UNIVERSIDAD AUTNOMA DE CHINANDEGA

2

Universidad de las Regiones Autnomas de la Costa Caribe Nicaragense

(URACCAN)NUEVA GUINEA

MDULO DE ESTADSTICA DESCRIPTIVA Y PROBABILIDADES

RECUERDOS

Hay recuerdos gratos,

un atardecer bajo la lluvia

en la vecina caracoles negros.

Un beso tierno

con el alba en Managua,

un almuerzo frugal en plaza inter.

Un beso, un suspiro, un adis.Napolen Rojas Robles

NO TENDR LIBERTAD MIENTRAS

TE AME Y ESO ES UNA

DESIGUALDADUNIDAD No. IINTRODUCCIN Y CONCEPTOS BSICOS.Introduccin a la Estadstica (Estadstica Descriptiva)Qu entendemos cmo Estadstica? Estadstica, derivado del latn status, que significa estado, posicin o situacin.Definicin 1.1: Estadstica: Disciplina que estudia cuantitativamente los fenmenos de masa o colectivos, o sea, aquellos fenmenos cuyo estudio slo puede efectuarse a travs de una coleccin de observaciones.

Definicin 1.2: La Estadstica es la ciencia de los datos, explica o se ocupa de la coleccin, clasificacin, sntesis, organizacin, anlisis e interpretacin de los datos.

Aplicaciones de la Estadstica

La estadstica es un potente auxiliar de muchas ciencias y actividades humanas: sociologa, psicologa, biologa, qumica, ciencias naturales, geografa humana, economa, etc. Es una herramienta indispensable para la toma de decisiones. Tambin es ampliamente empleada para mostrar los aspectos cuantitativos de una situacin. La estadstica est relacionada con el estudio de proceso cuyo resultado es ms o menos imprescindible y con la finalidad de obtener conclusiones para tomar decisiones razonables de acuerdo con tales observaciones.

Entre las reas principales de aplicacin est:

Coleccin y compendios de datos.

Diseo de experimentos y reconocimientos.

Medicin de la valoracin, tanto de datos experimentales como de reconocimientos, deteccin de causas.

Control de la calidad de la produccin.

Estimacin de parmetros de poblacin y suministro de varias medidas de la exactitud y precisin de esas estimaciones.

Estimacin de cualidades humanas.

Investigacin de mercados, incluyendo escrutinios de opiniones emitidas.

Ensayo de hiptesis respecto a poblaciones.

Estudio de la relacin entre dos o ms variables.

La Estadstica suele aplicarse a 2 tipos de situaciones o problemas:1- Resumir, Describir y Explorar datos.2- Utilizar datos de una muestra para inferir la naturaleza del conjunto de datos del que se escogi la muestra.

Ej.: Consideremos el Censo en Nicaragua, que implica la recoleccin de un conjunto de datos que pretende caracterizar los rasgos socioeconmicos de aproximadamente 6 millones de habitantes. CensoTrmino que se refiere al recuento oficial y peridico de la poblacin de un pas o de una parte de un pas. Designa tambin el registro impreso de dicho recuento. En nuestros das se llama as a la informacin numrica sobre demografa, viviendas y actividades.

Divisiones De La Estadstica

Tradicionalmente la Estadstica se divide en: Estadstica descriptiva y Estadstica Inductiva o Estadstica Inferencial. La rama de la Estadstica que se dedica a la organizacin, sntesis y descripcin de un conjunto de datos se llama Estadstica descriptiva. La Estadstica descriptiva encierra cualquier tratamiento de datos numricos que comprenda generalizaciones, agrupa todas aquellas tcnicas asociadas justamente con el tratamiento o procesamiento de conjuntos de datos, su objetivo comprende la caracterizacin de conjuntos de datos numricos, la misma pretende poner de manifiesto las propiedades de estos conjuntos lo cual se puede lograr de forma grfica o analtica. La Estadstica Inferencial es la rama de la Estadstica que se encarga de determinar o inferir la naturaleza de un conjunto de datos poblacionales por medio de una o varias muestras. La Estadstica Inferencial se ocupa del problema de establecer previsiones y conclusiones generales relativas a una poblacin a partir de los datos muestrales disponibles y del clculo de probabilidades.Poblacin y muestra

Al recoger datos relativos a las caractersticas de un grupo de individuos u objetos, sean alturas y pesos de estudiantes de una universidad o tuercas defectuosas producidas en una fbrica, suele ser imposible o nada prctico observar todo el grupo, en especial si es muy grande. En vez de examinar el grupo entero, llamado Poblacin o Universo, se examina una pequea parte del grupo, llamada Muestra.

Una poblacin puede ser finita o infinita. Por ejemplo, la poblacin consistente en todas las tuercas producidas por una fbrica un cierto da es finita, mientras que la determinada por todos los posibles resultados (caras, cruces) de sucesivas tiradas de una moneda, es infinita. Si una muestra es representativa de una poblacin, es posible inferir importantes conclusiones sobre las poblaciones a partir del anlisis de la muestra.Variable: Es la caracterstica o fenmeno que puede tomar diferentes valores. Las variables son magnitudes numricas, es decir, son caractersticas de una poblacin determinada, susceptible de medicin. Son caractersticas que pueden ser observadas en determinado fenmeno natural, social, econmico, poltico etc.

Lo datos o valores que toman las variables se clasifican en dos tipos: 1 Cuantitativos o Numricas: Son aquellas variables que toman valores numricos, son las que representan la cantidad de algo. A estas variables le corresponde la escala de medicin de intervalo y razn o proporcin. Estas a su vez se clasifica en dos tipos: a Discretas: Es aquella variable que solo puede tomar valores enteros en la escala de los nmeros naturales, es decir, la variable no puede tomar valores fraccionarios. Por ejemplo, el nmero de hijos en un matrimonio puede ser: 0,1, 2, 3 4; pero ningn matrimonio tiene 0,5 3,89 hijos.

b Continuas: Es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de la escala de los nmeros reales, es decir, es aquella que tericamente puede tomar cualquier valor, bien sean valores enteros o fraccionados. Los valores que puede tomar esa es cualquiera e incluso valores fraccionados por ejemplo, un alumno A mide 1,68 m y otro alumno B mide 1,69 y otro C mide 2,00 m.

2 Cualitativas o categricas: Son aquellas variables cuyos valores son del tipo categrico, es decir; que indican categoras o son etiquetadas numricamente o con nombres. Son las que se refieren a clasificaciones, como: estado civil, profesin, color de los ojos, etc. Esta a su vez, se clasifica en:

a Variables Categricas Nominales: son las variables categricas que, adems de que sus posibles valores son mutuamente excluyentes entre s, no tienen alguna forma natural de ordenacin. Por ejemplo, cuando sus posibles valores son: S y No. A este tipo de variable le corresponde las escalas de medicin nominal.

b Variables Categricas Ordinales: Son las variables categricas que tienen algn orden. Por ejemplo, cuando sus posibles valores son: siempre, casi siempre y nunca. A estos tipos de variables le corresponden las escalas de medicin ordinal.Si suponemos que ya recabamos un conjunto de datos que nos interesa, al cabo de cierto tiempo nos hacemos las siguientes preguntas: Cmo puedo sacar conclusiones de estos datos?, Cmo puedo organizar y resumir el conjunto de datos de modo que sea ms comprensible?Para contestar las preguntas anteriores existen mtodos numricos y grficos para describir un conjunto de datos. El procedimiento adecuado en cada caso depender del tipo de datos (ya sea cualitativo o cuantitativo) que queramos describir. EJERCICIOS

I.- Clasifique cada uno de los siguientes casos como variable discreta o continua o variable cualitativa (atributo), escribiendo en la raya lo que usted considere.

1.-El nmero de preguntas contestadas correctamente en un examen.______

2.-El nmero de seales de trnsito, en poblados pequeos.

______

3.-El tiempo que se necesita para contestar una llamada telefnica en una oficina._____

4.-Las ganancias en crdobas de las ventas de un determinado producto._________5.-El peso en Kg de cada estudiante de un grupo de clases.

______

6.-El resistencia a la rotura de un determinado tipo de cuerda.

______

7.-El color de cabello de los nios que estn viendo televisin

______

8.-La cantidad de pginas impresas en una impresora lser.

______

II.-Identifique los elementos que se le indican

1.-Un fabricante de medicamentos desea conocer la proporcin de personas cuya hipertensin puede ser controlada por un nuevo medicamento. Al realizar un estudio con 5,000 individuos hipertensos se encontr que el 80% de ellos puede controlar su hipertensin utilizando el nuevo medicamento. Suponiendo que estas 5,000 personas son representativas del grupo de hipertensos. Conteste:a) Cul es la poblacin?

b) Cul es la muestra?

c) Cul es la estadstica?

d) Cul es el parmetro?

e) Cul es la variable o variables?

2.-Se quiere saber el costo de la educacin; uno de los gastos que hace un estudiante es la compra de sus libros de texto. Sea x el costo de todos los libros comprados este semestre por cada estudiante en cierta universidad. Describa:

a) La poblacin

b) La variable

c) La muestra

INTRODUCCIN AL MUESTREO Una poblacin est determinada por sus caractersticas definitorias. Por lo tanto, el conjunto de elementos que posea esta caracterstica se denomina poblacin o universo. Poblacin es la totalidad del fenmeno a estudiar, donde las unidades de poblacin poseen una caracterstica comn, la que se estudia y da origen a los datos de la investigacin.

Entonces, una poblacin es el conjunto de todas las cosas que concuerdan con una serie determinada de especificaciones. Un censo, por ejemplo, es el recuento de todos los elementos de una poblacin.Cuando seleccionamos algunos elementos con la intencin de averiguar algo sobre una poblacin determinada, nos referimos a este grupo de elementos como muestra. Por supuesto, esperamos que lo que averiguamos en la muestra sea cierto para la poblacin en su conjunto. La exactitud de la informacin recolectada depende en gran manera de la forma en que fue seleccionada la muestra. Cuando no es posible medir cada uno de los individuos de una poblacin, se toma una muestra representativa de la misma.A menudo los compradores prueban una porcin pequea de queso antes de comprar alguno. Determinar a partir de un pedazo el sabor del trozo completo. Si los compradores probaran todo el queso, no quedara nada par vender. As que probar todo el queso es innecesario y a menudo destructivo. Para determinar las caractersticas del todo, tenemos que muestrear solo una porcin.

Estadsticos y ParmetrosMatemticamente, podemos describir muestras y poblaciones al emplear mediciones como la media, mediana, moda y la desviacin estndar que introdujimos anteriormente. Cuando los trminos describen las caractersticas de una muestra, a este valor calculado se le denomina Estadsticas. Cuando describen las caractersticas de una poblacin se llaman Parmetros.

