Estadistica II EXAMENjul2013
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GRADOS EN ADMINISTRACI ´ ON Y DIRECCI ´ ON DE EMPRESAS y FINANZAS Y CONTABILIDAD ESTAD ´ ISTICA II 26 de Junio de 2013 Apellidos y Nombre: Grupo de teor´ ıa: 1. [1.5] Sea X 1 ,...,X n una muestra aleatoria simple de una v.a. X ∼P (λ), cuya f.m.p. viene dada por: P (X = x)= e -λ λ x x! , x =0, 1, 2,... Seaadem´as X, el estad´ ıstico media muestral. ¿Es X un estimador de m´axima verosimilitud para λ? Demostrar dicha propiedad. 2. [2.5] La calificaci´on media de una muestra de 41 estudiantes de contabilidad de una clase en la cual se emplearon t´ ecnicas de aprendizaje en grupo, fue de 322.12 y la cuasidesviaci´on t´ ıpica de 54.53. La calificaci´on media y la cuasidesviaci´ont´ ıpica de una muestra aleatoria de 61 estudiantes del mismo curso de una clase en la que no se emplearon dichas t´ ecnicas, fueron de 304.61 y 62.61, respectivamente. Suponiendo normalidad e independencia de las variables que describen las calificaciones: (a) [1.25] ¿Es posible suponer, al 5% de significaci´on, que las varianzas de las variables son iguales? (b) [1.25] ¿Es posible suponer, al 5% de significaci´on, que la calificaci´on media mejora al realizar t´ ecnicas de aprendizaje en grupo? 3. [3] Las bodegas modernas utilizan veh´ ıculos guiados computerizados y automatizados para el manejo de ma- teriales. En consecuencia, la disposici´on f´ ısica de la bodega debe dise˜ narse con cuidado, a modo de evitar el congestionamiento de los veh´ ıculos y optimizar el tiempo de respuesta. En The Journal of Engineering for Industry (agosto de 1993), se estudi´o el dise˜ no ´optimo de una bodega automatizada. La disposici´on empleada supone que los veh´ ıculos no se bloquean entre s´ ı cuando viajan dentro de la bodega, es decir, que no hay conges- tionamiento. La validez de este supuesto se verific´ o simulando (por ordenador) las operaciones de la bodega. En cada simulaci´ on se vari´ o el n´ umero de veh´ ıculos y se registr´o el tiempo de congestionamiento (el tiempo total que un veh´ ıculo bloque´o a otro). Los datos se muestran en la siguiente tabla. Algo que interesa a los investigadores es la relaci´on entre el tiempo de congestionamiento, en minutos (Y ) y el n´ umero de veh´ ıculos (X). x i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 y i 0 0 0.02 0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.02 0.04 0.04 0.04 0.03 0.04 0.05 (a) [1] Suponiendo que la mejor forma de describir la relaci´on entre las variables es mediante un modelo lineal, obtener la recta de regresi´on del tiempo de congestionamiento en funci´on del n´ umero de veh´ ıculos. (b) [1.5] ¿Entre que valores se sit´ ua la predicci´on para el tiempo de congestionamiento suponiendo que la simulaci´ on se hace con 16 veh´ ıculos? Utilizar un nivel de confianza del 95%. (c) [0.5] Dar una medida de la bondad del ajuste. Nota: Utilizad los siguientes c´alculos cuando se necesiten en los apartados anteriores: 15 ∑ i=1 x i = 120; 15 ∑ i=1 x 2 i = 1240; 15 ∑ i=1 y i =0.37; 15 ∑ i=1 y 2 i =0.0127; 15 ∑ i=1 x i y i =3.86 4. [3] Un fabricante de cigarrillos envi´ o a tres laboratorios sendas muestras de tabaco, que se suponen id´ enticas. Cada laboratorio hizo cinco determinaciones del contenido en nicotina, en miligramos, obteniendo: Laboratorio A 24 27 26 21 24 Laboratorio B 27 28 23 31 26 Laboratorio C 26 25 22 22 26 (a) [1] Sabiendo que las cuasivarianzas son: 5.3, 8.5 y 3.39 respectivamente, contrastar, al 5% de significaci´on, si la varianza del contenido de nicotina es la misma en los tres laboratorios, es decir si se verifica la hip´otesis de homocedasticidad. (b) [0.5] Contrastar, al 5% de significaci´on, si es posible suponer la aleatoriedad de todos los valores muestrales. (c) [1.5] Suponiendo ciertas las condiciones necesarias, contrastar, con un nivel de confianza del 95%, si el contenido medio en nicotina difiere significativamente en los 3 laboratorios.
