matemàtiques GrupZER Ill

esfadisfit:a i afza•

B.U.P. l

l.C.E. DE LA UNIVERSITAT AUTÒNOMA DE BARCELONA

�editorial vicens-vives

matemàtiques Grup ZERO Ill

esfadisfi�a i afzar

B.U.P. l

l.C.E. DE LA UNIVERSITAT AUTÒNOMA DE BARCELONA

�editorial vicens-vives

Direcció d'edició: Anna Vicens

. 1 l·lustrat per: Nando

..--------- GRUP ZERO (BARCELONA) _______ _,

Formen part del GRUP ZERO:

Carmen Azcarate, Dolors Benach, Marta Berini, Daniel Bosch, Marti

Casadevall, Ester Casellas, M.ª José Castelló, Montse Comas, Rubi Cor­

beró, Jordi Deulofeu, Belén Escudé, Joan Estafanell, Cristina Fabregat,

Elena Gomis, Jaume Jorba, Carles Lladó, Antoni Montes, Paco Moreno,

Manuel Udina.

Primera edici6, 1981

Dipòsit Legal: B. 15.285-1981 ISBN: 84-316-1974-C N.º d'Ordre V.V.: B-924

Llibre presentat al Departament d'Ensenyament de la Generalitat de C�talunya per a l'aprovació el 22-VI l·l 981

© GRUP ZERO: Carmen Azcarate, Dolors Benach, Marta Berini, Daniel Bosch, Marti Casadevall, Ester Casellas, M.ª José Castelló, Montse Comas, Rubi Cor­bera, Jordi Deulofeu, Belén Escudé, Joan Estafanell, Cristina Fabregat, Elena Gomis, Jaume Jorba, Carles Lladó, Antoni Montes, Paca Moreno i Manuel Udina. Sobre la p�rt literària.

Reservats tots els drets d'edici6 a favor d'Edicions Vicens-Vives, S.A. Prohibida la reproduccl6 total o parcial per qualsevol mitjà.

IMPR ÈS A ESPANYA PRINTED IN SPAIN

Editat per Edicions VICENS-VI VES, S.A. Avda. de Sarrià, 130. Barcelona-17. Imprès per Gràfiques l NSTA R, S.A. Constitució, 19, Barcelona-14.

Presentació

Els llibres que formen la present col·lecció han estat preparats, experimentats i revi­

sats durant cinc anys, des del juliol del 1975 fins a l'edició actual del juny del 1980. La

seva utilització experimental ens ha portat a redactar una guia per al professor que

conté les intencions del GRUP ZERO en presentar aquest material, descriu en detall l'es­

tructura i el contingut dels temes, i dóna suggeriments de cara al seu ús pràctic; recull,

en part, l'experiència obtinguda durant l'etapa d'experimentació.

Al nostre país no és freqüent que els llibres d'ensenyament siguin projectats i expe­

rimentats degudament abans de ser autoritzats per a l'ensenyament, com s'exigeix a al­

tres països. En el nostre cas això ha estat possible gràcies a l'ICE de la Universitat Au­

tònoma de Barcelona, en el marc del qual i dintre del projecte d'investigació «L' ense­

nyament de les Matemàtiques al BUP» s'ha portat a terme. Hem comptat també amb el

suport del Col·legi de Doctors i Llicenciats de Catalunya i Balears.

La idea bàsica que va motivar aquest projecte és la necessitat de disposar d'un ma­

terial que faciliti un ensenyament de les Matemàtiques que no sigui purament deductiu,

que respecti el procés genètic del coneixement, tot buscant la motivació de l'alumne en

les aplicacions dels mètodes matemàtics a situacions reals.

Els fascicles que constitueixen la col·lecció fins ara són:

l. La mesura i els nombres.

11. Estudi de les funcions lineals quadràtiques.

11 l. Estadística i atzar.

IV. Progressions.

V. Estudi de les funcions exponencial logarítmica.

VI. Introducció a les derivades.

VII. Les funcions circulars.

Un primer curs de Matemàtiques es pot enfocar bàsicament a partir dels fascicles l,

11 i 11 l. Els temes IV, V, VI i VII constituirien el nucli d'un segon curs. Cal complementar

els dos cursos amb qüestions de Geometria.

Actualment estan en preparació altres fascicles que completarien el programa de

BUP.

-

Índex

A. INTRODUCCIÓ HISTÒRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B. DEFINICIÓ CLÀSSICA DE PROBABILITAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. Introducció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. Lleis de Mendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 O 3. El llenguatge de les probabilitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4. Problemes d'aplicació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

C. FREQÜÈNCIA l PROBABILITAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

D. OPERACIONS AMB ESDEVENIMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1. Regles elementals del càlcul de probabilitats . . . . . . . . . . . . . . 36 2. Problemes de manipulació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3. Treball de probabilitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

E. COMBINATÒRIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1. Variacions sense repetició . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1.1 Permutacions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2. Variacions amb repetició . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3. Combinacions sense repetició . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4. Exercicis de manipulació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

F. BINOMI DE NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 1. Nombres combinatoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2. Binomi de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

G. PROBLEMES DE CONSOLIDACIÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Treball de combinatòria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

H. ESTADISTICA DESCRIPTIVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 1. Distribucions estadístiques. G ràfies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2. Característiques de posició i dispersió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3. Problemes de consolidació . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 O

Pròleg

La fotografia de l'arribada dels corredors a la meta no ens diu res sobre el tipus de

cursa que han fet. No ens diu si la cursa ha estat d'obstacles o eren els 100 metres lli­

sos. Si ha estat d'obstacles, no ens permet descobrir quins obstacles han hagut de su­

perar els corredors. ni tampoc ens permet de saber en quines condicions aquests han

hagut de córrer.

Els qui formem el Grup Zero creiem que la majoria dels llibres de text de Matemàti­

ques que podem trobar en aquests moments són com fotografies (tot deixant de banda

els que són simples fotocòpies; almenys la fotografia pot suposar una certa originalitat),

fotografies, com dèiem, de l'etapa final d'un treball, del resultat d'un cert procés, d'una

cursa que, estigueu-ne segurs, ha estat d'obstacles. Però, què ha caracteritzat aquest

treball? Quin tipus de treball ha estat? Quins motius hi havia per tal de dedicar temps a

realitzar-lo 7

Les Matemàtiques no les podem reduir a fotografies, a instantànies dels resultats

del treball fet per uns altres. Saber Matemàtiques no és «posseir informació mate­

màtica». sinó que vol dir SABER FER Matemàtiques. La matemàtica fonamentalment és

un mètode. En aquest sentit, podria ser il·lustrativa del treball matemàtic, del mètode

matemàtic, una pel·lícula. però mai una fotografia.

Saber Matemàtiques significa poder-ne fer: saber plantejar i resoldre problemes,

criticar arguments, utilitzar el llenguatge matemàtic amb facilitat. reconèixer un con­

cepte matemàtic en una situació concreta ...

De tota manera no us volem presentar cap pel·lícula. sinó aquest material de treball

que ara teniu a les mans. L'objectiu d'aquest material de treball és introduir-vos en el

mètode propi de les Matemàtiques. Un treball dur, difícil, que exigeix molt més esforç

per part de tots, molta més disciplina de treball, però que a la llarga és molt més fruc­

tífer.

Aquest llibre no és, doncs, un «llibre de text» habitual, en el sentit que la teoria no hi

és recollida de forma estructurada. Caldrà elaborar-la a partir del treball fet sobre els

problemes. Així, cada alumne construirà el propi text a posteriori, seguint els guions que

hi ha al final del tractament dels diversos temes. És necessari que aquest treball sigui

després útil com a material de repàs i d'estudi i, per això, cal que tingui una bona pre­

sentació, gràfics ben fets (en paper mil·limetrat). etc .. que reculli una selecció dels pro­

blemes més interessants i tots els aspectes teòrics que han sortit.

l ntroducció

històrica

Arni dia, ¿qui no ha sentit o ha llegit en qualsevol mitjà de comunica­ció . o fins i tot en les converses quòtidianes frases com les següents?

Segons un sondeig d'opinió realitzat per l'Institut Consulta sobre una mostra representativa de la població . . .

Segons les últimes estadístiques, l'emigració a Europa . . .

Les possibilitats que té el Barça de guanyar diumenge . . . És poc probable que ens toqui la rifa aquest any

La probabilitat que té actualment una persona de viure fins a vuitanta anys és molt . . .

I d'altres semblants.

En aquest tema estudiarem unes primeres nocions d'Estadística i del Càlcul de probabilitats que ens permetran de precisar el significat d'alguns termes com probabilitat, estadística, mostra, tenir igual probabilitat, ésser poc probable, etc . , molt usuals al llenguatge quotidià i que , a més, consti­tueixen part de la terminologia típica d 'una gran branca de les Matemàtiques anomenada Teoria de probabilitats.

Precisament, en un llibre clàssic ( CRAMER: T eoría de probabilidades y aplicaciones. Editorial Aguilar ) , podem llegir a la primera pàgina un paràgraf que més o menys diu : Per a arribar a comprendre realment qualsevol branca

1

de la ciència cal estudiar-ne el desenvolupament històric. Tots aquests pro­blemes per als quals els llibres actuals presenten solucions immediates foren, en altres temps, dificultats insolubles amb què s'enfrontaren els homes de ciència. Val, doncs, la pena, l'estudi de la llarga lluita que ha conduït a 'la ciència moderna. L'esforç esmerçat en aquest estudi serà generosament re­compensat per l'íntim coneixement, que així s'adquireix, del creixement i de l'estructura de la ciència.

Potser a cap altra branca de les Matemàtiques no escauen tan bé aquestes frases, car molts aspectes que presenta aquesta teoria només es poden enten­dre completament si es coneixen els trets principals del seu desenvolupament històric. A més, aquest desenvolupament ha estat força diferent al d'altres branques d'aquesta ciència. És per això que començarem amb una breu introducció històrica.

A la societat francesa del 1650 el joc era un entreteniment molt corrent i, pel que sembla, no gaire subjecte a restriccions legals . Els jocs eren nom­brosos i cada cop més complicats, i s 'hi j ugaven grans quantitats de diners.

Un jugador apassionat, Antoine Gombaud -cavaller De Méré-, con­sultà, a París, l 'any 1654, al gran matemàtic i filòsof Blaise PASCAL una aparent contradicció en un popular joc de daus .

2

El joc consistia a tirar 24 vegades un parell de daus, i el problema plan­tejat consistia a decidir si era igualment avantatjós apostar a favor o en contra de l'aparició almenys d'un «doble sis» en les 24 tirades. Una regla del joc, aparentment ben establerta, va portar De Méré a creure que apostar per un doble sis era avantatjós, però els seus càlculs indicaven el contrari.

Aquest i altres problemes plantejats per De Méré van donar lloc a una correspondència entre Pascal i alguns dels seus amics matemàtics, sobretot amb Pierre FERMAT de Tolosa. Aquesta correspondència es pot dir que constitueix l 'origen de la teori,1 moderna de la probabilitat.

El científic holandès Christian HuYGENS, mestre de LEIBNITZ, assaben­tat de l'esmenuida correspondència , va publicar el J 657 el primer llibre de probabilitats titulat De Ratiociniis i11 luda aleae (Sobre els càlculs en el jocs dà-:::ar), que era un recull de problemes relacionats amb els jocs.

En aguesu primera etapa no es pot parlar encara d'una teoria de la prob:ibilitat. pèrÒ era ja admesa més o menys tàciu1111ent la famosa definició cliiso;ica de probabilitat, definició que estudiarem en el tema següent.

El Càlcul de Probabilitats arribà aviat a ésser molt popular i es desen­n•lupà ràpidament durant el seele XVIIT. Els científics que més hi van contri­buir foren BERNOUILLI ( 165-l·l 705) i DE MorvRE ( 1667-175-t). El primer \'a escriure un llibre titulat Ars c01ziectandi (L'art de la conjectura), publi­cat el 1713, alguns anys després de la seva mort . En aquesta obra hi ha, entre d 'altres , una proposició -coneguda actualment com el teorema de Benzouilli- que es pot considerar històricament com el primer resultat d 'importància general d 'aquesta teoria. De Moivre va ser un hugonot francès que es refugià a Anglaterra a caus�1 de la seva religió. A la seva obra T he doctrine of chcmces (La doctrina de les probabilitats, subtitulad,1 M�ètode per a calcular les probabilitats dels esdeveniments) hi ha el primer enunciat d'un teorema general, conegut com la regla de multiplicació de la teoria de probabilitats.

Malgrat tot, a les obres de Bernouilli i De Moivre el càlcul de proba­bilitats es reduïa a una anàlisi matemàtica dels jocs d 'atzar.

No fou fins el 1812 que Pierre de LAPLACE ( 1749-1827) introduí gran quantitat d 'idees noves i tècniques matemàtiques en el seu llibre T héorie analytique des probabilités (T eoría analítica de les probabilitats) i va mos­trar que aquesta teoria podia ésser aplicada a gran quantitat de problemes científics i pràctics.

3

L'obra de Laplace va tenir gran influència en el desenvolupament d 'a­questa teoria .Actualment la teoria de probabilitats és una branca molt important de les matemàtiques pures i té amb un camp d'aplicació que abtaça pràcticament totes les branques de la ciència. Podem recordar: Genètica (estudi de la generació dels éssers vivents); Dem o grafia (estudi de les poblacions o conjunts d'éssers humans); Psicologia (estudi de les facul­tats mentals); Economia (estudi dels moviments dels béns de consum o de les primeres matèries); Física, Astronomia, etc.

4

Definició c l àssica

d e probabil itat

1. PROBLEMES D'INTRODUCCIÓ

A la gran majoria de jocs d 'atzar amb daus, cartes, ruletes i altres aparells semblants, cadascuna de les jugades ha de donar un resultat entre un nom­bre de resultats possibles. Per exemple, en tirar un dau hi ha 6 resultats possibles, en el joc de la ruleta 37, etc . Si l 'aparell de joc no té defectes i el joc es realitza de manera adequada no és possible de saber a priori quin d'aquests resultats s'obtindrà en una jugada determinada . Doncs bé, aquesta impossibilitat de predicció constitueix el caràcter aleatori del joc, és a dir, l'atzar del joc.

Ara bé, en molts camps de la ciència trobem casos en els quals certs experiments o observacions presenten característiques semblants a les dels jocs d 'atzar. És a dir, es poden repetir moltes vegades en condicions unifor­mes, donant cada observació aïllada un resultat determinat, i per moltes precaucions que es tinguin, per mantenir el màxim possible d 'uniformitat en les condicions de l'experiment, hi ha una variabilitat intrínseca que no es pot controlar. Així, per exemple, les successives mesures d 'una magnitud física no donaran, en general, resultats idèntics. Estem acostumats a imputar aquestes variacions als errors de mesura, però aquesta no és més que una manera adient de referir-nos a les causes que escapen al nostre control. Per això, el resultat de l'experiència varia d'una manera irregular d'una repe: tició a una altra i el resultat d'una observació determinada no es pot pre­veure exactament.

5

Aquest tipus d'experiències les anomenarem aleatòries. Cada experiència aleatòria porta associat un conjunt de resultats que es reconeixen a priori com a resultats possibles.

Començare� amb alguns exemples de fenòmens aleatoris simètrics . És a dir que entre els distints resultats hi ha una simetria recíproca que els fa igualment favorables en qualsevol observació. Aquests problemes ens permetran d'arribar a la definició clàssica de probabilitat .

Dos amics A i B juguen a l joc següent: d 'una bossa on h i ha 37 bo les numerades de 1'1 a l 37 , en treuen una a l 'atzar . E l pr imer aposta a favor de ls mú lt ip les de 5, i el segon de ls mú lt ip les de 3 que no ho s igu i n de 5 .

Qu i n et sembla q u e t é més possib i l i tats de guanyar?

Per assegurar-te que no t 'has equ ivocat en l a teva pred icc ió:

a) Escr iu e l conjunt de tots els possibles resultats. Per exemple, treure un 1 ho pots i nd icar per r1 , treure un 2 per r2, etc . Així, t indràs e l conj unt U = {ri, r2 . . . }

b) Escr iu e l conjunt de resultats favorables a A.

e) Fes el mate ix per a B.

d) Busca la proporc ió de resu ltats favorab l es respecte a l total de resu l­tats possib l es en e ls casos b) i e) .

e) Segons aquests resultats, q u i n de ls dos amics et sembl a que té m és possib i l itats de guanyar?

f) ¿El resu l tat trobat a e) vol dir que si aposten només una vegada guanyarà B? I ntenta expl icar , doncs, què s ign ifica .

g) l s i apostess in en l es mate ixes condic ions 1 .000 vegades, què et sem­b la que passar ia?

Un joc d'atzar consisteix a t i rar a l hora un dau cúb. ic i u n tetràedre, reg u lars , homogenis i que tenen l es cares numerades des de 1'1 a l 6 i de 1'1 a l 4, respectivament.

Considerem els següents esdeveniments o successos d'aquesta expe­r iènc ia a leatòr ia , és a d i r , e ls fets següents que es poden o no presentar en el joc :

6

A: Obtenir una suma de punts igua l a 8 .

B : Obten i r un 6 amb e l dau .

C: Obten i r un nombre senar amb e l tetràedre .

D : Obten i r un mú l t i p l e de 4 amb e l dau i un nombre pare l l amb e l tetràedre.

f: Obten i r una suma de punts pare l l i u n 6 amb e l dau .

Per qu in d 'aquests esdeven iments apostaries?

Per comprovar si l es teves prediccions són encertades:

a) Busca tots els resu l tats possi b l es d 'aquesta exper iènc ia . Pots fer serv i r un d iagrama en arbre :

Tetraèdre 1

------2 1 -------- 3 ------4

o bé una tau la de dob l e entrada :

t, Tetràedre

t2 t)

Casos passibles (d1, t, ) ( d2, t2)

7

b) Escri u e l conj unt de tots e ls resu l tats poss ib l es .

e) Escr iu e l conjunt de resu l tats favora b l es a l a rea l i tzació de cadas­cun de ls esmentats esdeven iments, i ca l cu l a la proporció entre casos favora b l es i casos poss ib les per a cada cas .

d) Què pots d i r pe l que fa a l a rea l ització de ls esdeve n iment següents?

O: Obten i r una suma de punts igual a 1 2 .

U: Obte n i r una suma de punts més petita o igua l a 1 O.

Per a aquests esdeven iments, qu i na és l a proporc ió de resu ltats favora b l es respecte al nombre tota l de resu l tats poss i b l es ?

Deus haver observat, més d 'una vegada , q u e p e r a encendre un l l u m d'una habitac ió , u n passadís, etc . , h i h a dos i nterruptors. Qu in creus q u e é s e l sentit d 'aquest muntatge e l èctr ic? P e r q u è en a l guns casos é s més pràctic que un muntatge amb un so l i n terruptor?

a) Segurament a casa teva h i ha a lguna i nsta l ·l ac ió d'aquest t i pus . Comprova quantes combinacions de ls i nterruptors són poss ib l es . Quants casos d i ferents h i ha?

b ) Et deus haver adonat, en provar les d i sti ntes pos ic ions, que només h i ha dos esdeve n i ments poss i b l es: p r imer, llum encès ; segon, llum apagat. Escr iu per a cadascun d ' aquests dos esdeven iments l es combinac ions d ' i nterruptors que es rea l i tzen . En quants casos h i ha e l l l um e ncès i en quants apagat?

e) Compara e ls teus resu l tats amb e ls de ls teus companys de grup . S i ten i u resu l tats d i ferents, l 'exp l i cació és que s 'han emprat i nsta l·l a­c ions de t ipus d i ferent. Qu ina o qu ines cons ideres que són més pràctiques ?

d) Encara que no correspongu i a l s fets f ís ics l l u m encès-l l u m apagat, ¿ sabr ies escr iu re a l guna a l tra forma d 'agrupar les d i ferents proves que has obti ngut a l 'a partat a ) ?

Un joc senz i l l , ínt imament re lac ionat amb les qüest ions p l antejades per De Méré , és : A i B juguen a cara i creu amb una moneda que és perfectament homogèn ia i s imètr ica : e l joc consi ste ix a t i rar tres cops la moneda . Si surt cara a l a pr imera t i rada , guanya A, s i no , es torna a t irar dues vegades més, i s i en les dues surt cara també guanya A. En e l s

8

l

a l tres casos guanya B. Qu i n et semb la que té més probab i l itats de guanyar?

Per ajudar-te en l a predicció pots buscar :

a) Tots e ls poss ib les resu ltats d 'aquesta exper iènc ia . Pots fer serv i r u n d i agrama e n arbre :

1�ti rada 2a.. ti rada 3º' t i rada Casos Pos si ble s

b) E l conj unt de casos favorab les perquè guanyi A l a seva proporció respecte a l nombre total de casos possib l es.

e) Això mateix en e l cas de B.

B.5.

D'un joc de 48 cartes se ' n separen 4 : l 'as d ' espases, l 'as de copes, el re i d 'oros i el cava l l de bastos. Triem a l 'atzar dues d 'aquestes quatre cartes, i considerem e ls esdeven iments: Obtenir almenys un as i l 'esde­ven i ment contrar i . Qu i n et semb la que té més poss ib i l itats de rea l itzar-se?

a) Escr iu tots e ls possi b l es resu ltats si : pr imer , l es dues cartes es treuen s imu ltàn iament ; segon , si es treuen l 'una darrera l 'a l tra .

9

b) Escr iu e ls casos favorab l es a l a rea l i tzac ió de l s dos esdeve n i ments en els dos supòs its enumerats a l 'apartat a).

e) Busca 'n la p roporc ió respecte a l total en cada cas .

d) Compara e ls resuitats anter i ors per a cada succés . Qu i nes conc l u.­s i ons en treus ?

e) I ntenta contestar l a qüest ió del p rob l ema .

f ) Refés tot e l p rob l e mà s i l 'extracc i ó és amb repos1c10, és a d i r , s i t ra iem l es dues cartes l ' u na darrera l ' a l tra però reto rnem cada cop l a carta tr iada a l munt de quatre , abans de fe r una a l t r a extracc ió .

•

2. LLEIS DE M EN DEL

Ja hem dit a la introducció que la Genètica s'ocupa de l'estudi de l'he­rència biològica. Va ser el frare agustí Gregori MENDEL (1822-1884) el que va trobar les lleis que regeixen la transmissió dels caràcters d'una generació a una altra. Aquestes lleis es coneixen amb el nom de lleis de Mendel en honor del seu descobridor.

Abans de passar a estudiar-les, donarem una breu introducció al voca­bulari bàsic de la Genètica per si encara no t'és familiar.

Conceptes generals

Els caràcters hereditaris depenen de portadors especials, els gens, contin­guts als cromosomes. El conjunt de factors hereditaris, és a dir, els gens que

1 0

té un individu, és el seu genotip o genotipus. La manera de manifestar-se el genotip és el fenotip o fenotipus.

Cada caràcter ve determinat per dos gens anomenats allels; l 'un proce­deix del pare i l 'altre de la mare. Cada aHel es representa per una lletra majúscula o minúscula; per tant, cada caràcter serà donat per dues lletres.

Als casos més simples, cada al·lel pot assumir una o altra de dues formes que designarem per A i a. Es poden presentar dues possibilitats:

a) Que els aHels patern i matern siguin idèntics, com (A,A), ( a,a); ales­hores direm que l'individu és homozigòtic o pur respecte a aquest caràcter .

h) Que els al·lels patern i matern siguin diferents, com (A,a); direm que l 'individu és heterozigòtic o híbrid respecte a aquest caràcter .

Si els aHels A,a són equipntents, és a dir , tenen la mateixa força per a manifestar-se en el fenotip, llavors el caràcter corresponent serà una barreja dels dos, i direm que es tracta d'una herència intermèdia.

Si, contràriament, un dels dos al·lels té més força que l 'altre de manera que en el cas de concórrer ambdós només ell es pot manifestar en el fenotip, direm que l 'herència és dominant. En aquest cas, l 'al·lel que es manifesta hom l 'anomena dominant i el que queda amagat, recessiu. Representarem el caràcter dominant per la lletra majúscula i el recessiu per la minúscula.

Un cop familiaritzats amb el vocabulari bàsic de la Genètica, estudiarem tot seguit les lleis de Mendel.

