UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR

DE SAN MARCOS

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS

ESCUELA ACADEMICA DE INGENIERIA

MECANICA DE FUIDOS

ESFUERZOS GEOETÁTICOS

EXPOSITOR: Ing. Flores Talavera A. O.

Lima, c.u. - 2013

Problemas de Deformaciones Planas Típicos.

Muro de

Contención

Terraplén

Cimentación Corrida

zY

X

zY

X

zY

X

Relaciones esfuerzo-deformación de materiales ideales a) elástico, b)

plástico rígido, c) elastoplástico, d) elastoplástico con ablandamiento,

e) relación esfuerzo-deformación típica con un material real.

Esfuerzo

Deformación

(a)

F

Esfuerzo

Deformación

(c)

Esfuerzo

Deformación

(e)

Esfuerzo

Deformación

(b)

Esfuerzo

Deformación

(d)

F FR

F = Significa en la Falla

R = Significa Valor Residual

Elemento A

(a)

(b)

( c)

Superficie del terreno

Th

Tu

Nu

Nh

Diagramas para ilustrar la definición de esfuerzo. a) Perfil del

terreno. b) y c) Fuerzas sobre el elemento A.

Nivel freáticoNivel del terreno

X X

Z

Area A

Nivel freático

Nivel del terreno

X X

Z

Z

Area A

W

W

ZZ

Z

Z

Z

y

y

yy

y

XX

XX

X

X

X

a)

y

X

Z

b)

1

2

3

a) Estado general de esfuerzos en un elemento de suelo,

b) esfuerzos principales

N

y

X

Ty

Tx

Huecos (poros)

Selecciones de

las partículas

Punto de contacto entre

partículas situadas por

encima y debajo del

plano de la seccion.

a

a

Definición de los esfuerzos en un sistema de partículas

Concepto de Esfuerzos Efectivos

HA

Area de Corte

Transversal = Ā

a

a

Agua de Poro

Partícula Sólida

H

Consideración del esfuerzo efectivo para una

columna de suelo saturado sin infiltración

Fuerzas que actúan en los puntos de contacto

de las partículas de suelo en el nivel del punto A.

Área de Corte

Transversal = Ā

a1 a2 a3

a4

P1 P2P3

P4

Concepto de Esfuerzos Efectivos

Distribución de Esfuerzos en una Masa de Suelo

Entrada

Válvula

(abierta)

H1

Z

B

C

A

H2

h * z

H2

h

Estrato de suelo en un tanque con infiltración hacia arriba

Distribución de Esfuerzos en una Masa de Suelo

Variación del (a) esfuerzo total; (b) presión de poro y (c) esfuerzo

efectivo con la profundidad en un estrato de suelo con infiltración hacia

arriba.

Profundidad Profundidad Profundidad

Esfuerzo Total, Presión de Poros Esfuerzo Efectivo ’

H1 W

H1 W z sat

H1 W

(H1 z + zi) wz( ’ – i w)

H1 W H2 sat (H1 + H2 + h) w H2 ’ - h w

o

o o

H1

H1 + z

H1 + H2

(a) (b) (c)

Distribución de Esfuerzos en una Masa de Suelo

Salida

Válvula

(abierta)

H1

Z

B

C

A

H2

h * z

H2

h

Entrada Q

Estrato de suelo en un tanque con infiltración hacia abajo

Distribución de Esfuerzos en una masa de suelo

Estrato de suelo en un tanque con infiltración hacia abajo; variación del

(a) esfuerzo total; (b) presión de poros y (d) esfuerzo efectivo con la

profundidad en un estrato de suelo con infiltración hacia abajo.

Profundidad Profundidad Profundidad

Esfuerzo Total, Presión de Poro Esfuerzo Efectivo ’

H1 W

H1 W z sat

H1 W

(H1 z - zi) wz( ’ + i w)

H1 W H2 sat (H1 + H2 - h) w H2 ’ + h w

o

o o

H1

H1 + z

H1 + H2

(a) (b) (c)

Esfuerzos en un Medio Elástico Causados por

una Carga Puntual.

