ESFUERZO Y DEFORMACION

Durand Porras, Juan Carlos

Salvador Rojas Yonel Elmer

Muñoz Ochoa Joel Gedalias

Hernández Arancel Erika Yuliana

Inga Yauri Cesar Augusto

Universidad Nacional de Ingenieria (UNI – Perú)

RESUMEN

ESFUERZO Y DEFORMACIÓNEn el presente trabajo se emplea la Ley de Hooke como ajuste empírico para describir la deformación y/o esfuerzo de las estructuras. En tal sentido veremos a un principio las cargas y fuerzas que actúan en las estructuras a analizar de las cuales nos orientaremos y calcularemos numéricamente dichos enunciados. Continuamente analizar la parte de esfuerzo de una estructura no simplemente nos servirá para analizar en un solo punto sino en un área determinada, de las cuales se clasificaría en Esfuerzo Normal y Esfuerzo de Corte, en el Esfuerzo Normal encontraremos a los esfuerzo normales y de aplastamiento; mientras que el Esfuerzo de Corte se encontrará los esfuerzos cortantes, esfuerzo cortante en superficie curva, esfuerzo de adherencia y el equilibrio de esfuerzo cortante en un elemento diferencial; todas estas dependerán de los recipientes a actuar ya sean cilíndricos o esféricos, las cuales se analizará en este trabajo.

PALABRAS CLAVE

Ley de Hooke, Esfuerzo, Deformación, Cargas, Estructuras.

INTRODUCCION

El diseño de cualquier elemento o de un sistema estructural implica responder dos preguntas: ¿El elemento es resistente a las cargas aplicadas? y ¿Tendrá la suficiente rigidez para que las deformaciones no sean excesivas e inadmisibles? Las respuestas a estas preguntas implican el análisis de la resistencia y rigidez de una estructura, aspectos que forman parte de sus requisitos. Estos análisis comienzan por la introducción de nuevos conceptos que son el esfuerzo y la deformación, aspectos que serán definidos a continuación (Salvadori y Heller, 1998; Timoshenko y Young, 2000).

ESFUERZOS Y DEFORMACIONES

1.1 FUERZAS INTERNAS Y EXTERNAS

CARGAS

La figura muestra una viga sometida a una carga Q, apoyada en un extremo y suspendida por un cable en el otro.

Este elemento está en equilibrio bajo la acción de la carga Q, gracias a las reacciones que recibe en sus extremos representados como R y N en el diagrama de cuerpo libre siguiente.

Todas las fuerzas mostradas en la diagrama anterior son fuerzas externas al elemento viga.

Fig.1

Fig. 2

Separemos ahora imaginariamente el sistema en tres partes, mediante dos cortes transversales, el primero en la viga y el segundo en el cable como se muestra en la figura.

Cada una de estas partes está en equilibrio gracias a las fuerzas y momentos que se producen en las secciones de corte imaginario. Estas acciones que aparecen en la sección de corte, actuando en sentido contrario a cada lado de ésta, se denominan fuerzas internas.

Para la viga del ejemplo, las acciones internas son la fuerza Cortante V y el Momento Flector M. Para el cable, la fuerza interna es la fuerza Normal N. Estas acciones internas se suelen referir en general como fuerzas internas o fuerzas de sección. 1.1.1 CONVENCIÓN DE SIGNOS PARA FUERZAS INTERNAS

Para precisar el signo de las fuerzas internas, emplearemos un sistema de referencia xyz, con el eje x coincidiendo con el eje longitudinal del elemento y con los ejes y y z ubicados en la sección transversal. Generalmente “y” y “z” son ejes centrales (el origen del sistema coincide con el centroide de la sección transversal) y también son ejes principales (el producto de inercia de la sección transversal es nulo).

En el caso más general, pueden existir hasta 6 fuerzas internas en la sección transversal de un elemento. La figura que sigue muestra la convención de signos asumida como positiva para estas fuerzas internas.

