U n i v e r s i da d N a c i o na l Ex p e r i m e nta l p o l i t cn i c a d e M a r a ca i b oD e p a r ta m e nt o d e c o n s t r u cc i n c iv i lA n l i s is e s t r uc t u ra lT e m a 2. E st a b il i d a d c i n e m t i ca d e e s t r u c tu r a s1. Chapas:Cada uno de los planos infinitamente delgados que representan las formaciones rgidasque se pueden definir en un sistema estructural. La formacin rgida elemental constituye unabarra continua de cualquier forma y dimensin. El smbolo i es utilizado para identificar a lachapa i (Figura 1):Figura 1. Idealizacin de una chapa2. Grado de libertad:Numero de parmetros independientes de un sistema estructural necesario paraespecificar la posicin de cualquiera de sus puntos en su configuracin desplazada. Todachapa aislada en el plano posee 3 grados de libertad, Es decir, puede trasladarse respecto ados ejes X e Y y rotar respecto a un centro. Si los grados de libertad son notados por la letra g,una chapa en completa libertad de movimiento tiene un g = 3. Para que la barra o chapa seencuentre en equilibrio esttico se deber restringir o anular sus grados de libertad a travsde vnculos o apoyos.3. Vnculos:La vinculacin externa de una chapa, se define como aquella que restringe posibilidadesde movimiento absoluto de los puntos de la chapa, entendiendo como movimientos absolutosaquellos referidos al sistema, la tierra (t) tomado como fijo. Segn el vnculo externo oabsoluto, restrinja una, dos o las tres posibilidades de movimiento que posee la chapa enlibertad de movimiento, el vnculo ser de primera, segunda, o tercera especierespectivamente.

Vnculo externo de 1ra especie: Este vnculo le restringe a la chapa la posibilidad de movimiento absoluto, en la direccin de la barra rgida y le permite trasladarse en direccin perpendicular a la barra y rotar alrededor del punto i. el cual, como se indica, restringe una posibilidad de movimiento absoluto y permite dos. Ver figura 2.

Figura 2. Vnculo externo de 1ra especie.

Nota: Se debe tener presente que un vnculo externo de 1ra especie no define el polo de rotacin de la chapa, suministra una direccin para su ubicacin.

Vnculo externo de 2da especie: Este vnculo restringe las dos traslaciones absolutas y le permite rotar en forma absoluta alrededor de O, con respecto al sistema de referencia fijo t. Este vnculo define el polo de rotacin de la chapa (Figura 3).

Figura 3. Vnculo externo de 2da especie.

Otro vnculo externo de 2da especie se presenta cuando las barras rgidas son paralelas. Esto impone desplazamientos a los puntos i, j en direccin perpendicular a ellas. Ver figura 4.

Figura 4. Otro vnculo de 2da especie. Vnculo externo de 3ra especie: Este vnculo fija la chapa ya que restringe sus tresposibilidades de movimientos. Ver figura 5. Algunas consideraciones a continuacin:

Figura 5. Vnculo externo de 3ra especie.- Tres barras concurrentes no fijan la chapa, le permiten la rotacin alrededor de O: - Tres barras paralelas no fijan la chapa, le permiten la traslacin en direccin perpendiculara las barras como se indica:Cuando la chapa est vinculada externamentemediante tres barras que se intersectan o sonparalelas, ellas son inefectivas como vnculo, puesno la fijan. Este tipo de vinculacin recibe elnombre de aparente. Algunos ejemplos se ilustran acontinuacin en la figura 6.Figura 6. Vnculos aparentes.-Es posible encontrar tambin la vinculacin conocida como redundante, que se presenta a continuacin en la figura:

La chapa con las tres barras rgidas b1, b2 y b3 est fija, por lo que la barra b4, no se requiere para fijarla; sta barra es redundante. Note que los vnculos redundantes, son las cantidades de vnculos en exceso sobre las necesarias y suficientes para fijar la chapa. Figura 7.Figura 7. Vnculos redundantesPor lo analizado anteriormente, pueden plantearse las siguientes conclusiones relacionadas con la ubicacin de los polos de rotacin de las chapas, a partir de la vinculacin externa:

- Para todo vnculo de 1ra especie, rodillo o biela, el polo de rotacin se encuentra en la direccin de la barra que lo define.

-Todo empotramiento de 1er grado genera polos impropios.- Todo apoyo fijo es un polo de rotacin.- Todo empotramiento deslizante, mvil o sobre rodillo, define un polo de rotacin en el infinito,es decir, un polo impropio, en direccin perpendicular al permitido, o lo que es equivalente, en ladireccin de las barras que lo definen.- Toda chapa empotrada est fija.4. Desplazamientos finitos de una chapa en su planoPara estudiar, los desplazamientos que experimenta una chapa en su plano, considereprimero, la chapa mostrada en la figura siguiente en su configuracin inicial, donde se destacanlos puntos i, j y en su configuracin desplazada, donde los puntos i, j han pasado a las posicionesij. Figura 8. Figura 8. Rotacin de una chapa en su planoUna chapa puede experimentar otro tipo de desplazamiento, que se manifiesta cuando todos los puntos de ella se desplazan la misma cantidad y en una misma direccin, es decir, experimentan desplazamientos paralelos e iguales, como se indica en la figura siguiente:

Figura 9. Traslacin de una chapa en su plano.En este caso el segmento i'j' es paralelo y se orienta en el mismo sentido que el segmentoij, entonces se tiene que ii' = jj'. Trazando mediatrices a los puntos medios de esos segmentos,resultan rectas paralelas que se cortan en el infinito. A este tipo de desplazamientoexperimentado por la chapa se le conoce como traslacin; es decir, movimiento que a unarotacin alrededor de un polo impropio en el infinito, en direccin perpendicular a la detraslacin.Alternativamente, de ahora en adelante, cuando una chapa tenga su polo en el infinito, se dir que ella se traslada en direccin perpendicular al polo en el infinito y adems, todos los puntos de la chapa que se traslada se desplazan en direccin perpendicular a su polo en el infinito, la misma cantidad y en la misma direccin y sentido.

5. Rotacin infinitesimal de una chapaPara analizar la rotacin infinitesimal de una chapa, supngase una chapa que tiene unpolo de rotacin O, alrededor del cual rota una cantidad infinitesimal , como se aprecia en lafigura siguiente.

Figura 10. Rotacion infinitesimal de una chapa.Por efecto de la rotacin impuesta a la chapa , un punto cualquiera i, separado de O auna distancia i, se desplaza a lo largo de un arco de circunferencia de centro en O y radio i, pasando a la posicin i'. Cuando se consideran desplazamientos infinitsimos la cuerda ii', el arco ii y la tangente (normal al radio Oi) ii" se confunden por ser infinitsimos equivalentes, es decir, ii = ii' = ii". Se considera entonces que:

Para rotaciones infinitesimales los desplazamientos que experimentan los puntos de una chapa se tomarn en direccin normal a las rectas determinadas por los puntos y el polo de rotacin o radios de giro y en el sentido de la rotacin, como se muestra en la figura 11:

Figura 11. Desplazamientos de los puntos de una chapa que rotanlos de rotacin absolutos (solo gira) y relativos (gira y desplaza). Los desplazamientos sonsiempre perpendiculares a la lnea imaginaria que une el polo absoluto de la chapa con el puntoque se desplaza.6. Desplazamiento relativos entre dos chapas:Teorema 1: Los polos absolutos de dos chapas y el polo relativo entre ellas. Estn alineados.Figura 12.Figura 12. Teorema 1.Teorema 2: Si una chapa 1 esta fija, el polo relativo que la vincula con la chapa 2 pasa a ser elpolo absoluto de rotacin de 2. Figura 13.Figura 13. Teorema 2.Teorema 3: Los polos relativos entre tres chapas estn tambin estn alineados. Figura 14.Figura 14. Teorema 3Teorema 4: Cualquier chapa en el plano que posea dos polos de rotacin distintos esta fija(indesplazable).Teorema 5. Cualquier chapa que posea un polo absoluto y una direccin definida de otro poloadicional que no pase por el anterior tambin esta fija.7. Vinculacin interna entre chapasLa vinculacin interna entre dos chapas, s estudia a partir de las restricciones demovimiento relativo, impuestas a los puntos de una de las chapas respecto a la otra, consideradafija. Vnculo interno de 1ra especie: La rigidez de 1, le impide a la chapa 2 la traslacinrelativa en su direccin y le permite moverse en direccin perpendicular a ella y rotarrelativamente respecto a 1. Ver figura 15.Figura 15. Vnculo interno de 1ra especie Vnculo interno de 2da especie: Las chapas se vinculan internamente por dos barrasrgidas que se cortan en un lugar propio. Este vnculo permite a 2 respecto de 1 solo larotacin y restringe las dos traslaciones. Figura 16.Figura 16. Vnculo interno de 2da especieSe nota que la interseccin de esas barras puede ocurrir dentro o fuera del dominio de las chapas,

