Espacios Vectoriales

Departamento de Matematicas, CSI/ITESM

17 de junio de 2008

Indice

15.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.2. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.3. Abstraccion y Generalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.4. Generalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.5. El concepto de operacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.6. Espacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.7. Teoremas sobre espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.8. Ejemplos de EV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.9. Subespacio Vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

15.1. Objetivos

En esta lectura se introduce el concepto de espacio vectorial. Este concepto generaliza los vectores n y lasmatrices m× n. El concepto es abstracto y por tanto tiene alguna dificultad natural; se le pide al estudianteun esfuerzo extra para pensar las cosas desde un punto de vista general.

15.2. Motivacion

Veamos un ejemplo para introducir el concepto de las ideas invariantes en la solucion a un sistema deecuaciones lineales.Ejemplo 15.1

Considere el sistema homogeneo:x + 2 y + w + 2 t = 0

2 x + 4 y − z + w + 5 t = 0x + 2 y + z + 2w + t = 0

z + w − t = 0

Si utilizamos el orden x→ y → z → w → t la matriz aumentada reducida queda:

1 2 0 1 2 02 4 −1 1 5 01 2 1 2 1 00 0 1 1 −1 0

→

1 2 0 1 2 00 0 1 1 −1 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

De donde la formula para las soluciones son:

xyzwt

= y

−21000

+ w

−10−110

+ t

−20101

Si utilizamos el orden x→ y → w → z → t la matriz aumentada reducida queda:

1 2 1 0 2 02 4 1 −1 5 01 2 2 1 1 00 0 1 1 −1 0

→

1 2 0 −1 3 00 0 1 1 −1 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

De donde la formula para las soluciones son:

xyzwt

= y

−21000

+ z

101−10

+ t

−30011

Si utilizamos el orden x→ y → t→ z → w la matriz aumentada reducida queda:

1 2 2 0 1 02 4 5 −1 1 01 2 1 1 2 00 0 −1 1 1 0

→

1 2 0 2 3 00 0 1 −1 −1 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

De donde la formula para las soluciones son:

xyzwt

= y

−21000

+ z

−2010−1

+ w

−30011

Si utilizamos el orden y → x→ z → w → t la matriz aumentada reducida queda:

2 1 0 1 2 04 2 −1 1 5 02 1 1 2 1 00 0 1 1 −1 0

→

11

20

1

21 0

0 0 1 1 −1 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

De donde la formula para las soluciones son:

xyzwt

= x

1−1/2

000

+ w

0−1/2−110

+ t

0−1101

Todas las soluciones previas aparentant ser diferentes, sin embargo, todas representan el mismo conjuntosolucion. Necesitamos una teorıa que nos de confianza en los resultados obtenidos; que nos indique las co-sas que permanecen y las cosas que pueden cambiar en las multiples respuestas validas en Rn que podemosobtener. Ademas de los conjuntos solucion en Rn, existen otras areas de la ingenierıa que requieren unapoyo matematico: las matrices tienen su importancia y uso en ingenierıa industrial y en control; las seriestrigonometricas en procesamiento de senales; los conjuntos de polinomios y las series de potencias para losIFIs, etc..¿Como desarrollar una teorıa comodın que se pueda aplicar a diferentes contextos sin ningun cambio impor-tante?

2

15.3. Abstraccion y Generalizacion

Si se hace una encuesta entre los matematicos sobre que palabras describen a las matematicas se notara quela mayorıa responde al menos dos palabras claves: abstraccion y generalizacion. La abstraccion tiene que vercon representar cantidades por medio de sımbolos ,y la generalizacion tiene que ver con la construccion deestructuras o teorıas que engloban ciertas cosas o hechos conocidos. La que nos interesa mas para abrir estetema es el aspecto de la generalizacion. La generalizacion tambien tiene que ver con la economia del trabajorealizado para investigar, y con determinar cuales son los elementos mınimos responsables de que ciertos re-sultados ocurran.

