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TEMA 4 Dinámica de los sistemas de partículas

Introducción: generalización de la 2ª ley de Newton 1.- Momento lineal de un sistema de partículas: principio de conservación 2.- Momento angular de un sistema de partículas: principio de conservación 3.- Centro de masas de un sistema de partículas 4.- Energía cinética y energía total de un sistema de partículas 5.- Colisiones

ESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALES. UNIVERSIDAD DE VALLADOLID FÍSICA I

TEMA 4: DINÁMICA DE LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS

Queremos extender en este tema los conceptos que hemos visto en los temas anteriores, pasando del caso de una sola partícula a un sistema con varias (N) partículas. Trataremos de extender los conceptos vistos así como los teoremas a aplicar. Para una sola partícula (i) hemos visto:

⇒

Si

→→= iii amF

⇒ →ir

→iv

→ia

→→= iii vmp

→→→= iiii v x mrL

→→→•→

== iiii F x rML

cteLi =→

0Mi =→

2iii vm

21Ec =

CINEMÁTICA

2ª LEY DE NEWTON

MOMENTO LINEAL

MOMENTO ANGULAR

PPO. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR

ENERGÍA CINÉTICA

Introducción: generalización de la 2ª ley de Newton

⇒



Generalicemos para el caso de un sistema formado por N partículas. Lo que queremos hacer es ver qué expresión, equivalente a la 2ª ley de Newton, debemos aplicar:

Para cada partícula (i) tendremos:

En cuanto a las fuerzas, debemos considerar dos tipos:

• Fuerzas externas:

• Fuerzas internas debidas a las interacciones con otras partículas

Consideremos estas fuerzas internas como fuerzas a pares:

⇒ ⇒ →ir

→iv

→ia

∑+=

→→ N

1jiji fF

cte mm TN

1ii ==∑

=

i ⇒

→iF



Así, la 2ª ley de Newton ( ) para cada partícula (i) se escribirá:

→

=

→→=∑+ ii

N

1jiji amfFi ⇒

Esto da lugar a N ecuaciones vectoriales diferenciales (3N ecuaciones diferenciales de 2º orden). La resolución es compleja y se usan métodos estadísticos o numéricos y soluciones aproximadas.

Si en la expresión anterior tomamos momentos (respecto un cierto punto O):

→→

=

→→→→=∑+ iii

N

1jijiii a x mr) f xr(F x ri ⇒

(tenemos también N ecuaciones)

→→=∑ amF



Si sumamos para las N partículas:

∑=∑ ∑+∑=

→

= =

→

=

→ N

1iii

N

1i

N

1jij

N

1ii amfF

)a x mr() f xr() F xr(N

1iiii

N

1i

N

1jiji

N

1iii ∑=∑ ∑+∑

=

→→

= =

→→

=

→→

Estas N ecuaciones se simplifican debido al carácter de las . fijr

→→−= jiij ff 0f

N

1i

N

1jij =∑ ∑

= =

→

En concreto:

(ley de acción y reacción)

⇒



Además, las son fuerzas dirigidas en la dirección i ⇔j. Así, la sumatoria: fijr

∑ ∑= =

→→N

1i

N

1jiji f x r

incluye términos:

0f) x rr()ff x (rf x rf x r jiijjiijijijiji =−++=+→→→→→→→→→→

Por tanto:

→→−= jiij ff

→→→− ijji rr // f

0f x rN

1i

N

1jiji =∑ ∑

= =

→→

Así, nos queda: ∑=∑=

→

=

→ N

1iii

N

1ii amF

)a x mr() F xr(N

1iiii

N

1iii ∑=∑

=

→→

=

→→

[1]

[2]



1.- Momento lineal de un sistema de partículas: principio de conservación 1.1.- Generalización del momento lineal

1.2.- Principio de conservación del momento lineal



Generalicemos ahora los conceptos de cantidad de movimiento y momento angular para el sistema de partículas.

