Escuela Técnioa Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos

PLASTIíTCACIOH PROGRESIVA DE US TALUD "COÜLQMBÍABO

Madrid, Mayo 1.971 Tesis doctoral

Luis del Cañizo Perate

iiiywjBWffWrflfflfriiiiiFirjniffhffi frirailWfflsiwttigflBiTt i Bfiffffifni«Kn ráñmfmmm

Feb. 1942 Nacido «a Madrid.

1952-1959 Bachillerato en al Colegio "Estudio" da Madrid, 00a 0? Matrículas da Honar» 17 Sobresalientes y 18 Notables.

Jim. 1958 Reválida de Bachillerato Superior ce» Matricula de Hener*

Jua. 1960 Seleetiro «a la Universidad de Madrid.

Jun. 196a Iaiciaeián 0a lá Escuela-Tiendes Superior de Ingenieros de Caadaos, Canales y Puerto»,

Mayo 1962 . Premio Pilar Careaba, de AMIC, por haber ingresado una Escuela Técnica Superior de Ingeniaros'sa una

#a _ «»* «ola

convocatoria. 1961-1965 Catrera de Ingenieros de Caninos* Canales y Puertoa.eon

6 Matrículas de Honor, 18 Sobresalientes y 16 Notable*. - Asignatura de Geotecnáat y Cimientos! 3er* Curse, Sobre­saliente 1 5fi Curse» Matrícula ds Honor. Especialidadest "Cimientos y Sstrueturas" y "Ceastruc-» SAew*-# Calificación final: Sobresaliente. Numero de promoción: Uno.

1965 Premio Nacional Pin de Carrera, y Victor de Plata al m£ rito profesional* Preaio "Escalona" de la Escuela Técnica Superior de In­genieros de Caninos, Canales y Puertos* Preaio "Altos Bornes" ds AMIC. Preaio Ordinario Gonzalos Baylin, de la Cañara de Iadug tria de Madrid.

Enero 1969 Preaio Extraordinario de la Fundación (tonsilas Baylin,-de la Cañara de Industria de Madrid (convocado entre

'. los números "uno" ds las distintas Escuelas Técnicas % perleros ds Ingenieros, y dotado de un Diploma y 6 0. 000 pesetas) per el trabajo original "Nueve método de cálou

.le de piscas apoyadas en un semicopado elástico no ng aogeaee*• •

1969-1970 Prejtenímr Encargado ds Curso de Gao tecnia y Ciwientos en 1970-4971 la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caninos,

Canales y Huertos de Madrid.

Í N D I C E

1,- Resumen,, 4

2.- Planteamiento del problema del talud. 8

3.- Métodos de cálculo ucuales.

3.1. Método elástico. 12

3.2. Método del estado límite.

3.2*1• Procedimientos de tanteo. 14

3.2.2, Procedimientos analíticos. 16

4.- Método general elastoplásíico o de plasticidad contenida.

4.1. Presentación. 21

4.2. Trabajos nrevios. 24

4*3• Variables fundamentales escogidas. 26

5.— Problemas oarticul ITQ~J estudiados.

5.1. Aplicaciones ya realizadas. 32

5.2. Talud plano.

5.2.1. Estudio de la malla. 38

5.2.2. Talud coulombiano. 44

5*3. Talud ortolisténioo,- 50

5.4. Talud isorresistente. 55

5.5. Talud en terreno con dilatancia prefijada. 64

6.- ConolusioneB,

6.1. Resumen de conclusiones. 6o-

6.2. Perspectivas futuras. 70

6.3. Comentario final. 71

Agradecimiento.

Apéndice A - Plasticidad,

Apéndice B - Método de Ion elementos finitos.

Apéndice C - Listados del pro^amá de cálculo.

Anendioe D — Resultados de ordenador (ejemplo).

Apéndice E - Notación.

Apéndice P - Bibliografía.

índice del Apéndioe A - Plaatioidad

Introducción . 3

Elasticidad . 6

Plastioidad. 10

Criterios de rotura.

4.1 •- Sólidos cohesivos. 17

4.?.- Sólidos oon rozamiento.

4.2.1.- Sólido ela3toplástico perfecto. 21

4.2.2.- Sólido rigidizable."Cam Clay". 30

4.3.- Sólidos sin potencial plástico. 36

Aplicación a la mecánica del suelo.

5.1.- Biscusion , 38

5.2.- Relaciones increméntales tensión deformación propuestas. 41

i 3.

Indioe del Apéndioe B - Método do los elementos finitos

1.- Generalidades. 3

2,- Fundamento teórico.

2,1.- Hipótesis y método. 5

2.2,- Formulación. 8

2,3»- Equivalencias del método. 15

3.- Convergencia y unicidad. 19

4.- :Aplicación del método.

4.1 «-Tipos de elementos.

4.1.1.- Problemas planos. 26

4.1«2»- Problemas tridimensionales. 37

4.2,- Condiciones de oontorno.

4.2.1.- Introdueión de las condiciones de

contorno. 39

4.2,?.- Prescripción de corrimientos. 41

4.3.- Resolución del sistema. Particiones. 45

5.» íntroduoión de la plastificación.

5.1.- Generalidades, 50

5,2,- Método incremental de la matri2 de rigidea

tangente, 55

6,- Programa de cálculo electrónica, 59

6.1.- Variables escogidas, 60

6.2,- Organigrama. 64

6.3«— Manejo del programa. 67

1.- RESUMEN

La Mecánica de Suelos ha estudiado tradioionalmente sus proble

mas, y entre ellos el del talud, por dos procedimientost el cálculo -

elástico, y el método del estado limite en equilibrio plástico» El pri

mero indica la forma de trabajar del terreno, pero proporciona grandes

errores al existir casi siempre en la masa de suelo zonas plastifica-

das, que crean unos reajustes de tensiones y unas deformaciones mucho

mayores. El segundo da un valor bastante preciso del coefioiente .de se.

guridad de que se dispone, pero es sólo comprobatorio, dando una infqr

mación muy pobre o nula sobre el modo de comportarse el terreno y las

deformaciones que sufre, o referente a donde sobra o falta material.

En la realidad en el suelo coexisten unas zonas en estado elája

tico y otras en estado plástico, por lo cual su cálculo riguroso pre­

senta grandes dificultades. El progreso de las teorias plásticas y el

de los ordenadores electrónicos han dado recientemente un gran impul­

so a la elastoplasticidad, permitiendo abordar mediante el calculo nu

mérico un problema tan complejo, y reproducir la realidad con modelos

matemáticos que cada vez se ciñen más a ella.

En la presente tesis se estudia el problema del talud, en esta

do de deformación plana, por el método de los elementos finitos ( ver

apéndice B ). La elección de dicho método se justifica porque discreti

za el continuo en elementos triangulares, y tiene gran flexibilidad pa

ra adaptarse a taludes de cualquier forma, y para suministrar precisión

suficiente incluso en las proximidades del punto singular que es el pie

del talud.

El mayor esfuerzo se ha hecho en lo relativo a la aplicación de

la plasticidad ( ver apéndice A ), punto en el que fallan la mayoria

5»—

de los autores, por ignorancia o por las dificultades técnicas que

hay que vencer para mantener el rigor teórico deseable* Se utiliza

aqui un modelo matemático de terreno isótropo elasto-plástioo perfec

to, oon oohesión y rozamiento interno, que se rige por el orlterio de

rotura de Mohr Coulomb y que cumple las relaciones tensión deformación

de Druoker y Praguer, deducidas por la ley de la normalidad. Como va­

riante se utiliza también un modelo de terreno análogo al anterior,

pero con una dllatanoia constante prefijada, cuyas relaciones inore» »

mentales tensión deformación para cuerpos elastoplástioos se deducen

en el apartado A - 5,2, El empleo de este último modelo, sin poten­

cial plástico , es una novedad interesante, que permite estudiar la -

influencia de la dilatancia en los taludes, y abre el oamino para un

cálculo más riguroso de problemas cuyas condiciones de contorno se dea

en corrimientos, y no en tensiones. Sus limitaciones prinoipales son -

el no considerar la anisotropia, los efectos viewosos y la rigidización

energética.

Para realizar los cálculos se ha confeccionado un programa de

cálculo electrónico de elementos finitos muy versátil. Permite el es­

tudio de terrenos no homogéneos, de problemas elásticos anisótropos y

de elastoplástioos isótropos con los dos modelos de suelo citados en

el párrafo anterior. Dado que la progresión de la zona en estado plás

tico depende del proceso de cargas, se ha procurado mantener en este

aspecto una flexibilidad y un rigor poco frecuentes» El programa apH

ea automáticamente un vector de cargas ( peso propio por ejemplo } que

aumenta progresivamente hasta alcanzar un valor prefijado, y luego si

se desea se añade, también por incrementos, otro vector de cargas di*

ferente ( sobrecarga o fuerza exterior, muro que se desplaza, etc..).

6.-

Los problemas concretos tratados son los siguientes?

Talud plano inclinado 75 grados, con rozamiento interno y cohesión.

Estudio de sus deformaciones y tensiones debidas al peso propio, y crecimien

to de la zona plastificada, la cual se inicia en el pie del talud para un" va­

lor de la densidad 0,4 c/j( H y alcanza la coronación para un valor mayor-

del teórico de 7,46 o/#H . La zona plastificada progresa contigua al fren­

te del talud, con una concordancia reblar con los resultados obtenidos por

el método del circulo de deslizr.mionto pésino.

. Talud ortolisténioo, de superficie exterior convexa y línea de desli NMI.H.H. ff i i i I I i — I

zamiento recta. Se comprueba que carece de imoortancia práctica. Su empleo

tiene ventaja económica sólo en taludes excavadas de fsran altura, en las con

diciones iniciales de saturación y no drenaje ( 0 = o ), pero con pendientes

tan suaves que no tiene interés.

Talud isorresistente. Bs el perfil del talud tal que plastifioaria

todo él simultáneamente, motivo por lo que se debe considerar el más econó­

mico al aprovechar mejor el material. Su forma se deduce por ol método de

Sokolowsky de las características de tensiones, empleando un modelo de sue­

lo plástico rígido y sin tener en cuenta la compatibilidad de deformaciones,

motivo por el que existen serias dudas acerca de su bondad, Al estudiarlo por

el método elastoplástloo, más riguroso, se comprueba que plastifica prematu­

ramente en el pie del talud, debida a la concentración de tensiones que apa­

rece en este punto singular, para una densidad 1,92 veces menor a la teórica.

Sin embargo, se comprueba por el crecimiento de la zona plastificada que su

forma se aproxima bastante a la isorresistente, al menos para los valores rea

les del coeficiente de Poisson y del coeficiente de empuje al reposo.

Talud en terreno con dilatancia nula . Los resultados obtenidos compa­

rados con los del caso anterior indican que la dilatancia no influye aprecia-

7.

blemente en la rotura de los taludes, disminuye un pooo las tensiones hori­

zontales, aumenta levemente el área en estado de rotura, y salo influye en

magnitud importante en los corrimientos.

Como posible continuación de la presente tesis, dentro de la senda de

la elastoplasticidad, BC apunta el empleo de teorias plásticas más prometedo,

ras, como son la Cam-Clay modificada de Roscoe y Burland, y los terrenos ri-

"(Tidizables con rozamiento y dilntanoia variables, así corro la extensión del

estudio de los taludes al ->rob!era del muro rí¿ldo sometido a empujes acti*»

vos y pasivos.

8.

2.- PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DEL TALUD

El ingeniero, al cumplir su misión de transformar la naturaleza

se encuentra frecuentemente con la necesidad de mantener en el terreno

unas determinadas pendientes. Unas veces le surge durante la excavación

del terreno natural? trincheras para una carretera, un oanal o un ferro

carril, explotación de una mina a cielo abierto, excavación de los só­

tanos o de los cimientos de un edificio, dragado de un puerto para con

seguir el calado deseado ante un muelle; pero también puede presentár­

sele en terrenos artificiales, creados por élt terraplenes de carrete­

ras, escombreras o depósitos de minerales, o la ejecución de una presa

de embalse con materiales sueltos.

El aspecto principal, y tal vez obsesivo, de dicho problema, sue

le ser el de la estabilidad de la pendiente o talud resultantes. La Me-

oánloa de Suelos ha atacado con frecuencia sus problemas desde el punto

de vista de la seguridad a la rotura, tanto en el oaso de hundimiento de

una zapata o un pilote, o de vuelco de un muro, o en el aquí tratado de

corrimiento de un talud. Para ello considera el estado de equilibrio H

mite o de colapso de la estructura del suelo, suponiendo que se ha lle­

gado a la plastificación del mismo en toda su masa, o en una parte de -

ella ( línea de deslizamiento ), que tenga extensión aufioiente para per

mitir corrimientos indefinidos de una porción o cuña de terreno. De este

modo se puede definir un coeficiente de seguridad, que indica lo aleja­

do que se esté de dicho fenómeno de colapso, que privaría a la obi» de

BU estabilidad o funcionalidad.

Sin embargo al ingeniero también le interesa conocer el estado de

deformación del terreno, que es un aspecto muchas veces tan importante

9.-

como el anterior de la seguridad a la rotura* Un problema típico es el

del asiento de una zapata o un pilote, que sin la rotura del terreno

puede provocar el fallo de la estructura sustentada, o al menos la per

dida de su utilidad como es el caso de una estación de radar, Inoluso

en ocasiones el estado deformaclonal del suelo es lo determinante y osen,

oial del problema planteado, como ocurre en el dimanelonamiento de las

armaduras de. una losa de oimentación flexible o en la comprobación a

flexión d© una tablestaca, para lo que hace falta igualar los oorrimieii

tos de estructura y terpsno. Dentro 4el tema aquí tratado, los taludes,

se presentan dos casos de interést Uno es el de «na excavación próxima

a un edificio, con peligro de agrietamiento de éste por los asientos que

en él se provocan, que es un caso que oada vez se presenta con mayor frg,

ouencia en las ciudades, y con mayor gravedad por alcanzarse mayores pr¿

fundidades. El otro es el de las presas de materiales sueltos, cuya de­

formación interesa conocer para prevenir su posible agrietamiento, así

como para controlarla y vigilarla, comprobando la concordancia de los

corrimientos reales con los previstos y calculados en el proyecto, lo

que tal vez permita advertir ciertos peligros y corregir a tiempo defec

tos existentes.

Cada vez se muestra y reconoce más interés por la necesidad de

mejorar y profundizar loe estudios referente» a las deformaciones. %

oientementd Rosco© ( Ref. A-33 ) recalcó en su Lectura de Rankine la oa

pital importancia que tienen en la Mecánica de Suelos los desplazamien—

tos. Así como la evaluación del coeficiente de seguridad es un problema

, vencido hoy día, y del que oabé esperar en el futuro muy pocos progre­

sos (cálculo en tres dimensiones, por ejemplo Ref. 2 ) debido a las %

tensas energías que se volcaron sobre él,que llegaron cerca del límite

10.-»

de las posibilidades, en cambio el problema de la evaluación de las de

formaciones está muoho más retrasado, en parte debido a su mayor com­

plejidad. Está bastante generalisado el cálculo de las deformaciones -

aplicando las teorías de la elasticidad, según el modelo áe Boussinesq

más o menos sofisticado, pero ello es bastante inexacto debido a la rá

pida aparición de zonas plásticas que aumentan grandemente los corri­

mientos, como posteriormente se indioa.

Ambos problemas, el estado deformaolonal del suelo y su estado

tensiónal, -sea límite o no— son en realidad dos aspectos de un mismo

fenómeno, que es la forma de reaocionar del terreno ante unas fuerzas

exteriores, adquiriendo un estado capaz de equilibrarlas. La dificul­

tad y complejidad que presenta el fenómeno, ha hecho que hasta hace po

oo no se le atacase de un modo directo, y sólo se estudiasen en prime

re aproximación los dos-aspectos más interesantes antedichos.

El problema matemático es el de un sólido no homogéneo, en que

coexisten zonas elásticas, regidas por un sistema de ecuaciones dife­

renciales elípticas, y otras plásticas, regidas por otras ecuaciones

diferenciales hiperbólicas ( también elípticas si el sólido es elasto

plástico ) , con el agravante de no conocerse el contorno que las se­

para. La única forma práctica de abordar el problema es por métodos nu

garlóos ( apartado 4. )» y es este el camino emprendido con resultados

inioialmente satisfactorios. La forma de abordar el problema planteado

debe ser ésta, puesto que sólo así se consigue la pintura más exacta p£

sible del comportamiento real del terreno, obteniéndose a la ves sus des,

plaBamientos, la repartición de tensiones, el contorno de las zonas pías

tlficUdas, e incluso el coeficiente de seguridad, proporcionando una -

buena ayuda para el dlmensionamiento de las obras, y orientando sobre

11.*»

donde se aprovecha mejor o peor el material.

Simultáneamente al desarrollo y mejora del método numérico de

resolución del difícil problema matemático planteado, se han perfec­

cionado los ensayos de laboratorio o " in situ " necesarios para de­

terminar las constantes que caracterizan cada suelo, y también se ha

profundizado en el oampo de las teorías plásticas. Resueltas de un mo

do casi absoluto las dificultades numéricas, gracias al desarrollo de

los ordenadores electrónicos y del cálculo matricial, queda hoy como

campo de batalla principal el estudio de la plasticidad, lo cual pre.

senta grandes dificultades al tratar áe suelos; La mejora teórica de

las relaoiones increméntales tensión-deformación, y su comprobación

experimental, es lo que permitirá acomodar el aparato matemátíoo a la

realidad, aproximándola y reproduciéndola cada vez mejor mediante mo­

delos ideales de terreno.

En la presente tesis se dedican, con cierta extensión y profun

didad, dos apéndices a sendos problemas básioos del método elastoplág.

tico o de plasticidad contenida. En el apéndice A se estudia la plas­

ticidad teórica y su desarrollo reciente en lo relativo a suelos, y en

el apéndice B se trata del procedimiento general de cálculo de los ele.

mentos finitos.

12.-

V1

MÉTODOS DE CALCULO USUALES

3.1. Método elástioo

>

Se considera el suelo como un material elástico lineal

perfecto o hookiano. Primero se arranea de un semieepaoio

homogéneo de Boussinesq, que luego se ha perfeccionado y

complicado de muy diversas manerasi Se ha resuelto el pro.

blema del semiespacio no homogéneo cuyo módulo de elasti­

cidad varia con la profundidad según diferentes leyes(Frólich),

los casos de un estrato elástico de espesor constante so­

bre una base rígida, o de doble estrato sobre base rígida

(Burminater) o sobre un semiespacio, el de un estrato du­

ro sobre un semiespacio elástioo, así como el de infinitas

capas delgadas flexibles e inextensibles (Westergaard), y

los de suelos con anisotropía transversal tanto llenando

un semiespacio homogéneo (Koning) como ocupando un estra

to de espesor constante sobre base rígida.

Refiriéndonos al tema de taludes, está resuelto en .dos

dimensionesi el caso de una cuña elástica indefinida (Le—

vy, Ref. 27, págs. 187 y 203) sometida a diversas fuerzas,

y también el de un suelo de Boussinesq sometido a una car

ga triangular flexible (cimiento de una presa de materia­

les sueltos). El problema más real del oonjunto presa-oi^

miento está resuelto analíticamente de un modo aproximado

(Brahta, Ref* 22, pág. 210) y también por diferencias fi­

nitas o fotoelástioamente.

13.

Merece la pena citar los trabajos de Brotm y King

( Ref. 4 ) en que estudian la diferencia entre un talud

generado por relleno o por excavación, los de Idriss y

Seed ( Ref. B-30 ), Chopra ( Ref. 5 )y Dibiej y Penzier

( Ref. 7 )aue estudian el caso de un talud sometido al

esfuerzo dinámico de un terremoto, al igual que Finn(lef.

B-31 ) que además tiene en cuenta las posibles tensiones

iniciales.

El método elástico tiene la ventaja de dar una pintu

ra completa del fenómeno, indicándonos la forma de traba

jar del material, pero de un modo muy grosero, pues las

zonas plásticas modifican sustancialmente la solución,tan

to en lo referente a corrimientos, mucho mayores en di­

chas áreas, como en las tensiones que sufren reajustes im

portantes. El cálculo elástico, válido para materiales -

más resistentes como el hormigón o el acero, debe pros­

cribirse al tratarse de suelos, por los grandes errores

que trae consigo al no oumplirse las hipóteáis de la elas

ticidad lineal.

Mejor pintura se consigue con la elasticidad no lineal

(Girijavallabhan, Ref, B-22$ Clough y Woodward, Ref. 6 |

Hayashi, Ref. 14? tunean, Ref. 8) que suele aplicarse con

leyes tensión deformación semiempíricas, dando resultados

bastante concordantes con la realidad y por ello aparente

mente satisfactorios. Sin embargo, Soott (Ref. A-35 pág,13)

critica duramente estos procedimientos por carecer de jujs.

14

tificaoión teórica. porque esas leyes empíricas que se ob,

tienen en estados particulares de tensiones no tienen por

qué ser válidas para estados más generales» e inoluso las

relaciones tensión deformación no son invertiblea, y por

ultimo careoen de potencial elástioo o si lo poseen no es_

ta olaro que sea definido positivo* Si bien puede trabajar

se dentro de esta línea para fines o estudios concretos -

por su sencillez, no es deseable su empleo en la investi­

gación, ya que oonduoirían a un estancamiento del progre­

so.

3.2. Método del estado límite o de equilibrio plástioo

Se supone que el suelo ha alcanzado totalmente el esta

do plástioo, sin preocuparse de como se llegó al mismo* No

se evalúan las deformaciones habidas, que quedan indetermi

nadas, pues se desprecian los corrimientos elásticos con­

siderando el sólido COBO plástioo rígido*

3.2.1* Procedimientos de tanteo

Son los más extendidos. Presuponen una superficie

de deslizamiento y evalúan el ooefioiente de seguri-

dad de que se dispone frente a la rotura) tanteando »

con numerosas superficies diferentes se escoge como

más probable de producirse aquella que de el coefi-

15.-

ciente de seguridad mínimo.

Be este modo operan los métodos del oiroulo sue­

co (1,912) y del circulo de rozamiento, el de Cou­

lomb para el cálculo del empuje sobre un muro, y los

de división en fajas en todas sus modalidadest el de

íelleriius, oon la simplificación de May de despreciar

la interacción entre fajas, salvada posteriormente -

por Bishop (1.952), los de Nonveiller y Jambu para

superficies deslizantes de cualquier forma, y el -

más complejo y perfeoto de Morgersten y Price (1.965)»

(Véanse los trabajos de Escario, Ref. 11 y Whitman y

Bailey, Ref. 32).

Este procedimiento, que está basado en los dos teo

remas límites de Drucker, Greenberg y Praguer es s¿

lo comprobatorio, y no ayuda al ingeniero a mejorar

el diseño y la forma de su obra) sólo sirve para ob

tener el coeficiente de seguridad del talud, que des

de luego suele ser el dato fundamental, pero lo pro­

porciona aislado, sin señalar la forma de trabajar -

del terreno. Cuando se emplea el método de las fajas,

salo puede deducirse la ley de tensiones a lo largo

de la linea de deslizamiento, y sus resultados di­

fieren bastante entre sí según cual método particu

lar se emplee, y también con los del procedimiento

más riguroso de Sokolowsky, según ha comprobado Uriel

(Ref. 29 ), hecho que era de esperar por la superaban

16.-

dancia de ecuaciones respecto de incógnitas existen,

tes,(6n - 1 contra 6a - 2 según Sufclje,Ref.A-42

pág. 413 ).

El procedimiento, según lo dicho anteriormente,es

un tanto burdo.y, como indica Jiménez Salas (Ref.16)

ha estanoado y dificultado el progreso en el diseño

. de presas de materiales sueltos. Por otro lado es -

teóricamente un método peligroso, pues el tanteo de

numerosas superficies no siempre garantiza la obten

ción del verdadero coeficiente de seguridad;éste se

conocerá con precisión sufioiente si se comprueban

superficies adecuadas pero se está del lado de la iji

seguridad si no se obra así» Es conocido el caso de

presas de escollera oon núcleo de arcilla delgado,ou_

ya estabilidad 30 comprobaba antiguamente tanteando

superficies cóncavas hacia arriba, hasta que Samsioe

probó su convexidad.

3.2.2, Procedimientos analíticos

Los métodos analíticos constituyen una notable me

jora, pues parten de la ecuación diferencial de equi

librio de Kó'tter, o de la ecuación diferencial de la

línea de deslizamiento de fieeal, y son por tanto más

perfectos y elegantes al no requerir efectuar numero

sos tanteos. Además no sólo definen la línea o líneas

de deslizamiento, sino que también dan el campo de -

17.-

tensiones, indicando el mejor, o peor aprovechamiejí

to del material.

Algunos de ellos constituyen más bien una especu

laoión matemática que no una teoría utilizarle en la

práctica* la línea oioloidal de deslizamiento de un

talud plano puramente cohesivo, y la línea recta de

deslizamiento de un talud ortolisténico, deducidas

ambas por froirbard, tienen un valor casi exclusiva

mente teórico. Por el oontratio el estado plástico

de Eankine resulta muy interesante y de hecho se uti

liza oon frecuencia.

La teoría de las características de Sokolowsky -

(Réf. 26) y su obtención de los taludes Isorresisten

tes, utilizada y desarrollada en España por Uriel -

(Hefs. 29 y 30) y aplioada a la simetría radial por

Jenike y Yen (Hf,15)» oonstltuye un gran progreso y

refinamiento, ya que sirve para diseñar los taludes

según un criterio de estricta economía y de máximo

aprovechamiento del material.

El procedimiento tiene dos aspectos criticables.

Por un lado se apoya en la existencia de ciertos pun

tos singulares (vértioe de coronación del talud,del

que parte un haz de líneas características), cuya -

realidad no es segura, y que incluso parece compro­

bada experimentalmente su no existencia en determina

dos casos (un muro rígido sometido a empuje pasivo

girando sobre su punto más alto, por ejemplo).

18.-

En segundo lugar al considerarse el suelo cato©

plástico rígido las deformaciones quedan indeterm¿

nadas, y no puede obligarse a que se cumplan ni las

condiciones de contorno relativas a corrimientos, ni

la compatibilidad de deformaciones, y sólo se respe,

tarimas condiciones de equilibrio) por este motivo

la soluoión obtenida se alejará de la real en nume­

rosos casos. Es típico el caso del terreno sosteni­

do por un muro, cuyo estado teneional y sus líneas

de deslizamiento dependerán de la forma de moverse

de éste, y serán diferentes si gira respecto al pun.

to inferior o al superior, o si simplemente se tras

ladaj pues bien, al diferenciarse los casos anterl^

res sólo por condiciones de desplazamiento, el meto.

do de las características no puede distinguirles y *

da para todos ellos la misma solución de cuña deal¿

zante, compuesta por un área triangular en estado

de Rankine y otra de Prandtl de líneas de desliza­

mientos espirales logarítmicos, y con ley de tensio

nos lineal oon la profundidad, cuando la realidad es

muy distinta (Ref . A-33)*

En el caso del talud las condiciones impuestas no

son de deformación, como en el problema del mure,si­

no de tensión (fuerzas de masa del peso propio) y -

por ello la valides del método es mayor. Sin embar­

go existen muchas dudas respecto de la bondad de los

taludes isorresistentes, ya que la forma y la rotura

19.

de éstos, según la teoría plástico rígida, no depen

dería de lo que ocurriera alrededor de la cuña desli

zante, pues en los problemas plásticos regido» por

una ecuaoión diferencial hiperbólica cualquier causa

afecta sólo a una zona limitada, contrariamente a lo

que ocurre en las ecuaciones elípticas de los probljj

mas elásticos, en que cualquier perturbación se pro­

paga diluyéndose hasta el infinito. En la realidad

existe una superficie de terreno más o menos horizon

tal que limita al talud en su parte inferior, apare­

ciendo un punto cóncavo singular en que se concentran

las tensiones y que plastifica antes que el resto del

material del talud, perdiendo así éste su carácter -

de isorresistencia (plastificación simultánea en to­

dos los puntos). Uno de los objetivos de esta tesis

es comprobar hasta que punto influyen en el carácter

4e isorresistencia las condiciones de contorno y la

compatibilidad de deformaciones ( apartado 5*4» )»!£

ra confirmar la bondad de la forma del talud,inten­

tando impulsar y vigorizar así una teoría tan prome

tedora.

Recientemente Serrano (Ref, A-36) ha perfecciona

do el método de las características, al tener en ouen

ta la compatibilidad de deformaciones, subsanando el

segundo de los puntos de crítica anteriores. Para —

ello calcula simultáneamente el campo de tensiones

y -el campo de velocidades en un material con rozamien

to H 0 M y dilatanoia " v w variable»f emplea un

procedimiento iterativo en que primeramente se -

obtiene un campo de velocidades oon tus línea o&

taoteríatioae y que cumple la, compatibilidad de

deformaciones, a partir de él obtiene el campo de

tensiones también oon sus líneas características,

que cumple las oondioiones de equilibrio modifi­

cando convenientemente H 0 M en cada punto, según

cierta ley de rigidizaoión, y debido a que el prJL,

mer oampo ya no resulta compatible con el segundo

debe ser modificado también,asustándole los valo­

res de la dilatanoia " v ", y así suoesivaments

basta que ambos campos son compatibles*

21.-

METODO TENSODESüBMACIONAL ELASTOPLÁSTICO

4.1» Presentación

El procedimiento de cáloulo numérico empleado asimila

en cada instante el problema al de un sólido elástico fio

ticio no homogéneo, cuyas características Teológicas van

variando durante el proceso de carga, de acuerdo con las

leyes de la plasticidad. Se arranca por tanto de un terre

no elástico lineal al cual se aplica una carga tal que ini

cié la plastificación en un sólo punto o elemento del só­

lido, entonces se modifican las características tensode-

fórmacionales de esa zona, y el terreno se comportará ante

nuevas cargas como otro ficticio con una falta de homoge­

neidad en ese punto plastifioado, que será más deformable

y además anisótropo. Ante un nuevo incremento de carga la

zona plaatificada tendría en principio corrimientos indetej?

minados ( si se tratase de un cuerpo elastoplástico perfec­

to, no rigidizable ), pero debido al contorno elástico que

la rodea dicho corrimiento queda limitado y definido univo

camente, motivo por lo que se denomina zona en "fluxión -

plástica oontenida**. Esta zona se deforma casi libremente

sin absorber nuevas cargas, por lo que las áreas contiguas

se sobrecargan y son arrastradas rápidamente al estado plási

tico, teniéndose que modificar nuevamente las característi­

cas tensodeformacionales de las partee plastificadas tras

cada nuevo incremento de oarga. El procedimiento se oonti

nua hasta alcanzarse la carga total, o una zona plástioa -

22.

tan extensa que deje de estar ooriienida (superficie de dej,

lizamiento completa) produciéndose a partir de ese momento

corrimientos indefinidos (colapso total en sólidos plást¿

eos perfectos) o que crecen muy rápidamente (sólido rigid¿

zable).

Con este método se sustituye en cada punto del terreno

la ley de tensión deforaaoión curvilínea teórica por una

poligonal ( Pig. B-14e t P&£« B-52 ), correspondiendo cada

segmento de la poligonal a un incremento de carga, duran­

te el cual cada zona de terreno se comporta como elástica

lineal anisótropa. Se reproduce por tanto con bastante fj

delidad el fenómeno real, tanto mejor si son menores lo»

incrementos de carga aplicados y si la teoría plástica ma

temática utilizada se adapta más a los suelos de la natu­

raleza.

El fenómeno de la plasticidad eontenida y progresiva %

fluye de un modo determinante, a veces sorprendente, en la

redistribución de tensiones y más aún en las deformaciones.

SI equilibrio alcanzado en cada instante depende de las

cargas aplicadas y de los corrimientos habidos, pero tam­

bién de la historia anterior, Segdfo recalca Hill (Ref.A-16,

pág, 238) es fundamental el proceso de carga o de relleno

del talud, o de su excavación, pues según se proceda de una

u otra forma se podrían variar totalmente los estados in­

termedios anteriores a la rotura total. En cambio intuitjj.

vamente se ve que, en general, la carga final, en el equ¿

23.

librio límite, variará poco de un proceso a otro,y queda­

rá aproximadamente definida por procedimientos de cálculo

más rústicos, según los teoremas límites de Drucker.

Este método elastoplástioo es por tanto el más exaoto,

y puede dar una pintura verdadera y completa del fenómeno

real, obteniéndose con preoisión loa corrimientos tan di-

fioiles de evaluar por otros procedimientos -al menos con

la exactitud' con que se midan las características del ma­

terial, sin introducir nuevos errores debidos al método de

cálculo— , así oomo las tensiones e incluso el coeficien­

te de seguridad, ayudando a conocer mejor y de un modo más

completo la estructura, y a perfeccionar sü diseño.

Respeoto al coeficiente de seguridad debe hacerse notar que

se obtiene el verdadero, sin el peligro existente en los me

todos de tanteo de probar superficies de forma errónea, de­

pendiendo las precisiones obtenidas en ál y en la ubioaoion de

la línea de rotura de los intervalos de carga y de la fi­

nura de la malla que se empleen .

El procedimiento numérico expuesto tfae consigo otras

ventajas de tipo práctico, oomo son la posibilidad de es

tudiar sin nuevas complicaciones terrenos no homogéneos,

fisurados, con tensiones residuales, etc.

El cálculo es laborioso, y por ello caro, resultando %

prescindible el uso del ordenador electrónico. La tenden­

cia inicial es Utiliaarlo en el campo de la investigación,

para avanzar en el conocimiento sobre el comportamiento del

24.'

suelo, y también para contrastar y dar por válidas o no

teorías de cálculo más senoillas y rápidas. Dentro de ejs

tas ideas en la presente tesis se pretende comprobar la

influencia de la dilatancia en el comportamiento de los

taludes, y de contrastar la bondad de la forma de loa ta,

ludes isorresistentes, con el deseo de disipar loa temo­

res o dudas que puedan existir sobre ellos para así faci

litar su utilización en la vida práctica. Sin embargo,hoy

ya se llega más lejos y se comienza a utilizar el método

en ciertos proyectos, en los que la importancia de la eco

nomía o la seguridad justifican estudios más prolijos,ta­

les como son el caso de presas de embalse (Clough, Ref.6),

grandes túneles (Hayashi, Ref.14), etc.

4.2. Trabajos previos

Entre los primeros trabajos realizados aplicando el mó

todo elastoplástioo está el de Alien y Southwell (Ref.l),

que obtuvieron ya ciertos resultados prácticos, aunque su

utilidad en suelos es parcial por tratar sólidos con sólo

cohesión, y además ha sido criticado por Jurisic (Ref. 17)

por no tener en cuenta las condiciones de compatibilidad

de deformaciones en la región plástica.

Posteriormente Ang y Harper, ponen a punto un procedi­

miento bastante ingenioso (Ref. 3), en que descomponen el

25.-

continuo en una serie de puntos de masa y puntos de fuer­

za. Lorente de No lo ha utilizado en dos de las pooaa apli

oaolone» de la elastoplasticidad a los taludes ( Ref. 18 ),

en una de ellas extendiendo el procedimiento a coordenadas

cilindricas ( Ref. 20 ) , y también lo ha generalizado a -

suelos con rozamiento ( Ref. 19 )j Christlan lo aplioa al

estudio de suelos saturados incompresibles ( Ref. B-18 ) ,

Port introduce el fenómeno de la viscosidad ( Ref. 12) y

Luming los efeotos dinámicos ( Ref. 21 )'. El defeoto pri

mordial del método radica en la rigidez de formas exigi­

das por una malla de cuadrados, que lo hace poco práoti-

oo para el estudio de taludes.

El método de los elementos finitos, es el que permiti­

rá de un modo más cómodo el tratar el problema de los talu

des, pues con la malla de triángulos es fácil adaptarse a

cualquier contomo. Inicialmente creado para sólidos elás

tioos lineales, se ha generalizado fácilmente para tratar

problemas no lineales, mediante técnicas iterativas ( ver

Zienkiewicz, Ref. B-52, capitulo 12 ), hasta el extremo

que Oden (Ref. B-37) cita alrededor de 200 aplicaciones.

En su raayoria los progresos realizados se refieren a gran,

des deformaciones, problemas dinámicos, elasticidad no li

neal, sólidos que no resisten a tracoión, etc., y las apl¿

caeiones versen insistentemente sobre el caso de la zapata,

túneles, etc., y en una minoría de ocasiones sobre taludes.

En pocos casos se trata el problema elastoplástico, y de en

tre ellos en una minoría se conserva oierto rigor en la elejo

aj­

elan del criterio de rotura, de las relaciones tensión 4&

formación, y del procedimiento iterativo, siendo muy cri­

ticables y de validez dudosa las conclusiones derivadas de

numerosos artículos publicados. Sobre este punto se reali­

za» diversos comentarios en los apartados 3,1, y B-5,

Dada la complejidad y dificultad del problema de lar -

plasticidad contenida, merece la peña citar como autores

de aplicaciones rigurosas a Maroal y King (Ref. B-33)»Pope

(Ref. B-39), Watt ( &©£• 31 ) y en espeeiai a Reyejry Deere

(Ref, B-41) que dentro de cada incremento de oarga reali­

za una doble iteración para corregir errores de segundo ojr

den.

Variables fundamentales escogidas en el procedimiente

de cálculo «PVMMMHMMNMMM

Los puntos olave del método tensodeformacionsl elaate¿

plástico, que más pueden falsear los resultados y que son

los que presentan mayores dificultades, sobre los cuales

se ha realizado un mayor esfuerzo al desarrollar la pre­

sente tesis, son los siguientest

Dlsoretiaaoióq del continuo. Se ha escogido el método

de los elementos finitos (apéndice B ) , La convergencia y

unioidad de la solución obtenida, estudiada rigurosamente

27.-

por De Arantes ( Ref. B-6 ), se cumple por tratarse de un

oaso particular del método de Ritz (apartado B-3).

El método de los elementos finitos permite representar

correctamente la superfioie exterior del talud, mediante

la utilización de una malla de elementos triangulares. En

el apartado 5.2,1» se comprueba que los límites latera­

les de la porción de suelo reproduoida están suficientemen

te alejados, y que es aceptable la graduación del tamaño

de la malla, con elementos más pequeños en el pie del ta­

lud, ahí donde las tensiones se concentran y varían más ra

pidamente. El programa de cálculo electrónico incluye el -

cálculo de todos los residuos del sistema de ecuaciones 11

neales correspondientes a cada incremento de carga, y se

ha comprobado que el error numérico de la resolución del

sistema respeta, siempre 5 oifras significativas en los oo

rrimientoa.

Teoría pláatloa. Este es probablemente el tema crucial,

pues en la mayoría de las aplioaoiones consultadas se com­

prueba una falta de rigor y un desconocimiento bastante ge

neral de las teorías de plasticidad por parte de sus auto­

res. En esta tesis se utílisa un modelo matemático de sue­

lo isótropo elastoplástloo perfecto (elastioidad lineal -

hookiana seguida de plasticidad perfecta de deformaciones

indeterminadas, Fig. A-16 ), con cohesión y rozamiento,que

plastifioa según el criterio de Mohr Coulomb, Las relacio­

nes tensión-deformación se derivan de la función de rotura

J9P»'

mediante la regla de la normalidad, y por lo tanto se s^

pone que aquella coincide con la función «.potencial pláati

005 dichas relaciones fueron dadas por Druoker y Praguer

(Ref• A-7) y generalizadas a cuerpos elastoplástieos por

torente de No (Ref. 18). La eleoción de esta teoría se —

justifica en el apéndice A, por ser una de las que mejor

se adaptan al comportamiento de los suelos, y por respe­

tar el uso de loe parámetros n o H y M 0 n ,sumamente

extendidos, sirviendo gracias a ello para contrastar m¿

todos de cálculo más sencillos, como son el abaco de Ta¿r

lor o los taludes isorresistentes (apartados 5»2.2, y

5.4.").

Druoker y Praguer demostraron que un suelo que oumpligí

ra su ley debería tener un incremento de volumen relati­

vo proporcional a "sen ff " j la mayor discordancia de los

suelos reales con este modelo teórioo radica en que su d¿

latancia es diferente, y bastante menor, lo cual implica

también que la red de líneas características del campo de

Velocidades no coincide con la del campo de tensiones* Co r

mo novedad principal de la presente tesis se encuentra el

utilizar también el mismo terreno definido en el párrafo

anterior, pero sustituyendo las relaciones tensión defor

mación de Druoker y Praguer por otras que no cumplen la ley

de la normalidad, y en cambio respetan una dilatanoia pre—

fijada M v **, característica del suelo. Este modelo de t£

rreno elastoplástioo, cuyas relaciones increméntales ten­

sión-deformación asimétricas se deducen en el apartado A-5.2,

29.

se aplica aquí por primera vez (al menos dentro del cono

oimiento del autor), permitiendo estudiar la influenoia

de la dilatanoia en la rotura progresiva de un talud(apar

tado 5» 5»)» y abriendo el camino para estudiar oon más

rigor problemas en que las condiciones de contorno vengan

dadas en corrimientos y no en tensiones,-para los cuales

no parecen ser válidos modelos de terreno con potenoial

plástioor- como son un pilote o un muro rígido.

Debe reconocerse aquí que este modelo, pese a represen,

tar un pequeño progreso, tiene aún la"gran limitación de

no ser rigidizable al suponer oonstantes los tres paránje.

tros del suelo.

Él último punto clave es el de asegurar que la solución

obtenida sea la verdadera. La unicidad de la soluoión está

demostrada para la elasticidad, y también para plasticidad

dentro de ciertas limitaciones. Una de las premisas de los

teoremas existentes de unicidad en plasticidad- es la exis­

tencia de potencial plástico, y su coincidencia con la fun

ción de rotura, y por ello conviene dejar olaro que el úl-

timo modelo matemático propuesto, de suelo dilatante, es

muy oritioable por carecer de función potencial.

Además de la eaistenoia de la función potenoial,que sí

se da en el modelo de Drucker y Praguer, hay otro faotor

que influye en la unicidad de la solución, y es la histo­

ria del cuerpo. Para obtener la soluoión verdadera de un

problema debe reproducirse fielmente su historia tensional

30.-

( Hill, Ref. A-16, pág, 238 ) y por ende el orden de apl¿

eaclón de las cargas a que está sometido.

Entre los métodos iterativos de cálculo plástico» se ha

utilizado el incremental de la matriz de rigidez tangente

(apartado B-5.2»), que es el único que permite confiar en

la 6btendón de la soluoión verdadera, pues descompone el

cálculo en varios elásticos ficticios sucesivos a fin de

reproducir el problema físico real y la historia tensio-

nal sufrida.

Además de esto, dada la importancia capital del proceso -

de oarpa> se ha hecho un esfuerzo notable para reproducir­

le, dando bastante flexibilidad en este aspecto al progra

ma,de cálculo electrónico.

En teoria si se construye una presa de tierras, el esta

do tensodeforraaoional resultante será diferente según en -

cada tongada se vierta y compacte antes la zona central,la

de aguas arriba o la de aguas abajo, y lo mismo ocurre al

excavar un talud. En la presente tesis se aplica únicamen­

te la carga total, que se haoe aumentar progresivamente de

un modo uniforme en todas las partes en que actué? ello nq£

malmente no representa un proceso de carga real ( sólo se

asemejaría, en algunos intervalos de carga, al aumento de

densidad por humectación de las tierras), pero es el modo

más lógico de liberarse del proceso constructivo*

El programa de cálculo electrónico incluye también una

32.-

- PROBLEMAS PARTICULARES ESTUDIADOS

5.1• Aplicaciones conocidas

La mayoría de los trabajos en elastoplasticidad se han dirigido

al estudio de túneles, zapatas, etc. y sólo una minoria a taludes. .

De éstos algunos careoen del rigor teórico deseable, no obstante lo

cual han proporcionado conclusiones interesantes,

Lorente de No en su tesis (1.966, Ref. 18) estudia por el método

de Ang y Harper la plastificación progresiva de un talud, aunque

se limita al caso de terreno coherente y talud vertical (Fig, l).Pos_

teriormente lo extendió al caso de coordenadas cilindricas (l.Q6°f

Ref, 20), y propuso una relación aproximada entre la altura crítica

f «• X H/o y la curvatura r » S/H

f « 4 + 2/ (3r + i) para taludes cóncavos

f = 4 - 2 / ( 3 r - l ) para taludes convexos.

Por cierto que estas leyes son criticables, oues valen para inter

polar entre 0,6 < r < 3 t>ero no para extrapolarla que no veri

fican los valores teóricos de r *» 0 que serían f -»oo f - 2.

