ESTADÍSTICA

CONCEPTO Y DEFINICIÓN

La estadística es la ciencia de recolectar, clasificar, describir e interpretar datos. Puede ser:

Estadística DescriptivaEs el conjunto de métodos estadísticos relacionados con el resumen y la descripción de los datos, comotablas, gráficas y análisis. Estadística InferencialConjunto de métodos con los que se hace la generalización o la inferencia acerca de una población, utilizando una muestra. Se precisa de una medida confiable (la probabilidad)

POBLACIÓN Y MUESTRA

Población es un conjunto de elementos (personas, puntajes, mediciones, etc.) en los cuales se pueden presentar determinadas características observables y que se pueden medir.Muestra es un subconjunto de elementos de una población.

VARIABLES ESTADÍSTICAS Es la característica que se quiere estudiar de los elementos de una población.Pueden ser:

VARIABLES CUALITATIVASSi el valor asignado es un atributo y no son numerables.

EJEMPLORespondamos brevemente las posibilidades

La nacionalidad:……………………………….. El sexo:………………………………………….. El estado civil:…………………………………. El equipo de fútbol favorito:……………………...

VARIABLES CUANTITATIVASSon aquellos que se obtienen como resultados de conteos y mediciones. Pueden ser:

VARIABLES CUANTITATIVASDISCRETAS Si sus valores son números naturales y se toman contando. Por ejemplo:EJEMPLO Obtener la siguiente información El número de alumnos en el aula: ………………..El número de alumnos nuevos del aula:………….La cantidad de alumnas en la clase:……………... VARIABLES CUANTITATIVASCONTÍNUASSon valores reales y se obtienen mediante mediciones. Por ejemplo:EJEMPLO Obtener la siguiente información La temperatura en Lima hoy día:…………………La estatura de un alumno:………………………...El peso de un alumno: …………………………...

FRECUENCIAEs el número de veces o repeticiones que aparece, durante el proceso de observación y medición, cada uno de los datos considerados en una variable.

FRECUENCIA ABSOLUTA ( f )De lo anterior podemos deducir que Frecuencia Absoluta (f) es el número de veces que se repite cada valor.

EJEMPLO 1En el colegio se está organizando un festival de danza folklórica, para lo cuál se hará una presentación de bailes, comidas y artesanía peruana. A la clase del profesor A. Huiman le correspondió hacer la presentación de los bailes típicos, donde todos los alumnos del curso deberán participar.

Para la organización de los bailes, decidieron preguntar a los 34 alumnos del curso ¿Qué baile les gustaría realizar? Se anotaron los siguientes resultados en la tabla.

BAILE CONTEO

FRECUENCIA

ABSOLUTA ( f )

Marinera norteña IIIII 5

Marinera limeña II 2

Carnaval cajamarquino III 3

Diablada puneña IIII 4

Danza waca waca IIIIII 6

Carnaval de Huancapi III 3

Danza del chujchu IIII 4

El Ticapalla IIIIIII 7

la segunda columna (conteo) representa un alumno del curso. Entonces la tercera columna representa la cantidad total de alumnos en cada tipo de baile, es decir la

frecuencia Absoluta (f).FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA ( F )

Es la suma de las frecuencias absolutas de los datos inferiores o iguale a dicho dato, es decir lo que se ha acumulado hasta un momento dado.

EJEMPLO 2Con los datos obtenidos del ejemplo anterior, hallaremos ahora la frecuencia absoluta acumulada.

BAILEFRECUENCIA

ABSOLUTA ( f )

FRECUENCIAABSOLUTA ACUMULADA

( F )

Marinera norteña 5 5

Marinera limeña 2 7

Carnaval cajamarquino 3 10

Diablada puneña 4 14

TABLAS DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

Danza waca waca 6 20

Carnaval de Huancapi 3 23

Danza del chujchu 4 27

El Ticapalla 7 34

N (TOTAL) = 34 alumnos

EJEMPLO 3¿Cómo se completó la tercera columna?

