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ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL DEL ESTADO DE MÉXICO, NÚMERO 128. “GENERAL FRANCISCO VILLA”

CICLO ESCOLAR 2016-2017

PERIODO DE ACREDITACIÓN ESPECIAL: TERCERO MATERIA: TRIGONOMETRÍA DOCENTE: ING. NEFTALI CABRERA CRUZ ESTUDIANTE: CRITERIOS DE EVALUACIÓN:

RESOLUCIÓN TOTAL DE LA GUIA: 3 PUNTOS.

EXAMEN ESCRITO: 7 PUNTOS. FECHA:

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INDICE Página Unidad 1 Conceptos básicos. 3 1.1 Definición básica de trigonometría. 3 1.2 Concepto de ángulo. 3 1.3 Clasificación de ángulos. 3 1.3.1 Clasificación de ángulos según su medida. 4 1.3.2 Clasificación de ángulos según su posición. 5 1.3.3 Clasificación de ángulos según su suma. 5 1.3.4 Ángulos entre paralelas y una recta transversal. 6 1.4 Ángulos internos de un triángulo. 10 Unidad 2 Triángulos. 11 2.1 Clasificación elemental de triángulos. 12 2.2 Solución de triángulos rectángulos. 12 2.2.1 Teorema de Pitágoras. 12 2.2.2 Solución de situaciones contextuales.

13

2.3 Razones trigonométricas. 16 2.3.1 Cateto opuesto y cateto adyacente. 16 2.3.2 Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo. 18 2.3.3 Razones trigonométricas inversas. 20 2.3.4 Solución de situaciones contextuales. 21 2.4 Solución de triángulos oblicuángulos. 30 2.4.1 Ley de los cosenos. 30 2.4.2 Ley de los senos. 30 2.4.3 Solución de situaciones contextuales. 32 2.5 Triángulos semejantes. 44 2.5.1 Solución de situaciones contextuales.

47

2.6 Área de triángulos. 51 2.6.1 Solución de situaciones contextuales. 52 2.7 Los ángulos y el sistema sexagesimal. 54 2.7.1 Solución de situaciones contextuales. 54 Bibliografía 57

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1.1 Definición básica de trigonometría. La trigonometría, es el estudio de los triángulos, los cuales son figuras que tienen tres lados y tres ángulos:

Las letras a, b y c, se utilizan para representar los lados de un triángulo. El símbolo , se usa para simbolizar a los ángulos. 1.2 Concepto de ángulo. Un ángulo es aquel que está formado por dos líneas (semirrectas) que se unen en un punto llamado vértice:

Los ángulos pueden medirse en grados “º” y su valor puede ir desde 0º a 360º. El símbolo θ = se llama “teta”, y representa el valor del ángulo. Los ángulos pueden medirse con un transportador. Son positivos, si se miden en sentido contrario a las manecillas del reloj. 1.3 Clasificación de ángulos.

1.3.1 Clasificación de ángulos según su medida.

- Ángulo agudo. Mide entre 0° y 90°.

- Ángulo recto. Mide 90° y se representa con un rectángulo en el vértice.

- Ángulo obtuso. Mide entre 90° y 180°.

- Ángulo colineal o llano. Mide 180°.

- Ángulo entrante. Mide entre 180° y 360°.

- Angulo perigonal. Mide 360°.

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Actividad 1. Identifica los siguientes ángulos según su medida.

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1.3.2 Clasificación de ángulos según su posición. a) Ángulos consecutivos, son aquellos que tienen el vértice y un lado común, ejemplo:

b) Ángulos adyacentes, son ángulos consecutivos, tales que al sumarlos forman un ángulo llano.

c) Ángulos opuestos por el vértice, son ángulos que se forman al cruzar dos líneas, cabe destacar que los ángulos que resultan opuestos por el vértice son iguales, en la siguiente figura los ángulos 1 y 3, y los ángulos 2 y 4 son iguales.

1.3.3 Clasificación de ángulos según su suma. a) Ángulos complementarios, son aquellos que suman 90°.

b) Ángulos suplementarios, son aquellos que suman 180°.

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Actividad 2. Compra dos palitos de bandera, únelos por el centro, de tal manera que tengan movilidad, manipúlalos de tal manera que formes ángulos opuestos por el vértice, con tu transportador verifica que midan lo mismo. Identifica los ángulos que sean adyacentes (suplementarios). Actividad 3, identifica los siguientes ángulos como adyacentes, complementarios o bien suplementarios.

1.3.4 Ángulos entre paralelas y una recta transversal. Son ángulos que se forman al cruzar tres líneas, dos de ellas son paralelas, es decir, tienen la misma dirección, mientras que la tercera corta a ambas. Al cruzar estas líneas se forman ángulos que podemos identificar como correspondientes, alternos internos y alternos externos, en cada caso los ángulos se caracterizan por ser iguales.

