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EJERCICIOS RESUELTOS

ESTADISTICA APLICADA A LA EMPRESA

CURSO: 2011-2012

Estadıstica aplicada a la empresa (G.A.D.E.). Curso 2011-2012.

RELACION DE PROBLEMASTEMA 1 (Distribuciones binaria y binomial).

1.1 La longitud en centımetros de los tornillos de una produccion sigue una distribucion uniforme en elintervalo (10, 15), siendo unicamente aptos para la venta los comprendidos en el intervalo (11, 14). Si sesabe que en un minuto se producen 10 tornillos:

a.– ¿Cual es la probabilidad de que en dos minutos de trabajo se rechazen mas de 10?

b.– ¿Cual es la probabilidad de que en una hora de trabajo se acepten mas de 450?

1.2 Un profesor realiza un examen de 20 preguntas en las que las respuestas con Verdadero o Falso.

a.– Si para aprobar es necesario contestar correctamente por lo menos a la mitad de las preguntas,¿que probabilidad tiene de aprobar la asignatura un alumno que no ha estudiado nada?

b.– Si el profesor quiere que un alumno que no ha estudiado nada tenga una probabilidad de suspenderde al menos 85%, ¿cantas preguntas correctas debera exigir como mınimo para aprobar?

1.3 La probabilidad de que un auxiliar administrativo cometa un error al anotar una partida es 0.005.

a.– Si en un mes anota 1000 partidas, calculese la probabilidad de que el numero de errores en esemes sea mayor que 6.

b.– Si realiza 10000 partidas, ¿cual es la probabilidad aproximada de que el numero de errores seamayor que 55?

c.– En este ultimo caso, ¿cual es la probabilidad aproximada de que el numero de errores sea iguala 55?

1.4 Una sucursal bancaria realiza en promedio una transaccion erronea de cada 100.

a.– Si en una hora realiza 10 transacciones y teniendo en cuenta que el numero de transaccionesrealizadas en dos horas distintas son independientes, ¿cual es la probabilidad de que dicha sucursalrealice 3 transacciones erroneas en dos horas?

b.– Si la sucursal sufre una penalizacion cada dıa (7 horas laborables) que realiza mas de dos trans-ferencias con error, ¿cual es la probabilidad de que en una semana (5 dıas) las sucursal sufraalguna penalizacion?

1.5 Las companıas de auditorıa generalmente seleccionan una muestra aleatoria de los clientes de un bancoy verifican los saldos reportados por el banco. Si una companıa de este tipo se encuentra interesada enestimar la proporcion de cuentas para las cuales existe una discrepancia entre el cliente y el banco:

a.– ¿Cuantas cuentas deberan seleccionarse de manera que con una confianza del 99% la proporcionmuestral se encuentre a no mas de 0.02 unidades del valor real?.

b.– El banco cree que la proporcion de cuentas en las que existe discrepancia es igual al 20% yexamina 5000 cuentas de clientes. ¿Cual es la probabilidad de que se encuentren mas de 3800 sindiscrepancia alguna si realmente el banco esta en lo cierto?.

1.6 Un empleado de banco sustituye un billete bueno por uno falso en cada fajo de 100 billetes.

a.– Si a un cierto individuo le dan 20 billetes de dicho fajo, ¿cual es la probabilidad de que entreellos no se encuentre el billete falso?

b.– Si al cliente le dan 20 billetes, cada uno de ellos de un fajo distinto ¿cual es la probabilidad deque no le den ningun billete falso?

c.– En el caso de la pregunta anterior, ¿cual es el numero medio de billetes falsos que recibira elcliente?


d.– Si le dan 60 billetes, cada uno de ellos de un fajo diferente, ¿cual es el numero mas probable debilletes falsos que obtendrıa el cliente?

1.7 En determinadas circunstancias, un metodo de fencundacion in vitro produce un embarazo con probabil-idad p = 0.1 tras un intento.

a.– ¿Cual es la probabilidad de que no se logre un embarazo tras ocho intentos?

b.– ¿Que numero de intentos deberıa realizar una mujer para quedar embarazada con probabilidad,al menos, 0.4?

