Problabilidad y Estadistica Guia 3 modulo

8/12/2019 Problabilidad y Estadistica Guia 3 modulo

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Explicacin del tema 13

Probabilidad y estadsticaTema 13. Inferencia en una poblacin

13.1 Qu es una hiptesis?

Una hiptesises un enunciado acerca del valor de un parmetropoblacional. La razn para establecer una hiptesis es que la poblacin deinters es tan grande que por diversas razones, sera prcticamenteimposible estudiar todos los elementos de la poblacin.

Ejemplos de este tipo de hiptesis o enunciados acerca de un parmetropoblacional:

El ingreso mensual medio para los ciudadanos jubilados es de$9,930 pesos.

Se sabe que el 20% de los delincuentes juveniles finalmente son

arrestados, se les sentencia y encarcela. El dimetro exterior medio de los cojines de bolas producidos

durante una jornada laboral es de 1.000 pulgadas. En general, el 90% de las formas de impuesto federal de ingresos se llenan correctamente. Las resistencias al impacto de los parabrisas que producen dos empresas industriales son

iguales.

Una alternativa para estudiar o entrevistar a la poblacin completa es tomar una muestra de lapoblacin de inters. Dada esta premisa de la estimacin estadstica, es posible entonces probar unaafirmacin o una hiptesis, a fin de determinar si la evidencia emprica de la poblacin fundamenta ono la afirmacin.

Prueba de hiptesis

Supongamos que se afirma que la comisin mensual media de los vendedores de una empresa decomputadoras es de $ 20,000 pesos. Dado que no es posible entrevistar a todos los vendedores paraestablecer que la media es en realidad $ 20,000 pesos, se debe seleccionar una muestra devendedores de computadoras, calcular estadsticas muestrales y, con base en determinadas reglasde decisin, aceptar o rechazar la afirmacin o hiptesis.

La prueba de hiptesises un procedimiento basado en la evidencia muestral y en la teora deprobabilidad que se emplea para determinar si la hiptesis es un enunciado es razonable y no deberechazarse o si es irrazonable y debe ser rechazada.

13.2 Procedimiento de pruebas

Existe un procedimiento de cinco pasos que sistematiza la prueba de hiptesis; al llegar al quintopaso se est en la capacidad de tomar la decisin, rechazar o no una hiptesis:


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Paso 1: La hiptesis nula y la hiptesis alternativa

El primer paso es plantear la hiptesis que se probar, denominada hiptesis nula o .

En trminos generales, la hiptesis nula se plantea con el objetivo de aceptarla o rechazarla. En

otras palabras, es una afirmacin que se aceptar si los datos muestrales no pueden proporcionarevidencia convincente de que la afirmacin es falsa.

Es necesario subrayar que si la hiptesis nula se acepta con base en datos muestrales, en realidadseala que la evidencia no permite rechazarla; sin embargo, no es posible afirmar que lahiptesis nula es verdadera.

Para la pregunta, es la resistencia media al impacto de la placa de vidrio que se fabrica en la lneade produccin B de 70 psi (libra por pulgada cuadrada)?, la hiptesis nula sera: la resistencia alimpacto del vidrio no es significativamente diferente de 70 psi.

Matemticamente:


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La hiptesis alternativa describe lo que se considerar si se rechaza la hiptesis nula. A menudo sedenomina tambin como hiptesis de investigacin. Para la pregunta, es la resistencia media alimpacto de la placa de vidrio que se fabrica en la lnea de produccin B de 70 psi (libra por pulgadacuadrada)?, la hiptesis alternativa sera: la resistencia al impacto del vidrio es diferente de 70 psi.

Matemticamente:

Paso 2: Nivel de significacin.

Despus de plantear la hiptesis nula y la hiptesis alternativa, el siguiente paso es definir el nivel designificacin, o bien la probabilidad de rechazar la hiptesis nula cuando en realidad es verdadera.

No hay un nivel de significacin que se aplique a todos los estudios que implican muestreo. Debetomarse una decisin de usar el nivel 0.05 (que a menudo se enuncia como nivel de 5%), el 0.01, el0.10 o cualquier nivel entre 0 y 1.

Al realizar una prueba de hiptesis, adems del riesgo de rechazar la hiptesis cuando en realidad

debe aceptarse, corremos riesgos de aceptar una hiptesis cuando en realidad debe rechazarse.

Error Tipo I ( ):La probabilidad de rechazar la hiptesis nula cuando en realidad es verdadera.

Error Tipo II ( ):La probabilidad de aceptar la hiptesis nula cuando en realidad es falsa.