Ángulos correspondientes

Ángulos internos alternos

Ángulos externos alternos

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Actividad 4, dibuja una recta transversal que corte las siguientes líneas paralelas, identifica y mide los ángulos correspondientes, los alternos internos y los alternos externos, comprueba que sus valores sean iguales.

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En este tipo de sistemas es común encontrar el valor de ángulos faltantes, veamos un ejemplo:

Observemos que faltan los valores de los ángulos 2, 3, 4, 5, 6, 7, y 8, para encontrarlos solo aplicaremos lo aprendido.

a) Los ángulos 1 y 3 son opuestos por el vértice, así que valen lo mismo, por ello, el ángulo 3, tiene un valor de 135°

b) Los ángulos 1 y 2, son suplementarios, es decir, su suma es de 180°, por ello, el ángulo 2 tiene un valor de

180° - 135° = 45°.

c) Los ángulos 2 y 4 son opuestos por el vértice, por ello, si el ángulo 2 mide 45°, entonces, el ángulo 4 también mide 45°.

d) Los ángulos 1 y 5 son correspondientes, por ello, si el ángulo 1 mide 135°, entonces, el ángulo 5 también mide 135°.

[9]

e) Los ángulos 1 y 7 son alternos externos, por ello, el ángulo 7 también mide 135°.

f) Los ángulos 2 y 8 son alternos externos, de esta manera, si el ángulo 2 mide 45°, entonces, el ángulo 8 también tiene un valor de 45°.

g) Los ángulos 4 y 6 son alternos internos, como consecuencia, si el ángulo 4 mide 45° entonces, el ángulo 6 también mide 45°.

Podemos utilizar diferentes caminos para encontrar el valor de los ángulos faltantes, todo parte de que sepas identificar los ángulos correspondientes, alternos internos y externos, así como los suplementarios y en algunos casos complementarios. 1.5 Solución de situaciones contextuales. Actividad 5, encuentra el valor de los ángulos faltantes en los siguientes sistemas.

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1.4 Ángulos internos de un triángulo. Son aquellos que se encuentran comprendidos dentro del mismo. Actividad 6, en el siguiente cuadro dibuja un triángulo con las medidas que tu desees, mide y suma el valor de sus ángulos internos, compara el resultado con el de tus compañeros.

1.5 Solución de situaciones contextuales. Actividad 7, realiza la lectura del artículo: “algo de la nada”. Actividad 8, dibuja un triangulo escaleno, cuyas medidas sean de 62 mm, 57 mm y 45mm. Si después de mucho pensarle no encuentras la manera de hacerlo, puedes consultar la página:

[11]

http://www.youtube.com/watch?v=pUIPErQMjfA

Actividad 9, en la actividad 6 descubrimos que la suma de los ángulos internos de un triángulo tienen un valor de 180°, escribe una demostración que muestre que esto es válido para todos los triángulos.

Unidad 2 Triángulos. 2.1 Clasificación elemental de triángulos. TIPOS DE TRIÁNGULOS. a) Rectángulo: Tienen un ángulo recto. b) Oblicuángulo: No tienen ángulo recto. Actividad 1, clasifica los siguientes triángulos como rectángulos u oblicuángulos y determina el valor del ángulo faltante.

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2.2 Solución de triángulos rectángulos. 2.2.1 Teorema de Pitágoras. En la página anterior practicamos para encontrar el valor de ángulos faltantes, encontrando que para los triángulos rectángulos era algo muy sencillo de hacer ya que de antemano sabíamos que uno de sus ángulos tiene el vale 90°. Por el momento continuaremos trabajando con los triángulos rectángulos, procediendo a desarrollar las habilidades para calcular el valor de sus lados. TRIÁNGULO RECTANGULO. Tiene un ángulo recto y tres lados.

El lado más largo se llama hipotenusa y se encuentra opuesto al ángulo recto, se simboliza con la letra “c”. Los otros dos lados se llaman catetos y se simbolizan con las letras “a y b”. Para encontrar el valor de la hipotenusa, aplicamos el teorema de Pitágoras.

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TEOREMA DE PITÁGORAS. “En todo triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado”. Matemáticamente esto se escribe:

𝐜𝟐 = 𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 Despejemos a “c”:

𝐜 = 𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 Es decir, la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma de los catetos al cuadrado. Veamos un ejemplo del cálculo de la hipotenusa.