as como se indica en la figura 17:Figura 17. Vnculo interno ficticio propio de 2da especieA este vnculo interno de 2da especie se le conoce como vnculo interno ficticio propio.Este tipo de vinculacin interna se presenta tambin cuando las chapas se vinculan mediante una articulacin interna propia o articulacin real, como se muestra en la figura 18:

Figura 18. Vnculo interno propio de 2da especieOtro tipo de vinculacin interna de 2da especie se presenta cuando las dos barras rgidas1 y 2 son paralelas. En este caso, 2 slo puede trasladarse relativamente con respecto a 1 endireccin perpendicular a las barras rgidas, quedndole impedidas la traslacin en direccin delas barras rgidas y la rotacin relativa. Figura 19.Figura 19. Vnculo interno Ficticio impropio de 2da especie

Visto, que 2 slo se traslada relativamente con respecto a 1, puede afirmarse que el polo relativo de rotacin entre las dos chapas vinculadas por dos barras paralelas, se encuentra en el infinito, en direccin perpendicular a la de traslacin o lo que es equivalent e, en la direccin de las barras que definen este tipo de vinculacin interna de segunda especie. A este vnculo interno de 2da especie tambin se le conoce como vnculo ficticio impropio, o articulacin ficticia impropia.

Vnculo interno de 3ra especie: se define cuando las dos chapas son vinculadas mediante tres barras rgidas que no sean las tres ni paralelas, ni concurrentes como se muestra en la figura 20.

Figura 20. Vnculo interno de 3ra especieEsta vinculacin le restringe a 2 todas las posibilidades de movimiento relativo respectoa 1, es decir, la fija. Por tal razn; cuando dos chapas se vinculan internamente mediante tresbarras rgidas, que definen una vinculacin interna de tercera especie efectiva, se establece queellas forman una sola chapa, una sola formacin rgida. Figura 21:Figura 21. Tres chapas triarticuladas forman una sola chapa,Cuando las tres barras rgidas son las tres concurrentes o paralelas, la chapa 2 no estimpedida de moverse con respecto a 1 quedando representada en este caso una vinculacininterna aparente como se muestra en la figura 22.Figura 22. Vinculacin interna aparente.

8. Clasificacin De cadena de chapasLas cadenas de chapas, segn el contorno de las chapas, pueden clasificarse en; abiertas,cerradas y mixtas. Se muestran a continuacin en forma esquemtica algunas cadenasabiertas, cerradas y mixtas. Ver figura 23.Cadenas abiertasCadenas cerradas

Cadena mixtaFigura 23. Clasificacin de cadena de chapasA partir de la definicin de cadenas de chapas, se derivan algunos aspectos resaltantes, relacionados con la identificacin de las cadenas de chapas, en las cuales deben considerarse las chapas vinculadas por vnculos internos de segunda especie. As, una barra rgida, no cargada, que ha sido definida como vnculo interno de primera especie, debe ser considerada como una chapa; tres barras no paralelas ni concurrente, que definen un vnculo interno de tercera especie entre dos formaciones rgidas forman con ellas una sola chapa.

