UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA

FACULTAD DE INGENIERIA

CAMPUS CAGUA

INGENIERIA DE PROCESOS INDUSTRIALES

ALGEBRA LINEAL

ESPACIOS VECTORIALES

Profesora

DHORYVEL CABRERA

AGOSTO 2010

ESPACIOS VECTORIALES

Un Espacio Vectorial Real V es conjunto de objetos, llamados vectores, junto con dos operaciones

llamadas suma (denotada por x + y) y multiplicación por un escalar (denotada por αx) que satisfacen los

siguientes axiomas:

i. Si x є V y y є V, entonces x + y є V (cerradura bajo la suma)

ii. Para toda x, y y z en V, (x + y) + z = x + (y + z) (ley asociativa de la suma de vectores)

iii. Existe un vector 0 є V tal que para toda x є V, x + 0 = 0 + x = x (0 es el idéntico aditivo)

iv. Si x є V, existe un vector –x en V tal que x + (-x ) = 0 (-x es el inverso aditivo de x)

v. Si x y y están en V, entonces x + y = y + x (ley conmutativa de la suma de vectores)

vi. Si x є V y α es un escalar, entonces αx є V (cerradura bajo la multiplicación por un escalar)

vii. Si x y y están en V y α es un escalar, entonces α(x + y) = αx + αy (primera ley distributiva)

viii. Si x є V y α y β son escalares, entonces (α + β) x = αx + βx (segunda ley distributiva)

ix. Si x є V y α y β son escalares, entonces α(β) x = αβx (ley asociativa de la multiplicación por un

escalar)

x. Para todo vector x є V, 1x = x (1 es el idéntico multiplicativo)

El Espacio Rn = {(x1, x2,…, xn): xi є R para i = 1,2,…, n}

El Espacio Pn = {polinomios de grado ≤ n}

El Espacio F[a,b] = {funciones reales continuas en el intervalo [a,b]}

El Espacio Mmn = {matrices de m x n con coeficientes reales}

El Espacio Cn = {(c1, c2,…, cn): ci є C para i = 1,2,…, n} C denota el conjunto de los números complejos

Propiedades de los espacios vectoriales

Sea V un espacio vectorial

1. 0 . u = O ∀ u ∈ V

2. α . O = O , ∀ α ∈ K

3. α . u = O → α = 0 ó u = O

4. (- α)u = -(αu) , ∀ u ∈ V y ∀ α ∈ K. En particular -u = (-1)u = -( 1u)

SUBESPACIOS

Un Subespacio S de un espacio vectorial V es un conjunto de V que es en sí un espacio vectorial.

Un subespacio no vacío S de un espacio vectorial V es un subespacio de V si las dos siguientes reglas se

cumplen:

i. Si x є S y y є S, entonces x + y є S

ii. Si x є S, entonces αx є S para cada escalar α

Un Subespacio propio de un espacio vectorial V es un subespacio de V diferente de {0} y de V.

Una Combinacion Lineal de los vectores v1, v2,…, vn en un espacio vectorial V es una suma de la forma

α1v1 + α2v2 +…+ αnvn donde α1, α2,…, αn son escalares.

Se dice que los vectores v1, v2,…, vn en un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede

expresar como una combinación lineal de v1, v2,…, vn.

El conjunto generado por un conjunto de vectores v1, v2,…, vk en un espacio vectorial V es el conjunto de

combinaciones lineales de v1, v2,…, vk.

Gen {v1, v2,…, vk} es un subespacio de V.

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

Se dice que los vectores v1, v2,…, vn en un espacio vectorial V son linealmente dependientes si existen

escalares c1, c2,…, cn no todos ceros tales que c1v1 + c2v2 +…+ cnvn = 0. Si los vectores no son linealmente

dependientes, se dice que son linealmente independientes.

Dos vectores en un espacio vectorial V son linealmente dependientes si y sólo si uno es un múltiplo

escalar del otro.

Cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en Rn genera a Rn.

Un conjunto de n vectores en Rm es linealmente dependiente si n > m.

BASE

Un conjunto de vectores v1, v2,…, vn es una base para un espacio vectorial V sí:

i. {v1, v2,…, vn} es linealmente independiente

ii. {v1, v2,…, vn} generan a V

Todo conjunto de n vectores linealmente independientes en Rn es una base de Rn.

La base canónica en Rn consiste en n vectores

e1=

0

0

0

1

, e2=

0

0

1

0

, e3=

0

1

0

0

,…, en=

1

0

0

0

DIMENSION

Si el espacio vectorial V tiene una base finita, entonces la dimensión de V es el número de vectores en

cada base y V se llama un espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera V se llama espacio vectorial de

dimensión infinita. Si V = {0}, entonces se dice que V tienen dimensión cero.

La dimensión de V se denota por dim V.

Si S es un subespacio del espacio vectorial de dimensión finita V, entonces dim S ≤ dim V.