15.4. Generalizacion

Para entender como ocurre la generalizacion en nuestra materia recordemos algunos conceptos hemos vistoen diferentes cursos de matematicas:

1. vectores en el espacio n dimensional (Rn),

2. matrices con entradas reales (Mn×m),

3. polinomios reales,

4. series de pontencias,

5. series trigonometricas, y

6. soluciones a ecuaciones diferenciales lineales homogeneas

entre otros elementos.El objetivo que se persigue en el presente tema consiste en introducir aquella estructura abstracta que englobalas anteriores construcciones, y que resultados se pueden obtener en lo general sin importar a cual de lasestructuras especıficas se haga referencia.

15.5. El concepto de operacion

Antes que el concepto de espacio vectorial esta el concepto de operacion. Veamos algunos ejemplos deoperaciones para ir entendiendo que las operaciones de suma o de multiplicacion por escalares podrıan serdiferentes de las que conocemos.Lo que es importante recordar es el uso de los parentesis : sirven para indicar un orden en las operaciones.Ejemplo 15.2

Suponga que V = R2 y que se define la operacion:

(x, y)⊕ (z, w) = (5x + z, 2 w + 2 y)

Sia = (−2,−3) ,b = (−1, 3) , c = (−1,−1)

Calcule:

1. a⊕ b

= (5 · (x = −2) + (z = −1), 2 · (w = 3) + 2 · (y = −3)) = (−11, 0)

2. b⊕ a

= (5 · (−1) + (−2), 2 · (−3) + 2 · (−1)) = (−7, 0)

3

3. (a⊕ b)⊕ c

= (−11,−0)⊕ (−1,−1) = (5 · (−11) + (−1), 2 · (−1) + 2 · (0)) = (−56,−2)

4. a⊕ (b⊕ c)= (−2,−3)⊕ (−6, 4) = (−16, 2)

Ejemplo 15.3

Suponga que V = R2 y que se definen las operaciones:

(x, y)⊕ (z, w) = (2x, 3 w + y)

yt⊙ (x, y) = (2 t x, 3 t y)

Sia = (1, 0) , c1 = 1, c2 = −4

Calcule:

1. (c1 + c2)⊙ a = −3⊙ (1, 0) = (2(−3)(1), 3(−3)(0)) = (−6, 0)

2. (c1 ⊙ a)⊕ (c2 ⊙ a) = (2, 0)⊕ (−8, 0) = (4, 0)

3. (c1 · c2)⊙ a = −4⊙ (1, 0) = (−8, 0)

4. c1 ⊙ (c2 ⊙ a) = 1⊙ (−8, 0) = (−16, 0)

15.6. Espacio Vectorial

Definicion 15.1

Sea V un conjunto no vacıo sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores y otrallamada mulitplicacion de un escalar por un vector. La suma de vectores, o simplemente suma, es una regla ofuncion que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, a este se le representara como u ⊕ v. Lamultiplicacion es una regla que asocia a un escalar y a un vector, digamos c y u un segundo vector representadopor c⊙ u. Diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos y cada uno de los siguientesaxiomas:

(A1) Para cualquiera dos vectores u y v en V

u⊕ v ∈ V (1)

Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la suma:

La suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultado tambien un elemento del

conjunto.

(A2) Para cualquiera dos vectores u y v en V

u⊕ v = v ⊕ u (2)

Este axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de la suma:

El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.

(A3) Para cualquiera tres vectores u, v y w en V

u⊕ (v ⊕w) = (u⊕ v)⊕w (3)

Este axioma se conoce como axioma de la asociatividad de la suma:

4

En una suma de vectores, no importa el orden como asocien la sumas entre dos; el resultado

sera siempre el mismo.

(A4) Existe un unico vector en V que se simbolizara por 0 y que se llamara el vector cero tal que para cualquiervector u ∈ V se cumple

u⊕ 0 = 0⊕ u = u (4)

Este axioma se conoce como el axioma de la existencia del elemento neutro:

Existe en el conjunto un elemento distinguido que sumado con cualquier elemento da el mismo

segundo elemento.