→→= iii vmp

∑=∑==

→

=

→→ N

1iii

N

1ii vmpP

Derivando esta expresión y utilizando la relación [1] deducida anteriormente:

F amvmPdtPd N

1iii

N

1iii

N

1ii ∑=∑=∑==

=

→→

=

•→

=

•→

r

En cuanto al momento lineal (o cantidad de movimiento), para una partícula (i):

Para un sistema de N partículas definimos :

1.1.- Generalización del momento lineal

→

P



Conservación del momento lineal:

Si la resultante de las fuerzas exteriores es nula, el momento lineal (o cantidad de movimiento) del sistema permanece constante.

(Sólo las fuerzas exteriores - al sistema - pueden modificar la cantidad de movimiento)

La relación anterior nos da un principio de conservación, ya que:

cteP 0P 0 FFN

1ii =⇒=⇒=∑=

→•→

=

→→Si:

1.2.- Principio de conservación del momento lineal

(Fuerza neta o resultante de las fuerzas externas)



Cuestión 4.1

En rápida sucesión, un empleado de una aerolínea lanza dos maletas, con una velocidad horizontal de 2.4 m/s, sobre un carro portaequipajes de 25 kg. a) Sabiendo que la velocidad final del carro es de 1.2 m/s y que la primera maleta que el empleado lanza tiene una masa de 15 kg, hallar la masa de la otra maleta; b) ¿cuál sería la velocidad final del carro si el empleado invirtiera el orden en que lanza las maletas?



2.- Momento angular de un sistema de partículas: principio de conservación 2.1.- Generalización del momento angular

2.2.- Principio de conservación del momento angular



2.1.- Generalización del momento angular En cuanto al momento angular, para una partícula (i):

→→→= iiii v x mrL

)v x mr(LLN

1iiii

N

1ii ∑=∑=

=

→→

=

→→

∑

+∑

=

=

→→

=

→•→

•→ N

1iiii

N

1iiii a x mr v x mrL ∑=∑

=

=

→

=

→→•→ N

1ii

N

1iii M F x rL

→•→

≡ ii v r

Para un sistema de N partículas definimos :

Derivando y utilizando la relación [2] deducida anteriormente:

→L

⇒



Esto nos da un segundo principio de conservación, ya que:

Conservación del momento angular:

Si la resultante de los momentos de las fuerzas externas es nula, el

momento angular permanece constante.

cteL 0L 0MMN

1ii =⇒=⇒=∑=

→•→

=

→→Si:

2.2.- Principio de conservación del momento angular

→L

(Momento neto o resultante de los momentos de las

fuerzas externas)



3.- Centro de masas de un sistema de partículas 3.1.- Definición de centro de masas

3.2.- Sistema de referencia centro de masas



Dado un sistema de partículas, definiremos la posición del centro de masas:

3.1.- Definición de centro de masas

Es interesante notar que la posición del centro de masas (CM) es independiente del sistema con respecto al cual está calculado

∑=∑

∑=

=

→

=

=

→

→ N

1iiiN

1ii

N

1iii

CM rm m1

m

rmr

► Ejemplo: consideremos dos partículas de masas iguales separadas una distancia d:



Para un cuerpo con una distribución continua de masa, tendremos que sustituir la sumatoria por una integral:

Se debe notar que:

Si un cuerpo tiene un centro geométrico y la distribución de masas es homogénea, el C.M. coincide con el centro geométrico (C.G.)

Si un cuerpo tiene un eje de simetría y una distribución homogénea de masas, el C.M. está situado sobre el eje de simetría

∫=∫∫=

→→

→dmr

m1

dmdmrrCM

► Ejemplo: varilla de longitud L (distribución homogénea de masa)

m

L xCM = ½ L

C.M



Veamos la importancia que puede tener el C.M. Para ello, derivemos la expresión que define su posición:

En un sistema aislado la velocidad del C.M. permanece cte.