1.8 La proporcion de piezas defectuosas producidas por una maquina es 0.1 cuando la maquina esta bienregulada y se eleva a 0.7 cuando no lo esta. Para contrastar la hipotesis de que la maquina esta bienregulada se toma una m.a.s. de 10 piezas y se adopta la regla de decision de rechazar la hipotesis decontraste si el numero de piezas defectuosas es mayor o igual que 3. En caso contrario se acepta. Se pidehallar el nivel de significacion y la P (II).

1.9 En Enero de 1992 una empresa realizo una encuesta a 1000 personas elegidas aleatoriamente para esti-mar la proporcion que compraba uno de sus productos, obteniendo 300 respuestas afirmativas entre losconsultados. En la actualidad, con objeto de determinar si existe un cambio de actitudes entre los con-sumidores, ha encuestado a 1200 personas elegidas aleatoriamente, resultando que 380 eran compradoresdel producto. Se pide:

a.– Estimar la proporcion de consumidores en enero de 1992 con una confianza del 95%.

b.– ¿Se puede afirmar, con un nivel de significacion del 5%, que ha habido un cambio en cualquiersentido en las actitudes de los consumidores?


RELACION DE PROBLEMASTEMA 2 (Distribucion de Poisson).

2.1 Se sabe que el numero de clientes que acuden en demanda de un determinado servicio en cada minutode un periodo punta sigue una distribucion de Poisson de parametro λ = 2. Si el periodo dura 10minutos cada dıa y durante todo el periodo se mantienen invariantes las circunstancias del azar, calcularla probabilidad de que en un periodo punta prefijado demanden el servicio menos de 18 personas.

2.2 Se sabe que el promedio diario del numero de barcos que solicitan atracar en un puerto es 9 y que dichonumero sigue una distribucion de Poisson.

Si para el atraque se necesita el auxilio de un practico que como maximo puede atender a 16 barcos pordıa, se pide:

a.– Probabilidad de que en un dıa determinado mas de un barco no pueda atracar.

b.– Probabilidad de que en el conjunto de dos dıas justamente dos barcos no puedan atracar.

2.3 En una determinada empresa, el numero de ausencias laborales de cada dıa sigue una distribucion dePoisson de parametro λ = 2.

a.– ¿Cual es la probabilidad de que en una semana laboral (de 5 dıas) haya mas de 3 dıas en que elnumero de ausencias laborales supere las 3 personas?.

b.– ¿Cual es la probabilidad de que en 3 dıas el numero total de ausencias laborales sea al menos 9?.

NOTA: Supongase, aunque no sea muy verosımil, que las ausencias laborales de cada dıa son indepen-dientes entre sı.

2.4 Se ha tomado una muestra aleatoria del numero de fallos obtenidos por cambio de telares en una fabricade tejidos, arrojando los siguientes resultados:

Numero de fallos Frecuencias observadas0 321 152 93 4

Contrastar al nivel de significacion α = 5% la hipotesis de que la muestra procede de un colectivo quesigue la distribucion de Poisson.

2.5 Una companıa de taxis considera que en condiciones optimas la media diaria de coches averiados no debeser superior a 8 y se distribuye conforme a una ley de Poisson. Para contrastar la calidad actual de suscoches, utiliza una muestra de un dıa en el cual se notifican 10 coches averiados.

a.– ¿ Se puede aceptar al nivel de significacion del 5%, la hipotesis de que el parque se encuentra encondiciones optimas?.

b.– ¿ Cual serıa la P (II) cuando la media real de averıas es λ = 9?.

2.6 El numero de fallos cometido en cada jornada de trabajo por un determinado trabajador sigue unadistribucion de Poisson de parametro λ. La empresa considera aceptable su trabajo si la media diariade fallos no es mayor que 0.8. Para controlar su trabajo, deciden obtener una muestra de 5 dıas de sutrabajo obteniendo 1, 2, 0, 1 y 2 fallos respectivamente.

a.– Contrastar, al nivel de significacion del 5%, si su trabajo es aceptable.

b.– ¿ Cual serıa la probabilidad de que, con este modo de proceder, diesemos por correcto el trabajode un empleado que comete una media de 1 fallo diario?.


