Esfuerzos Combinados

Esfuerzos Combinados

Mecánica de Materiales II


PROLOGOLos Esfuerzos Combinados son aquellos que actúan en

una sección de un elemento cuando existe una

combinación de dos o más de las acciones internas

actuando en dicho elemento. Los esfuerzos combinados

son importantes en muchos casos prácticos.

Esfuerzos de membrana en recipientes de pared delgada

sometidos a presión son los esfuerzos que aparecen en

las paredes de los recipientes cilíndricos, esféricos o de

cualquier otra forma, debido a presiones internas y

externas. Estos esfuerzos proporcionan ejemplos de un

estado de esfuerzo más general y se conocen como

esfuerzos biaxiales. Además, los recipientes a presión son

importantes por sí mismos, desde un punto de vista

práctico.

La transformación del esfuerzo significa la variación, con

la dirección de los componentes del esfuerzo y la

deformación de un punto. El estudio de este tema se

refiere principalmente a casos bidimensionales que a

casos en 3D. Este tema es importante en la deformación

de los esfuerzos máximos y las deformaciones máximas

en un punto de un elemento y en la determinación de las

combinaciones de esfuerzos que producen la falla en un

elemento.

En la práctica frecuentemente se encuentran cargas que

no concuerdan con las condiciones bajo las cuales



las teorías básicas son válidas. La Fig. 1.1 muestra

ejemplos de problemas de este tipo. Sin embargo, estos

problemas pueden resolverse mediante una combinación

adecuada de métodos ya estudiados. La poderosa técnica

de la superposición se usa en la solución de todos los

problemas mostrados en la Fig. 1.1, estos involucran la

superposición de esfuerzos P/A y MC/I.


FIGURA 1.1


1- ESFUERZO EN RECIPIENTES DE PARED DELGADA

Recipientes esféricos y cilíndricos sometidos a presión

(esfuerzo biaxial)

Los recipientes a presión son estructuras cerradas que

contienen líquidos o gases a presión (figura 1.2). Algunos

ejemplos conocidos son los tanques esféricos para

almacenamiento de agua, los tanques cilíndricos para aire

comprimido, tubos a presión y globos inflados. Las

paredes curvas de los recipientes sujetos a presión a

menudo son muy delgadas en relación con el radio y la

longitud, y en tales casos se encuentran en la clase

general de estructuras conocidas como “cascarones”.

Otros ejemplos de estructuras de cascaron son los techos

curvos, las cúpulas (o domos) y los fuselajes.

En esta sección, consideraremos únicamente recipientes

de pared delgada de forma esférica y cilíndrica circular

(Fig. 1.3). El término de pared delgada no es preciso, pero

una regla general es que la relación de radio r al espesor

de la pared t debe de ser mayor que 10 a fin que

podamos determinar los esfuerzos en las paredes con

exactitud razonable mediante únicamente estática. Una

segunda limitación es que la presión interna debe de ser

mayor que la externa; de lo contrario, el cascaron puede

fallar por colapso debido al pandeo de las paredes.

Recipientes esféricos sometidos a presión. Un tanque de

forma esférica es el recipiente ideal para resistir presión


FIGURA 1.2


interna. Solo requiere observar las conocidas pompas de

jabón para reconocer que una esfera es el perfil “natural”

a este propósito. Para obtener los esfuerzos en la pared,

cortemos la esfera sobre un plano diametral vertical y

separemos la mitad del cascaron y su contenido, como un

cuerpo libre (Fig. 1.3a). Sobre este cuerpo libre actúan los

esfuerzos σ en la pared y la presión interna p. El peso del

tanque y su contenido se omiten en este análisis. La

presión actúa horizontalmente sobre el área circular

plana formada por el corte, y la fuerza resultante es igual

a p(π r2) , donde r es el radio interior de la esfera.

Obsérvese que la presión p es la presión interna neta, o

presión manométrica (esto es, la presión por encima de

la presión atmosférica, o presión externa).

El esfuerzo de tensión σ en la pared de la esfera es

uniforme alrededor de la circunferencia del tanque,

debido a la simetría del mismo y de su carga. Además,

como uniforme a través del espesor t . La exactitud de

esta aproximación se incrementa según se vuelve más

delgado el cascaron, y se reduce según se vuelve más

grueso. La fuerza obtenida a partir del esfuerzo normal es

σ (2π rm t), donde t es el espesor y rm es el radio medio

del cascaron (r m=r+t /2 ) . Por supuesto, dado que

nuestro análisis únicamente es válido para cascarones

muy delgados, podemos considerar que rm ≈ r; entonces,

la fuerza resultante se convierte en σ (2π rm t). El

equilibrio de fuerzas en la dirección horizontal da

σ (2 π rm t )−p ( π r2 )=0 de cual obtenemos:

σ= pr2 t

(1-

1)


FIGURA 1.3


Como es evidente a partir de la simetría de un cascaron

esférico, esta misma ecuación para el esfuerzo σ se

obtendrá si se pasa un plano a través de la esfera en

cualquier dirección. Por lo tanto, concluimos que una

esfera “presurizada” está sometida a esfuerzos uniformes

a tensión σ en todas las direcciones. Esta condición de

esfuerzo se representa en la Fig. 1.3b por el pequeño

elemento con esfuerzos σ que actúan en direcciones

mutuamente perpendiculares. Los esfuerzos de este tipo,

que actúan de modo tangencial (en vez de perpendicular)

a la superficie curva, se conocen como “esfuerzos de

membrana”. El nombre surge del hecho de que los

esfuerzos de este tipo existen en membranas verdaderas,

tales como películas de jabón o delgadas hojas de caucho

o hule.

En la superficie exterior de un recipiente esférico a

presión, no actúan esfuerzos normales a la superficie, por

lo que la condición de esfuerzos es un caso especial de

esfuerzo biaxial es el que σ x y σ y son iguales (Fig. 1.4a).

Como no actúan esfuerzos cortantes sobre este

elemento, obtenemos exactamente obtenemos los

mismos esfuerzos al girar el elemento un ángulo

cualquiera alrededor del eje z. Así, el círculo de Mohr

para esta condición de esfuerzo se reduce a un punto, y

cada plano inclinado es un plano principal. Los esfuerzos

principales son:

σ 1=σ2=pr2 t

(1-2)


FIGURA 1.4


También, el esfuerzo cortante máximo en el plano es

cero. Sin embargo, se debe advertir el elemento es

tridimensional y que el tercer esfuerzo principal (en la

dirección z) es cero. Por lo tanto, el esfuerzo cortante

máximo absoluto, originado mediante una rotación de

45° del elemento respecto a cualquiera de los x o y, es

τ max=σ2= pr

4 t (1-3)

En la superficie interior de la pared del recipiente

esférico, el elemento esforzado tiene los mismos

esfuerzos de membrana (Ec. 1-1), pero, adicionalmente,

actúa un esfuerzo de compresión en la dirección z, igual a

p (Fig. 1.4). Estos tres esfuerzos normales son los

esfuerzos principales:

σ 1=σ2=pr2 t

σ 3=−p (1-4)

El esfuerzo cortante en el plano es cero, pero el esfuerzo

cortante fuera del plano (producido mediante una

rotación de 45° alrededor de cualquiera de los ejes x y y)

es

τ max=σ+ p

2= pr

4 t+ p

2 (1-5)

Si la relación de r / t es

suficientemente grande,

el último término de esta

ecuación puede omitirse.

Entonces la ecuación se

convierte en la misma

Ec. (1-3), y se puede

suponer que el esfuerzo

cortante máximo es

constante a través del

espesor del cascaron.

Todo tanque esférico

utilizado como

recipiente a presión

tendrá al menos una



abertura en la pared, así como varios accesorios y

soportes. Esta característica origina distribuciones no

uniformes de esfuerzos que no pueden analizarse

mediante métodos simples. Cerca de las discontinuidades

se generan grandes esfuerzos en el cascaron, por lo que

reforzarse tales regiones. Por lo tanto, las ecuaciones que

hemos establecidos para los esfuerzos de membrana son

válidas en cualquier punto del recipiente, excepto cerca

de las discontinuidades. En el diseño de tanques

intervienen otras consideraciones, incluyendo efectos de

corrosión, impactos accidentales y efectos térmicos.

Recipientes cilíndricos sometidos a presión. Considérese

ahora un tanque cilíndrico circular de pared delgada con

extremos cerrados y presión interna p (Fig. 1.5a). En la

figura se muestra un

elemento esforzado

cuyas caras son paralelas

y perpendiculares al eje

del tanque. Los

esfuerzos normales σ 1 y

σ 2, que actúan sobre las

caras laterales de este

elemento, representan

los esfuerzos de

membrana en la pared.

Sobre las caras del

elemento no actúan

esfuerzos cortantes

debido a la simetría del

recipiente. Por lo tanto,

los esfuerzos σ 1 y σ 2 son

esfuerzos principales.

Debido a su dirección, el

esfuerzo σ 1 se denomina

esfuerzo circunferencial

o esfuerzo tangencial

(esfuerzo de zuncho); en

forma similar, σ 2 es el

esfuerzo longitudinal o

esfuerzo axial. Cada uno

de estos esfuerzos

puede calcularse a partir



del equilibrio mediante el empleo de diagramas de

cuerpo libre apropiados.

Para calcular el esfuerzo

circunferencial σ 1, se

aísla un cuerpo libre

mediante un diagrama

de cortes (mn y pq)

separados una distancia

b y perpendiculares al

eje longitudinal (Fig.

1.5a). También se

efectúa un tercer corte

en un plano vertical a

través del propio eje; el

cuerpo libre resultante

se muestra en la Fig.

1.5b. Sobre la cara

longitudinal de este

cuerpo libre actúan los

esfuerzos σ 1 en la pared

y la presión interna p.

Sobre las caras

transversales de este

cuerpo libre también

actúan esfuerzos y

presiones, pero no se

muestra en la figura ya

que no intervienen en la

ecuación de equilibrio


FIGURA 1.5


que se utilizara. También, nuevamente se omite el peso

del recipiente y su contenido. Las fuerzas debidas al

esfuerzo σ 1 y a la presión p actúan en direcciones

opuestas, por lo que se tiene la siguiente ecuación de

equilibrio:

σ 1 (2 bt )−p (2br )=0

en la que t es el espesor de la pared y r es el radio

interior del cilindro. A partir de la ecuación anterior, se

obtiene:

σ 1=prt

(1-6)

como la fórmula para el esfuerzo circunferencial. Según

se explicó previamente, este esfuerzo está distribuido

uniformemente sobre el espesor de la pared siempre y

cuando esta sea delgada. El esfuerzo longitudinal σ 2 se

obtiene a partir de un cuerpo libre de la parte del tanque

a la izquierda de un corte que es perpendicular al eje

longitudinal (Fig. 1.5c). En este caso, la ecuación de

equilibrio es

σ 2 (2 πrt )−p ( π r2 )=0

en la que, como se

explicó previamente, se

utilizó el radio interior

del cascaron en vez del

radio medio (o principal)

al calcular la fuerza

debida al esfuerzo σ 2,

resulta



σ 2=pr2 t

(1-7)

que es el mismo esfuerzo de membrana que el de un

cascaron esférico. Al comparar las Ec. (1-6) y (1-7), se

aprecia

σ 2=σ1

2 (1-8)

Luego, el esfuerzo longitudinal en un cascaron cilíndrico

es la mitad del esfuerzo circunferencial. Los esfuerzos

principales σ 1 y σ 2 en la superficie exterior del cascaron

se muestran en acción sobre el elemento esforzado en la

Fig. 1.6a. El tercer esfuerzo principal, que actúa en la

dirección z, es cero.

Así que nuevamente tenemos esfuerzo biaxial. Los

esfuerzos cortantes máximos localizados en el plano xy

se generan cuando el elemento se gira 45° alrededor del

eje z; este esfuerzo es

(τmax)z=σ1−σ2

2=

σ1

4= pr

4 t (1-9)

Los esfuerzos cortantes máximos obtenidos mediante

rotaciones a 45° alrededor de los ejes x y y son,

respectivamente,

(τmax)x=σ1

2= pr

2 t (τmax)y=

σ2

2= pr

4 t

Luego, el esfuerzo

cortante máximo

absoluto es


FIGURA 1.6


τ max=σ1

2= pr

2t (1-10)

Y se presenta cuando el elemento se gira 45° respecto del

eje x. Las condiciones de esfuerzos en la superficie

interior del cascaron se muestran en la Fig. 1.6b. los

esfuerzos normales principales son

σ 1=prt

σ 2=pr2 t

σ 3=−p (1-11)

Los tres esfuerzos máximos, originados mediante

rotaciones de 45° alrededor de los ejes x, y y z, son

(τmax)x=σ1+ p

2= pr

2t+ p

2

(τmax)y=σ2+ p

2= pr

4 t+ p

2 (1-12)

(τmax)z=σ1−σ2

2= pr

4 t

El primero de estos esfuerzos es el mayor. Sin embargo,

como se explicó en el estudio de esfuerzos cortantes en

un cascaron esférico, se suele omitir el término adicional

p/2 en estas expresiones y suponer que el esfuerzo

cortante máximo es constante a través del espesor y está

dado por la ecuación (1-10).

Las fórmulas de esfuerzo anteriores son válidas en las

porciones del cilindro alejadas de cualquier

discontinuidad. Una discontinuidad obvia existe en el

extremo del cilindro donde se une la cabeza. Otras

ocurren en las aberturas

del cilindro o donde se

fijan objetos al cilindro



EJEMPLO1.1

El tanque de la figura 1.7a tiene un espesor de ½ pulgada

y un diámetro interior de 48 pulgadas. Está lleno hasta el

borde superior con agua de peso específico

Ɣw=62.4 lb / pie3 y esta hecho de acero con peso

especifico Ɣacero=490 lb / pie3. Determine el estado de

esfuerzo en el punto A (esfuerzo circunferencial y

esfuerzo longitudinal). El tanque está abierto en su parte

superior.

DATOS

t = ½ pulgada =1/24 pie

r=d2=24 pulgadas=2 pie

Ɣw=62.4 lb / pie3 Ɣacero=490 lb / pie3.

Peso del de acero que se encuentra arriba del punto A

W acero=ƔaceroV acero

W acero= (490 lb / pie3 ) [Π (24.512

pies)2

−Π (2412

pies)2]

( 3pies )

W acero=¿777.7 lb

Encontrando la presión del agua en el nivel del punto A, utilizando la ley de pascal.

P=Ɣ w Z



P=(62.4lb

pie3 ) (3 pies )=187.2lb

pie s2 ×1 pi e2

14 4 pulg2

P=1.30lb

pul g2=1.30 PSI

Esfuerzo circunferencial en el elemento A.

σ 1=Prt

σ 1=(1.30

lb

pul g2 ) (24 pulg )

0.5 pulg=62.40

lbpul g2

σ 1=62.40 PSI

Esfuerzo longitudinal en el elemento A.Como el tanque está abierto en su parte superior la ecuación

σ 2=Pr2t

, entonces

σ 2=W acero

Aacero

= 777.7 lb

Π [ (24.5 pulg )2− (24 pulg )2 ]

σ 2=102.20 lb / pul g2


FIGURA 1.7


EJEMPLO1.2

Un tanque de aire comprimido está apoyado por dos

soportes como se indica en la figura 1.8; uno de los

soportes está diseñado de tal modo que no ejerce

ninguna fuerza longitudinal sobre el tanque. El cuerpo

cilíndrico del tanque tiene 30 in. de diámetro interior y

está hecho de placa de acero de 3/8 in. con soldadura de

botón de hélice que forma 25º con un plano transversal.

Los extremos son esféricos con un espesor uniforme de

5/16 in. Para una presión manométrica interior de 180

psi, determine: a) el esfuerzo normal y el esfuerzo

cortante máximo en los extremos esféricos, b) los

esfuerzos en dirección perpendicular t paralela a la

soldadura helicoidal.

Solución:

a) Tapa esférica.

p=180 psi , t= 516

ℑ .=0.3125∈.

r=15−0.3125=14.688∈.

σ 1= σ 2 = p

2t=

(180 psi ) 14.688∈¿2 (0.3125∈. )


FIGURA 1.8

FIGURA 1.9


σ = 4 230 psi.

Se observa que para esfuerzos en un plano tangente a la

tapa, el circulo de Mohr se reduce a un punto (A,B) en el

eje horizontal y que todos los esfuerzos cortantes en el

plano son cero. En la superficie de la tapa, el tercer

esfuerzo principal es cero y corresponde al punto O. En

un circulo de Mohr de diámetro AO, el punto D’ es el de

esfuerzo cortante máximo y ocurre en planos a 45º del

plano tangente a la tapa.

τ max=12(4230 psi) τ max=2115 psi

b) Cuerpo cilíndrico del tanque. Primero se calcula el

esfuerzo de costilla σ 1 y el esfuerzo longitudinal

σ 2 . Usando las ecuaciones tenemos:

p=180 psi , t=38∈.=o .35∈.

r=15−0.375=14.625∈.

σ 1¿prt

=(180 psi ) ¿¿ σ 2¿12 σ 1¿2 510 psi

σ prom =

12¿σ 1 + σ 2) ¿5 265

R=12

¿σ 1 + σ 2)

¿1755 psi

Esfuerzos en la

soldadura. Notando que

tanto el esfuerzo de la

Costilla como el

longitudinal son

esfuerzos principales, se

traza el círculo de Mohr


FIGURA 1.9


mostrado en la figura. El elemento son cara paralela a la

soldadura se obtiene rotando 25º la cara normal al eje Ob

en sentido contrario al de las agujas del reloj. Entonces,

se localiza en la soldadura rotando el radio CB 2θ=50 °

en sentido contrario a las agujas del reloj.

σw = σ prom – R cos 50° σw = + 14 140 psi

τ w = R sen 50° τ w = 1 344 psi

Como X’ está por debajo del eje horizontal τ w tiende a

rotar al elemento en sentido contrario al de las agujas del

reloj. (Ver fig. 1.10)


FIGURA 1.10


2- TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZOS EN UN PUNTOEn una sección de un elemento puede actuar una

combinación de dos o más de las acciones internas P, Vy,

Vz, T, My y Mz. Cuando se presenta este caso

generalmente los esfuerzos en la sección se pueden

obtener sumando las distribuciones de esfuerzos

asociadas con cada una de las acciones en la

combinación. Para calcular los esfuerzos debidos a las

acciones separadas se utilizan las formulas dadas para

elementos cargados axialmente, elementos sometidos a

torsión, y vigas. El esfuerzo normal y cortante, total o

combinado en cada punto de la sección se halla mediante

suma vectorial de los esfuerzos normal y cortante

calculados separadamente para cada acción. Los

esfuerzos normales separados siempre están en la misma

dirección con sentidos iguales u opuestos, y, por lo

consiguiente, se suman como escalares, mientras que los

esfuerzos cortantes separados pueden tener diferentes

direcciones en el plano de la sección cortadas y se suman

vectorialmente. Una limitación de este método es que los

esfuerzos combinados en todos los puntos de una sección

deben estar en la región elástica-lineal del material de tal

modo que se aplique el principio de superposición.

Además, las formulas de esfuerzo para acciones

separadas se pueden aplicar únicamente a los tipos de

elementos para los cuales son aplicables. En situaciones

prácticas ocurren comúnmente combinaciones tales



como carga axial combinada con flexión, corte

combinado con flexión y corte combinado con torsión,

pero son posibles algunas otras combinaciones.

Las formulas para esfuerzos establecidas hasta aquí a lo

largo del texto dan los esfuerzos únicamente en ciertos

planos cortantes que pasan por los puntos de un cuerpo.