Fig. 3

Nótese que salvo en el caso de Vy, las fuerzas de sección son positivas cuando siguen el sentido positivo de los ejes. El sentido positivo de Vy, asumido hacia abajo está en concordancia con la conocida siguiente relación:

1.2 ESFUERZOS

TIJERAL METÁLICO

Tanto las fuerzas externas como las fuerzas de sección no actúan realmente sobre un punto sino que en verdad lo hacen distribuyéndose sobre un área determinada. Por ejemplo la fuerza Q actúa sobre una región rectangular de la cara superior de la viga, la reacción R se distribuye sobre la superficie rectangular de apoyo, la fuerza normal N en el cable se distribuye en la sección transversal de éste y la fuerza cortante V lo hace sobre la sección transversal de la viga.

El cociente de la fuerza y el área en que se distribuye se denomina esfuerzo. Dependiendo de si la fuerza es perpendicular o paralela al área en la que actúa, se denomina esfuerzo normal ( s ), o esfuerzo cortante ( t ).

Fig. 4

Fig. 5

La unidad de esfuerzo en el Sistema Internacional es el Pascal (Pa) que se expresa como:

1 Pa = 1 N / m²

Los múltiplos más empleados y sus equivalencias son:

GPa = 103 MPa = 106 Kpa = 109 Pa

En el Sistema Inglés, el esfuerzo se expresa en libras (lb) o kilo libras (kips), por pulgada cuadrada como: 1 psi = 1 libra / pulg² 1 ksi = 1 kips/pulg² = 103 psi

En ocasiones expresamos el esfuerzo en Kg/cm² o Ton/m²

1.2.1 ESFUERZO NORMAL (S)

1.2.1.1 ESFUERZOS NORMALES

La figura muestra el detalle del cable del sistema anterior.

Fig. 6

En la sección transversal mostrada de área A, actúa la fuerza normal N, produciendo el esfuerzo normal:

Veamos los esfuerzos que se producen en los elementos de la armadura

mostrada en la figura.

La barra superior está sometida a una fuerza normal de tracción mientras que la barra inferior está en compresión. Por tanto según la convención de signos empleada para las fuerzas internas, la Normal de la barra en tracción será positiva mientras que la correspondiente a la barra inferior será negativa.

Fig. 7

Fig. 8

Luego, el esfuerzo será positivo cuando la barra esté en tracción y negativo cuando esté en compresión.

1.2.1.2 ESFUERZO DE APLASTAMIENTO (S AP) En la figura, se observa que la viga y su apoyo izquierdo, siendo cuerpos diferentes entran en contacto en el área sombreada que se muestra.

La reacción R se distribuye en esta área de contacto, ocasionado un esfuerzo normal que se conoce como esfuerzo de aplastamiento y se calcula como:

)- (σ

) + (σ

Fig. 9

Fig. 10

Dado que el esfuerzo de aplastamiento sólo puede ser de compresión, se suele omitir el signo a cambio del subíndice “ap”.

1.2.2 ESFUERZO DE CORTE (T)

1.2.2.1 ESFUERZOS CORTANTES

La figura muestra la parte izquierda de una viga imaginariamente dividida en dos por una sección transversal de área A. Una de las fuerzas que actúan en esta sección transversal es la fuerza cortante V.

La fuerza cortante V es paralela a la sección transversal, por tanto se distribuye en ésta produciendo esfuerzos cortantes. Estos esfuerzos varían según su ubicación en la sección transversal, sin embargo en muchos casos sólo se calcula el esfuerzo cortante medio:

1.2.2.2 ESFUERZO CORTANTE EN SUPERFICIES CURVAS

Fig. 11

Fig. 12

La fuerza F mostrada en la figura se aplica sobre el bloque mediante una plancha rígida circular.

Analicemos ahora el equilibrio de la porción cilíndrica del bloque justo bajo la plancha. La fuerza F es equilibrada por los esfuerzos cortantes en la superficie de contacto entre el cilindro y el resto del bloque.

Si esta superficie de contacto, en naranja en la figura, tiene un área A, entonces el esfuerzo cortante promedio será:

1.2.2.3 ESFUERZO DE ADHERENCIA

Cuando el esfuerzo cortante se produce en la superficie de contacto de dos elementos diferentes, se suele referir como esfuerzo de adherencia.

La figura muestra una varilla de acero que está parcialmente contenida en un bloque de concreto. Cuando la varilla recibe en su extremo libre una fuerza P, el concreto sostiene a la varilla con esfuerzos de adherencia en la superficie de contacto.

Fig. 13

Fig. 14

Si la porción de varilla dentro del concreto tiene una longitud L y diámetro d, la superficie de contacto será p L.d y por tanto el esfuerzo cortante promedio se calculará como:

1.2.2.4 EQUILIBRIO DE ESFUERZOS CORTANTES EN UN ELEMENTO DIFERENCIAL

De un elemento sometido a cargas, tomemos un volumen diferencial que se encuentra sometido a los esfuerzos τ1 y τ2 en dos caras paralelas al eje z como se muestran en la figura.

Las fuerzas que actúan en las caras de este elemento diferencial serán:

Como el volumen diferencial está en equilibrio, el momento de estas fuerzas respecto del eje z debe ser nulo, es decir:

Sustituyendo dF1 y dF2:

Fig. 15

Fig. 16

De donde:

De manera similar las otras dos caras paralelas a z deben estar sometidas también al mismo esfuerzo cortante.

Por tanto, en cualquier elemento diferencial el esfuerzo cortante se presenta actuando en las cuatro caras paralelas a un eje (z para la figura) con el mismo valor y acercándose o alejándose de cada arista. La figura muestra las dos únicas formas en que puede presentarse el esfuerzo cortante en los cuatro planos paralelos a un eje, indicándose la convención de signos.

EJEMPLO:

Fig. 17

Fig. 18

ESFUERZOS NORMALES Y CORTANTES

1.2.3 RECIPIENTES DE PARED DELGADA

RECIPIENTES

En este acápite estudiaremos los esfuerzos que se producen en recipientes cilíndricos y esféricos sometidos a una presión interna (p). Trabajaremos con recipientes cuyo espesor (t) es muy pequeño en comparación a las otras dimensiones.

1.2.3.1 CILINDRO

El cilindro mostrado en la figura tiene un radio interior r y un espesor t (t << r)

Separemos el cilindro en dos partes y analicemos el equilibrio en x para una de ellas. La fuerza resultante de las presiones es equilibrada por la resultante de los esfuerzos normales en la pared del

Fig. 19

Fig. 20

recipiente. Como estos esfuerzos son paralelos al eje longitudinal del cilindro, se denominan esfuerzos longitudinales (σL).

La presión y el esfuerzo longitudinal actúan sobre áreas iguales a πr2 y 2πrt respectivamente. Por tanto la ecuación de equilibrio en x será:

Luego el esfuerzo longitudinal será:

Consideremos ahora el equilibrio en z de la porción de cilindro que se muestra en la figura. La fuerza resultante de las presiones es equilibrada por la resultante de los esfuerzos normales en la pared del recipiente. Como estos esfuerzos son paralelos a la circunferencia media de la sección transversal, se denominan esfuerzos circunferenciales (σc).

Planteando el equilibrio en z:

Fig. 21

Fig. 22

De donde el esfuerzo circunferencial será:

En general, en cualquier punto del cilindro se presentan esfuerzos longitudinales y circunferenciales como se muestra en la figura.

1.2.3.2 ESFERA Puede demostrarse que para un recipiente esférico de radio interior r y espesor t, en cualquier punto de la pared, los esfuerzos en cualquier dirección son iguales a:

1.2.4 ESFUERZOS EN CONEXIONES EMPERNADAS

Fig. 23

Fig. 24

CONEXIONES

Los elementos que conforman las estructuras y los sistemas mecánicos se pueden conectar entre sí mediante pernos o pasadores. La figura muestra dos conexiones en las cuales se ha empleado un perno de diámetro “d” pasando por un hueco de diámetro “D”.

1.2.4.1 ESFUERZO DE APLASTAMIENTO

Al actuar la fuerza P, los pernos y los elementos entran en contacto en una zona de la superficie cilíndrica del agujero, apareciendo esfuerzos de aplastamiento. Las figuras muestran a los elementos ya en contacto con los pernos luego de la aplicación de la carga.

Fig. 25

Fig. 26

Fig. 27

Estudiemos el diagrama de cuerpo libre de los pernos utilizados en ambas conexiones.

Los pernos entran en contacto con los elementos en las superficies curvas

mostradas en las figuras. Sin embargo por razones de simplicidad, para el cálculo de los esfuerzos de aplastamiento se consideran las proyecciones de estas superficies. Para las conexiones del ejemplo los esfuerzos de aplastamiento serán:

Fig. 28

Fig. 29 Fig. 30

Fig. 31

1.2.4.2 ESFUERZO DE CORTE EN LOS PERNOS

Analicemos ahora la fuerza cortante en los pernos, en secciones transversales fuera de las zonas de aplastamiento.

El perno de la unión izquierda tiene como fuerza cortante la fuerza total P, mientras que el perno de la unión derecha tiene sólo P/2. Es usual referirse a estos casos como pernos en corte simple y pernos en corte doble respectivamente. Para el ejemplo los esfuerzos serán:

Perno en corte simple:

Perno en corte doble:

1.2.4.3 ESFUERZOS NORMALES MÁXIMOS

Los agujeros en las conexiones reducen el área neta de la sección transversal de los elementos ocasionando mayores esfuerzos.

Por ejemplo, el elemento que se muestra en la figura tiene un agujero de diámetro “D” (generalmente algo mayor que el diámetro “d” del perno). La fuerza P es equilibrada por la fuerza de aplastamiento que recibe del perno y dependiendo de si P es de tracción o compresión, el perno aplica la fuerza equilibrante hacia uno u otro lado del agujero.

Fig. 32

Fig. 33 Fig. 34

Separemos imaginariamente el elemento en dos partes por la sección transversal de menor área y consideremos el equilibrio de cada una de ellas. Veamos primero el caso de tracción.

La fuerza de aplastamiento actúa sobre la parte derecha aislada cuyo equilibrio es logrado por esfuerzos normales actuando sobre el área reducida t(b-D). Por tanto el esfuerzo normal máximo en el elemento en tracción será:

En cambio, al analizar el elemento a compresión, vemos que en la sección de

menor área, no actúa ninguna fuerza normal y por tanto el esfuerzo en esta sección transversal es nulo.

Fig. 35

Fig. 36

Fig. 37

Por tanto para el cálculo del esfuerzo normal máximo en compresión se emplea el área neta del elemento t b, es decir:

Generalmente las conexiones se hacen empleando más de un perno, en cuyo caso los esfuerzos se calcularán considerando todas las áreas de contacto para aplastamiento y todas las secciones transversales para corte.

EJEMPLOS: ESFUERZOS EN ESTRUCTURA SIMPLE 1

Fig. 38

Fig. 39

ESFUERZOS EN ESTRUCTURA SIMPLE 2

1.3 DEFORMACIONES

NEOPRENO

Las estructuras, las máquinas y en general todos los cuerpos sufren cambios en sus dimensiones y forma por efecto de las acciones externas que reciben. En la figura, los elementos de la armadura han sufrido cambios en sus dimensiones longitudinales y el bloque derecho que sirve de soporte cambió de forma.

Los cambios de longitud y de medida angular se denominan deformación normal y deformación angular respectivamente. Por ejemplo, la barra BC de la armadura ha sufrido una deformación normal y el bloque de soporte en D tiene una deformación angular ya que de ser un prisma recto se ha transformado en uno oblicuo.

Fig. 40

Fig. 41

1.3.1 DEFORMACIÓN NORMAL

DEFORMACIONES NORMALES

El cambio de longitud de los elementos, denominado deformación normal o longitudinal, se representa por δ y se determina como la diferencia de las longitudes final (Lf ) e inicial ( Li ):

Si la longitud final es mayor a la inicial, el elemento se alarga y la deformación resulta positiva; en caso de acortamiento la deformación resulta negativa.

Por ejemplo en la figura, la barra BC se alarga (d > 0) mientras que la barra EF se acorta (d < 0).

Para determinar la importancia de una deformación normal, d, es necesario relacionarla con la longitud del elemento en que se produce. El cociente entre la deformación normal, d, y la longitud inicial, Li, del elemento se denomina deformación normal unitaria media, es adimensional y se representa con e m o simplemente con e.

EJEMPLO:

DEFORMACIÓN NORMAL

Fig. 42

Fig. 43

1.3.2 DEFORMACIÓN ANGULAR

DEFORMACIONES ANGULARES

El cambio en la medida de un ángulo inicialmente recto se denomina deformación angular, se representa por g y se determina como la diferencia de las medidas inicial (p/2) y final (a f).

Antes Después

Si la medida final del ángulo (a f) es menor al ángulo inicial (p/2), la deformación angular, g, es positiva; en caso contrario g será negativa.