Z

y

L

X

r

Z

X

P

y

z

x

y

A

Esfuerzos causados por un Carga Puntual

Boussinesq (1883) resolvió el problema de los

esfuerzos “producidos en cualquier punto de un

medio homogéneo, elástico e isótropo como

resultado de una carga puntual aplicada sobre la

superficie de un semiespacio infinitamente grande. La

solución de Boussinesq para los esfuerzos normales

en un punto A causado por la carga puntual P es

23

2

2

22

5

2

)()21(

3

2 rL

zy

zLLr

yx

L

zxPx

Esfuerzos Normales en A causados por

una Carga Puntual

23

2

2

22

5

2

)()21(

3

2 rL

zx

zLLr

xy

L

zyPy

y

2/522

3

5

3

)(2

3

2

3

zr

Pz

L

Pzz

donde:

22222

22

zrzyxL

yxr

= relación de poisson

z

X

N

Q por metro

x

z

Esfuerzos en un Medio Elástico Causados por una

Carga Lineal Vertical de Longitud Infinita

Esfuerzos Causados por una Carga

Lineal Vertical de Longitud Infinita

Los incrementos de esfuerzo en N debidos a la

aplicación de una carga lineal Q por metro, son

222

2

222

2

222

3

)(

2

)(

2

)(

2

zx

xzQ

zx

zxQ

zx

zQ

xz

x

z

q = carga por área

unitaria

B

X

X - r

z

A

drr

x

z

Esfuerzos en un Medio Elástico Causados por una

Carga de Franja (ancho finito y longitud infinita)

Carga Uniformemente Distribuida Sobre

una Franja Infinita

Los incrementos de esfuerzos en el punto A producidos

por una presión uniforme q que actúa sobre un franja

flexible infinitamente larga de ancho B, son los siguientes:

)2(

)2cos(

)2cos(

sensenq

senq

senq

xz

x

z

Isóbaras o Bulbo de Presiones Verticales

Bajo una Carga Flexible de Franja

Carga de

Franja flexible

a a

Planta

q

B 2B 2.5B

B

2B

3B

4B

5B

0.7

0.5

0.3

0.2

0.06

0.08

0.1

0 B 2B

q = 0.9

q =

Z

N

X

X

V

q

B

R1

R2

Carga con Distribución Triangular

sobre una Franja Infinita

Carga con Distribución Triangular

sobre una Franja Infinita

Cuando el esfuerzo aplicado se incrementa linealmente a

través del ancho de la franja, lo cual conduce a una

distribución triangular, los incrementos de esfuerzo en el

punto N están dados por:

xB

zq

senR

Rn

B

z

B

xq

senB

xq

xz

x

v

22cos1

2

22

11

22

1

2

2

2

1

Carga uniformemente distribuida sobre una

área circular

2/3

2)/(1

11

zRqv

El incremento del esfuerzo vertical total a una

profundidad z bajo el centro de una área circular

flexible de radio R cargada con una presión uniforme q

esta dado por

Sin embargo, para puntos diferentes de los situados bajo el

centro de carga, las soluciones tienen una forma extremadamente

complicada (Harr, 1996) y por lo general se presentan en forma

gráfica (Foster y Ahlvin, 1954 ) o en tablas (Ahlvin y Ulery, 1962).

En el punto N , puede escribirse el incremento en el esfuerzo

vertical total como

qIv

Factor influencia l σ

Valores del factor de influencia /σ para calcular el incremento de esfuerzo

vertical total σv bajo un área circular uniformemente cargada. (Según

Foster y Alhvin, 1954. Reimpresa con la autorización del transportation

Research board).

r

V

V

Carga uniforme q

= q/

0.0020.001 0.004 0.006 0.01 0.02 0.04 0.06 0.1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.1 0.2 0.4 0.6 0.8

r

R

=10

9

8

7

6

5

4

3

2.5

2 1.5

1.25

0

0.5

r

R

r

R

=0.75

=1

E

R

R

1

z

R

P

Z

Z

=I.PZ

a b

0.50

0.40

0.30

0.20

0.10

0

0.01 2 4 6 6 68 8 80 0 021 1012 4 4

b/z=

In

flu

en

ce

V

alu

e ‘ I ’

a/z

b/z=0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.6

0.7

0.8

0.9

b/z =1.0

b/z =0.5

1.2

1.4

1.6

1.9

2.0

3.0

Factores de Influence para Esfuerzos Verticales Generados

por una Carga de Terraplén (Obsterberg, 1957).