(A5) Para cualquier vector u ∈ V existe un unico vector tambien en V y simbolizado por −u que cumple

u⊕ (−u) = (−u)⊕ u = 0 (5)

Este axioma se conoce como axioma de la existencia de inversos aditivos:

Cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento del conjunto que sumado

con el da el neutro aditivo.

(M1) Para cualquier vector u ∈ V y para cualquier escalar c ∈ R se cumple

c⊙ u ∈ V (6)

Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la multiplicacion por escalares:

El resultado del producto entre cualquier escalar por cualquier elemento del conjunto debe dar

como resultado tambien un elemento del conjunto.

(M2) Para cualquiera dos vectores u y v en V , y para cualquier escalar c en R se cumple

c⊙ (u⊕ v) = (c⊙ u)⊕ (c⊙ v) (7)

Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto (por escalares) sobre la suma (devectores):

En un producto de un escalar por una suma de vectores, da lo mismo realizar la suma de los

vectores y el resultado multiplicarlo por el vector que individualmente multiplicar cada vector

por el escalar y despues sumar los resultados.

(M3) Para cualquier vector u ∈ V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple

(a + b)⊙ u = (a⊙ u)⊕ (b⊙ u) (8)

Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto por escalares sobre la suma escalares.

(M4) Para cualquier vector u ∈ V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple

a⊙ (b⊙ u) = (a b)⊙ u (9)

Esta propiedad se conoce como la ley asociativa del producto entre escalares y el producto de escalarcon vector. Lo llamaremos simplemente como la propiedad asociativa del producto.

5

(M5) Para cualquier vector u ∈ V se cumple

1⊙ u = u (10)

Cuando se elabora una argumentacion en algun calculo o demostracion uno debe hacer referencia a los axiomas.Por ellos es que es conveniente y elegante llamarlos por su descripcion. Se le pide al alumno que entienda

la logica de cada uno de ellos y memorice sus descripciones.

Ejemplo 15.4

Indique cual opcion enuncia la propiedad distributiva de la suma de escalares sobre el producto.

1.- (c + k)⊙ x = (c⊙ x)⊕ (k ⊙ x) ← Respuesta

2.- x⊕ 0 = 0⊕ x = x

3.- x⊕ y = y ⊕ x ← Conmutatividad

4.- c⊙ x es vector ← Cerradura

5.- x⊕ (−x) = (−x)⊕ x = 0

6.- x⊕ y es vector ← Cerradura�

Ejemplo 15.5

Indique cual opcion describe la propiedad:

x⊕ 0 = 0⊕ x = x

1.- Cerradura del producto por escalares.

2.- Existencia del neutro de la suma. ← Respuesta

3.- Distributividad del producto sobre la suma de vectores.

4.- Distributividad de la suma de escalares sobre el producto.

5.- Asociatividad del producto por escalares.

6.- Existencia del inverso aditivo �

Ejemplo 15.6

Apesar que nuestro interes no es hacer demostraciones matematicas si es conveniente entender como se cons-truyen. El siguiente argumento prueba que el vector cero es unico. Es decir, que si hay otro vector que cumplela propiedad que define al neutro debe ser el mismo neutro. Justifique los pasos.Suponga que

x + y = x

Entonces por (a) existe (−x) que al sumarlo en ambos miembros da

(−x) + (x + y) = (−x) + x

Por la propiedad (b) se deduce entonces

((−x) + x) + y = (−x) + x

Por la propiedad (c) se tiene entonces0 + y = 0

6

Finalmente, por la propiedad (d) se tieney = 0.

