ESTABILIDAD DE PEQUEÑA SEÑAL BETANCOURT.ppt
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Estabilidad de sistemas
elctricos de potencia
Dr. R.O.J. Betancourt
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El modelo dinmico elemental de
un SEP
Considere una generador elctrico suministrando
energa a un SEP.
Sistema
Elctrico
depotencia
Pe
Generador
Turbina
Pm
-
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mTD
Coeficiente
de friccin
J
eT
Referencia Diagrama de
slido libre
X
2
2
dt
dJ
mT
eT
dt
dD
Anlisis dinmico
-
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em TTdt
dJ
2
2
A partir del diagrama de slido libre la ecuacin de
movimiento puede determinarse a partir de la segunda
ley de newton para sistemas rotacionales.
La suma de pares es igual a la masa por la
aceleracin
Donde: J es el momento de inercia en kg-m2 del grupo turbo generador.
es el ngulo mecnico de la flecha con respecto a una referenciafija en radianes.
Tm
es el par mecnico producido por el primotor en N-m
Tees el par elctrico producido por el generador en N-m
Par acelarante
Positive- increase velocity
Negative- decrease velocity
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Consideraciones
1.El par mecnico se asume constante ya que loscontroles de turbina no son sensibles ante
pequeos cambios en la velocidad de la
maquina.
2.No se asumen perdidas en la maquina por
friccin o ventilacin.
3.Un cambio en la potencia elctrica origina uncambio en la potencia acelarante y la maquina
se acelera cuando la potencia elctrica
disminuye y se desacelera cuando la potencia
elctrica aumenta.
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La ecuacin anterior describe el valor del ngulo con
respecto al estator que es una referencia fija. Sin
embargo es conveniente medirla con respeto al rotor el
cual se asume esta girando a una velocidad constante,entonces se puede decir que
t0
Donde 0 es la velocidad del rotor de la maquina enradianes mecnicos por segundo y es el ngulo del
rotor con respecto a la velocidad sncrona. Ahora
derivando dos veces la expresin anterior se tiene que
dtd
dtd 0
2
2
2
2
dt
d
dt
d
-
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Sustituyendo la ec anterior en la ec. De oscilacin se
tiene que
em TTdt
dJ 2
2
La ecuacin anterior puede ser expresada en trminos
de potencias, para ello multiplicamos toda la ec. por la
velocidad, y recordando que el producto de velocidad porpar mecnico da potencia entonces se tiene que
emem PPTT
dt
dJ
2
2
Donde: Pm
es la potencia en watts producida por el primotor
Pees la potencia elctrica en el entrehierro de la maquina en watts
Momento
angular o
inercia
-
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em PP
dt
dM
2
2radseg-J
inerciadeconstante
1/2
segradmKg
JM
Conversin Unidades
1 N = 1 Kg m/s2
1 J = 1 N m
Dado que la energa cintica de la maquina esta dada en trminos del
momento de inercia
sincronvelocidadJoules2
02
1JEC
Por lo que puede expresarse en trminos de la constante de inercia
sincronvelocidadJoules02
1MEC
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En las maquinas es mas comn dar como dato el valor de la energa
cintica con respecto a la potencia de la maquina, a esta constante se
le conoce como constante H
maq
C
S
EH
Sustituyendo el valor de Ec
maqS
M
H0
21
Y despejando el valor de M
0
2
maqHSM
MVA de la maquina
MJoules/rads
-
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Sustituyendo la equivalencia anterior en la ecuacin de oscilacin se
tiene que
emmaq PPdt
dS
H
2
2
0
2
maq
em
S
PP
dt
dH
2
2
0
2
O bien
em PPdt
dH
2
2
0
2
En por unidad queda:
-
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Esta ecuacin es de caractersticas no lineales y de segundo orden, la
cual puede escribirme como un sistema de dos ecuaciones
diferenciales no lineales de primer orden
em PPdt
dH
dt
d
0
0
2
Esta ecuacin se conoce como ecuacin de oscilacinde la maquina,
es la ecuacin fundamental que describe el comportamiento dinmico
de la maquina sncrona.
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Comentarios de la ecuacin de
oscilacin
La ecuacin de oscilacin es de sumaimportancia ya que su solucin nos indicasi despus de una perturbacin en un
sistema de potencia, el SEP es estable ono.
