Estadística-02

7/17/2019 Estadística-02

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UNIVERSIDAD “JOSE CARLOS MARIATEGUI”

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EDUCA INTERACTIVA

TEM II

DISTRIBUCION DE FRECUENCIA

1. Cuestiones preliminares sobre Distribución de Frecuencia.2. Distribución de frecuencia cuando la variable es discreta.3. Distribución de frecuencia agrupada cuando la variable es continua.

OBJETIVOS DE UNIDAD

GENERALES.

Hacer que el estudiante comprenda que la frecuencia con que ocurren loshechos o fenómenos es lo que determina el comportamiento de éstos.

ESPECÍFICOS.

Al concluir el estudio de la presente unidad el alumno esta en capacidad de:

Definir qué y por qué se llama frecuencia. Distribuir los valores de la variable según sea discreta o continua, ya sea en

forma puntual o agrupada.




EDUCA INTERACTIVA 20

1. DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

CONCEPTO: Una distribución de frecuencias, es una tabla estadística de resumenen la que los datos se agrupan en clases o categorías ordenadas en formanumérica.

Cuando los datos se agrupan o condensan en tablas de distribución defrecuencias, el proceso de análisis e interpretación de los datos se vuelve muchomás manejable y significativo.

FRECUENCIA: Son medidas de los diferentes valores, categorías o clases de unavariable, ésta medida puede ser absoluta o relativa.

2. DISTRIBUCION DE FRECUENCIA CUANDO LA VARIABLE ES DISCRETA

PRIMER CASO: Cuando el número de datos son pocos y/o

hay pocadispersión

Vamos a suponer que se ha captado información visitando 20 hogares donde seha preguntado por el número de hijos del matrimonio, obteniendo la siguiente

información:

X1 = 3 X6 = 5 X11 = 3 X16 = 3

X2 = 5 X7 = 3 X12 = 5 X17 = 3

X3 = 3 X8 = 4 X13 = 2 X18 = 6

X14 = 4X4 = 2 X9 = 4 X19 = 5

X5 = 5 X10 = 5 X15 = 5 X20 = 4

Pasos para efectuar la distribución:

Primero: Determinamos los valores máximo (VM ) y mínimo (Vm).

VM = 6Vm = 2

Segundo: Hallamos el rango o recorrido de la variable (puntos por donde"caminarán" los valores de la variable), (R)

R = (VM – Vm) + 1 (Fórmula 7.1)R = 6.2 + 1 = 5

LECCIÓN Nº 06

FRECUENCIAS




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EDUCA INTERACTIVA

Tercero: Confeccionamos la tabla.

Tabla Nº 7.1.

Distribución de frecuencia de 20 matrimonios encuestados, según número de hijos.

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

Yi Num. de

Hijos

Tabulado f i Num. de

Matrimonios

Fi Num. Acum.matrimonios

hi % de

Matrimonios

Hi % Acum. deMatrimonios

Y1 = 2Y2 = 3Y3 = 4Y4 = 5Y5 = 6

IIIIIII IIIII

IIIII III

f 1 = 2f 2 = 6f 3 = 4f 4 = 7f 5 = 1

F1 = 2F2 = 8F3 = 12F4 = 19F5 = 20

h1 = 0,10h2 = 0,30h3 = 0,40h4 = 0,35h5 = 0,05

H1 = 0,10H2 = 0,40H3 = 0,60H4 = 0,95H5 = 1,00

∑ 20 1,00

Donde:

Yi : Valores que toma La variable. (Primera columna). Número de hijos.

En la segunda columna se ha efectuado el tabulado. Es decir se ubica cada uno delos datos obtenidos según los valores de la variable. (No siempre se representa enla tabla),

f i: Frecuencia absoluta. Es el número de veces que se repite cada uno de losvalores que toma la variable. (Número trascrito de la tabulación). (Terceracolumna). Al efectuar la encuesta, por ejemplo, hubieron 2 matrimonios querespondieron tener 2 hijos, por eso ni = 2 y 7 matrimonios respondieron tener 5

hijos, por eso n4 = 7. (En resumen, número de matrimonios).

