Estadistica 7
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Teorema del límite central y
aplicaciones
Estadística CIMACO
Dr. Carlos Cáceres Martínez, presentación preparada a partir
del trabajo de la Dra. Eleonora Romero Vadillo y otros mas
Teorema del Límite Central
Sea X una variable aleatoria con cualquier distribución, con
media y varianza 2. La función de distribución de la media
muestral es aproximadamente normal con media y
desviación estándar
n
Cuando el tamaño de la muestra (n) es grande.
Distribución de la media
muestral
0.95
n
2
n
2
1x 2x3x4x
Distribución de la media muestral
Cuando la distribución de X es normal la distribución de la media
muestral es normal con media y desviación estándar
n
Sin importar el tamaño de la muestra.
¿Que tan grande debe ser el tamaño de la muestra para que la
distribución de la media muestral sea aproximadamente normal,
cuando proviene de una población con distribución diferente a
la normal?
El tamaño de la muestra depende del grado de no
normalidad de la población. Sin embargo, una regla empírica
señala que una muestra de tamaño 30 es suficiente, en la mayoría
de las situaciones, para aplicar el teorema del límite central.
Distribución de la media
muestral
Para ilustrar este procedimiento construiremos la función de
distribución de la media muestral de una pequeña población
conformada por el número de huevos de 5 tortugas Laud que
desovaron en cierta playa.
El número de huevos por tortuga fue de 68 70 72 74 y 76
El número de muestras posibles de tamaño 2 con sustitución
es de 25
(68,68), (68,70), (68,72), (68,74), (68,76),
(70,68), (70,70), (70,72), (70,74), (70,76),
(72,68), (72,70), (72,72), (72,74), (72,76),
(74,68), (74,70), (74,72), (74,74), (74,76),
(76,68), (76,70), (76,72), (76,74), (76,76)
Ejemplo
x 68 70 72 74 76
68
70
72
74
76
68 69 70 71 72
69 70
70
71
71
72
72 73
73
73
7371 72
72
74
74
74
75
75 76
Cuales son los valores que podríamos esperar
encontrar ya que el número de huevos que
produce cada tortuga es una variable continua…
x f~
f
68
69
70
71
72
73
74
75
76
1
2
3
4
5
4
3
2
1
0.04
0.08
0.12
0.16
0.20
0.16
0.12
0.04
0.08Construyendo su
distribución de frecuencias
tendríamos:
Que se representa por esta
figura o histograma
0
0.04
0.08
0.12
0.16
0.2
68 69 70 71 72 73 74 75 76
La media de la población es:
5
7674727068
5
36072
La varianza de la población es:
5
7276727472727270726822222
2
5
16404168
5
40
Calculando ahora la media de todas las medias:
25
)1(76)2(75)3(74)4(73)5(72)4(71)3(70)2(69)1(68x
25
7615022229236028421013868
25
180072
Por lo tanto
x
Recordemos esto se debe
al teorema del límite
central…
Calculando ahora la varianza de la media muestral
25
)5(7272)4(72713727027269)1(726822222
2
x
25
1727627275)3(7274)4(72732222
25
1618124041218164
25
100
nx
22
Por lo tanto
Recordemos esto se debe
al teorema del límite
central…
Los resultados anteriores se obtuvieron suponiendo que el
muestreo es con reemplazo o que las muestras se han extraído de
una población finita.
En general no se muetrea con reemplazo, y en muchas
ocasiones se muestrea a partir de poblaciones infinitas.
En el ejemplo, bajo un muestreo sin reemplazo, el número de
muestras posibles es 10 (las que están por encima de la diagonal
en la tabla).
x 68 70 72 74 76
68
70
72
74
76
68 69 70 71 72
69 70
70
71
71
72
72 73
73
73
7371 72
72
74
74
74
75
75 76
El número de muestras de tamaño n en una población de tamaño
N está dado por la combinación
)!(!
!
nNn
N
n
N
En el ejemplo:10
!3!2
!5
2
5
(68,70), (68,72), (68,74), (68,76), (70,72),
(70,74), (70,76), (72,74), (72,76), (74,76).
Con medias 69, 70, 71, 72, 71, 72, 73, 73, 74, y 75, respectivamente
y la media de estas
10
)1(75)1(74)2(73)2(72)2(71)1(70)1(69x
10
7574146144142706972
10
720
y la varianza de la media muestral:
10
27273)2(7272)2(7271)1(72701726922222
2
x
10
94202493
10
30
En este caso la varianza de la media muestral no es igual a la
varianza poblacional entre el tamaño de la muestra.
Sin embargo, existe una relación entre estas y está dada por:
1
22
N
nN
nx
10
)1(7275)1(727422
En el ejemplo:
22
34
34
15
25
2
8
1x
N
nN
n
1
N
nNSe conoce como factor de corrección por población finita
Este factor puede ignorarse cuando el tamaño de la muestra
es pequeño en comparación con el tamaño de la población.
Como sugerencia, el factor de corrección por población finita
se usa si la muestra contiene mas del 5% de las observaciones
de la población, esto es, si :
05.0N
n
Ejemplo:
Se sabe que el peso de los juveniles de pargos se distribuye
aproximadamente de manera normal con media 2.4 kg. y desviación
estándar de 0.6 kg. Si se toma una muestra al azar de 10 pargos,
calcule la probabilidad de que tengan un peso medio entre 2.56 y
2.74.
4.2 y 6.0
Entonces: )74.256.2( xP
10
6.0
4.274.2
10
6.0
4.256.2zP
19.0
34.0
19.0
16.0zP 78.184.0 zP
)84.0()78.1( zPzP
La población es muy grande comparada con el tamaño de la muestra y
se sabe que:
)84.0()78.1( zPzP 800.0962.0 0.1
6
Creo que ya saben como trabajar así que
aquí esta un ejercicio que habrá que
resolver dos preguntas:
1. Tomemos el archivo de los ostiones y sabemos entonces que la media de la longitud (talla) de la población es X= 30.21 mm y una = 9.51(recordemos que es sin el dato atípico). Entonces calcule cual es la probabilidad de encontrar en un muestreo aleatorio un ostión de 27.5 mm de longitud
Continúa ejercicio
2. Ahora para la misma población de
ostiones puede estimar cual es la
probabilidad de que en un muestreo
aleatorio encontremos un ostión tenga
una de longitud media de 30.1 y 29.8
mmLa tabla de probabilidades de ocurrencia bajo la curva
normal la puede encontrar en cualquier libro de
estadística o bien acudir a la siguiente liga de
matemáticas para niños…
http://www.disfrutalasmatematicas.com/datos/distribucion-normal-
estandar.html