Espacios vectoriales.

4.1 Definición de espacio vectorial.

Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición (una asociación entre un par de objetos). Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemasde Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada.Vector fijo

Elementos de un vectorDirección de un vectorLa dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.Sentido de un vector

Módulo de un vector

El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero.Módulo de un vector a partir de sus componentes

Módulo a partir de las coordenadas de los puntos

Coordenadas de un vector

Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

Clases de vectoresVectores equipolentes

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.Vectores libres 

 El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo módulo, dirección y sentido.Vectores fijos

 Un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y origen.

Vectores ligados

 Los vectores ligados son vectores equipolentes que actúan en la misma recta. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y se encuentran en la misma recta.Vectores opuestos

 Los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido.

Vectores unitarios

Los vectores unitario tienen de módulo, la unidad.Para obtener un vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado se divide éste por su módulo.

Vectores concurrentes

 Los vectores concurrentes tienen el mismo origen.Vector de posición

Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros.

Vectores ortogonales

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero.

Vectores ortonormales

Dos vectores son ortonormales si:1. Su producto escalar es cero.2. Los dos vectores son unitarios.

4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.

Definición:Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V. Si W es unespacio vectorial con respecto de las operaciones en V, entonces W es un subespacio de V

Definición. Sea H un subconjunto de un espacio vectorial V y supongamos que H es en sí un espacio vectorial con las operaciones de suma y multiplicación escalar definidas sobre V. Se dice entonces que H es un subespacio de V.

Teorema. Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si las dos reglas de cerradura valen:

Reglas para verificar si un subconjunto es un subespacio

i. Si x ∈ H y y ∈ H, entonces x + y ∈ H.

ii. Si x ∈ H, entonces αx ∈ H para todo escalar α

Demostración. Para demostrar que H es un espcacio vectorial, debemos verificar que los axiomas de los espacios vectoriales cumplen con las operaciones de la suma vectorial y multiplicación escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura se cumplen por hipótesis. Puesto que los vectores en H también están en V, las leyes asociativa, conmutativa, distributiva y la del neutro multiplicativo se satisfacen. Ahora, si x ∈ H entonces 0x ∈ H, debido a la hipótesis (ii). Pero por el teorema de espacios vectoriales (parte ii), 0x = 0. Consecuentemente 0 ∈ H y el axioma (iii) se cumple. Finalmente, de la parte (ii) tenemos que (-1)x ∈ H para todo x ∈ H. Por el teorema de espacios vectoriales (parte iv), -x = (-1)x ∈ H, de tal forma que el axioma (iv) también se cumple y con ello concluimos la demostración.

Este teorema nos dice que para probar que H es un subespacio de V, nos basta con verificar que:

x + y y αx están en H, siempre que x y y estén en H y α sea un escalar.

La demostración anterior contieen un resultado importante que debe mencionarse explícitamente:

Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al 0.

Este resultado nos permitirá ver fácilmente si un subespacio particular V no es un espacio vectorial. Esto es, si un subconjunto no contiene al 0, entonces no es un subespacio.

Ejemplo 1.

Para todo espacio vectorial V, el subconjunto |0| que contiene solamente el vector cero, es un subespacio puesto que 0 +0 = 0 y α0 = 0 para todo número real α; se le conoce como el subespacio trivial.

Ejemplo 2

V es un subespacio de sí mismo para todo espacio vectorial V.

Subespacio propio. Los primeros dos ejemplos nos muestran que todo espacio vectorial V contiene dos espacios vectoriales, |0| y V (a menos que V=|0|). Desde luego, es mucho más interesante encontrar otros subespacios. Los subespacios que no son ni {0} ni V se conocen como subespacios propios.

Teorema. Sean H1 y H2 subespacios de un espacio vectorial V. Entonces H1∩H2 es un subespacio de V.

