Tema 1.2: Topología del plano complejo. Laesfera de Riemann

Facultad de Ciencias Experimentales, Curso 2008-09

E. de Amo

Pretendemos dotar al plano complejo C de una estructura topológica. Side lo que se trata es de buscar entre los candidatos, la topología asociada a ladistancia dada por el valor absoluto habrá de ser la primera a considerar:

d(z; w) := jz � wj ;8z; w 2 C:

Acostumbraremos a escribir, como es usual,

zn ! z :, 8" > 0;9n0 2 N : n � n0 =) d (zn; z) < ":

En estas circunstancias, se van a veri�car las siguientes propiedades queresumimos sin demostración:

Proposición. Sean (zn) y (wn) dos sucesiones en C; convergentes a z y w,respectivamente. Entonces:

i. zn + wn ! z + w

ii. znwn ! zw

iii. Si w 6= 0 (y, por tanto, wn 6= 0;8n � n0), entonces znwn! z

w

Proposición. Para que la serie de números complejosP

n�0 zn sea conver-gente, es su�ciente que

Pn�0 jznj también lo sea.

Test de mayoración de Weierstrass. Sean ; 6= A � C yP

n�1 fn unaserie de funciones de A en C. Supongamos que existe una sucesión dereales positivos (Mn)n�1, tal que

a. jfn(a)j �Mn;8a 2 A;8n 2 N, yb.

Pn�1Mn converge.

Entonces la serieP

n�1 fn converge absoluta y uniformemente en A:

De hecho, el par (C; d) es un espacio métrico completo (no estamos hablandode otra cosa, hasta ahora, que el plano euclídeo). Además, C es un cuerpotopológico: es lo que nos dice la primera de las proposiciones arriba enunciadassobre la compatibilidad de las operaciones suma y producto y la distancia d.Será útil, por tanto, el

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Teorema de Hausdor¤. En todo espacio métrico E, son equivalentes:

i. E es compacto.

ii. Toda sucesión en E admite parcial convergente en E:

iii. Todo subconjunto in�nito en E tiene acumulación en E:

Observemos que C es un espacio métrico localmente compacto, pues losdiscos cerrados (de centro z 2 C y radio r > 0)

D(z; r) := fw 2 C : jz � wj < rg

son compactos. Podemos aplicar, por tanto, es aplicable el

Teorema de Alexandro¤. Sea X un espacio topológico localmente com-pacto y de Hausdor¤. Sea 1 un objeto matemático tal que 1 =2 X.Consideremos el par (X1; �), donde X1 := X [ f1g y � es la familiadada por

fabiertos de Xg [ fA � X1 : XnA compactog :

Entonces

i. (X1; �) es un espacio topológico compacto y de Hausdor¤.

ii. La topología inducida en X por X1 es la de partida de X:

Si aplicamos este teorema al plano complejo C obtendremos lo que llamamosel plano ampliado C1; que acostumbraremos a escribir como C: Es evidente quelos entornos de cada punto z 2 C admiten discos abiertos contenidos en ellos,de la forma

D(z; r) := fw 2 C : jz � wj < rg :

(El caso paradigmático será cuando z = 0; r = 1: D := D(0; 1), el disco unidad.)Para el punto 1, que llamaremos (punto del) in�nito, una base de entornos

es la dada porfU� : � > 0g ;

dondeU� := fz 2 C : jzj > �g [ f1g � C:

En efecto: si G 2 � , con 1 2 G, se tiene que CnG es compacto, luego acotado:existe � > 0 tal que si z 2 CnG entonces jzj � �; así, U� � G. Y comoconsecuencia de ser fU� : � > 0g base de entornos:

Proposición. Para cada sucesión (zn) de números complejos de tiene que

zn !1, jznj ! +1:

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Es sencillo verlo:

zn !1, f8� > 0;9m;n � m =) jznj > �g , jznj ! +1:

Es importante observar que, pese a todo, en C ya no se podrá operar comoen C: el objeto1 sólo se ha incorporado con �nes topológicos, no operacionales;C no es un cuerpo. De hecho, hay más:

Proposición. No hay ninguna distancia en C que genere la topología � .