𝒄 = 𝟑𝟐 + 𝟒𝟐

𝒄 = 𝟗 + 𝟏𝟔

𝒄 = 𝟐𝟓 = 5

2.2.2 Solución de situaciones contextuales. Actividad 2, realiza la lectura del artículo: “una imagen vale más que mil palabras”. Actividad 3, de manera grupal realizaran en madera la demostración sobre el teorema de Pitágoras que se indica en el artículo anterior, de la siguiente manera:

a) La Madera de las figuras a utilizar deberás estar barnizadas y montada sobre un cuadro de tal manera que puedan manipularse.

b) Las dimensiones del triángulo a utilizar son 80 cm, 60 cm y 100 cm. c) Estas figuras serán expuestas durante la semana de la ciencia, y se quedaran bajo desguardo de la institución. d) Se realizará un video con esta demostración que será subido a youtube.

Actividad 4, encuentra el valor de la hipotenusa en los siguientes triángulos.

[14]

MÁS PITÁGORAS.

Con la ecuación de Pitágoras también podemos calcular el valor de un cateto.

𝐜𝟐 = 𝐚𝟐 + 𝐛𝟐

Despejemos “a”: 𝐚 = 𝐜𝟐 − 𝐛𝟐

Despejemos “b”: 𝐛 = 𝐜𝟐 − 𝐚𝟐 Es decir, el valor de un cateto es la raíz cuadrada de la hipotenusa al cuadrado menos el otro cateto al cuadrado.

Ejemplo:

𝒄 = 𝟓𝟐 − 𝟒𝟐

𝒄 = 𝟐𝟓 − 𝟏𝟔

𝒄 = 𝟗 = 3

Actividad 5, encuentra el valor del lado faltante en los siguientes triángulos.

[15]

Actividad 6, encuentra el valor del lado faltante en los siguientes triángulos.

[16]

2.3 Razones trigonométricas. 2.3.1 Cateto opuesto y cateto adyacente. En los triángulos rectángulos la hipotenusa es siempre el lado más largo. A los otros lados les llamaremos cateto opuesto (co) o bien cateto adyacente (ca), dependiendo de nuestro ángulo de referencia. ÁNGULO DE REFERENCIA.

[17]

El triángulo rectángulo tiene un ángulo recto, los ángulos restantes pueden ser los de referencia.

El problema que debas resolver te indicará a cual debes tomar como ángulo de referencia. Supongamos que el problema te pide que consideres al ángulo que está a la derecha como el de referencia. El cateto opuesto estará opuesto a dicho ángulo, y el adyacente a su lado.

Si el ángulo de referencia fuese el otro:

Actividad 1, en los siguientes triángulos se te indica el ángulo de referencia, idéntica a los catetos según corresponda.

[18]

2.3.2 Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo. Resultan de la división de dos lados y son:

seno

sen Θ = 𝐜𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐨𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨

𝐡𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚

coseno

cos Θ = 𝐜𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐚𝐝𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞

𝐡𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚

tangente

tan Θ = 𝐜𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐨𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨

𝐜𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐚𝐝𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞

[19]

cosecante

csc Θ = 𝐡𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚

𝐜𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐨𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨

secante

sec Θ = 𝐡𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚

𝐜𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐚𝐝𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞

cotangente

cot Θ = 𝐜𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐚𝐝𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞

𝐜𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐨𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨

LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS MAS UTILIZADAS SON EL SENO, COSENO Y LA TANGENTE.

Actividad 2, en los siguientes triángulos se te proporciona el valor de dos lados y en ángulo de referencia, escribe la razón trigonométrica más apropiada en cada caso.

Triángulo.

Razón trigonométrica.

01

02

03

Triángulo.

Razón trigonométrica.

[20]

04

05

06

07

08

2.3.3 Razones trigonométricas inversas. Sirven para encontrar el valor de un ángulo y se leen como:

[21]

sen-1: seno inverso

cos-1: coseno inverso

tan-1: tangente inversa Veamos un ejemplo de cálculo con el siguiente triángulo:

El valor del coseno del ángulo es:

𝐜𝐨𝐬𝛉 = 𝟏

𝟐= 𝟎.𝟓

El valor del ángulo es:

𝛉 = 𝐜𝐨𝐬−𝟏 𝟎.𝟓 = 𝟔𝟎º

Encuentra el valor del ángulo en los siguientes casos:

sen Θ Θ

0.235

0.563

0.986

0.21

0.475

tan Θ Θ

0.235

0.563

0.986

0.21

0.475

cos Θ Θ

0.235

0.563

0.986

0.21

0.475

2.3.4 Solución de situaciones contextuales e hipotéticas. Actividad 3, en los siguientes triángulos encuentra el valor de los ángulos y lados faltantes.

[22]

Triángulo.

Operaciones

01

02

03

04

05

Actividad 3, escoge el ángulo de referencia y determina el valor de los ángulos y lados faltantes.

[23]

Triángulo. Operaciones

01

02

03

04

05

UN REPASO DE DESPEJES.