Derivando de nuevo la expresión encontrada:

→

=

→→→

=∑== Pm1vm

m1v

dtrd N

1iiiCM

CM →→= CMvmP

Notemos que si un sistema está aislado:

ctev cte P 0 F CMN

1ii =⇒=⇒=∑

→→

=

→

→

=

→→•→

→•→

=∑==== FFam vmdt

PdPN

1iiCMCM

→→= CMam F

El C.M. se mueve como si la masa total estuviera concentrada en ese punto y todas las fuerzas exteriores también

http://www.educando.edu.do/sitios/pnc2005/recursos/recursos/ciencias%20de%20la%20naturaleza/fisica/fisica%20con%20ordenador%20ii/dinamica/con_mlineal/aislados/aislados.htm

⇒

⇒






Cuestión 4.2

Dos bolitas de metal idénticas están unidas por un resorte y suspendidas mediante un cordel atado a una de las bolitas como se indica en la figura. Cuando el sistema está en equilibrio se corta el cordel. a) ¿Cuál es la aceleración inicial de cada una de las bolitas? b) Describir el movimiento ulterior del sistema.

http://www.fogonazos.es/2011/10/una-leccion-de-fisica-inesperada-con-un.html



http://www.fogonazos.es/2011/10/una-leccion-de-fisica-inesperada-con-un.html

3.2.- Sistema de referencia C.M. Supongamos que todas las partículas del sistema sufriesen los mismos desplazamientos. Este tipo de movimiento se denomina movimiento de traslación. En esta situación la posición relativa del centro de masas no cambia (respecto a las partículas del sistema).

Por ello, el movimiento del centro de masas suele recibir el nombre de movimiento de traslación del sistema.

Traslación rectilínea Traslación curvilínea



El movimiento general del sistema de partículas se suele poner entonces como el movimiento del centro de masas (traslación) más el movimiento interno del sistema (movimiento de las partículas respecto al C.M.) (rotación en el caso de un sólido rígido)

movimiento general = movimiento C.M + movimiento interno

Notemos que, respecto al C.M.: →→→

=+ iiCM r´rr→→→

−= CMii rr´r

m

´rm0r N

1ii

N

1iii(CM)

CM∑

∑==

=

=

→

→

0´rm(*) N

1iii =∑

=

→ya que:

Se denomina Sistema Centro de Masas a un sistema de referencia con ejes que mantienen constante su dirección y cuyo origen coincide en todo momento con el C.M. del Sistema. Este sistema no necesariamente será inercial.

⇒



(*) Derivando en la expresión anterior:

0´vm´rmdtd N

1iii

N

1iii ∑ ==∑

=

→

=

→

Puesto que:

0 ´ vmP´PN

1iii

(CM)∑ ====

→→→

Respecto al C.M., la cantidad de movimiento es siempre nula

→→→−= CMii rr´r

tenemos también: →→→

−= CMii vv´v→→→

−= CMii aa´a

Si calculamos el momento angular respecto al C.M. y derivamos:

∑

=

=

→→→ N

1iiii ´v x m´rL´

http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/dinamsist/tierraluna.html

⇒

⇒

→→→→−== CMii/CMi rrr´r

→→→→−== CMii/CMi vvv´v



http://acer.forestales.upm.es/basicas/udfisica/asignaturas/fisica/dinamsist/tierraluna.html

Ya vimos que:

∑=∑

∑−=

=∑

−=∑

=

=

→→→

= =

→→→

=

→→→

=

→→•→

N

1iiiiCM

N

1i

N

1iiiiii

N

1iCMiii

N

1iiii

a x m´r a x´rma x m´r

a a x m´r ́a x m´rL´

∑+==

→→→ N

1jijiii fFam

y que las fuerzas internas no contribuyen. Por tanto:

∑=∑=∑===

→

=

→

=

→→•→

•→ N

1i

(CM)

iN

1ii

N

1iii

(CM)M´MF x ´rLL´

El momento de las fuerzas externas respecto al C.M. es igual a la razón de cambio del momento angular respecto al C.M.



Cuestión 4.3

Una partícula de 4 kg se aproxima a otra de 2 kg como se muestra en la figura. a) ¿Con qué velocidad se aproxima cada una al centro de masas? b) comprobar que el momento lineal es cero en el sistema de referencia del centro de masas.