Cuando Pm es menor que Pe, la maquinase desacelera.
Cuando Pm es mayor que Pe, la maquinase acelera.
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Ecuacin para la potencia elctrica
ecuacin Pe()
Como se menciono, anteriormente la Pm se mantiene constante, yaque los gobernadores de velocidad no actan en el rango de tiempo
en que ocurren los fenmenos elctricos.
Por otra parte la potencia elctrica de la fuente, es la que esta
cambiando, la Pe puede determinarse si se asume que el generador
puede representarse por medio del siguiente circuito simplificado
Ei
jXdI
+
-
Pe
Vt
- -
-
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A partir del circuito anterior, la corriente que aporta el generador sera:
d
i
jX
VtEI
'
0
Y la potencia elctrica ser
d
titte jX
VE
VIVP '
0
0Re*)(0Re
sin'
90
'
Re*0Re
d
it
d
itte
X
EV
X
EVIVP
-
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Curva Potencia-Angulo de un
generador sincrono
0
2/
d
ti
X
VE
'
Potencia
elctrica
La potencia mxima
que puede entregar lafuente, se da cuando el
ngulo de la maquina
esta cercano a los 90.
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Al sustituir el valor de la Peen la ecuacin de oscilacin se tiene que
sin'
2
0
0
d
itm
X
EVP
dt
dH
dt
d
Esta es la ecuacin de oscilacin que describe el
comportamiento dinmico del sistema maquina bus
infinito.
La ecuacin es de caractersticas no lineales, y unasolucin analtica no se ha podido determinar aun (esconsiderada aun como tema de investigacin reciente, vea los artculos de V. Vittal, A. R. Messina,
y R. Betancourt). Una solucin aproximada que se ha usado
mucho es la aproximacin lineal.
Ejemplo
-
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)sin('
00 d
itee
X
EVPP
Linealizacin de la ecuacin de oscilacin
Con la idea de obtener una solucin aproximada de la ecuacin de oscilacin,
considere que el incrementa de su valor inicial en un pequeo incremento
0
Al realizar este pequeo incremento la potencia elctrica tambin cambia, este
cambio puede establecerse al sustituir el valor anterior en la ecuacin de
potencia
La cual, utilizando identidades trigonometrcas se transforma en
sincoscossin' 000 dit
eeX
EVPP
-
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Si el incremento del ngulo es muy pequeo entonces se tiene que
sin
1cos
000 cossin'd
itee
X
EVPP
Entonces la potencia elctrica ser
La ecuacin de oscilacin se transforma en
002
02
0
cos'
sin'
)(2
d
it
d
itm
X
EV
X
EVP
dt
dH
-
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Como inicialmente esta en reposo, es decir la velocidad es constante, entonces
la potencia mecnica es igual a la potencia elctrica con el ngulo inicial
002
2
0cos'sin'
2
d
it
zero
d
itmX
EV
X
EVPdt
dH
Entonces la ecuacin diferencial se transforma en
02
2
0
cos'
2
d
it
X
EV
dt
dH
Coeficiente de
sincronizacin depotencia
0 d
dPe
Esta ecuacin constituye una ecuacin diferencial de segundo orden lineal la
cual puede resolverse utilizando procedimientos convencionales.
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La ecuacin diferencial anterior puede escribirse de otra forma
0cos'2 00
2
2
d
it
HX
EV
dt
d
La ecuacin anterior representa un tipo de ecuacin diferencial de la forma (ver libro
de ecuaciones diferenciales de Denis Zill). La cual es caracterstica de sistemas con movimiento
armnico simple y los cuales son caracterizados por ecuaciones diferenciales de
segundo orden de la forma02
2
2 x
dt
xdn
Cuya solucin esta dada por
tBtAtx nn sincos)( Velocidad angular
en rads/seg
2
nnf Frecuencia en
Hz
Dependen de las
condiciones
iniciales
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Por ende, de la ecuacin de oscilacin linealizada se puede ver que el
incremento del ngulo en un valor pequeo, provocara que el desplazamiento
oscile con una velocidad angular
00 cos
'2
d
itn
HX
EV
Y la frecuencia de las oscilaciones sern
0
0 cos'22
1
d
it
n HX
EVf
Rads/seg
Hertz
Ejemplo
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Observaciones de la ec. linealizada
1. La solucin de la ecuacin de oscilacin mediante la tcnicaanterior es valida solamente para cuando el sistema esta
siendo sometido a una variacin pequea en el ngulo.
