Estadística (1)

5/20/2018 Estad stica (1)

1/15

TRILCE

101

Captulo

ESTAD STICA1

Los antecedentes de la Estadstica son tan remotos como l a propi a sociedad

humana. La Estadstica Descriptiva tiene su origen m il o dos mi les aos antes de

Cri sto, remontndose a las primeras civil izaciones en Egip to, China y M esopotamia,

donde se hacan censos para la admini stracin de los imperios. Al parecer, los

datos ms antiguos corresponden a los censos chinos ordenados por el emperador

Yao (hacia el ao 2238 a.c.), ascomo ot ros censos de pobl acin y ri queza

encon trado s en Egipto y r elacionados con la construccin de las pi rmides.

Tambin en Egipto, Ramss II elabor un censo de tierr as para establ ecer una

nueva poltica de repart o de las mismas. Los egipcio s tuvi eron el barmetro

econmico ms antiguo: un instrumento llamado Nilometro, que meda el caudal

del Ni lo y servia a definir un ndice de ferti lidad, a partir del cual se fijaba el monto

de los impuestos. Posteriormente, hacia el ao 555 a.c., podemos citar los censos

del Im perio Romano, destinados a la organizacin poltica y guerrera.

En la Edad Media, se produce un considerable estancamiento de la Estadstica y hay que esperar al nacimiento de las

escuelas mercanti listas de los siglos XVI, XVII y XVIII. En 1660 , apareci la llamada Ari tmtica Poltica, destinada a la

descripcin de sucesos prop iamente polticos. Esta ciencia, que naci en la universidad alemana de Haltustadt y pron to se

extendi por distint as universidades alemanas y suizas, fue ya denom inada Estadstica por el alemn Schmeitzel. En

principio, esta ciencia tena por objeto la mera descripcin numrica de las cuestiones po lticas del Estado, fal tndo le an la

bsqueda de leyes generales. La gran tr ansformacin de la Estadstica surge de su vinculacin al Anli sis Matemtico a

travs del Clculo de Probabi lidades, cuyos orgenes se sitan hacia mediados del siglo XVII y cuyos principales impulsores

fueron los matemticos franceses Blaise Pascal (1623-1662) y Pier re de Fermat (1601-1665), junto con el holands Christian

Huygens (1629-1695). Es entonces cuando aparecen las primeras aportaciones significativas al Clculo de Probabilidades

como discipli na puramente matemtica.

A part ir de esta fecha, esta ciencia fue constituyndose como tal y vinculndose fuertemente a la teora de funciones durante

los siglos XVIII, X IX y principios del XX, gracias a los logros de figuras notables entre las que cabe destacar a Bernou lli ,

Leibnitz, Bayes, Laplace, Chebychev, Kolmogorov o Markov.

Nil metro


2/15

Aritmtica

102

INTRODUCCIN

El estudio de la Estadstica es de carcter indispensable para

cualquier profesional debido a que es una herram ienta que

le ser de gran utilidad para la tom a de decisiones sobre

asuntos diversos, tiene aplicacin en todos los cam pos del

saber y profesiones.

Es m uy difcil establecer una cronologa exacta de los orgenes

de la estadstica. Parece ser que los datos m s antiguos que

se con ocen son los censos chino s ordenad os po r el

em perador Tao antes del ao 2200 a.C .

A lo largo de la E dad M edia y hasta principios del siglo XVII,

la Estadstica era puram ente descriptiva, Bernouilli (1654 -

1705) y sobre todo L aplace (1749 - 1827) desarrollaron

conceptos m atem -ticos fundam entales para la teora

estadstica. El prim ero form ul la fam osa ley de los grandes

nm eros y el segundo puso en evidencia las ventajas que

podra aportar el clculo de probabilidades en el estudio de

los fenm enos naturales de causas com plejas.

ESTAD STICA DESCRI PTIVA

Es una ram a de la M atem tica aplicada que nos proporciona

los m todos para realizar un estudio de un grupo de datos

en cuanto a su recopilacin, clasificacin, presentacin y

descripcin para poder tom ar decisiones o h acer

conclusiones.

ETAPAS :

Clasificacin Presentacin D escripcinRecopilacin

CONCEPTOS PREVIOS :

Pob l ac in :Es el conjunto universal o referencial para

realizar el estudio estadstico, cuyos elem entos po seen la

caracterstica que se va a estudiar.

Muestra : Es un subconjunto de la poblacin, los m uestreos

se realizan cuando es difcil o com plicado estudiar toda la

po blacin, tam bin se realiza con la finalidad de o btener

resultados en m enor tiem po y a m enor costo, para ello es

indispensable elegir una m uestra adecuada, que represente

a la poblacin, de acuerdo a la caracterstica que se estudia.

Ejemplo :

C onjunto de alum nos del colegio T RILC E PoblacinC onjunto de alum nos de 5to de secundaria M uestra

Ejerc ic io :

C ite algunos ejem plos en los cuales sea conveniente tom ar

una m uestra en vez de toda poblacin debido a la dificultad

que presenta su estudio.

POBLACIN

MUESTRA

TIPOS DE VARIABLES

Var i ab l e Cua l i t a t i va : Son aquellas que indican una

cualidad :

Ejemplos :La variable cualitativa sexopuede ser solam entemascul ino

o femenino.