Es importante tener presente, que una barra para ser considerada vnculo, debe ser rgiday no puede estar cargada. La cadena cerrada ms pequea y simple, es la de tres chapas; pero esnecesario, aclarar que ese conjunto se constituye en una sola chapa rgida, con un g= 3, siempreque las articulaciones entre ellas no estn en lnea recta (alineadas), como se muestra acontinuacin:Lo expresado anteriormente se demuestra, aplicando el procedimiento cinemtico indicado a continuacin, en vista de que estudio cinemtico de la formacin, depende del movimiento independiente de cada chapa. Considrese una de las tres chapas fijas, s a partir de esta consideracin es posible fijar las restantes, encontrando dos polos por chapa, entonces, el sistema est fijo y forma una sola chapa:

Tres chapas en cadena cerrada, cuyos polos relativos no estn alineados, forman unachapa rgida que tiene tres grados de libertad.Grados de libertad de una cadena de chapas: En secciones anteriores, se ha determinado yconsiderado el nmero de grados de libertad que posee una chapa en completa libertad demovimientos, (g = 3). Interesa establecer el nmero de grados de libertad g, que posee unacadena de chapas, formada por m chapas, bajo cualquier configuracin y en completa libertad demovimiento. Para ello, se propone determinar, una expresin general, que sea vlida paracualquier tipo de cadena. Se define:=Donde:g: Nmero de grados de libertad de la cadenam: Nmero de chapas de la cadenaa: Nmero de articulaciones en la cadenami Nmero de chapas que concurren a cada articulacin.Para ilustrar su aplicacin, se considera el siguiente ejemplo:Figura 24. Ejemplo 1.

Al aplicar la frmula general de la ecuacin (2.15), para determinar as el nmero de grados de libertad que la cadena mostrada posee, se tiene entonces:

m = 9m = 8mi = 2+2+2+3+2+2+2+2 = 17g = 3*9+2 * 8 2(17) = 9A partir de lo visto anteriormente, es posible utilizar dos expresiones particulares muysencillas, que pueden utilizarse en el caso de cadenas abiertas y cerradas, bajo la estrictaconsideracin de que a todas las articulaciones de la cadena, slo se vinculen dos chapas.Para cadenas abiertas g = m+2Para cadenas cerradas g = m9. Determinacin cinemtica de un sistemaEn la seccin anterior, se estableci la manera de calcular los grados de libertad decualquier cadena de chapas.Ahora bien, esas cadenas de chapas, que se han considerado sin restriccin demovimientos impuestas por vinculacin externa, en realidad estn vinculadas externamente alsistema de referencia fijo la tierra, como se indica esquemticamente:Cada vnculo externo o apoyo, suministra un nmero de restricciones segn sea su especie; al nmero total de restricciones impuestas por la vinculacin externa se le denota como r y su determinacin se realiza por simple conteo. Entonces, en un sistema definido por una chapa o una cadena de chapas cualquiera, conocidos sus grados de libertad g y determinado r, por simple conteo de restricciones impuestas por la vinculacin externa, puede evaluarse la relacin g r, cuyo resultado puede ser mayor, igual o menor que cero, esto es:

Sistema cinemticamente indeterminadog - r > = 0Sistema cinemticamente determinadog - r = 0Sistema cinemticamente sobredeterminadog - r < 0Se necesitan como mnimo, tantas condiciones de vnculo externo para estabilizar el sistema, como grados de libertad tenga, pero esto no implica necesariamente estabilidad; de all que sta sea considerada condicin necesaria, pero no suficiente para la estabilidad del sistema. Esto permite establecer que sistemas con:

g r > 0 = > Inestablesg r 0 = > Aparentemente estables10. Estabilidad cinemtica de un sistemaLos sistemas considerados se definen como cinemticamente estables, cuando cumpliendocon la condicin necesaria, se encuentren fijos o estabilizados. Si el sistema est formado por unasola chapa, se considera fijo si tiene dos polos de rotacin. Por consiguiente, si se trata de unacadena de chapas, para que sea estable todas y cada una de sus chapas, deben tener dos polosrotacin, o sea, todas deben estar fijas. Esta representa la condicin suficiente para la estabilidaddel sistema.Todo lo expuesto hasta ahora, permite en forma general establecer algunos pasos que deben seguirse para determinar la estabilidad cinemtica de las estructuras:

Identificar el sistema (chapa o cadena de chapas), tratando de configurar el menor nmero de chapas, y clasificar el tipo de formacin de acuerdo sta configuracin.