Demostración. Sean x1 ∈H1∩H2 y x2. Entonces, dado que H1 y H2 son subespacios, x1 + x2 ∈ H1 y x1 + x2 ∈ H2. Esto es, x1 + x2 ∈H1∩H2. Análogamente, αx1∈H1∩H2. De esta manera se satisfacen los dos axiomas de cerradura y por lo tanto H1∩H2, es un subespacio

4.3 Combinación lineal. Independencia lineal.

Un vector w se denomina combinación lineal de los vectores v1, v2,……….vn

Si se puede expresar de la formaW = k1 v1 + k2 v2 + k3 v3 +……………….+ kn vn

donde k1 , k2 k3 ………kn son escalares.Este conjunto de vectores se denota como

gen S ó gen ={ v1

, v2 ,v3 …. vn }Ejemplo1.-Todo vector v={a, b, c } en R3 se puede expresar como una combinación de los vectores estándar básicosi=(1,0,0) , j=(0,1,0) , k=(0,0,1)v= (a, b, c) = a (1,0,0) + b (0,1,0) + c (0,0,1) = ai + bj +ck2.- Considerar los vectores u=(1,2,-1), y v=(6,4,2) en R3. Demostrar que w=(9,2,7) es una combinación lineal de u y v, y que w=(4,-1,8) no lo es.

Hay que encontrar los escalares que satisfacen la ecuación siguiente:W= k1 u + k2 v

1.

(9,2,7)= k1 (1,2,-1) + k2 (6,4,2)

(9,2,7)= (1 k1, 2 k1,-1k1) + (6 k2 ,4 k2 ,2 k2 )

Igualando

9= k1 +6k2

2= 2k1 +4k2

7 = -k1 +2k2

Resolviendo el sistema k1 = -3 k2 = 2La respuesta es:

W= -3 u +3 v(4,-1,8)= k1 (1,2,-1) + k2 (6,4,2)(4,-1,8)= (1 k1, 2 k1,-1k1) + (6 k2 ,4 k2 ,2 k2 )

Igualando

4= k1 +6k2

-1= 2k1 +4k2

8= -k1 +2k2

1. Resolviendo el sistema se llega a la conclusión que es inconsistente, por lo tanto no es combinación lineal.

Ejercicio1.-Determinar si el vector v pertenece a gen = { v1 v2,v3} dondeV1=(1,0.0,1) v2=(1,-1,0.0) v3=(0,1,2,2)

1. V=(-1,4,2,2)2. V =(1,2,01)3. V=(-1,1,4,3)4. V=(0.1.10)2.- Cual de los siguientes vectores son combinación lineales de

1. Resolviendo el sistema se llega a la conclusión que es inconsistente, por lo tanto no es combinación lineal.

Ejercicio1.-Determinar si el vector v pertenece a gen = { v1 v2,v3} dondeV1=(1,0.0,1) v2=(1,-1,0.0) v3=(0,1,2,2)

1. V=(-1,4,2,2)2. V =(1,2,01)3. V=(-1,1,4,3)4. V=(0.1.10)2.- Cual de los siguientes vectores son combinación lineales de

Independencia Lineal.

Los vectores v1, v2, …..vn de un espacio vectorial son linealmente dependientes si existen constantes c1, c2,……..cn no todas iguales a cero que satisfagan la siguiente expresión (son dependientes si aparte del cero hay otras respuestas, se recuerda que el sistema de ecuaciones generado en esta ocasión es homogéneo): 

C1 v1 + c 2v2+……cn vn =0En caso contrario se dice que v1, v2, …..vn son linealmente independientes.Es decir que se debe cumplir la ecuación anterior y los valores de c1 = c2=…….=.cn=0. La única posibilidad de combinación lineal de ellos es que sean iguales a cero. 

Ejemplo: Determinar si los vectores (-1,1,0,0) y (-2,0,1,1) son linealmente independientes entre si. Formando la ecuación 

C1 (-1,1,0,0) + c2 (-2,0,1,1)=(0,0,0,0)-c1 -2c2 =0C1+ 0c2 =0

C2=0C2=0

La única solución de este sistema es c1 = c2=0 Otro método para resolver este tipo de ejercicios es el siguiente: Cada vector es una fila de una matriz a la cual se le escalonará por eliminación gaussiana. Retomando el ejemplo anterior 

-2f1 +f2 → f2

Se puede llegar a la conclusión que son linealmente independientes, ya que se pudo escalonar la matriz. De caso contrario que una de las filas de la matriz se anulara la conclusión sería dependencia lineal. 