Por ejemplo la formula σ=P/A para varillas cargadas

axialmente da el esfuerzo normal en una varilla unica en

planos cortantes perpendiculares al eje longitudinal de la

varilla como se muestra en la figura 2.1a. Los esfuerzos

en planos cortantes orientados de distinta manera fig

2.1b son diferentes.

En el caso general, lo mismo que en el ejemplo, los

esfuerzos en un punto de un cuerpo son diferentes. En

algunos planos cortantes pueden actuar esfuerzos

significativamente mayores que otros. El siguiente

estudilo se refiere a esta variacion del esfuerzo en un

punto y trata principalmente el caso de esfuerzo biaxial,

en dos dimensiones.En primer lugar sde consideran

diferntes representaciones de los esfuerzos en el mismo

punto de un cuerpo bidimensional. La fig 2.2a representa

un elemento aislado por dos planos cortantes

infinitamente cercanos y mutuamente perpendicuares

que son normales a los ejes de las coordenadas X-Y. la

figura 2.2b muestra un elemento aislado de manera

semejante por planos cortantes normales a los ejes

orientados de manera diferente, X´-Y´. los esfuerzos en

las caras opuestas de cad uno de estos elementos son


FIGURA 2.1


iguales y opouestos, y son los mismos que actuan sobre

los lados opuestos de un plano cortante unico. Cada uno

de los elementos aislados en la figura 2.2 esta sometido

a la accion de esfuerzos diferentes en el mismo punto.

Cada elemento tiene asociados tres elementos de

esfuerzos. En la figura 2.2a, las componentes se designan

σx,σy Y τxy en las coordenadas X-Y. las de la figura 2.2b

se designan σx´,σy´ Y τx´y´ en las coordenadas X´-Y´.

Estos dos co9njuntos de componentes de esfuerzo no son

los unicos que existen en ese punto.

Existe un numero infinito de conjuntos de componentes,

y cada conjunto esta asociado con uno del infinito

numero de sistemas de coordenadas posibles en el


FIGURA 2.2


punto. Cada conjunto de componentes se puede

representar sobre un elemento orientado en un sistema

de coordenas adecuado, como se hizo en las figuras 2.2a

y 2.2b. cada uno de estos elemntos proporciona una

representacion diferntes de los esfuerzos en un punto.

El infinito numero de conjuntos de componentes de

esfuerzo que se describio no son independientes. Las

componentes de un sistema arbitrario de coordenadas X

´,Y´ estan relacionadas con la de un sistema de

coordenadas X,Y, como se explica mas adelante. Las

ecuaciones que relacionan las componentes de esfuerzos

en diferentes sistemas de coordenadas o, lo que es lo

mismo, en diferentes planos cortantes que pasan por un

punto, se llaman “ecuaciones de transformación de

esfuerzo”.

Las ecuaciones de transformación de esfuerzos se

obtienen de las condiciones de equilibrio de un elemento

de tamaño infinitesimal como el que se muestra en la

figura 9.10 esta formada por planos cortantes normales a

los ejes de referencia X,Y y por un tercer plano cortante

normal a un eje inclinado X´ que forma un angulo

arbitrario θ con el eje x. Los esfuerzos en la cara inclinada

son las dos componentes σx´ y τx´τy´asociados a las

coordenadas x´,y´. Se consideran cantidades positivas si

tienen los sentidos indicados y negativas si tienen los

sentidos opuestos.

Si en un elemento como el de la figura 2.3 se aisla de un

cuerpo que esta en equilibrio, el elemento debe estar en


FIGURA 2.3


equilibrio. Las condiciones ∑Fx´= 0 y∑Fy´=0 para el

elemento de la figura 2.3 producen las expresiones para

los esfuerzos σx´ y τx´τy´ que se dan mas adelante. A

partie de estas ecuaciones de equilibrio se obtienen las

fuerzas en elemento efectuando los productos de cada

esfuerzo por el area de la cara sobre la cual actua. Se

supone que el elemento de la figura 2.3 tiene un espesor

unitario normal al plano X,Y el area de la cara inclinada se

designa por dA. Entonces, la cara opuesta y la cara

adyacente al angulo θ tiene areas dAsenθ y dAcosθ,

respectivamente. Tambien se hace uso de las identidades

trigonometricas

∑Fx´=0;

x’ dA = x dA cos cos + y dA sen sen

+ xy dA cos sen + xy sen cos

x’ = x sen2 + y cos2 + 2 xy cos sen

σ x ´=¿ σ x+σ y

2+

σ x−σ y

2cos2 θ+τ xy sen2θ (2-1)

Suma de fuerzas en la dirección y’

∑Fy´=0;

x’y’ dA = y dA cos sen - xy dA sen sen

+ xy cos cos - x dA sen cos

x’y’ = y cos sen - xy sen2 + xy

cos2- x sen cos τ x , y ,=−σ x−σ y

2sen2 θ+τ xy cos2θ

(2-2)



Las ecuaciones (2-1) y (2-2) son las ecuaciones de la

transformación de esfuerzo para el caso bidimensional y

dan los valores σx´ y τx´τy´ para cualquier angulo θ en

funcion de σx, σy y τxy. La componente de esfuerzo, σy´,

esta dada por la ecuacion (2-1), aumentando el angulo θ

en 90°. Estas ecuaciones dan los esfuerzos en uno

cualquiera del infinito numero de planos cortantes que

pueden pasr por el punto de un cuerpo, en funcion de un

conjunto arbitrario de componentes de esfuerzo x,y. Asi

uno solo del infinito numero de conjunto de

componentes de esfuerzos en un punto.

Se puede demostrar que las ecuaciones (2-1) y (2-2)

tambien son aplicables si el elemento de la figura 2.3

tiene una aceleracion. De este modo las ecuaciones (2-1)

y (2-2) son aplicables bajo las condiciones estaticas y bajo

condiciones dinamicas de un cuerpo.

De acuerdo con las ecuaciones (2-1) y (2-2) se puede ver

que σ x ' y τ x ' y' dependen del ángulo θ de inclinación de los

planos sobre los que actúan esos esfuerzos. En la práctica

de ingeniería con frecuencia es importante determinar la

orientación de los planos que causa que el esfuerzo

normal sea máximo y mínimo, y la orientación de los

planos que hace que el esfuerzo cortante sea máximo.

Esfuerzos principales en

el plano. Para

determinar el esfuerzo



normal máximo y mínimo, se debe diferenciar la ecuación

(2-1) con respecto a θ, e igualar a 0 el resultado. De este

modo se obtiene

dσ x´

dθ=

−σx−σ y

2(2 sen 2θ )+2 τ xy cos2θ=0

Al resolver esta ecuación se obtiene la orientación θ=θp,

de los planos de esfuerzo normal máximo y minimo.

tan2 θp=τ xy

(σ x−σ y)/2 (2-3)

La solución tiene dos raíces, θp 1 yθ p2. En forma especifica,

los valores de 2 θp1 y 2θp 2 estan a 180° entre si, por lo

θp 1 yθ p2 forman 90°.

Los valores de θp 1 yθ p2 deben sustituirse en la ecuación

(2-1), para poder obtener los esfuerzos normales que se

requieren. Se puede obtener el seno y el coseno de

2 θp1 y 2θp 2 con los triángulos sombreados de la figura

2.4. La construcción de esos triángulos se basa en la

ecuación (2-3), suponiendo que τ xy y (σ x−σ y) son

cantidades positivas o negativas, las dos. Para θp 1 se tiene

que

sen2θ p1=τ xy

√( σx−σ y

2 )2

+τ xy2

cos2θp 1=( σ x−σ y

2 )√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2


FIGURA 2.4


Para θp 2

sen2θ p2=−τ xy

√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2

cos2θp 2=−( σ x−σ y

2 )√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2

Si se sustituye de estos dos conjuntos de relaciones

trigonométricas en la siguiente ecuación y se simplifica

σ x ´=¿ σ x+σ y

2+

σ x−σ y

2cos2 θ+τ xy sen2θ

Se obtiene

σ 1,2=σ x+σ y

2±√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2 (2-4)

Dependiendo del signo escogido, este resultado

determina el esfuerzo normal máximo y mínimo en el

plano, que actúa en un punto, cuando σ 1≥ σ2. Este

conjunto particular de valores se llaman esfuerzos

principales en el plano, y los planos correspondientes

sobre los que actúan se llaman planos principales de

esfuerzo, figura 2.5b. Además si las relaciones

trigonométricas para θp 1 yθ p2 se sustituyen en la

ecuación τ x , y ,=−σ x−σ y

2sen2 θ+τ xy cos2θ (2-2)

Se puede ver que τ x , y ,=0; esto es, “sobre los planos

principales no actúa el esfuerzo cortante”.


FIGURA 2.5


Esfuerzo cortante máximo en el plano. La orientación de

un elemento que está sometido a esfuerzo cortante

máximo en sus caras se puede determinar sacando la

derivada de la ecuación (2-2) con respecto a θ e

igualando a cero el resultado. Se obtiene

tan2 θ s=−(σ x−σ y )/2

τ xy

(2-5)

Las dos raíces de esta ecuación θ s 1 y θs 2, se pueden

determinar con los triángulos de la figura 2.6.

Comparando con la figura 9.8, cada raíz de 2 θs esta a 90°

de 2 θp. Así las raíces de θ s y θp forman 45° entre ellas, y

el resultado es que los planos del esfuerzo cortante

máximo se pueden determinar orientando a un elemento

a 45° con respecto a la posición de un elemento que

defina los planos del esfuerzo principal.

Usando cualquiera de las raíces θ s 1o θ s 2, se puede

determinar el esfuerzo cortante máximo sacando los

valores trigonométricos de sen2 θs y cos2 θs en la figura

2.6, y sustituyéndola en la ecuación (2-2). El resultado es

τ maxenel plano=√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2 (2-6)

El valor de τ maxenel plano calculado con la ecuación (2-6) se

llama “esfuerzo cortante máximo en el plano”, porque

actúa sobre el elemento en el plano x-y. si se sustituyen

los valores de sen2 θs y

cos2 θs en la ecuación (2-

1),se ve que también hay

un esfuerzo normal

sobre los planos de

esfuerzo cortante

máximo en el plano. Se

obtiene


FIGURA 2.6


σ prom=σ x+σ y

2 (2-7)

Puntos importantes

Los esfuerzos principales representan el esfuerzo

normal máximo y mínimo en el punto.

Cuando se representa el estado de esfuerzo

mediante los esfuerzos principales, sobre el

elemento no actúa esfuerzo cortante.

El estado de esfuerzo en el punto también se

puede representar en función del esfuerzo

cortante máximo en el plano. En este caso, sobre

el elemento también actuara un esfuerzo normal

promedio sobre el elemento.

El elemento que representa el esfuerzo cortante

máximo en el plano, con el esfuerzo normal

promedio correspondiente, está orientado a 45°

respecto al elemento que representa los esfuerzos

principales.



EJEMPLO 2.1

La prensa oprime las superficies lisas en C y D, cuando se

aprieta la tuerca. Si la fuerza de tensión del tornillo es de

40KN, determine los esfuerzos principales en los puntos A

y B, e indique los resultados en elementos ubicados en

cada uno de esos puntos. El área transversal en A y B se

indica en la figura 2.7

.

+⅀M = 0

−40 KN (300 mm )+DY (500 mm )=0

DY=24 KN

+ ⅀ FY=0

Cy+ Dy−40 KN=0

Cy=40 KN−24 KN

Cy=16 KN

I= 112

bh3

I= 112

(30 mm ) (50 mm )3=0.3125 × 10−6 m4

Calculando primer momento de área

QA=Y A, A,=0


FIGURA 2.7

DCL. de la prensa


QB=Y B, A ,=( 0.025

2m)( 0.025 m) (0.03 m )

QB=9.375 ×10−6 m3

Haciendo corte en la sección transversal del punto A y B

+⅀FY=0

16 KN−40 KN +V =0

V=24 KN

+ ⅀ M=0

M−16 KN (400 mm )+40 KN (100 mm )=0

M=2.4 KN . m

Calculando esfuerzos principales para A

σ 1=0

σ 2=σ A=−Mc

I=

− (2.4 KN . m ) (0.025 m)0.3125 ×10−6 m4

σ 2=−192 Mpa

Calculando los esfuerzos principales para B

σ B=−Mc

I=

−(2.4 KN .m ) (0 m )0.3125 × 10−6 m4

=0

τ B=VQB

Ib=

(24 × 103 N ) ( 9.375× 10−6 m3 )(0.3125 × 10−6 m4 ) (0.03m )

τ B=24.0 Mpa

σ X=0

σ Y=0



τ XY=−24.0 Mpa

σ 1,2=σ x+σ y

2±√( σ x−σ y

2 )2

+τxy2

σ 1,2=0+0

2±√( 0−0

2 )2

+(−24.0 Mpa )2

σ 1,2=±√( 0 )2+ (−24.0 Mpa)2

σ 1=24.0 Mpa

σ 2=−24.0 Mpa

Calculando la orientación del elemento

tan2θp=τ xy

(σ x−σ y)/2

tan2 θp=−24 Mpa(0−0)/2

2 ѲP=tan−1∞

2 ѲP=± 90°

ѲP=± 45 °



Circulo de Mohr para esfuerzo plano

Las ecuaciones de transformación para esfuerzo plano

pueden representarse mediante una gráfica como circulo

de Mohr. Esta representación es extremadamente útil

para apreciar las relaciones entre los esfuerzos normal y

cortante que actúan sobre ciertos planos inclinados en un

punto del cuerpo esforzado. Para determinar el círculo de

Mohr, reformulamos las ecuaciones:

σ x1−

σ x+σ y

2=

σ x−σ y

2cos2θ+τ xy sen2 θ (2-1)

τ x1 y1=

−σ x−σ y

2sen2 θ+τ xy cos2 θ (2-2)

Estas ecuaciones son las ecuaciones paramétricas de un

círculo, con el ángulo 2 θ como parámetro. Al elevar al

cuadrado ambos lados de cada ecuación (2-1) y sumarlos

se elimina el parámetro; la ecuación resultante es

(σx1−

σ x+σ y

2 )2

+τ x1 y1

2 =( σx−σ y

2 )2

+τ xy2 (2-8)

Esta ecuación puede formularse en una forma más

sencilla mediante la siguiente notación:

σ med=σ x+σ y

2R=√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2 (2-9)

La Ec. (2-8) resulta ahora

(σx1−σmed )2+τ x1 y1

2 =R2 (2-10)



Que es la ecuación de un circulo en coordenadas σ x1 y

τ x1 y1. El circulo tiene radio R y su centro de tiene

coordenadas σ x1=σ med y τ x1 y1

=0.

Nuestra siguiente tarea es construir un círculo de Mohr a

partir de la Ec. (2-1) y (2-10). Para hacerlo, tomaremos σ x1

como la abscisa y τ x1 y1como la ordenada. Sin embargo, el

círculo puede trazarse en dos formas diferentes. En la

primera forma del círculo de Mohr, trazamos σ x1positivo a

la derecha y τ x1 y1, positivo hacia abajo; entonces el ángulo

2 θ es positivo en sentido contrario a las manecillas del

reloj (Fig. 2.8b). Ambas formas del círculo son

matemáticamente correctas y concuerdan con las

ecuaciones, por lo que elegir entre ellas es asunto de

preferencias personales. Como el ángulo θpara el

elemento esforzado es positivo en sentido contrario al de

las manecillas del reloj. Podemos evitar errores

adaptando la figura del círculo de Mohr en la que el

ángulo 2 θ es positivo en sentido contrario al de las

manecillas del reloj (sentido anti horario). Es así que

optaremos por la primera forma del circulo de Mohr (Fig.

2.8a).

Se procede ahora a construir el círculo de Mohr para un

elemento en esfuerzo plano (Fig. 2.9a y 2.9b). Los pasos

son los siguientes:

1) Localizar el centro C del circulo en el punto de

coordenadas σ x1=σ med y τ x1 y1

=0 (Fig. 2.9c).


FIGURA 2.8


2) Localizar el punto de A, que es el punto sobre el círculo

que representa las condiciones de esfuerzo sobre la cara

x del elemento (θ=0 ); para este punto tenemos

σ x1=σ x y τ x1 y1

=τ xy.

3) Localizar el punto B, el cual representa las condiciones

de esfuerzo sobre la cara y del elemento (θ=90° ). Las

coordenadas de este punto son σ x1=σ y y τ x1 y1

=−τ xy, ya

que cuando el elemento se gira un ánguloθ=90°, el

esfuerzo normal σ x1 se vuelve σ y y el esfuerzo cortante

τ x1 y1 se vuelve el negativo de τ xy. Obsérvese que una recta

desde A hasta B pasa a través de C. Por lo que los puntos

A y B, que representan los esfuerzos sobre los planos a

90° uno del otro, están en los extremos opuestos del

diámetro (separados 180° en el círculo).

4) Dibujar el círculo a través de los puntos A y B con

centro en C.

Obsérvese que el radio R del círculo es la longitud de la

recta CA. Para calcular esta longitud, observamos que las

abscisas es (σ x−σ y )/2 y σ x, respectivamente. La

diferencia en estas abscisas es (σ x−σ y )/2, como se

muestra en la Fig. 2.9c. También, la ordenada del punto A

es σ xy. Por lo tanto, la recta CA representa la hipotenusa

de un triángulo rectángulo que tiene un lado de longitud

(σ x−σ y )/2, y otro lado de longitud τ xy. Al calcular la raíz

cuadrada de la suma de los cuadrados de los dos lados se

obtieneR (véase Ec. 2-9).



Determinemos ahora los esfuerzos que actúan sobre una

cara inclinada del elemento orientado a un ángulo θ a

partir del eje x (Fig. 2.9b). Sobre el circulo de Mohr,

tomamos un ángulo 2 θ en sentido contrario al de las

menecillas del reloj a partir del radio CA, ya que A es el

punto para el cual θ=0°. El ángulo 2 θ ubica al

Punto D sobre el círculo. Este punto tiene las

coordenadas σ x1 y τ x1 y1

, que representan los esfuerzos

sobre la cara x1 del elemento esforzado. Para demostrar

que las coordenadas del punto D estasn dadas por las

ecuaciones de transformación de esfuerzos (Ec. 2-1 y 2-

2), representamos por β el ángulo entre la línea radial CD

y el eje σ x1. Luego, a partir de la geometría de la figura

2.9, obtenemos las cuatro relaciones siguientes:

σ x1=

σ x+σ y

2+R cos β τ x1 y1

=R sen β

cos (2 θ+β )=σ x−σ y

2 Rsen (2 θ+β )=

σ xy

R

Al desarrollar las expresiones del coseno y el seno se

obtiene

cos2 θ cos β−sen2 θ sen β=σx−σ y

2 R

cos2θ cos β+sen2θ sen β=τ xy

R

Al multiplicar la primera

ecuación por cos2θ y la

segunda por sen2θ, y

sumar después ambas

ecuaciones, obtenemos


FIGURA 2.9

(2-11)


cos β= 1R ( σ x−σ y

2sen2θ+τxy sen2θ)

También, al multiplicar la primera ecuación por sen2θ y

la segunda por cos2θ y luego restar, obtenemos

sen β= 1R (−σx−σ y

2sen2θ+τ xy sen2θ)

Cuando estas expresiones de cos β y sen β se sustituyen

en las Ecs. (2-9), obtenemos las ecuaciones de

transformación de esfuerzos. De este modo, hemos que

el punto D sobre el circulo de Mohr, definido por el

ángulo de 2 θ, representa las condiciones sobre la cara x1

del elemento esforzado, definido por el ángulo θ.

El punto D', diametralmente opuesto al punto D, esta

localizado por un ángulo que es 180° mayor que el ángulo

de 2 θal punto D (Véase Fig. 2.9c). Por lo tanto, el punto

D' representa los esfuerzos sobre la cara del elemento

esforzado a 90° desde la cara representada del punto D;

en consecuencia, el punto D' proporciona los esfuerzos

sobre la cara y1.

Según giramos el elemento en sentido contrario al de las

manecillas del reloj a través de un ángulo θ (Fig. 2.9b), el

punto correspondiente a la cara x1 sobre el circulo de

Mohr se traslada en sentido contrario al de las manecillas

del reloj a través de un ángulo 2 θ. De igual manera, si

giramos el elemento en sentido de las manecillas del

reloj, el punto del círculo

se desplazara en este

mismo sentido. En el

punto P1 sobre el

círculo, los esfuerzos

normales alcanzaran su

valor algebraico máximo

y el



plano principal, asociado con el valor algebraico mínimo

del esfuerzo normal, está representado por el por el

punto P2. A partir de la geometría del círculo, vemos que

el esfuerzo principal mayor es

σ 1=OC+C P1=σ x+σ y

2+R

El ángulo principal θP1 localizado en el eje x y el plano de

esfuerzo del esfuerzo principal algebraicamente mayor

pera ele elemento esforzado girado (Fig. 2.9b) es la mitad

del ángulo 2 θP 1 situado entre los radios CA y CP1 sobre el

circulo de Mohr. El coseno y el seno del ángulo 2θP 1

pueden determinarse mediante inspección a partir del

círculo:

cos2θP1=

σ1−σ1

2 Rsen2θP1

=τ xy

R

El ángulo 2θP 2 respecto al punto principal es 180° mayor

que 2θP 1 por lo que θP2

=θP1+90°.

Los puntos S y S', que representan los planos de

esfuerzos cortantes máximo y mínimo, están localizados

sobre el círculo en el ángulo de 90° respecto de los

puntos P1 y P2. Por lo

tanto, los planos de

esfuerzo cortante

máximo están a 45° de

los planos principales. El

esfuerzo cortante

máximo es

numéricamente igual al

radio del círculo.

También, los esfuerzos

normales sobre los

planos de esfuerzos

cortante máximo son

iguales a la abscisa del

punto C, que es el

esfuerzo normal medio.



De lo anterior, evidentemente se puede determinar los

esfuerzos sobre el cualquier plano inclinado, así como los

esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos,

a partir del círculo de Mohr. El diagrama de la Fig. 2.9 se

dibujó con σ xy σ y como esfuerzos positivos, pero siguen

siendo los mismos procedimientos si uno o ambos

esfuerzos son negativos.



Ejemplo 2.2

Un elemento en esfuerzo plano sometido a esfuerzos

σ x=−50 MPa, σ y=10 MPa y τ xy=−40 MPa, como se

muestra en la Fig. 6-18a. Mediante el circulo de Mohr,

determinar a) los esfuerzos que actúan sobre un

elemento girado un ángulo θ=45°, b) los esfuerzos

principales, y c) los esfuerzos cortantes máximos.

Mostrar todos los resultados sobre esquemas de

elemento orientados adecuadamente.

El centro del circulo esta sobre el eje σ x1 en el punto C

donde σ x1 es igual a σ med, el cual es

σ med=σ y+σ y

2=−50 MPa+10 MPa

2=−20 MPa

Los esfuerzos sobre la cara x del elemento determinan

las coordenadas del punto A:

σ x1=−50 MPa τ x1 y1

=−40 MPa

Las coordenadas del punto B representan los esfuerzos

sobre la cara y del elemento:

σ x1=10 MPaτ x1 y1

=40 MPa

Estos puntos definen el círculo, que tiene radio

R=√(30 MPa )2+( 40 MPa )2=50 MPa

El ángulo AC P2 es el ángulo 2 θP 2 desde el punto A hasta

el punto P2, y representa el plano principalmente que

contiene al esfuerzo principal algebraicamente menor σ 2.

Este ángulo se determina considerando que



2 θP 2=40 MPa

30 MPa=4

3

Por lo que:

2 θP 2=53.13° θP2

=26.57°

Así, se han obtenido todos los ángulos y esfuerzo

requerido, como se muestra sobre el círculo.

(a) Los esfuerzos que actúan sobre un plano a θ=45°

están representados por el punto D, localizado a

un ángulo 2 θ=90° desde el punto A. El ángulo

DCP2 es

DCP2=90°−2θP2=90°−53.13°=36.87°

Este ángulo se encuentra entre la línea CD y el eje σ x1,

negativo; por lo tanto, por inspección obtenemos las

coordenadas del punto D:

σ x1=−20 MPa−50 MPa ( cos36.87° )=−60 MPa

τ x1 y1=50 MPa (sen36.87° )=30 MPa

En forma similar, las coordenadas del punto D' son

σ x1=−20 MPa+50 MPa (cos 36.87° )=20 MPa

τ x1 y1=−50 MPa (sen36.87° )=−30 MPa

Estos esfuerzos, que actúan sobre el elemento haθ=45°,

se muestra en la Fig. 6-19a.

(b) Los esfuerzos principales están representados por

los puntos P1 y P2 sobre el círculo. Sus valores son

σ 1=−20 MPa+50 MPa=30 MPa


FIGURA 2.10 (Nota: todos los esfuerzos sobre el círculo de Mohr están en MPa)


σ 2=−20 MPa−50 MPa=−70 MPa

Según se obtiene mediante inspección a partir del círculo.

El ángulo 2θP 1 sobre el circulo (medido en sentido

contrario al de las manecillas de reloj desde A hasta P1)

es 53.1°+180°=233.1°, por lo que θP1=116.6°. El ángulo al

punto P2 es 2 θP 2=53.1°, o sea θP2

=26.6°. Los planos

principales y los esfuerzos principales se muestran en la

Fig. 6-19b.

(c) Los esfuerzos cortantes máximo y mínimo,

representando por los puntos S y S ', son

τ max=50 MPa y τ min=−50 MPa. El ángulo ACS

(igual a 2 θS1) es 53.13 °+90 °=143.13 °, por lo que

el ángulo

θS1=71.6 °. los

esfuerzos

cortantes

máximos se

muestran en la

Fig. 6-19c.



3- SUPERPOSICIÓN DE ESFUERZOS

El principio de superposición, dice que el efecto de carga

combinada dada sobre una estructura puede obtenerse

determinando, de forma separada, los efectos de las

distintas cargas y combinando los resultados obtenidos,

siempre que se cumplan las siguientes condiciones:

1. Cada efecto esta linealmente relacionado con la

carga que produce.

2. La deformación resultante de cualquier carga

dada es pequeña y no afecta las condiciones de

aplicación de las otras cargas.

En el caso de una descarga multiaxial, la primera

condición será satisfecha si los esfuerzos no exceden el

límite de proporcionalidad del material, y la segunda

condición también se cumplirá si el esfuerzo en cualquier

cara dada no causa deformaciones en las otras que sean

lo suficientemente grandes para afectar el cálculo de los

esfuerzos en esas caras.

Un elemento estructural sometido a cargas combinadas

con frecuencia se puede analizar superponiendo los

esfuerzos y las deformaciones causadas por cada carga en

acción por separado. Sin embargo, la superposición de

esfuerzos y deformaciones se permite sólo en ciertas

condiciones, como se explico anteriormente. Un requisito

es que los esfuerzos y las deformaciones deben ser

funciones lineales de las cargas aplicadas, lo que a su vez



requiere que el material siga la ley de Hooke y que los

desplazamientos sean pequeños.

Un segundo requisito es que no debe haber interacción

entre las diversas cargas, es decir, los esfuerzos y las

deformaciones debidas a una carga no se deben ver

afectadas por la presencia de las otras cargas. La mayor

parte de las estructuras ordinarias satisfacen estas dos

condiciones y, por tanto, emplear la superposición es

muy común en el trabajo de ingeniería.

Considere la viga empotrada en un extremo y sujeta a

una carga inclinada P, como se muestra en la Fig. 3.1 (a).

Esta carga no produce flexión ni carga axial solamente,

sino una combinación de las dos. Si se descompone esta

fuerza en sus componentes horizontal y vertical.

La fuerza axial Px (Fig. 3.1b) produce esfuerzos directos

de tensión σ = P/A en todas las fibras. La fuerza P (Fig. 3.1

c) produce esfuerzos deflexión σ = Mc/I. Como ambos

esfuerzos (P/A y Mc/I) actúan para alargar o acortar las

fibras, pueden combinarse algebraicamente. El hecho de

que ambas cargas producen esfuerzos que tienen la

misma línea de acción confirma que la superposición de

esfuerzos es válida. Los esfuerzos en cualquier fibra

pueden calcularse como:

σ=±PA

±McI

(3-1)

Los esfuerzos de tensión se consideran positivos,

mientras que los esfuerzos de compresión son negativos.

Esta convención de signos nos ayuda a determinar la


FIGURA 3.1


naturaleza de los esfuerzos duales. El termino c en el

factor Mc/I puede reemplazarse por la distancia general y

a partir del eje neutro, si se requiere el esfuerzo en un

punto diferente al de las fibras extremas.

Los esfuerzos calculados mediante la ec (3-1) no son

enteramente correctos. La carga Py produce una deflexión

(no mostrada) que, cuando se multiplica por la fuerza

axial Px , produce un pequeño momento secundario

tiende a reducir el momento total, y por consiguiente

puede depreciarse. Si la fuerza axial es de compresión, el

momento secundario incrementa el momento total, y el

depreciar este término no resulta conservativo. Sin

embargo, en la mayoría de los problemas de esfuerzos

combinados, el efecto de este término es pequeño y

puede depreciarse. En el caso de vigas-columnas

esbeltas, el efecto puede no ser depreciable.

EJEMPLO 3.1



Calcular los esfuerzos máximos y localizar el eje neutro en

la viga en voladizo de 40 mm× 100 mm, indicada en la Fig.

3.2

Solución: El esfuerzo máximo ocurrirá en el extremo

empotrado, pues en ese lugar el momento flexionante es

máximo.

La carga de flexión de la Fig. 3.2c, produce esfuerzos de

tensión en las fibras superiores y esfuerzos de

compresión en las fibras inferiores. La carga axial de la

Fig. 3.2b produce esfuerzos de tensión en todas las fibras.

Así,

σ Sup

¿±PA

±McI

= +11520(40 ×10−3 ) (100 ×10−3 )

+(3 360 ) ( 360× 10−3 ) (50 ×10−3 )

112

( 40 ×10−3 ) (100 ×10−3 )3

= + 2.88 MPa +18.4MPa

= +21.02 MPa (tensión);

σ inf. ¿±PA

±McI

=¿ 2.88-18.4

= -15.26 MPa (compresión)


FIGURA 3.2


La combinación de esfuerzos se indica gráficamente en la

Fig. 3.3. EL eje neutrón en el plano de esfuerzos nulos, y

puede localizarse mediante la ecuación (3-1), o mediante

simple geometría. Tenemos

σ=±PA

±MyI

0 = + 2.88 - (3 360 ) (360 ×10−3 ) y

112

( 40 ×10−3 ) (100× 10−3 )3

0 = (2.88 ×106¿−(362.88 ×106 ) y

y = 0.00794 m = 7.94 mm


FIGURA 3.3


EJEMPLO 3.2

Un tubo de acero estándar de 4 pulg y de 36 pulg de

longitud se usa como dispositivo de izaje para una grúa.

Suponiendo que las cargas se aplican a los tercios de su

longitud (véase Fig. 3.4), y el esfuerzo máximo en el tubo

no debe exceder de 20,000 lb/pulg2, determinar el valor

admisible de P.

Solución: La fuerza axial en el tubo puede calcularse por

estática en términos de P. Considerando el diagrama de

cuerpo libre de la Fig. 3.4 (b), se tiene:

∑ Fγ= 0 45

T+ 45

T=2 P

T=1.25 P

La componente horizontal de la tensión es la fuerza axial

en el tubo, y puede calcularse como:

Tx = 35

(1.25 P )=0.75 P

Aplicando la ec. (3-1) a los esfuerzos en las fibras

superiores de la Fig. 3.4c, pues tanto los debidos a la

carga axial como a la carga flexionante, son de

compresión, se obtiene:


FIGURA 3.4


σ=±PA

±MxI

−20 000=−0.75 P3.17

−(12 P )( 4.500

2 )7.23

=−0.24 P−3.72 P

P = 5 030 lb.



EJERCICIOS DE APLICACIÓN

RECIPIENTES DE PARED DELGADA

Un tanque lleno de oxigeno esta hecho de acero cromo-

molibdeno con un espesor de pared de 0.25pulg., una

presión en su interior de 2400psi y un diámetro exterior

de 29.53pulg.. Determinar el esfuerzo longitudinal y de

costilla (circunferencial) para el cilindro mostrado en la

figura 4.1.

Datos

P=2400psi

Espesor=0.28pulg

Radio exterior=14.77pulg

Radio interior=14.49pulg

Gas: oxigeno (02)

Encontrando esfuerzo en la parte cilíndrica.

ΣFx = 0, 2 [σ1 (tdy ) ]−p (2 rdy )=0

Formula: σ1=

prt

Sustituyendo datos en la formula.

σ1=

(2400 psi)(14 .49 pu lg)(0 . 28 pul )

=124,200 lb/pulg2

σ 1=124 , 200 PSI=124 .2 KSI

Encontrando esfuerzo en la dirección circunferencial

ΣFy=0, σ 2 (2 πrt )−p ( πr2 )=0


FIGURA 4.1


Formula: σ2=

pr2 t

Sustituyendo datos en la formula.

σ2=

(2400 psi)(14 .49 pu lg)(2)(0 .28 pul ) = 62,100 lb/pulg2

σ 2=62 ,100 PSI=62.1 KSI

Si bien es más difícil fabricar recipientes a presión esféricos,

según los cálculos queda demostrado que la parte semiesférica

opone la mitad del esfuerzo que la parte cilíndrica, esto se

debe a que la parte

semiesférica tiene la

capacidad de resistir el

doble de la presión interna.


1.5m

0.457m0.127m


TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZOS EN UN PUNTO

Un transformador de 1.78KN con un diámetro de 0.457m y una altura de 1.016m esta soportado por un poste circular hueco de acero A36 con un diámetro exterior de 0.2m y un espesor de 2mm. El transformador tiene una excentricidad de 0.127m desde la línea central del poste y su borde inferior esta a 4.284m arriba del suelo (ver figura 4.2).

Determinar los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos en los puntos P y Q en la base del poste debido a una presión del viento de 1.30Kpa que actúa contra el transformador y debido al peso del mismo.

Solución:

El peso del transformador produce:

Una fuerza axial de compresión F1=1.78KN y un momento flexionante M1= (F1 )(d) sustituyendo

M1= (1.78KN)(0.127m+0.457m

2 ) = 2.136KN.m

La presión del viento contra el transformador produce una fuerza resultando F2

F2=PA= (1.30KPa)(0.457m)(1.016m)=0.60361KN

F2 = 603.61KN.m

Esta fuerza ocasiona un momento flexionante M2

M2= (F2)(d)= (603.61N)(4.284m+1.0116m

2 )=2,892.50N.m

M2=2.893KN.m

Un par de tensión T

T= F2.d= (603.61N)

(0.127m+0.457m

2 )=214.58N.m


1.016m

4.284m

FIGURA 4.2


T=0.21458KN.m

Y una fuerza cortante a lo largo del poste

V= F2 =603.61KN

FW = Wposte arriba de la superficie + Wherrajes

Wposte =

[ (72 kg )(9.81ms2 )]−[ (π )( 0.2m

2 )2

−(π )( 0.196 m2 )

2]× [ (1.20m ) ] [(7850Kgm3 )] [(9.81

ms2 )]

Wposte=706.32N-114.46N=591.36N

Wherrajes=200lb=890N

FW=591.36N+890N=1481.36N

Esfuerzos en los puntos P y Q

Área de la sección transversal del poste

A=π4

(dext )2− π

4¿¿ = π ( 0.2

2m)

2

−π ( 0.196 m2 )

2

A=1.2441×10−3 m2

Esfuerzos normales

σ W=( FwA )=( 1481.36

1.2441 x 10−3 m2 )= 1,190.71KN/m2

σ W=¿1,190.71 KPa

(ver figura 4.4)

σF1= F 1A

=

1.78 KN

1.2441 x 10−3 m2=

1430.75KN/m2=¿ 1430.71 Kpa

(ver figura 4.5)


0.196m

0.200m

FIGURA 4.3

FIGURA 4.4

FIGURA 4.6 produce esfuerzos de compresión en Q, no produce esfuerzos en P

σM1= σMy

σM2= σMz


σM1= M 1( d

2)

I

I = π

64¿=

π64

¿6.0972x10−6 m2

σM1= (2.136 KN .m )(0.200 m)

( 6.0972 x 10−6 m2 )(2)= 35032.53 KN/m2

σM1=35,032.53 Kpa (ver figura 4.6)

σM2=M

2 ( d2 )

I=¿

(2.893KN .m ) (0.200m )( 6.0972× 10−6 m2 ) (2 )

=47,488.00KN

m2

σM2=47,448.00KPa (ver figura 4.7)

Esfuerzos cortantes

Esfuerzo cortante debido a T

τ1=T ( dexter

2 )I p

Ip= π

32(dexter

4−d inter4 )= π

32[( 0.2m )4−(0.196 m)4 ]

I p=1.219× 10−5 m4

τ1=

(0.21458 KN . M )( 0.2m2

)

1.219 x 10−3

= 1760.30 KN/m2

τ1=1760.30 KPa

(ver figura 4.8)


FIGURA 4.9 Produce esfuerzo cortante en el punto B. pero no produce esfuerzo en el punto A

FIGURA 4.8 Produce esfuerzos cortantes en P y en Q.

τ xz

τ xz

P Q

P Q


Esfuerzo cortante que produce la fuerza cortante V

τ2=¿ 4 V

3 A¿¿)

τ2=¿

4 (603.61 N)3(1.2441 x10−3 )

¿ ¿

τ 2=¿ 970.29 KN /m2¿ (ver figura 4.9)

Elementos de esfuerzo

σ p=σ w+σ F1+σ M 1+σ M2

σ p=−σ w−σ F1+0+σ M 2

σ p=−1190.71 KPa−1430.71 KPa+47,448.00 KPa

σ p=44,826.58 KPa=44.83 MPa (Tensió n)

σ x=44.83 MPa σ y=0

τ xz= 1760.30Kpa (ver figura 4.10)


τ 2=τ xy= 970.29Kpa

τ1=τT =¿τ MX¿

τ xy

T

τ xy

τ xy

τ xy

V y

τ xz= 1760.30Kpa

τ xy


Para el punto Q

σ Q=σ w+σ F1+σ M 1+σ M 2

σ Q=−σw−σ F 1+σM 1+0

σ Q=−1190.71 KPa−1430.71 KPa−35032.53 KPa

σ Q=−37,653.95 KPa

σ Q=37.65 MPa(Compresi ó n)

σ x=37.65 MPa σ y=0 (ver figura 4.11)

τ xz= -1760.30Kpa- 970.29KPa = -2730.59KPa


σ X = 44.83MPa

FIGURA 4.10

σ X


ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZOS CORTANTE MAXIMOS EN EL PUNTO P

σ1,2 = σx+σy2

±√( σx−σy2

) ²+τ xz ²

σ1,2 = (44.83 MPa)2

±√( 44.83 MPa2 )

2

+(1.76 MPa) ²

σ1,2 = 22.415MPa ± 22.484MPa

σ1 = 46.90 MPa σ2 = -0.07MPa

τmax=√( σx−σy2

)²+τ xz ² = √( 44.83 MPa2 )

2

+(1.76 MPa) ²

τmax = 22.48MPa

ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZOS CORTANTE MAXIMOS EN EL PUNTO Q

σ1,2 =

σx+σy2

±√( σx−σy2

) ²+τ xy ²

σ1,2 =

(−37.65 MPa)2

±√(−37.65 MPa2 )

2

+(2.73MPa) ²

σ1,2 = -18.825MPa ± 19.022MPa

σ1 = 0.20 MPa σ2 = -37.85MPa

τmax=√( σx−σy2

)²+τ xy ²=

√(−37.65 MPa2 )

2

+(2.73 MPa)²

τmax = 19.02MPa



SUPERPOSICIÓN DE ESFUERZOS

Del enunciado del problema anterior, Encontrar los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximos en el punto P y Q.

Nota: el perfil lateral del transformador cilíndrico, es como una placa rectangular

Paso 1

Analizando para W1 los puntos P y Q

W 1= 1,481.36N

σ w 1=W 1

A transversaldel tubo

=1481.36 N

1.2441× 10−3 m2=1190.71 Kpa

Para el punto P Para el punto Q


= + +


Paso 2

Analizando los puntos P y Q para W2

El peso del transformador produce una fuerza de

compresión F1= peso del transformador=1.78KN

y un momento M=2.136KN.m

σ f=FA

=¿ 1.78 KN

1.2441× 10−3 m2 =1430.71Kpa

σ M=

Md2

I=

(2.146 KN .m ) (0.100 m)( 6.0972× 10−6 m2)

=35,032.53Kpa


Paso 3

Analizando los puntos P y Q para las presión del viento

La presión del viento produce un momento M=2892.50N.m

Un par torsor T=214.58N.m

Una fuerza cortante V=603.61N


=


σ M=M

d2

I=

(2.893 KN .m ) (0.100 m )( 6.0972×10−6 m2)

=¿47488.00Kpa

τT=T

d2

I p

=(214.58 N . m ) (0.100 m )

(1.219 ×10−5 m4 )=1760.30Kpa

τV =4v3 A ( v2

2+r 2r1+r12

r22+r1

2 )=970.29 Kpa


Sumando los efectos de cada fuerza tenemos:

Para el punto P

σ 1,2= σ x+¿σ y

2¿ ± √(

σ x−σ y

2)

2

+τ xz2


+ +


σ 1= 44866.6 Kpa

2 + √( 44866.60 Kpa

2)

2

+(1760.30 Kpa).2 σ 1=44.94 Mpa

σ 2= 44866.6 Kpa

2 - √( 44866.60 Kpa

2)

2

+(1760.30 Kpa).2 σ 2=−0.07 Mpa

τ max = √(σ x−σ y

2)

2

+τ xz2

τ max=¿ √( 44866.60 Kpa2 )

2

+(1760.30 Kpa ).2 τ max=22.43 Mpa

Para el punto Q

σ 1,2=σ x+σ y

2±√(

σ x−σ y

2)

2

+τ xz2 =

σ 1,2= −37654.00 Kpa

2 ± √( 37654.00 Kpa

2)

2

+(2730.59 Kpa).2 = -18.83Mpa ± 19.02Mpa

σ 1= 0.2Mpaσ 2=-37.85Mpa


+ + =


τ max = √(σ x−σ y

2)

2

+τ xz2

τ max = √( 37654.00 Kpa2

)2

+(2730.59 Kpa).2 τ max=19.02 Mpa



CONCLUSIONES

Como se ha visto los esfuerzos combinados se usan frecuentemente sin darnos cuenta,

como por ejemplo nuestras casa están hechas de vigas, que combinado distintos

materiales, soportan algunos mejor la flexión y otros mejor la compresión.

Estas combinaciones de esfuerzos son útiles en todas las ramas de la ingeniería.

A través de la utilización del método de transformación de esfuerzos en un punto y

superposición, es más efectivo el cálculo de esfuerzos principales en una viga o estructura,

sometida a múltiples cargas; ya que el método de la superposición facilita el cálculo de las

vigas o estructuras estáticamente indeterminadas, y a partir de la transformación de

esfuerzos en un punto se pueden conocer los esfuerzos principales que actúan sobre un

punto especifico de la estructura.

Mediante la aplicación de la teoría y conocimientos prácticos en el análisis de estructuras,

es más comprensible el comportamiento de las mismas bajo cargas soportadas

Con los cálculos ejecutados se obtienen los esfuerzos principales y esfuerzos cortantes en

un punto de una estructura, esto proporciona los elementos necesarios para el diseño de

las mismas, y permite colocar los apoyos en puntos clave, donde el esfuerzo es máximo

para que la estructura se mantenga estable.

Los recipientes cilíndricos o esféricos sirven como calderas o tanques que son de uso

común en la industria. Estos soportan cargas en todas sus direcciones cuando se someten

a presión, pero pueden ser analizados de manera simple siempre y cuando tengan una

pared delgada. Con esta suposición se analizo el esfuerzo en un recipiente de presión

cilíndrico que contenía oxigeno, a fin de encontrar los esfuerzos longitudinal y

circunferenciales que actúan sobre este, a través de las ecuaciones determinadas para su

resolución.


http://www.monografias.com/trabajos14/historiaingenieria/historiaingenieria.shtml

http://www.monografias.com/trabajos14/propiedadmateriales/propiedadmateriales.shtml


RECOMENDACIONES

Para recipientes cilíndricos y esféricos, se debe tomar en cuenta la presión a la

que van a ser sometidos, puesto que de esto dependerá la elección del

material y el espesor del mismo, para que resista los esfuerzos longitudinales y

circunferenciales.

Para diseñar una estructura, primero se debe realizar un cálculo profundo, para

saber de manera exacta los puntos donde deben ser colocados los apoyos o

soportes, para que la estructura no esté sometida a esfuerzos de falla; de lo

contrario sufriría una deflexión que podría deformarla permanentemente

(deflexión permanente).



REFERENCIAS BIBLIOGRAFÍCAS

Beer y Johnston, Mecánica de materiales, 5ta edición

2010. Editorial McGraw-Hill.

Hibbeler, R. C., Mecánica de Materiales, 6ta edición,

México, 2006. Editorial PEARSON EDUCACION.

Robert W. FitzGerald, Mecánica de materiales, México,

1990. Ediciones Alfa omega, S.A de C.V.

James M. Gere, Mecánica de Materiales, 7ma. Edición,

2009. Cengage Learning Editores, S.A de C.V.

Nicholas Willems,

Resistencia de

materiales, 1988.

Editorial McGraw-Hill.

Timoshenko – Gere, Mecánica de materiales, 2da edición

1986. Editorial. Iberoamérica.

GLOSARIO


http://bibciv.ucla.edu.ve/cgi-win/be_alex.exe?Editorial=PEARSON+EDUCACION&Nombrebd=bicvucla

http://bibciv.ucla.edu.ve/cgi-win/be_alex.exe?Autor=Hibbeler,+R.+C.&Nombrebd=bicvucla


Esfuerzos combinados: Superposición de esfuerzos axiales y de flexión en la sección

transversal de un elemento estructural que da como resultado un conjunto de esfuerzos

de tracción y de compresión.

Concentración de esfuerzos: Aumento de los esfuerzos que se desarrollan en las zonas

defectuosas y de discontinuidad de un material.

Esfuerzos de membrana: Esfuerzos de compresión, tracción y laterales que actúan de

forma tangencial a la superficie de una membrana.

Membrana: Superficie flexible que soporta cargas mediante el desarrollo de esfuerzos de

tracción, generalmente fabricada de material asfáltico y resistente a la intemperie.

Tracción. Hace que se separen entre sí las distintas partículas que componen una pieza,

tendiendo a alargarla.

Compresión. Hace que se aproximen las diferentes partículas de un material, tendiendo a

producir acortamientos o aplastamientos

Flexión. Es una combinación de compresión y de tracción. Mientras que las fibras

superiores de la pieza sometida a un esfuerzo de flexión se alargan, las inferiores se

acortan, o viceversa.


http://www.parro.com.ar/definicion-de-membrana

http://www.parro.com.ar/definicion-de-esfuerzos+de+membrana

http://www.parro.com.ar/definicion-de-concentraci%F3n+de+esfuerzos

http://www.parro.com.ar/definicion-de-esfuerzos+combinados


Determinado. Que es preciso, exacto

Indeterminado. Se aplica a la ecuación o problema matemático que tiene

infinitas solución

Inercia. La propiedad de un cuerpo a permanecer en su estado de reposo

hasta que se le aplique una fuerza.

Multiaxial. Lo realizado u obtenido en varios ejes.



ANEXOS

Anexo 1.1 Datos Proporcionados Por Oxgasa San Miguel

EQUIPOS PARA GASES COMPRIMIDOS

(U.S. Departament of Transportation): es la agencia gubernamental de Estados Unidos que tiene jurisdicción sobre el envasado y transporte de gases comprimidos.

Cilindros de Alta Presión: Los cilindros de alta presión para gases comprimidos son envases de acero de calidad especial, fabricados sin uniones soldadas y tratados térmicamente para optimizar sus propiedades de resistencia y elasticidad.

Todos los cilindros utilizados por INFRASAL son fabricados bajo las normas D.O.T.

(Departament of Transportation), organismo regulador de estos envases en Estados Unidos.

Estos cilindros son llenados a alta presión, comprimiendo el gas en el reducido espacio interior del cilindro. La fuerza ejercida por el gas sobre las paredes del recipiente al tratar de conservar su volumen en condiciones naturales, generan el efecto llamado "presión".

Tipos de Cilindros

Según la calidad del acero, los cilindros pueden ser tipo 3A de acero al manganeso, de pared gruesa, o 3AA, generalmente de acero cromo - molibdeno, de pared delgada. Los cilindros utilizados por INFRASAL en su mayoría son del tipo 3AA , lo que representa una ventaja para los usuarios ya que son más livianos y resistentes para un determinado volumen y presión de servicio.

Los cilindros utilizados pueden ser de distintos tamaños, y por lo tanto de diferentes capacidades. El espesor de pared varía entre 5 y 8 mm., salvo en la base y en el hombro, en que el espesor aumenta para hacer seguro el manejo y permitir el estampado con letras de golpe, de los datos y valores indicados por las normas.

En cuanto a las presiones de llenado, y según las características físicas de cada gas, podemos distinguir dos casos:

(libras por pulgada cuadrada): Unidad de presión

Gases comprimidos de alta presión: Son aquellos que no se licúan, pudiendo emplearse la presión máxima que establece la norma para el cilindro de alta presión empleado. Es el



caso de Aire, Ar, He, H2, N2 y O2 , entre otros.

Gases comprimidos-licuados de presión intermedia: Son aquellos que se licúan, y que a temperatura ambiente tienen presiones dentro del cilindro del orden de 725 psig a 870 psig, para el caso del CO2 y del N2O respectivamente.

En el caso de los gases comprimidos licuados, el llenado se establece como un porcentaje en peso de la capacidad de agua dentro del cilindro, el que para los gases mencionados es de 68%. Para estos gases se pueden utilizar cilindros de alta presión con menores restricciones que en el caso anterior. INFRASAL utiliza por seguridad cilindros para alta presión inclusive en el caso del CO2 y el N2O.

Cilindros de Acetileno.

Como se ha estudiado, el caso del Acetileno tiene tratamiento especial, por ser un gas altamente inflamable y sensible a la presión, por ello, los cilindros en que se carga Acetileno son diferentes a los que se han mencionado antes.

El cilindro se encuentra relleno con una pasta seca y porosa, en forma de panal, cuyas miles de pequeñas cavidades están rellenas a su vez con acetona líquida.

Al entrar al cilindro el Acetileno se disuelve en la acetona, repartiéndose en las pequeñas cavidades, con lo cual desaparece el riesgo de explosión y de esa forma es posible almacenar una cantidad mayor de gas a presión en el cilindro.

El hombro y/o la base del cilindro están equipados con tapones fusibles de seguridad, que son pernos fabricados con un tipo de aleación especial de plomo que funde a 100 ºC aproximadamente. El contenido de gas se determina pesando el cilindro vacío con acetona solamente y luego con gas.

Identificación de los cilindros

Todos los cilindros deben llevar una serie de signos estampados a golpes en el hombro que identifican dueño, normas de fabricación y control.

(libras por pulgada cuadrada): Unidad de presión

Propiedad de INFRASAL

Datos de Clasificación

- Norma de clasificación (DOT)



- Tipo de material (3AA)

- Presión de servicio (2400 psi)

Datos de Fabricación

- Número de serie del cilindro

- Identificación del fabricante

- Mes y año de fabricación

- Marca oficial de

inspección reconocida

Marcas posteriores de Pruebas Hidrostática:

Fecha de la última prueba hidrostática y símbolo de la empresa que realizó dicha prueba.

Compuesto que acelera la combustión u otro proceso de oxidación. El contacto de estas sustancias con materiales combustibles puede generar fuego o explosión espontáneamente.

Identificación del gas contenido en un cilindro.

Marcas : Cada cilindro debe ser marcado en forma visible y estable, evitando el estampado en el cuerpo del cilindro. Las marcas deben ser fijadas en el hombro e incluyen el nombre del gas en idioma español, su fórmula química, el nombre usual del producto en caso de mezclas y la identificación del fabricante del gas. INFRASAL cumple con esta norma pegando en la zona indicada una etiqueta autoadhesiva donde se indica además su clasificación (oxidaste, inflamable, no inflamable, tóxico, no tóxico, etc.), la cantidad de gas , la fecha de llenado y las recomendaciones básicas de seguridad

Colores: INFRASAL tiene su propia clasificación de colores para facilitar la identificación del gas dentro de los cilindros.

Válvulas:

Cada cilindro tiene una válvula especial y distinta dependiendo del gas que contenga, determinada por la CGA, que permite llenarlo, transportarlo sin pérdidas y vaciar su contenido en forma segura.



Anexo 1.2 Tabla de dimensiones y especificaciones Técnicas de Postes de energía



Anexo 1.3 Especificaciones de transformadores monofásicos



DESCRIPCION DE MATERIALES UTILIZADOS EN DISTRIBUCIÓN ELECTRICA

CODIGO DESCRIPCION UNIDAD CANT. PESO TOTAL OBSERVACIONES

480101413 CONECTOR COMPRESION YP26AU2 BURNDY C/U 1 1-onza

482001520 GRAPA P/ LINEA VIVA P/ 1/0 CHANCE S1520 C/U 1 7-onzas

720101300 CONDUCTOR ELECTRICO ACSR # 2 MTS 30 8,96 lbs 30 MTS. PESAN 8.96 LIBRAS

420101350 PREFORMADA PLP ACSR # 2 DG-4542 C/U 1 5-onza

461300201 CLEVIS REMATE 5/8 BETHEA SA-201 C/U 1 12-onza

401500600 AISLADOR GAMMA CAMPANA CLEVIS 6" 13KVA ANSI 52-1 C/U 2 10-1/2 lbs

440462000 PERNO ARGOLLA 5/8x10" IRL R-9410 C/U 1 1.47 lbs

441000034 ARANDELA PLANA REDONDA DE 5/8 IRL R-1088 C/U 6 8-onzas

441400063 ARANDELA DE PRESION 5/8" IRL R-6833 C/U 6 2-onzas

300600013 PARARRAYO DE 9/10 KV. USA AZS101M010R C/U 1 8-libras

300100040 CORTACIRCUITO NCX 7.8/15KV USA C/U 1 16-lbs

310100005 FUSIBLE A.T. 5 AMP. TIPO K C/U 1 2-onzas

460900000 EXTENSION PARA CORTO CIRCUITO STANDAR C/U 1 4-libras

460510700 ABRAZADERA GALV.S/PERNO 5/7 C/U 3 3-1/2 LBS

440320750 PERNO CARRUAJE 1/2x6" T/CUADRADA IRL R-8646 C/U 6 2.63lbs

460610023 ALMOHADILLA P/CRUCERO TIPO C C/U 2 3-lbs

440400202 PERNO MAQUINA 5/8 X 2" T/CUADRADO IRL R-8802 C/U 2 12-onza

1200104000 CEPO PARA CARCAZA DE TRANSFOR. USA C/U 1 2-onzas

703000004 SOLIDO DESNUDO COBRE # 4 MTS 28 11-1/2 lbs 28 MTS. PESAN 11-1/2 LIBRAS

600110050 TUBERIA CONDUIT ALUM. 1/2" C/U 1 2-1/2 lbs

461800075 MTS. CINTA BANDIT DE 3/4 MTS 6 1.48lbs 6 MTS. PESAN 1.48 LIBRAS

461860075 C/U. HEBILLA PARA CINTA BANDIT 3/4" C/U 6 4-onzas

461700010 BARRA COPPERWELD 5/8 X 10` C/U 4 28-lbs

461760075 C/U. CEPO DE COBRE PARA BARRA 5/8" C/U 4 8-onzas

460430010 CLEVI PARA AISLADOR CARRETE AD CLI-0342 C/U 3 5-lbs


Anexo 1.4 Tabla de especificaciones de materiales utilizados en postes de distribución eléctrica (errajes).


401400100 AISLADOR CARRETE GRANDE ANSI 53-2 C/U 3 3-1/2 LBS

440401000 PERNO MAQUINA 5/8 X 10`` IRL R-8810 C/U 5 4-1/2 lbs

1200101200 CEPO DE COBRE #4 PF-25 (UL) C/U 3 6-onzas

700171500 CONDUCTOR ELECTRICO THHN #2/0 MTS 8 11.68 lbs 8 MTS. PESAN 11.68 LIBRAS

480101400 CONECTOR COMPRESION YP25U25 BURNDY C/U 3 9-onzas

401500800 AISLADOR GAMMA ESPIGA 13KV ANSI 55-4 C/U 1 4-libras

460830013 ESPIGA CABEZOTE DE 13 KV (COLA DE PATO) C/U 1 4 LIBRAS

460160238 CRUCERO GALV DE 3 x 3 x 1/4 x 94" (2.38 MTS) C/U 1 38-1/2 lbs

460250094 TIRANTE GALV EN V DE 45" P/CRUCERO DE 94" (2.38MT) C/U 1 8-lbs

460610012 ALMOHADILLA P/CRUCERO NORMADO TIPO S C/U 1 1.5 lbs

440401150 PERNO MAQUINA 1/2 X 1 1/2" IRL R-8701-1/2 C/U 2 6-onzas

460720020 BARRA ANCLA DE EXPANSION D/OJO NORMADA IRL 5346-1 C/U 1 6-1/2 lbs

460730060 ANCLA EXPANSIVA DE 70 GALVANIZADA(REPOLLO) C/U 1 5-libras

462000032 MTS. CABLE DE ACERO 5/16" MTS 22 14.55 lbs 22 MTS. PESAN 14.55 LIBRAS

420400035 PREFORMADA PLP PARA RETENIDA 5/16 GDE-1106 C/U 4 3-lbs

461000060 ARGOLLA DE OJO (PATA DE MULA) AD ELTA-01 C/U 2 3-lbs



Anexo 1.5



Anexo 1.6 TECNELEC

Ubicado en Av. Roosevelt Sur, Final 3a. Av. Sur N°. 504. San Miguel.



Anexo 1.7 Recopilación de datos (TECNELEC)


Esfuerzos Combinados

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