4.- Energía cinética y energía total de un sistema de partículas 4.1.- Generalización de la energía cinética

4.2.- Generalización de la conservación de la energía



4.1.- Generalización de la energía cinética

Extendamos también el concepto de Energía cinética:

2iii vm

21Ec = ∑=∑=∑=

===

N

1i

2ii

N

1i

2ii

N

1ii vm

21vm

21EcEc

Si introducimos el sistema C.M.:

∑+∑+∑=

=∑ +=

=∑=∑=

==

→→

=

→→

=

→→=

→→

=

N

1i

2ii

N

1iiiCM

N

1i

2CMi

iCMN

1iiCMi

N

1iiii

N

1i

2ii

v'm21)'vm(v)vm(

21

')+vv')(vv(m21

)v.v(m21vm

21Ec

⇒



Por tanto:

∑+==

N

1i

2ii

2CM v´m

21 mv

21 Ec

energía cinética del C.M. (suponiendo toda la masa

concentrada en él)

energía cinética del sistema relativa al C.M. (energía

cinética interna)

Ec = Ec C.M. + Ec interna



4.2.- Generalización de la conservación de la energía Consideremos el trabajo realizado por las fuerzas (internas y externas) en un sistema de partículas. Por sencillez veámoslo para el caso de un sistema formado por dos partículas.

En este caso sobre la partícula 1 tenemos la fuerza externa F1 y la fuerza interna debida a la partícula 2 f12, siendo el trabajo elemental sobre la partícula 1:

dr fFdW 11211→→→

+=

De la misma forma, sobre la partícula 2, tenemos la fuerza externa F2 y la fuerza interna debida a la partícula 1 f21, siendo el trabajo elemental sobre la partícula 2:

dr fFdW 22122→→→

+=



El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula modifica su energía cinética. Por tanto:

El trabajo total incluye trabajos de las fuerzas externas y el de las fuerzas internas, de forma que:

ΔEcdr fFW 222122 =∫

+=

→→→ ΔEcdr fFW 111211 =∫

+=

→→→

ΔEc ΔEc ΔEcdrdrfdrFdrFWWW Total212112221121Total =+=∫

−+∫+∫=+=

→→→→→→→

ΔEcWWW Totalextint

Total =+=

Sumando ambos trabajos tenemos el trabajo total:

(se ha hecho uso de que f12= - f21)

Generalización del teorema trabajo-energía cinética: La variación de energía cinética es igual al trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre el sistema, tanto internas como externas

Así, aunque antes hemos visto que las fuerzas internas no modifican la cantidad de movimiento (por ejemplo), vemos que las fuerzas internas sí que pueden modificar la energía cinética total (y viceversa)



Generalmente las fuerzas internas son conservativas (son de tipo gravitatorio, electrostático, etc.), de forma que es posible expresar que:

De esta forma:

intfintiintint ΔUUUW −=−=

ΔEcWΔUWWW Totalextintextint

Total =+−=+=

( )Totalint

Totalintext EcU ΔΔEcΔUW +=+=

(es decir, existe la función energía potencia interna, Uint)

El trabajo de las fuerzas internas viene dado por la expresión:

∫=∫

−=∫

−=

→→→→→→→

121221122112int rdfrrdfdrdrfW

r

de forma que es no nulo siempre que haya un desplazamiento relativo de la partícula 1 respecto a la 2

propiaE



Notemos que si la resultante de las fuerzas externas es nula, su trabajo es nulo y se tiene que:

0ΔEpropia = cteEpropia =

Denominaremos energía propia del sistema de partículas a la cantidad:

ernaintC.M.int

Totalint

propia EcEcUEc UE ++=+=

propiaext ΔEW =

De esta forma se tiene que:

La variación de la energía propia es igual al trabajo de las fuerzas externas

⇒



Conservación de la energía mecánica total:

Si todas las fuerzas (internas y externas) son conservativas, se conserva la energía mecánica total del sistema de partículas

Si las fuerzas externas no son nulas, pero son todas ellas conservativas, es posible escribir entonces:

En esta situación:

extfextiextext ΔUUUW −=−=

(es decir, existe una función energía potencial externa para cada fuerza externa conservativa, Uext)

propiaextext ΔEΔUW =−= ( ) 0EUΔΔEΔU propia

extpropia

ext =+=+

De forma que se mantiene cte la energía mecánica total del sistema de partículas:

propiaext

Total EUE +=

TotalE

⇒



Si no todas las fuerzas externas son conservativas, tendremos:

En esta situación:

ext (nc)extext (nc)ext (c)ext WΔUWWW +−=+=

propiaext (nc)extext ΔEWΔUW =+−=

( )propiaext

propiaextext (nc) EUΔΔEΔUW +=+=

De esta forma, la energía mecánica total del sistema de partículas cambia por acción de las fuerzas exteriores no conservativas:

ext (nc)Total WΔE =



5.- Colisiones (o impactos) 5.1.- Definición general de colisión

5.2.- Impacto frontal

• Choque perfectamente elástico

• Choque perfectamente inelástico



Definiremos colisión o impacto como la interacción entre dos cuerpos en un intervalo muy corto de tiempo en el que se ejercen fuerzas (internas) muy grandes (fuerzas externas despreciables). (No es preciso contacto físico entre las partículas).

http://www.acienciasgalilei.com/videos/cantidadmovim.htm

5.1.- Definición general de colisión

Nosotros consideramos:

dos partículas

contacto físico

conservación del número de partículas (no hay fragmentación)

impacto central (en la línea que une los centros), frontal (velocidades en la misma línea)



http://www.acienciasgalilei.com/videos/cantidadmovim.htm

5.2.- Impacto frontal Consideremos la situación más sencilla en la que tengamos impacto central y las velocidades estén dirigidas en la línea que une los centros de las partículas impacto frontal (o impacto central en línea):

En esta situación, solo hay una dirección de movimiento, por lo que podemos trabajar con escalares. Consideremos sentido positivo hacia la derecha, con lo que las velocidades serán positivas o negativas si apuntan a la derecha o a la izquierda.

En la situación dibujada, se va a producir impacto sólo si vA > vB

Así, la partícula A alcanzará a la B. Durante un cierto intervalo de tiempo (periodo de deformación) la partícula A “golpea” o interacciona con la B. Al final de dicho periodo las dos tienen la misma velocidad (u). Posteriormente, durante otro intervalo de tiempo (periodo de recuperación) las partículas se recuperan. Al final de dicho instante cada una tiene una velocidad diferente: vA´, vB´



En los periodos de deformación y recuperación actúan las fuerzas de interacción (internas) entre las dos partículas.

Puesto que sólo hay fuerzas internas (Fext ~ despreciables):

Por tanto:

cte P =→

´BB

´AABBAA vm vm vm vm +=+

Recordemos que el impulso (también llamado aquí percusión) venía dado por:

→→→∫ == ΔPdtFI f

i

tt

→→→→+=+ '

BB'

AABBAA vm vm vm vm ⇒



Notemos que desde ta a τ (periodo de deformación):

- Sobre la partícula B:

- Sobre la partícula A (ley de acción y reacción):

IDdtI τta

(B) =∫=

ID)dt(I τta

(A) −=∫ −=

Así, desde ta a τ:

- sobre A:

I vmu mΔP BBBB =−=- sobre B:

I vmu mΔP AAAA −=−=



De la misma forma, desde τ a tb (periodo de recuperación): - Sobre la partícula B:

- Sobre la partícula A (ley de acción y reacción) :

I´RdtI´ btτ(B) =∫=

I´R)dt(I´ b(A)tτ −=∫ −=

I'u m v'mΔP' BBBB =−=

Así, desde τ a tb:

- sobre B: I'u m v'mΔP' AAAA −=−=- sobre A:



Se tiene siempre que I´ ≤ I (las fuerzas recuperadoras son menores o iguales que las deformadoras), de forma que escribiremos que:

I´= eI (e ≡ coeficiente de restitución)

• Magnitud adimensional

• Función de muchos parámetros

• Comprendido entre 0 y 1

• e = 0 impacto plástico (inelástico)

• e = 1 impacto elástico

• Medida del grado de elasticidad (recuperación)

• Se debe medir experimentalmente

El coeficiente de restitución verifica:

0 ≤ e ≤1



I vmu m AAA −=−

Si operamos con las ecuaciones anteriores:

I vmu m BBB =−

I'u m v'm BBB =−

- (sobre B):

I'u m v'm AAA −=−- (sobre A):

e )v(umu) (v'm

AA

AA =−

−

uv v'u

eA

A

−

−=

B

B

vuu v'

e−

−=



B

B

vuu v'

e−

−=

Eliminando u:

uv v'u

eA

A

−

−=

e1 v'ev

u

)1u.(e ue.u v'e.v

v'ue.u e.v

AA

AA

AA

++

=⇒

⇒+=+=+⇒

−=−

BB

BB

e.vv'e).u1(

uv' e.ve.u

+=+⇒

−=−

BBAABBAA evv'v' ev evv'

e1 v'ev

e) 1( +=+⇒+=++

+

)v e(vv'v' BAAB −=−BA

AB

vv v'v'

e−

−=

(0 ≤ e ≤ 1)



Veamos dos casos de interés:

● e = 1 : Choque perfectamente elástico

I´= I En este caso:

de forma que las fuerzas recuperadoras son iguales a las de deformación.