De las infinitas funciones que pueden proponerse, aunque todas ca­

rezcan de rigor, unas que cumplirían los valores antedichos serían

por ejemplo» 1 1 • • •

f = 4 + •-' ' •• - "»• para taludes oónoavos 1,6 r 9 r2

6 + 2 r f • 4 para taludes convexos

3 + 5 i2

Clough y Woodward en un articulo muy práctico (l.967»Ref. 6), qtie

por ello puede considerarse clave para la difusión del método como he

rramienta de proyecto y no sólo de investigación, estudian por elemen

33 •*•

n° •=> Valor de JfH

Fig. 1 t - Progresión de zonas plásticas y deformación de un talud

vertical coherente (según LORERTE DE NO, 1.966)

tongada única 10 tongadas

corrimientos horizontales en pies

corrimientos verticales en pies

Escala '-—*• 1 pie

Veüítores de corrimientos. Construcción en 10 tongadas

Fig, 2 .- Corrimientos de una presa de tierras debidos al peso propio

34.-

oión en diea tongadas sucesivas,£ observando entre otras cosas

las trayectorias del movimiento que siguen algunos puntos de la

presa (Fig. 2), el reparto de tensiones y la influencia de la -

deformabilidad del cimiento. El oáloulo lo hacen primero dentro

de la teoria de la elasticidad lineal, y a continuación en elaa

ticidad no lineal, conservando constante el módulo de rigidez del

terreno, lo cual intenta reproducir el comportamiento de la arel,

lia saturada sin drena;}» de una forma muy criticable), pero que da

una pintura aproximada del fenómeno,

-Watt, asesorado por Christian y Lambe (1,968» Ref. 31) estudia

por elementos finitos el talud irregular de Atohafalaya ( Fig.3 )

que sufría grandes deformaciones, en la hipótesis de terreno no

drenado. Emplea un modelo de material elastoplástico perfecto,con

la teoría incremental rigurosa.

Sus principales comclusiones son que lo que más influye en los

grandes corrimientos de la cornnaoión son el módulo de elasticidad

y las tensiones inioiales. Debido a lo reducido de la zona plastj^

ficada para la carga existente, de la hipótesis de una disminución

de la cohesión del terreno resulta un aumento muy pequeño de las

deformaciones. También comprueba la ooca influencia de la compres^

bilidad del estrato de arcilla orgánica. La prolongación de la ber

ma prevista (de puntos en la Fig.3) es efectiva para reduoir los -

desplazamientos, pero agravan el problema ya que aumenta oonsidera

blemente la zona plástica al pie del dique, y por este motivo los

movimientos en sus proximidades, empeorando más aún el fenómeno en

caso de excavar parte de los materiales de préstamo próximos.

Este trabajo es de destacar por su rigor y por lo in~

35<-

Dique de retención Berma prolongada

Relleno de arcilla blanda Arcilla orgánica blanda

Arcilla media

*

fZ7" \ ' s 1

/

Pig. 3 .- Talud de Atohafalaya y malla empleada (según WATT, 1.968)

Tracción

4 10 pies

Zona plástica

~J20 Pies

Arcilla normalmente consolidada K - 1,25 Talud - 1,5 i 1

í 10 pies s~ 20 Pies /

Aroilia normalmente consolidada K - 0 ,75 Talud - 1,5 t 1

A lOpies _/" 30 pies

A r c i l l a preconsolidada K » 1,25 Talud « 1 , 5 i 1

36.-

genioso del método iterativo y de resolución de ecuacio­

nes.

Dunoan y Dunlop estudian en elasticidad lineal y por

elementos finitos ( 1,969» Ref. B-19 ) un talud excava­

do, observando las diferencias según las tensiones horjL

zontales iniciales sean mayores (Ka= 1,6) o menores (K0» 0,81)

comprobando, como es lógico y de acuerdo con lo afirmado

por Bjerrum ( 1.967 )» que aparecen mayores tensiones cor

tantea y deformaciones en el caso de mayor empuje al re­

poso, que correspondería a arcillas preconsolidadaa.Pos­

teriormente, ( 1.970, Ref. 8 ) mejoran su estudio inioial,

reproduciendo la excavación en ocho escalores, con una ley

tensión deformaoión de tipo elástico bilineal, y en la su

posición de materiales puramente coherentes, aunque son -

criticables la malla de elementos finitos que emplean, y

la falta de rigor de las características reológicas del ma

térial.

Estudian arcillas con cohesión y módulo de elasticidad

en relación constante ( E • 100 » o ), manteniéndose cons

tantes o creciendo ambas con la profundidad. Representan

las arcillas normalmente consolidadas con empuje al repo­

so K m 0,75 y con cohesión creciendo linealmente con la

profundidad, y las aroillas sobreoonsolidadas con K - 1,2J

y cohesión creciendo de un modo más suave.

Observan el crecimiento de las zonas plásticas al pro­

gresar la excavación, y comprueban que los deslizamientos

m*~

profundos sólo se dan si la cohesión es oonstante en toda

la altura. En las arcillas preoonsolidadas la plastifioa-

ción comienza al pie del talud y luego progresa hacia el

interiorf en cambio en las normalmente consolidadas, con

menores tensiones horizontales iniciales, el comienzo se

da en el interior del suelo ( Fig, 4 ) , En algunos oasos

la zona en estado de rotura tiene cierto parecido con una

línea circular, pero al comparar sus resultados con el coe,

fioiente de seguridad obtenido por los métodos olásioos

de tanteos, la concordancia no es buena en las arcillas

preoonsolidadas.

mmmmmLiJmSSSSm

Para comprobar la sondad de la precisión del método de loe

elementos finitos se resuelve el oonooido caso del talud ver

tioal en elasticidad lineal. Para estimar la rápidos de la con

vergencia os preciso repetir el cálculo oon mallas diferentes

de una misma serie, es decirf tales que la malla nueva conten.

ga todos los nodos de la anterior» y sus elementos sean subdi,

visión de los de ¿ata. En la Fig. 5 •»• ven las dos mallas es­

tudiadas»

Al estudiar la plaatifloación progresiva es fundamental dgi

terminar la carga en que comienza la rotura» y en que punto

ocurre* Bicho punto es el pie del talud» en el cual se produ

ce una concentración de tensiones que conviene obtener con ma

yor precisión, y para ello se ha disminuido el tamaño de los

elementos en esta sena* En la Fig. 7 se han representado los

esfuerzos tangenciales que actúan en una línea horizontal, y

per las diferencias obtenidas con ambas mallas se comprueba

la necesidad de utilizar la más fina.

Las tensiones vertíosles y horizontales y los corrimientos

vertíosles ( Figs# 6 y 7 ) obtenidos por ambas mallas difle**

vm sólo en menos del 2 %>, pero hay unas diferencias aprecia

bles en los corrimientos horizontales y en las tensiones tan

genoiales» que exigen utilizar la malla más extensa» El es­

tudio de la Inclinación de la elipse de tensiones en las tres

columnas extremas de elementos permite deducir que la malla -

5.8

18m.

^ +• 9.Q0

3 9 ^

a ) 126 nodos, 204 elementos

**

^

// //!

/

/

//

y

Y **

•*

b ) 100 nodos, 158 elementos

Pig. 5 •— Comparación de dos mallas de un talud vertioal para

el estudio de la precisión

iliHwiiiiynn • j i i n . M p i i l r i h W i ^ r » . ! . ^ i ii¡ ii niiili»ii|iÍiil»iii^M>>IÍIT .II^IM

V Í - * J \ ^

*'' * ^í#?

a^ i i l i j i nmn iMn i i i . >«ÍDli l»i«>il í»l i.gUí'mfo.' l ^ j | l , ) « f r l i f t ¿ n in»l,^Tit f t ' . i'IT.ii»!».,». ' m t t i . • i ,y»t|ii'

MALLA EXTENOtOA

MALLA REDUCIDA

U z HORIZONTALES CORRIMIENTOS: ESCALA 1:2.5

v « VERTICAL

F'9- 6.» Leyes áe oorrliilentog

ZONA TR ACCIÓN ADA

Sx -VERTICAL ESCALA 1:5

¿lál-L*- *«**» 3» |iPttl««»

TENSIONES: Sy * HORIZONTAL

Txys TANGENCIAL ESCALA CI

41.

más extensa es suficiente y no es preoiso alejar el oontomo

lubricado a una distancia del talud mayor del doble del dea-

nivel de éste.

El contorno rígido inferior está demasiado próximo para ase

mejar el caso de un semiespaoio indefinido, pero en la reali­

dad es frecuente la existencia de un estrato duro a profundi­

dad no muy grande.

Los corrimientos ce calculan en los nodos, y las tensiones

en el centro de gravedad de cada dos elementos, debiéndose -

procurar unir éstos por parejas que no tengan una forma irre

guiar ó alargada * t ' «,

Los resultados obtenidos concuerdan bien con los ya conocj^

dos para un talud vertical (modelo de gelatina de Scheiblauer,

fotoelástico y analítico de Richards, etc...). Por ejemplo exija

te una zona traocionada ( Flg. 7 ) en la superficie de corona­

ción (Ref. 28, pág. 510)» ©1 vértice superior desciende menos

que el resto de la coronación, la pared vertical adopta for­

ma de panza O'ig. 8), se cierra el ángulo cóncavo del pie del

talud, las isostáticas tienen la forma debida (Pig# 9) > etc.

Richards (fíef. 23) señala que "el pie del talud es un pun

to donde la concentración de tensiones es ¿grande y complica­

da, con el campo de tensiones a la vez creciente y decrecien

te en tres direcciones", y efectivamente constituye una dura

prueba para el método de los elementos finitos, en el que las

tensiones obtenidas tienen mucha menor precisión que los co­

rrimientos, y mediante el cual es imposible representar un pun

to singular situado en un nodo, ya que las tensiones las obtie

i» en los oeafcpwi á* gt*m&Aá d* loa triángulo». B»** * dicha

dificulta* m y VR *l &máo &• pl*atitio*etf& (*$*«$) m «**».

mentó de oortant»» hacia arriba y abajo, y una di»ainuoion h^,

OÍA la iaqui»:^, consiguiendo»» una figura oualitativajBont»

mucho ata*» oareoida a laa isocrotBaa obtenida» fotoelíatioaaaa

te (Ref. 22), que no las lograda» por Duncan y Dunlop (-&•&

1 M 7 ) que también hicieron eue cálculo» en elasticidad oon

elementos finito». Esta mejor concordancia oon la solución

exacta se debe & haber afinado máa la malla en la proximidad

del v4rticef e indica que la precisión es suficientemente bue

na, aunque no se reproduEoa ese punto singular oon toda fide­

lidad.

43.-

067 *l

U« 0.0186 V : 0.0618

U * CORRIM. HORIZONTAL

V = CORRIM. VERTICAL

CORRIMIENTOS

r V=0OI76

GRADO DE PLASTIFICACION •. S p S 2 •(S|*S2)»tnf $-. 30«

2 C COS. 0 c : 2 T n / m 2

Fig. 8 »- Deformada y curvas de plastifioacion relativa

1 1

\

1

l

m\ ISOSTATICAS

Fig. 9

44.-

Talud ooulombiano

Se ha estudiado el oaso de un talud plano de 75 grados

de pendiente, de 10 m# de altura, y tallado en un material

elastoplástioo perfecto de ángulo de rozamiento 20o y co

hesión 3 tn/m • En la Fig. 10 puede verse la malla emplea­

da. Respecto al caso estudiado por Lorente de No ( Ref. 18 )

se han introducido las mejoras de incluir el rozamiento in

temo, y de darle la pendiente deseada*

Primeramente se aplina una densidad a todo el terreno tal

que oomience a plastificar la pareja de elementos triangu­

lares más próxima al vértice del talud, y a continuación se

aumenta dicha densidad en sucesivos incrementos de un 10 %

obteniéndose en la Fig. 11 el crecimiento de la zona plasti

ficada.

Según el abaco de Taylor la rotura se produce con un cir

culo definido por su semiángulo o<» 22 o y el ángulo de la

cuerda con la horizontal w » 53° , y un factor de altura -

YH/c • 7»4& $ es decir con una densidad de 2,24 tn/m •

Los resultados obtenidos indican que se inicia la plasti

ficación con una densidad del 40$ de la anterior, valor que

debe ser bastante exacto ya que el punto de tensión dista -

del vértice del talud sólo 30 ora. ( un 3 % de la altura ).

La zona plantificada está muy próxima a la pared del talud,

lo cual oonouorda oon el circulo pésimo de deslizamiento, si

bien no ha alcanzado la coronación con la densidad teórica-

o o

22.0 2.6795 U,Q_

E s 1000 Tn/m 2

/JL: 0.25

?06 ELEMENTO

127 NUDO

U1

Fig# 10 .- Malla de elementos finitos para talud plano.

46.—

Esto ultimo puede deberse en parte a la pobreza de la ma

lia, que en la coronación tiene elementos grandes, y por

sustituir la densidad del suelo por fuerzas concentradas

en los nodos y calcular las tensiones en el cen ro de gm

vedad de cada dos triángulos, de modo que en esta zona al­

ta se reproduce peor el efecto del peso propio. Por otro

lado el empuje al reposo supuesto es el de la teoría el ís

tica K m m/ (1-m) y por ser el coeficiente de Pois

son bajo ( m «0,25 ) resultan unas tensiones horizontales

liberadas más bajas de lo ordinario.

El crecimiento de la zona plastifioada es lógico, aunque

al final se ve que en la zona aún en estado elástico tien­

de a crecer la plastifioacion horizontalmente, hacia el in

terior del terreno (curva de trazos, Fig. 11), lo cual oou

rr© a causa del bajo valor del empuje al reposo K «0,33»

La zona de rotura no llega a separarse sin embargo del tren

te del talud, como señalaba Lorente de "Ño (Fig.1), precisa­

mente por tener el terreno rozamiento interno, cuyo efecto

se sabe es el de modificar los círculos pésimos aproximán­

dolos a la vez a la superficie y al frente del talud.

En la Flg. 12 puede verse la deformada del talud, con la

olásica forma de panza debida a la plastifioacion prematura

del pie # de las zonas bajas del mismo. Finalmente en la

Slg. 13 se muestran las isostátioas en el instante de la ro

tura.

Zona plastificada para cada densidad

Plastificación relativa con X crítica - 2*24

S1" S2 + ^ l 4 ^ S0fl n i I mi n i» II I — — » — I W — I — »

2c eos tf

• — Circulo T>ésisK>

Pig# 11 . - P las t i f icac ión progresiva del ta lud plano»

ü

Corrimientos en fase elástica 0,4 0 orít

Para densidad crítica -2,24 tn/m

u m horizontal v « vertical

059 y2.6cm. 8.8 y 242 cm.

T

Fig. 12 .- Deformada del talud plano, y leyes de oorrimientos,

&

Fig# 13 •— Isostátioas en un talud plano, en rotura.

50.-

5.3# Talud ortolisténioo

Partiendo de la eouación diferencial de la ourva de deslizamien

to, deducida por Resal en la hipótesis de Rankine de los diámetros

conjugados de la elipse de tensiones, Frontard obtuvo ( 1.922 ) oo

mo línea de deslizamiento para un talud plano (Ref. 10, págs. 213

y 222) Ref, 13, pág. 304) una curva cicloidal, una logoide y una

parábola semicú*bica, según la pendiente del talud sea mayor, menor

o igual al ángulo de rozamiento interno.

Posteriormente Frontard ( Ref# 13 ) invirtió los términos del

problema, buscando como incógnita la forma del talud tal que su -

línea de deslizamiento sea oonooida, resolvió el caso de línea de

deslizamiento recta -talud ortolisténioo-» o simétrica especular

del propio contorno exterior del terreno -talud isolietónico- • .

Ambas formas tienen el interés teórico de permitir a un terreno a ,

canzar por encima de la línea de inclinación M^M una altura in­

finitamente grande, manteniendo siempre una pendiente mayor de $2f,

si bien para ello es preciso alejarse un infinito de orden supe­

rior del pie del talud, pues es conocido que la influencia de la

cohesión tiende a ser nula al crecer la altura,

Frontard señaló la posibilidad de obtener una economía al exea

var taludes tallándoles las citadas formas (sobre todo con la OP

tolisténica ), por los mayores desniveles que se pueden salvar en

oomparaclón con un talud plano, y por requerir un menor volumen de

material arranoado al tener formas convexas. Estudiando esta posi­

bilidad, a continuación se exponen los resultados de una compara­

ción cuantitativa entre el talud ortolisténioo, el plano, y el iso

rresistente.

51 .-

La ecuación paramétrica de la ortolisténica simplificada est

ó

2 fl eos 0 ( z2 - 1 + 2 log nep z )

z 2 - 1 y -

0 eos $

Z e

Donde

eos (a + 0)

sen a

y « ordenada de la superficie del terreno, según un eje vertical,

x o eje oblicuo, dirección del deslizamiento plano, inclinado " W "

con la horizontal.

a «• ángulo en cada punto de " x " dada entre la tangente a la línea

de deslizamiento y la tangente a la línea del talud.

m . parámetro.

í • densidad.

W m ángulo entre la dirección del deslizamiento y la horizontal.

La más económica resulta ser la denominada "máxima", cuando W « $

En la Fig. 14 se dibujan con trazo lleno los taludes ortolisténicos

máximos para diversos valores del ángulo de rozamiento interno, y de tra

zo discontinuo los lugares geométricos de los vértices de coronación de

los taludes planos, deducido» a partir del abaco de Taylor. Los primeros

resultan ser ventajosos respecto de los planos a partir de cierta altura,

y su ventaja crece al disminuir el ángulo de rozamiento y al aumentar el

desnivel.

Ampliando la parte próxima al origen ( Fig. 15 ) se observa que para

0 m 0 y alturas menores de 6,5 o/|( es más eoonómioo el talud plano, y

52.-

100 % +

so<y -

Talud ortolistenloo máximo

Lugar de los vértices de taludes planos

Lugar de los vértices de taludes isorreslatentes

Fig. 14 •- Comparación entre taludes ortolistenloos y taludes planos de

gran altura.

Talud isolisténico tr - # - 0*

0=20°

^0=20° 0=10° ^

Fig« 15 •- Comparaoión entre taludes ortolistenloos, planos e isorreslatentes

para alturas pequeñas usuales»

53.-

sólo para alturas mayores tiene ventaja el ortolisténico, aunque resul,

tan entonces taludes más tendidos (más de 1t3,75) que no se utilizan oa

si nunca.

En la &ig0 15 se muestra también ampliado los casos 0 » 10*» y 0 » 20°,

en los que se ha añadido de puntos el lugar de los vértices de corona­

ción de los taludes isorresistentes, tales que su tangente inicial sea

vertical, y sustituyendo la sobrecarga por la altura de terreno equiva­

lente, según Sokolowsky (Ref. 26, pág. 86). Para alturas normales, meno

res de 18 a/% resulta aquí también más económico el plano que el orto

listénico. Entre el plano y el isorresistente, debido que se ha despre­

ciado en el tlltimo la capacidad resistente del terreno en la sobrecarga

equivalente, resulta difícil hacer comparaciones; pero dejando esto apar

te, tiene ventaja aquel para alturas enores a 8 c/tf , y posteriormente

el isorresirfcente suministra un coeficiente de seguridad ligeramente me*

yor a costa de un mayor volumen de escavación debido a su concavidad.

De las figuras anteriores se sacan por tanto las siguientes conclu­

siones!

Al construir un talud la forma más económica es la isorresistente, co

mo ya se sabía, aumentando su ventaja al crecer la altura y el ángulo de

rozamiento•

Al excavar un talud para alturas pequeñas las formas que requiere -

arrancar menos material son la plana y la isorresistente. Los ortolisté

nioos para superficies deslizantes de pie son más eoonómicos sólo al eac

cavar grandes alturas en terrenos de arcilla saturada, cuando la estabi­

lidad venga determinada a corto plazo ( » 0). Las pendientes obtenidas

son tan suaves en estos casos, que se presentan poco en la práctica, y

54.-

el valor de los taludes ortolisténioos es más bien teórico» en contra

de lo afirmado por Erontard. Por este motivo no se han estudiado más a

fondo, calculando por ejemplo al instante de iniciarse su píastificacion

y observando como progresa esta, aunque es de prever por su convexidad

que el cociente entre la densidad que provoque la rotura total, y la que

la inicie, debe ser bastante grande.

55.-

Talud isorresistonte

Talud iaorresistente es aquel que plastifica todo el simultanea

mentet por lo tanto el coeficiente de seguridad a la rotura de ca­

da partícula es el mismo, aprovechándose. al máximo el material .Deje

de hace bastante tiempo a muchas oresas de materiales sueltos se les

da un perfil poligonal- cóncavo, con mayor pendiente en coronación,

acercándolas intuitivamente al perfil isorresistente y obteniendo

así un -ahorro de material; sin embargo hasta ahora en contadas oca

sienes se ha aprovechado directamente esta forma teórica para com­

probar o aproximara ella la sección real de la presa (Uriel,Ref.29).

El motivo de ello es oor un lado la dificultad de cálculo, ya que '

las tabulaciones publicadas se refieran a casos teóricos simples,

y lógicamente no incluyen los .casos reales de embalse llono, desejra

balse rápido, etc. , pero además según se seríalo en el apartado 3»?«2.

(paginas 17 & 19) la bondad del perfil teórico ©s dudosa, debido a

que las hipótesis de partida para obtenerlo son un tanto groseras

por considerar un material plástico rígido.(con deformaciones elás

ticas nulas y deformaciones plásticas indeterminadas), sin tener en cuen

ta la compatibilidad de deformaciones, y olvidando la influencia de

las constantes elááticas del suelo, de las tensiones previas a la ex­

cavación, o de factores exteriores a la masa deslizante pero próximos

a ella, como puede ser el punto singular del pie del talud.

En definitiva hay una serie de factores que oueden alterar la foj?

ma isorresistente y que hacen desaparecer gran parte del interés por

su utilización, perdiéndose así una oportunidad de diseñar con mayor

economía. Para comprobar el orden de magnitud de la influencia de al­

gunos de estos factores se ha calculado por el método de los elementos

20.0 m. 6.74 8.46

3! f V. I I I I 0 = 30° C = 2 Tn./m2

t>"

*>

9 »

— / /

, / _3

— /

4-—•—,

27

^ ^ \

¿» ,

^ \

4& \

80 / \

/28 rfc" n

81 95

/ \ V - ,28/\i5 /\ V\ v y \ / \ X v \ /\

A A N A K \

v \ / \N \ / \ j/A /V V /

\ >^ \ / V /

/

f\- •' " ' — i 1

. -/N / \

• \

/73

P = 6.93 Tn./m2 = 2 C c o s í 0 = 2 Tn./m2 w

E = 5000 Tn / m 2

J6_* ELEMENTO

103 NUDO

•

/ 82

129

88 97 103

! § • /

/ -C. J5J

/ 153

/ 8 5

164 / ^

/ ^ 16)

/ 9 8 K ... _ „

•*•%

">*

Fi¿% 16 .- Malla de elementos finitos para el talud isorreeistente

24.0 6.74 8.46

l i l i I I I I I I 22 33

0 =30° C =2 Tn/m2

P= 6.93Tn/m2 = 2 C c o s j

o = 2 Tn/m4

E= 5000 Tn/m2

. l ü ELEMENTO

178 NUDO

133 148 163 171

Pig# 16 bis,- Malla de talud isorresistente empleada pare el control d© la precisión.

57.-

finitos el talud isorresistente que Sokolowski pone por ejemplo

(Ref. 26, pág.84), con ángulo de rozamiento interno de 30 grados,

cohesión 2 tn/ra y sobrecarga uniforme en coronación 2 o eos $/

/ (1 - sen 0), La densidad teórica de rotura total repentina es

$ * 2 tn/m . El terreno se ha supuesto elastoplástico perfecto,

y se ha tenido en cuenta la compatibilidad de deformaciones.

La J^g, 16 muestra la malla de elementos finitos empleada, cqm

probándose la flexib5Iidad do éstos oara adaptarse a un contorno

irregular. En la ?íg, 16 bis se reproduce el mismo talud con una

malla más fina que se ha utilizado como control de precisión calcu

lándolo en fase elástica5 las discrepancias obtenidas son menores

al 1 /t> en corrimientos, del 2% en tensJones verticales,y del 2 al 4$

en tensiones horizontales y forado de Testificación, errores admisji

bles para la finalidad'perseguida.

Se han repetido los cálculos para el mismo talud con dos coeficien

tes de Poisson distintos,de valores 0,2? y 0,333 lo que equivale su» t

coeficientes de empuje al reposo de K » 1/3 y K •» l/2 respectivamen v 0 0 *•*•

te. La influencia de estos factores en las zonas plastificadas y su

crecimiento es grande (Figs,l7 y 18)5 para un coeficiente de Poisson

bajo, la zona en estado de rotura se aleja bastante de la teórica de

Sokolowski penetrando hacia el intorior del terreno, nerc est" no es

de preocupar ya que para coeficientes análogos a los de los suelos

reales (m « 0,333) la forma de dicha zona se asemeja mucho a la teó

rica. La principal discrepancia está en la parte alta, que es donde

la malla de elementos finitos puede tener más error, con una disminu

ción de las tensiones, por reproducir la carga continua mediante —

fuerzas concentradas en los nodos que no inciden directamente sobre

los puntos en que se evalúan las tensiones.

En la -oarte superior de la Pig.13 se observa la concordancia ob­

tenida entre las tensiones existentes a lo largo de la línea teórica

Zona plaetiíicada para cada ^

0.5

rrado do plastificación relativa para * crítica (5l-^3) - (Sj+S^ sen f

2 o ^oos 0 Línea de des l i zamien to se^ún Sokolowski

52*cr¡t

Pig# 17 •- Plastificación progresiva de un talud iaorresistente» Coeficiente de Poisson 1/3 K » 1/2 o>

Zona plastifioada para cada densidad S - S2 -(S +S2) sen 0

Plastificación relativa • con ¿cr í t ica 2 c eos

Línea de deslizamiento según Sokolowski

Ley de tensiones sobre la

línea teórica de desliza­

miento par?, X crítica

Sokolowski. ^ún elementos finitos.

Fig. 18 ,- Plastificación progresiva de un talud isorresistente•Coeficiente de Poisson 0,25

KQ m 1/3

60.-

de deslizamiento, *que es bastante buena con•la salvedad indicada

de la parte alta; es interesante hacer notar que la concordancia se

da incluso con m • 0,25 •

En la Fig. 19 se muestra la red de isostáticas tanto en fase elás

tica como en rotura.

Como era de esperar la influencia del vértice del pie del talud

es muy grande, ya que crea una concentración de tensiones tal que

anticipa la iniciación de la plastifioacion a un valor del 54 % 3©

la densidad teórica. No obstante la sona plastificada crece muy ra_

pidamonte hacia arriba, manteniéndose muy negada al frente del ta­

lud, confirmando cierto carácter de isorresistencia de éste.

De lo anterior se ^uede deducir que la forma teórica de talud

isorresistente es bastante correcta, siendo necesario modificarla

aumentando más su oendiente en coronación, y sobre €£>do sustituyen

do el punto singular del pie, que es el causante de que se inicie

prematuramente la rotura, por una superficie suave de transición

entre el talud y la línea horizontal. Con esta salvedad, y a faj.

ta de comprobación experimental puede aceptarse como suficiente­

mente exacto el método de cálculo más sencillo de las caracteres

ticas, al menos para coeficientes de Poisson altos que son los -

usuales•

Las deformaciones, que como se sabe no podrían calcularse por

el método de las características, se han representado en la Fig.20.

La obtención de las deformaciones es útil desde el punto de vista

de investigación, para contrastar la bondad del modelo matemáti­

co ideal empleado con mediciones sobre taludes reales, pues los

corrimientos r>ueden medirse directamente y con ma ror facilidad y

6t **•!•'

o t

* \J

-1 /4 . ' / J

Fase e lác t ica 0,54 o c r í t i o a

Con plas t ic idad c n t e n i á a 0,75 ¿ c r í t i c a

En rotura con o o r í t i c a

r

u * corr .hor izonta l

-0.21cm. 0.88cm.

v « co r r . ve r t i c a l

Pig. 20 #— Corrimientos en la superficie de un talud i s o r r o s i s t e n t e .

63.-

exactitud que las tensiones» Pero tiene más importancia desde el

punto de vista práctico para la vigilancia y control de presas o

taludes en general, lo cual es aún más necesario para el talus iso

rreslstente, que por definición tiene una rotura repentina sin ap£

ñas avisar y requiere afinar el cálculo de los componentes elásti­

cos de deformación.

La deformada, de la superficie del talud-sigue una forma similar

a la elásioa de los taludes Díanost asiento menor en el vértice de

coronación que detrae do el, disminución del ángulo cóncavo del pie

del talud, y forma de oanza del frente con mayores corrimientos ho­

rizontales en los dos tercios inferiores. En el caso de coeficiente

de Poisson menor, ló- icamente los asientos verticales son mayores,

y ñor liberarse menores tensiones horizontales ( menor K ) son me

ñores los corrimientos horizontales»

Talud en terreno con dilatancia prefijada

La forma más adecuada -oara estudiar la influencia de la dilatan .

cia del suelo ( variación relativa del volumen durante la rotura )

en el comportamiento de un talud es mediante un modelo matemático.

En efecto, en un modelo material resulta prácticamente imposible

reproducir do® materiales iguales en todas sus propiedad©© salvo

en la dilatancia, y ádeuiás en la realidad la variación del roda­

miento y de la propia dilatancia con las deformaciones a lo largo

del ensayo, enra&seararía los resultados de éste»

Ése modelo matemático de terreno debe tener además de cohesión

y rozamiento un nuevo parámetro, la dilatancia " v B (ver Apéndi­

ce A ), de modo que variando a voluntad sólo esta* últliaa sea posi

bl© abstraerse do las circunstancias y particularidades ou© alte­

rarían los resultados, dejando desnuda exclusivamente la influen**

cia d© aquella.

Para el objeto deseado en este apartado, ©s suficiente, e inolu

so conveniente, el emplear un modelo de terreno no ri£idizable,con

» fi •» y « v w constantes en todo el proceso de carga« En cambio jjg,

ra reproducir mejor un suelo real y estudiar problemas prácticos

sería de desear que se tuviera en cuenta la variación de los para*

metros del suelo, como haoe Serrano para suelos plástico*«rígido«

(Bef# A*»36)| no obstante también podría emplearse ©1 mismo modelo

que en esta tisis, pues Iransby (Ref. A*4f pág#&.24) afirma que la

aproximación así obtenida comparada con ensayos en modelo reduci­

do es aceptable, y desde luego mejor que si no se considerase la

dilatancia como es usual, teniendo por añadidura la ventaja de te

ner también en cuenta la fase elástiea y la compatibilidad de d©**

Zona plastifioada para cada X

]-0*crit

0.5

\ \ \ \ \ V

\

0.0

— — — Grado do "olasiificación relativa para

# crítica

ídem, en torreno con dilatancie v =* $ » 30°

Línea de deslizamiento según Sokolowski

• ^ \

52¿rcrit

v-^

ílg. 21 .• Plagtifioación progresiva de un talud isorresistente oon dil"tancia nula YH * 1/3 K » l/2 VJ1

$6^

formaciones.

Se. ha repetido el cálculo del mismo talud isorresistente (Hg»l6)

en el caso en que el ángulo de dilatancia sea positivo e igual al

de rodamiento v » 0 - 30* (modelo de terreno clásico, cuyos re­

sultado» se expusieron en las Figs» 17 y 20 )* y en el ceso en que « # •

** la dilatancia sea nula v • 0 '(terreno sin potencial plástico)•

En el Apéndice B se reproducen parte dé loe resultados obteni­

dos con el ordenador, que se condensan en las Figs# 21 y 22*

lógicamente se mantienen idénticos en la fase elástiea ya que

el criterio de rotura es siempre el de Moar-^Coulomb, y comienzan

a apreciarse diferencias sólo para densidades mayores al 80 $ de

la crítica, creciendo las desigualdades a medida que progresa la

rotura, pues lo que se ha cambiado han sido las relaciones tensión

deformación elastoplásticas*

lia dilatancia no influye practieaaente en la rotura del talud»

El tínico efecto es una ligera disminución de las tensiones hori­

zontales ( del uno al diess por cien en las proximidades de la 1¿

ñas. de deslisamiento•para la carga de rotura )$ esto se Justifi­

ca porque al no existir un incremento de volumen, el interior del

terreno está menos constreñido. Como consecuenoia de lo anterior,

el crecimiento de la aona plastifio&da es algo más rápido (hay ••

áreas que rompen con una carga del uno al cuatro por cien menor).

En las deformaciones la influencia es mayor, como era de esí>e

rar cuando la dilatancia es nula en ves de positiva, al no haber

aumento de volumen los asientos son mayores (del orden del 1 %

V 30* j v - 0

Corrimientos en fase e l á s t i ca 0,52 2T c r í t i c a

I

Corrimientos en plasticidad contenida 0,75 8" critica

Corrimientos para la car^a de rotura teórica

u = corr. horizontal

0.8¿cm. (0.88)

v • corr, vertical

3.90cm (3.71)

539 cm. (5.3¿)

¿.90 cm. (¿.80)

2.94 cm. (2.81)

0.8 7 cm.

Las cifras entre paréntesis

son corrimientos con v • p * 30 c

Fig. 22 .- Deformada de un talud isorresistente con dilatancia nula.

6B0«-

en coronación, alcanzando el 5*1 f; a media altura del talud) y

los corrimientos horizontales menores ( el 2 f> en el pie del ta

lud, el 4,5 í en coronación y llegan al 13,2 f! menores a media

altura del .frente ) ,

3e ha confirmado rigurosamente por lo tanto la idea intuiti­

va de que la dilatancia no influye apenas en aquellos problemas

on que las condiciones de contorno vienen impuestas por tensio­

nes (peso propio dol terreno en este cano), y sólo afecta de un

modo apreciable a los corrimientos. Es de esperar que por él con

trario sea decisiva en los casos cuyas condiciones de contorno

estén dadas en deformaciones, como oueden ser una zapata, un pJL

lote o un muro rígido.

6o • -

COHCLÜSIOÍÍES —«mw—iiinii i i un »•——•—

6»t# Resumen de conclusiones

Los resultados de la presente tesis som

Confirmación de la viabilidad práctica del cálculo de un aóli-*

do con sana» en plasticidad contenida» utiliasando distintos moda*

los matemáticos elastoplástioos y con un proceso de cargas prefija

do#

ReconfiriBaoidn del proceso de crecimiento de la ísona plastifb»

cada de un talud plano en un terreno coulombiano» comentando en el

pie del talud para acabar en la superficie de coronación» aunque -

con una carga mayor de la teórica*

Comprobación de que los taludes ortolistlníoos carecen de Intj©

vés práctico» pues aunque en caaos muy particulares sean mejor»»

que los taludes planos» no alcanzan la economía de loa isorresis-

tentes*

Comprobación de que la forma de talud isorrealatente deducida

por Sokolowski es relativamente correcta a efectos prácticos » al*

terándola poco la existencia de las componentes elásticas para coe,

fioientes de Poieson altos, que son los normales en los ©ueloa.Sin

embargo la presencia del vértice del pie del talud hao* que la xo~

tura no se inicie simultáneamente a la rotura total» sino bastan—

te antes,

, Obtención de las relaciones tensión deformación para suelos elas

topláetioos sin potencial plástico» con cohesión, rodamiento y di-

70.-

latancia prefijada constantes.

Comprobación rigurosa de que la dilatanoia no influye practica

mente en la estabilidad y en la plastificaoion progresiva de un ta

lud, aunque si en su oanpo de deformaciones.

6.2, Perspectivas futuras

Como continuación de esta tesis se carean 1-is siguientes líneas

como posible campo de investigación futura i

Empleo de modelos elastoplásticos más perfectos. Son de interés

el sólido coulombiano rigidiaable, con rozamiento y dilatanoia no

constante, siguiendo a Serrano (Ref, A-36), y también la Cam-Clay

modificada (apartado A -4,2.2., pág. A-30) que cierra la pirámide

exa^onal irregular de Mohr Coulomb con un elipsoide de revolución

creciente (Fig# A~16). Un campo muy necesitado de progresos, con

grandes dificultades teóricas y muy poco estudiado, es el de los

materiales rebl-indecibles o con "softening".

El modelo de terreno de dilatanoia prefijada constante, cuyas

leyes tensión deformación se han deducido anuí, presenta una mayor

conflabilidad para tratar problemas en los que las condiciones de

contorno se definan en corrimientos. Por ello sería interesante es,

tudiar la plantificación "ro/j esiva del terreno en el caso de es­

tar sostenido por un muro rígido, sometido a empuje pasivo o a era

puje activo, y es de esmerar que la influencia de la dilatanoia sea

mayor en este caso ue no en el del talud; El caso de empuje activo

71.-

reviste más interés r>ara ser estudiado por este procedimiento na

temático, ya que existen dificultades para hacerlo con modelos re

ducidos, los cuales en cambio se han aplicado con cierta profusión

en la investigación sobre el empuje pasivo.

Comentario final

!3n los problemas reales de. la Mecánica de suelos intervienen

una multitud de factorest la anisotropía estructural o inducida,

la elasticidad no lineal, el proceso constructivo que gobierna la

trayectoria de tensiones, la plasticidad, con posibilidad de uh m

duracimiento (arcillas blandas) o por el contrario de un reblande­

cimiento (arcillas -nreeonoolidadas), la dilatancia, las presiones

intersticiales, los efectos dinámicos, la viscosidad,.. De ellos

la plasticidad es sin duda uno de los mas importantes, motivo por

el que se ha intentado retratarla en esta tesis$ pero no hajr que

olvidar que cuando se crea una teoría, se contrasta con la reali­

dad y resulta una alentadora coincidencia, el motivo no es sólo la

bondad de aquella, sino el que se compensen los errores de las mag

nitudes no tenidas en cuenta.

¿ Hasta que punto la elastoplasticidad, que es ya una aproxima

ción de segundo orden, puede ser suficiente a efectos prácticos ?

Resulta dificil contestar a esta pregunta categóricamente, pero es

indudable que con ella se ha dado un nuevo paso, se ha añadido un

nuevo término al desarrollo en serie de los conocimientos y oáleu

los del ingeniero, y si bien el método elastoplastico es aún ©mbrio

72.

nario BU apllca'bilidad práctica progresa, dando ya resultados no

solo oualitativos sino incluso cuantitativos.

Por último debe reconocerse lo modesto y minúsculo de la contri

bución de la presente tesis, a pesar de haberla realizado dentro -

de un cara x> do horizontes tan amplios como es la Mecánica de Sue­

los, y haber vertido en ella ün aí&n de servicio y un empeño de

continuar en la tarea de la investigación.

Arrradecindanto

Deseo expresar mi agradecimiento a 7). José Antonio Jiménez Salas

por sus consejos y por la Dirección de esta tesis, a Alcibiades Serrano

por iniciarme en el sendero de la Plasticidad y darme fuerzas con el ejem

pío de su vocación, a Cesar Sagaseta y Enrique Castillo por su colabora­

ción directa, en estrecha labor de equipo, en la realización del progra­

ma de.cálculo electrónico, y a Carlos Iorente de Uo Cabezas por sus inte­

resantes comentarios y orientaciones.

Apéndice A

P L A S T I C I D A D

APMDIGE A mmmmmmmmmmmmmmm %

PLASTICIDAD) « M M V M M M M N M W M

índice del Apéndice A - Plasticidad

Introducción.

Plasticidad*

Criterios de rotura*

4«1«~ Sólidos cohesivos.

4.2.- Solidos coa rozamiento*

4«2.1.~ Sólido ©lastoplástico perfecto»

4«2.2*- Sólido rigidizablc. "Oam Clay*.

4*3»- Sólidos sin potencial plástico.

Aplicación a la mecánica del suelo.

5#1.- Discusión.

5»2.- Relaciones increméntales tensión deformación

propuestas.

J.~

1.- INTRODUCCIÓN

El estudio del comportamiento de los suelos puede rea

lizarse por dos caminos. El primero de tipo experimental, obser

vando "in situ" y sobre todo en laboratorio su forma de reaccio

nar ante las fuerzas que se le aplican, y obteniendo una serie

de leyes empíricas. El segundo es más abstracto, asimilándole -

a unos modelos matemáticos; se realizan una hipótesis simplifi-

cativas y se elaboran a partir de ellas unos razonamientos has­

ta atener unas leyes de comportamiento en función de unos para

metros característicos, y por aproximaciones sucesivas se modi­

fican dichas hipótesis convenientemente de modo que las leyes -

finales concuerden lo mejor posible con la realidad experimental;

si bien es verdad que muchas de las simplificaciones o hipótesis

se aceptan, aunque nos alejen de la realidad, por evitar las ex­

cesivas complicaciones que aparecen durante el desarrollo materna

tico.

Otros sólidos, fundamentalmente los metales, se lian -

tratado eficazmente por estos procedimientos, alcanzándose teo­

rías muy consistentes, relativamente simples y manejables,univer

salmente aceptadas, y que realmente han dejado resuelto el pro­

blema planteado. Sin embargo los suelos tienen un comportamiento

mucho más heterogéneo, disperso y enormemente más complejo.

A la importancia que en ellos adquieren la anisotropia,

los fenómenos plásticos aun a niveles de tensión muy bajos, la -

dilatancia, las deformaciones grandes y las diferidas, hay que

añadir el hecho de su carácter discontinuo, que conduce a un di£

tinto modo de reaccionar según el signo de las tensiones, y a una

taarla m i#imlE<aftiwt» aafla&tafearlai y a v«o$© aa ha trafea*»

fp IW^P^I* wpnWHPfc ^P^aiP ^ai^^P^iav^r^P^ __ iP^^PMP¿I W:^^'flWW(fP'W!^Pl ^W^P wi ^P^apaaUpi,W'iP*^ws^aP ^'<P*jP»P<ia «Wdp^MWKP wWwflK^^íP^jp ^ ^

atmfna oeao indioa Saott (Rafa -Jj ptlf* 13) «ll» *» ütif crl*

tlaaalat •Ai ti'viütittfcft «flM tafrlaa ra apandan «¿lo a un&a #mm>

«gr*# iadlvi ímlw, vMüftMfc» «t «a*» wa«i#l<a»« <te*«x*iq|

^NÉIÉ aH jSyil^yffll d^3f#3?WEt1^#0 Jf MÉlMiME' jjjaiiaiPillaaE l i l la l a a aafóa&KMi

ttnaionales r»ale« en el cwipa. pudiando incluflo &a i t f 4»**$

vioev©r»a) y no ©atar euíataa a alaguna de las consideraciones

taorieaa da tipo aaargítioo o similar.

Las aproximaciones aljafifa* de Bawaiitaag, y &a laa

. sistemas multieapa» y cuerpos ©r***ropGS> o la rlgidopláetioa

da la teoría de las oaraata&fatioaa da Sokolowekl, oada vaa «*

«la ei^#t«Éaa ykMeüPtt«ft«nH ia» na* aflaaa ayuda en muchoa

tanta! para #§&#& ya Ir acompañado» 4a loa eatudioa con mada~

loe •laatoplís'feieoa» Por ajamplo al oélculo elá^tioo de t*a-~

sionae vertioalaa ae baatwwate exaet*, pero no así el de la$ -

tensionao y corrlmltntoe horiaontalaa, detersjlaantaa *n el <*

problema dal talud. Hoy «e reconooe la importancia 4» las ra~

laoionea tanaicV-deformoion (üf« 1f p¿g* 798; Bef»A-j| S*ff&)

aw« «?lSa**ifc waaía fsamáa » a t a toy far 4iflítót*«at tea-

con al nao da loa ordaziadoraa) y por al probl iaa aik vivo da -

^PWÍWM- »fW"a^Fvpaa^^apc '^aaa^^ WTp^a^iiií*íWPfl^ awip^aaP'íPípi^^w ."flPhTPwa* ^FjwwiBHí^Pr^^<B«'^w^p#w(P'^r^^' pp- p ppt •pp'ftw * w s - w ü í m j w i f w ^ w B .^--

. Si* acafcarg© al aofuarao raalliado y laa anargiaa «g

plaadaa hoy, arrancando da laa taoriaa aJiotlxja y pl¿«tioa -

5.-

clásicas, comienza ya a dejar a estas atrás* A continuación se

resumen sin gran detalle dichas teorias clásicas, para poste*—

riormente discutir su validez y utilidad para la Mecánica del

Suelo» Por áltimo se detallan la© ecuaciones del modelo mateitéC

tico escogido para su utilización en esta tesis»

6.-

2.- ELASTICIDAD

Un sólido puede difinirse como elástico cuando en

un proceso de descarga recupera toda la deformación que tomó

durante su carga, mientras que su comportamiento será* plásti

co al conservar una deformación remanente (Fig. A-l y A-2 b)»

Bicha deformación total elástica puede ser instan­

tánea o diferida, en cuyo caso se dice que el cuerpo posee ~

viscosidad (Fig. A~2).

Existe también la posibilidad de que la relación -

entre la tensión y la deformación sea constante (elasticidad

lineal o Bookiana; Fig. A-Ib) o por el contrario que varié -

aún dentro de la zona recuperable no plástica (rama OP de la

Fig. A-la). Esto suele ocurrir por ejemplo en las arcillas -

blandas (Kondner), o también al pasar de compresiones a tra^

clones. «

En el espacio de las tensiones efectivas (Fig. A-3)

con ejes cartesianos S ^ ex ; S « ey ; §2» ez

puede representarse el estado tensional y deformacional de un

punto del sólido, en la hipótesis de coincidencia de ejes de

los tensores de tensiones "s" y de deformaciones r,e", que se

relacionan por la ley de Hook generalizada.

Si » {%.) e3 i» j » 1, . . .,6

En ocasiones por conveniencia se designará S¿ con

dos subíndices.

v -y-v; Y V y » ( \,W'1 A *^f

Según la equivalencia ( ^ ) ( 4 o

"yy byz J " ¡ °2 °5 s„„ ) f s.

7.-

En el caso más general de anisotropia, al ser la MC. •* simétrica hay 21 parámetros independientes. En caso de

ortotropia se reducen a 9, para anisotropia radial (ver Apen

dice B, apartado 2-2) solo a 5, y en isotropia a 2. Estos ul

timos pueden ser el módulo de Young ME" y el coeficiente de

Poisson "m% o en su lugar el módulo de deformación volumé­

trica "K" y el de deformación tangencial "G" definidos por

la relación.