La variable cualitativa t u rnopuede ser maana, ta rdeo

noche.

Son tam bin variables cualitativas : la profesin de tus

padres, el color de tus ojos, la universidad en la que piensas

estudiar, etc.

Ob servacin : A este tipo de variables, se les puede asignar

valores num ricos de acuerdo a la m anera de utilizar los

datos.

Por ejem plo, si estam os evaluando personal para trabajar en

una m ina a la variable sexo se le puede asignar 0 si es

fem enino y 1 si es m asculino, indicando que se prefiere

personal m asculino para dicho trabajo.

Variable Cuant i t at iva : Son aquellas que pueden tom ar

valores num ricos :

Por ejemplo :

Edad, nm ero de hijos, tiem po de servicio, el coeficiente

intelectual, notas, vida m edia, carga electrnica, hem atocrito,

etc.

* Variable Cuantitativa Discreta :Tom a valores que estn

en correspond encia biun voca con los n m eros

naturales.

Ejemplo :

La cantidad de hijos, cantidad de ingresantes a la U N I, el

nm ero de em pleados de una fbrica, la cantidad de

glbulos rojos en una gota de sangre, etc.

* Variable Cuantitativa Continua : Tom a todos los valores

en algn intervalo.

Ejemplo :

Tem peratura de un gas, longitud de una pared, estatura

de un estudiante, etc.


3/15

TRILCE

103

ETAPAS D EL ESTUD IO ESTAD STICO :

I . R ECOPI L AC IN : Esto se realiza m ediante encuestas

y cuestionarios. C uando se estudia toda la poblacin, se

deno m ina censo y cuan do se realiza sob re un

subconjunto de la m ism a, se denom ina m uestreo.

I I . CLAS IFICAC IN : C uando la cantidad de datos es

grande, conviene clasificarlos y para sim plificar su estudio.

Esta clasificacin debe realizarse teniendo en cuenta la

finalidad del estudio y en m uchos casos depender del

criterio del profesional que hace dicho anlisis.

A continuacin, se presentan las edades de un grupo de

20 personas.

2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 12 ; 14 ; 16 ; 16 ; 16 ; 18; 21 ; 22 ;

23 ; 24 ; 25 ; 27 ; 29 ; 32

Tamao de l a muestr a (n ) : Es la cantidad total dedatos.

n = 20

Al cance (A) : Intervalo cerrado cuyos lm ites son el

m enor y m ayor de los datos.

A = [2 ; 32]

Rango o r ecorr i do (R) : Es la longitud del alcance, se

calcula restando el m enor dato del m ayor dato.

R = 32 2 = 30

Int ervalo de clase (iI) :Es un intervalo que se obtiene

al dividir el alcance, para form ar grupos de m enor tam ao.

Por ejem plo, dividam os el alcance en 6 in tervalos de

clasedel m ism o tam ao.

32;2727;2222;1717;1212;7;2

2 32

Nmero de inter valos de clase (K): Es la cantidad

de intervalos de clase en que se divide el alcance, esto

depende de la aplicacin que tiene el estud io de los

datos.

Por ejem plo, si se desea conocer la cantidad de alum nos

aprobados y desaprobados en el colegio TRILC E bastar

form ar dos intervalos de clase.

Observacin : Existen algunas reglas que se pueden

tom ar com o referencia para determ inar el nm ero de

intervalos de clase.

Regla de Sturges : K = 1 + 3,3 Log(n)

Regla de Jo ule : nK

Ejemplo : Para n = 30

Apliquem os la regla de Sturges :

K = 1 + 3,3 Log(30) = 5,87Q ue se puede aproxim ar : 6K

EJERCICI O : D iscuta en clase las ventajas y desventajas

de agrupar los datos en intervalos de clase.

An cho de clase ( iw) : Es la longitud del intervalo declase. Si todos los anchos de clase son iguales, se dice

que el ancho de clase es constante y se puede calcular de

la siguiente m anera :

w =R

K

Tabla de distr ibuc in de frecuenci as

72[

127[

1712[

2217[

2722[

3227[

41

6

2

4

3

Ii fi

I I I . PRESENTACIN : Se pueden presentar los datos en

tablas de frecuencias o en grficos.

Present acin Tabular :

Marc a de clase (i

x) : Es un valor que representa a los

datos del intervalo de clase, se calcula com o la sem isum a

de los lm ites inferior y superior del intervalo de clase y

est ubicado en el punto m edio del m ism o.

2

LLx

supinfi

Frecuencia absolut a simpl e (if) : Es la cantidad de

datos u observaciones en el i - sim o intervalo de

clase.

Se cum ple que :

k

ii

nf1

Frecuencia absoluta acumul ada (i

F) : Es la sum a

de todas las frecuencias absolutas sim ples desde el prim er

intervalo hasta el i - sim o intervalo.

Se cum ple :

i

1jjikfFnF


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Aritmtica

104

Frecuencia relat i va simp le (i

h): Indica qu parte

del total de datos se encuentran en el i - sim o intervalo.

Se calcula com o el cociente de la frecuencia absoluta y el

total de datos. Para obtener el tanto por ciento basta

m ultiplicar esta valor por 100.

