Esferica

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1

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica.•Definiciones•Triángulos esféricos. Triangulo polar•Propiedades de los triángulos esféricos•Superficie de un triángulo esférico

Tema 2: Relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo esférico.

•Fórmulas de Bessel•Teorema del coseno•Teorema del seno•Teorema de la cotangente•Teorema del coseno para los ángulos

• Funciones del ángulo mitad•Analogías de Gauss-Delambre•Analogías de Neper•Distancia esférica entre dos puntos

Tema 3: Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros. •Triángulos esféricos rectángulos•Propiedades de los triángulos esféricos rectángulos•Triángulos esféricos rectiláteros

Índice2

Tema 1: Geometría sobre la superficie esférica.

Circunferencia máxima o ciclo: es la intersección de una esfera con un plano que pasa por su centro.

Plano

Esfera

Índice3


Circunferencia menor: es la intersección de una esfera con un plano que no pasa por su centro.

Plano

Circunferencia menor

Esfera

Índice4


Distancia esférica entre dos puntos de una superficie esférica: Es la longitud del menor arco de circunferencia máxima entre dos puntos.

Índice5


Ángulo esférico entre dos ciclos: Es el ángulo formado por las tangentes a las semicircunferencias en uno de sus puntos de contacto.

Índice6


El ángulo esférico es el correspondiente al diedro formado por los planos de los dos ciclos.

Índice7


Polos de un ciclo: Son los extremos de un diámetro perpendicular al plano de un ciclo trazado por el centro de la esfera.

Índice8


Triángulo esférico: Es la porción de superficie esférica comprendida entre tres arcos de ciclo que se cortan dos a dos.

Longitud del ciclo 360º 2 r

Longitud del arco grados del arco L

• Ángulos: A, B y C son los ángulos planos de cada diedro.

Cálculo de los lados:

Elementos del triángulo:

• Vértices: A, B y C son los puntos de intersección de los arcos de ciclo.

• Lados: a, b y c son los lados del triángulo, son arcos, son expresados en unidades angulares.

Índice9


Triedro: si se unen los vértices de un triángulo esférico con el centro de la esfera, se obtiene un triedro.

O

A

B

C

c

b

a

Triángulo esférico: es la intersección de la esfera con las tres caras del triedro.

Ángulos: A, B y C miden los ángulos planos de cada diedro.

Lados: a, b y c son los lados del triángulo, son los ángulos respectivos de cada cara del triedro.

AOC b AOB c

BOC a

Vértices: A, B y C son la intersección de las aristas del triedro con la esfera.

Índice10


Propiedades de los triángulos esféricos:

1. Cualquier lado de un triángulo esférico es menor que 180º.

2. Cada lado del triángulo esférico verifica: |a – b | < c < a + b.

3. La suma de los ángulos de un triángulo esférico verifica:

180º < A + B + C < 540º

EXCESO ESFÉRICO: A + B + C – 180º.

Sigue

Índice11


Propiedades de los triángulos esféricos (continuación)

4. La suma de los lados de un triángulo esférico verifica:

0º < a + b + c < 360º

DEFECTO ESFÉRICO: 360º - (a + b + c)

5. En un triángulo esférico se verifica: a = b ⇔ A = B.

6. En un triángulo esférico se verifica: a > b ⇔ A > B

Índice12


Dos triángulos esféricos entre sí pueden ser:

• Adyacentes: si tienen un lado común.

• Simétricos: si los vértices de uno de ellos son diametralmente opuestos a los vértices del otro.

• Opuestos por el vértice: si tienen un vértice común.

Índice13


Tipos de triángulos esféricos:

1. Equilátero: si tiene los tres lados iguales.

2. Isósceles: si tiene dos lados iguales.

3. Rectángulo: si tiene uno o más ángulos rectos.

Nota.

Un triángulo esférico se llama rectilátero si tiene al menos un lado recto.

Índice14


Criterios de igualdad de triángulos esféricos.

Dos triángulos esféricos son iguales si tienen iguales:

1. Tres lados.

2. Tres ángulos.

3. Dos ángulos y el lado adyacente.

4. Dos lados y el ángulo comprendido.

Índice15


Triángulos esféricos polares.

El vértice Ap es el polo del cicloOBC, perteneciente al mismo hemisferio que el vértice A del triángulo inicial ABC.

Bp es el polo del ciclo OAC queestá en el mismo hemisferio que el vértice B.

Cp es el polo del ciclo OAB quepertenece al mismo hemisferio que el vértice B.

El triángulo esférico ApBpCp se llama triángulo polar del ABC

Dado el triángulo esférico ABC:

Índice16


Los triángulos esféricos polares poseen la siguiente relación:

“Cada ángulo de un triángulo esférico es suplementario de un lado de su triángulo polar.”

Es decir:

Ap = 180º - a ap = 180º - A

Bp = 180º - b bp = 180º - B

Cp = 180º - c cp = 180º - C

Índice17


Queremos calcular el área del triángulo esférico ABC.

Para ello, consideramos los cuatro triángulos esféricos que forman la mitad de la superficie esférica que se ve.

S= área del t. ABC

S’= área del t. A’BC

S’’= área del t. AB’C

S’’’= área del t. A’B’C

Se cumple que:

24' '' '''

2

rS S S S

Sigue

Superficie de la esfera de radio r: 24 r

Superficie de un triángulo esférico.

Índice18


24' '' '''

2

rS S S S

24' '' ''' 2 2

2

rS S S S S S

24

' '' ''' 22

r

S S S S S S S

De la expresión anterior podemos pasar a la

igualdad: y agrupando de dos

en dos triángulos formando husos esféricos.

2 24 4

'' ''' 2360º 2

r r

S S S S S

2 2 24 4 4

''' 2360º 360º 2

r r r

S S S

2 2 2 24 4 4 42

360º 360º 360º 2

r r r rS

º180180º

r S

2

Despejando S:

En este caso, al ser opuestos por el vértice se forma el huso esférico con el triángulo esférico simétrico del A’B’C que tiene la misma área.

Índice19


Superficie de un triángulo esférico.

Superficie de un polígono esférico:

Siendo: A1, A2, …,An ángulos del polígono n = nº de lados del polígono

Siendo: r = radio de la esfera y , , γ = ángulos del T. esférico

º180180º

r S

2

180º2)-n(A...AA180º

r S n21

2

Polígono esférico: es la porción de superficie esférica comprendida entre una poligonal cerrada, cuyos lados son arcos de circunferencia máxima.

Índice20

Tema 2: Relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo esférico.

Fórmulas de Bessel: teorema del coseno para lados, teorema

del seno, teorema de la cotangente, teorema del coseno para

ángulos.