"£= E &= E

3 (1-2LI ) 2(14*0

Estos parámetros suelen utilizarse al separar el -

tensor de tensiones MS.. n en vm. tensor hidrostático o esféri­

co HG".

o.. .e= x J " e „ ^ x y a 1 1 ""'•" ' " •M»'"»""— ¡^X -n«i..«i. ,•• HI.MIM.1, i

y un t e n s o r d e s v i a d o r

Si =: S- - 1 S. . d-5 . (ÜAF= d e l t a de ICronecV.er)

Entonces l a l e y de fíook se descompone en

S, .= 3 l íe . . S»= 20 e*. n i i i i

la representación de estos tensores en el espacio

tensional de la Ilg. A-3 s© con-esponde con los vectores CP1

y F'F respectivamente. El plano perpendicular a la diagonal

principal por P* contendrá todos los puntos con igual tensión

hidrostatica.

las tensiones principales serán las tres raices de

x3 - I-, x2 + L x - L = 0

O»"*

Siendo W I * las invariantes del tensor de tensiones

totales*

xl " Bx * Sy * SÍ

X y y 2» 25 x

X'J *C Sjr S y S a

Tienen importancia prácticat como luego se vera% -

las invariantes del tensor desviador do tensiones*

jra - s ' x s , y * S f y s , « • s , « s , x

^ * s,z s v si* % £ ís i3 * s ¿ 3 * * j 3 i

Sobre todo tiene aplicación el segundo invariante,

cuyo valor es proporcional al área de loe tres eíreuloe de

Mehr § y <pt© tiene otra» expresiones equivalente»,

2/«

2 .

¿2"^ [<S1 - S2>2 * £%> - s 3> 2 * ÍS3 - %) 2 J

* I? ,r^. I[llt «. i

3 2

Cambien es de utilidad la representación axonome**-

trica* sobre el plano perpendicular a la diaconal principal

(Pig. A-5)# En el se proyectan loe tres ejes de tensiones -

forajando futre mi 120 gradea*

*j¡F# Ów

Bl ángulo "a1* de W eon OS^ viene definido por el

parámetro de !*©£•

2 s1 " s2 a s3

s 2 - S3

a » ^3 o también Co© 3a * 3 V¿ 3

y 91 radio P'P resulta ser PP« - Y i í ¡

Un ensayo triaxial de compresión S-j> Sg c S, viene

definido por a « 0« y otro triaxial de extensión SfSj¡, - S,

se defino por a * 60 •

10.-

3.- PLASTICIDAD » • • ! III III I I • — — I — — I —

La teoría plástica conprende los siguientes puntos

básicos (fíef. A46j Bef. 3 pa¿¿s. 29-35).

I2) Existe una función de las tensiones denominada fun­

ción o criterio de rotura (Fi£. A-3)

f(Si)= K

noxinalsente expresada en función de Ins invariantes

del desviador.

f («Jpf <Tw = í£

los puntos interiores a ella

tienen un c oi¿ip o rt amento elástico, es dooirs, cu GUJ

macioii e° es re-cupe rabie.

Si las tensiones son tales que verifican e.l crite-

rio anterior, existirá una deformación plástica no recupeía-

ble (Fie* A-l a y A-2b).

e p ¿ o e = ee + e p

lío es pos ib le que sea f(Sj_)>i:

23) SI cuerpo es I só t ropo an tes y después de l a p l a s t i .

í ' icoción. Se supone l a coincidencia de e jes de lo s t ensores

de t ens iónQ incrementos de deformación (hipótesis de St. Venant).

l a an i so t rop ia en p l a s t i c idad es tá poco estudiada

(Eef. A-16 cap. XII; Hof. A-85 pég. 29)$ especialmente en l o

r e l a t i v o a sue los , motivo por lo que aquí no se t r a t a , pese

a reconocer su importancia r e a l .

11

TENSIÓN "S*

ROTURA

DEF. PLÁSTICA

[DOMINIO PLÁSTICO CON RIGIDIZ ACIÓN

ELÁSTICO

DEFORMACIÓN "•"

PLÁSTICO PERFECTO

Fig. A-1

DIFERIDA

INSTANTÁNEA

INSTANTÁNEA

DIFERIDA

TIEMPO"t"

i DEFORMACIÓN

DIFERIDO

ELÁSTICA

Y PLÁSTICA

INSTANTÁNEA

ELÁSTICA INSTANTÁNEA «9-

ELÁSTICA DIFERIDA t # ( J

PLÁSTICA»REMANENTE t p

TIEMPO't"

12.-

32) Supone Drueker que durante la carga (Bef. A- 5 pág.

244 Kef. A-^pág. 144) se cumple.

ds.- de. > o 1 1

y en un ciclo completo (postulado del trabajo plás­

tico máximo)

ds^ • (de^ - de?) >. o

El si¿£ao igual corresponde a la fase elástica, y el

mayor a la plástica»

Be ahí se deduce

d • dQ? ^0

que se denomina condición de estabilidad. Su interpretación -

es que al existir deformación j>lástiea hay un trabajo plásti­

co no recuperablet la energía empleada la absorbe el cuerpo

pudiendo cambiar sus propiedades, rigidizándose o endurecien

dose; tal es el caso del estirado en frió del acero, o de la

preconsolidación de las arcillas.

Por el contrario aquellos materiales "reblandecióles"

("softenin^" en oposición a "Iiardening"), con resistencia re­

sidual, que no cumplen la condición anterior, no son "establos";

durante un proceso de carga en ellos no es posible alcansar -

el equilibrio una vez sobrepasada la resistencia de pico.

De la anterior hipótesis se deduce la convexidad de

la superficie de rotura (Rof. A-43 pág. 147)»

42) En los materiales rigidizables (Kef. A-t6 pá&. 26)

la función de rotura se expande sin cambiar de forma, homote-

ticamente, en función del frábájo plástico realizado (Fig* A-1a).

X3» —

f (S, ) = K(V/ ) V7 = /S. • de? i p' p y i i

Cuando dCT • de? = o el incremento de tensión se de-i

nomina "neutro"; (fíef. A-16 par. 33) pues no desarrolla traba

jo plástico, nnnteniendose a lo largo de la superficie, cri­

terio de plastificación?que en ese momento no se expande.

Se entiende por cuerpo plástico perfecto aquel que

carece de endurecimiento (Fig» A-1 b), la superficie de rotu­

ra es constante

f (S±) = K / K (?/p)

y al llegar a ella las deformaciones crecen indefi­

nidamente, salvo si el contorno las detiene»

5S) En la descarga: ds.-d„. < o

el comportamiento es elástico { Fig. A-1 a }

Se supone que no hay ciclos de liisteresis

En la teoria clásica de metales se hacen también -

las dos hipótesis siguientes, no validas para suelos»

62) Una tensión hidrostática no influye en el criterio

de plasticidad, es decir, éste será del tipo indicado antes»

f ( J2, J3) .= K

y no del tipo

f (I1f J2, J3) *= K

En el primer caso la superficie de rotura es cilin

drica, y.el cuerpo carece de rozamiento. Basándose en la regla

14.-

de la normalidad que posteriormente se define, se demuestra

que la deformación volumétrica plástica es nula siempre -

(Reí. A-46j)ág, 26 y 50).

deP^ = o

mientras que en los cuerpos con rozamiento es siempre posi

tiva (Hef. A-$5 pá¿> 15)

7e) No existe efecto Bauschin£erf confortándose el cuer ^ ~ ****

po igual a tracción que a compresión.

Por último, el resultado más interesante de toda -

esta teoria es la "regla del flujo plástico", es decir la ob

tención áe la relación tensión - deformación.

SQ) El incremento de las deformaciones plásticas es fun

ción lineal del incremento de tensiones. La relación entre -

ambas, puede expresarse como producto de una constante posi­

tiva de proporcionalidad, por las derivadas parciales respe£

to de las tensiones de otra función escalar •>*£* denominada ~

función potencial plástico.

de^ = h-fe ' • df h > o i ds

i Suponiendo la coincidencia del potencial plástico

y el criterio de rotura, f = g (Ref. A-j6 pág» 50) se llega a

If dfiP=h §f df

i y en los cuerpos perfectamente plásticos, en que df^ o

d e P , ^ dsT

Esta ley fue tomada como hipótesis por Von Lases

1 5 —

(Ref. A-16 pá&. 34; Kef. A-55 pág. 19), pero puede demostrar­

se a partir de los postulados de Drucker (Ref. A-J3 P&g. 146).

Praguer le dio la interpretación geométrica de la "normalidad";

el vector de flujo plástico es perpendicular a la función de

rotura, y dicha perpendicularidad no sólo se cumple en el es-

X>aeio de las tensiones (Fig. A-3)f sino también en el plano

triaxial,de ejes.

P = S1 4» S2 q - S1 - S2 2 g

Para aquellos casos en que el criterio de plastlfi

cación ten&a lineas angulosas (criterios de Tresca y Hohr Cou

lomb por ejemplo) existe una generalización debida a Koiter

(Kef, A-13 pág. 145» Bef. A-Q$ pag. 39) que indica que el vector

de deforim clones plásticas está comprendido entre las normales.

*Q*-\i 4 ÍL .+ . • • *x 1 &CJ . Ct

9g) Está demostrada la unicidad de la solución (Hef.

A-46 cap. III; Hef. A-.2S5pá¿> 435 Ref. A—i$)en la hipótesis de

coincidencia de las funciones potencial y de rotura.

/ 16

S|

'« I

SUPERFICIE -DE ROTURA

. *> . * > '

7^

S s2

e2

Fig. A -3

3 • S t n . *

VARIACIÓN DEL PLANO

S2 • m ^7" Sx= m { Sx • Sy )

C03 9 = VT /

Cotg. {90°-0)rVT

Fig. A-¿

m = 0

S 2 = S 3

COMPRESIÓN

EXTENSIÓN

- S 2 * S 3

Fig. A-5 Proyección en plano S 1 * s 2 * s 3 = c t e

17*«»

4 # ~ CHIÍDEBIOS DE R03?ÜR4

4«1* Sólidos Cokeaivoa»~

Alguno© criterio© s<5lo tienen interéa histórico* $®lee

eon el de RankiEe, el de Saint Venant y el de la energía de d e ­

formación elástica»

El de Baaldjre o de la teñe ion principal máxima se prgt

santa por tan cubo en el espacio de las teneionea principales*, y

por un cuadrado (Fig* A**6) en el plano S^ Sg (tensión plana)» Solo

tiene utilidad en fractura de cristales. Su ecuación «es

I- * S< • Uo • S3 •= IC

11 de Saint Venant de la deformación elástica máxima

ee define por

E-e-j .« 3^ - m (S2 4» Sj) » S rotura

Se representa por un romboedro y ©u sección M un ro¡|

oo (Fig* A~6) en el plano S1 Sg y un triangulo equilátero en el

plano *$£ nonaal a la diagonal del primer octai*te# la fonaa del

romboedro depende del coeficiente de Polseon.

El criterio energético ee define por 2 2 2

Consistente en un elipsoide de revolución* que ©e co||

vierte en esfera o cilindro» eegán el coeficiente de Poieson sea

nulo o un medio*

Mucho isa© interás tiene el de gresca* o de la tensión

tangencial máxima*

18.-

cuya expresión completa es

( (S 1 -S 3 ) 2 ~ 4K2)'C(S1-S2)2 - 4ÍC2)((S2-S3) 4IC2) « 0

o en l a forioa dada por ueuss (fíef • A-g8 pág, 23)

4 J^ ~ 27 J 2 - 36 K2 j | 4- S6 K4 <T2 - 64 K6= 0

Su represen tac ión es LUÍ prisma hexagonal, con sección

r ec ta un hexágono r e g u l a r (Fi£# A-7) y para t ens ión plana un -

hexágono i r r e g u l a r (Fig» A-6)#

La re&la del f lu jo p l á s t i c o , aplicando l a recia, de «-

Koi te r es (ífef. A-43 pág. 146)

d e j = 0 d e | « 1 d e 3 « - 1

19

s ENERGÍA ELÁSTICA

SAINT VENANT

Fig. A - 6

s2 =s 3

VON MISES

TRESCA

MOHR COULOMB

S | = S2

Fig. A - 7

4&V + &

El c r i t e r i o más aproximado a l comportamiento de los

mótales es e l de Von Iliseg

que se representa por un cilindro de sección recta

circular (Fig. A-7) y de sección por el plano S S una elip-1 2

se (Fig. Á-6).

3u significado físico es el de la energía de distox

sión elástica máxima, y también, como indica Nadal, la tensión

tangencial octaédrica máxima (Bef. A-46 pá¿> 20)

Al tratarse un probleíaa de uefomaeion plana, se cor

ta el cilindro por el plano

O- ~ III o .* • úrj/

y se obtiene la elipse

(S1 - S 2 )2 (l-ii-ka2) + (1 - 2m) 2 S1 S2 = 3 E

2

En el caso particular de sólido incompresible m == 0,5

se obtiene la coincidencia con el criterio de Tresca (rectas de

tangencia del prisma exagonal y su cilindro .inscrito). Ctro caso

particular para el que coinciden Tresca y Yon I.iises en deforma­

ción plana es para los plásticos rígidos (Bef. A-£8 pá¿;. 12C |Ref

A-16 pág. 130),

La regla del flujo, denominada en este caco de Prandt-

fíeuss, se reduce a

d ef - X . ü» ±

21 factor de proporcionalidad "i" puede eliminarse

para los cuerpos rigidoplásticos utilizando la función de rotíi-

ra (Reí. A-29 pá¿> 16) y para un cuerpo elaatopláctico general,

utilizando el incremento de trabajo Md.7H (Hef, A-28 -gág. 29), que

dando d s,- K 2 G ( d e, - dVV Si )

21.-

4.2# Sólidos con rozamiento

4.<.1* Solido elástoplastico perfecto

En muchos materiales, y en especial los suelos, el unto de rotura

es función de la tención esférica a que estén sometidos, es decir el criterio

de rotura depende del primer invariante de las tensiones

f(l1f J2, J3) - K

El más anticuo, y sin embargo, aún el más en uso, es el do Mohr -

Coulomb» definido oor la ecuación.

q s F (p) siendo

1 3 1 3 p « q

c c.

El caso más sim~le será el de una recta, que pasará por el origen

si no existe cohesión ( Fig. A-8 b)

q » -p sen 0 + Ccos 0 = -p t&f + Ccos 0

que puede escribirse también de los tres modos siguientes

— sen 0 + •' « Ccos $

S ( 1 + sen 0) « 2 Ccos 0 + (1 - sen 0) S.

J ( 4 2 ; ( 4 2 )

Realmente el criterio completo es el producto de seis planos añálo

gos al anterior, según Shiold ( Hef. A-40 ).

jT(S1-^2)2-. (2 Ccos 0 + (S^Sg) sen 0) jf . JO^-S^ 2-

- (2 Coos 0 + (S2+Sj sen 0)2 . j (Sy-S^2- (2 Ceoa 0 + (S^+Sj) sen 0)2i - 0

22.

Los parámetros "c" (cohesión) y n0n (rozamiento) no son realmente

constantes para un suelo, sino que dependen del índice de tjoros, de la hume­

dad, y del ensayo que se efectúe (Ref. A-43 pág.270) entre otras cosas.

Esta función "F% verdadero criterio de rotura y potencial plásti

co, cuando se trabaja en el plano de Hohr no suele usarse, (:íef, A-16 pá;;.?95>

Ref. A-26; Ref. A-43 pág. 267), sino que se utiliza en su lugar la envolvente

"f* do los círculos de Mohr (Fig. A-8) que cumple la relación

sen 0 - tg f

y que no es la función potencial, ni cumple lógicamente la ley de

la normalidad (3ef. A-26 pá¿r. 309),

En el caso más general de que la ley q « P(p) no sea rectilínea,

puede darse el hecho de Y > 456 y ©1 círculo de í-ohr no llega a ser tangente

a la envolvente (Fie» A-8 a). Entonces la ecuación diferencial hiperbólica que

gobernaría el comoortamiento de un sólido plástico rígido se convierte en elijo»

,tioa (Hef. A-16 pás# 296 y 3015 Ref. A-28 pá~. 164).

También ocurre que si la verdadera función ootencial "F" tuviera

puntos angulosos, la envolvente "*£* sería discontinua (Ref. A-26 pá{j 310) (Ver

Fig. A-8 c).

Las ecuaciones anteriores en el espacio de tensiones se representan

por una piraniide exagonal (Hef. A-40 pág.n) de sección recta un exágono no re­

gular (Fig. A-7) y do sección por el plano S S ? otro exágono (?ig. A-10)(ten­

sión plan--) •

En la figura 4 se observan los ángulos que forman con la diaconal

orincinal las aristas do un ensayo de com >resión en un anarato triaxial 3 >S0=S.

y otro de extensión S<S 0*S^.

23

f DISCONTINUA

Fig. A-8

f ENVOLVENTE

S2 = S 3

S, =S 3

c : ~ A _ o

24.-

Es de observar que cuando 0 » 0 el criterio coincide con el de Tres

ca, y la sección recta tiende a ser un exágono regular. Cuando 0 » 90» la sec­

ción tiende a ser un triángulo equilátero (Fig. A-9) y la pirámide, con cohesión

nula, coincide con el primer ociante*

La ley del flujo se convierte en (Ref. .A-40 pág«13)

de? « (1 + sen 0}\

ae0 • 0

de^ = (-1 + nen 0) \

y en una arista de la oirámide, por la generalización de Koiter

(Hef. A-18 pfe.60)

de^ = (1 + sen 0) (}+/<•)

de5 «/* (-1 + sen 0)

de* s X (-1 + sen j )

2s de £ran importancia el que el incremento plástico de volumen es

positivo.

e » e.. » 2 #^# sen $

Otros criterios con rozamiento son las generalizaciones de loo de

Trenca y Vori risos, conduciendo a Pirámides de sección exágono regular y circun^

ferencia, respectivamente.

la generalización realizado por Druoker del criterio de Tresca(Bef.

A-8 pdg. 218) es la siguiente,

a ( sen 0) (3i-S3) + ( S1 + S2 + S 3 ) . K

K « función de la cohesión "o"

a » función de M sen 0 "

Druoker proponet

•a * a o n ^ K - ? c eos jjf r

3 + sen 0 3 + sen 0

25.-

El exágono regular de 'Presea queda así inscrito al exágono irreQ¿

lar de Coulomb (Fie?, A-11)

3n este caso la intersección de la pirámide con el plano S 3- di

fiere del de la Fi^. A-6, convirtiéndose en el de la Fig. A-10

La ley del flujo se convierte en un vector

3 ( 1 + son 0)\ 2 sen 0 5 - (3 - sen 0)

La generalización del criterio de Von !"ises debida a Drucker yv ?ra

ger ( Ref. A-?9 pág. 15^}-

a I. + yj_ s K

En deformación plana la elipse se desplana respecto la correspondiejn

te al caso sin rozamiento de la Fi£, A-6* (ver Fig. A-10)

La ley tensión deformación, denominada de Drucker y Praguer,queda

l O. .

e?.« A (a . d. . + y

Drucker y Praguer determinan los parámetros "a" y "K" obligando a

quo al particularizar para un caso de deformación plana coincida con el crite­

rio de Mohr Coulomb,

tg 0 3o

) 9 + 12 tg $2f Y^ + 12 *S 0

o lo que es equivalente

P 3en 0 Y 3 c eos 0 3 a w ' ' ' ' • a $ K » — "• m

3 + Sen^ 0 Y3 + s©n ~~f

La condición de deformación Diana geométricamente se expresa como

intersección del cono, con dos alanos determinados por la ecuación (Fig, A—1l)

p " „ 3 3 - o s ' = - 2 a y j 2

dentro de la hipótesis de plástico rígido.

26

MOHR COULOMB

VON MISES

TRESCA

Fig. A-10

MOHR COULOMB

GENERALIZACIONES VON MISES ^

GENERALIZACIÓN VON MISES —

DE DRUCKER

MOHR COULOMB

GENERALIZACIÓN TRESCA

COLEMAN

27.-

Itomos comprobado que esto equivale a obligar a que el cono sea ins

crito a la pirámide exagonal de ííohr Coulomb. Por este motivo esta particulari-

aacián resulta muy criticable, ya que concuerda muy mal con los resultados ex­

perimentales. 3in embargo es la que varios autores, como Seyes y Zienkievrics -

prefieren utilizar (Refte. B-41 y 3-53).

Más lógica es la elección de los parámetros "a" y "K" obligando a

que cono y -iramide tengan el mismo vórtice, y a que la circunferencia oase por

los vértices del exágono (?ig# 11).

Este procedimiento lo emplea por ejemplo Olszak (ñef. A-25 p%.155)»

Bishop (Ref. A-2 pág. 101) y la mayoria de los autores.

Las dos rosibi&idades según el radio de la circunferencia cea

2 \6 . c . eos $

3 +, sen 0

conduce a los parámetros

2 . sen 0 TT 2o eos #

(3 + sen fl) )1 (3 ¿ sen 0 ) / 3

De ellos suele tomarse el signo "menos" (circulo circunscrito).

A fin de adoptar el criterio de Mohr Coulomb a los resultados de la

experimentación existente en suelos, se han propuesto numerosas generalizaciones,

introduciendo la mayoria do ellas la influencia de la tensión intermedia "S2".

Sin apoyo experimental ni teórico Dahl y Voight (líef. A-6) proponen

una generalización anisotróüica del criterio de üohr Coulomb con cinco paráme­

tros en vez de dos.

V (a S x - b S y )2 • 4 . S ^ • c . S x • d . Sy - 4f

Más rigurosa e intuitiva es la teoría propuesta ñor Baker y Krizek

(Ref# A-1) para suelos anisotrópicos transversales, que incluyen cuatro para-

0o

metros " C . % " C nt"0 . " y w 0 % asociados con dos secciones o lanas

min ' max * r m m " .max '

"orincipales" del sólido, perpendiculares entre sí. Para otra sección se obtie

ne su cohesión y rozamiento mediante cierta ley, por ejemplo de tipo senoidal.

Las dos rectas usuales de resistencia intrínseca las sustituyen por

una superficie de coordenadas polares, de modo que queda un cono de sección cir

cular para los suelos isótropos, y de sección de huso para los anisótropos.

Suponen que la tensión principal intermedia cae en el plano -orine i_

nal menor, y no influye en la rotura.

Deducen que la orientación del plano de rotura depende de la de las

tensiones principales si el suelo tiene c « 0, ó » Oj y si se trata de un sae

lo general (c/¿0, 0 / o ) dicha orientación depende también de la magnitud de

la menor tensión principal. Confirma ademas la existencia de una o más aonas a

través de las cuales no pueden presentarse los planos de rotura, para suelos —

marcadamente anisótropos.

Coleman (Bef. A-5) introduce el efecto de la tensión intermedia,

buscando la expresión más simóle de los invariantes de tensiones que pase por

los 6 vértices del exágono de Coulomb (Fig. A-12)

tiene ol defecto de no resultar convexa, y nor lo tanto no cumplí

rá la condición de estábilidad de Brucker.

Lanize establece la relación (fief. A-21)

— ) « cte. í¡ h

?9.-

donde "m" lo deduce de sus experimentos (entre 0,1? y 1,73)y y gue

para "m=0" coincide con la generalización de Von Mises.

Malyshev basándose en el hecho de que las lineas de rotura no son

rectas limpias, sino quebradas con una dispersión de un ángulo "d" respecto al

plano medio, nropone la ley (Ref. A-2?)

i, j - 1, 2, 3

donde "A. ." son funciones definidas de " 0 " y "d". Para *'d=0" ooin

cide con Mohr- Coulomb.

Drucker ha propuesto la modificación de las generalizaciones de

Tresca y Von Mises a base de cortar el cono y la oirámide por los alanos ooqr

denados de i\odo que el sólido no resista tracciones (&ef# A-8'pág. ?18); asi

como también limitar la compresión máxima, de modo que el cono se cierre con

un casquete esférico (Hef, A-10 pág. 343).

30.-

4.2.2. Solidos rigidizables con rozamientos.-» "Cam Clay".

Se conoce desde hace tiempo el fenómeno de la consolidación de los

suelos arcillosos, y que es en realidad un proceso do rigidización, análogo al

estirado en frió de los aceros.

Shield propuso (2ef. A-18) como criterio de rotura la pirámide exa_

gonal de Mohr-Couloníb cortada por una base plana, admitiendo una expansión de

dicha función de rotura manteniendo el ángulo " 0 " y creciendo la cohesión " c

y alejándose a la vez la base plana (Fíg* A-13)

Anteriormente había propuesto Drucker (3ef. A-10), el rematar el

cono de Von Mises por un casquete esférico en lugar de con una base plana, y

expandiendo la función de rotura a base de alargar el cono alejando el casque

te esférico, pero manteniendo " c " y " 0 " constantes (Fig. A.-14).

Estas primeras sugerencias han sido muy elaboradas y perfecciona­

das en Cambridge por Roscoe y sus colaboradores, que han croado un modelo mate

mático de suelo conocido con el nombre de Cam Clafyt contrastándolo y apoyándo­

lo con una extensa y refinada experimentación con arcille normalmente consoli­

dada y ligeramente preconsolidada.

Admiten la existencia de potencial plástico y su coincidencia con

la función de rotura+ y por lo tanto la regla de la normalidad.

Como criterio de rotura aceitan el de Von líises (Hef. A-32 pág.566"

y 606), (aunque primitivamente escogieran el de Von Mises generalizado, Hef.A-31

pág. 214). 131 casquete esférico de Drucker lo sustituyen por otra superficie que

también es convexa y expande con el trabajo plástico realizado.

El estado del suelo se puede representar por un ounto en el diagra­

ma p - q - e

e » índice de poros

p m presión media » (S + S„ + S-)/ 3

31

s3*

S,/2~"s S 2 / 2 ~

Fig. A-13 Fig. A-1A

q= Mp

PARED ELÁSTICA

LINEA DE DESCARGA

Fig. A-15

12 #**

q m desviad©* • S * ~ S»

n * p / a.

Bl suelo so defino tan sólo por tros parámetros M - L - K 6 «©ají

M « ponáionto do la reota do resistencia intj*í»o«oa*«i-# i t «

3-*em #

L * índice do compresión do la arcilla

le « índice do entumecimiento

Las trayectorias do en ensayo triaxial están en una superficie de­

nominada do " frontera " do los estados ' posibles t por encima do la cual no

puedo existir un estado real. Dicha superficie queda limitada por la,linea do

estado orítioo ( flg* A-43) que SO proyecta en el plano p - q en la reota do %

aistenoia intrínsooa q • K p

Las ecuaciones de consolidación do Terzagbi

* o <* OL *» i wa

quedan proyectadas en el plano n o - log P " os decir, en el plano * q * Q %

por un ha» do rectas paralólas* De olla» la más alejada del origen corresponde

a la consolidación virgen iaotrópica que es la intersección del plano q * 0 con

la superficie de frontera. La más próxima al origen es la proyección de la linea

do estado orítioo» y las intermedias corresponden a consolidaciones anisotrópi­

cas, en quo el aumento de tensiones principales se hace en una relación fija -

n n » OtO .%'-•: 'v'J:-\:cV:- ' • '.•••.•*'•'

La linea do descarga

representa las deformaciones " e H elásticas o recuperables, y con ella se lle­

ga a los pimtos interiores quo corresponden a estados preoonsolidados.

Cuando la "Casi Clay" ha aloanzado una presión máxima " p n en su

historia la linea do estado critico fO se completa con la AF (proyectados on P*0

y A'lTon ol plano p - q) (Fig. A^l5)#Con una mayor consolidación se pasa a la

CEfS (proyootado on C*E*F*0 quo o» hoaotétioa do ía anterior) (Ref. A*»32 péf»

33.-

Esta nueva linea de estado crítico, que en el espacio dé ejes

S - S - S cierra la pirámide de Mohr Coulomb, tiene por ecuación (obteni

da por consideraciones energéticas, Ref. A-34)i

Po

n a p/q m M log e p

y su forma es apuntada, con un -Tanto singular anguloso en el eje (Pir;.A-~'í3

punto A*).

Posteriormente se ha desarrollado la "Cam Clay modificada" en

que se sustituye la anterior superficie por un elipsoide de revolución (3?i£.

A-16) de ecuación (Ref. A-32 pág. 549)

..2

- " ~15 >T

Pe K"+ n

que concuerda mejor con la experimentación. Para ello Burland ha sustituido

la expresión de la energía d ¥p » S. de.

i 1

por

d' }r o y(de1+ de2+ de^) + -^— (2 de1 - de? - de,)

Por último se ha reformado el modelo en la "Caín Clay modificada y

revisada" , Si motivo de ello es que la experimentación muestra (Ref. A-32 pág.

550) que efectivamente existe la anterior ñinción de rotura para deformaciones

volumétricas, pero no en lo relativo a las distorsiones, pues mucho antes de

alcanzarse el estado crítico, siendo todas las deformaciones volumétricas ecu^

perables, aparecen ya deformaciones angulares plásticas.

Para solucionarlo se ha añadido una nueva linea de rotura, que pa­

ra que cumpla también la ley de la normalidad debe ser paralela al eje "PM(Pi.:%

A-17), y que es asimismo rigidizable. Para trayectorias tales como la BD exis­

te una rigidización del segmento CE hacia el C'E'que como máximo llegaría al

punto F, y sólo se oroduce distorsión plástica (que puede calcularse en función

de la oendiente " n " d© OC), Una trayectoria como la BG producirla una ri^idi—

3¿

TRIAXIAL

DEFORMACIÓN PLANA

S 2 * S3

Fig. A-16 PRISMA DE MOHR COULOMB CON ELIPSOIDE DE LA CAM CLAY MODIFICADA

P - * — « • A' A

Fig. A-17

sx* sy . p 2 " r

/ /

/ i MOHR COULOMB DEFORMACIÓN PLANA t

1

INTERVALO

VALIDEZ

PLANO_S|05(S^Sy)

o J - S t n . 4 Ir c . 5 f 5 'sx*Sy)

V 2(1*Sen.<f),S* V

Fig. A-19

3f*~

zación según la Cam Clay modificada, hasta la linea A*C"E V ©on deformaciones

plásticas volumétricas y angulares que pueden calcularse según dicha teoría*

Si la trayectoria pasa por w C % punto singular de Editar, y está dirigida sas­

tre las normales a las dos ramas de la función de rotura, se produce vm .*ÍQj¿-

dezación doble hacia A*HJ y los incrementos da deformación plástica son combi

nación de los anteriores*

El problema de deformación plana ha sido estudiado también por

Rosco*y Burland particularisando las relacionas increméntales tensión dsfoj*

maoión para esté caso en la hipótesis de plástico rígido (deformación elást¿

oa nula, k « 0 ). La linea crítica es una elipse, intersección del elipsoide

con un plano conjugado con la dirección del corrimiento impedido (fig# A-1#)j

dicha elipse en @snéral no pasaré por el vértice del elipsoide y ;en general

en un terreno real en estado de deformación Blana no se puede al cansar la con

dición de consolidación ieotrópica*

36*-

4.3. Sólidos sin potencial plástico

Los criterios anteriormente expuestos fallan al contrastarlos &x$&

rimentalmente, esencialmente debido a que la dilatancia o incremento de volúiaen

relativo es en la realidad menor a la predioha. Para solventar este inconveniej^

te hay dos posibilidades! una os modificar los criterios dé rotura conservando

la teoría plástica como se expuso anteriormente, y uno de sus frutos fué la Cam-

Clay de Roscoe y sus colaboradores. La otra es mantener Mohr Coulomb u otro crj^

terio y romper con las hipótesis hechas| ello implica rechazar la ley de la noj*

malidad que era una consecuencia lógica del oriterio de estabilidad de Drucker

(pág.12), pero se recuerda que Handel demostró (Ref. A-23) que dicho criterio es

suficiente pero no necesario para materiales con rozamiento.

Dentro de esta segunda posibilidad Haythomwaite (Ref. A-14), Geniev,

Shunsuke Takagi (Ref. A-41), Josseling de Jong (Ref. A-19) y Mandl y Fernandas

Luque (Ref. A-24) rompen la hipótesis de Saint Venant de coincidencia de ©jes de

los elipsoides de tensiones e incrementos de deformaciones( denominada "isotropia**,

aunque Mandl afirma que la no coaxilidad es compatible con el verdadero concepto

físico de isotropía). Según los últimos autores en un terreno granular no_ dilatan

te en deformación plana el ángulo entre ambos elipsoides es +, 0 / 2 fy de las os

racterístioas de velocidades una coincide con la de tensiones y la otra m$ según

Josseling de Jong el ángulo entre ©lipsoidespuede tomar cualquier valor interme—

dio 9 ¿ ^ / 2 y coinciden ambas características»

Otro camino es abandonar directamente la regla de la normalidad y la

sufosición de la existencia de un potencial plástico, punto que según Scott (Ref.

A-35 ]?%• 16) no está claro aún. Geiringer (1.930) afirma qud el plano de rotura

no es aquel en que la movilización de M # w sea máxima, sino el plano en que exig

te discontinuidad de deformaciones, como es lógico, y este plano se demuestra que

coincide con una línea de extensión cero y con una característica del campo de vj»

37.*

locidades. Shield (1.953, Ref. A-38) extendió la teoría a un material con roza­

miento n 0 " obteniendo sus ecuaciones diferenciales, suponiendo que dichas ca­

racterísticas de velocidades coincidían con las de tensiones, según indica el

criterio de Mohr Coulomb,

Bent Hansen (1.958» Ref. A-15) da un paco más, faltando ya a la ley

de la normalidadt señaló que en principio no tienen por que coincidir ambas fam¿

lias de características, lo cual conduce en definitiva a que el ángulo de dilatan

cía w v * sea diferente del ángulo de rozamiento interno " 0 ". Los planos de ro­

tura formarán con las direcciones principales de deformación un ángulo de 45VJL v/2

en lugar de formar 45fiJ; $/2 con las tensiones principales.

Pariseau (1.966, Ref. A-26) vuelve sobre el tema, recalca el signifi­

cado de dilatancia del ángulo " v n y expresa las relaciones tensión-deformación

en dos dimensiones para este tipo de material plástico—rígido de v=/ $,

Bransby (Ref. A-4) es el primero en aplicar este raddelo matemática de

terreno plástico rígido de rozamiento M $ M constante y dilatancia H v n también

constante, mediante la teoría de las líneas características. Contrastando los re­

sultados con ensayos en modelo reducido, llega a la conclusión de que los campos

de veloáidades obtenidos no concuerdan en detalle con la solución exacta, en pri_

mer lugar porque no ha considerado las ecuaciones de equilibrio, y en segundo lu

gar t>orque en el modelo reducido " $ M y " v M son variables} no obstante hay un

acuerdo cualitativo notable, en especial en lo relativo a las deformaciones, y me

ñor en lo relativo a tensiones.

A, Serrano, con la colaboración de J. Martínez,ha desarrollado una gg

neralizaoión del método de oálculo de las características en que tiene en cuenta

la compatibilidad de deformaciones mediante las ecuaciones del campo de veloci­

dades, y el equilibrio gracias a Lis ecuaciones del canrao de tensiones. Además con

sidera variable M 0 " y " v " según leyes obtenidas experimentalmente. Este méto­

do puede definirse como el óptimo o más perfecto dentro de las hipótesis establecí

38

5. APLICACIÓN A LA MECÁNICA DEL SUELO ——«—— ni • » « • » — » — — — • » » — W i i M in •mm—mmmimmmmtmmmm

5.1# Discusión

Los criterios de plasticidad se crearon en principio para materia

les diferentes de los suelos, y poco a poco se van adaptando a éstos, Be los

criterios clásicos el que más se asemeja a la realidad es la pirámide exago-

nal irregular de Mohr Coulomb*

Los criterios de Tresca y ?on Sises generalizados oon rozamiento

tienen una contradicción teórica señalada por Bishop(Ref, A-í? y A-3), y es que

para 0 « 36,9C ©1 cono correspondiente es tangente a los tres planos coordena­

dos, y para valores mayores de " 0 " existirían zonas elásticas sin rotura es­

tando el sólido traccionado, lo cual no tiene posibilidad física en un material

granular.

Este defecto teórico no se da en Mohr Coulomb, pues al tender M j# w

a 90° el prisma hexagonal llega a aoinoidir con el triedro de ej©s(Fig, A-9),

Además de ello la experimentación acumulada, tanto en arcillas como en arenas,

indica una sección recta de la función dé rotura del aire de la ley de Lomize

(Fig, A—12) que se parece esencialmente más a Mohr Coulomb que al circulo de

Von Mises, aunque denota una pequeña influencia de la tensión principal inter­

media (Eef, A-35)»

51 único gran defecto de Mohr Coulomb es por tanto que predice una

dilatancia excesiva, obligando a que el plano de rotura sea una característica

de tensiones (Ref, A-33, pág. 165).

Ello se solventa manteniendo dicha función de rotura, pero cambian

do la ley de la normalidad y la ley tensión-deformación del modo indicado en los

apartados 4.3* y 5.2. Con ello la dilatancia depende de un nuevo parámetro w v M

característico del material e independiente de " $ ",

39.-

Mandl y Fernández Luque añaden dos falsos nuevos defectos a Hohr

Coulomb (Ref. A-24 pág. 282). El segundo consiste en que la disipación de enea?

gía toma el valor

o . otg # (®4 - O

y cuando " o - 0 M resulta un trabajo nulo, lo cual es falso, Parieeau (Ref»

A-26, pág 316) explioa este fenómeno indicando que se obtiene un trabaje nulo

gracias a que la componente normal, debido a la dilatanoia, da trabajo negativo

igual y contrario al desarrollado por los esfuerzos tangenciales (realmente el

trabajo no debía ser una suma algebraica, sino la sucia de los valores absolutos

de los productos de fuerzas por desplazamientos, ya que un sistema ftriccional se

opone intrínsecamente al movimiento, tanto si dilata como si contrae)» Este se­

gundo defecto es por tanto consecuencia del nrimero, de la dilatanoia, y efect¿

vamente en el modelo propuesto con v /» 0 la disipación de energía vale

c eos $ + (3 + Sp) (sen v - sen 0) (e4 - es}- "•• •""• ' ' "'

sen 0

que no llega a anularse cuando c« Ó.

Por último Mandl señala la no coincidencia de los planos caracteres,

ticos que forman ángulos de 45Q± $/% eon la tensión principal, con los planos oa,

racterístioos de velocidades de un material incompresible* que va» a 45Q# Esto es

de nuevo consecuencia también del único defeoto señalado»

Respecto a la zona de equioompresión puede decirse que la **Caai Clay

modificada", cerrando la pirámide de Mohr, ha supuesto una gran incorporación a

la plasticidad aplicada a los suelos arcillosos» Queda como desarrollo ñituro de

esta tesis la incorporación de dicha teoría al programa de cálculo electrónico -..

confeccionado, tanto para el estudio de taludes, como para otros problemas»

Para arena el estado actual de nuestros conocimientos está más atra­

sado, siendo la teoría de Rowe, la "Grant Gravel" de Schoffield (Ref• A-37)y le®

40.«-

modelos no potenciales de Serrano los más prometedores.

Por último queda prácticamente en blanoo el tema de las arenas den

sas y las arcillas preconsolidadas, que rompen con una resistencia de pico o -

punta para bajar luego con grandes deformaciones a una resistencia residual

mucho menor. Físicamente se explica ésto como un desengrane de las partículas

de arena, que mediante esa dilatanoia fuertemente positiva bajan su densidad

para convertirse en arma suelta menos resistente. En teoría de plasticidad es,

te tipo de terreno es "reblandecióle" (pág. 12) y no cumple el principio de es,

tabilidad de Druckor, por lo que su tratamiento matemático es mucho más compl£

jo y no ha sido acometido OOn éxito hasta el día de hoy.

Debe reconocerse sin embargo, lo lejos que se está aún de una ex­

plicación satisfactoria del comportamiento del suelo, pues se han dejado a un

lado variables tan influyentes como son la viscosidad, las discontinuidades{

y heterogeneidades del suelo, las grandes deformaciones, la elasticidad no -

lineal tan marcada en las arcillas blandas (Kondner) y la anisotropía (Ref. A-

27). Estas dos últimas por si solas ya explican muchos fenómenos sin necesi­

dad de recurrir a la plasticidad.

41.-

5.2. Relaciones increméntales tensión deforroaoión propuestas

Se ha escogido como más adecuado para su empleo en esta tesis el

criterio de rotura de Mohr Coulomb, con las leyes tensión-deformación propuejj,

tas por Parisetu para problemas planos, las cuales se han desarrollado compljg,

tamente para cuerpos elastoplásticos perfectos.

Estas leyes mantienen aún una relativa simplicidad que las hace -

abordables por el ordenador electrónico, y tienen como limitación o hipótesis

simplificativa el que el rozamiento " 0 M y la dilatanoia M v " deben ser fi­

jos durante el proceso de carga.

El modelo matemático es por tanto análogo al empleado por Bransby

(Ref. A-4) superándole por tener en cuenta el equilibrio de tensiones además

de la compatibilidad de deformaciones, y por considerar el suelo elastoplás-

tico en vez de plástico rígido.

El criterio de rotura d© Mohr Coulomb en el espacio se indioó(pág.

21)es un prisma exagonal irregular. Su intersección con el plano S. » 0 (ten­

sión plana) es un exágono (Fig. A-10 pág. 27). La intersección con el plano

S 3 . m ( S1 + S 2 )

que es el caso de deformación plana, da un exágono muy alargado (Fig. A-18),

que cuando el plano anterior pasa por el vértice del prisma (si m » 0,5 3 6

si c o 0) degenera en dos rectas en ángulo agudo.

S 1 ~ S 2

2

que equivalen a

+ —*_-— sen 0 m c eos 0

\ / 2 N S - S ) 2 S + S JE. 5L )+ t • x y sen 0 * c eos ) xy

2

42.-

Dichas rectas ouando n c - 0 " son válidas en elaatoplasticiáad 1 - sen tf

para un coeficiente de Polsson m } — — - — — ; si es w m w menor la in-2

tersección será la del plano anterior con otros dos de los planos del prisma

exagonal (Fig. A-19 y A-4 pág. 16). Si es " c *¿* 0 w el intervalo de vallas*

de " m H es aún ma£or, aunque dicha validez depende también de la presio» mg,

dia.

*

0*

15*

20C

25e

30G

35°

45°

90fi

TABIA I ESES! SCC—B5322S53

m ^ ( 1 - sen 0 ) / 2

0,5

0,371

0,329

0,288

0,25

0,214

0,146

0,0

Pasemos a la obtención del vector de incremento de deformación Ae.

Dicho vctor tiene tres grados de libertad* el módulo y dos cosenos directores.

El primero se deduce a partir de la función de rotura o del incremento de tra­

bajo plástico realizado. Los cosenos directores quedan definidos por la regla

de la normalidad.

Si se suprime la existencia del potencial plástico quedan libres los

dos últimos grados de libertad o parámetros. Uno de ellos puede determinarse -

obligando a que la dilatancia sea prefijada, pero el otro, en un problema gene­

ral de tres dimensiones queda sin definir.

Sin embargo la condición de deformación plana permite fijar ese úl­

timo parámetro. La ecuaoión a aplicar seríax

43.

Dicha ecuación es sumamente compleja, pero existe la feliz ooinci

dencia de que al utilizar el criterio de Mohr Coulomb se verifica a la fuerza

e* « 0 , se trate o no de un problema de deformación plana, oon lo cual esa úl

tima condición se cumple automáticamente sin nuevas complicaciones matemáticas.

En la pág. 20 se vio cuando coinciden en deformación plana los cri

terios de Tresca y Von Mises, y en la pág. 26 cuando ooinciden Mohr Coulomb y

la generalización de Drueker de Von Tuses. Bichas coincidencias radican preci :

sámente en obligar en el circulo de Von Mises que la normal cumpla ef - 0 y por z

tanto se obtiene la tangencia de éicho circulo con el exá^no de Tresca o Mohr

Coulomb,

En esto se ve una nueva desventaja al criterio de Von Mises, En de,

formación plana se trabaja con dos generalrices del cono para las que el coefj,

ciente de Poisson H m " es mayor a 0,5 (ver Fig. A-10) lo cual sólo tiene senti

do físico para un cuerpo plástico rígido, a no ser que se obligue a cumplir la

complicada ley e^ + ©| « 0 •

Por el contrario las relaciones de Drueker y Praguer aplicadas al

criterio de Mohr Coulomb, son lícitas en elastoplasticidad para valores del coj|

ficiente de Poisson mayores a los de la tabla I, que son los usuales en la prác

tica.

El vector de incruento de desplazamiento e vendrá definido por lo

antes dicho por los dos parámetros M X" y " J< "•

•? • íl ( 1 • sen $ ) • e| - >í ( -1 •»• sen # ) . e^ • 0 - •? » ©?

y al ser \ ¿ fí no se cumple la ley de la normalidad.