RELACION DE PROBLEMASTEMA 3 y 4 (Distribucion Gamma y otras. Distribucion χ2, F de Snedecor y t de Student.)

3.1 Sea X una variable aleatoria con distribucion gamma. Si mX = 1 y σ2X = 2, ¿cual es exactamente la

distribucion de X?.

3.2 Sabiendo que X ∈ γ(a, r), calcula la distribucion de Y = bX, siendo b > 0.

3.3 Sea X ∈ γ(a, r). Se pide calcular P (X > 2.67) y el valor de k tal que P (X < k) = 0.95 en los siguientescasos:

a.– a = 5 r = 1

b.– a = 12 r = 5

2

3.4 Se dispone de un mecanismo que proporciona aleatoriamente un numero T siendo −∞ < T < ∞. Elmecanismo actua de tal modo que la distribucion de los resultados de T es N(0, 1). Se propone un juegoque consiste en poner en funcionamiento el mecanismo, observar el resultado y cobrar la cantidad T 2, yesto dos veces seguidas. Decir que distribucion tienen las ganancias. Calcular la probabilidad de que lasganancias del juego sean superiores a 0.103.

3.5 Sean X1, X2, X3, X4 y X5 cinco variables aleatorias independientes con las siguientes distribuciones:

X1, X4 ∈ N(1, σ2 = 4) X2, X5 ∈ N(2, σ2 = 4) X3 ∈ N(−2, σ2 = 4)

a.– ¿Que distribuciones siguen las siguientes variables?:

Y = (X1 − 1

2)2 + (

X2 − 2

2)2 + (

X3 + 2

2)2 Z =

3

8

(X4 − 1)2 + (X5 − 2)2

YV =

√3

2

X4 − 1√Y

b.– Calcular:

i.– P (1.21 < Y < 11.3) ii.– P (Z < 5.46) iii.– P (|V | > 4.54)

c.– Calcular el valor k tal que:

i.– P (Y ≤ k) = 0.95 ii.– P (Z < k) = 0.95 iii.– P (|V | > k) = 0.8

3.6 Sean X, Y , Z variables aleatorias independientes con la siguientes distribuciones:

X ∈ N(3, σ2 = 2) Y ∈ N(0, σ2 = 1) Z ∈ N(0, σ2 = 4)

Hallar combinaciones algebraicas de X, Y , Z que tengan distribuciones χ2, F de Snedecor y t de Student,senalando los grados de libertad.


RELACION DE PROBLEMASTEMA 5 (Inferencia: Estimacion de parametros.)

5.1 Sea X una variable aleatoria discreta con la siguiente distribucion de probabilidad:

P (x) 210

2−θ10

θ10

610

x 1 2 3 4

a.– ¿Que posibles valores puede tomar θ?.

b.– Si una m.a.s. ha proporcionado los valores siguientes:

1, 3, 3, 3, 1, 2, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4

¿Cual es la estimacion maximo verosımil de θ?.

5.2 Calcular el estimador maximo verosımil de θ a partir de una muestra de tamano n, procedente de unapoblacion con funcion de densidad:

f(x, θ) = (1 + θ)xθ

5.3 La funcion de cuantıa de una distribucion es:

P (x) 5+θ−λ12

3−θ12

4+λ12

x 3 5 8

Por el metodo de los momentos estimar λ y θ a partir de la muestra:

3, 5, 8, 8, 3, 8

5.4 Una baterıa dispara obuses continuadamente sobre objetivos, todos ellos identicos (nidos de ametral-ladoras, del mismo tamao y a la misma distancia) en una ciudad sitiada. Un “casco azul” aburrido queanda por allı desea estimar la probabilidad p de que un obus de en el blanco. La siguiente sucesion depreguntas, que has de responder en su lugar, sugiere un modo de hacerlo.

a) ¿Cual es la probabilidad de acertar al primer disparo? ¿Al segundo (lo que presupone que no seacerto al primero)? ¿Al tercero? ¿Al n-esimo?.

b) ¿Si cierto objetivo prefijado resulta alcanzado al disparo 13, ¿cual serıa una estimacion maximoverosımil de p?. Utiliza tu resultado en a).

c) Despues de destruido el objetivo que ha requerido 13 disparos, el ”casco azul” contempla ladestruccion de otros dos iguales, que requieren 22 y 14 disparos respectivamente. ¿cual serıa unanueva estimacion maximo verosımil de p ?. Explica como la obtienes y que supuesto implıcitorealizas.