Fórmulas de Briggs. Analogías de Gauss-Delambre. Analogías

de Neper.

Distancia esférica entre dos puntos.

Índice21

Federico Bessel.Matemático y Astrónomo alemán (1784-1846).Director del Observatoriode Konigsberg.Fórmulas de Bessel.

FÓRMULAS DE BESSEL

Objetivo: poder calcular un lado o un ángulocualquiera, en un triángulo esférico,a partir del conocimiento de otros tres elementos de dicho triángulo.

A

B

C

c

a

b

Clasificación de las Fórmulas de Bessel

1er Grupo de Bessel. Teorema del coseno para lados.

2º Grupo de Bessel. Teorema del seno.

3º Grupo de Bessel. Teorema de la cotangente.

4º Grupo de Bessel. Teorema del coseno para ángulos.

Tema 2. Relaciones entre los lados y los ángulos de un T.E.

Índice22

1ª Fórmula de Bessel.- Teorema del coseno para lados

A

B

C

c

a

b

Enunciado del Teorema del coseno para lados:

En todo triángulo esférico, el coseno de un lado es igual al producto de los cosenos delos otros dos lados, más el producto de lossenos de dichos lados por el coseno del ángulo comprendido.- Es decir:

cos a = cos b · cos c + sen b · sen c · cos A.

cos b = cos a · cos c + sen a · sen c · cos B.

cos c = cos a · cos b + sen a · sen b · cos C.


Índice23

Conceptos previos

H

O

A

B

C

hc

a

c

P

r

rbM

90º

90ºN

a) Definición de altura esférica.

Se llama altura esférica hc (CH)del triángulo esférico ABC sobreuna esfera de radio r al arco del ciclo perpendicular al arco AB y que pasa por C.

b) Proyecciones.

Proyección de C sobre el plano OAB

produce P.

Proyección de P sobre la recta OA es N

Proyección de P sobre la recta OB es M


Índice24

Conceptos previos. Continuación

H

Ohc

90º

90ºN90º

M

b

P

A

B

C

r

r a

c

90º

c) Triángulos formados:

N P

C

A .P

C

M

B. b

O N

C C

M O

a

cos A = NP

CN

cos B = CMPM

cos b = rON

sen b = rCN

cos a = rOM

sen a =r

CM

r r

Aclaración de ángulos


Índice26

Demostración: Teorema del coseno

N P

C

A .

P

C

M

B.

b

O N

C

C

M O

a

cos B = CMPM

cos a = rOM

sen a =r

CM

cos b = rON

sen b = rCN

OM = r · cos a

CM = r · sen a

ON = r · cos b

CN = r · sen b

Acos CN P N

B cos CM PM Sustituyendo CN yCM

PM = r · sen a · cos B

P N = r · sen b · cos A

r

r

II)

III)

IV)

V)

Tema 2. Trigonometría esférica.

cos A = PN

CN

Índice27

A

B

C

hc

a

c

Pr

rbM90º

90ºN

Demostración Teorema del coseno (Continuación).

a cosr OM )OCProyOB

(

c cosb cosr c cosON OG )ONProyOB

(

O

.

.

B

H

AN

P

MG

OJ c

c sen Acosb senr

c senP N JP GM )P NProyOB

(

Por tanto:

GM OG OM

r. cos a = r· cos b· cos c + r·sen b· cos A· sen c

Simplificando (dividir entre r):

cos a = cos b· cos c + sen b· sen c· cos A

a

cc


Índice28

Demostración Teorema del coseno (Continuación).

Análogamente para los cosenos de los lados “b” y “ c”.

Se tendría:

cos b = cos a · cos c + sen a · sen c · cos B

cos c = cos a · cos b + sen a · sen b · cos C


Permiten calcular: Los ángulos, conociendo los tres lados. Un lado, conociendo los otros dos y el ángulo comprendido.

Índice29

Enunciado del Teorema del seno

En todo triángulo esférico, los senos de los

lados son proporcionales a los senos de los

ángulos opuestos, es decir:

C sen

c sen

B sen

b sen

Asen

a sen

A

B

C

c

a

b

2ª Fórmula de Bessel.- Teorema del seno


Permiten calcular un lado o un ángulo, conociendo su ángulo opuesto, o lado opuesto, y otro par de elementos opuestos.

Índice30

Demostración: Teorema del seno

H

Ohc

90º

90ºN

90º

M

b

P

A

B

C

r a

c

90º

N P

C

A .b

sen A = CP

CN

sen b = rCN


Se llama altura esférica hc (CH) del triángulo esférico ABC sobre una esfera de radio r al arco del ciclo perpendicular al arco AB y que pasa por C.

c c

CPsen CP r sen

rh h

CP CN sen A

CN r senb

y sustituyendo:

chsen

CP r sen b sen A

Necesitamos calcular CP:

y ahora CN:

Índice31

Demostración: Teorema del seno

r

P

C

M

B.

sen B = CM

CPIII)

C

M O

a

sen a =r

CMIV)

CP CM sen B

B sen

b sen

Asen

a sen Simplificando

yordenando

CM r sen a

Despejando:


Asen b sen r CP

B sen a sen r CP Igualando: Asen b sen r B sen a sen r

Análogamente, volvemos a calcular CP:

Despejando:

y sustituyendo:

chsen

CP r sen a sen B

y ahora CM:

Índice32

Demostración: Teorema del seno. (Continuación)

Trazando la altura esférica ha sobre el lado a, se

probaría la relación:

C sen

c sen

B sen

b sen

Asen

a sen

Por tanto:

C sen

c sen

B sen

b sen

c.q.d


Índice33

Aplicación práctica del Teorema del seno

A

B

C

a

b

c

Razonar si puede, al menos, existir un triángulo esférico con los

elementos siguientes:

a = 30º 53’ b = 31º 09’ A = 87º 34’

Solución:

Tenemos dos lados y un ángulo no comprendido.