El mètode que utilitzà Mendel, consisteix a encreuar dos individus de la mateixa espècie de varietats pures per a un caràcter o més, els quals forma­ran la generació paterna (P), i observar com es transmeten aquests caràcters a la primera generació filial (f 1) i a la segona ( F2 ).

Primera llei

També anomenada llei de L1 uniformitat dels híbrids de la primera gene­ració.

Veurem d'antuvi alguns exemples. Començarem per l'herència dominant.

1 1

Encreuem un con i l l porqu í (con i l l et d 'índ ies) homoz igòt ic de pelatge . negre (N,N) amb u n a l tre homozigòtic de pelatge blanc (n,n) . El co lor

neg re és dominant.

a) B usca e l s poss i b l es genot ips i fenotips que es poden presentar.

Pare M are

p x

(N1N) (negre) (n,n) ( blanc ) Genoti p Fenoti p

Esperma toz ou Ovul

fe cunclació

b) Escr iu e l conjunt de genotips que donen e l fenot ip negre . Fes e l mate ix amb els que e l donen b l anc.

e) Hi haurà i nd iv idus homozi gòtics per aquest caràcter? ¿ N 'h i haurà d 'heteroz igòt ics ?

d ) Suposant que l a pr imera generac ió fi l i a l esti gués formada pe r 500 i nd iv idus , quants és d 'esperar que n 'h i hag i de cada c l asse?

e) Qu ina proporció de con i l l ets de pe latge negre respecte a l nombre total de con i l l ets comporta l a generac ió F1? l qu i na proporc ió de ls de pe latge b l anc?

Repete ix el prob l ema , però per a u n encreuament de dos gossos ho­mozigòtics un de pèl arrissat (L,L) i l 'a l tre de pèl llis (!J). Sabem que e l p è l arri ssat és dominant respecte a l p è l l l i s .

12

Fes e l mate ix en el cas d 'un encreuament de dues p l antes homozigò­tiques , l 'una que produeix pebrots p icants i l 'altra pebrots do lços . El ca­ràcter p i cant és dominant .

I ntenta genera l itzar els resu ltats trobats , en e ls tres exemples ante­riors, per a un hipotètic encreuament de dos i ndiv idus homozigòtics d 'una mateixa espècie , l 'u n per a un caràcter dominant A i l 'a l tre per a l reces­siu corresponent a.

Veurem, ara, uns exemples d'herència intermèdia.

B.10 Hi h a dues varietats de la planta flor de nit (Mirabilis jalapa) , que es

diferencien pel co lor de les flors , en les unes vermell i en les a l tres blanc . Suposa que encreuem dos indiv idus homozigòtics d 'aquesta es­pècie l 'u n per al color vermell (R.R) i l 'a l tre per al co lor blanc (r.r) .

p

(R,R) (ver mel l)

Gàmeta mas culí

( r, r) ( blanc)

Gàmeta femení Genoti p

fecundac ió --- (

Fenoti p

13

a) Busca tots els poss i b les genotips i fenot ips que es poden presentar.

b) Qu i n tant per cent de descendents seran de color vermell ? l de color b l anc? l de co lor rosa?

e) S i l a pr imera generació fi l i a l consta de 500 i nd iv idus , quants és d 'esperar que n 'h i hag i de cada classe?

d) Què pots d i r sobre el fenot ip de l a pr imera generac ió fi l i a l ? ¿l res­pecte al genot ip? Qu in tant per cent d ' i nd iv idus h íbr ids és d 'esperar?

Repeteix e l prob lema , però per a un encreuament de dues papallones homozigòtiques , l 'una d'ales blanques i l 'a l tra d'ales negres.

Fes el mateix per a un encreuament de dues var i etats de raves homo­z igòtics, l 'una que dóna fru i ts allargats i l 'a l tra arrodonits.

I ntenta genera l i tzar e l s resultats trobats , cons i derant un encreua­ment de dos i nd iv idus homozigòtics de la mateixa espèc ie l ' un per a un caràcter A i l ' a l tre p e r a un a, ambdós equipotents .

Ten i nt en compte els resu l tats trobats fi ns ara , enunc ia la primera llei de Mendel.

Segona llei

Aquesta llei tracta d'interpretar els resultats que s'obtenen a la segona generació filial F2, en encreuar dos individus híbrids de la primera gene­ració filial Fi . També es coneix amb el nom de llei de la separació o disjunció dels allets.

Començarem amb uns exemples d'herència dominant.

Cons iderem l 'encreuament de dos conil ls porq u i ns de l a pr i mera generació f i l ial F1 i , per tant, h íbr ids respecte al pelatge . En formar-se els seus gàmetes, ja s i a òvu ls o espermatozous , a causa de la me ios i , l ' una mei tat t i nd ra n l 'al·le l N i l 'altra meitat e l n ; i tant e l s uns com e l s altres

14

tenen l a mate ixa probab i l itat de formar la parella de cromosomes, on h i ha e l caràcter estud iat , a l a cèl·l ula ou o z i got.

a) Busca e ls possi bles genotips i fenot ips que es poden presentar . Per fer-ho cnmpleta l 'esquema següent :

( N,nl l negre l ( N,n l (negre)

E s p e r matozous Òvuls Genotips Fenotips

)

)

l

b) Escr iu el conjunt de genoti ps que donen e l fenot ip negre . Fes e l mate ix per a l s que el donen blanc.

e) Qu ina proporc i ó de conil lets de pelatge negre respecte al nombre tota l de con i ll ets de la generac ió comporta aquesta generació F2? l respecte a l de pe latge blanc?

d ) Calcula a ixò mate ix pel que f a a l s d i ferents genoti ps.

e) Si la generac ió f il ial obt inguda amb aquest encreuament consta de 1 00 i nd iv idus , quants és d 'esperar que n ' h i hag i de cada classe, res­pecte al genot i p? l respecte al fenot i p?

f ) Qu i n tant per cent d ' ind iv idus és d 'esperar que s i gu i n i dènt ics als pares? l a l s av is?

g) Qu in tant per cent és d 'esperar que sigu i n homoz i gòt ics? l que s i gu in heteroz i gòtics?

15

Repeteix e l prob lema, però per a un encreuament de dos gossos híbr ids respecte al pèl (arrissat, llis) .

R epet�ix el prob lema per a dues pebroteres i per a l caràcter de pi­cantor o dolçor de ls sel,Js fruits .

I ntenta de genera l itzar aquests resu l tats , considerant un hipotèti c encreuament d e dos híbrids d e l a primera generació filia l p e l que f a a u n determinat caràcter dominant A i recessiu a.

Continuarem amb l'herència intermèdia.

� _....... Considerem l 'encreuament de dues f l ors de nit roses de l a primera

generació filia l F, .

a) Busca e ls possib l es genotips i fenotips que es poden presentar. Per fer-ho comp l eta l 'esquema següent:

F,

16

x

( R,r l (rosal ( R,r l (rosa)

Gàme tes Gàm etes

----0 0-----

0 0 � º

-------------º

Ge notips Fe noti p s

fec u n dació

b) Escr iu el conjunt de genotips que donen el fenotip rosa, e l fenotip b l anc i e! fenotip vermell.

e) Quines proporcions , respecte a l tota l , hi ha de f lors de co lors rosa, blanc i vermell?

d) l quines proporcions respecte als diferents genotips que es poden presentar?

e) Si la generació F2 consta de 1 00 individus, quants és d 'esperar que n 'hi hagi de cada classe : pr,imer , respecte al genotip ; segon , res­pecte al fenotip?

f) Quin tant per cent d 'individus són idèntics als pares ? l d 'idèntics als avis ?

g) Quin tant per cent són homozigòtics? l quin tant per cent d 'hetero­z igòtics?

B.19 Repeteix aquest problema per a un encreuament de dues papa llones

d'ales grises.

B.20

Repeteix aquest problema per a un encreuament de dos raves ovalats.

B.21 I ntenta de genera l itzar els resu ltats trobats en els tres exemples

anteriors , considerant un encreuament de dos h íbrids d 'una mateixa es­pècie pel que fa a uns determinats caràcters A i a, tots dos amb igua l força per a presentar-se .

Tenint en compte els resultats trobats fins ara , intenta enunciar la segona llei de Mendel.

Tercera l lei

També anomenada llei de l'herència independent dels caràcters , perquè intenta demostrar el fet que cada caràcter hereditari es transmet indepen­dentment dels altres.

17

En aquesta llei s'estudia el comportament a l'herència de dos caràcters que es presenten junts en un mateix individu. Així, haurem de considerar no un, sinó dos parells d'al·lels per a cada individu.

Suposem que encreuem dos individus de races pures i que difereixen en dos caràcters . Vegem-ne un exemple.

Considerem l 'encreuament de dos conills porquins de races pures , u n de p è l negre i curt (NN,LL) i l 'altre de p è l blanc i llarg (nn.l/J . L a des­cendència és homogèn i a i és formada per ind ividus de pèl negre i curt .

Aix í , e l co lor negre i e l pèl curt són domi nants enfront del color bla nc i el pèl llarg , respectivament. Dels ind ividus que són híbrids respecte a l s dos caràcters, direm que són dihíbrids.

Encreuem, ara, dos individus d 'aquesta pr i mera generació Fi; aquests individus tenen un genotip (Nn,LI) i en reprodu i r-se es formaran quatre c lasses de gàmetes tant mascul ins com femen ins:

a) Busca tots e l s poss ibles genotips i fenotips que es poden presentar en aquesta generació F2. Per fer-ho compl eta l 'esquema de l a pàg i na següent:

b) Escri u el conjunt de genotips que dóna cada classe de fenot i p .

e ) Quines proporc ions , respecte a l total, h i ha de con illets de pèl negre i curt, negre i llarg , blanc i curt , blanc i llarg ?

d) Quin tant per cent d ' indiv idus és d 'esperar que s 'assemblin als av i s?

e) Hi h a indiv idus homozigòtics que no s 'assemblen als avi s ?

f) Si aquesta generació F2 consta de 500 indiv idus , quants és d 'esperar que n 'hi hagi de cada c l asse : primer , respecte al genot ip; segon , res­pecte al fenotip?

18

Pare

F, x

!N n,L l l (negre i curt}

Espermatozous

Mare

(N n,L l} (negre i curt l

Ovul s

fecundació

J

Genotips Fenotips

)

1 9

Mende l va fer l es seves exper iènc ies amb pèso l s . De primer va en­creuar dues p lantes de races pures , l 'una amb la l l avor de color groc i superfície llisa (AA , LL) , i l 'a l tra de color verd i superfície rugosa. Sabent que e l color groc i l a superfíc ie l l isa són domi nants, repeteix el prob lema anter ior .

Què d i r i a aquesta tercera l le i de Mende l ?

l Ara bé, aquesta llei n o sempre es compleix, perquè a vegades hi h a fac­tors que són continguts en un mateix cromosoma, és a dir, que hi ha gens lligats. En veurem un exemple .

a) Encreuem dues mosques de l v i nagre de raça pura que d i fereixen en dos caràcters (dihibridisme) , una de cos gris i d 'ales llargues (GG,LL) i l 'a lt ra de cos negre i d 'ales vestigials; e ls pr imers factors són domi nants. La pr i mera generac ió és formada per i nd iv idus de cos gr is i a l es l l a rgues , d 'acord amb la pr imera l l e i de Mend e l .

b) Encreuem d o s i nd iv idus d 'aquesta generac ió Fi. q u i n s ser ien e l s resultats segons l a tercera l l e i de Mende l ?

e) L 'exper iènc ia demostra que la segona generació f i l i a l F2 és const i ­tuïda per un 75 per cent de mosques de co lor gr is i a l es l l argues i un 25 per cent de cos negre i a l es vest i g i a l s , que són les propor­c ions de l monohibridisme. I ntenta exp l i car aquest resu l tat consi­derant que e l co lor gr is sempre va l l i gat a l es a l es l largues i e l negre a les a les vestig i a l s .

Aquest fenomen , anomenat linkage p e l s autors de par la ang lesa , v e a ser una amp l iac ió de l a tercera l l e i , l a qua l suposa que les potenc ia­l itats són portades per cromosomes d i ferents bé que en real i tat un cromosoma pot portar mo lts gens .

Grups sanguinis

--1 Un exemple d 'al·lels múltiples és el del sistema que determina el grup

sanguini a la raça humana. Hi pot haver tres tipus d'al·lels, que indicarem

20

l per JA, JB, i. L'aHel JA determina l'existència de l'antigen A a la sang; l 'aHel JB la de l'antigen B; i l'aHel i la de cap antigen. A més, JA i JB són equipo­tents i dominants respecte a l 'i .

a) Escr iu e l conjunt de tots els poss i b l es tipus de sang . Pots fer serv i r un diag rama en arbre :

Pare x Mare fecundació Tipus de sang

( ¡A) IA)

b) Si tr iem una persona a l 'atzar i n 'ana l itzem l a sang , qu i n és e l conjunt d e l s possib les resu l tats d 'aquesta experiència ? Quants e l e­ments té?

e) Considerem e l s esdeven iments següents:

81: Obtenir un tipus de sang a la qua l a lmenys una de l es dues components s igu i l'a l·l e l i .

82: Oue només una de les dues components s igu i l 'a l · l e l i .

83: Oue no h i su rti l 'a l · l e l /B. 84: Oue hi surt i l 'a l·le l /A.

2 1

Si admetem que tots e l s poss ib les resu l tats d 'aquesta exper iènc ia tenen igua l possi b i l itat de presentar-se , qu i n de ls quatre esdeve­n iments Si, S2, S3 i S4 et semb la més probab le? Justi fica la resposta .

d) Segurament deus saber que h i ha 4 grups sangu i n i s , e l s qua ls es coneixen amb e ls noms de grups A, 8, AB i O segons e ls antígens que posseeix l ' i nd iv idu consi derat. Qu ins de l s t ipus de sang trobats a l 'apartat a) corresponen a cadascun d 'aquests grups ? Qu ina és l a poss i b i l itat q u e t é cada grup de presentar-se?

e) També deus saber que un a l tre factor i mportant a ten i r en compte és l 'anomenat antígen Rh, e l qua l unes persones tenen i d 'a l tres no . A l pr imer cas hom d iu que l ' i nd iv idu és Rh� , i en e l segon Rh- .

Escr iu e l conjunt de tots e l s poss ib les t ipus de sang s i cons i derem també l 'esmentat factor . Qu ins seran , ara , els poss ib l es g rups san­g u i n i s ?

f) En fer una transfus ió , una persona pot rebre sang d 'una a ltra si té a l menys tots e ls antígens de l donador.

• S i una persona és ORh-, q u i n és e l conjunt dels poss ib les t ipus de sang que pot rebre ?

• S i una persona és ABRh-, a qu i nes persones pot donar sang ?

• Si d 'una persona sabem que és Rh' , qu i n és e l conjunt de t ipus de sang que pot rebre? Fes l es h i pòtes is que ca lgu i n .

g) Ja que e l s a l·l e l s s ' hereten un de l pare i un de l a mare, e l grup san­gu i n i d 'una persona és un de ls poss i b les que es poden obten i r en comb inar e ls dels pares.

• Si e l pare és BRh+ i l a mare ABRh- , qu i ns són e ls poss i b l es grups sangu i n i s dels fi l l s ?

• l s i e l pare é s ORh- i l a mare ARh+?

• Si una persona és BRh+ i l a seva mare OR h+, qu i n és e l poss i b l e g rup sangu i n i de l pare?

Cadascun dels problemes anteriors consistia en l 'estudi de certs aspec­tes d 'una experiència aleatòria . La nomenclatura emprada era la pròpia de cada problema, depenent del tipus de qüestió tractada. Així, parlàvem d'a­postes a certs nombres, de genotips , de fenotips , etc .

D'altra banda, fins i tot havies fet prediccions sobre si un jugador tenia més possibilitats de guanyar que un altre; si un tipus de pelatge tenia més

22

possibilitats de presentar-se que un altre, etc . I per intentar comprovar si aquestes prediccions eren encertades, havies associat un nombre ( proporció, percentatge) als diferents esdeveniments considerats .

Intentarem, ara, d 'uniformar la nomenclatura emprant-ne una de matemà­tica, que és la pròpia de la teoria de probabilitats .

3. EL LLENGUATGE DE LES PROBABILITATS

Un experiment aleatori és una experiència que compleix les dues condi­cions: 1 ) Es pot repetir moltes vegades en condicions uniformes i donar cada observació aïllada un resultat determinat. 2) El resultat d 'una expe­riència determinada no es pot preveure a priori .

Els possibles resultats d 'una experiència aleatòria els anomenarem les proves o casos possibles d'aquesta experiència.

El conjunt de totes les proves l'anomenarem espai de les proves o espai mostral i l 'indicarem amb la lletra U.

Anomenarem esdeveniment o succés d'una experiència aleatòria, d 'espai mostral U, tota part o subconjunt d 'U. Els esdeveniments els designarem per lletres majúscules .

Direm que l'esdeveniment A es realitza, si hi ha una prova que és d 'A. A cada prova que sigui d 'un esdeveniment li direm cas favorable a la realit­zació de l 'esdeveniment .

Als subconjunts unitaris d'U els direm esdeveniments elementals.

Si A = <P, A no es realitza mai, direm que és l'esdeveniment impossible.

Si A = U, A sempre es realitza, direm que és l'esdeveniment segur.

Direm que l'esdeveniment A implica el B si i només si sempre que es realitzi l'A es realitza el B. Per tant , A serà un subconjunt de B; ho indi­carem A e B.

Direm que dos esdeveniments A i B són iguals si i només si A im:Jlica B i B implica A; ho indicarem A = B o simbòlicament

A=B <==> AcB i Be A 23

DEFINICIÓ CLÀSSICA DE PROBABILITAT: La probabilitat que es realitzi un determinat esdeveniment o simplement la probabilitat d'aquest esdeve­niment és igual al quocient del nombre de casos favorables a la realització d'aquest esdeveniment pel nombre total de casos possibles sempre que aquests casos siguin mútuament simètrics.

4. PROBLEM ES D'APLICACIÓ

Un joc d 'atzar cons iste ix a t i rar dues vegades una moneda .

a) Escr iu l 'espai mostra l .

b) Escriu dos esdeven iments i busca l lu r probab i l itat.

e) Escriu dos esdeven i ments ta ls que l 'un i mp l iqu i l 'a ltre .

d ) Escr iu u n esdeven iment i l 'esdeven i ment contrari i ca lcu l a 'n l a proba­b i l itat.

e) Escr iu tots e l s esdeven iments e lementa l s d 'aquesta exper iènc ia i ca lcu l a 'n l a probab i l itat.

Traiem dues cartes d 'un joc de 52, qu ina és la probab i l i tat que una s igu i l 'as de cors? Per a a ixò busca :

a) Quants e lements té l 'espai mostra l en e l s dos casos : pr imer , l es car­tes es treuen s imu l tàn iament ; segon , l es cartes es treuen l 'una dar­rera l 'a ltra .

b) Quants casos favorab l es h i ha a cada cas ?

e) Contesta l a pregunta de l prob lema .

d) Refés e l prob lema cons iderant que l 'extracc ió és amb repos ic ió .

� � Cons i derem l 'encreuament de dues ga l l i nes heteroz igòtiques respecte

al color de l p lomatge. Les dues ga l l i nes són negres i el color negre és domi nant respecte al b l anc . Qu ina és la probab i l itat que en agafar una

24

ga l lina d e l a generac i ó fi l ia l s i gui de p l omes b l anques? l que s igu i d e p l omes negres? l q u e s i g u i de p l omes negres i heteroz igòt ica? l l a proba b i l itat que s i gu i d e p l omes negres i homoz i gòtica? Per fe r aquest cà lcu l :

a) Escr i u l 'espai mostra l .

b) Busca e l conjunt de casos favorab les per a cada esdeve n iment .

e) Contesta les p reguntes de l 'enunc iat .

dl A més , escr iu un esdeven i ment que no s igu i cap de l s anter i ors busca'n l a p robab i l i tat .

D'una exper iènc ia a l eatòr ia cons iderem els esdeve n i me nts segur i i m poss i b l e . Busca ' n l a p robabil i tat bo i cons ide rant que e n aquesta expe­r i ènc i a tots els casos poss i b l es són mútuament s i mètr ics .

Tra i em dues bo les d 'una bossa, l ' una darrera l 'a l tra , amb repos ic ió . La bossa en conté 3 de verme l l es i 2 de b l anques .

a) Ca lcu l a l a p roba b i l i tat de cadascun de l s esdeve n i ments següents :

A: Ambdues bo les s i gu i n b lanques .

B: Ambdues bo les s i gu i n verme l l es .

C: Ambdues bo les s i gu i n de l mateix co lor

D: Almenys una s i gui verme l l a .

b) Refés e l p rob lema s i l 'extracc ió fos sense repos ic ió .

Cons i de rem l 'exper iènc ia a l eatòr ia que cons iste ix a mesura r , e n un i nstant donat , e l vo l tatge d e sort i da v d 'un transductor acúst ic e l s vol ­tatges màxim i mín i m a la sort ida del q ual són + 10 volts i - 1 0 volts , respectivament. Considerem e l s esdeve n i ments següents:

A: Oue e l voltatge de sort i da s i gu i pos i t i u .

B: Oue e l vo ltatge de sort i da s i gu i més pe t i t o i gua l a + 1 volt en valor abso lut .

C: Oue e l voltatge de sort ida s igu i més g ran o igua l a - 1 volt.

25

a) Quin és l 'espai mostra l U ? ¿ H i ha a lguns esdeven iments que imp l i ­q u i n e l s a ltres?

b) Demostra que C = A U B .

Hauràs de provar que C e A U B A u B C C.

Històricament, la definició clàssica de probabilitat va provocar, ja a la primera fase del desenvolupament d'aquesta teoria, algunes controvèrsies . Especialment important era la relacionada a com poder assegurar a priori la simetria dels distints casos possibles de certes experiències aleatòries .

La definició clàssica de probabilitat no dóna un criteri per a poder deci­dir quan en una experiència determinada els diferents casos possibles són mútuament simètrics .

Malgrat això, les aplicaciones de la teoria de probabilitats, a l 'època immediatament posterior a la publicació de l'obra de Laplace , van desenrot­llar-se ràpidament . No va ser fins força anys després que s'intentà construir una teoria de la probabilitat sobre bases més estables.

Els primers intents anaren en el sentit de procurar millorar la definició clàssica , afegint-hi algun criteri adequat que permetés d'analitzar el con­cepte de simetria o de casos igualment possibles .

Però molts autors abonen l'opinió que en moltes de les més importants aplicacions és difícil o impossible determinar quins són els casos igualment possibles que calen per a poder aplicar la definició clàssica de probabilitat .

Aquesta dificultat es presenta fins i tot en casos tan senzills com, per exemple, en buscar la probabilitat que una persona d'edat determinada mori dins l 'any.

Fets com aquests foren la causa que molts autors busquessin una forma diferent d'atacar aquesta dificultat i intentessin de substituir la definició clàssica per una de nova basada més o menys directament en les prop_:/:':_;_',­d'estabilítat de les freqüències relatives, l 'estudi de les quals abordarem � _

l'apartat següent .

26

C

Freqüència 1 probabil itat

La noció de probabilitat està íntimament lligada al propòsit de fer previ­�ions, de pronosticar allò que pot passar en el futur fent servir els coneixe­ments sobre situacions passades o presents.

En els apartats anteriors aquestes pre\'Ísions es basaven en l ' homoge­neïtat o simetria que assignàvem a priori als resultats possibles d 'una deter­minada experiència per raó de la seva naturalesa ( recorda els jocs d'atzar, les lleis de Mendel). Aquesta simetria ens permetia d'expressar la raó entre casos favorables i casos possibles i és, precisament , aquest nombre el que associem a la facilitat que es realitzi l 'esdeveniment que estem estudiant.

Ara bé, no sempre ens és possible d 'utiÜtzar aquest mètode. De fer-ho, arribaríem a conclusions sorprenents. Per exemple: Una persona en sortir de casa seva per anar a treballar pot tenir un accident o no. És a dir, hi ha dos casos possibles. Per tant, seguint el mètode anterior, la probabilitat que tingui un accident seria 1/2. Això es veu que és totalment erroni, puix que equivaldria a afirmar que la meitat de les persones en sortir de casa seva tindrien un accident.

La raó per la qual no podem calcular la probabilitat com a quocient entre casos possibles i favorables és que en aquesta experiència, com en moltes d'altres, no hi ha la simetria que sortia en els problemes fets fins aquí. Per tant, sense conèixer més coses, no podem dir res pel que fa a la proba­bilitat d'un esdeveniment d'aquesta experiència .

