6.2se calcula la curva para el sensor ultrasónico de inmersión de 1 MHz, sensor utilizado en eldesarrollo de la tesis.

Figura 4.2: Ejemplos de las curvas de alcance lateral [9].

49

4.3. Probabilidad de detecciónLa probabilidad es la medida de la posibilidad de que un evento ocurra. Es una forma de

cuantificar o estimar la posibilidad de que una medición tome valores dentro de un conjuntode valores [54]. La probabilidad siempre tiene un rango entre 0 y 1.

La probabilidad de detección(POD) es una medida del rendimiento del sensor en una bús-queda en particular. Alternativamente también puede ser una medida de que también el áreaha sido escaneada [53]. Por lo tanto la POD describe la habilidad de un sensor en particularpara detectar un objeto en específico, bajo ciertas condiciones ambientales y operacionales.

En la Figura 4.3 muestra la POD y el tamaño de la falla para un desempeño del sistemaideal, bueno y pobre. La circunstancia “ideal” detectaría todo defecto de tamaño x ≥ x′,y los defectos de tamaño x < x′ no serían detectados, donde x′ representa el tamaño apartir del cual se desea detectar. Sin embargo, esto no es del todo posible debido a múltiplesfactores como las condiciones de la prueba, las características de la falla, la forma de lapieza de prueba, etc. Para condiciones realistas se presentan la curva para una “buena” y“pobre” probabilidad de detección de fallas. La curva para una “buena” detección presenta unpequeño número de detecciones falsas. Para la curva de “mala” detección, todos los defectosdetectados son correctos, no obstante, habría una gran cantidad de defectos más pequeñosque no serán detectados.

Figura 4.3: Probabilidad de detección y tamaño de la falla.

La probabilidad de detección depende de la técnica utilizada, tomando en cuenta los fac-tores que ayudan o perjudican en las mediciones. En [9] utilizan modelos geométricos y latasa de detección para calcular la POD, en donde se ha demostrado que el enfoque de la tasade detección para el cálculo de la probabilidad de detección es más robusto que los modelosgeométricos. La idea de utilizar la tasa de detección es reemplazar los supuestos específicos

50

utilizados en los modelos geométricos con supuestos probabilísticos, esto se discutirá en lasiguiente sección.

4.3.1. Desarrollo general del modelo basado en la tasa de detecciónLa tasa de detección calcula cuántas veces se detecta el defecto en un intervalo de tiempo.

Se asume que en cada tiempo u existe una “tasa de detección” γ(u) con las propiedades:

1. ∆γ(u) es la probabilidad de detección en un pequeño intervalo de tiempo de longitud∆ que incluye u.

2. Los eventos de detección en los intervalos de tiempo de no superposición son indepen-dientes.

Las propiedades 1) y 2) determinan la probabilidad p(t) de que la detección ocurrirá enalguna parte en el intervalo [0, t). Para mostrar esto, se tiene que q(t) = 1− p(t), siendo q(t)la probabilidad de no detección. Entonces

q(t+ ∆) = q(t)(1− γ(t)∆), (4.1)

dado que el evento de no detección en los intervalos [0, t) y [t, t+∆) son independientes. Porlo tanto,

q(t+ ∆)− q(t)∆

= −q(t)γ(t). (4.2)

Tomando el límite cuando ∆ se acerca a 0, se obtiene

d

dtq(t) = −q(t)γ(t). (4.3)

La solución de esta ecuación diferencial es

q(t) = exp(−n(t)), (4.4)

donde

n(t) =

t∫0

γ(u)du. (4.5)

Normalmente, el proceso se detiene con la primera detección, si existe una, en el intervalode [0, t). Pero si el buscador continua detectando, N(t) es el número aleatorio de deteccionesque ocurren en un tiempo t, entonces la media de N(t) es n(t).

51

Koopman define 3 modos de búsqueda:

Búsqueda exhaustiva,

Búsqueda aleatoria,

Búsqueda de la ley de cubo inverso,

las cuales se describen a continuación.

4.3.2. Búsqueda exhaustivaSe considera un buscador con un ancho de barrido (sweepwidth) W, por el momento sig-

nifica que el buscador detecta todo dentro de W/2 de su propia posición y nada fuera de él.Si el buscador tiene una velocidad V, entonces VW es la tasa a la que el área es cubierta. En labúsqueda exhaustiva, se asume que no hay superposición en los segmentos de búsqueda y noexiste búsqueda fuera del área establecida. Una región con área A será cubieta completamenteen un tiempo VWt/A.

Con más precisión, dada que la probabilidad de detección no puede exceder 1, tenemos

p(t) = min(1, V Wt/A). (4.6)

Una de las estrategias de búsqueda más conocida y utilizada es la exhaustiva. Existendiferentes formas de realizar una búsqueda de este tipo como el de ida y vuelta o sistemática,el “raster scan”, el método “spiral-in” y el “spiral-on”. La Figura 4.4 muestra el comporta-miento de la trayectoria sistemática, además se aprecia que en áreas irregulares la búsquedaexhaustiva tiene desventajas, como buscar en áreas fuera de la deseada o dejar áreas sin bús-queda.

Figura 4.4: Representación de una búsqueda exhaustiva.

52

4.3.3. Búsqueda aleatoriaSe considera una búsqueda aleatoria con un buscador cookie-cutter con un ancho de ba-

rrido W en una región con un área A. Si la velocidad del buscador es V, entonces en un tiempo∆, el buscador mira un área de tamaño VW∆, entonces la probabilidad de detección debeser (VW∆)/A. La probabilidad de detección es:

p(t) = 1− e−VWt/A. (4.7)

La búsqueda aleatoria evidentemente no es la meta del buscador, la idea de realizar unabúsqueda desorganizada no tiene sentido.

4.3.4. Ley del cubo inversoPara la detección visual se asume que γ(u) es proporcional al ángulo sólido sustentado

por el objetivo (ver Figura 4.5). Para un objeto con rango r desde el sensor con un áreaaparente A, el ángulo sólido es A/r2. Si el objetivo es una “mancha” de dos dimensiones conárea A, y si el sensor se encuentra a una distancia r y a una altura h arriba del plano de lamancha, entonces el área aparente de la mancha es Ah/r para h >> r, y el ángulo sólido esAh/r3.

Figura 4.5: Definición del ángulo sólido.

Utilizando la ecuación 4.4

q(t1, t2) = e−n(t1,t2), (4.8)

donde 1 − q(t1, t2) es la probabilidad de detección arriba de cualquier intervalo [t1, t2]. Enparticular, si γ(u) = kAh/r3 y si el buscador pasa por el objetivo a una velocidad V en unalínea recta infinita que pierde el objetivo por x, entonces

n(−∞,∞) =

∞∫−∞

kAh

(h2 + x2 + V 2u2)3/2du =

2m

h2 + x2. (4.9)

53

donde m = kAh/V . La constante k se obtiene dependiendo del contraste del objetivo contrael fondo, la calidad del equipo, etc.

La probabilidad de detección ocurrirá en algún lado a lo largo de la línea

p(x) = 1− e−2m/x2 . (4.10)

La función p(x) es la curva de rango lateral, y el ancho de barrido W es

W =

∞∫−∞

p(x)dx =√

(8πkAh/V ). (4.11)

4.3.5. Comparación entre la búsqueda exhaustiva y aleatoriaPara el cálculo de la POD, el área utilizada es de 15x20 cm, con una velocidad de 2mm/s,

el ancho de barrido utilizado es un cookie-cutter, teniendo un valore de 2R, donde R es elradio del área iluminada que es de 7.62 mm. En la Figura 4.6 se muestran los resultadosobtenidos al utilizar la ecuación 4.6 para la búsqueda exhaustiva y la ecuación 4.7 para laaleatoria. Con los valores utilizados observamos que la búsqueda exhaustiva tarda un tiempode 983 s en cubrir toda el área posible, mientras que la búsqueda aleatoria en un tiempode 1500 s tiene la probabilidad de detectar de 0.78. Con esto se confirma que la búsquedaexhaustiva tiene mejores resultados que la aleatoria.

Figura 4.6: Comparación de los métodos de búsqueda

54

4.4. Porcentaje de área cubiertaPara calcular el porcentaje de área que la trayectoria logra cubrir en un determinado tiem-

po, obtenemos el porcentaje de área cubierta. El cálculo numérico se realiza en el SoftwareMATLAB 7.5. Los parámetros de entrada necesarios son: las trayectorias (xi, yi), donde i vadesde 0 hasta el número de puntos deseado, los límites mínimos y máximos del área que sedesea escanear, el tamaño del área iluminada.

El centro del área iluminada, representada por un círculo de color negro, se coloca encada posición (x,y) de la trayectoria. El programa realiza un barrido de la imagen (con loslímites establecidos), y suma los pixeles negros, los cuales representan el área que ha sidoescaneada. Se compara con el número total de pixeles de la imagen y se obtiene el porcentaje.

El cálculo del porcentaje de área cubierta de las diferentes trayectorias utilizadas se mues-tra en el capítulo 6.

4.5. Conclusiones del capítuloEn el capítulo se dio una introducción a la Teoría de Búsqueda y a la probabilidad de

detección. Se muestra la manera de calcular la POD mediante la tasa de detección para tresdiferentes tipos de búsqueda: exhaustivo, aleatorio y la ley del cubo inverso.

Se calcula la POD para la trayectoria exhaustiva y aleatoria utilizando los valores obteni-dos en la caracterización del sensor (ver sección 2.5). Observando que el tiempo que necesitala búsqueda exhaustiva es de 16 min para obtener la POD de 1, mientras que la búsquedaexhaustiva con este tiempo la POD es 0.65. Mostrando que la búsqueda exhaustiva es máseficiente que la aleatoria.

Se presenta la manera en que el porcentaje de área cubierta será calculado, para compa-rar la trayectoria exhaustiva, aleatoria y caótica. Se utiliza el porcentaje debido a que es unaaproximación a la POD.

55

Capítulo 5

Sistema automático de escaneo

El objetivo del capítulo es describir el sistema automático de escaneo utilizado en eldesarrollo de esta tesis. Se describen las partes físicas que componen el sistema, así como lainterfaz del usuario desarrollada en el Software LabVIEW para la adquisición de la señal, ymanipulación del sistema automático de escaneo.

5.1. AntecedentesLos ensayos no destructivos se han practicado durante muchas décadas y se han visto

motivados con la rápida evolución inicial en la instrumentación estimulada por los avancestecnológicos que se produjeron durante la Segunda Guerra Mundial. Durante esta guerra yposteriormente el uso del sonar se extendió. Esta técnica de enviar ondas sonoras a través delagua y la observación de los ecos de retorno para caracterizar objetos sumergidos, inspirópronto a los investigadores a explorar la forma de aplicar el concepto hacia el diagnósticomédico.

