Estabilidad en Edificaciones

Índice general

I FUNDAMENTO TEÓRICO 7

1. CONCEPTOS DE LA FÍSICA 81.1. ESTABILIDAD Y EQUILIBRIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2. PRINCIPIO DE EQUILIBRIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1. Condiciones Generales De Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2. Fuerzas Colineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3. Fuerzas Coplanares Concurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.4. Fuerzas Coplanares, No Concurrentes y Paralelas . . . . . . . . . . 101.2.5. Fuerzas Coplanares, No Concurrentes y No Paralelas . . . . . . . . 111.2.6. Fuerzas No Coplanares Concurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.7. Fuerzas No Coplanares Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.8. Fuerzas No Coplanares, No Concurrentes y No Paralelas . . . . . . 121.2.9. Condiciones De Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.10. Estabilidad Del Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3. ESTÁTICA DEL PUNTO Y CUERPO RÍGIDO . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.1. Estática Del Punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2. Estática Del Cuerpo Rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2. CONCEPTOS DE LA INGENIERÍA 292.1. INGENIERÍA ESTRUCTURAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1. Principios estructurales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.2. Clasificación de los elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.3. Elementos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1.4. Elementos bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1.5. Elementos tridimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.1.6. Diseño de elementos estructurales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.1.7. Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.1.8. Rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1.9. Inestabilidad elástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2. ESTABILIDAD DE EDIFICIOS PRISMÁTICOS . . . . . . . . . . . . . . 342.2.1. Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.2. Deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

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2.2.3. Desplome o vuelco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2.4. Hundimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3. ELEMENTOS RESISTENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.1. Pilares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.2. Vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.3. Perfiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.4. Tirantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3.5. Arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3.6. Triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3.7. Tubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4. ESFUERZOS EN LAS ESTRUCTURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4.1. Tracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4.2. Compresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4.3. Flexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4.4. Torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.4.5. Cortadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

II APLICACIÓN 452.5. Aplicación del análisis de vigas las estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.5.1. Líneas de influencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

III OPINIÓN CRITICA 51

3. INTEGRANTE 01 52

4. INTEGRANTE 02 53

IV IMPACTO AMBIENTAL 54

V BIBLIOGRAFÍA 56

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PRESENTACIÓN

El presente trabajo fue realizado por el esfuerzo y con horas y días de investigación,compartiendo opiniones y aprendiendo conjuntamente con los compañeros que tambiénestaban realizando dicho trabajo.

El contenido de este trabajo es sobre aspectos físicos y su aplicación a la ingeniería civil,específicamente el tema de estabilidad en las edificaciones o estructuras en la ingenieríacivil para el cual el tema a tratar es:

Estabilidad, debido a que las edificaciones que están sometida continuamente a variostipos de cargas (vivas y muertas) que afectan la estructura del mismo. Además se tuvoque estudiar la teoría de resistencia de materiales.

Se abarcan estos aspectos desde un punto de vista físico analítico, evitando caer en elmero tecnicismo. Por lo anteriormente expuesto, estamos seguros que la realización deeste trabajo ha sido de vital provecho para los autores.

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INTRODUCCIÓN

Muchas veces nos confundimos entre lo que es Estática y lo que es Dinámica, por esoantes de empezar con el estudio del equilibrio de cuerpos es necesario diferenciar entredichas ramas de la Mecánica.

La Estática estudia el equilibrio de los cuerpos, es decir, aquellos cuerpos que seencuentran tanto en reposo como en movimiento con velocidad constante; mientras quela Dinámica estudia los cuerpos acelerados, aunque se puede establecer el equilibriodinámico mediante la introducción de las fuerzas de inercia.

Para detallar y explicar previamente la parte teórica tomaremos algunos ejemplos de lavida cotidiana en los cuales se aplican principios físicos, como:

1 Equilibrio en el vuelo de un esquiador.

2 Por qué vuela el avión.

3 Por qué no se cae la Torre Pisa.

4 Fuerzas y principios físicos en la caída de un gato.

5 Equilibrio en el vuelo de un Bumerán.

6 Equilibrio en el baile.

7 Equilibrio de una plataforma sostenida por una columna.

8 Curiosidades de la física.

Finalmente quedará demostrado que la Física no es solamente abstracta, sino que es tam-bién práctica y ocurre en la vida diaria, y el estudio del equilibrio es un paso previopara el estudio de la Dinámica y otras ramas de la Física un poco más especializadas.

CONCEPTOS PREVIOS

Antes de iniciar el estudio de (Equilibrio de cuerpos), es importante comprender loque significan ciertos conceptos y principios fundamentales como lo son los siguientes:

CANTIDADES BÁSICAS

Usaremos las siguientes 4 cantidades para explicar el equilibrio:

1 Longitud: La longitud es necesaria para ubicar un punto en el espacio y de estaforma describir el tamaño de un sistema físico. Una vez que se define una unidadestándar de longitud, puede definirse cuantitativamente distancias y propiedadesgeométricas de un cuerpo como múltiplos de esa unidad de longitud.


2 Tiempo: El tiempo se concibe como una sucesión de eventos. Aunque los principiosde la Estática son independientes del tiempo, esta cantidad definitivamente juegaun papel importante en el estudio de la Dinámica.

3 Masa: La masa es una propiedad de la materia por la cual podemos compararla acción de un cuerpo con la de otro. Esta propiedad se manifiesta como unaatracción gravitacional entre dos cuerpos y proporciona una medida cuantitativa dela resistencia que presenta la materia al cambio de velocidad.

4 Fuerza: En general, la fuerza es considerada como un ”jalón” o ”tirón”. ejercidopor un cuerpo sobre otro. Esta interacción puede ocurrir cuando existe un contactodirecto entre los cuerpos, por ejemplo, una persona empujando sobre una pared.Puede presentarse también a lo largo de una distancia determinada cuando loscuerpos se separan físicamente. Como ejemplos de este último caso están incluidaslas fuerzas eléctricas, magnéticas y gravitacionales. En cualquier caso, una fuerza secaracteriza por su magnitud, dirección y punto de aplicación.

IDEALIZACIONES:

Los modelos o idealizaciones se utilizan en el estudio del equilibrio con la finalidad desimplificar la aplicación de la teoría. Se definirá algunas de las idealizaciones más impor-tantes.

1 Partícula: Una partícula posee masa pero de tamaño poco significativo. Por ejem-plo, el tamaño de la Tierra es insignificante comparado con el tamaño de su órbita,y por lo tanto la Tierra se puede tomar como una partícula cuando se estudia sumovimiento orbital en un modelo. Cuando un cuerpo se idealiza como una partícula,los principios de la Mecánica se simplifican de manera importante, debido a que lageometría del cuerpo no se tomará en cuenta en el análisis del problema.

2 Cuerpo Rígido: Un cuerpo rígido puede ser considerado como un conjunto forma-do por un gran número de partículas que permanecen separadas entre sí por unadistancia fija antes y después de aplicar la carga. Como resultado, las propiedadesdel material de que está hecho cualquier cuerpo que se suponga rígido no se tendráque considerar cuando se analicen las fuerzas que actúan sobre éste. En la mayoríade los casos, las deformaciones reales que se presentan en estructuras, máquinas,mecanismos, etcétera, son relativamente pequeñas, y la suposición de cuerpo rígidoes apropiada para efectos de análisis.

3 Fuerza Concentrada: Una fuerza concentrada representa el efecto de una cargala cual se supone que actúa en algún punto de un cuerpo. Podemos representar esteefecto por medio de una fuerza concentrada, siempre y cuando el área sobre la cualse aplica la carga sea relativamente pequeña comparada con el tamaño del cuerpo.

LEYES DE NEWTON

El tema de la mecánica del cuerpo rígido se encuentra basado en las tres leyes delmovimiento de Newton, cuya validez se sustenta en la observación experimental. Estasleyes se aplican al movimiento de una partícula, medido desde un marco de referencia noacelerado no acelerado, y pueden definirse brevemente de la forma siguiente:


1 Primera Ley: Una partícula que se encuentra originalmente en reposo, moviéndoseen línea recta con velocidad constante, permanecerá en este estado siempre y cuandouna fuerza desbalanceada no actúe sobre ésta.

2 Segunda Ley: Una partícula sobre la cual actúa una fuerza desbalanceada F exper-imenta una aceleración a que posee la misma dirección que la fuerza y una magnitudque es directamente proporcional a la misma. Si F se aplica a una partícula de masam, esta ley puede expresarse matemáticamente como:

−→F = m.−→a

3 Tercera ley: Las fuerzas de acción y repulsión entre dos partículas son iguales enintensidad, opuestas en sentido y colineales.


OBJETIVOS

1. Ilustrarse y analizar la aplicación de los temas físicos de forma directa en el campode la ingeniería.

2. Aplicar nuestros conocimientos de la física en el campo de la ingeniería.

3. conocer y comprender los temas físicos de manera teórica y practica.

4. Comprender los fenómenos físicos que actúan en las edificaciones como lo son :cargas, momentos, flexiones,etc.

5. Comprender las consecuencias de las edificaciones en el medio ambiente.

6. Comprender en teoría el origen de los problemas para evitar desastres posteriores.


ESTABILIDAD DE EDIFICACIONES O

ESTRUCTURAS

EN LA INGENIERÍA CIVIL


Parte I

FUNDAMENTO TEÓRICO


Capítulo 1

CONCEPTOS DE LA FÍSICA

1.1. ESTABILIDAD Y EQUILIBRIO

Un cuerpo en equilibrio estático, si no se le perturba, no sufre aceleración de traslacióno de rotación, porque la suma de todas las fuerzas y la suma de todos los momentos queactúan sobre él son cero. Sin embargo, si el cuerpo se desplaza ligeramente, son posiblestres resultados: (1) el objeto regresa a su posición original, en cuyo caso se dice que estáen equilibrio estable; (2) el objeto se aparta más de su posición, en cuyo caso se dice queestá en equilibrio inestable; o bien (3) el objeto permanece en su nueva posición, en cuyocaso se dice que está en equilibrio neutro o indiferente.

Daremos los ejemplos siguientes: Una pelota colgada libremente de un hilo está enequilibrio estable porque si se desplaza hacia un lado, rápidamente regresará a suposición inicial. Por otro lado, un lápiz parado sobre su punta está en equilibrioinestable; si su centro de gravedad está directamente arriba de su punta la fuerza y elmomento netos sobre él serán cero, pero si se desplaza aunque sea un poco, digamos poralguna corriente de aire o una vibración, habrá un momento sobre él y continuarécayendo en dirección del desplazamiento original. Por último, un ejemplo de cuerpo enequilibrio indiferente es una esfera que descansa sobre una mesa horizontal; si sedesplaza ligeramente hacia un lado permanecerá en su posición nueva.

