Mecánica de materiales

4.2 Mecánica de materialesEsfuerzo normal y cortante en

vigas

Ing. mecatrónica

Asesor: Ing. Eusebio Muñoz Rios

Alumna: Jessica Guadalupe Rodríguez Flores

No. de control: 11041142

Grupo: 4V

Fecha de entrega: 29/abril/2013

Mecánica de materiales Página 1

Índice

Introducción…...…………………...….....página 03

Momento flexionante……..……………...página 03

Esfuerzo normal…….....…………….…..página 04

Esfuerzo cortante..........…………….…..página 06

Ejemplos……………………………..……página 09

Conclusión…………………………..……página 11

Bibliografía…………….……………...…..página 11

IntroducciónMecánica de materiales Página 2

El esfuerzo cortante (o de cizallamiento), es producido por fuerzas que actúan paralelamente al plano que las resiste, mientras que los de tensión o de compresión son lo son por fuerzas normales al plano sobre el que actúan. Por esta razón los esfuerzos de tensión y de compresión se llaman también esfuerzos normales, mientras que el esfuerzo cortante puede denominarse esfuerzo tangencial.

Para poder analizar y comprender los esfuerzos normal y cortante que actúan sobre una viga, debemos conocer primero el concepto de momento flexionante en vigas, ya que a partir de éste podremos deducir dichos esfuerzos.

Momento flexionante

Definición:Se le denomina momento flexionante o momento flector, porque tiende a curvar o flexionar la viga y, es la suma de los momentos de todas las fuerzas que actúan en la porción de viga a la izquierda o a la derecha de una sección, respecto al eje perpendicular al plano de las fuerzas y que pasa por el centro de gravedad centroide de la sección considerada. Así que la podemos definir como:

M=(Σ M )izq= (Σ M )der

Como en un cuerpo actúan fuerzas tanto negativas como positivas, el signo del momento flexionante sobre una viga se determina con un criterio que dice que si hay fuerzas que actúan hacia arriba respecto de cualquier sección, producirán momentos flexionantes positivos y, por el contrario, las fuerzas que actúan hacia abajo, dan lugar a momentos flexionantes negativos.

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Ahora que conocemos el efecto del momento flexor en una viga, ya podemos definir la aplicación de los esfuerzos normal y tangencial sobre la viga.

Esfuerzo normalLos esfuerzos normales producidos por el momento flexionante se llaman esfuerzos por flexión y las relaciones entre estos esfuerzos y el momento flexionante se expresa mediante la fórmula de flexión. Para su deducción, tomaremos en cuenta las deformaciones elásticas junto con la ley de Hooke que determinarán la forma de distribución de esfuerzos, y mediante las condiciones de equilibrio se establecerá la relación entre los esfuerzos y las cargas.

La figura a muestra dos secciones adyacentes ab y cd separadas por una distancia dx. Debido a la flexión producida por la carga P, las secciones ab y cd giran con respecto a la otra un pequeño ángulo dθ, pero permanecen planas y sin distorsión.

La fibra ac de la parte superior se acorta y la fibra bd se alarga. En algún punto entre ellas existe una fibra, tal como ef, cuya longitud no varía. Trazando la línea c’d’ por f, paralela a ab, se observa que la fibra ac se ha acortado una longitud cc’ y está, pues, comprimida, mientras que la fibra bd se ha alargado la longitud d’d y está sometida a tensión.

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El plano que contiene todas las fibras como la ef se llama superficie neutra , ya que tales fibras no varían de longitud y, por lo tanto, no están sujetas a esfuerzo alguno. La superficie neutra pasa por los centros de gravedad de las secciones trasversales de la viga.

En la deformación gh, el alargamiento es hk, que es el arco de circunferencia de radio y ángulo dθ

δ=hk= y dθLa deformación se obtiene dividiendo el alargamiento dentre la longitud inicial ef

ε= δL= y dθ

efSi p es el radio de la curvatura de la superficie neutra

ε= ydθpdθ

= yp

Suponiendo que el material es homogéneo y obedece a la ley de Hooke (módulo de elasticidad - E), el esfuerzo en la fibra gh es:

σ=Eε=( Ep ) yLo cual indica que el esfuerzo en cualquier fibra es directamente proporcional a su distancia “y” a la superficie neutra, y el radio de curvatura “p” de la superficie neutra es independiente de la ordenada “y” de la fibra. Los esfuerzos no deben sobrepasar el límite de proporcionalidad, pues en caso contrario dejaría de cumplirse la ley de Hooke.

Ahora para completar la deducción de la fórmula de flexión, se aplicarán las condiciones de equilibrio. La intersección de la superficie neutra con la sección que producirá el equilibrio, se llama eje neutro (E.N.).Para satisfacer la condición de que las fuerzas exteriores no tengan componente según el eje X ([ΣX=0]), se tiene

∫ σ x dA=0

Sabiendo que σ x=σ x, sustituyendo σ x por Ey/py, resultaEP∫ ydA=0

Haciendo los cálculos, tenemos:EPAỹ=0

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Así se deduce que la distancia a E.N., el eje de referencia, del centro de gravedad de la sección debe ser cero, es decir, la línea neutra pasa por el centroide del área de sección trasversal.

Esfuerzo cortante

Ahora consideraremos la condición ΣMy=0. Las fuerzas exteriores no producen movimiento con respecto al eje Y , ni tampoco las fuerzas cortantes interiores , por lo tanto ([ΣMy=0])

∫ z (σ x dA)=0Y ya haciendo las sustituciones y los despejes correctos conforme a al momento de inercia, obtenemos que el esfuerzo máximo es:

σ max=MI /c

=MS

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Donde el cociente I/c se llama módulo de resistencia de la sección o simplemente módulo de sección, y se suele designar por S.

Esta fórmula es muy empleada en vigas de sección constante, y muestra cómo el esfuerzo máximo se produce en la sección de momento flexionante máximo.

A continuación se darán los valores del módulo de resistencia de las formas más comunes en una sección recta.

Dado que la suma de las fuerzas horizontales en la sección debe ser nula, la fuerza total de compresión C, en la mitad superior de la sección de la recta, ha de ser igual a la fuerza total de tensión T en la mitad inferior. Por lo tanto, el momento resistente Mr, está constituido por el par que forman las fuerzas C y T iguales y opuestas. La magnitud de cada una de estas fuerzas es igual al producto del

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esfuerzo medio por el área. Por consiguiente, como el esfuerzo medio en una distribución lineal es la mitad del esfuerzo máximo se tiene:

T=C=(σ ¿¿med)(área)=( 12 σ )(b h2 )¿

Las fuerzas C y T actúan en el centro de gravedad de la carga triangular a una distancia k de E.N., y como k = 2/3 c = 2/3 (h/2), el brazo del par resistente es e= 2k = 2/3 h. Igualmente el momento flexionante al momento resistente resulta:

M=M r=C e=T e

M=(12 σ )(b h2 )( 23 h)=σ

bh2

6

Que coincide con la ecuación de σmax para una sección rectangular.

Ejemplos Una viga de sección rectangular de 150 x 250 mm soporta la carga de

indica la figura. Determinar el máximo esfuerzo por flexión que se produce.

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Primero hay que determinar el máximo momento flexionante. El diagrama de fuerza cortante indica que éste se anula para x = 2m. El momento flexionante en dicho punto, calculado por el área del diagrama de fuerza cortante, es, para x= 2m

[ΔM = (área)v]

Mmáx=( 14+22 ) (2 )=16kN .m

Aplicaremos ahora la fórmula de flexión, cuidando que las unidades empleadas sean congruentes. Para eso nos vamos a nuestra tabla para obtener el módulo resistente para sección rectangular, S = bh2/6

σ=MS

=6Mbh2

=6 (16∗103 )

(0.150)(0.250)2=10.24MPa

Una viga de madera de 100 x 300 mm y 8 m de longitud soporta las cargas indicadas en la figura. Si el máximo esfuerzo cortante admisible es de 9 MPa, ¿para qué el valor máximo se w se anula la fuerza cortante bajo P y cuánto vale P?

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Para satisfacer las condiciones indicadas en el enunciado el diagrama de fuerza cortante debe tener la forma que representa la figura. El máximo valor de w que anula la fuerza cortante bajo P se determina por:

[ΔV=(área )cargas ]4w+ P

4=6w

Que proporciona la relación entre P y w, quedando: P=8 wEl máximo momento flexionante tiene lugar bajo P y su valor es

[ΔM = (área)v]

M máx=12

(6 ) (6w )=18w N .m

Aplicando la fórmula de flexión resulta:

M=σIc=σ

bh2

6

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18w=(9∗106 ) (0.100 ) (0.300 )2

6

w=750 Nm

Y según P=18w, el valor de P esP=8w=8(750)=6 kN

Conclusión

De este trabajo podemos concluir que necesitamos conocimientos básicos de fuerzas que actúan sobre la viga y así poder determinar el esfuerzo, además de razonar sobre dónde actúan tales esfuerzos y deducir mejor la fórmula, no sólo usarla, además en estos casos nos es muy útil hacer los diagramas ya que el área que forman las figuras nos sirve para plantear mejor el problema y solucionar de manera más fácil y eficiente los problemas.

Bibliografía Resistencia de Materiales

Andrew Pytel, Ferdinand L. SingerEditorial Alfaomega

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