En efecto; si fuese lo contrario, para tal d : C� C ! [0;+1[ se tendría, enparticular, que

n!1, d(n;1)! 0:

Pero:d(n; 0) = n � d(0;1) + d(1; n) � d(0;1) +M;n � n0;

de modo que N estaría acotado; y sabemos que esto no es bueno...Pese a no poder obtener la topología de C a partir de la distancia euclídea,

es decir, pese a no poder extender la distancia euclídea a C, lo que sí que sepuede es de�nir otra distancia en el plano C que sí se pueda extender a C. Nosfamiliarizaremos con la Esfera de Riemann y la Proyección Estereográ�ca.Consideremos la esfera unidad del espacio euclídeo R3:

S2 :=�(a; b; c) 2 R3 : a2 + b2 + c2 = 1

y establezcamos

� : S2 ! C

dada por

� (a; b; c) :=

�a+ib1�c :::; (a; b; c) 6= (0; 0; 1)1:::; (a; b; c) = (0; 0; 1)

La inversa de � es fácilmente calculable:

��1 (z) =

8<:�

z+z1+jzj2 ;

z�zi(1+jzj2)

; jzj�11+jzj2

�:::; z 2 C

(0; 0; 1) :::; z =1

(Comprueba la fórmula para ��1.)Observamos que � es homeomor�smo entre los espacios de Hausdor¤ com-

pactos S2 y C. (Por esta razón se le suele llamar Esfera de Riemann al planoampliado.) La compacidad en C aporta algo esencial que lo diferencia de C:todas las sucesiones de complejos se acumulan en C.Se de�ne la distancia o métrica cordal en C como la aplicación

� (z; w) : =����1 (z)� ��1 (w)�� =

=

8<:2jz�wjp

1+jzj2p1+jwj2

:::; z; w 2 C1p

1+jzj2:::; z 2 C; w =1

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(observa que ��1 (z) y ��1 (w) están sobre la esfera S2, de ahí el nombrede"cordal").(Comprueba que la fórmula anterior que nos da la distancia cordal en tér-

minos de z y w.)Resumimos lo anterior:

Ventaja: la métrica cordal � se tiene en todo C

Desventaja:�C; �jC

�no es un métrico completo

Y podemos completar las propiedades de convergencia de sucesiones de C aC del siguiente modo:

Proposición. i. Si zn !1 y wn ! w 2 Cnf0g, entonces znwn !1ii. Para fzn;n 2 Ng � Cnf0g, entonces zn !1, 1

zn! 0

A continuación introducimos los contenidos topológicos mínimos que nosserán imprescindibles para lo que sigue. Si bien el contexto será generalizable asituaciones abstractas, nos limitaremos a presentar las de�niciones y los resul-tados en el ambiente del plano complejo C.Recordemos que la acumulación de un conjunto A de números complejos se

de�ne comoA0 := fz 2 C : 9 (an) � Anfag; an ! ag ;

que el cierre o adherencia A de un conjunto A de números complejos viene dadopor

A := A [A0

y que para todo conjunto A � C in�nito y acotado, se tiene que A0 6= ;:Esta propiedad equivale, tal y como ocurre en todo euclídeo que se pre-

cie, a que toda sucesión in�nita en un acotado admita una parcial convergente(propiedad de Weierstrass). Del mismo modo, para ; 6= A � C; son equivalentes(teorema de Heine-Borel):

i. A es cerrado y acotado

ii. A es compacto (todo cubrimiento por abiertos de A admite un recubrim-iento �nito).