Al primer dato de la frecuencia absoluta (5) le sumamos su segundo dato (2) y así obtuvimos el segundo resultado de la frecuencia absoluta acumulada (7). Lo mismo hicimos para calcular el tercer resultado de la frecuencia absoluta acumulada (10) que es el resultado de sumar las frecuencias absolutas primera (5), segunda (2) y tercera (3).

EJEMPLO 4¿Qué relación existe entre la frecuencia total N y el valor de la última fila de la frecuencia acumulada?

Al sumar todas las frecuencias absolutas (5+2+3 +4+6+3+4+7), ésta suma corresponde al valor del último cuadro de la frecuencia absoluta acumulada (34) por lo que se deduce que deberán ser siempre iguales

.

FRECUENCIA RELATIVA ( h )

Se llama Frecuencia relativa para un dato cualquiera de la variable, al cociente entre la frecuencia absoluta (f) y el número de observaciones realizadas (N).

FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA ( H )

Se llama Frecuencia Relativa Acumulada de un dato cualquiera de la variable, a la suma de las frecuencias relativas de los datos inferiores o iguales a dicho dato.

Veamos a continuación las tablas respectivas de las frecuencias Relativa y Relativa Acumulada,

tomando como referencias los datos obtenidos en los ejemplos anteriores.

BAILE FRECUENCIAABSOLUTA

(f)

FRECUENCIAABSOLUTA

ACUMULADA(F)

FRECUENCIARELATIVA

(h)

FRECUENCIARELATIVA

ACUMULADA(H)

Marinera norteña

5 5 5 = 0,15 34

0,15

Marinera limeña 2 7 2 = 0,06 34

0,21

Carnaval cajamarquino 3 10 3 = 0,09

340,30

Diablada puneña

4 14 4 = 0,12 34

0,42

Danza waca waca

6 20 6 = 0,18 34

0,60

Carnaval de Huancapi

3 23 3 = 0,09 34

0,69

Danza del chujchu

4 27 4 = 0,12 34

0,81

El Ticapalla 7 34 7 = 0,21 34

1,02

N (TOTAL) = 34 alumnos 1,00 APROX. 1,00

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE DISTRIBUCIONES

Las tablas de frecuencias de los datos estadísticos muestran una información ordenada del hecho que se analiza y estudia. También se pueden representarlos gráficamente para obtener una apreciación global, rápida y visual de la información señalada.

DIAGRAMA DE BARRAS SEPARADAS

Es aquella representación gráfica que se usa cuando se tienen muchos datos, pero pocos valores distintos de la variable.

Se elaboran colocando en el eje de las abscisas los distintos valores de la variable y sobre cada una de ellas se levanta una línea perpendicular (barra), cuya altura es la frecuencia (absoluta o relativa) de dicho valor.

EJEMPLO 1El siguiente gráfico representa la información obtenida en una empresa al preguntarle a 60 empleados el número de hijos de cada uno.

Para tener en cuenta: Este diagrama no tiene uso si la variable es continua. DIAGRAMA CIRCULAR

Empleado para fines comparativos, cuando se quiere mostrar diversos componentes de una serie de valores de la variable comparada con el total.

EJEMPLO 2El siguiente gráfico representa la información obtenida en una empresa al preguntarle a 60 empleados el número de hijos de cada uno, agrupado en porcentajes.

HISTOGRAMA

Es aquella representación gráfica de una distribución de frecuencias agrupadas en intervalos de clase, mediante rectángulos contiguos con base en el eje x, con centros en las marcas de clase y de longitud igual al tamaño de los intervalos de clase, las alturas son proporcionales a la frecuencia (absoluta o relativa) en el eje y.

EJEMPLO 3El siguiente gráfico representa la información obtenida en una empresa al preguntarle a 60 empleados su peso en kilogramos.

REFORZANDO MIS

CAPACIDADES

POLIGONOS DE FRECUENCIAS

Resulta al unir los puntos medios de las bases superiores de cada región en el histograma.