Determinar los grados de libertad g del sistema, haciendo uso de la ecuacin Contar las restricciones impuestas por la vinculacin externa y calcular la diferencia g r. Clasificar cinemticamente el sistema a la diferencia g-r10.1. Estabilidad cinemtica de cadenas abiertasEn una cadena cinemtica abierta aparentemente estable, se asegura su estabilidadestudiando los polos de rotacin:Cadenas cinemticas abiertas inestables: Cuando slo se puede conseguir un polo absoluto de rotacin, para cada chapa de la cadena o no logran fijarse todas las chapas. Si

al menos una chapa de la cadena est en condicin inestable, como lo postulado, no es aplicado solo a una parte de la estructura sino a toda ella en conjunto, la estructura es inestable.

Cadenas cinemticas abiertas estables: Cuando se consigue ms de un polo de rotacin para todas y cada una de las chapas de la cadena.

10.2. Estabilidad cinemtica de cadenas cerradas y mixtasUna cadena cinemtica cerrada o mixta aparentemente estable como condicin necesaria,pero no suficiente, ser estable cuando se consiga ms de un polo de rotacin para todas suschapas, en el caso contrario ser inestable. Alternativamente, la estabilidad de estos tipos decadenas se puede estudiar buscando un solo polo de rotacin para cada chapa, cosa que noimplica inestabilidad en la cadena, y comprobando compatibilidad de movimientos. Segn esto,se tendr:Cadena cinemtica cerrada o mixta inestable: Cuando es aparentemente estable, se consiga un polo de rotacin para cada chapa y la cadena tenga compatibilidad de movimientos (direccin, sentido, magnitud).

Cadena cinemtica cerrada o mixta estable: Cuando es aparentemente estable, se consiga un polo de rotacin para cada chapa y la cadena tenga incompatibilidad de movimientos.

Se insiste en el hecho que si una cadena cinemtica cerrada o mixta, tiene ms de un polo de rotacin, para cada chapa no es necesario el estudio de la compatibilidad de movimientos para decretarla estable, como se indic inicialmente.

Estudio de la compatibilidad del movimiento: Debido a que la estabilidad de las cadenas cerradas y mixtas, puede estudiarse como se ha indicado, buscando un polo por chapa y comprobando la compatibilidad de movimientos, resulta inmediato aclarar el significado y procedimiento para realizar el chequeo de esa compatibilidad de desplazamientos en la cadena:

Una vez hallado un polo de rotacin para cada chapa, por ser una formacin cerrada o mixta (que tiene parte cerrada) puede hablarse de un punto de cierre P. C., el cual es ubicado apropiadamente en un polo relativo; seguidamente se imprime una rotacin infinitesimal, alrededor de su polo a una de las chapas de la cadena vinculada al P.C.

Al observar cmo se desplaza el P.C., debido a esa rotacin. Inmediatamente, se traslada el desplazamiento a travs de la cadena, se distinguen especialmente los desplazamientos de los polos relativos, hasta llegar en formacin cerrada al desplazamiento experimentado por el P.C., debido a la rotacin de la otra chapa vinculada con l.

Entonces podr establecerse si en el P.C. se produce incompatibilidad o compatibilidad de desplazamientos. Debe recordarse que cualquier tipo de incompatibilidad se traduce en estabilidad de la cadena y la compatibilidad de desplazamientos manifiesta en el P.C., en direccin, sentido y magnitud, indica que la cadena tiene posibilidades de movimiento, luego es inestable desde el punto de vista cinemtica.

Este procedimiento alternativo para cadenas cerradas o mixtas, puede resumirse en los siguientes pasos:

Buscar un polo por chapa Definir el punto de cierre (P.C.) Dar rotacin infinitesimal a una de las chapas vinculadas al P.C., e indicar eldesplazamiento experimentado por el P.C., debido a esa rotacin. Trasladar los desplazamientos en formacin cerrada y secuencia contraria a la chapavinculada al P.C. Indicar el desplazamiento producido en el P. C., debido a la rotacin de la otra chapavinculada a l. Observar los desplazamientos en el P. C. incompatibilidad de desplazamientos endireccin o sentido cadena estable. Compatibilidad de desplazamientos en direccin ysentido, no implican necesariamente inestabilidad de la cadena, debe chequearse lasmagnitudes. Si los desplazamientos en el P. C., resultan compatibles, tambin en magnitud,entonces existe compatibilidad de desplazamientos cadena inestable.