Se cum ple que :

k

1ii

1h ii

n

fh

Frecuencia relat iva acumulada (i

H) : Indica qu

parte del total de datos se encuentran desde el prim er

intervalo de clase hasta el i - sim o intervalo. Se calcula

com o el cociente de la frecuencia absoluta acum ulada y

el nm ero total de datos. Para obtener el tanto por ciento

basta m ultiplicar esta valor por 100.

Se cum ple que :

1HhHn

FH

k

i

1jji

ii

Ejemplo : La tabla con los datos del ejem plo anterior,

es :

2 ; 7

7 ; 12

12 ; 17

17 ; 22

22 ; 27

27 ; 32

In terva lo

4,5

9,5

14,5

19,5

24,5

9,5

xi

4

1

6

2

4

3

fi

4

5

11

13

17

20

Fi

0,20

0,05

0,30

0,10

0,20

0,15

hi

0,20

0,25

0,55

0,65

0,85

1,00

Hi

Pr esentaci n Gr fic a

Los grficos son m uy utilizados por los periodistas para

presentar datos en la televisin y peridicos, son de

utilidad para los m dicos, ingenieros, adm inistradores,

econom istas, psiclogos, profesores, etc. ya que perm ite

observar el com portam iento de una m uestra con respecto

a alguna caracterstica, de un solo vistazo.

Algunos de los grficos m s usados son : D iagram a de

barras, histogram as, pirm ides de poblacin, polgonos

de frecuencias, diagram a de sectores, pictogram as.

D iagrama de barras

En este tipo de grfica, sobre los valores de las variables

se levantan barras estrechas de longitudes proporcionales

a las frecuencias correspondientes. Se utilizan para

representar variables cuantitativas discretas.

Por ejemplo : El siguiente diagram a de barras grfica la

cantidad de problem as propuestos para este captulo

por los profesores de A ritm tica.

C sar

Lau

Javier

C arranza

Ernesto

C ham orro

Javier

Silva

50

40

30

20

10

0

C antidad de problem as

C antidad de problem as

D iagrama de sectores : En un diagram a de este tipo,los 360 de un crculo se reparten proporcionalm ente a

las frecuencias de los distintos valores de la variable.

Resultan m uy adecuados cuando hay pocos valores, o

bien cuando el carcter que se estudia es cualitativo.

10

20

30

40C sar Lau

Javier C arranza

Ernesto C ham orro

Javier Silva

Cant idad de problemas

H i s t o g r am as : Los histogram as se utilizan para

representar tablas de frecuencias con datos agrupados

en intervalos. Si los interva-los son todos iguales, cada

uno de ellos es la base de un rectngulo cuya altura es

propor-cional a la frecuencia correspondiente.

Polgono de frec uenci as : Si se unen los puntos m edios

de la base superior de los rectngulos, se obtiene el

polgono de frecuencias.

Intervalos

12

10

7

5

4

2

fi

Polgono

frecuencias

0 5 10 15 20 25 30


5/15

TRILCE

105

Observacin : El rea de la superficie lim itada por el

polgono de frecuencias y el eje horizontal es igual a la

sum a de las reas de los rectngulos que form an el

histogram a.

D i a g r am a E s c al o n a d o : ( H i s t o g r am a d e

f r e cuenc i a s acumu l adas ) Si se representan las

frecuencias acum uladas de una tabla de datos agrupados,

se obtiene el histogram a de frecuencias acum uladas.

Oj iva : Se obtiene al unir los extrem os superiores de las

barras de un histogram a d e frecuencias absolutas

acum uladas.

Intervalos

40

38

28

16

11

4

Fi

O jiva

0 5 10 15 20 25 30

IV. D ESCRIPCIN : La descripcin de los datos se realizar

m ediante las m edidas de tendencia central.

Media :

Para dato s no agrupados : Es la m edia aritm tica de

los datos.

Para dato s agrup ados :

k

1iii

hxx

k

1iii

n

xf

x

Mediana :

Para dato s no agrup ados : La m ediana es aqul dato

que ocupa la po sicin central, cuando los datos estn

ordenados y si la cantidad de datos es par la m ediana es

el prom edio de los dos datos centrales.

Ejemplos :

La m ediana de los datos : 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 5 ; 6 ; 8 , 9 ; 20 ; 24;

25 es 6

La m ediana para los datos : 4 ; 5 ; 12 ; 20 ; 100 ; 132 es

la m edia aritm tica de 12 y 20 que son los dos trm inos

centrales, es decir la m ediana es 16.

Para datos agrup ados :

m e

1m e

f

F2

n

winfLM e

m e

1m e

h

H2

1

winfLM e

Do nde :

infL : Lm ite inferior de la clase m ediana.

w : Ancho de clase

1m eF : Frecuencia absoluta acum ulada de la claseanterior a la clase m ediana.

m ef : Frecuencia absoluta sim ple de la clase m ediana.

Moda :

Para datos no agrup ados : Es el valor que aparece

con m s frecuencia. Si son dos los nm eros que se

repiten con la m ism a frecuencia, el conjunto tiene dos

m odas y se denom ina bim odal. O tros conjuntos no

tienen m oda.

Ejemplo :

La m oda para los datos :

3 ; 4 ; 6 ; 6 ; 6 ; 7 ; 10 ; 21 es 6

Para datos agrup ados :

21

1inf

wLM o

Do nde :

infL : Lm ite inferior de la clase m odal.w : Ancho de clase

1m om o1ff

1m om o2ff

m of : frecuencia absoluta sim ple de la clase m odal.