[24]

Para despejar una variable en una ecuación decimos, que lo que está multiplicando pasa del otro lado dividiendo y

viceversa.

Por ejemplo sea la ecuación: X = 𝑌

𝑍

Si te pidieran despejar la Y, notarias que le estorba la Z, por ello la pasas del otro lado multiplicando:

XZ = Y

Y = XZ

Si te pidieran despejar la Z, notarias que esta “abajo” y toda cosa que se digne de ser despejada debe estar “arriba”,

por lo cual la pasas del otro lado multiplicando:

XZ = Y

La X que le estorba y que está multiplicando pasa dividiendo al otro lado:

Z = 𝑌

𝑋

Practica tus despejes con lo siguiente:

ecuación cateto opuesto hipotenusa

sen Θ = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

ecuación hipotenusa cateto adyacente

cos Θ =

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

ecuación cateto adyacente cateto opuesto

tan Θ =

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

¡MUY IMPORTANTE!

Las funciones trigonométricas se pueden evaluar en la calculadora:

Calcula el valor de las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos:

ángulo sen cos tan

45°

135°

180°

225°

315°

360°

Actividad 4, investiga los valores exactos de las razones trigonométricas para los ángulos notables que son de 30°, 45°

y 60°, ya que estos debes manejarlos de memoria.

Los valores de las razones trigonométricas sirven para calcular los lados de un triangulo.

Veamos un ejemplo:

[25]

Tenemos como dato a la hipotenusa y un ángulo. Tenemos que calcular cuánto valen los catetos opuesto y adyacente.

Comencemos por el opuesto (aunque si gustas puede ser el adyacente):

sen 50° = cateto opuesto

80

cateto opuesto = (80)sen50° = 61.283

Ahora le toca al adyacente

cos 50º = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

80

cateto adyacente = (80)cos50° = 51.423

El valor del cateto adyacente también se puede calcular con Pitágoras:

𝐜.𝐚. = 𝐜𝟐 − 𝐛𝟐

𝐜.𝐚. = 𝟖𝟎𝟐 − 𝟔𝟏.𝟐𝟖𝟑𝟐 = 𝟓𝟏.𝟒𝟐𝟑

Actividad 5, encuentra el valor de los lados y ángulos faltantes en los siguientes triángulos.

Triángulo.

Operaciones

01

02

Triángulo.

Operaciones

[26]

03

04

05

06

07

08

RECAPITULACIÓN

[27]

La trigonometría fue desarrollada por los griegos hace más de 2000 años. Consiste en el estudio de los triángulos los cuales tienen 3 lados y 3 ángulos. Los triángulos se clasifican en: a) Rectángulos, si tienen un ángulo recto. b) Oblicuángulos, si no tienen un ángulo recto. Para encontrar los lados y/o ángulos de un triángulo rectángulo, podemos utilizar: a) El teorema de Pitágoras. b) Funciones trigonométricas. Actividad 6, encuentra el valor de los lados y ángulos faltantes en los siguientes triángulos.

Triángulo.

Operaciones

01

02

03

04

[28]

Triángulo.

Operaciones

05

06

07

08

09

[29]

Triángulo. Operaciones

10

11

12

13

14

15

[30]

Triángulo. Operaciones

[31]

2.4 Solución de triángulos oblicuángulos. Los triángulo oblicuángulos, son aquellos que no tienen un ángulo recto, utilizamos las letras A, B y C para representar sus ángulos y las minúsculas a, b y c, para representar sus lados.

El lado a esta opuesto al ángulo A, lo mismo pasa con los otros lados y ángulos. ENCONTRADO LADOS Y ÁNGULOS. En los triángulos oblicuángulos no se utiliza ni a Pitágoras, ni a las funciones trigonométricas. En cambio, utilizamos 3 Leyes o ecuaciones que nos permiten calcular lados y/o ángulos. 2.4.1 LEY DE LOS COSENOS.

a2 = b2 + c2 – 2bcCosA

b2 = a2 + c2 – 2acCosB

c2 = a2 + b2 – 2abCosC 2.4.2 LEY DE LOS SENOS.

𝐚

𝐬𝐞𝐧 𝐀 =

𝐛

𝐬𝐞𝐧 𝐁 =

𝐜

𝐬𝐞𝐧 𝐂

La ley de cosenos de aplica principalmente cuando: a) Se conocen 3 lados:

b) Se conocen dos lados y el ángulo entre ellos:

En todos los demás casos puedes utilizar la ley de los senos.

[32]

Actividad 1, determina que ley es más apropiada para cada uno de los siguientes casos.