En 1949, los científicos norteamericanos Ludwig y Struthers publicaron un trabajo en elcual se describía un método para la detección de litiasis vesículas, donde se utilizó el primerinstrumento de ultrasonido que utilizó el modo A-Scan para visualizar objetos en una pantallade osciloscopio como un radar o sonda [55].

En 1972, Kossof y Garret emplearon la escala de grises para la interpretación de las ex-ploraciones ecográficas de forma que aumentaba la información obtenida de cada estudiointroduciendo la técnica de representación bidimensional (B-Scan) [56]. En 1973, se inicióel auge de los aparatos de tiempo real aunque no fue hasta el siguiente año que se impulsó laobtención de imágenes ultrasónicas en color y tridimensionales (C-Scan).

En la década de los 80’s el uso de tanques de inmersión para la END se incrementósignificativamente con el desarrollo de sistemas automatizados de escaneo. Estos sistemasmóviles, permitieron a los sistemas de inmersión generar imágenes de tipo C-Scan, y hansido recientemente desarrollados y actualmente en investigación para aplicaciones de evalua-

56

ción no destructiva ([17], [57]). Los sistemas de este tipo son relativamente similares a losconvencionales de contacto, por esta razón juegan un importante papel en la evaluación nodestructiva de materiales compuestos. Estos sistemas de no contacto pueden también incor-porarse a sistemas híbridos, usando láser para generación ultrasónica y transductores de nocontacto para una detección ultrasónica eficiente [30].

Actualmente el uso de sistemas automáticos es común en centros de investigación de ul-trasonido y en algunas empresas, el uso de estos sistemas está limitado por:

Alto costo de los equipos.

Requerimientos computacionales.

Arquitectura cerrada.

Entrenamiento del manejo.

Al desarrollar nuestro prototipo se tomaron en cuenta estos puntos para el diseño, ademásde una interfaz amigable al usuario.

5.2. Descripción del sistema desarrolladoComo se mencionó en la sección anterior en los sistemas automáticos de escaneo existen

diferentes modos de observar los resultados A-Scan, B-Scan y C-Scan. Para los objetivos dela tesis utilizaremos el A-Scan, donde se obtiene una representación donde, en el eje X es eltiempo y en el eje Y es la amplitud.

Para poder realizar la comparación entre las trayectorias sistemática, aleatoria y caóticaes necesario poder controlar la velocidad de escaneo, poder seleccionar la trayectoria quedebe seguir, visualizar las señales ultrasónicas, para la cual es necesario la integración de lossiguientes elemento para el desarrollo del escáner y siguiendo el diagrama de la Figura 5.1:

Sistema mecánico para el movimiento del sensor ultrasónico.

Sensor ultrasónico de inmersión.

Controlador de los motores.

Generador/Receptor de señales ultrasónicas.

Sistema de comunicación de datos con la PC.

Interfaz del usuario.

57

Figura 5.1: Esquema del sistema automático.

5.2.1. Sistema mecánico para el movimiento del sensor ultrasónicoEl sistema cuenta con 3 motores a pasos Velmex con las características mostradas en la

Tabla 5.1. Los motores a paso forman el sistema donde está montado el transductor, el cualpuede moverse en X-Y-Z. Los motores Y-Z son puestas en marcha por 2 motores VelmexPK264-03A-PI, y el eje X se manipula mediante el motor Velmex PK296-03BA-A3. Comoefector final se encuentra un sistema donde está montado el transductor ultrasónico. Además,en el efector final se puede variar manualmente el ángulo de inclinación del transductor sobre2 ejes más (en las pruebas realizadas los ángulos se mantuvieron fijos y con un ángulo de 0◦).

Características de los motores ValoresAvances por vuelta 2.54 mmAvance por paso 0.00635 mm

Velocidad 1 a 6000 pasos/sec.

Tabla 5.1: Características principales de los motores del escaner.

5.2.2. Sensor ultrasónicoPara la realización del experimento se utiliza un sensor ultrasónico de inmersión Olympus

V303 de 1MHz con un diámetro de 0.5”. Sus especificaciones se muestran en [32]. Estetipo de transductores están específicamente diseñados para la transmisión de ultrasonido enaplicaciones donde la parte de la prueba esta parcialmente o totalmente sumergida. En laFigura 5.2) se muestra el sensor utilizado.

58

Figura 5.2: Sensor ultrasónico de inmersión.

5.2.3. Controlador de los motoresLos motores se mueven mediante un controlador VXM (Figura 5.3). El VXM obtiene los

comandos y controla los motores con base en las instrucciones recibidas de la interfaz deusuario. Se utilizan 2 controladores, donde uno de ellos mueve los motores de los ejes Y y Z,y es conectado mediante una interfaz RS-232, este controlador trabaja como control maestro.El segundo controlador que mueve el motor del eje X es conectado mediante un cable Bushacia el controlador maestro; este segundo controlador trabaja como control esclavo.

Esta configuración de los controladores y motores, permite que dos motores puedan mo-verse de manera simultánea y de puedan realizar movimientos sobre el plano X-Y.

Figura 5.3: Controlador VXM de los motores a pasos.

5.2.4. Generación de señales ultrasónicasPara la generación de señales se utilizó el Pulsador/Receptor Olympus (ver Figura 5.4).

El Pulsador/Receptor se utiliza para mandar el pulso inicial al transductor y recibir la capturade la señal de salida que es mandada al osciloscopio.

Figura 5.4: Pulsador/Receptor Olympus.

59

5.2.5. Sistema de comunicación de datos con la PCEn el sistema desarrollado, se utilizó un osciloscopio digital Tektronix TDS 210 como

sistema de adquisición de datos. El osciloscopio manda la señal a la PC mediante el puertoGPIB y son visualizadas en la interfaz del usuario. La señal es enviada por el Pulsador/Re-ceptor Olympus.

5.3. Interfaz del usuarioLa interfaz gráfica de usuario fue desarrollado en LabVIEW 8.6 de National Instruments,

software de programación grafica para el diseño de sistemas de adquisición de datos, instru-mentación y control. La interfaz está constituida esencialmente de tres partes:

Adquisición de señales.

Generación de trayectorias y control del escanér.

Visualización de la trayectoria.

5.3.1. Adquisición de señalesEs la parte de la interfaz donde se muestra la señales enviadas por el osciloscopio. Esta

integrada por gráficas, botones e indicadores (ver Figura 5.5).

Figura 5.5: Parte de la adquisición de datos de la interfaz del usuario.

60

La ventana 1 se obtiene la señal recibida del osciloscopio. Se manejan dos indicadoresque nos permiten manejar el zoom de la señal.

La ventana 2 muestra la señal delimitada por los indicadores de la venta 1.

La ventana 3 muestra la señal amplificada de los indicadores (umbral) A y B de laventana 2. Esta ventana es usada para registrar la señal del primer rebote, utilizada parasaber cuándo utilizar la técnica del mirror mapping y que depende de los indicadores.Si la señal está por debajo del umbral establecido, el indicador mirror mapping seencenderá señalando que el escáner esta fuera del área de trabajo.

La ventana 4 es utilizada para observar la señal amplificada de los indicadores C y Dde la ventana 2. Esta ventana se utiliza para observar la señal del defecto. Si la señalse encuentra por arriba del umbral, el indicador “Defecto” se encenderá y la señal yposición del escáner será guardada.

El botón “Señales” da la opción de activar o desactivar la adquisición de datos.

El indicador “Source”, permite seleccionar el canal utilizado en el osciloscopio.

5.3.2. Generación de trayectorias y control del escánerEn esta parte se generan las diferentes trayectorias: sistemática, aleatoria y caótica. Se

controla el escáner de manual. Se selecciona el número de puerto al que se conecta el contro-lador de los motores. El panel está formado por 6 partes:

P.I.: Se guarda la posición deseada como posición inicial, se mueve a la posición indi-cada como posición inicial.

Figura 5.6: Primer panel, se guarda la posición actual como inicial.

61

Lineal: Se puede mover el escáner en los tres ejes, proporcionando la distancia y velo-cidad deseada.

Figura 5.7: Panel del movimiento lineal del escáner.

T. Caótica: Se seleccionan los parámetros y valores iniciales deseados para generar latrayectoria. Se determinan los límites. El resultado obtenido es la trayectoria con elmirror mapping.

Figura 5.8: Panel de generación de las trayectorias caóticas con límites establecidos.

T. Aleatoria: Para generar la trayectoria se necesita establecer los límites, la posicióninicial, el número de puntos que se desea que tenga la trayectoria, la velocidad a la quese realiza el escaneado y la distancia entre punto y punto.

62

Figura 5.9: Panel de generación de las trayectorias aleatorias con límites establecidos.

T. Caótica-Auto:A diferencia del apartado “T. Caótica” la trayectoria que se genera essin límites. La trayectoria será limitada mediante la señal del primer rebote. Cuandoel indicador mirror mapping se encienda en el apartado de adquisición de señales,indicando al sistema que se encuentra fuera del área que se desea escanear, el sistemabuscara el área mediante la técnica mencionada anteriormente.

Figura 5.10: Panel de generación de las trayectorias caóticas.

T. Sistemática: Se genera la trayectoria sistemática, los parámetros utilizados son loslímites, el porcentaje de superposición, número de puntos, velocidad y posición inicial.

63

Figura 5.11: Panel de generación de las trayectorias sistemáticas con límites establecidos.

5.3.3. Visualización de la trayectoriaEn esta parte de la interfaz se muestran dos graficas:

Numérico: Se muestra la trayectoria generada y la trayectoria que se desea que el sis-tema siga.

Experimental: Se muestra la trayectoria que el sistema está siguiendo.

Figura 5.12: Panel de visualización las trayectorias.

64

5.4. Conclusiones del capítuloEn este capítulo se dio una breve introducción de la evolución de las pruebas no des-

tructivas mediante la técnica de ultrasonido. Se muestran los componentes básicos para eldesarrollo de nuestro prototipo y la interacción entre los componentes. El sistema de escaneoautomático desarrollado trabaja en línea y en tiempo real.

Se da una explicación de los componentes y el funcionamiento de la interfaz del usuariodesarrollada en LabVIEW 8.6. La interfaz tiene la posibilidad de cambiar de diferente trayec-torias en el mismo programa y la opción de ver en línea las señales y la evolución del escáner.Además modificando el programa se puede incorporar el modo B-Scan y C-Scan.

65

Capítulo 6

Resultados experimentales

En este capítulo se presenta los resultados experimentales llevados a cabo con el sistemadescrito en el capítulo anterior. Se calcula la curva de rango lateral. Se compara a la tra-yectoria caóticas con la exhaustiva y la aleatoria. Se presentan los resultados del tiempo debúsqueda de un defecto oculto en un espacio no estructurado.

6.1. Metodología del desarrollo experimentalPara el desarrollo de la parte experimental se utilizó el sensor de inmersión de 1 MHz

(mismo que se caracterizó en la sección 2.5). El área que se escanea es una placa de aluminiode 15x20x25.4 cm (las medidas son las utilizadas en el cálculo de POD de la trayectoriaexhaustiva y aleatoria en la sección 4.3.5). La placa tiene una perforación 12.7 cm y con undiámetro de 6 mm. Esta se coloca dentro de un tanque que se encuentra con agua, como semuestra en la Figura 6.1.