1m of

: frecuencia absoluta sim ple de la clase posterior

a la clase m odal.

1m of

: frecuencia absoluta sim ple de la clase anterior a

la clase m odal.


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Aritmtica

106

ENUNCIADO :

Se analizan las notas de 20 alum nos en el curso de A ritm tica

recogindose los siguientes datos :

14,13,13,10,9,9,6,10,11,7

15,16,12,10,7,11,2,8,4,3

01. C untos estud iantes aprobaron el curso segn los

datos originales?

a) 4 b) 6 c) 8

d) 0 e) 12

02.C alcular la m oda para los datos sin agrupar:

a) 1 b) 10 c) 12

d) 16 e) 13

03. C alcular la m edia para datos sin agrupar :

a) 10,5 b) 10,2 c) 9,5

d) 19,8 e) 12,7

04. C alcular la m ediana para los datos sin agrupar :

a) 9,5 b) 9,8 c) 9

d) 10 e) 10,5

05. D e la siguiente tabla de distribucin d e frecuencias,

calcular : nff12

2060,50[

0,82550,40[

0,340,30[

30,20[

0,120,10[

HFhfC lasesiiii

a) 102 b) 103 c) 104

d) 105 e) 106

06. D ada la siguiente distribucin de frecuencia.

H allar :431

Fff

20,10[

HhFfiiii

30,20[

40,30[

50,40[

60,50[

24

30

0,3

0,1

0,85

Ii

EJERCICI OS PRO PUESTOS

a) 95 b) 97 c) 98

d) 100 e) 120

07. El siguiente pictogram a m uestra las preferencias de 880

estudiantes sobre los cursos de M atem tica (A , X , G ,

T) y ciencias (F y Q ).

C alcule : (a+ b 3c + d)

a%A

F

30

60

X

G

T

Q

c%

bd

%2

a

a) 140 b) 116 c) 104

d) 110 e) 98

08. Si se tiene la siguiente distribucin de frecuencias sobre

las estaturas (en m etros) de un grupo de 50 jvenes.

H ifi

1,60;1,55

1,65;1,60

1,70;1,65

1,75;1,70

1,80;1,75

Intervalo de C lase

5 0,96

D eterm inar qu po rcentaje de jvenes poseen una

estatura no m enor de 1,70m .

Si se sabe que :

51hh y

42hh

a) 12% b) 14% c) 18%

d) 20% e) 24%

09. El profesor Lau tiene 6 hijos, de los cuales 3 son trillizos

y 2 m ellizos. Si al calcular la m edia, m ediana y m oda

de estas edad es resultaron 10 ; 11 y 12

respectivam ente.

H alle la diferencia entre la m xim a y m nim a edad.

a) 10 b) 6 c) 8

d) 7 e) 9


7/15

TRILCE

107

10. D e la siguiente distribucin de frecuencias de las notas

de 25 alum nos se pide com pletar el tablero con un

ancho de clase constante igual a 2 y54ff

.

6,[

Fi xifiIi fi

15

20

14

25

Si la m nim a nota aprobatoria es 10.

Q u tanto por ciento de los alum nos desaprobaron?

a) 72% b) 75% c) 76%

d) 78% e) 80%

11. C om pletar la siguiente tab la de d istribu cin de

frecuencias sobre la cantidad de personas atendidas

por los em pleados de un banco durante 1 da e indicar

qu tanto por ciento del total de em pleados atienden

de 20 a 33 personas.

18,12[

HhfC antidad deiii

24,[

30,[

36,[

0,10

0,30

42

18

personas atendidas

a) 70% b) 72% c) 73%

d) 74% e) 75%

12. La siguiente tabla nos m uestra los intervalos de clase y

la frecuencia relativa de una tabla de distribucin de

frecuencias del nm ero de pantalones que producen

los em pleados en una fbrica.

C alcular que tanto por ciento de personas producen

de 5 a 8 pantalones.

7,5 9,7 12, 9 15, 12Ii

hi

2k k+ 0,02 0,08 k2

3

a) 69 b) 71 c) 73

d) 75 e) 51

ENUNCIADO

(Para ejercicio s del 61 3 al 61 6)Se clasific la inversin de un grupo de com paas m ineras

en una tabla de frecuencias. Se sabe que la m xim a inversin

es de 56 m illones de soles, que la am plitud de los intervalos

es de 8 m illones de soles, que las frecuencias absolutas

correspondientes a los intervalos son :

1 ; 16 ; 21 ; 9 ; 8 ; 3 ; 2

13 . Q u porcentaje de com paas invierten 24 m illones

com o m nim o?

a) %3

238 b) %3

278

c) %3

138 d) %

3

236

e) %3

632

14. H allar la inversin m s frecuente.

a) 18,35 b) 20 c) 18,5

d) 20,5 e) 18

15. H allar la inversin prom edio en soles :

a) 20,4 b) 23,53 c) 24,5

d) 20,5 e) 23,2

16. H allar la m ediana de los datos clasificados (en m illones)

de las com paas.

a) 20,5 b) 20,95 c) 23,53

d) 18,35 e) 22,35

17. Ind icar el valor de verdad de las siguientesproposiciones :

I. La m oda slo se calcula para datos discretos.

II. El rea del histogram a es igual al rea del polgono

de frecuencias.