27

Allò que ens permetrà de fer prediçcions sobre la probabilitat d'un de­terminat esdeveniment serà el que ha passat en altres realitzacions ante­riors d 'aquest esdeveniment. Aquest és el sentit de l'Estadística descriptiva.

Ho veurem mitjançant alguns exemples .

Suposem que e l proper d i umenge e l Barça juga a l Camp Nou amb e l Saragossa.

a) Escr iu l 'espai mostral dels d i ferents resu l tats del part i t .

b) S i haguess i s de fe r una t ravessa, ¿tant e t far ia posar qua lsevol de ls resu l tats poss i b l es ? Q u i n h i posar ies? ¿Et semb l a correcte d i r que l 'esdeven iment 2 té una probabi l i tat 1./3 d e rea l i tzar-se ?

e) l s i en l loc de jugar-se al Camp Nou es jugués a Saragossa , ¿en q u i n ordre posar ies e ls resu l tats? Co inc ide ix a m b l 'ord re de l cas anter ior?

d) Alguns d i umenges , e l s equ i ps de l a l l i ga de l 'Estat espanyo l no j u­guen ( per exemp le , perquè s 'està p reparant un part i t i nternac i ona l ) . A l eshores per a l a travessa es fan serv i r e l s part i ts de l a l l iga i ta­l i ana . Davant un d 'aquests part i ts i amb dos equ i ps que desco­ne ixes, q u i n resu l tat et semb la més probabl e ? l menys p robab le?

e) Compara amb e l s teus companys e ls resu l tats de ls apartats ante­r iors . Podr ies donar una exp l i cac ió de l es poss i b les d i ferènc ies?

f) Comenta l a re lac ió que h i pot haver entre el nomb re d 'encertadors i e l nombre de «Var i ants» de l a travessa . ¿Té a lguna cosa a veure amb l a proba b i l itat?

Vo lem cons iderar si es pot d i r a l guna cosa sobre la i nfl uènc i a de l tabac sobre e l càncer de p u l mó . Observa que es poden presentar quatre poss i b i l i tats :

28

A: Fumador i càncer de pu lmó .

B : Fumador i no càncer de pu lmó .

C : No fumador i càncer de pu l mó .

D : No fumador i no càncer de pu l mó.

a) Pots assegura r , sense conèixer res més , que la probab i l i tat que una persona s igu i fumador i t i ngu i càncer de pu lmó és 1 /4 ?

b) ¿ Pots d i r que qua l sevol d e l s quatre esdeve n i ments A, B, C i D tenen l a mate ixa probab i l itat? ¿ N ' h i ha a lgun amb més p robab i l i tat que e l s a l t res ?

e) Què et ca l per pode r d i r a l guna cosa pe l que fa a l es probab i l i tats d 'aquests esdeven i ments ?

d) En una determ i nada zona i sobre una mostra de 1 00 .000 i nd iv idus de l sexe mascu l í , s 'han obt ingut e l s resu l tats següents :

Càncer No càncer

Fumadors 1 40 64.860

No fumadors 35 34.965

El nombre de vegades que es repeteix cadascun d 'aquests esdeveniments l ' anomenarem .fn:q iiència absoluta o simplement freqüència de l' esdeve­niment considerat.

I al quocient entre la freq üència absoluta i el nombre total d'observa­cions realitzades , freqüència relativa de l 'esdeveniment. Moltes vegades aquest nombre s 'expressa en tant per cent .

Qu ina és l a freqüènc ia re lat iva de l s esdeven iments A , B. C i D?

S i cons i derem un i nd iv idu d 'aquesta zon a , qu i na és la p robab i l i tat que s i gu i fumador i no t i ngu i càncer de p u l mó ?

e) Qu ina és la freqüènc ia re lat iva de l 'esdeven i ment E ten i r càncer de p u l mó) ? l de l 'esdeve n i ment F ( no ten i r cànce r de pu lmó ) ?

En t r ia r una persona d 'aquesta zona a l 'atzar , q u i na és l a probab i l i tat que ti ngu i càncer de p u l mó?

29

f) ¿Podr ies d i r a l guna cosa sobre l a i nfluènc ia de l tabac sobre el càncer d e pu lmó? ( Has d 'ésser mo lt prudent a l ' hora de fer pred i cc ions . )

E l 1 976 , segons dades de l ' I N E , l a pob l ac ió activa total a l 'Estat espa­nyol era de 1 3 .267 .400 persones , repart ides per activ i tats de l a forma següent :

Ocupades a / 'agricultura

Ocupades a la indústria

Ocupades a la construcció .

Ocupades a serveis

Sense feina

Tri em una persona de la pob lac ió activa a l 'atzar .

2 .603 .800

3 .600.300

1 . 1 98 .800

5 . 1 00 .200

764.300

a) Quants esdeve n i ments e l ementa l s té l 'espa i mostral corresponent?

b) Quants casos favorab les té cadascun de l s esdeve n iments següents :

A : Triar una persona de l sector i nd ustria l .

B : Triar una persona de l sector agrícol a .

C : Triar una persona de l sector de la construcc i ó .

D : Triar una persona de l sector de l s serve i s .

f : Triar una persona e n atur.

e) Tr iada una persona a l 'atzar , de qu i n de ls c i nc apartats et semb la que és més probab l e que s i gu i ?

d ) Busca l a freqüènc ia absol uta i l a re lat iva de l s esdeve n i ments A , B , C , D , E.

e) Re l ac iona e l s resu l tats de l 'apartat d) amb e l s de l e) .

f) Observa que les freqüènc ies re l atives sempre són nombres més pe­t i ts que 1 . Qu i na és la suma de les c i nc freqüènc ies re l atives ca lcu­l ades a d) ?

30

En e l quadre següent h i ha c lass i ficades les exp lotacions agríco l es de l 'Estat espanyol segons l a grandàr ia :

Classe i grandària de / 'explotació

Més petites d'f ha

D 'una a 5 ha

De 5 a 50 ha

De 50 a 1 00 ha .

De 1 00 a 200 ha

De 200 a 500 ha

De 500 a 1 000 ha

De 1 000 ha en endavant

Nombre de propietaris

809 .290

1 .029.41 o 908 .535

5 1 .060

24.273

1 6 .758

6 .5 1 7

4 .652

a) Quina és la freqüència re l ativa de cadascuna de les c lasses? Expres­sa e l s resultats en tant per cent.

b) Agafant una exp lotac ió agríco la a l 'atzar , qu ina és l a probab i l i tat que t ingu i més de 500 Ha?

e) Anomenem petites exp lotacions les de superfíc ie i nfer ior a 50 Ha ; m itjanes les compreses entre 50 Ha i 1 00 ; i g rans les super iors a 1 00 Ha. Calcu l a l a probab i l itat que , en tr iar-ne una a l 'atzar , s i gu i de cadascuna d 'aquestes c lasses.

Explotacions agrícoles a Barbens ( U rgel l )

31

d) Cons ide rant aquestes dades , què pots d i r respecte a la d i str ibuc ió d e l es exp l otac ions agr íco les de l 'Estat espanyo l ?

e ) E l nombre tota l d 'hectàrees de cadascuna de l es c l asses de l a pr i ­mera tau l a és :

Classe i grandària de /'explotació

Més petites d 'una ha

D'una a 5 ha

De 5 a 50 ha

De 50 a 1 00 ha

De 1 00 a 200 ha

De 200 a 500 ha

De 500 a 1000 ha

De 1 000 ha en endavant

Superf i cie total

365 .922 ha

3 .070 . 1 43 ha

1 3 .723 .022 ha

3 .571 .380 ha

3 .432.025 ha

5 .394.300 ha

4 .887 .750 ha

9 .446.425 ha

Qu ina és l a freqüènc ia re lat iva de cadascuna de l es c l asses respecte al nombre tota l de l es hectàrees ? ( Expressa e l s resu ltats en tant per cent.) l qu i na és la freqüènc ia re lat iva de les pet ites exp lota­c ions , l es m itjanes i les grans?

f) Ten i nt en compte aquests nous resu l tats , recons idera l es conclu­s ions a què hagis arr i bat a l 'apartat dl .

En aquests quatre últims problemes hauràs pogut veure que no sempre és pot conèixer a priori la regularitat amb què es presentarà un determinat esdeveniment . Tanmateix, és possible de fer prediccions sobre aquests esde­veniments a partir de les freqüències relatives amb les quals s 'han presentat a les ocasions anteriors en què hem fet les observacions .

Tant els fenòmens estudiats a l a primera part ( lleis de Mendel, jocs d'at­zar) com els que ara estem estudiant ( elecció d 'una persona de la població activa, incidència del tabac sobre el càncer de pulmó . . . ) són fenòmens alea­toris, perquè:

l ) D'�na banda, els resultats són imprevisibles.

2 ) D'altra banda, e s presenten amb una determinada regularitat.

32

Regularitat que o bé es pot conèixer a priori, puix que hi ha una simetria l moneda, dau . . . ), o bé només es pot conèixer a partir de l 'experiència i l ºobservació de resultats anteriors . Al primer cas aquesta regularitat s 'ex­pressa mitjançant el quocient entre casos favorables i casos possibles . Al se­gon . mitjançant la freqüència relativa .

Per acabar aquest apartat, fixa't que, e n definitiva, la freqüència relativa obtinguda a partir de l'observació real és l'única que ens permetrà de fer prel'isions autèntiques.

Assignar un nombre ( probabilitat) a un esdeveniment d'una experiència de regularitat coneguda a priori és una simplificació . És un model matemàtic que es fa servir per raó de la seva senzillesa i utilitat a l 'hora de fer predic­cions ; generalment coincideix força bé amb la freqüència relativa que s 'obtin­dria en fer un nombre elevat d 'observacions . Tanmateix, si alguna vegada no s'adapta bé als fets reals , s 'haurà de canviar.

:\ixò és el que va passar al Casino de Montecarlo a principi de segle:

Un enginyer escocès de nom William Jaggers havia examinat amb molta cura la forma com era construïda una ruleta . Va observar que el pivot esta\'a constituït per un cilindre d'acer que tenia a la part superior una concavitat on hi havia una clàvia. Un desgast imperceptible d 'aquesta clàvia desequilibrava la ruleta , i , per tant, es trencava la igual probabilitat dels distints nombres .

Durant més d'un mes , amb l 'ajut d 'alguns amics, va anar apuntant els nombres que sortien a tores les taules de joc del casino de Montecarlo .

Montecarlo ( M ònaco)

33

De l 'estudi d'aquests resultats, Jaggers va observar que en una de les taules hi havia certs nombres que sortien amb més freqüència que els altres : només calia passar a l 'acció, és a dir , apostar als nombres de freqüència més alta.

En quatre dies va guanyar 2 .400 .000 francs ( francs de 1 900, clar) i va convertir-se de sobte en objecte de l 'atenció general. La Direcció del Casino hi va perdre molt més, perquè molts jugadors començaren a apostar com Jaggers. Es sospità que feia trampes , fou vigilat amb tota cura i assi­duïtat. Però no va servir de res.

El director va fer anotar els nombres als quals apostava Jaggers , i una nit, després de tancar, comprovà que jugant en aquests nombres es guanyava ràpidament. Va fer canviar la ruleta de taula. L'endemà Jaggers començà a perdre. Va comprendre força de pressa la maniobra de la Direcció , plegà de jugar i va passejar-se per la sala de joc. Per alguns defectes impercep­tibles, la seva experiència li va permetre de descobrir la seva ruleta. Començà a j ugar de bell nou i tornà a guanyar.

El problema anava fent-se angoixós per al Casino, perquè J aggers no feia res d'il·legal. La Direcció envià un dels directors a Estrasburg, a la casa del fabricant de ruletes, per demanar-li consell . Aquèst suggerí que cada dia canviessin les separacions entre els forats, les desigualtats d'aquestes sepa­racions haurien de compensar les de la roda.

J aggers va comprendre ràpidament el que passava i va deixar de jugar. Malgrat tot s'emportà més d'un milió de guany. (Narració treta de J. L. BouRSIN : Las estructuras' del azar. Editorial Martínez Roca. )

Estudi

També tu podr ies fer un estudi semblant al que va fer Jaggers. Consi ­dera l 'exper iènc ia de t i rar un dau .

a) Apunta e l s resu ltats de l 'experi ènc ia . S i vo l s observar e l comporta­ment real hauràs de repetir l 'exper iènc ia moltes vegades (pe l cap baix 1 000) .

b) Cada cert nombre per iòd i c d 'observacions o t i rades (20 ) ca lcu l a la f reqüència de l 'esdeven i ment que estàs estud iant. Per fer ordenada­ment aquesta reco l l i da de dades aj uda 't amb una tau l a corn l a se­güent :

34

Vegades Freqüència Freqüència Freqüència Freqüència que surt absoluta relativa absoluta relativa

1 1 1 1 3 0 , 1 5 1 1 1 6 0 , 1 5 1 1 1 1 2 1 1 1 1 4 0 ,20 1 1 1 1 8 0 ,20 l 3 1 1 2 0 , 1 0 1 1 1 5 0 , 1 25

4 J-+-tt 5 0 ,25 1 1 1 8 0 ,20 l 5 1 1 2 0 , 1 0 1 1 1 1 6 0 , 1 5 1 1 6 1 1 1 1 4 0,20 1 1 1 7 0 , 1 83

Nombre de J-Hi m-r -1-+-tí m-r m-r -1-+-tí -i+rr -i+rr .J-Ht 1 1

tirades 20 40

e ) Rep resenta aquests resu l tats en un s i stema de referènc i a : a absc i s­ses e l nombre de t i rades i a ordenades l a freqüènc ia re l at iva corres­ponent . Une ix e l s punts obt i nguts .

d) Comenta e l g ràfi c .

Probabi l itat i freqüència

Assignarem com a probabilitat d 'un esdeveniment el quocient entre els casos favorables i els casos possibles quan puguem assegurar que els casos possibles són mútuament simètrics .

Podem ampliar també la idea de probabilitat a les experiències que no es comportin d 'aquesta manera , sempre que coneguem com s 'han comportat en múltiples ocasions anteriors o quan puguem repetir l'experiència un nombre molt gran de vegades. La probabilitat que assignarem a un esdeve­niment, d'aquest tipus d 'experiència , és donada per la freqiiència relativa amb la qual es presenta després de fer un gran nombre d'observacions.

35

D

O pe racions am b

esd eve n im e n ts

Hem vist als apartats anteriors que cada esdeveniment correspon a un subconjunt de l 'espai mostral. Per tant, les operacions dels conjunts ens per­metran d'estudiar els esdeveniments compostos.

Intentarem de deduir, en aquest apartat, algunes regles elementals del càlcul de probabilitats, les quals ens ajudaran a calcular les probabilitats dels esdeveniments compostos a partir de les probabilitats d'esdeveniments més elementals .

Els problemes d 'aquest apartat ben segur els podràs resoldre, calculant directament les probabilitats d 'un cert nombre d 'esdeveniments, però de passada intentarem deduir les regles abans esmentades .

1 . REGLES ELEM ENTALS DEL CÀLCUL DE PROBABILITATS

Per recaptar fons per al v iatge de fi de curs , uns estud iants fan una r i fa . En aquesta r i fa h i ha 1 00 nombres i un prem i . Dos companys es p regunten de qu ina de les següents maneres t i ndran més poss i b i l i tats de guanyar : 1 ) comprant tots e ls nombres que són mú lt i p les de 3 o de 5 ; 2) tots e l s m ú lt i p l es de 2 i de 1 1 ; 3) tots e l s que no són mú l t i p l es de 2 ; 4 ) tots e l mú l t i p l es de 7 o de 1 1 . i 5) tots e ls m ú lt i p l es de 3 i de 5 .

36

Quina d ' aquestes poss i b i l i tats et semb la més favorab l e ?

a) Respon a l a qüest ió p lantejada al prob l ema ca lcu lant d i rectament l es proba b i l i tats de l s esdeven iments :

f1 : Que e l nombre p rem iat s igu i un mú l t i p l e de 3 o de 5 .

f2 : Q u e ho s i g u i de 2 i d e 1 1 .

f3 : Que no s igu i mú l t i p l e de 2 .

f4 : Que s igu i m ú lt i p l e d e 7 o d e 1 1 .

Fs: Que s igu i m ú l t i p l e de 3 i de 5 .

b) I ntenta rem expressar , ara , e l s esdeven i ments f1 , F2 , f3 , f4 i Fs mitjan­çant esdeven iments més senzi l l s . Cons iderem els esdeveni ments :

A : Que a l sorte i g e l nombre premiat s igu i un m ú lt i p l e de 2 .

B : Q u e s i g u i mú l t i p l e de 3 .

C : Que s igu i mú l t i p l e de 5 .

D : Que s i gu i m ú lt i p l e de 7 .

f : Que s igu i mú l t i p l e d ' 1 1 .

Emprant e l s s ímbo ls : reun ió de conjunts ( U ) , i ntersecc ió de con­junts ( íl J , i comp lementar i d 'un conjunt respecte a un conjunt que e l cont i ngu i (e l complementa r i d 'un conjunt X respecte a l 'espai mostra l U, l ' i nd i carem X " ) , expressa :

• E ls conjunts F1 i fs m i tjançant e l s B i C.

• E l f2 m itjançant e ls A i f .

• E l f3 mitjançant l 'A .

• E l f4 mitjançant e l s D · i f .

e) Ca lcu la les p roba b i l i tats p (A ) , p (B) , p ( C) , p (D ) i p (f) .

d) I ntenta trobar re lac i ons entre :

• p (Fi ) , p (Fs) , p (B) i p ( C) .

• p (f3) i p (A ) . • p (f4) , p (D) i p (f) .

37

Per a les ga l l i nes de raça anda l usa e l plomatge b lau és l a combinac ió h íbr ida o heterozi gòti ca de ls gens negre i blanc. Consi derem l 'encreua­ment de dues ga l l ines de p lomatge b l au .

Qu ina és l a probab i l i tat que en agafar una ga l l i n a de l a generac ió fi l i a l s 'obti ngu in e l s esdeven iments següents :,

A : Que l a g a l l i na s igu i de p l omatge negre.

B: Que s igu i homozigòtica .

C : Que s igu i heteroz igòt ica .

D : Que s igu i de p l omatge b lau .

E : Que s i gu i de p l omatge negre o homozigòt ica .

F: Que s igu i de p l omatge b l au i heteroz i gòti ca .

Pe r contestar aquestes preguntes segueix e l camí següent :

a) Ca lcu la l es proba b i l i tats de l s esdeven iments A, B, C i D.

b) Fes e l mateix per a ls esdeven iments E i F. A més a més expressa aquests esdeven i ments· m i tjançant els A, 8 , C i D.

e) Cerca re lac ions entre les probabi l i tats ca lcu l ades a a) i b) .

En e ls prob l emes anter iors has expressat esdeven i ments més o menys comp lexos m i tjançant esdeven iments més e l ementa l s . Ten i nt en compte e l s resu l tats trobats , i ntenta respondre a les qüestions següents . S i A i 8 són dos esdeven iments d 'una exper iènc ia a l eatòr ia :

a) Quan es rea l i tza l 'esdeven i ment A U 8 ? ( P rova de respondre cons i -derant les real i tzac ions d 'A i de 8 . )

b) Quan es rea l i tza l 'esdeven iment A n 8 ?

e ) Quan e s rea l itza l 'esdeven iment A " ?

dl ¿Amb qu ins a l tres noms també s 'anomenen e l s esdeven i ments A U B, A íl B A * ?

38

S igu i n A i 8 dos esdeve n i ments d 'una exper iènc ia a l eatòr i a . I nd i quem per a , b , e e l nombre de casos favorab les a l a rea l i tzac ió de ls esdeve­n i ments A , 8 i A íl 8 ; i per N el nombre total de casos poss i b l es . S i mbò­l i cament, ho ind icare m :

n (A ) = a n (8 ) = b n (A n 8) = C n ( U) = N

Suposem, a més , que tots e l s casos poss i b l es són mútuament s i ­m ètr ics .

Vo l em ca lcu l a r p [A U 8 ) a part i r de p [A ) , p (8 ) i p [A íl 8 ) . Per fer-ho :

a ) I l·l ustra m i tjançant un d iagrama de Venn l es cons iderac ions de l 'enun­c i at .

b) Ca lcu l a el nombre de casos favorab les a la rea l i tzac ió de A U 8, és a d i r , ca l cu l a n (A U 8) en func ió de n [A ) , n (8 ) i n [A íl 8) .

e) Ten i nt en compte e l resu ltat ante r io r , ca lcu la p (A U 8) i expressa- l a en func ió de p (A ) , p [8 ) i p (A íl 8 ) .

d) Enunc ia l a p rop i etat trobada.

e) En q u i ns casos p [A U 8) = p [A ) + p [8) ? En aquests casos d i rem que A i B són esdeveniments incompatibles.

Vol e m ca lcu la r a ra p [A " ) m itjançant p [A ) . Per a a ixò :

a) Ou in és e l conjunt A U A * ?

b) 1 e l A n A * ?

e ) Calcu l a p (A U A * ) i p (A íl A * ) i u t i l i tza l 'express i ó trobada a l pro­b l ema D .4 .

Pots també fer-ho d ' una a l tra manera :

d) Uti l i tzant les notac ions de l p rob lema D.4 , ca lcu la 17 (A '' ) en func ió de 17 (U) i 17 (A) .

e) Ca lcu la p [A * ) i p (A) i determ ina una re lac i ó entre aquests nombres .

39

Cons iderem de nou l 'encreuament de dues ga l l i nes de p lomatge b l au (D .2 ) i e l s esdeven iments :

A : Que l a ga l l i na s igu i de p l omatge negre.

8: Que l a gal l i n a s igu i homozigòt ica .

a) S i sabem que l a ga l l i n a t r iada és homoz igòtica , qu i na és l a probabi ­l itat que sigui de p lomatge negre ?

b) S i sabem que és de p lomatge negre , qu i na és l a probab i l i tat que s igu i homozigòt ica?

Per contestar aquestes preguntes t ingues en compte :

e) L 'esdeven iment : que la gallina sigui de plomes negres, si sabem que és homozigòtica , hom l 'acostuma a ind icar A /8 ( d i rem que l 'esdeve­n iment A és condicionat al B ) . Busca el conjunt de casos favo­rab les a la rea l i tzac ió d 'aquest esdeven i ment i la p (A/B) .

d) De manera semb l ant , e l succés de l a pregunta b) l ' i nd i carem B A . Busca e l conjunt de casos favorab l es a l a seva rea l ització i ca lcu l a ' n l a proba b i l itat.

e) I ntenta re lac ionar : p (A/B) , p [A n 8) i p (B ) .

f) I ntenta re lac ionar : p [B/A ) , p (B íl A ) i p [A ) .

A l a « Gran Enciclopèdia Larousse » es pot l l eg i r e l paràg raf següent sobre e l joc de la ru leta :

El iac de la ruleta va aparèixer com a tal joc a la Soci été des jeux de M onaco, que va obtenir del seu govern, el 1 856, la concessió dels jocs que funcionaven al palau de la Condamine. Tanmateix, aquest joc ja exis­tia a França des del segle XV/11, si bé el 1 838 va ser prohibit a causa dels aldarulls que provocava.

S 'hi juga en una taula allargada i rectangular que té en el centre una roda còncava, equilibrada sobre un eix, dividida en 37 caselles numerades del O al 36, alternativament negres i vermelles, excepte el O que acos­tuma a ser blanc o verd. (La ruleta americana té a més un doble zero.J Un dispositiu que sobresurt de / 'eix permet de donar-li un moviment gira­tori, ràpid, en un pla horitzontal. El banquer fa girar aquest dispositiu amb la mà esquerra mentre que amb la dreta 11ança, sobre la ruleta i en

40

sentit invers, la bola de marfil, la qual, després d 'una sef/e df? movi­ments, es detura en una de les caselles i assenyala el nombre guanyador.

Al costat de la ruleta, hi ha les taules on els jugadors han d'assenya­lar les apostes. Aquestes taules consten dels 36 números, disposats en tres columnes de 12 cadascuna (a la primera hi ha els múltiples de 3 més 1 , a Ja segona els múltiples de 3 més 2, i a la tercera els múltiples de 3) i un espai reservat al O, i d 'altres que indiquen les distintes combi­nacions o sorts.