Figura 6.1: Colocación de la placa del tanque y nivelación con respecto al plano del escaner.

66

Como se explicó en la sección 2.4 con la técnica pulso-eco se calcula el tiempo de arribode las señales, el cual fue determinado en la sección 2.6. Al realizar los cálculos se utilizó unaaltura de 37.2 mm entre el sensor y la placa de aluminio, la cual fue obtenida en la sección2.5. Para asegurar que la altura sea contante, la placa es nivelada con respecto al plano X-Ydel sistema automático de escaneo.

Después de que la placa es nivelada, los indicadores de la interfaz de adquisición deseñales son ajustados (ver sección 5.3.1). Una vez establecidos los indicadores de la ventana2, se selecciona el umbral de la señal del primer rebote, el cual determinará si el sensor seencuentra dentro o fuera de la placa. En la Figura 6.2 se muestran la señal cuando el sensor seencuentra dentro de la placa (A). Cuando la señal se atenúe un 12 % comparada con la señal(A), indicara que el sensor se encuentra fuera de la placa (B).

Figura 6.2: Señales cuando el sensor se encuentra (A) dentro y (B) fuera de la placa.

67

Para seleccionar el umbral de la señal del defecto, se coloca el sensor arriba de la discon-tinuidad y se va alejando lentamente hasta que la señal casi desaparezca. En la Figura 6.3(a)se observa la señal del defecto cuando el sensor se encuentra arriba del defecto y la Figura6.3(b) cuando el sensor se encuentra lejos del defecto.

(a) (b)

Figura 6.3: Zoom de la señal del defecto. a) Señal cuando el sensor se encuentra arriba de laseñal del defecto; b) señal cuando el sensor está alejado del defecto.

Una vez realizado lo antes descrito, se llevan a cabo diferentes experimentos, para ob-tener la curva de rango lateral del sensor, el tiempo de escaneado de la trayectoria caótica,sistemática y aleatoria. Se realizaron modificaciones a la técnica del mirror mapping (comose describe en la sección 3.4), para lograr un escaneado sin un conocimiento previo de laforma del área a escanear.

6.2. Cálculo del la curva de rango lateralEn el capítulo 4 se dio una introducción a la Teoría de Búsqueda y a la probabilidad de

detección, siendo esta última una ayuda para medir el desempeño de búsqueda. Además semencionó que una manera de clasificar los sensores es mediante la curva de rango lateral.Para conocer el comportamiento del sensor utilizado en esta tesis determino la curva delrango lateral. Para lograr esto, se coloca el sensor a una distancia inicial de x0=12 mm conrespecto al defecto, como se observa en Figura 6.4. Con referencia al eje Y, el sensor escolocado al inicio de la placa. En el eje Y, se realiza un escaneado en línea recta de ida yde vuelta 15 veces. Después el sensor es movido en el eje X una distancia S = 1 mm (verFigura 6.4) y se repite el escaneado en línea recta. El proceso se repite hasta observar que elsensor siempre detecta el defecto (eje Y), se utiliza la interfaz del usuario para la adquisicióny post-procesamiento de señales descrita en la sección 5.3.

68

Figura 6.4: Demostración de la obtención de la curva del rango lateral.

En la Figura 6.5 se muestran los resultados obtenidos. Estos representan las veces que elsensor detecta el defecto, sin importar su localización. El escaneado se realizó con diferentesvelocidad, observando que entre mayor sea la velocidad, la detección del defecto disminuirá.Además cuando el sensor se encuentra a una distancia en el eje X de 8 mm o menor, el defectosiempre es detectado sin importar la velocidad. Esto es debido a que el defecto se encuentradentro del rango del área iluminada del sensor (calculada numéricamente en la sección 2.5.1).

Figura 6.5: Resultados obtenidos de la curva de rango lateral.

69

Si se comparan los resultados obtenidos en la Figura 6.5 contra los ejemplos de la curvade rango lateral (ver Figura 4.2), se observa que el sensor tiene un comportamiento que siguela ley de cubo inverso, donde la probabilidad de detección es mayor en el centro del sensor ydisminuye conforme se aleja de éste.

6.3. Implementación de la trayectoria caótica en el robotcartesiano X-Y

En la sección 3.3 se explicó que mediante la ecuación de Arnold se puede generar uncomportamiento caótico y se logró acoplar a un robot móvil mediante la ecuación 3.5, gene-rando un movimiento caótico. Para implementar la trayectoria, se utilizan los valores de (x,y)de la ecuación 3.5. Estos valores son las coordenadas en el plano del robot. En la interfaz delusuario descrita en la sección 5.3, se colocan los parámetros y valores iniciales para generarla trayectoria. Con la interfaz desarrollada se puede lograr realizar un escaneado sin la nece-sidad de tener un conocimiento previo de las dimensiones o forma del área (no estructurada).

6.3.1. Escaneado sin conocer los límites del área deseadaEn la interfaz del usuario se tienen dos apartados para que el robot cartesiano siga una tra-

yectoria caótica: T. caótica y T. caótica Auto (ver sección 5.3.2). Cuando se utiliza T. caóticase necesita establecer los límites del área y el programa generará la trayectoria caótica conlímites. Al utilizar el apartado T. caótica Auto no se colocan los límites y el robot aplicará demanera automática el mirror mapping cuando se encuentre fuera del área.

Para lograr que el sistema conozca si esté dentro o fuera del área se utiliza la señal delprimer rebote. En la Figura 6.2 se muestra la señal del primer rebote cuando se encuentradentro y fuera del área. Si la señal sobrepasa el umbral establecido, el sistema se encuentradentro del área. Si se encuentra debajo de éste, el robot está afuera de la placa.

En la sección 3.4.1 se explicó cómo fue modificada la técnica del mirror mapping parapoder utilizar una malla con valores de 0 y 1, los cuales indicaban si la trayectoria se encon-traba fuera o dentro del área que se desea escanear. En lugar de la malla, se utilizara la señaldel primer rebote, que dará los valores de 0 y 1. El valor es 0 si la señal está por debajo delumbral y 1 si se encuentra arriba de los rangos establecidos.

Cuando el sistema manda el valor de 0, el sistema rotará siempre un ángulo 2θ en sentidoanti-horario. Si después de la rotación, la señal se encuentra por debajo del umbral estableci-do, el sistema rotará −2θ − 2α (α es el ángulo complementario de θ). Si el valor no cambiaa 1, el sistema girará +2α + 180◦. Si sigue dando valor de 0 el sistema se parará.

70

En la Figura 6.6, se muestran las rotaciones que el sistema realiza.

Figura 6.6: Ejemplo visual de la metodología a seguir.

En la Figura 6.7(a) se observa la trayectoria caótica sin límites, generada con los valoresde la Tabla 6.1. En la Figura 6.7(b) se muestra la trayectoria que realizó el robot cartesianocuando se establecen los límites del área a escanear (límites inferiores (-1,-1) mm y límitessuperiores (13,18) mm).

A B C v x1 x2 x3 x y1 0.5 0.5 2 4 3.5 0 0 0

Tabla 6.1: Valores utilizados para generar la trayectoria caótica.

71

La trayectoria que se generó cuando el área no es conocida se muestra en la Figura 6.7(c).Los resultados muestran que el comportamiento final de la trayectoria cambia, pero se lograpermanecer dentro de la placa.

(a) (b)

(c)

Figura 6.7: Trayectoria caóticas. a) Trayectoria sin límites; b) trayectoria proporcionando loslímites; c) trayectoria sin límites conocidos.

Cuando se realiza una búsqueda, el tiempo es un factor importante. Debido a esto, con laayuda de un cronómetro se midió el tiempo que se tardó cada trayectoria en hacer el recorrido,resultados mostrados en la Tabla 6.2. Se observa que, como era de esperar, la trayectoria de laFigura 6.7(c) tarda más tiempo, esto debido a las rotaciones que necesita hacer para encontrarla placa.

72

Trayectoria TiempoTrayectoria con límites 8:12 minTrayectoria sin límites 10:43 min

Tabla 6.2: Tiempo necesario para recorrer la trayectoria generada.

Tomando sólo el tiempo de escaneo, la trayectoria con límites parece ser la adecuada.Existen otros factores que se deben de tomar en cuenta, por ejemplo, el área cubierta deescaneo. Calculando el porcentaje de área cubierta de las dos trayectorias observamos quela trayectoria sin límites logra cubrir más superficie, como se muestra en la Figura 6.8. Conestos resultados podemos concluir que la modificación que se realizó a la técnica del mirrormapping, no afectaron considerablemente, los resultados del tiempo y área cubierta.

Figura 6.8: Cálculo del porcentaje de área cubierta.

Como se mencionó, con la interfaz del usuario es posible identificar cuando el sensordetecta el defecto. En las Figuras 6.7(b) y 6.7(c) se representa el defecto en forma de circulo.Se observa que a pesar de que se generó una trayectoria sin límites predefinidos, el sistemano tiene problemas para localizar el defecto.

En estas mismas figuras (6.7(b) y 6.7(c)), se observa que la técnica de mirror mappingafecta el comportamiento final, modificando el tiempo, la cobertura de la superficie y la de-tección. Para caracterizar mejor este fenómeno, se decidió trasladar el escáner a diferentesposiciones de la placa, con la misma trayectoria original y utilizando el mirror mapping mo-dificado.

73

En la Figura 6.9 se muestran los resultados obtenidos. Se observa que la máxima dife-rencia es de 1 min, logrando solo la trayectoria (1a) identificar el defecto. Sin embargo, enla Figura 6.10) se muestra que del porcentaje de área cubierta permanece sin mayor cambio,siendo la máxima diferencia de 3.48 %. Modificando el punto de inicio de la trayectoria selogra cambiar el comportamiento de la trayectoria, logrando aumentar la probabilidad de de-tección.

(a) (b)

(c)

Figura 6.9: Generación de trayectorias modificando la posicion inicial del escaner, sin mo-dificar la trayectoria original (Figura 6.7(a)). a) Trayectoria 1a con un tiempo de 10:54 s; b)trayectoria 1b con un tiempo de 10:50 s; c) trayectoria 1c con un tiempo de 11:13 s.

74

Figura 6.10: Cálculo del porcentaje de área cubierta.

Para probar que la técnica mirror mapping modificada y que el sistema puede de formaautónoma, recorrer todas las áreas permitidas para escaneo, se modificó la forma de la placacubriéndola de un material el cual no dejara pasar la señal de ultrasonido, lo cual simulaáreas donde el escaneo no es necesario. La Figura 6.11 se muestran las diferentes formas dela placa.