1: la propiedad del inverso aditivo, 2: asociativa, 3: del neutroRespuesta: la correspondencia es (a)=1,(b)=2,(c)=1,(d)=3 �

15.7. Teoremas sobre espacios vectoriales

Resultados generales sobre espacios generales:

Sea V es un espacio vectorial, y sean u ∈ V y c ∈ R, entonces:

1. 0u = 0 (El escalar 0 por cualquier vector da el vector cero)

2. c0 = 0 (Cualquier escalar por el vector cero da el vector cero)

3. cu = 0 implica c = 0 o u = 0 (Cuando el producto de un escalar por un vector da el vectorcero, o el escalar es cero o el vector es el vector cero)

4. (−c) u = − (cu) (Multiplicar por un escalar negativo implica obtener el inverso aditivo delproducto del escalar sin el signo por el vector)

15.8. Ejemplos de EV

Veamos algunos de los espacios vectoriales que utilizaremos.Ejemplo EV 1

Sea V = R+ con las operaciones: x ⊕ y = x · y y c ⊙ x = xc, veamos que V con tal operaciones cumple losaxiomas de espacio vectorial:Axioma A1: x⊕ y ∈ VEfectivamente, pues si x, y ∈ V entonces x, y > 0 y por tanto x⊕ y = x · y > 0, probando que x⊕ y ∈ V .Axioma A2: x⊕ y = y ⊕ xEfectivamente, pues x⊕ y = x · y = y · x = y ⊕ x. Esto se tiene por la propiedad conmutativa del producto denumeros reales.Axioma A3: x⊕ (y ⊕ z) = (x⊕ y)⊕ zEfectivamente, pues x⊕ (y ⊕ z) = x⊕ (y · z) = x · (y · z) = (x · y) · z = (x · y)⊕ z = (x⊕ y)⊕ z. Esto se tienepor la propiedad asociativa del producto de numeros reales.Axioma A4: Existe en V un neutro para ⊕Efectivamente, el numero 1 de V = R cumple la propiedad requerida pues 1⊕ x = 1 · x = x = x · 1 = x⊕ 1.Axioma A5: Todo elemento de V posee un inverso aditivo en VEfectivamente, si x ∈ V es numero, 1/x tambien esta en V = R (Pues si x > 0, tambien se cumple 1/x > 0)y cumple la propiedad requerida pues x⊕ 1/x = x · 1/x = 1 = 1/x · x = 1/x⊕ x.Axioma M1: c⊙ x ∈ VEfectivamente, pues si x ∈ V entonces x > 0 y c ⊙ x = xc > 0 para cualquier numero c. (Recuerde que parax > 0, xc = ec ln(x) > 0)Axioma M2: c⊙ (x⊕ y) = (c⊙ x)⊕ (c⊙ y)Efectivamente, c⊙ (x⊕ y) = c⊙ (x · y) = (x · y)c = xc · yc = (xc)⊕ (yc) = (c⊙ x)⊕ (c⊙ y). Y esto vale por laley de los exponentes con bases positivas.Axioma M3: (c1 + c2)⊙ x = (c1 ⊙ x)⊕ (c2 ⊙ x)Efectivamente, (c1 + c2)⊙ x = xc1+c2 = xc1 · xc2 = (xc1)⊕ (xc2) = (c1 ⊙ x)⊕ (c2 ⊙ x). Esto vale por la ley delos exponentes con bases positivas.Axioma M4: (c1 · c2)⊙ x = c1 ⊙ (c2 ⊙ x)Efectivamente, (c1 · c2)⊙x = xc1·c2 = (xc2)c1 = c1⊙ (xc2) = c1⊙ (c2⊙x). Esto vale por la ley de los exponentes

7

con bases positivas.Axioma M5: 1⊙ x = xEfectivamente, 1⊙ x = x1 = x.Habiendose cumplido los 10 axiomas, concluimos que V con las operaciones

x⊕ y = x · y y

c⊙ x = xc

sı es un espacio vectorial �

Ejemplo EV 2: Rn

El conjunto de todas las n-adas con componentes reales Rn:operaciones:

La suma: La suma de dos vectores con n componentes es un vector tambien con n componentes cuyacomponente i-esima es la suma de las componentes i-esimas de los vectores que se estan sumando:

(xi) + (yi) = (xi + yi)