Ejemplo 1:

Tipos de MuestreoEn una muestra aleatoria o de probabilidad conocemos las probabilidades de que un elemento de la poblacin se incluye o no en la muestra. Como resultado de lo anterior podemos determinar objetivamente las estimaciones de las caractersticas de la poblacin que resultan de nuestra muestra. Los 4 mtodos del muestreo aleatorio ms usados por los investigadores son:1. Muestreo Aleatorio Simple

2. Muestreo Sistemtico

3. Muestreo Estratificado

4. Muestreo de Racimos o por Conglomerado

1- Muestreo aleatorio simple: la forma ms comn de obtener una muestra es la seleccin al azar, es decir, cada uno de los individuos de una poblacin tiene la misma posibilidad de ser elegido. Si no se cumple este requisito, se dice que la muestra es viciada. Para tener la seguridad de que la muestra aleatoria no es viciada, debe emplearse para su constitucin una tabla de nmeros aleatorios.

Ejemplo 2: Supongamos que tenemos una poblacin de cuatro estudiantes en un seminario y que queremos muestras de dos estudiantes a la vez para entrevistas:

Solucin: Tenemos lo estudiantes A, B, C, DMuestras de dos estudiantes: AB, AC, AD, BC, DC, BD. La probabilidad de extraer esta muestra de dos estudiantes es de 1/6 para cada par de estos estudiantes.

Como hacer un muestreo AleatorioLa forma ms fcil de seleccionar una muestra de manera aleatoria es mediante el uso de Nmeros aleatorios. Estos nmeros se pueden generar ya sea con una computadora o calculadora programada o mediante una tabla de nmeros aleatorios ya hecha.

2- Muestreo Sistemtico: Cuando los elementos de la poblacin estn ordenados en fichas o en una lista, una manera de muestrear consiste en

Sea ;

Elegir aleatoriamente un nmero m, entre 1 y k;

Tomar como muestra los elementos de la lista:

Esto es lo que se denomina muestreo sistemtico. Cuando el criterio de ordenacin de los elementos en la lista es tal que los elementos ms parecidos tienden a estar ms cercanos, el muestreo sistemtico suele ser ms preciso que el aleatorio simple, ya que recorre la poblacin de un modo ms uniforme. El muestreo sistemtico difiere del muestreo aleatorio simple en que cada elemento tiene igual oportunidad de ser seleccionado, pero cada muestra no tiene una posibilidad igual de ser seleccionada.

3- Muestreo estratificado: una muestra es estratificada cuando los elementos de la muestra son proporcionales a su presencia en la poblacin. La presencia de un elemento en un estrato excluye su presencia en otro. Para este tipo de muestreo, se divide a la poblacin en varios grupos o estratos con el fin de dar representatividad a los distintos factores que integran el universo de estudio. Para la seleccin de los elementos o unidades representantes de cada estrato, se utiliza el mtodo de muestreo aleatorio.

4- Muestreo de Racimos o por Conglomerado: Si intentamos hacer un estudio sobre los habitantes de una ciudad, el muestreo aleatorio simple puede resultar muy costoso, ya que estudiar una muestra de tamao n implica enviar a los encuestadores a n puntos distintos de la misma, de modo que en cada uno de ellos slo se realiza una entrevista. En esta situacin es ms econmico realizar el denominado muestreo por conglomerados, que consiste en elegir aleatoriamente ciertos barrios dentro de la ciudad, para despus elegir calles y edificios. Una vez elegido el edificio, se entrevista a todos los vecinos. Tanto el muestreo por racimos como el estratificado, la poblacin se divide en grupos bien definidos. Usamos el muestreo estratificado cuando cada grupo tiene una pequea variacin dentro de s mismo, pero hay una amplia variacin entre los grupos. Usamos el muestreo de racimos en el caso opuesto, cuando hay una variacin considerable dentro de cada grupo, pero los grupos son esencialmente similares entre s.

EstimacionesCmo conocemos la poblacin de la Tierra? Cmo determinar entre qu lmites se sita la cantidad de glbulos rojos por litro de sangre en un individuo sano? Este tipo de valoracin se hace a partir de modelos probabilistas empleando las tcnicas estadsticas de la estimacin de parmetros.

El material sobre la teora de probabilidad que se cubri en los captulos anteriores constituye la base de la inferencia estadstica, rama de la estadstica que tiene que ver con el uso de los conceptos de la probabilidad para tratar con la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre. La inferencia estadstica est basada en la estimacin y en la prueba de hiptesis, en ambas haremos inferencias acerca de ciertas caractersticas de las poblaciones a partir de la informacin contenida en las muestras.

Tipos de Estimaciones: Podemos hacer dos tipos de estimaciones, una llamada Estimacin Puntual y otra llamada Estimacin por Intervalo.

Una estimacin puntual es solo un nmero o un punto que se utiliza para estimar un parmetro de la poblacin desconocido.

Ejemplo 3: el jefe de departamento de alguna universidad estara haciendo una estimacin puntual si afirmara Nuestros datos actuales indican que en esta materia tendremos 350 estudiantes en el siguiente semestre.

Una estimacin por intervalo es un intervalo de valores que se utiliza para estimar un parmetro de poblacin. Esta estimacin indica el error de 2 maneras, por la extensin del intervalo y por la probabilidad de obtener el verdadero parmetro de la poblacin que se encuentra dentro del intervalo.

Ejemplo 4: si el jefe de departamento dice algo como lo siguiente, Estimo que la inscripcin real de este curso para el prximo semestre estar entre 330 y 380 y es muy probable que la inscripcin exacta caiga dentro de este intervalo.

Cualquier estadstico de muestra que se utilice para estimar un parmetro de poblacin se conoce como estimador, es decir, un estimador es una estadstica de muestra utilizada para estimar un parmetro de poblacin.

Caractersticas para la seleccin de un buen estimador1- Imparcialidad: el trmino de imparcialidad se refiere al hecho de que una media de muestra es un estimador no sesgado de una media de poblacin, por que la media de la distribucin de muestreo de las medias de muestras tomadas de la misma poblacin es igual a la media de la poblacin misma. Tambin a este tipo de estimador se le denomina Estimador sin sesgo.

2- Eficiencia: la eficiencia se refiere al tamao del error estndar de la estadstica. Si comparamos dos estadsticas de una muestra del mismo tamao y tratamos de decidir cul de ellas es un estimador ms eficiente, escogeramos la estadstica que tuviera el menor error estndar o la menor desviacin estndar de la distribucin de muestreo.

3- Coherencia: una estadstica es un estimador coherente de un parmetro de poblacin si al aumentar el tamao de la muestra, se tiene casi la certeza de que el valor de la estadstica se aproxima bastante al valor del parmetro de la poblacin.

4- Suficiencia: un estimador es eficiente si utiliza una cantidad de informacin contenida en la muestra de tal forma que ningn otro estimador podra extraer informacin adicional de la muestra sobre el parmetro de la poblacin que se est estimando. Tcnicas de recolectar informacin1. ENTREVISTAS

Las entrevistas son el mtodo de recoleccin de datos ms comnmente usado en el trabajo de desarrollo. Las entrevistas obtienen informacin sobre lo que las personas piensan, sienten, y perciben. Proporcionan profundidad a los datos cuantitativos, siendo una ptima fuente de informacin cualitativa del tema a trabajar.

Normalmente, para llevar a cabo una entrevista, se emplea una gua del tema con el objetivo de ayudar a estructurar la discusin del (los) tema(s). La gua asegura que la informacin sea recabada de la misma manera durante todas las entrevistas. Por lo general, esta gua temtica se divide en cuatro secciones: Introduccin, construccin de una buena interrelacin, discusiones a profundidad y cierre. Esto se explica con el siguiente ejemplo:

Propsito de la investigacin: Saber lo qu los/ miembros de la comunidad piensan acerca de incluir un currculum de educacin para la vida familiar en escuelas secundarias.

I. Introduccin:

A. Explique quin es usted y el propsito de la investigacin.

B. Explique el procedimiento (por ejemplo, me gustara hacerle algunas preguntas; podra tomar alrededor de 15 minutos de su tiempo?).

C. Ponga nfasis en que no hay respuestas correctas o incorrectas a las preguntas que har.

II. Creacin de una buena interrelacin: Esto implica iniciar una conversacin para establecer una relacin cmoda. Pregunte algo general y apropiado al/la entrevistado/a acerca de su familia, hijos, trabajo, o comunidad (por ejemplo, en qu ao(s) de escuela est(n) su(s) hijo/a(s)?.

III. Discusin a profundidad: Haga preguntas secuencialmente, yendo desde preguntas que buscan informacin objetiva a preguntas que requieren la opinin del entrevistado.

- Existe algn tipo de educacin para la vida familiar que actualmente se ofrezca en la escuela de su(s) hijo/a(s)? Si la respuesta fuese s, en qu ao se introduce? Si la respuesta fuese no, le gustara ver un currculum de educacin para la vida familiar de las escuelas?

- En qu aos de estudio piensa usted que debera ofrecerse?

- Piensa que las autoridades escolares deben requerir el consentimiento de los padres para que su(s) hijo/a(s) participen en la educacin para la vida familiar?

Est preparado para hacer un seguimiento con preguntas de sondeo para aclarar o explorar ms all.