En la Figura 6.12 se muestran los resultados obtenidos. Para generar la trayectoria se uti-lizan los valores de la Tabla 6.1, la cual generó la trayectoria de la Figura 6.7(a). Se observaque en las tres casos, las trayectorias seguidas por el escáner visitan todas las áreas conecta-das. Estos resultados, parecen probar la propiedad teórica de transitividad topológica de unsistema caótico (ver sección 3.2).

La Tabla 6.3 muestra los tiempos de cada una de las trayectorias. El tiempo aumentódebido a que este realizó más rotaciones para lograr estar dentro del área establecida.

Trayectoria TiempoÁrea 1 27:38 minÁrea 2 26:03 minÁrea 3 29:14 min

Tabla 6.3: Tiempo necesario para recorrer la trayectoria generada.

75

(a) (b)

(c)

Figura 6.11: Diferentes arreglos de áreas. a) Área 1; b) área 2; c) área 3.

76

(a) (b)

(c)

Figura 6.12: Escaneo de áreas irregulares utilizando la técnica del mirror mapping con laseñal del primer rebote. a) Área 1; b) área 2; c) área 3.

77

6.4. Comparación de movimiento caótico, aleatorio y siste-mático

Para poder realizar una comparación entre los diferentes tipos de movimientos, se utili-zaron los mismos parametros:

Límite inferior: (-1,-1) mm.

Límite superior: (13,18) mm.

Velocidad de escaneo: 2 mm/s.

Número de puntos que forman la trayectoria: 108 pts.

6.4.1. Generación de las trayectoriasTrayectoria aleatoria

Utilizando un valor aleatorio para el ángulo de giro, y una distancia constante entre puntoy punto se genera la trayectoria aleatoria (random walk [3]), como se muestra en la Figura6.13.

Figura 6.13: Esquema de la trayectoria aleatoria.

En la Figura 6.14 se observan las trayectorias que se generaron. Se observa que ningunasigue un patrón común, lo que ocasiona que sea imposible lograr a predecir la posición delsiguiente punto. Debido a esto es imposible estar seguro que se logre encontrar el defecto, espor esto que estas trayectorias no son usadas para realizar una búsqueda.

Trayectoria caótica

Para generar la trayectoria caótica se utilizan los valores de la Tabla 6.4. Estos valoresgeneran un comportamiento constante de los exponentes de Lyapunov (Ver sección 3.6.4.

78

(a) (b)

(c)

Figura 6.14: Tratectorias aleatorias. a) Trayectoria 1; b) trayectoria 2; c) trayectoria 3.

Trayectoria A B C v x1 x2 x3 x yTratectoria 1 1 0.5 0.5 2 4 3.5 0 0 0Tratectoria 2 .27 .135 .135 2 4 3.5 0 0 0

Tabla 6.4: Valores utilizados para generar la trayectoria caotica.

79

En la Figura 6.15 se muestran las trayectorias originales y después de aplicar la técnicadel mirror mapping.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 6.15: Tratectorias caóticas. a) Trayectoria 1 original; b) trayectoria 1 aplicando elmirror mapping; c) trayectoria 2 original; d) trayectoria 2 aplicando el mirror mapping.

80

Trayectoria sistemática

La trayectoria sistemática sigue una camino de onda cuadrada como se observa en laFigura 4.4. En este tipo de trayectoria se puede controlar el porcentaje de superposición delárea de cobertura (cuando las áreas iluminadas ocupan el mismo espacio). Los resultadosobtenidos se muestran en la Figura 6.16, donde se modificó el grado de superposición.

(a) (b)

(c)

Figura 6.16: Trayectoria sistemática. a) Sin superposición (distancia entre punto y punto de1.524 cm); b) 25 % de superposición (distancia entre punto y punto de 0.9673 cm); c) 50 %superposición (distancia entre punto y punto de 0.6157 cm).

Es obvio que al aumentar el porcentaje de superposición del área iluminada, el tiempo,la localización del defecto y el área a cubrir disminuirán, esto considerando que se utilizó

81

el mismo número de puntos al realizar los experimentos, donde el objetivo es observar quetanto afecta en el porcentaje de área cubierta. Es importante mencionar que aunque escaneosin superposición provee máxima velocidad de escaneo, no es posible cubrir el total del área:esto debido a que el área iluminada por el sensor es circular.

6.4.2. Tiempo de búsquedaComo se mencionó, el tiempo es un factor importante cuando se realiza una búsqueda.

Es por esto que se toma como un punto de partida para realizar una comparación entre lasdiferentes trayectorias utilizadas en el desarrollo de la tesis. En la Tabla 6.5 se muestran lostiempos de cada una de las trayectorias utilizadas.

Trayectoria caótica Tiempo de búsquedaTrayectoria 1 07:58 min.Trayectoria 2 18:49 min.

Trayectoria aleatoria Tiempo de búsquedaTrayectoria 1 15:31 min.Trayectoria 2 15:40 min.Trayectoria 3 15:39 min.

Trayectoria sistemática Tiempo de búsquedaNo superposición 15:22 min..

25 % superposición 12:09 min.50 % superposición 08:51 min.

Tabla 6.5: Resultados del tiempo de búsqueda de las trayectorias.

En la 4.3.5 se calculó la POD de la trayectoria exhaustiva cuando no existe superposicióndonde el tiempo que tarda en recorrer toda el área es de 16 min. Mientras que el resultadode realizar la trayectoria sistemática (una forma de realizar la búsqueda exhaustiva) es de15 min, lo cual concuerda con la teoría. Como era de esperar, utilizando el mismo númerode puntos, el tiempo de búsqueda disminuyó al aumentar la superposición, pero el área decobertura disminuirá. Si se trata de cubrir toda el área se tendría que aumentar el número depuntos utilizados, lo que aumentaría el tiempo de búsqueda y el área cubierta.

En la Tabla 6.5 observamos que el tiempo que tarda las diferentes trayectorias aleatoriases de 15 min aproximadamente variando por segundos. Aunque el tiempo de búsqueda seaproxime al tiempo de la trayectoria sistemática (sin superposición), no significa que cubrela misma área. Como se observa en la Figura 6.14, la cobertura del área varía en cada una delas trayectorias.

En cuanto a la trayectoria caótica observamos que existe una diferencia de más del dobledel tiempo entre las dos trayectorias generadas, a pesar de que el número de puntos es el mis-

82

mo. Esto se debe a la sensibilidad a las condiciones iniciales de los sistemas con dinámicacaótica.

Tomando sólo el tiempo de búsqueda, una de las ventajas que presenta la trayectoria caó-tica es que, se puede lograr aumentar o disminuir el tiempo de búsqueda modificando losvalores utilizados para generar las trayectorias. La ventaja que presenta la trayectoria siste-mática con respecto a la caótica es que por medio de la Teoría de Búsqueda, se puede conocercon anticipación el tiempo, si se conocen las demás variables (solo cuando no existe super-posición).

6.4.3. Porcentaje de área cubiertaOtro factor que se tomó en cuenta para comparar las trayectorias es el área de cobertura,

esto mediante el cálculo del porcentaje de área cubierta, descrito en la sección 4.4. En la Fi-gura 6.17 se muestra los resultados obtenidos.

Se observa que la trayectoria que logra cubrir más área es la trayectoria sistemática sinsuperposición, cubriendo casi un 80 % del área total. Aunque es la trayectoria que cubre másárea, ésta tiene la desventaja de la máxima área que sin superposición no rebasa el 80 %. Apesar que el tiempo de búsqueda de la trayectoria aleatoria es el mismo se observa que elárea de cobertura no es el mismo, esto es debido al ángulo aleatorio y la presencia de puntosrepetidos, lo cuál es intrínseco en la búsqueda aleatoria.

La trayectoria caótica 2 es la que tiene el mayor tiempo de búsqueda, pero solo lograndocubrir un 40 % de área, siendo esto la mitad de la superficie cubierta por la la trayectoriasistemática sin superposición. La trayectoria caótica 1 con menor tiempo cubre aún menossuperficie. En este punto, si se desea cubrir más área de búsqueda, sería mejor utilizar unatrayectoria sistemática, puesto que se conoce con seguridad que sin superposición siemprecubrirá un 80 % de la superficie.

6.4.4. Detección del defectoComo se mencionó anteriormente el objetivo de toda búsqueda es encontrar el objeto, por

el cual se inició la búsqueda. En esta tesis uno de los objetivos es localizar el defecto ocultoque se encuentra en la placa de aluminio, por medio del ultrasonido. Utilizando la secciónadquisición de señales de nuestra interfaz, se logra observar si la trayectoria lo detecta. En laFigura 6.18(a) se muestra la señal cuando la placa no tiene defecto y en la Figura 6.18(b) esla señal cuando el sensor localizo el defecto.

De las trayectorias generadas en la Tabla 6.6 se muestran las que lograron detectar eldefecto y el tiempo que tardaron en localizarlo. En los tres casos de la trayectoria aleatoria nose logró detectar el defecto. La trayectoria caótica tardó más tiempo en detectar el defecto quela trayectoria sistemática, pero esto es debido a la posición del defecto. Si el defecto estuviera

83

(a)

(b)

(c)

Figura 6.17: Porcentaje de área cubierta. a) Trayectorias caóticas; b) trayectorias aleatorias;c) trayectoria sistemática.

84

(a) (b)

Figura 6.18: Señales obtenidas. a) Señal dentro del área escaneada; b) señal arriba del defecto.

colocado en la orilla opuesta al inicio del escaneado, se tardaría 15 min en detectarlo. Adiferencia de la trayectoria caótica que puede variar, dependiendo de la trayectoria que segenera.

Trayectoria caótica Tiempo de detecciónTrayectoria 2 13:46 min.

Trayectoria sistemática Tiempo de búsquedaNo superposición 09:21 min.

Tabla 6.6: Trayectorias que lograron identificar el defecto.

6.5. Conclusiones del capítuloEn el capítulo se presentó la parte experimental de la tesis. Se calcula la curva de rango

lateral y se clasifica el sensor. Se determinó el rango de detección del sensor y se comparócon los resultados obtenidos en la sección 2.5.1.

Se muestra la manera en la que se implementó las trayectorias en el robot cartesiano X-Y.Se comparó la técnica del mirror mapping implementada en [3] y el mirror mapping modi-ficado para utilizar la señal del primer rebote. Se comprobó que con la técnica propuesta esposible realizar un escaneado sin conocer el área, siendo una ventaja con respecto a la técnicaimplementada en [3].

Se realiza una comparación entre las trayectorias caótica, aleatoria y sistemática, utili-zando los parámetros de tiempo, porcentaje de área cubierta y detección del defecto. Si secomparamos el tiempo de búsqueda de las trayectorias, la caótica (trayectoria 1) tiene el me-nor tiempo para recorrer el mismo número de puntos, pero fue la trayectoria que ocupa menor

85

tiempo. También se observó que modificando los parámetros de la trayectoria (2) se recorriómás superficie. Con la trayectoria sistemática sin superposición el tiempo y área cubiertasiempre serán las mismas, siendo una ventaja de las trayectorias caóticas que se puede mo-dificar el tiempo y área cubierta modificando los valores iniciales de la ecuación, para lograroptimizar el camino.