En la mayor parte de los casos como en el diseño de estructuras y en trabajos con el cuerpohumano, nos interesa mantener equilibrio estable o balance, como decimos a veces. Engeneral un objeto cuyo centro de gravedad esté debajo de su punto de apoyo, como porejemplo una pelota sujeta de un hilo, estará en equilibrio estable. Si el centro de gravedadestá arriba de la base o soporte, tenemos un caso más complicado. Por ejemplo, el bloqueque se para sobre su extremo, si se inclina ligeramente regresará a su estado original, perosi se inclina demasiado, caerá. El punto crítico se alcanza cuando el centro de gravedadya no cae sobre la base de soporte. En general, un cuerpo cuyo centro de gravedad estáarriba de su base de soporte estará en equilibrio estable si una línea vertical que pase porsu centro de gravedad pasa dentro de su base de soporte. Esto se debe a que la fuerzahacia arriba sobre el objeto, la cual equilibra a la gravedad, sólo se puede ejercer dentrodel área de contacto, y entonces, si la fuerza de gravedad actúa más allá de esa área, habráun momento neto que volteará el objeto. Entonces la estabilidad puede ser relativa. Unladrillo que yace sobre su cara más amplia es más estable que si yace sobre su extremo,porque se necesitará más esfuerzo para hacerlo voltear. En el caso extremo del lápiz, la


base es prácticamente un punto y la menor perturbación lo hará caer. En general, mientrasmás grande sea la base y más abajo esté el centro de gravedad, será más estable el objeto.En este sentido, los seres humanos son mucho menos estables que los mamíferos cuadrúpe-dos, los cuales no sólo tienen mayor base de soporte por sus cuatro patas, sino que tienenun centro de gravedad más bajo. La especie humana tuvo que desarrollar característicasespeciales, como ciertos músculos muy poderosos, para poder manejar el problema demantenerse parados y al mismo tiempo estable. A causa de su posición vertical, los sereshumanos sufren de numerosos achaques, como el dolor de la parte baja de la espaldadebido a las grandes fuerzas que intervienen. Cuando camina y efectúa otros tipos demovimientos, una persona desplaza continuamente su cuerpo, de modo que su centro degravedad esté sobre los pies, aunque en el adulto normal ello no requiera de concentraciónde pensamiento. Un movimiento tan sencillo, como el inclinarse, necesita del movimientode la cadera hacia atrás para que el centro de gravedad permanezca sobre los pies, y estecambio de posición se lleva a cabo sin reparar en él. Para verlo párese usted con sus pier-nas y espalda apoyadas en una pared y trate de tocar los dedos de sus pies. Las personasque cargan pesos grandes ajustan en forma automática su postura para que el centro degravedad de la masa total caiga sobre sus pies.

1.2. PRINCIPIO DE EQUILIBRIO

1.2.1. Condiciones Generales De Equilibrio

La suma algebraica de las componentes (rectangulares) de todas las fuerzas segúncualquier línea es igual a cero.

La suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas respecto cualquier línea(cualquier punto para fuerzas coplanares) es igual a cero.

Se aplicarán en seguida estas condiciones generales de equilibrio en las varias clases desistemas de fuerzas, a fin de deducir las condiciones suficientes para obtener resultantenula en cada caso.

1.2.2. Fuerzas Colineales

Tienen dos condiciones independientes algebraicas de equilibrio. Pueden expresarse entres formas:

(1) . . .ΣFx = ΣFy = 0

(2) . . .ΣFx = ΣMa = 0

(3) . . .ΣMa = ΣMb = 0

La forma (1) expresa que la suma algebraica de los componentes según los ejes x, y (enel plano de las fuerzas) es cero; la (2) que la suma algebraica de las componentes segúncualquier eje y la suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas respecto a un


punto es cero (el punto debe estar en el plano de las fuerzas y la línea que lo une en laintersección de las fuerzas, debe ser inclinado al eje tomado); la (3) se explica, asimismo,refiriéndose a momentos respecto dos puntos no colineales con la intersección aludida. Encualquiera de los casos anteriores la resultante es cero por lo siguiente:1º Si existe resultante del sistema, es una sola fuerza:

R =√

(ΣFx)2 + (ΣFy)2

y si por tanto ΣFx = 0 y ΣFy = 0, también R = 0

2º Si ∑Fx = 0, si hay resultante debe ser perpendicular al eje X, y si ∑

Ma = 0,entonces el momento de R respecto al punto es cero, lo que exige que R = 0.

3º Si hay resultante, debe pasar por el punto de intersección, pero si ∑Ma = 0,

entonces R pasa por él también, y si ∑Mb = 0, R debe ser cero, no estando b sobre c.

La condición gráfica de equilibrio es que el polígono de fuerzas quede cerrado, puesentonces no hay resultante.

1.2.3. Fuerzas Coplanares Concurrentes

Hay dos condiciones algebraicas independientes de equilibrio.

(1) . . .∑F = ∑M = 0

(2) . . .∑Ma = ∑Mb = 0

Se enuncian similarmente al caso anterior. Ambas condiciones son suficientes para hacerla resultante igual a cero. En efecto, si hay resultante será una fuerza o un par.Si(1) ∑

F = 0, la resultante no es una fuerza, y si ∑Ma = 0, no es un par; por lo tanto, no

hay resultante. (2) Si ∑Ma = 0, la resultante no es un par sino una fuerza que pasa por

a; y si también ∑Mb = 0, el momento de la resultante respecto a b debe ser cero, lo que

implica que la fuerza es cero.

Gráficamente, hay dos condiciones de equilibrio; el polígono de fuerzas y el funiculardeben cerrar porque en el primer caso si hay resultante será un par, pero con la condiciónsegunda no existirá el par.

1.2.4. Fuerzas Coplanares, No Concurrentes y Paralelas

Hay tres condiciones independientes algebraicas de equilibrio:

(1) . . .∑Fx = ∑Fy = ∑

Ma = 0

(2) . . .∑Fx = ∑Ma = ∑

Mb = 0

(3) . . .∑Ma = ∑Mb = ∑

Mc = 0


Y se ha explicado, lo que significan las expresiones anteriores. Hay que advertir que losejes x, y, de las componentes y los orígenes de momentos deben estar en el plano de lasfuerzas, y los tres puntos a, b, c, no deben ser colineales. Estas tres condiciones bastanpara dar resultante igual a cero. En efecto, si existe resultante será una fuerza o un par.Si en (1), ∑

Fx = ∑Fy = 0, la resultante no es fuerza, pero si ∑

M = 0, no es un par yno habrá resultante. En (2), si ∑

Fx = 0, la resultante es perpendicular al eje o un par; si∑Ma = 0, no es un par sino una fuerza que pasa por a y perpendicular al eje; si además,∑Mb = 0, el momento de esa fuerza respecto a b es cero, y por tanto, la fuerza es cero.

En (3), si ∑Ma = 0, la resultante no es un par sino una fuerza que pasa por a; si además,∑

Mb = 0, la resultante pasa por b, pero si ∑Mc = 0, esta resultante será cero.

1.2.5. Fuerzas Coplanares, No Concurrentes y No Paralelas

Hay tres condiciones independientes algebraicas de equilibrio. Se expresan:∑Fx = ∑

Fy = ∑Fz = 0

es decir, la suma algebraica de las componentes según tres ejes rectangulares x, y, z, escero, pues si existe resultante será igual a:

R =√

(∑Fx)2 + (∑

Fy)2 + (∑Fz)2

1.2.6. Fuerzas No Coplanares Concurrentes

Hay dos condiciones independientes que se expresan en dos formas:

(1) . . .∑F = ∑M1 = ∑

M2 = 0

(2) . . .∑M1 = ∑M2 = ∑

M3 = 0

La forma (1) expresa que la suma algebraica de las fuerzas, y la de los momentos respectodos ejes perpendiculares a las fuerzas pero no paralelas entre sí, es igual a cero; y la (2),que la suma algebraica de los momentos respecto tres ejes no concurrentes, no paralelosy perpendiculares a las fuerzas, es cero. En efecto, en (1), si ∑

F = 0, la resultante no esuna fuerza, si además ∑

M1 = 0, la resultante es un par cuyo plano es paralelo al primereje de momento y a las fuerzas; y si ∑

M2 = 0, ese plano será también paralelo al segundoeje; pero estas condiciones de paralelismo no pueden realizarse sino cuando las fuerzas delpar son colineales, en cuyo caso se balancean, y no hay resultante. En (2), si ∑

M1=∑M2

= 0, la resultante será una fuerza que pasa por la intersección de los ejes 1 y 2; si además∑M3 = 0, esa fuerza será cero, y no existirá resultante.

1.2.7. Fuerzas No Coplanares Paralelas

Hay seis condiciones algebraicas independientes de equilibrio:∑Fx = ∑

Fy = ∑Fz = ∑

Mx = ∑My = ∑

Mz = 0


Es decir, la suma algebraica de las componentes de todas las fuerzas según tres líneas,y la de los momentos con respecto a tres ejes no coplanares es cero. Por lo general, esconveniente tomar las tres líneas y los ejes perpendiculares entre sí. En efecto, si hayresultante, será una línea o un par, si las componentes según las líneas son cero, la fuerzaserá cero, y si los momentos son cero, el par no existe y no hay resultante.

1.2.8. Fuerzas No Coplanares, No Concurrentes y No Paralelas

Ciertas condiciones especiales de equilibrio dependientes del número de fuerzas en elsistema, son de gran uso. Son las siguientes:

1 Una fuerza simple no puede estar en equilibrio.

2 Si dos fuerzas están en equilibrio son necesariamente colineales, iguales y opuestas.Si F ′y F ′′ son concurrentes su resultante es concurrente con ellas y también F ′′′;si son paralelas, entonces R, y por tanto F ′′′, es paralela a ellas. Cuando las tresfuerzas son concurrentes, cada una de ellas es proporcional al seno del ángulo de losotros dos (Teorema de Laml). Por lo tanto:

F ′

sena= F ′′

senb= F ′′′

senc

Donde a, b, c, son los ángulos aludidos. Estas ecuaciones de deducen aplicandoel principio de los senos al triángulo de las fuerzas. Cuando las tres fuerzas sonparalelas, las dos exteriores tienen la misma dirección, y la central es opuesta losmomentos de dos de cualquiera de esas fuerzas respecto un punto sobre la tercera,son iguales en magnitud y opuestas en signo.

3 Si tres fuerzas están en equilibrio, deben ser coplanares y concurrentes o paralelas.En efecto, si las fuerzas con F ′, F ′′, F ′′′, desde que F ′ y F ′′ balancea a F ′′′, tendránuna resultante colineal con ésta, y en tal caso están en el mismo plano que F ′′′.