Fi: Frecuencia absoluta acumulada. Número de veces acumulado que se repite losvalores de la variable i = 1 hasta j.

Fi =

Fi = f i

F2 = = n1 + n2 = 2 + 6 = 8

F3 = = n1 + n2 + n3 = 2 + 6 + 4 = 12

(Cuarta Columna)

hi: Frecuencia re1ativa. Proporción que existe entre la frecuencia absoluta y el totalde observaciones para cada valor que toma la variable. (Quinta columna).

hi = ni , hi = ni , 2 = 0,10n n 20

j

∑ ni

i=1

2

∑ ni

i=1

3

∑ ni

i=1





h2 = n2 , 6 = 0,30n 20

Hi: Frecuencia relativa acumulada. Suma de las frecuencias relativas desde i = 1 hasta j. (Sexta columna)

H j = o H j =n

H1 = h1 = 0,10

H2 = = h1 + h2 = 0,10 + 0,30 = 0,40

H5 = = 1

Interpretación:

f 2 : Existe 6 matrimonios que tienen 3 hijos cada uno.f 3 : 7 matrimonios tienen 5 hijos cada uno.f 6 : De los 20 matrimonios, hay uno que tiene 6 hijos.f 3 : De los 20 matrimonios hay 12 que tienen hijos entre 2 y 4, inclusive.

F4 : 19 matrimonios tienen de 2 a 5 hijos, inclusive.h1 : De los 20 matrimonios encuestados el 0.10 (10%) tiene 2 hijos.h4 : El 0.35 (35%) de los 20 matrimonios tiene 5 hijos.H3 : El 0,60 (60%) de los 20matrimonios tiene entre 2 y 4 hijos, inclusive.H4 : De los 20 matrimonios el 0.95 (95%) tiene entre 2 y 5 hijos, inclusive.

SEGUNDO CASO: Distribución por intervalos de clase (datos agrupados), seefectúa cuando existe mucha dispersión y/o muchos datos.

Debido a la limitación que se tiene en los trabajos estadísticos se ha optado poragrupar la información por intervalos de clase, de tal forma que el conjunto de

datos pertenecientes a cada intervalo sean mutuamente excluyentes, uno del otro,es decir, que los valores de una clase no pueden pertenecer a otra.

¿Por qué se opta por la distribución por intervalos de clase?

Se opta por lo siguiente:

Facilita el tratamiento de los datos, pues distribuidos en gran cantidad no espractico ni económico su estudio.

No hay razón para mantener en forma separada puntos de la escala que muestranuna frecuencia de datos bajo y a veces hasta cero.

j

∑ hi

i=1

j

∑ ni

i=1

2

∑ hi

i=1

5

∑ hi

i=1




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EDUCA INTERACTIVA

¿Es lo máximo optar por la distribución por intervalos de clases?

Es la mejor manera; sin embargo, nos limita la observación de los calificativosindividuales y, al trabajar la información surgirán pequeños errores estadísticosproducto de la agrupación.

¿Cómo vamos a construir la distribución por intervalos de clase?

Al hablar de intervalos de clase estamos definiendo que los datos vamosagruparlos de acuerdo a su valor; ¿cuántos intervalos de clase tendrá ladistribución?, ¿2 intervalos?, ¿tres?, en consecuencia, no es conveniente que elintervalo sea muy grande; tampoco es recomendable que el intervalo sea muypequeño, pues se estaría desvirtuando el objetivo que nos ha llevado a construiruna distribución por intervalos de clase.

3. TABLA DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

Para elaborar una tabla de distribución de frecuencias, se deben seguir lossiguientes pasos:

a) Cálculo del Rango o recorrido (R)El Rango se define como la distancia entre el dato máximo y el dato mínimo.Se halla restando el dato mayor (X máx.) con el dato menor (X mín.):

Para el ejemplo:

X max = 36X min = 16

Luego: R = 36 – 16 =20

b) Determinación del Número de Clases (K)Número de clases, es el número de categorías o intervalos en el que se va adividir la información.