III. La ojiva es una curva trazada a partir del histogram a

de frecuencia absoluta.

a) FVF b) FFF c) FFV

d) VFF e) VVF

18. Se tiene la siguiente tabla de frecuencias incom pleta :

4,0[

8,4[

12,8[

16,12[

20,16[

N otas hi H i

0,18

0,44

0,12 0,91

H alle la nota prom edio.

a) M ayor que 10 b) 9,8

c) M enor que 7 d) 8,72

e) 7,8


8/15

Aritmtica

108

19. En la siguiente tabla, se m uestra la cantidad de dinero

que gastan sem analm ente los alum nos del colegio

TRILC E.

H alle la m ediana.

20,0[

40,20[

60,40[

80,60[

100,80[

N de soles N de alum nos

400

300

250

150

50

a) 31,6 b) 32,3 c) 33,3

d) 40,3 e) 38,6

20 . D e la siguiente tabla d e frecuencias, calcule quporcentaje de personas tiene por lo m enos 20 aos,

sabiendo que hay tantas personas de por lo m enos 25

aos y m enos de 30 aos com o personas de por lo

m enos 30 aos, pero m enos de 40 aos.

15,5[

HFfxiiii

Ii

20,15[

25,20[

30,25[

40,30[45,40[

3K

5K

14KK

5K

a) 55,5% b) 66,6% c) 77,7%

d) 88,8% e) 44,4%

21. "Se tiene una distribucin de frecuencias con cinco

intervalos de clase cuyas frecuencias relativas son :

5

k2 ;

5

k2;

5

k;

5

k32;

5

1k

respectivam ente".

D eterm inar los valores de k que hagan cierto el

enunciado anterior.

a) Rkb) Rk

c)

3

2;0x/xRk

d)

3;2

1x/xRk

e)

;32

0;x/xRk

22. El siguiente grfico m uestra las preferencias de un grupo

de N alum no s sobre los cursos: M atem tica (M );

Estadstica (E), Fsica (F) y D ibujo (D ).

D eterm inar cuntos prefieren M atem tica si los que

prefieren E stad stica son 100 personas.

D

M

E

F

725n

6n

a) 140 b) 120 c) 180

d) 150 e) 130

23. D e la siguiente distribucin de frecuencias:

N otas fi

280;200

320;280

380;320

540;380

600;540

1000;600

4

16

36

88

40

16

D eterm inar la diferencia entre la m edia y la m ediana

m uestral.

a) 12,2 b) 15,2 c) 12

d) 18,2 e) 20,2

24. Si el siguiente cuadro de distribucin es sim trica y

tiene un ancho de clase com n.

36,[

FiIi fi hi

,[

,[

,[

,[

20 12

0,15

60]

C alcule la m oda.

a) 40 b) 45 c) 46

d) 49 e) 50

25. El siguiente cuadro m uestra la ojiva de las frecuencias

relativas acum uladas de las notas de un exam en de

ingreso a la U .N .M .S.M .

D eterm inar qu tanto por ciento de alum nos tuvieron

una nota entre 9 y 15.


9/15

TRILCE

109

100

95

65

50

30

4 8 10 16 20 N ota

H i%

a) 32,25% b) 33,25% c) 32,50%

d) 33,75% e) 32,75%

26. C om plete el siguiente cuadro de distribu cin de

frecuencias, si tiene ancho de clase com n.

fiX i H ihiIi

50;30

;

;c

;

Total

a 0,20

20b

d

0,90

50

C alcule el valor de la M ediana m s la sum a de (a + b +

c + d)

a) 201,50 b) 202,20 c) 203,60

d) 205,10 e) 206,50

27. En una prueba de Aptitud Acadm ica se evalu a n

estudiantes y las notas obtenidas se clasificaron en una

tabla de distribucin de frecuencias com o se m uestra a

continuacin :

M arca de clase

Frecuencia relativa

45 55 65 75 85

100

K

50

K3

25

K2

100

K3

50

K

Q u porcentaje de estudiantes obtuvo una nota m enor

que 60 puntos o m ayor igual que 80 puntos?

a) 70% b) 25% c) 20%

d) 15% e) 30%

28. En la siguiente tabla de frecuencias, se registra el nm ero

de personas por rango de edad.

Cuntas personas son m ayores a 21 aos?

Edad n

1410[

1814[

2218[

2622[

3026[

3430[

5

10

20

25

15

5

a) 25 b) 50 c) 30

d) 65 e) 45

29. C om pletar el siguiente cuadro de distribucin d e

frecuencias de las notas de 16 alum nos en un exam en

de M atem tica I.

6

,[

hifi H i

,[

,[

,[

,[

3

N otas (I)i

6

9

12

15

9

12

15

18

Fi

Totales

4

m

4

n

Q

q

0,25

p

0,125

b

0,125

a

d

C alcular : (a + b + d)

a) 15 b) 11,5 c) 17,5

d) 14,5 e) 16,5

30. D e la siguiente distribucin de frecuencias:

H ifi

;

1100;800

1400;1100

1700;1400

Intervalo de

Ingreso m ensual

1/K

2/K

9/K

3/K

K

C alcular : cuntas personas ganan entre S/. 840 y S/.