Aplicamos el Teorema del seno:

Asen

a sen

B sen

b sen

a sen

b sen Asen B sen

; Despejamos sen B:

. Sustituyendo por los datos:

30º53' sen

31º09' sen 34' 87º sen B sen 1,006862 > 1. Luego NO EXISTE

triángulo esférico


Índice34

3

Por el teorema del coseno y del seno se tiene:

3er grupo del Teorema del seno3ª Fórmula de Bessel.- Teorema de la cotangente

C sen Asena sen

c sen

C cosb sena sen b cosa cos c cos

Acosc senb sen c cosb cos a cos

A

B

C

c

a

b

Sustituyendo cos c y sen c en la primera fórmula obtenemos:

cos a = cos b(cos acos b + sen asen bcos C) + Asen

a sensen Ccos A sen b

Simplificando:

cos a = cos acos 2 b + cos b sen asen bcos C + sen bsen C cot A· sena

Sigue


Índice35

Pasamos el 1er sumando del 2º término al 1er miembro:

cos a – cos acos2 b = cos bsen asen bcos C + sen bsen asen Ccot A

Sacamos factor común cos a en el 1er término:

cos a (1 – cos2b) = cos bsen asen bcos C + sen bsen asenC cotA

Teorema de la cotangente (continuación)

cos asen2 b = cos b sen a sen bcos C + sen b sen a sen C cot A

R.F.T

• Dividimos ambos miembros por sen asen b, se tiene:

cot a sen b = cos b cos C + sen C cot A

Sigue


Índice36

De forma análoga y por permutación, se tiene:

cot a sen b = cos b cos C + sen C cot A

cot a sen c = cos c cos B + sen B cot A

cot b sen a = cos a cos C + sen C cot B

cot b sen c = cos c cos A + sen A cot B

cot c sen a = cos a cos B + sen B cot C

cot c sen b = cos b cos A + sen A cot C

Teorema de la cotangente (continuación)


Índice37

4ª Fórmula de Bessel.- Teorema del coseno para ángulos

Recordar:

Triángulo Polar: Dado el triángulo ABC, hallamos el polo Cp del lado c más próximo al vértice C. Del mismo modo determinamos el polo Bp del lado b y el polo Ap del lado a.


Índice38

Aplicando el Teorema del Coseno para lados al triángulo polar ABC, se tiene:

cos ap = cos bp cos cp + sen bpsen cpcos Ap

4ª Fórmula de Bessel.- Teorema del coseno para ángulos

Por tanto:

cos(180º - A) = cos(180º - B)cos(180º - C) + sen(180º - B)sen(180º - C)cos(180º - a)

Simplificando:

- cos A = (- cos B) (- cos C) + sen Bsen C ( - cos a)

Multiplicando la igualdad por (-1):

cos A = - cos B cos C + sen Bsen C · cos aSigue


Índice39

Obteniéndose las fórmulas que relacionan tres ángulos y un lado:

cos A = - cos Bcos C + sen Bsen Ccos a

cos B = - cos Acos C + sen Asen Ccos b

cos C = - cos Acos B + sen Asen Bcos c

Teorema del coseno para ángulos (continuación)


Índice40

Funciones del ángulo mitad

Sabemos por trigonometría plana que:

21

2A cos2 (1 + cos A) AR (*)

Y por el Teorema del Coseno para lados tenemos:

cos A = c senb sencoscb cos - a cos

Sustituyendo cos A en la ecuación (*), se tiene:

cos2 21

2A (1 + c senb sen

coscb cos - a cos

) =

c senb senc cosb cos - c senb sen a cos

21

c) cos(b -

Sigue

=


Índice41

Funciones del ángulo mitad (continuación)

sencb sen2

a - c bsen

2c b a

sen

sencb senc) cos(b - a cos

21

=

Recordar:

• cos A – cos B = - 2 2

B-Asen

2BA

sen

• sen (- A) = - sen A

Llamamos: a + b + c = 2 p (perímetro) b + c – a = 2p – 2a = 2(p – a)

Sustituyendo nos queda:c senb sen

a) - sen(pp sen

2A

cos2

Sigue


Índice42

Funciones del ángulo mitad (continuación)

Por tanto:c senb sen

a) - sen(pp sen

2A

cos

Análogamente, si partimos de: sen2 21

2A (1 - cos A)

Se obtiene:c senb sen

c) - sen(pb) - (p sen

2A

sen

Efectuando el cociente, se tiene:

a) - (p senp senc) - sen(pb) - (p sen

2A

cos

2A

sen

2A

tg

Estas fórmulas permiten calcular los ángulos de un triángulo esférico, conocidos tres lados o bien el perímetro y dos lados.


Índice43

Ejemplo de aplicación de las Funciones del ángulo mitad

En un triángulo isósceles los lados miden: b = c = 60º, a = 90º.

Calcula A, B y C

Solución


16" 28' 109º A 3

2 sen arc

2

A

tanto por3

2

sen60º

sen45º

sen60º

)60º-sen(p

2

Asen

2pcba

c senb sen

c)-sen(pb)-sen(p

2

Asen

Sigue

Índice44


Ejemplo de aplicación de las Funciones del ángulo mitad

Cálculo de B:

C = B = 54º 44’ 08” ; A = 109º 28’ 16”

Índice45

Analogías de Gauss - Delambre

Partimos de:2B

sen2A

sen - 2B

cos2A

cos 2B

2A

cos

Sustituyendo por las fórmulas del ángulo mitad:

b sena senb) - sen(pa) - sen(p

c senc) - sen(p

-

- b sena sen

b) - sen(pa) - sen(pc senp sen

c sensena

c) - sen(pa) - sen(pc senb sen

c) - sen(pb) - sen(p

- c sena sen

b) - sen(pp senc senb sen

a) - sen(pp sen

2B

2A

cos

Sigue


Índice46

Analogías de Gauss - Delambre (continuación)

“sen C/2 se pasa al 1ermiembro”

Por tanto:

Sigue


A B 2p-c ccos 2cos sensen p - sen(p - c)2 2 2 2 C c ccsen 2sen cossen 22 2

Simpli

2

ficando

2

a bcos

2c

cos2

Índice47

Analogías de Gauss - Delambre (continuación)

2C

sen

2BA

cos

2c

cos

2ba

cos

Luego:

De forma análoga:

2C

cos

2BA

sen

2c

cos

2ba

cos

2C

sen

2BA

cos

2c

sen

2ba

sen

2C

cos

2BA

sen

2c

sen

2ba

sen


Índice48

Analogías de Neper

Calculemos:2

BAtg

2C

cot

2ba

cos

2b-a

cos

2C

sen

2c

cos

2ba

cos

2C

cos

2c

cos

2b-a

cos

2BA

cos

2BA

sen

2BA

tg

Por tanto:

2BA

cot

2ba

cos

2b-a

cos

2C

tg

Sigue


Índice49

Analogías de Neper (continuación)

De forma análoga se obtienen:

2BA

cot

2ba

sen

2b-a

sen

2C

tg

Y para el lado c:

2

b-atg

2BA

sen

2BA

sen

2

ctg

2

batg

2BA

cos

2BA

cos

2

ctg

Fórmulas que permiten resolver un triángulo esférico conocidos dos lados y el ángulo comprendido, ó bien dos elementos y el opuesto a uno de ellos, usando previamente el teorema del seno


Índice50

Dadas las coordenadas geográficas de doslugares, hallar la distancia esférica que lossepara.