2.- Considerando los vectores 

p1 (t)= t2 + t + 2 p2 (t)= 2t2 + t p3 (t)= 3t2 + 2t + 2 

son linealmente independientes o no 

Como se anuló la tercera fila esto indica dependencia lineal entre los vectores. 

Nota: este espacio vectorial se refiere a polinomios de segundo orden, donde se deben

agrupar por el grado, es decir lineales con lineales, independientes con independientes y los

elementos que no encuentran presentes se les deben colocar cero (0).

4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.

Las bases revelan la estructura de los espacios vectoriales de una manera concisa. Una base es el menor conjunto (finito o infinito) B = {vi}i ∈ I de vectores que generan todo el espacio. Esto significa que cualquier vector v puede ser expresado como una suma (llamada combinación lineal) de elementos de la base

a1vi1 + a2vi2 + ... + anvin,donde los ak son escalares y vik (k = 1, ..., n) elementos de la base B. La minimalidad, por otro lado, se hace formal por el concepto deindependencia lineal. Un conjunto de vectores se dice que es linealmente independiente si ninguno de sus elementos puede ser expresado como una combinación lineal de los restantes. Equivalentemente, una ecuacióna1vi1 + ai2v2 + ... + anvin = 0sólo se consigue si todos los escalares a1, ..., an son iguales a cero. Por definición cada vector puede ser expresado como una suma finita de los elementos de la base. Debido a la independencia lineal este tipo de representación es única. Los espacios vectoriales a veces se introducen desde este punto de vista.Todo espacio vectorial tiene una base. Este hecho se basa en el lema de Zorn, una formulación equivalente del axioma de elección. Habida cuenta de los otros axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, la existencia de bases es equivalente al axioma de elección. El ultrafilter lemma, que es más débil que el axioma de elección, implica que todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo "tamaño", es decir,cardinalidad. A ésta, se le llama la dimensión del espacio vectorial, representada por dim V. Si el espacio es generado por un número finito de vectores, todo lo anterior puede demostrarse sin necesidad de acudir a la teoría de conjuntos.La dimensión de un espacio de coordenadas Fn es n, pues cualquier vector (x1, x2, ..., xn) puede expresarse de forma única como combinación lineal de n vectores (llamados vectores coordenadas) e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), a en = (0, 0, ..., 0, 1), es decir, la sumax1e1 + x2e2 + ... + xnen,La dimensión de los espacios de funciones, como por ejemplo el espacio de funciones definidas en algún intervalo acotado o no, es infinita. Bajo unas adecuadas asunciones de regularidad de los coeficientes involucrados, la dimensión del espacio de soluciones de una ecuación diferencial ordinaria homogénea es igual al grado de la ecuación. Por ejemplo, la ecuación anterior tiene grado 2. El espacio de soluciones está generado por ex y xex (que son linealmente independientes en R), por lo que la dimensión de este espacio es dos.La dimension (o grado) de una extensión como por ejemplo Q(z) sobre Q depende de si z es o no algebraico, i.e. satisface una cierta ecuación polinomialqnzn + qn−1zn−1 + ... + q0 = 0, con coeficientes racionales qn, ..., q0.Si es algebraico, la dimensión es finita. Es más, es igual al grado delpolinomio mínimo del que z es raíz. Por ejemplo,el conjunto de los números complejos es un espacio vectorial bidimensional sobre los números reales, generado por 1 y la unidad imaginaria i. Ésta última cumple i2 + 1 = 0, una ecuación de grado dos. Si z no es algebraico, la dimensión es infinita. Así, para z = π no existe dicha ecuación, pues π estrascendente.

Se ha visto en R2 conviene escribir vectores como una combinación lineal de los vectores

. En R3 se escribieron los vectores en términos

de  . Ahora se generalizara esta idea.

BASEUn conjunto finito de vectores  es una base para un espacio

vectorial V si 

Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn es una base en Rn.

En Rn se define Puesto que los vectores e, son las columnas d una matriz identidad (que tiene determinante

1), es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye una base en Rn. Esta base especial se denomina base canonica en Rn. Ahora se encontraran bases para otros espacios.