La frontera de A; que la denotaremos por @A, se de�ne como

@A = A \ CnA:

Un conjunto A se va a decir conexo si no se puede expresar como la unióndisjunta de dos abiertos relativos. En particular, ello conlleva que si el conexoA es un conjunto abierto y cerrado, entonces A = ; o bien A = C. Para cadaa 2 A; llamaremos componente conexa de a, que se notará por CA[a], al mayorconexo en A tal que a 2 CA[a]:

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Si no hay confusión, evitaremos el subíndice, de modo que se escribirá, sim-plemente, C[a]. Claramente, A es conexo si, y sólo si, C[a] = C[b] para cua-lesquiera a; b 2 A y cada conjunto se puede expresar como unión disjunta de suscomponentes conexas. Además fag = C[a], si, y sólo si, a es un punto aisladode A.Un concepto central en este curso:

DEFINICIÓN DE DOMINIO.

Se dice dominio del plano complejo a cualquier abierto y conexo. Es decir,cualquier punto del mismo admite como entorno a algún disco:

8a 2 9r > 0 : D (a; r) � :

Las componentes conexas de un abierto son, igualmente, abiertos (de hecho,dominios).Damos el paso a considerar propiedades funciones complejas de variable com-

pleja.

Proposición. Sean ; 6= A � C; f : A ! C; l 2 C y a 2 A0. Cada una de lassiguientes a�rmaciones implica la otra:

i. Para toda sucesión (an) de elementos en Anfag convergente a a, setiene que f(an)! l.

ii. Para cada real positivo ", existe otro � tal que si 0 < jx� aj < �; x 2A, entonces jf (x)� lj < ".

Se dirá, caso de veri�carse estas a�rmaciones, que f tiene límite l en el puntoa; y escribiremos

l = limx!a

f(x):

Proposición. Sean ; 6= A � C; f : A ! C y a 2 A \ A0. Cada una de lassiguientes a�rmaciones implica la otra:

i. Para toda sucesión (an) de elementos en A convergente a a, se tieneque f(an)! f(a).

ii. Para cada real positivo ", existe otro � tal que si jx� aj < �; x 2 A,entonces jf (x)� f(a)j < ".

Se dirá, caso de veri�carse estas a�rmaciones, que f es continua en el punto a:

Es de observar que:

a. En caso de que a 2 A \A0; ambos conceptos coinciden si, y sólo si,

limx!a

f(x) = f(a):

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b. Si a es punto aislado de A; dominio de f; siempre habrá continuidad (porel carácter local de la misma) y no tendrá sentido plantear la existencia ono de límite. De modo análogo, si a 2 A0nA; entonces no tendrá sentidoplantear la continuidad o no de f en a:

Se trata de propiedades locales; en particular, se tiene cierta la siguiente

Propiedad del carácter local de la continuidad. Sea f : A � C ! Cuna función y sea a 2 A. Sea � > 0 y llamemos B := fx 2 A : jx� aj < �g.Entonces, equivalen:

i. f es continua en a:

ii. fjB es continua en a:

Los ejemplos conocidos ya por nosotros, en este corto periodo de vida quellevamos con la variable compleja, son todos de funciones continuas con límiteen todo su dominio:

a. el módulo o valor absoluto,

b. la conjugación de números complejos,

c. la suma y producto de números complejos...

d. salvo, el nada trivial ejemplo de la función argumento (principal, o cualquierade sus ramas); lo cual se demostrará en breve.

Las propiedades fundamentales de las funciones continuas sobre conjuntosdestacados que nos interesan las recogemos en la siguiente

Proposición. Sea f : A � C! C una función continua. Entonces:

i. Si A es un conjunto conexo, entonces f(A) es conexo.

ii. Si A es un cojunto compacto, entonces f(A) es compacto.

Vamos ya con propiedades nada triviales. Concretamente, comenzamosprobando que el argumento principal es continuo en todo el plano salvo un rayoque parte del origen. Además, completaremos esta información probando queno es posible mejorar esta situación: ésto le va a pasar a cualquier determinaciónque tomemos para el argumento.

Proposición. La función argumento principal

arg : Cnf0g ! R

arg(z) : =

�2 arctan Im z

jzj+Re z :::; z =2 R��:::; z 2 R�

es continua en CnR�0 :

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Demostración. Como CnR�0 es un abierto y argjCnR�0 es continua, por suforma de de�nición, el carácter local de la continuidad nos dice que tambiénlo va a ser arg : Que la continuidad se rompe en el conjunto R�0 , se pone demani�esto de la siguiente manera: consideramos x 2 R+ y la sucesión (zn) dadapor

zn := �x+ i(�1)n

n! �x:

En estas condiciones, la sucesión

arg (zn) = 2 arctan(�1)nn

�x+qx2 + 1

n2

= 2 (�1)n arctan 1

�nx+p1 + n2x2

no es convergente, por lo que el argumento principal no converge en ningúnpunto de R�. �

Proposición. Si S es una semirrecta cerrada que parte del origen (0 2 S),entonces podemos encontrar una función continua f de CnS en R tal que

f(z) 2 Arg (z) ;8z 2 CnS:

Demostración. Sabemos que el argumento principal viene caracterizadopor dos propiedades:a. z 2 Cnf0g =) arg(z) 2 Arg(z)b. z 2 Cnf0g =) arg(z) 2 ]��; �] :Sea ahora � 2 R, y de�namos a� : Cnf0g �! R dada por:a�. z 2 Cnf0g =) a�(z) 2 Arg(z)b�. z 2 Cnf0g =) a�(z) 2 ]��; �] :Observamos que si ' := a� (z), con z 2 Cnf0g, entonces ' 2 ]� � �; � + �];

luego�� < '� � � �:

Sea ahora w := ei�. Así,

' 2 Arg (z) () '� � 2 Arg� zw

�;

luego a� (z) = arg�zw

�+ � y, en consecuencia:

a� es continua en z () arg es continua enz

w()

() arg� zw

�6= � () a� (z) 6= � + � ()

() � + � =2 Arg (z) :

Q.E.D.Un conjunto A del plano C se dice conexo por poligonales si cualesquiera

dos puntos suyos se pueden unir por un conjunto �nito de segmentos, todoscompletamente contenidos en A:

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El siguiente resultado será clave (entre toda una multitud de cosas) para verque en C; la situación

conexo por poligonales+

conexo por arcos+

conexo

tiene recíproco cierto cuando se considera sobre dominios; es decir, si el conjunto,además de conexo, es abierto.

Lema de Conexión. Sean un dominio del plano C y ; 6= A � : Supong-amos que A veri�ca la siguiente condición:

a 2 A;D(a; r) � =) D(a; r) � A:

Entonces A = :

Demostración. La hipótesis nos dice de A que es un abierto relativo en .Por tanto, bastará probar que es, también, cerrado relativo a . Sea z 2 \A:Ha de existir r > 0 tal que

D(z; r) � y D�z;r

2

�\A 6= ;:

Sea, pues existe, a 2 A tal que jz � aj < r=2. Así, si w 2 D(a; r=2),

jw � zj � jw � aj+ jz � aj < r;

luego w 2 , de donde D(a; r=2) � : Aplicamos ahora la hipótesis de estelema: D(a; r=2) � A.Pero esto conlleva que z 2 A, luego A es un abierto y cerrado relativo a

no vacío: A = : Q.E.D.

Proposición. Todo dominio del plano complejo C es conexo por poligo-nales.

Demostración. Sea � 2 . Llamemos

A := fz 2 : z se puede unir con � por una poligonalg :

Claramente A 6= ;, ¿o no? Sea, pues, a 2 A y sea r > 0 tal que D(a; r) � . Esclaro que

z 2 D(a; r) =) z 2 A;luego, por el lema de conexión, A = : Q.E.D.Gracias a que C es localmente conexo (y, por tanto, los abiertos son, local-

mente, dominios):

Proposición. Las componentes conexas de un abierto A del plano complejoC son dominios.