Punto A Longi

Latit

tud

ud C

OC

A

Punto B Longi

Latit

tud

ud D

OD

B

• Se pide calcular la distancia AB.• PGP’ es el meridiano de Greenwich.• El triángulo esférico a estudiar es PAB.

• CD = OD (Longitud de B) – OC(Longitud de A).• CD es la medida del ángulo P en el triángulo esférico PAB.

Distancia esférica entre dos puntos


Índice51

En el triángulo esférico PAB:

Conocemos PA: (90º – Latitud de A).Conocemos PB: (90º – Latitud de B).Conocemos el ángulo P que es CD.

Queremos calcular AB, es decir p:Para ello aplicamos el teorema del coseno para lados.cos p = cos a· cos b + sen a· sen b· cos P

cos p = cos(90º- Latitud del punto B) · cos(90º- Latitud del punto A) +

sen(90º- Latitud del punto B) · sen(90º- Latitud del punto A) · cos P

p

Distancia esférica entre dos puntos (continuación)


Índice52

Punto A.

Longitud = 4º 05’ 10’’ W.Latitud = 44º 36’ 0’’ N.

Punto B.

Longitud = 12º 10’ 0’’ E.Latitud = 40º 10’ 20’’ N.

El meridiano de Greenwich está entre los meridianos de A y B.

El ciclo EDF es el ecuador.

El arco DF es el valor del ángulo esférico en P y es la suma de las long. de A y B.

Los ciclos PAD y PBF son los meridianos respectivos de A y B.

Aplicación práctica de distancia esférica entre dos puntos.

Sigue


Índice53

El arco AP es el lado b del triángulo esférico APB y su valor es el ángulo complementario al arco DA.

El arco BP es el lado a del triángulo esférico APB y su valor es el ángulo complementario del arco FB.

Se pide calcular el arco AB, es decir p en el triángulo esférico PAB.

Teorema del coseno para lados:

cos p = cos a · cos b + sen a · sen b · cos P

Aplicación práctica de distancia esférica entre dos puntos.(continuación)


Índice54

p = arc cos (0’975724) = 12º 46’ 05”.

Calculemos a, b, p.

a = 90º - Latitud de B = (90º - 40º 10’ 20” N) a = 49º 49’ 40”.

b = 90º - Latitud de A = (90º - 44º 36’ 0”N) b = 45º 24’ 0”.

P = Longitud A + Longitud B = = 4º 05’ 10” + 12º 10’ 0” = 16º 15’ 10”. P = 16º 15’ 10”.

cos p = cos(49º 49’ 40”)·cos(45º 24’) + sen(49º 49’ 40”)·sen(45º 24’)·cos(16º 15’10”)

Aplicación práctica de distancia esférica entre dos puntos (continuación)


Índice55

p = arc cos(0’9752724) = 12º 46’ 05”

Considerando la Tierra esférica con radio R = 6.373 km, el valor de un ciclo es 2πR = 40.042 km.

Un grado de ciclo valdrá:

El arco 12º 46’ 05” en grados son: 12’76º.

La distancia AB en km es 12,76 · 111,2 km = = 1.418,9 km.

40.042 / 360º = 111,2 km por grado

Aplicación práctica de distancia esférica entre dos puntos (continuación)


Índice56

Resolución de triángulos esféricos

Resolver un triángulo esférico es conocer sus tres lados y sus tres

ángulos.

Se pueden presentar los siguientes casos:

1. Se conocen tres lados.

2. Se conocen tres ángulos.

3. Se conocen dos lados y el ángulo comprendido.

4. Se conocen dos ángulos y el lado comprendido.

5. Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

6. Se conocen dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos.


Índice57

Resolución de triángulos esférico: 1er caso

Se conocen tres lados y se quieren conocer los tres ángulos.

Ejemplo

Datos: a = 39º 27’ 42’’; b = 71º 13’ 15’’; c = 54º 02’ 02’’

Incógnitas: A, B, CSolución

Aplicación del teorema del coseno para lados:

cos a = cos b · cos c + senb · senc· cos A

Despejamos cos A, es decir:

'55' 27' 40º A 0,7607976

0,766279

0,5829833

c sen b sen

c cosb cos - a cos A cos

Sigue


Índice58

Resolución de triángulos esférico: 1er caso

'45' 48' 104º B

810,25565376- 20,51440119

30,13150860-

c sena sen

c cosa cos - cosb B cos

Ángulo B:

Ángulo C:

'12' 44' 55º C

270,56299001 210,60172857

650,33876717

b sena sen

b cosa cos - c cos C cos

SiguePropiedades triángulos

esféricos


Índice60

Resolución de triángulos esférico 1er caso

La solución del problema es:

A = 40º 27’ 55’’

B = 104º 48’ 45’’

C = 55º 44’ 12’’

Se puede observar que cumple todas las propiedades de los triángulos esféricos.


Índice61

Resolución de triángulos esférico: 2º caso

Se conocen tres ángulos y se quiere calcular los tres lados:

Ejemplo

Datos: A = B = 52º 14’ 24’’; C = 82º 12’ 03’’

Incógnitas: a, b, c.Solución

Comprobamos que se trata de

un triángulo esférico:

A + B + C = 186º 40’ 51’’

Luego: 180º < A + B + C < 540º

Para resolver este 2º caso se aplica el teorema del coseno para ánguloscos A = - cos B · cos C + sen B · sen C· cos a.

Sigue


Índice62


'29' 23' 27º a 90,88788397 C sen B sen

C cosB cos - A cos a cos

Se despeja cos a del teorema del coseno para ángulos:

Como a = b A = B. Luego: b = 27º 23’ 29’’

Se aplica otra vez el teorema del coseno para ángulos, esta vez para

el ángulo C: cos C = - cos A · cos B + sen A · sen B· cos c.

Despejamos cos c y nos queda:

'30' 12' 35º c 650,81706074 B sen A sen

B cos A cos C cos c cos

Se puede observar que cumple todas las propiedades de los triángulos esféricos.

Propiedades triángulos esféricos


Índice63


Se conocen dos lados y el ángulo comprendido.

Ejemplo

Datos: a = 73º 58’ 58’’; b = 38º 45’ 00’’; C = 46º 33’ 41’’

Incógnitas: A, B, c

Solución

Para resolver este caso se utiliza el teorema

del coseno para lados. En este ejemplo se

aplica dicho teorema para calcular el lado c.

