Tema: Distribución t-Student para una muestra

Curso: Seminario de Estadística Aplicada a la Investigación Educacional

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓNENRIQUE GUZMÁN Y VALLE

Alma Máter del Magisterio Nacional

ESCUELA DE POSTGRADOSECCIÓN DE DOCTORADO

MENCIÓN: CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN.

Dr. Florencio Flores Ccanto

Condiciones:Condiciones: Se utiliza en muestras pequeñas de 30 Se utiliza en muestras pequeñas de 30

o menos elementos.o menos elementos. La desviación estándar de la población La desviación estándar de la población

no se conoce.no se conoce.

Características:Características: La distribución t-Student es menor en La distribución t-Student es menor en

la media y más alta en los extremos la media y más alta en los extremos que una distribución normal.que una distribución normal.

Tiene mayor parte de su área en los Tiene mayor parte de su área en los extremos que la distribución normal.extremos que la distribución normal.

t- Studentt- Student

Comparación entre Normal y T StudentComparación entre Normal y T Student

Distribución Normal

Distribución t Student

Media

Distribución Normal

Distribución t Student

Nivel de Significación

= (A+B)

Región de aceptación

95%

Se rechaza la hipótesis nula

Se rechaza la hipótesis nula

- Valor critico Valor teórico de la diferencia

+ Valor critico

Area A Area B

α/2=0,025 α/2=0,025Certeza

Deseada

Grados de LibertadGrados de Libertad

Existe una distribución Existe una distribución tt para cada para cada tamaño de la muestra, por lo que tamaño de la muestra, por lo que “Existe una distribución para cada uno “Existe una distribución para cada uno de los grados de libertad”.de los grados de libertad”.

Los grados de libertad son el número Los grados de libertad son el número de valores elegidos libremente.de valores elegidos libremente.

Grados de libertad:Grados de libertad: Para un conjunto de datos de una muestra, Para un conjunto de datos de una muestra,

con distribución t-Student los grados de con distribución t-Student los grados de libertad se calculan de la siguiente manera:libertad se calculan de la siguiente manera:

G.L. = n – 1G.L. = n – 1

Ejemplo:Ejemplo:

Se tiene una muestra de 7 elementos con Se tiene una muestra de 7 elementos con una media de 16.una media de 16.

Media= Media= a+b+c+d+e+f+g a+b+c+d+e+f+g =16=16 77G.L.= n – 1 =7-1= 6G.L.= n – 1 =7-1= 6

Tabla t Student

EjercicioEjercicio

Se desea obtener un intervalo de Se desea obtener un intervalo de confianza al 99% para el tiempo confianza al 99% para el tiempo medio requerido para desarrollar medio requerido para desarrollar una prueba de matemática.una prueba de matemática.

Para ello se elige una muestra Para ello se elige una muestra aleatoria de 16 estudiantes, la que aleatoria de 16 estudiantes, la que produce una media de 13 y una produce una media de 13 y una desviación estándar de 5.6 minutos.desviación estándar de 5.6 minutos.

Encontrando tEncontrando t

Confianza al 99% con (n-1) grados de Confianza al 99% con (n-1) grados de libertad.libertad.

GL=16 - 1=GL=16 - 1=1515

99 %α2=0.005

α1=0,005

α = 1% = 0.01

005,02

Cálculo de los valores extremos del intervaloCálculo de los valores extremos del intervalo

n= 16n= 16 =13 minutos=13 minutos S = 5.6 minutosS = 5.6 minutos ttcríticocrítico = 2,947 (valor que se obtiene de la = 2,947 (valor que se obtiene de la

tabla, para G.L. = 15)tabla, para G.L. = 15)

X

Tiempo medio requerido para desarrollar la prueba de matemática será entre 8.88 y 17.12 minutos con una certeza del 99%

n

tSX x extremos valores

16

)6,5)(947,2(13 X extremos valores 4

50,1613 xi 12,413 xi

12,17 2 x88,8 1 x

I = [8,88 17,12]

Prueba de hipótesis con t-Student

Siendo: G.l. = n-1Hipótesis Nula ( H0 ): Ho : 1 = 2

H1: 1 ≠ 2Hipótesis Alterna ( H1 ):

n

SX

t obtenidoObtenido

n: tamaño de la muestra

X: Media muestral

: Media poblacional

S: Desviación estándar

Críticot Valor obtenido de la tabla t-Student

Significancia estadística: Prueba de hipótesis

tObtenido = Cálculo a partir de los datos de la muestra.

tCrítico = Valor de tabla con n-1 grados de libertad

Relación mejorada:

Si |tObtenido | |tCrítico|, entonces se rechaza la

hipótesis nula (Ho); y por lo tanto, se acepta la hipótesis alterna H1.