Los únicos subespacios propios de R3 son los conjuntos de vectores que están en una recta o en un plano

que pasa por el origen.

El Espacio nulo de una matriz A n x n es el subespacio de Rn dado por:

NA = {(x є Rn: Ax = 0}.

La nulidad de una matriz A de n x n es la dimensión de NA y se denota ν(A).

Sea A una matriz de m x n, la imagen de A, denotado por imagen A, es el subespacio de Rm dado por:

Imagen A = {(y є Rm: Ax = y para alguna x є Rn}.

El Rango de A, denotado por ρ(A), es la dimensión de la imagen A.

El Espacio de los renglones de A, denotado por RA, es el espacio generado por los renglones (filas) de A y

es un subespacio de Rn.

El Espacio de las columnas de A, denotado por CA, es el espacio generado por las columnas de A y es un

subespacio de Rm.

Si A una matriz de m x n, entonces CA = imagen A y dim RA = dim CA = dim imagen A = ρ(A); más aún,

ρ(A) + ν(A) = n.

TEOREMA DE RESUMEN

Sea A una matriz de n x n. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

xi. A es invertible

xii. La única solución al sistema homogéneo Ax = 0 es la solución trivial (x = 0)

xiii. El sistema Ax = b tiene una solución única para todo n-vector b

xiv. A es equivalente por renglones a la matriz identidad de n x n, In

xv. A se puede expresar como el producto de matrices elementales

xvi. La forma escalonada por renglones de A tiene n pivotes

xvii. Las columnas (y renglones) de A son linealmente independientes

xviii. det A ≠ 0

xix. ν(A) = 0

xx. ρ(A) = n

ESPACIO CON PRODUCTO INTERNO

El espacio vectorial real V se llama un Espacio con Producto Interno si cada par de vectores u y v en V

existe un numero real único (u, v), llamado producto interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y α є R,

entonces

i. (u, u) ≥ 0

ii. (u, u) = 0 si y solo si u = 0

iii. (u, v + w) = (u, v) + (u, w)

iv. (u + v, w) = (u, w) + (v, w)

v. (u, v) = (v, u)

vi. (αu, v) = α(u, v)

vii. (u, αv) = α(u, v)

El producto punto en Rn, (u, v) = u·v = u1v1 + u2v2 +… + unvn, donde u = (u1, u2,…, un) y v = (v1, v2,…, vn), es

un producto interno. Se le llama producto interno estándar (o canónico) en Rn.

Otro ejemplo en R2, definimos (u, v) = u·v = u1v1 - u2v1 – u1v2 + 3u2v2, donde u = (u1, u2) y v = (v1, v2),

resolviendo (u, u) = u12 – 2u1u2 + 3u2

2, nos queda (u, u) = u12 –2 u1u2 + u2

2 + 2u22 = (u1 – u2)

2 + 2u22 ≥ 0. Cumple

con la primera condición, es un producto interno R2 pero no es el producto interno estándar en R2, por lo tanto

se demuestra que en un espacio vectorial se pueden tener distintos productos internos.

Si V es un espacio vectorial con producto interno, la dimensión de V es la dimensión de V como espacio

vectorial real; además un conjunto S es una base para V si es una base para el espacio real V.

La longitud de un vector u se define como uuu , .

COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE

BASE ORDENADA

Si S = {v1, v2,…, vn} es una base ordenada de un espacio vectorial V de dimensión n. S1 = { v2, v1, …, vn} es

una base ordenada para el espacio vectorial V de dimensión n, diferente a la anterior.

COORDENADAS

Si S = {v1, v2,…, vn} es una base ordenada de un espacio vectorial V de dimensión n, entonces cada vector v

en V se puede expresar en forma única como v = c1v1 + c2v2 +…+ cnvn donde c1, c2,…, cn son números reales. La

expresión [v]s =

nc

c

c

2

1

es el vector de coordenadas de v con respecto a la base ordenada S. Las entradas de [v]s

son las coordenadas de v con respecto S.

EJEMPLO

Sea S = {v1, v2, v3, v4} una base para R4, donde v1 = (1,1,0,0), v2= (2,0,1,0), v3= (0,1,2,-1), v4= (0,1,-1,0).

Si v = (1,2,-6,2), calcule [v]s

Solución

Calculamos las constantes c1, c2, c3, c4, tales como c1v1 + c2v2 + c3v3+ c4v4 = v (combinación lineal)

Esto se logra resolviendo la matriz aumentada TTTTT vvvvv 4321 . (Resuelva la matriz)

La solución es c1 = 3, c2= -1, c3= -2, c4= 1.

Por lo tanto el vector de coordenadas de v con respecto a la base S es [v]s =

1

2

1

3

MATRIZ DE TRANSICION

Sea B1 = {u1, u2,…, un} y B2 = {v1, v2,…, vn} dos bases para el espacio vectorial V. Si x є V y

x = b1u1 + b2u2 +…+ bnun = c1v1 + c2v2 +…+ cnvn entonces se escribe (x)B1=

nb

b

b

2

1

y (x)B2=

nc

c

c

2

1

.