Una vez calculado el lado c, se vuelve aplicar

dicho teorema para calcular los ángulos A y B

Sigue


Índice64


Teorema del coseno para lados:

cos c = cos a · cos b + sen a · sen b · cos C .

Sustituyendo los datos nos queda:

cos c = 0,62885370 c = 51º 02’ 03’’

• Ahora ya conocemos los tres lados.

Se vuelve aplicar el teorema del coseno para lados.

cos a = cos b · cos c + sen b · sen c · cos A despejando cos A, se tiene:

cos A = - 0,440764432 A = 116º 09’ 9’’

• Cálculo del ángulo B.

cos b = cos a · cos c + sen a · sen c · cos B despejando cos B, se tiene:

cos B = 0,81136809103 B = 35º 46’ 12’’


Índice65


Se conocen dos ángulos y el lado comprendido.

Ejemplo.

Datos: A = 40º 30’; B = 109º 20’; c = 120º 10’

Incógnitas: C, a, b.Solución

Para resolver este caso se utiliza el teorema

del coseno para ángulos. En este ejemplo

se aplica dicho teorema para calcular el

ángulo C.

Una vez calculado el ángulo C, se vuelve aplicar dicho teorema para

calcular los lados a y b. Sigue


Índice66


Teorema del coseno para ángulos:

cos C = - cos A · cos B + sen A · sen B · cos c .

Sustituyendo los datos nos queda:

cos C = - 0, 0562122 C = 93º 13’ 20’’

• Ahora ya conocemos los tres ángulos.

Se vuelve aplicar el teorema del coseno para ángulos.

cos A = - cos B · cos C + sen B · sen C · cos a despejando cos a, se

tiene: cos a = 0,82684229724 a = 34º 13’ 27’’

• Cálculo del lado b.

cos B = - cos A · cos C + sen A · sen C · cos b despejando cos b, se

tiene: cos b =0,57637105996 b = 54º 48’ 15’’


Índice67


Se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.EjemploDatos: a = 42º 42’ 12’’; A = 37º 45’; b = 65º 36’Incógnitas: B, C, c

Solución

En este caso disponemos de dos valores como posibles soluciones. Se darán los siguientes pasos:1. Se aplica el teorema del seno para calcular el ángulo B y decidiremos si tiene 1 ó 2 soluciones (según las propiedades de los triángulos esféricos).2. Se aplica las fórmulas de Neper para calcular el lado c. 3. Se aplica el teorema del coseno para lados para calcular el ángulo C,

Sigue


Índice68


Teorema del seno para calcular el ángulo B:

a sen

b sen A sen B sen

B sen

b sen

Asen

a sen Sustituyendo los datos

Sen B = 0,822079446783.

Hay dos posibles soluciones ya que el seno es positivo en el 1er cuadrante

y el 2º cuadrante, siendo ambas soluciones menores que 180º. Estas

soluciones son: B1 = 55º 17’ 36’’ ; B2 = (180º - 55º 17’ 36’’) = 124º 42’ 23’’

¿Son válidas ambas soluciones? Se tiene que comprobar la propiedad de

los triángulos esféricos: a > b ⇔ A > B para todos los lados del

triángulo esférico. En este caso a < b A = 37º 45’ < B, pero esto lo

cumplen ambos ángulos Hay dos soluciones. Sigue


Índice69


Primera solución

Datos: a = 42º 42’ 12’’; A = 37º 45’; b = 65º 36’; B1= 55º 17’ 36’’

Incógnitas: c1, C1

Solución: Para calcular el lado c1, aplicamos la fórmula de Neper:

2

batg

2BA

cos

2BA

cos

2

ctg

1

1

1

Cálculos:

Sigue


Índice70


90,43155548 - b sen a sen

b cos a cos - c cos C cos 1

1

Por tanto:

c1 = 87º 52’ 38’’

Cálculo del ángulo C1, se utiliza el teorema del coseno para lados:

C1 = 115º 33’ 58’’

Sigue

Triángulo solución 1:


Índice71

Segunda solución

Datos: a = 42º 42’ 12’’; A = 37º 45’; b = 65º 36’; B2= 124º 42’ 23’’

Incógnitas: c2, C2


2

batg

2BA

cos

2BA

cos

2

ctg

2

2

2

060,72563562 2

'23' 57' 86º- cos

2

B -A cos

620,15249856 2

'23' 27' 162º cos

2

B A cos

2

2

Solución: Para calcular el lado c2, aplicamos la fórmula de Neper:

Cálculos:

361,38407174 2

b a tg

Sigue


Índice72


50,87496695 b sen a sen

b cos a cos - c cos C cos 1

2

Por tanto:

c2 = 32º 26’ 12’’

Cálculo del ángulo C2, se utiliza el teorema del coseno para lados:

C2 = 28º 57’ 32’’

Triángulo solución 2:


Índice73


Se conocen dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos.

Ejemplo

Datos: C = 42º 12’ 20’’; B = 83º 34’ 15’’ ; b = 74º 18’ 02’’

Incógnitas: a, c y A SoluciónEn este caso disponemos de dos valores como posibles soluciones. Se darán los siguientes pasos:1. Se aplica el teorema del seno para calcular el lado c y decidiremos si tiene 1 ó 2 soluciones (según las propiedades de los triángulos esféricos).2. Se aplica las fórmulas de Neper para calcular el lado a . 3. Se aplica el teorema del coseno para lados para calcular el ángulo A,

Sigue


Índice74


B sen

b sen C sen c sen

B sen

b sen

C sen

c sen

Teorema del seno para calcular el lado c:

= 0,65082377777

Puede haber dos soluciones:c1 = 40º 36’ 13’’ y c2 = (180º - 40º 36’ 13’’) = 139º 23’ 46’’

¿Son válidas ambas soluciones?

Se tiene que comprobar la propiedad

de los triángulos esféricos: B > C b > c,

esta propiedad solo se cumple para la

1ª solución. Luego rechazamos c2 = 139º 23’46’’Sigue


Índice75



2

cbtg

2CB

cos

2CB

cos

2

atg

2

a

Solución única del problema:

Datos: C = 42º 12’ 20’’; B = 83º 34’ 15’’ ; b = 74º 18’ 02’’; c = 40º 36’ 13’’

Incógnita: a, A.

• Analogía de Neper para el lado a:

= 0,76322043565 = 37º 21’ 6’’

a = 74º 42’ 11’’

• Cálculo del ángulo A, mediante el teorema del coseno para lados:

5430,09317902 c sen b sen

c cos b cos - a cos A cos

A = 84º 39’ 13’’

Índice76

Tema 3 . Triángulos esféricos rectángulos y rectiláteros

Triángulos esféricos rectángulos

Un triángulo esférico se llama rectángulo si tiene uno o más

ángulos rectos.