RELACION DE PROBLEMASTEMA 6 (Propiedades de los estimadores.)

6.1 Dada una variable aleatoria X cuya media m es desconocida y se quiere estimar. Se supone que existenlos dos primeros momentos.

a.– Construir un estimador insesgado de m basado en una muestra de tamano n.

b.– Obtener su varianza en funcion de la varianza, σ2, de la variable aleatoria X.

c.– Para unos ciertos valores de σ2 y de n, obtener una cota de la probabilidad de que el valordel estimador se separe de m en mas de h, siendo h un valor positivo arbitrario previamentedeterminado.

d.– ¿Que ocurre cuando n tiende a infinito?.

e.– ¿Es el estimador consistente?. ¿Tiene esta pregunta algo que ver con la anterior?.

6.2 Sea X una variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo (0, θ). Sea (X1, X2, X3, X4) unam.a.s. de valores de X. Se considera el estimador:

θ∗ = kX1 +X2 +X3 +X4

4

a.– ¿Cual es, en funcion de θ y de k, la varianza de θ∗?.

b.– ¿Que valor ha de tomar k para que θ∗ sea insesgado?.

6.3 Se obtiene una m.a.s. de tamano 2, (X1, X2) de una poblacion normal N(α, 1). Consideramos lossiguientes estimadores:

α∗ =2

3X1 +

1

3X2

α∗∗ =2

5X1 +

4

5X2

a.– ¿Son estos estimadores insesgados?.

b.– ¿Cuales son sus respectivas varianzas?.

c.– ¿Podrıas encontrar un estimador, utilizando solamente X1 y X2, que fuera insesgado y de menorvarianza que α∗?. Si respondes afirmativamente, proporciona un ejemplo que demuestre lo quedices. Si respondes negativamente, explica por que.

(Ayuda: Utilizar el teorema de Cramer-Rao).


RELACION DE PROBLEMASTEMA 7 (Inferencia: Contraste de hipotesis I)

7.1 En un saco hay 100 sobres (50 blancos y 50 rojos) de los cuales 10 estan premiados (9 blancos y 1 rojo).Se extrae un sobre al azar, y para contrastar si esta premiado se concibe la siguiente regla: Rechazar lahipotesis nula de que este premiado si el sobre es rojo. Hallar el nivel de significacion y la potencia de laprueba.

7.2 Un producto se envasa en botes, en los que se indica: “Peso neto 300 gr.” El envasado se realiza median-te un proceso automatico que, si esta bien ajustado, produce botes con peso distribuido normalmenteN(300, σ2 = 25). Para contrastar si el proceso esta bien ajustado se toma una m.a.s. de 25 botes y sedetiene el proceso si X < 300− k o X > 300 + k. Se pide:

a.– Determinar k para que la probabilidad de detener el proceso indebidamente sea 0.001.

b.– Para el valor de k del apartado anterior, hallar la probabilidad de que no se detenga el procesoaunque este desajustado y produzca botes de peso medio 290 gr. y la misma varianza.

7.3 De una poblacion con distribucion uniforme en el intervalo (0, θ) se extrae una m.a.s. de tamano 2,(X1, X2). Se desea contrastar la hipotesis nula: H0 : θ ≥ 2 frente a la hipotesis alternativa: Ha : θ < 2 yse adopta la regla de rechazar la hipotesis nula si X1 +X2 ≤ 0.5.

a.– Obtener el nivel de significacion de la prueba.

b.– Obtener la potencia de la prueba para θ = 1.

Comentar los resultados.