EJEMPLO: base canonica para M22

Se vio que  generan a 

 , entonces es evidentemente que  . Así, estas cuatro matrices son linealmente independientes y forman una base para M22, lo que se denomina base cononica para M22.

TEOREMA: si es una base para V y si vÎV, entonces existe un conjunto único de escalares  tales que

Existe cuando menos un conjunto de dichos escalares porque  genera a V. suponga entonces que v se puede escribir e dos maneras como una combinación lineal de los vectores de la base.

Es decir, suponga que

Sea   dos bases para V. debe demostrarse que m=n. esto se prueba mostrando que si m>n, entonces S es un conjunto literalmente independiente, lo que contradice la hipótesis de que S es una bse. Esto demostrara que m≤n. la misma prueba demostrara que ≤m y esto prueba el teorema. Así, basta demostrar que si m>n, entonces S es independiente. Como S constituye una base, todo u se puede expresar como una combinación lineal de las v. se tiene (1)

TEOREMA: suponga que dimV=n. si 

Entonces, restando se obtiene la ecuaciónpero como los v son linealmente independientes, esta ecuación se cumple si y solo si

 Así,  y el teorema queda demostrado.

TEOREMA: si  son bases en un espacio vectorial V, entonces m=n; es decir, cualesquiera dos bases en un espacio vectorial V tienen el mismo numero de vectores.

Para demostrar que S es dependiente, deben encontrarse escalares

 no todos cero, tales que (2)

Sustituyendo (1) en (2) se obtiene (3) 

La ecuación (3) se puede reescribir como

Pero como  son linealmente independientes, se debe tener (5)

El sistema (5) es un sistema homogéneo de n ecuaciones con las m incógnitasy como m>n, el teorema dice que el sistema tiene un numero infinito de

soluciones. De esta forma, existen escalares  no todos cero, tales que (2) se satisface y, por lo tanto, S es un conjunto linealmente dependiente. Esta contradicción prueba que m≤n si se cambian los papeles de S1 y S2, se demuestra que n≤m y la prueba queda completa.Por este teorema se puede definir uno de los conceptos centrales en el  algebra lineal.

DIMENSIÓNSi el espacio vectorial V tiene una base con un numero finito de elementos, entonces la dimensión de V es el numero de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si V={0}, entonces se dice que V tiene dimensión cero.Notación. La dimensión V se denota por dimV.

EJEMPLO: la dimensión de Mmn

En Mmn sea A la matriz de mxn con un uno en la posición ij y cero en otra parte. Es sencillo demostrar que las matrices a para i=1,2,…,m y j=1,2,…,n forman una base para Mmn. Así, dimMmn=mn.

TEOREMA: suponga que dimV=n. si  es un conjunto de m vectores linealmente independientes en V, entonces m≤n.

Sea entonces, igual que la prueba del teorema, se pueden encontrar constantes no todas cero, tales que la ecuación (2) se satisface. Esto contradice la independencia lineal de los vectores u. así, m≤n.

TEOREMA: sea H un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita V. entonces

H tiene dimensión finita y (6)

 Sea dimV=n. cualquier conjunto de vectores linealmente independientes en H es también linealmente independiente en V. por el teorema anterior, cualquier conjunto linealmente independiente en H puede contener a lis mas n vectores. Si H={0}, entonces dimH=0. Si dimH≠{0}, sea v≠0 un vector en H y H=gen{v}. si H=H, dimH=1 y la prueba queda completa. De lo contrario, elija a vÎH tal que vÏH y sea H=gen{v1,v2}, y así sucesivamente. Continuamos hasta encontrar vectores linealmente independientes

tales que H=gen{  }. El proceso tiene que terminar porque se pueden encontrar a lo mas n vectores linealmente independientes en H. entonces H-k≤n.

EJEMPLO: una base para el espacio de solución de un sistema homogéneoEncuentre una base (y la dimensión) para el espacio de solución S del sistema

homogéneo 

SOLUCIÓN: aquí  . Como A es una matriz de 2x3, S es un subespacio de R3. Reduciendo por renglones, se encuentra, sucesivamente, 

Entonces y=z y x=-z de manera que todas las soluciones son de la forma .Así,

es una base para S y dimS=1. Obsérvese que S es el conjunto de vectores que se encuentran en la recta x=-t, y=t, z=t.TEOREMA: cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en eun espacio vectorial V de dimensión n constituyen una base apara V.

Sean , n vectores. Si generan el espacio V, entonces constituyen una

base. De lo contrario, existe un vector uÎV tal que uÏgen  . Esto

significa que los n+1 vectores , u donde linealmente independientes.

Para ver esto observe que si (8) 

Entonces  porque de lo contrario podríamos escribir u como una combinación

lineal de dividiendo la ecuación (8) entre  y poniendo todos

los términos, excepto u, en el lado derecho. Pero si entonces (8) es

 

Lo que significa que ya que los v son linealmente

independientes. Ahora sea W=gen{ ,u}. como todos los vectores entre las

llaves están en V, W es un subespacio de V. como  ,u son linealmente independientes, forman una base para W, y dimW=n+1. Pero por el teorema, dimW≤n. esta

contradicción muestra que no existe el vector uÎV tal que uÏgen{ }.

Así,  genera a V y, por lo tanto, constituye una base para V.

CAMBIO DE BASE

En R2 se expresaron vectores en términos de la base canónica . En Rn

se definió la base canonica  . En Pn se definió la base estandra como

. Estas bases se usan ampliamente por la sencillez que ofrecen a la hora de trabajar con ellas. Pero en ocasiones ocurre que es mas conveniente alguna otra base. Existe un numero infinito de bases para elegir, ya que en un espacio vectorial de dimensión n, cualesquiera n vectores, linealmente independientes, forman una base. En esta sección se vera como cambiar de una base a otra mediante el calculo de cierta matriz.

Iniciaremos por un ejemplo sencillo. Sean u . entonces,

 es la base canonica en R2. Sean Como v1 y

v2 son linealmente independientes (porque v1 no es un múltiplo de v2),  

es una segunda base en R2. Sea un vector en R2. Esta notación significa que

Es decir, x esta expresando en términos de los vectores de la base B. para hacer hincapié en

este hecho, se escribe  Como B es otra base en R2, existen escalares c1 y

c2 tales que (1) Una vez que se encuentran estos escalares. Se puede

escribir  para indicar que x esta ahora expresado en términos de los vectores en B. para encontrar los números c1 y c2, se escribe la base anterior en términos

de la nueva base. Es sencillo verificar que

(2) y  es decir,

 Entonces,

Así, de (1), 

o

Por ejemplo, si

 entonces

4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.

Un espacio vectorial complejo V se denomina espacio con producto interno si para cada par ordenado de vectores u y v en V, existe un numero complejo único (u,v), denominado producto interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y αϵC, entonces

 La barra es las condiciones v) y vii) denota el conjugado complejo.Nota. Si (u,v) es real, entonces (u,v)=(u,v) y se puede eliminar la barra en v).

EJEMPLO: producto interno de dos vectores en C3En C3 sean x=(1+i, -3, 4-3i) y y=(2-i, -i, 2+i). entonces

 Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v están en V. entonces

Nota 1. Aquí se usa la doble barra en lugar de una sola para evitar confusión con el valor absoluto. Por ejemplo ǁsen tǁ denota la norma de sen t como un “vector” en C[0, 2π] mientras que |sen t| denota el valor absoluto de la función sen t.Nota 2. La ecuación anterior tiene sentido ya que (u, u)≥0.

EJEMPLO: dos vectores ortogonales en C2En C2 los vectores (3,-i) y (2,6i) son ortogonales porque

Conjunto ortonormal

El conjunto de vectores  es un conjunto ortonormal en V si

ySi solo el primero se cumple, se dice que el conjunto es ortonormal.

TEOREMA: cualquier conjunto finito de vectores ortonormales diferentes de cero en un espacio con producto interno es linealmente independiente.

TEOREMA: cualquier conjunto finito linealmente independiente en un espacio con producto interno se puede convertir en un conjunto ortonormal mediante el proceso de Gram-Schmidt. En particular, cualquier espacio con producto interno tiene una base ortonormal.

Proyección ortogonalSea H un subespacio del espacio con producto interno V con base ortonormal

 Si vϵV, entonces la proyección ortonormal de v sobre H denotada por proyHv esta dada por (6)

Las demostraciones de los siguientes teoremas son idénticas a sus contrapartes en Rn.TEOREMA: sea H un subespacio de dimensión finita con producto interno V. suponga que H tiene

dos bases ortonormales 

Sea vϵV. entonces

Complemento ortogonalSea H un subespacio del espacio con producto interno V. entonces el complemento ortogonal de

H, denotado por H, esta dado por (7)

 TEOREMA: si H es un subespacio del espacio con producto interno V, entonces

TEOREMA DE PROYECCIÓN: sea H un subespacio de dimensión finita del espacio con producto interno V y suponga que vϵV. entonces existe un par único de vectores h y p tales que hϵH, pϵH, y (8) v=h+p donde h=proyHv.

Si V tiene dimensión finita, entonces p=proyHv.

TEOREMA: sea A una matriz de nxn; entonces A tiene vectores propios linealmente independientes si y solo si multiplicidad geométrica de cada valor propio es igual a su multiplicidades algebraica. En particular, A tiene n vectores propios linealmente independientes si todos los valores propios son distintos (ya que entonces la multiplicidad algebraica de cada valor propio es 1).

4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.

Conjunto ortonormal en Rn

Se dice que un conjunto de vectores S={u1, u2, …, uk} en Rn es un conjunto ortonormal si (1) (2)

 Si solo satisface la ecuación (1), se dice que el conjunto es ortogonal.Si u, v y w en Rn y α es un numero real, entonces (3) (4) (5) (6)(7)

Ahora se presenta otra definición útil

Si vϵRn, entonces la longitud o norma de v, denotada por |v|, esta dada por (8)

 Nota. Si  entonces v*v=  Esto significa que

(9)

De esta forma se puede obtener la raíz cuadrada en (8), y se tiene (10)(11)

 TEOREMA:  si S= es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero, entonces S es linealmente independiente.

Suponga que Entonces, para cualquier i=1,2,…,k

Como v≠0 por hipótesis |v|2>0 y se dice que c=0. Esto es cierto para i=1,2,…,k, lo que completa la prueba.

Proceso de ortonormalizacion de Gram-SchmidtSea H un subespacio de dimensión m de Rn. Entonces H tiene una base ortonormal.

Sea S=  una base de H. se probara el teorema construyendo una base ortonormal a partir de vectores en S. antes de dar los pasios para esta construccion, se observa el

hecho sencillo de que un conjunto de vectores linealmente independiente no contiene al vector cero.

Paso 1. Eleccion del primer vector unitario

Sea (12) 

Entonces

 De manera que |u|=1.

Paso 2. Eleccion de un segundo vector ortogonal a u

Como anteriormente se ha visto que, en R2, el vector  es la ortogonal a v. en

este caso  es la proyeccion de u sobre v. esto se ilustra en la siguiente figura.

Resulta que el vector w dado es ortogonal a v cuando w y v están en Rn para cualquier n≥2.

Obsérvese que como u es un vector unitario,  para cualquier vector v.

Sea (13) 

entonces   de manera que v’ es

ortogonal a u. mas aun, por el teorema, u y v´son linealmente independientes. v’≠0 porque de otra

manera   lo que contradice la independencia de v1 y v2.

Paso 3. Elección de un segundo vector unitario

Sea (14)   entonces es evidente que {u1,u2} es un conjunto ortonormal.Suponga que se han construido los vectores u1, u2,…,uk(k<m) y que forman un conjunto ortonormal. Se mostrara como construir uk+1.

Paso 4. Continuación del proceso

Sea (15)   entonces para i=1,2,

…,k 

Pero   Por lo

tanto, 

Así,   es un conjunto linealmente independiente, ortogonal y v´k+1≠0.

Paso 5

Sea 

Entonces es claro que   es un conjunto ortonormal y se puede continuar de esta manera hasta que k+1=m con lo que se completa la prueba.

Nota. Como cada u es una combinación lineal de vectores v, gen   es un

subespacio de gen   y como cada espacio tiene dimensión k, los espacio son iguales.