Para hallar las fórmulas relativas a los triángulos rectángulos

basta sustituir un ángulo por 90º en las fórmulas generales

obtenidas anteriormente. Sea el ángulo recto A, sen A = 1,

cos A = 0 y apliquemos a los diferentes teoremas estos valores:

Sigue

Índice77



Teorema del coseno para lados

cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A

Sustituyendo A = 90º cos 90º = 0 cos a = cos bcos c

Teorema del seno

C senc sen

B senb sen

Asena sen

B senb sen

90º sena sen

1

sen b = sen a sen B

C senc sen

90º sena sen sen c = sen asen C Sigue

Índice78



Teorema de la cotangente

• cot a sen b = cos b cos C + sen C cot A

Sustituyendo A = 90º cot A = 0. Por tanto:

cot asen b = cos b cos C + 0 Trasladamos “cos b” al 1er miembro y

“cot a” al 2º miembro. Nos queda: tg b = tg a cos C

• cot a sen c = cos c cos B + sen B cot A

Sustituyendo A = 90º cot A = 0. Luego:

cot asen c = cos ccos B + 0 Trasladamos “cos c” al 1er miembro y

“cot a” al 2º miembro. Nos queda: tg c = tg acos BSigue

Índice79

• cot b sen c = cos c cos A + sen A cot B

Sustituyendo A = 90º cos A = 0, sen A = 1. Nos queda:

cot b sen c = 0 + 1cot B tg b = sen c tg B

• cot c sen b = cos b cos A + sen A cot C


cot c sen b = cot C tg c = sen b tg C



Sigue

Índice80



Teorema del coseno para ángulos

• cos A = - cos Bcos C + sen Bsen Ccos a

Sustituyendo A = 90º cos A = 0. Nos queda:

0 + cos Bcos C = sen Bsen Ccos a Despejamos “cos a”:

cos a = cot B cot C

• cos B = - cos Acos C + sen Asen Ccos b


cos B = sen C cos b

• cos C = - cos Acos B + sen Asen Bcos c

Sustituyendo A = 90º cos A = 0, sen A = 1 cos C = sen Bcos c

Índice81



Regla de Neper de los elementos circulares.

Las fórmulas anteriores pueden recordarse mediante la regla

descubierta por Neper.

Puestos los elementos del triángulo

esférico en los vértices de un pentágono

y en el orden que indica la figura, el

coseno de cada vértice es igual al

producto:

• De los senos de los vértices opuestos.

• De las cotangentes de los vértices

adyacentes.

Índice82

Ejemplos

• cos a = sen(90º- c) sen(90º- b) = cos ccos b

• cos a = cot B cot C

• cos B = sen C sen(90º - b) = sen C cos b

• cos B = cot a cot (90º - c) = cot a tg c

• cos C = sen B sen(90º - c) = sen B cos c

• cos C = cot a cot(90º - b) = cot a tg b



Índice83



Proposición

En todo triángulo esférico rectángulo, un cateto y su ángulo

opuesto son ambos agudos o ambos obtusos.

Demostración

En las fórmulas de la cotangente tenemos:

tg b = sen c tg B y tg c = sen b tg C

Como sen c y sen b siempre son factores positivos

(no puede haber ángulos mayores ni iguales a 180º)

tg b y tg c han de tener siempre el mismo signo que tg B y tg C,

respectivamente.

Índice84



Proposición

En todo triángulo rectángulo, o los tres lados son menores de 90º,

o uno tan solo de ellos cumple con esa condición.

Demostración

•Si la hipotenusa “a” es aguda. Por el teorema del coseno para lados

tendremos:

cos a = cos b cos c. Sabemos que cos a > 0

+ = + + ó

+ = - -

Por tanto, los tres lados son agudos o solo lo es uno de ellos.Sigue

Índice85

• Si la hipotenusa a es obtusa. Por el teorema del coseno para

lados tendremos:

cos a = cos b cos c. Sabemos que cos a < 0

- = + - ó

- = - +

Por tanto, solo uno de ellos es agudo.



Índice86



Proposición

En todo triángulo esférico rectángulo, la hipotenusa es menor o

mayor que 90º, según que los dos catetos sean de la misma o de

distinta especie, (igual o distinto signo), respectivamente.

Demostración

Es consecuencia inmediata

de la proposición anterior.

Índice87



senh= senBsenc=0.562321217 h = 145 º

34º 1

47' 1

2 '

''

59 ''

90º

Dado el triángulo esférico de lados a=80º, b=40º y c=100º, hallar la altura esférica sobre el lado “a” y decir si es interior o exterior al triángulo.

C

B

A

H

c=100º

b=40º

a=80ºh

180º-C

Si la altura sobre el lado a es interior (h), al triángulo ABC, entonces B y C han de ser ambos agudos o ambos obtusos, pues son ángulos que se oponen al cateto (h), en los triángulos rectángulo en que (h),divide al triángulo ABC.Si la altura es exterior (h), entonces han de ser B y 180º-C ambos agudos o ambos obtusos, es decir, B y C tienen distinto carácter.

h

Solución:

Por tanto, hemos de hallar primero B y C:

cosB=cosb cosa cosc

sena senc

= 0.820952891 34 49 11B º ' ''

cosC=cosc cosa cosb

sena senb

= -0.484454398 118 5 3C º 8' 6 ''

Luego al ser las soluciones válidas B = 34º 49’ 11’’<90º y C = 118º 58’ 36’’, deducimos que la altura sobre el lado a es exterior al triángulo ABC y su valor es un ángulo agudo. Considerando el triángulo ABH rectángulo en H

Índice88



Resolución de triángulos esféricos rectángulos.

Se pueden presentar los siguientes casos:

1. Se conocen dos catetos y el ángulo recto A.

2. Se conocen la hipotenusa a y un cateto.

3. Se conocen un cateto b, y su ángulo opuesto.

4. Se conocen un cateto b, y el ángulo adyacente C.

5. Se conocen la hipotenusa a y un ángulo C.

6. Se conocen tres ángulos A, B y C.

Índice89


Resolución de Triángulos esféricos rectángulos: 1er caso

Se conocen dos catetos y el ángulo recto AEjemploDatos: b = 75º 47’, c = 102º 38’Incógnitas: a, B y C

SoluciónPara resolver este caso, mediante la regla de Neper,

Se calcula:

1. cos a = sen (90º - c) · sen (90º - b)

2. cos B = cot a · cot (90º - c). Si se quiere utilizar solo

datos del enunciado, se aplica el t. de la cotangente:

c senb tg

B tg

3. cos C = cot a · cot (90º - b). Si se quiere utilizar solo datos del enunciado, se aplica el t. de la cotangente.