7.4 X es una variable aleatoria discreta que procede de una de las siguientes tres distribuciones:

P0(x) 0.10 0.70 0.10 0.10x 1 2 3 4

P1(x) 0.80 0.05 0.05 0.10x 1 2 3 4

P2(x) 0.40 0.10 0.25 0.25x 1 2 3 4

Si para contrastar la hipotesis de que la distribucion generadora es P0(x) frente a la alternativa de quees P1(x) siguieses el siguiente procedimiento: i) Tomar una observacion, X. ii) Rechazar P0(x) comodistribucion generadora si X = 1. iii) Aceptar P0(x) como distribucion generadora en otro caso (X = 2,3, o 4).

a.– ¿Cual serıa la potencia de la prueba?. ¿Cual el nivel de significacion?. Explica.

b.– Si la alternativa fuese P2(x) en lugar de P1(x), ¿cual serıa la region crıtica idonea con nivel designificacion α = 0.10?. Razona.

c.– Si decidieras contrastar al nivel de significacion α = 0.20 la hipotesis de que la distribuciongeneradora es P0(x) frente a la alternativa compuesta de que es P1(x) o P2(x), ¿cual serıa laregion crıtica que tomarıas?. Explica tu decision.


7.5 En un conflictivo cruce de carreteras se ha observado que el tiempo que transcurre entre accidentesconsecutivos sigue una distribucion exponencial de media 50 dıas. Recientemente, tras un grave accidenteen dicho cruce, las autoridades responsables ordenaron la colocacion de un semaforo afirmando que sereducirıa el numero de accidentes, de modo que el tiempo medio entre los mismos pasarıa a ser de 200dıas. Para contrastar tal afirmacion, se establecen las siguientes hipotesis:

H0: el tiempo medio entre accidentes consecutivos no cambiara con la instalacion del semaforo.

Ha: el tiempo medio entre accidentes consecutivos sera igual a 200 dıas.

y se decide rechazar H0 si, tras la colocacion del semaforo, el tiempo que transcurre entre los dos primeros

accidentes es al menos de 150 dıas.

i) Calcular el nivel de significacion de la prueba.

ii) Calcular la potencia de la prueba.

7.6 Determinar el tamao de la muestra que necesitamos para contruir una prueba para el contraste de razonde verosimilitudes de la hipotesis H0 : X ∈ N(0, 1) frente a Ha : X ∈ N(1, 1) de manera que α = β = 0.05.

7.7 Se desea contrastar que la proporcion de piezas defectuosas en un proceso es p = 0.02 frente a la hipotesisalternativa p = 0.05. Disear un contraste de razon de verosimilitudes para α = 0.05 y n = 100.

7.8 Utilizando el teorema de Neyman-Pearson obtengase un contraste de maxima potencia para la hipotesisH0 : λ = 0.5 frente a Ha : λ = 1 en una distribucion de Poisson. Utilıcese α = 0.05 y n = 10.


RELACION DE PROBLEMASTEMA 8 (Inferencia: Contraste de hipotesis II: Pruebas de Ajuste.)

8.1 De la produccion de un dıa de una fabrica se han tomado al azar 1000 piezas, habiendose observado lossiguientes resultados:

Numero de la Piezas Piezas de lamaquina defectuosas muestra

1 14 1802 19 2303 16 2104 14 1705 17 210

Total 80 1000

Averiguar si se puede afirmar estadısticamente que la proporcion de piezas defectuosas es la misma enlas cinco maquinas, con un nivel de significacion del 2.5%. Considerense los dos supuestos siguientes:

a.– La produccion de las cinco maquinas estaba mezclada, formando un colectivo unico del cual setomaron 1000 piezas.

b.– Las producciones de las diversas maquinas estaban separadas y de ellas se tomaron muestras,respectivas, de 180, 230, 210, 170 y 210 unidades.

8.2 La tabla a continuacion recoge las muertes en la Comunidad Autonoma del Paıs Vasco durante el ao1991. (Datos del anuario Estadıstico Vasco 1992, EUSTAT, Gasteiz/Vitoria, Tabla 2.2/11, pag. 62.)

