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IV: Estadstica Descriptiva

1.- ESTADSTICA DESCRIPTIVAII.

El pensamiento estadstico ser un dia tan necesario para elciudadano como la capacidad de leer o escribir.

H.G. Wells

1.-Fenmenos aleatorios y determinsticos

1.1.-Introduccin. Qu es la Estadstica Descriptiva?

Que es la estadstica ? .

La palabra estadstica se emplea con dos significados distintos :

a) Estadsticas ( en plural ) selecciones de datos numricos presentados en formaesquemtica y ordenada.b) Estadstica como ciencia.

Para el alumno la estadstica debe tener el significado de la opcin b) y desde este puntopodemos dar la definicin de estadstica como:

" la ciencia que estudia la tcnica o mtodo que se sigue para recoger,organizar, resumir, representar, analizar, generalizar y predecir resultados delas observaciones de fenmenos aleatorios. "

Partes de la estadstica, en esquema:

E S T A D I S T I C A

DESCRIPTIVA :

INFERENCIAL :

Encuestas. Organizacin datos. Tabulacin. Representaciones. Clculo de parmetros. Interpretacin de resultados. Conclusiones y predicciones.

1.2.-Fenmenos aleatorios y determinsticos. Ejemplos Decimos que un fenmeno o experimento es aleatorio si rene las siguientes caractersticas: a) Podemos realizarlo el nmero de veces que deseemos sin alterar las

condiciones del experimento.b) No se puede predecir el resultado.


Ejemplos: lanzar una moneda al aire, un dado, extraer una carta de la baraja, hallar el nmero detornillos defectuosos entre 10 elegidos al azar en una caja.

Si no cumple alguna de las condiciones establecidas, estamos ante un fenmeno oexperimento determinstico. Son ejemplos de este tipo: tirar una piedra al vaco y medir suaceleracin. Se caracteriza por que podemos preveer su resultado, en contra de los fenmenosaleatorios. Los fenmenos que estudia la estadstica son los aleatorios.

Otros conceptos como poblacin estadstica, unidad estadstica, muestra, tamao muestral, sonestudiados con ms profundidad en Mtodos Estadsticos.

2.-Variable estadstica monodimensional: tipos

2.1.-Variable estadstica. Definicin y ejemplos.

Consideramos un experimento o muestra de una poblacin cualquiera y realizamos 'n'pruebas o 'n' observaciones, de esta forma obtenemos un conjunto de observaciones quellamaremos muestra aleatoria de tamao 'n'. Los valores o cualidades que representan los 'n'resultados de las 'n' pruebas realizadas le llamaremos variable estadstica.

2.2.-Clasificacion de las variables estadsticas: cualitativas y cuantitativas(discretas y continuas).

Hemos visto que un carcter estadstico es una propiedad que permite clasificar a losindividuos de la poblacin.

Hay dos tipos:

a) Caracteres estadsticos cuantitativos:Se dice que un carcter estadstico es cuantitativo cuando sus modalidades sonmedibles (expresables como nmeros y cumpliendo unas propiedades demedida.). Ejemplos: peso, talla, pulso, edad, etc.

b) Caracteres estadsticos cualitativos:Se dice que un carcter estadstico es cualitativo cuando sus modalidades nopueden ser medidas. Ejemplos: raza, sexo, profesin, estado civil, etc.

Nota: Es evidente , por ejemplo, que si el carcter es el estado civil, podiamos asignarle asus modalidades los siguientes nmeros:a los casados 1 , solteros 0 , viudos un 2, etc, peroeste carcter no es medible en el sentido de que el 1>0 por ejemplo , expresin que no tienesentido.

Ejemplos:La profesin es un carcter cualitativo.Dentro de el podemos tener modalidades: profesor, pen, abogado, etc.


Lo anterior determina un atributo que puede ser observado pero no medido. Podemos contarel nmero de abogados o profesores, pero no medirlos. En cambio, un carcter cuantitativodetermina una variable que llamaremos variable estadstica. Atributos : se le suele llamar a lasvariables cualitativas.

La talla es un carcter cuantitativo. Es por lo tanto una variable estadstica que podemosmedir, puede tomar diversos valores: 1.60 , 1.62 , ......., 1.92 , ....etc .