Pasando a unos ejes cualesquiera

e p « • '' "• * • . eos 2 a x « «

44*

0- + ©p 0,, •"" ©p £ * ,i' -P. -i oos 2 a

6 •» ©

e » • sen ¿ a *y 2

Efectuando el cambio de parámetros

f 1 + * \ \*( 1 + sen 0 ) + jí'(-1 + sen 0 ) • 2jl* > )** *

o sea,} 1 + sen 0

Y*( 1 • sen 0 ) -,M*(-1 + sen $ )« 2A > . ^ r- 1" ..A

1 - son jo

Resultan la expresión de las relaciones tensión-deformación de

Pariseau (Ref# A-26, pág 313)

(•< + eos 2 a ) P A x 4G

e^ «.-i- (*- eos 2 a ) y 4&

• • }

e*_ « — — sen 2 a xy 2G

S - S siendo i eos 2 a • .. n ^r

2 l j 2

B G

2 ( 1 • m)

El incremento de volumen est

e p » e^ • ©^ • - °< * * 2G

Luego el parámetro " <* " es la dilatanoia " sen v w

Para sen v * sen 0 se tienen las relaciones de Drucker y Praguer

(Ref. A-7) pue» se cumple la ley de la normalidad.

Si el cuerpo es elastoplastico, sumando los incrementos de defor­

mación elásticos en deformación plana se llega at

4 5 . -

\ ( s - s ) 20 A©„ «AS (1-m) - ra AS • ( ° {+ X ¿J )

* X y 2 ( 2 > J 2 )

A ( s - SÚ ) 2G A e „ « AS„ (1-m) - m As + («(.* * __* )

y y 2 ( 2 y j )

2G A a w « 2 ^ t + A — S L

Las dos primeras ecuaciones pueden transformarse enf

• • S - S

2G <A» - A e ) »AS > 4 S +¿ * ? x y x y 2 ^

20 (Aex + Aey) tfAs^ + AS y ) (1 - 2m) + X°<

Diferenciando la íbnción de rotura se t iene

(S -S ) A J 2 i * ^ (¿Sx - A S y ) + 2 t ^ A t ^ -•«- V J 2 sen 0 (¿S^. +AS y )

Despejando AS e AS del sistema anterior y entrando en la úl'ti-x y

aa ecuación se puede determinar el valor del parámetro " i w

20 ( S -S _ •\ « < ((t ¿e + •* ' (Ae -Ae))0-2ra)+ Vj0sen J2f(¿e_+ Ae )

VJ¡ (1 -2m+<>lsen0 ) ( ^ 2 * y 2 * ^

Entrando con dicho valor de "A " ®n 1GS expresiones rntee obteni­

das de A© » y resolviendo el sistema en 3 se llega a las relaciones tensión

deformación, que se expresan matricialmente del modo

A S » ( D ) 4 e (Ver apéndice Bf pág. 10)

S* \ $ D11 D12 D13 j ¡ «x

S y l- f D21 D22 D23 < í e y

V D31 D32 D33 *«y

,, sen 0 4 san v 1 • 2m ( S - S

2 2 B V ^ Z y B J 0 ( 2

.. sen 0 + sen v 1 - 2m ( S - S D « 1 + .-L. 4. v ,——, (s -S ) - (—*• %

22 B 2 B VJ2 X y B J 2 ( ,2

. son 0 - sen v 1 - 2ra ( s ~ - s

B1 5 * —1+ -w~ — (S -S ) i, i i + ———. ( v, 1 ¿ * * y 2 B / Jg B J2 ( 2

1 , sen 0 «* sen v 1 «*8B ( S « S

2 1 T ' ' 2 B Í T r B J2 ( 2

1 «• 2m « D„ » 1 - — — . t

3 3 B J 2 *y

1 - 2m t sen v D - a - t (S -S ) - JBL—._.

3 ' , 7 a , 2 B ' J 2

* 1 - 2m i sen # Bu - - t w (S -fí ) — — - JSL

31 v ! ? 2B J2 B \¡Jr

1 - 2ra t sen •

¿i xy x y ^ j . B ygr-.

1 «• 2n t sen

32 jy * y a j B VJ2

-' 2 ( 1 • • )

Observase que la raattflc no esv aittéwia** debido a. la iaea&eteiieia

do potencial plástico (Hef. A-11, pág. $§)f por no ot»pllrae la ley de la iMg

malidad#

En el caso partíanla* sen fS • sen • la raatriss es BÍmé*trioa# y

resultan laa relaoionee de Druoker y Praguer ya obtenidas por Lorente de Jfo.

(Sef^lB ) .

• • *

Apéndice B

ELEMENTOS FINITOS

M,ll,,¡B»nij.iLHjpi W..IHI.M mmmm<w..mB.!L>> .n.m« ±» wm <"'•'. t..m >mm* 1 Bm M OaOOTl

mmmmmmmammmmmm>.mm Tm®

:ÍI*«*

I Q l CE wmmmmmmmmmmmm

1#~ Generalidades • • 3

2,~ Fundamento teórico

2#1,~ Hipótesis y método 5

2,2,«* Formulación 8

2«3«* Iquivalencias del método 15

3r- Cenrerienela y unicidad, r* 1$

4#- Aplicación del método*

4.1 #~ Tipos de elementos,

4 * 1 * 1 • -* Problemas plano® 26

4#1#2»*» Problemas tridimensional©© 37

4*2 ,~ Condiciones do contorno 39

4,2,1,~ Introducción de las condición©© de contorno

4»2,2,* Prescripción de corrimientos* 41

4*3*» Resolución del si eterna. Particiones» 45

5#«* Introducción de la plastif ioaoién*

% 1 * ~ Generalidades 5®

5.2 •- Método inoremental de la matriz de rigides tangente. 95

6,~ Programa de cálculo electrónico 53

6*1,~ Variables escogidas• 60

6,2.- Organigrama <4

6,3#~ Manejo del programa, 67

> • * • '

4* M * mmkmmmmmmimmtm

..*im ™ . . :MM$ém^<kSJ®. ..^AMA^^^f

El problema de comportamiento de un sólido ante ..una rm*

'pié de fuerjs&s que lo solicitan» representado por un' sistema de' w ...-•;

ecuaciones diferenciales» solo puede resolverse mediante ejcpréeij.

nes analíticas en contados casos» resultante por tanto necesario* 7.

recurrir a métodos numéricos aproximado®.

La aplicación de estos procedimientos numéricos ha dado

hoy día un salto discontinuo mercet al desarrollo del cálculo el©£

tronico, al cual s© acude no se lo por la imposibilidad de la obtej|':

ción de la solución exacta del problema, sino porque ésta» ja obt£ ,

nida» resulta en duchos casos inmanejable dada su complejidad.

Un perfeccionamiento de los métodos de diferencian -fini-*-..

tas lo constituye la disoretiJ&aeión del continuo en •elementos-fini'

tos» de modo que en las earáeteristicas de los mismos- (matrla- d#- **.':•

rigidea) se introduce ya ana integración parcial dé las' ecuaciones--•

diferenciales» 11 resultado, un sistema de ecuaciones lineal©©» cfia

vevge hacia la solución exacta al disminuir el tamaSo de los ele<*~.

mantos» y converge de un modo más rápido que con la aplicación \&#

diferencias finitas»

Otras ventajas de este método de elementos finitos res***

pecto las diferenoias finitas son, según apunta Zienkie^icB» su ***

principal expositor (Ref. B-§2t pág* l60)»la facilidad con que #© *•

introduce la anisotropia y la no homogeneidad» la posibilidad dé ~

cambiar la forma y tamafio de loo elementos adaptándolos a contor-—

4#

nos cuales^aiera y a variaciones rápidas de la función buscada.

Este método fué ideado a partir de los de cálculo raatrl

cial de estructuras (Ref. B-46) y enfocado primeramente para la r

resolución de problemas elásticos, facilitándose con él el estu—

dio de nóliuos heterogéneos, anisótropos y de forma compleja. P.o£

tcri órnente se ha perfeccionado y generalizado en varios sentid es;'

extendiéndolo desdo, el método de las deformaciones al método de —

las tensiones (Ref •B-2lfB-38>B-23)? extendiéndolo al estudio de cam­

pos no tensionales (Ref, 3-52,Cap. 10) y lo que tiene más interés -

para nosotros, adaptándolo para el tratamiento de problemas no li­

neales» Principalmente se ha trabajado para tener on cuenta los —

efectos dinámicos, y eon menos profundidad, para resolver proble—

mas plásticos y de grandes deformaciones.

Sin embargo, puede decirse oue pese a existir ya bastan­

tes trabajos publicados relativos a estos problemas plásticos y no

lineales, el tema está aun en sus comienzos, debido a las dificul­

tades que se presentan, y nuestro deseo es realizar una modesta —

contribución que facilite de un modo práctico la aplicación del né

todo de los elementos finitos a la plasticidad contenida, emplean

do las teorías plásticas más rigurosas.

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FIKITOS

B#2#- Fundamento teórico *

B.2.1,-» Hipótesis y método»-'

a). Se descompone el continuo en utia serie de elemen-

tos por unas lineas o superficies imaginarias. Normalmente se—*

rán triángulos o cuadriláteros en problemas planos, o tetrae­

dros o exaedros en el espacio.

b)» Dichos elementos se interconectan en un número fj.

nito de puntos nodales seleccionados situados en sus contornos,

(normalmente loo vértices» on caso de que los elementos sean po

ligónos o poliedros)»

c)» Los corrimientos de dichos nodos constituyen las -

incógnitas básicas del problema» Normalmente serán ? incógnitas

en problemas planos y 3 en el espacio. Sin embargo, pueden eonsi

dorarse corrimientos generalizados tal como sus derivadas o com­

binaciones de las mismas5 este es el caso de la aplicación al —

cálculo de placas, en que las incógnitas son la flecha y las dos

pendientes (derivada de la flecha respecto ambas coordenadas)»

d)» Se crean una o varias funciones en cada elemento -

que definan univocamente el estado de corrimientos en función de

I03 corrimientos nodales, por ejemplo del tipo u ± =<a r y^ z.

La elección de dicha función es arbitraria, y a medida

que sea más compleja y con más grados de libertad se convergerá-*

más rápidamente hacia la solución exacta (aún con pocos elementos

de gran tamaño)»

6# —

Esta función, sin embargo, no es libre? debe ser con­

tinua en cada elemento, y de un elemento a otro a través de los

nodos que los unen. Por otro lado el numero de parámetros & T *-

de la función será igual al número de ^«'¿oe de libertad del —

elemento (número de nodos por los corrimientos de cada uno).

e). Esas leyes de corrimientos definen las deformaci£

nes de cada elemento y conocidas sus propiedades reológieas qu&

da determinado el estado de tensiones en los mismos y en sus oojí

tornos.

f). Bn los puntos nodales se sitúan unas fuerzas fic­

ticias (tantas como grados de libertad tiene el nodo)que equili.

bran o sustituyen a las tensiones que actáan sobre el perímetro

del elemento, así como a sus fuerzas de masa y fuerzas exterio­

res. g)• Expresado el equilibrio de los nodos en función de

sus corrimientos incógnitas se constituye un sistema de ecuacio­

nes lineales en sustitución de la ecuación diferencial del pro­

blema.

h)• Bn aquellos nodos del contorno general del sólida

que deben cumplir ciertas condiciones (desplazamientos prefija­

dos) se sustituyen las ecuaciones de equilibrio por dstas.

i). Hesuelto el sistema de ecuaciones lineales y obte

nidos los corrimientos de los nodos^a partir de los mismos se —

obtienen las tensiones en oada elemento.

Tw

El método, como luogo se indica, equivale a minimizar

la ®mr&£& potencial del conjunto, 31 m mini&iea otra función,

empleando como incógnitas unos desplazamientos generalizados, •*

pu#den tratarse prebléisas de campos diferentes del e lást ico, a¿

mo son redes de f i l tración, propagación de temperatura* oanipas »

nagaétloos y sXiotrloofif eto« (R0f.B^2fCap« 10j Eef•B4tf pag#. .1Í01)

8.-

B.2.2.- Formulación.

El desarrollo matemático de lo que se acaba de espo»-

ner es el siguiente i

-»•

Sea d_ el vector de desplazamientos incógnitas de los

nodos de un elemento. El corrimiento f de otro punto queda defi

nido por la función H

f * (N) x d (1)

En el problema plano que aquí se trata se lia tomado •—

el caso más simple de elementos triangulares (fig. B~i)«

1 2 3 (2)

v - a, 4- a x + a- y -

Particularizando para los tres vértices se tienen 6 ecua.

clones de laa que se atienen lo^ 6 coeficientes a± en función -

de fos corrimientos incógnitas d0. Por tanto el desplazamiento -

de un punto cualquiera f * (uf v) puede expresarse en función de

los corrimiendoo nodales d « (u.., v1, u-, v2, u~, v>) a través ~

de la matriz 5 « (IL, N?, K^) donde EL son submatrices de tamaño

2 x 2 •

Derivando los corrimientos se obtienen las deformacio­

nes e

e » (B) d (3) e

Basta para ello derivar la matriz (N)

9 -

Fig. B-1

Fig. B-2

hr-

b

Pin R-" í

tn nuestro .oaae & m (#^# «. f « ) * (J3i* t *IX*r:-;

% ^ , - " • - •

^-^««^ 4 **2U) y por »or £ lineal qu#<la • 00» valoree M&*t*fr*

tea en cada elemento. El terreno en que se exoara nuestro ta~~

lud, debido a su peso propio no tiene una ley lineal de tensi£

nea, sino que acta es escalonada.

Definidas las características realógicas.de cada ele

méate por su matriz (B) las tensiones en el mismo ?t®mn dadas

.pon

S# « (D) (e ~ ^ > (4}

Siendo eQ l a s deformaciones i n i c i a l e s , térmicas, eto-

Aquí ee vé l a eenoil les oon#u# pueden íntrodueirs t l a

anieotropia y la-no homogeneidad t eiapiemente variando ; es ta -¡as**

t r i a (£)« Sin embargo no es tan eimple oomo i tó lea ¡peaidewitó -

(re£# B-$2* p® # 16©)» puee 41 mismo (Bef. • B*#jkpsg» 25^);#e!l»tó;'

l a neeesidad de que Xa» tranaieXenes d e u n material'•'•*••'•otro* no **;

ee haga fcrueeamente y ee afina l a siaila en e l entorno*

Bn el'eae© p-Uüno ee t iene t

Un cuerpo eon anieotrepifctransvereeit en t ree diffl n»io«

nee tendrá una trntriz 3) del tipe»

0 X

#y

~xy

% »

Szx .

,'

X9

s.

'11 C '12

1.1

'13

'13

>33

0

0

0

J44 Sime-ter, 0

0

0

o

0

44

. • - ' • "

0

0

0

0

2 (ct1*e12)

r i

X

- SL, 1?

B m •••

T SEJE

M

que en tensión plana se convierte ©ni

n a $u 0 I

0

t

0

0 §1 *na|)

( * _ •MMMWIMMMIWnllMt

2 m

siendo loa cinco parámetros del terreno»

E^ « módulodo Toung en direoelón horizontal 3$r

E- = módulo do Youag en dirección vertical xa

«, . coeficiente de Peiaeon en e l jlaao fcariacntel xjr

«2 ~ eoef 1 siente de Poisscn en el plano vertical xs

&2 « modulo de deformación transversal en el plano sos

n *• %

1, g s= « I N W J L M I ao o© independiente*

1 2 ( H ® ) 1

En deformación plana se tienes 2

S, 3)

t i ' 4 *$*) (1 **®4**£ n nip )

a O - n * 2 ) a«2<1**1> a i (Hi) (1 « n2}

0 0

0

Puede simplificarse esta ultima expresión eenvartiln»

dola en la d© tensión plana con loo valoree ficticios* (lef • B»45t

i*ag# 74). t

n2

a'

ss

15

-

3L

1 *» m

1 • n c

, lE

1

2

1 «• n

1 ** si-

* 1— n &¿

(1 4 m4)

1 *» n w-.

Ja determinación de las fuer&aa equivalentes P # apli­

cadas en los nodos se puede hacer aplicando unos desplazamientos

virtuales en dichos nodos e igualando los trabajos interno y ex-

+•«*<•»»» A J^A Tp JJ^ •*-.-..».*»•»*•.< J**»<%«t Q o « 4»T « o w - f m a + TiA. ^¿h I o n «f 13 &*»<&&.& fÜfi

I. .Jl'HWP

masa P y dé las fuerzas exteriores en e l ooni^mió fi"* «WM¿i

verse en diversas obras (Bef. B-K» pag« í€f'Bmfé•'•'b^t'ii&i'ty&tí

Be£, BH9b'pag« 32)*

-Be este-modo se l lega a* • .-..

3T M(*)' (») (B) ^ fa - |(B) (S>) é dv - / (* )** dv-W (í^: f

*]tlí)^»g,d (área ©enterae). ( ! ) •

. Ci^a interpretación se eimplifiea ai- sé- llaiaát;:'",'•'

"<li);*./0)*lí^'':>).'«r-- (*)

matriz de rigidea del elemento.

F ^ • - | 0 l ) ? D J « r (7)

'fuerssaa debidas^ a la masa,

Í 6 0 - ^ ( B ) » Í ; . <•)

fuerzaa.debidaa atenalone® inieialee* ".

'R » J (I) g d área (S) ^ ¿ /

fuersae exteriores en ©1 contern®.

Así ee v# fáeilmente que ee na eetableeid© la cendl-»

eión de equilibrie#

F# » <Ke) d ~ F ^ - F 0 O - S t (10)

En nuestro eaao de probleíaa plañe Fe tiene 6 eerape—*

nentee y deben obtenerse en eada elemente la» uatrieea de ri$&-

dess BEB de tamaño 6 x 6, la de fuerza deformación BD de tamaño

6 x 3 ai hay tensiones i nié lales , y la de tensión corrimiento-

BD de tataáfto. j $ g para que una vea obtenido© le® deapla^aaii^i

tos nodales (^calcular a partir de e l los las tensiones en e l -

sólido*

13.-

En cada elemento se obtienen tantas ecuaciones como -

grados de libertad tiene y expresan las fuerzas que hay que apli

car en sus nodos para mantenerle en equilibrio. Si se suman toa­

das las ecuaciones correspondientes a un grado de libertad de un

nodo y que son tantas como elementos confluyen en él, se tiene -

una ecuación que expresa el equilibrio en dicho nodo y cuya e s ­

tructura es igual que la ecuación (10)#

Se obtiene así un sistema de ecuaciones lineales que -

representan el equilibrio en todos los nodos y cuyo número es —

igual al producto del n^ de nodos por el de grados de libertad -

de cada nodo, y cuyas incógnitas son los desplazamientos de é s —

tos. Ello equivale a tratar con la ecuación (10) todo el sólido,

siendo ahora (K) la matriz-, de ri&idez del sólido entero, que se —

forma por superposición de las matrices de cada elemento. Se de­

muestra (Ref. B-15, pág* 20) que dicha matriz es simétrica y pos i

tira definida. (Ref, B-6, pág. 941), cuando existe potencial elás tico ó plástico*•

Si dos nodos "i11 y n¿n no tienen ningún elemento que -

los una, el término (o oubmatris) iL,. de la matriz total (K) de­

be ser nulo. Si no es asi K. ¿ se obtiene por adición de los tér­

minos (o submatrices) K|j correspondientes de todos aquellos ele

mentós a los que pertenecen simultáneamente ambos nodos wi M y «— H 4 «

Por ejemplo, en el problema plano con elementos trian­

gulares la matriz do rigidez del elemento (K ) tiene de dimensio

nes 6 x 6, y está formada por 3 x 3 submatrices de 2 x 2 cada —

una. Esas submatrices de 2 x 2 relacionan cada nodo con otro o -

consigo mismo y dentro de esa submatriz cada grado de libertad o

corrimiento de un nodo con cada grado de libertad del otro. En el

sólido total la matriz K está también formada por submatrices —

14***

(K^.) de 2 x 2. Si es i » j relacionan un nodo consigo wí®m• W

se obtienen por suma de tantas submatrices como elementos ro<

deán a eoe nodo» Si i^j se obtiene por suma de do© submatrices.

K de 2 x 2. do los dos elementos que hay a ambos lados de la «—

recta i;}*

El significado físico de un término JL , es por tanto

el siguiente. Si se obliga al sólido a que mantenga inmóviles -

todos sus nodos, menos el "i" al que se aplica un corrimiento -

unidad, la fuerza que aparecerá en el nodo " ¡ n seré " L ^ , D i —

cha fuerza ee transmitirá a través de los elementos que unen agí

boo nodos y la parte de fuerza que llevará cada elemento será -

el valor del término &|. de su matriz de rigidez elemental (K ).

En definitiva la aplicación del método consta de tres

etapass

a). Formación de la matriz de rigidez del continuo total y del -

vector de cargas. Para ello hay que calcular las matrices de

rigidez de cada elemento, y en los pasos intermedios se con­

tienen las matrices IB que se utilizan en el escalón "oM.

b). Resolución del sistema de ecuaciones (10) con obtención de -* • •

los corrimientos nodales d.

c). Obtención de las tensiones ©n los elementos a partir de las -

ecuaciones (4) y (3)»

S0 =//(£) (B) dv J áQ (11).

Ü**»-.

3W-3#- ,ftuiy^yw»W ,.AfI

a) 11 método, inioialmente elaborado para reeolvear proble­

mas lineales (elásticos), no ©s aino la austituoión del

diferencial 143 de la ecuacién de Havier por mi operado**

co lineal (&) (Bef« B*9f pa«« 170).

0 V2 £4' * { ! * & ) — & * f « 0 ftv i

es decir5

i «• 1# 2f !•

iiiá Uj « PÍ » o (12)

siendo s (

(T d Siendo i Lij « (1 4» G) »4W»IPIÍM 4» Cr 4*4 o***-**»-***»*

dx^ dacj *3 dsE %

e * deformacidn volumétrica.

fi « corrimientos de un punto cualquiera (nodal o nó)#

Fi m Fuerssas*

1» <* * parámetros de Lamo.

$ . . . ' •

Descomponiendo e l operador &JJ * ti») « ("fe) v$) t&)# **

(13)

( $ )

d

0

d dx

>y

0

d

0

0

d

dx-»

d

dx*

d

3 0

d

e » (b) f

v. A

a* vi la ft^**4jjftfci^iitJÉAA iáikÉá^^n lP-'ÉiftJi # ant*a

la m»trl« de xdglOM ( l ) • Ü r (J© i (l)f|¡|É¡§Íp^ r

• • { « í i W Í * (*) í»> *

dal aparaten £l§)»

SI método cumpla par tanta la* condicionas de equilibrio

y también la compatibilidad de deformaciones, pues (12) no ©a sino

la sustitución da las áltiaaa en la» primeras. Se resalta este da*

talla porque algunos autoroat como Alian y Sauthwell, no tienen en

cuenta la compatibilidad da deformaciones (Jurieio, Reí. 1? f página

209)» Ahora bien, m da eañalar que en al método de elementos finí

tos se cumplen en cada elemento y a través de los nodos que los ~

une»f pero no neceaiariamente en el resto del aaataeto entra ele*«*

#**

También aa introduce ana simplificación de la matriss

en la ecuación (2) que se comenta en al apartado dadloado a la OOJJ

vergencia, y otra en el problema elastoplástico que aquí aa trata,

al lineallaar la loatriz (X)/*

b)#-Puede verae también qua este método aa equivalente a un «*• *

oaso particular del método de fíayleigh-Kitz (Kef, B-52tpág. 21j Hat*

B-s pag«16®3? *&** JN§#»*g* 14 y 32) pmaa si aa establece la oan*

alción que deben cumplir los corrimientos d para que la energía «*

potenoial total sea mínima» se llega también a la ecuación

o)#-El método es una aproximacion.de la solución exacta, -

hacia la que converge* y cerno ésta dá una energía potenoial tain¿

®a, la solttcié-n obtenida dará una energía de deformación (©igne*

opuesto a la potencial)inferior a la real (Ref *65$,pag* 23), es

decir, la integral del producto de tensión©a por deformación©a

queda infravalorado* Ello tiene cierto interés prácticof aanqtíi*

no mucho porque unas tensiones pueden infravalorarse y otras n©*

En el caso de que la función de desplazamientos (H) sea

tal que no mantenga la continuidad en la frontera entre dos ele***

mentes, salvo en los nodos, existe ahí un almacenamiento de la ~~

energía de deformación que hace que lo anterior no se cumpla* Di»

eho alimoenamiento se proéuce pese a ser en un área infínlieeífflal.

debido a que las deformaciones toman valores infinitas»

. Sí se plantea el método de loe elec^ntos finito© ©n té¿

sianec, en lugar de en defortaaciones creando unas funciones de te^

sienes adecuada© ©n cada elemento pa fanclen d© los -valoreé,;;*&>«*•••

los nodos de modo anilegc a1©• $!*•' s©- hi#*-. con la matjriss {#} ©h •*•

corrimientos en la exposición hecha, (aunque ©n tensiones resulta

mucho má& difícil de orear), y ee minimiaa la energía complementa

ría en lugar de la potencial, se obtiene una solución que sobre©©,

tima la energía de deformación.C©n ello queda acotada la solución

por los dos lados si a© resuelve el problema por ambos laétedeaVé©

los elementos finitos en deformaciones y en tensiones (demostrado

en Ref, B-*i, pag. 1599) lo cual tiene gran importancia teórica*

Esta variaat© del método, ©laboraba por Pra©Jis de V©üb©fc© y pláa

18

(Ref. B-21, Kef. B-}Q) ha sido aplicada a poquísimos problemas

hasta ahora, debido a su dificultad? en la-práctica suele ser

más fácil gastar ese esfuerzo suplementario en afinar la malla

para aproximarnos más a la-solución real que el acotarla. Unas

de las pocas aplicaciones son las debidas a Julias (Hef. B-20) y

a Guellec (Hef. B-23, págs. 31 y 105)o

'ISRW

B ~ 3 flWWf^

Como ya m india! en al apartada B-l, al resollar «a

problema nuaericamente «e da gran importaücia al estudio de la

unicidad de la eolución y áé la aa&vargaftala hacia la misa», «

para aseguraroe de qim ee obtiene realmente la solución buaaa-

da» II *vlaia* axiataistí* hoy par al ardaaador alaatr&i.^f ta*

mando coma artículo de fm lo que eete imprime, debe 8upararsef

recordando que a fin da cuenta» como toda obra humanaf está eu

Jato a errores»

la unioldad de la solución para problemas elásticos

está olaramente demostrada, para al introducir la plasticidad»

al problema se complica mucho másala hipótesis ém la existen»

ola da una £uneiéa potencial plaafiae aatg damoatrada lift • «aatíL*

dad (Bill Ref • ¿*té^ pag» 53) para cuerpos rigidissablea» y para

cuerpos plásticos perfectos eetá demostrada la unicidad en ta^

sioneB (Bef »A**i<|pág. 57) pero na en defarroei onas laáa que en *»

ciertos oaoos como aa lógico* puaato que la relaa¿on tensión «• .

¿tf anadian no. aa.lÉMwllrofl*! J M M M aatí ^m^lm^:l^ W$Mm ..'

dad en problemas en que exista deecerga (iliouclxlne, Hef A-47í«||ll8)

nuestro caso se ha utilizado un cuerpo

tico perfecto con función potencial, y* a fin de asegurar la ob

tención da la solución correcta aa ha reproducido un proceso

de carga ideal para seguir paso a pasa la trayectoria de tenaig

ne*. lia solución obtenida dallará ser púas la tínica correcta para

etm proceso inoramental de las fueraas actuantes, aunque par -

supuesto si se reproduce otra secuencia de cargas y descarga,

simulando la excavación de elemento© por un orden determinado,

al ra#uliíado aarwi' otra#

£&«*f ?

El mrftodo de los elementos finitos, en #a#o do uti34

ssar elemento» conformes, ee simplemente un caso particular del

de ñayleigh *» fíit» (Ref. B.52pág. 21} Ref. B.t5page, 15 y 3^I

Ief# B.t pág. 1599í Hef. B*6 P fí* 942), que conaiste «n susti­

tuir la ley de deeplasamientoa incognitaa por una© funcione» -

prefijada© (<j,ue cwaplaa las condiciones da contorno) multipll-*

cadas por unos parámetro a, y al aplicar al principio de loa ' -

deapla&amieiitQs vlr t' alaa fwjtni jliaf, upayicE la anarsía dal a¡&a$ajBa»

se obtiene un sistema de ecuaciones lineales con dichoa parama

troa cama incognitaa, auatituy¿ndoaa aaí la eimcion diferen— '

cial dal problema. Para eate matodo, llauffitáo también Se Oaler~ -

fcin. eetá demoatrada la convergencia nacía la solución exacta

cuando las funcionee prefijadas dependen de un ntíaero finito -

de parámetros arbitrarioa, aon conformas y forman una eecuanala

complata. (Ref, B~6 p¿«. 941, Ref, B-i5pág» 25) .

La oonformidad ee refiere a la continuidad de la fug

ci<5n, oomo aa detalla máe adelanta} y amasante a la secuencia

da funcionea complata, aa cumplirá ai para una función P(x) da a .

la familia o&m da la aacmtnaia da tipa a¿ f^(ai) (aia»da *^*

Bato se verifica para funcionee polinomio as y trigonométricas

[del tipo a¿ ¿ % een Ixf coa ix) por ejemplo.

Bíectivamente, al añadir nuevoe t¿rminoe a la funaión

polinómica, la solución obtenida se ceñirá míe a la buacadaj *>

ademáe al contenar cada nuevo término de.la aeeueneia al anterior,

la exactitud será siempre igual (en #1 caso de q.ue los nuevos

parámetros arbitrarios introducidos sean nuatoa) o nayor, y la

convergencia eera monotónica.

Veamos cuando se obtiene la convergencia hacia la

aolución exacta por el mátodo de loa elementos finitos«

Goneraliaando el mátodo al estudio de problemas de campos cua

lo*<|ttlemt oomo ya ©o indico, la fmo&mml *&* %mm miMmi;**'.

za no será la energía potencial, tino otra distinta mas gene-

ra<¿#

&*{*(** ?* $* *&*•'* JUL • •*• É$L v-A^íV»**

siendo n0* la función buacada (desplazamientoa normalmente) y

•a* al grado de l a » y o r dtütftda %uo entra -¡en la ex$rOirtl& dé

la "densidad de energía ifB. lian wn-lw prime rae derivada» se de

En e l me* todo la función m0n .&$ auatituye por unas «*

funciones prefijadas (normalmente polinóaicas, como laa de las

ecuacionea 2 t 15 y 16) diotlntae en oada elemento* y l o s para*

metroa son loe corrimientos nodales o BUS derivados.

Arantes (Bef, B-6 pág, 942) lo que carauteriaía a l

precisamente esa variación de la funcián prefijada para oada

aleawafto (o in#lii0o m ^dominios <!« m0m #loiB#nto)t y ItariteMb -

#1 que la continuidad de esta y aus derivados principales aea Mreducida,,

t ea decir, ee cumpla en los nodos y en e l interior

do cada elemento, pero no en la frontera entre elemento© (en -

este caso de "no conformidad«, loe élemontos finito© ao ooíW9t¿

tuyen un caec partioular del método de Rita). Estas condicione»

permiten formar la matria de rigidez del e¿lido conjunto

Be-rrwiflioi&i étt otra» mucho más simple» y raanojabloa»

La condición necesaria y suficiente pera oue exieta -

"OMferMflaá*» #* per tanto <p« *x* y *m» áertvtóes pariiielpiM "

lee sean también continuos y acetado» y la derivada *toHttM?

wm mootftéii en e l contorno entre elementos (ft&f. B-$2p¿g. 24;

lef . SH9páf# 90)#

Ba t a l caeo de conformidad la convergencia quete ' *•

demostrada por coincidir con «1 mrftoáo de Rita. So puede ofetfc .

ner una secuencia completa eegda Helosh (Bef. 5*«$ pá«* 3$| «•>

ü f . 1*4 pᣫ 943)> k*a* 4# *fl*mr Hi wtoXLm añadiendo nodos

nuevos» y conservando los anterlore», p«ro 4# modo que efc l e s

elementos nuevos se puedan reproducir las mieíaae leye» de £*g .

plas&amientos qtue antes* Otra forma «le jfensegairla ée, ssatnteiíLiM

do e l Hiiemo número de nodos y elementesf pero añadiendo térs^

nos en las funciones polinómicas de oorrimientes { «n e l l í s ^

t e t con un único elementof se tendría, e l mítodo general de «*

Hits). Be esta forma la convergencia ( f ig . B-7) es más rápida,' " ¡

pero se tienen dos inconveniente»i #1 primero es que a l tener .

mayor tamaño loe elementos se reproduce w y groseraiaente la -

plantificación progresiva del material» y e l segundo que paiet

t a l e n t o 2*m mmm ^ r á ^ t r e » te f a i i í i usa* eeüt l» ia*4 •»*»

ceaivaw y «Ule no permite un cambio brusco de las propiedades

de l e e elementos (Ref. B-52 pá*g. 222 y 224; Bef * 1*4$ pág* 194

2T 350)*

Bn eetos casos lia convergencia es aonotóniea eti la . -j

merntg/M "X*t pero no «m MMialMlM m&* y ténsie**** (l*f«•> )

1-45pí«# 25; Bef. B*5tpág* 22 y 25). l e de destacar que la -

convergencia en tensiones es mucho JOÍS lenta.

tSth -

Si no e« mantiene la qontlmiidad a tiBvío ae la -

frontón* aistra alaiaantoa, as deols» «a-.jbrt... eaáfagaaidad*'•• .»• áa

existe coincidenoia con e l m¿todo de Ritz y la converipwioia

en ©1 aaao ganara! no aatá dsiaostrada*

Zierikiewice (Heí. B-£2pág. 25) propon© (sin demo¿

trarlo rigurosamente) «orno criterio ©1 que la condición ne­

cesaria y aufielenta para la eonvera©©$tó a« <pia le« f»ndij|

nes prefijabas no conformes constituyan una secuencia compl£

ta# bastando para t i l o %ue *#* y «»• *nm prisier&a der£?ada#,

pu«<iaii tomar e m i s o r valor somatante en al alepanto* Poftj

rtoriaenta Pa Amatas (Bef. B*4 pág. 944 y 947) l o M áaa^itfj

do para al oase dé %w estas Molonas saaa ^Mm^mHMI^é

toa da grado "ü*1* aea todos ama tiramos laultipliaado» por «*

paramatroa arbitrarios iadepsndiaates en m ikémro igutó al;**-/

de grado» de l ibartai dal slejasmto. Bara a l io supoaa que la

soluolaja a » e t s tandrá al mmm *** 4 l* dariTOdaa ^ontixntmM

y q.ue las fuera as da mas daban cumplir también la oondición

de continuidad»

B^ttrtH^tlWfc^ * J « W * * * élémnmm, la funail»

da energía qtue #a minimis&a aa sólo función de las primerae -

derivadas ÜB loa eoitlmiantos, Por tanto ooiao laa deriiradaa

principales acal á9 orden oarof basta la ooatinuidsd da ios *\.

propios corrimientos* ©a abanto al eritario de $%*m£m%m*

*n aata eaao quiere decir que ei a l sólido tiene lana dafog

xaaeión y tansi&a aeastsata a m #©vi&lai*to rígido» l a a *

funeioaas prefijadas deban podar reproducirla. **r aHo basi*

la ley l ineal (2) del triángulo de deformación constante para

^'^ :;-##^..

obtener 1G conformidad y la converg»noia monotó«±ca (Hof, -

B-6 pág, 93.41 Bef. B-52pág, 22i íief. B-15 pá^. 35) IJna eeímea

ola de m u s » puede viMmllmm* m l a t±g* B~5 *n q,w *&á&

trié&g&lQ m BUbdivid© «EI t m $ H te d©foraaciáa eoactfiuatd, o

podría períuaaeoer entero suponiéndole una deformacián lín©sii

segán la ecuación (15), ©n ambas modalidades de secuencia 0l

marro tármtoa eramáe pamtte uaa w»|0r apr^a&maei&i 4# 1© ***»

realidad*

Otro caso jmrticfular ixitereeant© es e l de lee placa©#

En ©llets los^parámetrofi1* d© fütz #cm loe corrimientoe nodales

*** normales a la placa y eue dos primeras derivadas % i ^ | • • m g . - eRp\ ••

lia energía es entonces función de los moiaento© flee "

torea, 0 eea la» curvaturas o derivadas de segundo orden, y j&

ra obtener la oonverg©ncia y conformidad se precisa c ue la ~* .

función prescrita sea un polinomio completo de segundo ortíen

(Mt* S~fffág« 35)

Si la conformidad no se cumple, cerne ya ee dijo en

e l apartado 2.3, se almacena energía en la frontera entre ele^

mentes, pero a l disminuir e l tamaño de estos dicha energía a¿ '

maeenada tiende a caro y se obtiene la convergencia, pero no

monotonieamente. Para e l l e bastará cumplir e l criterio de la

def©rmacián constante (Ref. B-52P¿g. 22) e eea de polinomio - -

completo (Bef. B*4 pág. 947)* St ae notar aue el que no eea

monotónica la convergencia en energía carece Se importancia, •

puee las variables <¿ue smelen interesar eon loe corrimientos ,

y tenaione», y además ee comprueba a veces (íief • B-52 pág. 120|

R*f • B~6 pág, 930 y 943) f ti* la convergencia ee más rápida oon

t*#:

elementos no oonfoimas q,u0 con otros eonformeB, En cambio lo

que sí representa un Ineonvejaiente es la dificultad de obte­

ner una secuencia, puee aunque se Éeduzca la iHalla, lea ele­

mentos pequeñas en $ue '*» 0uo<iivlde no aiempre poárán r»$ge*

ducir la misma ley q*ue tenían loe anteriores elementos nayo-

res (fíef B-45 pág. 37)» Bero eete preblejaa no se presenta en

el caso de elasticidad plana, sino en el estudio de plaeas y

láminas, motivo por el cual no se detalla, remitiéndose a los

ejemplos* ia4#® p w Connor (1*£ « -B45 9ág» 32® 7 331)«*

26.-

B-4.- Aplicación del método.

B-4-l«- Tipos de elementos.

B-4-1-1*- Problemas planos.

El elemento clásico es el triángulo, del que ya se han he

cho algunas indicaciones en el apartado B-2, y es el que ha sido em

pleado en esta ocasión.

Triángulo con deformación constantes ~

Consta de dos incógnitas por vórtice*'.y el caso más sim

pie es el de deformación constante definida por la ley (2). Dicha

ley mantiene'la continuidad de corrimientos en toda la frontera en

tre elementos--contiguos. Jal operador (B) da valores constantes en

todo el triángulo, y las integrales de la ecuación (5) consisten sim

plemente en multiplicar por el área. Al ser la deformación constan­

te lo es también la tensión en todo el elemento, con lo cual existe

una discontinuidad al pasar de un elemento a otro.

La gran ventaja de este elemento es su sencillas y la co

modidad del trabajo con ól y la gran flexibilidad con que se adapta

a los diferentes contornos y a los gradientes de tamaño de malla qu#

se deseen.

La forma del elemento conviene que se aproxime en lo posi

ble a la equilátera. De los resultados comparativos de Cónnor (ref.

B-15, pág. 111) se deduce que la relación del lado mayor al menor

no debe exceder a 3 y el ángulo menor no debe bajar de 2Qfl y es bas

tante conveniente incluso cambiar dichos valores por 2,5 y 25«. Se­

gún Zlamal el error es proporcional al cuadrado de la mayor altura

del triángulo, e inverso al seno del ángulo menor (Ref.B-23 pág. 38).

De aquí se deduce que los trabajos de algunos autores que no han

cuidado e3te detalle deben tener errores apreciables, como son Mor—

genstern y Tamuly Phukan (Ref. B-36/pág. 316), Agarwal (Ref. B-2),

«v?, '.' ^¡m *h- tí v vas*» . srv- i

Duncan f Dunlop (Ref. B-f 9, pag# 478) que alcanzan relaoione#tentre

lados de 1 *.12«(T«W Suaag, Bef. £-*$•

De las dos formas en que puede dividirse un et*&toil4ieré

en dos triángulos (Fig. B-&) lo más adecuado es nacerlo ;pátá&éfcé$L#. \

por la diagonal menor, para cumplir el consejo del párrafo^m^Mme^v

la malla, en oaao de que sea regular, aparenféméíitt::0é.;**\.

igual que adopte cualquiera de las des variantes de la Fi^» B*3# 11

námero de incógnitas es el mismo, y aagtia puede observarse m -div*|£-;

sas aplicaciones (Ref« B-9K, pag. 109 y 159? Bef. B43É- p%* til) ÍÉ -

exactitud es análoga* Sin embargo, en este case se ha adoptado la —-

de la izquierda, pues en ella cada nodo está rodeado por f triángu-—

los, en vea de por 4 y 8 alternativamente, Ule tiene dos ventajas i

las fuerzas de nasa, que en mecánica del suelo suelen ser-predomina^

tes, aetdan como concentradas por igual en todos los nodos (a etóa^

nodo va un tercio del peso de cada triángulo que le rodea) %j¡frw&0fc.

dose más a la realidad! además la tsatri* de rigidez queda más unif 0£

me 'al tener loa- términos de la diagonal principal 6 /sumandos*;"en-"Sal­

gar de 4 y § alternativos» ^

Una pequefía mejora teórica consiste en obtener la, matriz •*•:

de rigidez del cuadrilátero para ambas descomposiciones posibleie {#£g

B-*2) y trabajar con la semisuma, pero realmente no compensa el ea^er

zo doble en la obtención de esas matrices. Un artificio mucho más ~

útil debido a Wilson(lef# B~»3fl«4 | B-Jfc * 2¿5 t Bef* B#iJ, pag* V

154), consiste en subdividlr el cuadrilátero en cuatro triábalos, «***

con un nodo interior i$ig* B~4) 7 obtener la matriz de rigldea de 1 ^

4, superponiéndolas, y a continuación se eliminan las filas y co luía-*

ñas correspondientes al nodo interno, ya que las fuerasas (fb) en ál#

se equilibran y anulan* La raatris to ta l de 10 x 10 queda así re<%

cida a S x 8 obteniéndose una economía notable de cálculo»

poniéndola en eubmatrices 1 ^ de 8 x 8 y EL de 2 x 2 eerreefe**

diente al nodo interior•

l\ ) ~ í %a %J i tt*

Be esta ultima ee obtiene* '

<V — (KM,)-1 (^ (V. Sustituyendo en'la primeras

^ wcondenaael6n* de eso© cuatro elementos eliminando el

nodo interno equivale a trabajar con la matriz de rigidez para eJb»

cuadrilátero de 4 nodos.

El único ineonveniente que tiene $ste método e© que si."**

el cuadrilátero es alargado, la forma de lee triánguloa queda ató«*

peor proporcionada (Fig* B*»4b), y otro, de menos-'importancia, es '«—*

que recurre a una malla del tipo de la fig, B-3® en lugar, dé-B~3a#

Con eete elemento triangular de deformación cenetante la

convergencia es en general suficientemente rápida en le relativo a

corrimientos* Sin embargo, en tensiones ee algo más problemática, «*'

(Reí* B^5t pág# 1l7f Be£. B*4lf pág# 683f Bef• B-5% pá&* 37)i 9i«&l^

necesario apretar un tanto la toalla para que loe erroree bajen«

29.-

Dichas tensiones, constantes en el elemento, suelen.refe­

rirse al centro de gravedad del mismo, y entonces alternan la solu­

ción exacta con apreciable dispersión; la forma de evitar esto íes -

calculando las tensiones en cada nodo como media (ponderada por las

áreas) de.loe elementos que concurren en él y asi la precisión aumen

te notablemente. Ello presenta dificultades en caso de no homogenei­

dad del terreno, y también complica la programación, sobre todo por

los nodos de contorno, en los que hay que extrapolar. Por otro lado,

en el problema que aquí se trata, debido a la plastificación progre­

siva de los elementos, no interesa el referir las tensiones a los —

nodos, pues si en uno se cumple el criterio de plasticidad habría en

ese escalón iterativo que plastificar los 6 elementos que le rodean,

lo cual es muy grosero. Se ha elegido en su lugar la obtención de la

tensión media de dos triángulos contiguos, correspondiente al centro

de gravedad del cuadrilátero (Fig. B-2), lo cual dá una px-ecisión

análoga, es más simple de programar,- y. más exacto en la iteración-

plástica por permitir escalones más pequeños*

Con lo dicho en el párrafo anterior se vé otra ventaja -

más del método de ^condensación" de Wílson (Fig. B-4) ya citado, y

es que se expresa la tensión en el centro de gravedad del ouadrilá

tero, equivalente a un nodo de 4 triángulos.