Problema:Suponga que usted tiene una técnica que puede modificar la edad a la cual los niños comienzan a hablar. En su localidad, el promedio de edad, en la cual un niño emite su primera palabra, es de 13,0 meses. No se conoce la desviación estándar poblacional. Usted aplica dicha técnica a una muestra aleatoria de 15 niños. Los resultados arrojan que la edad media muestral en la que se pronuncia la primera palabra es de 11.0 meses, con una desviación estándar de 3,34.

1. ¿Cuál es la hipótesis alterna ?2. ¿Cuál es la hipótesis nula?3. ¿Funciona la técnica? Utilice =0,052colas

Hipótesis Nula H0: La técnica no afecta la edad en que los niños comienzan a hablar.

Por lo tanto, la muestra con es una muestra aleatoria , extraída de una población con = 13,0.

Hipótesis alterna H1: La técnica afecta la edad en que los niños comienzan a hablar.

Por lo tanto, la muestra con es una muestra aleatoria, extraída de una población donde ≠ 13,0.

0,11obtenidoX

0,11obtenidoX

32,2

862,8

2

15

34,30,130,11

n

SX

t obtenidoObtenido

145,2Críticot

entoncesttSi CríticoObtenido , , se rechaza laHipótesis nula; por lo que se acepta la hipótesis alterna: “La técnica afecta la edad en que los niños comienzan a hablar”.

Una investigadora cree que en años recientes, las mujeres han aumentado su estatura. Ella sabe que hace 10 años el promedio de estatura de una mujer adulta joven, en la ciudad donde habita ésta investigadora, fue de 63 pulgadas. No se conoce la desviación estándar. Ella toma una muestra aleatoria de ocho mujeres jóvenes adultas que residen en dicha ciudad y mide sus estaturas. Se obtienen los datos siguientes: Altura (en Pulgadas)

64

66

68

60

62

65

66

63

a) ¿Cuál es la hipótesis nula?

b) ¿Cuál es la hipótesis alterna?

c) Si utilizamos =0,01 2cola ¿Qué se puede concluir?

Ejercicio:

Un consejo universitario quiere determinar el tiempo promedio de estudio que dedican los estudiantes, de primer año, a sus materias. Extrae una muestra aleatoria de 61 alumnos de primer año y les pregunta cuántas horas a la semana estudian. La media de los datos resultantes es de 20 horas, y la desviación estándar es de 6,5 horas.

a) Construya un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional.

b). Construya un intervalo de confianza del 99% para la media poblacional.

Ejercicio:

Una profesora, del programa de estudios para la mujer, cree que la cantidad de cigarrillos fumados por las mujeres se ha incrementado en años recientes. Un censo, realizado hace dos años con mujeres de una ciudad vecina, mostró que el número promedio de cigarrillos fumados diariamente por una mujer era de 5,4, con una desviación estándar de 2,5. Para evaluar esta hipótesis, la profesora determinó el número de cigarrillos fumados diariamente por una muestra aleatoria de 120 mujeres que viven actualmente en la ciudad donde habita. Los datos muestran que el número de cigarrillos fumados diariamente por las 120 mujeres tiene una media de 6,1 y una desviación estándar de 2,7.

a) ¿Es correcta la hipótesis de la profesora?. Utilice =0.05 2 cola, para tomar su decisión y la t-Students.

Ejercicio:

Imagine que la administradora de una universidad quiere determinar el IQ promedio de los profesores que laboran en esa institución. Como es muy costoso hacer una prueba a todos los maestros, se extrae una muestra aleatoria de 20 instructores de toda la población. Cada profesor recibe un examen diseñado para medir el IQ; los resultados proporcionan una media muestral de 135 y una desviación estándar de 8. Construya el intervalo de confianza del 95% para la media poblacional.

a) ¿Qué significa que el intervalo de confianza del 95% es igual a cierto rango?.

Ejercicio: