ESPACIOS EUCLIDEOSPRODUCTO INTERIOR(Producto Punto)Definicin:Sean los vectores u = (u1, u2, u3, , un ) yv = (v1, v2, v3, , vn,) Rn, el PRODUCTO ESCALAR (Producto Interno o Producto Punto) de los vectores u y v, que se escribe comou . vo< u v > se define por: + + + > < nii i n nv u v u v u v u uv v u12 2 1 1; y su resultado es un escalar R.Ejemplos:Siu = (4,6)yv = (-7,3) 10 18 28 ) 3 )( 6 ( ) 7 )( 4 ( + + v uSiu = (3,1,2)yv = (4,-7,1)7 2 7 12 ) 1 )( 2 ( ) 7 )( 1 ( ) 4 )( 3 ( + + + v uSiu = (1,2,4,-3)30 9 16 4 1 ) 3 ( 4 2 12 2 2 2 + + + + + + u uOBSERVACION: Existen muchas maneras de definir un producto escalar. El producto escalar definido anteriormente se denomina PRODUCTO ESCALAR CANONICO de Rn, pero se puede definir el producto interno mediante sus propiedades. Definicin:Sea V un espacio vectorial (real o complejo) sobre un cuerpo K, si a cada par de vectoresu y v V se le asigna un escalar< u v > K, esta aplicacin se llama PRODUCTO INTERNO en V, si satisface las siguientes propiedades:i)V u < u u > > 0siu 0y< u u > = 0 si u = 0ii)V v u , < u v > =< v u >iii) V w v u , , < u.(v+w) > =< u v > + < u w >iv)V v u , yR < u v > = < u v >Ejemplo:Verificar que < X Y > = 2x1y1 + 3x2y2es un p.i. en R2.Sea X = (x1 , x2)Y = (y1 , y2),entonces:i) 0 3 2 3 22221 2 2 1 12121> + + ,_

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x x x x x xxxxxXX ii)YX x y x y y x y xyyxxXY + + ,_

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2 2 1 1 2 2 1 13 2 3 22121iii)) ( 3 ) ( 22 2 2 1 1 1221121) ( z y x z y xz yz yxxZ Y X + + +

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++ + XZ XYzzxxyyxxz x z x y x y x +

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+ + + 212121212 2 1 1 2 2 1 1) 3 2 ( ) 3 2 (iv)XY y x y x y x y xyyxxXY + + ,_

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) 3 2 ( 3 22 2 1 1 2 2 1 12121Entonces si es un producto interior (p.i.)Ejemplo:Verificar que f( u.v ) = x1y1 x1y2 x2y1 + 3x2y2es un p.i.Sea u = (x1 , x2) yv = (y1 , y2),entonces:i) 0 2 ) ( 3 2 32222 122 2 121 2 2 1 2 2 1 1 12121> + + + ,_

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x x x x x x x x x x x x x x xxxxxuu ii)2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 13 32121x y x y x y x y y x y x y x y xyyxxuv + + ,_

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vu x y x y x y x y + 2 2 1 2 2 1 1 13iii)) ( 3 ) ( ) ( ) (2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1222121) ( z y x z y x z y x z y xz yz yxxw v u + + + + +

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++ + ) 3 ( ) 3 (2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1z x z x z x z x y x y x y x y x + + + uw uvzzxxyyxx+

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21212121iv)2 2 1 2 2 1 1 132121y x y x y x y x uvyyxx + ,_

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uv y x y x y x y x + ) 3 (2 2 1 2 2 1 1 1Entonces si es un producto interior (p.i.)Ejemplo:Verificar que < u v > = -2(x1y1 + x2y2 ) es un p.i.Sea u = (x1 , x2) yv = (y1 , y2),entonces:i) 0 ) ( 2 ) ( 22221 2 2 1 12121< + + ,_

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x x x x x xxxxxuu Entonces no es un producto interior.EJERCICIOS:Verificar si las siguientes funciones definen un producto escalar:1.-f( u.v ) = x1y1 3x1y2 3x2y1 + 5x2y2 2.-f( u.v ) = x1y1 x2y1 + x1y2 + 2x2y23.-f( u.v ) = x1y1 + 2x2y2 + 3x3y34.-f( u.v ) = 2x1y1 + x2y2 x3y3 + x1y2 + x2y3 + x2y25.-f( u.v ) = x12 + y12 + 2x1x26.-f( u.v ) = x1y2 + x2y3 +x3y12Definicin:El Producto Punto de los vectoresuyv,en el espacio tridimensional se escribe como u . vy se define como: cos v u v u si u 0, v 0, 0 v u si u = 0ov = 0es el ngulo en radianes entreu y v, y 0 = 2 1 1 = 0 u y v son perpendiculares entre si< u . w > = 0 + 3 3 = 0 u y w son perpendiculares entre si< v . w > = 0 3 + 3 = 0 v y w son perpendiculares entre siLuego el conjunto ' u, v, w;es un conjunto ortogonalTeorema:Si dos vectores u y v son ortogonales, entonces son linealmente independientes.Un conjunto de vectores ortogonales es l.i.Definicin:Sea V un espacio vectorial eucldeo (o hermtico) y sea B un subconjunto de V, se dice que B es un conjunto ORTOGONAL si cada par de vectores distintos en B son perpendiculares entre s, es decir: j i x xj i 0B es un conjunto ORTONORMAL, si es ortogonal y si cada vector xi tiene longitud 1, es decir:' N i x xj i x xi ij i10NOTA:Siempre es posible obtener un conjunto ortonormal a partir de un conjunto ortogonal, al NORMALIZAR cada vector.Siu = 1, esto es < u . u > = 1, se dice que u es un vector UNITARIO o que est NORMALIZADO.Todo vector distinto de cero puede normalizarse haciendo: uuv Definicin:Un conjunto ortogonal normalizado se denomina ORTONORMALIZADO, y es una Base OrtonormalEjemplo:Dado el conjunto332,32,31;32,31,32;31,32,32R ;'

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S, con el p.i. cannico, comprobar que S es una base Ortonormal.0929294 > < v u 0929492 + > < w u 0949292 + > < w vS es un conjunto ortogonal199919494 + + > < u u 199949194 + + > < v v199949491 + > < w w5S es un conjunto ortonormal, entonces S es un Base Ortonormal.Teorema:En todo espacio vectorial eucldeo V de dimensin finita existe una base Ortonormalizada (Ortonormal)' u1, u2,, un; y cualquier vectorv Vpuede ser escrito como una combinacin lineal de los vectores de la base, como; n nu u v u u v u u v u u v v . . . .3 3 2 2 1 1+ + + + .Ejemplo:Sea 332,32,31;32,31,32;31,32,32R ;'

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S base y sea v = (6, 6, -9), expresar v como c.l. de S3 3 2 2 1 1. . . u u v u u v u u v v + + 3 2 13 / 23 / 23 / 19663 / 23 / 13 / 29663 / 13 / 23 / 2966u u u v

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[ ] [ ] [ ]3 2 1) 3 / 2 ( 9 ) 3 / 2 ( 6 ) 3 / 1 ( 6 ) 3 / 2 ( 9 ) 3 / 1 ( 6 ) 3 / 2 ( 6 ) 3 / 1 ( 9 ) 3 / 2 ( 6 ) 3 / 2 ( 6 u u u v + + + + + 3 2 10 12 3 u u u v + + Ejemplo: Compruebe que el conjunto de vectores ;'

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21,21, 0 ;61,61,62;31,31,31S es una base ortonormal y exprese el vectora) u = (x, y, z);b) v = (1, 1, -2);c) w = (2, -3, 2), como c.l. de SS es un conjunto ortonormal (base ortonormal) si(u1, u2, u3) S,son perpendiculares entre si y son vectores unitarios06 316 316 322 1+ + > < u u13131312 221 1 + ,_

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> < u u02 312 3103 1 + > < u u11 1622 222 26 6 +

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> < u u02 612 6103 2 + > < u u11 12 23 32 20 +

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+ > < u uEntoncesS es una base ortonormala)3 3 2 2 1 1. . . u u u u u u u u u u + + 3 2 1112111261111310uzyxuzyxuzyxu

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3 2 1) ( ) 2 ( ) (216131u z y u z y x u z y x u1]1

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+ + b)3 3 2 2 1 1. . . u u v u u v u u v v + + 3 2 1112112111221161111211310u u u v

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63 2 1) 2 1 0 ( ) 2 1 2 ( ) 2 1 1 (216131u u u v1]1

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+ 3 2 123630 u u u v c)3 3 2 2 1 1. . . u u w u u w u u w w + + 3 2 1112322111223261111232310u u u w

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3 2 1) 2 3 0 ( ) 2 3 4 ( ) 2 3 2 (216131u u u w1]1

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+ 3 2 1256531u u u w + PROCESO DE ORTOGONALIZACION DE GRAM SCHMIDTSea' v1, v2,,vn; una base arbitraria con un p.i. en V, entonces existe una base ortonormalizada ' u1, u2,, un;de V tal que:i ii i i iv a v a v a u + + + 2 2 1 1PASO 1.Normalizar el primer vector:111vvu PASO 2.Ortogonalizar el segundo vector: 1 1 2 2 2u u v v w y normalizar el vector obtenido:222wwu PASO 3.Ortonormalizar cada uno de los vectores restantes v3, v4, , vn2 2 3 1 1 3 3 3u u v u u v v w ;333wwu En general:i i i i i i iu u v u u v u u v v w + + + + + 1 2 2 1 1 1 1 1 1111+++iiiwwuEjemplo:Dado el conjunto( ) ( ) ( ) { } 1 , 1 , 0 ; 1 , 1 , 1 ; 0 , 1 , 1 S , obtener una base ortonormal.0 2 0 1 12 1 + + > < v v entonces S no es ortogonal1 2 0 1 11 1 + + > < v ventonces S no es ortonormalPaso 1.Normalizar el primer vector:( )

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+ 0 ,1 10 , 1 , 121,21111vvuPaso 2.Ortogonalizar el segundo vector: 1 1 2 2 2u u v v w

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+ 0 ,21,21)2121( ) 1 , 1 , 1 (2w . ) 1 , 1 , 1 ( 0 ,21,2122

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) 1 , 0 , 0 ( ) 0 , 1 , 1 ( ) 1 , 1 , 1 ( y normalizar el vector obtenido:) 1 , 0 , 0 (1) 1 , 0 , 0 (222 wwuPaso 3.Ortonormalizar el tercer vector:2 2 3 1 1 3 3 3u u v u u v v w 7

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0 ,21,210 ,21,210 ,21,21)21) 1 , 0 , 0 ( ) 1 , 1 , 0 ( ) 1 , 0 , 0 )( 1 ( ( ) 1 , 1 , 0 (3w

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+ +0 ,21,21220 ,21,21041410 ,21,21333wwuLa Base ortonormal es entonces ( );'

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0 ,21,210 ,21,21; 1 , 0 , 0 ; SEjemplo:Obtenga una base ortonormal del subespacio ;' +

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0 3 2 z y xspan SzyxBasey x zspan Szyx;'

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310,2013 2 ( )

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+ 52, 0 ,514 12 , 0 , 1111vvu

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53, 1 ,56512, 0 ,5652, 0 ,51)56) 3 , 1 , 0 ( ( ) 3 , 1 , 0 (1 1 2 2 2u u v v w

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+ +703,705,706, 1 , , 1 ,25705356259125365356222wwuLa Base ortonormal es entonces ;'

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703,705,706;52, 0 ,51SEJERCICIOS:1.- Compruebe que el conjunto de vectores ;'

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21,21,21,21;21, 0 ,21, 0 ; 0 ,21, 0 ,21S es un conjunto ortonormal y exprese el vectora)(x, y, z,w);b) (1, 1, -2, 2); como c.l. de S2.- Demuestre que ;'

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2 / 1 2 / 12 / 1 2 / 1;2 / 1 2 / 12 / 1 2 / 1;2 / 1 2 / 12 / 1 2 / 12 / 1 2 / 12 / 1 2 / 1; es una base ortonormal y escriba el vector

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4 31 2Ayel vector

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1 23 1B como c.l. de.3.- En el E.V.P3 de polinomios de grado menor o igual a 3, con p.i. cannico, considere la base { }3 2 21 , 1 , 1 , 1 t t t t t t + + + + + + , obtenga4.- Ortogonalizar cada una de las siguientes bases:a)( ) ( ) ( ) { } 1 , 1 , 1 ; 0 , 1 , 1 ; 0 , 1 , 1 b)( ) ( ) ( ) { } 1 , 0 , 1 ; 3 / 1 , 2 , 3 ; 1 , 1 , 2 c)( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 , 1 , 0 , 0 ; 0 , 2 , 1 , 0 ; 1 , 2 , 0 , 1 ; 1 , 0 , 0 , 1 5.- Obtenga una base ortonormal para cada uno de los siguientes subespacios:a) ( ) { } 0 2 / , , + z y x z y x span b) ( ) { } w y z x w z y x span 2 / , , , c) ( ) { } 0 / , , , + + w z y x w z y x span d) ( ) { } 0 2 3 / , , , + w z x w z y x span8PROYECCIONES PERPENDICULARESPROYECCIN DE UN VECTORu SOBRE OTRO VECTOR vSeanuyv Rn no nulos, la proyeccin deusobrev es el vector v con R a determinarse. u x v v C = v Determinar primero si existe un nico x R tal que u v sea perpendicular a vPuesto que v + x = u, entoncesx = u v = u CSe debe comprobar que:x . v = 0Reemplazando: x . v = (u v ) . v = u . v v . v = 0De donde:2v v u ; 2v v v v v v Entonces: si v uv vv u es ortogonal a vEl vectorC = vse llama PROYECCIN del vectorua lo largo del vectorv,yse llama COEFICIENTE de FOURIER deurespecto av.Luego:vv vv uvv vv uC De la misma forma, la Proyeccin del vectorvsobre el vectoru,es el vector:uu uv uuu uv uD Ejemplo:Sean los vectores u = (5,8)yv = (3,2) hallar las proyecciones de u sobre vy dev sobreu La proyeccin del vector u sobre v es:

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++1362,139313314 916 15v v vv vv uCLa proyeccin del vector v sobre u es:

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++89248,89155893164 2516 15u u uu uv uD uD C = v vEjemplo:Sean los vectores u = (1, -1, 1)yv = (2, 5, 7) hallar las proyecciones de u sobre vy dev sobreuProyeccin de u sobre v: ,_

+ ++ 328,320,38341 1 17 5 2v v vv vv uCProyeccin del v sobre u:,_

+ ++ 784,784,78478449 25 47 5 2u u uu uv uD9PROYECCIN DE UN VECTORu SOBRE UN SUBESPACIO WSiW es un subespacio vectorial de un Espacio Vectorial Vyues un punto arbitrario que no est en W, entoncesvindica la proyeccin perpendicular deusobreW, y la distancia deua W se define como la longitud del vectoru v. u v = proyv u z = u v z = perpendicular a W vWTeorema:Sea V un espacio vectorial eucldeo y sea W un subespacio de V de dimensin finita, entonces la PROYECCION ORTOGONAL de un vector u sobre el subespacio W se stablece como:

n nw w u w w u w w u u Proyv + + + 2 2 1 1Siendo S = ' w1, w2, , wn;una base ortonormal de WEjemplo:Determinar la proyeccin ortogonal del vectoru = (1, 2, 3) sobre el subespacio generado por el plano x + 2y z = 0.SeaW de base Sz y xzyxW;'

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210,1010 2Usando el proceso de Gram-Schmidt se encuentra una base ortonormal a partir de SW de ortonormal base S;'

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31;31;31,21; 0 ;212 2 1 1w w u w w u u Proy vv +

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313131210211113213110132121u Proy vv( ) ( )

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310;34;321 , 1 , 1342 , 0 , 231;31;313421; 0 ;2124vDefinicin:El vectorven la descomposicinu = v + zse llama Proyeccin del vectorusobre el subespacio W;zes la perpendicular (vector perpendicular) trazada desde el vectorual subespacio W.10Definicin:Si W es un subespacio de dimensin finita de un espacio vectorial V, yues cualquier vector en V, entonces la distancia deua W es la longitud de la componente deuperpendicular a W (z); es decir:d(u, W) = u - v = u ProyvuEjemplo:En el ejemplo anterior, la distancia del vector u = (1, 2, 3) al suibespacio W es:( )3291949131;32;31310;34;323 , 2 , 1 Pr ) , ( + +

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u oy u W u dvEjemplo:Determinar la distancia del vectoru = (1, -1, 3, 2) sobre el subespacio generado por el conjunto ( ) ( ) ( ) ( ) { } 1 , 1 , 0 , 0 ; 0 , 2 , 1 , 0 ; 1 , 2 , 0 , 1 ; 1 , 0 , 0 , 1 WUsando el proceso de Gram-Schmidt se encuentra una base ortonormal a partir de WW de ortonormal base S;'

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31;31;31,21; 0 ;212 2 1 1w w u w w u u Proy vv +

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313131210211113213110132121u Proy vv( ) ( )

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310;34;321 , 1 , 1342 , 0 , 231;31;313421; 0 ;2124vEJERCICIOS:11PRODUCTO VECTORIAL (Producto Cruz)Definicin:El Producto Vectorial o Producto Cruz de dos vectoresuyv,que se escribe comou x v, se define como:i)Siuyvtienen la misma direccin o sus direcciones son opuestas o uno de estos vectores es cero, entoncesw = u x v = 0ii)En cualquier otro caso,w = u x v es el vector cuya longitud es igual al rea del paralelogramo que tiene auyvcomo lados adyacentes y cuya direccin es perpendicular tanto aucomo avy es tal queu, v, w (en ese orden) forman una terna o triada derecha (orientacin de dedos pulgar, ndice y medio de la mano derecha).El paralelogramo en el queuyv son lados adyacentes, tiene el rea u v sen , en donde es el ngulo en radianes entreuyv.wv w= u v sen u x v= u v sen u sen v u w 22 2 2sen v u w ) cos 1 (22 2 2 v u w( )

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2 222 2 21v uv uv u w2 2v u v v u u w 2v u v v u u v u w x Longitud de producto cruz = rea del paralelogramoEjemplo:Con respecto a un sistema derecho, suponga que u = 4i kyv = -2i + j + 3k, entonces la longitud del vector w = u x v es:117 ) 11 ( ) 14 )( 17 ( ) 3 8 ( ) 9 1 4 )( 1 16 (2 22 + + + v u v v u u v u w xPropiedades:i) El producto cruz de vectores no es conmutativo, (el orden de los factores tiene gran importancia)u x v v x u; u x v = - v x uii) (ku) x v = k(u x v) = u x (kv)iii) u x (v + z) = (u x v) + (u x z)iv) El producto cruz no es asociativa: u x (v x z) (u x v) x z12Teorema: (Producto vectorial en trminos de componentes)Con respecto a un sistema derecho de coordenadas cartesianas, si se supone queutiene las coordenadas u1, u2, u3yvtiene las coordenadasv1, v2, v3, entonces:k v u v u j v u v u i v u v u v ux ) ( ) ( ) (1 2 2 1 3 1 1 3 2 3 3 2 + + O escrito en trminos de determinantes:kv vu ujv vu uiv vu uv ux2 12 11 31 33 23 2+ + 3 2 13 2 1v v vu u uk j iDonde i, j, k son los vectores unitarios, y u1, u2, u3, v1, v2, v3, son las componentes de los vectoresuy vrespectivamente.Ejemplo:Con respecto a un sistema derecho, suponga que u = 4i kyv = -2i + j + 3k, entoncesk j i j i k j v u wk j iv v vu u uk j ix 4 10 12 4 23 1 21 0 43 2 13 2 1+ + + 117 16 100 1 + + uxv wAPLICACIONES: rea de Paralelogramos y tringulosEjemplo: Encuentre el rea del paralelogramo que tiene como dos de sus lados adyacentes a los vectoresu = (1, 2 , -1) y v = (0, 1, 1)11 1 ) 2 )( 6 ( ) 1 2 0 ( ) 1 1 0 )( 1 4 1 (2 + + + + + uxv AreaEjemplo: Encuentre el rea del paralelogramo que tiene los vrtices siguientes en el plano: (0,0);(4,1);(2,3);(6,4)C(6,4)D(2,3) B(4,1)A(0,0)Se debe verificar primero que el punto C sea parte del paralelogramo formado por los vectores u y vEs deciru + v = C, siendo u = D A y v = B Au + v = (2,3) + (4,1) = (6,4) = C2 2) 11 ( ) 17 )( 13 ( ) 3 8 ( ) 1 16 )( 9 4 ( + + + uxv A10 100 AEjemplo:Encuentre el rea del tringulo que tiene los vrtices (1,3,0); (0,2,5) (-1,0,2) A(1,3,0)B(0,2,5)C(-1,0,2)Si u = A C = (2,3,-2)y v = B C = (1,2,3) entonces:2) 6 6 2 ( ) 9 4 1 )( 4 9 4 (2121 + + + + + uxv A23421) 2 ( ) 14 )( 17 (212 A13Ejemplo:Encuentre un vector normal unitario al plano que pasa por los puntos (2,0,0); (0,2,0); (0,0,2)Si u = A C = (2,0,-2) y v = B C = (0,2,-2) entonces:j i kk j iuxv w 4 4 42 2 02 0 2 + +

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+ + 31;31;3116 16 16) 4 , 4 , 4 (wwwEjemplo:Encuentre el rea de la figura que tiene los vrtices (0,0); (2,2); (3,5); (7,2); (5,-2) y (2,-3) C(3,5) B(2,2) D(7,2) A2 A3 A(0,0) A1 A4E(5,-2)

F(2,-3)Se debe primero dividir la figura en tringulos e identificar los vectores que forman cada tringulo El rea total ser la suma de las reas de cada tringulo, es decir A = A1 + A2 + A3 + A4A1:u = (A F) = (-2,3) v = (B F) = (0,5)521002) 15 0 ( ) 25 0 )( 9 4 (221 + + + uxvAA2:v = (B F) = (0,5)w = (C F) = (1,8)252252) 40 0 ( ) 64 1 )( 25 0 (222 + + + vxwAA3:w = ( C F) = (1,8) y = (D F) = (5,5)2352 2 2122523) 40 5 ( ) 25 25 )( 64 1 ( + + +wxyAA4:y = (D F) = (5,5)z = (E F) = (3,1)521002) 5 15 ( ) 1 9 )( 25 25 (224 + + + yxzAEntonces 30 5235255 + + + AEJERCICIOS:1.-Dados los vectores a = i + j;b = -i + 2j + k; c = 2i + 3j 5k; calcular:a) axb; bxa; axc; cxa; b) (a + b)xc; ax(b + c) c) (a . b)xc;(axb) . c2.- Encuentre el rea del paralelogramo que tiene los vrtices siguientes:a) (2,-3); (1,1); (5,-6); (4,-2) b) (1,1,3); (3,2,5); (-2,1,-6); (2,4,2)3.- Encuentre el rea del tringulo que tiene los vrtices:a) (-1,2); (2,0); (4,3) b)(2,2,2); (5,2,4) (-2,4,-1) c) (6,-1,3); (6,1,1); (3,3,3)4.- Encuentre un vector normal unitario al plano que pasa por los puntos:a) (1,3,5); (3,3,0); (-2,0,6) b) (0,0,0); (1,1,1); (4,-1,0)5.- Encuentre el rea de la figura que tiene los vrtices:a) (1,-1); (-2,7); (4,5); (8,2); (5,0); (3,-3) b) (0,0); (-2,3); (1,2); (3,5); (4,1); (8,0); (4,-2); (3,-6); (1,-2) y (-3,3)1415