El número de clases se puede fijar arbitrariamente, dependiendo del número dedatos que se tenga. El número de clases a elegir, varía entre 5 a 20.

Otra forma de determinar el número de clases con bastante aproximación, esutilizando la REGLA DE STURGES, que se calcula con la siguiente fórmula:





Por ejemplo: Si n =20

K = 1 + 3.3 Log.20K = 1+ (3.3)(1.30)K = 1+ 4.29K = 5.29 K = 5(*)

Esto significa que la información se dividirá en 5(*) clases, y se redondea alentero más próximo.

c) Determinación de la amplitud del intervalo (W).Llamado también ancho de clase.

La amplitud es la cantidad de datos que están comprendidos en un intervalo declase.

Un intervalo se forma por dos límites que van a definir una clase.

Los límites son los valores extremos de un intervalo y son: límite superior y

límite inferior. Luego podemos definir la amplitud del intervalo (W) como la

distancia entre el límite inferior y superior de un intervalo, y se halla a través dé

la fórmula:

Para el ejemplo anterior :

W = 20 = 4 . W = 45

d) Formación de los intervalos de clase (I)Formar los intervalos de clase, significa hallar los limites inferior y superior decada intervalo; y para ello se parte del dato menor (X mín=16) y se le suma laamplitud del intervalo (W = 4)

Luego 16 constituye el límite inferior y 19 el límite superior de la primera clase.

Igual procedimiento se sigue con la segunda y hasta la quinta; y se obtiene losiguiente:

K = 1 + 3.3 Log. N

LOGARITMO

NUMERO DE DATOS NUMERO

DE CLASES

Amplitud

de

intervalo

W = R

K

Rango

Numero de Clases




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i I

12345

16 - 1920 - 2324 - 2728 - 3132 - 35

Una forma práctica de determinar los intervalos de clase, consiste en hallarprimero todos los límites inferiores de cada clase, sumando el 1er, limite inferiorla amplitud del intervalo.

Así:

X min. = 16 Límite de la Primera Clase.16 + 4 = 20 Limite inferior de la Segunda Clase20 + 4 = 24 Limite inferior de la Tercera Clase

24 + 4 = 28 Limite inferior de la Cuarta Clase28 + 4 = 32 Limite inferior de la Quinta Clase

Al limite inferior de la 2da, clase; se le resta una (01) unidad para obtener ellimite superior de la 1ra, clase; obteniendo éste, se le suma la amplitud delintervalo para obtener los limites superiores de cada clase.

Así:

20 - 1 = 19 Limite inferior de la Primera Clase19 + 4 = 23 Limite inferior de la Segunda Clase23 + 4 = 27 Limite inferior de la Tercera Clase

27 + 4 = 31 Limite inferior de la Cuarta Clase31 + 4 = 35 Limite inferior de la Quinta Clase

Nota: Los intervalos no siempre van a tener la misma amplitud.

De acuerdo a la investigación y a la necesidad de presentar la información parasu análisis correspondiente, es posible tener tres tipos de intervalos.

Intervalo de igual

amplitud

Intervalo de diferente

amplitud

Intervalo abierto

Proteínas en grs. Grandes grupos de edad Peso de pacientes en Kgs.

16 – 19 0 - 14 Menos de 5520 – 23 15 – 64 55 – 59

24 – 27 65 - 85 60 – 64

28 – 31 65 – 69

32 – 35 70 y mas

e) Frecuencia absoluta simple (fi)Es el número de veces que se repite cada uno de los valores de la variable,dentro de los diferentes intervalos en que se ha dividido la información. Sedenota por “fi”.

