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Las condiciones de esfuerzo que encontramos previamente al analizar barras en tensin y compresin, ejes en torsin y vigas en flexin, son ejemplos de un estado de esfuerzo llamado esfuerzo plano (o estado plano de esfuerzos). Para explicarlo, consideraremos el elemento de esfuerzo mostrado en la figura. Este elemento es de tamao infinitesimal y puede esbozarse como un cubo o un paraleleppedo rectangular.

Cuando el material est en esfuerzo plano en el plano xy slo las caras x y y del elemento estn sometidas a esfuerzos y lodos los esfuerzos actan paralelamente a los ejes x y y como se muestra.Los smbolos para los esfuerzos ilustrados tienen los siguientes significados.

Un esfuerzo normal a tiene un subndice que identifica la cara sobre la que acta el esfuerzo.

Puesto que el tamao del elemento es infinitesimal. los esfuerzos normales que actan sobre las caras opuestas son iguales.

Un esfuerzo cortante tiene dos subndices: El primero denota la cara sobre la que acta el esfuerzo y el segundo da el sentido sobre esa cara.

Convencin de signos para los esfuerzos cortantes es como sigue. Un esfuerzo cortante es positivo cuando acta sobre una cara positiva de un elemento en el sentido positivo de un eje y es negativo cuando acta sobre una cara positiva de un elemento en el sentido negativo de un eje

De manera similar, un esfuerzo cortante es positivo cuando acta en el sentido negativo de un eje, sobre una cara negativa de un elemento.

Transformacin de esfuerzosEsfuerzos sobre secciones inclinadasPara representar los esfuerzos que actan sobre una seccin inclinada, tomamos un nuevo elemento de esfuerzo que se encuentra en el mismo punto en el material que el elemento original.El nuevo elemento posee caras paralelas y perpendiculares a la direccin inclinada.

A partir de esta ecuacin y del equilibrio del elemento, vemos que los esfuerzos cortantes que actan sobre las cuatro caras de un elemento en el esfuerzo plano son conocidos si determinamos el esfuerzo cortante que acta sobre cualquiera de las caras.Los esfuerzos que actan sobre el elemento inclinado pueden expresarse en trminos de los esfuerzos sobre el elemento xy usando ecuaciones de equilibrio. Con este fin, escogemos un elemento de esfuerzo en forma de cua que tiene una cara inclinada que es la misma que la cara x,

Ecuaciones de transformacin

Un elemento en esfuerzo plano est sometido a los esfuerzos x = 6 500 lb/pulg2 y = 1 700 lb/pulg2 XY = 2 750 lb/pulg2. corno se ve en la figura.Determine los esfuerzos que actan sobre un elemento orientado a un ngulo = 60 respecto al eje x, donde el ngulo es positivo en sentido contrario a las manecillas del reloj. Muestre estos esfuerzos sobre un croquis de un elemento orientado segn el ngulo .

Resuelva el problema para x = 9,900 psi, y = 3,400 psi, xy = 3,600 psi, y = 50

Los esfuerzos que actan en el elemento A en el alma de un riel de tren son de 42 MPa en tensin en direccin horizontal y de 140 MPa en compresin en direccin vertical. Los esfuerzos cortantes son de 60 MPa de magnitud y actan en los sentidos mostrados.Determine los esfuerzos que actan sobre un elemento orientado a un ngulo contrario a las manecillas del reloj de 48 desde la horizontal. Muestre los esfuerzos sobre un croquis de un elemento orientado segn este ngulo.

Se encuentra que los esfuerzos que actan sobre el elemento B en el alma de una viga de patn ancho son una compresin de 11 000 lb/pulg2 en direccin horizontal y una compresin de 3 000 lb/pulg2 en direccin vertical (vase la figura). Adems, en la direccin que se muestra, actan esfuerzos de cortante con una magnitud de 4 200 lb/pulg2.Determine los esfuerzos que actan sobre un elemento orientado a 41. en sentido contrario a las manecillas del reloj, con respecto a la horizontal. Muestre esto esfuerzos en el diagrama de un elemento con dicha orientacin.

El recubrimiento de polietileno de una laguna de sedimentacin est sometido a los esfuerzos x= 350 Ib/pulg2. y = 112 lb/pulg2 y xy = -120 lb/pulg2 como se ve por el elemento de esfuerzo plano en la primera parte de la figura.Determine los esfuerzos normales y cortantes que actan sobre una costura orientada a un ngulo de 30 con respecto al elemento, como se aprecia en la segunda parte de la figura. Muestre los esfuerzos sobre un croquis de un elemento que tenga los lados paralelos y perpendiculares a la costura.

Esfuerzos Principales

Un elemento plano se somete a los esfuerzos x = 80 MPa, y y = 52 MPa, y xy = 48 MPa. Determine los esfuerzos principales y dibuje el elemento plano orientado.

Un elemento plano se somete a los esfuerzos x = 42 MPa, y y = -140 MPa, y xy = -60 MPa. Determine los esfuerzos principales y dibuje el elemento plano orientado.

Un elemento en el esfuerzo plano est sometido a los esfuerzos x = 6 500 lb/pulg2, y = I 700 lb/pulg2 y xy =2 750 lb/pulg2.Determine los esfuerzos principales y mustrelos en un diagrama de un elemento bien orientado.

Un elemento en el esfuerzo plano est sujeto a los esfuerzos K = -9 900 lb/pulg2 y= -3 400 lb/pulg2, y xy - 3 600 lb/pulg2. Determine los esfuerzos principales y mustrelos en un diagrama de un elemento orientado de manera adecuada.

Esfuerzo mximo de cortadura

El plano de mximo esfuerzo cortante se ubica a 45 del plano principal

Un elemento en el esfuerzo plano est sujeto a los esfuerzos K = -22.5 MPa y= 6.5 MPa, y xy = -12 MPa. Determine los esfuerzo cortante mximo y esfuerzos normales asociados y mustrelos en un diagrama de un elemento orientado de manera adecuada.

Un elemento en el esfuerzo plano est sujeto a los esfuerzos x = -11 000 psi y = 3 000 psi, y xy = - 4 200 psi. Determine los esfuerzo cortante mximo y esfuerzos normales asociados y mustrelos en un diagrama de un elemento orientado de manera adecuada.

Un elemento plano de esfuerzo se somete a los esfuerzos x = 3 500 psi, y =1 120 psi, xy = 1 200 psi. (a) Determine los esfuerzos principales y mustrelos sobre un elemento orientado. (b) Determine el esfuerzo cortante mximo y los esfuerzos normales asociados y mustrelos en un elemento orientado.

Un elemento plano de esfuerzo se somete a los esfuerzos x = 2 100 MPa, y = 300 MPa, xy = -560 MPa. (a) Determine los esfuerzos principales y mustrelos sobre un elemento orientado. (b) Determine el esfuerzo cortante mximo y los esfuerzos normales asociados y mustrelos en un elemento orientado.

ESTADO GENERAL DE ESFUERZO En las secciones precedentes se ha supuesto un estado de esfuerzo plano.

Considerando transformaciones asociadas a una rotacin respecto al eje z.

Ahora consideraremos el estado de esfuerzo de la figura.

Aplicacin del circulo de Mohr al anlisis tridimensional de esfuerzoSi el elemento de la figura gira con respecto a uno de los ejes principales en Q, por ejemplo eje c, la correspondiente transformacin de esfuerzo puede analizarse mediante el circulo de Mohr, como si fuera una transformacin de esfuerzo plano.

Los esfuerzos cortantes ejercidos sobre las caras perpendiculares al eje c permanecen iguales a cero y el esfuerzo normal c es perpendicular al plano ab en el cual la transformacin tiene lugar, no afectando as la transformacin.

Se puede usar el circulo de diametro AB para determinar los esfuerzos normales y cortantes sobre la cara del elemento que gira respecto al eje c.

Anlogamente los crculos de diametro BC y CA pueden usares para para determinar los esfuerzos en el elemento cuando gira respecto a los ejes a y b. El radio mayor de los crculos da el esfuerzo cortante mximo en el punto Q.

Retomemos el caso particular de esfuerzo plano, si los ejes se eligen en el plano xy entonces.

Es decir el eje z perpendicular al plano de esfuerzo es uno de los tres ejes principales de esfuerzo. En un diagrama del circulo de Mohr este eje corresponde al origen O, en donde, = =0 los otros ejes principales corresponden a los puntos A y B donde el circulo de Mohr, para el elemento xy , intercepta el eje .

Si A y B estn localizados en lados opuestos del origen O, los esfuerzos principales correspondientes representan al esfuerzo mximo y mnimo en el punto Q, y el esfuerzo cortante mximo es igual al mximo esfuerzo cortante correspondiente a los puntos D y E del circulo de Mohr.Estn a 45 de los planos principales correspondientes a los puntos A y B, son los planos sombreados de la figura..

Asimismo, si Ay B estn del mismo lado de O, esto es a y b tienen el mismo signo, entonces el circulo que define min y max y max no es el circulo correspondiente a una transformacin dentro del plano xy. Si a > b > 0, entonces de la figura se tiene es a = maxi y min =0 y max es igual al radio del circulo definido por los puntos OA, esto es max = max . Tambin podemos apreciar que las normales Qd y Qe a los planos maximos de esfuerzo cortante se obtienen haciendo girar el eje Qa un ngulo de 45 dentro del plano za. Los planos de esfuerzo cortante mximo son los planos diagonales sombreados.

Los recipientes de pared delgada constituyen una aplicacin importante en el anlisis de esfuerzo plano.

Como sus paredes oponen poca resistencia a la flexin, pude suponerse que las fuerzas internas ejercidas sobre una parte de la pared son tangentes a la pared del recipiente. recipiente

Los esfuerzos resultantes en un elemento de pared estarn en un plano tangente a la superficie del recipiente. Esfuerzo de costilla o radial

Esfuerzo longitudinal

El tanque de un compresor de aire se somete a una presin interna de 90 psi. Si el diametro del tanque es 22 pulg; y el espesor de pared 0.25 pulg; determine el esfuerzo que actan en el punto A. Dibuje el elemento de volumen del material en este punto, y muestre los resultados en el elemento

Un tanque esfrico se fabrica con dos cascarones hemisferios de 30 mm de espesor empernados. Si el gas dentro del tanque se encuentra a 2 MPa manomtricas, determine el esfuerzo normal desarrollado en la pared del tanque y en cada uno de los pernos. El tanque tiene un diametro interno de 8 m y esta sujeto por 900 pernos cada uno de 25 mm de diametro.

Un tanque para almacenamiento de gas se fabrica empernando do cascarones cilndricos y dos cascarones esfricos. Si el tanque se disea para soportar una presin de 3 MPa, determinar el mnimo espesor requerido del cascaron cilndrico y esfrico y numero mnimo de pernos longitudinales por metro de longitud en cada lado del cascaron cilndrico. El tanque y los pernos de 25 mm de diametro son fabricados con materiales que tiene esfuerzos normales admisibles de 150 MPa y 250 MPa, respectivamente. El tanque tiene un dimetro interno de 4 m.

Un tanque cilndrico con tapas esfricas se construye de acero y se suelda circunferencialmente. El tanque tiene un diametro de 1.25 , y un espesor de pared de 22 mm, y una presin interna de 1750 kPa. a.- Determine el esfuerzo normal mximo en las tapas del tanque.b.- Determine el esfuerzo normal mximo el la seccin cilndrica del tanque.c.- Determine el esfuerzo mximo que acta perpendicular a las juntas soldadas.d.- determine la cortadura mxima en las tapas del tanque.e.- determine la cortadura mxima en la seccin cilndrica del tanque.

Se construye un tanque de acero presurizado con una soldadura helicoidal con ngulo = 55 con respecto al eje horizontal. El tanque tiene un radio r = 0.6 m, con espesor de pared t = 18 mm, y una presin interna p = 2.8 MPa.a.- Determine los esfuerzos circunferencial y longitudinal.b.- Determine los esfuerzos mximos dentro del plano y fuera del plano.c.- Determine los esfuerzos normal y cortantes que actan en planos paralelos y perpendiculares a la soldadura

Muchos de los inconvenientes que se encuentran en el diseo en ingeniera involucran una combinacin de cargas aplicadas:Axial.Torsin.Momentos flectores.

En algunas situaciones los esfuerzos ese pueden calcular en la forma descrita en oportunidades anteriores, con los esfuerzos mximos y los esfuerzos cortantes mximos como codician de diseo.

Si la estructura es compleja para ser analizada de esta manera los esfuerzos se deben obtener experimentalmente.Como los esfuerzos son una abstraccin no se pueden medir directamente, estos no se pueden medir directamente.A menudo la relacion definida por la Ley de Hooke permite los esfuerzos partiendo de las deformaciones, las deformaciones se pueden medirEn este tema derivaremos la ecuacin de transformacin de la deformacin.En la figura se muestra un elemento infinitesimal de dimensiones dx y dy bajo los efectos de deformaciones normales x y y y deformacin angular xy

Si sustituimos = + 90, nos queda.

Si sustituimos = + 90, nos queda.

Un elemento de un material esta sujeto a las deformaciones como se muestra en la figura. x = 220x10-6 , y = 480x10-6 , xy = 180x10-6. . Calcule la deformacin para un elemento orientado = 50 y muestre estos esfuerzos orientados apropiadamente.

Resuelva el siguiente problema con los datos dados: x = 420x10-6 , y = -170x10-6 , xy = 310x10-6 , = 37.5 .

Las deformaciones de un elemento de un material en esfuerzo plano son como sigue:x = 480x10-6 , y = 140x10-6 , xy = -350x10-6. . Determine las deformaciones principales y mxima deformacin por angular, y muestre estas deformaciones en un elemento correctamente orientado.

Un elemento estado de deformacin plana se somete a las siguientes deformaciones :x = 480x10-6 , y = 70x10-6 , xy = 420x10-6 . Determine las siguientes cantidades. (a) las deformaciones de un elemento orientado un ngulo de 75, (b) las deformaciones principales, (c ) La mxima deformacin angular. Muestre los resultados de los elementos con sus orientaciones respectivas.