Els jugadors aposten dipositant llurs fitxes sobre la combinació o nombre escollit. Les sorts es divideixen en simples i múltiples.

Les simples són: vermell o negre, parell o imparel l , manca o passa (de / ' 1 al 18 són manca i del 19 al 36 passa) . A ixí, per exemple, si la bola cau en el 13 que és negre, en les sorts simples guanyen els qui han apos­tat negre, imparell i manca. El valor que es paga és el reintegrament de / 'aposta més una quantitat igual a la mateixa aposta.

Les múltiples són: el número ple, que és el que guanya i rendeix 35 vegades / 'import de l'aposta; a cavall o aposta per dos nombres contigus, que rendeix 1 7 vegades l 'aposta; transversal plena a tres nombres conse­cutius, 8 vegades / 'aposta; transversal doble o sisena, sobre 6 nombres, 5 vegades l 'aposta; columna o dotzena, els dotze nombres d'una co­lumna, dues vegades l 'aposta.

o l 2

"à 4 5 >-l 7 8

3 10 11 12 13 14 15

� 16 17 18 � S1 19 20 21

__ J_ 4 22 23 24 26 26 27

5 28 29 30

6 31 32 33 34 35 36 8

Roda taul a del joc de l a rul eta

41

Els jugadors aposten contra la banca. Aquesta guanya cada cop totes les apostes fetes sobre combinacions no guanyadores. Quan la sort cau en el O, retira a favor seu totes les apostes menys les efectuades sobre el O.

Pel que fa a l joc de la ru leta se 't demana de ca lcu l a r :

a) Qu ina és l a proba b i l itat que en una t i rada surti : A : negre ; B : impa­rell; C: passa?

b) Qu ina és l a probab i l itat que en una t i rada surti : D : vermell ; E : parell ; F: manca?

e ) Qu ina és l a probab i l itat que en una ti rada surt i : negre o imparell? l parell o manca?

d ) Quina és l a probab i l i tat que en una t i rada surti : negre i passa? l imparell i manca?

e) Si sabem que ha sortit passa, qu ina és l a probab i l itat que s igu i negre? S i ha sortit negre , qu ina és l a probab i l i tat que s igu i passa?

f) Quina és la probab i l i tat que no surt i negre?

Per contestar aquestes qüestions segueix el camí següent:

- Ca lcu la l es probab i l itats dels esdeven i ments de les preguntes a) i b) .

- I ntenta re lac ionar p (A ) , p (B) i p (C) amb p (D) , p (E) i p (F) .

- Expressa e l s esdeven i ments de d) m itjançant e l s de les preguntes a) i b) i ca lcu l a ' n l l u r probab i l itat.

- Re lac iona aquestes probab i l i tats amb les p (A ) , p (C) , p (E) i p (F) .

- Calcu la p (A /C) i p ( C/A ) , i re lac iona- les amb p (A n C) , p ( C) p (A íl C) , p (A ) , respectivament.

- Ca lcu la la probab i l i tat demanada a f) i expressa- l a en func ió de p (A )

E l departament de ver ificació d 'una fàbr ica de bombetes ha deter­m i nat l a v ida de les bombetes d 'una mostra de 2 .500, d 'un determi nat t ipus , tr iades a l 'atzar . E l s resu ltats estan agrupats en l a tau l a següent :

42

Hores de vida

o - 200

200 - 400

400 - 600

600 - 800

800 - 1 000

1 000 - 1 200

1 200 - 1 400

1 400 - 1 600

1 600 - 1 800

1 800 - 2000

2000 - 2200

Nombre de bombetes

38

1 2

49

2 1 3

587

73 1

530

237

66

28

9

a) Quina és l a probab i l i tat que una bombeta d ' aquesta marca i t ipus t ingu i una v ida , bé de 600 a 1 000 h o de 800 a 1 600 h?

b) Determ ina les proba b i l itats de l s esdeven i ments : A (v ida de 600 a 1 000 h ) ; B (v ida de 800 a 1 600 h ) , i l a de l 'esdeven i ment A i B.

e) Qu ina re lac ió h i ha entre e ls resu ltats de l s dos apartats anter iors ?

d) Qu ina probab i l i tat ten i m que una bombeta d 'aquesta marca i t ipus ens dur i més de 1 800 h ? Qu in és l 'esdeven i ment contrar i de l 'anter ior i qu ina l a seva p roba b i l i tat? H i ha a l guna re lac ió entre e l s dos re­su l tats ?

e) S i una bombeta ha estat encesa durant 800 h , qu ina probab i l itat te­n i m que la seva v ida s igu i super ior a 2000 h?

f ) I n d i cant per C l 'esdeven iment vida superior a 800 h i per D vida compresa entre 2000 i 2200 h , ca lcu l a l a probab i l i tat de l 'esdeve­n iment D/C. El mate ix per a D n C .

g ) Re lac iona p (D/C) , p (D íl C) i p (C ) .

En aquests ú lt i ms prob lemes ha i nterv i ngut un nou t ipus d 'esdeve­n i ment : / 'esdeveniment condicionàt.

43

a) Quin t i pus d 'esdeven i ment i nd i quem m itj ançant A /8? ¿ l m itjançant 8/ A? Dóna'n a l guns exemp les .

Cons iderem l 'esdeve n i m ent A /8 (A con d i c i onat a 8) . Vol em ca lcu­lar p (A/8) a part i r de p (A 11 8) i p (8) . Per fer aquest cà lcu l pots seg u i r el següent cam í :

b) Troba p (A/8) a part i r de n (A íl 8) i n (8) . e) Ca lcu l a p (A íl 8) i p (8) .

d) I ntenta determ inar una re lac i ó entre p (A n 8) , p (8) i p (A i8) .

Ben segur hauràs aconseguit trobar l 'expressió

p( A / B ) =

a partir de la qual podem escriure :

p ( A íl B )

p( 13 l

p( A íl B ) = p( A/B ) · p( B )

En qu i ns casos p (A n 8) = p (A ) · p (8) és certa ?

l En aquests casos direm que A i B són esdeveniments independents en probabilitat.

Comprova que en una exper i ènc i a a l eatòr ia en l a qua l tots e l s casos poss i b l es no són igua l ment s i mètr ics cont i nuen essent và l i des l es express ions deduïdes en e l s p rob lemes anter i ors . Per fer-ho , n 'h i haurà p rou que cons ider i s l es freqüènc ies re lat ives de l s d i st i nts esdeven i ­ments . ( I nd i ca m itj ançant n (A ) l a freqüènc ia absol uta i m i tj ançant f (A ) l a freqüènc ia re lat iva . )

Ten i nt en compte totes l es cons iderac ions i p rop i etats provades en aquest apartat, i ntenta contestar l es següents qüest ions s i A 1 B són dos esdeven iments d 'una exper iènc ia a l eatò r i a :

a) Q u i ns són e ls esdeve n iments A o 8; A i 8? De qu ina a l tra forma s ' i nd iquen?

b) El mate ix per a A * i A /8.

44

e) Quan d i rem que A i 8 són incompatibles ?

dl Qu ines són les l l e i s e l ementa l s d e l cà lcu l de proba b i l i tats ? Per con­testar aquesta pregunta hauràs d 'escr i ure el segon membre de l es igua l tats :

• p (A U 8 ) =

• p ( U) = p (rp ) = ( U i <P són e l s esdeven i ments segur i impossible, respectivament . )

• p (A * ) = • p (A íl 8)

el Quan d i rem que A i 8 són independents en probabilitat? En aquest cas , a quina express ió es redue ix la darrera igua ltat?

f) S i A i B són incompatibles , a qu i na express i ó es redue ix l 'express ió de p (A u B ) ?

2. PROBLEMES D E MANIPU LACIÓ

0 . 1 3 Una persona jugant a l a ru l eta aposta a columna o dotzena ( a tots e l s

m ú l t i p l es de 3) . S i sabem q u e h a sort i t negre, qu i na probab i l i tat t é de guanyar? S i aposta a ls nombres 3 i 7 , qu i na probab i l itat té d e guanyar?

D . 1 4 I nd i quem p e r p;, p 1 , p2 l e s probab i l i tats q u e entre l es 8h 5m i l e s

8 h 6m e s produe ix i n en una ofi c i na c a p trucada te l efòn i ca , O o 1 , O o 1 o 2 , respect ivament . S i Po = 0 , 1 7 , p1 = 0 ,47 i p2 = 0 ,74, ca lou l a :

a) Proba b i l i tat de rebre una trucada i només una .

b ) Dues exactament.

e) Més de dues .

45

A dues persones se ' l s demana d 'escr iure un nombre d ' una x i f ra . Qu i n de l s esdeve n iments següents té més p robab i l i tat de rea l i tzar-se :

A : E l s dos nombres són i gua l s .

B : Un de l s nombres és e l O .

C : Un de ls nombres és e l o o e l s dos són i gua l s .

D: E l s dos nombres són i gua l s , pe rò no són e l O .

E : E l s dos nombres no són i gua l s .

.:m Cons iderem l 'encreuament de dues tomaqueres de races pures , una

de planta alta i fulla retallada (AA,RRJ i l ' a l tra de planta nana i fulla patatera (aa,rr) . E ls caràcters a l ta i reta l l ada són domi nants respecte a l s caràcters nana i patate ra , respecti vament . Es demana :

a) La probab i l itat que , en t r i a r un i nd iv idu de l a p r ime ra generac ió fi l i a l , s igu i u n a tomaquera de p l anta a l ta i fu l l a patatera .

b) La p roba b i l i tat que s i gu i de p l anta nana i f u l l a patate ra .

e) Si en tr iem dos de la segona generac ió f i l i a l , qu i na és la probab i l i tat que el p r ime r s i gu i una tomaquera a l ta-patatera i el segon nana­patatera ? ¿ l l a p robab i l i tat que tots dos s i g u i n tomaqueres a l ta­reta l l ada?

Una nau espac i a l ha d 'aterrar en un determ i nat punt de l a superf íc ie d e l a l l un a ; vo l e m determ i nar l a pos i c ió d 'un a l tre poss i b l e punt d 'ater­ratge respecte al punt O. Suposarem que l 'e rror comès en substi tu i r l a zona de superf íc ie entorn de l p u n t O de l p l a tangent en aquest punt és m enyspreab l e . Sobre e l pla tangent , cons iderarem un s istema de refe­rènc ia rectangu l a r d 'or igen O or i entat de forma que l 'e i x pos i t i u de les X assenya l i l 'est i l 'e ix posit i u de l es Y e l nord :

a) Anomenem A l 'esdeven i ment que el punt d'aterratge estigui a una distància d'O inferior a 5 km. Representa l a reg i ó que correspon a A e n e l s istema d e referènc i a .

b) Sigu i N l ' esdeven iment que el punt de desembarcament sigui al nord. La reg i ó que l i correspon en el p l a tangent rt és la compresa entre

46

G ,

,

• y

o

n

x •

l es b i sectr ius de ls dos p r imers quadrants . S i gu i n S, E i W e l s esde­ven i ments que el punt s igu i al sud , est i oest .d 'O , respectivament. Representa en e l s i stema de refe rènc ia l es reg ions que corresponen en aquests quatre esdeven i ments .

e ) Representa e l s esdeven iments A U N , A íl N i N íl f.

d) Representa e l s esdeven iments A * i N * .

e) Quina és l a re lac ió entre S i N * ? (Vés molt amb compte en l a res­posta . )

f ) Rep�.esenta g ràficament l 'esdeven i ment (A íl N) * .

Suposem que l a p robabi l i tat que e l veh i c l e espac ia l ate rr i en u n punt a més de 1 0 km d'O és nu l·l a , i la probab i l i tat que ate rr i en una zona determi nada és propo rc iona l a l 'à rea d 'aquesta zona .

g) S i A k és l 'esdeven iment que e l punt de desembarcament s igu i s i tuat a menys de k km d 'O , ca lcu la p (A 1 ) , p (A¡) i p (As) .

h) Sigui B l 'esdeven i ment que s igu i a l nord i a l 'est d 'O . Determ ina p (B) .

i ) Determ ina p (N) i p (f) .

j ) Determ ina l a p robab i l i tat que e l punt de desembarcament s igu i a menys de 5 km, però a l nord i a l 'est d 'O .

k) S i sabem que el punt és a menys de 3 km , qu ina és l a probab i l i tat que s i gu i a més d ' 1 km ?

l ) S i sabem que é s a menys d e 5 km, q u i na é s l a probab i l i tat que s igu i a l 'est i a l nord d 'O ?

47

Segons e l M i n i ster i d 'Educac ió , en e l curs 1 973- 1 974 l 'esco lar itzac ió a l 'educac ió p re-esco l a r a l a zona que anomena " P.fOVínc i a » de Ba rce lona , que correspon a les comarques de l Ba rce lonès , Ba ix L l obregat . Maresme , Va l l ès Occ identa l i O r i enta l , Anoi a , Berguedà , Bages i Osona . fou expres­sada en tarit per cent :

Estatal No estatal

Escolarització 9 ,66 40,88

a) Qu i na és la p robab i l i tat que un nen de l 'edat corresponent en aquesta etapa fos esco l a r i tzat? l la probab i l i tat de no ésser esco la r i tzat?

b) l la probab i l itat d 'ésser esco la r i tzat a l 'ensenyament estata l ? l al no estata l ?

e) Si d 'u n nen sabem que va anar l 'any 73-74 a l 'esco l a i encara no ten ia 6 anys, q u i n a és l a probabi l i tat que l 'esco l a fos estata l ? l que fos no estata l ?

Un joc d 'atzar cons i ste ix a t i rar a l hora un dau cúb ic a fer g i rar una roda com l a d e l a f igura .

48

1 3

2

Ca lcu l a l a p robabi l i tat de l s esdeven iments següents :

A : Obten i r l a mateixa xifra amb e l dau i amb l a roda .

B : Treure u n 4 amb e l dau .

C : Obte n i r una suma de punts i nfer io r a 5 .

D : Treure un 4 amb e l dau i una suma de punts i nfer ior a 5 .

E : Obte n i r la mateixa x i fra amb e l dau i amb l a roda o treure un 4 amb e l dau .

F : No treure un 4 amb e l dau .

... Repete ix e l prob lema anter ior s i l a roda fos :

2 1

� 3 Ti ngues en compte l a d i ferent pos s i b i l itat de presentar-se que tenen

e l s nombres de l a roda .

Cons i derem e l c i rcu i t d ' i nterruptors en sè r i e de l a f igura :

A 8

Des ignem per A l 'esdeven iment que l ' i nterruptor A s igu i tancat i per A '' que s igu i obert , i per B i B " que l ' i nterruptor B s i gu i tancat o obert , respect ivament .

a) Estud i a aquest c i rcu i t i escr iu m itjançant e l s esdeve n i ments A, B, A '' i B '' e l s quatre esdeven iments poss i b l es mútuament exc l us i us .

b) Suposem que en una determ inada a p l i cac ió d 'aquest c i rcu i t aquests quatre esdeve n i ments són igua l ment probab l es i , per tant . de proba­b i l i tat 1 /4 . Determ ina p (A ) i p (B) .

49

e) E ls esdeven i ments A i 8 són i ndependents?

d) Calcu la p (A '" ) i p (B " ) .

e) A i 8 " ; A '" i 8; A " i 8 '' , són i ndependents?

Cons iderem el c i rcu i t de l a f igura :

A

o B

I n d i quem per A, 8, A '" i 8 " e l s esdeven i ments que e l s i nterruptors A ,B s i gu i n tancats o oberts , respect ivament . Suposem que e l s esdeven i ­ments A i 8 són i ndependents i que

p (A ) = p (8) = p

on p és un nombre e ntre O i 1 .

a ) Determ i na r l a p robab i l i tat que h i hag i un camí tancat entre e l s punts o i 1 .

b) l la probab i l i tat que hi hag i un camí obert .

Cons iderem la expe r iènc ia treure una fitxa d'un joc de dòmino.

a) Quants e l e ments té l 'espa i mostra l ?

b) Qu ina és la probab i l itat de treure el doble sis ?

e) Qu ina l a de no treure el doble sis?

d) l l a de treure un doble?

La tau l a següent mostra els resu l tats d 'una enquesta feta entre 200 a lumnes de 1 r de B U P , part de l s qua ls estud ien ang lès i e ls a l t res fran·

50

cès , sobre l ' i nterès que d emostren per fer un i ntercanvi amb estu d i ants d 'Ang l aterra i de França.

Estudien Estudien anglès francès

Interessa fer un intercanvi 30 50 80

No interessa fer un intercanvi 40 80 1 20

70 1 30 200

a) Qu i na és l a probab i l i tat que un a l umne de 1 r de BUP estud iï francès?

b) l l a probab i l i tat que un a l umne de francès vu lgu i fer l ' i ntercanv i ?

e) l l a probab i l i tat que un a l umne que no e l vu lgu i fer s igu i d 'ang lès?

d l l l a probab i l i tat que un a l umne d e 1 r e l vu lgu i fer?

Tres màquines A, B , C produe ixen e l 50 per cent , e l 30 per cent i e l 20 per cent , respect ivament , d 'un t ipus d etermi nat d 'artic l e . E l s percen­tatgfls d 'a rt i c l es defectuosos fabr icats per cadascuna de l es màqu i nes són , respectivament, e l 3 per cent , e l 4 per cent i e l 5 per cent.

a) Quina és l a probab i l i tat que en se l ecc ionar un a rt i c l e s igu i defectuós?

b) l l a probab i l i tat que s i és d efectuós hag i estat produït per l a m à­qu i na A ?

Per reso l d re aquest exerc i c i és út i l emprar e l d i ag rama següent :

51

52

que ca l i nterpretar a ix í :

La p robab i l itat que un artide produït per la màquina A sigui defec­tuós es l l ege ix sobre la branca que va de A a D , és a d i r , p ( D/A ) =. = 0 ,03.

La proba b i l i tat que un article sigui defectuós i hagi estat fabricat per la màquina 8 la ca l cu larem sobre l a branca que passa per 8 i D, és a d i r , p (8 íl D ) = 0 ,3 · 0 ,04.

TREBALL DE PROBABI LITATS -------------

- Defi ne i x :

• Exper i ment a l eator i .

• Espai mostra l , proves o casos poss i b l es .

• Esdeven i ment , casos favorab les a u n esdeven i ment .

• C l asses d 'esdeven i ments .

- Defi n i c i ó c l àss ica de p robab i l i tat .

- Ampl iac ió de la idea de p robab i l i tat d 'u n esdeve n i m ent en una exper iènc ia de casos no s i mètr i cs . Freqüènc ia absol uta re-l at iva .

- Defi ne ix i s i m bo l itza e is esdeven i ments A o 8 ; A i 8; no A ; A cond i c i onat a 8 .

----;-- Dedueix l e s l l e i s e l ementa ls d e l cà lcu l de p robab i l i tats.

Combinatò r ia

Deus haver observat que calcular probabilitats, en el cas que entre els resultats possibles del fenomen aleatori estudiat hi ha simetria recíproca, és essencialment un problema de comptar.

Havíem de calcular, per a l 'esdeveniment considerat, el nombre de casos favorables a la seva realització i el nombre de casos possibles, i aquest càlcul no sempre era senzill .

En aquest apartat estudiarem algunes tècniques per a facilitar els esmen­tats càlculs .

Repassant els problemes dels apartats anteriors , les diferents situacions en què hem hagut de calcular el nombre d'elements de distints conjunts, les podem agrupar en tres apartats :

1 ) Sense reposició i tenint en compte l ' otdre.

2) Amb reposició i tenint en compte i'ordre .

3 ) Sense reposició i sense tenir en compte l 'ordre.

53

1 . VARIACIONS SENSE REPETICIÓ

En una c l asse de 30 a l umnes se n 'ha de tr iar c inc per formar part de c i nc comiss ions d i ferents ( un per comiss ió ) que treba l l aran a l hora i tractaran temes d i sti nts. De quantes maneres es pot fer?

Per fer aquest cà lcu l et serà de g ran uti l itat emprar u n d iagrama en

arbre . E l pots d isposar de l a manera següent :

1a. Comissió 2a. Comissió 5a. Comissió

� a1 :

30

L'alfabet és un sistema d 'escriptura basat en el principi de la corres­pondència d 'un signe per a cada so o fonema. La descoberta de l'alfabet correspon principalmente als fenicis . L'essencial en l'elaboració de l'escrip­tura fenícia, hom creu actualment, ha estat d'arribar a concebre la possibi­litat de designar qualsevol mot mitjançant només els signes consonàntics. Pel que fa als signes, és discutit si l'elecció fou arbitrària o per una moti­vació lògica.

La teoria més antiga fa derivar l 'alfabet fenici dels egipcis . D'altres han cercat en el món babilònic els originals de les lletres fenícies . Els ten i cis . inspirant-se en l 'escriptura jeroglífica, haurien format un sistema acrofònic atribuint a un ideograma el valor fonètic de la consonant inicial de la pa­raula que representava, i haurien après a formar una representació més esquemàtica de les lletres . També han estat considerades les possibilitats del sil·labari xipriota i recentment, arran del descobriment de documents proto­sinaítics a Palestina, la de l 'escriptura protosinaítica.

A la taula següent hi ha l'evolució de l 'alfabet fenici a partir dels jero­glífics egipcis, segons l 'antiga teoria de Lenormant .

54

ES1Ela etrusc arcaics orienta l s occidffitaf. dàssic noms

e;¡ipci cretenc fenici de de Mar (Thera) ( Beòc i a ) de l e s

B iblos si l iana M i let Corint lletres

�")' 'dfj K .C ' 4- .4 a A A A A A i'J � .q A a alfa

fïJ Q C: 91 ¡, 1 g b R B 'L lJ1 � B ¡, beta

� - 1 n 9 /\ 'l !J /f" r < c l � r .'J gamma

[> 4 ¿¡ d o d b. b. b. � D 6. J delta

E ::J h l ;q e t= t B B ¡:: E E e èpsilon

YJ' W °:::\ V f ? F F [ digamma

I I z I z I z z dzeta

¡:¡ l=1 h § ¡, B B H e E3 J, E3 H h H e eta

® QJ èJ t ® th ffi ® ® EB !B e e th theta

·="1 ·\y l y 1'·? l i 7 l � s l l i iota --

r(} \ljL. 'V k � k k K � � K k kappa

1 n l l j l � /' /\ � /'- � /\ l lambda f--

� � �n 'A( m r' m M m /Vi m f"'1 Mm M m m i

/ ) 2 } fi '1 n fv'' ¡v N /V l" N N ni n

.R $ :J: 'F s :i ffi s ? $ z :E x I � ksi .::. x = """ o C 9 o o 0 0 o o o o o o òmicron

,_-_:,. < �Ò> 7 /' J n r r r r r r n n p pi

� li., i'Z. � M s M s M s san o �de

2 y 'f' 'P 'l 9 'l 'f 9 ? ? cr koppa

f;9 Q� 99 r 4.f\ C, r f> p p � Q p l ro r ' W V W 7 s � � ¿: � � 2: sigma s s

+ + x t x -f t T T T T T t tau

'l u f' y 11 V f' V :r 11 ípsilon

X x Q) ph 4> ph + x 4 ph fi

<t> ph x kh X + kh CD ph x kh khi

'f kh -.V 'f ps 'f ps 'Y� kh � ps psi

n o .n. o omega

Evoluc ió de ls a lfabets fenic i grec a part ir de ls jerogl ífics egipc is , segons la teor ia de Lenormant

a) Quantes parau les de tres l l etres d i st i ntes es poden formar amb l 'a l fa­bet fen i c i ?

b) l quantes de c i nc l l etres d i sti ntes?

e) Quantes parau les de quatre l l etres d i ferents comencen per alfa?

5 5

d) Quantes parau l es de s i s l l etres d iferents comencen per tau i acaben per èpsilon?

e) Saps l 'a l fabet grec? En cas negat iu cerca ' l en a lgun l l i bre i repeteix e l p rob lema .

f) Refés e l problema per a l 'a l fabet de l a nostra l lengua . (Ti ngues e n compte q u e l a l l etra alfa correspon a l a a , l a tau a l a t i l a èpsilon a l a e . )

En una cu rsa corren 20 cava l l s .

a) Quantes poss ib l es arr i bades de ls tres p r imers h i pot haver cons i ­derant l 'o rdre i sense ex-requo?

b) l de ls deu pr imers ?

