Espacios Vectoriales

Definición:

Es una estructura algebraica creada a partir d un conjunto no vacío con una operación interna (llamada suma), y una operación externa(llamada producto por un ESCALAR) definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático.

Espacios Vectoriales

Sea V un conjunto no vacío y K un campo

V como espacio vectorial sobre el campo K se nota de la siguiente forma:(V,K,+, )

Espacios Vectoriales Comunes

( V , K , + , * ) GENÉRICO EJEMPLO

a + bx 3 - x 0 + 0 x

( a , b ) ( 2 , 5 ) ( 0, 0 )

( a , b , c ) ( 4 , -6 , 2 ) ( 0 , 0 , 0 )

Espacios Vectoriales Comunes

.

Propiedades de las Operaciones

.

SUBESPACIO VECTORIAL

Se llama subespacio vectorial (S) de un espacio vectorial V a cualquier

subconjunto no vacío, talque, es espacio vectorial con las mismas

operaciones definidas sobre V.

Si V es un espacio vectorial , entonces:

Caracterización de subespacios vectoriales

Operaciones de subespacios vectoriales

Sea (V, +, K, *) un espacio vectorial; (S, +, K, *) y (W, +, K, *) subespacios de V, se definen las siguientes operaciones:

Unión

En la gran mayoría de los casos la unión de dos subespacios no es un subespacio de V, pues no se cumple con la ley de composición interna. Sí pertenece de forma segura la unión a V en los casos en que S este contenido en W o viceversa.

Intersección

La intersección de dos subespacios es un subespacio de V.

Suma

La suma de dos subespacios es un subespacio de V.

Suma directa

Si la intersección entre S y W es el subespacio trivial (es decir, el vector nulo), y S+W=L, donde L es subconjunto de V, entonces a la suma se la llama "suma directa".

CONDICIONES PARA QUE SE CUMPLA UN SUBESPACIO VECTORIAL

Sea F una parte no vacía del K-espacio vectorial V. F es un subespacio vectorial de V, con las operaciones + y . inducidas por V, si solo si se verifican las siguientes condiciones.

DEMOSTRACION

FIN