El producto por escalares: El producto de un escalar por un vector de n componentes se tambien unvector de n componetes cuya componente i-esima es el producto del escalar por la i−esima componentedel vector que se multiplica:

c · (xi) = (c · xi)

Axiomas A1 y M1: x + y ∈ Rn y c · x ∈ Rn

De la misma definicion de la suma y producto por escalares.Axioma A2 : x + y = y + x

Los vectores son iguales pues tienen la misma dimension y al comparar las componente i se tiene

xi + yi = yi + xi

Axioma A3: x + (y + z) = (x + y) + z

Los vectores son iguales pues tienen la misma dimension y al comparar las componente i se tiene

xi + (yi + zi) = (xi + yi) + zi

Axioma A4: Existe el vector neutro bajo la adicion:Este vector es el vector con todas sus componentes cero 0 = (0) y cumple 0+x = x+0 = x pues al compararlas i-esimas componentes se cumple:

0 + xi = xi + 0 = xi

Axioma A5: Cada vector de tiene su inverso aditivo:Para cada vector x = (xi) el vector −x = (−xi) cumple x+(−x) = (−x)+x = 0 pues al comparar las i-esimascomponentes se cumple:

−xi + xi = 0 = xi +−xi

Axioma M2: c(x+y) = cx+ cy: Los vectores son iguales pues tienen la misma dimension y al comparar lascomponentes i se tiene

c(xi + yi) = c xi + c yi

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Axioma M3: (c1 + c2)x = c1 x+ c2 x: Los vectores son iguales pues tienen la misma dimension y al compararlas componentes i se tiene

(c1 + c2)xi = c1 xi + c2 xi

Axioma M4: (c1 · c2)x = c1 (c2 x): Los vectores son iguales pues tienen la misma dimension y al compararlas componentes i se tiene

(c1 · c2)xi = c1(c2xi)

Axioma M5: 1 · (xi) = (1 · xi) = (xi)Habiendose cumplido los 10 axiomas, concluimos que Rn con las operaciones

(xi) + (yi) = (xi + yi) y

c(xi) = (c xi)

sı es un espacio vectorial �

Ejemplo EV 3: Mm×n

El conjunto de todas las matrices m× n con componentes reales Mm×n:operaciones:

La suma: La suma de dos matrices m× n es una matriz tambien m× n cuyo elemento (i, j) es la sumade los elementos (i, j) de las matrices que se estan sumando:

(aij) + (bij) = (aij + bij)

El producto por escalares: El producto de un escalar por una matriz m×n es tambien una matriz m×ncuyo elemento (i, j) es el producto del escalar por el elemento (i, j) de la matriz que se multiplica:

c · (aij) = (c · aij)

Axiomas A1 y M1: A + B ∈ Mm×n y c · A ∈ Mm×n: De la misma definicion de la suma de matrices yproducto por escalares.Axioma A2 ; A + B = B + A: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimension y al comparar loselementos (i, j) se tiene

aij + bij = bij + aij

Axioma A3: A + (B + C) = (A + B) + C: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimension y alcomparar los elementos (i, j) se tiene

aij + (bij + cij) = (aij + bij) + cij

Axioma A4, Existe una matriz neutra bajo la adicion: Esta matriz es la matriz con todas sus componentescero 0 = (0) y cumple 0 + A = A + 0 = A, pues al comparar los elementos (i, j) componentes se cumple:

0 + aij = aij + 0 = aij

Axioma A5: Cada matriz de tiene su invero aditivo:Para cada matriz A = (aij), la matriz −A = (−aij) cumple A+ (−A) = (−A) +A = 0, pues al comparar loselementos (i, j) se cumple:

−aij + aij = 0 = aij +−aij

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Axioma M2: c(A + B) = cA + cB: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimension y al compararlos elementos (i, j) se tiene

c(aij + bij) = c aij + c bij

Axioma M3: (c1+c2)A = c1 A+c2 A: Las matrices son iguales pues tienen la misma dimension y al compararlos elementos (i, j) se tiene