B B

Carga uniforme q

=0.5qV

0.2q

0.1q

0.3q

0.4q

0.6q

0.8q

0.9q

Bajo el

centro

V

0.5B0.5B

BB

1.5B1.5B

2B2B

2.5B2.5B

0 0.2q 0.4q 0.6q 0.8q 0

a) b)

a) líneas de igual incremento de esfuerzo vertical total, b)

incremento del esfuerzo vertical total bajo el centro de la

zapata.

Isóbaras o Bulbo de Presiones Verticales

Bajo un Área Cuadrada con Carga Uniforme

z

Ln

z

Bm

El incremento en el esfuerzo vertical debajo la

esquina de un área rectangular cargada

uniformemente viene dado por:

Incremento de Presiones Verticales Bajo

un Área Rectangular con Carga Uniforme

qIv

Donde I es función de m y n, parámetros

definidos como:

Valores del factor de influencia I para calcular el incremento de esfuerzo

vertical total v bajo la esquina de una área rectangular uniformemente

cargada (Según Fadum, 1948)

0.180.18

0.19

0.20

0.21

0.22

0.23

0.24

0.25

0.17

0.16

0.15

0.14

0.13

0.12

0.11

0.10

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.01 0.1 1 2 3 4 5 6 8 100.2 0.3 0.40.02 0.04 0.06 0.6 0.8

0.00

m=0.0

m=0.1

m=0.2

m=0.3

m=0.4

m=0.5

m=0.6

m=0.7

m=0.8

m=1.0

m=1.8

m=2.

m=2.4

m=3.0m=

m=1.2

m = 1 . 4

m = 1 . 6

m=0.9

Presion uniforme q

B

L

V

V =ql

N

Nota m n: y son intercambiables

Fac

tor d

e influ

en

cia I

Z

n

Cálculo aproximado del incremento de

esfuerzo vertical

Para áreas circulares o rectangulares uniformemente

cargadas, puede hacerse un cálculo aproximado del

incremento de esfuerzo vertical total suponiendo que la

carga aplicada se distribuye dentro de un cono truncado

o una pirámide truncada formados por lados con

pendiente de 2 en la vertical y 1 en la Horizontal, por

ejemplo, si el área cargada es un rectángulo de longitud L

y ancho B, el incremento promedio en el esfuerzo vertical

total a una profundidad z estará dado aproximadamente

por

))(( zBzL

qLBv

Cualquier área cargada puede considerarse como un

número discreto de subáreas, que distribuyen una carga

puntual aplicada sobre la superficie del terreno

1 1

2 2

L x B

(L+z) x (B+z)

Z

q

Método aproximado para calcular el incremento promedio de

esfuerzo vertical total bajo un área uniformemente cargada.

Carga puntual

Expresión de Boussinesq

kxxP

z

Pv

80020022

2

33

Z(m)

V (KN/M2) 6.111,5 1.527,9 382,0 169,3 95,5 61,1 42,4 31,2 23,9

0,25 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00

Z

X XX

Z

Z

Tzx

Tzx

Tzx

TxzT

xz

Txz

0

A

Bc

TResultantes de

esfuerzos sobre ab

a)b)

ESTADO DE ESFUERZOS EN UNA MASA DE SUELO

CÍRCULO DE MOHR

B

A

C

1

3

T

Dirección de 1

Dire

cc

ió

n d

e

3

(a)

2

2

1

1

3

3

-

+

2

A ( Coordenados , )T

T

Circulo de Mohr

(b)

REPRESENTACIÓN

DE ESFUERZOS

MEDIANTE EL

CÍRCULO DE MOHR

a) estado de esfuerzos en

un punto.

b) Diagrama de Mohr para

el estado de esfuerzos

en un punto.