Para obtener la frecuencia absoluta de cada clase, se efectúa la tabulación oconteo mediante el Sistema de Palotes. Para nuestro ejemplo hay 5 valores





(16, 17, 18, 19, 19) que se encuentran en el intervalo 16 a 19; luego lafrecuencia absoluta simple para la primera clase es igual a 5; y asísucesivamente hasta obtener las frecuencias absolutas simples para todas lasclases, de la siguiente manera:

i Ii Tabulacióno conteo

f i

12345

16 - 1920 - 2324 - 2728 - 3132 - 35

I I I I 59411

Σ f i = 20

f) Frecuencia absoluta acumulada (Fi)Se obtiene sumando y acumulando los valores absolutos, clase por clase en

orden ascendente. Se representa por:

En la 1ra. clase: F1 = flEn la 2da. clase: F2 = f 1 + f 2 En la 3ra. clase: F3 = f 1 + f 2 + f 3 En la clase i : Fi = f 1 + f 2 + f 3 ... + fi

g) Frecuencia Relativa Simple (h1)Es el valor que resulta al dividir cada una de las frecuencias absolutas simplesentre el total de frecuencias o datos.

Llamada también frecuencia unidad y su notación es “hi = fi / n “

Así;

Para la 1ra. clase : h1 = f1n

Para la 2da. clase : h2 = f2n

En general: hi = fin

Para el ejemplo:

h1 = 5 = 0.2520

h) Frecuencia relativa acumulada (Hi)Se obtiene sumando y acumulando los valores relativos clase por clase enorden ascendente. Así:

En la 1ra. clase: H1 = h1

En la 2da. clase H2 = h1 + h2 En la 3ra. clase H3 = h1 + h2 + h3 En la clase i: Hi = h1 + h2 + h3 … + hi




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EDUCA INTERACTIVA

En el ejemplo:

H1 = 0.25H2 = 0.25 + 0.45 = 0.70H3 = 0.25 + 0.45 = 0.20 = 0.90H4 = 0.25 + 0.45 + 0.20 + 0.05 = 0.95H5 = 0.25 + 0.45 + 0.20 + 0.05 + 0.05 = 1.00

Por lo general, a las frecuencias relativas las multiplicamos por 100 se obtienelos valores expresados en porcentaje.

i) Punto medio o marca de clase (X1)Se define como la semi-suma de los límites inferior y superior de cada intervalode clase.

Xi = LIMITE INFERIOR + LIMITE SUPERIOR2

Para el ejemplo:

X1= 16 + 19 = 17. 52

X2 = 20+ 23 = 21.5 , etc.2

PROPIEDADES Y RELACIONES DE LAS FRECUENCIAS

1) Las frecuencias absolutas son cantidades enteras positivas (ó cero en algunoscasos).

2) Las frecuencias relativas se pueden expresar en tanto por uno (númerosdecimales mayor o igual que cero, pero menor que 1); también puedenexpresarse en porcentaje.Es decir 0< hi, <1 ó 0% < hi < 100%.

3) La suma de las frecuencias absolutas de todas las clases es igual al númerototal de datos.

4) La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.00 ó 100%.5) La frecuencia absoluta acumulada de la última clase es igual al número total

de datos.6) La frecuencia relativa acumulada de la última clase es igual a 1 ó 100%.

EJERCICIO RESUELTO

Al averiguar el grado de instrucción en una muestra de 120 personas quesufren de tuberculosis pulmonar que fueron atendidos durante el mes deEnero del 2003 en el Hospital del MINSA se obtuvieron los siguientesresultados:Analfabetos 38, primaria 63, secundaria 16, superior 3.Se pide:

a) Ordenar la información proporcionada en un cuadro de frecuencias.b) Interpretar algunos valores de las frecuencias relativas.





Solución:

a) La variable grado de instrucción es una variable que por su mediciónpertenece a la escala ordinal. Por lo tanto no existe intervalos numéricos.Luego organizados los datos se tiene el siguiente cuadro:

b) Inter pr et

ación

h1 = 31.7 %: El 31.7% de las personas atendidas con tuberculosis pulmonar,son analfabetos.

h2 = 52.5%: El 52.5% de las personas atendidas con tuberculosis pulmonar,tienen Instrucción primaria.

h3 = 02.5%: El 2.5% de las personas atendidas con tuberculosis pulmonar,tienen instrucción superior.

4. DISTRIBUCION DE FRECUENCIA AGRUPADA CUANDO LA VARIABLE ESCONTINUA.

Previamente veamos los tipos de intervalos de clases:

(14-20]: Intervalo semiabierto por la izquierda. No considera al número quesigue al paréntesis (Li = 14).