Para realizar una búsqueda exhaustiva es necesario conocer la dimensión del área. Si elárea es irregular, la trayectoria visitara áreas no deseadas. Esta es una ventaja de la trayectoriacaótica, no es necesario un conocimiento a priori de las dimensiones y forma del área.

86

Capítulo 7

Conclusiones y Trabajo futuro

7.1. ConclusionesEn el transcurso de esta tesis se desarrolló y estudió un sistema no invasivo de escaneo

ultrasónico basado en un sistema automático de escaneo llevado a cabo en el laboratorio.El sistema utiliza un sensor ultrasónico de inmersión, que cuenta con una gran sensibilidady posibilita la detección de defectos ocultos, ayudando a determinar si el material presentaalguna falla sin modificar la composición física del material.

La comunicación y el manejo del escáner se lograron mediante la interfaz desarrollada enel Software LabVIEW 8.6. Esta interfaz genera diferentes trayectorias que se utilizan en eldesarrollo de la parte experimental. La adquisición y manejo de las señales generadas en elosciloscopio se logra con la misma interfaz.

Se utilizaron 3 diferentes trayectorias la sistemática, la aleatoria y la caótica. Se detectócuál de ellas ofrece un mejor resultado en tiempo, detección del defecto y área de cobertu-ra. Se utilizó la técnica del mirror mapping para delimitar el área de las trayectorias. De losexperimentos realizados se puede concluir: Los parámetros considerados fueron 108 puntos,una velocidad de 2mm/s, en una placa de aluminio de 15x20x25.4 cm.

De los experimentos realizados bajo estas condiciones se puede concluir:

El trayecto aleatorio no es recomendable, debido a que no se tiene control sobre la tra-yectoria, ocasionando que la detección del defecto sea al azar, al igual que el área deescaneo.

La trayectoria sistemática, sin superposición logra cubrir casi un 80 % de la superficie,dejando el 20 % sin explorar y con la posibilidad de no detectar el defecto. Sin embargosi se trata de cubrir el 100 % del área total, como condición para detectar el defecto, setendría que utilizar superposición, lo que incrementaría el tiempo de escaneado. Aunasí, si las áreas son irregulares, la trayectoria sistemática tendría que recorrer más área,para lograr escanearla toda.

87

La trayectoria caótica ofrece mejores condiciones, pues se cuenta con la posibilidad demanejar los parámetros lograr cubrir el mayor porcentaje de área. Utilizando la técnicadel mirror mapping que utiliza la señal del primer rebote se puede modificar el puntode inicio del sistema, modificando el camino que sigue la trayectoria y sin afectar eltiempo de búsqueda y el área.

La técnica del mirror mapping fue modificada para utilizar la señal del primer rebote paraindicar al sistema que la trayectoria se encuentra fuera del área establecida, con el objetivo deque el sistema sea autónomo y no sea necesario un conocimiento previo del área a escanear.Con las modificaciones antes mencionadas se logra probar la propiedad de los sistemas caóti-cos de la transitividad topológica, propiedad útil al realizar un escaneado en áreas irregulares.

7.2. ContribucionesAl modificar la técnica del mirror mapping propuesta en [3], se logró que la trayectoria

trabaje en la superficie deseada sin la necesidad de conocer la forma del área y permitiendovisitar toda la superficie deseada.

Se estudió el acoplamiento de la ecuación de Arnold y el robot cartesiano, utilizando elexponente de Lyapunov. Además utilizó para conocer el posible comportamiento de la tra-yectoria y determinar la adecuada para realizar el escaneado.

Se desarrolló un robot cartesiano autónomo, el cual puede realizar un escaneado de lasuperficie deseada, sin un conocimiento previo del área y con una mínima supervisión.

7.3. Trabajo futuroEn el desarrollo de la tesis se realizó un escaneado utilizando sólo dos grados de libertad

(X-Y), para realizar el movimiento caótico. Un trabajo a futuro sería lograr incorporar másgrados de libertad para poder realizar un escaneado a diferentes estructuras, como tuberías.

Debido a la sensibilidad a las condiciones iniciales de los sistemas caóticos, se puede ge-nerar un gran número de trayectorias caóticas, las cuales no siempre son las adecuadas pararealizar una inspección. Un punto en el que se puede trabajar es desarrollar un algoritmo quelogre generar diferentes trayectorias y seleccionar la óptima para generar el mejor escaneado.

Para delimitar el área de trabajo se utilizó la técnica del mirror mapping, la cual fuemodificada para realizar un escaneado autónomo, con la ayuda de la señal del primer rebote.La desventaja de la técnica es que no se conoce que ángulo debe de rotar ni el sentido de larotación. Un trabajo a futuro es desarrollar una técnica la cual permita hacer un escaneadoautónomo, el cual permita conocer el ángulo y el giro y así reducir el tiempo de escaneo.

88

Apéndices

89

Apéndice A

Programas de MATLAB

A.1. Programa generación trayectoria caótica

% El programa se genera la trayectoria caótica, se utiliza la técnicadel mirror mapping. Por cada punto en (x,y) se coloca el áreailuminada en forma de círculo.

% Creada por Ing. Karla Ivonne Fernández Ramírez.

%**** Límites utilizados en la técnica del mirror mapping ****

lix = -1; % Límite inferior en xlsx = 13; % Límite superior en xliy = -1; % Límite inferior en ylsy = 18; % Límite superior en y

%**** Generación de trayectoria caótica ****

ImBack = ones(10); % Genera el áreafigure(1)x0 = [4,3.5,0,0,0]; % Condiciones inicialesT = [0 31]; % Vector de tiempo[t,x] = ode45(@Arnoleq,T,x0); % Generación de la trayectoriaPx = x(:,4);Py = x(:,5);

% **** Se quitan los puntos que son más pequeños que la distanciadeseada ****

d = .1542; % Distancia entre puntosc = 0; % Contadorfor i = 1:length(x(:,4))

if i == 1c = c + 1;Px(c) = x(i,4);Py(c) = x(i,5);

else

90

dist = sqrt((x(i,4) - x(i-1,4))^2 + (x(i,5) - x(i-1,5))^2); %Distacia entre punto y punto

if dist >= dc = c + 1;Px(c) = x(i,4);Py(c) = x(i,5);

endend

end

%**** Algoritmo mirror mapping ****

ban = 0;while ban == 0

[Px1,Py1,ban] = MirrorMapping(Px,Py,lix,lsx,liy,lsy); % Llama lafuncion de rotación con respecto a la malla

Px = Px1;Py = Py1;

end

% **** Generación de circulos (Área iluminada)****

r = .762; % Radio del área iluminada cmcont = 0; % Contadorfigure(1)for i = 1:length(Caos1(:,1))

cont = cont + 1;center = [Caos1(i,1),Caos1(i,2)]; % Centro del circuloN = 100;color = ’k’;THETA = linspace(0,2*pi,N);RHO = ones(1,N)*r;[X,Y] = pol2cart(THETA,RHO);hold onX = X + center(1);Y = Y + center(2);h = fill(X,Y,color);axis offylim([-1 19]);xlim([-1 14]);saveas(gcf,[’C:\Users\Ivonne\Desktop\Maestria\Tesis_1\ProgramasFinales\Trayectorias\exp’,num2str(2),’\Graficas’,num2str(cont),’.jpg’])

set(gcf,’Color’,’w’)end

91

A.2. Programa ecuación de Arnold

% El programa programa la ecuación de Arnold.


function dx = Arnoleq(t,x)

%**** Constantes de la ecuación de Arnold ****

A;B;C;v;

%**** Sistema de Arnold ****

dx(1) = A*sin(x(3)) + C*cos(x(2));dx(2) = B*sin(x(1)) + A*cos(x(3));dx(3) = C*sin(x(2)) + B*cos(x(1));dx(4) = v*cos(x(3));dx(5) = v*sin(x(3));dx = dx’;

A.3. Programa generación trayectoria sistemática

% El programa se genera la trayectoria sistemática, se utiliza latecnica del mirror mapping. Por cada punto en (x,y) se coloca el áreailuminada en forma de círculo.


%**** Generar la superficie ****

ImBack = ones(10); % Genera el áreafigure(1)r; % Radio del área iluminadaLimx; % Limite superior xLimy; % Limite superior ycont1; % Contadorstep; % Distancia entre punto y puntopoints; % Puntos utilizados

%**** Trayectorias sistemática ****

for Num = 1:pointscont = 0;

92

cont1 = cont1 + 1;jrec = 0;cb = 0;for i = 0:step:Limy

cb = cb + 1;for j = 0:step:Limx

cont = cont + 1;if Num >= cont

if mod(cb,2) == 0center = [jrec-j-step,i];

elsejrec = jrec + step;if jrec > Limx + step

jrec = step;endcenter = [j,i];

end

%**** Generación de circulos (Área iluminada) ****

N = 100;color = ’k’;THETA = linspace(0,2*pi,N);RHO = ones(1,N)*r;[X,Y] = pol2cart(THETA,RHO);hold onfor tu = 1:size(X,2)

X2(1,tu) = X(1,tu) + center(1);Y2(1,tu) = Y(1,tu) + center(2);

endPx(Num) = center(1);Py(Num) = center(2);plot(X2,Y2,’-k’)h = fill(X2,Y2,color);hold on

endend

endaxis offset(gcf,’Color’,’w’)saveas(gcf,[’C:\Users\Ivonne\Desktop\Maestria\Tesis_1\ProgramasFinales\Trayectorias\exp’,num2str(1),’\Graficas’,num2str(cont1),’.jpg’]) % Guarda la imagen

end

93

A.4. Programa generación trayectoria aleatorio

% El programa se genera la trayectoria aleatoria, se utiliza la tecnicadel mirror mapping. Por cada punto en (x,y) se coloca el áreailuminada en forma de círculo.