4 Si cuatro fuerzas coplanares están en equilibrio, la resultante de dos de ellas balancealas otras dos. Por tanto: a) si las dos primeras son concurrentes y las otras también,la resultante pasa por los dos puntos de concurrencia; b) si dos son concurrentes ylas otras paralelas, la resultante de las primeras actúa por el punto de concurrenciay es paralela a las otras; c) si las cuatro fuerzas son paralelas, la resultante tambiénles es paralela. Los principios (a) y (b) se usan en el análisis gráfico de los sistemasde cuatro fuerzas.

1.2.9. Condiciones De Equilibrio

Las ecuaciones necesarias y suficientes de equilibrio mecánico son:

Primera condición de equilibrio

Una partícula o un sólido rígido está en equilibrio de traslación cuando: la suma detodas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es cero.

∑−→F i = 0


En el espacio se tienen tres ecuaciones de fuerzas, una por dimensión; descomponiendocada fuerza en sus coordenadas resulta:

−→F i = −→F i,x

−→u x +−→F i,y−→u y +−→F i,z

−→u z

Y como un vector, es cero, cuando cada una de sus componentes es cero, se tiene:∑−→F i,x = 0

∑−→F i,y = 0

∑−→F i,z = 0

Un sólido rígido está en equilibrio de traslación cuando la suma de las componentes delas fuerzas que actúan sobre él es cero.

Segunda condición de equilibrio

Un sólido rígido está en equilibrio de rotación, si la suma de momentos generados porlas fuerzas que actúan sobre el cuerpo es cero.

∑−→M i = 0

En el espacio tiene las tres ecuaciones una por dimensión; por un razonamiento similar alde las fuerzas:

−→M i = −→M i,x

−→u x +−→M i,y−→u y +−→M i,z

−→u z

Resultando:∑−→M i,x = 0

∑−→M i,y = 0

∑−→M i,z = 0

Entonces finalmente se concluye que un sólido rígido está en equilibrio si está en equilibriode traslación y de rotación.

1.2.10. Estabilidad Del Equilibrio

Condiciones Generales de Equilibrio

El análisis de la estabilidad del equilibrio puede llevarse a cabo estudiando los mínimosy máximos locales (extremos locales) de la función de energía potencial.Un resultado elemental del análisis matemático dice una condición necesaria para laexistencia de un extremo local de una función diferenciable es que todas las derivadasprimeras se anulen en algún punto. Para determinar problemas unidimensionales, com-probar si un punto de equilibrio es estable, inestable o indiferente implica verificar lasderivadas segundas de la energía potencial:


Un punto es de equilibrio inestable, si la segunda derivada de la energía potencial< 0 y por tanto la energía potencial tiene un máximo local. Si el sistema sufre undesplazamiento de su posición de equilibrio, por pequeño que éste sea, entonces sealejará más y más de él (de ahí el nombre inestabilidad para esa situación).

Un punto es de equilibrio indiferente o neutral, si la segunda derivada = 0, entoncesse encuentra una región donde la energía no varía. Así, si el sistema es desplazadode la posición de equilibrio una cantidad suficientemente pequeña, posiblementeno volverá a acercarse al equilibrio pero tampoco divergerá mucho de la posiciónanterior de equilibrio.

Un punto es de equilibrio estable si la segunda derivada > 0 y por tanto la energíapotencial tiene un mínimo local. La respuesta del sistema frente a pequeñas per-turbaciones o un alejamiento arbitrariamente pequeño de del punto de equilibrio esvolver u oscilar alrededor del punto de equilibrio. Si existe más de un punto de equi-librio estable para un sistema, entonces se dice que cualquiera de ellos cuya energíapotencia es mayor que el mínimo absoluto representa un estado metaestable.

Para problemas bidimensionales y tridimensionales (o más generalmente n-dimensionales)la discusión anterior de la estabilidad se hace más complicada y requiere examinar la formacuadrática Q(x1, ..., xn) definida por la matriz hessiana de la energía potencial:

Equilibrio estable, se da cuando la forma cuadrática Q(x1, ..., xn) es definidapositiva y, por tanto, todos sus autovalores son números positivos.

Equilibrio totalmente inestable, se da cuando la forma cuadrática Q(x1, ..., xn)es definida negativa, por tanto, todos sus autovalores son negativos.

Equilibrio indiferente, se da cuando la forma cuadrática Q(x1, ..., xn) es no esdefinida positiva y alguno de sus autovalores es negativo. Esto implica que segúnciertas direcciones puede haber estabilidad unidimensional pero según otras habráinestabilidad unidimensional.

El análisis anterior se puede realizar siempre y cuando conozcamos la ecuación de suenergía potencial, sin embargo de manera sencilla y experimentalmente tenemos que laestabilidad viene condicionada por la superficie de apoyo. Mientras el eje que pasa por elcentro de gravedad caiga sobre la base de sustentación el cuerpo estará en equilibrioestable. Perderá su estabilidad cuando el eje salga de la base de apoyo.Una determinada fuerza hace volcar un cuerpo más fácilmente cuanto menor es lasuperficie de apoyo y el peso propio del mismo. La estabilidad aumenta cuanto más bajoes el centro de gravedad y cuanto más se agranda la base.

Ejemplo Ilustrativo :


Tenemos dos triángulos sobre una mesa ambos están perfectamente equilibrados en supunto. Teóricamente el de la izquierda es equilibrado pero el más pequeño error, o labrisa, o la vibración derroca al mismo.

Al aplicar una fuerza suficiente podemos derrocar a los dos, así vemos que el de la izquierdaque refleja un delicado equilibrio cayó, y su centro de masa se movió hacia abajo y perdióenergía, en física, aprendemos que las cosas tienden a perder energía. El de la derechatuvo que ser empujado más y al principio, su centro de masas se fue arriba (que ganó laenergía), y finalmente se fue a la baja. Por lo tanto se necesita más energía para moveralgo con mayor base (más estable) y viceversa.

Condiciones Especiales de Equilibrio

La palabra (cuerpo) se usa en Mecánica en forma amplia para denominar cualquierporción definida de materia, simple o rígida, como una piedra, tablón, etc., o complejacomo un puente, máquina, etc., o fluida como el agua en un depósito, etc. De tal modo,cualquier parte de uno de esos elementos puede llamarse ”cuerpo”, si esa parte tieneespecial interés para tomarse por separado.Conviene distinguir entre fuerzas externas e internas con referencia a un cuerpodeterminado. Es externa a un cuerpo si ejerce sobre él por otro cuerpo; es interna si seejerce en parte del cuerpo por otra parte del mismo cuerpo.Con referencia a un cuerpo, todas las fuerzas externas tomadas en conjunto se llaman elsistema externo, y las interiores en conjunto el sistema interno. Cuando un cuerpo estáinmóvil, todas las fuerzas externas e internas que actúan sobre el, constituyen unsistema de equilibrio. El sistema interno está constituido por fuerzas que mutuamente sebalancean y por tanto, el sistema externo también se halla balanceado. Puede, enconsecuencia, decirse que el sistema externo de las fuerzas que actúan en un cuerpoinmóvil está en equilibrio.

1.3. ESTÁTICA DEL PUNTO Y CUERPO RÍGIDO

La Estática es el capítulo de la Mecánica que estudia el equilibrio de los cuerpossometidos a la acción de fuerzas. Además de tener interés para la técnica, son numerosaslas aplicaciones de la Estática a problemas de interés geofísico, por ejemplo el equilibrioy estabilidad en la corteza terrestre tanto a gran escala (isostasia) como a pequeña es-cala (equilibrio y estabilidad de taludes y pendientes, deslizamientos, avalanchas, etc.) yde las capas fluidas de la Tierra (Océanos, Atmósfera). Para la Biología, aparte de susimplicancias respecto de la estructura y organización de los seres vivientes, interesan las


aplicaciones a la dinámica de la biosfera, y por ende a la ecología. En este Capítulo estudi-aremos la estática del punto y del cuerpo rígido, y dejaremos para más adelante la estáticade sistemas más complejos como sólidos deformables, fluidos o medios heterogéneos (comosuelos), que presentan problemas más difíciles aunque lógicamente más interesantes delpunto de vista de sus aplicaciones.

1.3.1. Estática Del Punto

En ausencia de movimiento la aceleración de un punto material es nula y la SegundaLey de Newton establece entonces que la condición necesaria y suficiente para el equilibriode un punto material es:

F = 0 . . . (1)

siendo F la resultante de las fuerzas que actúan sobre el punto. La aplicación de lacondición (1) se complica a veces porque no se conocen de antemano todas las fuerzasque están actuando. Este es el caso cuando existen vínculos, es decir condicionesmateriales que limitan el movimiento. Los vínculos ejercen reacciones, que obligan almóvil a respetar las condiciones que imponen.

Consideremos por ejemplo un objeto apoyado sobre un plano inclinado (Fig 1). En estecaso el vínculo es la condición de que el cuerpo no puede penetrar el plano. Siendo así elplano debe ejercer una reacción que compense exactamente a la componente normal delpeso:

R = −Pn = mgcosαn . . . (2)

siendo n la dirección normal del plano.

Si llamamos F a las fuerzas conocidas de antemano (llamadas fuerzas activas) y f a lasreacciones de los vínculos, la condición de equilibrio se expresa:

F = f = 0 . . . (3)

y determina f. En el plano inclinado de la figura 1.

Pn + f = 0; f = −Pn . . . (4)

Por lo tanto para equilibrar el cuerpo es necesario introducir una fuerza adicional quecompense la componente de P tangencial al plano:


Pt = Psenα . . . (5)

Que no está siendo equilibrada por el vínculo. Corresponde aclarar que todo vínculo esun objeto material y su capacidad de reaccionar tiene límites. Si el plano inclinado de lafigura es un tablón, está claro que la carga que se le ponga encima no debe superar la re-sistencia del mismo, de lo contrario se doblará y finalmente se romperá. Si fuese una rampade tierra, un objeto demasiado pesado se hundiría, etc. Debe quedar claro que en todaaplicación de los principios de la estática hay que controlar que las reacciones requeridasno superen los límites de resistencia de los vínculos, que habrá que conocer en cada caso.Al discutir vínculos es preciso distinguir:

Vínculos sin rozamiento (también llamados vínculos lisos). En este caso el vínculono opone reacción a las fuerzas transversales (esto es, tangentes al vínculo) y por lotanto f es siempre normal al vínculo:

f = fnn . . . (6)

siendo n la normal al vínculo.

Vínculos con rozamiento (llamados también vínculos rugosos). Aquí debido al roza-miento el vínculo opone una reacción a fuerzas tangenciales, de modo que:

f = fnn+ ftt . . . (7)

donde ft es la componente tangencial de f . Para la reacción normal vale lo dichoantes: es la necesaria para compensar la componente normal de la resultante de lasfuerzas activas. En cuanto a la componente tangencial de la reacción, se debe comose ha dicho al rozamiento.