[14:20): Intervalo semiabierto por la derecha. No considera al número que

antecede al paréntesis (Ls = 20).

(14-20): Intervalo abierto. No considera a los números próximos a losparéntesis (los dos límites).

[14-20]: Intervalo cerrado. Considera a los números extremos, es decir a los2 límites del intervalo.




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EDUCA INTERACTIVA

EJERCICIO RESUELTO

Un investigador desea determinar en cierta comunidad, el número de horassemanales que dedican los niños de 7 años de edad, a utilizar lacomputadora. Una muestra de 25 niños, arrojó los siguientes resultados (en

número de horas semanales).10 19 25 19 2616 19 27 27 2523 22 17 12 2015 21 23 26 1418 25 23 24 21

Se pide:

a) Ordenar la información en una tabla de distribución de frecuencias.b) Interpretar algunos valores de las frecuencias halladas.

Solución:

a) Para ordenar la información, utilizaremos la Regla de Sturges.Cálculo del Rango:

R = X max - Xmin

R = 27 - 10 = 17

Número de clases:

K = 1 + 3.3 Log. N.K = 1 + 3.3 Log. 25K = 1 + 3.3 (1.40)K = 1 + 4.62 = 5.62 Necesariamente se debe redondear al

entero. K = 6

Amplitud del intervalo:

W = R = 17 = 2.83 Redondearemos al entero porque lainformación horas semanales está ennúmeros enteros

W = 3

Formación de intervalos y frecuencias

I Fi

Li - Ls fi Fi hi Hi hi(%) Hi(%)

12345

6

10-1213-1516-1819-2122-24

25-27

22365

7

247

1318

25

0.080.080.120.240.20

0.28

0.080.160.280.520.72

1.00

0808122420

28

0816285272

100∑ fi =25 ∑hi =1.00 ∑hi =100





b) f 6 = 7: 7 de los 25 niños, utilizan la computadora entre 25 y 27 horas/semanales, o sea, el 28% de los niños está la mayor cantidad de tiempo utilizandola computadora.

f 1= 2 : 2 niños, que equivale al 8%, utilizan la computadora entre 10 y 12 horas/semanales.

H4 = 52%: El 52% de los niños de esa Comunidad, utilizan la computadora entre10 y 21 horas/ semanales.




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EDUCA INTERACTIVA

1. Se llama distribución de frecuencia porque:

a. Permite agrupar los datos de acuerdo a los valores que toma la variable.b. Siempre se distribuye los datos.c. Las operaciones se realizan simultáneamente.d. Los datos son mayores que 5 y menores que 20.e. Ninguna de las anteriores.

2. Si en un conjunto de datos tenemos como valor mínimo a 25 y como valormáximo a 55, hallar el rango o recorrido de la Variable, (1) cuando la variablees continua y (2) cuando la variable es discreta.

a.1) 25 b.1) 30 c.1) 29 d.1) 35 e.1) 33a.2) 30 b.2) 31 c.2) 28 d.2) 37 e.2) 35

3. Se llama frecuencia absoluta:

a. Porque sucede sin excepción.b. Porque representa la máxima cantidad de datos.c. Al número de veces que se repite cada uno de los valores de la variable.

d. A las veces que se toma todos los valores de la muestra.e. Ninguna de las anteriores.

4. La proporción o relación que existe entre la frecuencia absoluta y el total deobservaciones y que generalmente se expresa en tanto por ciento es:

a. La frecuencia relativa. .b. La frecuencia absoluta.c. La marca de clase.d. La frecuencia acumulada.e. Ninguna de las anteriores.

5. Coloca la letra que corresponda a cada definición:

A. Clase 1. ( ) Subconjunto del rango definido por un limite inferiory un límite superior.

B. Intervalo de clase 2. ( ) Es el punto medio de cada intervalo de claseC. Amplitud de clase 3. ( ) Cada una de las agrupaciones en la cual se divide

el total de la información.D. Marca de clase 4. ( ) Está definido por la diferencia entre el límite

superior y el limite inferior.

a) A1, B2, C3, D4 b) A1, B3, C2, D4 c) A3, B1, C4, D2d) D1, C3, B2, A4 e) Ninguna de las anteriores.