Mes Muertes Mes MuertesEnero 1632 Julio 1231Febrero 1475 Agosto 1330Marzo 1499 Septiembre 1256Abril 1358 Octubre 1388Mayo 1448 Noviembre 1380Junio 1242 Diciembre 1527

Hay una creencia difundida segun la cual la mortandad es diferente a lo largo de los diferentes meses (lo queparecerıa sensato en paıses con veranos torridos o inviernos muy rigurosos). La siguiente sucesion de preguntastrata de orientarte en el contraste de dicha creencia para el caso de la C.A.P.V.

a.– ¿Cual serıa, de acuerdo con la hipotesis nula H0: “La mortalidad es la misma todos los mesesdel ao”, la probabilidad de fallecimiento en cada uno de los meses del ao?. Desprecia el hechodel diferente numero de dıas.

b.– ¿Cual serıa, bajo la hipotesis nula en el apartado anterior, el numero de muertes esperadas encada mes del ao?. Ten en cuenta que la suma de todos los fallecidos durante 1991 (suma de losdatos mensuales en la Tabla) fue de 16766.

c.– ¿Crees que se separan lo suficiente del valor esperado la observaciones como para rechazar lahipotesis nula al nivel de significacion α = 0.05?. Haz el contraste de hipotesis que creas oportuno.(Ayuda: No es preciso que hagas todas las operaciones. Si operas mes a mes y tienes presenteel valor con el que has de comparar tu estadıstico de contraste, comprobaras que puedes llegar auna conclusion enseguida.)

d.– Interpreta tus resultados. ¿Ves algun motivo por el que puede suceder lo que sucede?


8.3 Una empresa ha registrado durante 100 dıas la demanda de cierto artıculo obteniendo los siguientesresultados:

Unidades demandadas Numero de dıas0 < X ≤ 4 334 < X ≤ 8 288 < X ≤ 12 2412 < X ≤ 20 15

Se pide contrastar al nivel de significacion del 10% que la demanda diaria de unidades es aleatoria con lasiguiente funcion de densidad:

f(x) =

{ 1100 (10− x

2 ) si x ∈ (0, 20)

0 si x 6∈ (0, 20)

8.4 Una empresa multinacional de bebidas refrescantes desea conocer la opinion de sus clientes sobre un nuevotipo de refresco. Para ello toma una muestra aleatoria simple de 100 individuos cuyos resultados son:

A FAVOR EN CONTRA Total10-20 anos 30 10 4020-30 anos 25 15 4030-40 anos 5 10 1540 o mas 2 3 5

Total 62 38 100

Contrastar al 5% de significacion si existe influencia de la edad sobre la preferencia del refresco.


RELACION DE PROBLEMASTEMA 9 (Estimacion por Intervalos

y Contrastes de Hipotesis III. Pruebas Parametricas)

9.1 El numero de clientes por semana en cada tienda de una cadena de autoservicios se distribuye normalmentecon media de poblacion µ = 5000 y desviacion tıpica σ = 500. Si se selecciona una muestra aleatoria de25 tiendas,

a.– ¿Cual es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a 5075 clientes por semana?.

b.– ¿Entre que valores estara, con una probabilidad del 95%, la media muestral?.

9.2 Tenemos una poblacion normal de la cual se desconoce la media y la varianza. Se toma una m.a.s. detamano 26 y se obtiene:

x = 1905, s2 = 38025

a.– Hallar un intervalo de confianza del 95% para la media.

b.– Efectuar el contraste de la hipotesis nula H0 : m0 = 2000 frente a la alternativa Ha : ma 6= 2000

c.– Resolver el mismo problema si la distribucion no es normal y n = 400.

9.3 Se observa que la desviacion standar de la produccion de una determinada pieza para construccionesmetalicas es σ = 1mm.. Se desea determinar una cota inferior del numero de elementos que tendra queincluir una muestra aleatoria simple para permitir construir un intervalo de confianza del 95% y precision0.3 mm. para la media de la produccion:

a.– En el supuesto de normalidad.

b.– Prescindiendo de este supuesto.

9.4 Se sospecha que el numero medio de unidades que contiene cada dosis de un medicamento, no llega a las10000 que se indican en el envase. El laboratorio que lo fabrica afirma que el contenido medio de la dosises 10000. Para comprobarlo tomamos al azar 100 dosis y, una vez determinado el numero de unidadesque contenıa cada dosis, se obtuvo:

x = 9940, s = 120

a.– Si suponemos que la distribucion del numero de unidades por dosis es normal, ¿que podemosdecir sobre la informacion del laboratorio para un nivel de significacion α = 1%?.

b.– Resolver el mismo problema si la distribucion no es normal.

9.5 La oficina del consumidor quiere contrastar si una empresa lactea cumple las normas referentes al pesomedio de la mantequilla en su barra de al menos 1/2 kg. o si por el contrario es necesario promover unproceso que lleve a imponerle una multa. Para ello toma un m.a.s. de 100 barras de la que se obtieneuna media de 496.2 gramos y una varianza de 144. Se pide:

a.– ¿Cual sera la decision de la oficina del consumidor al nivel de significacion 5%?.

b.– ¿Cual es la P (II) cuando la media real del peso de las barras es de 495 gramos?.

c.– Si la empresa utilizara la misma muestra para contrastar si las maquinas estan funcionandocorrectamente, es decir si empaquetan barras con una media de 500 gramos y no superior oinferior. ¿Cual sera su decision al mismo nivel de significacion?.


9.6 Para contrastar al 5% de significacion si hay diferencias entre las medias de las velocidades de sedi-mentacion en un jugo, con dos tratamientos diferentes que designamos por A y B, se han tomado lassiguientes m.a.s.:

El tratamiento A se ha experimentado 20 veces y se ha obtenido una media muestral x = 22.91.

El tratamiento B se ha experimentado 40 veces y se ha obtenido una media muestral y = 23.12.

Efectuar el contraste si se admite que las velocidades de sedimentacion se distribuyen normalmente convarianzas respectivas: σ2

A = 0.28 y σ2B = 0.31

9.7 Se acepta que el diametro expresado en milımetros de las plantas de un cierto cultivo se distribuye segununa ley normal. Para estimar la varianza, se han tomado 25 plantas, cuya varianza muestral ha resultadoser s2 = 0.36. Se pide:

a.– Dar un intervalo de confianza del 95% para la varianza poblacional.

b.– Efectuar al nivel de significacion del 5% el contraste de la hipotesis de que la varianza poblacionalsea 0.4.

c.– Contestar de nuevo a los apartados anteriores en el caso de que la distribucion no sea normal yel numero de plantas de la muestra sea 400.


SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS.

TEMA 1 (Distribuciones binaria y binomial.)

1.1.– a.– Pr(Rechazar mas de 10) = 0.1275 b.– Pr(Aceptar mas de 450) ' 0

1.2.– a.– 0.5881 b.– 13

1.3.– a.– 0.2378 b.– 0.2177 c.– 0.0434

1.4.– a.– 0.00096 b.– 0.16

1.5.– a.– Deberan seleccionarse al menos 4161 cuentas. b.– Pr(Mas de 3800 cuentas sin discrepancias) ' 1

1.6.– a.– p = 80100 b.–p = (0.99)20 c.– 0.2 billetes d.– Moda = 0

1.7.– a.– p = 0.4304 b.– n ≥ 5

1.8.– α = 0.0702 Pr(II) = 0.0016

1.9.– α = 0.0702 Pr(II) = 0.0016

TEMA 2 (Distribucion de Poisson.)

2.1.– Pr(Numero de demandantes < 18) = 0.2877

2.2.– a.– 0.00532 b.– 0.00575

2.3.– a.– 0.0018 b.– 0.1528

2.4.– No se rechaza la hipotesis.

2.5.– a.– No se rechaza la hipotesis. b.– Pr(II) = 0.926149

2.6.– a.– No se rechaza la H0 b.– p = 0.9318

TEMA 3 y 4 (Distribucion Gamma y otras. Distribucion χ2, F de Snedecor y t de Student.)

