Esquemas Formales Débiles
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Esquemas Formales Debiles
J. Rogelio Perez Buendıa
Centro de Investigacion en Matematicas (CIMAT)
Seminario de estudio en cohomologıa p-adica de De Rham
11 de febrero de 2016
Completacion de un Anillo
A un anillo conmutativo con uno I ⊂ A un ideal.
Definicion
La completacion de A respecto al ideal I es el anillo
A := lim←−n>1
A/I n ⊂∏n>1
A/I n
Tambien decimos que A es la completacion I -adica de A.
Tenemos un morfismo canonico de anillos A→ A inducido por las
proyecciones A→ A/I n.
Similarmente si M es un A-modulo, entonces definimos la completacion
I -adica de M como:
M := lim←−M/I nM
con su estructura natural de A-modulo.
Completacion de un Anillo
A un anillo conmutativo con uno I ⊂ A un ideal.
Definicion
La completacion de A respecto al ideal I es el anillo
A := lim←−n>1
A/I n ⊂∏n>1
A/I n
Tambien decimos que A es la completacion I -adica de A.
Tenemos un morfismo canonico de anillos A→ A inducido por las
proyecciones A→ A/I n.
Similarmente si M es un A-modulo, entonces definimos la completacion
I -adica de M como:
M := lim←−M/I nM
con su estructura natural de A-modulo.
Propiedades
I Tenemos que A/I n ' A/I n.
I Si M es de tipo finito, entonces M ' M ⊗A A.
I El funtor M → M es exacto en la categorıa de A-modulos de tipo
finito.
I A es un anillo noetheriano.
Propiedades
I Tenemos que A/I n ' A/I n.
I Si M es de tipo finito, entonces M ' M ⊗A A.
I El funtor M → M es exacto en la categorıa de A-modulos de tipo
finito.
I A es un anillo noetheriano.
Propiedades
I Tenemos que A/I n ' A/I n.
I Si M es de tipo finito, entonces M ' M ⊗A A.
I El funtor M → M es exacto en la categorıa de A-modulos de tipo
finito.
I A es un anillo noetheriano.
Propiedades
I Tenemos que A/I n ' A/I n.
I Si M es de tipo finito, entonces M ' M ⊗A A.
I El funtor M → M es exacto en la categorıa de A-modulos de tipo
finito.
I A es un anillo noetheriano.
Completacion Formal
Sea X un esquema noetheriano y sea Y → X una inmersion cerrada
definida por la gavilla de ideales I.
Definicion
La completacion formal de X respecto a Y es el espacio anillado:
X := (X ,OX )
tal que:
I X = Y como espacio topologico.
I OX := lim←−OX/In considerada como gavilla en Y .
Decimos que el anillo A es completo respecto a la topologıa I -adica si
A ' A. En particular A es completo.
Completacion Formal
Sea X un esquema noetheriano y sea Y → X una inmersion cerrada
definida por la gavilla de ideales I.
Definicion
La completacion formal de X respecto a Y es el espacio anillado:
X := (X ,OX )
tal que:
I X = Y como espacio topologico.
I OX := lim←−OX/In considerada como gavilla en Y .
Decimos que el anillo A es completo respecto a la topologıa I -adica si
A ' A. En particular A es completo.
El caso afın
Si X = Spec(A) es un esquema afın y si Y = Spec(A/I) es un
subesquema cerrado afın, entonces tenemos que:
Γ(OX , X ) = A
es la completacion I -adica de A.
I X es de hecho un espacio localmente anillado
I Los anillos locales de X no son completos en general.
El caso afın
Si X = Spec(A) es un esquema afın y si Y = Spec(A/I) es un
subesquema cerrado afın, entonces tenemos que:
Γ(OX , X ) = A
es la completacion I -adica de A.
I X es de hecho un espacio localmente anillado
I Los anillos locales de X no son completos en general.
Completacion de gavillas coherentes
Sea X un esquema y Y → X una inmersion cerrada determinada por la
gavilla de ideales I. Sea F una gavilla coherente en X .