%**** Límites utilizados en la técnica del mirror mapping ****

lix; % Límite inferior en xlsx; % Límite superior en xliy; % Límite inferior en ylsy; % Límite superior en y

%**** Genera la superficie y el area del sensor ****

ImBack = ones(10); % Genera el áreafigure(1);r; % Radio del área iluminada cmhipo; % Distancia entre punto y punto cmban = 0; % Bandera utilizada para la rotaciónpoints; % Numero de puntosfor i = 1:points

if i == 1x(i) = 1; % Posición inicial en xy(i) = 1; % Posición inicial en y

else

%**** Generación de la trayectoria ****

phi = pi*randn(1); % Ángulo de rotación (Variable aleatoria)

x(i) = hipo*cos(phi) + x(i-1); % Posición en xy(i) = hipo*sin(phi) + y(i-1); % Posición en y

endend

%**** Algoritmo del Mirror mapping ****

for i = 1:points[x1,y1,ban] = MirrorMapping(x,y,lix,lsx,liy,lsy); % Llama lafuncion de rotación, realiza el mirror mapping

end

% **** Generación de circulos (Área iluminada)****

r = .762; % Radio del área iluminada cmcont = 0; % Contadorfigure(1)for i = 1:length(Caos1(:,1))

cont = cont + 1;center = [Caos1(i,1),Caos1(i,2)]; % Centro del circulo

94

N = 100;color = ’k’;THETA = linspace(0,2*pi,N);RHO = ones(1,N)*r;[X,Y] = pol2cart(THETA,RHO);hold onX = X + center(1);Y = Y + center(2);h = fill(X,Y,color);axis offylim([-1 19]);xlim([-1 14]);saveas(gcf,[’C:\Users\Ivonne\Desktop\Maestria\Tesis_1\ProgramasFinales\Trayectorias\exp’,num2str(2),’\Graficas’,num2str(cont),’.jpg’])

set(gcf,’Color’,’w’)end

A.5. Programa delimitación del área, utilizando la técnicamirror mapping

% El programa se utiliza la técnica del mirror mapping para delimitar elárea.


function [Px,Py,ban] = MirrorMapping(Px,Py,lix,lsx,liy,lsy)

ban = 1;aux = 1;while aux == 1

%**** Límite eje x ****

for i = 1:length(Px)if (Px(i)<lix) || (Px(i)>lsx)

aux = 1;for k = i:length(Px)

disx = abs(Px(k) - Px(i-1)); % Distancia en X entepunto y punto

h = sqrt((Px(k)-Px(i-1))^2 + (Py(k)-Py(i-1))^2); %Hipotenusa

alpha = acos(disx/h);theta = 1.5707 - alpha; % Ángulo a rotarxc = Px(i-1); % Punto en X que se toma pararotar

95

yc = Py(i-1); % Punto en Y que se toma pararotar

if (Px(k)>Px(i-1) && Py(k)>Py(i-1)) || (Px(k)<Px(i-1)&& Py(k)<Py(i-1))

theta = 1*theta;elseif (Px(k)<Px(i-1) && Py(k)>Py(i-1)) || (Px(k)>Px(i-1) && Py(k)<Py(i-1))

theta = -1*theta;end% Rotacion en YPx_1(k) = xc + (Px(k)-xc)*cos(2*theta) - (Py(k)-yc)*sin(2*theta);

Py_1(k) = yc + (Px(k)-xc)*sin(2*theta) + (Py(k)-yc)*cos(2*theta);

Px(k) = Px_1(k);Py(k) = Py_1(k);

endend

%**** Límite en Y ****

if (Py(i)<liy) || (Py(i)>lsy)aux = 1;for k = i:length(Py)

disx = abs(Px(k) - Px(i-1));h = sqrt((Px(k)-Px(i-1))^2 + (Py(k)-Py(i-1))^2);theta = acos(disx/h);yc = Py(i-1);xc = Px(i-1);if (Px(k)<Px(i-1) && Py(k)>Py(i-1)) || (Px(k)>Px(i-1)&& Py(k)<Py(i-1))

theta = 1*theta;elseif (Px(k)>Px(i-1) && Py(k)>Py(i-1)) || (Px(k)<Px(i-1) && Py(k)<Py(i-1))

theta = -1*theta;end% Rotacion en XPx_1(k) = xc + (Px(k)-xc)*cos(2*theta) - (Py(k)-yc)*sin(2*theta);


Px(k) = Px_1(k);Py(k) = Py_1(k);

endend

endend

96

A.6. Programa delimitación del área, utilizando la técnicamirror mapping y “malla”

% El programa se utiliza la técnica del mirror mapping con la ’’malla’’intengrada para delimitar el área.


function [Px,Py,ban] = MirrorMappingMesh(Px,Py,c)

%**** Límites ****

ban = 1;Dx; % Delta X (Separación entre punto y punto de la malla)Dy; % Delta YLMx; % Límite de la malla XLMy; % Límite de la malla Y

%% MallaM(ceil(LMy/Dy),ceil(LMx/Dx)) = 0; % Valor de 0 de la malla% M(21:25,1:25) = 1; % Forma de I% M(6:20,11:15) = 1; % Forma de I% M(1:5,1:25) = 1; % Forma de IM(1:25,1:10) = 1; % Forma de HM(11:15,11:15) = 1; % Forma de HM(1:25,16:25) = 1; % Forma de H% M(1:25,1:10) = 1; % Forma de L% M(1:10,11:25) = 1; % Forma de L% M(20:25,1:25) = 1; % Forma de T% M(1:20,10:15) = 1; % Forma de T% M(1:19,1:14) = 1; % Forma toda el área

%**** Mirror mapping ****

for i = 1:length(Px) % Cambian el valor de Px y Py a valorde casillasxi(i,1) = ceil(Px(i)/Dx);yi(i,1) = ceil(Py(i)/Dy);if yi(i) <= 0 || xi(i) <= 0 || M(yi(i),xi(i)) == 0

if i ~= 1disx = Px(i)-Px(i-1);if Px(i) > Px(i-1)

NPx = Px(i-1) + disx;Nxi = ceil(Px(i)/Dx);

elseif Px(i) < Px(i-1)NPx = Px(i-1) + disx;Nxi = ceil(Px(i)/Dx);

endendif xi(i) <=0 || M(yi(i-1),Nxi) == 0

for k = i:length(Px)disx = abs(Px(k) - Px(i-1)); % Distancia en X entepunto y punto

97

h = sqrt((Px(k)-Px(i-1))^2 + (Py(k)-Py(i-1))^2); %Hipotenusa

alpha = acos(disx/h);theta = 1.5707 - alpha; % Ángulo a rotarxc = Px(i-1); % Punto en X que se toma pararotar

yc = Py(i-1); % Punto en Y que se toma pararotar

if (Px(k)>Px(i-1) && Py(k)>Py(i-1)) || (Px(k)<Px(i-1)&& Py(k)<Py(i-1))

theta = 1*theta;elseif (Px(k)<Px(i-1) && Py(k)>Py(i-1)) || (Px(k)>Px(i-1) && Py(k)<Py(i-1))

theta = -1*theta;end% Rotacion en YPx_1(k) = xc + (Px(k)-xc)*cos(2*theta) - (Py(k)-yc)*sin(2*theta);


Px(k) = Px_1(k);Py(k) = Py_1(k);

endelseif yi(i) <= 0 || M(yi(i-1),Nxi) == 1

for k = i:length(Py)disx = abs(Px(k) - Px(i-1));h = sqrt((Px(k)-Px(i-1))^2 + (Py(k)-Py(i-1))^2);theta = acos(disx/h);yc = Py(i-1);xc = Px(i-1);if (Px(k)<Px(i-1) && Py(k)>Py(i-1)) || (Px(k)>Px(i-1) &&

Py(k)<Py(i-1))theta = 1*theta;

elseif (Px(k)>Px(i-1) && Py(k)>Py(i-1)) || (Px(k)<Px(i-1) && Py(k)<Py(i-1))

theta = -1*theta;end% Rotacion en XPx_1(k) = xc + (Px(k)-xc)*cos(2*theta) - (Py(k)-yc)*sin(2*theta);


Px(k) = Px_1(k);Py(k) = Py_1(k);

endendban = 0;break;

endend

98

A.7. Programa delimitación mirror mapping y señal del pri-mer rebote

% Este programa realiza la técnica del mirror mapping utilizando laseñal del primer rebote. Este programa esta implementado en LabVIEW8.6. Se guardan los valores originales de (Px, Py), y las variables (Px, Py) de salida en cada \textit{mirror mapping} son diferentes.Cuando el sistema encuentra el área las últimas variables de salida seconvierten en (Px, Py) originales.


path(path, pa); % carga la ubicacion de los archivos de Matlab.ban = 1;

%**** Mirror mapping ****

for i = iter:length(Px) % Cambian el valor de Px y Py avalor de casillas

for k = i:length(Px)disx = abs(Px(i) - Px(i-1)); % Distancia en X ente punto ypunto

h = sqrt((Px(i)-Px(i-1))^2 + (Py(i)-Py(i-1))^2); % Hipotenusaalpha = acos(disx/h);theta(k) = 1.5707 - alpha; % Ángulo a rotarxc = Px(i-1); % Punto en X que se toma para rotaryc = Py(i-1); % Punto en Y que se toma para rotar

%**** Rotacion ****

Px_1(k) = xc + (Px(k)-xc)*cos(2*theta(k)) - (Py(k)-yc)*sin(2*theta(k));

Py_1(k) = yc + (Px(k)-xc)*sin(2*theta(k)) + (Py(k)-yc)*cos(2*theta(k));

Px(k) = Px_1(k);Py(k) = Py_1(k);

endban = 0;break;

end

%**** Se espera la respuesta de la señal del primer rebote. Segundomirror mapping ****

ban = 1;for i = iter:length(Px)

for k = i:length(Px)disx = abs(Px(i) - Px(i-1)); % Distancia en X ente punto ypunto

h = sqrt((Px(i)-Px(i-1))^2 + (Py(i)-Py(i-1))^2); % Hipotenusatheta = acos(disx/h);xc = Px(i-1); % Punto en X que se toma para rotaryc = Py(i-1); % Punto en Y que se toma para rotar

99

%**** Rotacion ****

Px_1(k) = xc + (Px(k)-xc)*cos(2*-theta) - (Py(k)-yc)*sin(2*-theta);

Py_1(k) = yc + (Px(k)-xc)*sin(2*-theta) + (Py(k)-yc)*cos(2*-theta);

Px(k) = Px_1(k);Py(k) = Py_1(k);

endban = 0;break;

end

%**** Se espera la respuesta de la señal del primer rebote. Tercermirror mapping ****

ban = 1;for i = iter-1:length(Px) % Cambian el valor de Px y Py a valorde casillas

for k = i:length(Px)xc = Px(i-1); % Punto en X que se toma para rotaryc = Py(i-1); % Punto en Y que se toma para rotar

%**** Rotacion ****

Px_1(k) = xc + (Px(k)-xc)*cos(pi) - (Py(k)-yc)*sin(pi);Py_1(k) = yc + (Px(k)-xc)*sin(pi) + (Py(k)-yc)*cos(pi);Px(k) = Px_1(k);Py(k) = Py_1(k);

endban = 0;break;

end

A.8. Programa porcentaje de área cubierta

% El programa calcula el porcentaje de área cubierta de las trayectoriascaótica, aleatoria y sistemática. Las imágenes que el programautiliza, deben de tener la misma ubicación que indica en el programa.


% **** Porcentage de área cubierta ****cont1 = 0; % Contador

for i = 1:contcont1 = cont1 + 1;

100

A = imread([’C:\Users\Ivonne\Desktop\Maestria\Tesis_1\ProgramasFinales\Trayectorias\exp’,num2str(2),’\Graficas’,num2str(cont1),’.jpg’]); % Búsca las imagenes

G = rgb2gray(A);I = G(85:793,172:1084);b = 0;n = 0;[c r] = size(I);for i = 1:c % Barrido de la imagen

for j=1:rif I(i,j)<= 126

n = n + 1;endif I(i,j)>=127

b = b + 1;end

endendPN(cont1) = (n*100)/(c*r); % Area ocupadaPB(cont1) = (b*100)/(c*r); % Area desocupada

end

A.9. Programa para el cálculo de la probabilidad de detec-ción

% El programa calcula la probabilidad de detección de la búsquedaexhaustiva y aleatoria.