[33]

2.4.3 Solución de sistemas contextuales. USEMOS LA LEY DE LOS COSENOS. Comenzaremos con casos en donde se conocen los tres lados. Por ejemplo:

En este triángulo se conocen sus tres lados, lo que debemos hacer es calcular sus ángulos. Para ello utilizaremos la ley de los cosenos:

a2 = b2 + c2 – 2bcCosA

b2 = a2 + c2 – 2acCosB

c2 = a2 + b2 – 2abCosC De las ecuaciones anteriores, despejamos a los ángulos:

Para no hacernos bolas con tanta ecuación solo trabajaremos con la que “se parece” al teorema de Pitágoras:

c2 = a

2 + b

2 – 2abCosC

O bien:

Para utilizar esta ecuación debes escoger un lado al cual llamaras “c”. En nuestro triángulo escogeremos al lado que vale 10, como “c”:

[34]

Los otros lados se llamaran “a” y “b”:

Si lo deseas puedes escoger a “a” y “b” “al revés”:

Es decir, una vez que escogiste a “c”, a “a” y “b” las puedes escoger como gustes.

Quedémonos con nuestra primera elección: a = 23, b = 19, c = 10. Calculamos el ángulo C:

𝐂 = 𝐜𝐨𝐬−𝟏 𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 − 𝐜𝟐

𝟐𝐚𝐛

𝐂 = 𝐜𝐨𝐬−𝟏 𝟐𝟑𝟐 + 𝟏𝟗𝟐 − 𝟏𝟎𝟐

𝟐 𝟐𝟑 (𝟏𝟗)

C = 25.33º

Ahora escojamos a otro lado como “c”, con sus respectivas “a” y “b”:

a = 10, b = 19, c = 23.

𝐂 = 𝐜𝐨𝐬−𝟏 𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 − 𝐜𝟐

𝟐𝐚𝐛

𝐂 = 𝐜𝐨𝐬−𝟏 𝟏𝟎𝟐 + 𝟏𝟗𝟐 − 𝟐𝟑𝟐

𝟐 𝟏𝟎 (𝟏𝟗)

C = 100.31º

[35]

Ahora solo nos falta calcular un ángulo. Como recordaras en todo triángulo la suma de sus ángulos es igual a 180º. El ángulo restante vale: 180º-100.31º-25.33º = 54.36º Para comprobar apliquemos la ley de cosenos:

a = 10, b = 23, c = 19.

𝐂 = 𝐜𝐨𝐬−𝟏 𝟏𝟎𝟐 + 𝟐𝟑𝟐 − 𝟏𝟗𝟐

𝟐 𝟏𝟎 (𝟐𝟑)

C = 54.36º

Finalmente obtuvimos todos los ángulos:

Para saber si hiciste bien las cosas, suma todos los ángulos, si te da 180º ya la hiciste.

[36]

Actividad 2, encuentra el valor de los ángulos en los siguientes triángulos.

Triángulo.

Operaciones

01

02

03

04

05

[37]

Ahora estudiemos un caso en el que se conocen dos lados y el ángulo entre ellos.

Al lado faltante le llamaremos “c” y los otros serán “a” y “b” según tú decidas:

El ángulo contrario a dicho lado será “C”.

Para encontrar a “c”, aplicamos la ley de los cosenos:

c2 = a

2 + b

2 – 2abCosC

O bien:

Es decir:

𝐜 = 𝟒𝟐 + 𝟔𝟐 − 𝟐 𝟒 𝟔 𝐜𝐨𝐬𝟏𝟐𝟎º

c = 8.72

[38]

Actividad 3, encuentra el valor del lado y de los ángulos faltantes en los siguientes triángulos.

Triángulo.

Operaciones

01

02

03

04

05

[39]

LEY DE LOS SENOS. Utilizaremos esta ley, cuando no tengamos: a) Ni tres lados. b) Ni dos lados y el ángulo entre ellos. Para aplicar dicha ley es necesario conocer el concepto de razón o relación. Una relación, se da en una pareja de números, en los cuales uno divide al otro. Para la ley de los senos dicha pareja estará formada por un lado, y por el seno del ángulo contrario a ese lado. Basémonos en el siguiente triángulo:

En este triángulo, se forman las parejas:

a-senA, b-senB y c-senC Las relaciones de lado a senθ, quedan como:

𝒂

𝒔𝒆𝒏𝑨

𝒃

𝒔𝒆𝒏𝑩

𝒄

𝒔𝒆𝒏𝑪

El decir relación de lado a senθ, significa que “arriba” va el lado.

Las relaciones de senθ a lado, quedan como:

𝒔𝒆𝒏𝑨

𝒂

𝒔𝒆𝒏𝑩

𝒃

𝒔𝒆𝒏𝑪

𝒄

El decir relación de senθ a lado, significa que “arriba” va el senθ.

[40]

Actividad 4, calcula las relaciones lado-senθ y senθ-lado para los siguientes triángulos.