EJEMPLO 4El siguiente gráfico representa la información obtenida en una empresa al preguntarle a 60 empleados su peso en kilogramos.

En una prueba de actitud, 40 personas obtuvieron las siguientes calificaciones.

71 32 65 48 44 8368 45 90 38 58 5851 63 73 66 51 5060 51 36 56 67 41

44 20 53 76 45 66

1. Grafica el histograma (toma los datos de la tabla de la distribución de frecuencias de la tarea anterior)

2. Grafica la representación por barras de frecuencias (toma los datos de la tabla de la distribución de frecuencias de la tarea anterior)

3. La siguiente es la distribución de los pasos reales de mercancía entregada de una muestra de estudio.Grafica la ojiva de porcentajes (toma los datos de la tabla de la distribución de frecuencias de la tarea anterior)

Peso de Mercancías (en Kilos)

Frecuencias Absolutas

Frecuencias absolutas

acumuladas 88;89 7 89;90 31 90;91 15 91;92 3 92;93] 50

4. Se registró el tiempo (en minutos) que utilizan 30alumnos para ejecutar una tarea; los resultados fueron:7:0 9:5 8:5 13:5 12:5 11:2 9:1 11:4 8:4 15:5 14:0 10:5 9:2 13:1 10:2 13:0 11:0 10:1 9:0 16:0 10:4 17:0 12:4 9:1 9:4 7:2 11:2 12:0 14:5 8:3Grafica el polígono de frecuencias (toma los datos de la tabla de la distribución de frecuencias de la tarea anterior)

5. En una prueba de actitud, 40 personas obtuvieron las siguientes calificaciones. 71 32 65 48 44 8368 45 90 38 58 5851 63 73 66 51 5060 51 36 56 67 4144 20 53 76 45 66

Grafica el histograma (toma los datos de la tabla de la distribución de frecuencias de la tarea anterior)

Una empresa mayorista distribuidora de aparatos eléctricos desea estudiar sus cuantas por cobrar para dos meses sucesivos. Se seleccionan dos muestras independientes para 50 cuentas en cada uno de los meses. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:

Monto de las cuentas en

soles

Cuentas por cobrar en marzo

Cuentas por cobrar

en abril 1 000 ; 2 000 6 10 2 000; 3 000 13 14 3 000; 4 000 17 13 4 000; 5 000 10 9 5 000; 6 000 3 1 6 000; 7 000 ] 1 3

6. Grafica la ojiva de porcentajes (toma los datos de la tabla de la distribución de frecuencias de la tarea anterior)

7. Grafica mediante barras de frecuencias absolutas acumuladas (toma los datos de la tabla de la distribución de frecuencias de la tarea anterior)

Los consumos de Agua (en metros cúbicos) de 30 viviendas en el mes de marzo fueron:

4,3 7,8 6,1 15,7 12,8 17,2 3,5 16,1 12,4 6,9 18,0 11,5 13,4 6,5 14,3 8,7 13,0 9,2 12,8 3,0 4,2 11,2 16,2 7,0 4,5 7,8 15,9 16,5 8,4 5,9

8. Grafica el histograma (toma los datos de la tabla de la distribución de frecuencias de la tarea anterior)

9. Grafica el polígono de frecuencias (toma los datos de la tabla de la distribución de frecuencias de la tarea anterior)

10. Se tienen pocos datos sobre las notas de 100 alumnos en el curso de lenguaje.

Intervalo

mi fi Fi hi Hi

0,106 0,25

0,4514 0,90

100

Grafica el histograma de frecuencias relativas, el polígono de frecuencias y la ojiva (toma los datos de la tabla de la distribución de frecuencias de la tarea anterior)

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Son aquellos valores a los cuales convergen los demás valores de la variable. Estudiaremos la media, la mediana y la moda.

MEDIA ARITMÉTICA ( X )

Está dada por los suma de todos los datos de la población dividida entre el número total de ellos.

EJEMPLO 1Citaremos algunos ejemplos de medias o promedios aritméticos.