2. Las oscilaciones son permanentes y no se amortiguan, esto es
debido a que no fue considerado la constante de
amortiguamiento D.
3. La frecuencia de las oscilaciones depende de los parmetros
de las maquinas.
4. Esta ecuacin no puede mostrar inestabilidad, ya que esta
conectada a un bus infinito el cual no muestra cambios en susvoltaje y ngulos, ante cualquier perturbacin.
5. La ecuacin linealizada solo es valida para niveles bajos de
transferencia de potencia.
6. En la practica, se analiza el comportamiento de un sistema con
una cantidad grande de maquinas.
A li i d il i i t lti
-
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Anlisis de oscilaciones en un sistema multi-
maquina
RedElctrica
1Pe1
2Pe2
ngPeng..
.
1mP
2mP
ngmP
11
ngLngL jQP
22
ngLngL jQP
nlngLnlngL jQP
.
.
.
ng+1
ng+2
ng+nl
-
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Ecuaciones de oscilacin
ngengm
ngng
em
em
PPdt
dH
PP
dt
dH
PPdtdH
2
2
0
222
22
0
2
112
12
0
1
2
2
2
Ecuaciones potencia ngulo para el sistema multi maquina
-
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Ecuaciones potencia ngulo para el sistema multi-maquina
'1gdjX
'2gd
jX
' nggdjX
ngG
2G
1
2
ng flujosbusY
potenciadeFlujos
1G
2G
ngG
Y
Cargas
11
ngLngL jBG
22
ngLngL jBG
nlngLnlngL jBG
1ng
2ng
nlng
-
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)2
1
1
2
1
1*
111
2
1*
11
2
1
*
1
1
1*1111 *
L
L
L
L
LLL
LLL
L
L
L
LLLLL
V
Qj
V
PjBGY
VYZ
V
Z
VVIVjQP
Si se asume un voltaje conocido en las cargas, entonces estas pueden ser
convertidas a admitancia, y as ser agregadas a la Ybus de flujos de potencia.
La relacin entre admitancia y potencia compleja esta dada por
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La ecuaciones potencia-ngulo del sistema multi-maquina,
pueden determinarse a partir de la solucin de las ecuaciones
de flujos de potencia. Solo que en este caso, habra que
modificar Ybus de flujos, a fin de considerar que las
reactancias de los generadores estn presentes y que lascargas han sido convertidas a modelo de admitancia.
Bajo esta suposicin entonces el modelo de flujos es de la
forma*
kg
kg
kge
kge IEjQP
Las corrientes de los generadores estn relacionados con los
voltajes de los generadores, los voltajes en los nodos de carga
y la matriz Ybus por la relacin siguiente
bus
g
busY
nnng
gnggg
YY
YY
V
E
0
I
ngg
g
g
E
E
E
2
1
ngg
g
g
I
I
I
2
1
-
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Donde
ggYEs la submatriz de Ybus de flujos, en la cual hay generadores
conectados, en este caso la reactancia del generador se suma
a la reactancia del transformador o lnea y se obtiene unaadmitancia propia nueva.
ngYEs la submatriz de Ybus de flujos, la cual contiene los
elementos que conecta un generador con el resto de la red. Los
elementos tendrn en mismo valor que los de la Ygg.
gnYEs la submatriz de Ybus de flujos, la cual contiene los
elementos que conecta a la red con los generadores. Esta seria
en si igual al valor de la Ygg respectiva y en si es igual a Yng
transpuesta.
nnY
Es la submatriz de Ybus de flujos, la cual contiene los
elementos que interconectan a la red, y que en las admitancias
propias, contienen las admitancias de los generadores y las
admitancias de las cargas.