1480 m ensuales, adem s determ inar el valor de4

F ?

a) 135 ; 225 b) 60 ; 225

c) 173 ; 225 d) 120 ; 225

e) 135 ; 250

31. U sando los datos de la tabla, que representa las

velocidades registradas por 30 autos que pasaron por

un m ism o punto de control de velocidad.

fi

Ii ,2610 ,5842,4226 ,7458 ,10690,9074

4 12 7 4 2 1

D avid calcul la m edia arm nica y obtuvo: (aprox.)

a) 35 b) 33 c) 37d) 39 e) 31


10/15

Aritmtica

110

32 . D el siguiente cuadro :

hiFi H iC lase fi

30

,[

,[

,[

,[

20

40

50

60

30

40

50

5 0,20

8

0,44

C alcule la diferencia entre la m ediana y la m oda.

a) 3 b) 3,5 c) 3,52

d) 3,125 e) 3,625

33. La siguiente tabla nos m uestra la distribucin de sueldos

de una em presa.

H allar |a b|, si se sabe que el sueldo prom edio de

los trabajadores de la em presa es S/. 580.

Sueldo Frecuencia R elativa

500;300

700;500

900;700

a

b

0,2

a) 0 b) 0,2 c) 0,3

d) 0,4 e) 0,6

34. La tabla m uestra la distribucin del ingreso fam iliar

correspondiente a 80 fam ilias.

iF frecuencia absoluta acum ulada.

if frecuencia absoluta sim ple.

i

h frecuencia relativa sim ple en tanto por uno..

170

,[

Fifi hi

,[

,[

,[

,[

160

Intervalo de

Ingreso

170

180

190

200

180

190

200

210

48 60

0,125

0,075

D eterm inar el nm ero de fam ilias que ganan m enos

de 200 nuevos soles.

a) 66 b) 76 c) 70

d) 50 e) 54

35. D ado el siguiente histogram a de frecuencias absolutas:

Ii

fi

50 100 150 200 250 300

30

2520

15

10

C alcular el nm ero de datos que se encuentran entre

75 y 125 y sum ar con el nm ero d e datos que se

encuentran entre 160 y 260.

a) 88 b) 48 c) 58

d) 68 e) 78

36. Se realiz una encuesta de las preferencias de un grupo

de personas sobre 3 bebidas gaseosas x, y, z y se obtuvo

el siguiente diagram a:

x

y

za

b

c

D onde : a, b y c representan nm eros de personas y

estn relacionados de la m anera siguiente :

Kc150

c150

b240

b240

a210

a210

Sabiend o que : K es entero y a, b y c los m eno res

enteros positivos (K > 0).

Indique qu tanto por ciento del total, tiene la bebida

gaseosa de m ayor preferencia.

a) 20% b) 60% c) 40%

d) 55% e) 65%

37. En un saln de la A cadem ia "TRILC E", se tiene los

siguientes datos del peso de un grupo de alum nos :

Peso m nim o : 25 kg

Peso m xim o : 75 kg

92,0H4

; 6f4 ; n = 50 ; 51 hh y 42 hh

C alcular la m ediana.

D ar com o respuesta la sum a de la m ediana y el nm erode alum nos cuyo peso es m enor que 65.


11/15

TRILCE

111

a) 48 b) 46 c) 44

d) 96 e) 90

38. Los siguientes datos representan el sueldo m ensual en

dlares de 18 trabajadores de la A cadem ia "TRILC E" :

400 ; 450 ; 435 ; 380 ; 420 ; 430 ; 328 ; 350 ; 410 ; 400

; 430 ; 420 ; 450 ; 420 ; 395 ; 415 ; 400 ; 420.

Si por "Fiestas Patrias" cada trabajad or recibe un

aum ento del 21% en los sueldos m s una bonificacin

de $25 y a la vez este aum ento est afectado por un

im puesto del 2,8% .

C ul es el nuevo coeficiente de variabilidad?

a) 0,00732 b) 0,321 c) 0,0032

d) 0,0732 e) 0,3274

39 . R econstruir la sigu ien te d istribucin sim trica ydeterm inar la m edia y la m ediana m uestral.

12

,[

Fifi H i

,[

,[

,[

10

Ii

12

14

16

14

16

18

,[18 20

7 0,14

0,24

a) 15 ; 15 b) 14 ; 15

c) 15 ; 15,5 d) 14 ; 15,5e) 14,5 ; 15

40 . En el siguiente cuadro m uestra la frecuencia d e las

edades de una m uestra de gente joven. C alcule el

tam ao de la m uestra as com o la frecuencia relativa

del intervalo nm ero 5.

4

,[

,[

,[

,[

0

4

8

12

8

12

16

,[16 20

Frecuencia

A bsoluta

Frecuencia

Relativa

Frecuencia Relativa

A cum ulada

20

30

0,30,85

a) 200 ; 0,20 b) 300 ; 0,30

c) 200 ; 0,05 d) 130 ; 0,15

e) 180 ; 0,10

41. El grfico m ostrado indica la variacin porcentual de

cada ao del precio del dlar (tipo de cam bio). Si al

finalizar el ao 2004, el dlar se cotizar a S/. 3,65.