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Demostración. Sea una componente conexa de A. Veamos que esabierta. Sea a 2 y sea r > 0 tal que D(a; r) � A. Por argumentos deconexión habrá de ser D(a; r) � (¡detalla el argumento!), luego es unabierto. Q.E.D.(Recordemos que en C los abiertos se pueden expresar como unión numerable

de sus componentes conexas.)Curvas en el plano complejoVamos a completar este tema con una introducción al concepto de curva, tal

y como se va a usar en Variable Compleja.

De�nición. Llamamos curva en el plano C a cualquier aplicación continua dela forma

: [a; b] �! C:

Se acostumbra a escribir:

� := ([a; b]) := f(x(t); y(t)) : t 2 [a; b]g

como la imagen de la curva, donde x; y son funciones continuas de [a; b]en R.

Observemos que, aunque escribamos

(t) = (x(t); y(t));

debemos no confundir entre la aplicación y su (conjunto) imagen � � C:Con todo, se sobreentenderá, en cada caso, a quién nos estamos re�riendo. A(x (a) ; y (a)) se le llama origen de c; mientras que a (x (b) ; y (b)) se le llamaextremo de : Si origen y extremo son el mismo punto, a la curva se le llamacerrada.Observemos, igualmente, que las curvas pueden tener autocortes; es decir, no

tienen porqué ser aplicaciones inyectivas (pensemos en un lazo, por ejemplo).Veamos algunos ejemplos que nos familiarizarán con expresiones con las quehabremos de acostumbrarnos.

Ejemplo 1. (Segmentos) Dados z; w 2 C, el segmento de origen z y extremox es la curva

[z; w] : [0; 1]! C

dada por[z; w] (t) := tw + (1� t) z;8t 2 [0; 1] :

Observemos cómo en este caso, la imagen [z; w]� de [z; w] coincide con loque en un exceso (¡recordemos que no hay orden en C!) podría llamarse"intervalo de extremos" z y w, y que no podría escribirse de otra manerasino [z; w]. Esta curva recorre el segmento a velocidad constante, desde za w.

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Ejemplo 2. (Circunferencias) La expresión

� := f(a+ r cos (t) ; b+ r sin (t)) : t 2 [0; 2�]g

nos muestra la imagen de una curva cerrada que representa un circun-ferencia de radio r > 0 con centro en el punto (a; b) 2 C, y que es recorridaa velocidad constante en el sentido positivo (el contrario alas agujas delreloj). Notemos que, en nuestro lenguaje,

� = C((a; b); r):

(Nuestro caso más familiar será el de la circunferencia unidad T, cuando a =b = 0; r = 1.)

Ejemplo 3. (Yuxtaposición) Si disponemos de dos curvas

1 : [a; b] �! C; 2 : [c; d] �! C

tales que 1(b) = 2 (c), se puede de�nir lo que se llama curva suma deambas, y que se notará por 1 + 2, como la aplicación

1 + 2 : [0; 1] �! C

dada por

( 1 + 2) (t) :=

� 1 (2tb+ (1� 2t) a) :::; 0 � t � 1

2 2�2�t� 1

2

�d+ 2 (1� t) c

�:::; 1

2 � t � 1:

O bien, si se pre�ere una parametrización sencilla sobre el intervalo [a; b+ d� c],se puede hacer:

( 1 + 2) (t) :=

� 1 (t) :::; a � t � b 2 (c� b+ t) :::; b � t � b+ d� c:

Ejemplo 4. (Curva opuesta) Si : [a; b] �! C es una curva, su opuestaserá la nueva curva dada por

� : [a; b] �! C

dada por� (t) := (b+ a� t) ;8t 2 [a; b] :

Es decir, (� )� = � y sus recorridos son opuestos: los hacen en sentidocontrario el uno respecto del otro. (En particular, el origen de una es elextremo de la otra, y viceversa.) Por ello se dice que y � son curvasopuestas o de orientaciones contrarias. Y, en particular, + (� ) es unacurva cerrada: representa un "sendero de ida y vuelta".