Definicion
La completacion de F respecto a Y es la gavilla en Y :
F := lim←−F/InF
con su estructura natural de OX -modulo (y por lo tanto es una gavilla
coherente en X ).
La categorıa de esquemas formales noetherianos
Definicion
Un Esquema Formal Noetheriano es un espacio localmente anillado
(X,OX) que tiene una cubierta abierta finita {Ui } de tal manera que para
cada i el par (Ui ,OUi) es isomorfo, como espacio localmente anillado, a
la completacion de un esquema Xi respecto a una inmersion cerrada Yi .
Un Morfismo de esquemas formales noetherianos es un morfismo de
espacios localmente anillados.
Una gavilla F es coherente si existe una cubierta como la descrita en el
primer parrafo, {Ui } con Ui ' Xi tal que para cada i F|i es isomorfa a una
gavilla coherente Fi de Xi .
La categorıa de esquemas formales noetherianos
Definicion
Un Esquema Formal Noetheriano es un espacio localmente anillado
(X,OX) que tiene una cubierta abierta finita {Ui } de tal manera que para
cada i el par (Ui ,OUi) es isomorfo, como espacio localmente anillado, a
la completacion de un esquema Xi respecto a una inmersion cerrada Yi .
Un Morfismo de esquemas formales noetherianos es un morfismo de
espacios localmente anillados.
Una gavilla F es coherente si existe una cubierta como la descrita en el
primer parrafo, {Ui } con Ui ' Xi tal que para cada i F|i es isomorfa a una
gavilla coherente Fi de Xi .
La categorıa de esquemas formales noetherianos
Definicion
Un Esquema Formal Noetheriano es un espacio localmente anillado
(X,OX) que tiene una cubierta abierta finita {Ui } de tal manera que para
cada i el par (Ui ,OUi) es isomorfo, como espacio localmente anillado, a
la completacion de un esquema Xi respecto a una inmersion cerrada Yi .
Un Morfismo de esquemas formales noetherianos es un morfismo de
espacios localmente anillados.
Una gavilla F es coherente si existe una cubierta como la descrita en el
primer parrafo, {Ui } con Ui ' Xi tal que para cada i F|i es isomorfa a una
gavilla coherente Fi de Xi .
Ejemplos triviales
I Si Y es un subesquema cerrado del esquema noetheriano X ,
entonces X es un esquema formal (Esquemas formal algebraizable).
I Si tomamos Y = X entonces X = X ası que la categorıa de
esquemas formales noetherianos contiene a la categorıa de esquemas
noetherianos.
Esquema formal afın
Definicion
Un esquema formal (noetheriano) es afın si se obtiene como la
completacion de un esquema afın noetheriano respecto a un subesquema
cerrado.
X = Spec(A), Y = V(I), X = X.
Si M es un A-modulo finitamente generado, entonces definimos la gavilla
M∆ en X como la completacion de la gavilla coherente M en X . Esta es
obviamente una gavilla coherente en X.
Notacion
Sea R un anillo (local) noetheriano con ideal (maximal) m.
Para a ∈ R definimos el orden de a respecto a m, denotado por ordm(a)
como el entero n tal que a ∈ mn pero a /∈ mn+1.
En particular ordm(a) = 0 ⇐⇒ a ∈ R× para R local.
Completacion debil
Definicion
Una R-algebra A† es Debilmente completa si se cumple que:
I A† es Hausdorff respecto a la topologıa m-adica. Es decir si
∩mn = (0).
I Si f =∑
|i |>0 aiXi ∈ R[[X ]] es una serie de potencias con
coeficientes en R tal que para alguna constante c y para toda
n-tupla i :
c[ordm(ai )] > |i |
es decir si f esta en la completacion m-adica de R[X ]; entonces para
toda n-tupla a ∈ A†n
se tiene que f (a) ∈ A†.
Completacion debil
Definicion
Una R-algebra A† es Debilmente completa si se cumple que:
I A† es Hausdorff respecto a la topologıa m-adica. Es decir si
∩mn = (0).
I Si f =∑
|i |>0 aiXi ∈ R[[X ]] es una serie de potencias con
coeficientes en R tal que para alguna constante c y para toda
n-tupla i :
c[ordm(ai )] > |i |
es decir si f esta en la completacion m-adica de R[X ]; entonces para
toda n-tupla a ∈ A†n
se tiene que f (a) ∈ A†.
Completacion debil
Definicion
La completacion debil de una R-algebra A, es el algebra debilmente
completa mas pequena A† ⊂ A tal que contiene a A.
Es decir, que satisface la propiedad universal:
Debilmente completa finitamente generada
Definicion
Una algebra A† debilmente completa es llamada (dcfg) debil completa
finitamente generada si existe una coleccion finita de elementos
a1, a2, . . . , ak ∈ A† tal que para todo a ∈ A† existe una serie de potencias
f en n-variables tal que:
a = f (a1, . . . , an)
Claramente la completacion debil de una algebra R finitamente generada
es una dcfg algebra.
Esquema formal debil afın
Definicion
I un esquema formal debil afın es un espacio (X,OX) localmente
anillado tal que para alguna dcfg R-algebra A† el espacio topologico
asociado es:
X = Spec(A†/mA†)
I y la gavilla estructural OX esta descrita en sus abiertos basicos
principales (en terminos de la B-gavilla): Para [f ] ∈ A†/mA†
denotamos por Xf el abierto principal basico correspondiente.
Entonces:
Γ(Xf ,OX) := (A†f )†
la completacion debil de la localizacion A†f para cualquier
representante f de [f ] en A†.
Esquema formal debil afın
Definicion
I un esquema formal debil afın es un espacio (X,OX) localmente
anillado tal que para alguna dcfg R-algebra A† el espacio topologico
asociado es:
X = Spec(A†/mA†)
I y la gavilla estructural OX esta descrita en sus abiertos basicos
principales (en terminos de la B-gavilla): Para [f ] ∈ A†/mA†
denotamos por Xf el abierto principal basico correspondiente.
Entonces:
Γ(Xf ,OX) := (A†f )†
la completacion debil de la localizacion A†f para cualquier
representante f de [f ] en A†.
Esquema formal debil
Definicion
Un (pre)esquema formal debil es un espacio localmente anillado
(X,OX) que es localmente isomorfo a esquemas formales debiles afines.
Teoremas de Meredith
I Si R es un anillo de valuacion discreta completo y si (X,OX) es el
esquema formal debil asociado a una algebra A† debilmente
completa finitamente generada (dcfg), entonces:
Se tiene una equivalencia entre las categorıas:
{Gavillas coherentes de OX-modulos} ⇐⇒{
A†-modulos f.g.}
Teoremas de Meredith
I Si (X ,OX ) es un esquema (ordinario) de R-algebras propio sobre R
con completacion debil (X,OX) y si F es una gavilla coherente de
OX -modulos con completacion debil F, entonces el mapeo natural:
H i (X , F ) −→ H i (X,F)
es biyectivo.
Teoremas de Meredith
Si R es un dominio de valuacion discreta completo y si (X ,OX ) es un
R-esquema proyectivo con completacion formal debil (X,OX) entonces el
funtor “Completacion debil” es una equivalencia entre la categorıa:
{OX -modulos coherentes} ⇐⇒ { OX-modulos coherentes }
Referencia: Meredith, D. (1971). Weak formal schemes. Nagoya Math J.
Teoremas de Meredith
Si R es un dominio de valuacion discreta completo y si (X ,OX ) es un
R-esquema proyectivo con completacion formal debil (X,OX) entonces el
funtor “Completacion debil” es una equivalencia entre la categorıa:
{OX -modulos coherentes} ⇐⇒ { OX-modulos coherentes }
Referencia: Meredith, D. (1971). Weak formal schemes. Nagoya Math J.
Notacion y Convencion
I Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.
Denotamos por Rs : −R/I s para s > 1. En particular R1 = R/I .
I Llamaremos simplemente algebra †-adica a un algebra A† debilmente
completa.
I A un esquema formalmente debil (X,OX ) lo llamaremos
simplemente esquema †-adico y lo denotaremos por X†.
I Dado un esquema †-adico X† = (X,OX), definimos su reduccion
(modulo el ideal m ⊂ R) como el esquema:
(X,OX/m)
en donde OX/m := OX ⊗R R/m. Decimos que X† es un
levantamiento de su reduccion.
I Si X† es un esquema †-adico, entonces denotaremos a su gavilla
estructural por OX† .
Notacion y Convencion
I Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.
Denotamos por Rs : −R/I s para s > 1. En particular R1 = R/I .
I Llamaremos simplemente algebra †-adica a un algebra A† debilmente
completa.
I A un esquema formalmente debil (X,OX ) lo llamaremos
simplemente esquema †-adico y lo denotaremos por X†.
I Dado un esquema †-adico X† = (X,OX), definimos su reduccion
(modulo el ideal m ⊂ R) como el esquema:
(X,OX/m)
en donde OX/m := OX ⊗R R/m. Decimos que X† es un
levantamiento de su reduccion.
I Si X† es un esquema †-adico, entonces denotaremos a su gavilla
estructural por OX† .
Notacion y Convencion
I Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.
Denotamos por Rs : −R/I s para s > 1. En particular R1 = R/I .
I Llamaremos simplemente algebra †-adica a un algebra A† debilmente
completa.
I A un esquema formalmente debil (X,OX ) lo llamaremos
simplemente esquema †-adico y lo denotaremos por X†.
I Dado un esquema †-adico X† = (X,OX), definimos su reduccion
(modulo el ideal m ⊂ R) como el esquema:
(X,OX/m)
en donde OX/m := OX ⊗R R/m. Decimos que X† es un
levantamiento de su reduccion.
I Si X† es un esquema †-adico, entonces denotaremos a su gavilla
estructural por OX† .
Notacion y Convencion
I Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.
Denotamos por Rs : −R/I s para s > 1. En particular R1 = R/I .
I Llamaremos simplemente algebra †-adica a un algebra A† debilmente
completa.
I A un esquema formalmente debil (X,OX ) lo llamaremos
simplemente esquema †-adico y lo denotaremos por X†.
I Dado un esquema †-adico X† = (X,OX), definimos su reduccion
(modulo el ideal m ⊂ R) como el esquema:
(X,OX/m)
en donde OX/m := OX ⊗R R/m. Decimos que X† es un
levantamiento de su reduccion.
I Si X† es un esquema †-adico, entonces denotaremos a su gavilla
estructural por OX† .
Notacion y Convencion
I Sea R un anillo conmutativo con uno, y sea I ⊂ R un ideal.
Denotamos por Rs : −R/I s para s > 1. En particular R1 = R/I .
I Llamaremos simplemente algebra †-adica a un algebra A† debilmente
completa.
I A un esquema formalmente debil (X,OX ) lo llamaremos
simplemente esquema †-adico y lo denotaremos por X†.
I Dado un esquema †-adico X† = (X,OX), definimos su reduccion
(modulo el ideal m ⊂ R) como el esquema:
(X,OX/m)
en donde OX/m := OX ⊗R R/m. Decimos que X† es un
levantamiento de su reduccion.
I Si X† es un esquema †-adico, entonces denotaremos a su gavilla
estructural por OX† .
Criterios de Afinidad
Teorema
Un esquema †-adico X† es afın si, y solo si su reduccion (esquema sobre
R1 := R/m) es afın.
Corolario
El espacio localmente anillado inducido sobre un abierto afın por un
esquema †-adico, es un esquema †-adico afın.
levantamiento
Criterios de Afinidad
Teorema
Un esquema †-adico X† es afın si, y solo si su reduccion (esquema sobre
R1 := R/m) es afın.
Corolario
El espacio localmente anillado inducido sobre un abierto afın por un
esquema †-adico, es un esquema †-adico afın.
levantamiento
...Continuara
Siguiente semana: Criterios de afinidad y esquemas †-adicos lisos.