Las variables estadisticas cuantitativas pueden ser: continuas o discretas. Variable estadstica

Discreta: es aquella que solo puede tomar un nmero finito o infinitonumerable de valores. Dicho con otras palabras: cuando no puede tomarcualquier valor entre dos valores dados. O bien solo toma valores aislados,generalmente enteros.

Ejemplo: el nmero de libros en una estanteria, las tiradas de un dado, elnmero de ptalos de una flor, etc.

Continua : cuando puede tomar, al menos tericamente, todos los valoresposibles dentro de un cierto intervalo de la recta real.

Ejemplo: la temperatura de los enfermos entre 35 y 40 grados, aunque en la prctica sea imposible medir temperaturas aproximando hasta la cuarta o quintacifra decimal. En la prctica son variables estadsticas continuas aquellas quefijamos como suceso elemental las que entren en un intervalo.

+QDiscretas +QCUANTITATIVAS)1 * .QContinuas VARIABLE ESTADSTICA )))1 * .QCUALITATIVAS (=atributos)

3.-Tablas De Frecuencias. Representaciones Graficas.

3.1.-Frecuencia absoluta y relativa. Frecuencias acumuladas

Nota sobre la notacin con sumatorios: cuando tenemos una serie de sumas podemos utilizar el signo E paraabreviar la notacin:


Si realizamos un experimento o tenemos una muestra de de tamao n, que tiene por variableestadstica xi y el valor de una de las variables es n', o el suceso ha ocurrido n' veces, entonces:

Llamamosfrecuencia absoluta del valor xi al nmero de veces que se repite dicho valor (n')

fr. abs (xi)= fi =n'

frecuencia absoluta acumulada del valor xi a la suma de las frecuenciasabsolutas de todos los valores anteriores a xi ms la fr. absoluta de xi.

Llamamos:frecuencia relativa del valor xi al cociente entre el nmero de veces que se repitexi (frecuencia absoluta) y el nmero de pruebas realizadas (n'/n).

Fr. rel (xi)= hi =n'/n

frecuencia relativa acumulada del valor xi a la suma de las frecuencias relativasde todos los valores anteriores a xi ms la fr. relativa de xi.

3.2.-Tabla de la distribucin de frecuencias.

LlamamosDistribucin de frecuencias absolutas a la aplicacin que asocia a cada valorde la variable estadistica su frecuencia absoluta. Anlogamente sera parafrecuencias relativas.

Tablas estadsticas a una presentacin en forma de tabla de la distribucin defrecuencias absolutas, que suele ir acompaado de las frecuencias relativas. Esteprimer ejemplo es una tabla estadistica simple.


Una tabla estadstica simple es la siguiente:

Notxi

F.abso.fi F.Relat. hi

0 1 2 3 4 5 6 7 8 910

1 2 1 4 6 15 4 3 2 1 1

0,03

40 1

Tabla estadisticas acumulativasLa tabla la podemos hacer con las frecuencias acumuladas, tanto relativas comoabsolutas

Var. Fr. absolutas Fr. Relativas

Notaxi

F.abso fi

Acumlad Fi

F. rel. hi Acumula Hi

0 1 2 3 4 5 6 7 8 910

1 2 1 4 6 15 4 3 2 1 1

0,03 0,00 0,00

40 40 1 1Ejemplo 3.2.1: de variable aleatoria continua y con los intervalos de igual tamao

Experimento:Muchas personas experimentan reacciones alrgicas a las picaduras de insectos. Estas reaccionesdifieren de paciente a paciente, no solo en la gravedad sino tambin en el tiempo de aparacin dela reaccin. En 40 personas se han obtenido los siguientes resultados:

10'5 11'2 9'9 15'0 11'4 12'7 16'5 10'1


12'7 11'4 11'6 6'2 7'9 8'3 10'9 8'1 3'8 10'5 11'7 8'4 12'5 11'2 9'1 10'4 9'1 13'4 12'3 5'9 11'4 8'8 7'4 8'613'6 14'7 11'5 11'5 10'9 9'8 12'9 9'9

Es una variable estadstica continua, porque entre el mnimo tiempo de reaccin en minutos (3'8)y el mximo (16'5) pueden darse todos los minutos. Como veremos ms adelante, tomamos 6 intervalosy por redondeo comenzomos en 3'75 en intervalos de 2'2, hasta 16'95.