Estática con rozamiento

La fuerza de rozamiento estática tiene las siguientes características:

Es igual y opuesta a la fuerza activa tangencial, siempre y cuando esta última nosupere el límite de rozamiento estático.

Si la fuerza activa tangencial supera el límite de rozamiento estático, la fuerza derozamiento no alcanza a equilibrarlo.

El valor máximo de la fuerza de rozamiento estático es proporcional a la componentenormal de la fuerza activa.

Resumiendo, la componente tangencial de la reacción está dada por las dos condicionessiguientes:

Ft ≤ µF ; ft = −Ft . . . (8)

es decir:

ft = min(Ft;µFn) . . . (9)


donde µ es el coeficiente de rozamiento estático (omitimos el suscrito pues no puede haberconfusión).Por lo tanto:

si ft ≤ µFn ⇒ |ft| = Ft si ft > µFn ⇒ |ft| = µFn < Ft . . . (10)

En el primer caso la fuerza de rozamiento alcanza para establecer el equilibrio (Fig.2).En el segundo caso la fuerza de rozamiento es insuficiente para el equilibrio y para lograréste es necesario agregar una fuerza externa. Estamos en el primer caso cuando Ft ≤ µFn, o sea si:

FtFn

= tanα ≤ µ . . . (11)

Habrá pues un ángulo máximo αm dado por:

tanαm = µ . . . (12)

tal que si F forma con la normal al vínculo un ángulo α tal que:

α < αm hay equilibrio debido al rozamiento.α > αm el rozamiento no es suficiente para establecer el equilibrio . . . (13)

Las condiciones que estamos discutiendo se visualizan cómodamente introduciendo elconcepto de cono de rozamiento: dibujamos un cono cuyo vértice es el punto de aplicaciónde la fuerza, cuyo eje es la normal al vínculo y cuya abertura es αm Fig. 3 (a). Si F estádentro del cono el rozamiento permite el equilibrio. Si en cambio F cae fuera del cono elrozamiento no es suficiente para el equilibrio. Podemos aplicar estas ideas para discutir elequilibrio de un objeto situado sobre un plano inclinado con rozamiento. Observando laFig. 3 vemos que en el caso (b) hay equilibrio y en el caso (c) no hay equilibrio.


1.3.2. Estática Del Cuerpo Rígido

La estática de cuerpos extensos es mucho más complicada que la del punto, dado quebajo la acción de fuerzas el cuerpo no sólo se puede trasladar sino también puede rotary deformarse. Consideraremos aquí la estática de cuerpos rígidos, es decir indeformables.En este caso para que haya equilibrio debemos pedir, tomando como referencia un puntoP cualquiera del cuerpo, que P no se traslade y que no haya rotaciones. Por lo tanto enel equilibrio se deben cumplir las condiciones

si F = ∑Fi = 0 . . . . . . . . . (14)

si M = ∑Mi = ∑

ri × Fi = 0 . . . . . . . . . (15)

es decir que la resultante de todas las fuerzas aplicadas sea nula y que el momento resul-tante (la suma de los momentos de todas las fuerzas) se anule. Por lo tanto es necesariotomar en cuenta el punto de aplicación de cada fuerza. Supondremos ahora que se conocenF y M y dejamos para más adelante el problema de cómo calcularlos.

En primer lugar veremos que las condiciones (14) y (15) se pueden pedir para un puntocualquiera, porque si valen para P valen también para todo otro punto Q del cuerpo. Enefecto, consideremos el punto Q situado en R respecto de P (Fig.4). La condición (14)no depende de que punto se está considerando, luego vale para cualquier punto. Por otraparte si la (15) se cumple para P , también se cumple para Q, porque como ri = R + r′

i

entonces:

si 0 = ∑ri × Fi = R×∑

Fi + ∑r′i × Fi = ∑

r′i × Fi . . . . . . . . . (16)

En consecuencia la (15) se cumple también para Q.En conclusión las condiciones de equilibrio para un cuerpo rígido son que la resultante detodas las fuerzas aplicadas sea nula y que el momento resultante (suma de los momentosde todas las fuerzas) tomado respecto de un punto cualquiera sea nulo.

Cuerpo rígido vinculado

Un cuerpo rígido puede estar sometido a varias clases de vínculos. Por ejemplo puedetener un punto fijo, un eje fijo, puede estar apoyado sobre una superficie, etc. Losvínculos reaccionan con fuerzas, que tienen una resultante f y un momento m.Para el equilibrio se debe cumplir entonces que:


F + f = 0 . . . . . . . . . (17)

M +m = 0 . . . . . . . . . (18)

Donde M y m se deben tomar respecto del mismo punto.

Equilibrio de un cuerpo rígido con un punto fijo

Si hay un punto fijo está claro que la reacción debe equilibrar a la resultante, o seaf = −F . Esta reacción está aplicada en el punto fijo (el vínculo). Pero entonces,tomando momentos respecto del punto fijo, m = 0. Luego la condición (17) se cumplesiempre y determina f . En cuanto a la condición (18) se reduce a:

M = 0 . . . . . . . . . (19)

donde M se debe tomar respecto del punto fijo.

Equilibrio de un cuerpo rígido con un eje fijo

Está claro que en este caso la condición (17) se cumple y determina las reacciones.Estas reacciones están aplicadas sobre el eje. Tomando momentos respecto de un punto Pcualquiera del eje mi = ri × fi y vemos que m⊥ = ∑

mi es siempre perpendicular al eje.En cuanto al momento de las fuerzas activas,M = M⊥ +nM‖ dondeM⊥ es la componentede M perpendicular al eje y n la dirección del eje. Ahora bien, M⊥ tiende a girar el eje ycomo éste está fijo, se cumple siempre que.

M⊥ +m⊥ = 0 . . . . . . . . . (20)

Luego la condición de equilibrio (18) se reduce a:

M‖ = 0 . . . . . . . . . (21)


Cuerpo rígido con vínculos rugosos

Cuando hay fuerzas de rozamiento entre el cuerpo y los vínculos las reacciones tienenuna componente tangencial que debe ser tenida en cuenta. Veamos esto por medio de unejemplo. Sea una escalera que está apoyada a una pared, mientras un hombre sube por lamisma (17). Sea l la longitud de la escalera, m la masa de la escalera más la del hombre yx la posición del centro de masa del hombre más la escalera. Evidentemente el rozamientocontra el piso es lo que impide que la escalera se venga abajo. Sea αAm el ángulo de roceen A, dado por:

tanαAm = µA . . . . . . . . . (22)

siendo µA el coeficiente de roce estático entre la escalera y el piso. La reacción fA estácontenida en el cono de roce y formará un ángulo αA con la vertical (normal al piso). Lareacción fBh en B la supondremos horizontal, lo que equivale a suponer que en B no hayroce. Las condiciones de equilibrio son mg + fA + fBh = 0 cuyas componentes horizontaly vertical son:

fAsenαA − fBh = 0 . . . . . . . . . (23)

fAcosαA −mg = 0 . . . . . . . . . (24)

Tomando momentos respecto de A obtenemos:

xmgsenα− IfBhcosα = 0 . . . . . . . . . (25)


La ecuación (24) determina fA:

fA = mg

cosαA. . . . . . . . . (26)

Sustituyendo en (23) obtenemos fBh

fBh = mgtanαA . . . . . . . . . (27)

Sustituyendo fBh en (25), obtenemos αA:

tanαA = x

ltanα . . . . . . . . . (28)

Con esto queda resuelto el problema. Para el equilibrio se debe verificar que tanαA 6tanαAm, lo que implica que se debe cumplir la condición:

x

l= tanαAm

tanα. . . . . . . . . (29)

¿Qué nos dice esta condición? Está claro que x, la posición del centro de masa de laescalera con el hombre encima, crece a medida que éste sube y alcanza su valor máximocuando el hombre llega al tope. Luego x 6 l (el signo = vale si la masa de la escalera esdespreciable). Entonces:

1. Si α 6 αAm , la (29) se cumple siempre: el hombre puede subir con confianza.

2. Si α > αAm , la (29) no se cumple para x > xm dado por

xm = ltanαAmtanα

< l . . . . . . . . . (30)

En este caso el hombre no debe subir pues se vendrá abajo con escalera y todo.

Sistemas de fuerzas equivalentes

Como vimos, el equilibrio de un cuerpo rígido está determinado solamente por la resul-tante de las fuerzas y la suma de los momentos respecto de un punto cualquiera. Vamosa ocuparnos ahora del problema de calcular la resultante F y el momento total M deun sistema de fuerzas que actúa sobre un cuerpo rígido, que había quedado pendiente.Cuando dos sistemas de fuerzas tienen igual resultante e igual momento total son equiva-lentes en lo que hace a sus efectos sobre el equilibrio. Entonces cuando se tiene un cuerporígido sometido a un sistema complicado de fuerzas, conviene reemplazarlo por un sis-tema equivalente más simple. Hay varias reglas prácticas para este fin y las presentamosa continuación.


Deslizamiento de las fuerzas

Toda fuerza se puede trasladar a lo largo de su recta de acción sin cambiar sus efec-tos. Efectivamente, este traslado no afecta el valor de las resultantes. Tampoco afecta elmomento respecto de un punto cualquiera, pues M = r× F = r⊥ × F depende sólo de ladistancia r⊥ desde el punto a la recta de acción (Fig.8).

Fuerzas concurrentes

Se llaman así aquellas cuyas rectas de acción se cruzan. Por lo dicho se les puedetrasladar hasta el punto de cruce y reemplazar por su resultante, cuya recta de acciónpasa por el punto de cruce (fig.9)

Fuerzas cuyas rectas de acción son paralelas son concurrentes en el infinito. Para hallar laresultante y su recta de acción podemos agregar dos fuerzas ficticias F y −F (Fig.10). Elsistema (F1 = F ′

1 + F ) , (F ′2 = F2 − F ) es equivalente al anterior pero ahora (F ′

1) y (F ′2)

se pueden sumar porque sus rectas de acción se cruzan a distancia finita. Por geometríaF1d1 = F2d2.


Cupla o par de fuerzas

Cuando dos fuerzas son iguales y opuestas y sus rectas de acción son paralelas formanuna cupla.