Relaciones lado-senθ

Relaciones senθ-lado

01

02

03

04

05

[41]

Con los ejercicios anteriores, podemos percatarnos de dos hechos fundamentales: a) Las relaciones lado – senθ, son iguales. b) Las relaciones senθ – lado, son iguales. Por lo anterior la ley de los senos se expresa como:

𝐚

𝐬𝐞𝐧 𝐀 =

𝐛

𝐬𝐞𝐧 𝐁 =

𝐜

𝐬𝐞𝐧 𝐂

O bien como:

𝐬𝐞𝐧𝐀

𝐚 =

𝐬𝐞𝐧𝐁

𝐛 =

𝐬𝐞𝐧𝐂

𝐜

Para simplicarnos la vida, solo usaremos: 𝐚

𝐬𝐞𝐧 𝐀 =

𝐛

𝐬𝐞𝐧 𝐁

O bien:

𝐬𝐞𝐧𝐀

𝐚 =

𝐬𝐞𝐧𝐁

𝐛

Observa que en esta ley “simplificada” aparecen 4 variables: a, b, senA y senB. Para aplicar la ley de los senos, debes conocer tres de estas variables, para así poder calcular la cuarta. En otras palabras, para aplicar la ley de los senos, deberás trabajar con: a) Una pareja “completa”, formada por los números “b” y “senB”. b) Una pareja “incompleta”, en la cual hará falta “a” o bien al “senA”. El compañero o variable faltante (“senA” o “a”) deberá ir arriba en la relación. Veamos un ejemplo:

En este triángulo la pareja conocida es “b” y senB. b = 19.8 senB = sen62º. Al lado A (que vale 15), le falta su compañera senA, por lo cual esta es la variable a calcular y que debe ir “arriba”:

𝐬𝐞𝐧𝐀

𝟏𝟓 =

𝐬𝐞𝐧𝟔𝟐º

𝟏𝟗.𝟖

Despejando:

𝐬𝐞𝐧𝐀 = (𝟏𝟓)𝐬𝐞𝐧𝟔𝟐º

𝟏𝟗.𝟖

[42]

𝐀 = 𝐬𝐞𝐧−𝟏 (𝟏𝟓)𝐬𝐞𝐧𝟔𝟐º

𝟏𝟗.𝟖

A = 41.98 ≈ 42º

Ahora podemos calcular el ángulo faltante:

Para calcular el lado faltante podríamos utilizar la ley de los cosenos, ya que ahora conocemos dos lados y el ángulo entre ellos. Pero mejor sigamos practicando con los senos. Observamos que al sen76º, le hace falta su compañero el lado “a”. Ahora tenemos dos parejas conocidas: 1) 19.8 y sen62º

2) 15 y sen42º Podemos escoger cualquier pareja, optemos por la primera. El lado faltante “a”, debe ir arriba:

𝐚

𝐬𝐞𝐧 𝟕𝟔º =

𝟏𝟗.𝟖

𝐬𝐞𝐧 𝟔𝟐º

Despejando:

𝐚 = 𝟏𝟗.𝟖 𝐬𝐞𝐧𝟕𝟔º

𝐬𝐞𝐧𝟔𝟐º

a = 21.75

Para no quedarnos con la duda, comprobemos con la segunda pareja conocida:

𝐚

𝐬𝐞𝐧 𝟕𝟔º =

𝟏𝟓

𝐬𝐞𝐧 𝟒𝟐º

Despejando:

𝐚 = 𝟏𝟓 𝐬𝐞𝐧𝟕𝟔º

𝐬𝐞𝐧𝟒𝟐º

a = 21.75

[43]

Actividad 5, encuentra el valor del lado y de los ángulos faltantes en los siguientes triángulos.

Triángulo.

Operaciones

01

02

03

04

05

[44]

Triángulo.

Operaciones

06

07

No te confundas si te dan valores de “a”, “b”, etc. Solo acopla los números s nuestro sistema de trabajo.

08

09

10

[45]

2.5 Triángulos semejantes. Son triángulos de distinto tamaño, pero que tienen formas y ángulos iguales.

En los ejemplos anteriores los lados CA y C´A´, CB y C´B´, AB y A´B´, son semejantes (parecidos), la única diferencia es que tienen distinto tamaño.

RELACIÓN DE LADOS. En triángulos semejantes es común relacionar dos lados de un triángulo, por ejemplo:

Las posibles relaciones son: 𝟔

𝟖= 𝟎.𝟕𝟓

𝟔

𝟏𝟎= 𝟎.𝟔

𝟏𝟎

𝟖= 𝟏.𝟐𝟓

O bien: 𝟖

𝟔= 𝟏.𝟑𝟑

𝟏𝟎

𝟔= 𝟏.𝟔𝟕

𝟖

𝟏𝟎= 𝟎.𝟖

Evalúa las posibles relaciones de lados del siguiente triángulo.