Var. Fr. absolutas Fr. Relativas

Notaxi

F.abso fi

Acumlad Fi

F. rel. hi Acumula Hi

[ 3'75, 5'95)[ 5'95, 8'15)[ 8'15,10'35)[10'35,12'55)[12'55,14'75)[14'75,16'95]

2 4 10 16 6 2

0,05 0,00 0,00

40 1

AAproximadamente qu porcentaje de pacientes han experimentado una reaccin cuando hantranscurrido diez minutos?AEn que intervalo se ha presentado la reaccin en la mitad de los pacientes?.AQu representa las frecuencias acumuladas?

3.3.-Representacin grfica de las frecuencias.

Aun cuando las tablas estadsticas que hemos visto encierran toda la informacin, a veces esconveniente traducir esta informacin mediante la construccin de grficos con el fin dehacerlos ms expresivos. Los grficos ms habituales son los siguientes, que utilizaremos en un caso u otro, as comopueden hacerse con frecuencias absolutas o con frecuencias relativas

Diagramas de barras o bastones

Diagramas lineales

Poligono de frecuencias

Una combinacin de los dos anteriores, de manera que se determinan poligonos (trapecios)con la altura de las frecuencias. Hoy con los ordenadores pueden presentarse con aspecto detres dimensiones, como se ve en la figura.


Histograma

D. de Sectores

Histogramas

Utilizado sobre todo para distribuciones devariable estadistica continua, dondedividimos en intervalos generalmente deigual amplitud. Si hacemos de distintaamplitud hemos de cuidar en el diagrama quetengan la misma rea los rectangulosdeterminados.

Si representa a una variable discreta,como es este caso, es conveniente que losrectangulos no estn 'pegados'.

Diagrama de sectores

Consiste en representar, mediante sectorescirculares, las distintas modalidades de uncarcter, teniendo en cuenta que los sectoreshan de tener un ngulo central proporcional ala frecuencia absoluta correspondiente. Enconsecuencia, el rea del sector circular serproporiconal a la frecuencia absoluta.

Grficos con las tablas acumuladas


4.-Medidas caracteristicas

Tenemos la representacin en forma de tabla de una distribucin de frecuencias, hemos vistoalguna de sus representaciones grficas ms caracteristicas, pero todavia no es suficiente.

Por un lado las tablas pueden ser muy costosas para su interpretacin y no resumenadecuadamente la informacin. Por otro lado, es dificil comparar dos distribuciones distintas.

Por otro lado con las graficas pueden hacerse distorsiones y manipulaciones en:-Alteracin de las escalas.-Inicio de las escalas-Mantenimiento de la proporcionalidad de lineas.

Utilizaremos dos tipos de medidas, que llamaremos caractersticas.=Unas de medidas son para medir los valores centrales (medidas centrales).=Otras nos darn valores de cuan dispersos estn los datos respecto de losvalores centrales (medidas de dispersin)=Y por ltimo, otra para poder comparar distintas distribuciones entre s.

MEDIDAS CARACTERSTICASMEDIDAS CARACTERSTICAS

MEDIDAS DE CENTRALIZACION MEDIDAS DEDISPERSION

De tamao : Media aritmtica

De posicin: Mediana.

De frecuencia :Moda

Recorrido Desviacin Media Varianza

Desviacin Tpica.

MEDIDA PARA COMPARAR DISTRIBUCIONES Coeficiente de variacin de Pearson

Objetivo perseguido con las medidas : resumir y sintetizar un conjunto dedatos mediante un nico nmero o unos pocos.

4.1.-Medidas de centralizacion

Se llaman Medidas de centralizacin a los valores que tienden a situarse en el centro delconjunto de datos ordenados respecto a su magnitud.

Las medidas centrales ms importantes son:

Media aritmtica, Mediana, Moda.


Sea X una variable estadstica discreta que toma los valores: x1, x2, x3,.., xn con frecuenciasabsolutas f1, f2, f3,.., fn se llama media aritmtica o simplemente media:

se puede operar para transformar a travs de las frecuencias relativas.