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GRADOS EN ADMINISTRACION Y DIRECCION DE EMPRESAS y FINANZAS Y CONTABILIDAD
ESTADISTICA II26 de Junio de 2013
Apellidos y Nombre: Grupo de teorıa:
1. [1.5] Sea X1, . . . , Xn una muestra aleatoria simple de una v.a. X ∼ P(λ), cuya f.m.p. viene dada por:
P (X = x) =e−λλx
x!, x = 0, 1, 2, . . .
Sea ademas X, el estadıstico media muestral. ¿Es X un estimador de maxima verosimilitud para λ? Demostrardicha propiedad.
2. [2.5] La calificacion media de una muestra de 41 estudiantes de contabilidad de una clase en la cual se emplearontecnicas de aprendizaje en grupo, fue de 322.12 y la cuasidesviacion tıpica de 54.53. La calificacion media y lacuasidesviacion tıpica de una muestra aleatoria de 61 estudiantes del mismo curso de una clase en la que no seemplearon dichas tecnicas, fueron de 304.61 y 62.61, respectivamente. Suponiendo normalidad e independenciade las variables que describen las calificaciones:
(a) [1.25] ¿Es posible suponer, al 5% de significacion, que las varianzas de las variables son iguales?
(b) [1.25] ¿Es posible suponer, al 5% de significacion, que la calificacion media mejora al realizar tecnicas deaprendizaje en grupo?
3. [3] Las bodegas modernas utilizan vehıculos guiados computerizados y automatizados para el manejo de ma-teriales. En consecuencia, la disposicion fısica de la bodega debe disenarse con cuidado, a modo de evitar elcongestionamiento de los vehıculos y optimizar el tiempo de respuesta. En The Journal of Engineering forIndustry (agosto de 1993), se estudio el diseno optimo de una bodega automatizada. La disposicion empleadasupone que los vehıculos no se bloquean entre sı cuando viajan dentro de la bodega, es decir, que no hay conges-tionamiento. La validez de este supuesto se verifico simulando (por ordenador) las operaciones de la bodega. Encada simulacion se vario el numero de vehıculos y se registro el tiempo de congestionamiento (el tiempo total queun vehıculo bloqueo a otro). Los datos se muestran en la siguiente tabla. Algo que interesa a los investigadoreses la relacion entre el tiempo de congestionamiento, en minutos (Y ) y el numero de vehıculos (X).
xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15yi 0 0 0.02 0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.02 0.04 0.04 0.04 0.03 0.04 0.05
(a) [1] Suponiendo que la mejor forma de describir la relacion entre las variables es mediante un modelo lineal,obtener la recta de regresion del tiempo de congestionamiento en funcion del numero de vehıculos.
(b) [1.5] ¿Entre que valores se situa la prediccion para el tiempo de congestionamiento suponiendo que lasimulacion se hace con 16 vehıculos? Utilizar un nivel de confianza del 95%.
(c) [0.5] Dar una medida de la bondad del ajuste.
Nota: Utilizad los siguientes calculos cuando se necesiten en los apartados anteriores:
15∑i=1
xi = 120;15∑i=1
x2i = 1240;
15∑i=1
yi = 0.37;15∑i=1
y2i = 0.0127;15∑i=1
xiyi = 3.86
4. [3] Un fabricante de cigarrillos envio a tres laboratorios sendas muestras de tabaco, que se suponen identicas.Cada laboratorio hizo cinco determinaciones del contenido en nicotina, en miligramos, obteniendo:
Laboratorio A 24 27 26 21 24Laboratorio B 27 28 23 31 26Laboratorio C 26 25 22 22 26
(a) [1] Sabiendo que las cuasivarianzas son: 5.3, 8.5 y 3.39 respectivamente, contrastar, al 5% de significacion,si la varianza del contenido de nicotina es la misma en los tres laboratorios, es decir si se verifica la hipotesisde homocedasticidad.
(b) [0.5] Contrastar, al 5% de significacion, si es posible suponer la aleatoriedad de todos los valores muestrales.
(c) [1.5] Suponiendo ciertas las condiciones necesarias, contrastar, con un nivel de confianza del 95%, si elcontenido medio en nicotina difiere significativamente en los 3 laboratorios.