(Fig.11). Para toda cupla se cumple que:

La resultante es nula (F1 + F2 = 0)

el momento es independiente del punto respecto del cual se lo calcula:

M = r +×F − r −×F = (r +−r−)× F = d× F = d⊥ × F . . . . . . . . . (31)

Luego el momento depende sólo de F y de la separación de las rectas de acción de lasfuerzas:

M = d⊥ × F . . . . . . . . . (32)

Reducción del sistema de fuerzas y momentos

Todo sistema de fuerzas se puede reemplazar por un sistema equivalente constituidopor una resultante y una cupla. En efecto, sean F1, F2, . . . , FN las fuerzas que actúan sobreun rígido, aplicadas en los puntos PP , PN 1, 2,. . ., y sea P un punto cualquiera. Si en Pimagino aplicadas, para cada fuerza Fi , dos fuerzas, una igual a Fi y otra a −Fi tendréun sistema equivalente (Fig.12). Pero ahora la fuerza Fi aplicada en Pi y la −Fi aplicadaen P forman una cupla cuyo momento vale:


Mi = ri × Fi . . . . . . . . . (33)

Está claro pues que el sistema primitivo equivale a una resultante

F = ∑Fi . . . . . . . . . (34)

Y un momento respecto del punto P dado por:

M = ∑ri × Fi . . . . . . . . . (35)

Estabilidad del equilibrio

La aplicación de las condiciones de equilibrio permite averiguar si puede o no haberequilibrio para un dado sistema. Sin embargo la observación muestra que algunas situa-ciones de equilibrio no se dan en la práctica. Veamos un ejemplo simple: la Fig.13(a)muestra una esfera ubicada en el vértice de una superficie, donde el plano tangente eshorizontal. Esta posición es de equilibrio, pero no es posible en la práctica lograr que laesfera quede en esa posición, porque se cae. El motivo de esto es que si la esfera está colo-cada en la forma indicada, basta que una pequeña perturbación la aparte de la posición deequilibrio, aunque sea muy poco, para que la reacción deje de compensar por completo elpeso de la esfera y quede una componente tangencial no equilibrada, que tiende a apartarmás a la esfera de la posición de equilibrio Fig.13(b). Como en la práctica es imposibleevitar perturbaciones infinitesimales, este equilibrio no se realiza. En este caso se dice queel equilibrio es inestable (frente a pequeñas perturbaciones).


En la Fig.14 se muestra una esfera que descansa en el fondo de un valle. Este es unequilibrio que se da en la práctica, porque es estable frente a pequeñas perturbaciones:si un golpe aparta la esfera de su posición inicial llevándola a una posición como laindicada en (b), la reacción de la superficie no compensa al peso igual que en el casoanterior, pero ahora la componente tangencial del peso tiende a devolver a la esfera a laposición de equilibrio. Se produce entonces un movimiento oscilatorio que eventualmentese amortigua y finalmente la esfera queda en la posición inicial de equilibrio.

Entre estos casos extremos se puede dar un caso intermedio: si la esfera descansa sobreun plano Fig.15(a), cualquier posición (en cualquier punto del plano) es de equilibrio.Si inicialmente la esfera está en la posición A y una perturbación la desplaza hasta Bquedando allí en reposo, se mantendrá en B hasta ser perturbada nuevamente: tanto Acomo B son posiciones de equilibrio y se dice que el equilibrio es indiferente.

De estos ejemplos se desprende que todos los equilibrios deben ser examinados en lo refer-ente a su estabilidad, puesto que los que se observan en la práctica son solamente aquellosque son estables o indiferentes. Un equilibrio inestable se rompe espontáneamente y só-lo se puede mantener si se interviene activamente aplicando fuerzas que estabilicen alsistema (como cuando se sostiene una escoba apoyando la punta del palo en un dedo).En la práctica no sólo interesa la estabilidad del equilibrio frente a perturbaciones in-finitesimales, sino también la estabilidad frente a perturbaciones de amplitud finita. LaFig.15(b) muestra una esfera apoyada sobre una superficie con dos valles. Tanto A co-mo B son posiciones de equilibrio estable frente a pequeñas perturbaciones: una pequeñaperturbación produce oscilaciones alrededor de B (o de A) que finalmente se amortiguan,recuperándose la posición de equilibrio inicial. Pero si la perturbación es grande el resul-tado puede ser diferente: si la esfera B recibe un empujón que la lleva hasta la cresta C


de la loma entre B y A, puede caer hacia A y nunca volverá espontáneamente a B. Eneste caso se dice que el equilibrio en B es metaestable.

Estabilidad del equilibrio de un objeto extenso apoyado

Consideremos el equilibrio de una roca de forma irregular, apoyada sobre un sustratorígido (pueden ser otras rocas). En general la roca está en contacto con el sustrato enno más de tres puntos. Sean 1, 2 y 3 estos puntos. En 1, 2 y 3 el sustrato ejerce lasreacciones f1, f2, f3 que equilibran al peso P de la roca Fig.11(a). En general esas reaccionestienen tanto componentes horizontales como verticales. Las componentes horizontales (nodibujadas en la figura) se cancelan entre sí. Las componentes verticales compensan elpeso.

En el equilibrio el momento neto calculado respecto de cualquier punto debe ser nulo.En particular debe ser nulo el momento calculado respecto del punto 1 y por lo tanto lacomponente de ese momento en la dirección de la línea 1-2. Es evidente entonces que f3y la intersección A de la línea de acción de P con el plano 1, 2, 3 se deben encontrar delmismo lado de la línea 1-2. En efecto, si estuviesen en lados opuestos los momentos de f3y P tendrían el mismo sentido de giro alrededor de 1-2 y no habría equilibrio. Repitiendoel argumento para los puntos 2 y 3 se ve que A debe estar dentro del triángulo (1 2 3).Este equilibrio es metaestable porque si se perturba la roca aplicándole una fuerza adi-cional, por ejemplo si la pisamos al caminar, el equilibrio se puede romper. Si P ′ es lafuerza adicional, las fuerzas P y P ′ se pueden combinar en una única resultante R. Si Bes la intersección de la línea de acción de P ′ con el plano 1, 2, 3, lo que sucede dependede si B cae dentro o fuera del triángulo(1 2 3):

Si B está dentro del triángulo, cualquiera sea B el punto A′ donde la recta de acciónde R intercepta el plano 1, 2, 3 estará también dentro del triángulo (1 2 3). En estecaso las reacciones establecen siempre el equilibrio.

Si B cae fuera del triángulo entonces A′ podrá estar o no dentro del triángulo,dependiendo de P ′ y de la posición de B. Si A′ se encuentra dentro del triángulohay equilibrio. Si A′ está fuera del triángulo Fig.16(b), no hay equilibrio y la rocase da vuelta.

Si la piedra se da vuelta encontrará eventualmente otra posición de equilibrio análoga ala anterior. Por ejemplo, si pivotó alrededor de la línea 1-2, encontrará en algún momentoun nuevo punto de apoyo como el 4 y se equilibrará bajo la acción de R apoyándose en 1,2 y 4 si la línea de acción de R cae dentro del triángulo (1 2 4).


Equilibrio en presencia de fuerzas conservativas

Si un objeto puntual se encuentra sometido a un campo de fuerzas conservativas.

F = Fr . . . . . . . . . (36)

es posible definir una energía potencial Vr tal que:

F = −∂V . . . . . . . . . (37)

La condición de equilibrio es pues:

∂V = 0 . . . . . . . . . (38)

o sea:∂V

∂x= 0; ∂V

∂y= 0; ∂V

∂z= 0 . . . . . . . . . (39)

Sea r0 un punto de equilibrio. Para ver si el equilibrio es estable o inestable tenemos queexaminar en qué dirección se dirige la fuerza cuando nos apartamos un poco del equilibrio.Cerca de r0, donde las derivadas primeras de V se anulan

V(r0+δr) = V(r0) + 12

∑i

∑j

∂2V

∂xi∂xj= V(r0) + δV

El equilibrio es estable si δV es positivo para cualquier desplazamiento δr desde r0.Luego V debe ser un mínimo para que el equilibrio sea estable.En general un cuerpo de forma irregular como una roca tendrá muchas posiciones deequilibrio estable (en realidad metaestable) como se muestra en la Fig.17. Entre ellas lamás estable será la que corresponde a que el centro de masa esté más bajo. En efecto laenergía potencial gravitatoria de la roca es una función complicada de la posición de laroca sobre el sustrato y de su orientación. Por lo tanto V depende de 5 parámetros.Cada posición de equilibrio como las que hemos descrito corresponde a un mínimo(local) de la energía potencial. Pero la energía potencial está dada simplemente porV = Ph, siendo h la altura del baricentro de la roca respecto de un nivel de referencia.Por ejemplo las posiciones 1, 2, 3, 4 de la Fig.17 son todas posiciones de equilibrioestables. Como h3 < h2 < h4 < h1 , la posición h3 es la más estable porque es el másbajo de los mínimos de V .


Capítulo 2

CONCEPTOS DE LA INGENIERÍA

2.1. INGENIERÍA ESTRUCTURAL

La ingeniería estructural es una rama clásica de la ingeniería civil y, en unos pocospaíses, de la arquitectura, que se ocupa del diseño y cálculo de la parte estructural en lasedificaciones y demás obras. Su finalidad es la de conseguir estructuras funcionales queresulten adecuadas desde el punto de vista de la resistencia de materiales. En un sentidopráctico, la ingeniería estructural es la aplicación de la mecánica de medios continuospara el diseño de elementos y sistemas estructurales tales como edificios, puentes, muros(incluyendo muros de contención), presas, túneles, etc.


2.1.1. Principios estructurales

Debe entenderse como una carga estructural aquella que debe ser incluida en el cálculode los elementos mecánicos (fuerzas, momentos, deformaciones, desplazamientos) de laestructura como sistema y/o de los elementos que la componen. Las cargas estructuralesson generalmente clasificadas como: cargas muertas que actúan de forma continua y sincambios significativos, pertenecen a este grupo el peso propio de la estructura, empujesde líquidos (como en un dique) o sólidos (como el suelo en un muro de contención),tensores (como en puentes), presfuerzo, asentamientos permanentes; cargas vivas queson aquellas que varían su intensidad con el tiempo por uso o exposición de laestructura, tales como el tránsito en puentes, cambios de temperatura, maquinaria(como una prensa), acumulación de nieve o granizo, etcétera; cargas accidentales quetienen su origen en acciones externas al uso de la estructura y cuya manifestación es decorta duración como lo son los eventos sísmicos o ráfagas de viento.Elemento estructural es cada una de las partes diferenciadas aunque vinculadas en quepuede ser dividida una estructura a efectos de su diseño. El diseño y comprobación deestos elementos se hace de acuerdo con los principios de la ingeniería estructural y laresistencia de materiales.

2.1.2. Clasificación de los elementos

En el caso de construcciones estas tienen nombres que los identifican claramenteaunque en el mundo hispano parlante, estos nombres cambian de país a país. Básica-mente los elementos estructurales pueden tener estados de tensión uniaxiales, biaxialeso triaxiales según su dimensionalidad y según cada una de las direcciones consideradaspueden existir tanto tracciones como compresiones y finalmente dicho estado puede seruniforme sobre ciertas secciones transversales o variar de punto a punto de la sección. Loselementos estructurales suelen clasificarse en virtud de tres criterios principales:

Dimensionalidad del elemento, según puedan ser modelizados como elementosunidimensionales (vigas, arcos, pilares,. . .), bidimensionales (placas, láminas, mem-branas) o tridimensionales.

Forma geométrica y/o posición, la forma geométrica concreta afecta a los de-talles del modelo estructural usado, así si la pieza es recta como una viga o curvacomo un arco, el modelo debe incorporar estas diferencias, también la posición uorientación afecta al tipo de estado tensional que tenga el elemento.

Estado tensional y/o solicitaciones predominantes, los tipos de esfuerzos pre-dominantes pueden ser tracción (membranas y cables), compresión (pilares), flexión(vigas, arcos, placas, láminas) o torsión (ejes de transmisión, etc.).


2.1.3. Elementos lineales

Los elementos lineales o unidimensionales o prismas mecánicos, están generalmentesometidos a un estado de tensión plana con esfuerzos de tensiones grandes en la direc-ción de línea baricéntrica (que puede ser recto o curvo). Geométricamente son alargadossiendo la dimensión según dicha línea (altura, luz, o longitud de arco), mucho mayorque las dimensiones según la sección transversal, perpendicular en cada punto a la líneabaricéntrica. Los elementos lineales más comunes son según su posición y forma:

Verticales, comprimidos y rectos: Columna (sección circular) o pilares (secciónpoligonal), pilote (cimentación).

Horizontales, flexionados y rectos: viga o arquitrabe, dintel, zapata corridapara cimentación, correa de sustentación de cubierta.

Diagonales y rectos: Barras de arriostramiento de cruces de San Andrés, barrasdiagonales de una celosía o entramado triangulado, en este caso los esfuerzos puedenser de flexión tracción dominante o compresión dominante.

Flexionados y curvos:, que corresponden a arcos continuos cuando los esfuer-zos se dan según el plano de curvatura o a vigas balcón cuando los esfuerzos sonperpendiculares al plano de curvatura.

2.1.4. Elementos bidimensionales

Los elementos planos pueden aproximarse por una superficie y tienen un espesor pe-queño en relación a las dimensiones generales del elemento. Es decir, en estos elementosuna dimensión, llamada espesor, es mucho menor que las otras dos. Pueden dividirse segúnla forma que tengan en elementos:

Horizontales, flexionados y planos, como los forjados, las losas de cimentación,y las plateas o marquesinas.

Verticales, flexionados y planos, como los muros de contención.

Verticales, comprimidos y planos, como los muros de carga, paredes o tabiques.

Flexionados y curvos, como lo son las láminas de revolución, como los depósitoscilíndricos para líquidos.


Traccionados y curvos, son las membranas elásticas como las paredes de depósitoscon fluidos a presión.

2.1.5. Elementos tridimensionales

Los elementos tridimensionales o volumétricos son elementos que en general presentanestados de tensión biaxial o triaxial, en los que no predomina una dirección dimensiónsobre las otras. Además estos elementos suelen presentar tracciones y compresiones si-multáneamente según diferentes direcciones, por lo que su estado tensional es complicado.Entre este tipo de elementos están:

Las ménsulas de sustentación.

Las zapatas que presentan compresiones según direcciones cerca de la vertical alpilar.

2.1.6. Diseño de elementos estructurales

Los elementos estructurales son diseñados, es decir, calculados o dimensionados paracumplir una serie de requisitos, que frecuentemente incluyen:

Criterio de resistencia, consistente en comprobar que las tensiones máximas nosuperen ciertas tensiones admisibles para el material del que está hecho el elemento.

Criterio de rigidez, consistente en que bajo la acción de las fuerzas aplicadaslas deformaciones o desplazamientos máximo obtenidos no superan ciertos límitesadmisibles.

Criterios de estabilidad, consistente en comprobar que desviaciones de las fuerzasreales sobre las cargas previstas no ocasionan efectos autoamplificados que puedanproducir pérdida de equilibrio mecánico o inestabilidad elástica.

Criterios de funcionalidad, que consiste en un conjunto de condiciones auxiliaresrelacionadas con los requisitos y solicitaciones que pueden aparecer durante la vidaútil o uso del elemento estructural.

2.1.7. Resistencia

Para comprobar la adecuada resistencia de un elemento estructural, es necesario calcularla tensión (fuerza por unidad de área) que se da en un elemento estructural bajo laacción de las fuerzas solicitantes. Dada una determinada combinación o distribución defuerzas, el valor de las tensiones es proporcional al valor de la fuerza actuante y del tipode elemento estructural.En los elementos lineales el vector tensión en cada punto se puede expresar en funciónde las componentes intrínsecas de tensión y los vectores tangente, normal y binormal:

t = σxt+ τyy + τz z

Y las dos tensiones principales que caracterizan el estado de tensión de una viga rectavienen dados por:


σI = 12(σx +

√σ

2x + 4τ 2

y + 4τ 2z ) , σII = 1

2(σx −√σ

2x + 4τ 2

y + 4τ 2z )

Y a partir de ahí pueden calcularse los parámetros de la teorías de fallo adecuada según elmaterial que forma el elemento estructural. En elementos bidimensionales que se puedenmodelizar aproximadamente por la hipótesis cinemática de Love-Kirchhoff, que juega unpapel análogo a la teoría de Navier-Bernouilli para vigas, los vectores de tensiones segúnplanos perpendiculares a las líneas de curvatura vienen dado en términos de los vectorestangente a las líneas de curvatura y el vector normal a al elemento bidimensional mediante:

tu = σuuru + τuvrvtu = τuvru + σvvrv

2.1.8. Rigidez

La rigidez de un elemento estructural es un tensor que vincula el tensor de las fuerzasaplicadas con las coordenadas de las deformaciones o desplazamientos unitarios. En unelemento estructural existe un conjunto de parámetros de rigidez que relaciona lasfuerzas que se producen al aplicar un desplazamiento unitario en particular. Lascoordenadas de desplazamiento necesarias y suficientes para determinar toda laconfiguración deformada de un elemento se llaman grados de libertad.En un material de comportamiento elástico las fuerzas se correlacionan con lasdeformaciones mediante ecuaciones de líneas rectas que pasan por el origen cartesianocuyas pendientes son los llamados módulos de elasticidad. El concepto de rigidez mássimple es el de rigidez axial que quedó formulado en la ley de Hooke.La pendiente que correlaciona el esfuerzo axial con la deformación unitaria axial sedenomina módulo de Young. En un material isotrópico la pendiente que correlaciona elesfuerzo axial con la deformación unitaria lateral se denomina coeficiente de Poisson.El número mínimo de coordenadas de desplazamiento que se necesita para describir laconfiguración deformada de un cuerpo se denomina número de grados de libertad. Lallamada ley de Hooke puede hacerse extensiva para correlacionar de manera matricial larigidez con los grados de libertad y expresar así la configuración deformada del elementoo cuerpo bajo estudio.El concepto de rigidez puede hacerse extensivo a los estudios de estabilidad en que seindaga la rigidez ”detrimental” que ofrece la geometría del elemento.

2.1.9. Inestabilidad elástica

La inestabilidad elástica es un fenómeno de no linealidad que afecta a elementos estruc-turales razonablemente esbeltos, cuando se hallan sometidos a esfuerzos de compresióncombinados con flexión o torsión.


2.2. ESTABILIDADDE EDIFICIOS PRISMÁTICOS

El modelo solido indeformable, aunque simple, permite establecer algunas reglas dediseño sobre edificios, sin más que considerar la resistencia de suelos corrientes y la estabili-dad general.

Edificio prismático Nos limitaremos a edificios de pisos prismáticos (muchos edificios, enapariencia complicados, se reducen a conjuntos de prismas debido a la disposición dejuntas de dilatación).

Las acciones típicas son:

Peso. El peso especifico suele andar en Wmax = 2, 4kN/m3, de los cuales Wmin =1, 2kN/m3 representan el peso propio (edificio vacío), mientras que otro tanto rep-resenta la máxima sobrecarga durante el uso (edificio totalmente lleno).

Viento. En condiciones ”normales”, el viento puede suponer como mucho unapresión de Wmax = 1kN/m2, perpendicular a la superficie a barlovento.(En calma,W = 0.)

Las reacciones las suministra la cimentación. Sin soluciones especiales y sin entrar endetalles, podemos imaginarla como la cara inferior del prisma simplemente apoyadasobre el terreno. Un terreno flojo o tipo puede resistir con seguridad presiones normalesfT = 150kN/m2, cuya suma suministrara la máxima reacción vertical. Como coeficientede rozamiento µ podemos considerar 0,25, valor con el que podremos determinar lamáxima reacción horizontal.

Finalmente, como coeficiente de seguridad para un equilibrio estable podemos considerarY = 2.

2.2.1. Equilibrio

La dirección pésima para la acción del viento es la paralela a b: entonces la superficiea barlovento es máxima (c× h). Para su manejo, tanto el peso especifico como la presión


del viento deben integrarse en su volumen y superficie, respectivamente, dando lugar afuerzas puntuales: el peso P = ρbch y la fuerza del viento H = Wch, aplicadas en el centrogeométrico de sus figuras. Nótese que tanto el peso como el viento son variables, aunqueconocemos sus valores mínimo y máximo previsibles, siempre en condiciones ”normales”.Las reacciones horizontal y vertical podrán estar aplicadas en cualquier punto de la basedel prisma, allí donde sea necesario para el equilibrio, véase la Figura 2.Las tres ecuaciones de equilibrio son:

N = ρbch · · · · · · · · · (1)T = wch · · · · · · · · · (2)

wchh

2 = ρbche

La ultima ecuación se obtiene calculando momentos en el punto de aplicación de lasreacciones, con una excentricidad e respecto al centro de la base. Las ecuaciones anterioressuministran los tres parámetros (N , T , e) que definen la reacción del terreno necesariapara el equilibrio, para cualquier hipótesis de uso razonable del edificio (valores de ρ, w).La excentricidad e informa de donde debe aplicarse la reacción del terreno, y se obtienede la tercera ecuación:

e = 1Wh

2ρb = 1W2ρ · · · · · · · · · (3)

En la ultima expresión aparece ρ, es decir, la proporción h/b de la fachada paralela alviento, que generalmente se denomina esbeltez.Además de las puras ecuaciones de equilibrio, debemos considerar los límites queimponen tanto la geometría como la naturaleza de las superficies en contacto. Así Laexcentricidad e no puede superar la mitad del lado de la base, de otro modo lasreacciones no actuaran sobre el edificio: e ≤ b/2.

La reacción horizontal no puede superar la resistencia al deslizamiento, µN : T ≤ N .La reacción vertical no puede ser negativa: el edificio flotara, N > 0.Finalmente, la presión normal sobre el terreno p no puede superar la que este resistacon seguridad. La presión sobre el terreno la podemos estimar repartiendo uniformementela reacción vertical N en la superficie de la base cuyo centro este precisamente en el puntode aplicación de N , véase la Figura 3:


p = P

(b− 2e).c = ρbh

b− 2e 6 fT · · · · · · · · · (4)

Al considerar cada uno de estos límites junto a las ecuaciones de equilibrio, podemosinvestigar en qué condiciones el equilibrio es posible y seguro.

2.2.2. Deslizamiento

La situación crítica se da cuando la reacción horizontal alcanza el máximo valor dela fuerza de rozamiento, entonces el edificio está a punto de deslizar sobre el terreno. Lacondición de equilibrio es entonces:

T 6 µN es decir wch 6 µρbch

La acción del viento es desfavorable (es la fuerza que intenta desplazar el edificio), mientrasque el peso del edificio es favorable (el rozamiento, proporcional al peso, intenta evitarlo).En consecuencia, la situación pésima es la del máximo viento actuando sobre el edificiovacío:

Wmax 6 µρminb

Además, para alejarnos de la situación crítica, aplicamos la acción desfavorable, multi-plicándola por el coeficiente de seguridad:

γWmax ≤ µρminb

Obtenemos así una condición sobre la crujía menor del edificio:

b >γWmax

µρmin= 2× 1kN/m2

0, 25× 1, 2kN/m3 = 6, 7m

La conclusión es que en condiciones normales, solo los edificios de crujía muy pequeñapueden tener problemas de deslizamiento. ¿ Quién no ha visto ”pasearse” sillas y mesas,incluso casetas de perro, en un vendaval? Las maquetas de los edificios también estánamenazadas, al revés que los edificios que representan.

2.2.3. Desplome o vuelco

La situación crítica se presenta cuando la reacción del terreno tiene que situarse justoen el borde a sotavento. Es decir, cuando la excentricidad e alcanza su máximo valor,b = 2. La condición de equilibrio es entonces:

e = 1W2ρ λ ≤

b

2

Una vez más la acción del viento es desfavorable, mientras que el peso es favorable: comoen el caso anterior, la situación pésima es con el edificio vacío azotado por el vendaval. Eigual que antes, multiplicaremos el viento por el coeficiente de seguridad, para apartarnosde la situación crítica (inestable):

γWmaxλ ≤ bρmin


Evitar el vuelco requiere limitar la esbeltez para cada ancho, o bien asegurar un anchomínimo para cada esbeltez:

γWmaxλ ≤ bρmin

Para las condiciones ”normales”, ambas reglas indican que:

λ ≤ 1, 2kN/m3

2× 1kN/m2 b = b

1, 67m o bien b ≥ 1, 67m.λ

Es decir que, por ejemplo, un edificio diez veces más alto que ancho tiene que contar conuna base mayor que 16, 7m: en caso contrario, será inseguro frente al vuelco. Para cadaancho, puede calcularse la esbeltez limite (y por tanto la altura máxima) compatible conla seguridad al vuelco, véase Cuadro 1. Como puede observarse, desde el punto de vistadel vuelco, un edificio puede ser tanto más esbelto cuanto más grande sea: la dificultadestá en hacer edificios esbeltos pequeños. Para los edificios estrictamente seguros frente avuelco del Cuadro 1, podemos calcular la presión media sobre el terreno con la ecuación(4). Hay dos casos extremos: el edificio vacío y sin viento con una presión mínima (mínimopeso y máxima área para repartir N al ser e = 0), y el edificio lleno azotado por el máximoviento (máximo peso y mínima área, al ser e máxima). Para el primer caso, P = Pminhyla presión depende tan solo de la altura. Para el segundo, hay que calcular primero laexcentricidad de la reacción del terreno:

e = 1Wmax

2ρmaxλ

En el Cuadro 1 se dan ambos valores para cada esbeltez límite. Ya se ve que un edificiode unas 20 plantas de 3m de altura requerirá un terreno algo mejor que el ”flojo” (fT =150kN/m2). Y edificios más altos requerirán cimentaciones especiales (que normalmenteincluirán excavaciones para buscar capas de terreno más resistentes); una roca ”tipo” -no especialmente - buena puede soportar con seguridad 500kN/m2, insuficiente para losrascacielos verdaderamente altos. Este último resultado nos pone sobre la pista de que laseguridad frente al hundimiento va a ser un requisito más exigente que los anteriores.

2.2.4. Hundimiento

Aunque estamos considerando el edificio como solido indeformable (y por tanto ir-rompible), para analizar el hundimiento nos basta con tener una idea somera de la re-sistencia del terreno, es decir, la presión media que con seguridad es capaz de resistir,fT . Partiendo de la ecuación (4), y considerando la expresión de la excentricidad (3), lacondición para la seguridad frente al hundimiento es:

P = ρbh

b− Wmax

ρmaxλ≤ fT

De aquí podemos deducir un límite para la altura del edificio:

h ≤ b2ρ

ρ2b2

fT+W


De esta expresión se deduce que el viento es una acción desfavorable: cuanto mayor sea,menor habrá de ser la altura. No resulta tan evidente como es el peso: cuanto mayorsea, mayor es el numerador pero también será mayor el denominador; pero puesto queel denominador crece con el cuadrado de ρ, cabe esperar que el efecto neto sea desfa-vorable. Por tanto calcularemos h con los valores máximos de ambas acciones, véase elCuadro 2, para cada valor de b. Nótese que en este requisito no empleamos ningún coefi-ciente de seguridad, debido a que fT es una resistencia segura - con la seguridad incluida.En el Cuadro 2 se han tabulado los valores límite de h tanto para un terreno ”ojo” comopara una ”buena” roca, diez veces más resistente. Se observa que conforme el tamaño deledificio crece, la esbeltez límite disminuye (al revés que en el caso del vuelco). La esbeltezde los rascacielos americanos prismáticos no suele superar el valor 10, lo que concuer-da con el caso de una buena roca. En este último caso, debe notarse que para tamañospequeños (b igual a 20m o menor), la seguridad al vuelco impone límites menores tan-to para h como para ρ que aquellos que impone el hundimiento, véase Cuadro 1; enel caso de cimentación sobre roca, los valores límite combinados de dan el Cuadro 3.

UNA CONCLUSIÓN Los edificios normales, de no más de 10 plantas, y crujías nomenores de 7m, son seguros en condiciones normales: no deslizan, no vuelcan, no se hun-den.

CUADRO 1: SEGURIDAD FRENTE AL VUELCO

Valores límite de h y ρ para asegurar la estabilidad frente al vuelco de edificios normalescon base b (peso especifico entre 1,2 y 2,4 kN/m3, máximo viento de 1 kN/m2). Para losvalores indicados de h y b, se da también la presión media sobre el terreno, mínima(edificio vacío sin viento) y máxima (edificio lleno con viento).

CUADRO 2: SEGURIDAD FRENTE AL HUNDIMIENTOValores límite de h y ρ para asegurar la estabilidad frente al hundimiento de edificiosnormales con base b (peso especifico entre 1,2 y 2,4 kN/m3, máximo viento de 1kN/m2.Se considera un terreno ”flojo” (fT = 150kN/m2) y una ”buena” roca(fT = 1, 500kN/m2).


CUADRO 3:SEGURIDAD COMBINADA FRENTE AL VUELCO Y ALHUNDIMIENTOValores límite de h y ρ para asegurar la estabilidad frente al vuelco y al hundimiento deedificios normales con base b (peso especifico entre 1,2 y 2,4 kN/m3, máximo viento de1kN/m2), apoyados sobre una "buena roca"(fT = 1, 500kN/m2).

En resumenOtras han sido diseñadas y construidas por el hombre para satisfacer sus necesidades alo largo de su evolución, las llamaremos estructuras artificiales. Los ejemplos másusuales de este tipo de estructuras son los puentes y edificios, pero las podemosencontrar en la mayoría de los objetos realizados por el hombre.

Desde los puentes romanos de piedra hasta los largos puentes colgantes; desde losprimeros poblados hasta los grandes rascacielos, los avances tecnológicos y la utilizaciónde nuevos materiales van posibilitando al hombre la construcción de estructuras cadavez más resistentes y ligeras.A la hora de diseñar una estructura esta debe de cumplir tres propiedades principales:ser resistente, rígida y estable. Resistente para que soporte sin romperse el efecto de lasfuerzas a las que se encuentra sometida, rígida para que lo haga sin deformarse y establepara que se mantenga en equilibrio sin volcarse ni caerse.

2.3. ELEMENTOS RESISTENTES

La resistencia de una estructura no depende solamente de las propiedades del materialcon el que está hecha, sino también de la disposición del conjunto de elementos resistentesque la forman. En cualquier estructura podemos encontraremos uno o varios de los sigu-ientes elementos resistentes, encargados de proporcionarle la suficiente resistencia parasoportar las cargas a la que está sometida:


2.3.1. Pilares

Elementos resistentes dispuestos en posición vertical, que soportan el peso de loselementos que se apoyan sobre ellos. Cuando presentan forma cilíndrica se les denominacolumnas.

2.3.2. Vigas

Elementos colocados normalmente en posición horizontal que soportan la carga de laestructura y la transmiten hacia los pilares. Están constituidas por uno o más perfiles.

2.3.3. Perfiles

Los perfiles son las formas comerciales en que se suele suministrar el acero u otrosmateriales. El tipo de perfil viene dado por la forma de su sección.Perfiles cerrados:

Perfiles abiertos:


2.3.4. Tirantes

Son cables, normalmente constituidos por hilos de acero, que dan rigidez y permitenmejorar la resistencia de la estructura. Soportan bien los esfuerzos que tienden a estirarlosy pueden ser tensados mediante tensores o trinquetes como el que se puede observar enla fotografía siguiente:

2.3.5. Arcos

Forma geométrica muy utilizada a lo largo de la historia como solución arquitectónica.Permite trasmitir las cargas que soporta hacia los elementos que sustentan la estructura.

2.3.6. Triángulos

Puede demostrarse, de forma experimental, que el triángulo es la forma geométrica másestable, al no deformarse al actuar sobre él fuerzas externas. Esta es la razón por la quese utiliza la triangulación para aportar mayor rigidez a las estructuras. En caso contrarionos encontraremos con una estructura articulada.

Estructuras articuladas


Estructuras rígidas

En ocasiones la colocación de una simple escuadra otorga a la estructura la rigidez yresistencia que necesita.

A menudo nos encontramos estructuras que se hayan formadas por un conjunto de perfilesagrupados geométricamente formando una red de triángulos, son las denominadas cerchas.Las vemos en construcciones industriales, grúas, gradas metálicas, postes eléctricos, etc.