Suponga que (uj)B2=

nj

j

j

a

a

a

2

1

. Entonces la matriz de transición de B1 a B2 es la matriz de n x n

A =

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

Más aún, (x)B2= A(x)B1

Si A es la matriz de transición de B1 a B2, entonces A-1 es la matriz de transición de B2 a B1.

Procedimiento para calcular la matriz de transición TSP de la base T = {w1, w2,…, wn} a la base S = {v1,

v2,…, vn} para V:

Paso 1. Calcule el vector de coordenadas de wj, j = 1,2,…,n con respecto a la base S. Es decir, expresar a wj

como combinación lineal de las vector en S: a1jv1 + a2jv2 +…+ anjvn = wj, j = 1,2,…,n. Los valores de a1j, a2j,…, anj se

determinan resolviendo la matriz aumentada [v1 v2 … vn | w1 | w2 |… |wn ]

Paso 2. La matriz de transición TSP de la base T a la base S se forma tomando el vector [wj]S como j-

ésima columna de la matriz pedida, TSP .

Si TSP es la matriz de transición de la base T a la base S, entonces TSP es no singular y 1

TSP es la

matriz de transición de la base S a la base T.

EJEMPLO

Sea V igual a R3, y sean S = {v1, v2, v3} y T = {w1, w2, w3} bases para R3, donde

v1 =

1

0

2 , v2=

0

2

1 , v3=

1

1

1 y w1 =

3

3

6 , w2=

3

1

4 , w3=

2

5

5 .

a) Calcule la matriz de transición TSP de la base T a la base S.

b) Verifique [v]S = TSP [v]T para v =

5

9

4 .

Solución

a) Para calcular TSP , determinamos a1, a2, a3, tales que a1v1 + a2v2 + a3v3 = w1 para ello se resuelve las

matrices aumentadas [v1 v2 v3 w1 ] [v1 v2 v3 w2 ] [v1 v2 v3 w3] las cuales podemos transformar

simultáneamente transformando la matriz por bloques [v1 v2 v3 w1 w2 w3]. Esto significa

111100

211010

122001

233101

513120

546112 de la cual se deduce que la matriz de transición TSP de la

base T a la base S es

111

121

122

TSP .

b) Si v =

5

9

4 esta expresado en términos de la base T debemos escribirlo como combinación lineal de w1,

w2 y w3. Lo cual conduce a v =

5

9

4=

2

5

5

2

3

1

4

2

3

3

6

1= 1w1 + 2w2 - 2 w3. Por lo tanto [v]T =

2

2

1

Ahora resolvemos TSP [v]T =

111

121

122

2

2

1=

1

5

4.

Calculando [v]S directamente nos queda v =

5

9

4=

1

1

1

1

0

2

1

5

1

0

2

4= 4v1 – 5v2 + 1v3, es decir que

[v]S =

1

5

4 , igual al resultado anterior. Queda verificada la ecuación.

EJERCICIOS

Consideraremos todas las bases como bases ordenadas. En los ejercicios 1 al 4, calcule el vector

coordenada de v con respecto a la base dada S para V.

1. V es R2, S =

1

0,

0

1 , v =

2

3

2. V es R3, S = {(1,-1,0), (0,1,0), (1,0,2)}, v = (2,-1,-2)

3. V es P2, S = {t2 – t + 1, t + 1, t2 + 1}, v =4t2 – 2t + 3

4. V es M22, S =

10

00,

00

10,

01

00,

00

01 , v =

21

01

Calcule el vector v si el vector de coordenadas [v]S está con respecto a la base B

5. V es R3, S = {(0,1,-1), (1,0,0), (1,1,1)}, [v]S =

2

1

1

6. V es P1, S = { t, 2t – 1}, [v]S =

3

2

7. V es M22, S =

00

10,

01

01,

10

31,

00

21 , [v]S =

3

1

1

2

8. Sean S = {(1,2), (0,1)} y T = {(1,1), (2,3)} bases para R2. Sean v = (1,5) y w = (5,4).

a. Determine los vectores de coordenadas de v y w con respecto a la base T.

b. ¿Cuál es la matriz de transición TSP de la base T a la base S?

c. Determine directamente los vectores de coordenadas de v y w con respecto a la base S.

d. Determine la matriz de transición STQ de la base S a la base T.

e. Determine los vectores de coordenadas de v y w con respecto a la base T utilizando STQ .

Compare las respuestas con las de(a).

9. Igual que el ejercicio 8 pero con S =

11

00,

10

20,

01

10,

00

01 y

T =

00

01,

10

00,

01

00,

00

11 bases para M22; con v =

11

11 y w =

12

21

10. Sean S = {v1, v2} y T = {w1, w2} bases para R2, donde v1 = (1,2), v2= (0,1). Si la matriz de transición de S a

T es

11

12 , determine los vectores de la base T.