(1)

(1) (1)

(2)

(2)

(2)

Sigue

Índice90



Solución1. cos a = sen (90º - c) · sen (90º - b) = cos c · cos b =

= (-0,21871096) · 0,245589475 = - 0,053713109

Luego: a = 180º - 86º 55’ 15’’ = 93º 4’ 44’’

2. Cálculo de B, aplicando el t. de la cotangente

34,04506539 60,97578968

13,94713309

c sen

b tg B tg

Luego

B = 76º 6’ 50’’

3. Cálculo del ángulo C, aplicando el t. de la cotangente:

14,60250504- 10,96937395

74,46154889-

b sen

c tg C tg Luego:

C = 180º - 77º 44’ 30’’ = 102º 15’ 29’’

Índice91


Resolución de Triángulos esféricos rectángulos: 2º caso

Se conocen la hipotenusa a y un cateto.

Ejemplo

Datos: a = 112º 42’ 36’’, b = 76º 44’ 15’’, A = 90º

Incógnitas: c, B y C.

Solución Para resolver este caso, mediante la regla de Neper,

Se calcula:

1. cos C = cot a · cot (90º - b)

2. cos B = sen C · cot (90º - c). Si se quiere utilizar

solo datos del enunciado, se aplica el t. del seno:

a senb sen

B sen

3. Cálculo del lado c: cos (90º - c) = sen a · sen C. Si se quiere utilizar solo datos del enunciado, se aplica el t. de la cotangente:

a tgb tg

C cos Sigue

Índice92



Solución

1. Cálculo del ángulo C

cos C = cot a · cot (90º - b) =

= 0,4185141149 · 4,2426990544

= 1,775629586

Como cos C > 1 No existe tal triángulo

esférico

Índice93



Se conocen un cateto b, y su ángulo opuesto.

Ejemplo

Datos: b = 34º 40’ 23’’, B = 52º 56’ 32’’, A = 90º

Incógnitas: C, a y c

Solución1. Cálculo del lado c: cos(90º - c) = cot B · cot (90º - b)

2. Cálculo de C: cos C = sen B · sen (90º - c). Si se

quiere utilizar solo datos del enunciado, se aplica

el t. del coseno para ángulos: cos B = cos b sen C

b cosB cos

C sen

3. Cálculo del lado a: cos a = sen(90º - c) · sen(90º - b)Aplicar solo datos del enunciado, se utiliza el t. delseno. Sigue

Índice94



1. Cálculo del lado c: cos(90º - c) = cot B · cot (90º - b)

sen c = 0,6917373308 · 0,6917373084 = 0,522355942042

Por tanto: c1 = 31º 29’ 25’’. (1er cuadrante) c2 = 148º 30’ 39’’ (2º cuadrante)

2. Cálculo de C: cos C = sen B · sen (90º - c).

Cos C1 = 0,7980282263 · 0,85277275472 =

= 0,6805006520 C1 = 47º 07’ 02’’.

Solución para c2:

C2 = 132º 52’ 58’’3. Cálculo del lado a: cos a = sen(90º - c) · sen(90º - b) cos a = 0,852727547 · 0,8224116647 = 0,701293081722 a1 = 45º 28’ 09’’.2ª solución: a2 = 134º 31’ 51’’

Índice95



Se conocen un cateto b, y el ángulo adyacente C.

Ejemplo

Datos: b = 41º 52’ 14’’; C = 59º 0’ 12’’; A = 90º

Incógnitas: B, a y c

Solución

1. Cálculo de B: cos B = sen C · sen (90º - b)

sen

sen

3. Cálculo del lado a: cos a = sen (90º - c) · sen (90º - b) Si solo se quiere aplicar datos del enunciado, se utilizará el t. de la cotangente:

Sigue

2. Cálculo de c: cos (90º -c) = cot B · cot(90º - b). Si solo se quiere aplicar datos del enunciado; entonces se utiliza el teorema de la cotangente: tg c = sen b · tg C

C cos

b tg a tg

Índice96



cos B = sen C · sen (90º - b) =

= 0,85719726 · 0,744654648 = 0,638315924

Luego: B = 50º 20’ 1’’

1. Cálculo de B

2. Cálculo de c:

cos (90º -c) = cot B · cot(90º - b) sen c = cot B · tg b =

= 0,829225517 · 0,896321489 = 0,743252650c = 48º 0’ 33’’ (2ª solución = 131º 59’ 27’’ no

es válida ya que un cateto y su vértice opuesto

son ambos agudos o ambos obtusos)

3. Cálculo de a: cos a = sen (90º - c) · sen (90º - b) = 0,9818267482 Luego: a = 60º 7’ 12’’

Índice97



Se conocen la hipotenusa a y un ángulo C.

Ejemplo

Datos: a = 60º 07’ 13’’; C = 59º 00’ 12’’; A = 90º

Incógnitas: b, c y B

Solución 1. Cálculo de c: cos (90º - c) = sen a · sen C

2. Cálculo de B:

cos B = cot a · cot (90º - c). Si solo se quiereaplicar datos del enunciado; entonces se utiliza del teorema seno:sen c = sen a · sen C

3. Cálculo de b cos (90º - b) = sen a · sen B.

Si solo se quiere aplicar datos del enunciado; entonces se

utiliza del teorema de la cotangente; tg b = tg a · cos C Sigue

Índice98



1. Cálculo de c:

cos (90º - c) = sen a · sen C = 0,7432527021

sen c c = 48º 00’ 33’’ . La 2ª solución

no es válida ya que en todo t. esf. rectángulo

un cateto y su vértice opuesto son ambos

agudos o ambos obtusos.(*)

2. Cálculo de B:

cos B = cot a · cot (90º - c) = 0,6383145377 B = 50º 20’ 01’’

3. Cálculo de b:

cos ( 90º - b) = sen a · sen B = 0,6674517715 b = 41º 52’ 14’’. La 2ª solución no es válida (*)

Índice99



Se conocen tres ángulos A, B y C.

