Estadística

Eduardo Véliz, Ing. Tema 4: Introducción a Probabilidad 1

Estadística

Tema 4: Introducción a Probabilidad

Tema 4: Introducción a Probabilidad 2Eduardo Véliz, Ing.

Probabilidad ¿Cuál es la probabilidad de aprobar

Estadística?

¿Cuál es la probabilidad que exista vida en otro mundo?

Todos los días nos hacemos preguntas sobre probabilidad e incluso de cosas que no sabemos, lo importante es que todos tenemos una pequeña idea intuitiva de este curso.


Nociones de probabilidad

Hay 3 maneras principales de entender la probabilidad: Clásica: Basada en la idea de las proporciones. Eventos favorables

sobre posibles.

Empírica: Número de veces que ocurriría un evento al realizar un experimento repetidas veces.

Subjetiva: Grado de certeza que se posee sobre un evento. Es personal.

En todos los tipos de definiciones aparece el concepto de evento. Vamos a recordar cuáles son y algunas operaciones que se pueden realizar con eventos.


Experimentos Así como en Física o Química, para

nosotros un experimento será un proceso de medición o de observación.

Un posible resultado de un experimento se llama punto muestral o evento simple.

El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (S).

Se llama evento a un subconjunto de dichos resultados.

S espacio muestral

S espacio muestral

A

Evento APunto muestral


Experimentos Se llama evento complementario de A, A’ a

los resultados experimentales que no están en A.

Se llama evento unión de A y B, AUB, al evento formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos), al menos en uno de los dos.

Se llama evento intersección de A y B, A∩B o simplemente AB, al formado por los resultados experimentales que están simultáneamente en A y B.

S espacio muestral

A

B

UNIÓN

S espacio muestral

A

B

INTERSEC.

S espacio muestral

A

A’


Teorema de Exclusión - Inclusión La idea de este teorema, el cuál no vamos a demostrar,

sino a entender es hallar el número de elementos en la unión de 2 o más conjuntos.

Denotemos con N(A) el número de elementos (cardinalidad) de A. A = {2, 3, 4, 6, 9} B= {2, 4, 6, 8} N(A) = 5 N(B) = 4

Puesto que no es difícil, observamos: AB = {2, 4, 6} AB = {2, 3, 4, 6, 8, 9} N(A B) = 3 N(AB) = 6

Ahora nótese que: N(AB) = N(A) + N (B) – N(A B) = 5 + 4 – 3 = 6.


Teorema de Exclusión – Inclusión (Ejemplo)

En la carrera de Ing. Sistemas hay 2000 estudiantes, de los cuales: 1200 estudian Matemáticas. 800 estudian Física. 600 estudian Química. 300 estudian Matemáticas y Física, pero no Química. 200 estudian Matemáticas y Química, pero no Física. 150 estudian Física y Química, pero no Matemáticas. Si de los 2000 estudiantes, todos estudian al menos

una asignatura, cuantos estudian las 3 asignaturas a la vez?


Teorema de Exclusión – Inclusión (Ejemplo)

En este caso hay 3 conjuntos: N(ABC) = N(A) +N(B) +N(C) –N(AB) –N(AC) –N(BC) +N(ABC).

Si hubieran 4 conjuntos: N(ABCD) = N(A) +N(B) +N(C) +N(D) –N(AB) –N(AC) –N(AD) –

N(BC) –N(BD) –N(CD) +N(ABC) +N(ABD) +N(ACD) +N(BCD) –N(ABCD).

Nótese que siempre sumamos y restamos alternadamente todas las formas de formar conjuntos de tamaño k =1, 2, 3, 4,…


Teorema de Exclusión – Inclusión (Ejemplo) Para no alargar el cuento (Despejamos):

N(ABC) = N(ABC) –N(A) –N(B) –N(C) +N(AB) +N(AC) +N(BC).

N(ABC) = 2000 -1200 -800 -600 +300 +200 +150 = 50.

F

Q

M

50

300

400750

150 100

250

Nótese que la suma de todos los valores del gráfico es 2000 estudiantes.

Observamos que hay 750 que estudian sólo Matemáticas, pero no Física ni Química, y así…


Probabilidad Primero debemos saber que todo evento E es subconjunto del

espacio muestral y que el conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto.

Además al espacio muestral se le llama evento seguro y al vacío, evento imposible.

Para entender la probabilidad clásica hay que apegarnos al espacio muestral.

Así consideramos el experimento de Lanzar una moneda y observar su cara superior. Puesto que tenemos 2 opciones: S = {cara, sello} P(S) = P(cara o sello) = 1 P() = P(No cara, Ni sello) = 0 P(cara) = ½ (Porque hay 1 cara entre los 2 posibles resultados).


Probabilidad

Nótese que el valor obtenido siempre está en el intervalo cerrado [0, 1]. Esto viene de lo anterior: E S P() ≤ P(E) ≤ P(S) 0 ≤ P(E) ≤ 1 (Recuérdenlo).