D eterm ine la cotizacin al finalizar el ao 1999.

1999 2000 2001 2002 2003 2004

%

A o

10%12%

15%

13%

12%

16%

a) 1,41 b) 1,92 c) 1,93

d) 2,50 e) 2,20

42. D eterm ine la varianza de los siguientes datos :

xi fi

2

47

9

10

2030

20

a) 4 b) 5 c) 2,25

d) 2,368 e) 5,609

43. Se tiene el siguiente cuadro estadstico referente a las

edades de abc personas.

Ii fi

25;1535;25

45;35

55;45

65;55

abbc

ca

ac

cb

75;65 ba

Si se observa que todas las frecuencias absolutas son

nm eros pares.

C alcular cuntas personas tienen entre 30 y 60 aos.

a) Es un nm ero capica.

b) Es una cantidad cuadrada perfecta.

c) Es m ayor que 110.

d) H ay 2 respuestas correctas.

e) H ay 3 respuestas correctas.

44. D e la siguiente ojiva, calcule la m edia y la m oda.

100

72

60

42

12

4

Fi

5 15 25 35 45 55 65 Ii


12/15

Aritmtica

112

a) 39,7 ; 31,5 b) 39,7 ; 30

c) 41 ; 31,5 d) 41 ; 30,5

e) 38 ; 30

45 . En un club d eportivo, se tienen las edades de loshinchas distribuidas segn el siguiente histogram a de

frecuencias.

Edades

5a

4a

3a

2a

a

n r

D onde n y r son dos nm eros, cuya sum a, diferencia y

el producto, estn en la m ism a relacin que los nm eros

30 ; 12 ; 189 respectivam ente.

Adem s :10

rna

C alcule la edad prom edio de los hinchas, sabiendo

que la distribucin se realiza en intervalos de igual anchode clase.

a) 21 b) 17 c) 19

d) 23 e) 24

46 . Si la m oda de la variable aleatoria x es un nm ero

im par, hallar la M .A.

xi fi

3

4

5

6

10

12

18+ x

18+ y

7

8

9

4

8

15

10

Total

10

100

|x y| = 1

a) 5 b) 4 c) 6d) 7 e) 6,3

47. Segn el grfico siguiente :

4 8 12 16 20

a+ 6

a+ 4

a

0

(% )

Prom edio

de las notasE n el cual se m uestran las notas del curso de

M AT E M TIC A I de un grupo de estud iantes

universitarios, qu porcentaje aprob si el prom edio

aprobatorio es m ayor que 10?

a) 47% b) 50% c) 53%

d) 52% e) 51%

48. D ado el siguiente histogram a, con ancho de clase

constante.

a0 aa bc bd de

dc

ea

b

Ii

fi

Seale la sum a de la m oda y la m ediana.

a) 147 b) 148 c) 149,74

d) 150 e) 150,7

49. D e una distribu cin sim trica de an cho de clase

constan te, se o btiene el sigu ien te polgo no de

frecuencia.

Se sabe que21

A17A6 y el total de datos es 54.

Ii

A 1

A2

Seale la diferencia entre las frecuencias de la clase

m ediana y la clase m odal.

a) 7 b) 8 c) 9d) 15 e) 6


13/15

TRILCE

113

50 . El rea de la regin som breada es igual a la sum a de

todas las reas de los rectngulos m enos2

u45 .

H allar el m enor valor que pueda tom ar la m ediana, si

adem s :

18ff24

y 6f1

fi

f4

f

f

f

3

2

1

3 4 5 6 7 8 9 10

a) 5,12 b) 7,08 c) 6,82d) 7,12 e) 7,10

51. Segn el siguiente histogram a :

Ii

fi

m20 nm 7m nn p (m + 2)

n

A 1

A 2A 3 A 4

A 5

Se cum ple :

5421AAAA

Tam bin el rea bajo el polgono de frecuencia es3

A3 .

H alle la m ediana.

a) 22 b) 22,5 c) 23

d) 25 e) 26

52 . En el siguiente histogram a de ancho de clase com n,

se m uestra los resultados de una encuesta.

Se pide estim ar la cantidad de personas que hay en el

intervalo

3

f2e;3

cb2, si la poblacin es de 9000

personas.

15n

7n

4n

3n

n

a b c d e f

N de personas

Sueldo

a) 7400 b) 6000 c) 8400

d) 8100 e) 7000

53. Para estim ar el peso prom edio d e los alum nos del

C olegio Trilce, "XAV" eligi una m uestra aleatoria de100 alum nos; los pesos obtenidos se clasificaron en 5

intervalos de ancho com n, luego YILD IRAY le ayud

a determ inar la ojiva cuya grfica se representa segn

la funcin:

5

4

3

2

1

)x(i

Ix;35x

Ix;75x.n

Ix;30x.a

Ix;5x.v

Ix;45x3

F

D eterm inar :

a) vax2

b) naf3

c) 324xhH

D com o respuesta la sum a de cifras del m ayor resultado

obtenido :

a) 9 b) 8 c) 7

d) 6 e) 5

54. Se elabor el siguiente histogram a con la inform acin

que se obtuvo de las edades de un grupo de personas.

a(a+ 3)

a(4a)

(3v)v

4(3x-1)

2

xx

(x-1)0 (v+ 3)a xi

fi

C alcule la varianza y la m ediana.