-
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Observe que las corrientes solamente aparecen en los generadores, esto
permite cierta facilidad en el calculo, ya que permite reducir la dimensin
del problema y utilizar solamente el vector de voltajes en los generadores
para el calculo de las potencias elctricas. La reduccin de la ecuacin de
corrientes puede obtenerse al realizar la reduccin de Kroncorrespondiente
bus
g
nnng
gnggg
YY
YY
V
E
0
I
gngnnbus YY EV 1
gngnngnggg YYYY EI 1
Reduccin
de Kron
Ybus
reducida
-
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La ecuacin anterior en forma expandida es
ngngg
g
g
nnnnrednnrednnred
nnredredred
nnredredred
ngg
g
g
E
E
E
YYY
YYY
YYY
I
I
I
22
11
2211
2222222121
1112121111
2
1
Y la ecuacin potencia ngulo para los generadores ser:
) )
)
*
22
11
2211
2
2
22
22
21
21
1112121111
22
11
*
1
*
2
1
2
*
111
2
1
Re
ngngg
g
g
nnnnrednnrednnred
nn
redredred
nnredredred
ngngg
g
g
nggngg
gg
gg
ngeg
eg
eg
E
E
E
YYY
YYY
YYY
E
E
E
IE
IE
IE
P
P
P
O bien
-
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O bien
ng
mkmmkkmredmgkgkeg
YEEP1
)cos(
Entonces las ecuaciones de oscilacin para el sistema multi-maquina
sern de la forma
ng
mnmmnnmredmgnggngm
nn
ng
mmmmredmggm
ng
mmmmredmggm
YEEPdt
dH
YEEPdt
dH
YEEPdt
dH
12
2
0
1222222
22
0
2
11111121
2
0
1
)cos(2
)cos(2
)cos(2
-
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Estas ecuaciones de solucin forman un conjunto de ecuaciones
diferenciales no lineales acopladas entre si.
En general no hay una solucin analtica para ellas, pero pueden ser
resueltas utilizando rutinas de integracin numrica a fin de determinar el
comportamiento dinmico de las maquinas.
Otra forma de obtener una solucin es mediante la suposicin de que
todos los ngulos de las maquinas varan en forma muy pequea, esto
es
ngngng
0
2202
1101
-
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ng
mnmmmnnnmredmgnggngenge
ng
mmmmmredmggege
ng
mmmmmredmggee
YEEPP
YEEPP
YEEPP
100
1202202222
1101101111
)cos(
)cos(
)cos(
La ecuacin anterior se puede simplificar al introducir la siguiente
identidad trigonomtrica
sinsincoscos)cos(
-
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)
)
ng
m mkmkkmmk
mkkkkmmk
kmredmgkg
ng
mmkkmmkmkkmmkkmredmgkg
ng
mmkkmmkkmredmgkgkeke
YEE
YEE
YEEPP
1 00
00
10000
100
sincoscossin)sin(
sinsincoscos)cos(
)sin()sin()cos()cos(
)cos(
Para el bus k-esimo
De nueva cuenta, si se asume que para pequeas variaciones del ngulo
sin
1cos
)
)
ng
m mkkmmk
mkkmmk
kmredmgkgkeke YEEPP
1 00
00
)sin(
1)cos(
-
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) )
)
ng
mmngmmngngngmmngngmredmgngg
nn
ng
mmmmmmmredmgg
ng
m mmmmmmredmgg
YEEdt
dH
YEEdt
dH
YEEdt
dH
100002
2
0
1202022020222
22
0
2
1 101011010112
12
0
1
)sin()sin(2
)sin()sin(2
)sin()sin(2
Las ecuaciones de oscilacin para variaciones pequeas en los ngulos
se transforman en
En forma matricial
-
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ng
mngmmngmredmgnggngngredngggngngngrednggg
ngngng
redng
gg
ng
mm
mmred
mggredgg
ngngredngggredgg
ng
mmmmredmgg
e
n
ng
e
ng
YEEYEEYEE
YEEYEEYEE
YEEYEEYEE
H
H
H
dt
d
dt
ddt
d
10022200212110011
202
0221
202
022
211
02
02121
101012112201012211
101011
0
0
2
0
1
2
1
2
2
2
22
2
12
)sin()sin()sin(
)sin()sin()sin(
)sin()sin()sin(
2
2
2
P
H
PH
-
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K s
Matriz de coeficientes desincronizacin
En forma compacta
es PHK 1
Como puede verse este sistema matricial representa un conjunto de
ecuaciones diferenciales lineales homogneas de segundo orden la cualpuede resolverse utilizando mtodos convencionales. Utilizaremos el
mtodo de eigenvalores.