Ejemplo 5. (Poligonales) Los ejemplos 1 y 3 nos permiten escribir, con plenosigni�cado, expresiones de la forma:

[z1; zn] = [z1; z2] + [z2; z3] + :::+ [zn�1; zn] :

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Ejemplo 6. Una curva no ha de ser necesariamente, como ya se dijo másarriba, inyectiva (veri�ca los cálculos y estudia con detalle lo que repre-senta):

t �! eit;8t 2 [��; 2�] :

Una curva se dice regular si es derivable en todo punto. Se dice regular atrozos si se puede expresar como yuxtaposición de curvas regulares. Se dirácamino si se trata de una curva cerrada regular a trozos.Cuando una curva es regular, se puede calcular su longitud mediante la

conocida fórmula:

long ( ) :=Z b

a

j 0 (t)j dt:

Puedes dar un vistazo de repaso y analizar las propiedades de las curvasanteriores, en los ejemplos, en relación a estos conceptos recién enunciados, asícomo completar los detalles en los ejemplos 7 a 9 que siguen. En particular, sepuede refrescar lo concerniente a curvas recti�cables, que no son otras que lasfunciones de variación acotada: en el caso de que sean curvas regulares, su lon-gitud (el supremo, �nito, de las correspondientes sumas poligonales asociadas)admite la representación integral que aparece arriba.

Ejemplo 7. [�1; 1] + [1; 1 + i] + [1 + i;�1� i]

Ejemplo 8. [1� i; 0] + [0; 1 + i] + �; donde

(t) :=p2ei(t+

�4 );8t 2

h0; 3

�

2

i:

Ejemplo 9. (t) := eit cos t;8t 2 [0; 2�] :

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Estúdiese la existencia de límite en el origen para la función compleja devariable compleja f de�nida en un entorno perforado del origen, cuando:

a. f(z) = Re zjzj ; b. f(z) = zRe z

jzj :

2. Sea f una función compleja de variable compleja uniformemente continuade�nida sobre el disco unidad D. Pruébese que se trata de la restricción,al disco unidad (abierto), de alguna función g continua en el disco unidadcerrado D:

3. Sea f una función compleja de variable compleja continua en un dominio: Supongamos que veri�ca��f2 (z)� 1�� < 1; 8z 2 :

Pruébese que o bien Re f(z) < 0 o bien Re f(z) > 0, para todo z 2 .

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4. Sea un dominio del plano complejo y sea f una función compleja de�nidasobre él. Supongamos que Re f(z) 6= 0 y que f2 (z) = z en . Pruébeseque, bajo estas hipótesis, o bien f(z) =

pz o bien f(z) = �

pz, para todo

z 2 .

5. Sea una sucesión (zn) de números complejos no nulos convegente a otrocomplejo no nulo z, y sea � 2 Arg(z). Pruébese la existencia de unasucesión (�n) tal que

�n 2 Arg (zn) ;8n natural y �n ! �:

(Indicación: redúzcase el problema al caso z = 1.)

6. Hágase un estudio detallado de la proyección estereográ�ca: cómo se trans-forma el hemisferio norte, cómo el hemisferio sur, cómo regiones acotadasde la esfera no tienen porqué serlo en su correspondiente región del planocomplejo ampliado, etc. Por ejemplo, ¿qué acción signi�ca sobre la esferaS2 la función compleja de variable compleja z ! f(z) = 1=z?

7. Pruébese que la proyección estereográ�ca de cualquier circunferencia con-tenida en la esfera de Riemann es una recta o una circunferencia en elplano complejo, según que la circunferencia de partida pase o no, respec-tivamente, por el Polo Norte de la esfera.

8. ¿Qué condiciones han de veri�car dos puntos del plano complejo para serlas proyecciones estereográ�cas de dos puntos diametralmente opuestos dela esfera de Riemann?

9. Considera la esfera de radio 12 tangencialmente situada sobre el origen del

plano complejo C. Calcula las ecuaciones de la correspondiente proyecciónestereográ�ca.

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