Representación de los esfuerzos mediante el

círculo de Mohr.

22

cos)(

2cos22

cos

3131

31312

3

2

1

sensen

sen

El esfuerzo tangencial máximo en un punto, max es

siempre igual a ( 1- 3)/2; es decir, el esfuerzo tangencial

máximo equivale al radio del círculo de Mohr. Este esfuerzo

tangencial máximo se produce en planos que forman 45

con la dirección del esfuerzo principal mayor.

Ejemplo

Calcular los esfuerzos sobre el plano B-B.

300

4kg/cm2

4kg/cm2

2kg/cm2

2kg/cm2

B

B

1. Se representa los puntos (4,0) y (2,0).

2. Se dibuja el círculo, utilizando estos puntos para definir el diámetro.

3. Se traza la línea AA’ por el punto (2,0), paralela al plano sobre el cual

actúa el esfuerzo (2,0).

4. La intersección de A’A’ con el círculo Mohr en el punto (4,0) es el polo.

5. Se traza la línea B’B’ por Op, paralela a BB.

6. Se leen las coordenadas del punto X donde B’B’ corta al círculo de

Mohr.

1

0

-1

1 2 3 4

C´

A´A´

X

B´

B´

Op

C´

A’

432

Op

B’

B’

Respuesta

2.5 kg/cm2

2 kg/cm2

4 kg/cm2

0.87

Sobre BB= 2.5 kg/cm2

= -0.87 kg/cm2

Otra solución. Los pasos 1 y 2 igual que antes.

3. Traza´por el punto (4.0) la línea C’C’ paralela al plano sobre

el que actúa el esfuerzo (4.0). C’C’ es vertical.

4. C’C’ corta al círculo de Mohr solamente en (4.0) de forma

que este punto es el polo Op. Los pasos 5 y 6 análogos al caso

anterior.

Solución por medio de las ecuaciones

2

2

2

3

2

1

/866.0602402

24

/5.260cos3240cos2

24

2

24

120/2/4

cmkgsensen

cmkg

cmkgcmkg

(preguntas para el alumno. ¿Por qué es =120 ? ¿El resultado

habria sido diferente si = 300 ?)

DIAGRAMAS p-q

En muchos problemas conviene representar, sobre un

diagrama único, muchos estados de esfuerzos para una

determinada muestra del suelo. En otros problemas se

representa en un diagrama de este tipo el estado de

esfuerzos de muchas muestras diferentes. En tales casos

resulta muy pesado trazar los círculos de Mohr, e

incluso mas difícil ver lo que se ha representado en el

diagrama después de dibujar todos los círculos .

Otro método para dibujar el estado de esfuerzos puede

ser adoptar un punto representativo de los esfuerzos

cuyas coordenadas son

231p

231q

+ si 1 forma un ángulo igual o

menor de 45 con la vertical

- si 1 forma un ángulo menor de

45 con la horizontal

En la mayoría de los casos en los que se utiliza la

representación puntual, los esfuerzos principales actúan

sobre planos verticales y horizontales. En este caso, la

ecuación se reduce a

2,

2hh qp

Este método equivale a representar un punto único de

un circulo de Mohr: el punto mas alto si q es positivo o

el mas bajo si q es negativo. Numéricamente, q equivale

a la mitad del esfuerzo desviador.

Conociendo los valores de p y q para un cierto estado de

esfuerzos, se posee toda la información necesaria para

dibujar el círculo de Mohr correspondiente. Sin

embargo, el empleo de un diagrama p-q no exime de

utilizar el círculo de Mohr para determinar la magnitud

de los esfuerzos principales a partir de un determinado

estado de esfuerzos.

FIN