A fin de obtener una solucin, asuma que los estados o ngulos de las
maquinas estn relacionados con otro conjunto de estados ficticios a travsde la siguiente transformacin lineal
Donde Ues la matriz de los eigenvectores derechos de Ks
Uy
-
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UyKyU sEntonces sustituyendo esta identidad en la ecuacin de oscilacin
linealizada se tiene que
Asumiendo que los eigenvectores son linealmente independientes, la
ecuacin anterior se transforma en
UyKUy s1
Dado que la operacin anterior, diagonaliza la matriz Ksentonces se tiene
que yy
Donde
ng
2
1Eigenvalores
o modos Ks
-
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39/45
La ecuacin anterior se transforma en un sistema de ecuaciones
diferenciales lineales de segundo orden desacopladas
ngngng y
yy
y
yy
22
11
2
1
La solucin de la ecuacin anterior es sumamente simple
tCtC
tCtC
tCtC
ty
ty
ty
ngngngngng
sincos
sincos
sincos
)(
)(
)(
21
222221
112111
2
1
-
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40/45
Y los estados o ngulos de las maquinas pueden obtenerse sustituyendo
esta solucin en
Entonces se tiene que las variaciones angulares sern de la forma
Uy
tCtC
tCtC
tCtC
uuu
uuu
uuu
ngngngngngngngng
ng
ng
ng
sincos
sincos
sincos
21
222221
112111
21
22221
11211
2
1
-
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41/45
Como puede verse de la ecuacin anterior, las variaciones angulares estas
compuestas por superposicin de un conjunto de frecuencias, a cada
frecuencia se le conoce como:
Modo de oscilacin
Los modos tienen una frecuencia en Hz la cual es obtenida mediante la
parte imaginaria del eigenvalor
2kf
-
7/22/2019 ESTABILIDAD DE PEQUEA SEAL BETANCOURT.ppt
42/45
Forma del modo
)tCtC
u
u
u
ngng
112111
1
21
11
1
2
1
sincos
De la ecuacin para los ngulos se puede ver que si solo un modo
esta presente, las maquinas oscilan a la misma frecuencia pero con
magnitud y ngulo diferente. Por ejemplo para el modo 1 lasvariaciones de ngulo de las maquinas sern
Observe que las componentes del eigenvector derecho asociado almodo 1, determinan como es ponderada la solucin en el tiempo del
modo 1 en los ngulos y que la amplitud de la componente determina
cual maquina es mas afectada, y la fase determina que maquinas
estn oscilando en fase y cuales en contra fase.
-
7/22/2019 ESTABILIDAD DE PEQUEA SEAL BETANCOURT.ppt
43/45
Modo local
Si existen componentes del eigenvector derechocon valor dominante y mismo ngulo de fase o
muy cercano.
Modo inter-area
Si existen componentes del eigenvector derecho
con valor dominante y ngulos de fase entre
ellas de 180 grados
L
-
7/22/2019 ESTABILIDAD DE PEQUEA SEAL BETANCOURT.ppt
44/45
Contenido de frecuencias en una determinada maquina
Cada maquina tiene presente un cierto contenido de frecuencias, las
frecuencias con mayor impacto pueden ser determinadas a partir de la filacorrespondiente Las frecuencias presentes en una maquina pueden ser
determinadas a partir de la magnitud de las entradas de la fila
correspondiente de la matriz de eigenvectores derechos
tCtC
tCtCtCtC
uuu
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ngng
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sincos
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21
222221
112111
21
22221
11211
2
1
-
7/22/2019 ESTABILIDAD DE PEQUEA SEAL BETANCOURT.ppt
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Efecto maquina-modo
Dado que hay una relacin entre los ngulos de las maquinas y los modos
de oscilacin a travs de los eigenvectores derechos. Tambin existe unarelacin de los ngulos a los modos y esta dada por los eigevectores
izquierdos, esto es
ngngngngng
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ng
ng vvv
vvv
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y
y
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2
1
21
22221
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2
1
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