Expresin mediante sumatorios:

Ejemplo: en el de notas _ 1@0+2@1+....+9@1+10@1 x = ))))))))))))))))))))))))) = 4.875 40

Ventajas e inconvenientes de la Media Aritmtica:

Ventajas: -El clculo se realiza con todos los valores de la variable.-Tiene un clculo sencillo, que aportan las calculadores actuales.-Su resultado es nico.

Inconvenientes: -Los efectos que sobre ella producen los valores extremos, que muchas veces sonpoco significativos por su rareza.

La insuficiencia de la media se ve el ejemplo siguiente:

Ejemplo : Salarios de las 11 personas de una empresa.

Frecuencia :n Sueldos

2 3 1 2 2 1

50.000 pts/ mes 70.000 75.000 85.000 90.000 1.000.000

Salario medio = 157.727 pts/ mes Ntese lo engaoso del resultado.


MEDIANAMEDIANA

Se llama mediana de una variable estadstica, y se representa por Me, a un valor de lavariable, tal que existen igual nmero de observaciones mayores que menores de Me. Es decir,el nmero de datos que preceden a la media es igual al nmero de datos que le siguen, por lotanto, es el valor central en caso de que el nmero de valores a tomar sea impar, o los doscentrales si son pares.

Ejemplo: Hacemos las frecuencias acumuladas +)))))))0))))))))))))))0))))))))))))), * Notas * Fr. absolutas*Fr. acumulada* * xi * fi * Fi * /)))))))3))))))))))))))3)))))))))))))1 * 0 * 1 * 1 * * 1 * 2 * 3 * * 2 * 1 * 4 * * 3 * 4 * 8 * * 4 * 6 * 14 < 20 * * 5 * 15 * 29 > 20 * * 6 * 4 * 33 * * 7 * 3 * 36 * * 8 * 2 * 38 * * 9 * 1 * 39 * * 1 * 1 * 40 * .)))))))3))))))))))))))3)))))))))))))1 * 40 * * .))))))))))))))2)))))))))))))- Si no son valores simples, como en este caso, se procede a ordenar los dados como si fuera::0,1,1,2.... , es decir poniendo todos los datos seguidos. La mediana ser el valor central, paracalcularlo haremos las frecuencias acumuladas. El valor central ser: 20=40/2. Tomamos comomediana aquella que tenga como frecuencia acumulada mayor a 20 y ms proximo. En nuestrocaso es el 5.

Me=5 Ventajas y usos de la mediana:

La mediana se utiliza especialmente en los siguientes casos:-Cuando se vea que los valores extremos son excepcionales.-Cuando los datos estn agrupados en clases y las clases extremas son (al menos una de ellas) abiertas.

LA MODALA MODA

Se llama moda de una distribucin de frecuencias, y representamos por Mo, al valor de lavariable estadstica que presenta mayor frecuencia. Es por tanto, el valor que ms se repite.

Ejemplo: En nuestro caso ser el 5 pues se repite 15 veces.

Ventajas e inconvenientes de la moda:


Evidentemente este parmetro no es tan representativo como la media, pero estil en muchas ocasiones. Por ejemplo cuando la moda se destacapreferentemente. En geografa puede ser la expresin de un estructuradeterminada, caracterizar una regin, al darnos de un clima dominante , etc. Porotro lado es el nico valor cantral que puede calcularse en las series nominales.

Ejemplo :

En un grupo se procede a la eleccin del cargo X al que lleve el mximo nmero de votos:

La eleccin resulta asi:

Personas a elegir: Nmero de votos:

Juan Prez Maria Lpez Carmen Vazquez

10 20 5

Aqu en este ejemplo unicamente tendra sentido calcular la moda.

4.2.-Medidas de dispersin

Las medidas dispersin ms importantes son:

Recorrido, deviacin media, varianza y desviacin tpica.