En las siguientes fotografías puedes observar algunos ejemplos comunes de utilización deestructuras triangulares:


2.3.7. Tubos

Por último, otro tipo de elementos que presentan gran resistencia son los tubos oestructuras tubulares. Su geometría cilíndrica permite un reparto equitativo de las cargassobre sus paredes . Una de sus principales aplicaciones es la construcción de canalizaciones.

2.4. ESFUERZOS EN LAS ESTRUCTURAS

Los elementos de una estructura deben de aguantar, además de su propio peso, otrasfuerzas y cargas exteriores que actúan sobre ellos. Esto ocasiona la aparición de diferentestipos de esfuerzos en los elementos estructurales, esfuerzos que estudiamos a continuación:

2.4.1. Tracción

Decimos que un elemento está sometido a un esfuerzo de tracción cuando sobre élactúan fuerzas que tienden a estirarlo. Los tensores son elementos resistentes que aguantanmuy bien este tipo de esfuerzos.

2.4.2. Compresión

Un cuerpo se encuentra sometido a compresión si las fuerzas aplicadas tienden aaplastarlo o comprimirlo. Los pilares y columnas son ejemplo de elementos diseñadospara resistir esfuerzos de compresión.Cuando se somete a compresión una pieza de gran longitud en relación a su sección, searquea recibiendo este fenómeno el nombre de pandeo.


2.4.3. Flexión

Un elemento estará sometido a flexión cuando actúen sobre el cargas que tiendan adoblarlo. Ha este tipo de esfuerzo se ven sometidas las vigas de una estructura.

2.4.4. Torsión

Un cuerpo sufre esfuerzos de torsión cuando existen fuerzas que tienden a retorcerlo.Es el caso del esfuerzo que sufre una llave al girarla dentro de la cerradura.

2.4.5. Cortadura

Es el esfuerzo al que está sometida a una pieza cuando las fuerzas aplicadas tienden acortarla o desgarrarla. El ejemplo más claro de cortadura lo representa la acción de cortarcon unas tijeras.


Parte II

APLICACIÓN


2.5. Aplicación del análisis de vigas las estructuras

Para el análisis de los aspectos físicos (ELASTICIDAD) en un puente de viga, seránecesario introducir la idea de líneas de influencia.

2.5.1. Líneas de influencia

Considerando la forma en que actúan las cargas en una estructura vemos que se puedenclasificar en cargas permanentes (muertas), cargas no permanentes o vivas y/o cargas deconstrucción. La carga permanente, como su nombre lo dice, siempre estará presente enla vida útil de la estructura y producirá sobre esta efectos constantes; la carga viva o nopermanente fluctúa tanto en posición sobre la estructura como en su duraciónproduciendo efectos variables en ella. Podríamos concluir, de una manera apresurada,que colocando la carga viva sobre toda la estructura produciríamos los efectos máximosen ella, esta afirmación no es cierta y requiere de un estudio más complejo.Un ejemplo simple de este efecto es el de una viga simplemente apoyada con voladizo aun lado. Si la carga viva actúa sobre toda la viga, producirá un momento positivo en laluz menor que si actúa solo en el tramo apoyado; en este ejemplo sencillo nospercatamos de la importancia de saber colocar la carga para que produzca los efectosmáximos y así cuando diseñemos no corramos el peligro de que nuestra estructura falle.

En este capítulo estudiaremos el método de las líneas de influencia para colocar la cargaviva o variable de tal manera que produzca efectos máximos de corte, flexión, reaccionesy deflexiones tanto para cargas puntuales como para cargas distribuidas.La línea de influencia es un grafico que define la variación de un esfuerzo (corte,momento flector o torsor), reacción o deflexión en un punto fijo de la estructura amedida que se mueve una carga unitaria sobre ella.La línea de influencia es diferente al diagrama de momento o cortante o a la elástica dela viga, estos representan la variación de la función a lo largo de la viga para una serie decargas definidas y el otro define como varía V , M o δ en un punto específico cuando semueve una carga unitaria sobre la viga no dando el valor de la función en toda posición.La línea de influencia utiliza una carga unitaria ya que por los conceptos de linealidad,proporcionalidad y superposición se puede determinar la función específica simplementemultiplicando el valor de la línea de influencia por el valor de la carga real.Este método se utiliza mucho para cargas vivas sobre puentes, puentes grúas, bandastransportadoras y especialmente en aquellas estructuras con cargas móviles.

Determinación de la línea de influencia:

La línea de influencia es una gráfica en la cual las ordenadas representan una fuerzainterna o deflexión y la abscisa representa la posición de una carga unitaria. Para su con-


strucción se define el punto de estudio sobre la estructura, se comienza a variar la posiciónde la carga puntual y se encuentra el valor del esfuerzo interno a medida que se muevela carga, se puede construir una tabla del valor de la función vs la posición de la carga ydespués se gráfica. Otro método es encontrando la ecuación de la línea de influencia y grafi-cando.Construyamos la línea de influencia para la reacción en A de la siguiente viga:Se empieza a mover la carga P a diferentes distancias x y para cada distancia se calcula RA.Otro método es encontrando la ecuación de la variación de la reacción en A a medida quese mueve una carga unitaria. Se parte de encontrar esa reacción en función de la posiciónx de la carga P = 1, 0. Aplicando ecuaciones de equilibrio o encontrando la reacción porproporciones tenemos:

RA = P × (L− x)L

; RB = P × xL

Notemos que la ecuación tiene pendiente negativa y con una variación lineal para RA.

Para obtener el valor de la reacción en A para cualquier carga P , se multiplica laordenada de la línea de influencia por el valor de la carga.Línea de influencia para el cortante en A: Se determina la variación del cortante en Apor el método de las secciones:

En vista de que siempre es una carga puntual, se parte de encontrar primero las reaccionesen función de la posición x y después se aplica el método de las secciones partiendo porel punto al cual se le quiere determinar la línea de influencia:

Haciendo equilibrio en la sección y localizando la carga en x > 0 tenemos:


Fy = 0 = −VA +RA ⇒ VA = RA

En este caso concluimos que la línea de influencia del cortante en A es igual a la de lareacción en ANote que la línea de influencia se hacer para la convención positiva de los esfuerzosinternos.Línea de influencia para la reacción en B:

Línea de influencia para el momento en A:Para cualquier posición de la carga unitaria el momento en A será cero.

Línea de influencia para el cortante y momento en un punto C en L/2Siempre comenzamos encontrando las reacciones en los apoyos y luego partimos:

Para x < L/2 , se puede tomar la sección C −B y los cálculos se facilitan ya que en ellano está actuando la carga unitaria:

FV = VC + X

L= 0

de donde:

VC = −XL∑

MC = −MC + X

L.L

2 = 0⇒MC = X

2

Para x > L/2 se toma la sección A− C para equilibrio:


∑FV = −VC + (L− x)

L= 0

VC = (1− X

L)

∑MC = MC −

(L− x)L

.L

2

Línea de influencia para el cortante en C:

Momento en C:

USO DE LAS LÍNEAS DE INFLUENCIA:

1. Caso de cargas puntuales: Para cualquier carga puntual P se multiplica el valor dela ordenada en el punto x y ese es el valor del corte o del momento o la función graficada.Para encontrar los valores máximos de V o M se debe colocar la carga puntual P en elpunto de máxima ordenada.


2. Caso de cargas distribuidas:

En realidad una línea de influencia para una carga distribuida no se podría encontrar comotal, pero la línea de influencia de la carga puntual se puede usar para determinar en quétramos colocar la carga distribuida para que produzca los valores máximos en un punto.Si sabemos que el valor de la reacción, cortante o momento en un punto está dado por lapor la ordenada y de la línea de influencia multiplicada por el valor de la carga actuanteP ; entonces para una serie de cargas P , o sea una carga distribuida, el valor del cortante,momento o reacción se podría determinar por la suma de todos los cortantes o momentosde cada una de las cargas:

∑P × y

Para cargas distribuidas podemos considerar que cada carga P corresponde al valor de lacarga distribuida por una longitud pequeña de viga ∆x, dándonos la sumatoria como:

V alordelafuerzainterna = ∑w.dx.y = w

∑y.dx = w

∫y.dx =

w × áreabajolalineadeinfluencia

Notemos que el valor de la función conserva el signo de la gráfica de la línea de influencia,así, si queremos obtener valores máximos debemos colocar la carga distribuida sobre áreasque sumen, con el signo correspondiente, a un valor existente.


Parte III

OPINIÓN CRITICA


Capítulo 3

INTEGRANTE 01


Capítulo 4

INTEGRANTE 02


Parte IV

IMPACTO AMBIENTAL


IMPACTO AMBIENTAL

La mayor parte de lo que el hombre crea o produce genera un cambio ya se directa oindirectamente en el medio ambiente.Tal es el caso de la construcción que es el más responsable del cambio en el medioambiente. Porque genera contaminantes no solo al inicio de su construcción sino tambiénen su funcionamiento pues se sabe que hasta el pequeño detalle de abrir o cerrar unaventana genera una contaminación.Primeramente el estudio de lugar de ejecución del proyecto necesita de trabajos previosde investigación como por ejemplo excavaciones para obtener muestras que luego seránanalizados en el laboratorio. Este hecho de excavar y sacar una muestra ya género uncambio Del medio. Seguidamente se hacen las instalaciones por ejemplo del campamentoy maquinarias con las que se desarrollara el proyecto. Este proceso genero un cambio enel medio porque al momento de instalarse el campamento se pudo haber destruidomuchas habitad de los seres que existían ahí. También se pudo haber destruido arboledapara poder levantarse el campamento y también hacer uso de este material prima parala ejecución de la obra. En cuanto a las maquinarias en el proceso de construcción sesabe que estas contaminan el tan solo hecho de prenderlos pues estos herramientas deconstrucción no funcionan si no con el petróleo a su vez que este se quema y genera unagran cantidad de dióxido de carbono que es el más peligroso contaminante del medioambiente. Ya terminada la construcción de una edificación, sabemos que a grades alturasgenera un cambio como es el hecho de interrumpir el libre flujo del aire desviándolo endiferentes direcciones no permitiendo el paso del aire destinado a lugares donde esnecesaria la presencia de ello. Al final de su tiempo de uso las construcciones dejangrandes residuos de material contaminante que no son eliminados por ningún medio.De esto se deduce que las construcciones generan cambios irreparables ala naturaleza. Esmas este es la causante del 50 por ciento de contaminación del medio ambiente.


Parte V

BIBLIOGRAFÍA


Bibliografía

[1] SERWAY - JEWETT Física I . Vol. 1. séptima edición, 2008

[2] RUSSELL C AUTOR Hibbeler Mecánica vectorial para ingenieros, Dinámica décimaedición, 2004.

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[5] LUIS EDUARDO GAMIO ARISNABARRETA Estática.

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Estabilidad en Edificaciones

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