IV. Cierre:Brevemente haga un resumen de lo que usted ha escuchado y solicite la reaccin final del/la entrevistado/a (por ejemplo, hay alguna cosa que no hayamos discutido y que a usted le gustara agregar?) Agradezca al/la entrevistado/a por su tiempo.TIPOS DE ENTREVISTAS

Existen tres tipos bsicos de entrevistas, los que se diferencian por la forma en la que se determinan y estandarizan anticipadamente las preguntas para la entrevista. De esta manera encontramos la entrevista informal, la entrevista semi estructurada y la entrevista formal (estandarizada).

a. La entrevista informal trabaja principalmente con la generacin espontnea de preguntas en el flujo natural de una conversacin. Este tipo de entrevista es adecuado cuando el evaluador desea mantener la mayor flexibilidad posible para poder guiar las preguntas hacia la direccin que parezca la ms adecuada, segn la informacin que surja en un ambiente en particular, o de la conversacin con una o ms personas en ese ambiente. Bajo estas circunstancias, no es posible tener un conjunto predeterminado de preguntas. La fortaleza de este enfoque es que el entrevistador es flexible y altamente sensible a las diferencias individuales, los cambios en la situacin y la aparicin de informacin nueva. La debilidad es que puede generar datos menos sistemticos, cuya clasificacin y anlisis sern difciles y lentos.

b. Las entrevistas semi estructuradas involucran la preparacin de una gua para la entrevista que enumere un conjunto predeterminado de preguntas o temas que se van a tratar. Esta gua sirve como una lista de verificacin durante la entrevista y asegura que se obtenga bsicamente la misma informacin a partir de varias personas. Aun as, existe bastante flexibilidad. El orden y el funcionamiento real de las preguntas no se determinan por anticipado. Adems, dentro de la lista de temas o reas temticas, el entrevistador tiene la libertad de dar mayor profundidad a determinadas preguntas. La ventaja del estilo de la gua de entrevista es que el hecho de entrevistar a diferentes personas se hace ms sistemtico e integral, ya que se delimitan los temas que se tratarn. La debilidad de este enfoque es que no permite que el entrevistador gue los temas o tpicos de inters que no se anticiparon en el momento de la elaboracin de la gua. Adems, la flexibilidad del entrevistador en la formulacin y ordenamiento de las preguntas podra originar respuestas sustancialmente diferentes segn las personas, lo que reduce la capacidad de comparacin.

c. La entrevista estandarizada consiste en un conjunto de preguntas abiertas cuidadosamente formuladas y ordenadas anticipadamente. El entrevistador hace las mismas preguntas a cada uno de los entrevistados, esencialmente con las mismas palabras y en el mismo orden. Este tipo de entrevista puede ser especialmente adecuado cuando existen varios entrevistadores y el evaluador desea minimizar la variacin de las preguntas. Resulta til tambin cuando se desea obtener la misma informacin de cada entrevistado en diversos puntos en el tiempo o cuando hay limitaciones de tiempo para la recopilacin y el anlisis de los datos. Las entrevistas de desarrollo estandarizadas permiten que el evaluador rena sistemticamente datos detallados y facilitan la posibilidad de comparacin entre todos los entrevistados. La debilidad de este enfoque es que no permite que el entrevistador gue los temas o tpicos que no se anticiparon en el momento de la elaboracin del instrumento. Adems, las entrevistas abiertas estandarizadas limitan el uso de preguntas alternativas a diferentes personas, dependiendo de sus experiencias particulares. Esto reduce la posibilidad de incorporar completamente las diferencias y circunstancias individuales en la evaluacin.

Finalmente podemos establecer que las caractersticas generales de las entrevistas son:

Bajo costos.

Son una buena fuente de datos cualitativos.

Producen mucha informacin en corto tiempo.

Pueden ser informales o formales.2. LA ENCUESTA O CUESTIONARIO

La encuesta es una tcnica de interrogatorio que emplea el cuestionario, el cual se define como un conjunto de preguntas respecto a una o varias temticas a consultar. Se caracteriza por ser estructurado, presentarse por escrito y por sobre todo, ser el principal instrumento de datos cuantitativos.

Dentro de sus limitaciones, el cuestionario tiende a reducir y simplificar el fenmeno social de su contexto, es decir, slo da cuenta de las tendencias globales de la realidad social, ante esto, se sugiere el uso complementario de tcnicas cualitativas permite devolver los detalles a la realidad como lo son las entrevistas a profundidad o grupos focales entre otros.

QU TIPOS DE PREGUNTAS DEBE HABER?

Bsicamente, podemos hablar de dos tipos de preguntas: cerradas y abiertas.

Las preguntas cerradas contienen categoras o alternativas de respuestas que ya han sido delimitadas. Es decir, se presentan a los sujetos las posibilidades de respuestas y ellos deben acotarse a ellas. Pueden ser dicotmicas (dos alternativas de respuestas) o incluir varias alternativas de respuesta.

Ejemplo de preguntas cerradas dicotmicas:

1. Le gusta el ftbol? ___si ____no ____.

2. Estudia usted actualmente?

( ) S ( ) No

Ejemplo de preguntas cerradas con varias alternativas de respuesta:

1. Cmo evala la gestin del gobierno en el mbito educacional?

Excelente buena regular mala muy mala

2. Cunta televisin ves los domingos?

( ) No veo televisin

( ) Menos de una hora

( ) 1 o 2 horas

( ) 3 horas

( ) 4 horas

( ) 5 horas o ms.

Como es posible observar, en las preguntas cerradas las respuestas son definidas con anterioridad, y la persona debe elegir la opcin que ms describa su respuesta.

Ahora bien, hay preguntas cerradas, donde el respondiente puede seleccionar mas de una opcin.

Ejemplo:

1. Esta familia tiene:

_ radio

_ televisin

_ telfono

_ auto

_ Ninguno de los anteriores.

Ante esto, las personas pueden responder una, dos, tres o cuatro opciones, ya que las categoras no son mutuamente excluyentes.

En otras ocasiones, la persona puede jerarquizar las respuestas. Por ejemplo:

1. Cul de estos lugares para vacacionar considera usted el mejor? Indique del 1 al 4 segn su inters.

_ Playa

_ Campo

_ Nieve

_ Lago.

Por otro lado, las preguntas abiertas, no delimitan de ante mano las alternativas de respuesta. Por lo tanto, el numero de categora de respuesta es infinito.

Ejemplo de preguntas abiertas:

1. Por qu asiste a psicoterapia?

2. Qu piensa de los partidos polticos? CONVIENE USAR PREGUNTAS ABIERTAS O CERRADAS?

Cada cuestionario obedece a distintas necesidades y problemas, lo que hace que en cada caso el tipo de preguntas sea diferente. Algunas veces solo se incluyen preguntas cerradas o solo abiertas o mezcla de ambas. Cada clase de preguntas tiene sus ventajas y desventajas.

Las preguntas cerradas son fciles de codificar y analizar. Adems requieren de menor esfuerzo por parte de los respondientes, ellos solo deben seleccionar la mejor alternativa y no verbalizar o escribir sus pensamientos. La principal desventaja es que limitan las respuestas de las personas y no siempre describen con exactitud lo que realmente piensan los sujetos.

Las preguntas abiertas son tiles cuando la informacin derivada de preguntas cerradas es insuficiente o cuando se desea profundizar en opiniones o motivos de comportamientos. Su mayor desventaja es que son ms difciles de codificar, clasificar y analizar.

EL MODO DE FORMULAR LAS PREGUNTAS: Claras y precisas, de fcil comprensin: Deben evitarse trminos confusos o ambiguos. Por ejemplo, ve Ud. Televisin? , es confusa, seria mas adecuado preguntar acostumbra ver televisin diariamente? Y despus preguntar los horarios, canales, etc.

Contener una sola idea: Debe referirse a un solo aspecto. Por ejemplo; acostumbra ver televisin y escuchar radio diariamente? Expresa dos aspectos y puede confundir. Es adecuado hacer dos preguntas.

No hacer preguntas dirigidas: Se sugiere no realizar preguntas que den pie a elegir algn tipo de respuesta. Por ejemplo: Los trabajadores chilenos son muy productivos?. Se insina la respuesta en la pregunta. Resulta ms conveniente preguntar qu tan productivos considera Ud. a los trabajadores chilenos?.

Utilizar un lenguaje adecuado y respetando el lenguaje del grupo entrevistado. Es decir, considerar nivel educativo, socioeconmico, palabras que maneja, etc.

Debe evitarse los trminos vagos (mucho, poco, etc.)

3. MTODOS DE OBSERVACIN

La observacin en una comunidad es otra fuente importante de datos cualitativos. El objetivo principal de la observacin es obtener una descripcin detallada del tema a trabajar en la comunidad a travs de una identificacin atenta y una descripcin exacta de las interacciones, realidades sociales y de las personas en su contexto cotidiano. Existen varias ventajas del trabajo observacional en terreno: - Ofrece una mejor comprensin del contexto en el que se producen las intervenciones. - Permite conocer cosas importantes que personas de la comunidad pudieran ignorar u omitir voluntaria o involuntariamente en una entrevista.- Permite que el evaluador presente una visin ms integral, combinando sus propias percepciones y las de otros. Existe una cantidad de variaciones en los mtodos de observacin. La diferencia fundamental entre ellos radica en la funcin que tiene el observador, ya sea como participante en la comunidad, como espectador o alguien entre ambos procesos. De esta manera tenemos en un polo la observacin participante y al otro extremo la observacin directa.

A. LA OBSERVACIN PARTICIPANTE

Se encuentra en un extremo del espectro de participacin y consta de un observador, quien se convierte en miembro de la comunidad o de la poblacin que se estudia. El investigador participa en actividades de la comunidad, observa la manera en que las personas se comportan e interactan entre s y con organizaciones externas. El observador intenta ser aceptado como vecino o participante, en lugar de ser un externo. El objetivo de dicha participacin no slo es ver lo que sucede, sino sentirse parte del grupo. La posibilidad de xito de ste depende de las caractersticas de la comunidad en que se esta, el tipo de preguntas que se estudian y el contexto socio poltico del ambiente. La fortaleza de este enfoque es que el investigador puede experimentar y presumiblemente, entender mejor cualquier impacto del proyecto. La principal debilidad es que puede alterar el comportamiento que se observa.

Adems, podran surgir problemas ticos si el observador participante se representa de manera fraudulenta con el fin de ser aceptado por la comunidad que estudia.

METODOLOGA

1. PREPARACIN DE CAMPO:

Como primer paso es necesario preparar el campo, es decir, el identificar el emplazamiento donde se va a situar el investigador como observador, siendo en una comunidad en particular (aldea, pueblo, barrio, Centro de Salud, sala de Hospital, etc.) o en un grupo especifico (ancianos de una residencia, colectivo profesional, alumnos de un colegio, etc).

2. RELACIONES EN EL CAMPO:

Se sugiere que en la fase de acercamiento y presentacin, el observador se muestre ingenuo y se realicen preguntas aunque puedan parecer evidentes. Para establecer un clima de buenas relaciones es necesario compartir el mundo de los informantes, como lo es el lenguaje, costumbres, participar en algn trabajo, etc.

3. QUE OBSERVAR-Mirar y ver mientras se convive.

En caso de una comunidad o grupo:

Lo que dicen discursos.

Lo que hacen, es decir, sus conductas y comportamientos.

Los objetos que utilizan.

La ocupacin del espacio como lugares de vida social.

El tiempo ordinario y extraordinario de trabajo y ocio.

La forma de vivir.

Las relaciones - agrupaciones, distribucin edad sexo, conflictos, etc.

Los acontecimientos inesperados: visitas, catstrofes, etc.

4. PAPEL DE LOS INFORMANTES:

Sirven de introductores al investigador en la comunidad

Se requiere que sean representativos en su grupo.

Son las fuentes primarias del investigador.