Vu it companys, en acabar e l s estud is de batx i l l e rat, van dec i d i r ce l e­b ra r-ho amb un d i nar . U n cop a l r�stau rant no acabaven de seure tot d i s­cut int en qu i n ord re ho far i en . El cambrer va d i r- los : Seieu de qualsevol manera i preneu-ne nota. Demà veniu un altre cop i seien d 'una manera diferent. l així fins que ho hàgin fet de totes les maneres possibles. Des d'aquest dia jo us convidaré per sempre més.

Quants d i es haur ien de pagar el d i nar perquè e l s resu ltés de franc d 'aque l l d ia endavant?

E l s quatre prob lemes anter io rs eren de l mate ix t ipus . Es tractava de comptar e l nombre d 'e l ements de d ist ints conjunts en e l cas de no d 'ha­ver-h i repos i c i ó i ten i nt en compte l 'ord re . Cons idera rem tot segu it e l cas genera l :

a) S i ten i m e l conjunt A = { a1 , a2, . . . . an } d e n e l ements , quantes poss i­b les ordenacions de p d 'aquests e l ements (p ::::;; n ) podrem formar en e l ben entès que l a tr ia es fa sense repos i c i ó i amb ordre?

56

b) Consi derem e l cas n = 4 i p = 3 , és a d i r , cons iderem e l conj unt A = { 8 1 , 82, 83, 84 } . Escr iu totes les poss i b les ordenacions de 3 d 'a­quests e l ements . Per no ob l idar-te 'n cap t ingues cura de fer el d i a­g rama en arbre , ca l cu l a quantes n ' h i ha d 'haver i comprova que h i són totes .

A cadascuna d'aquestes possibles ordenacions hom l 'anomena variació sense repetició de 3 elements del conjunt A. I al nombre total d'aquestes ordenacidns, el nombre de variacions sense repetició de 4 elements agafats de 3 en 3 i es simbolitza v;.

En general, doncs, V� serà el nombre de les variacions sense repetició de n elements agafats de p en p.

cl Comp l eta l a igua l tat :

dl

1 . 1 .

VP = n

Ca lcu l a V3 • V2• V4 • V3 • Ve amb 8 b C E íN i 8 :::>-: 3 C � b 71 51 A l "' 1 b l 1 ;;;;;.---- l -......::::: •

Permutacions

En el problema anterior en el cas n = p, observa que cada variació és una de les possibles ordenacions dels elements del crmjunt A. Per aquesta raó hom acostuma anomenar-la permutació del elements d'A. El nombre de les possibles permutacions l 'indicarem Pn (permutacions de n).

al Ou i n és e l va lor de : Ps; P3 i P2? l e n genera l de Pn ? També és costum indicar per n ! (n factorial) el producte n.( n - l ) .

l n - 2 ).(n - 3 ) . . . 2 . 1 , per exemple :

b) Ca lcu l a : 4! ; 7 ! ; n !

5 ! = 5 .4 . 3 .2 . 1

El nom n factorial pot ésser degut a l fet que tots els enters d e l ' l a l n en són factors.

e) Expressa en forma de factor ia l e l s resu l tats de l 'apartat a) .

57

d ) Emprant e l s factor i a l s observa que podem escr i u re :

e)

7 .6 .5 .4.3 .2 . 1 7 ! V3 = 1 .6 .5 = ----1 4 .3 . 2 . 1 4 !

Escr iu m itj"a ncant factor ia l s : V2 • V3 • V3 • VP . � s ' 6 1 6 ' n

Ou i na d i f icu l tat se 't p resenta en e l cas V6 i en genera l vn ? 6 n

l Com que saps que V�= P6 = 6 ! i v;; = Pn = n ! , perquè l 'expressió de

V� continuï tenint sentit quan n = p haurem de convenir que O ! = l .

58

2. VARIACIONS AMB REPETICIÓ

Sistemes de numeració

El sistema de numeració de l 'antic Egipte (m míHenni a .C. ) era decimal o de base 1 0 , és a dir, hom comp_tava per unitats , desenes, centenes , etc . . però encara n o era posicionat. L a u n i t a t , la desena, la centena, e l miler, etc. eren representats, respectivament , amb els símbols de la taula següent:

Si m bol i ndo -aràbic 1

10

1 00

1 . 000

1 0 . 000

1 00 .000

1.000.000

Simbol egipci

(\

l Un nombre qualsevol era representat juxtaposant amb repetició aquests símbols fins que la suma dels valors dels signes escrits era igual al nombre. Cada símbol es podia repetir fins a nou vegades.

a) Per exemp l e , el nombre 20 = f\ n . Escri u amb símbo ls eg ipc is e l s nombres deci ma l s 2 0 7 ; 1 875 ; 1 978 ; 1 532300.

b) Qu ins són els nombres representats per :

ex:> � ? f\ f\ 1\ 1 l l � [><D t>4' t><8 i (\(\(\(\ \ \ \ \ \

e) Ja hem d i t que e l s i stema no era pos ic iona ! , és a d i r , que n 1 1 i l /ÍI representen e l mate ix nombre . Amb e l s dos pr imers s ímbo ls de la tau l a . quantes poss i b l es ordenac ions de quatre s ímbols pots es­c r i u re ?

dl Esc r i u- l es totes ( empra un d i agrama en arbre) i d i gues quants nom­bres d i ferents representen .

e) Quantes en podr i es escr iure de set s ímbo ls amb e ls set símbo ls de la tau l a .

L a civilització maia del sud de Mèxic i Centramèrica fou l a primera que emprà un sistema posicional i alhora un símbol per al O. El sistema de nume­ració maia es desenvolupà independentment de les civilitzacions de l 'antic continent i hom creu que va utilitzar-se durant cinc o sis segles abans que qualsevol dels sistemes dels països asiàtics . No és un sistema decimal, sinó un sistema de base vint en tot, excepte en una pósició .

Aquest sistema de numeració, que s 'ha trobat �Is seus calendaris i rela­cions astronòmiques, té els valors següents :

• La unitat s 'anomenava kin ( dia).

• 20 kins formaven un uinal ( mes ) .

• 1 8 uinals formaven un tun ( 3 60 dies, aproximadament l any) .

• 20 tuns formaven un katun .

• 20 katuns completaven un baktun o cicle.

• Les unitats següents s 'anomenaven: pintun, calabtun, kilchentun . . .

59

Els nombres de l ' l al 1 9 eren representats per barres i punts tal com s 'indica a la taula. Cada punt representa una unitat, i cada barra cinc unitats . El O és representat per un ull mig tancat.

o 0 7 ...!.!... 1 4 .......

1 • 8 � 1 5 • • •

2 • • 9 .!.!.!.! 1 6 • •

3 • • • 10 � 1 7 - •

4 1 1 • 1 8 • • • •

1 2 • • 5

1 9 .....

6 -·- 1 3 ..!..!...!..

En escriure els numerals que representaven nombres més grans que 20, els símbols es col·locaven verticalment, els de la línia inferior denoten les unitats, la línia següent els uinals, etc .

a) Per exemple e l nombre :

60

• • tuns (centenes) uinals (desenes)

• • • kins (unitats)

és el nombre 3 + 5 x 20 + 7 X 360 = 2623 en el sistema decimal. Escri u amb numeració maia els nombres 20; 27; 1 978 ; 1 0 .532 ; 1 50 .

b) Quins són e ls nombres representats per:

•

•

• •

• ••• •

•

•

•

e ) Si anomenem xifra cadascun de ls nombres de l a tau la . Quants nom­bres de quatre x i fres (quatre l ín i es) hi ha en numeració mai a ? ( El s nombres que comenc i r.i per � també e l s cons iderem.)

Quants n 'h i ha que comenc in per ê ? Quants n ' h i ha s i no comptem e l s que comenc i n per � ?

d) Quants nombres de c i nc x i fres podem escr iure amb l es x i fres • ; • • ; • • • ; • • • • ? Quants tenen e l • en e l l loc de ls tuns?

E l sistema de numeració que hom utilitza actualment é s decimal i posi­cional i, bé que alguns historiadors situen el seu origen a la Xina, el més versemblant és que fou inventat pels indis i tran'smès a Europa pels àrabs. Per això és anomenat sistema de numeració indo-aràbic o simplement siste­ma de numeració decimal . L 'elecció del 10 com a base del sistema és total­ment arbitrària i sembla que és deguda al fet que l 'home té l O dits a les mans .

a) Quina et sembla que seria la base del s istema de nume rac ió de les ga l l i nes , s i en t inguess i n ?

b) Quants nombres de s i s x ifres hi ha al s i stema dec ima l que t i ngu i n totes l es x i fres i mpare l l es? l que les t i ngu in pare l l es? (No es comp­ten e l s que comenc in per O . )

e) l en e l s i stema de les ga l l i nes , quants nombres h i ha de s i s x ifres ?

d) Quants nombres de quatre x ifres de l s istema dec ima l acaben en O ? Quants són mú l t ip les de 5 ?

6 1

Actua lment, i sobretot en e l s processos ar i tmètics re lac ionats amb e ls ord inadors i amb la lòg ica e l ectròn ica , s 'empra e l s i stema b i nar i . Aquest s istema només té dos s ímbo ls O, 1 .

a ) Escr i u en s istema b i nar i e l s 20 pr i mers nombres de l s istema dec ima l .

b) Així , el nombre 1 00 h és el nombre : 1 + O . 2 + O . 22 + 1 . 23 = 9 de l s istema dec ima l . Esc r i u en s i stema dec ima l e l s nombres :

1 1 1 h

e) Escri u en notac ió b i nàr ia e ls nombres 1 978 ; 50 ; 223 ; 1 8 .

d ) Quants nombres de q uatre x i fres h i ha en s i stema b i nar i ? Quants tenen el O en el l loc de les quartenes? Quantes 1 ' 1 en el l loc de les vu itenes i e l O en e l l loc de l es quartenes?

Reso l e l s prob lemes f. 1 i f.2 en e l cas que l a s i tuació fos amb repo­s i c i ó (és a d i r , a l 'f. 1 que les com iss ions no treba l l i n a l hora i , per tant , u n mate ix a l umne es pot i ntegrar en més d 'una ; i a l 'f.2 que una mate ixa l letra es pugu i repeti r ) .

General ització

a ) Cons i de ra a ra e l cas genera l d ' un conjunt A = { a , , a : . . . . a- } de n e l ements i ca lcu l a quantes poss ib l es ordenacions de p e l e ments po­dem formar amb e l s e l ements d 'A en el ben entès que podem repet i r u n mateix e lement.

b) Cons iderem e l cas n = 2 i p = 5, és a d i r , considerem e l conj unt A = { a, , a2 } . Escri u l es poss ib l es ordenac ions de c inc e l ements amb e ls e lements d 'A . P rocura no de ixar-te 'n cap ; ca l . doncs , que ca lcu l is quantes n 'h i ha d 'haver i comprov is que h i són totes .

A cadascuna d'aquestes possibles ordenacions hom l'anomena variació amb repetició de 5 elements del conjunt A. I al nombre total d'aquestes ordenacions, el nombre de les variacions amb repetició de 2 elernents aga­fats de 5 en 5, i se simbolitza VR� . 62

En general, doncs , VR� serà el nombre de les variacions amb repetició de n elements agafats de p en p .

e) Completa l a igua ltat:

d) Ca lcu la VR2 • VR6 • VR3 • 7 ' 2 ) 3

VRP = n

3. COMBINACIONS SENSE REPETICIÓ

Abordarem tot seguit el tipus de problemes que corresponen a la situació sense reposició i sense tenir en compte l 'ordre.

•we• Entre quatre a l umnes que s 'han presentat corn a cand idats se n 'han

de tr iar dos corn a de l egats. De quantes maneres es pot fer?

Per reso l dre aquesta qüest ió segueix e ls passos següents :

a ) Cons idera que un fos e l de l egat i l 'a l tre e l sots-de l egat i , per tant, que i nfl u ís l 'ordre. Comp leta l 'arbre :

Delegat Sots-delegat Resultats possibles

b) Alguns de l s resu l tats trobats són i dènt ics pe l que fa a l a q üest ió p l a ntejada a l p rob lema . Agrupa ' l s .

e) Respon la qüest ió p lantejada .

d ) Repete i x e l p rob l ema en e l cas que e l nombre de cand i dats fos de c inc i e l nombre de de l egats de tres .

.. 63

Ten im 8 t ipus de l icors . Quants còcte l s podrem preparar fent-ne serv i r l a mate ixa quant itat de 4 cada vegada? Per trobar e l resu l tat segueix el camí següent :

a) Calcu l a-ho en e l cas de cons iderar l 'ordre ( no i ntent is escr iure tots e l s casos perquè és mo l t penós) .

b) F ixa't com pots agrupar les poss i b l es ordenac ions anter iors quan no cons ider is l 'ordre .

e) Qu in és e l resu ltat del p rob l ema? ( Recorda e l s i gn if icat d 'una d iv i s ió de nombres natura l s . )

d) Refés e l prob lema cons iderant 20 l i cors i fent-ne servi r 6 cada cop .

En una bossa h i ha dotze bo les numerades de 1 ' 1 a l 1 2 . En tra i em s i s a l hora .

a) De quantes maneres es pot fer aquesta extracció?

b ) De quantes maneres , però amb l a cond i c i ó que no n ' h i hag i cap que t i ngu i un nombre pare l l ?

e) l de quantes maneres , però amb l a cond i c i ó que no h i hag i cap nom­bre més pet it que 5 ?

64

mD a) I ntenta reso l d re e l cas genera l : s i ten i m e l conjunt A = { a, , a2, . . . an }

de n e l ements , quants poss i b l es subconjunts de p e lements podrem formar? Has de segu i r un procés sembl ant a l de l s prob l emes E.1 3 , f. 1 4 i f. 1 5 .

b) Considerem e l cas n = 5 , p = 3 , és a d i r , e l conjunt A = { a, , a2, 83, a,, as } . Escr i u tots e l s poss i b les subconjunts de 3 e lements d 'A . Fes serv i r un d i agrama en arbre, però t i ngues cura de no repet i r els resu l­tats . Un cop escr its comprova que no te n 'has de ixat cap.

Cadascun d'aquests subconjunts direm que és una combinació sense repe­::c·ió de 3 elements d'A. El nombre total l 'indicarem C� (combinacions sense

r¿ petició de 5 elements agafats de 3 en 3 ) .

En general, doncs, C� serà el nombre de combinacions de n elements aga·

:ats p en p.

e) Completa la igua ltat:

d) Calcu l a C�0 ; C�� ; C� CP = ----

n

4. EXERCICIS DE MANIPULACIÓ

En una c l asse de deu a l umnes , de quantes maneres se 'n poden esco­l l i r tres per ten i r cura de l a b i b l i oteca ?

Les proteïnes són pol ímers formats per l a un ió de d iversos am ino­àc ids . H i ha una g ran var ietat de p roteïnes d i ferents . S i admetem que h i ha 2 0 am inoàc ids d isti nts , q u i n serà e l nombre de proteïnes d isti ntes consti tuïdes per 50 am inoàc ids?

... Troba qu in és e l nombre de d i agona ls d 'un pol ígon de 1 0 costats .

Fes e l mateix per a un pol ígon de n costats .

65

--a)

b)

e)

d)

e )

Troba e l val o r de n que comple ix :

c2 = 1 90 n

C4 = Cª n n

C3 = 220 n

V3 = 90n n

V� vs 1 1 o

n

Resol e l s i stema d 'equac ions :

cv = cv+ i } x x

4 . cv = 5 . cv- l x

• x

Troba la suma de tots e l s nombres que es poden formar amb quatre de les xifres 1 , 2, 5, 7, 8, 9. Fes el mate ix si no es poden repet i r l es x i fres .

Un conjunt està format per dotze e lements d iferents : A = { ai , . . . 812 } . Es vo l formar u n a l tre conjunt B amb set d ' aquests e l ements, en e l s casos següents :

a ) B i nc lou l 'a i però no l 'a2. b) B i nc lou l 'a2 però no l 'ai .

e) B no i nc lou n i l 'a ; n i l 'a2 . d ) B no pot conte n i r a l ho ra l 'a i i l 'a2.

Quantes maneres poss ib l es d 'obte n i r B hi ha en cadascun de l s quatre casos anter iors?

66

Refés e l p rob l ema s i t inguéss im en compte_ l 'ordre de l s e l ements.

Ca lcu l a quants productes d i st ints de tres factors d iferents podem :ormar amb l es x i fres 1 , 2 , 3 , 4 i 5 .

Permutant de totes l e s maneres poss i b l es l es x i fres 1 1 1 223 e s formen d i st i nts nombres q u e ordenarem de més petit a més gran .

a l Quants nombres s 'obtenen?

b) Qu in ocupa e l l loc 50 en aquesta ordenac ió ? l e l l loc 23? l e l 3 1 ?

a )

b )

e )

d)

Cerca x E IN, ta i que :

2cx = 7cx- 1 2x 2x� 2

C' = cx+3 27 27

P, -- = 2 v3 5

1 sc2 + 24C3 = 1 25x x x

Quants nombres més g rans que un m i l ió es poden escr i u re amb l es x ifres O , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 4?

Quants nombres de set xifres es poden escr iure amb tres xifres pa­re l l s i quatre i mpare l l s d i st i ntes?

a) Sense que h i f igur i e l O . b) Amb e l O, però ma i a l p r imer l loc de l 'esquerra .

67

F

B inom i d e

N ewton

En aquest apartat, en primer lloc expressarem C� mitjançant factorials i després trobarem un procediment per a desenvolupar la potència d 'un bino­mi per a qualsevol exponent natural.

1 . NOMBRES COMBI NATORIS

A part i r de:

V� n (n - 1 ) . . . (n - p + 1 ) CP = -- = ----------n Pn p !

a) Demostra que C� també es pot expressar :

n ! CP = -----n (n - p) ! p !

A vegades els nombres C� hom els anomena nombres combinatoris i s 'in­diquen:

Així:

68

( ; ) ( n sobre p )

C� = ( p

n ) = __ n_! _

( n - p) ! p !

b) Calcu l a :

( �2 ) ( � ) ( � ) ( : )

Propietats dels nombres combinatoris

Demostra que :

a)

b)

e)

d)

Cº = 1 n

C" = 1 n cn-p = CP n n CP + ep- l = CP n- 1 n- 1 n

Triangle de Tartagl ia

Fent serv ir les re lacions anteriors exp l ica com podem obtenir e l triang l e n umèric de la dreta i compara e ls dos triangles següents :

( � ) ( � ) ( � )

( � ) ( � ) ( � ) ( � ) ( � ) ( � ) ( � )

2 3 3

4 6 4

69

Tartagl i a , nom amb el qual és conegut N ie- I saac N ewton ( 1 642- 1 72ï ) co lò Fontana ( 1 500- 1 557)

2. BINOMI DE NEWTON

Vol e m trobar e l desenvo lupament de (a + b) " , n E rN . Per fer-ho :

a ) Calcu l a (a + b ) 2 ; ( a + b ) 3 ; (a + b) 4 •

b) Compara e l s coefic i ents de ls d i fe rents termes , ordenats segons potènc ies d 'a , amb l es l ín i es del t r iang le de Tarta g l i a .

e ) E t semb la q u e l 'ana log ia é s genera l ?

d ) I ntenta escr i u re ( a + b) 7.

e) I ntenta escr iu re (a + b) " .

L'expressió que has obtingut s 'anomena fórmula del binomi .;'r: Sr::L·:oli . f ) I ntenta escr i u re (a - b) 7 i (a - b)4 •

a )

7 0

Emprant e l b i nomi de Newton desenvo l upa :

( 1 + x) 6 (2x - 3) 4

b) ( 1 - ; r IDJ

Ca lcu la e ls termes 25 i 35 de l desenvo lupament de l b i nom i :

( a + 3b) 82

Calcu la e l coefic i ent de l terme en x21 de l desenvo l upament de l b i nom i :

( x ) 1 5 x2 +

-

3

7 1

Prob l e m es d e

conso l idació

En una bossa h i ha tres sege l l s vermells , dos de grocs i c i nc de blancs. Quina és la probab i l itat que en agafar-ne tres s i g u i n :

a) De l mateix co lor .

b) Un de cada co lor .

e) Que només n 'h i hag i de dos colors d i ferents.

D 'un joc de 32 cartes se 'n treuen c inc . Quina és la probab i l itat que h i hag i :

a) Només un as .

b) Almenys dos.

e) Dos cors i tres d iamants.

d) Tres d 'u n color i les altres de l ' a ltre .

72

-Herència l l igada al sexe

A totes les cèl·lules hi ha dues sèries de cromosomes que formen parelles de cromosomes homòlegs . S'ha comprovat que una d'aquestes parelles és diferent en el sexe masculí i en el femení. Aquests dos cromosomes que poden ésser identificats per la forma i la grandària s 'anomenen cromosomes sexuals, mentre que les restants parelles idèntiques en el mascle i la femella s 'anomenen autosomes. A les femelles dels mamífers els cromosomes sexuals són idèntics i es coneixen com a cromosomes X, però en els mascles la parella de cromosomes sexuals és formada per un cromosoma X semblant al de les femelles i per un altre molt més petit anomenat cromosoma Y. Per tant, les femelles ( !:¡? signe de Venus) vénen caracteritzades per la presència dels cromosomes XX, mentre que els mascles ( ó signe de Mart) pels cromo­somes XY.

a ) Prova q ue l 'anomenat quoc i ent sexua l , és a d i r l a re lac ió entre e l nombre de masc l es i femel les que ne ixen , és aprox i madament 1 .

b) E ls cromosomes X, i gua l que e l s autosomes , són portadors de gens , e n canv i e l cromosoma Y genèt i cament s 'ha comprovat que és ga i ­rebé bu i t . A ix í , tots e l s gens recess ius s i tuats a l cromosoma X es comporten a l ' herènc ia l l i gats a l sexe , perquè en les feme l l es e l seu efecte pot quedar em mascarat pe l gen domi nant s i tuat a l 'a l tre cro­mosoma X; però en e l s masc les sem pre quèdarà pa lès en el fenot ip , ja que l 'ú n i c cromosoma X que tenen no en té cap d ' homòleg en què pugu i s i tuar-se e l gen dominant .

U n dels casos més coneguts d 'herènc ia l l i gada a l sexe és l a ma la l t i a a nomenada hemofília , caracter i tzada per l a fa lta de coagu l ab i l i tat de l a sang . Aquesta ma la l t ia l a pate ixen habitua l ment e l s homes . però l a transmeten l e s dones.

Per comprendre e l mecan isme de transmiss ió , representa per X el c romosoma portador de l gen recess i u portador de l 'hemofí l i a , i su­posa que una pa re l l a és formada per una dona portadora que no ma­n i festa la ma l a lt ia i un home sa . Qu ins seran els poss ib les resu l tats que es donaran a l a descendènc ia ? Qu i na és la probab i l i tat que un fi l l masc le s i gu i norma l ? l que s i qu i hemofí l i c ?

e ) U n altre d e l s caràcters pato lòg ics l l i gats a l sexe é s e l daltonisme, que depèn d 'un gen recess iu s i tuat a l cromosoma X. Suposa que una dona de v is ió norma l però de pare da l tòn ic es casa amb un home de

73

v is ió norma l . Qu in t ipus de v is ió t i ndrà l a descendènc i a ? Qu i na és l a probab i l itat que les fi l l es s i gu i n portadores de l a ma la l t i a ?

d ) Suposem, ara , q u e u n a dona porta e n u n d e l s seus cromosomes X un gen letal (que prod ue ix l a mort) recess i u i en l 'a ltre e l domi nant normal . Qu i na és la proporc ió de sexes a la descendència d 'aquesta dona si el pare és un home norma l ?

Dos am ics A i B juguen a cara o creu de l a manera següent : t i ren l a moneda s i s vegades ; A guanya s i su rten una , dues o tres cares ; en e l s a l tres casos guanya B. Qu in de ls dos am ics té avantatge? (Sugger i ment : comença ca l cu lant l a probab i l i tat que surti n 1 cara i 5 creus ; 2 cares i 4 creus ; 3 cares i 3 creus . )

Per a les famí l ies de c inc fi l l s consi derem e l s esdeven i ments : A (els dos sexes hi són representats) i B (com a màxim hi ha una filla) .

a) E ls esdeven iments A i B són i ncompat ib les?

b) I ntuït ivament et sembla que A i B són independents ?

e) Comprova-ho ana l ít i cament .