Definimos entonces la probabilidad de un evento como una función que toma valores del espacio muestral y los lleva al intervalo [0, 1]. Donde se cumple: P(S) = 1 0 ≤ P(E) ≤ 1 P(AUB)=P(A)+P(B) Cuando A y B no se intersectan.


Reglas de Probabilidad Eventos Exclusivos o

Mutuamente Excluyentes son aquellos cuyos conjuntos no se intersecan. Es decir que un dato no aparece en ambos a la vez.

Eventos Exhaustivos son aquellos cuya Unión es el Espacio Muestral, es decir que cada dato aparece al menos en un evento.

A B

AB=

A B

AB = S


Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos

A1 A2

A3 A4

Son una colección de sucesos

A1, A2, A3, A4…

Tales que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas.


Reglas de Probabilidad

Eventos independientes son aquellos que no afectan en el resultado del otro.

Cumplen la propiedad:

P(AB) = P(A)P(B)

P(A) = 0.20

P(B) = 0.30

P(AB) = 0.06

P(A)P(B) = 0.06

Nótese al graficar que:

P(A) = 0.14+0.06 = 0.20.

P(B) = 0.24+0.06 = 0.30.

A B

0.24

0.14

0.06


Reglas de Probabilidad

Regla Complementaria. P(A’) = P(S) - P(A) = 1 – P(A).

Regla Multiplicativa. Similar a Inclusión-Exclusión. P(AB) = P(A)P(B|A) P(AB) = P(B)P(A|B)

Esto significa que la probabilidad que sucedan A y B a la vez es equivalente a la probabilidad que suceda A por la probabilidad que suceda B, dado que ya sucedió A.

Qué sucede si A y B son Independientes? Puesto que P(AB) = P(A)P(B) Entonces P(A)P(B) = P(B)P(A|B) Entonces P(A) = P(A|B)

Lo mismo sucede con P(B) = P(B|A).


Reglas de Probabilidad Regla Aditiva. Similar a Inclusión-Exclusión.

P(AB) =P(A) +P(B) –P(AB).

Qué sucede si A y B son Exclusivos? Puesto que P(AB) = P() = 0. Entonces P(AB) =P(A) +P(B).

Qué sucede si A y B son Independientes? Puesto que P(AB) = P(A)P(B) Entonces P(AB) =P(A) +P(B) –P(A)P(B).

Qué sucede si A y B son Exhaustivos? P(AB) = P(S) = 1.


Probabilidad condicional Despejemos de la Regla Multiplicativa.

Se llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A sabiendo que sí sucede B.

)(

)()|(

BP

ABPBAP

E espacio muestral

A

B

“tam

año”

de

uno

resp

ecto

al

otro


EJEMPLO: En una muestra de 1000 individuos elegidos al azar, entre una población de enfermos de osteoporosis 760 eran mujeres.

¿Qué porcentaje de mujeres hay en la muestra? 760/1000 = 0,76 76%

Si elegimos a un individuo de la población, qué probabilidad hay de que sea mujer: Es equivalente a medir la proporción de mujeres P(Mujer) = 0.76

¿Cuál es la probabilidad de que elegido un individuo de la población sea hombre: P(Hombre) = P(Mujer’) = 1 -0,76 =0,24

Se sabe de otros estudios que entre los individuos con osteoporosis, aprox. la cuarta parte de las mujeres fuman y la tercera parte de los hombres. Elegimos a un individuo al azar de la población de enfermos.

¿Qué probabilidad hay de que sea mujer fumadora? P(Mujer ∩ Fumar) = P(Mujer) P(Fumar|Mujer) = 0,76 x ¼ = 0,19

¿Qué probabilidad hay de que sea un hombre fumador? P(Hombre ∩ Fumar) = P(Hombre) P(Fumar|Hombre) = 0,24 x 1/3 = 0,08


Teorema de la probabilidad total

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces…

… podemos calcular la probabilidad de B.

P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )

=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …


Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los varones, son fumadores el 20%.

¿Qué porcentaje de fumadores hay en total? P(F) = P(F∩H) + P(F∩M)

= P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M)

=0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7

= 0,13 =13%

¿Se elije a un individuo al azar y resultafumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre? P(H|F) = P(F ∩ H)/P(F)

= P(F|H) P(H) / P(F)

= 0x2 x 0,3 / 0,13

= 0,46 = 46%

MujeresVarones

fumadores

T. Prob. Total.Hombres y mujeres formanUn Sist. Exh. Y Excl.De sucesos

T. Bayes


Expresión del problema en forma de arbol

Estudiante

Mujer

No fuma

Hombre

Fuma

No fuma

Fuma

0,7

0,1

0,20,3

0,8

0,9

0,06

0,13

0,07


Teorema de Bayes

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces…

…si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai.

donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:

P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 )

=P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …

P(B)

)A|)P(BP(A

P(B)

) BP(A B)|P(A rrr

r

Conocimiento aposteriori

Conocimiento apriori


¿Qué hemos visto?

Álgebra de sucesos Unión, intersección, complemento

Probabilidad Nociones

Clásica Empírica Subjetiva

Reglas de Probabilidad Probabilidad condicionada Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos

Teorema probabilidad total. Teorema de Bayes

Estadística

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