Colaboradores, consejeros e informantes sobre la comunidad.

No elegir a los no representativos o pertenecientes a una parte en conflicto.

Elegir varios informantes.

No comunicar a los informantes los objetivos precisos de la investigacin para evitar que manipulen la realidad.

5. EL ARTE DE PREGUNTAR.

Antes de preguntar es necesario saber escuchar. El mejor observador no es el que habla mucho, sino el que hace hablar a los dems. Es tan importante saber lo que preguntar como saber lo que no se debe preguntar. Una buena estrategia es esperar a que suceda algo y luego preguntar sobre ello.

Recomendaciones para ayudar a estimular la comunicacin con los informantes:

Cuando surge algo que nos interesa, inducirles a continuar.

Pedir aclaraciones sobre sus comentarios.

Preguntar sobre el significado de lo observado.

Evitar, al principio, grabaciones, cuestionarios, confrontar versiones de otros observadores, etc.

Comprobar la veracidad de la informacin: lo que se nos dice con lo observado.

6. CUADERNO DE CAMPO: Es el instrumento de registro de datos, donde se anotarn las observaciones - NOTAS DE CAMPO - de forma completa precisa y detallada.

Qu registrar:

Hechos observados:Descripciones de personas..Actividades..Conversaciones..Estructura del escenario, etc.

Comentarios del observador: Lo que los hechos producen en el observador: Experiencia vivida. Sentimientos. Dudas, etc.

Lo que el observador conceptualiza en la observacin: Reflexiones tericas. Hiptesis. Lneas de actuacin, etc.

Cmo registrar:Se sugiere limitar el tiempo de observacin a las posibilidades reales de registro. Escribir con disciplina por ejemplo, siempre una hora de observacin, lo que da a da seria equivalente a varias horas de registro. Utilizar tcnicas para recordar palabras y acciones, como palabras clave y/o resmenes. Tambin es de gran utilidad las grabadoras y videos, siempre y cuando no interfieran en el proceso de observacin.

Tratamiento de los datos:

No olvidar que la observacin participante es un proceso continuo que se desarrolla a la vez que se recibe la informacin:

Seleccionar las conductas y situaciones relevantes.

Organizar el material segn el inters temtico o metodolgico.

7. RETIRADA DEL CAMPO:

Es preciso dejarlo cuando se ha alcanzado la saturacin, es decir, cuando los datos empiezan a ser repetitivos y no generan conceptos ni teoras nuevas.

Es un momento difcil para el observador por los lazos de afecto desarrollados en este tiempo de convivencia. Hay que expresar nuestro agradecimiento a las personas que han colaborado o que nos han prestado ayuda. Debemos dejar un buen recuerdo, por si posteriormente necesitamos volver para verificar datos o completar la investigacin.

B. LA OBSERVACIN DIRECTA

Tiende a estar en el otro extremo del espectro de participacin. Esta involucra la anotacin y registro sistemtico de las actividades, comportamientos y objetos fsicos en el ambiente de la evaluacin como un observador no intruso. Por lo general, puede ser una forma rpida y econmica de obtener informacin socioeconmica bsica acerca de hogares o comunidades. La ventaja principal de este mtodo es que, si los participantes no saben que estn siendo observados, hay menos probabilidades de que cambien su comportamiento y se comprometan con la validez de la evaluacin. Es importante recordar que existe gran variacin entre los dos extremos y que el nivel de participacin puede cambiar con el tiempo. Por ejemplo, el evaluador puede comenzar la observacin como externo y convertirse gradualmente en participante a medida que avance el estudio.

Todo esto se plasma en un Cuaderno de campo o en un Libro diario, anteriormente descrito.

VENTAJAS y LIMITACIONES

Se puede obtener informacin independientemente del deseo de proporcionarla.

Los fenmenos se estudian dentro de su contexto.

Los hechos se estudian sin intermediarios.

La proyeccin del observador.

Es posible confundir los hechos observados y la interpretacin de esos hechos.

Es posible la influencia del observador sobre la situacin observada.

Existe el peligro de hacer generalizaciones no vlidas a partir de observaciones parciales.

UNIDAD No. IIORGANIZACIN Y REPRESENTACIN DE DATOS.Distribucin de FrecuenciasEs una tabla que divide un conjunto de datos en un nmero de clases (Categoras) apropiadamente mostrando tambin el nmero de elementos en cada clase llamados tambin frecuencias. Este agrupamiento hace resaltar caractersticas importantes de los datos. Existen dos tipos de distribucin:1 Distribuciones Numricas: los datos se hallan agrupados por su tamao.2 Distribuciones Categricas: los datos se hallan agrupados de acuerdo con alguna cualidad o atributos.

Construccin de una tabla de Frecuencias1 Se recomienda ordenar los datos en forma ascendente.

2 Decidir el nmero de clases que se usarn en la tabla de frecuencias. Esto lo decide el estadstico o el investigador en cuestin. Existen varias formas de calcular el nmero de clases de las cuales aprenderemos la siguiente: m = 1 + 3.3 * log10(n)

3 Calcular el rango o Amplitud de la muestra. Este se calcula de la siguiente forma: A = Observacin Mayor Observacin Menor

4 Calcular el ancho de la Clase. Este es:

C = A / m. Redondeando C a la unidad ms prxima.5 Contar el nmero de observaciones de la muestra que pertenece a cada uno de las clases.

Nota: La primera clase se formara colocando la observacin menor como su lmite inferior de esa clase, como lmite superior se le suma al lmite inferior la amplitud de la clase. Para formar el lmite inferior de la siguiente clase simplemente sumamos una unidad al valor del lmite superior de la clase anterior y para formar el lmite superior de la segunda clase a este le sumamos nuevamente la amplitud de la clase.Para comprender mejor realicemos el siguiente ejemplo: construya una tabla de distribucin de frecuencias con el conjunto de datos siguientes:

Tabla1.175110352613

2111752556

62015401442

123228131928

45819213820

Siguiendo los pasos para formar la tabla de distribucin de frecuencias, lo primero que tenemos que hacer es ordenar los valores. Tabla2.

51115202842

61217213245

71319213551

81319263852

101420284056

Ahora calculamos el nmero de clases que se presentarn en la tabla, esto es: sabemos que n = 30 por lo tanto: m = 1 + 3.3 * log10(n) = 1 + 3.3 * log10 (30) = 5.87 ( 6 Ahora calculamos el rango de la muestra: A= Observacin. Mayor Observacin. Menor = 56 5 = 51Ahora calculamos la amplitud de la clase, esto se hace de la siguiente forma:

C = A / m = 51 / 6 = 8.5 ( 9. Por lo tanto L = 9 1 = 8 Tabla3.Nmeros de ClasesFrecuencias (Fi)

5 - 139

14 - 229

23 - 313

32 - 404

41 - 492

50 - 583

Total30

Representaciones graficas de las distribuciones de frecuencias

Marca de clase: se representa con la letra Xi y es el punto medio de cada clase, esta se obtiene sumando y dividiendo entre 2 lo limites inferior y superior.Limites reales de la Clase (tambin se le conoce como fronteras de clase)L.R.I. = Lmite real inferior: es media unidad menos que el lmite inferior de la clase

O sea 5 0.5 = 4.5

L.R.S. = Lmite real superior: es media unidad ms que el lmite superior de la clase

13 + 0.5 = 13.5

La frecuencia relativa se encuentra como:

Fr = (Frecuencia de la clase / Nmero total de Observaciones) = Fi / n

Frecuencia porcentual, se calcula como:

%Fi = (Fi / n)*100

Frecuencia acumulada de una clase (Fa): se determina sumando el total de observaciones de todas las clases precedentes ms la clase en cuestin.Frecuencia porcentual acumulada de una clase (%Fa): es la frecuencia acumulada de la clase expresada como porcentaje del total de observaciones.Para la tabla 4 del primer ejemplo el clculo de los valores anteriores se obtiene

Tabla5.Numero de clasesFiXiL.r.i. - L.r.s%FiFa%Fa

5 - 1399 4.5 13.530930

14 - 2291813.5 22.5301860

23 - 3132722.5 31.5102170

32 - 4043631.5 40.513.32583.3

41 - 4924540.5 49.56.72790

50 - 5835449.5 58.51030100

Total30100

Elabore la distribucin de frecuencias de las siguientes series de datos, con sus respectivas grficas:Los siguientes datos son el nmero de meses de duracin de una muestra de 40 bateras para coche.

2241354532373026

3416313338314737

2543343629333931

3331374432411934

4738322639304235

1. Los resultados siguientes representan las calificaciones del examen final de un curso de estadstica elemental.

23607932577452708236

80778195416592855576

52106475782580988167

41718354647288627443

60788976844884901579

34671782697463808561

2. El gerente de una firma especializada en renta de condominios para vacacionistas, quiere saber cmo estn distribuidas los montos de las rentas mensuales de los departamentos de la firma. Seleccion una muestra de departamentos cuyas muestras son mostradas abajo.

Rentas mensuales de los condominios

1170 1207 1581 1277 1305 1472 10771319 15371849

1332 1418 1949 14031744 1532 1219 8961500 1671

1471139910411379 82115581118 1533 1510 1760

1826 1309 1426 1288 1394 1545 1032 1289 695803

14401421 1329 1407 7181457 1449 1455 20511677

11191020 1400 1442 1593 1962 1263 17881501 1668

1352 1340 14591823 1451 1138 1592 9821981 1091

3. Los siguientes datos representan la duracin de la vida en meses de 30 bombas de combustible similares.

24364401651863060

37266783286772153

184871225795441272

4. Los siguientes datos representan la duracin de la vida, en segundos, de 50 moscas sometidas a un nuevo atomizador en un experimento de laboratorio controlado.

1720109231312191824

121469136710137

1618813332971011

1371871042719168

710514151096715

5. Se aplic una encuesta donde se les pide indicar el nmero de amigos o parientes que visitan cuando menos una vez al mes. Los resultados son los siguientes:

352334184

242533303

564322635

4143563424

941424350

435735622

6. Una compaa de cambio de aceite tiene varias sucursales en la zona metropolitana. El nmero de cambios de aceite en la sucursal de la calle Roble en los pasados 20 das son:

66985562795951907256

70626680947963737185

7. El gerente de un negocio de comida rpida est interesado en el nmero de veces que un cliente compra en su tienda durante un periodo de dos semanas. Las respuestas de los 51 clientes fueron:

533144564266671114

12444563534568476

5911312476515111089212

8. El presidente de una agencia de viajes, quiere informacin sobre las edades de la gente que toma cruceros por el Caribe. Una muestra de 40 clientes que tomaron un crucero el ao pasado revel estas edades:

77186384385450595456

36265034444158585351

62435253636262656152

60456683716358617160

9. Una cadena de tiendas de artculos deportivos al servicio de esquiadores principiantes, planea hacer un estudio de cunto gasta un esquiador principiante en su primera compra de equipo. Una muestra de recibos de sus cajas registradoras revel esas compras iniciales.