Fes e l prob lema bo i donant per suposat que e ls sexes són equipro­bables.

Recorda que en el prob lema B .25 havies determi nat e l s g rups san­g u i n i s a l 'espèc ie humana .

a) Completa l a tau l a

Fenotips A B AB o Genotips

74

b) Tracta d 'esbri nar , en e ls casos següents , s i cadascun de ls presump­tes pares va poder ser-ho rea lment.

1 2 3 4

Mare AB o A A

Fill B A AB AB

Presumpte pare A o o A

En q u i ns casos h i ha certesa absol uta de no ser-ho?

c) Una pare l l a té dos fi l l s , l 'un de l grup O i l 'a l tre de l grup AB. Qu ina és la probab i l itat que e l tercer fi l l s igu i de l g rup 8?

En u n curs de 34 a l umnes s 'han format tres comiss ions A , B , C. Cada a l umne pertany a l menys a una comiss ió , però n ' h i ha que pertanyen a més d 'una . Així : A té 1 2 a l umnes ; B en té 13 i C en té 1 5 ; B i C tenen 3 a l u m­nes en com ú ; A i B en tenen 3 , i A i C en tenen 2 .

a) Quants a l umnes pertanyen a l es tres com iss ions a l hora ? ( Empra e l s d iagrames de Venn. )

b) Qu i na és la probab i l itat que un a l umne de la comiss ió A també ho s igu i de l a B?

c) l que un de l a B també ho s igu i de l 'A ?

L 'ast igmatisme depèn d 'un gen dominant S . S i e l s pares són heterozi­gòtics per a aquest caràcter , ca lc u l a la probab i l itat que :

a ) De c i nc fi l l s només u n s igu i de v is ió norma l .

b ) D e c inc , 3 s i gu i n norma ls i 2 ast igmàt ics .

c) De c inc , e l s 3 pr i mers s igu in norma ls i e l s a l tres 2 ast igmàt ics .

Variacions amb repetició

a) Donats els conjunts A = { 1 , 2 , 3, 4, 5 } i B = { a, b, e } , quantes pos­s i b l es aplicacions (funcions) es poden estab l i r entre A i B?

7 5

b) l entre C = { x, y, z} i D = { ix , � . y, 8 , E , TJ } ?

e ) l s i A i B són dos conjunts qua lssevol a m b n (A ) = p i n ( 8 ) = n ?

En el cas particular que A = { l , 2 , 3 , . . . p } cada una d 'aquestes aplica­cions direm que és una successió de p elements de B. Per exemple a l 'apar­tat a) , l 'aplicació

1 -� a

2 b

3 C

4 a

5 C

direm que és una successió de cinc elements de B i hom acostuma a escriure només el conjunt imatge :

a b c a c

Però aquesta successió no és més que una variació amb repetició de cinc elements de B = { a, b, e } .

d) Escr iu amb l a notac ió func iona l a l tres var iac ions amb repet ic ió de c i nc e lements de B .

Variacions sense repetició

l Recorda que una aplicació injectiva és una aplicació tal que cada element del conjunt d 'arribada té pel cap alt una antiimatge.

a) Donats e l s conjunts A = { 1 , 2 , 3 } i B = { a, b, e, d, e } , quantes pos-s ib les ap l i cac iones i njectives podem estab l i r ?

b ) l entre C = { ix , � . y , 8 , E } i D = { 3 , 5 , 7 , 9 , 1 1 , 1 3 } ?

e) l entre dos conjunts A i B ta l s que n (A ) = p i n (8) = n amb p � n?

d ) Què passar i a s i p > n ?

e ) E n e l cas part i cu l a r q u e A = { 1 , 2 , 3 , . . . p } , fes l e s mateixes consi ­derac ions que per a les var iac ions amb repet ic ió .

76

Permutacions

Recorda que una aplicació exhaustiva és una aplicació tal que cada ele­ment del conjunt d'arribada té pel cap baix una antiimatge ; i que una aplica­ció és bijectiva si és alhora injectiva i exhaustiva.

al Donats e ls conj unts A = { a , b , e } i B = { 1 , 2, 3 } , quantes poss i b l es b ijecc ions es poden formar?

b) l per a dos conjunts qua l ssevol A i B ta ls que n [A l = n [B) = n ?

cl Ouè passa s i n (A ) � n (Bl ?

dl En e l cas particu l ar que A = { 1 , 2 , 3 , . . . n } fes les mateixes consi­der¡:¡c ions que en e ls dos casos anter iors .

Combinacions

a) Donat e l conjunt A = { a, � . y , 8 , e: , 1J } , quants subconju nts de q uatre e l ements podem obten i r ?

bl Permutant e l s e lements d 'un d 'aquests subconjunts , quantes possi­b l es ordenacions pots aconsegu i r ? l s i ho fas amb tots els subcon­j unts ? Ten int en compte aquest resu l tat completa :

V = P · C

c) Consi derem u n conju nt A qua lsevol de n elements. Q uants sub con­j u nts de p e lements podem obten i r ?

dl Fes un raonament semblant a l de b) per j ustifi car l a igua l tat

V� = PP . C�

Ten int en compte l es dades de l prob lema C.2, s i t r iem un i nd iv idu d 'aquesta zona a l 'atzar , ca lcu la les probab i l itats següents :

a) Sabent que l 'home tr iat és fumador , qu i na és l a probab i l itat que t in­gu i càncer de pu lmó? l s i no n 'és?

b) Sabent que l 'home tr iat té càncer de pu l mó , qu ina és l a probab i l i tat que s igu i fumador? l que no ho s i g u i ?

77

e) ¿ E l s esdeven i ments « fumador» i « càncer de pulmó " , e l s podem con­s i derar com esdeven i ments i ndependents ?

En encreuar dues mosques negres s 'ha obt i ngut una descendènc ia formada per 2 1 6 mosques negres i 72 de b l anques. Qu in és e l genot i p de les mosques de l a generac ió paterna i e l de l a descendènc ia obti nguda ?

Una b i b l i oteca compra actua l ment dues pub l i cac ions A i· B sobre e l mateix tema . La D i recc ió manté les normes següents respecte a les subscripc ions . S i l a revista A és consu ltada encara no pel 20 per cent de ls l ectors , de ixarà de comprar- l a . Això mate ix farà amb la B. S i més de l 50 per cent consu l ta A i B , se n 'ha de comprar una a l tra de s i m i l a r .

Es vo l saber s i s 'ha de desnonar a l guna de les revi stes o fe r una nova subscr ipc ió . Per fer-ho es cons ideren l es dades següents :

Nombre mitjà de persones que freqüenten diàriament la biblioteca 1 025

Persones que llegeixen A o B 860

Persones que llegeixen només A 285

Persones que llegeixen només B 445

a) Comp leta la tau l a següent

A

A *

B B *

b) Contesta la qüestió del prob lema .

e) Qu ina és la proba b i l itat que una persona l l ege ix i l es dues revi stes ?

d) S i una persona l l ege ix l a revista A, qu i na probab i l i tat h i ha que l l e­geix i l a B?

e ) Quina probab i l itat h i ha que no l l egeix i cap de l es d ues?

78

Una pare l l a és formada per una dona norma l de pare da ltòn ic i un home da l tòn ic .

a ) Qu i na és l a probabi l i tat que e l p r imer fi l l d 'aquesta pare l l a s i gu i un nen da l tòn i c ?

b) Qu i na és l a probabi l i tat que l es fi l l es s i gu i n da l tòn iques?

e ) Qu ina és l a probab i l i tat que e ls f i l l s s i gu i n norma l s ?

E n u n a casa de veïns h i ha dues esca les , a cadascuna de l es qua ls h i ha 1 2 p isos . Han d 'e l eg i r un pres ident , un sots-pres ident i un secretari .

a) De quantes maneres es pot fer l 'e lecc i ó ?

b) l si e l pres i dent i el sots-pres i dent han d 'ésser d 'esca l es d i ferents?

e) Qu ina és l a probabi l i tat que una determ i nada persona s igu i e l eg i da pres ident?

d) l que obti ngu i un qua lsevo l de l s tres càrrecs?

U n d i spos iti u per a transmetre senya ls és constituït per quatre astes en l ín i a recta . E l s senya ls consisteixen en la col·l ocac ió de banderes de d i ferents co lors ·a les esmentades astes . Segons el nombre de banderes col·locades , e ls co lors i e l l loc , e l senya l serà d i ferent. Troba e l nombre de senya l s que podem transmetre s i d i sposem de 7 banderes amb e l s co lors de l 'arc de Sant Martí , ten i nt en compte que a cada asta només es pot posar una bandera .

79

E ls p i gments negre i groc de l pè l de ls gats són regu l ats segons sem­bla per un pare l l d 'a l·l e l s l l igats a l sexe de tal manera que l 'heteroz igot és el gat que té el pèl a àrees neg res i g rogues .

E ls genotips que es prod u i ran seran per tant :

Femelles Mascles

NN negres N - negre

Nn clapades n - groc

nn grogues

( E l s i gne - correspon al cromosoma Y. )

Una gata neg ra té una ventrada de 7 gatets : t res masc les neg res , una feme l l a neg ra i tres de c l apades. Comenta l a poss i b l e paternitat d 'aquesta ventrada .

En un examen en forma de test h i ha 20 qüest ions que s 'han de con­testar Sí o No. Per a aprovar cal que hom en respongu i correcta ment a l ­menys 1 O .

a) Qu ina és l a proba b i l i tat que un estud iant que no sàp iga res de la matèr ia n 'endev i n i 5?

b) Quina és l a probab i l i tat que no n 'encert i més de 8?

e) l l a d 'aprovar l 'examen?

d ) Qu in és e l va lo r de n més petit t a l que l a probab i l itat d 'encertar-ne n pe l cap ba ix és més pet i ta que 1 /2?

Arran d 'una sèr ie de tests ap l icats a un cert t ipus de coet s 'ha pogut determinar que aproxi madament en un 5 per cent de les proves es pro­d u i rà un ma l func ionament que e l farà fracassar. Qu i na és la proba­b i l i tat que en deu p roves h i hag i a lmenys una fa l lada?

80

E ls raves poden ésser allargats, arrodonits i ovalats. Encreuant p l an­tes a l largades amb arrodonides s 'obtenen p l antes ova l ades . L'encreua­ment de dues p lantes ova l ades n 'ha donat 1 28 d 'arrodonides , 1 28 d 'a l l ar­gades i 256 d 'ova l ades. Exp l ica com són e l s genot ips de les p lantes

a l la rgades, arrodon ides i ova lades , i representa l 'encreuament de les dues p lantes ova l ades .

Arbres genealògics

Un arbre genealògic és un conjunt d'individus emparentats . Les genea­logies serveixen per a identificar els caràcters hereditaris i per a deduir la forma d'herència . S'empra un quadrat per a designar un individu del sexe masculí i un cercle per als del sexe femení. Si un individu és afectat per un caràcter es marca el seu signe amb un color . El conjunt d'individus que tenen els mateixos pares s'anomena pàtria, el més gran es posa a l'esquerra i així succesivament .

a ) Cons iderant l 'arbre genealòg ic

8 1

estud ia s i e l ca ràcter cons iderat és domi nant o recess iu i dedue ix-ne e l genot ip de cada i nd iv i du . ( H as de fer h i pòtes is sobre els genotips dels i nd iv idus i veure s i l 'arbre e ls confi rma o no . )

b) Construeix e l teu arbre genea lòg i c per a un caràcter determinat ( per exemple cabe l l s foscos o cabe l ls rossos ; cabe l l s l l i sos o cabe l l s arr issats ; u l l s foscos o u l l s c l a rs , etc . ) i comprova s i e l caràcter és domi nant o recess iu .

Les dues genea log ies següents es refereixen a l daltonisme.

a) Quina és l 'evi dènc ia per dec i d i r s i l 'a l·l e l del da lton isme és domi nant o recess i u ?

b) l per dec i d i r s i està l l i gat a l sexe?

82

Una emissora de ràd i o d i sposa de 6 programes per a cobr i r l es dues hores de programac ió d 'aud iènc ia màx i m a . Dos d 'aquests prog rames tenen una du rada d 'una hora i e ls a l tres de 30 mi nuts . Un dels programes de 30 m i n uts és patroc i nat per una marca comerc i a l X.

a) De quantes maneres pot prog ramar l 'em issora l es dues hores em-· prant-ne un d ' una hora i dos de 30 m i nuts?

b ) S i totes l e s prog ramac ions poss i b l es de l 'apartat a ) són equ i p roba­b les , q u i na és la probab i l i tat que e l programa patroc i nat per X s i gu i e mè s ?

e) De quantes man eres pot prog ramar l 'em issora l es dues hores a par­t i r de l s 6 programes?

d ) S i totes l es programacions de e ) són equ i probab l es , qu i na és l a p ro­bab i l i tat que el programa patroc i nat per X s igu i emès?

e) La companyia X és afavor ida s i l a cadena cobre ix l es dues hores amb 4 programes de 30 m i nuts o l i és més avantatj ós un programa d 'una hora i dos de 30 m i nuts? Justif ica l a resposta .

En una u n i vers i tat s 'ha fet una enquesta sobre e ls a l u m nes de pr imer c urs d 'una facu l tat per dec i d i r sobre dos t ipus d 'horar is A i 8 . E l s resu l ­tats han estat: 590 vots per A , 450 per B , 1 60 han refusat A i B , i 200 ac­cepten tots dos . A més se sap que de l es 400 dones , 1 1 0 han votat per l 'horar i A i d 'entre aquestes 90 han refusat e l B . E l nombre d 'homes és de 600.

Tri em una persona a l 'atzar i n 'enreg i strem e l sexe i la forma de votar .

a) Ouin és l 'espa i mostra l d 'aquesta exper iènc i a ?

b ) C a l c u l a l a p robab i l i tat d e l s esdeven i ments següents :

S1 : l a persona tr iada és un home

S2 : l a persona tr iada és una dona

S3 : ha votat per tots dos horar is

S4 : ha votat per A i ha refusat B

Ss: ha refusat A i ha votat per B

S6: ha refusat tots dos horar i s .

83

e ) Comp l eta l a tau l a de p roba b i l itat següent :

d ) Afege ix només una i nfo rmac ió que et permet i compl etar l a tau la anter io r .

Una urna conté 1 0 bo les b l anques i 7 de negres . En tra i e m dues a l hora . Es demana :

a) Qu ina és l a probab i l i tat que l es dues s i g u i n de d i f e rents co lors?

b ) l que les dues s i g u i n b lanques?

e) l que s i g u i n negres?

d) S i cons i de rem la pregunta a ) , q u i n és l 'esdeven i ment contra r i ? Qu i na n 'és l a probab i l itat? E l s resu l tats de l es pregu ntes b ) i e ) pode n ésser contro l ats?

Un home assegu rava ten i r una va reta amb l a qua l pod ia loca l itzar jac i ­ments de petro l i . Per posar- lo a prova fou col· locat e n una hab i tac i ó on h i hav ia 1 0 barr i l s . Se l i d i gué que 5 conte n i e n petrol i i e l a l tres 5 a igua . Hav ia de dete rm ina r qu ins conten i en petro l i .

a) Q u i na és l a p roba b i l itat que loca l itzés e l s 5 bar r i l s només per l 'atza r ?

b) l que en loca l itzés a lmenys 3?

84

Podem esquematitzar un canal de comunicació binari mi tj ançant l 'es­quema:

x Pertorbador ' y '" Entrada aleatori

E ls s ímbols X i Y poden prendre un estat O o un estat 1 . El pertor­bador pot convert i r una entrada 1 en una sort ida O o una entrada O en una sort ida 1 .

Caracter izarem e l canal probab i l íst i cament pe ls nombres :

p [ Y = O l X = O ] = qo

p [ Y = 1 l X = O ] = Po

p [ Y = 1 l X = 1 J = qi

p[Y = O l X = 1 J = pi

a) Comprova que Po + qo i Pi + qi va len 1 .

b) És costu m representar un canal m itjançant un d i agram a :

Po

Entrada Sortida

L'observador de l cana l de sort ida només pot l l eg i r e l s val ors O, 1 de l s ímbol Y de sort i da . Per ava luar aquests símbo l s haurà de determinar les probabi l i tats :

p [ X = 1 l Y = 1 ]

p [X = O l Y = 1 J

p [X = 1 l Y = O ]

p [ X = O i Y = O]

Per a a ixò necess ita les probab i l i tats de l 'entrada . Suposem que són :

p [X = O ] = Tto p[X = 1 J = Tt1

Determ i n a d 'antuvi p [ Y = O ] i p [ Y = 1 J en fu nc ió de les probabi­l itats de l 'entrada Tt o , Tt 1 i les probab i l i tats de trans ic ió pa, qo, p1 , qi .

8 5

Un cop ca lcu l ats aquests va lors , j a pots ca lcu l ar les quatre proba­b i l i tats cond ic iona ls demanades.

A l 'home, l a fa lta de p igmentac ió (albinisme) és una anom a l i a que es transmet m i tjançant un gen recess i u l l i gat a l sexe. Suposem que e ls dos progen i tors són norma ls i tenen un fi l l a l b í .

a) Quin és e l genot ip de cada progen itor?

b) Busca tots els poss i b les fenot ips i genot ips que poden engendrar .

e) Quina és l a proba b i l itat de ten i r un fi l l a l b í ?

d) Qu ina és l a probab i l i tat que s i e l pr imer fi l l ha estat a lb í , e l segon també ho s i gu i ?

e) Qu ina és la probab i l i tat que e l segon fi l l s i gu i norm a l ?

E n un c u l t i u e s van obten i r 556 pèso ls q u e s 'han c l ass if icat segons e l color de la pel l , verd o groc, i segons l a forma llisa o rugosa. Els resu l ­tats són :

Pell 11 is a i groga

Pell llisa i verda

Pell rugosa i groga

Pell rugosa i verda

3 1 5

1 08

1 0 1

32

a) Compara aquestes observac ions amb els resu l tats teò r ics que s 'ha­vien d 'haver obt ingut segons e l model matemàtic j a estud i at en el prob lema B.23 .

b) Qu ina és la probab i l i tat que en tr i a r-ne un a l 'atzar s igu i verd ? l la poss i b i l i tat que , sabent que és verd , s igu i rugós?

S 'agafen quatre peces d 'un lot de 1 00 fabr i cades per una mate ixa màqu ina .

a) De quantes maneres es poden agafar?

b) S i sabem que n 'h i ha 1 0 de defectuoses, qu i na és l a probab i l itat que :

86

• Totes quatre s i gu i n bones .

• Al menys una s i gu i defectuosa .

• Només una s i gu i defectuosa .

U n escr i ptor presenta un l l i b re a dos ed i tors A i B. Suposem que la p roba b i l itat que A accepti e l l l i b re és 0 , 5 , que l a p robab i l i tat que B e l refus i és 0 ,6 i que l a proba b i l i tat que s i gu i refusat a l menys per un de ls dos ed itors és 0 , 7 . Ca lcu l a :

a ) Qu ina és l a proba b i l i tat que e l s dos ed itors A i B accept i n e l l l i bre?

b) l que e l refu s i n ?

e ) l q u e a l menys un de ls dos l 'accept i ?

Encreuem una papa l l ona d 'ales grises amb una d 'ales negres. Obten im una descendènc i a formada pe r 1 1 5 papa l lones d 'a les negres i 1 1 5 d 'a l es gr ises . S i l a papa l l ona d 'ales grises s 'encreua amb una d 'ales blanques s 'obtenen 94 d 'a l es b l anques i 94 d 'a l es gr ises . Raona ambdós encreua­me nts i i nd i ca qu i ns són els genot ips de les papa l l ones que s 'han en­creuat i de l a descendènc ia .

En una bossa h i ha c i nc bo les numerades de 1 ' 1 a l 5 . Ca lcu l a :

a ) Probab i l itat q u e , en treure dues bo les , s i g u i n de d j st i nta par itat .

b) Que s i gu i n de l a mate ixa par i tat

87

e) Probab i l itat que , en treure dues bo les deu vegades seg u i des , i tornar­ies després de cada extracc ió , s 'obt ingu in a l ternativament d ' i gua l par itat i de d i stinta paritat.

d) Probab i l i tat que , en deu extracc ions , c inc s i g u i n de d ist inta par itat.

e) S i tra iem una bo la , l a tornem a l a bossa , i després en tra iem una a l tra probab i l i tat que la x i fra de l a segona s i gu i super ior que la de l a pr i mera .

Considere m e l c i rcu i t de l a figura . Ind iquem per A , B, A * i B * e l s esde­ven iments que e l s i nterruptors A i B esti g u i n tancats o oberts, respec­t ivament.

� o 1

� 2

o A B

� A'* B* 3

Suposem que A i B són i ndependents en probab i l itat i que p ( A ) = = p (B) = 0 ,5 . S i C1, C2, C3 són e l s esdeven i ments que h i hag i un camí tancat des de l punt O a 1 , de l O a l 2 , i de l O a l 3 , respect ivament:

a) Determ ina C1, C2, C3 mitjançant A , B, A* i B * .

b) Calcu l a p (Ci ) , p (C2) i p (C3) . e) Comprova que C1 , C2 i C3 són i ndependents dos a dos.

d) Comprova que C1, C2 i C3 no són i ndependents quan e ls consi derem tots tres a l hora .

88

Cons i derem , ara , e l c i rcu i t :

�-------'O 1

�-------<l � 2

o r>-------4

A D

-------'' � A* 3

Suposem que p (A ) == p (8) == p ( D ) = 0 ,5 i que són i ndependents dos a dos.

e) Demostra que p [ C, íl C2 íl C3] = p[C 1 ] · p[ C2] · p[ C3] , però que C,, C2 i C3 no són i ndependents dos a dos .

A ls Estats U n i ts , l a morta l i tat e l 1 975 fou de 1 .928 .000. Les causes d 'a­questes morts es poden agrupar :

Malalties arterials .

Càncer .

Accidents

Malalties respiratòries .

A ltres causes .

874.000

336 .000

1 1 5 .000

1 1 3 .000

490 .000

a) Calcu l a e l tant per cent corresponent a cadascuna d 'aquestes causes .

b ) S i suposem que aquests percentatges s 'han manti ngut aproximada­ment f ins enguany , qu i na és l a proba b i l i tat que una persona als EUA mor i de càncer? l d 'un acc ident?

e) Sabent que una persona el 1 975 no va mor i r d 'acci dent , qu ina és l a probab i l i tat que mo r i d 'una ma la l t i a respi ratòri a ? l d 'una ma la l t i a a rter i a l ?

89

d ) Qu ina és l a probab i l i tat que mo r i d 'una de l es ma lat ies exp l i c itades a l a tau l a però no de càncer?

Considerem una roda amb una molt pet ita però no nu l·l a força de fr ic­c i ó . Hem fet u n senyal a l a part super ior de l a roda i l 'hem feta g i rar . La pos ic ió f ina l de l senyal respecte a l a pos i c ió i n i c i a l ve donat per l 'ang le que formen aquestes pos i c ions ta l com s ' i nd i ca a l a f igura :

Posic ió i nicial del senyal --....

�.....-----

e

Oº � e � 360º

Posi c i ó f i na l � del senyal

Com a resu ltat de moltes exper iènc ies sembla raonab le suposar que :

b - a p[a � e � b J = ---

360

és a d i r , la probab i l i tat que e estigu i comprés entre a i b és la d i ferènc ia d iv id ida per 360º .

a) Calcu l ar p [ Oº � 8 � 90º] i p [ 1 80º � 8 � 270º ]

b ) Calcu lar p[8 = Oº] i p [ 8 -=;6- Oº]

e) Si A i 8 són e l s esdeven iments

A = { e l 0° � e � 45º } 8 = { e l 45º � e � 1 80° }

• Determ inar e l s esdeven i ments A U 8 i A n 8.

90

e Calcu lar p (A ) , p (8) , p [A U 8) i p (A íl 8) i provar que , en aquest cas, p (A U 8) = p (A) + p (8) .

TR EBALL DE COM BINATÒRIA ------------

Defi ne ix i troba e l nombre de :

• Variac ions sense repet ic ió .

• Permutac ions .

• Var iac ions amb repet ic ió .

• Combinac ions sense repet ic ió .

• Re lac ió entre VP , P" i CP . n n

Nombres combi nator i s . Propi etats .

- Tr iang l e de Tartag l i a .

- B i nomi d e Newton .