(a) El salario promedio de un obrero.(b) El precio medio o promedio de un pantalón.(c) El rendimiento promedio de un trabajador.(d) la temperatura media promedio durante la semana.(e) El promedio de goles por partido de un delantero de fútbol.(f) la nota final anual obtenida en el curso de aritmética por un alumno.

La media aritmética se usa para datos no tabulados y datos tabulados.

PARA DATOS NO TABULADOSDado un conjunto N de números

EJEMPLO 2Un estudiante gasta diariamente en movilidad 3; 2; 5; 4; 6 y 3 nuevos soles. Su promedio de gastos en movilidad será.

__ _X = 3 + 2 + 5 + 4 + 6 + 3 = 23 = 3,83

6 6

PARA DATOS TABULADOS O AGRUPADOSSean x1; x2; x3;...; xk las marcas de clase de los k intervalos de una distribución respectivamente y además f1; f2; f3;...; fk son las frecuencias absolutas de los N intervalos respectivamente. Tenemos:

EJEMPLO 3En la siguiente tabla correspondiente al ingreso mensual promedio (en soles) de cierto número de familias.

Ii xi fi hi

300; 500> 500; 700> 700; 900> 900; 1100>

4006008001000

40361410

40%36%14%10%

n = 100_X = 400x40 + 600x36 + 800x14 + 1000x10 100_X = 4(40) + 6(36) + 8(14) + 10(10)_X = 160 + 216 + 112 + 100_X = 588

Para tener en cuenta:La media también llamada media aritmética o promedio aritmético, es el más usado por todos nosotros y el más fácil de calcular

MEDIANA ( Me )

Es el valor que divide al total de observaciones (n) debidamente ordenadas o tabuladas en 2 partes de igual tamaño. La mediana dependerá de la cantidad de datos mas no de los valores de estos.

PARA DATOS NO TABULADOSCuando se obtengan datos obtenidos de una muestra se tendrán 2 casos.En primer lugar, tendremos que ordenarlos en forma ascendente o descendente.

Tenemos los siguientes casos:

1. Cuando se tiene un número impar de datos.La mediana será igual al valor del término central.

EJEMPLO 3Si se tiene el número de hijos de 7 familias las cuales son 5; 1; 6; 1; 2; 1 y 4

Ordenando: 1; 1; 1; ; 4, 5; 6

Notamos que el dato central es 2, por lo que diremos que el cuarto dato es la llamada mediana, entonces Me = 2

Como: n = 100 / 2 = 50 Por lo tanto I2 es el intervalo que contiene a la mediana. Identificando valores:

L2 = 500 F1 = 40 f2 = 36A = 500 – 700 = 200

2. Cuando se tiene un número par de datosLa mediana es igual a la semisuma de los dos términos centrales.

EJEMPLO 4Se tiene la cantidad de alumnos que asistieron a un aula de clases en los últimos 6 días: 26; 20; 21; 30; 25 y 21.

Ordenando: 20; 21; ; 29, 30

Entonces: Me = 21 + 25 = 23 2

PARA DATOS TABULADOS O AGRUPADOSCuando se tengan datos, los cuales están clasificados por una cantidad de intervalos, tendremos que hallar el dato que hace dividir en dos partes de igual tamaño a la muestra.Luego se utiliza la siguiente fórmula:

n _ Fi - 1 Me = Li + 2 . A

fi

Donde: n : Número de datos. Li : Límite del intervalo de la mediana Fi – 1 : Frecuencia acumulada absoluta del intervalo inmediatamente anterior al intervalo de la

mediana. fi : Frecuencia absoluta del intervalo de la mediana. A : Amplitud del intervalo de la mediana. EJEMPLO 5En la siguiente tabla correspondiente al ingreso mensual promedio (en soles) de cierto número de familias.

Ii fi Fi hi

300; 500> 40 40 40%

500; 700> 36 76 36%

700; 900> 900; 1100>

1410

90100

14%10%

n = 100