140822651689011417223014286125

235212171149156162118139149132105

162126216195127161135172220229129

87128126175127149126121118172126

10.- Se conduce un estudio de los efectos de fumar sobre los patrones de sueo. La medicin que se observa es el tiempo, en minutos, que toma quedar dormido. Se obtienen estos datos:

695622284128

475348303413

523460252137

432313312938

263630

11. Un banco seleccion una muestra de 40 cuentas de cheques de estudiantes. Abajo aparecen sus saldos de fin de mes.

404742341492792151235543321

87234684895718514175872863

7031253504403725227521302127

968712503498327608358425303203

12.- Una compaa de luz seleccion una muestra de 20 clientes residenciales. Los siguientes datos son las cuentas que se les factur el mes pasado:

54485850254775466070

67683935566633626567

13.- Una muestra de suscriptores de una compaa telefnica revel los siguientes nmeros de llamadas recibidas en la ltima semana.

52433038304212463937

34463218415

Representaciones graficas para datos CuantitativosHistograma: es una representacin grafica de una tabla de distribucin de frecuencia a partir de datos cuantitativos, esta se construye en un sistema de coordenadas rectangulares. En el eje horizontal se indican los lmites reales de cada clase haciendo coincidir el origen con el lmite real inferior de la clase. En el eje vertical se sealan las frecuencias haciendo coincidir con el origen la frecuencia cero, luego se erige sobre el intervalo real de la clase correspondiente un rectngulo de altura igual a la frecuencia de la clase y de base igual a la longitud del intervalo real de la clase.

Escala de los ejes: en la representacin grafica de la frecuencia, el eje vertical debe hacerse de tal modo que la altura del punto mximo que representa el resultado asociado con la frecuencia ms alta sea aproximadamente igual a 2/3 de la longitud del eje horizontal. Para ilustrar esto miremos el siguiente ejemplo: en la siguiente tabla se nos presenta la distribucin del rendimiento de la gasolina en millas por galn en 50 automviles. Construir un Histograma Tabla6.

Millas / GalnFiL.R.I. L.R.S.

22.5 - 24.9922.45 - 24.95

25.0 - 27.41024.95 - 27.45

27.5 - 29.91527.45 - 29.95

30.0 - 32.41129.95 - 32.45

32.5 - 34.9532.45 - 34.95

Total50

Graficando los valores tenemos la siguiente grafica

15

10

5

Representaciones grficas para datos CualitativosGrficos de barras: sirven para representar al total de cada categora presentada en la distribucin, para cada categora se traza una barra vertical en que la altura representa el nmero de miembros de esa categora. Ejemplo: la tabla siguiente muestra el estado civil de hombres y mujeres mayores de 14 aos en una ciudad en 1995. Tabla7Estado civilSexoTotal %

Hombre%Mujer%

Solteros2,450241,880194,33022

Casados6,980706,6006613,58068

Viudos39041,200131,6708

Divorciados180223024102

Total10,0001009,99010019,990100

Graficando los valores tenemos la siguiente grfica

Grfico de Pastel o de Sectores: se usa para mostrar como una cantidad total, se reparte en un grupo de categoras, la construccin de un diagrama de pastel se facilita teniendo en cuenta que el crculo tiene 3600 grados y que el Angulo debe corresponder al 100% del total representado. Utilizando una regla de tres se calcula cada ngulo de cada categora de la siguiente manera: % grado(X)

100% 360 despejando tenemos X = (% * 3600)/100

Hagamos el diagrama de pastel para los datos presentados en la tabla7 anteriormente expuesta en el que representaremos el estado civil de todas las personas de esa ciudad.Para eso tenemos que calcula los grados que tendr cada dedazo de pastel o categora, esto es:Para los solteros tenemos X = (22 * 3600)/100 = 790Para los casados tenemos X = (68 * 3600)/100 = 2450Para los viudos tenemos X = (8 * 3600)/100 = 290Para los divorciados tenemos X = (2 * 3600)/100 = 70 Graficando los valores tenemos la siguiente grfica

EjerciciosLa siguiente tabla representa las alturas de los pinos de 9 meses de edad en un bosque de Matagalpa. Tabla4.

0.591.350.980.760.84

0.951.201.921.000.63

1.550.841.731.011.42

1.150.791.041.100.62

1.121.301.601.741.70

0.601.751.980.861.50

Obtenga una tabla de distribucin de frecuencia para este conjunto de datos y haga una representacin grafica que ms se ajuste a este tipo de datos.

1.-En la siguiente representacin tallo hoja se indica el nmero de das que pasa un paciente bajo tratamiento, de acuerdo con una muestra aleatoria seleccionada de los registros de una clnica

15135

20250304

344

41

50

a) Cuntos pacientes estn representados?

b) Cul fue el perodo de tratamiento ms corto?

c) Cul fue el perodo de tratamiento ms largo?

d) Cul fue el perodo de tratamiento ms frecuente?2.-En un curso donde se utilizaron computadoras se distribuy un cuestionario a 200 estudiantes. Una de las cuestiones era Me gusta utilizar las computadoras. Las apreciaciones a esta interrogante fueron:

RespuestasNmero

Totalmente de acuerdo50

De acuerdo75

Apenas de acuerdo25

Apenas en desacuerdo15

En desacuerdo15

3.-En el primer da de clases del semestre pasado se pregunt a 50 estudiantes de administracin y contabilidad acerca del tiempo requerido para desplazarse de su casa a la universidad. Los datos fueron los siguientes:2030202510

351525405

2515202510

1520202515

520102025

2025201540

2525253025

3020452510

2020202020

201051015

Elabore una tabla de distribucin de frecuencias para datos no agrupados.

4.-Elabore una tabla de distribucin de frecuencias para datos agrupados con los siguientes datos y construya un histograma y un polgono de frecuencias.

51115202842

61217213245

71319213551

81319263852

101420284056

Despus que los datos han sido reunidos y tabulados, se inicia el anlisis con el fin de calcular un nmero nico, que represente o resuma todos los datos. Por lo general, las frecuencias de los intervalos centrales de una serie de datos son mayores que el resto, ese nmero se le denomina medida de posicin. III Unidad: Medidas de tendencia central y de dispersinMEDIDAS DE TENDENCIAS CENTRALES

Media Aritmtica: La media aritmtica () o simplemente la media es el parmetro de posicin de ms importancia en las aplicaciones estadsticas. Se trata del valor medio de todos los valores que toma la variable estadstica de una serie de datos. La media aritmtica de un conjunto de observaciones X1, X2, X3, Xn, se define como la suma de todos los valores de las observaciones dividida por el total de observaciones (total de N datos), esto es:

Media Aritmtica para la Poblacin Media Aritmtica para la Muestra

CARACTERSTICAS PRINCIPALES DE LA MEDIA ARITMTICA

1. El valor de la media depende de cada una de las medidas que forman la serie de datos, y se halla afectada excesivamente por los valores extremos de la serie de datos.

2. La media se calcula con facilidad y es nica para cada caso y permite representar mediante un solo valor la posicin de la serie de valores.

CLCULO DE LA MEDIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Para calcular la media de datos no agrupados en clases se aplica la siguiente formula:

. En donde N es el nmero total de datos y son los valores de la variable. Ejemplo:1. Calcule la media aritmtica de los siguientes valores: 5, 7, 8, 9, 11, 14

Por lo tanto la media es 9.

CLCULO DE LA MEDIA ARITMTICA PARA DATOS AGRUPADOS

Cuando se construye una distribucin de frecuencia, los datos se agrupan en clases definidas por unos lmites. Cuando se trabaja con la distribucin de frecuencia se parte del supuesto de que todos los datos comprendidos en un intervalo de clase se distribuyen uniformemente a lo largo de este.

Los pasos a seguir para calcular la media con este mtodo.1. Se agrupan los datos en clases y se llevan a una columna, se calculan los puntos medios de cada clase y se colocan en sus respectivas columnas, se determinan las frecuencias de cada clase y se ubican en sus respectivas columnas.

2. Se multiplican los puntos medios de cada clase por sus respectivas frecuencias, luego se obtiene la sumatoria de las frecuencias (fi) multiplicadas por el punto medio (Xi) as:

3. Luego se calcula la media aritmtica aplicando la formula:

En donde N es igual al nmero total de datos. Ejemplo:CLASES

75-----797720140

80-----848240320

85-----898760480

90-----9492100900

95 ----99971401260

TOTAL n =3603100

Aplicando la frmula se tiene:

La mediana ( o Md): se define como mediana el valor de un conjunto de datos X1, X2, X3; X4,.........Xn, ordenada de menor o mayor, que deja a su izquierda y a su derecha la misma cantidad de observaciones o sea que es el valor que divide en dos partes iguales al conjunto de datos, es decir el valor de la variable que ocupa el lugar central.

CLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Hay dos casos que se pueden dar para el clculo de la mediana:

1. Si el nmero de observaciones es par se elige como mediana el valor medio de las dos observaciones centrales, esto es:

Ejemplo:Encuentre la mediana para el siguiente conjunto de datos: 18, 5, 5, 11, 9, 7, 12, 15.

Sabemos por medio del nmero de datos que N = 8 por lo tanto es par, ordenando los datos de menor a mayor tenemos 5, 5, 7, 9, 11, 12, 15, 18, ahora aplicando la formula:

2. Si el nmero de datos es impar se elige como mediana el valor que esta exactamente a la mitad o en medio de todas las observaciones, esto es:

Ejemplo: Encuentre la mediana para el siguiente conjunto de datos: 4, 3, 8, 8, 4, 5, 10, 8, 6

Sabemos por medio del nmero de datos que N = 9 por lo tanto es par, ordenando los datos de menor a mayor tenemos 3, 4, 4, 5, 6, 8, 8, 8, 10, ahora aplicando la formula:

PASOS PARA DETERMINAR LA MEDIANA EN DATOS AGRUPADOS

1. Se elabora la tabla de frecuencia de datos con sus diferentes intervalos de clases, se ubican las frecuencias fi y se calculan las frecuencias acumuladas Fa de esa distribucin.