%**** Constantes ****

r; % Radio del área iluminada cmA; % Medida del área donde se realiza la búsqueda cmV; % Velocidad de la búsqueda cm/sh; % Altura del sensor al área de búsqueda cmW; % Sweepwidth cmTime; % Tiempo de busqueda

%**** Búsqueda exhaustiva ****

t = A/(V*W); % Tiempo máximo de detección búsqueda exhaustivafor T = 1:length(Time)

z(T) = (V*W*T)/A;pe(T) = min(1,(V*W*T)/A);

end

101

%**** Búsqueda aleatoria ****

for T = 1:length(Time)z(T) = (V*W*T)/A;pr(T) = 1 - exp(-(V*W*T)/A);

end

A.10. Programa para el cálculo del máximo exponente deLyapunov

% El programa calcula el máximo exponente de Lyapunov, del sistema deArnold y Lorenz.


function ExponenteDeLyapunov_Caotico()

%**** Constante del sistema Lorenz ****

% sigma;% beta;% rho;

%**** Constante del sistema Arnold ****

A;B;C;

%**** Constante para el máximo exponente ****

t0; % Tiempo inicialdt; % IntervalotEnd; % Tiempo finalt1;T = t0:dt:tEnd;num_It = 1;LLE_vector = zeros(1,num_It);

%**** Máximo exponente de Lyapunov ****

for co1 = 1:num_Itx0; % Valores inicialesy0;z0;d0;v = zeros(3, length(T));

102

w = zeros(3, length(T));v(:,1) = [x0;y0;z0];w(:,1) = [x0;y0;z0];w(1,1) = w(1,1) + d0;k = 1;n = 0;L2 = 0;t = t0;while t < tEnd

v(:,k+1) = rk4(v(:,k),t,dt,@F);w(:,k+1) = rk4(w(:,k),t,dt,@F);d11 = (v(1,k+1)-w(1,k+1))^2;d12 = (v(2,k+1)-w(2,k+1))^2;d13 = (v(3,k+1)-w(3,k+1))^2;d1 = sqrt(d11+d12+d13);if t > t1

L1 = log(abs(d1/d0));L2 = L1 + L2;n = n + 1;

enddiff = [w(:,k+1) - v(:,k+1)] ;w(:,k+1) = v(:,k+1) + (d0/d1)*diff;t = t + dt;L5(k) = (L2/n)/dt;k = k + 1;

endL3 = (L2/n)/dt;LLE_vector(co1) = L3;

endL4 = (sum(LLE_vector))/num_It;display(L4);T = T(1:length(L5));

%**** Lorenz ****

% function f = F(x,t)% f = [sigma*(x(2) - x(1));% x(1)*(rho - x(3)) - x(2);% x(1)*x(2) - beta*x(3)];% end

%**** Arnold ****

function f = F(x,t)f = [A*sin(x(3)) + C*cos(x(2));

B*sin(x(1)) + A*cos(x(3));C*sin(x(2)) + B*cos(x(1))];

endend

103

A.11. Programa para el cálculo de n exponente de Lyapu-nov

function varargout = matds(varargin)

% MATDS Application M-file for matds.fig% FIG = MATDS launch matds GUI.% MATDS(’callback_name’, ...) invoke the named callback.% Last Modified by GUIDE v2.0 27-Jan-2003 12:54:54% DS-systemglobal DS;

% Calculation constants

global session_time;global aboutpress;global WasChanged;global calculation_progress first_call;

% Windows

global nbrwin;global session_windows;global driver_window;

% Parameters

global P;

% Path

global matdspath;

% Trajectory bufer

global TRJ_bufer Time_bufer;global bufer_i;

% Initializationif nargin == 0

calculation_progress=0;WasChanged = 0;matdspath.main = pwd;tmpi=findstr(matdspath.main( (length(pwd)-5):length(pwd)),’matds’);if isempty(tmpi)==1

fprintf(’\n The MATDS-directory must be a current!’);fprintf(’\n The work is impossible, sorry...’);return

end;

% Path updateaddpath(matdspath.main);matdspath.systems=[matdspath.main filesep ’systems’];

104

addpath(matdspath.systems);matdspath.gui=[matdspath.main filesep ’gui’];addpath(matdspath.gui);matdspath.temp=[matdspath.main filesep ’temp’];addpath(matdspath.temp);matdspath.maths=[matdspath.main filesep ’maths’];addpath(matdspath.maths);session_time = clock;fprintf(’ Welcome to dynamical system investigation’);DS(1).currfile = [matdspath.systems filesep ’lorenz’];session_windows.sysdef = [];session_windows.editsys = [];session_windows.vars = [];session_windows.params = [];session_windows.intdata = [];P(1)=30;P(2)=8/3;P(3)=10.0;DS(1).Val_param=P;

% Integration data

DS(1).time_start = 0.0;DS(1).time_end = 100.0;DS(1).max_step = 0.1;DS(1).abs_error = 0.000001;DS(1).rel_error = 0.00001;DS(1).method_int = 7;

% DS data

DS(1).name = ’lorenz’;DS(1).vars = {’x’ ’y’ ’z’};DS(1).param ={’r’ ’b’ ’sigma’};DS(1).periodic={0 0 0};DS(1).periodic_value=[0 0 0];DS(1).equations = {’-sigma*(x-y)’ ...

’-x*z+r*x-y’ ...’x*y-b*z’ };

% Define current trajectory as initial point

DS(1).currenttrajectory = 0;

% Define text output regime. 0 - no text output to main MATLAB window; 1-

% trajectory points output to main MATLAB window.% Always equilibria, cycles and other values print to main MATLAB window;

DS(1).trj_text_out = 0;

% Regime of time output to main window

105

DS(1).time_indication = 0;

% Define equation of poincare section {1} - lhs depending on variables{2}

% rhs const. In symbolic format.

DS(1).poincare_map = [];

% Switch variable for poincare map calculation: 0 - no section; 1 -section on time;

% 2 - section by plane in both direction% 3 - section by plane in positive direction% 4 - section by plane in negative direction

DS(1).poincare_do = 0;

% Define equation of poincare section for evaluation (in internal format)

DS(1).poincare_eq = [];

% Current sign of section value

DS(1).poincare_cur = 0;DS(1).poincare_nmbr = 0;

% Lyapunov exponents options

DS(1).n_lyapunov = 0;DS(1).step_lyapunov = 0.5;DS(1).outstep_lyapunov = 10;neq=length(DS(1).vars);DS(1).Xinit=rand([1 neq]);for i=1:neq

[errcd,sstrng]=expr_check(DS(1).equations{i},DS);DS(1).equations_w{i} = sstrng;DS(1).list_equation{i} = strcat(strcat(strcat(DS(1).vars{i},char(39)),’=’),...

DS(1).equations{i});end;[res,ss]=symbfind;if res==1for i=1:neqfor j=1:neq

DS(1).jacobian{i,j}=diff(sym(DS(1).equations{i}),DS(1).vars{j});

[errcd,sstrng]=expr_check(DS(1).jacobian{i,j},DS);DS(1).jacobian_w{i,j} = [];DS(1).jacobian_w{i,j} = sstrng;

end;end;

elseDS(1).jacobian = [];

106

end;

% DS-files generationssystem_gen;

end;if nargin==0 % LAUNCH GUI

fig = openfig(mfilename,’reuse’);DS(1).windows(1) = fig;nbrwin = 0;

% Generate a structure of handles to pass to callbacks, and store it.

handles = guihandles(fig);guidata(fig, handles);

DS(1).mainwin = handles;Check_And_Load([matdspath.temp filesep ’temp’]);

update_ds;if nargout > 0

varargout{1} = fig;endelseif ischar(varargin{1}) % INVOKE NAMED SUBFUNCTION OR CALLBACKtry

if (nargout)[varargout{1:nargout}] = feval(varargin{:}); % FEVALswitchyard

elsefeval(varargin{:}); % FEVAL switchyard

endcatch

disp(lasterr);end

end

%| ABOUT CALLBACKS:%| GUIDE automatically appends subfunction prototypes to this file, and%| sets objects’ callback properties to call them through the FEVAL%| switchyard above. This comment describes that mechanism.%| Each callback subfunction declaration has the following form:%| <SUBFUNCTION_NAME>(H, EVENTDATA, HANDLES, VARARGIN)%| The subfunction name is composed using the object’s Tag and the%| callback type separated by ’_’, e.g. ’slider2_Callback’,%| ’figure1_CloseRequestFcn’, ’axis1_ButtondownFcn’.%| H is the callback object’s handle (obtained using GCBO).%| EVENTDATA is empty, but reserved for future use.%| HANDLES is a structure containing handles of components in GUI using%| tags as fieldnames, e.g. handles.figure1, handles.slider2. This%| structure is created at GUI startup using GUIHANDLES and stored in%| the figure’s application data using GUIDATA. A copy of the structure%| is passed to each callback. You can store additional information in%| this structure at GUI startup, and you can change the structure%| during callbacks. Call guidata(h, handles) after changing your%| copy to replace the stored original so that subsequent callbacks see%| the updates. Type "help guihandles" and "help guidata" for more

107

%| information.%| VARARGIN contains any extra arguments you have passed to the%| callback. Specify the extra arguments by editing the callback%| property in the inspector. By default, GUIDE sets the property to:%| <MFILENAME>(’<SUBFUNCTION_NAME>’, gcbo, [], guidata(gcbo))%| Add any extra arguments after the last argument, before the final%| closing parenthesis.% --------------------------------------------------------------------

function varargout = mCompute_Callback(h, eventdata, handles, varargin)

% --------------------------------------------------------------------

function varargout = mForward_Callback(h, eventdata, handles, varargin)global calculation_progress first_call;global DS;global P;global TRJ_bufer Time_bufer;global bufer_i;global driver_window;nw = length(DS(1).windows);if nw==1

bb=errordlg(’At least one output window must be open!’,’Calculationimpossible!’);

return;end;

neq=size(DS.vars,2);set(DS(1).mainwin.mStatus_text,’String’,’busy...’);set(DS(1).mainwin.mCompute,’Enable’,’off’);

% set(DS(1).mainwin.mWindow,’Enable’,’off’);if DS(1).time_start >= DS(1).time_end

h=errordlg(’Time start < time end. Correct it in integration datawindow.’,...

’Integration options error!’);set(h,’WindowStyle’,’modal’);

% Correction of integration data

itegrdata;return;

end;calc_driver;calculation_progress = 1;update_ds;clear oderhs;clear odeoutp;clear ode_lin;clear ode_jacob;P=[];P=DS(1).Val_param;X=DS(1).Xinit;

% Period of variable calcullation

108

for i=1:neqif DS(1).periodic{i}~=0

DS(1).periodic_value(i) = eval(DS(1).periodic{i});end;

end;options = odeset(’RelTol’,DS(1).rel_error,’AbsTol’,DS(1).abs_error,’MaxStep’,DS(1).max_step,...

’OutputFcn’,@odeoutp,’Refine’,0,’InitialStep’,0.001);T_start = DS(1).time_start;

% Start

first_call = 1;if DS(1).n_lyapunov==0

while calculation_progress == 1[T,Y] = integrator(DS(1).method_int,@oderhs,[T_start DS(1).time_end],X,options,P);

first_call = 0;if calculation_progress==99, break; end;if ( T(size(T,1))<DS(1).time_end ) & (calculation_progress~=0)

X = TRJ_bufer(bufer_i,:);T_start = Time_bufer(bufer_i);calculation_progress = 1;

elsecalculation_progress = 0;if ~isempty(driver_window)

if ishandle(driver_window)delete(driver_window);driver_window = [];

end;end;

end;end;

elselyapunov(neq,T_start,DS(1).step_lyapunov,DS(1).time_end,X,round(DS(1).outstep_lyapunov / DS(1).step_lyapunov));

end;calculation_progress=0;update_ds;

% --------------------------------------------------------------------

function varargout = mResearch_Callback(h, eventdata, handles, varargin)

% --------------------------------------------------------------------

function varargout = mEquilibrium_Callback(h, eventdata, handles,varargin)

% --------------------------------------------------------------------

function varargout = mPeriodicSol_Callback(h, eventdata, handles,varargin)

109

% --------------------------------------------------------------------

function varargout = mInformation_Callback(h, eventdata, handles,varargin)

% --------------------------------------------------------------------

function varargout = mOut_text_Call(h, eventdata, handles, varargin)global DS;if strcmp(get(handles.mOut_text,’Checked’),’off’) == 1

set(handles.mOut_text,’Checked’,’on’);DS(1).trj_text_out = 1;

elseset(handles.mOut_text,’Checked’,’off’);DS(1).trj_text_out = 0;

end;

110

Apéndice B

Programas de LabVIEW

B.1. Estructura del panel del diagrama de bloques de Lab-VIEW 8.6 para la interfaz de control de señales

111

B.2. Estructura del panel del diagrama de bloques de Lab-VIEW 8.6 para la interfaz de generación de las trayec-torias

112

B.3. Estructura del panel del diagrama de bloques de Lab-VIEW 8.6 para la interfaz de escaneo automático

113

Referencias

[1] Frost F. R.,(1999), Principles of search theory. Part I: Detection, Soza & Company, Ltd.

[2] Washburn A. R. & Kress M. Combat modeling, Springer.

[3] Nakamura Y. & Sekiguchi, (2001), The chaotic mobile robot., IEEE Transaction onRobotic and Automation, Vol 17, p. 898-904.

[4] Martinz-Filho L., et al., (2007a),Kinematic control of mobile robots to produce chaotictrajectories., ABCM Symposium in Mechatronics, Vol. 2, pp. 258-264.

[5] Almeda A., et al., (2011). Implementation of efficient trajectories for an ultrasonic scan-ner suing chaotic maps, Review of progress in Quantitative Nondestructive Evaluation,pp. 1953-1959.

[6] Koopman B., (1946), Search and Screening, Operations evaluation group office of thechief of naval operations navy department.

[7] Koopman B., (1980), Search and Screening: General principles with historical appli-cations, Pergamon Press.

[8] Richardson H., (1986), Search theory, Center for naval analyses.

[9] Washburn A. R., Search and detection, 4th edición.

[10] Kierstead D. D., (2001), A genetic algorithm approach for planning search paths incomplicated environments, Military Oper. Res. Forthcoming.

[11] Achenbach J., Wave propagation in elastic solids, Elservier publishing company.

[12] Rose J.,(2004), Ultrasonic waves in solid media, Cambridge University Press.

[13] Bardouillet P., (1984), Application of electronic focussing and scanning systems to ul-trasonic testing, NDT International, pp. 81- 85.

[14] Han W. & Birkeland R., (1992), Ultrasonic scanning of log, Elsevier Science Publishers,pp. 253-281.

[15] Rokhlin S. I. et al., (2001), Method for monitoring environmental degradation of adhe-sive bonds, Materials evaluation, pp. 795-801.

114

[16] Anish K., et al, (2005), Development and applications of c-scan ultrasonic facility, Jour-nal For Non Destructive Evaluation (JNDE), pp 11-16.

[17] Dai G. et al, (2008), New type of ultrasonic high-definition micro-scanning imagingnondestructive testing system, Application Research of Computers, pp. 1901-1903.

[18] Liu C. C. et al, (2010), PE-CMOS based C-Scan ultrasound for foreign object detectionin soft tissue, Front Biosci (Elite Ed.), pp. 231-240.

[19] Alligood K., Sauer T. & Yorke J., (1996), Chaos: An introduction to dynamical syste-mas., Springer.

[20] Braun E., (2003), Caos, fractales y cosas raras., 3a ed. Fondo de cultura económica.

[21] Yao Y. & Freeman W. J.,(1990), Model of biological pattern recognition with spatiallychaotic dynamics, Neural Networks, pp. 153-170.

[22] Cuomo K. , Oppenheim A. V, & Strogatz S. H., (1993), Synchronization of lorenz-basedchaotic circuits with application to communications, IEEE Trans. Circuits Syst. II, pp.626-633.

[23] Ushio T., (1995), Chaotic synchronization and controlling chaos based on contractionmappings, Phys. Lett. A, pp. 14-22.

[24] Tokuda I., Nagashima T., & Aihara K., (1997), Global bifurcation structure of chaoticneural networks and its application to traveling salesman problems, Neural Networks,pp. 1673-1690.

[25] Campion G., Bastin G. & Andrea-Novel B., (1996), Structural properties and classifi-cation of kinematic and dynamic models of wheeled mobile robots., IEEE Transactionson Robotics and Automation Vol. 12, No. 1, pp 47-62.

[26] Islam M. & Murase, K., (2005), Chaotic dynamics of a behavior-based miniature mobilerobot: effects of environment and control structure., Neural Networks, Vol. 18, No. 2,pp 123-144.

[27] Martins-Filho L. S. & Macau E. E. N., (2007a), Trajectory planning for surveillancemissions of mobile robot., Studies in Computational Intelligence (SCI), Vol. 76, pp.109-117.

[28] Martins-Filho L. S. & Macau E. E. N., (2007b), Patrol mobile robots and chaotic trajec-tories, Hindawi Publishing Corporation., Mathematical Problems in Engineering Volu-me 2007.

[29] Schmerr L. & Song S., (2007), Ultrasonic nondestructive evaluation systems, Springer.

[30] Kundu T., (2004), Ultrasonic nondestructive evaluation:engineering and biological ma-terial characterization, CRC Pres LLC.

115

[31] ASM, (1993), Nondestructive evaluation and quality control, Metals Handbook NinthEdition, Vol 17, ASM International.

[32] Olympus, (2012), Ultrasonic transducer tecnical notes, http://www.olympus-ims.com,Fecha de consulta:Julio 2012.

[33] Auld, B., (1990), Acoustic fields and waves in solids, 2da ed., Vols 1 y 2, Malabar,FL:Kreiger.

[34] Graff K., (1991), Wave motion in elastic solids,New York:Dover.

[35] Cheeke J. D., (2000), Fundamentals and applications of ultrasonic waves,CRC PressLLC.

[36] Bray D. &Roderic K., (1997), Nondestructive evaluation: a tool in design, manufactu-ring and service, Revised Edition, CRC Press.

[37] ASME Boiler & Pressure Vessel Code, Section V., (1995), Nondestructive examination,Acoustic Emission Examination for Metallic Vessels During Pressure Testing, Vol. 12.pp. 233-250.

[38] Lorenz E., (1963), Deterministic nonperiodic flow, Journal of Atmospheric Sciences,Vol.20, pp. 130-141.

[39] May R. M., (1976), Simple mathematical models with very complicated dynamics, Na-ture, pp. 459-467.

[40] Verhulst P.F., (1845), Mathematical Researches into the Law of Population Growth In-crease, Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres deBruxelles.

[41] Strogatz S.H., (2000), Nonlinear Dynamics and Chaos, Westview Press.

[42] Baker G. L. & Gollud J. P., (1996), Chaotic dynamics: an introduction, CambridgeUniversity Press.

[43] Schuster H. G. & Just W., (2005),Deterministic chaos: an introduction, 4a ed. WILEY-VCH.

[44] Poincaré H., (1913), Science and method, Courier Dover Publications.

[45] Birkhoff G. D., (1920),Surface transformations and their dynamical applications, Actamathematica, 43.

[46] Borjón J. J., (2002), Caos, orden y desorden en el sistema monetario y financiero inter-nacional, Plaza y Valdes Editores.

[47] Hénon M., (1976), A two-dimensional mapping with a strange attractor, Communica-tions in Mathematical Physics, pp. 69-77.

116

[48] Morales M., Lengerker O. & Dutra M., (2011), Comparative study for chaotic beha-viour in fire fighting robot, Rev. Fac. Ing. Univ. Antioquia, p. 31-41.

[49] Ghrist R., (2001), Steady non-integrable high-dimensional fluids, Letters in Mathema-tical Physics, Vol. 55, pp. 193-204.

[50] Wolf A. et al., (1985), Determining Lyapunov exponent from a time series, North-Holland Physics Publishing Division, p. 285-317.

[51] Estorninho C, (2011), Numerical calculation of lyapunov exponents for three-dimensional system of ordinary differential equation, Marshall University.

[52] http://www.math.rsu.ru/mexmat/kvm/matds/#Download.

[53] Soza & Company, Ltd. and Office of search and rescue U.S. Coast Guard, The theory ofsearch. A simplified explanation.

[54] Martinez W. & Martinez A., Computacional statistics handbook with MATLAB, Chap-man & Hall/CRC.

[55] Ludwig G.D. & Struthers F.W, (1950), Detecting gallstones with ultrasonic echoes,Electronics 23, pp. 172-178.

[56] Kossoff W.J., Garret W. J. & Radavaovich G., (1973), Grey scale echography in obste-trics and gynaecology, Commonwealth Acoustic Laboratories.

[57] Kumar Anish et al., (2005), Development and applications of C-Scan ultrasonic facility,Journal For Non Destructive Evaluation (JNDE) Vol.4, No. 1, pp. 11-16.

117

http://www.math.rsu.ru/mexmat/kvm/matds/#Download.

ESCANEO ULTRASÓNICO PARA LA DETECCIÓN DE DEFECTOS …

Documents

Transcript of ESCANEO ULTRASÓNICO PARA LA DETECCIÓN DE DEFECTOS …