(c1 + c2)aij = c1 aij + c2 aij

Axioma M4: (c1 · c2)A = c1 (c2 A): Las matrices son iguales pues tienen la misma dimension y al compararlos elementos (i, j) se tiene

(c1 · c2)aij = c1(c2aij)

Axioma M5: 1 · (aij) = (1 · aij) = (aij)Habiendose cumplido los 10 axiomas, concluimos que Mm×n con las operaciones

(aij) + (bij) = (aij + bij) y

c(bij) = (c aij)

sı es un espacio vectorial �

Ejemplo EV 4: P

De todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x con las operaciones:

Suma: Cuando son dos polinomios, esta operacion se lleva a cabo sumando los coeficientes de las mismaspotencias de x de los polinomios.

a0 + a1 x + · · ·+ am xm

+b0 + b1 x + · · ·+ bm xm

=(a0 + b0) + (a1 + b1)x + · · ·+ (am + bm)xm

(Alguno de los polinomios se completa hasta el grado mayor de los dos con coeficientes cero)

Multiplicacion: La multiplicacion por escalar es la multiplicacion de todo el polinomio por una cons-tante:

c(a0 + a1 x + a2 x2 + · · ·+ am xm)=

c a0 + c a1 x + · · ·+ c am xm

Axiomas A1 y M1: p(x) + q(x) ∈ P y c · p(x) ∈ P: De la misma definicion de la suma de polinomios yproducto por escalares.Axioma A2 ; p(x) + q(x) = q(x) + q(x): Los polinomios son iguales pues estan en la misma variable ycomparando los coeficientes de xi se tiene:

pi + qi = pi + qi

Axioma A3: p(x) + (q(x) + r(x)) = (p(x) + q(x)) + r(x): Los polinomios son iguales pues estan en la mismavariable y comparando los coeficientes de xi se tiene:

pi + (qi + ri) = (pi + qi) + ri

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Axioma A4, Existe un polinomio neutro bajo la adicion: Este polinomio es el polinomio con todos suscoeficientes cero: 0 = 0 = 0 + 0x y cumple 0 + p(x) = p(x) + 0 = p(x), pues al comparar los coeficientes de xi

se tiene:0 + pi = pi + 0 = pi

Axioma A5: Cada polinomio de tiene su invero aditivo: Para cada plinomio p(x) = p0 + p1x + c . . . , elpolinomio −p(x) = (−p0) + (−p1)x + (−p2)x

2 + · · · cumple p(x) + (−p(x)) = (−p(x)) + p(x) = 0, pues alcomparar los coeficientes de xi se tiene:

(−pi) + pi = 0

Axioma M2: c(p(x) + q(x)) = c p(x) + c q(x): Los polinomios son iguales pues estan en la misma variable ycomparando los coeficientes de xi se tiene:

c(pi + qi) = c pi + c qi

Axioma M3: (c1 + c2)p(x) = c1 p(x) + c2 p(x): Los polinomios son iguales pues estan en la misma variable ycomparando los coeficientes de xi se tiene:

(c1 + c2)pi = c1 pi + c2 pi

Axioma M4: (c1 · c2)p(x) = c1 (c2 p(x)): Los polinomios son iguales pues estan en la misma variable ycomparando los coeficientes de xi se tiene:

(c1 · c2)pi = c1(c2pi)

Axioma M5: 1 · p(x) = p(x)Habiendose cumplido los 10 axiomas, concluimos que P con las operaciones suma de polinomios y productode un escalar por un polinomio conocidas sı es un espacio vectorial �

Ejemplo EV 5: Pn

Todos los polinomios con coeficientes reales en la variable x de grado menor o igual que n (n es entero mayoro igual que cero):

1 operaciones:Sea x la variable independiente de los polinomios.

a) Suma: Misma que en P.

b) Multiplicacion por escalares: Misma que en P.

2 el cero: El polinomio 0, es aquel cuya totalidad de coeficientes es cero.