Ejemplo

Datos: A = 90º, B = 50º 20’ 01’’y C = 59º 00’ 12’’

Incógnitas: a, b y c

Solución 1. Cálculo de a: cos a = cot B · cot C

2. Cálculo b: cos (90º - b) = sen B · sen a

Si solo se quiere aplicar datos del enunciado; entonces se utiliza el t. del coseno para ángulos:cos B = cos b · sen C (despejar cos b)

3. Cálculo de c: cos(90º - c) = sen a · sen C

Si solo se quiere aplicar datos del enunciado; entonces se utiliza el t. del coseno para ángulos: cos C = cos c · sen B (despejar cos c)Sigue

Índice100



1. Cálculo de a: cos a = cot B · cot C = 0,829225517 · 0,600781440 == 0,49818330025 a = 60º 07’ 12’’

2. Cálculo de b: cos (90º - b) = sen B · sen a

sen b = 0,769774139 · 0,867070701 =

= 0,66744860244 b = 41º 52’ 14’’. La

2ª solución no es válida ya que en todo t.

esf. rectángulo un cateto y su vértice

opuesto son ambos agudos o ambos

obtusos.(*)

3. Cálculo de c: cos (90º - c) = sen a · sen C

sen c = 0,867070701 · 0,857197262 = = 0,743250631 c = 48º 00’ 33’’ (*)

Índice101


Resolución de Triángulos esféricos rectiláteros

Definición: Un triángulo esférico es rectilátero si uno de sus lados es un cuadrante (a = 90º).

Para hallar las fórmulas relativas a los triángulos esféricos rectiláteros

basta sustituir un lado por 90º en las fórmulas generales obtenidas

anteriormente. Si el lado recto es a, sen a = 1, cos a = 0, y apliquemos

a los diferentes teoremas estos valores.

Índice102



Teorema del coseno para lados

• cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A. Se sustituye “cos a” = 0

y se pasa “cos b · cos c” al 1er miembro, nos queda:

cos b cos c = - sen b sen c cos A se despeja “cos A”

cos A = - cot b cot c

• cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B. Se sustituye “cos a = 0”

y “sen a = 1”, nos queda: cos b = sen c cos B

• cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C. Se sustituye “cos a = 0”

y “sen a = 1”, nos queda: cos c = sen b · cos C

Índice103



C senc sen

B senb sen

Asena sen

Teorema del seno

Sustituyendo sen a = 1 nos queda:

Sen B = sen A sen b

Sen C = sen A sen c

Índice104



Teorema de la cotangente

• cot a sen b = cos b cos C + sen C cot A.

Sustituyendo cos a = 0, sen a = 1 0 = cos b cos C + sen C cot A

- cos b cos C = sen C cot A tg C = - tg A cos b

• cot a sen c = cos c cos B + sen B cot A

Sustituyendo cos a = 0, sen a = 1 0 = cos c cos B + sen B cot A

- cos c cos B = sen B cot A tg B = - tg A cos c

Sigue

Índice105


T. de la cotangente (continuación)

• cot b sen a = cos a cos C + sen C cot B

Sustituyendo cos a = 0, sen a = 1 cot b = sen C cot B

tg B = tg b sen C

• cot c sen a = cos a cos B + sen B cot C

Sustituyendo cos a = 0, sen a = 1 cot c = sen B cot C

tg C = tg c sen B

Índice106


Teorema del coseno para ángulos

cos A = - cos B cos C + sen B sen C cos a

Sustituyendo cos a = 0. Nos queda:

cos A = - cos B cos C


Índice107



Resolución de triángulos rectiláteros

Las fórmulas anteriores nos permiten resolver los triángulos

rectiláteros. También se pueden resolver reduciéndolos a los

casos de triángulos rectángulos, pues si a = 90º, su triángulo

polar ApBpCp es rectángulo en Ap. Resuelto el polar, se

determina el triángulo dado hallando los suplementos de los

ángulos y lados de ApBpCp.

Índice108



Ejemplo

Resolver el triángulo esférico a = 90º, A = 36º 25’ 08”, c = 102º

y calcular la superficie que ocupa él y su triángulo polar sobre

una esfera de radio 1.

Solución

Lo resolveremos pasando el triángulo dado a su triángulo polar,

que será un triángulo rectángulo en A = 90º .

Recordar triángulo esféricos polares:

Dado un triángulo ABC de lados a, b, c se denomina triángulo

polar a aquel cuyos lados son ap, bp, cp son suplementarios de

los vértices A, B, C del triángulo dado, y los vértices Ap, Bp, Cp

son suplementarios de los lados a, b, c.Sigue

Índice109


Ejemplo de Triángulos esféricos rectiláteros

Cálculos: Cp = 180º - c = 180º - 102º = 78º

ap =180º- A = 180º - A = 36º 25’ 08” = 143º 34’ 52”

Datos: Cp, Ap, ap

Incógnitas: Bp, bp, cp Cálculo de Bp:

cos ap = cot Bp · cot Cp ; se despeja “cot Bp”

ppp a cos

1C tg1

B tg = 0,2125565(-1,2427020) =

= - 0,26414 Bp = 165º 12’ 13”

Sigue

Índice110


Ejemplo de Triángulos esféricos rectiláteros (continuación)

Cálculo de cp:

Aplicamos el T. del seno para triángulos rectángulos:

sen cp = sen apsen Cp

Por tanto:

sen cp = sen 143º 34’ 52” sen 78º = 0,5807107

Luego cp=

58" 29' 144º

02" 30' 35º La solución lado obtuso, no es

válida, ya que no cumple:

Cp < Ap cp < ap

Solución: cp = 35º 30’ 02”

Sigue

Índice111



Cálculo de bp:

Aplicamos el teorema del seno para calcular bp

sen bp = sen apsen Bp = 0,1483047 . Luego bp =

17" 28' 171º

43" 31' 8º

La solución lado agudo, no es válida, ya que no cumple:

Bp > Ap bp > ap

Solución: bp = 171º 28’ 17”

Sigue

Índice112



La solución pedida será:

b = 180º - Bp = 180º - 165º 12’ 13” = 14º 47’ 47”

C = 180º - cp = 180º - 35º 30’ 02” = 144º 29’ 58”

B = 180º - bp = 180º - 171º 28’ 17” = 8º 31’ 43”Superficie del triángulo pedido

)180º- 58" 29' 144º31'43" 8º08" 25' (36º 180º

)180º-CB(A180º

r S

2

Sigue

Índice113



Superficie del triángulo polar al dado

)180º- 78º12'13" 165º(90º 180º

)180º-CB(A180º

r S ppp

2

Índice114

AYRES, F. y MOYER, R. (1991).Trigonometría. Schaum. McGraw-Hill. Madrid.

PUIG ADAM, P. (1978).Curso de Geometría métrica (tomo II). Editado por P. Puig Adam. Madrid.

UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS. (2003).Apuntes de Trigonometría esférica. Publicaciones de la EUIT Topográfica. Madrid.

VILA MITJA, A. (1993).

Elementos de Trigonometría esférica. Editado por Aula teórica.

Trigonometría esférica.

Bibliografía específica.

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