PRUEBA AUTOEVALUATIVA

II UNID D





6. Los sueldos de una muestra de 50 profesores son los siguientes:

53 23 29 32 47 38 37 34 31 4734 48 25 39 46 45 46 35 52 2838 38 22 46 37 51 45 24 32 3837 46 38 46 40 37 29 26 17 3628 27 46 44 37 28. 43 41 36 38

Construye una tabla de distribución de frecuencia con 5 intervalos declase y señala los límites del tercer y cuarto intervalo de clase

a) 15 - 23 b) 13 - 39 c) 25 - 30 d) 28 - 3423 - 31 39 - 47 30 - 35 34 - 40

e) Ninguna de las anteriores

7. Como es de tu conocimiento, las frecuencias absolutas se identifican (odesignan) con la siguiente simbología: f 1 para la frecuencia absoluta de la

primera clase, f 2 para la segunda, f 3 para la tercera., y así sucesivamente.En la tabla construida en la pregunta anterior, identificar la segunda y cuartafrecuencia absoluta.

a) f 2 = 3 b) f 2 = 19 c) f 2 = 5 d) f 2 = 10f 4 = 4 f 4 = 4 f 4 = 6 f 4 = 14

e) Ninguna de las anteriores.

8. Con la tabla construida en la pregunta seis, hallar la tercera frecuenciarelativa (h3) y la cuarta frecuencia relativa acumulada (H4)

a) h3 = 0,38 o 38% b) h3 = 0,10 o 10% c) h3 = 0,06 o 6%

H4 = 0,92 o 92% H4 = 0,80 o 80% H4 = 0,26 o 26%

d) h3 = 0,50 o 50% e) Ninguna de las anteriores.H4 = 0,64 o 64%

9. En el paréntesis, coloca la letra que corresponde, según la interpretación decada frecuencia absoluta.

(A) n1 1. ( )

10 profesores tienen un haber mayor que 23 unidades monetariasy menor o igual que 31.

(B) n2 2. ( ) 14 profesores tienen un haber mayor que 39 y menor o igual que47 unidades monetarias.

(C) n3 3. ( ) 14 profesores tienen un haber mayor que 47 unidades monetariasy menor o igual que 55.

(D) n4 4. ( ) 19 profesores tienen sus haberes mayores que 15 y menores oiguales que 23 unidades monetarias.

(E) n5 5. ( ) 19 profesores tienen sus haberes mayores que 31 unidadesmonetarias y menores o iguales que 39.

a. [A1, B2, C3, D4, E5] b. [A2, B1, C3, D4, E5]c. [A4, B1, C5, D2, E3] d. [A3, B2, C4, D1, E5]e. Ninguna de las anteriores.




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EDUCA INTERACTIVA

10. Siempre tomando como base la tabla construida en la pregunta (6), en elparéntesis en blanco, coloca la letra que corresponde, según lainterpretación que también corresponda:

(A) h3 1. ( ) El 64% del total de profesores tienen un haber mayor que 15unidades monetarias y menor o igual que 39.

(B) h4 2. ( ) 46 profesores tienen un haber mayor que 15 y menor o igual que47 unidades monetarias.

(C) F2 3. ( ) El 26% del total de docentes tienen un haber mayor o igual que15 unidades monetarias y menor o igual que 31.

(D) F4 4. ( ) El 38% de los docentes de la muestra tienen un haber mayor que31 y menor o igual que 39 unidades monetarias.

(E) H2 5. ( ) 13 profesores tienen un haber mayor que 15 y menor o igual que31 unidades monetarias.

(F) H3 6. ( ) El 28% de los profesores de la muestra tienen un haber mayorque 39 y menor o igual que 47 unidades monetarias.

a) [A4, B6, C5, D2, E3, F1] b. [A1, B2, C3, D4, E5, F6]c) [A2, B4, C6, D1, E3, F5] d. [A3, B6, C2, D5, E1, F4]d) Ninguna de las anteriores.

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