2. Se determina la ubicacin o posicin de la mediana en el intervalo de la distribucin de frecuencia, mediante la frmula . El resultado obtenido determinar la clase donde se encuentra ubicada la mediana, lo cual se conseguir en la clase donde la frecuencia acumulada Fa sea igual o superior a este resultado. Luego se aplica la formula:

en esta frmula Md es la mediana, Li es el lmite real inferior de la clase donde se encuentra ubicada la mediana, Faa es el valor de la frecuencia acumulada anterior a la clase donde se encuentra la mediana, fm es el valor de la frecuencia fi de la clase donde se encuentra la mediana, Ic es el valor o longitud de la longitud o intervalo de clase mas 1 (Ic = L+1 = ) y N es el nmero total de datos de la distribucin en estudio.

NOTA: la amplitud de la clase debe de ser la misma para cada clase.

Ejemplo: Dada la siguiente distribucin de frecuencia referida a las horas extras laboradas por un grupo de obreros. Calcule la mediana. Realice los clculos respectivos para completar el siguiente cuadro.

N de horas ExtrasObreros

CLASESFi

55------596

60------6420

65------6918

70------7450

75------7917

80------8416

85------895

N = 132

Completando la tabla para obtener las frecuencias acumuladas obtenemos:

N de horas ExtrasObrerosObreros

CLASESFifa

55------5966

60------642026

65------691844

70------745094

75------7917111

80------8416127

85------895132

n = 132

Ahora se aplica la frmula:

n = 132, luego la mediana se encuentra en la clase 70----74, por lo tanto el limite real inferior de esa clase es 69.5 = Li.

La frecuencia fi de esa clase es 50 = fm , Faa = 44 y el Ic = 5. Aplicando la frmula se tiene:

CARACTERSTICAS DE LA MEDIANA

La mediana no es afectada por los valores extremos de una serie de valores, puesto que la misma no es calculada con todos los valores de la serie.

La mediana no est definida algebraicamente, ya que para su clculo no intervienen todos los valores de la serie.

La mediana se puede calcular en aquellas distribuciones de frecuencia de clases abierta, siempre y cuando los elementos centrales puedan ser determinados

La moda: la moda de un conjunto de datos, es el valor que aparece con mayor frecuencia, es decir es el valor que ms se repite o el valor ms comn. La moda puede no existir o incluso si existe, puede no ser nica. De las medias de posicin central la moda es la que se determina con mayor facilidad, ya que se puede obtener por una simple observacin de los datos en estudio, puesto que la moda es el dato que se observa con mayor frecuencia. La moda se designa con las letras Mo.

CLCULO DE LA MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS

Cuando una serie de valores es simtrica, la media, la mediana y el modo coinciden, y si la asimetra de la serie es moderada, la mediana estar situada entre la media y la moda con una separacin de un tercio entre ambas; la moda simple mente se encuentra por inspeccin de los datos

Ejemplo: encuentre la moda para los siguientes conjuntos de datos:

1. 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 11, 12, 18. En este caso la moda es 9.

2. 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16. En este caso la moda no existe.

3. 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9. En este caso hay dos modas, el 4 y el 7, A este tipo de casos en se le llama bimodal.

Una distribucin que contenga una solo moda se le llama unimodal, en contraste si posee ms de dos modas se le llama multimodal.

CLCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS

Para calcular la moda en datos agrupados existen varios mtodos; cada uno de los mtodos puede dar un valor diferente de la moda: En este curso se dar un mtodo el cual se puede considerar uno de los ms precisos en el clculo de esta. Es un mtodo matemtico que consiste en la interpolacin mediante la siguiente frmula:

,

en donde Mo es la moda, Ic = longitud de la clase ms uno (L + 1), Li es el lmite real de la clase que presenta el mayor nmero de frecuencia; la clase que presenta el mayor nmero de frecuencias fi se le denomina clase modal y a las frecuencias de esa clases se les denomina frecuencia modal fm, es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal ( fm) y la frecuencia de la clase anterior a la modal, la cual se designa con fa , entonces, ; es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal (fm) y la frecuencia de la clase siguiente a la modal, esta se designa con fs , entonces,

1. Dada la siguiente distribucin de frecuencia correspondiente al peso en Kg de un grupo de trabajadores de una empresa, calcule la moda.

CLASES fi

30-----392

40-----492

50-----597

60-----6911

70-----7912

80-----8916

90-----992

TOTAL

La clase modal es 80----89, entonces Lri = 79.5 y su fm = 16, fa = 12 y fs = 2, entonces:

Aplicando la frmula se tiene:

CARACTERSTICAS DE LA MODA

El valor de la moda puede ser afectado grandemente por el mtodo de elaboracin de los intervalos de clases.

El valor de la moda no se halla afectado por la magnitud de los valores extremos de una serie de valores, como sucede en la media aritmtica. La moda se puede obtener en una forma aproximada muy fcilmente, puesto que la obtencin exacta es algo complicado. La moda tiene poca utilidad en una distribucin de frecuencia que no posea suficientes datos y que no ofrezcan una marcada tendencia central.

MEDIDAS DE DISPERSIN

Las medidas de variabilidad son nmeros que expresan la forma en que los valores de una serie de datos cambian alrededor de una medida de posicin central la cual por lo general es la media aritmtica. La variabilidad es la esencia de la estadstica, puesto que las variables y atributos se caracterizan siempre por diferencias de valores entre observaciones individuales. Casi siempre en una distribucin de frecuencia el promedio obtenido difiere de los datos de la serie; por esto es importante determinar el grado de variacin o dispersin de los datos de una serie de valores con respecto al promedio.

Rango o Recorrido: Es la primera medida de dispersin, no est relacionada con ningn promedio en particular, ya que este se relaciona con los datos mismos, puesto que su clculo se determina restndole al dato mayor de una serie el dato menor de la misma. El rango es el nmero de variables diferentes que posee una serie de valores. Su frmula se calcula as:

Rango(R) = Dato mayor (XM)(Dato Menor (Xm): R = XM ( Xm. El rango es la medida de dispersin ms sencilla e inexacta dentro de las medidas de dispersin absoluta. Esta medida tiene bastante uso en el control de calidad de los productos manufacturados.

Desviacin tpica o estndar: Es la medida de dispersin ms utilizada en las investigaciones por ser la ms estable de todas, ya que para su clculo se utilizan todos los desvos con respecto a la media aritmtica de las observaciones, y adems, se toman en cuenta los signos de esos desvos. Se le designa con la letra castellana S cuando se trabaja con una muestra y con la letra griega minscula ( (Sigma) cuando se trabaja con una poblacin. Es importante destacar que cuando se hace referencia a la poblacin l nmero de datos se expresa con N y cuando se refiere a la muestra l nmero de datos se expresa con n. La desviacin tpica se define como:

La raz cuadrada positiva del promedio aritmtico de los cuadrados de los desvos de las observaciones con respecto a su media aritmtica. La desviacin tpica es una forma refinada de la desviacin media.

Caractersticas de la Desviacin Tpica:

La desviacin tpica se calcula con cada uno de los valores de una serie de datos.

La desviacin tpica se calcula con respecto a la media aritmtica de las observaciones de una serie de datos, y mide la variacin alrededor de la media.

La desviacin tpica es susceptible de operaciones algebraicas, puesto que para su clculo se utilizan los signos positivos y negativos de los desvos de todas las observaciones de una serie de valores, por lo tanto es una medida completamente matemtica.

Es siempre una cantidad positiva.

Clculo de la Desviacin Tpica: La desviacin tpica para calcularla se procede de dos formas: A).- Para datos no agrupados, B). - Para datos agrupados en clases.A) Para datos no Agrupados.- Las frmulas para determinar la desviacin tpica de una muestra es:

Para caular la desviacin tipica de una poblacin para datos no agrupados, se utilizan las siguientes formulas:

Ej.1 Los siguientes valores corresponden a la edad de ios de una muestra tomada de una poblacin: Xi = (3, 4, 5, 6, 7(. Determine la desviacin tpica.

Utilizando la formula 2 nos da

Interpretacin.- El resultado obtenido con las frmulas 1 y 3 indican que en promedio, las edades de los nios de esa muestra se desvian o varian con respecto a la media aritmtica en una cantidad igual a 1.58 aos.

B) Para datos Agrupados en Clases.- Para calcular la desviacin tpica en datos agrupado existen varios criterios en relacion a la correccin del sesgo que se produce al tomar una muestra, en este estudio se considerar la frmula que corrige el sesgo de aquellas muestras en estudio.

Frmulas Para calcular la muestra y la poblacin de una desviacin tpica con datos agrupados en clases:

Ejemplos: Los siguientes datos corresponden a las horas extras trabajadas por los obreros de la empresa RINACA, en un mes (se resolver considerando los datos como de una S y

CLASESfi

di =

40 4414242- 15.26232.871764

45 49647282- 10.26631.6013254

50 5421521092- 5.26581.0256784

55 5975574275- 0.265.07243675

60 64236214264.74516.7588412

65 697674699.74664.0731423

70 7427214414.74434.5410368

=7730

=3065.92 =445680

Para resolver el problema lo primero que se debe hacer es calcular la media aritmtica as:

Ahora aplicando la frmula 2

Interpretacin.- Los resultados obtenidos con los clculos anteriores, indican que el promedio de las horas extras laboradas por los trabajadores se desvan o varan con respecto a su media aritmtica en una Cantidad igual a 4.78 y 4.76 respectivamente.

La Varianza: Es otra de las variaciones absolutas y la misma se define como el cuadrado de la desviacin tpica; viene expresada con las mismas letras de la desviacin tpica pero elevadas al cuadrado, as S2 y (2. Las frmulas para calcular la varianza son las mismas utilizadas por la desviacin tpica, exceptuando las respectivas races, las cuales desaparecen al estar elevados el primer miembro al cuadrado. La varianza general de la poblacin se expresa de la forma siguiente:

La varianza general de la muestra se expresa as:

La mayor utilidad de la varianza se presenta en la estadstica Inferencial.

Propiedades de la Desviacin Tpica:

1. La desviacin tpica de una constante k es cero. Si se parte de que la media aritmtica de una constante es igual a la constante, esto es as, debido a que al ser todos los datos iguales no habr dispersin en la serie de datos con respecto a la media aritmtica, por lo tanto ((k) = 0.

2.Para distribuciones normales siempre se cumple que:

68.27 % de los datos se encuentran en el intervalo ( ( ().

95.45 % de los datos se encuentran en el intervalo ( ( 2().99.73 % de los datos se encuentran en el intervalo ( ( 3().Estos valores se cumplen con bastante aproximacin, para distribuciones que son Normales y para las que son ligeramente asimtricas

Dispersin Relativa o Coeficiente de dispersin

Las medidas de variabilidad, estudiadas hasta ahora, solo permitan medir las dispersiones absolutas de los trminos de la muestra. Las medidas, tomadas en esas condiciones, sern de utilidad, solo cuando se trata de analizar una sola muestra; pero, cuando hay que establecer comparaciones entre distintas muestras, ser necesario expresar tales medidas en valores relativos, que pueden ser proporciones o porcentajes.