3.1.– X ∈ γ( 12 ,

12 ), es decir, X ∈ χ2

1

3.2.– Y ∈ γ(ab , r)

3.3.– a.– P (X > 2.67) = e−13.35 ' 0 k = − ln 0.055 ' 0.6 b.– P (X > 2.67) = 0.75 k = 11.1

3.4.– Z = Ganancias ∈ χ22 P (Ganancias > 0.103) = 0.95

3.5.– a.– Y ∈ χ23 Z = 3

8

(X4−1

2 )2+(X5−2

2 )2

Y ∈ F2,3 V ∈ t3 b.– i.– 0.74 ii.– 0.9 iii.– 0.02

c.– i.– 7.81 ii.– 9.55 iii.– 0.277

TEMA 5 (Inferencia: Estimacion de parametros.)

5.1.– a.– 0 ≤ θ ≤ 2 b.– θ = 32

5.2.– θ = −1− n∑n

i=1ln xi

5.3.– λ = 2 θ = 1

5.4.– a.– Pr( Acertar al primer disparo) = p, Pr( Acertar al segundo disparo ) = (1− p)p,Pr( Acertar al tercer disparo ) = (1− p)2p, Pr( Acertar al n-esimo disparo ) = (1− p)n−1pb.–pMV = 1

13 c.–pMV = 349

TEMA 6 (Propiedades de los estimadores.)

6.1.– a.– X = X1+...+Xn

n b.– σ2X

= 1nσ

2X c.– Pr(|X−m| ≥ h) < σ2

h2n d.– Pr(|X−m| ≥ h)n→∞−→ 0

e.– X es consistente por d.–.


6.2.– a.– σ2θ∗ = k2θ2

48 b.– k = 2

6.3.– a.– α∗ es insesgado, pero α∗∗ no. b.– σ2α∗ = 5

9 σ2α∗∗ = 4

5 c.– X, porque σ2X

= 12

TEMA 7 (Inferencia: Contraste de hipotesis I.)

7.1.– α = 0.1 Pot = 0.54

7.2.– a.– k = 3.3 b.– Pr(II) ' 0

7.3.– a.– α = 0.03125 b.– Pot = 0.125

7.4.– a.– Pot = 0.80 α = 0.10 b.– {X = 1} c.– {X = 1 o X = 4}7.5.– a.– α = 0.049 b.– Pot= 0.47

7.6.– n ≥ 11

7.7.– Estadıstico: Z = Numero de piezas defectuosas R.C. : [6,∞)

7.8.– Estadıstico: Z = X1 + . . .+X10 R.C. : [10,∞)

TEMA 8 (Inferencia: Contrastes de hipotesis II: Pruebas de ajuste.)

8.1.– a.– Contraste de independencia. No se rechaza la hipotesis de independencia, es decir, no se rechaza quela proporcion de piezas defectuosas es la misma.

b.– Contraste de homogeneidad. No se rechaza la hipotesis de homogeneidad, es decir, no se rechaza quela proporcion de piezas defectuosas es la misma.

8.2.– a.– p = 112 b.– Numero de muertes esperadas en un mes = 1397.6 c.– Rechazar Ho al nivel de

significacion de 5%.

8.3.– No se rechaza la hipotesis nula.

8.4.– Se rechaza la hipotesis nula.

TEMA 9 (Estimacion por intervalos y Contrastes de Hipotesis III. Pruebas Parametricas.)

9.1.– a.– Φ(0.75) = 0.7734 b.– Entre 4804 y 5196.

9.2.– a.– Ic = (1824.66, 1985.34) b.– Se rechaza H0. c.– Ic = (1885.89, 1924, 11) y se rechaza H0.

9.3.– (Con precision = 0.3 mm.) a.– n ≥ 43 b.– n ≥ 223

9.4.– a.– Rechazamos que el numero medio de unidades por dosis sea 10000. b.– Igual que en a.–.

9.5.– a.– Promover el proceso. b.– Pr(II) ' 0.006 c.– Rechazar que funcionen correctamente.

9.6.– No se rechaza la hipotesis de igualdad de medias.

9.7.– a.– Ic = (0.2284, 0.7258) b.– No se rechaza H0. c.– Ic = (0.3101, 0.4099) y no se rechaza H0.


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