EJEMPLO: DEFORMACIÓN NORMAL Y ANGULAR

Fig. 44

Fig. 45

1.4 COMPATIBILIDAD

COMPATIBILIDAD

Cuando un sistema se somete a acciones externas, sus nudos se desplazan y sus barras sufren deformaciones.

Si todos los elementos del sistema se mantienen unidos, entonces es posible establecer relaciones geométricas entre desplazamientos y deformaciones, las mismas que se conocen como ecuaciones de compatibilidad.

Por ejemplo es posible relacionar los desplazamientos de los nudos i y j con las deformaciones de la barra que los une.

Estudiemos primero el efecto del desplazamiento del nudo j (dj) en la deformación (δ) de la barra. Esta deformación se determina como la diferencia entre las longitudes final e inicial de la barra. Como el desplazamiento dj es pequeño, esta diferencia de longitudes se puede aproximar por la proyección del vector dj sobre el eje original de la barra. Si representamos por uij al vector unitario que va de i a j, entonces tendremos que:

Fig. 46

Fig. 47

Fig. 48

Cuando el nudo i es el que se desplaza, la proyección del vector di sobre el eje original de la barra es aproximadamente igual al valor absoluto de la deformación pero con signo contrario. Como se ve en la figura, esta proyección (uij. di) es positiva mientras que la deformación de la barra es de acortamiento, por tanto:

Por tanto en un caso general en el que los dos nudos se desplazan, la deformación de la barra será:

En algunos sistemas como el mostrado en la figura, es posible establecer relaciones directas entre las deformaciones de sus elementos.

Estas relaciones constituyen también ecuaciones de compatibilidad.

Para encontrar esta relación asumimos un desplazamiento genérico del nudo B como

Fig. 49

Fig. 50

Y calculamos las deformaciones de las barras:

Sustituyendo las dos primeras expresiones en la tercera tendremos:

La figura muestra el detalle de esta última relación.

El sistema que se muestra consiste de tres barras deformables que sostienen un sólido rígido. Como veremos a continuación, las deformaciones en las barras 1 , 2 y 3 satisfacen una ecuación de compatibilidad que resulta ser independiente del movimiento que pueda tener el sólido rígido.

Fig. 51

Fig. 52

Fig. 53

Para encontrar esta relación asumimos para el sólido rígido un desplazamiento genérico representado por el movimiento vertical (∆y) y el giro (Φ) de su extremo izquierdo.

Luego las deformaciones de las barras serán:

Combinando estas tres ecuaciones obtenemos:

Como se vio, las ecuaciones de compatibilidad son relaciones puramente

geométricas y no dependen de las cargas aplicadas al sistema, ni de los materiales empleados.

PROBLEMAS RESUELTOS

Fig. 54

PROBLEMA 1:

Dos barras AB y CD que se suponen absolutamente rígidas están articuladas en A y en D y separadas en C mediante un rodillo, como indica la figura. En B una varilla de acero ayuda a soportar la carga de 50 kN. Determinar el desplazamiento vertical del rodillo situado en C.

SOLUCION

DCL(barra CD)

De la 2° Condición de equilibrio:

∑ M c=0

Dy (4)= 50(2)

Dy =25 kN

DCL(barra AC)

∑ M c=0

Ay (4.5)+TB (1.5)=0

TB = - 3Ay

De la 1° Condición de equilibrio

Hacemos el DCL

Cx

1.5 m

TBAy

Cy

Dy

Cy

Cx

DC

BA

50 kNE=200x109 N/m2

A=300 mm2

L=3 mm

3 m 1.5 m2 m 2 m

50 kN

Dx

Ax 3 m

2 m 2 m

Fy =0

Ay +Dy +TB =50

Ay+25-3(Ay) =50

Ay = -12.5 kN TB =37.5 kN

La deformación quedaria:

y

¿ FxLExA

= 37.5 x103 x3200 x 109 x 300 x10−6

=1.875 mm

1.875mm3 m

= y4.5 m

y =2.8125 mm

PROBLEMA 2:

TBCy

Cx

50 kN Dy

Dx

3 m 1.5 m

Sabiendo que el esfuerzo normal actuante en el tramo AB (cuya sección es de

40x40cm) es de 48 KPa calcular el esfuerzo correspondiente en el tramo BC (cuya

sección es de 30x30cm).