Las medidas de dispersin relativas permiten comparar grupos de series distintas en cuanto a su variacin, independientemente de las unidades en que se midan las diferentes caractersticas en consideracin. Generalmente las medidas de dispersin relativas se expresan en porcentajes, facilitando as el estudio con medidas procedentes de otras series de valores La dispersin relativa viene a ser igual a la dispersin absoluta dividida entre el promedio.Existen varias medidas de dispersin relativa, pero, la ms usada es el coeficiente de variacin de Pearson, este es un ndice de variabilidad sin dimensiones, lo que permite la comparacin entre diferentes distribuciones de frecuencias, medidas en diferentes unidades. El coeficiente de variacin de Pearson se designa con las letras CV. La frmula matemtica es:

El CV pierde utilidad, cuando la es muy cercana a cero. Una serie de valores ser ms dispersa que otra respecto a su mientras que su CV sea mayor.

Ejemplo: La venta en el mercado de tres productos, vara de acuerdo al siguiente cuadro. Determine el CV de cada uno y diga cul de ellos presenta mayor variacin y cul la menor.

Producto

SUnidadesCV

1455Bs.11.11 %

245040Bs.8.87 %

34500350Bs.7.78 %

Para resolver el problema se calcula el CV de cada producto y luego s determina cul presenta mayor o menor variacin

CV = Sx100/

CV1 = 5x100/45 = 11.11 %.

CV2 = 40x100/450 = 8.87 %.

CV3 = 350x100/4500 = 7.78 %.

Se puede observar que la menor dispersin la presenta el producto 3, por lo tanto, de los 3 productos el que menos varia es ese; por otro lado el de mayor dispersin o variabilidad es el producto 1.

MEDIDAS DE POSICINLas medidas de posicin forman parte del conjunto de medidas descriptivas numricas, entre las que se encuentran los parmetros y los estadgrafos. Una medida de posicin es un nmero que se escoge como orientacin para hacer mencin a un grupo de datos, estas pueden ser de tendencia central o no, las ms importantes son: La Media Aritmtica, la Mediana, la Moda, la Varianza, la Desviacin Estndar y los Cuartiles.

Un promedio es un valor que es tpico o representativo de un conjunto de datos ya que representan un gran nmero de valores individuales por uno solo. Como tales valores tienden a distribuirse centralmente dentro de un conjunto de datos ordenados de acuerdo con su magnitud, los promedios son llamados tambin medidas de tendencia central

Parmetro: son medidas descriptivas numricas calculadas a partir del total de observaciones de la poblacin EJ: a media poblacional, la varianza, la proporcin, etc.

Estadstico: son medidas calculadas a partir de las observaciones de una muestra.

CARACTERSTICAS DE LAS MEDIDAS DE POSICIN

1. Deben ser definidas rigurosamente y no ser susceptibles de diversas interpretaciones.

2. Deben depender de todas las observaciones de la serie, de lo contrario no sera una caracterstica de la distribucin.

3. No deben tener un carcter matemtico demasiado abstracto.

4. Deben ser susceptibles de clculo algebraico, rpido y fcil.

Cuando se estudi la mediana se pudo detectar que esta divide la serie de valores en dos partes iguales, una generalizacin de esta medida da origen a unas nuevas medidas de posicin denominadas: Cuartiles; Deciles y Percentiles. Estas nuevas medidas de posicin surgen por la necesidad de requerir de otras medidas que expresen diferentes situaciones de orden, aparte de las sealadas por la mediana. Por lo tanto, es interesante ubicar otras medidas que fraccionen una serie de datos en diferentes partes. Es bueno destacar que los cuartiles, los Deciles y los Percentiles son unas variantes de la mediana: De la misma forma los percentiles abarcan tanto a los cuartiles como a los Deciles.

CLCULO DE LOS CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES PARA DATOS NO AGRUPADOSLos cuartiles.- Son medidas posicinales que dividen a un conjunto de datos o a una distribucin de frecuencia en cuatro partes iguales. Se designa por el smbolo Qa en la que a corresponde a los valores 1, 2 y 3., que viene a ser el nmero de Qa que posee una distribucin de frecuencia de clase. El Q1 divide la distribucin de frecuencia en dos partes, una corresponde a 25 % que est por debajo de Q1 y el otro 75 % por encima de Q1. El Q2 divide la distribucin de frecuencia en dos partes iguales, un 50 % que est por debajo de los valores de Q2 y otro 50 % que est por encima del valor de Q2. El Q2 es igual a la mediana.

Se hace difcil calcular estas medidas, sin embargo, siguiendo los mismos principios mencionados para la mediana, se pueden localizar en la forma siguiente:

Si tenemos una serie de valores X1, X2, X3 Xn, se localiza el primer cuartil como el valor cuando n es par y cuando n es impar.

El segundo cuartil coincide exactamente con la mediana. Para el tercer cuartil ser (n par) y (n impar)

Los Deciles: los deciles dividen a un conjunto de datos exactamente en 10 partes iguales Para calcular los deciles ser (n es par) o (n es impar) siendo A el nmero del decil.

NOTA: los valores que se obtienen de los cuartiles, percentiles y deciles son la posicin donde se encuentra el valor real de ellos mismos, por lo tanto hay que ordenar los datos primero.

Los percentiles: los percentiles dividen exactamente a un conjunto de datos en 100 partes iguales, para calcular los percentiles tenemos o , siendo Al nmero del percentil a determinar.

Ejemplo: En una serie de 11 trminos, 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 11, 12, 18, se desea localizar el primer cuartil, el sexto decil y el percentil 95.

Como n es impar por haber 11 casos, tenemos que: Por lo tanto, el valor que est en la posicin 3 es el 5

Por lo tanto, el valor que est en la posicin 7 es el 9

Por lo tanto, el 18 ocupa la posicin 11CLCULO DE LOS CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES PARA DATOS NO AGRUPADOS

Cuartiles: Para calcular los cuartiles por el mtodo numrico se procede de la siguiente manera:

1 Se localiza la posicin del cuartil solicitado aplicando la frmula de posicin: , en donde a viene a ser el nmero del cuartil solicitado, N corresponde al nmero total de datos de la distribucin y 4 corresponde al nmero de cuartiles que presenta una distribucin de frecuencia.

2 Luego se aplica la frmula para determinar un cuartil determinado, as:

En esta frmula, Qa = El cuartil solicitado, en esta a corresponde al nmero del cuartil solicitado; Li = Limite real inferior de la clase donde se encuentra ubicado el cuartil; Faa = Frecuencia acumulada anterior a la clase donde se encuentra el cuartil; fm = Frecuencia fi que posee el intervalo de clase donde se encuentra el cuartil; = Posicin que ocupa el cuartil en la distribucin de frecuencia, este resultado obtenido determinar la clase donde se encuentra ubicado el cuartil, el mismo se encontrar en la clase donde la frecuencia acumulada Fa sea igual o superior a este resultado.

Deciles: El clculo de los deciles es similar al clculo de los cuartiles, solo que en estos vara la posicin, la misma se calcula con la frmula:

, en esta a corresponde al nmero del decil que se desea calcular, N equivale al nmero de datos de la distribucin y 10 corresponde a las diez partes en la que se divide la serie de valores de la distribucin. La frmula para su clculo es: . En este caso se aplica la frmula de la misma manera que se hizo para calcular los cuartiles, solo que en esta frmula varia la posicin de ubicacin de la clase donde se encuentra ubicado el decil.Percentiles: El percentil 50 es igual a la mediana, al decil 5 y al cuartil 2, es decir: por encima y 50 % por debajo de los datos de la distribucin.

El clculo de los percentiles es similar al clculo de los cuartiles y los deciles con una variante en la posicin de ubicacin de estos, que viene expresada por la siguiente formula:

. Con esta posicin se aplica la frmula: .

Ejemplo: Dada la siguiente distribucin correspondiente al salario semanal en dlares de un grupo de obreros de una empresa petrolera trasnacional. Calcule: a) Q1, b) Compare los resultados con la mediana, D5, c) P70

SALARIO EN $FiFa

200-----2998585

300-----39990175

400-----499120295

500-----59970365

600-----69962427

700-----79936463

Totales = N 463

a) Para calcular Q1, se determina primero la posicin as:

PQ1 = 115.75. Con ese valor de la posicin encontrado se busca en las frecuencias acumuladas para ver cul de esas contiene ese valor. Observando las frecuencias acumuladas se puede detectar que la posicin 115.75 se encuentra en la clase 300------399, por lo tanto el Li = 299.5,

fm = 90, y la Faa = 85 y Ic = 100, aplicando la formula se tiene:

Este valor de Q1 indica que el 25 % de los obreros en estudio, devengan un salario semanal por debajo de 333.67 $ y el 75 % restante gana un salario por encima de 333.67 $.

b) Para calcular Q2=Md =D5 se determina primero la posicin de este as. , ahora se ubica esta posicin en las frecuencias acumulados para determinar la posicin de Q2, se puede observar en la distribucin que esta posicin de Q2 esta ubicada en la clase 400----499, entonces, Li = 399.5, fm = 120, Faa = 175 y Ic = 100, aplicando la formula se tiene:

Este resultado de Q2 establece que el 50 % de los obreros de este estudio, devengan un salario semanal por debajo de 446.58 $ y el otro 50 % devenga un sueldo por encima de 446.58 $. Calcule la mediana y comprela con este resultado.

c) Para calcular P70 lo primero que se hace es determinar la posicin, . Ahora se ubica este resultado en la columna de frecuencias acumuladas para encontrar la posicin de P70 en la distribucin de frecuencia. Como se puede observar en la tabla de distribucin de frecuencia, P70 se encuentra ubicado en la clase 500-------599, entonces, Li = 499.5, fm = 70, Faa = 295 y Ic = 100, aplicando la formula se tiene:

Esto indica que el 70 % de los obreros devengan un sueldo semanal que est por debajo de 541.07 $ y que el 30 % de los restantes obreros, ganan un salario por encima de 541.07 $.UNIDAD No. IV

CONCEPTOS DE PROBABILIDADExperimentos Aleatorios

La teora de probabilidades es muy extensa y sus aplicaciones han adquirido mucha importancia en la administracin pblica y empresarial. Las probabilidades son de gran importancia en la estadstica. Todos estamos familiarizados tambin con la importancia de los experimentos en ciencias e ingeniera. La experimentacin es til porque si suponemos que llevamos a cabo cierto experimento bajo condiciones esencialmente idnticas, llegaremos a los mismos resultados. En estas circunstancias, estamos en capacidad de controlar el valor de las variables que afectan el resultado del experimento.Sin embargo en algunos experimentos, no somos capaces de indagar o controlar el valor de determinada variable, de manera que el resultado cambiara de un experimento a otro, a pesar de que la mayora de las condiciones son las mismas. Estos experimentos se describen como aleatorios. Los siguientes son algunos ejemplos:

Ejemplo1: Si lanzamos una moneda, el resultado del experimento ser sello, simbolizado por S, o puede caer cara, simbolizado por C. Ejemplo2: Si lanzamos un dado, el resultado del experimento ser uno de los nmeros del conjunto

(1, 2, 3, 4, 5, 6(.