3 inversos aditivos: El inverso de −p de un polinomio p tiene por coeficientes los opuestos de los coefi-cientes de p �

Ejemplo EV 6: F (R)El conjunto de todas las funciones de valor real definidas en R:

1 operaciones: Sean f y g dos funciones de valor real con dominio R y sea c cualquier escalar.

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a) Suma: Se define la suma de f + g de f y g como la funcion cuyos valores estan expresados por:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) para toda x ∈ R

b) producto por escalares: Igualmente, el producto por escalar cf se define como sigue:

(c f)(x) = c f(x) para toda x ∈ R

2 el cero: La funcion cero, 0 es aquella cuyos valores son todos ceros: 0(x)= 0 para toda x ∈ R.

3 inversos aditivos: La inversa de −f de f es la funcion (-1)f .

4 axiomas: La comprobacion de los axiomas se deja como ejercicio.

De manera mas general, el conjunto F (X) de todas las funciones de valor real definidas en un conjuno X esun espacio vectorial. Las operaciones, el cero y el negativo se definen en la misma forma. La unica diferenciaes que x se en encuentra en el conjunto X, en lugar de estar en R.

15.9. Subespacio Vectorial

Como se ha visto probar que un conjunto es un espacio vectorial es un trabajo arduo. Sin embargo, haysituaciones en las que la prueba se reduce considerablemente: Cuando el conjunto esta contenido en un con-junto mayor que ya es un espacio vectorial. En este caso, como todas las propiedades de los axiomas hacenreferencia a elementos del conjunto y por tanto a elementos al conjunto mayor que ya es espacio vectorial ypor consiguiente se verifican. Salvo posiblemente los axiomas A1 y M1 que hacen referencia a la cerradura.

Definicion 15.2

Sea V = (V, +, ·) un espacio vectorial. Un subconjuto U de V (U ⊆ V ) que no es vacıo se dicesubespacio vectorial o simplemente subespacio de V si U con las mismas operaciones de suma ymultiplicacion por escalares que estan definidas en V , pero restringidas a vectores de U , es unespacio vectorial.

Apesar que en la defincion de subespacio esta implicita la verificacion de los axiomas, el siguiente resultado dala clave para la verificacion de que un conjunto se subespacio.Teorema

Un subconjunto no vacıo U de un espacio vectorial V es subespacio de V si cumple las siguientescondiciones:

El conjunto U es cerrado bajo la suma;

Cualquiera dos elementos de U sumados dan como resultado un elemento que tambien esta enU .

El conjunto U es cerrado bajo la multiplicacion por escalares;

Cualquier elemento de U multiplicado por cualquier escalar da como resultado un elementoque tambien esta en U .

Observe que realmente el resultado anterior hace referencia a tres condiciones: La que esta en el enunciado:que el conjunto no sea vacıo, y las dos explıcitamente citadas.

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trans=R,toc=EjemploEjemplo 15.7

El subconjuto W de P2 formado por solo polinomios de la forma

p(x) = a x + 3 a x2

donde a es un numero real, ¿es un subespacio vectorial?Solucion

Requisito 0: Se debe probar que el conjunto posee al menos un elemento: Debemos dar un ejemplo concretode un polinomio que corresponde a este formato: Por ejemplo

p(x) = 2x + 6x2

el coeficiente de x2, 6, es justo el doble del coeficiente de x, que es 2. Por tanto, W 6= ∅.Requisito 1: Debemos probar que si se suman dos elementos cualquiera del conjunto, el resultado tambienesta en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar un valor numerico de a;debemos utilizar letras. Sean p(x) = a1 x + 3 a1 x2 y q(x) = a2 x + 3 a2 x2 dos elementos de W , veamos sip(x) + q(x) ∈W :