O bien:

[46]

Al comparar las relaciones de lados semejantes en los triángulos anteriores, observamos que son iguales:

𝟔

𝟖=𝟑

𝟒= 𝟎.𝟕𝟓

𝟔

𝟏𝟎=𝟑

𝟓= 𝟎.𝟔

𝟏𝟎

𝟖=𝟓

𝟒= 𝟏.𝟐𝟓

O bien: 𝟖

𝟔=𝟒

𝟑= 𝟏.𝟑𝟑

𝟏𝟎

𝟔=𝟓

𝟑= 𝟏.𝟔𝟕

𝟖

𝟏𝟎=𝟒

𝟓= 𝟎.𝟖

En dos triángulos semejantes, la relación de dos lados semejantes es igual. ENCONTRANDO LADOS. Usaremos la relación de lados semejantes para encontrar lados desconocidos.

Recuerda que en una relación la variable a calcular debe ir “arriba”. Encuentra el valor del lado faltante.

Planteamos las relaciones de lados semejantes:

𝐱

𝟔=𝟓

𝟑

Despejamos:

𝐱 =𝟓(𝟔)

𝟑= 𝟏𝟎

Podemos plantear otra relación y da lo mismo:

𝐱

𝟖=𝟓

𝟒

Despejamos

𝐱 =𝟓(𝟖)

𝟒= 𝟏𝟎

[47]

Encontremos el valor de los lados faltantes en el triángulo de la izquierda:

𝐱

𝟔=𝟒

𝟑

Despejamos:

𝐱 =𝟒(𝟔)

𝟑= 𝟖

Para calcular el tercer lado que es la hipotenusa, podemos usar otra relación de lados semejantes o aplicar Pitágoras:

Podemos usar: 𝐱

𝟖=𝟓

𝟒

Despejamos:

𝐱 =𝟓(𝟖)

𝟒= 𝟏𝟎

Aplicando Pitágoras:

𝐜 = 𝟔𝟐 + 𝟖𝟐 c = 10

[48]

2.5.1 Solución de situaciones contextuales. Actividad 1, encuentra el valor de los lados faltantes en los siguientes triángulos.

Triángulo.

Operaciones

01

02

03

04

05

[49]

CASOS ESPECIALES. Si en un triángulo:

Se traza (dibuja) una línea paralela a uno de sus lados:

Entonces se forman un triángulo semejante al primero.

Para simplificar, dibujaremos los dos triángulos en un solo dibujo:

[50]

Veamos otro ejemplo:

Trazamos una línea paralela a uno de sus lados:

Se formó un triángulo semejante al primero:

Para simplificar, dibujaremos los dos triángulos en un solo dibujo:

[51]

Actividad 6, calcula el valor de lado faltante en los siguientes triángulos.

Triángulo.

Operaciones

01

Un palo de 1.5m de alto, colocado verticalmente, proyecta una sombra de 4m. Al mismo tiempo, una torre proyecta una sombra de 74m. ¿Qué altura tiene la torre?

02

3) Para encontrar la longitud de la base de un cerro, se construyo una pareja de triángulos rectángulos semejantes como se muestra en la figura, en la cual PA=180m, CD=150m y PC=50m. ¿Cuánto mide la longitud del cerro?.

03

04

Actividad 2, realiza la lectura “Lecciones de geometría práctica” y elabora un astrolabio, donde muestres su uso.

[52]

2.6 Área de triángulos. Cuando ibas en la secundaria, te dijeron que el área de un triángulo rectángulo es igual a base por altura entre 2.

Por ejemplo:

á𝐫𝐞𝐚 = 𝐛𝐚𝐬𝐞 𝐗 𝐚𝐥𝐭𝐮𝐫𝐚

𝟐=𝟏𝟎𝐗𝟒

𝟐= 𝟐𝟎

Pero los tiempos cambian y ahora estas en le prepa 128 y debes calcular las áreas con más estilo. Para calcular áreas debes identificar dos posibles casos: a) Se conocen dos lados y el ángulo que forman. b) Se conoces tres lados. SE CONOCEN DOS LADOS (a, b) Y EL ÁNGULO QUE FORMAN. Cuando esto pase se utiliza la formula:

á𝐫𝐞𝐚 = 𝟏

𝟐𝐚𝐛𝐬𝐞𝐧𝛉

Ejemplo:

á𝐫𝐞𝐚 = 𝟏

𝟐 𝟏𝟎 𝟒 𝐬𝐞𝐧𝟗𝟎º = 𝟐𝟎

El seno de 90º vale “1”, por ello, para un triángulo rectángulo la fórmula se reduce a la que te dieron en la secu:

á𝐫𝐞𝐚 = 𝟏

𝟐𝐚𝐛𝐬𝐞𝐧𝟗𝟎 =

𝟏

𝟐𝐚𝐛 =

𝐛𝐚

𝟐

Cuando trabajes con triángulos oblicuángulos debes tener el cuidado de utilizar el seno del ángulo. Ejemplo:

á𝐫𝐞𝐚 = 𝟏

𝟐 𝟏𝟏 𝟏𝟎 𝐬𝐞𝐧𝟕𝟏º = 𝟓𝟐

SE CONOCEN TRES LADOS (a, b, c). Cuando esto pase debes utilizar la fórmula de Herón:

á𝐫𝐞𝐚 = 𝐬 𝐬 − 𝐚 𝐬 − 𝐛 (𝐬 − 𝐜) Donde; s= semiperimetro, es decir, el perímetro entre 2. El perímetro se obtiene sumando los tres lados de un triángulo.

Ejemplo:

Perímetro = 3 + 5 + 4 = 12 s = 12/2 = 6

á𝐫𝐞𝐚 = 𝟔 𝟔 − 𝟑 𝟔 − 𝟒 (𝟔 − 𝟓)

á𝐫𝐞𝐚 = 𝟔 𝟑 𝟐 (𝟏) = 𝟑𝟔 = 𝟔

[53]

2.6.1 Solución de situaciones contextuales. Actividad 1, calcula el área de los siguientes triángulos.

Triángulo.

Operaciones

01

02

03

04

05

[54]

Triángulo.

Operaciones

06

07

08

09

10

[55]

2.7 Los ángulos y el sistema sexagesimal. En el sistema sexagesimal, las unidades de medición de dividen en 60 partes, por ejemplo, la medición del tiempo utiliza el sistema sexagesimal, ya que: - Una hora se divide en 60 minutos - Un minuto se divide en segundos.

En la medición de ángulos también se utiliza el sistema sexagesimal, ya que: - Un grado se divide en 60 minutos.

1º = 60´ - Un minuto se divide en 60 segundos.

1´ = 60” A pesar de que en la medición de grados utilizamos las palabras minutos y segundos, estos nada tienen que ver con el tiempo. En los ángulos son los valores decimales, los que se pueden expresar en minutos y/o segundos. Por ejemplo: 40.32º = 40º 19´ 12” En este caso el valor de 0.32º, equivale a 19´ 12”. Si el ángulo no tiene valores decimales, entonces, no se expresa en términos de minutos y/o segundos. Por ejemplo: 40º = 40º CONVERSIÓN DE VALORES DECIMALES EN MINUTOS Y SEGUNDOS. Para realizar tal conversión, se multiplican los valores decimales dos veces por 60. Ejemplo: Convierte 40.32º a grados, minutos y segundos.

(0.32)(60) = 19.2 (los 19, serán los minutos). (0.2)(60) = 12 (1os 12, serán los segundo). Resultado: 40.32º = 40º 19´ 12” 2.7.1 Solución de situaciones contextuales. Actividad 1, convierte en grados sexagesimales los siguientes ángulos.

1) 12.26º

2) 171.8873º

3) 29.6394º

4) 35º

5) 18.798º

6) 36.71º

7) 40.32º

8) 61.24º

9) 56º

10) 61.24º

Las conversiones anteriores puedes realizarse en tu calculadora oprimiendo la tecla:

[56]

CONVERSIÓN DE MINUTOS Y SEGUNDOS A VALORES DECIMALES. Para ello, se dividen los minutos entre 60, los segundos entre 3600 y se suma todo. Ejemplo. Convierte el siguiente ángulo a grados:

40º 19´ 12” 40 + 19/60 + 12/3600 = 40.32º Actividad 2, convierte los siguientes ángulos a grados.

1) 40º 10´15”

2) 61º 42´ 21”

3) 1º 2´ 3”

4) 73º 40´ 40”

5) 9º 9´ 9”

6) 98º 22´45”

7) 45º 33´49.68”

8) 29º 38´ 22”

9) 18º 47´ 52”

10) 36º 42´ 37”

Lo anterior también se puede hacer con la calculadora, primero escribes el ángulo, por ejemplo:

En la pantalla aparecerá: 36º 42´ 37”

Finalmente oprime las teclas shift y obtendrás el resultado.

[57]

Bibliografía. Hogben, Lancelot. La matemática en la vida del hombre, Ed. Iberia-Joaquín Gil, 1941.

Meavilla, Vicente. Esto no estaba en mi libro de matemáticas, Ed. Almuzara, 2012.

Slavin, Steve. Geometry. A self – teaching guide, Ed. John Wiley & Sons Inc. 2005.

Strogatz, Steven. El placer de la x, Ed. Taurus. 2013