BAAB v vv'v' −=−

Tenemos, según la ecuación anterior:

(es decir, las velocidades relativas antes y después del choque son iguales)

En esta situación, las fuerzas son conservativas, no hay disipación de energía y por tanto:

cte Ecte E cm =⇒= (si la energía potencial no varía)



En este caso, se conserva la cantidad de movimiento y la energía:

cteP =

cte Ec =

Bv'Bm Av'Am BvBm AvAm +=+

2BB

2AA

2BB

2AA v'm

21 v'm

21 vm

21 vm

21

+=+

Cualquiera de los dos conjuntos de ecuaciones constituye un conjunto de dos ecuaciones con dos incógnitas, lo que nos permite resolver todos los problemas de choques elásticos (es decir, determinar las velocidades finales conocidas las iniciales y las masas)

BAAB v vv'v' −=−

Del mismo modo, podemos escribir las ecuaciones:

BBAABBAA v'm v'm vm vm +=+



► Veamos la resolución de un caso concreto. Consideremos vB = 0

BBAAAA v'm v'm vm +=

Despejando obtendremos v´A y v´B en función de vA y las masas:

vmmmm

v´ ABA

BAA +

−=

vmm

m2v´ A

BA

AB +=

AAB vv'v' =−

Según las ecuaciones vistas:



Así:

0~v´

v~v´

B

AA −(*) Si mA << mB

AB

AA

v2~v´

~vv´(*) Si mA >> mB

vv´

0v´

AB

A

=

=(*) Si mA = mB

http://www.surendranath.org/Applets/Dynamics/Collisions/CollisionApplet.html

http://www.walter-fendt.de/ph14e/collision.htm







● e = 0 : Choque perfectamente inelástico

Aplicando la ecuación anteriormente vista:

(las partículas salen con la misma velocidad y por tanto salen juntas)

En esta situación, las fuerzas restauradoras son nulas y por tanto se disipa energía. Las fuerzas no son conservativas. Sólo podemos aplicar la conservación de la cantidad de movimiento, que en esta situación nos quedará:

0)v e(vv'v' BAAB =−=− AB v'v' =

)v'm(m vm vm BABBAA +=+

► Veamos también un caso concreto. Consideremos vB = 0

vmm

mv' A

BA

A

+=



Calculemos en esta situación el cambio en las energías cinéticas:

2A

2

BA

ABA

2BAc

2AAc

vmm

m)m(m

21 )v´m(m

21E´

vm21E

++=+=

=

Así:

mm

m

vm21

vmm

m21

EE´

BA

A2AA

2A

BA

2A

c

c

+=

+=

Vemos entonces que E´c < Ec (se pierde energía cinética).



Así:

(*) Si mA << mB

(*) Si mA >> mB

(*) Si mA = mB

0~EE´

c

c

(por ejemplo, choque de un meteorito con la Tierra)

1~EE´

c

c

(por ejemplo, choque de un coche con un mosquito)

21~

EE´

c

c





Cuestión 4.4

Un bloque de 2 kg que se mueve hacia la derecha con velocidad de 5 m/s choca con un bloque de 3 kg que se mueve en la misma dirección a 2 m/s como se indica en la figura. Después del choque el bloque de 3 kg se mueve a 4.2 m/s. Determinar la velocidad del bloque de 2 kg después del choque y el coeficiente de restitución de la colisión.



Cuestión 4.5

En un experimento de péndulo balístico la altura a la que sube el bloque de madera tras el impacto es de 5 cm. La masa de la bala es 5 g y la del bloque de madera es 1 kg. Encuentra: a) la velocidad inicial del proyectil; b) la pérdida de energía por el choque.



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