Triángulo con deformación lineal.-•

El principal defecto del triangulo con deformación censa­

tante radica en la falta de continuidad de las tensiones al pasar-

de un elemento a otro. Ello se evita transformando la ley lineal (2)

de corrimientos en otra parabólica,

2 p u= a1 + a2* 4- á'^y *> a. x 4- a5 7 4- a6 xy (15)

30

Fig. B-A

Fig. B-5

..Fig. B-6

JU-

do modo que su derivada, o sea, las deformada© y tensiones, varien

linealmente y restauren su continuidad en toda la frontera entre ~

elementos (ííef# B~% pág. 70j Bef, B-fV pág* 135? Kef. B H , pág* '**/ •

1606)• Para determinar ahora las 12 incógnitas del sistema (i5) fc&

ce falta dejar doce grados de libertad en el nodo, lo cual se oon~

sigue oon 6 nodae por triángulo, que son los 3 vórtices y loe tres

centros de los lados (Fig. B-5)«

La precisión de este elemento es notablemente íaayorr COJ>-

vergiendo isuoho más rápidamente en deformaciones y en tensiones lia**

cia la solución exacta, que si se resuelve el problema eon trián|SS.-

los de deformación constante (Ref. B-$5, $ág, 149)* ©& ©1 santido de

que basta una malla con la tercera parte de incógnitas para obtener

una precisión igual o adn mayor* f l a n e e n contra» como, tocowenie»-*

t e , e l que las in tegrales de (5) se complican, y sobre t%d<%.;;'$w*ra «*/*

e l probleíaa que aquí se t r a t a de plast ic idad contenida infaj^a'-mém'

i r a una isalla' niá® fina a f in de p laa t l f loar sucesivamente" ¿Irisen*-*' •-.'

tos lo má@ pequeSo posible»

**"

Triángulo con deforme!ón cuadrática» ~

8na mayor refinamiento lo constituye el triáoslo con ley

cdblcm de corrimientos, y cuadrática en deaplazas!eatos# Sf «ueleii

tomar 18 incógnitas, qm pueden definirse de dos foriimai con 9 nodos

en el triéa&ule (los 3 vórtices y 2 más por lado dividiendo éste en

tres partes iguales, ver tlg» S««6).f o oon solo tres nodos con 6 in­

cógnitas cada uno; (Bef. B-Sk pág# 224$ Hef» B~1í| pág. 164) $"e#tae

pueden ser* :

d-'tt d u d V d v ( U | —— f *mmlmmm f v .«**•*•*. f ~ * w ) (fí©f# B-tjUpág* 161)

dx Q? dx dy o pueden tomarse en oambÍ#i

d u d ^ d u d^r d u d v 1~ U , V , mmmmmmm * *»,^>ww»«» ' ^ M I H M M M » <4k«*««««««H» , ( — «www —— *• « N * « m « » ) •*«»;• v'-#

32«~

como hacen Jocher y Harts (fíef# B-44» pág» 151 y 1&4) p pues el sig­

nificado físico de estas dos áltiíaae variables es más claro $ fa&13£

tando el cjue las fuersas exteriores puedan ser momento a, y el que <*

exista continuidad en las rotaciones al pasar de un eleteento al coii

tiguo, lo cual puede tener interés en .algunos problemas concretos.»

idealmente existen muchos posibles variantes* para comple­

tar el polinomio cúbico de corrimiento© hacen falta 20 incógnitas y

no 18/

o "2" 1

u » a. * a x 4» a. y 4- a xy 4 a*- x * a^ y 4 a*- *? 4

4» a^ y-5 4» a x.y. 4 a 1 Q xy (l6)»

y debe tomarse un nuevo nodo en ©1 baricentro del triángula--.con-do®

incógnitas (Béf* "B4% pág. 1615 Kef# B-SfS), el cual puede ^condenaa¿

een si se desea según la ecuación (14)t para reducir-la matriz de- «*'

rigidez del elemento de 20 x 20 a tan tamaño de 18 x 18# J0tra.-'solu~«»

clon es la de Shandu y I Usen $ue toaan tm elemento triangular • eo».' -

15 incógnitas (3 nodos en los vértices con 3 incógnitas, y:;3nodos

en los puntos medios de los lado© con 2 incógnitas? Bef*: &*#?)*•"

Se incluye un ejemplo debido a Heland y Bergan (Reí» J-s8 )

bastante espectacular» de la ventaja obtenida con estos elementos *>

refinado® (Fig, B~7)«

Bl.roua$rJ¡,látero 6 S e i otro elemento-que se ha soletó©-*»

con bastante profusión* inicialmente por CloQgh (Kef. B-40)|pues «* /

tiene notables ventajasf en especial sa mayor precisión en la obten

oión de tensioneef cosa que ocurre también con loa métodos de difs~

renoiae finitas» pues al alejarse de la malla rectangular se pierde

precisión (Ref* B**35> pág« 220)*

33

-1.00

L= ¿H

H SOLUCIÓN EXACTA

$* t.000

c

Á

1.8 ¿9

-0.849 S* 0.860

128 Elementos de 6 grados de libertad

170 ecuaciones

0.986

-0.977 f»0.99¿

2 Elementos con 18

grados de libertad

24 ecuaciones

Fig. B - 7

2 m.

kl*,* / **-y cotg. Pym

i|«y coj»e.p/n

e*-\

-»• X

34#<*.

Bn e l caso ele rectángulo suele definirle la ley-de -corrí*

gjiento©

u ' • ' • 1 4 a,. x 4- ag y 4 a. ;gr« (f?)

de modo que las deformad anea son lineales y maniigaft'tt -

la continuidad ©n la frontera entre elementos» tanto ©n corrimiento

como en deformaciones (fíef» B«#^ pág* 66 i Bef, B~1» pág» 1606| B©£*

B-i5, pág# 165)* £os ocho coeficientes a^ se obtienen al tener ©&,*•*».

elemento 4 nodos en loa vértices con dos desplazamientos incógnita©.

cada uno (Fig» B~8 a)

los resultado© de Connor y Will (fíef» B«*5, pag» 176} auejr

tran una convergencia extraordinariamente más rápida para "©ate ©1©*\

monto que p#ra triángulos con deformación constante, pmm con la" **•*••"

cuarta parto de incógnitas se obtiene una:precisión análoga*; Coapa**''

rado con el triángulo de deformación lineal este es mucho raás preoj^

©o en desplazamiento© {con la tercera parte de incógnita©, ; eacaeti-**

tud análoga) pero no en tensiones.

Este elemento par©oe ser más ©enaibl© a la foriaá, no p r p w •;

porcionada que lo© triángulo©, y no e© aconsejable el empleír-r#ot%:

guio© de relación de lados .superiores a 2,3» Kilo representa un &&&*;

v© inconveniente pao© resulta así ©oy limitada la graduación i©i tiM*

man"© de la malla» ' • |j

II otro defecto importante dfe eete elemento es la imposibi* i\

lidad de acomodarlo a contorno© cualesquiera» Ello se palia'bastante ••;

bien oon paralelograso©, en cuyo caso (17) ©a válida en coordenada©*

oblicua© (Pig. B~8 b) o en rectangular©© oon ©1 cambio (Kef» B*^, $A£<;j

106). • •'"_' .

«• . x - y ootgí*

y*« y ooseo. j£#

Con lo cual las integrales do la matriz de rigidég ('§). **

no se complican excesivamente. V

La generalización a un cuadrilátero cualquiera (Fig# ..3Ñ8 <$

ato trabajando ©n coordenadas eurvilineas como haoe M$pm$0, resulta

do cálculos ipuehb más prolijos, (Ref# B-5fc pag» SQt Bef»' B~f '» pag*;;

1606) y coao dice Zienkiewicís, (Ref« B- g, pag» 69) resulta dudosa *

BU elección frente a elementos triangulares» -

Otra posibilidad es el empleo de rectángulos o fiíaí^le^

pedos eon 8 nodos (los 4 vértices y los 4 centros de los'SaÉoe)V »**

base de leyes de corrimientos cúbicos del tipo (Bef# 145* pag* íS2|

Ref. B-£$ Pag. 72), V

2 % • ' • 2 '•"

u « a-j * a* x * a, y 4 8i x 4- a, xy ^ a g y 4- a- x y 4» 4» a^ xy (19) •

El cuadrilátero puede extenderse a base de dos lados reo*

tos y dos lado© curvos a coordenadas polares a fin de resolver pro**

bleaas tales como el de túneles circulares, ete# .(?ig« B ^ ) siü fue

ello represente una nueva complicación*

Existe, la posibilidad de combinar cuadrados y triángulos •

como hacen Bunoan y Punlop (Re'f. B-19) pero OOnner y Will hsm .®mp0j^.

bado(Ref# B*15 pag* 174 y 181) que con ello se consigue 3a iaiéiaa|^¿

cisión que con solo triángulos, y en ese caso no ofrece ventaba lá*

complicación que ello representa en el programa.

En general, basta que una zona de la malla esté peor Jise^

nada (elementos más simples o mal proporcionados» eto) para que la »

solución se deteriore aán en el resto de la Bsalla*

Otros poliedros» tal como pentágonos o exágonos, oareoén -

de interés» por poderse subdividir siempre en triábalos y / l é ^ i c m m ^ ^

te no se han utilizado nunca»

36

Fig. B-9

Fig. B-10

2c

37.-

B-4-1-2) Prooleraae tridimensionales»-

SI elemento más aimple es e l te t raedro (Fig. B-10 a) in

troducido por Martin con deformación constante.

u c a ^ aj x I a, y 4 a, z (20)

Los 12 parámetros a^ se obtienen oón los tres desplaza­

mientos de los 4 nudos del tetraedro (liof. B~5?tP&g. 75; Hef. B-t,

Pag. 1608).

Puede análogamente crearse un tetraedro con deformación

lineal a base de introducir 6 nuevos nodos en los centros de los -

lados (Fig. B-10 b). (Hcf. B-52, pág. 84; Ref, B-i , pag. 1600).

Otra 30lucíón devida a í.Iartín es el subdividir el hexae

dro en 5 tetraedros sumando las matrices de rigidez correspondien

tes a ellos, (Ref. B-g^ pz£g> 79)» análogamente a lo hecho en el -

plano con un cuadrilátero descompuesto en dos triángulos. La venta

ja radica en definir las tensiones en el centro de gravedad del -

hexaedro promediando la de I03 5 tetraedros, aumentando así la pre

cisión, pues análogamente al triángulo, el defecto básico del t e ­

traedro es el gran error en la representación de las tensiones.

Con un prisma rectangular (Pig. B-11) 3e llega a leyes -

parabólicas análogas a la (17)» de deformación lineal, con notable

mejoría respecto a los tetraedros (ref. B~52,pág. 80), e incluso a

leyes cúbicas (Hef, 3-1, pag. 1609) £ fin de mantener la continui-

dad de corrimientos en las aristas.

u = a + ap x + a. y + a. z + a » 4 Bg xz + a» yz *

+ ag xyz (21).

38 —

¿1 problema que se presenta al trabajar en tres dimensio

nes es que el numero de incógnitas se eleva en seguida a varios

millares, aún para mallas no tupidas, y por ello resulta iinprescin

dible el .refinamiento de los elementos. Melosh (rtef. B-35) y Clou^h

(Ref., 13-14) han realizado interesantes estadios en los que comparan

diversos elementos, ir deducen que hay que desechar totalmente ios

más simples, es docir, el tetraedro, y que en el espacio se debe re

currir a elementos refinados, del tipo del oxaedro de 24 grados de

libertad.

Así ha hecho ¿ienkiewicz, y trabajando con exaedros con

60 grados de libertad (8 nodos en ios vértices y 12 nodos en los

puntos medios de los lados) ha resuelto problemas de presas bóveda

y su interacción con el cimiento (Reí". £-2, pág» 254). Este tipo de

elenento os ol ¡n¿'3 indio^do o-ire utilizar en problemas de flexión

(Rof...3-14, pág. ¿1).

39.-

B-4-2.- Condiciones de contorno

B-.4-2-I. Introducción en el método de la3 condiciones do contorno^

El sólido deberá cumplir en su contorno una serie de oon

diciones, que en este método se limita a verificar en los nodos. Eg,

tas pueden ser el que terina unos corrimientos prescritos en cier­

tos puntos nodales, a fin de evitar movimientos rígidos y mantener

la hiperestaticidad del cuerpo (caso de empotramiento, etc.) o —

bien equilibrar las fuerzas exteriores R definidas en la ecuación

( 9 ) .

Esto ultimo no representa problema en el caso del empleo

de triángulos con deformación constante, pues se reduce a sustituir

isostáticamente las fuerzas superficiales exteriores por fuerzas —

concentradas en loo nodos, que simplemente se sumen al término inde,

•pendiente de la ecuación (10). Para elementos más complejos, aunque

las fuerzas superficiales se reducen a fuerzas concentradas en los -

nodos, la obtención de estas no es isostática, sino de acuerdo con-

la ley de deformación impuesta (Kef. B-15* pág. 104, 123 y 133; B-44,

pág. 167).

Respecto a los desplazamientos prescritos el problema que

se presenta es la forma de introducirlos en el sistema de ecuacio­

nes general (10). Una forma serla el eliminar esas ecuaciones, ya **

que las inoógnitas son conocidas, y así se reduciría el tañarlo del

sistema, pero ello se desecha porque representa una complicación —

en el programa, ya que habría que reordenar de nuevo toda la numera

ción de ecuaciones.

Lo conveniente es retocar el oictema y ello debe hacerse -

sustituyendo la ecuación Hi-esimaM por 1. u¿ « u¿ prescrito.

Con ello bastarla, pero es aconsejable el dejar la matriz

40«-

de rigidez simétrica, anulando también los coeficientes de la co­

lumna "i-esimaw, pasando al segundo miembro los términos oorresp02|

dientes (Ref. B-15» pág. 46) del modo siguiente. Ett el sistema

¿se c:. :abia: K p j - X J p = 0 Kpp = 1

F = uYv p r e s c r i t o . p P -

x l nuevo £ i p * *jp*

La solución de Payne e Irons defendida por Zienkiewica -

(Ref. B-52f pág. 8 y 233) do limitarse a multiplicar K por un ná~

mero grande como 10"~ y sustituir

? p nuevo = 1012 . K p p . p r e s o r i t o.

nos parece un grave error trabajando con ordenadores - —

eleotrónicoG, pueo se facilita el alcanzar exponentes mayores del -

que admita la máquina, ocasionando la parada de ésta y además el —•

ordenador tarda mucho menos en operar con cero que con otro numero-

por pequeño que sea éste, de modo que anulando K .f K., se consigue

un ahorro de tiempo de máquina casi igual al que se conseguirla re­

duciendo el tamaño del sistema.

41 •-

B-4-2-2. Prescripción de corrimientos»-\

La prescripción en sí de los desplazamientos en el con­

torno es otro problema, que puede repercutir mucho en la exactitud

de la solución, y en el tiempo total de cálculo necesario.

El terreno indefinido debe sustituirse por una malla 1±

mitada.

La cara inferior de dicha malla se supone fija, ee de-—

cir, con corrimientos horizontales y verticales nul03, y así la —

aproximación conseguida respecto a un terreno con un estrato pro­

fundo duro es correcta, y respecto un terreno de Bous^inesq el --

error cometido será menor a medida que más extensión alcance nue£

tra malla. Iteta hipótesis es empleada por todos los autores, y en

general no es discutible, pues atín en casos de malla de pequeña —

profundidad el problema es real, ya que la mayoría de los terrenos

tienen un estrato más duro a no excesiva profundidad.

La cara superior lógicamente se deja con desplazamientos

libres.

Las caras laterales pueden ya sufrir diversas limitado*»

nes. Todos los autores coinciden en restringir totalmente el corrí,

miento horizontal, lo que es suficientemente exacto, aún con mallas

no muy extensas.

Respecto al desplazamiento vertical una posible solución

es dejarlo libre• ¿lio equivale a suponer que no hay transmisión de

cortantes entro el área segregada y el resto del terreno, es decir,

a colocar vertical la elipse de tensiones suponiendo lubricada la -

línea de corte ( Fig. B-12). Esta hipótesis es la que emplean Don-

can (Ref. B-19, pag* 478) Clough (Ref. B-13, pá$. 83), Liam Finjn —

(Ref. B~3t), Huang (Ref. B~éf), Girijavallabhan (Refj&J¿2) y Chrietian

entre otros, y también se ha empleado en esta nueva ooasión.

¿2

BORDE LUBRICADO

3>

9

XTOOT^W: BORDE EMPOTRADO

T V

BORDE CON Tg. HORIZONTAL

Fig. B-12

SOLIDO

•

I--

'

•4 PARTICIONES 6 7 2 3

V77-

K

MATRIZ DE RIGIDEZ Y SUB MATRICES K DE PARTICIO NES

1 WM ~ //.

// '>// '///y/

V//.

z-'.

7//,.

m ^m

V77777?

\ ////,.

¿u+ "^777

t'y <[''••

43 •

Otra solución es restringir totalmente dioho corrímien

to vertical, (?ig« B«*1# s) suponiendo por tanto "empotrado" no •

solo la base del área segregada, sino sus lados« Asi lo haoen —

Clough (Ref. 16 pág, 543) Morgenstem (Hef • B~JS, pág. 316) e JKtiB

(Ref. B-HT, pág. 65)*

Una tercera solución (Ref, B-Jt) es obligar a que dioho

corrimiento vertical sea igual al que toma el terreno debido a su

propio peso. Es utilizable sólo para problemas en que actúe esta-

fuerza, por ejemplo no es válido para ver el efecto de una zapata

en un terreno sin peso, pero sí para el estudio de un talud como -

es este caso, en que se vá aumentando gradualmente su peso para ee

tudiar su plantificad6n progresiva*

Por ultimo, la otra variante consiste en obligar a que

las lineas horizontales se mantengan paralelas a sí mismas en di­

chos puntos del contorno lateral (Fig. B~l8 o), obligándose para -

ello a que el corrimiento vertical del nodo sea igual al del nodo-

contiguo, 2sta solución pueue emplearse sólo si cada nodo del oon-

torno lateral tiene al contiguo en su misma horizontal, que es el-

caso más frecuente. Ha sido utilizado por Lorente de lió (Hef. 20 ),

fori ' (Ref. IB ), Ang y Harper (Ref. $¡ ).

Para determinar la extensión del área a estudiar, en pro

fundidad y sobre todo en ancho, la mejor solución es resolver el -

problema oon diversos tamaños, observando a partir de qué extensión

las soluciones obtenidas para los corrimientos y tensiones no v a ­

rían para una de las líneas de contorno. Lógicamente que ello debe

estar guiado por uno3 sencilloe cálculos previos,* por ejemplo, con

er semiespacio de Boussinesq, y que no es preciso el resolver el —

problema completo varias veces, puede hacerse esto con un número -

44.-

menor de elementos más grandes, y "basta hacerlo en elasticidad, -

sin las iteraciones plásticas posteriores* Con ello ol tiempo em­

pleado en estos ensayos es pequeño.

Una ves realisado ese prooeso con loe cuatro variantes -

de desplazamientos prescritos en los contornos laterales, se obten

drian cuatro extensiones d if érentes que darían soluciones de la —•

misma exactitud, pero con un esfuerzo de cálculo distinto, debido -

a su diferente extensión. Por ello a simple vista debe rechazarse -

la secunda, de enpotr.miento total lateral, ya que requiere un e s ­

fuerzo de cálculo muy superior sin aportar ventajas»

Comparando la primera de corrimiento vertical libre, y la

ultima de corrimiento igual al del nodo contiguo, resulta dudoso —

a priori cuál dará menor extensión, pues en la primera se desprecia

un esfuerzo tangencial y en la última ae desprecia la inclinación -

de la tangente a la superficie de asientos, que no son magnitudes -

comparables. Intuitivamente son bastante parecidos y debe elegirse -

entre ellas por consideraciones de otro tipo: ambas aon igual de fá

ciles de programar, si se emplea el matado de oálculo de Ang y Har-

por, pero en cambio la primera resulta más sencilla al aplicar el -

método de elementos finitos, motivo por el cual es la que ae ha es-

cogido aquí. Si el sistema de ecuacionaa resultante se resuelve por

un método directo (que es lo que se ha hecho aquí), dá igual el em­

pleo de una variante u otra, pero si se resuelve por un método ite­

rativo de relajación converge más rápidamente con la dltima solución

ae. corrimiento igual al del nodo contiguo.

Por ultimo la tercera solución de hacer el oárriuiento —

igual al debido al peso de la columna de terreno (es decir, suponer*

que en el contorno ya no influye la forma del talud, o la carga de -

la zapata, etc., según que problema se estudie) es algo más complejo

de programar en elementos finitos, y solo presenta ventaja al resol-

45»-

B-4-3»- Resolución del sistema.-

Frecuentemente se evita la resolución de eouaoiones di­

ferenciales a base de sustituirlas por un sistema de eouaoiones -

lineales, pero sin embargo, este nuevo problema para sistemas —

¿grandes dá también sus quebraderos de cabeza, oomo indica muy — —

bien Vr'hite (Ref. B-19, páe. 117) pues la precisión deseada y el no

requerir excesivo tiempo de' ordenador no son fáciles de conse­

guir •

En el caso de IOG elementos finitos, como ocurre con «

los métodos de diferencias finitas, el sistema a resolver consta -

de una matriz banda simétrica. Efectivamente, al hablar de la m a ­

triz de rigidez se indicó que los términos correspondientes a dos-*

nodos no contiguos son nulos, quedando pues distintos de cero los

términoc próximos a la diagonal principal, siendo el ancho total -

de la banda proporcional c.1 harnero de desplazamientos de un nodo -

por la máxima diferencia que existe en la numeraoión de dos nodos

contiguos cualesquiera* Este hecho facilita mucho la resolución, -

ya que aprovechando esta circunstancia no hace ialta trabajar con-

la matriz completa, que por ejemplo constaría de 9d000 términos p£

ra un sistema de 300 incógnitas, y bastaría almacenar $ operar só­

lo con 300 x semiancho de la banda, ya que la matriz es además si­

métrica.

En general, hay dos tipos de resolución: directa e indi­

recta.

La indirecta más utilizada es la iterativa de Crjqss Sel-

dftl, que no es sino una relajación (Ref. B-if),

* o* A partir de una solución inicial u* del sistema aij-uj »E

se obtienen nuevos valores u1 en la V-siina iteración según la

46 • •,

expresión

hasta que en dos vueltas seguidas todos los valorea

r-í-1 r

u. - UJ sean menores de uno prefijado.

El método puede acelerarse con un coeficiente arbitra­

rio Mmw según la expresión.

r r-1 . • , li ~ aid !^ r H r-l/

Debe ser l£m 62 y normalmente se toma 1,6^ m^ 1,85 ~

que la experiencia demuestra son loa mejores valores (Ref. B~4f, -

pág. 126 a 128).

El primer vector solución 3uele ser de ceros, a no ser

que se conozca una solución aproximada. En el problema de plasti,

ficación progresiva que aquí se trata éste método es muy adecua­

do, pues en el primer escalón de carga elástico partiendo de la -

solución de ceros se precisaran muchas iteraciones, 300 por ejem­

plo, pero en los escalones siguientes se puede partir de la solu­

ción del escalón anterior, y la convergencia es notablemente más-

rápida.

Otra ventaja del método es que puede operarse oon las -"

diagonales estrictas distintas de oero de la matriz de rigidez,

gdn el procedimiento de WMte (Ref. B-49, pág. 121) con un ahorri^

considerable do almacenamiento en el ordenador.

Este método lo emplean Clough (Ref. B-tf)* Morgenstern^

(B-#X Arriaga (B-:8 ), Ang y Harper, Lorente de Nó, eto.

47.~

De los métodos directos el más simple os el de elimi­

nación de Gauss, a base de triangularizar la matriz» IIo aprove­

cha la ventaja Je matriz banda al tener que ocupar durante la -

eliminación todo el triángulo superior que antes er¿.n cero3. Por

ese motivo, sólo lo utiliza Connor (Hef• B-15t pá&. 55). Bxiste -

una variante uiuy ingeniosa debida a He Cormick (Hef* 3-34» pá¿-.

40) con la que resuelve sistemas de ••• Ihasta 15.000 ecuaciones!,

perfectamente adaptada a las necesidades de un sistema tan grande.

Otro método directo muy adecuado © ingenioso es el de -

tridia&onalizaeión de la matriz, o de las particiones, debido a -

Clough, (Hef, E*-j2f pág. 1911 Ref. B-52fpág. 232). El método de -

sustitución aplicado a un sistema banda de solo tres diaconales -

resulta muy cómodo; y al tener en general la matriz más de tres -

diagonales distintas de cero', el artificio quo se hace es subdivj.

diría en tres diaconales de submatrice3 para invirtiendo éstas p£

derlas eliminar.

K,

0

K,

0

C2

K3

Cn-2

0 0

0 0

C . • • 0 0 i J I

<

n-1 n-1 Cn-1 K

U1

»2 u3

"n-1

\

n-1

n

Bel primer subsistema de ecuaciones &o deducet

u B K 1 1

-1 P - K 1

-1 1 2

entrando en la segunda»

( K 2 - C l ' K , " 1 C1> V C 2 U 3 = P2 " C 1 t Z 1 _ 1 p

1

48.-

Llamando t -1

2 2 1 1 1

Q 0 = P - C * K ~1 P 2 2 1 1 1

Kesulta

L u 4- C u = Q_ quedando un sistema de igual tipo -2 2 2 3 2

que el anterior y de tamaño una unidad menor.

Eliminando sucesivamente uno a uno los oubvectores in­

cógnitas se obtiene:

Lr . . « K - o t L ~1 Cra

t -1 m 4 l n 4 . - j i a m m

y al final el último subsistema L u « Q se resuelve -n n n

directamente. A continuación se vuelve hacia atrás obteniendo las

anteriores incógnitas.

-1 ~1

U « L 7 Q - L C u

Este método tiene una interpretación estructural, eonsls

tente en unas participaciones imaginarias del sólido. Cada subma-*-

triz K comprende una serie de nodos, que están incluidoo en la par m * • • • " "

tioióh correspondiente de modo que cada nodo y sus incógnitas sólo

entran en esa partición y súbmatriz K.. Cada dos partes contiguas -

del sól ido se unen por una s e r i e de elementos cuyas matr ices elemon ' e

tales de rigidez &,, nos relacionan los nodos de una partioión con

otra fox-mando la matriz C. (Fig. B-13). Esto no ee sino una genera

lización del concepto de matriz de rigidez indicado en el apartado

49.?

3-2-2i un conjunto de nodos y elementos forma una partición ó "BU

pernodo" cuya matriz K correspondo al K. . del elemento de 13-2-í , ni •*""*•

es decir, constituye la influencia sobre sí misino, mientras que -

la ::iatriz U define la interacción entre "supernodoc" que so real!

za a través c.o lo.... elementos' que atrav:'esa la frontera entre par­

ticiones, obteniéndose C cono superposición de los Guboatricas IC?-?

ya citadas.

Les ventajas de este método son: aprovechar la matriz -

banda simétrica, almacenando y operando sólo con X V G.# También i i

saca ventaja de que la matriz sea definida positiva, pues jracime

a ello se puede utilizar el procedimiento de inversión de Cholee-

ki, y en total se necesitan 2 N3 multiplicaciones en vez de 3 K3

por partición, (;tef. B-23, pó-g* 62)e

Gomo todo método directo sirve rimuítañeamenté para re­

solver varios casos de ear¿.;a (teatro dol campo de .i.a elasticidad),

y el tiempo total de computador es fijo.

Corno contra tiene que para anchos de banda grandes, al -

elevarse al cuadrado el tamaño de KL. C precisa mucho más tiempo y

memoria que los métodos indirectos (HefJB-12, pá&. 20*|).

Para terrenos sin potencial plástico (dilatancia distin

ta del rozamiento interno) la matriz de rigidez deja de ser simé­

trica, necesitándose por ello mayor capacidad de almacenamiento

del ordenador, y mayor tiempo de cálculo al requerirse una subru

tina de inversión general de matrices no simótricas.

5Q<*~

3-5 ftrtffqfoeo>fr fla fr p ^ ^ q f l f l f a

B-5-1 . - Generalidades

Les problemas no lineales pueden resolverse por el

método de los elementos finitos, solamente mediante un pro ce

so iterativo, debido el carácter lineal de las ecuaciones del

método*

£1 problema no es simple, pues como indica Connor

(Bef* B-35pág. 60) no solo se trata de introducirlo en la for

mulacion, sino que las técnicas de resolución son mucho más -

complejas y la elección de variables e interpretación de r e ­

sultados debe realizarse con juicio y prudencia para alcanzar

la solución verdadera*

Algunos problemas simples, tales como el del mate­

rial que no resiste tracciones o tiene diferente deformabili-

dad para la compresión que para la tracción, pueden resolver­

se por un proceso iterativo directo. Se aplica la carga total

al terreno suponiéndolo perfectamente elástico y el resultado

indica que zonas fisura rían por aparición de tracciones. Se -

introduce de nuevo la totalidad de la carga, añadiendo unas

fuerzas ficticias que se anulan entre sí y que equivalen a -

las tracciones aparecidas, y así sucesivamente hasta que en -

el resultado no haya nada máes que compresiones (Ref- B~£3pág«

257^1 Ref. B-47)~* Suelen precisarse unas 20•iteraciones*

321 proceso iterativo directo puede aplicarse también

a los cuerpos elásticos no lineales* Se calcula primero para

el modulo de Young tangente en el origen, resultando unas te&

sienes a las que corresponde unos módulos de Young aseantes

diferentes (Jlg. B~14a) son los cuales se repite el cáleuli ~

51,-

hasta conseguir la coincidencia entre los resultados de dos

iteraciones consecutivas (fief. B-32 pág. 193; Ref. B-51 pág.

664)• la extensión de este procedimiento a la plasticidad -

no es lícita según señala A. Serrano (Ref. 3 pág. 44)f deb¿

do a que no refleja el proceso de carga y las trayectorias de

tensiones en cada i>wnto9 Efectivamente, al depender las rela­

ciones tensión deformación de caía punto de las tensiones del

mismo en ese instante, el proceso de deformación y la propa­

gación de la zona plastificada viene condicionado por la 2ii¿

toria tensional de cada elemento, y para resolver el proble­

ma se hace necesario el aplicar un método Iterativo inpremen

tal, que reproduzca la evolución de las tensiones al progre­

sar poco a poco las fuerzas exteriores.(Hill, Hef.A-16, pág.

238)o

El método incremental tiene dos variantes<(Ref.B-37)t

La primera se podría denominar "de incrementos de carga y de­

formaciones iniciales ficticias**» En ella se separan las d e ­

formaciones elásticas y las plásticas, y para cada incremento

de carga se obtienen las primeras como si se tratase de un -

problema elástico normal, utilizando el artificio de conside­

rar las deformaciones plásticas, supuestas conocidas, como d£

bidas a una deformación Wnaiea o unas tensiones iniciales -

(I*ig. B-15 b), a continuación se obtienen las tensiones, y a

partir de ellas las deformaciones plásticas, según la ecuación

del apéndice A. x P _ ^ ,f

áa± Al no conocer a priori el incremento de las deformaciones plás

ticas, se presupone que son iguales a las del escalón anterior,

con lo cual las deformaciones plásticas obtenidas no coinciden

con las supuestas, pero con incrementos de carga pequeños es

suficientemente aproximado» Sin embargo es más correcto y más

exacto el realizer una segunda iteración dentro de cada incr£

52

*• e

Deformación e

Fig. U

5**~

deformaciones plásticas obtenidas, hasta conseguir la coinci­

dencia de resultados de dos iteraciones consecutivas. Según -

los estudios de Argyris (Ref. B-7 pág. 635), lo más pra0t4.cc

a fin de obtener igual precisión con tiempo de cálculo mínimo,

es realizar esta doble iteración, que permite dar escalones de

carga bastante mayores, bastando en cada uno con repetir los

cálculos de 3 a 5 veces.

El método, propuesto separadamente por Liendelson, Ca

llenger y posteriormente por Argyris (Bef. B-7 ; ñef. B-ft pág.

196; Hef. B-51 pág. 664), tiene la ventaja de que tüista con %

vertir la matriz de rigidez elástica del sistema una sola vez,

con un considerable ahorro de tiempo. Tiene en cambio la limi­

tación de no ser aplicable a cuerpos elast©plásticos perfectos,

no rigidizables, que son los aquí tratados, en los cuales cono,

cida la tensión no es posible determinar la deformación pláeti,

ca al no existir una correspondencia biunivoca.

la segunda variante incremental es la de la matriz *

de rigidez tangente. En él para cada incremento de carga se -

obtiene, con las relaciones tensiones deformación del momento,

la matriz de rigidez del sólido y se resuelve el problema en

corrimientos totales (elásticos mas plásticos), como si se tra

tase de un problema elástico anisotropo con unas constantes «-

elásticas ficticias. Tiene el grave inconveniente del tiempo

de cálculo, ya que en cada incremento de carga hay que repetir

todo el proceso. Además de ser válido para cuerpos elastoplás-

ticos perfectos, y no solo rigidizables, su principal ventaja

radica en su mayor rigor teórico. Con este procedimiento se -

sigue el proceso real de deformación del terreno determinsjfikio

las trayectorias de las tensiones en cada punto, y por ese m.£

tivo, por seguir paso a paso al fenómeno físico reproduciendo^

le en cada instante, la solución a la que se llega debe ser -

54 —

La aplicación al método de loe elementos finitos

requiere- el calcular para cada incremento de aarga la matriz

(B) de la ecuación (4) en cada punto plastificado, repitien­

do todos loe cálculos hasta obtener el sistema (10).

Como en la variante anterior,es factible el reali

zar este proceso incrementa! directamente, requiriéndose e£

calenes de carga pequeño© para tener la precisión adecuada;

e es posible también el iterar de nuevo en cada incremento

de carga para no trabajar con la matriz "tangente" a la ley

de tensien deformación en el comienzo del escalón * sino h£

cerló con una '•secante11 de modo que los errores sean meno­

res y no sean acumulativos* Debido a que para cada iteración

hay que cambiar la matriz de rigidez e invertirla, este ref¿

namiento de la doble iteración no resulta tan ventajoso en -

este método»

55.-

B-5-2 Método incrementa! de la matriz de rigidez tangente.

Variantes existentes:

Este método de la matriz de rigidez tangente, per -

ser el más riguroso, es el más empleado. Seguidamente se pasa

revista a sus diversas modalidades con más detalle.

La mayoría de los aurores tras la primera carga que

alcanza el límite elástico en un punto, van dando incrementos

de carga, tales que sólo plastifiquen otro punto o elemento -

más. Con ello se sustituye la ley de tensión-deformación por

una poligonal cuyos segmentos son paralelos a las tangentes a

dicha ley en los puntos donde comienza cada escalón de carga.

Bara mallas relativamente tupidas en que el número de puntos

o nodos es alto, al irse plastificando de uno en uno se requi£

ren incrementos de carga muy pequeños. Por ejemplo AngyEarper

muestran incrementos medios de un 6$ de la carga que inicia -

la plastificación (Bef. 3 pág. 414) para un problema deter­

minado, y de un 0,4$ (Ref. 3 pág. 410) para otro; Fort (Bef.12

figuras) muestra incrementos del yf> al 10$. La precisión por

tanto se mantine, pero a costa de un gasto de tiempo muchas ve

ees inútil; en el ejemplo antes citado (Ref. 3 pág. 410) con

un aumento del 6$ de la carga se pasa de la iniciación de la -

pías tif i cae ion a la rotura total, y para ello hay que resolver

16 veces el problema elástico, modificando otras tantas veces

la matriz de rigidez del sistema al plastifioarse sucesivamen

te 16 elementos. Otros problemas, por el contrario requieren

un incremento de carga apreciable para plastificar un nuevo -

punto, por ejemplo un 22$ en el ejemplo de la Ref. 3 pág. 415,

y esto ya es excesivo, pues la linealización de las leyes -

5*.-

tensión-deformación resulta muy grosera»

Bate sistema,seguido tambión por Xorente de N 0 (Ref .20

tCristian (Ref. B-18; Rsf. B-f7) y Pope (fí&f. B-39) tiene por

tanto el inconveniente de que la precisión o el tiempo de orde

nador puede dañarse en parte al tratar un problema plástico u

otro.

Una forma de evitar esto consiste en dar incrementos »

de carga prefijados, suficientemente pequeños y apropiados al

problema que se trate. Kl primer inconveniente que se ve es el

de los puntos q,ue plastifiean durante dicho incremento de car*»

gaf y que han intervenido en los cálculos como si fueran elás­

ticos; SDamuly Phuk»n (Ref • B-§6 ps*g. 316) no corrige adecuadas-

mente este defecto, pero otros autores como Beyes (Ref. B*4t -

pág. 481) y Marcal (Ref. B~3J pág. 146) si; el último ©n esta

zona de transición toma un coeficiente de rigidez del elemento

promediando el elástico y el elast©plástico.

de Káe¿' ^dej'plast,

donde "m" se estima en base a les incrementos de tensiones que

sufrió el elemento en el escalón de carga precedente.

A fin de poder dar escalones de carga algo mayores -

Reyes y Morgenster aplican la doble iteraeióa citada párrafos

antes. Morgenstern (Ref. B-10, Alcyus (Itef. B-3 ) y Crose (Bef.

B-17 pág.. 991) para cada aumento de cargas 00a la matriz de -

rigidez "tangente" obtiene una primera solución de dezplaza*

mientos y tensiones, y con estes re calcula una matriz "secante"

tantas veces sea necesario hasta conseguir la convergencia de»

seada. Reyes (Ref. B-41) con un celo excesivo llega en cambie

5 7 —

a aplicar una iteración triple, lo cual debe considerarse -

innecesario y poco práctico; no obstante se expone con mayor

detalle su método por el gran esfuerzo que supone y por ser

en teoría el más riguroso*

Bara el incremento de carg-a MmM sino resuelve la

ecuación. -+ -* »>*-! A dm ~A*m (10)

y obtiene unas tensiones

Debido a que la matriz (D)m<..x tangente al princi­

pio del incremento ha cambiado a lo largo de este, realiza

una iteración con las tensiones (Bef. B-41 pág» 481) S • ya ni

obtenidas, obteniendo corregida W ^ i y a partir de esta

sffi r * 1 = S - + (D)*; - A"» m m—i .m—1 m

Una ves conseguida la convergencia (normalmente con

solo 3 iteraciones) corrige el error introducido por la linea,

lización de la matriz de rigidez. Efectivamente ( K ) ^ ^ s© oa¿

culo a partir de S «,, -y;, ahora se conocen unas nuevas tensi£

nes Sj£ que han hecho evolucionar (K) a lo largo del incremen­

to de carga; por lo tanto los desplazamiento» % que verif^

can (10) no verificarán

<K>m 4dm - A » B

dando un residuo

pi * ¿ p - (K) A di m m m »

Beyes resuelve de nuevo el sistema (10) para estas

nuevas cargas "i" veces, tantas como haga falta (normalmente

tres) hasta alcanzar residuos despreciables (Hef, B-41 pág« 482)

* " q*l A \

5$>-

0

%

^L| • d— • • • • • 4L|

con 0* cual de nuevo corrige las tensiones (42)

Deede el panto de vista de programación y cálcale

el método es complejísima, pues hay que reoaleular (D) y (K)

muchas oís veces, siendo dudóse que la «ayer precisión obte­

nida compense ese esfuerso* Aparte de ello el trabaje de.Beyes

parece tener varios errores* Ba las leyes teneión-deformaoieti

(Bef* B-41 pág* 479)# q«e deduce per un camino muy largo, qui­

tó por igaorar el artículo original de Druoker y Praguer *&

que se ha basado* También, como indica Castillo ten, las itera­

ciones que ¿1 plantea no son correctas y deberían hacerse con

If5 y con 0O»«of5 ©a lugar de (Bjg^ y (D)m y con

^ m - 1 y ^ m TP*09 ^J** J*1881 de la •&***« "tangente" en

el comienzo del intervalo a la "tangente* en el final, en lu­

gar de tomar una intermedia "secante" que sería lo adecuado*

Para el problema que aquí se trata, tras estudiar -

les resultados numéricos de Fort (Bef• 42 ) se llega a la

conclusión de que con intervalos de oarga relativamente peque­

ños es innecesario el uso de las iteraciones dobles en (K) y

(D) de Beyes* e incluso la iteración simple en (K) de üorgena,

tern (Bef* S-3*)y Barcal (Bef* B-/1S pág* 147) y basta en gene. de

ral con preveer el incremento tensión del escalón de carga s¿

guiante para utilifcar (K) en el sistema (41) y (EÍJQ^O 5

en las ecuaciones (42)* Haciendo los incrementos de carga con¿

tantea, es lógico suponer que el incremento de tensión es —

igual al del escalón anterior, y efectivamente se ha comprobado

que para incrementos de oarga de hasta el 15# eUo es más exa£

to en la evaluación de (D) y (£) que el suponer que son nulos

¡A

B-6.- Programa &o cálculo eleotr6nioot

i¿e ha r caucado un programa de elementos finitos en len

. guaje FORTKAN, para leía máquinas IBM 360 y 1.130, Dicho ¡irograma

se ha procurado sea bastante general, con vistas a futuras inve£

tigaciones personales o de otxos doctorados.

ri programa es apto para la resolución de problemas -*•

planos (tensión plana o deformación plana) en elasticidad o en -

elastoplasticidad para sólidos con cohesión o con rozamiento, o-

ambos casos a la vez, permitiendo la introducción de cuerpos no -

homogéneos y también, on el caso de elasticidad, de cuerpos ani3£

tropo;:-• Para tratar el problema del talud se ha creado una 3ub-*ru

tina especial que forma automáticamente la malla de elementos del

mismo, adaptada a sus características geométricas, que ahorra la -

engorrosa preparación y perforación de datos, evitando* además po­

sibles errores humano/:, Se ha confeccionado también otra sub~rut¿

na más general apta para definir cualquier tipo de malla y contojr

no, para el estudio de otros problemas*

Resulta factible, con pequeños, cambios, el adoptar a es­

te programa nuevos criterios de plastificación¿ tales como el de *-

Roscoe, má» de acuerdo con el comportamiento real de los suelos, -

y que queda como probable camino a seguir en el futuro.

En el apéndice C se incluye el listado de intruccio­

nes del programa*

1

60*-

B-6-1. Variables escocidas*

De los dos métodos de discretización del continuo hoy

día en uso, se lia escocida el de los elementos finitos por r e —

cuitar aác flexible para adaptarse a diferentes contornos que el

de Ang y Ilarpcr (Kef. 17 ) cuyos nodos o puntos deben respetar

una cuadrícula rugosa o Lulo lo . iás de rombos, según 2B. adapta—

ción de lorente de UÓ (PLCI. B-32).

Dentro do este método la primera elección a realizar -

es el tipo do elementos* So vio en el apartado B-4-1 que para —

problemas elásticos y de terrenos homogé] os se debe ir a ele—

mentos grandes muy refinados; en nuestro caso, que se de"sea ob—

servar la forma de plantificarse progresivamente el talud, los -

elementos ya plastificados constituyen una no homogeneidad y para

representarla se precisa de elementos pequemos. Por ello la elec

ción está entre el triángulo simple, con deformación constante, o

el cuadrilátero.

Este último requiere un mayor esfuerzo de programación

y mayor tiempo de cálculo para formar la matriz de rigidez, por -

lo que, pese a reconocer su superioridad, 3e ha desechado. Según -

esto se debía desembocar en el paralelogramo (Pig. B-8-b), que —

tiene la misma precisión y es más sencillo de programar y se aaa£

ta bien al contorno del talud, pero también se ha dejado a un la­

do por el deseo do crear un programa más general, a fin de usarse

posteriormente para el estudio de otros problemas de Lie canica de -

Suelos. Concretamente está ya en estudio el caso de talud vertical

contenido por una pantalla anclada por parte de D. Enrique Casti—

lio Kon, y el de un túnel por parte de D. Cesar Sagaseta Millan y

este último problema tiene un contorno al que no 3e adapta el para

lelogramo.

El triángulo con deformación constante tiene la ventaja

é l , . elásticas y plásticas*

Elegido por las razones anteriores el triángulo, exis­

tia la posibilidad de "condensarlo" en cuadriláterost según la -

técnica de Ytilson, que es un artificio en general recomendable,

y que respeta en principio 1% flexibilidad de forma del elemen­

to} sin embarco, tampoco no se hizo esto debido a haber tomado -

por gula el método de programa de Cheung (Ref# 3-5? Cap# 15)»

Para la resolución del sistema la balanza queda muy -lili i < w » w i mi i III i fc—fc——mm—i*m+m •*• "'

equilibrada entre el método directo de tridiagonalización o de -

las particiones, y el iterativo de Gauss Seidel acelerado (apar­

tado B-4-3-)

Ambos aprovechan satisfactoriamente la propiedad de ma,

triz banda simétrica, aunque el primero precisa de una oapaoidad

de almacenamiento doble (opera con las matrices EL y C~;enteras -

y el de Gauss-Seidel con la mitad de ellas)*

Al tratarse de un problema plástico, donde la historia

de la carga es determinante, ambos deben resolver las distintas -

hipótesis de carga de una en una, perdiendo asi el método directo

la ventaja que tiene en elasticidad de resolver varias hipótesis

de carga simultáneamente.

El método directo asegura la resolución del problema en

un tiempo fijo, mientras que con el método iterativo, que suele -

tardar en general menos, se corre el riesgo de que no sea asi. SI

mayor peligro de la inversión de matrices, que es el de operar con

números muy altos, desaparece prácticamente al trabajar con valo­

res adimiensionales* :". • .

62.-

Duránte las iteraciones plásticas el método it-erativo -

arranca de una solución inicial más exacta que la grosera suposi­

ción de igualar las incógnitas a coros y. con ello ahorra gran can­

tidad de tieripo. Pero ul~;:o parecido le ocurre al método de la tri

diagonalinación, pusa en «1 ni los elementos plantificados están

en las últimas partió: orí?:- b'io h<y c¿ue invertir las últimas í?ub-

matriccc K^: par;, provo^-cir bien e.sta ventaja los datos deben su

ministrarse por el orden adecuado para rué la zona de plasticidad

contenida del sólido en estudio llevo la numeración de elementos y

particiones más alta.