D ar la sum a, (aprox.)

a) 124,8 b) 129,6 c) 131,4

d) 133,7 e) 135,4

55. En una em presa, se realiz un censo a los trabajadores

sobre sus aos de servicio, resultando entre 4 y 34

aos. Y ILD IRAY, un alum no Trilce, se da cuenta que al

hacer el histogram a las barras po seen cantidades de

trabajadores que form an una progresin aritm ticacuya razn es 2, una de las barras posee un rea de

2u60 y la cantidad de intervalos es m nim a, adem s el


14/15

Aritmtica

114

ancho de clase es constante y posee 2 divisores.

D eterm inar la m oda y la m ediana.

D com o respuesta la sum a de ellos, si se sabe que :

k

1iif es m nim o..

(k : nm ero de intervalos)a) 51,3 b) 35,60 c) 45,32

d) 47,30 e) 54,21

56 . "XAV " ha elaborado una tabla de frecuencias con las

siguientes caractersticas:

* Alcance : [2 ; 20]

* Ancho de clase : w = v + 2

* N m ero de datos :

xavN)N(C ALogn 100

* a)3v(F2

; 60F3

;35

F3,3F

* 8

7

f

f

2

1 ; adem s la distribucin es sim trica.

C alcular la desviacin stndar y la m oda, sabiendo que:

k153N y

1k3k3532)N(N

a) 3,75 y 13 b) 3,08 y 11

c) 14,08 y 13 d) 2,83 y 11

e) 8 y 13

57 . D ado el siguiente conjunto de datos :

120 ; 115 ; 70 ; 50 ; 63 ; 120 ; 75 ; 103 ; 119;

117 ; 95 ; 89 ; 57 ; 73 ; 85 ; 98 ; 102 ; 105 ; 63;

65.

Si se ordenan en 7 intervalos de clase iguales, se piden:

A. La sum a del rango y el ancho de clase.

B. El porcentaje de datos que hay entre 50 y 90.

a) 80 ; 70% b) 70 ; 50%

c) 70 ; 60 % d) 80 ; 50%

e) 90 ; 50%

58. Se tiene el siguiente cuadro estadstico, en el cual lasfrecuencias absolutas form an una progresin aritm tica.

hifi

20;10

30;20

40;30

50;40

60;50

Ii

] 0,24

20

U n alum no distrado elabora la m ism a tabla, pero al

hacerlo com ete el error de aum entar cada dato en 5

unidades, si al elaborar dicha tabla observa que obtiene:

hifi

20;1030;20

40;30

50;40

60;50

Ii

]

0,24

Y con gran sorpresa, observa que una vez m s las

frecuencias se encuentran en progresin aritm tica.

D eterm inar la sum a de las dos m edias aritm ticas.

a) 79 b) 76 c) 82

d) 84 e) 86

59. U na com paa tiene 1 00 trabajad ores entre

nom brad os, contratad os y practicantes. Para los

nom brados, el sueldo m xim o es de S/. 7000 y el

m nim o de S/. 2000 m ensuales. El 4% son practicantes

que reciben propinas m enores de S/. 800 y el 26% de

los trabajadores son contratados que perciben haberes

m ayores o igual que S/. 800 pero m enores de S/. 2000;

20 trabajadores nom brados perciben haberes m enores

que S/. 3500 y el 80% del total de trabajadores tienen

haberes inferiores a S/. 5000.

C alcular:

i) Q u porcentaje de trabajadores ganan desde S/.

3500 hasta S/. 7000?

ii) Q u cantidad de trabajadores ganan sueldos m e-nores de S/. 3500?

a) 48% ; 52% b) 49% ; 51%

c) 50% , 50% d) 49% , 50%

e) 48% , 51%

60. En un cuadro de distribucin de 4 intervalos de igual

ancho de clase, se sabe que : 12x1

, 28x3

,

45f2

, 25,0hh 31

Si en total hay 120 datos, calcular su m edia aritm tica.

a) 18 b) 22 c) 12

d) 10 e) 15


15/15

TRILCE

115

lavesClaves

c

b

c

d

d

e

d

b

c

a

d

e

d

a

e

b

c

d

a

b

e

b

a

a

c

d

e

b

a

c

c

d

b

b

c

c

d

d

a

c

c

e

e

c

b

e

c

c

c

b

e

a

d

e

e

a

d

b

b

b

01.

0 2 .

0 3 .

0 4 .

0 5 .

0 6 .

0 7 .

0 8 .

0 9 .

1 0 .

1 1 .

1 2 .

1 3 .

1 4 .

1 5 .

1 6 .

1 7 .

1 8 .

1 9 .

2 0 .

2 1 .

2 2 .

2 3 .

2 4 .

2 5 .

2 6 .

2 7 .

2 8 .

2 9 .

3 0 .

3 1 .

3 2 .

3 3 .

3 4 .

3 5 .

3 6 .

3 7 .

3 8 .

3 9 .

4 0 .

4 1 .

4 2 .

4 3 .

4 4 .

4 5 .

4 6 .

4 7 .

4 8 .

4 9 .

5 0 .

5 1 .

5 2 .

5 3 .

5 4 .

5 5 .

5 6 .

5 7 .

5 8 .

5 9 .

6 0 .

Estadística (1)

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