Las medidas centrales de una distribucin nos hablan de como es por los valores medios,puediendo haber dos distribuciones muy distintas que tengan valores medios similares. Quedapues la investigacin incompleta, siendo necesario conocer en qu medida los datos nmericoestn agrupados o no alrededor de los valores centrales

Ejemplo en donde el alumno puede observar la necesidad de las medidas de dispersin:

Al.

x 9 2 3 0 4 8 2 8

y 6 5 6 4 4 5 4 2

Nota Media de X =4.5 Y= 4.5

RECORRIDORECORRIDO

Se llama recorrido o rango de una distribucin a la diferencia entre el mayor y el menor valorde la varible estadstica.

Ejemplo: En el ejemplo que seguimos desde el principio de notas el recorrido=10-0=10


En el ejemplo de la ltima tabla, el recorrido de x es 9 el recorrido de y es 4 . Creemos que resultasignificativo.

DESVIACIN MEDIADESVIACIN MEDIA

Se llama desviacin media de una distribucin de frecuencias, y se representa por Dx a lamedia aritmtica de las desviaciones respecto de la media tomadas en valor absoluto: En el caso de que los valores estn repetidos y aparezcan sus frecuencias correspondientes,la expresin de la desviacin media es la siguiente:

frmula que usaremos en la construccin de las tablas

Ejemplo: 1@*0-4'87*+2@*1-4'87*+....+1@*9-4'87*+1@*10-4'87* Dx = ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))) 40

Inconvenientes de la Desviac. media : sin lugar a dudas el uso de los valores absolutos (que complica bastante losclculos)

VARIANZAVARIANZA

Se llama varianza de una distribucin de frecuencias y se representa por F, a la mediaaritmtica de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media.

En el caso de que los valores estn repetidos y aparezcan sus frecuencias correspondientes, laexpresin de la varianza es la siguiente:


Consideraciones sobre la varianza:

1: La varianza es siempre un nmero positivo, por tratarse de la media aritmtica de


nmeros positivos.2: Cuanto mayor es la dispersin le corresponde mayor varianza, y, en consecuencia,menor es la representatividad de los valores centrales.3: La varianza depende de todos los valores de la variable.

La expresin de la varianza mediante operaciones obtenemos la siguiente, que resulta msfacil para el clculo.

Ejemplo: 1@(0-4'87)+2@(1-4'87)+....+1@(9-4'87)+1@(10-4'87) F= ----------------------------------------------------------------------- = 40

Inconvenientes de la varianza: El inconveniente principal es que utiliza unas medidas distintas a las que tratamos enla variable. Al estar elevado al cuadrado perdemos referencia respecto a las variables.

DESVIACIN TIPICADESVIACIN TIPICA

Llamamos desviacin tpica de una distribucin de frecuencias y representamos por F a laraiz cuadrada positiva de la varianza.

Sus expresiones segn los casos es la siguiente:


Ejemplo: S = /S = 2.01

Otras ventajas de la desviacin tpica:

Es interesante saber que as como para calcular la desviacin tpica hemos elegido la


media, si se tomase otro valor, como por ejemplo la moda, la mediana , o un valor mcualquiera puede desmostrarse que la media aritmtica es el valor que hace mnima laexpresin. Dicho con otras palabras , de todas "las posibles desviaciones tpicasescogidas" F es la mnima.

En el estudio de la estadstica inferencial, veremos tambien la importancia que tiene la desviacintpica en las distribuciones normales.

COEFICIENTE DE VARIACIONCOEFICIENTE DE VARIACION

El coeficiente de variacin (de Pearson) Cv=des.tip/media

No tiene unidades y se utiliza para comparar distribuciones con distintas medidas. Por ejemplotallas y pesos. Suele expresarse en %. Tambien se utiliza cuando al comparar dos distribucionessobre la misma variable estn medidas en distintas unidades, por ejemplo en m y Km. Endefinitiva, que nos mide la dispersin relativa de una distribucin.

Ejemplo: con unas notas 3'16

notas 1: =4'5 F=3'16 ==> Cv=)))))) = 0'70-->70% 4'5

1'2 notas 2: =4'5 F=1'2 ==> Cv=)))))) = 0'26-->26%

4'5

VentajasPermite comparar distribuciones distintas, incluso con medidas distintas.

DesventajasDeja de ser representativa y no debe utilizarse cuando la media de una de lasdistribuciones sea muy baja.

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