9 1

H

Estad ística

d escriptiva

A l 'apartat C havíem vist que per poder fer prediccions , pel que fa a esdeveniments d 'experiències aleatòries en les quals els resultats possibles no són mútuament simètrir:s , és necessari conèixer com s 'han componat en múltiples ocasions anteriors o bé poder repetir l 'experiència un nombre molt gran de vegades en condicions uniformes . I aquest és precisament el sentit de l 'Estadística Descriptiva .

En termes generals podem dir que, amb l 'Estadística DescriptÍYa, hom persegueix dos objectius fonamentals :

• Donar mitjançant un nombre limitat de característiques ( nombres ) una descripció simple i tan completa com sigui possible d 'un conjunt (pobla­ció) d'elements (individus) considerats sota un caràcter determinat .

• Interpretar les característiques a fi de treure conclusions pel que fa a les propietats del conjunt estudiat.

1 . DISTRIBUCIONS EST ADíSTIOUES. GRÀFICS

D'antuvi veurem de quina manera hom pot presentar i disposar les dades, que porten la informació sobre la població que volem estudiar, considerada sota un determinat caràcter , en forma de taules i gràfics , per a tenir-ne una visualizació tan clara i breu com sigui possible.

92

mm Tots haureu v ist a lguna vegada , en d ia r i s o rev istes, a l l ò que s 'ano­

mena u n sonde ig d 'op i n i ó , com e l que apare ix ia a l d ia r i El País e l 1 2 de j u ny de 1 977 , tres d ies abans de les p r imeres e lecc ions democràtiques fetes a l 'Estat espanyol després de més de quaranta anys. A la presen­tac ió es pod ia l l eg i r : « Sondeig polític, realitzat amb 15 .875 entrevistes, del total de la població. La mostra és estadísticament representativa de cada província, a nivell de sexe, edat, classe social i nombre d 'habitants de les ciutats » . E ls resu l tats que presentava eren e l s següents :

Percen tatge de vots

Dis tr i buc i ó d' escons E E 1 ECl

ESC 2

PSP FPS 11 / , ! \�l'!Y._ _AS_Q_1 _ _/ . \_U_Qf_

POC 10 J

u c o

25 AP

Al gràfi c de l ' esquerra presen tem els percentatges d1 inten ­ció de vot ca p a cada opció electoral en el Congré s . El percentatge refer it a al t res opcions no es detal la a fi de no fer i l·leg i ble aquest esquema , donada l ' al to d i s persió de part i ts i de coal ic ions que i n c lou . A l g ràf i c si t uat sobre aq uestes rat l les queda ref lect í da l a d is tr ibució d 'escons. un cop apl i cada la l le i d ' Hond t . ( Expl icació de s ig les a les pàg ines següents ).

93

Per a Cata l unya es donaven les tau l es següents :

BARCELONA GIRONA 33 DIPUTATS 4 SENADORS S D I PUTA T S 4 SENADORS

1º PSOE PSUC UCO PSOE

No votaran 2.3

AP AP FOC 1 .3 FOC 1 . 3 2 .6 PSUC 12.5 15.8 8 PSUC 9.5 1 1 . 2

PSOE-PSC 13.3 1 9.1 9 PSOE-PSC 12.9 1 9.0

PSP FPS o.s 1 .5 PSP FPS 4.7 6.7

u c o 7.6 1 0.9 s u c o 1 2.2 20.8 2 POC 1 1 .2 1 5.8 8 POC 6.4 1 4.1 1 E C 1.7 ? LLI GA CAT. 1.7 f ? J ALT R ES 2.7 ? ALTRES 1.0 l '? l No saben quina opci ó votaran 40.5 No saben quina o pc i ó votaran l ? l S E NAT NS/ NC 66.7 Xirinachs (14.6), Candel l 9.8) , Ciri c i Pel li ce r l 9.4l . Benet ( 7. 8)

S E NAT N S / NC 68.9 . Sob r e q u� s C a l licó ( 1 7 l, SunyerAymerich (16.7] 1 Portabe\la Ràtols 1 15.6) Juvé Acero l & .1 l

LLE I DA TARRAGONA 4 D l PUTATS 4 S E NADORS S Dl PUTATS 4 SENADORS

,.....-����-, 177'.T?";'/7-rTTTTT.7/71 1° 2º 1º

PSOE PSUC PSOE

AP AP FOC 1 .4 1. 7 F OC

PSUC 11 .8 1 3.7 PSUC

PSOE 10.8 1 7.4 PSOE

E C 9.4 1 1. 1 FUT

u c o 9 .4 1 3.3 u c o POC 5. 4 8.7 P OC CAN TREB 1 . 4 l '? l E C

1.7 4.0

9.7 1 2.7 l 10.1 1 7.8

0.6 1.8

7.9 1 5 .3 3.1 16 .0 3 .1 (? l

'2° u c o

2

No saben quina opció votaran 36.4 No saben quina opció votaran 57. 8 SE NAT NS/NC 56.8 S E NAT N S / NC 73.8 Soler Sabarí s (22.1 ) , Au det ( 1 9.5 l Subirats l 15.6 ) . Baixeras 1 15.3) Bal l Armer o l l 18.1 ) , Montaña ( 10.S l Mar t í 1 14.6 1 , Rosell 1 4.5 )

A l a pr imera co lumna de l es tau l es anter iors h i ha e l percentatge de vots ja decidits per a cada opc ió . A l a segona co lumna es donen e l s per­centatges dels indecisos que declaren llur tendència política. A l a tercera co lumna hi ha e l cà lcu l d 'escons que, segons l a l l e i d 'Hondt , correspon­d r ien a cada opc ió , suposada una votac i ó i gua l a l percentatge de vots ja dec id its més el percentatge d ' i ndecisos que mostren la tendència vers l 'opció corresponent, és a d i r , e l percentatge de la segona co lumna .

A les e lecc ions de l 1 5-J e ls resu l tats a Cata l unya van ésser :

Barcelona Girona Lleida Tarragona Catalunya

PSC- Percentatge PSOE de vots 30 ,4 24,2 1 4 ,7 23 ,3 28 ,4

Escons 1 1 2 1 1 1 5

Percentatge PDC de vots 1 5 ,5 26 ,8 24, 1 1 4,4 1 6 ,8

Escons 6 2 2 1 1 1

l Percentatge

PSUC de vots 1 9 ,8 9 ,9 1 2 ,0 1 6 , 1 1 8 ,2 l ! Escons 7 - - 1 8 i

Percentatge UCD de vots 1 5 1 8 24 26 1 6 ,8

Escons 5 1 1 2 9

l U DC- Percentatge l l ec de vots 5 ,4 5 ,3 9 ,3 5 ,5 5 ,6 l

Escons 2 - - - 2

Percentatge EC de vots 4,6 2 ,5 7 ,5 4 , 2 4 ,5

Escons 1 - - - 1

Percentatge AP de vots 3 , 1 3 ,2 5 ,3 5 ,9 3 ,5

Escons 1 - - - 1

Percentatge Altres de vots 4 ,8 8 ,0 1 ,4 1 ,6 4 ,6

Escons - - - - o

95

La part íc ipac ió va ésser de l 79 ,3 per cent.

a) Quin creus que és e l s i gn i ficat de parau l es com població, mostra. o de la frase « la mostra és estadístícament representativa » que pots l leg i r a la p resentac ió de l sonde i g ? Què creus que es d i u en aquesta presentac ió?

b ) Qu in és l 'aspecte de l a pob lac ió que s 'estud ia en aquest sonde ig? Qu i ns va l ors pot agafar?

e) I nterpreta e l s d i ferents g ràfics i e l s nombres que apareixen a l es tau l es .

d) Compara e l s resu l tats amb e l s que rea l ment es van obten i r a Cata­l unya .

e) Fes un gràfic semb l ant a l de l sonde ig per a ls resu l tats rea ls que es van prod u i r a Cata l u nya. ¿ Et semb la j usta l a forma corn es d i str i ­bue ixen e ls escons segons l a l l e i d 'Hondt?

f) ¿ Creus que la pub l icac ió d 'un sonde ig com aquest pot fe r canv i a r o dec id i r e l vot d 'a l gunes persones?

g) Hi ha exem p l es on e l s sondeigs han donat guanyador a po l ít ics que després han resu l tat derrotats . Qu i na creus que en pot ésser l a

· causa ?

Segons una enquesta real i tzada sobre una mostra de persones casa­des, apareguda en el l l i bre Estudi sociològic sobre la situació social a Espanya en 1975 l 'op i n i ó sobre e l nombre ideal de fills, segons els ingres­sos de cadascú, era la que i nd i ca la tau l a de la pàg ina següent .

96

Nivell d 'ingressos mensuals Nombre ideal Fins a de 4.500 de 10.500 de 14.500 de 20. 500 de 30.500 Més de

de fílls 4.500 a 10. 500 a 14.500 a 20. 500 a 30 500 a 50.500 50.500

pta pta pta pta pta pta pta

Cap 4,7 2 ,2 0 ,6 1 ,5 1 ,8 0 ,9 -

Un 1 ,6 4 ,6 4 , 1 3 , 3 2 , 1 0 ,9 -

Dos 42 ,2 36 ,9 44,5 45,0 3 1 .4 25 .4 5 ,9

Tres 1 4 , 1 30 ,7 3 1 ,8 26 ,8 34,6 32,5 23 ,5

Quatre 20 ,3 1 4 ,6 1 0 ,2 1 6 ,0 20 , 1 26 ,3 35 ,3

Cinc o més 1 2 ,5 4 ,6 4 ,3 2 .6 5 ,7 9 ,6 23 ,5

Els que vinguin 3 , 1 6 ,8 4 ,5 4 ,8 4 ,2 4 .4 1 1 ,0

Percentatge total 1 00 1 00 1 00 1 00 1 00 1 00 1 00

Nombre de persones 64 500 5 1 2 456 283 1 1 4 34

Percentatge dels que tenen com a nombre ideal de fills més de quatre o els que vinguin 35 ,9 26 ,0 1 9 ,0 23 ,4 30,0 40,3 69 ,8

Mitjana ideal de fills 3 ,07 2 ,76 2 ,64 2 ,66 2 ,94 3 ,2 1 4 , 1 0

a) S i anomenem població e l conjunt de l s i nd iv idus sobre e l s qua l s es fa un determinat estud i , qu i na és la pob lac ió d 'aquest prob lema?

b) S i a nomenem caràcter l 'aspecte de l a pob lac ió que s 'estud i a , qu in és el caràcter estud i at en aquesta enquesta ? Qu i ns va lors pot prendre ? Són tots numèr ics?

Si e l caràcter que s 'estudia de la població no es pot expressar mitjançant nombres, parlarem de caràcter qualitatiu, com és el cas del problema H. l . Si els valors que pren el caràcter són quantitats expressades amb nombres parlarem de caràcter quantitatiu.

e ) Com es podr i a c l ass i fi car aquest prob l ema pe l que fa al caràcter ?

9 7

d ) F i ns a ra tots e l s resu l tats de l es enquestes vénen expressats en per­centatges. Veus a lguna re lac ió amb e l que anomenàrem freqüènc ia re l at iva quan vam estud ia r probab i l i tats ?

e) Troba per a cada co lumna les freqüènc ies absol utes que corresponen a cada valor del caràcter .

l Una successió de dades, que ens donen els valors del caràcter estudiat, amb les corresponents freqüències absolutes o relatives, l 'anomenarem una distribució estadística.

t) Farem uns g ràfics per ta l ' de ten i r una descr i pc ió més c l a ra de les dades . Agafa , per exemp le , l a pr i mera co lumr.a i representa sobre l 'e ix d 'absc i sses els d i ferents va lors del caràcter i per a cadascun d 'aquests va lors d i bu ixa un segment perpend icu la r a l 'e i x de long itud proporc iona l a l a freqüènc i a absol uta. Cons idera , de les a l tres co­l u m nes , les dues que et sem b l i n més s i gn i fi cat ives i fes e l mateix g ràfi c .

g) Té sent it comparar aquests tres gràfics? Torna ' l s a fer ut i l i tzant fre­qüènc ies re l at ives . Aquests t ipus de representac ions so len anome­nar-se diagrames de barres. Qu i nes conseqüènc ies podem treu re de la seva comparac ió?

h) Quin percentatge de famí l i es d ' i ngressos i nferi ors a 4 .500 creuen que e l nombre idea l de fi l l s és menys de tres ?

l Aquest nombre l 'anomenarem freqüència acumulada del valor dos del caràcter.

i ) Qu ina é s l a freqüènc ia acumulada de l va lor tres per a l a co lumna " més de 50 .500 » ? Compara ' l amb e l que has obti ngut abans .

A l a tau l a següent apare i x l a d i stri buc ió d 'a l çades de ls homes de l 'Estat espanyol ( l a font d ' i nformac ió és ! ' l . N .E . ) . E l s percentatges són deduïts de les x i fres absol utes obt i ngudes a l 'estad íst ica de rec lutament dels exèrc its .

98

Distribucions, en percentatges, per lleves

Tafia en cm 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 Menys de 150 0,4 0,3 0,3 0,4 0,4 0,3 - 0,2 0,2 0 , 1 De 150 a 154 1 ,6 1 ,6 1 ,5 1 ,3 1 ,8 1 ,5 0 , 1 0,8 0 ,7 0,6 De 155 a 159 7,7 7,4 7 ,3 6 ,8 8,2 5 ,0 4,4 4,6 4 , 1 3,8 De 160 a 164 2 1 ,9 2 1 ,5 21 ,4 20 ,4 22 ,0 24,0 1 8 ,3 1 6 ,7 1 5 ,5 1 4 ,5 De 165 a 169 30,9 30,5 30,4 30,3 3 1 ,5 3 1 ,2 30 , 1 29,2 28,5 28,1 De 170 a 1 74 23,5 24,5 24,2 24,9 22,7 23,5 27,4 27,7 28,5 28,7 De 175 a 1 79 1 0 ,5 1 0 ,7 1 1 , 1 1 1 ,6 1 0 , 1 1 0 ,8 1 4 ,0 1 4 ,6 1 5 ,7 1 6 ,6 De 180 i més 3,5 3,5 3,8 4,3 3,3 3,7 5,7 6,2 6,8 7 ,6 Mitjana aritmètica 1 68 , 1 1 68 , 1 1 68,3 1 68 , 1 1 67,4 167,9 1 69,3 1 69,4 1 69,8 1 70 , 1

a) Quina és la pob lac ió que s 'estud i a en aquest prob l ema? ¿Sota qu i n caràcter ? És quant i tat iu o qua l itat i u ?

Fixa't que en el problema H.2 el caràcter podia prendre els valors O , l , 2 , 3 , 4 . . . , però no valors entre els nombres l i 2 per exemple. En aquests casos parlarem de caràcters quantitatius discrets.

En canvi en aquest problema l'alçada d'un individu pot ésser qualsevol valor entre 150 i 154 cm, per exemple; en aquests casos parlarem de caràc­ter quantitatiu continu.

b) Per què et semb la que les a l çades són agrupades en i nterva l s de 5 en 5 centímetres?

Cada interval l 'anomenarem classe, i el valor central de la classe marca. classe.

Qui nes són en aquest prob lema les marques de c l asse ?

e) Vol e m saber quants homes ten i en una a lçada i nfer ior a 1 68 centí­metres l 'any 1 976. Fes l a d istr ibuc ió de freqüènc ies acumu lades per a aquest any . Què vol d i r que l a freqüènc ia acum u l ada de la c l asse 150- 154 és 0 ,9 ?

Representa sobre l 'e ix d 'absci sses les c l asses i fes correspondre a cada extrem super ior d 'una c l asse l a freqüènc i a acum u l ada d 'aquesta c lasse ; obt i nd ràs a ixí un conjunt de punts . Une ix- los amb segments recti l i n i s . Té sent it fer-ho? La f igura a ixí obt inguda és el polígon acu­mulatiu. Uti l i tza e l g ràfic per a contestar la pregunta e) .

99

d l Q u i n a és 1 <1 f r c q ii è n c i a r c l <i t i v a m é s g r a 1 1 p e r a c a d a s c u n d e l s a n ys ? ¿ C o rn c r e u s q u e é s l 'evo l u c i ó de l e s a l ç a d e s d e l s homes de l 'Estat espanyo l ?

E n una fàbr ica d e cotxes una d e l e s peces d e l motor d ' un determ inat model es fabr ica automàti cament amb una màqu ina . Per perfecta que s igu i aq uesta màqu i na és i mposs i b l e que totes les peces s igu in igua ls . Vo lem saber s i és tol e rab le o no e l nombre de peces defectuoses.

Les long ituds en m i l·l ímetres de cent de l es peces fabr icades en una setmana són donades per l a tau la següent :

20 ,52 ,50 ,48 ,5 1 ,49 ,49 ,52 ,45 ,49 ,48 ,45 ,43 ,53 ,53 ,5 1 ,48 ,50 ,52 ,47 ,53 ,55 ,45 ,46 ,53 ,53 ,57 ,46 ,52 ,56 ,5 1 ,48 ,48 ,54 ,55 ,47 ,47 ,53 ,50 ,50 ,46 ,52 ,49 ,47 ,50 ,5 1 ,49 ,54 ,49 ,53 ,53 ,47 ,50 ,5 1 ,49 ,54 ,46 ,46 ,50 ,47 ,49 ,50 ,52 ,59 ,46 ,50 ' ,57 ,48 ,52 ,44 ,50 ,56 ,51 ,53 ,57 ,47 ,47 ,53 . ,54 ,49 ,45 ,49 ,46 ,45 ,5 1 ,42 ,49 ,45 ,47 ,52 ,48 ,5 1 ,47 ,5 1 ,50 ,55 ,44 ,54 ,50 ,50

,46

La peça haur ia de ten i r una long itud de 20 ,50 mm. Es cons i deren defectuoses les peces de long itud més pet ita que 20 ,45 mm i més gran que 20 ,55 mm.

a) Qu ina és l a pob lac ió que s 'estud ia i sota qu in caràcter? ¿ És d i scret o cont inu?

b ) Div ide ix les dades en c lasses.

1 00

S i vols que e l s i nterva ls de c lasse t i ngu i n l a mateixa long i tud , ho pots fe r de l a manera següent: escu l l p r imer l 'amp l itud d e l ' i nterva l , a rrodoneix tot segu i t l a diferència entre e l valor més gran i el més petit de la mostra (rang) perquè s igu i un mú l t i p le de l 'ampl itud de l ' i nterva l i fes després les d iv is ions .

Repete i x l a d iv is ió en c lasses amb i nterva ls de long i tuds d i ferents .

Fàbrica de motors

e) Per a cada d i ferent d iv is ió en c l asses fes un gràfic de la manera següent : representa sobre l 'e ix d 'absc isses les c lasses (amb seg­ments ) i sobre cada c l asse d i bu ixa un rectang le d 'a l çada igua l a l a freqüènc ia absol uta de l a c l asse . Fes e l mate ix pe r a la freqüènc ia re l at iva . Aquest g ràfi c s 'anomena histograma d 'alçades.

d ) Afege ix , en e l s extrems de l 'h i stograma d 'a l çades , dues c l asses de freqüènc ia nu l·l a i une ix e ls punts m itjans de les bases super i ors de ls rectang les amb seg ments recti l i n i s . A ix í s 'obté e l polígon de fre­qüències.

e) A part i r de ls g ràfics fes una pred i cc ió sobre e l que demana e l pro­b l ema .

f) Quin percentatge de peces defectuoses h i ha a l a mostra? Es pot d i r a l guna cosa sobre e l nombre de peces defectuoses que va fa­br icar la màqu i na en una setmana? Compara aquest resu l tat amb l 'obt ingut a e) .

A l a tau l a següent , apareguda a l a revista " H ac ienda Púb l i ca Espa­ño la » , n ú m . 26, ve iem la d istri buc ió d 'ana l fabet isme a l 'Estat espanyol per edat i sexe en els censos dels anys 1 960 i 1 970 . Ens proposem de

101

constru i r u n gràfi c que ens don i una v i s i ó de la d i stri buc ió de l a pob lac ió ana lfabeta per a l s anys 1 960 i 1 970 .

Homes Dones Total

Taxa Taxa Taxa Edats Analfa- d 'anal- Anal fa- d 'anal- Analfa- d 'anal-

bets fa bets bets fa bets bets fa bets

Cens de 1960:

De 10 a 14 1 09 .632 8, 1 1 09 .830 8 ,4 2 1 9 .462 8 ,3 De 15 a 19 62 .420 5 ,7 88.877 7 ,2 1 57.297 6,5 De 20 a 24 52 .928 4 ,6 98 .708 8 ,9 1 5 1 .636 6,7 De 25 a 34 1 23 .93 1 5 ,2 272 .787 1 1

'1 396 .7 1 8 8 ,2

De 35 a 44 1 1 0 .724 5 ,7 269.3 1 1 1 2 ,6 380.035 1 2 ,4 De 45 a 54 1 24 .328 7 ,7 346.967 1 9

' 1 47 1 .296 1 3 ,8

De 55 a 64 1 63 .555 1 2 ,9 393 .938 27 ,0 557 .493 20 ,4 Més de 65 239 .420 22 ,9 585 .494 39 ,6 824.9 1 4 32 ,7

Cens de 1970:

De 10 a 14 8 . 1 94 0 ,5 7. 1 59 0 ,5 1 5 .353 0 ,5 De 15 a 19 23 .668 1 ,7 24 . 1 20. 1 ,8 47 .788 1 ,8 De 20 a 24 20 .853 1 ,6 33 . 1 33 2 ,6 53.986 2 , 1 De 25 a 34 52 .997 2 ,5 1 34 .606 6 ,2 1 87 .603 4 ,4 De 35 a 44 1 03 .556 4 ,4 247 .946 1 0 ,4 351 .502 7 ,4 De 45 a 54 1 02 .522 5 ,5 247 . 1 78 1 2 ,4 349 .700 9, 1 De 55 a 64 1 24 .762 8 ,7 375.0 1 2 22 ,2 499. 774 1 6 ,0 Més de 65 248.061 1 8 ,2 688.626 35,6 936.687 28 ,4

a ) Fes u n h i stog rama pe r a l a pob lac ió tota l de l 'any 1 970. Pe r què és enganyós aquest g ràfic?

b) Const1·ue ix u n h i stograma en què l 'à rea de ls rectang l es s igu i l a fre­qüènc ia re lat iva . Q u i na serà l 'a lçada de cada rectang le? Aquest nou h i stograma l 'anomenarem histograma d'àrees.

e) Creus que en aqúest exemp l e és j ustif icat que les c l asses t ingu i n d i ferents long i tuds? Ou i ns avantatges suposa l 'h i stog rama d 'àrees enfront del d 'a l çades?

d) Fes les representac ions necessàr ies per a respondre l a pregunta de l probl ema , i treu-ne conc l us ions pe l que f a a les d i stri buc ions per sexe de l 'ana lfabeti sme a ls anys esmentats .

1 02

2. CARACTERíSTIOUES DE POSICló l DISPERSIÓ

En aquest apartat volem calcular uns nombres que ens puguin servir com a característiques descriptives de les distribucions estadístiques. Així en veurem que ens donaran informació sobre el centre de la distribució ( carac­terístiques de posició ) i d 'altres que en donaran sobre com s 'agrupen les dades entorn del centre (característiques de dispersió) .

Pretenem fer l 'estud i de la d istr ibuc ió de sous en u n ta l ler d 'a rts gràfiques. Els sous mensua ls de ls treba l ladors són e l s següents :

Sous (pts)

9 .500 1 2 .000 20.000 23.500 24 .000 26.000 28.000 30 .000 3 1 .500 40.000 75 .000

Nombre de treballadors

2 2 2 3 2 2 6 2 1 1

a) Quant ha de cobrar un trebal l ador perquè e l 50 per cent de l persona l t i ngu i u n sou més pet i t o i gua l que e l d ' e l l ? (Ajuda 't d i bu ixant e l polígon acumulatiu. )

l Aquest valor hom l 'anomena mediana de la distribució estadística.

b) Si e l tota l de ls sous es repartís equ itativament entre tot e l persona l , quan cobrar ia cadascu n ?

l Aquest valor hom l'anomena mitjana de la distribució.

e) Quin és e l sou més freqüent en aquesta empresa?

l Aquest valor hom l'anomena moda de la distribució.

d ) Qu in de ls sous obti nguts a a) , b) i e) et semb la més representati u ?