p(x) + q(x) = a1 x + 3 a1 x2 + a2 x + 3 a2 x2 = (a1 + a2)x + 3 (a1 + a2)x2

de donde vemos que el coeficiente de x2 es el de x multiplicado por 3. Por tanto, p(x)+ q(x) ∈W . Por tanto,W es cerrado bajo la suma.Requisito 2: Debemos probar que si se multiplica un escalar cualquiera por un elemento cualquiera delconjunto, el resultado tambien esta en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizarun valor numerico de a; debemos utilizar letras. Sea p(x) = a1 x + 3 a1 x2 un elemento cualquiera de W y cun escalar cualquiera, veamos si c p(x) ∈W :

c p(x) = c (a1 x + 3 a1 x2) = (c a1)x + 3 (c a1)x2

de donde vemos que el coeficiente de x2 es el de x multiplicado por 3. Por tanto, c p(x) ∈ W . Por tanto, Wes cerrado bajo el producto por escalares.Como hemos probado los tres requisitos, W es un subespacio vectorial de P2.

Ejemplo 15.8

El conjunto W de todas las matrices 2× 2 de la forma:

[

a 00 b

]

donde a y b son numeros reales que cumplen a b ≤ 0, ¿es un subespacio vectorial de M2×2?Solucion

Requisto 0: Como la matriz

A =

[

1 00 −1

]

tiene el patron de las matrices de W para a = 1 y b = −1 y se cumple a b = −1 ≤ 0, A ∈ W . Por tanto,W 6= ∅.Requisito 1: Debemos probar que si se suman dos elementos cualquiera del conjunto, el resultado tambienesta en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizar valores numericos; debemosutilizar letras. Sean

A =

[

a1 00 b1

]

y B =

[

a2 00 b2

]

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dos elementos de W , que cumplan a1 b1 ≤ 0 y a2 b2 ≤ 0 veamos si A + B ∈W :

A + B =

[

a1 + a2 00 b1 + b2

]

Ahora apliquemos la prueba ultima para ver si pertenece a W

(a1 + a2) (b1 + b2)) = a1 b1 + a2 b1 + a1 b1 + a2 b2 ≤ 0?

Observe que lo que es cierto es que a1 b1 ≤ 0 y que a2 b2 ≤ 0. Pero el termino a2 b1 + a1 b2 puede cambiar ladesigualdad. De hecho los valores a = 1, b1 = −5, a2 = −3, y b2 = 1 cumplen

a1 b1 = (1)(−5) = −5 ≤ 0 y a2 b2 = (−3)(1) = −3

Pero(a1 + a2)(b1 + b2) = (1 +−3)(−5 + 1) = (−2)(−4) = 8 > 0

Estos numeros nos dan las matrices

Ao =

[

1 00 −5

]

y Bo =

[

−3 00 1

]

que sı estan en W , pero cuya suma no esta en W . A estos ejemplos conctretos que prueban que una ciertaafirmacion no se cumpla se le llama contra ejemplo. El anterior contra ejemplo hace que W no sea cerradobajo la suma. Fallando un requisito como ahora, W no es un subespacio. Sin embargo, como nos interesaver la opcion que se ajusta a W deberemos revisar el otro requisito.Requisito 2: Debemos probar que si se multiplica un escalar cualquiera por un elemento cualquiera delconjunto, el resultado tambien esta en el conjunto. Para abarcar cualquier elemento de W no podemos utilizarun valor numerico de a; debemos utilizar letras. Sea

A =

[

a1 00 b1

]

un elemento cualquiera de W (y por tanto a1 b1 ≤ 0) y c un escalar cualquiera, veamos si c A ∈W :

c A =

[

c a1 00 c b1

]

Ahora apliquemos la prueba ultima para ver si pertenece a W

(c a1) (c b1) ≤ 0?

Como(c a1) (c b1) = c2 (a1 b1)

y c2 ≥ 0 y a1 b1 ≤ 0 entonces(c a1) (c b1) = c2 (a1 b1) ≤ 0

Por tanto, c A ∈W . Por tanto, W es cerrado bajo el producto por escalares.Resumiendo, W no es espacio vectorial: sı es cerrado bajo el producto por escalares pero no es cerrado bajola suma.

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