Debemos calcular por tanto el valor de:

Calculamos F:

Pero en el enunciado del problema se establece que:

Al principio habíamos encontrado que FBC = F

Entonces: FBC = 7.68KN

Y finalmente:

σBC = FBC

0.09 m2 =7.68 KN0.09 m2 =85.33 KPa

PROBLEMA 3:

Se tiene un muro sometido a una carga de 13000 Kg por metro de longitud y soportado por una cimentación de concreto la cual a la vez se apoya sobre el suelo. Calcular los esfuerzos actuantes en el muro, la cimentación y el suelo y compararlos con los esfuerzos admisibles de los tres elementos que son los siguientes:

σadmisible MURO = 40Kg/cm2 = 40 = 392x104N/m2 = 3.92MPa

σadmisible CIMENTACION-CONCRETO = 4.83MPa

σadmisible SUELO = 380KPa = 0.38MPa

Para simplificar el problema no consideremos los pesos propios del muro y del concreto.

Para el análisis consideremos un tramo de muro de un metro de longitud.

Calculemos los esfuerzos actuantes en los niveles a, b, c y d:

CONCLUSION

Los materiales, en su totalidad, se deforman a una carga externa. Se sabe además que, hasta cierta carga límite el sólido recobra sus dimensiones originales cuando se le descarga. La recuperación de las dimensiones originales al eliminar la carga es lo que caracteriza al comportamiento elástico.

La carga límite por encima de la cual ya no se comporta elásticamente es el límite elástico. Al sobrepasar el límite elástico, el cuerpo sufre cierta deformación permanente al ser descargado, se dice entonces que ha sufrido deformación plástica.

El comportamiento general de los materiales bajo carga se puede clasificar como dúctil o frágil según que el material muestre o no capacidad para sufrir deformación plástica.

Los materiales dúctiles exhiben una curva Esfuerzo - Deformación que llega a su máximo en el punto de resistencia a la tensión. En materiales más frágiles, la carga máxima o resistencia a la tensión ocurre en el punto de falla. En materiales extremadamente frágiles, como los cerámicos, el esfuerzo de fluencia, la resistencia a la tensión y el esfuerzo de ruptura son iguales.

La deformación elástica obedece a la Ley de Hooke La constante de proporcionalidad E llamada módulo de elasticidad o de Young, representa la pendiente del segmento lineal de la gráfica Esfuerzo - Deformación, y puede ser interpretado como la rigidez, o sea, la resistencia del material a la deformación elástica. En la deformación plástica la Ley de Hooke deja de tener validez.

REFERENCIAS

Beer, F. y Johnston, E. (1993). Mecánica de materiales. Santafé de Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Interamericana, S.A.

Galambos, T.; Lin, F. y Johnston, B. (1999). Diseño de estructuras de acero con LRFD. Naucalpan de Juarez, México: Prentice Hall Hispanoamericana, S.A.

Nowak, A. y Collins, K. (2000). Reliability of structures. EE. UU.: McGraw-Hill Companies, Inc.

Popov, E. (1996). Introducción a la mecánica de sólidos. México, D.F., México: Editorial Limusa, S.A. de C.V.

Salvadori, M. y Heller, R. (1998). Estructuras para arquitectos. Buenos Aires, Argentina: Kliczkowski Publisher.

Singer, F. y Pytel, A. (1982). Resistencia de materiales. México, D.F., México: Harla, S.A. de C.V.

Timoshenko S. y Young, D. (2000). Elementos de resistencia de materiales. México D.F., México: Editorial Limusa, S.A. de C.V

Medina, X. (2015). Academia. Esfuerzo y deformación – carga axial. Recuperado en http://www.academia.edu/8/82578/2_Esfuerzo_y_deformacion_carga_axial

Medina, J. (2011). Universidad de los Andes. Facultad de Arquitectura y Diseño/Venezuela. Sistemas estructurales/esfuerzo y deformación. Recuperado en http://miutj.files.wordpress.com/2011/01/esfuerzo-deformacic3b3n.pdf

Pino, A. Monografías S.A. Diagrama de esfuerzo y deformación. Recuperado en http://www.monografias.com/trabajos72/diagrama-esfuerzo-deformacion/diagrama-esfuerzo-deformacion.shtml