Para comprender mejor el estudio de las probabilidades es necesario definir una serie de trminos bsicos para su mejor comprensin.Una variable aleatoria es una funcin que asocia un nmero real a cada elemento del espacio muestral. O tambin, una Variable Aleatoria es una funcin que asigna un nmero real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio.Experimento.- Es el proceso mediante el cual se obtiene una observacin o una medicin de un fenmeno. En este hay tres cosas de importancia: Accin, Medicin y Observacin. Existen 2 tipos de experimento: Experimento Determinante y Experimento Aleatorio.

Experimento Determinante.- Es aquel experimento en el que es posible predecir el resultado final de ese proceso an sin haberlo realizado. Ej. Cuando los qumicos combinan oxigeno ms hidrgeno el resultado es agua; este experimento no es necesario realizarlo para conocer el resultado.

Experimento Aleatorio.- Es aquel que puede dar lugar a ms de un resultado, por lo que, no se puede predecir uno de ellos en una prueba en particular. Ej. Los experimentos relacionados con juegos de azar, no se pueden predecir los resultados de los ganadores del 5 y 6 en un domingo cualquiera.

Espacio Muestral.- Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio; generalmente se le designa con la letra S. Ejemplo: El espacio muestral al lanzar un dado es: S = {1, 2 3 ,4 ,5 ,6} esto es as puesto que un dado tiene 6 caras numeradas de 1 al 6 y cualquiera de estas puede salir. El espacio muestral de lanzar una moneda es: S = {c, s}, esto es as puesto que al lanzar una moneda puede salir una cara un sello.

Sucesos Eventos.- Es todo aquel resultado o grupo de resultados que pueden dar origen un experimento aleatorio. Tambin se puede decir que es un subconjunto del espacio muestral. Ejemplo. El espacio muestral de lanzar un dado est formado por varios eventos: { 1 },{ 2 }, { 3 }, { 4 },{ 5 } y {6}. Los eventos pueden ser simples compuestos.

Eventos Simples.- Son aquellos eventos cuyas caractersticas son las de estar constituidos por un solo elemento; por lo tanto no se pueden descomponer en otros elementos. Ej. Al lanzar un dado se pueden obtener 6 eventos simples que serian el 1, 2, 3, 4, 5 y 6 respectivamente.

Eventos Compuestos.- Son aquellos eventos que se pueden descomponer en una combinacin de eventos. Ej. Obtener un nmero par al lanzar un dado, el espacio muestral de este evento es:E = {2, 4, 6}, este es el evento par del lanzamiento de un dado, pero este evento se puede descomponer en 3 eventos simples a saber {2}, {4}: y (6(.

Eventos Mutuamente Excluyentes.- Son aquellos eventos que no pueden ocurrir simultneamente al realizar una sola vez un experimento. Se dice que dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si y solo si, su interseccin es el conjunto vaco, es decir A(B = . Ej. El resultado obtenido al lanzar un dado, si sale una cara con un 3, no puede salir otro nmero en este mismo lanzamiento.

Eventos Exhaustivos.- Dos eventos A y B son colectivamente exhaustivos si su unin es la totalidad del espacio muestral, es decir, A(B = S.

Eventos Imposibles.- Son aquellos sucesos que nunca ocurren. Ej. Obtener un 7 al lanzar un dado normal, esto es imposible por cuanto un dado normal tiene solamente 6 caras por lo tanto este resultado es el conjunto vaco, {}.

Eventos Seguros.- Son aquellos sucesos constituidos por todos los eventos simples del espacio muestral. Ejemplo: Al lanzar un dado, sacar cualquiera de sus caras.

Eventos complementarios.- Dos eventos A y son complementarios si y solo si, se cumple que: P(A) + P () = P(S), es decir, son eventos mutuamente excluyentes y su unin es el espacio muestral, entonces tenemos, P(A) + P() = P(S), pero P(S) = 1, entonces:

P(A) + P() = 1 P(A) = 1 - P(), donde P(), se lee probabilidad de A

Complemento.

El concepto de probabilidadEn cualquier experimento aleatorio hay siempre incertidumbre sobre si ocurrir un evento en particular. Como una medida de oportunidad, o probabilidad, con que esperamos que ocurra cierto evento, es conveniente asignar un numero entre 0 y 1. Si estamos seguros de que tal evento ocurrir, decimos que tiene 100% de probabilidad o 1, pero si estamos seguros del que tal evento no ocurrir, decimos que su probabilidad es cero.

Hay dos enfoques o procedimientos importantes mediante los cuales podemos calcular la probabilidad de un evento:Enfoque Clsico: si un evento puede ocurrir en h maneras diferentes de un nmero total de n maneras posibles, todos ellos son igualmente probables. Entonces la probabilidad del evento es h/n.Ejemplo: supongamos que queremos saber la probabilidad de que ocurra cara en el lanzamiento sencillo de una moneda. Dado que hay dos maneras igualmente probables como puede caer una moneda, a saber: cara o sello, y que de esas dos maneras puede aparecer cara de una solo forma, deducimos que la probabilidad es de 1/2. Para llegar a esto debemos suponer que la moneda es balanceada, es decir, que no est cargada de alguna manera.

Enfoque Frecuentista: Si despus de n repeticiones de un experimento, donde n es muy grande, se observa que un evento ocurre h veces, entonces la probabilidad de dicho evento es h/n. Esto tambin se denomina la probabilidad emprica de un evento.Ejemplo: si lanzamos 1000 veces una moneda y encontramos que 532 veces obtenemos caras, estimamos que la probabilidad de que ocurra cara es de 532/1000 = 0.532

Tanto el enfoque Clsico como el Frecuentista presentan serios inconvenientes. El primero porque las palabras igualmente probables son vagas y el segundo porque el nmero grande es vago. Debido a estas dificultades, los matemticos y estadsticos se han regido por el enfoque axiomtico de la probabilidad.

Axiomas de la Teora de ProbabilidadesSupongamos que tenemos un espacio muestral S. Para cada evento del espacio muestral asociamos un numero real P(A). Entonces P se denomina la funcin de probabilidad, y P(A) la probabilidad del evento A. Los axiomas de las probabilidades son los fundamentos bsicos de las reglas del clculo de las probabilidades de eventos; estas reglas tambin se conocen como propiedades de las probabilidades y son:

1.- La probabilidad de todo evento o suceso es un nmero no negativo, es decir: P(A)(0.

2.- La suma de las probabilidades de todos los sucesos posibles simples, de un experimento aleatorio es la unidad, es decir: P(A1) + P(A2) + P(A3)+.............+ P(An) = 1 = S

3.- La probabilidad de cualquier suceso vara entre 0 y 1, es decir 0 ( P(A) ( 1.

4.- La probabilidad de un evento imposible es cero, es decir:

Pasos para calcular la probabilidad de un evento1. Defina el experimento, es decir describa el proceso empleado para efectuar una observacin y el tipo de observacin que se registra.2. Enumere lo eventos simples o el espacio muestral.3. Asigne probabilidades a los eventos simples.4. Determine la coleccin de eventos simples contenida en el evento de inters, si se trata de un evento compuesto.

5. Sume las probabilidades de los eventos simples para obtener la probabilidad del evento.

Ejemplo: Un dado se lanza una vez. Encuentre la probabilidad de a) que caiga un 2, b) que caiga un nmero par, c) que caiga un nmero mayor que 4.

Respuesta: Los eventos simple que componen el lanzar un dado esta dado por su espacio muestral el cual es S = (1, 2, 3, 4, 5, 6(. Si asignamos probabilidades iguales a los puntos muestrales, es decir, si suponemos que el dado esta balanceado, entonces:P (1) = P (2) = P (3) = P (4) = P (5) = P (6) = 1/6. Ya que tenemos las probabilidades de los eventos simples resolvamos los incisos.

a)Sea A el evento que caiga un 2, por tanto la probabilidad P(A) = 1/6.

b)Sea B el evento que caiga un numero par, por lo tanto como hay 3 posibles nmero pares que son el 2, 4, 6 la probabilidad P(B) = P(2) + P(4) + P(6) =1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 =1/2.

c)Sea C el evento que caiga un nmero mayor que 4, por lo tanto como solo hay 2 nmeros mayor que 4 los cuales son el 5 y el 6, entonces la probabilidad P(C) = P(5) = P(6) = 2/6 = 1/3

Muchas veces se puede considerar que un evento es una composicin de 2 o ms eventos distintos, ya sea simple o compuestos, estos eventos los podemos formar de dos maneras:

1. La unin de dos eventos A y B es el evento que ocurre si A o B o ambos ocurren en una sola realizacin del experimento. La unin de A y B se denota por .2.La interseccin de dos eventos A y B es el evento que ocurre si tanto A como B ocurren en una sola realizacin del experimento. Este se denota por .

Regla de probabilidad para las uniones e intersecciones:

Puesto que las uniones y las intersecciones de los eventos son ellas mismas eventos, siempre podremos calcular sus probabilidades sumando las probabilidades de los eventos simples que lo componen. Sin embargo cuando se conocen la probabilidad de ciertos eventos, es ms fcil utilizar una de dos reglas o ambas para el clculo de la probabilidad.

Regla aditiva de la probabilidad: la probabilidad de la unin de los eventos A y B es la suma de las probabilidades del evento A ms la probabilidad del evento B menos la interseccin de ambos, esto es:

De manera ms general, si A1, A2, A3 son 3 eventos cualquiera, entonces

Ejemplo: retomemos el ejemplo de lanzar un dado, sabemos que su espacio muestral est dado por S = (1, 2, 3, 4, 5, 6( y adems tenemos los siguientes eventos: A = observar un nmero impar, B = observar un nmero menor que 3, calculemos la probabilidad de la unin de estos dos eventos.

Tomando la ecuacin anterior tenemos que , por lo tanto debemos encontrar cada una de sus probabilidades, esto es:

, por lo tanto