La elección es difícil, y corno ya se indicó, la mitad de

los autores encoben una solución y la otra roitad la otra, ¿n este

caso se ha elegido el aótodo de xridiaKonalización, pese a la ven

taja aprociable del de üauss-¿eidel para matrices de banda muy an

cha (cosa oa Tf¿.,te if^cutntc). .Debe' advertirse que esta elección

es importóte, pue¿ de ella ;.r2p:_nde el tiempo total de ordenador

empleado, y además, puede condicionar el resto del programa, como

es el proceso de iteración plástica.

Para el estudio de la progresión de la zona plástica con

tenida se utiliza el procedimiento incremental de cargas, de la ma

triz de rigidez "tangente".

iSl otro posible método a emplear de la "rigidez inicial

con deformaciones iniciales ficticias" no es utilizable aqui por

tratarse de un cuerpo elastoplástioo perfecto. Por otro lado la

conclusión de Whang (Hef, B-4tíj es que es•inferior en precisión al

de la rigidez tangente.

Se dan a partir del comienzo de la rotura aumentos de •

carga constantes, y se obtiene una matriz de rigidez secante en el

6 3 -

intervalo de carga, a base de presuponer cuales serán los incremen­

tos de tensión quje aparecerán en él. ...

A fin de aumentar la precisión, las tensiones se calculan

promediando los de caá a dos triánguloÜ.contiguos.

iái mayor oefuer^o Be ha realizado en lo relativo al crite

rio c'v ult r.ti ftr.r-r.-'6ri °- >')\rado , 'it ilizándone las teorías más ri^uro

sao, ya que este en ul perito ui'.n débil de la mayoría de los autores

consultados. ¡Je enplea como modele de terreno el elastoplástico per

fecto cen el criterio de rotura de iíohr Coulomb, que tiene la venta

ja de poder contrastar los resultados con teorías y aplicaciones an

teriores, cono son estabilidad de taludes calculadas por división

en fajas ó por el m'todo de Sokclowsky (taludes isorresistentes).Fi

nalmente se ha añadido otro modelo de terreno, que es el de Mohr

Coulomb con dilrtancia constante prefijada (a la cohesión "cM y ro­

zamiento "0" se añade un tercer parámetro que es la dilatancia "v"

distinta de 0), realmente interesante para el estudio de suelos, -

pues según la experimentación se acomoda mucho más a la realidad.

Como este terreno carece de potencial plástico, la matriz

de rigidez no es simétrica, y ello ha obligado a realizar más modi­

ficaciones creando un segundo programa de cálculo electrónico algo

más complejo y lento me el primero.

B 6—2.- Organigrama*

**.-

Lectura e impre sion,de datos -geométricos.

Subrutina formación de ao dos y elementos.

Túnel Cualquiera Lectura

de nodos y elementos•

Subrutina de formación de nodos, elemen toa y par ti-"" ciónos.

Lectura de datos reológicos, de -densidad y cargas

I Formación del vec­tor de cargas.

Formación de la matriz de rigidez de cada ele mentó. "*

Agrupación de la matriz de rigidez total.

Modificación de la ma­triz de rigidez y. del vector de cargas debido a los desplazamientos prescritos.

Corrección de la ma triz de rigidez de-" los elementos plas-tificados, o q.ue -plastificaran en el nuevo incremento de carga.

Corrección de la ma­triz de rigidez to « tal.

Resolución del sistema por el método de tridia ¡gonaliz ación. "*

Resolución del siste ma para el nuevo in-cremento de carga.

Cálculo de los residuos o errores.

T Calculo de tensiones.

Cálculo de los inor£ mentos de tenaion.

Búsqueda del pri mer elomento pías tificado, y niveT de carga a c i u e -ocurre .

Cálculo del vec­tor de incremento de cargos sucesi­vos.

(/impresión de corr¿ mientos y tensio­nes totales.

Búsqueda de nue vos elementos ""* plas-tif icadoü •

69.-

B-6-3»- Manejo del programa

L o s flatos a suministrar al ordenador son loe -siguientes*

Forma y dimensiones generales del taludfy tamaño y nume­

ro de loo elementos, así como loa desplazamientos prescritos en el

contorno.

Características reoiógicas del sólido incluyendo hasta 5

constantes elásticas (caso de anisotropía transversal, y valores de

rozamiento,. de la cohesión y qtilatancia paassa cada tipo de terreno»

Cargas exteriores, puntuales sobre los nodos y fuerzas má

sicas debidas a la gravedad.

k°s resultados que impriaeel ordenador son:

Coordenadas de los nodos y elementos en que se ha descom­

puesto el terreno.

Particiones ideales para la resolución del sistema por el

método de tridiagonalización.

Datos de las propiedades reológicas del terreno o terrenos.

Datos de cargas exteriores y fuereas nodales totales equi­

valentes, incluyendo el peso propio.

Una vez resuelto el sistema dentro de la teoría elAstical

Tanto por uno de las fuerzas o del peso propio que inicia

la plastifioación. Corrimientos de los nodos y tensiones según los -

ejes coordenados y tensiones principales para cada pareja de elemen

tos en el instante de terminar la fase elástica.

ST.-

Tanto por uno de los Incrementos descarga sucesivos y

estado de corrimientos nodales y tensiones elementales al final

de dichos Incrementos, así como valor relativo del criterio de -

plastificaoión en cada elemento»

Apéndice C

PROGRAMA DE CALCULO

.y 9

A P É N D I C E - C -

L I S T A D O S D E L P R O G R A M A BBZZS—ai==:r:=irz zimsiamzx zzzzssmmmmmmammB as m-=m ciaras: am

D E C A L C U L O mstatsjtmsaesaemmmmssmtsxsmmm

2.-

i/-T?ama y subrutinao enmleadoc

Profxamadorest Cañizo Perate, Castillo Ron, Sagaseta "illán (por orden alfabético).

Ordenador» IBM 11-30 de 32 K,con disco.

Programa i PLEF 1 P ". 5

Cálculo por el método de elementos finitos de la plastifioación pro

gresiva de un terreno coulombiano con dilatanoia prefijada.

Subrutinas

PENOD

TALEX

TIJIÍEX

CAEEX

MATEF

SOLEF

TUIVP

PIAEX

i lectura de datos de una malla cualquier* (no se incluye el listado a

continuación)•

formación de la malla de nodos y elementos do un talud. P¿g# 8

ídem de un túnel (no c>e incluye el listado).

lectura y formación de las cargas y propiedades reológicías. Pá:.11

formación de la matriz de rigidez. Pá*~,15

resolución del sistema. PáV.22

subrutina de inversión de matrices (no se incluye el listado).

cálculo de tensiones, rado de tdastificación e incrementos sucesivos.

Imnresión de resultados. P .-j.?6

3

Listado de variables y datos Braosesnaseasoasassasseassaii

Al? « ángulo de eje de anisotropía con la horizontal,

AUM » tanto por uno de incremento de cargas en cada iteración plástica.

B - matriz cocimiento deformación de un elemento,

BV » valor del desplazamiento prescrito de cada nodo.

C • matriz de rigidez de un elemento (o incremento de la matriz).

CFT • coseno de 0,

CO » cohesión.

D m matriz tensión deformación.

IB « matriz tensión corrimiento de un elemento,

DEftS m densidad ( vertical, eje "yH ).

DPLA » incremento del grado de plastifioación.

EAHTH - fuerza másica ( horizontal, eje nx" ).

E 1 » módulo de Young secún el eje de anisotropía.

E 2 • módulo de Young en la dirección de los estratos.

F . • términos independientes del sistema, al resolver por sustitución.

FPLA • grado de plastifioación.

GE m módulo de rigidez.

IBLAS « vale "uno" 3i es un problema plástico.

HTÜEV - vale "uno" si se van a resolver varios problemas.

IPLAS » positivo para los elementos píastifloados.

ISCAR m vale "uno" si hay cargas suoesivas.

LBCP m vale "uno" si hay carga límite,

UOT - primera partición plastificada.

RB - "uno" si tiene desplazamiento prescrito el nodo»

NBOÜN - numero de nodos con desplazamiento prescrito.

HCAR ai míraero de vectores de carga.

ITCOLN « vale "uno" si hay tensiones iniciales.

4-

NCONC m numero de cargas concentradas.

1TELEM «i número de elementos.

1JEM m tamaño de la partición máxima.

M T D • último elemento de cada partición.

ÍTEP « tipo dé material de cada elemento.

NF o número del nodo con desplazamiento prescrito.

NPAS • número de fases de excavación o construcción.

NFTRS • primer nodo de cada partición.

1IIAST m último nodo de oada partición.

NOD « número de los nodos de cada elemento.

ÍIP » vale Muno H si es tensión plana.

NPART « número de t>articiones,

NPOIN m número de nodos,

NYM m número de terrenos distintos.

NTMI « número de zonas de terreno distinto..

P 1 » coeficiente de Poisson según el eje de anisotropía.

P 2 « coeficiente de Poisson según los estratos.

StftJ m ángulo de dilatanoia.

ST m matriz de rigidez de cada partición.

ST 1 «• matriz de rigidez de la oartición siguiente.

ST 2 n matriz de rigidez que relaciona la partición siguiente con cada

una ( si hay función potencial plástico es la transpuesta de pa£

te de ST y no se oaloula ).

TED • incremento de tensión.

TEN • tensión acumulada en el baricentro de oada pareja de elementos.

TFT • ángulo de rozamiento interno.

U « vector de cargas actuante.

ÜD f m incrementos de desplazamientos, solución del sistema.

UT « corrimiento total, de varias iteraciones o hipótasie de carga.

X » coordenadas de oada nodo.

XE - coordenadas de los nodos de un elemento.

5-

PAGE

PRINTER,1442 ;>UNCH,DISK)

NENCC1

flÑ FOR •LIST ALL •IOCSÍ2501 READER,1403 «ONE WORD INTEGERS

DEFINE FILE 8(1300,56,U,NS),9(260,36,U,ND) DIMENSIÓN X(150,2),N0D(250,3),NSTAR(18),NLAST(18) ,NFIRS(18)

18)

DIMENSIÓN NF(34),NB(34,2),BV(34,2,2),E1(4),E2(4),P1(4),P2(4),GEÍ4) 1,C0(4),TFI{4),NEP(250),AN(250),XE(3,2),IPLAS(250) ,CFI(4),SNU(4) 2,ST(28,56),STl{26,2tí),TED(375),FPLA(125),DPLAU25),AUM(2) 3fUD(300t1),F(300,1),U(300,2),TEÑÍ375fl) 4,DENS(4),EARTH(4) DIMENSIÓN ALFAÍ15) COMMON X,DELT,8\/,E1,E2,P1,P2,GE,C0,TFI,AN,UD,U,XE,C01,GE1

1,CFI,ST,ST1,TEN,TED,FPLA,DPLA,F,AUM,FPL1,SNU,ALAN,DENS,EARTH _.CDMMON JI,JJ,NP0IN,NPART,KE1,NEM,NELEM,NB0UN,NYM,NC0NC,NC0LN,IELAS 1,NP,LMEN,NS,ND,IP,LIMP,NCAR1,ISCAR,NFAS,LIM1,IU 2,IER,N0D,NEND,NFIRS,NLAST,NSTAR,NF,NB,NEP,IPLAS,NCAR,IFAS,ICAR 3,ICAF,INUEV JI=8 JJ = 5 READ( J I f 3 D A L F A W R I T E ( J J , 3 2 ) A L F A R E A D Í J I , 2 3 ) N P A R T , N P 0 I N , N E L E M , N P , I E L A S , L I M P , N E M , I N U E V , I F 0 R M , N C A R W R I T E ( J J , 2 3 ) N ° A R T , N P 0 I N , N E L E M , N P , I E L A S , L I M P , N E M , I N U E V , I F 0 R M , N C A R KE1=NELEM*0.25 KE1=NELEM-KE1*4 IF (KE1) 3 6 , 3 7 , 3 6 KE1=NELEM+4~KE1 GO TO 40 KE1=NELEM CONTINUÉ I F ( I F 0 R M ) 1 1 , 1 2 , 1 3 CALL TUNEX GO TO 14 CALL PENOX GO TO 14 CALL TALEX CONTINUÉ CALL CAREX. CALL L I N M P L E F 2 ) F 0 R M A T ( 1 4 I 5 ) F O R M A T Í l H i t ! 5 A 4 Ñ ) F0RMATÍ15A4) END

VARIABLE ALLOCATIÜNS X (RC)=7FFE-7DA8

P 2 Í R C U 7 C 7 C - 7 C 7 6 U ( R C ) = 7 8 1 0 - 7 3 6 2

S T 1 ( R C ) = 6 7 0 8 - 6 0 E A Al íM(RC)=5f>C0-56BE

J I Í I C ) ^ 5 6 A l NELEMí IC ) = 56913

N P U C ) = 5 6 9 5 NCAR1( IC)=568F-

N O D { I C ) = 5 6 8 9 - 5 3 9 C

36

37

40

11

12 13 14

23 32 31

DELT(RC)=7DA6. GE(RC)=7C74-7C6E X E ( R C ) = 7 3 6 0 - 7 3 5 6

TEN(RC)=60E8-5DFC FPL l (RC) -»56 t lC

J J ( I C ) = 5 ó A 0 NÜOUN( IC)=569A •L^EMÍ I C ) =569.4. Í S C A R Í I C ) = 5 6 t í É

N E N D ( I C ) = 5 3 9 B - 5 3 8 A

BV(RC)=7DA4-7C96 CÜ(RC)=7C6C-7C66

C O K R O - 7 3 5 4 TEDÍRC>=5DFA-5B0E SNU(RC)=56BA-5óB4

N P 0 I N ( I C ) = 5 6 9 F ' N Y M ( I C ) = 5 6 9 9

N S ( I O = 5 6 9 3 N F A S Í I C ) = 5 6 8 D

NFIRSÍ 1 0 = 5 3 8 9 - 5 3 7 8

E1(RC)=7C T F H R C ) = 7C. G E i ( R C ) = 7 3

FPLA(RC)=53 ALAN IRC ) = 5 6J-

NPARTt I C ) = 56 NCONCí IC)=56<

N D ( I C ) = 5 6 L I M K IC)=56«Í

N L A S T ( I C ) = 5 3

W«>f«

PAGE 18

RR FOR •LIST ALL •IOCSÍ2501 READER,1403 PRINTER,1442 PUNCH,DISK) •ONE WORD INTEGERS

DEFINE FILE 8(1300,56,U,NS),9(260,36,U,ND) DIMENSIÓN XÍ150,2),N0D(250,3),NSTAR(18),NLAST(18),NFIRS<18),NENC(

18) DIMENSIÓN NF(34),NB(34,2),BV{34,2,2),E1(4),E2<4),P1(4),P2(4),GE(4)

1»C0(4),TFI(4),NEP(250),AN(250),XE(3,2),IPLAS(250),CFI(4),SNU<4) 2,ST(28,56),ST1(28,28),TED(375),FPLA(125),DPLA(125),AUM(2) 3rt«H3ÜO,l),F(300,l),UÍ300,2),TEN(375,l) 4,DENS(4),EARTH(4)

COMMON X , D E L T , B V , E l , E 2 , P l , P 2 , G E , C 0 , T F I , A N , U D # U , X E , C 0 i f G E l ltCFI,ST,STl,TEN,TED,FPLA,DPLA,F,AUM,FPLl,SNU,ALAN tOENS,EARTH

COMMON JI,JJ,ÑP0IN,NPART,KEl,NEM,NELEM,NBOüNríf¥MTNCONCfNC0LN fIELAS l ,NP,LMEN,NS,ND, IP ,L lMP,NCARl , ISCAR,NFAS,LIMl f IU 2,IER,N0D,NEND,NFIRS,NLAST,NSTAR,NF,NB,NEP,IPLAS,NCAR,IFAS,ICAR 3rieAF,INUEV ICAF=0 IFAS=0

1029 IF(ISCAR)100,100,J01 100 IF(NFAS)105,105,102 102 GO TO 109 101 IF(IP)905,905,103 .-•^•^•: .^-,. 905 WRITE(JJ,7001)ICAR

GO TO 105 103 IF(IU)105,105,113 113 AUMÍ1)=AUM(ICAR)

IF(FPL1~1.U14,115,115 115 AM~AUM(1)

GO TO 116 114 AM=1. 116 DO 117 I=1,NP0IN

11=2*1-1 12=11+1 U(I1,1)=U(I1,ICAR)*AM

117 U(I2,1)=U(I2,ICAR)*AM 105 CALL MATEF

CALL SOLEF IF(IER)109,1019,109

1019 CALL PLAEX IFUELASU026,1026,1030

1030 IF(IP)1024,1024,1025 1024 NIT=0

' . IP=1 WRITE(JJ,2000)

2000 F0RMAT(Ñ,« FIN DEL ESCALÓN ELÁSTICO») WRITE(JJ,500)

500 FORHAT(1H1) IF{FPLl)1026,1026,3002

3002 IFÍFPL1-1. )1033,1029,1029 1033 IF(LIMP)1029,1029,1026 1025 IF(10)8001,8001,8002 8001 NIT=NIT+1

ANIT=NIT WRITE(JJ,25)NIT

->. £&**.4*J&ÍH¿^.> ~%;^B^J^-±<¿*&,-'i,Kj^>*^lM^¿^-*¿^.<¿:* iiaíéih,'

?-PAGE 19

25

8002 8003

1052 7002

7003

7004

1026 107 108

7001

106 109 999 20

FORMATÍH,» FIN DE LA ITERACIÓN PLÁSTICA NUMERO»,14) GO TO 8003 IU=IU-1 WRITEÍJJ,500) , IF(LIMP)1029,1029,1052 IF(IPL)7002,7002,7003 FP=1.RFPL1 GO TO 7004 FP=ALAN IPL=0 C0MP=í1.+ANIT*AUM(1))»FP IFÍCOMP-1.)1029,1026,1026 IF(ISCAR}106,106,107 IF ( ICAR-NCAR1)108 , }09 ,109 ICAR=ICAR+1 IP = 1 -f H T = 0 • • . • • ' . . . ' WRITEÍJJ,7001ÍICAR FORMATÍÑ,» VECTOR DE CARGA NUMERO»,13,RR) IU=2 GO TO 1029 CONTINUÉ IF(INUEV)999,999,20 CALL EXIT CALL LINK(PLEFl) END

VARIABLE ALLOCATIONS X(RC)=7FFE-7DA8 P2(RC)=7C7C-7C76 UÍRC)=7810-7362

ST1ÍRC)=6708-60EA AUMÍRC)=56C0~56BE JI(IC)=56A1

NELEMÍIC)=569B ,NPÍIC)=5695

NCAR1ÍIC)=568F NODÍIC)=5689-539C

N8( IC)=5331-52EE ICAF(IC)=50FÓ

I I I )=0016

DELTÍRC)=7DA6 8VÍRC)=7DA4-7C96 EMRC)=7t GEÍRC)=7C74-7C6E CG(RC)=7C6C-7C66 TFIÍRC)=7C XEíRC)=7360-7356 CQ1(RC>=7354 GE1(RCÍ=7Í

TENÍRC)=60E8-5DFC TEDÍRC)=5DFA-5B0E FPLAÍRC)=5£ FPL1ÍRC).=56BC SNUÍRC)=56BA-56B4 ALAN(RC)=5¿

JJ Í IC )=56A0 NP0INÍ IC)=569F NPARTííC)=5é NB0UNÍIC)=569A NYM(IC)=5699 NC0NC(IC>=5¿

LMENÍIC)=5694 NS(IC)=5693 N 0 Í I C ) = 5 í ISCARÍIC)=568E NFASÍIC)=568D " 'L IMK IC )=5í

NENO(IC)=539B-538A NFIRSÍ IC)=5389-5378 NLASTÍ IC)=5i NEPÍIC)=52ED-51F4 IPLASÍIC)=51F3-S0FA NCAR(IC)=5C

INUEVUC)=50F5 AMÍR )-OOOE ANITÍR )=0C 11(1 )=0017 I2ÍI )=0018 NITÍI )=0C

STATEMENT ALLOCATIONS 2000 =0025 500 =0035 25 =0038 7001 113 =009C 115 =00AE 114 =0086 116 =O0BA 1033 =012C 1025 =0132 8001 =0136 8002 =0149 107 =0182 108 =0188 106 =01A2 109 =01A2

117----00E1 105 8003 *C14F 1052 999 =01A6 20

= 0036 -OOFE = 0157 = 01A7

FEATURES SUPPORTED ONE WORD INTEGERS IOCS

CALLEO MATEF SFIO

SUSPRÜGRAMS SOLEF PLAEX SIOI SUBSC

FSU3 PRNZ

FMPY SOFIO

FMPYX PNCHZ

FOIV FLO FLDX

REAL CONSTANTS •100000E 01=0020

rj?-*' "í^vsapy.' •

PAGE 4

flfl FGR •LIST ¿LL •ONE WORO INTEGERS

SU8RQUTINE TAtEX OIMENSIGN X<150,2),N00<250,3),NSTAR(l8)tNLAST(l8),NFIRSC18),N 18) DIMENSIÓN NF<34),N8<34,2),BV(34,2,2)tEi<4>,E2(4)»Pl<4)tP2(4í » ltC0(4),TFIl4),NEPt250),ANC250),XE(3,2),IPLAS(250> ,CFI{4),$NU( 2,ST(28,56),SU(28,28),TEO<375),FPLA<125),DPLAC125),AUM<2) 3,UOt300,l),F<300,l),U<300,2),TEN<3 75,U 4,0ENS(4),EARTHÍ4> COMMON X,0ELT,8V,Ei»E2,Pl,P2,GE,C0,TFI,AN,UD»UfXE,Cai,GEl

X,CFI,ST,ST1,TEN,TEO,FPLA,DPLA,F»AUM,FPtl,$NÜ,ALAN,ÜENS,EARTH COMMON Jl,JJ,NPOIN,NPARr,KEl,NEM,N£LEM,NBOUN,NYM,hCGNC,NCOLN, l»NP,LMEN,NS,NO,IP,LIMP*NCARl,I$CAR,NFAS,LIM1,IU 2,IER,NQD,NEND,NFIRS»NLASTtNSTAR,NF,NB,NEP»IPLAS,NCAR,IFAS,ICA

C FORMACIÓN NODOS,ELEMENTOS Y PARTICIONES 00 35 I*1,NPGÍN

xu,n»o. 35 XCI,2)*0.

00 38 I*1,KE1 DO 38 J*l,3

38 NGDU,J)*0 WRITE(JJ,16> REA0<JI ,23)NHl,NH2,NLl,NL2»NP0L,N£LL,tGRA0 WRITEUJ,23)NH1»NH2»NL1,NL2,NPQL,NELL,IGRAP REAO C J I , 2 5 ) 8 1 , B 2 , 8 3 , B 4 REAO Í J I , 2 5 ) A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 , T A W R I T E U J , 2 5 ) 8 1 , 6 2 , 8 3 , 8 4 , Al ,A2,A3,A4,A5»A6 f TA

'UR ITEUJt l . 71 c

0ELT*A8S11.882) D A l « t A 2 - A i > 8 < N L i ~ U 0A2* íA4-A3)R(NL2~ l ) 0 A 4 » ( A 6 * A 5 ) R ( N H - 1 ) 081«(82-81)R(NH1~1) 082* (84~B3)RÍNH2-1 )

KE=0 , . H12"=NH2*.5*(83*B4> , ,

HL*HL2+NHÍ*.5«{S1+B2) ' " NH3-NH1+NH2+1 NL3«NLl+NL2+l D A 5 * 0 . - .. -v •..':•• -. • •••. ••- • D T A 1 « 0 . AX*HL*TA DO 1 0 0 1 = 1 , N L 3 •••••* w ' : -

AL=LA , IF ( 1 - 2 ) 4 9 * 4 1 , 4 2

41 DÁ3=Al OA5*A5 GC TO 49

42 IF CL-NL1-2) 4 S , 4 6 , 4 7 45 ÜA3*0A3+DA1

D A 5 = C A 5 * 0 A 4 _: ' '>''••••• •'- ••- ' •—:—

PAG6 5 '•'" \" '' ' "'*•'"•• "';:-•:-' \ '

GO TG 49 46 OA3-A3

GO TO 49 47 0A3-DA3+UA2 49 AX»AX*DA3

DTAl*DTAl+(OA3-DA5)RHL2 BX*HL 083*0* DO 100 J«1,NH3 JB-J-1 8J»J8 IF UA-NL1) 70,70,60

60 NH«NH1+1 IF U-NH) 65,65,100

65 IF(J-2)76,66,67 66 0B3*B1

GQ TO 80 67 D83«DB3+Ü81

I F ( J 8 - N H l ) 8 0 , 5 9 , 5 9 59 N t * N H 4 l

GO TO 80 70 IF (IGRAO-U 71 ,62 ,100" 62 ÍF (L-NLU 7 1 , 6 3 , 1 0 0 63 DO 68 l « i , N E t t , 2

KE«1+KE K2*K£U R E A 0 ( J l f 2 2 ) K 3 , ( N G D ( K E , K i ) f K l * l , 3 ) , ( N a 0 C K 2 , K ! . í , K I « l , 3 > I F ( K E - K 3 ) U 4 , 6 8 , 1 3 4

134 W!UTE{JJ,20) CALI EXIT

20 FQRKATI9H DATO MALA////) .?..:. .

DO 69 l*l,NPGL K*l+K R£AD(JI,2n«,XCK,U,XCKf2) IFÍK-KJ34,69,34

34 WRITE(JJ,20> CALt EXIT

69 WRIT6(Jsl,2Í)K,X<K,Í),X{K,2>

l l ) t N E N D C t + l > , N t A S T ( t + n , N S T A R { L * 2 > , N F I R S { t 4 ' 2 ) IGRAÜ»2 GO TÜ ioo ~~ - " . •• • , •- . ~~^~

71 NH«NH3 IFU-NHl-2*65, 73,74

73 083=83 DTA^DTAl GG TO 80

74 o83»Ge3*082 ..-• -...---..-..-...--~: GQ TQ 80

76 OTA-0* . l H I G R A D - 2 ) l 0 5 t 106,105 , : _

105 N!FÍRS{LÍ^K4 1 NSrAR(M«K£+l GO TQ 1 0 7 . — T - ; : - - . - • - - :

106 ÍGRA0«3

PAGE

40r

107 80

86 87

86

89

100

101

102

43 16 17 18 19 21 22 23 25

NL*NL3 K»K+1 BX*8X-0B3 IF<J-NH)86t88f88 IF(L-NL)87f89,89 KE*KE+i N00CKE»1)*K NGGíKE»2)«K4NHn N00(KE f 3)»K«*NH KE«KE+ l N 0 D < K E f l ) » K N 0 D ( K E , 2 ) « K + 1 N Q 0 ( K E » 3 ) * K + N H * i 00 Tü 89 NLAST(L>»K NEND<L)*KE %

X ( K , l ) = A X - T A » ( H L - B X ) - D T A * ( H t 2 - 8 X ) X ( K » 2 ) * 8 X W R I T E ( J J » 2 1 ) K » X ( K f l ) , X ( K t 2 í CONTINUÉ M R I T E U J » 1 8 ) 00 101 I»ltKElf4

' 1 2 « Í 4 2 • .Y-*-" •••••« ' Í3«I43 MRITEf J J t 2 2 } I . f ( N Q 0 ( - I f J ) 9 > l 9 3 ) v ( N 0 D ( I Í v J Í 9 J » l # 3 ' ) t ( N 0 0 ( I 2 , J ) , J

l . t C N G 0 I I 3 9 J ) , J * l t 3 > W R I T E ( J J t l 9 ) DO 102 I * 1 , N P A R T W R Í T E ( J J , 2 3 ) f t N F l R $ ( ! ) » N L A S T ( n t N S T A R ( í í , N £ N O ( n 00 43 í = i » N P O t N 00 43 J » l , 2 X < I t 4 » * 0 e i T * X ( I » J > FGRHAT( f l l2H DATOS TALUOfO F0RMATIR2X- f 15HNG0G CQGRDEN X , 8 X » I H Y Ñ ) F0RHAT( fU6H ELEMENTO NQÓOSfl) F0R8AT<fü?6H PARTE NODOS ELEMENTOS*}) F 0 R M A T ( I 5 , 4 F 1 4 * 6 ) F 0 R M A T { I 5 > 4 C 3 I 4 f 4 X U . F G R K A T Q 2 Í 5 ) F 0 R M A T ( U F 8 . 3 > RETURN END

VARIABLE ALLGCATIONS X(RC>=7FFE-70A8

P2(RC>=7C7C-7C76 U C R C ) * 7 8 l 0 - 7 3 6 2

STHRC)=*670 í * -60£A AUM<RC>«56C0-568E . ¿ I . ( Í C ) * 5 6 A 1

N E L E M t I C ) a ? 6 9 8 N P U O - 5 Ó 9 S

N C A R 1 U C M 5 6 8 F N G 0 C I C ) » 5 ó 8 9 - 5 3 9 C

N 8 C I C ) * 5 3 3 1 - 5 2 E E '• 6 K R ) « 0 0 0 0

0 £ L T ( R C ) * 7 D A 6 GE(RCÍ *7C74~?C6E X E ( R C ) * 7 3 6 0 - 7 3 5 6

" :-"-TEW(RCl«60E8-5DFC F P L 1 ( R C ) * 5 6 8 C

J J ( I C ) * 5 6 A 0 N B G U N U C ) * 5 6 9 A

LHENCIC) «55694 I S C A R U C ) » 5 6 8 E

N£N0CIC1 'a5396-538A N E P ( I C > * 5 2 E 0 ~ 5 1 F 4

B2CR 1*000 2

8 V ( R C ) * 7 D A 4 ~ 7 C 9 6 E U R C0(RC) = 7CóC-7C66 T F K R

CQ1CRCM7354 GEUR TE0 ÍRCJ«5ÜFA-580E FPLAC". SNÜ{RC>*568A-56B4 A L A N U

f4PÜXH( IC)=569F N P A R T d NY«(1C")*S"699 NCOJVCI í

N S ( I C ) * 5 6 9 3 N O ( I NFAS( IC - )»5660 L í t f l í 1

N F I R $ T T C t * 5 3 r B 9 - 5 3 7 8 NLAST( l ! P L A S ( Í C ) * S 1 F 3 - 5 0 F A NCARI I

63 (R 1=0004 04 {11

*•-<..¿¿Mrf •JfcdfrhW i» rJWjflji i - fctfa^»ttfaj -*^ ^ : , ; ^ ^ : - ^ ^ > ^ l ^ ; . &á&

PAGE

* / . -

ÑÑ FOR • L I S T ALL •ONE WORD INTEGERS

SUBROUJINE CAREX DIMENSIÓN X ( 1 5 0 , 2 ) , N O D ( 2 5 0 , 3 ) , N S T A R ( 1 8 ) , N L A S T ( 1 8 ) , N F I R S ( 1 8 ) , N E N D Í 1

18) DIMENSIÓN N F ( 3 4 ) , N B { 3 4 , 2 ) , B V ( 3 4 , 2 , 2 ) , E 1 ( 4 ) , E 2 ( 4 ) , P 1 ( 4 ) , P 2 ( 4 ) , G E ( 4 )

1 , C O ( 4 ) , T F I ( 4 ) , N E P ( 2 5 0 ) , A N { 2 5 0 ) , X E ( 3 , 2 ) , I P L A S ( 2 5 0 ) , C F I ( 4 ) , S N U ( 4 ) 2 , S T ( 2 8 , 5 6 ) , S T K 2 8 , 2 8 ) , T E D ( 3 7 5 ) , F P L A ( 1 2 5 ) , D P L A ( 1 2 5 ) , A U M ( 2 ) 3 , U D ( 3 0 0 , 1 ) , F ( 3 0 0 , 1 ) , U ( 3 0 0 , 2 ) , T E N ( 3 7 5 , 1 ) 4 , D E N S ( 4 ) , E A R T H ( 4 ) I

COMMON X , D E L T , B V , E 1 , E 2 , P 1 , P 2 , G E , C O , T F I , A N » U D , U , X E , C O I , G E 1 l , C F I , S T , s r i , T E N , T E D , F P L A , D P L A , F , A U M , F P L l , S N Ü r A L A N t D E N S , E A R T H

COMMON J I , JJ ,NPG1N,ÑPART,KE1,NEM,NELEM,NBOUN,NYM,NCONC,NCOLN, IELAS _ _ _ _ . J U M P , L M E N , N S , N D , I P , L I M P , N C A R l f I S C A R , N F A S , L I M 1 , I U

2 , I E R , N 0 D , N E N D , N F r R S , N L A S T , N S T A R , N F , N 8 , N E P , I P L A S , N C A R , I F A S , I C A R

PROPIEDADES REOLOGICAS IDAT=0 W R I T E ( J J , 3 8 )

38 FORMATÍÑ,» TIPO ZON DESPL CARG NUM») W R I T E ( J J , 3 9 )

39 FORMATÍ" SUEL HET PRESC SUC FASES»,Ñ) READ ( J I , 2 3 ) N Y M , N Y M I , N B 0 U N , I S C A R , N F A S W R I T E ( J J , 2 3 ) N Y M , N Y M I , N B 0 U N , I S C A R , N F A S W R I T E ( J J , 1 3 )

13 F0RMAT(Ñ17H PROP. REOLOGICAS) ' ' * W R I T E ( J J , 1 4 )

14 FORMATÍÑ» MODULO ELASTICIDAD G COEF POISSON COHES 1 FUERZA MASICA D I L A T A N C )

W R I T E ( J J , 2 0 1 ) 2 0 1 F 0 R M A T Í 7 X , » X , , 9 X , , Y , , 1 6 X , « X » , 6 X , , Y » , 1 2 X , , R 0 Z « , 5 X , « Y » , 6 X , ' X » , Ñ )

DO 3 1 I = 1 , N Y M READ ( J I , 2 6 ) E l ( I ) , E 2 ( I ) , G E U ) , P 1 U ) , P 2 C I ) , C 0 ( I ) , T F I ( I )

1 » D E N S ( I ) , E A R T H ( I ) , S N U Í I ) 3 1 W R I T E ( J J , 2 6 ) E 1 ( I ) , E 2 ( I ) , G E ( I ) , P 1 Í I ) , P 2 ( I ) , C 0 ( I ) , T F I í I )

1 , D E N S ( I ) Í E A R T H U ) , S N U ( I ) G E 1 = 1 . Ñ G E ( 1 )

'.'••• C01=GE1*DELT r' "^ -Vv-'- ;.-. '" :-DO 29 I = l t N Y M T F I ( I ) = T F I ( I ) * 0 . 0 1 7 4 5 3 CF I ( I ) =COS ( TF I ( I ) ) - - : - : - — — • • •• • • •••;•••- —

' . T F K I ) = S I N ( T F I ( I ) ) S N U Í I ) = S N U ( I ) * 0 . 0 1 7 4 5 3 S N U ( I ) = S I N ( S N U ( I ) ) E l ( I ) = E 1 ( I ) * G E 1 E 2 ( í ) = E 2 ( I ) * G E 1 C 0 ( I ) = C G C I ) * G E 1

29 G E ( I ) = G E ( I ) * G E 1 I F ( N Y M - 1 ) 3 2 , 3 2 , 3 3

33 CONTINUÉ * , „ : : , : W R I T E Í J J , 7 )

7 F0RMAT(Ñ13H NO HOMOGÉNEOS) W R I T E ( J J , 8 ) '• • ..__,_:.....:..

8 FGRMATUX, 'ELEMEN DO 34 I = 1,,MYMI

TIPO A N G U L O S Ñ )

•.í°?Vvv.-:-*»

T f^tÜiil^fl^-ttijS» • -*--.••.. sa£*.v„

tó-PAGE 8

34

32

9 44

501

U

READ (JI,24)NPRI,NULT,NEPItAX WRITE(JJ,24)NPRI,NULT,NEPI,AX DO 34 J=NPRI,NULT NEP<J)=NEPI AN<J)=AX GO TO 44 DO 9 I=1,NELEM AN(I)=0. NEP(I) = l CONTINUÉ NPUN2=NPOIN*2 CALCULO CARGAS DO 300 L=1,NCAR WRITE(JJ,501)L F0RMAT(fl,20H HIPÓTESIS CARGA N0.,I2,Ñ) WRITE(JJ,11) FORMAT(Ñ,« CONTORNO (0=DESPL. PRESCRITO 1SCRIT0 )«,Ñ)

, 1=DESPL. NO PRE», •

WRITE{JJ,200) 200 FORMATÍÑ,2IX,»DESPLAZAMIENTOS»)

WRITE{JJ,12) 12F0RMATC NODO X Y X», 12X, • Y» ,fl)

DO 30 I=1,NB0UN READ íJI,24)NF(I),N8íI,1),NB(I,2),BV(I,1,L),BV(I,2,L) WRITE(JJ,24)NF(I),NB(I,1),NB(I,2),BV(I,1,L),BV(I,2,L) BV(I,1,L)=BV(I,1,L)*DELT

30 BVÍI,2,L)=BV(I,2,L)*DELT

0=N0 HAY 1 = SI HAY»tf3) WRITE(JJ,10)

10 FORMATÍÑ,» FUERZAS WRITE(JJ,210)

210 FORMATÍ» F. CONC MASA Y- X AUM»,fl) READ (JI,23)NC0LN,NC0NC,IDENS,IEART,IAUM WRITE(JJ,23)NC0LN,NC0NC,IDENS,IEART,IAUM AUMÍD^IAUMÑílOCO. DO 99 I=1,NPUN2 U ( I , L ) = 0 . IF (NCONC) 107,106,107 DO 98 1=1,NCONC RfcAD(JI,21) K,U(2*K-1,L),U(2*K,L) WRlTEÍJJf21) K,U(2*K-1,L),U(2*K,L) IF(NCOL,N)108,109,108 DO 91 I=1,NP0IN,2 12=2*í READ <JI,21)J,UT,VT,V0L,AX IF(J-I)82,83,82 WRITE(JJ,20) F0RMATÍ9H DATO MAL,ÑÑÑÑ) CALL EXIT CON'TINUE WRITEÍJJ,21)I,UT,VT,V0L,AX U( I2-1,L)=U( 12-1,D+UT U( I2+l,L)=UÍI2+1,L) + V0L U( 12 + 2, L)=UÍ I2+2,L)+AX

91 U(I2,L)=Ü(I2,L)+VT 109 IF(IDENS)li0,112,ll0

99

107

98 106 108

82 20

83

PAGE 9

112 IF(IEART)110,111,110 110 DO 93 II=1,NELEM

J=NfcP(II) DO 94 1=1,3 J1=NGD(II,I) XE(I, 1)=X(Jl,l)

94 XEU,2)=X(J1,2) V0L=XE(2,1)*(XEÍ3,2)-XE(1,2))+XE(1,1)*(XE(2,2)-XE(3,2)) VOL= .166667*{V0L+XE(3,l)#{XE(l,2)-XE<2»2)n IF(VQL)194,194,196

194 IOAT-rr 27 FORMATÍ» DATO MAL ELEMENTO»,15,ÑRRÑ)

WRITE(JJ,27)IDAT 196 CONTINUÉ

VOL=VOLK(DELT*DELT) ' -^^^-^^^: UT=VOL*EARTH(J) VT=VOL*DENS(J) •/ ' y^í-^M DO 93 1=1,3 J2=2*NOD(II,I) Ü(J2-1,L)=Ü(J2-1,L)+UT

93 U(J2,L)=U(J2,L)+VT r^-,^u~jy,.\.-¿ 111 WRITE(JJ,15) l:.y" W^'-\^:-y. .::. 15 F0RMATÍÑ7H CARGASE)

WRITE(JJ,122) .—:—.,..— 122 F0RMATÍ2Í» NODO CARGA X«,7X,«CARGA Y «),Ñ)

DO 55 l=l,NP0IN,2 11=1+1 12=2*1

55 WRITE(JJ,121)I,UU2-1,L) ,U( 12, L), 11,U( 12 + 1,L ) ,U( I 2+2, L ) 121 F0RMAT(2(I5,2F14.6,4X))

DO 54 I=1,NPUN2 54 U(I,L)=U(I,L)*C01

300 CONTINUÉ WRITE(JJ,22)DELT,GE1 WRITE(JJ,1000)

1000 FORMAT(lHl) IP=0 IU=0 LMEN=1 DO 123 I=1,NELEM

123 IPLAS(I)=0 IF(ISCAR)400,400,401

400 IF(NFAS)402,402,401 401 NCAR1=NCAR _____

NCAR=1 LIM1=LIMP tIMP=l

402 ICAR=1 IFMDATÍ 116 ,116 ,117

117 CALL EXIT 116 CONTINUÉ 21 F0RMAT(I5,4F14.6) 22 FCRMATÍR14H ESCALA LÜNG=-, F 10» 5, 7H TENS=,F10»5> 23 F0RMAT(14I5) 24 F0RMAT(3I5,2F12.6) 26 FORMAT(3F10.1,7F7.3)

PAGE 10

RETURN ENO

VARIABLE ALLOCATIONS X(RC)=7FFE-7DA8 DELT(RC)

P2(RC)=7C7C-7C76 GE(RC) U(RC)=7810-7362 XE(RC)

ST1(RC)=6708-60EA TEN(RC) AUM(RC)=56C0-56BE FPLKRC)

J I ( IC)=56A1 J J ( I C ) NELEMUC)-=5498 NBOUN(IC)

N P ( I U = 5 6 9 5 LMEN(IC) NCAR1(.IC)=568F ISCAR(IC)

NODÍIC)=5689-539C NENDÍIC) NBÍ IC)=5331-52EE NEP(IC) AX(R )=0000 UTÍR )

I Í I )=000C NPRKI ) Ul )=0012 IOENSd J

I I Í I )=0018 ' J K I )

STATEMENT ALLOCATIONS

ñ~

=7DA6 =7C74-7C6E =7360-7356 =60E8-5DFC =56BC =56A0 =569A =5694 =568E =539B-538A =52ED--51F4 =0002 =0000 =0013 =0019

38 12 22 44 109 300

= 0030 =00F8 =0175 =02FD =0462 =05B0

39 10 23 30 112 123

= 0040 = 010A = 0186 --0361 =0466 =05D5

13 210 24 99 110 400

=0050 =0110 =0189 =03A5 =046A =05EB

14 20 26 107 94 401

FEATURES SUPPORTEO ONE WORD INTEGERS

CALLEO SUBPROGRAMS FCOS FSIN FSUBX SCOMP SIOFX SIOIX

REAL CONSTANTS .100000E 01=0022

FMPY SIOF

FMPYX crní

BV(RC) CO(RC)

COKRC) TEO(RC) SNU(RC)

NPOIN(IC) NYM(IC) NSÍIC)

NFASÍIC) NFIRSCIC) IPLAS(IC)

VTÍR ) NÜLTd ) IEARTÍI J

J2U )

= 7DA4 = 7C6C-=7354 =5DFA-= 56BA-=569F =5699 =5693 =568D =5369-«51F3-=0004 =000E =0014 =001A

•7C96 -7C66

•5B0E -5684

5378 50FA

=005C = 012C =018E

201 27 31

=03BD 98 =0496 194 =05EF 402

= 0089 = 0137 -CÍE 7 = 0308 = C4E4 = 05FF

FDIV SUBSC

FOIVX FLD

.174530E-01=0024

INTEGER CONSTANTS 0=002C 1=002D 2=002E

CORE REQUIREMENT.S FOR CAREX COMMON 12042. VARIABLES

.OOOOOOE 00=0026

3=002F

34 PROGRAM 1512

ENO OF COMPILATION

ÑÑ DÜP

El( TFIÍ GEK

FPLAl ALANÍ

NPARTÍ NCONCÍ

ND( LIM1Í

NLASTÍ NCAR( VOL(

NEPK IAUMÍ

Il(

RO=/ RC) = ? RC)=7 RC)=5 RC) = 5 IO = 5 IC)=5 IU=5 TU =5 IU=5 IC)=5 R ) = 0 I )=0 I )=0 I )=0

7 15 29 106 196 117

= 00A1 = 0148 = 027A = 03EF = 04EE = 0607

FLDX

•100000E 0¿

•DELETE CART ID 0EC1

CAREX DB ADOR 2838

«STORE WS UA CAREX CART ID 0EC1 DB ADDR 2B4B

DB CNT 0064

DB CHT 006 7

Ñft EJECT

i J* *i'»fel5id!a»«-^.'¿_*t . £&&..

PAGE 45.-

RÑ JOB

LOG DRIVE 0000

CART SPEC 0EC1

CART AVAIL 0EC1 0EA4

PHY ORIVE 0000 0002

V2 M06 ACTUAL 32K CONFIG 32K

RR FOR «LIST ALL *ÜNE WORD

121

400

401 402

129

124

INTEGERS SUBROUTINE MATEF . DIMENSIÓN X(150,2),N0D(250,3),NSTAR(18),NLASTf18),NFIRS(18),N£Nü(l 18) DIMENSIÓN NF(34),NB('34,2),BV(34,2,2),EH4),E2{4>,P1Í4),P2(4),GE(4) l,C0(4),TFn4),NEP(250),AN{250),XE(3,2),IPLAS(250),CFI(4),SNU(4) 2,ST(28,56),STl(28r28),TED(3 75),FPLA(125),DPLA(125),AUK<2) 3fUQÍ300,1),F(300,1),U(300,2),TEN(375,1) 4,DENS(4),EARTH(4) DIMENSIÓN B(3,6) ,C(,6,6) ,DB(3,6),ZX(3)»ZY(3),0(3,3) 1,D1(3,3),C1(6,6),DB1(3,6),NG(28),'ST2(28,28) COMMON X,DELT,BV,E1,E2,P1,P2,GE,CG,TFI,AN,UD,U,XE,COI,GE 1 1,CFI,ST,ST1,TEN,TED,FPLA,DPLA,F,AUM,FPL1,SNU,ALAN,DENS,EARTH COMMON JI,JJ,NP0IN,NPARr,KEl,NEM,NELEM,N80UN,NYM,NC0NC,NCGLN,IELAS 1,NP,LMEN,NS,ND,IP,LIMP,NCAR1,ISCAR,NFAS,LIM1,IU 2,IER,N0D,NEND,NFIRS,NLAST,NSTAR,NF,NB,NEP,IPLAS,NCAR,IFAS,ICAR EQUIVALENCE (Cl(1,1),AN<11)),(C(1»1),ANÍ47)),(DB1(1,1),AN(83) )

1,(DB(1,1),AN(101)),(B(1,1),AN(119)J,(NOÍi),AN(137))

FORMACIÓN DE MATRICES NE1=2«NEM DO 121 1=1,NEM DO 121 J=1,NEM ST1(I,J)=0, NÜEP=0 IOES=0 DO 200 II^LMEN,NPART NST=NSTAR(II) NEN=NENü(II) K1=NFIRS(II) L = NLAST(ID-M=2*(L-K1+1) IF (II-NPART) 400,401,400 — — -NA=2*(NLAST(II+l)-Ki+l) ' •*' GO TO 402 NA = M N=NA-M MM=M+1 MN=M+N DO 124 1=1,NEM N0(I)=0 DO 12 3 J^1,NFM ST2(I ,J)=0. DO 124 J=l,Ntl ST( I , J)=0. -. • --••:. DO 122 1=1,M

PAGÉ 2

DO 122 J=1,M S T ( I , J ) = S T 1 ( I , J )

122 STK I , J ) = 0 , IF<NEN-NST)158,128,128

128 CONTINUÉ DO 150 LK=NST,NEN I F ( I P ) 1 2 5 , 1 2 5 , 1 5 1

151 LK1=0 .5* (LK+1) I F ( I P L A S Í L K ) - 1 ) 1 5 0 , 1 0 5 , 1 0 3

103 I F ( I P L A S ( L K ) - 4 ) 1 0 5 , 1 0 4 , 1 0 4 104 IDES-1

GO TO 125 105 IF(FPLA(LKl)-0.9999)106,125,125 106 IF( IU-D2002,2002,150

2002 NUEP=1 125 DO 126 1=1,3

J1=N0D(LK,I) XEU,1) = XU1,1)

126 XE(I,2)=X(J1,2)%

DO 130 J=l,6 DO 130 1=1,6 C( I, J)=0. IF(I-3)131,131,130

131 DB(I,J)=0. B(I,J)=0. IF(J-3)132,132,130

132 D(I,J)=0. 130 CONTINUÉ

QRX=<XE( 1,1)+XEÍ2,1)+XE(3,1))«.333333 0RY=(XEÍ1,2)+XE(2,2)+XE(3,2))*.333333 DO 135 1=1,3 XE(I,l)=XE(I,i)-ORX

135 XE(I,2)=XE(I,2)-ÜRY C C CALCULO DE RIGIDECES ELEMENTOS

ZXU)=XE'(2,2)-XE<3,2) ZX(2)=XE(3,2)-XE<1,2) .ZX<3)=XE(lf2)-XE(2f2) ZY{l)=XEÍ3,l)-XE(2,l) 2Y(2)=XE(l,l)-XE(3t1) ZY(3)=XE(2,1)-XE(1,1> ZK=XE{2,1)*XE(3,2)-XE<3,1)*XE<2,2) Z=3.*ZK DO 139 1 = 1,3 12=2*1 b( 1,I2-1) = ZX(I)ÑZ B(2,I2)=ZY(I)RZ B(3,Í2-1)=B(2,I2)

139 B(3tI2)=B(l,I2-l) Z=Z*0.5 IF(IP)211,211f2l2

211 CONTINUÉ C

J=NEP(LK) YH1=E1(J) YM2=E2(J)

PAGE 3 . ' . . . : . . I T l

.PR1=P1(J ) P R 2 = P 2 ( J ) G=GE(J) IF (NP) 1 4 7 , 1 4 8 , 1 4 7

C C DEFORMACIÓN PLANA

148 EE=YMlflYM2 Y M 1 = Y M 1 Ñ ( 1 . - P R 1 * P R 1 )

YM2=YM2Ñ(1 . -EE*PR2*PR2) P R 2 = ( P R 2 + P R 1 » P R 2 ) Ñ ( 1 . - E E * P R 2 * P R 2 )

C C TENSIÓN PLANA 147 EE-YM18YM2

DEN=YM1Ñ(1.-EE*PR2*PR2) D(l.l)=OEN D(2,1)=PR2*DEN Di 1,2)=0(2,1) DÍ2,2)=0ENÑEE ' D(3,3)=G

C GO TO 161

212 IF(NUEP)219,219,211 219 IF(IDES)216,216,211 216 LK2=3*LK1

IFÍIU-1)1206,1206,1217 1206 IF(NUEP)1216,1216,1208 1208 0RE=(1.-FPLAÍLKl))ÑíABS(DPLA(LK1)))

IF(ORE-K) 1209,1209,297 297 GRE=1. 1209 PR1=(TEN(LK2-2,1)-TEN(LK2-1,1))*0*5+.5*ÜRE* ( TE0ÍLK2 -2)-TEÜ(LK2-1))

G=TEN(LK2,1)+T'EDUK2)*0RE GO TO 1216

1216 PRl={TEN(LK2-2,l)-TEN{LK2-l,l))*0.5+.25*ÍTED(LK2-2)-TEDíLK2-l)) G=T£N(LK2, 1)+.5*TED'( LK2) GO TO 1218

1217 PRl=(TEN(LK2-2f1)-TEN(LK2-1,1))»0.5 G=TEN(LK2,1)

1218 CONTINUÉ PR2=PR1*PR1 FA2=PR2+G*G FA=SQRTÍFA2) I2=NEP(LK) 0RX=1.Ñ(1.-2.*P1(I2J+TFIU2)»SNÜ(12)) . ORY=ÍTF I ( Í 2 ) * G R X ) Ñ F A ~ ~ ~ ~ ~ ~ 0 R Z = ( S N U ( I 2 ) * 0 R X ) f t F A Z K = < í l . - 2 . * P H 1 2 } ) * C R X ) Ñ F A 2 PR2=PR2*ZK D l ( l , l ) = l ' . + 0RX-PR2-PR i * (GRY+ÜRZ) D l ( 2 t 2 ) = l . + 0 R X - P R 2 + P R 1 » ( G R Y + 0 R Z ) D 1 ( 3 , 3 ) = 1 . - G * G * Z K D i ( l , 2 ) = - 1 . + GRX + PR2-P"R1»(0RY-DRZ> D l ( 2 , l ) = - l . + a R X + P R 2 + P R l * ( 0 R Y - 0 R Z ) 011 1 , 3 ) = G * Í - Ü R Z - Z K ^ P R I ) D l ( 3 , 1 ) = G * ( - 0 R Y - Z K * P R 1 ) D 1 ( 2 , 3 ) = Ü * ( - Ü R Z + Z K * P R 1 > D l ( 3 , 2 ) = G * ( - 0 R Y + Z K * i > R l ) *' '

PAGÉ* 4

IF(NUEP)293,293,291 291 NUEP=0

IF (ORE-. 3333 )1295, 1295, 1296 1295 QRE^.*ORE

GO rC 294 1296 CRE^Í l.+ORE)*.5

GO TO 294 293 ORE=0. 294 ORX=l.-ORE

DO 292 1=1,3 DO 292 J = l,3

292 D(I,J)=D1(I,J)«QRX+D(I,J)*ORE WRITE(JJ,28)í(DU,J),I=1,3),J=1,3) ND=LK READ(9»ND)( (DBKI, J),1 = 1,3),J = l,6) DO 241 J = l,ó DO ¿41 1=1,6 C1U,J)=0. DO 241 K=l,3

241 C H I,J)=C1(I,J) + DB1{K,J).*B(K,I)*Z 161 1F(NUEP)169,169,216 169 IF(IDES)ló6,166,168 168 ORE=l.

IDES=0 GO TO 294

166 CONTINUÉ DO 164 J=l,6 DO 164 1=1,3 DO 164 K=l,3

164 DB(-I ,J)=DBÍ I,J)+D( I,K)*B(K,J) ND=LK WRITE(9«ND)((DBÍI,J),1=1,3),J=l,6)

C G MATRIZ ELASTIC DEFORMACIÓN PLANA

DO 199 J=l,ó DO 199 1=1,6 DO 170 K=l,3

170 C(I,J)=C(I,J)+Z*B(K,I)«D8(K,J) IF( IP)199,199,198

198 C(I,J)=CÍI,J)-C1(I,J) 199 CONTINUÉ

DO 180 KK=1,3 . I = 2»(KI$-1) KL=NOD(LK,KK)-L IF(KL)175,175,172

175 MJ=2*(NGD(LK,KK)-K1) Gü TO 181

172 MJ=2*(KL-1) 181 IF(IP)13?,182,183 183 NS=1+8»(NÜD(LK,KK)-1)

IK=N0C(LK,KK)-K1+1 IF(NÜ( IK) )191,191,lo?'

191 DC 186 MI=1,2 M«I=MJ+Ml IF(KL)185,185,184

184 READ(8«NS)(ST1(MMJ,J) , J=1, N)

PAGE* 5'

NS=NS+1 READ(8«NS)(ST2ÍMMI,J),J=1,M) NS=NS+1 GO TO 186

185 READÍ8,fs!S)(ST(MHI,J),J = l,M) READ(8»NS)(ST(MMI,J),J=MM,NA) NS=NS+2

186 NOÍIK)=l 182 DO 180 LL=1,3

J=2«(LL-1) IF<KL)189,189,187

187 IK=NOD(LK,LL)-L -IF(IKÍ189,189,173

173 NI=2«(IK-1) GO TO 176

189 NI=2*(N0D(LK,LU-K1) 176 DO 177 NJ*1,2

Bü 177 MI=1,2 MMI=MJ+MI NNJ=NJ+NI IMI=I+MI JNJ=J+NJ IF(KL)178,178,174

174 IF(IK)273f273,274 . 274 ST1(MMI,NNJ)=ST1(KMI,NNJ)+CIIMI,JNJ)

GO TO 177 273 ST2<MKI,NNJ)=ST2(MNI,NNJ)+C(IMI,JNJ)

GO TO 177 178 ST{MMI,NNJ)-ST(fcMI,NNJ)+C(IMIfJNJ) 177 CONTINUÉ 180 CONTINUÉ 150 CONTINUÉ

00 406 I=l,NEM 406 mu )=0 158 CONTINUÉ

C C DESPLAZAMIENTOS PRESCRITOS

00 403 I=1,NB0UN MA1=NF( I)-K1 NA1=NF(I)~L IF (HA1) 403,407,407

407 IF (II-NPART) 404,408,404 404 MMA1=NF(D-NLASTÍII+l)

IF(MMA1)408,408,403 4.08 DO 403 J = l , 2

IF (N8(I,J)) 403,410,403 410 NMI=2*MA1+J

DO 414 Jl=l,MN I2=2*Kl-2+Jl IF (NA1) 411,411,396

411 ST(NMI,JI)=0. STÍNMIfNMI ) = 1. GO ÍO 414

396 MJ=J1-H NMK=NMI-M IFU',J)399,399,397

r

399 ST2ÍNMK,J1)=0. I GO TO 4x4 I

397 IF(IP)414,414,398 I 398 ST1(NMK,MJ)=0.

STHNMK, NMK)=1. { 414 CONTINUÉ

J3=2*Kl-2+NMI f DO 62 11 = 1,NCAR ¡i

62 U( J3, I1)=BV( I,J,I1) [: 403 CONTINUÉ |¡

C ESCRITURA EN DISCO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA PARTICIÓN f| IF( I P ) 4 3 3 , 4 3 4 , 4 3 3 f!

433 I F ( N E N - N S T ) 4 3 6 , 4 3 1 , 4 3 1 {j 4 3 1 DO 437 J1=NST,NEN \\

I F ( I P L A S Í J 1 > - 1 ) 4 3 7 , 4 3 9 , 1 4 3 9 1439 I F ( I P L A S ( J l ) - 4 ) 4 3 9 , 1 4 4 0 , 1 4 4 0

- 1 4 4 0 I P L A S ( J U = IPLAS( J D - 1 3 439 DO 435 J = l , 3

. N S = 8 * N 0 ü ( J l , J ) - 7 K L = N 0 D ( J 1 , J ) - L j I K = K L + ( . 5 * M ) | I F ( N O d K ) ) 4 3 2 , 4 3 2 , 4 3 5 i

432 DO 535 M I = 1 , 2 I I F ( K L ) 4 5 2 , 4 5 2 , 4 5 1 I

451 )MJ=MI+2*KL-2 I WRITE{8»NS)(ST1(MJ,K),K=1,N) i NS=NS+1 i WRITE(8'NS)(ST2(MJ,K),K=1,M) I

. NS=NS+1 J GO TO 438 •'?

452 MJ = MI + 2MNGDU1,J)-K1) WRITEÍS'NS)(ST(tfJ,K),K=1,M) WRITEÍ8'NS){ST(MJ,K),K=MM,NA) NS=NS+2 :

438 NG(IK)=1 \\ 535 CONTINUÉ íj 435 CONTINUÉ ' -r 437 CONTINUÉ í

GO TO 436 , ¡i; 434 NS-8*Kl-7

DO 405 Ji=i,M { KRITE(8,N$)(ST{J1,J),J=1,M)' ¡ WRITE(8»NSMST(J1,J),J=Mh,NA) )

405 NS=NS+2 " - — ~ — NS=8*L+3 DO 1405 J1=1,N WRIT£(8*NS) (ST2(J1,J),J=1,M) 4

1405 NS=NS+3 :;!: 436 CONTINUÉ ¡í 200 CONTINUÉ 'i

IF(IU)2000, 2000, 2001 " ij 2001 IU=IU-1 2000 CONTINUÉ ' jjj

28 FORMATÍ(0E12.4)) Í RETURN % END

% • - • '} VARIABLE ALLOCATIONS !'

X(RC)=7FFE-7DA8 DELT (RC ) =7DA6 6V(RC)=7DA4-7C96 E I ( R C ) = 7C:I;

.*w&:*ü^Í^Wdte«-i ^ '-*:':,¿tíC V>¿;¿-*«V ^ wiA¿(¿i¿«¿«--^.«#.. t*rfwí.«--.v -4w&li&UV. . f

PAGE 7

P2 ÍRC) U(RC)

S T K R C ) AUM(RC)

J I I I C ) NELEM( IC)

N P ( I C ) NCARK I C )

NOD( IC) NB(IC)

- i C K R C ) ZX(R )

ORY(R PR2(R

FA(R IÜE.S.M

M ( I

) = ) = ) = )-' ) =

U K I KL( I N I ( I

N A K I

7C7C-7810-6708-56C0-56A1 569B 5695 568F 5689-5 3 3 1 -7C48-0004-0652 065E 066A 0678 067E 0 6 8 4 068A 0690 0696

•7C76 7362 •60EA 56BE

539C 52EE 7C02 0000

HEÍRC) XE(RC)

TEN(RC) F P L K R C )

J J ( I C ) NBOUN(IC)

LMEN( IC ) I S C A R ( I C )

NEND( IC) N E P ( I C )

C(RC) ZYÍR ) ZK(R

G(R ORZ'íR

1 1 ( 1 N7U I J l í í M J ( I NJ ( I

MMAHI

=7C74-7C6E = 7 3 6 0 - 7 3 5 6 =60E8-5DFC =568C =56A0 =569A = 5 6 9 4 = 568E =539B~538A =52ED-51F4 =7C00-7BBA = 0 0 0 A - 0 0 0 6 =0654 =0660 =066C =0679 =067F =0685 =068B =0691 =0697

CO(RC) COURC) TED(RC) S N U Í R O

N P O I N ( I C ) NYM( IC)

N S ( I C ) N F A S ( I C )

N F I R S U C ) I P L A S ( I C )

D B l ( R C ) D(R Z(R

EE(R N E K I N S T ( I

N(I 1 2 ( 1 I K Í I

N N J U N M H I

) = ) = ) = > = ) ) ) ) = ) )

=7C6C-7C66 = 7354 =5DFA~5B0E = 5 6 B A - 5 6 B 4 =569F = 5699 = 5693 =568D = 5 3 6 9 - 5 3 7 8 = 5 1 F 3 - 5 0 F A = 7 8 8 8 - 7 8 9 6

0 0 1 C - 0 0 0 C 0 6 5 6 0 6 6 2 0 6 7 4 067A 0 6 8 0 0 6 8 6 068C 0 6 9 2 0 6 9 8

21-

T F I ( R C ) G E H R C )

FPLA(RC) ALAN(RC)

N P A R T Í I C ) NCONC(IC)

N D ( I C ) L I M K IC )

N L A S T Í I C ) NCAR( IC)

DB(RC) O K R )

Y M K R DENÍR

1 ( 1 N £ N ( I

MM( I LK2( I

MI í I I M H I N M K Í I

) = ) = ) = ) = ) = ) = ) = ) = ) =

— "7 *~ - i O

= 73:[

= í>Ól¡. ;

- 3 6 = 56 ! '¡ = 5 6 ( | = 564, = 5 3'.I:! = 5 0h¡ = 71> •."

06l;¡ 06<:| 0 67: 0 6 , 0 oí 06c¡ 0 6i.i 06 : . | 06 r J

STATEM 28 103 ... 135 297 292 175 173 406 398 4 5 1 200

ENT AL =06C4 =07EA =08C5 =0A68 = OC27 = 0D5E =0E£8 = 0FAE = 1050 = 1129 = 1267

LOCATI 121 104 139 1209 2 4 1 172 189 158 414 452 2 0 0 1

ONS = 0 6 0 7 =07F5 = 0 9 7 6 =0A6C = 0CB2 = 0E00 =0EF3 = 0FC0 = 1073 = 1174 = 1274

400 105 2 1 1 1216 161 181 176 407 62 438 2 0 0 0

=072C =07FB =0996 =0AA5 =0CF2 =0E09 =0F03 =0FDB = 1088 = 11BE =127A

4 0 1 106 148 1 2 1 7 169 183 174 4 0 4 4 0 3 5 3 5

= 073E = 0 8 0 7 =09C4 =0AD8 = 0CF6 ;0E0D =0F27 0FE1 10AA 11C7

4 0 2 2 0 0 2 147 1218 168 191 2 7 4 4 0 8 4 3 3 4 3 5

= 0742 = Ü80D = 09F4 = 0AF7 = ÜCFA =Í>E32 = üF28 GFF9

= 10C0 11D0

129 125 212 2 9 1 166 184 273 410 4 3 1 437

= 0765 = 0 8 1 1 = 0A¿C = 08F8 = 00'J4 = 0E40 = 0F47 = 1008 = 10C6 = 1109

FEATURES SUPPORTED ONE WORD INTEGERS

CALLEO SU6PR0GRAHS FABS FSQRT FAODX FSUB FSÜBX FKPY FMPYX FOIV FLD FLOAT SWRT SCOMP SIOFX SUBSC SNR SDRED SDWRT SOCO^I

REAL CCNSTANTS .OOOOOOE 00=06A8 • 2 5 0 0 0 0 E 00=06B4

. 5 0 0 0 0 0 E 00=06AA

. 2 0 0 0 0 0 E 01=06B6 . 9 9 9 9 0 0 E 00=06AC . 3 3 3 3 0 0 E 0 0 = 0 6 8 8

333333b 00-

INTEGER CONSTANTS 2=06BA 1=06BB 0=06BC 4=068D 3=068E 6=06 : r

CORE REQUIREMENTS FOR MATEF • COMMCN 12042 VARIABLES 1704 PROGRAM

END OF CCMPILATION

ÑB DUP '•

3028

22-

PAGE 1

RÑ JOB 0EC1

LOG DRIVE CART SPEC CART AVAIL PHY DRIVE COGO OEC1 OEC1 OOC1

V2 M06 ACTUAL 32K CONFIG 32K

Rfl FOR «LIST ALL •ONE WORD INTEGERS

SUBRGUTTNE SCLEF DIMENSIÓN X í l 5 0 , 2 ) f N 0 D ( 2 5 0 f 3 ) , N S T A R ( 1 8 } , N L A ^ T 4 1 & H N F I R S { 1 8 ) , N E N

181 DIMENSIÓN N F { 3 4 ) , N B ( 3 4 , 2 ) , B V ( 3 4 , 2 »

1 , C 0 ( 4 ) , T F I ( 4 ) , N E P { 2 5 0 ) , A N ( 2 5 0 ) , X E ( — 2 - f 3 T t 2 8 , 5 6 ) , S T l ( 2 8 , 2 8 ) , T E D ( 3 7 5 ) t F P L

2 > f E l ( 4 U E Z t 4 í , 3 , 2 ) , I P L A S ( 2 5 0 ) A ( 1 2 5 ) , D P L A ( 1 2 5 7 5 , 1 ) y

Ftt4),P2(4),GE ,CFI(4),SNU(4) ),AUM(2)

L {1 k

(4) :

,,NFAS,LIM1,IU ,NB.NEP,IPLAS,N

tCOltGEl. ,DENSfEARTH NCONCNCCLN, IE

CAR,IFAS,ICAR

LAS

3,UD(300,1),F(300,1),U(30C,2),TEM(3 4,ÜENS(4),EARTH(4> DIMENSIÓN AMÍ28,28^,eM(28,28),YM(28,28),TF(28,2),RS(28),DIS(28,2) ltDll(28),Bll(28),CT(29f29) CGMMCN X,DELT,BV,E1,E2,P1,P2,GE»C0 1,CFI,ST,ST1,TEN,TED,FPLA,DPLA,F,AU COMMON JI,JJ,NP0IN,NPART,KE1,NEM,N 1,NP,LMEN,NS,ND,IF,LIMP,NCARi,ISCAR 2,IER,NGD,NEND,NFIRS,NLAST,NSTAR,NF 3,ICAF,INUEV EQUIVALENCE (YM{1,1},STÍ1,1}),(AM(1,1),ST1(1,1)) 1,(BMÍ1,1),ST(1,29))

RESOLUCIÓN SISTEMA DO 406 J=1,NEM DO 210 11=1,NCAR TF(J,I1)=0. RS(J)=0. DO 406 1=1,NEM YH(J,I)=0. IFÍLMEN-1)461,461,462 LMIN=1 - . • GC TC 463 LMIN=LMEN-1 CONTINUÉ DO 407 LL=LMIN,NPART • ••• ••• ••: •••• - . .- -K1=NFIRSÍLL) L=NLAST(LL) M*2*(NLAST(LL)-K1+1) MM=M+1 IF(LL~NPART)440,441,440 NA=2*(NLAST(LL+1)-K1+1) GG TC 442 NA=tf N=NA-M • ,...;...„. -NS=8«Kl-7 DO 446 1 = 1,tf REAC(8,NS)(AMtI,J),J = l,K) .. . '•_ • REAC(8«NS)(3M(I,J),J=1,N)

446 NS=NS*2

210

406

461

462 463

440

441 442

PAGE 2

IF(LMEN-l)465,465,466 466 IF(LL-LMIN)467,467,465 465 CONTINUÉ

. DO 408 1=1,M K=2*Kl-2+I DO 211 Il = lrNCA'R

211 F(K,U)=U(K,I1)-TF(I,I1) DO 408 J=1,M

408 AN(I,J)=AM(I,J)-YM(I,J) IER=0 DO 443 1=1,M DO 443 J=1,M

443 CT(I,J)=AM(I,J) _ WRITE(JJ,2000)LL '

CALL TINVF(CT,M) • IF(IER)50l,448f501

448 CONTINUÉ DO 444 1=1,M DO 444 J=1,M

444 AM(I,J)=CT(I,J) NS=8*Kl-4 DO 445 1=1,M WRITE(8»NS)(AM(I,J),J=1,P)

445 NS=NS+3 GO TG 471

467 NS=8*Kl-4 DO 469 1=1,M REAO (8«NSMAM( I9J)»J=1,K>

469 NS=NS+3 471 CONTINUÉ

NS=8*L+3 DO 805 1=1,N READtS'NSHCTU, J),J=1,M)

805 NS=NS+3 DO 412 11=1,NCAR DO 411 1 = 1,M DIS{I,I1)=0. DO 411 J = 1,M K8=2*Kl-2+J

411 DIS(I,I1)=DIS(I, I1) + AM{ I,J)*F(K8,I1) DC 412 1=1,N TFÍI,I1)=0. DO 412 J=1,M

412 TF{ I,I1)=TF( I, I1)+CT{I,J)*D1S(J,U) DC 413 J=1,N DO 413 1=1,M Ytf(I,J)=0. DO 413 K=1,M

413 YMI,J)=YM(I,J)+A«(I,K)«eh(K,J) DC 414 1 = 1, N üü 414 J=1,N AH(f,J)=0. DO 414 K=1,M

414 AM(I,J)=AK(I,J)+CT(I,K)«YM(K,J) DC 415 1 = 1,N ' CC 415 J=1,N

¿

24-

PAGE 3

415 YM(I,J)=AM( I,si) 407 CONTINUÉ

C C VUELTA ATRÁS Y RESIDUOS

NS=8»Kl-7 DO 913 1 = 1,M READ(8»NS)(AM(I,J),J=1,M)

913 NS=NS+3 DC 500 11=1,NPART DO 811 J = 1,M

811 RS(J)=0. LL=NPART-II DO 905 11=1,NCAR DO 914 1=1,M ' ' 011(I>=0. J=2*Kl-2+I • • • •'

914 UD(J,I1)=DIS(I,U> IF(II-1)900,900,899

899 DO 901 1=1,M DC 901 J = 1,N K2=2*NFIRS(LL+2)-2+J

901 D11(I)=D11(I)+BHIÍ,J)*UD(K2,I1) 900 DO 903 1=1,M

B11(I)=0. DO 903 J = 1,M K2=2*NFIRS(LL+l)-2+J

903 Bll(I) = Blim+AH(I,J)*UD(K2,Il) DO 905 1 = 1,M K2=2*NFIRSUL+l)-2+I

905 RS(I)=UÍK2,I1)-D11U )-Bll(I)+RSU) IF(II-NPART)907,906,906

906 N=M 60 TO 500

907 N=M M=2*(NLAST(LL)~NFIR${LL)+1> K1=NFIRS(LL) L=NLASTUL) NS=8«Kl-7 DO 908 1=1,M R E A D ( 8 » N S ) ( A H ( I, J ) , J = 1, H ) READ(8«NS)(BM(I,J),J=1,N) NS=NS+1

908 READ(8«NS)(YM{I,J),J=1,H) NS=8*L+3 DO 1905 1=1,N READ(8,NS)(CT(I,J),J=1,M)

1905 NS=NS+3 CO 500 11=1,NCAR DO 909 I=1,M K2 = 2*¡a-?+I TF{¡ ,I1)=F(K2,I1) DO 909 J=1,N K2=2«NFIRS(LL+l)-2+J

909 TF(I,Ii)=TFU,Il)-BM(I,J)*U0(K2,11) DC 910 1 = 1,M DIS(I,I1)=0.

*. J*Uifc¿*'*M*l*«¿ ' t wV* #A

2Sr

PAGE 4

(I,J)«DIS( S(I)fI=ltN ))

J, II) )

DO 910 J=1,M DIS<I,I1) = DIS(I,I1> + YM(I,J)«TFU,I1> DO 911 1=1,N DO 911 J=1,M RS(I)=RS(I)-CT WRITE(JJ,28)(R F0RMAT((3E12.4 FCRMATÍ7I4) CONTINUÉ RETURN END

VARIABLE ALLOCATIONS X(RC)-7FFE-7DA8

— P2 XRC ) = 7 C7 C- 7 C 7 6 U(RC)=7810-7362

ST1(RC)=6708-60EA

910

911 500 28

2000 501

AUM(RC)=56C0-56BE JI(IC)=56A1

NELEM(IC)=569B NP(IC)=5695

NCAR1(IC)=568F N0D(IC)=5689-539C NB(IC)=5331-52EE

ICAF(IC)=50F6 RS(R )=0OA6-O07O 11(1 )=081B M(I )=0821-IKI )=0827

STATEMENT ALLOCATIONS 28 =0837 2000 =083A 210 =0846 406 446 =0918 466 =0930 465 =0936 211 469 =0A59 471 =0A68 805 =0A8D 411 811 =0C58 914 =0C8C 899 = 0CAF 901 1905 =0E41 909 =0E8B 910 =0ED3 911

DELT(RC)=7DA6 GE(RC)=7C74-7C6E XE(RC)=7360-7356

TEN(RC)=60E8-5DFC FPL1(RC)=56BC JJ(IC)=56A0

NB0UN(IC)=569A LMEN(IC)=5694 ISCAR(IC)=568E NEND(IC)=539B-538A NEP(IC)=52ED-51F4

INUEV(IC)=50F5 DIS(R )=0116-00A8

ni )=osic MM(I )=0822 K2(I )=0828

BV(RC) CO(RC)

COKRC) TED(RC) SNU(RC)

NPOIN(IC) NYtf(IC) NS(IC)

NFAS(IC) NFIRS(IC) IPLAS(IC)<

YM(RC); D1KR )

LMINd ) = NA (I )

= 0867 =0949 =OABE =0CC7 = 0F10

=7DA4-=7C6C-=7354 =5DFA-=56BA~ =569F =5699 =5693 =5680 =53&9-=51F3-= 7348-•014E-=0810 ^0823

•7C96 7C66

•580E •56B4

5378 •50FA 6D2A 0118

461 408 412 900 500

C88A C970 CB06 CCFA 0F43

El TFI GE1

FPLA ALAN

NPART NCONC

ND LIM1

NLAST NCAR

Atf 811 LL N

(RC) (RC) (RC) (RC) (RC) ( !C) ( IC) ( IC) ( IC) ( IC)=5 (IC) (RC) (R ) ( I* }; (I )

=7C = 7C: = 73 = 5B = 56 =56 = 56 =56 =5 6 53

=6 7 *01 • QL.

:0S;

462 443 413 903 501

= 0890 = 0998 = 0B5B = CD1B = OFcC

FLD

FEATURES SUPPORTED ONE WCRD INTEGERS

CALLEO SU8PR0GRAMS TINVF FACDX FSUBX FKPYX SDCGtf SDFX

REAL CGNSTANTS •OOOOOOE C0=082E

INTEGER CCNSTANTS 1=0830 2=0831 • 8=0832

FLDX

7=0833

FSTOX -F^SRX^

0=0834

-SWRT

4 = C 8 :, 5

CORE RECHJÍKEMENTS FÜR SOLEE CGFKCN 12044 VARIABLES 2094 PROGRAK 1856

END GF CGHPILATION

RÑ DUP

\':¿>

2C-

PAGE 6

Rfl FOR «LIST ALL .,'• *ONE WORD INTEGÉRS

SUBROUTINE PLAEX DIMENSIÓN X{150,2),NCD(250,3),NSTAR{18),NLASTU8) ,NF IRS (18 ) , NE.\

18) DIMENSIÓN NF(34),NB(34,2),BV(34,2,2)tEl(4).E2{4),Fl(4)fP2<4),GE

1,COÍ4),TFI(4),NEP{250),AM250),IPLASÍ 250),CFI<4),SNUÍ4),XE<3,2) ! 2,ST(28,56),STlí28f28),TED(375),FPLA(125),DPLA(125),AUMÍ2) 3,UD(300,1),F(300,1),U{30C,2),TEN{375,1) 4,DENS(4),EARTH(4),UT(300) DIMENSIÓN DH(3),A(3),DBl(3,6),DB2(3,6),CD{6,2,2),XI(3,2,2),AR(2i

1,BÍ3,6,2),0RX(2),JN{2),0RY(2),ZX{3,2),ZY<3,2>,ZÍ2) COMMON X,DELT,BV,El,E2,Pl,P2,GE,C0,TFI,AN,UD,U,XErC01fGEl

1»CFI,ST,ST1,TEN,TED,FPLA,DPLA,F,AUM,FPL1,SNU,ALAN,DENS,EARTH , COMMON JI,JJ,NP0IN,NPART,KE1,NEM,NEL£M,NB0UN,NYM,NC0NC,NCGLN,IE 1»NP,LMEN,NS,ND,IP,LIMP,,MCAR1,ISCAR,NFAS,LIM1, IU 2, IER,NOD,NEND,NFIRS,NLAST,NSTAR,NF,NB,NEP,IPLAS,NCARfIFAS,ICAR NEL1=NELEM*0.5 NPUN2=2*NP0IN N D = I . : '"" . '-^--.-v

IF( IP)5000,5000,5012 5000 WRITEÍJJ,5004) ] 5004 FGRMATÍ1H1,«PUNTO ABSCISA ORDENAOASR) -I

FPL1=0, 1 IPL=0 | ALAN=1. " -f MAX=0

5012 DO 620 Ll=l,NELl LL2=2*LL LL1=LL2-1 READ{9«ND)((DB1(I,J),I=1,3),J=1,6> READ{9»ND)((DB2U,J),I = l,3),J = l,6) í!

DO 6021 1=1,3 ACI)=0. JN(1)=NCD(L11,1) JN(2)=N0D<LL2,I) 12=2»I 13=12-1 LLI=3»LL-3+I DO 6019 J3 = l,2 •- — — — • JN3=2*JN( J3) Jí DO 51 17 = 1 , N C A R C C Í 1 2 , 1 7 , J 3 ) = U D ( J N 3 , 1 7 )

51 CD( I 3 , I 7 , J 3 ) = U D ( J N 3 - 1 , I 7 ) !í DO 6019 J9=l,2 I JN1-JNÍJ9) S

6019 XI(I,J3,J9)=X(JN1,J3) I IF(IP)1000,1000,6021 l

1000 FPLA(LL)=0. '••-------i-•-— ' DO 19C0 I 7=1,NCAR í

1900 TENÍLLI,I7)=0. I 6 0 2 1 C O N T I N U É '• ....... f

IF ( I P ) 8 , 8, 9 ; 9 I F { I E L A S ) 5 0 5 4 , 5 0 5 4 , 8 :

8 CÜ 3 0 1 J 3 = l , 2 ' ~~ ~~~~ ~

27.-

PAGE 7

ZX(1,J3)=XI(2,2,J3)-XI(3,2,J3) ZX(2,J3)=XI(3,2,J3)-XI(1,2,J3) ZX(3,J3)=XIU,2,J3)-XI(2,2,J3) AR(J3)=XI(2,1,J3)*ZX(2,J3)+XI(1,1,J3)*ZX(l,J3)+XI(3,1,J3)*ZX ( 3, AR(J3)=AR(J3)*.166667 0RX(J3)=(XI(1,1,J3)+XI(2,1,J3)+XI(3,1,J3))*.33333 3

301 ORYÍ J3)=(XI(1,2,J3)+XI(2,2,J3)+XI(3,2,J3))*.333333 IFÍ1P)5705,5705,5054

5705 OGX=(CRX{l)*AR(l)+ORX(2)*AR(2))fi(DGLT*(AR(l)+AR{2))) 0GY=(0RY(l)«AR(I)+0RY(2)«AR(2))fl(DELT«(AR(2)+AR(l)')) WRITE(JJ,31)LL,0GX,0GY GO TO 5054

C DESCARGA ' V.v;V ::¿:V,.v — _5710 DO 348 J3=l,2

DO 303 J4=l,3 . XI(J4,1,J3)=XI(J4,1,J3J-CRXÍJ3) XI(J4,2,J3)=XI(J4,2,J3)-CRY(J3) DO 303 J5=l,6 ,

303 B(J4,J5,J3)=0. Z(J3)=3.*(XI(2,1,J3)*X1(3,2,J3)-X1(3,1,J3)«X1(2,2, J3)) ZY(1»J3)=XI(3,1,J3)-XI(2,1,J3) ZY(2,J3)=XI(1,1,J3)-XI(3,1,J3) ZY(3,J3)=XI(2,1,J3)-XI(1,1,J3) DO 304 J5=l,3 J2=2*J5 8(1,J2-1,J3)=ZX( J5,J3).RZ(J3) B(2,J2,J3)=ZY(J5,J3)ÑZ(J3) B(3,J2-1,J3)=B(2,J2,J3)

304 B(3,J2,J3)=B(1,J2-1,J3) DO 348 1=1,3 DH(I)=0.

C DEFORMACIONES TOTALES DO 347 K = l,6

347 DH(I)=DH(I)+B(I,K,J3)*CD(K,1,J3) 348 A(I)=A(I)+(AR(J3)*DH(I))R(AR(1)+AR(2))

LLI=3*LL-3 J4=NEP(LL1) WRITE(JJ,35)LL,A(1),A(2)

C DEFORMACIONES PLÁSTICAS A(1)=A(l)-( (l.-PKJ4))«TED(LLI + l)-PKJ4)*TED(LLI + 2) )Ñ(2.»GE(J4) A(2)=A(2)-( ( l.-PK J4) )»T£0(LLH-2)-£4( J4)«TED(LL1+1) )Ñ(-2^GE( JA) WRITE(JJ,35)LL,A(1),A(2) A ( 3 ) = A ( 3 ) - T £ D ( L L I + 3 ) Ñ G E ( J 4 )

WP = 0. C TRABAJO PLÁSTICO

DO 350 1=1,3 LLI=LLI+1 WP = WP-A(I)«TEN(LLI-,1)

350 WRITG(JJ,35)LL,WP IF(WP)360,362,362

360 IFÍIPLAS(LLI))362,362,5360 5360 IPLAS(LL1)=IPLAS(LL1)+10

IPLAS(LL2) = IPLAS(LL2) + 10-- :'. ..l.-WRITE ( J J,33> LL

33 FORMATÍ» DESCARGA»,15) , 362 FPLA(LL)=FPLA(LL)-CPLA(LL) ~~ ~ I

2Zr

PAGE 8

622

1020

1003

0C 364 1=1,3 LLI=3*LL+I-3

364 TEN(LLI,l)*TEN(LLI,i)-TEC(UI) GO TO 620

5054 DO 1020 17=1,NCAR DO 1020 1=1,3 DH(I)=0. LLI = 3«lL-3-»-I 00 622 K=l,6 DH(I)=DH{I)+ÍAR(i)»0Bl(I,K)*CD(K,I7,l)+AR(2)»0B2ÍI,K)»CD(K, DH(I)=DH(I)R(AR(1)+AR(2)) TED(LLI)=DH(I) TEN(LLI,I7)=TEM(LLI,I7)+TED(LLIÍ DH(I)=TEN(LLI,I7) IF(IELAS)620,620,1003 J=NEP(LL2) DPLAÍLL)=FPLA{LL) FPL=0.5*ÍDH(1)-DH(2)) FPL=FPL*FPt_ + DH(3)*DH{3) FPL=SCRT{FPL) FPLA(LL)=(FPL+(DH(l)+DH(2))*.5*TFI(J))R(CO(J)»CFI{J)) OPLA<LL)=FPLA(LL)-DPLA(LL) IFUSCARU005,1005,101 IF(NFAS)100,100,1015 IF( IFAS)100,100,621 IF(ICAR-1)8000,8000,102 LIMP=1 GG TO 100 .,...;••..,..:-:-:,-••• IF(ICAR-NCAR1)H5, 116,116 LIMP=LIM1 GO TO 621 LIMP=1 lF(FPLi-l.)103,10,10 IF{IPL)105,105,103 IF(IU)620,620,5620 WRITE(JJ,35)LL,LL, IPLAS(LL1) ,FPLA(LL) ,DPLA(LL) I F M P L A S ( L L D ) 5 7 1 0 , 5 7 1 0 , 5048 IF(-FPLA(LL)-1.) 5049, 5710,5710 IPLAS(LLl)=rPLAS(LLl)-3 IPLAS(LL2)=IPLA$(LL2)-3 GO TO 362 AtA=(l.~FPLA(LU )RDPLA(LU + I . * " " —^~-.-IF(LÍMP)61,61,60 " IFÍIPL)104,104,60 IF(ALA-ALAN)104,104,1008 IF(ALA)1008,1008,117 ALÁNZALA -FPL1=1. IPL = 1 WRITE(JJ,2)ALAN

1005 1015 101

8000

102 116

115 621 10

105 5620

5048 5049

103

61 60 104 117

3X,«LANDA =•,F7.3)

100 1C04 1006 1053

F0RMATÍ1H1, GC TO 1053 I F ( I P Í 1 C 0 4 , 1 0 0 4 , 6 2 0 ! F ( F P I A { L L ) - F P L 1 ) 1 0 0 8 , 10*08,1006 FPLi = FPLA(LU MAX=LL

PAGE 9

1008 IF(LL~NEL1)620,1032,1032 1032 IF(MAX)620,620,4000 4000 WRITEÍJJ,5005) 5005 FORMATÍR,» PUNTO MAS CARGADO»,Ñ>

WRITE(JJ,5006) LL2=2*MAX LL1=LL2-1 WRITE(JJ,24)MAX,LL1,LL2,FPL1 OG 1010 II=1,NPART N2=LL2-NEND(II) IFC-N2) lOllt 1011,1010

1010 CONTINUÉ 1011 IFUPJ1012, 1012,1017 1017 IF(II~L^EN)1012,620,620 1012 LFEN=II 620 CONTINUÉ

IF(IELAS) 1002,1002,3040 3040 IF( ISCAR)2040,2040,106 106 IF(ICAR-1)2040,2040,107 107 IFÍIPU2040, 2040,108 108 ALUtf=ALAN*AUN(l)

DO 109 I=1,NEL1 FPLAU) = F P L A ( I ) - D P L A U ) * ( 1 . - A L A N ) DPLAC I ) = DPLAU)*ALUM 00 109 K = l , 3 LLJ=3«I-3+K TEN(LLJ,1)=TEN<LLJ,1)~TEC(LLJ)«{1. -ALAN)

109 TED(LLJ)=TED(LLJ)»ALUM DO 110 I1=1,NPUN2 UCI1 ,1 )=U( I1 ,1 ) *ALUM U D ( I 1 , 1 ) = U D ( I 1 , 1 ) * A L A N

110 F ( I 1 , 1 ) = F { I I , 1 ) * A L U M DO 1049 I=1,N80UN B V ( I , 1 , 1 ) = B V ( I , 1 , 1 ) * A L U M

1049 6V(I,2,1)=BVÍI,2,1)*ALUM IPLAS(LLl)=IPLAS(LLl)+3 IPLASÍLL2)=IPLAS(LL2)+3

2040 IF(IP)1021,1021,1002 1021 IFÍFPLD3000,3000,3001 3C00 WRITEÍJJ,2004) 2004 FCRMAT<R,2X,'NO PLASTIFICA NUNCA»,&)

GC TO 1002 3001 IF(FPLL-1.)1007,1007,1019 1C07 WRITEUJ,34) 34 FORMATÍÑ,» NO PLAST IFICA»,Ñ)

IF(LIPP)1019,1019,1002 1019 FPL2=1.KFPL1

FPL3 = AUN,(1)*FPL2 • IPLAS(LLl)=IPLAS(LLl)+3 IPLAS(LL2)«IPLAS(LL2)+3 DO 1013 I=1,NEL1 FPLAU )=FPLA( I)*FPL2 DPLAÍI)=OPLA(I)*FPL3 CG 1013 J=l,3 LLJ=3*I~3+J TED(LLJ)=TED(LLJ)*FPL3

PA6E 10

1013 TEN(LLJ,1)=TEN(LLJ,1)«FPL2 WRITE(JJ,2002)

2002 F0RMAT(1H1,« NODO CARGA X CARGA Y*FJ) DO 1029 I1=1,NPUN2 U(I1,1)=U(I1,1)*FPL3 U0(I1,1)=UD{II,1)*FPL2

1029 F(Il,l)=F(Il,l)»FPL3 DO 1028 I=1,NP0IN 12=2*1 ül=U(I2-lt1)R(C01«AUM(1)) U2=U(I2f 1)R(CC1»AUM(D)

1028 WRITE(JJ,31)I,U1,U2 DO 1039 I=1,NBQUN BV( I,1,1) = BV(I,1,1)*FPL3

1039 BVCI,2,1)=BV(I,2,1)*FPL3 1002 IF{ IELAS)6011,%6011,6012 6012 IH=0

DO 6000 L1=1,NEL1 LL1=2*L1-1 LL2=LL1+1 HH=1.-FPLA{L1)-DPLA(L1) IF(HH)6002,6002,6000

C C REDUCCIÓN DEL RADIO DEL CIRCULO DE MOHR 6002 IF(FPLA(L1)-1.002)1916,1916,1914 1914 L5=NEP(LL2)

L2=3*L1 FPL={TEN(L2-2,1)-TEN(L2-1,1))*-5 FPL=FPL*FPL+TEN(L2,1)»TEN(L2,1) FPL=SCRT(FPL> T E N K = ( T E N { L 2 - 1 , 1 ) + T E N Í L 2 - 2 , 1 ) ) * , 5 CCRR=0. • • • • . CORR=(FPL-CORR)RFPL TEN(L2,1)=TEN(L2,1)*C0RR TEN(L2-1,1)=TENM+C0RR*(TEN{L2-1,1)-TENM) TEN<L2-2,1)=TENM+C0RR*(TENCL2-2,1)-TENM) WRITE(JJ ,31 )L1 ,FPLA(L1) DPLA{L1 )=DPLA iL l J -FPLA(L1 )+1 .0001 F P L A ( L 1 ) = 1 .

1916 I F Í I P L A S Í L L 1 ) ) 6 0 0 6 , 6 0 0 6 , 6 0 0 0 > • 6006 IPLAS(LL l ) = I P L A S ( L L l ) + 3 _ ^ _ _ _ _ _

IPLAS(LL2)=IPLAS(LL2>+3 " ~ ~ I F ( I H ) 7 C 0 5 , 7 0 0 5 , 7 0 0 6

7005 WRITEÍJJ,7007> WRITE(JJ,5006)

7C07 F0RMAT(Ñ,' PUNTOS CUE VAN A PLASTIFICAR» ) IH = 1

7006 WRITE(JJ,24)L1,LL1,LL2,FPLA{L1> CC 6003 N1H=1,LMEN N12=2*L1-NEND(N1H) IF(N12)6004,6004,6003 ., :::

6004 IF(LPEN-N1H)6003,60G3,60C5 6005 LPEN=N1H 6003 CONTINUÉ *' ' — ' — 6000 CONTINUÉ

IFÍ IU-U6011, 6020, 6010 _ —

; 34-

PAGE 11

6020 DO 6041 L1=1,NEL1 IF(FPLA(Ll)-l.)6041,6008,6008

6008 00 6009 LL=1,NEL1 6009 WRITE(JJ,31)LL,FPLA(LL)

GO TO 6010 6041 CONTINUÉ

IU=IU-1 6011 DO 2051 17=1,NCAR i

IFÍ ISCAR)7002,7002,1 i 7002 WRITEUJ, 2052)17 2052 FORMAT(R,» HIPÓTESIS CARGA»,15,R)

1 WRITE(JJ,2000) ' 2000 FORMATdHl,» PUNTO TENSÍON-X TENSION-Y TEN», _ 1SICN-XY TENSION-1 TENSION-2 ÁNGULO 1-X FUNC PLAST1.

C CALCULO TENSIONES PRINCIPALES C

DO 1022 LL=1,NEL1 DO 1023 1=1,3 LLI=3*LL-3+I

1023 D H ( I ) = T E N ( L L I , I 7 ) f i G E l DHB=(CH( D + D H Í 2 ) ) * 0 . 5 D H C = ( C H ( 1 ) - D H ( 2 ) } * 0 „ 5 DHC=DHC*DHC+DH(3)*DH(3) ¡ DHC=SCRT(DHC) I A(1)=DHB+DHC í A ( 2 ) = CHB-DI;C | A ( 3 ) = 2 . * D H ( 3 ) K { D H ( 1 ) - D H ( ? ) ) " - ' v v : Lskr:^^^:-':-r:' I A ( 3 ) = ( A T A N < A ( 3 ) ) ) Ñ 2 . '•'" :''^'^^rM3^~:^'^ :: :'•'' ' A ( 3 ) = A ( 3 ) K . 0 1 7 4 5 3

1022 W R I T E ( J J , 3 1 ) L L , ( D H U ) , 1 = 1 , 3 ) , ( A ( I ) , 1 = 1 , 3 ) , F P L A ( L L ) WRITEÍJJ,2001)

2001 FGRMATtlHl,» NGDO DESPLAZ-X DESPLAZ-Y DESPL PARO 1 DESPL PARC-Y»,S) !

DO 1051 I=1,NP0IN I2=2»I 11=12-1 IF(IP)2041,2041,2042 (

2041 UT(I1)=0. UT(I2)=0.

2042 UD1=UD(I1,I7)RDELT UD2=UC(I2,I7)KDELT UT{ I1)=UT( U)+UD1 UTÍI2)=UT(I2)+U02 s

1051 WRITEÍJJ,35)1,UT(I1),UT< 12),UD1,UD2 ( 2051 CONTINUÉ 6010 CONTINUÉ

24 FCRMAT(3I5,2F12.6) i 31 F0RMAT(I5,7F14.4) • ¡ 35 FCRMATÍI 5,2F14.6,5X,2F14 .6) "

5006 FORHATÍÑ,» PUNTO ELEKENTCS FUNC PLAST»,^} — ^ : RETURN ¡ END )

VARIABLE ALLOCATIONS '- ' — •— í X(RC)=7FFE-7DA8 CELT(RC)=7DAÓ BV(RC)=7DA4-7C96 EHRCl!

P2(RC)=7C7C-7C76 GE ( RC ) =7C74~7C6E C0( RC )=7C6C-7C66 T F H R C Ü . U(RC)=78l0-7362 XE (RC > =7360-7356 COI (RC) = 7354 GEKRC 1

K-

BET,

Apéndice D

RESULTADOS DE ORDENADOR

í

/.. P E N D I C E - D -:ass:3=s==ar3js

" R E S U L T A D O S D E 0_R_D E Tí A D_0 R " R E S U L T A D O S D E (

2,-

Resultados de ordenador, índice

- Talud isorresistente. Batos 3

• Resultados en fase elástica, al comienzo de la rotura 8

- Resultados para una car. a 99 *•• de la de rotura, en terreno

oon potencial plástico, v • 0 17

- Resultados para una carga 99 % de la de rotura, en terreno

con dilatancia nula. 24

1

TALUD ISORRESISTENTE

12 PARTICIONES

T64"Fl^TFNTOS "

103 NODOS

22 DESPLAZAMIENTOS PRESCRITOS

10 NODOS CARGADOS

HOMOGENEIDAD ( T)

PROBLEMA PIANO í~ O)

DENSIDAD TIPO < O)

ELASTCPLASTICIDADÍ 1)

CARGA LIMITE í 0)

ANCHO DE BANDA <{ ?4

NUMERA PROBLEMA! ~i

FORMA : < • 1

AUMENTO CARGA (100

DATOS TALUD

2 6 9 4.000 3.002

NODO COORDEN X

2 25 32 1.483 2.283 3.660 2.300 3.380 5.000 2.740 1.70¡

r l • l 2

l • 3 r 4 t. 5 :• 6

í. "~_ ? t 8 BK -

r 9 í io

11 P*1- -JO

r 13 ÍS^—tt-r , £«£—-"

15

' 17 18

r'"""""' •"" 19' ' r 20 ;. ?i...... "- 22 - 23 r 24

f 25 r • 26

¥••'• 2 1

C 28 í*—-.. - 29 • h " ".30 s: • ; 31 " 32

33 34 35 36 37

-0.000000 -0.000000 -0.000000 -0.000000 -0.000000 -0.000000 -0.000000 " -0.000000

~ 0.000000 3.660000 3.660000 3.660000 3.539238

~- - 3.4&S448 3.258629

2.925905 2.740000

" "•* 7 .11)0000 -7.150000 7.130000 6.913727 6.651964 6.364709 6.05.1964 5.713727 5.350000 10.470001 -40.470001 10.470001 10.123466 9.7 3954 7 9.318241 8.859548 8.363468 7.829999

13.620000

18.299999 14.299997 11.297996 9.814996 8.171997 6.368996 4.405997 2.282997

-0.000001 18.299999 14. 299997 11.297996 9.814996 -8.-171997—, 6.368996 /. /. r\ ir o n -7

2.282997 -0.0000C1

14.299997 . 11.297996

9.814996 8.171997 6.368996 4,405997 2.282997

-O.OOOOCl 18.299999 14.299997 11.297996 9.814996 8.171997 6.368996 4.4059 97 2.282997

-O.OOOOCl 18.299999

-¿x^^.;..? .r-- »--.—„

1>

38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 . 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 SO 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95

13.620000 13.620000 13.168457

' 12.668197 12.119222 11.521532 10.875124 10.180000 16.600002 16.600002 16.600002 16.048698 15.437915 14.767656 14.037916 13.248697 12.399999 19.409999 19.409999 19.409999 ;

18.764186 18.048702 17.263538 16.408699 15.484186 14.489995 22.049999 22.049999 22.049999 21.314926 20.500553 19.606872 18.633888 17.581596 .16.449997 24.520000 24.520000 24.570000 23.800003 22.250003 21.050003 20.000003 19.000003 18.280002 25.750003 25.750003 25.100002 26.740001 26.740001 26.740001 26.740001 26.080001 25.300003 23.9G0001 22.530002 21*300003 20.250003 20.000003

14.299997 11.297996 9.814996 8.171997 6.368996 4.405997 2.282997

-0.000001 18.299999 14.299997 11.297996 9.814996 8.171997 6.368996 4.405997 2.282997

-0.000001 18.299999 14.299997 11.297996 9.814996 8.171997 6.368996 4.405997 2.282997

-0.000001 18.299999 14.299997 11.297996 9.814996 8.171997 6.368996 4.405997 2.282997

-0.000001 18.3000G3. 14.3000C1 11.298000 9.815GC0 8.172000 6.369000 4.4060C0 2.2830C0 O.COOOCO 12.800001 11.300001 10.600000 18.300003 14.3000C1 12.800001 11.300001 10.600000 9.7800C0 8.172000 6.3690C0 4.406000 2.283GQP o.ooooco

96 97 98 99

100 ' 101 102 103

28.470001 28.470001 30.199993 30.199993 30.199993 35.199997 35.199997 35.199997

12.800001 11.300001

v 18.299999 14.299997 11.297996 18.299999 14.299997 11.297996

ELEMENTO NODOS

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69

. 73 77 81 85 89 93 97

-101 105 109 113 117 121 125 129 133 137 141 145 149 153 157 161

1 3 5 7

10 12

• 14 16 19 21 23 25 28 30 32 34 37 39 41 43 46 48 50 52 55

11 13 15 17 20 22 24 26 29 31 33 35 38 40 42 44 47 49 51 53 56 58 60 62 65

5 7 — 6 1 -59 61 64 66 68 70 73 74 75 84 77 79 85 87 98

69 71 74 76 78 80 86 75 84 90 92 94 99 97

102

10 12 14 16 19 21 23 25 28 30 32 34 37 39 41 43 46 48 50 52 55 57 59 61 64

-.64- — 68 70 73 75 77 '"'79 85 82 83 89 91 93 98 96

101

1 3 5 7

10 12 14

• 16 19 21 23 25 28 30 32 34 37 39 41 43 46 48 50 52

. 55

2 4 6 8

11 13 15 17 20 22 2* 26 29 31 33 35 38 40 42 44 47 49 51 53 56

—_£3___58 59 61 64 66 60 70 73 75 75 84 77 79 85 87 98

60 62 65 67 69 71 74 83 76 76 78 80 86 88 99

11 13 15 17 20 22 24 26 29 31 33 35 38 40 42 44 47 49 51 53 56 58 60 62 65

~* O^r •"*"

69 71 -74 76 78 80 86 82 84 90 92 • 94 99 97

102

2 4 6 8

, 11 13 15 17 20 22 24 26 29 31 33 35 38 40 42 44 47 49 51 53 56

~~~S& 60 62 65 67 69 71 74 82 83 76 78 80 86 96 99

12 14 16 18 21 23 25 27 30 32 34 36 39 41 43 45 48 50 52 54 57 59 61 t>3 66 68 70 72 75 77 79 81 82 Ofl otr 89 91 93 95 96 100 103

11 13 15 17 20 22 24 26 29 31 33 35 38 40 42 44 47 49 51 53 56 58 60 62 65

~ -^ 7~~~*" - —'••-

69 71 74 76 78 80 86 P 7 O / 88 90 92 94 99 99

102

2 4 6 8

11 13 15 17 20 22 24 26 29 31 3 3 35 38 40 42 44 47 49 51 53 5 6

60 62 65 67 69 71 82 O 5 13 ¿, 83 76 78 80 86 96 99

3 5 7 9 12 14 16 18 21 23 25 27 30 32 34 36 39 41 43 45 48 50 52 54 57

--59

61 63 66 68 70 72 87

-&3-84 77 79 81 87 97

100

12 14 16 18 21 23 25 27 30 32 34 36 39 41 43 45 48 50 52 54 57 59 61 63 66

—-68— 70 72 75 77 79 81 86 88 89 91 93 95 96

100 103

„ PARTE NCOGS ELEMENTOS

1 1 9 1 16 2 10 18 17 32 3 . 19 27 33 48

:<¿ 4 m*^m^^m-^?^ :*<¿r.

7 — 8 " 9

JLO 11 12

28 37 46 55

—ÚA 73 85 96 101

36 45 54 63

-T2-84 95 100

103

49 65 81 97

129 153 159 165

64 80 96 112

152 158 164 164

„ ír,,v«, •

CONTORNO <0=DESPL. PRESCRITO 1=DESPL. NO PRESCRITC )

Br WL

mu

K* *-K*5

Ér S E ^ — "' '" E •pT":" r

¡E7"

¿. . ¡¿ - .~^ | fe-

r h- *

F~

NODO X Y

1 0 0 2 0 1 3 0 1 4 0 1

- 5 0 1 6 0 1 7 0 1 8 0 1 9 0 1

- — 1 0 ;••— 0 0 19 0 0 ?B 0 ~ " 0 37 0 0

.^46 0 0 55 . 0 .0 64 0 0 7 3 . 0 0

' 8 5 0 0 . ^ , B . _ 3 8 _ ^ , 0 _ . _ . D „

101 0 0 l n ? 0 1 103 0 1

pftnn íiFrii f\üic tic.

MODULO ELASTIC

DESPLAZAMIENTOS X

0 . 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0.OC0OCÜ 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 X 3 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0

_ .a . 000 .000 -^ . . . 0 . 0 0 0 0 0 0 OL OOOOfM)—. 0 . 0 0 0 0 0 0

I DAD G

Y

C . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 G . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 C . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 C . 0 0 0 0 0 0

- o-.oooooo ~ - -coooooo c.oooooo 0 . 0 0 0 0 0 0

coooooo coooooo

- coooooo 0 . O O O O O O . _ _ . _

coooooo n , nQf>AOO COOOOOO

COEF POISSOf

5000.0 5000.0 L500.0 0.333 '0.333 2

FUERZA MASICA (0=N0 HAY FUERZA , 1=HAY FUERZA)

Y " 'x

FUERZA HASIC

— r x 10—2^000 o.oco

1 - 9 18 2 7 3 6 4 5 54 6 3

0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0

0.oooooo CCOCCOO 0 . 0 0 0 0 0 0

9 . 4 9 1 0 0 1 1 8 . 5 3 2 0 0 1

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PUNTO ABSCISA ORDENADA

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— 3 6 — 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 .55 56

1.8299 1.8299 1.7999 1.7363 1.6662 1.5896 1.5065 1.4169 5.4049 5.4049 5.3162 5.1282 4.9209 4.6945 4.4488 4.1839 8.8099 8.8099 v

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16.2999 12.7989 10.5606 8.9988 7.2771 5.3958 3.3547 1.1541

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16.2999 12.7989 10.56G7 0.9988 7.27 72 5.3959 3.3549 1.15 43

*

57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 12 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82

23.2849 23.2849 22.9208 22.0005 20.8685 19.8272 18.8006 17.8083 25.6299 25.8981 25.0665 26.2449 24.7247 25.9180 25.0346 23.8004 22.4441 21*2322 20.1408 * 19.3696 28.4699 28.0855 27.6049 29.4311 32.6999 32.6999

16.2999 12.7989 10.5557 9.0410 7.2993 5.3964 3.3378 1.0932

16.2999 13.6457 12.4661 12.0499 10.7624 10.95C5 10.1687 8-9747 7.2868 5.4086 3.3514 1.0812

16.2999 13.6333 12.0499 12.4661 16.2999 12.7969

PUNTO HAS CARGADO

PUNTO ELEMENTOS FUNC PLAST

70 139 140 1.923046

PUNTOS QUE VAN A PLASTIFICAR

PUNTO ELEMENTOS FUNC PLAST

71 141 142 0.941522

HIPÓTESIS CARGA 1

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-PUNTO

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13, 14 13 16 , 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 • 34 35 36 37 38 39 '40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56

TENSI-GN-X

-9.4326 -6.7778 -5.3967 -4.5273 -3.6648 -2.8084 -1.9346 -0.9738 -9.3016 -6.6397 -5.2294 -4.3949 -3.5638 -2.7480 -1.9318 -1.0608 -9.0615 -6.3544 -4.9710 -4.1625 -3.3842 -2.6430 -1.9269 -1.1848 -8.6973 -5.9732 -4.6237 -3.8535 -3.1347 -2.4842 -1.8955 -1.3256 -8.2104 -5.5469 -4.2321 -3.4948 -2.8335 -2.2731 -1.6189 -1.4528 -7.6292 -5.1553 -3.8565 -3.1293 -2.5077 -2.0281 -1.6872 -1.5194 -7.0104 -4.9053 -3.58*68 -2.6374 -2.1913 -1-7756 -1.5163 -1.4634

TENSION-Y

-20.2654 -16.8038 -14.6312 -13.0129 -11.1991 -9.1886 -6.9895 -4.6253

-20.0752 -16.7316 -14.5484 -12.9857 -11.2248 -9.2649 -7.1133 -4.7946'

-19.7201 -16.4398 -14.3549 -12.8508 -11.1527 -9.2489 -7.1366 -4.8273

-19.0668 -15.8756 -13'.9329 -12.5423 -10.9505 -9.1439 -7.1080 -4.8352

-18.0066 ' -14.9107 -13.1678 -11.9660 -10.5533 -8.90S7 -7.0137 -4.8278

-16.4653 -13.4195 -11.8885 -10.9816 -9.8698 -8.4886 -6.8148 -4.79 53

-14.4573 -11.3570 -9.9121 -9.3826

• -8.7149

f.oU41 • -6.4992 -4.7196

TENSIÜN-XV

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0.002585 0.000000 0.003454 0.003458

FIN DEL ESCALÓN ELÁSTICO

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PUNTOS-QUE PLASTIFICAN

PUNTO ELEMENTOS FUNC PLAST

53 60 61 62 63 69 71 72 73 74 75 76 53 54

105 107

1.0077 1.0406 1.0089 1.0111 1.0154 1.0147 1.04C8 1.0218 1.0690 1.0133 1.0402 1.0145 ' .

106 1.000000 108 0 .941557

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32 33 JLát

-17.9194 -12.8985 -10.2561 -8.5743 -6.8888 -5.1960 -3.4568 -1.5577

-17.6888 -12.6517 -9.9606 -8.3450 -6.7148 -5.0891 -3.4438 -1.6977

-17.2592 -12.1372 -9.5070

^-7-9452 -6.4103 -4.9083 -3.4221 -1.8853

-16.5893 -11.4330 -0.8935 -7.4187 -5.9971 -4.6437" -3,3527.

-38.4385 -31.85 75 -27.7265 -24.6581 -21.2259 -17.4278 -13.2740 -8.7981

-38.1180 -31.7420 -27.5303

,6085 2687 56C9 4954 1092 5113 2489 2535 3752 1393 5285

-13.5340 -9.1678

-36.3635 -30.2892

-24 -21 -17 -13 -9,

-37 -31 -27. -24, -21. -17-

-26 -2 3 -20 -17

5579 86 24 7949 3442 4791,

- 2 . 0 8 5 3 - 1 5 . 6 6 7 6 - I f W i f H }

- 9 . 1 8 0 0 34 .4288

35 36 37 38 39 ^ 0 T W

41. 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56

-8.1831 -6.8042 -5.5122 -4.3062 -3.2074 -2.2444

-14.5620 -9.8115 -7.4025 -6.1443 -4.9921

\ -3.9333 -2.9705 -2.2801

-13.3929 -9.4151 -6.865-9 -5.4414 -4.4785 -3.5478 -2.6698 -2.0791

- 2 5 . 3 3 C 3 - 2 2 . 9 5 9 2 - 2 0 . 1 7 2 8 - 1 6 . 9 6 7 1 - 1 3 . 3 2 | ¿

- 3 1 . 5 0 9 6 - 2 5 . 7 6 3 1 - 2 3 . 0 6 7 3 - 2 1 . ^ 9 5 9 - 1 9 . 2 3 6 8 - 1 6 . 4 1 7 6 - 1 3 . 0 4 1 2

- 9 . 1 1 4 1 - 2 7 . 6 0 7 3 - 2 1 . 6 9 1 2 - 1 8 . 9 8 5 4 - 1 8 . 4 4 1 7 - 1 7 . 8 4 3 6 -15.8^feV - 1 2 . 8 4 4 4

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0 .1034 0 .2154 0 .1731

- 2 . 4 0 6 2 - 1 . 5 6 0 8 - 1 . 1 0 1 2 - 0 . 7 1 5 7 - £ . 3 5 4 2 -070505

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TENSION-1

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- 1 7 . 6 4 3 0 - 1 2 . 6 3 6 1

- 9 . 9 5 4 9 - 8 . 3 4 3 8 - 6 . 7 1 4 8 - 5 . 0 8 7 5 - 3 . 4 3 9 7 - 1 . 6 9 4 0

- 1 7 . 1 2 4 4 - 1 2 . 0 8 5 5

- 9 . 4 8 4 8 - 7 . 9 3 7 6 - 6 . 4 0 9 6 - 4 . 9 0 7 4 - 3 . 4 1 7 6 - 1 . 8 8 1 2

- 1 6 . 3 0 0 7 - 1 1 . 3 0 4 6

- 8 . 8 2 5 1 - 7 . 3 8 76 - 5 . 9 8 8 6 - 4 . 6 4 3 5 - 3 . 3 5 0 4

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- 7 . 9 9 0 6 - 6 . 6 9 8 5 - 5 . 4 6 6 7 - 4 . 2 9 4 3 - 3 . 2 0 7 1 - 2 . 2 4 2 4

- 1 3 . 6 9 9 4 - 9 . 1 6 1 0 - 6 . 8 6 5 3 - 5 . 8 0 9 7 - 4 . 8 1 2 7 - 3 . 8 5 5 0 - 2 . 9 5 0 4 - 2 . 2 7 9 8

- 1 2 . 1 2 7 3 - 8 . 0 5 5 3 - 5 . 4 7 4 0 - 4 . 3 7 7 7 - 3 . 8 3 5 1 - 3 . 2 1 2 8 - 2 . 5 4 6 1 - 2 . 0 6 1 2

TENSION-2

- 3 8 . 4 4 4 0 - 3 1 . 8 5 9 3 - 2 7 . 7 2 7 1 - 2 4 . 0 5 8 2 - 2 1 . 2 2 6 0 - 1 7 . 4 2 8 5 - 1 3 . 2 7 6 7

- 8 . 8 0 5 3 - 3 8 . 1 6 3 9 - 3 1 . 7 5 7 6 - 2 7 - 2 4 - 2 1 - 1 7 - 1 3

- 9 , - 3 7 -- 3 1 , - 2 7 , - 2 4 , - 2 1 , - 1 7 ,

,5859 ,6097 2687 5625 4996 1129 6462, 3005 2757 3827 1400 5294

- 1 3 . 5 3 8 6 - 9 . 1 7 1 9

- 3 6 . 6 5 2 1 - 3 0 . 4 1 7 5 - 2 6 . 6 2 6 3 - 2 3 . 8 9 3 5 - 2 0 . 8 0 3 4 - 1 7 . 3 4 4 4 - 1 3 . 4 8 2 0 ._ -a .L842 - 3 4 . 9 5 6 2 - 2 8 . 8 7 6 2 - 2 5 . 5 2 2 7 - 2 3 . 0 6 4 9 - 2 0 . 2 1 8 3 - 1 6 . 9 7 9 0 - 1 3 . 3 2 1 7

- 9 . 1 6 7 0 - 3 2 . 3 7 2 2

4136 6045 8306 4163

- 2 6 - 2 3 - 2 1 - 1 9 - 1 6 . 4 9 5 9 - 1 3 . 0 6 1 3

- 9 . 1 1 4 4 - 2 8 . 8 7 2 9 - 2 3 . 0 5 1 1 - 2 0 . 3 7 4 3 - 19 - 18 - 1 6 - 1 2

- 9

,50 55 ,4869 1614

,9681 0489

ÁNGULO 1-X

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0 .1145 0 .4473 0 .9503 1.8076

- 2 . 7 0 8 5 - 1 . 6 3 5 7 - 1 . 0 2 3 3 - 0 . 4 9 3 5

0 .0670 0 .6425 1.1604 1.2755

- 4 . 6 4 9 5 - 2 . 9 7 3 1 - 2 . 0 2 2 1 - 1 . 2 3 1 2 - 0 . 3 8 5 6

0 .4695 1.2198 1.3610

- 6 . 8 3 9 3 - 4 . 7 0 0 1 - 3 . 5 5 3 8 - 2 . 4 8 7 6

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- 9 . 2 5 6 3 - 6 . 2 5 5 4 - 2 . 8 9 4 2

FUNC PLAST

-2.2079 -0.9858 -0.4386 -0.1535 0.0808 0.2660 0.4206 0.5995

-2.1310 -0.8877 -0.3288 -0.0607 0.1623 0.3320 0.4590 0.5817

-1.9812 -0.7152 -0.1700 0.0823 0.2759 0.4052 0.4743 0.5092

-1.7680 -0.5045 0.0218 0.2498 0.4096 0.4927 0.4952

-1.5102 -0.2958 0.2239 0.4286 0.5511 0.5912 0.5341 0-.3.52Í

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1608 5704 9198 0000 9415

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-24.4765 -19.6980 -16.5278 -15.7814 -14.5976 -14.6073 -12.5938 -9.0382

-19.7246 -15.9138 -17.1575 -13.7638 -15.6403 -12.3922 -10.2449 -9.51*97 -9.7898 -9.5432

-10.8349 -9.0628

-15.4378 -11.2010 -11.0395 -9.8266

-13.3312 -7.9066

-20.2005 -26.0268 -28.1945 -25.9823 -21.9136 -15.2897 -9.4259 -5.1858

-24.3887 -39.2909 -38.0067 34.8199 43.3974 39.5314

-41.9152 -34.7150 -29.3894 -24.2079 -16.0166 -8.2490 -26.6155 34.1561 18.3521 16.0074 -11.6750 -2.6722

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0.0265 0.0323 0.0388 Ü.0453 0.0516 0.0571 0.0614 O.OOCO 0.0135 0.0213 0.0266 0.03 29 0.0402 0.0474 0.0539 0.0590 O.OOCO 0.01C3 0.0158

' 0.0197 0.0270 0.0349 0.04 38 0.0511 0.0560 0.0110 0.0117 0.0140 O.OOCO 0.0076 0.0087 0.0086 0.0095 0.0125 0.0201 0.0278 0.0366 0.0473 0.0525 0.0070 0.0064 0.0000 0.0054 0.0048 O.OOCO 0.0065 0.00 65

C.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0005 0.0006 0.0006 0.0000 0.0005 0.0007 0.0007 0.0007 0.0007 0.0006 0.0007 0.0007 0.0000 0.0004 0.0007 0.0009 0.0012 0.0014 0.0014 0.0008 0.0008 0.0005 0.0005 0.0008 0.0000 0'.0004 0.0005 0.0005 0.0010 0.0016 0.0020 0.0022 • 0.0022 0.0018 0.0016 0.0003 0.0004 0.0000 0.0002 0.0002 0.0000 0.0000 0*0000

0.0014 0.0017 0.0021 0.0025 0.0029 0.0031 0.0033 0.0000 0.0006 0.0010 0.0013 0.0017 0.0022 0.0028 0.0031 0.0033 0.0000 0.0005 0.0008 0.0010 0.0013 0.0018 0.0025 0.0032 0.0035 0.0005 0.0005 0.0005 0.0000 0.0003 0.0004 0.0004 0.0002

_0.0003 0.0008 0.0013 0.0019 0.0028 0.0036

. 0.0003 0.0003 0.0000 0.0002 0.0002 0.0000

' 0.0003 0.0003

FIN DE LA ITERACIÓN PLÁSTICA NUMERO

j*.*íV o v - ^-^•-"

Ikr ALUC ISCRi ' ( fS ISTEM-C Cü.N CILAIANCIA KUl.

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12 1C"3 164

,TCS TALlJfT" '

24

2 6 9 2 25 32 1 4 . C 0 0 3 . 0 0 2 ],.4;V¿ 2 . 2 3 3 3 . 6 6 0 2 . 3 0 0 3.3 ' iO 2 . 7 4 0 i

:IPC ZCN CES'PL CARG ÑUM

EL HET PRESC SUC FASES

1 0 22 0 0

RCP. REGLGGICAS

W~ MODULO ELASTICIDAD X Y

5 0 0 0 . 0 SCOC.O

£U£RZ CQNC AUT

r* o -to rcc

G ' t O E F POISSGN COHES ANG FUERZA X Y aoz Y

MASJCA X

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1500*0 0 . 3 3 3 0 * 3 3 3 2 . 0 0 0 - 30.QCO 2 . 0 0 0 O.OGO 0 , 0 0 0

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-0.4220E-O.OOOOE 0.1239E-

-0.5411E-O.OOOOE 0.8324E-0.3910E-O.OOOOE 0.4265E-

-0.4238E-O.OOOOE

-0.15S2E--0.3401E-O.OOOOE

-0.1491E--0.2348E-O.OOOOE 0.2819E-

-0.1617E-O.OOOOE

-0.9094E--0.1416E-O.OOOOE 0.1382E-

-0.1160E-O.OOOOE

-0.5584E--0.3637E-O.OOOOE .O.OOOOE O.OOOOE

00 -09 -09 00 -09 -09 00 -09 -09 00 -09 -09 00 -09 -09 00 -09 -08 00 -09 -08 00 •10 -08 00 •09 -08 00 •09 09 00 00 00

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atsiDvos

O.OOOOE 00. C.1055E-08

-0.8731E-10 O.OOOOE 00 0.1077E-09

-0.6548E-10 O.OOOOE 00 0.2058E-08 0.2395E-08 O.OOOOE 00 0.2910E-10

-0.7992E-10 O.OOOOE 00 0.3579E-08 0.1881E-09 O.OOOOE 00 0.2118E-08 0.1072E-09' O.OOOOE 00 0.4395E-08

-0.3859E-08 O.OOOOE 00 0.1680E-08

-0.1836E-08 O.OOOOE 00 0.5147E-08

-0.21Ó2E-08 .O.OOOOE 00 0.3554E-08

-0.4974E-09 O.OOOOE 00

-0.2Ó19E-09 -0.5820E-09

O.OOOOE 00 -0.113ÓE-09

0.1898E-08 -0.2364E-10 -0.1169E-08 0.7325E-08 0.2887E-08

-0.1862E-08 0.4242E-08

-0.2332E-09

0.3788E-08 -0.5302E-09

0.3927E-08 -0.5911E-10

0.2575E-08 -0.4965E-09

0.2467E-08 -0.7876E-09

0.6693E-09 -0.7712E-09

Q.5529E-09 -0.1928E-09

O.OOOOE 00 O.OOOOE 00

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0.2497E-09 -0.1083E^09

0.1229E-08 0.1637E-09

-0.3492E-09 0.2848E-08 0.3592E-08

-0.1818E-08 0.1879E-08 0.4738E-08

0.2417E-08 -0.3C61E-08

0.3231E-08 0.2494E-08

0.3810E-08 0.1776E-08

0.4934E-08 -0.1705E-10

0.1879E-08 -0.6481E-09

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O.OOOOE O.OOOOE

0.1971E--0.2326r. 0.3410E-0.4076G-0.1818E-

-0.1280 c-0.3972c-0.3083E-

0.1895E--0.1615E-

0.2795E--0.6530E-

0.2526E--0.3492E-

0.1504E--0.1477E-

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0.6693Í--0.7421E-

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-08 -09 -09 -08 -10 -08 -08 -09

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-09 -09

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0.7594E-10 O.OOOOE CO

0.7130E-09 ' 0.6020E-09

-0..1388E-C8 0.2167E-C8 0.1546E-C9

-0.5456E-C9 0.3537E-C8 0.2785E-08

0.4342E-C8 0.3778E-08

0.5810E-C8 :, -0.3590E-C8

0.6213E-C8 0.3213E-C8

0.5224E-C8 1 0.1898E-C9 !

0.4335E-C8 ! 0.3072E-G8 j

0.5852E-08 | 0.4383E-C9 J

i 0.8440E-C9 \ 0.1600E-OS

PUNTOS QUE VAN A PLASTIFICAR

PUNTO ELEMENTOS FUNC PLAST

.-'VÍ-V». - "

52 1C 53 54

J3 104 0.954210 1.0104 1.0145

54 107 108 1.000000 60 61 62 63 69 71 72 73 74 75

0 76

1.0196 1.0026 1.0226 1.0026 1.0055 1.0231 1.0032 1.0307 1.0085 1.0220 1.0321

HIPÓTESIS CARGA

•-*¿t¿»'->¿-3i,;;-íi«¿¿V

r^ssa

PUNTO

1 -2-3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15!

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 - — 35 36 37 38 39 *40 "" 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57

- TENSION-X

-17.9165 -12.8964 -10.2476 -8.5585 -6.8625 -5.1562 -3.4023 -1.4900 -17.6894 -12.6525 -9.9559 -8.3323 -6.6904 -5.0494 -3.3878

•' -1.6264 -17.2652 -12.1437 -9.5087 -7.9384 -6.3892 -4.8683 -3.-3632 -1.8079

-16.6009 -11.4446 -8*9056 -7.4210 -5.9808 -4.ÓÜ23 -3.2901

_-2.000SU~-^ -15.6826

— 10.6151 — -8.2005 -6.8233 -5.5020 -4.2586 -3.1401 -2.1541

-14.5815 /*k «"i *•* *l t*\

, -.;.-?9 •«• tí 2 3 9 -—• •--••7

-7.4314 -6.1625 -5.0021 -3.8655 -2.8951 -2.1887

-13.4086 -9.4556 -6.8728 -5.4610 -4.5263 -3.3989 -2.5780 -1.9964 -Í2.0038

-TENSION-Y

-38.4256 -31.8457 -27.7148 -24.6482 -21.2191 -17.4242 -13.2734 -8.7998

-38.1127 -31.7342 -27.5715 -24.60C2 -21.2623 -17.5566 -13.4931 -9.1089

-37.5183 -31.2525 -27.2528 -24.3731 -21.1378 -17.5267 -13.5318 -9.1670

-36.3878 -30.3122 -26.5787 -23.8741 -20.8058 -17.35C2 -13.4800

^.-~ 9.1 793---^ -34.4689 -28.6297 J

-25.3824 -23.0146 -20.2103 -16.9909

„ -13.329G„_ -9.1652

-31.5563 —***£ 5 .811&">.~**# -23.1527 -21.5855 •-19.3922 -16.4743 -13.0627 -9.1170

-27.6398 -21*74 14 -18.9928 -18,6271 -17.9474 -15.9006 -12.80C3 -9.0337

-22.7923

af.^

-—TENSION~XY^

-0.3341 i -0.1879 f

-C.1006 L -0.0380 F 0.0262 0.0926 u;. 0.1599 P

0.2262 ; -0.9651 r -0.5455 -0.3175 -0.1451 : 0.0099 • 0.1325 r 0.1976 0.1615 ;

-1.6522 -0.9930 ¿ -0.6295 ¡ -0.3596 ; -0.1093 í 0.0932 i 0.2076 í .0.1683 ; -2.3993 • -1.5555 -1.0998 --0.7211 i -0.3669 : -0.0607 : 0.1468 f

•^^^-Ov'^-81"'" fs'~ -3.1844 *

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-2.9635 -2.3142 í -1.6451 t-. -0.9844 -0.4266 ? -0.0432 r -4.4301 -4.3164 -4.3740 -3.9452 -3.0436 -2.0180 -1.0575 -n-VH?3 -4.6003

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27-

TENSION-i

-17.9111 -12.8945 -10-2471 -8.5584 -6.8624 -5.1555 -3.3998 -1.4830

-17.6439 -12.6369 -9.9502 -8.3310 -6.6904 -5.0480 -3.3839 -1.6229

-17.1313 -12.0923 -9 .4864 -7.9305 -6.3884 -4.8677 -3.3590 -1.8041

-16.3141 -11.3172 -8-8374 -7.3895 -5.9717 -4.6020 -3.2880 -1.9969

-15.1575 -10.3245 -8.0086 -6.7174 -5.4548 -4.2464 -3.1399 -2.1523 -13.7204 -9.1723 -6.8913 -5.8227 -4.8165 -3.7891 -2.8772 -2.1884 -12.1422 -8.0907 -5.4591 -4.3693 -3 .8663 -3.0827 -2.4706 -1.9S08 -10.3085

TENSIGN-2

-38.4311 -31.8475 -27.7153 -24.6483 -21.2192 -17.4249 -13.2760 -8.8068

-38.1582 -31.7498 -27.5772 -2^.6015 -21.2623 -17.5580 -13.4970 . -9.1124

-37.6522 -31.3040 , -27.2751 -24.3809 -21.1386 -17.5274 -13.5360 -9.1709

-36.6746 -30. V395 — 26 .6468 -23.9056 -20.8148 -17.3505 -13.4821 -9.1833

-34.9940 -28.9204 -25.5743 -23.1206 -20.2575 -17.0031 -13.3292 -9.1670

-32.4174 -26.^4632 -23.6928 -21.9253 -19.5779 -16.5507 -13.0806 -9.1173

-28.9062 -23.1063 -20.40 64 -19.7187 -18.60 54 —16.2768 -12.9877 -9.0494

-24.48 75

ÁNGULO 1-X

-0.9331 -0.5632 -0.3300 -0.1356 0.1046 0.4324 0.9232 1.7710

-2.6995 -1.6364 -1.0324 -0.5111 0.0392 0.6070 1.1201 1.2361

-4.6333 -2.9670 -2.0295 -1.2523 -0.4248 0.4221 1.1695 1.3099

-6.8160 -4.6816 -3.5474 -2.5048 -1.4168 -0.2732 0.8256 1.3410

-9.3638 -7.1816 -5.9998 -4.6101 -3.2393 -1.7732 -0.2555 0.9222

-12.3921 -11.1936 -10.3285 -8.3526 -6.4396 -4.4376 -2.3986 -0.3579

-15.9532 -17.5477 -17.9109 -15.4674 -12.H989 -8.9Ü63 -5.8009 -2.6978

-20.2293

FUNC^H-AST

-2 -0 -0 -0 0 0 0 0

-2 -0 -0 -0 0 0 0 0

- 1 -0 -0, 0 0, 0, 0. 0,

- 1 , -0,

.2085

.9866

.4366

.1481

.0912

.2826

.4441

.6289

.1322

.8891

.3280

.0564

.1719

.3484

.4828

.6125

.9833

.7176

.1708

.0851

.2848

.4221

.4992

.5425

.7705 • 5068

0.0194 0, '0. 0. 0. 0.

- 1 . -0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.

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.2507 4185 5116 .5222 4607 * 5123 2962 2235 4285 5619 6154 5642 3.911 2619 1520 4357 6433 7402 7481 6421 3683 0853 1682 5815 9542 0000 0000 8048 h ¡i P t\ rio i

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-9.6497 -6.654r -5.0476 -3.8244 -3.0921 -2.1170 -1.4648 -10.3482 -10.2399 -10.5470 -10.7699 -9.3286 -6.4186 -4.1975 -3.3848 -2.8555 -2.3041 -2.0229 -0.8353 -9.5025 -9.4496 .

-10.0440 -9.1579 -9.4145 -7.8313

-17.2894 -13.7418 -12.9743 -12.5701 -13.4188 -12.2910 -8.8623 -17.76 44 -12.0554 -12.9319 -6.5085 -8.6905 -5.4946 -5.8018 -6.6066 -7.5061 -8.0733

-10.0098 .. -9.0027 -.13.9.101 -7.38C5 -3.8461 -3.1339

-13.1264 -3.3784

-4.9426 -5.3829 -4.8604 -3.8635 -2.8527 -1.6196 -0.6570 -4.2456 -4.6468 -5.2943 -4.9496 -6.2381 -4.6877 -4.1960 -3.9173 -3.7066 -3.2443 -2.6239 -1.1670 -2.9542 -2.4890 -2.2234 -1.8483

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. 3 6 2 1 . 3 5 6 4 . 8 6 5 4 . 4 0 6 9 . 4 1 9 3 . 4 1 3 0 . 3 1 2 5 . 2 5 0 4 . 7 6 3 2 . 2 4 6 1 . 7 2 7 7 . 7 6 0 1 . 8 0 5 2 . 8475 .2379 .6718 • 0206 7196 1310

*6120 2510 3673

- 1 9 - 1 6 - 1 5 - 1 4 - 1 4 - 1 2

- 8 - 1 9 - 1 5 - 1 7 - 1 4 - 1 5 - 1 0 .

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. 2 8 2 5

. 0 3 2 4

. 1 5 4 5

. 5 4 2 6

. 9 2 0 2

. 6 9 3 3

. 8 8 2 3

. 1 6 6 4

. 0 2 8 0

. 2558

. 6 6 7 1

.2717

.2313 ,5565 ' ,53 00 7947

.1662 39^0 1106 7 5 9 1 6798 2900 8423

- 2 6 . 1 5 1 2 - 2 8 . 3 2 0 9 - 2 5 . 4 0 2 9 - 2 0 . 7 3 1 2 - 1 4 . 4 6 0 4

- 8 . 8 3 0 6 - 5 . 0 3 6 2

- 2 4 . 4 3 3 5 - 3 9 . 4 7 3 7 - 3 8 . 6 5 4 0

33 .3551 43 .5367 42 .1864

- 3 9 . 5 8 9 5 - 3 3 . 8 2 3 7 - 2 8 . 9 5 0 1 - 2 4 . 1 7 9 9 - 1 6 . 6 5 4 0

- 7 . 9 7 4 3 - 2 6 . 6 3 9 4

33 .7155 17 .8300 15 .7684

- 1 1 . 6 0 8 7 - 2 . 8 4 5 1

- 0 . 2 3 1 7 0 .7770 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 .6782

- 0 . 8 0 3 1 - 0 . 4 8 4 4 - 0 . 2 5 5 5

0 . 6 1 7 3 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

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Apéndice E

N O T A C I Ó N

\ i" ? '.'•' r ,-""v

A P É N D I C E - £ -

N O T A C I Ó N • • a « B I S 3 = S 5 S S B B «

índice de símbolos

B • matriz que relaciona corrimientos y deformaciones de los nodos de un

mentó*

0 - cohesión*

d m desplazamiento»

B • matriz tensión deformación.

B - módulo de elasticidad o Young.

e » deformación»

e • deformación elástica.

e* • deformación plástica.

e » índice de poros.

f » función o criterio de rotura.

P » fuerza concentrada en un nodo.

G o módulo de deformación transversal.

g « deformación angular.

1 » invariante del tensor de tensiones.

J « invariante del tensor desviador de tensiones.

k « índice de entumecimiento de la arcilla.

K « matriz de rigidez (elementos finitos).

K m módulo de deformación volumátrioa (elasticiáad).

K • constantes diversas.

L « índioe de compresión de la arcilla.

m • coeficiente de Potsson.

M m pendiente de la recta de resistencia intrínseca en el plano "p-q".

p « presión media o esférica.

q « desviador de tensiones.

S « tensión*

t « tensión tangenoial « S...

u » corrimiento según el eje " x w.

v - corrimiento según el eje M y M (elementos finitos).

v • ángulo de dilatanoia (plasticidad).

W • trabajo plástico.

0 m ángulo de rozamiento interno.

0 • densidad.

Apéndice F

B I B L I O G R A F Í A

A P É N D I C E -*F-

B I B L I O G R A F Í A B B a n ^ o n r s s a a a a c c a B B B i i B a i B i

• * -

R E F E E E H C I A 3 B I B h I O O H A F I C A 3

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Es el estudio meo riguroso realizado hasta hoy sobre la validez del

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Introduce un método directo muy práctico de resolución de sistemas barí

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Interesante contribución al método en lo referento a la aplicación pra£

tica del mismo, oon experimentación de la convergencia obtenida con di­

ferentes formas de elementos y tamaños de malla. Dedica eran extensión al

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Es uno de loe estudios más completos y positivos que existen, oon incor

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Representa el mayor esfuerzo realizado hasta ahora tanto en la obten­

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Apreoiable estudio comparativo de loa métodos de reeoluoión de sistemas

de ecuaciones.

B-90 ) WILSON E.L. "Struotural analyaia of axiaymetrioa solidaM Vol. 3 n«1» Dio.

1.956, págs 2.269-2#274» Joum. Araerioan Inat. Aeronautia. and Astro­

nauta

B-51 ) ZIEUKIEWICZ O.C. y CHEÜNG Y.KrApplidatitta: of tha finita élement method to

problema 4>f rook meohanioa,, Int. Cong. Rock Meoh, Lisboa 1.966, Vol.1

paga. 661-672.

r

B- 52 ) ZIEHKIEWICZ O.C. y CHEÜNG Y.K. "The finita element method in struotural

and oontinuum mechanica* Me. Graw Hill 1.967.

EB el único libro editado dedioado exclusivamente al método. Aunque le

falta rigor en algunos puntos, es muy completo y práctioo.

16.-»

B-53 ) ZIEHCKWICZ 0#C# "Continu» Keohanios as en approeoh to Bode Mase Prjt

bleaa"* Cap#8 de "Boefi Meábanle* ia Engineering Praotioe" de ZIE8-

KIEWICZ y 3ÍA00. pág». 237-273» JOBI fmÉr 1.968 (frmduooión espa-

ñola 1.970 por J. RODRÍGUEZ ORTIZ),

Bs interesante el caso de no linealidad debido a la no resistencia

a traooión, asi oomo la aplioaoión en tres dimensiones a presas bóv^

das»