1 03

Una companyia d 'assegurances de cotxes vol esta b l i r una pò l i ssa d 'acc idents a tot r isc per a la categor ia de cotxes uti l i tari s . Per a a ixò passa una enquesta a 1 .000 propietar is d 'aquests cotxes , esco l l its a l 'at­zar (per sorte ig entre matrícu les ) , en la qua l es pregunta quants d i ners han esmerçat l 'any 1 976 en reparac ions per acc ident .

Les dades obti ngudes es resume ixen a la tau l a següent :

Diners esmerçats (pts) Nombre de propietaris

de O a 1 .000 1 67 de 1 .000 a 2 .000 1 50 de 2 .000 a 3 .000 1 45 de 3 .000 a 4.000 1 3 1 de 4.000 a 5 .000 1 06 de 5 .000 a 6 .000 93 de 6 .000 a 8 .000 85 de 8.000 a 1 0 .000 57 de 1 0 .000 a 1 2 .000 20 de 1 2 .000 a 1 4 .000 24 de 1 4 .000 a 1 6 .000 1 2 de 1 6 .000 a 1 8 .000 6 de 1 8 .000 a 22 .000 4

a ) Qu ina és l a classe modal d 'aquesta d istr ibuc ió?

b) Qu ina és l a med iana ? Qu in s i gn if icat té ?

e) Ou in preu ha de ten i r l a pòl i ssa d 'accidents a tot r isc s i no es vo l n i guanyar n i perdre d i ners ? ¿ Et semb la que aquest va lor t é a lguna re lac ió amb a l l ò que abans hem anomenat mitjana?

d) Fes l 'h i stograma de la d i str i buc ió .

e) S i e l preu de l a pò l i ssa és l 'obt ingut a e ) , ¿ pots preveure a lgun bene­f ic i per a l 'empresa s i s 'ap l ica una franqu íc ia de 2 .000 pts? Calcu l a e l s benefi c i s m itjans per pò l i ssa , que obti ndrà l a companyia s i ap l i ­qués aquest s i stema de franquíc i a .

f) Si no s 'ap l i qués cap franqu íc i a , qu i n haurà d 'ésser e l preu de l a pòl i ssa s i l a companyia vo l obte n i r e l s mate ixos benefi c i s que ap l i­cant- l a ?

1 04

Donada l a d istr ibuc ió :

Dades

a) Sabr ies escr iure ' n l a m itjana x?

Freqüència absoluta

N

Si les dades són agrupades en c l asses, representarem aquestes a efectf"3 de l cà lcu l de l a m itjana , per l a marca de c l asse . És a d i r , con­s iderarem tota la freqüència concentrada sobre la marca de l a c l asse.

b) Sabr ies exp l i ca r què entens per moda, o classe modal?

e) Què entens per mediana? Com l a ca lcu l ar ies en genera l ?

Les notes d e Matemàt iques d e dos grups d e 4 0 a l umnes són donades per l a tau l a següent :

Notes Grup Grup fi

o o o 1 o o 2 2 o 3 3 o 4 5 o 5 7 1 2 6 8 24 7 7 4 8 5 o 9 3 o

1 0 o o

40 40

1 05

a) Troba la m itjana per a cada grup i fes e ls d iagrames de barres corres­ponents. Veuràs que tot i que tenen la mateixa m itjana , les dues d i str ibuc ions són ben d iferents. Les notes de l g rup 1 1 estan molt més agrupades entorn de la m itjana que no l es de l grup l . Mentre a l g rup 1 1 no h i ha suspensos, a l grup l n ' h i ha 1 0 , és a d i r , u n 25 per cent .

En molts casos no n ' h i ha prou de donar un va lor m itjà d 'una d i str i ­bució i ca l estud ia r com es d i str ibueixen l es dades a l seu entorn .

b) Ouin és e l rang de les dues d i stri buc ions? ¿ Et semb la que dóna bon compte de l a d i spers ió de l es dues d ist r ibuc ions? En genera l , ¿ et semb la que e l rang és un va lor representat iu de l a d ispers ió d 'una d i stri buc ió?

e) I ntentarem constru i r una mesura de l a d ispers i ó que t i ngu i en comp­te totes les dades. Agafa el grup l , ca l cu la quant es desvia cada dada respecte a l a m itjana i troba e l va lor m itj à d 'aquestes desv iac ions . Fes e l mateix per a l grup l i . Et semb la úti l aquest va lor? Per què?

d) Agafa e l g rup l , ca lcu la e l va lor abso lut de l a desv iac ió de cada dada respecte a l a m itjana i troba e l va l or m itjà d ' aquestes desvi ac ions . Fes e l mate ix per a l grup l i . Aquest va lor hom l 'anomena desviació mitiana.

S 'han pesat 50 no ies de catorze anys ( fets el mes de l 'observac ió ) ; e l s seus pesos són donats per l a tau l a següent:

Pes (kg) Marca (kg) Nombre

38-42 40 4 43-47 45 1 1 48-52 50 1 7 53-57 55 1 2 58-62 60 5 63-67 65 1

50

Volem ten i r una or ientac i ó per saber reconè ixer s i una noia de catorze anys pesa el que es cons idera normal o bé és excessivament pr ima o grassa. (En real i tat e l prob lema és més genera l , perquè a l s metges e l s

1 06

i nteressa fer el mateix per a totes l es edats a fi de poder ten i r dades c l ín iques sobre e l pes . Veurem aquest cas genera l més endavant.)

No n'h i ha prou de ca lcu la r la m itjana de la d istr ibuc ió , i ca l poder donar una mesura que ens d i gu i s i l a separac ió d 'aquest valor m itjà es pot considerar normal.

a) Ca lcu l a la m itjana de la d i stri buc ió .

b) Quant es desv ia cada dada respecte a l a m itjana? Escr i u-ho a l a tau l a següent a l a co l umna o .

Pes (kg) Marca (kg) n o o .n 1 ° 1 i o J .n 02 02.n

1 38-42 40 4

43-47 45 1 1

48-52 50 1 7

53-57 55 1 2

58-62 60 5

63-67 65 1

Qu i na és l a m it jana d 'aquestes desv i ac ions? Pots fer servir l a co­l umna o.n.

e) Ut i l i tza les co lumnes i o l i J o l .n per a trobar l a desviació mit¡ana de l a d istr ibuc ió .

d) Una a ltra manera d 'evitar l a d i ferènc i a de s ignes en l es desv iac ions i poder a ix í obten i r un a l tre va lor út i l , ser ia ca lcu lar e l s quadrats de les desvi ac ions per a cada dada. Escri u-ho a l a tau l a .

e ) Ca lcu l a l a m itjana d e l s quad rats de les desviacions q u e has ca l cu lat a d) . Aquest va lor hom l 'anomena variància. Et semb la út i l aquest va lor? ¿ Presenta a l guna d i ficu l tat per ut i l itzar- lo com a mesura de l a separació normal? Per respondre a aquesta· pregunta ti ngues en compte qu i nes són l es un i tats que té (has e l evat e ls pesos a l quad rat) .

l L'arrel quadrada de la variància l'anomenarem desviació tipus i la repre­sentarem per (J'.

f) Ca lcu la quantes no ies de l a d istr ibuc ió tenen pesos compresos d i ns l ' i nterva l (x - (J', x + (J') . Qu in percentatge representa? Fes e l ma­teix per a l ï nterval ( x - 20", x + 2(J') . Uti l i tza el d iagrama d 'àrees de l a f igura de l a pàg i na següent.

1 07

• •1.¡.. i

6 •t./kg i

4 ·1./kg � 2 •t./kg

35

x l

¡ 4() � 55 65 ! �a--�a _J �2a •l-- 20 x

?O Kg

Tornant ara sobre el prob lema H.4, volem saber el g rau de preci s i ó de la màqu ina que fabr ica l es peces.

a ) Com e l mesurar ies ? Qu i n va lo r donaries com a error màxi m ? ¿ Estàs segur que no fabr i carà d 'ara endavant cap peça amb un error més gran que aquest? No et sembla m i l l o r donar un va lo r de l 'error m itj à? Qu in paràmetre ca lcu l ar ies per trobar- l o ?

b) Per trobar la desvi ac ió m itj ana i la var iànc i a omp le una tau l a sem­b l ant a la del probl ema H. 1 O .

També a q u í e n s trobem a m b J ' i nconven ient que l a var iància t é un i tats de long itud al quadrat (mm2) i no es pot uti l i tzar d i rectament com a mesura de l 'error mitjà . Per a ixò ca lcu larem l a desv i ac ió t íp i ca . Creus que aquest paràmetre representa correctament l 'e rror m itjà ?

e) Quin percentatge de peces fabr icades tenen long ituds compreses d i ns l ' i nterva l ( x - o-, x + o-) ? l per a l ' i nterva l (x - 2o-, x + 2o-) ? Per contestar aquesta qüestió i v isua l itzar e l s resu l tats , fes l 'h i sto­grama d 'àrees de la d i str i buc ió , representa-h i e l s i nterva ls consi ­derats i i nd i ca-h i l a part corresponent a l es peces que tenen l a long itud d i n s e l pr imer de l s i nterva l s consi derats .

d) Compara e ls percentatges obt i nguts a e) amb e l s corresponents obting uts al prob l ema H.1 O . Posa els percentatges obt inguts en e l quadre següent :

1 08

Interval Problema H. 10 Problema H. 1 1 Distribució normal

. ( x - o-, x + o-) 68,27 %

(x - 2o-, x + 2cr) 95 ,45 %

A l 'ú lt ima co lumna es dóna e l percentatge corresponent per a una d i str ibuc ió teòrica coneguda amb e l nom de distribució normal o distribució en corba de campana de Gauss. Qui nes conc lus iones en treus ? ¿ Et semb len genera l itzab les aquestes conc l us ions per a a l tres d i str i buc ions? Qu i nes ? Per què?

A l a d i str ibuc ió estad íst ica donada a l a tau l a :

Dades Freqüències o no lo ' l o ; .n 02 no2 absolutes ' l

X1 n1 X2 n2

Xk nk

N

a) Compl eta l a co lumna 8 de les desv iac ions . ¿ Són tots pos i t ius e l s nombres d 'aquesta co lumna?

b) Comprova per a aquesta d istr ibuc ió que l a m itj ana de les desvi a­c ions respecte a l a m itjana val zero:

o = (x - x) = o

e) Completa la co lumna de ls val ors absol uts de les desvi ac ions res­pecte a la m itjana 1 8 ! i ca lcu la la fórm u l a de la desvi ac ió mitj ana :

D.M. =

d ) Completa l a co lumna de ls quad rats de l es desv iac ions respecte a l a m itjana 82 i ca lcu l a l a fórmu la d e l a var iànc i a :

e ) Qu ins i nconven ients presenta l a var iànc ia p e l q u e f a a l e s seves u n itats ? Es pot comparar d i rectament amb la m itjana?

1 09

f) Escr i u l a fórmu la de l a desviac ió t íp ica:

O' = g) Creus que l a desv iac ió t íp ica té a lgun avantatge enfront de l a des­

v iac ió m itjana?

h) Què entens per d i str ibuc ió normal ? ¿ Et sembla que ho és l a d i str i ­bució del prob lema H.6?

3. PROBLEM ES DE CONSOLIDACIÓ

Prenent com a mostra de la poblac ió de Badalona-Centre els a l umnes de l ' I nstitut A lbèn iz , s ' ha obt ingut l a següent d i str i buc ió del nombre de fi l l s per fam í l i a :

Nombre Nombre de fills de famílies

1 55 2 257 3 208 4 1 1 o 5 58 6 23

7 o més 28

a) Agafant com a mostra de l a teva pob lac ió e l s teus companys de pr i ­mer de B U P, dóna l a d istri buc ió de l nombre de fi l l s per fam í l i a .

b) Fes una representació gràfi ca de les dues d i str ibuc ions que et per­meti comparar e l s resu l tats .

e) Troba l a m itjana , l a moda, l a med iana , l a desvi ac ió t íp ica i l a variàn­cia per a la d istr ibuc ió de l teu centre .

d ) ¿ Et s e mb la que e l s a l umnes de p r imer de BUP de l teu centre són una mostra úti l per a estud ia r e l nombre de fi l l s per fam í l i a a l a teva pob lac ió?

1 1 0

La d i stri bu c i ó de l a renda persona l d i spon i b l e l 'any 1 970 segons l a revista « H ac ienda Pú b l i ca Españo l a » era l a següent :

Nivell l l d 'ingressos l Marca de

per casa classe (milers (milers de pts) de pts)

Fins a 60 44 60 a 120 92

120 a 180 1 50 180 a 240 2 1 4 240 a 500 384 500 a 1 . 000 756

1 .000 a 2.000 1 .536 2.000 a 3.000 2 .522 3.000 a 4.000 3 .547 4.000 a 5.000 4 .542 5.000 a 6.000 5 .550 6.000 a 10 .000 8 .068

10 .000 a 20.000 1 5 .094 �és de 20.000 72 .772

Total

a) Quants m i l ionar is hi h a ?

Nombre de llars

1 . 1 70 .665 3 .433 . 1 03 2 . 1 29 . 1 98 1 .002 .469

748. 1 96 1 67 .81 4

70 .025 1 6 .477 6 .9 1 9 3 .4 1 1 2 . 1 37 3 .878 2 .668 1 .474

8. 758.434

b) Fes u n gràfic d 'aquesta d i str i buc ió .

Percen- Total Percen-tatge d 'ingressos tat ge

(mil/ions de pts)

1 3 ,37 5 1 .082 3 , 0 1 39 ,20 3 1 5 .581 1 8 .61 24 ,3 1 320 .387 1 8 ,89 1 1 ,44 2 1 4 .81 o 1 2 ,67 8 ,54 287 .346 1 6 ,94 1 ,92 1 26 .949 7 ,49 0 ,80 1 07 .590 6 ,34 0 , 1 9 4 1 .563 2 ,45 0 ,08 24.548 1 ,45 0 ,04 1 5 .496 0 ,9 1 0 ,02 1 1 .862 0 ,70 0 ,04 3 1 .288 1 ,84 0,03 40 .273 2 ,37 0 ,02 1 07.266 6 ,33

100,00 1 . 696.04 1 100,00

e) Ca lcu l a la m itjana , la moda i l a med iana . Qu i na et semb la més repre­sentat iva ?

d ) Sense fer cà l c u l s , ¿ et sembl a que l a desvi ac ió t íp ica serà g ran o petita ?

e) Aquesta d istri buc ió és norma l ?

A l a tau l a següent se 'ns donen les x i fres mensua ls ( en m i l ions de

1 1 1

dòlars) de ls i ngressos per tur isme a l 'Estat espanyol des de l gener de l 1 974 f ins a l 'abr i l de l 1 975 :

G F M A M J J A s o N D l Any 1974 1 90 1 50 1 75 220 237 245 400 475 362 300 2 1 5 250 l Any 1975 225 1 85 1 80 1 65

a) D i bu ixa e l po l ígon de freqüènc ies i compara e l s pr imers tr im estres de ls dos anys.

b) Calcu l a e l percentatge de cre ixement de ls i ngressos en d iv ises " ' pr imer tr imestre d e l 'any 1 975 amb e l s d e l 'any 1 974.

e) Què es podr ia preveure per a l a resta de l 'any 1 975?

Una estadísti ca de ls na ixements en un hospita l per estud ia r l a d u -a c a de l 'embaràs va donar e l s resu ltats següents :

Durada de /'embaràs

Abans del dia 266

Del ¿oo a1 272

Del 273 al 279

ÈI 280

Del 28 1 al 287

Del 288 al 294

Després del 294

Percentatge 1 2 ,7

1 2 ,3

22

3 ,7

24,3

1 5 ,6

9 ,4

a) Quina és la pob lac ió i e l caràcter que s 'estud i a ?

b) Quina et semb la que és l a raó que fa que les dades esti gu i n agru­pades d 'aquesta forma?

e) Fes un h i stograma d 'aquesta d i str ibuc ió .

d) ¿ Podr ies donar un va lor aprox i mat de l a m itjana de l a durada de l 'emt �ràs?

1 1 2

l l

Per i n stal·l a r una gaso l i ne ra en u n l l oc d 'una c i utat es fa una esta­d íst ica sobre el nombre de cotxes que en un d i a passen per d iverses gasol i neres , les qua l s són en l l ocs que tenen aprox imadament les ma­te i xes ca racter ísti ques , per tal d 'estab l i r q u i n ser ia el nombre conven i ent d 'assort i dors . També vo lem saber qu i na ha d 'ésser l a capac itat m ín ima de l s d i pòs its de combust i b l e ten i n t en compte que e l s camions c i sterna poden passar dos cops el d i a i a les hores que vu lguem .

Interval de temps

o h - 4 h

4 h - 8 h

8 h - 1 2 h

1 2 h - 1 6 h

1 6 h - 20 h

20 h - 24 h

Nombre de cotxes

32

56

294

1 65

303

1 05

1 1 3

a) Q u i nes són les hores punta?

b) Quin és e l nombre d 'assort idors que es necessiten en aquestes hores perquè no hi hagi embussaments? ( Fes h i pòtes i s sobre e l temps q u e roman un cotxe a l a gaso l i nera mer:itre omple. e l d i posit . )

e) Fes-ho per a les a l tres hores .

d) A l a v i sta d 'aquests resu ltats , q u i n ser ia e l nombre idea l d 'assor­t idors ?

e) A part i r de les quatre de l a mati nada , a qu i na hora hauran passat la me i tat de ls cotxes ? ( Fes e l po l ígon acumu l ati u . ) l l a quarta part? l les tres quartes parts ?

f) Fes una h i pòtes i sobre e l nombre mitjà de l i tres de gaso l i na que demana e l conductor de cada cotxe i contesta l a pregunta sobre q u i na ha d 'ésser la capac itat mín i ma de ls d i pòsits. Qu ines ser ien les hores m i l lo rs perquè pass i e l camió c isterna?

En e l prob lema C.4 de Probab i l itats ten íem una d istr i buc ió de les exp lotac ions agr ícoles de l 'Estat espanyol segons l a seva g randàr i a . Reproduïm l a tau l a q ue ens dóna l a d i mens ió de l es explotac ions , e l nom­bre de propietar is i el nombre d 'hectàrees que sumen en tota l les explo­tac i ons de ls propietar is esmentats :

Dimensió de /'explotació

Més petites d ' 1 ha

D' 1 ha fins a menys de 5 ha

De 5 ha fins a menys de 50 ha

De 50 ha fins a menys de 1 00 ha

De 100 ha fins a menys de 200 ha

De 200 ha fins a menys de 500 ha

De 500 ha fins a menys de 1000 ha

De 1000 ha i més

1 1 4

Nombre de propietaris

809.290

1 .029.4 1 0

908.535

5 1 .060

24.273

1 6 .758

6 .5 1 7

4.652

Total de ha

365.922

3 .070. 1 43

1 3 .723 .022

3 .571 .380

3 .432.025

5 .394.300

4.887.750

9 .446.425

Explotació agrícola dedicada al con reu de cereals

a) Cons iderant el nombre de prop ietar i s , q u i na és l a m i tjana de l a d istr i ­buc ió? ¿ Creus que ens dóna una i nformaci ó úti l per saber qu i na és rea l ment la repart i c ió de l a terra ? Per què? Ou i n de ls va l ors centra ls ser ia més út i l aquest cop?

b) Podr ies d i r s i l a desv iac ió t ipus és gran o pet ita sense fe r e ls cà lcu l s ?

e ) Calcu l a l a desv iac ió t ipus i com prova s i e l resu l tat està d 'acord a m b e l q u e has donat a l 'apartat anter ior . E n cas negati u , i ntenta d 'en­tendre per què el raonament que has fet a l 'apartat b) era i ncorrecte .

Tornem a l a qüest ió p l antejada a l prob l ema H. 1 O . Seg u i nt el mate ix mètode , l a Càtedra de Ped i atr ia i Puer i cu l tura de l ' Hospita l C l ín i c de Barcelona ha fet uns g ràfics que donen l ' a l çada m i tj ana i e l pes m itjà a cada edat i sexe , a ix í com e ls marges de desvi ac ió d ' una , dues o tres desv iac i ons t ipus .

1 1 5

CRE I X E M E N T D E LES NENES DES DE L NAI X E M E N T F I N S ALS 19 ANYS

/ / - l l/ /

/ / l' l /

/ / i/ / / � / / ' / / AL -A / l l ,

,.____ �" / l r l/1· / J / l / -- - - - · l / l t¡/,. l/ ,. ' / / l l / 1/ l // . / / /' ! / l /

¡ l / y l /Í ,, l

-- l l 1' • / / 1/ /1 // V / /

, / �-1-·

/¡ l/ V 1/ / /

, / 1'('¡ l ¡ '/ l / l / / /

// /1 /, / , ,

·�1 1/1 / PE /

l l

¡ / /; J

/

l l/ - '/ l l

1/ / / [/ l

- -/

v , _...

V , " /

/--- - -

/

�-

� -

- -

-

- -

- ... -

l/; /V l l - - - - f- - -

/ V l J , l /, / / ,

/ l l l /

/ l l l l /

l l

/ ¡ , ¡

5 / / ) l l

, '

/ /

,.

,. /

/ V

11/ /

-

--·- -·

--

/ -- -

-

/,.r -,..,

- -

-

...-

-

- -

/;/,' l;, l / , / / : . l l l / / --

l¡,f 1/, • 'f1 '1 l

l ï l l

�Ï / / l l ,. ,

'1 v V , / l -

i, 8 � -- ¡...--V - -l - � - _, · l ;-8 � -< 1-- - V-l , r_- � - -

--1/0 f%' t:--%,y ... --·�1 l

/ 1 /

// . , /

V, / / ,

V -:� ,, -

- -----i...- - -- - -

-+--

/ l

/ -

--- -

, / //

/ / l --

/ / /

l - -

, . , '

/ / / l l

l

- ,

- -

- -

- -

- -

-

-

-

-

-

- · �Ja

2a

... .... 1 U

I u

- - 1 a . lo

- .

- -

- -

- -

- -

-

JU

4CJ

+3U

+2U

lt-10

u

-1a -2(J -3<T

185 c m 1 80 c m 1 7 5 c m 1 70 cm 1 65 c m 1 60 c m 1 5 5 c m

1 50 cm 1 45 c m 1 40 cm 1 35 cm 1 3 0 c m 1 2 5 c m

80 kg 75 kg 70 kg 65 kg 60 kg

55 kg 50 kg 45 kg 40 kg 35 kg

30 kg 25 kg 20 kg 1 5 kg 1 0 kg

5 kg

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 a nys 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 mesos

1 1 6

a) I nterpreta e l s gràfics i dóna una exp l i cac ió de com es poden ut i l i tzar.

b) Què d i ràs d.'una nena de 9 anys i 3 mesos que pesi 25 kg i am id i 1 , 27 metres ? ¿ l d 'una nena de 1 2 anys i 7 mesos que pes i 55 kg i am id i 1 ,46 metres? Una a l tra nena de 1 O anys i 9 mesos amida 1 ,2 1 m i pesa 2 1 kg. Què en pots d i r ? S itua aquests i nd iv idus segons e l s g ràfics . Creus que h i ha prou i nformació a m b aquestes dades?

e) Sense fer cà l c u l s , q u i n percentatge de · no ies de 1 5 anys t i ndran a l çades entre 1 ,535 m i 1 ,655 m ? l entre 1 ,655 m i 1 .7 1 2 m? l a l çades super iors a 1 ,7 1 2 m ?

d) Comprova s i e l s resu l tats obti nguts a H. 1 0 concorden amb les previ· s ions d 'aquest g ràfic .

TREBALL D'ESTADÍSTICA --------------

F ina l i tat de l 'estadíst ica .

Pob lac ió .

Caràcte r , t ipus de caràcter :

• qua l i tat i u

• quant i tati u

• d i scret

• cont i nu .

D istr ibuc ió estad ística .

R epresentac ions gràfiques :

• per un caràcter d i scret : d i agrama de barres

• per un caràcter conti n u :

* po l ígon acumu lat iu

* h i stograma d 'a l çades

* h istograma d 'àrees

pol ígon de freqüènc ies .

1 1 7

Característi ques descr iptives d 'una d i str ibuc ió estad íst ica :

• de pos i c i ó

• de d ispers ió .

1 1 8

� @©Jffit@cro©)íl vicens-vives