Ejemplo:

A fin de ilustrar cmo es posible rechazar una hiptesis verdadera, supongamos que una compaamanufactura computadoras personales y utiliza un gran nmero de tableros con circuitos impresos.Los proveedores ofrecen precios de diversos tableros, y al que presente la oferta ms baja se le

otorga un contrato. En el contrato se especifica que el departamento de calidad muestrear todos losenvos, y si ms del 6% tiene defectos, se rechazar el envo.

Una muestra de 50 circuitos revel que 4 tableros (u 8%) tenan defectos. El embarque se rechazporque exceda el mximo de 6% de tableros defectuosos. Si la remesa era en realidad defectuosafue correcta la decisin de devolver los productos al proveedor. Sin embargo, supongamos que los 4tableros defectuosos que se seleccionaron en la muestra de 50 eran los nicos tableros defectuososen el envo de 4,000 tableros. En este caso, slo el 0.1% eran defectuosos (menos del 6%) y fue unerror rechazar la remesa. Es decir, el fabricante de computadoras cometi un error tipo I.


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En la siguiente tabla se resumen las decisiones y sus consecuencias:

Hiptesis nula Acepta Rechaza

Si es verdadera Decisin correcta Error tipo I

Si es falsa Error tipo II Decisin correcta

Paso 3: El estadstico de prueba.

Un estadstico de pruebaes un valor determinado a partir de la informacin muestral que se utilizapara aceptar o rechazar la hiptesis nula.

Existen muchos estadsticos de prueba, entre los que se encuentran los estadsticos z(normal

estndar), (t-student) y (Chi-cuadrada).

Paso 4: La regla de decisin.

Una regla de decisin simplemente es una afirmacin de las condiciones bajo las que se acepta orechaza la hiptesis nula. Para lograr esto, la distribucin muestral se divide en dos partesdenominadas regin de aceptacin y regin de rechazo.

El rea de rechazo define la ubicacin de todos los valores posibles que son demasiado grandes odemasiado pequeos, por lo que la probabilidad de que ocurran segn una hiptesis nula verdaderaes muy remota.

Fig. 13.1: Regiones de aceptacin y de rechazo para un estadstico z con un nivel de significacin del5%.

De la figura 13.1, observamos que:

El rea o regin de aceptacin est el rea a la izquierda de 1.645. El rea o regin de rechazo est a la derecha de 1.645.

De acuerdo a la tabla normal estndar para un nivel de significacin de 0.05, buscamos aquel valorde z cuyo punto es 0.4500 (0.5 + 0.45 = 0.95):

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06


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1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406

1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4485 0.4495 0.4505 0.4515

1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608

1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686

1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750

Dado que el valor 0.4500 est entre 1.64 y 1.65, se utiliza un valor de Z de 1.645.

Se aplica una prueba de una cola (esto se explicar ms adelante). Se eligi un nivel de significacin de 0.95. La distribucin muestral pertenece al estadstico (normal estndar). El valor 1.645 separa las regiones de aceptacin y rechazo. El valor 1.645 se denomina valor crtico.

Paso 5: Toma de decisin

El quinto y ltimo paso en la prueba de hiptesis es decidir si se acepta o rechaza la hiptesis nula.Respecto al diagrama 13.1, si con base en la informacin muestral se calcula que z es de 2.34 atravs del estadstico de prueba, la hiptesis nula se rechaza en el nivel de significacin de 5%, puesel 2.34 se encuentra a la derecha de 1.645; es decir, se encuentra en la regin de rechazo. Loanterior significa que la hiptesis nula se rechaza debido a que es muy improbable que un valor de ztan grande se deba al azar; esto es, a una variacin muestral.

Si el valor calculado de z hubiera sido 1.645 o menor-por ejemplo, 0.71-, la hiptesis nula seraaceptada. Se razonara que un valor calculado de z tan pequeo podra ser atribuido al azar; esto es,a una variacin en el muestreo.

13.3 Pruebas de significacin de una y dos colas

En el diagrama 13.1 se aplica una prueba de una cola o extremo; es decir, la regin de rechazo esten una de las extremidades de la curva. Una forma de determinar la ubicacin de rechazo esobservar la direccin en que apunta el signo de desigualdad en la hiptesis alternativa (ya sea < obien >).

Ejemplo: Las empresas desean que el rendimiento de un neumtico sea de 40,000 kilmetros encondiciones normales de uso, por lo que se rechaza un envo si en una prueba acelerada deduracin revela que la vida de los neumticos est significativamente por debajo de 40,000kilmetros.

En este caso, la hiptesis nula y alternativa sera:

Matemticamente:

En este caso, dado que el signo


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hiptesis para un nivel de significacin de 5% mostrara la regin de rechazo y aceptacin deacuerdo al diagrama 13.2.

Fig. 13.2: Regiones de aceptacin y de rechazo para un estadstico z con un nivel de significacin del5% (prueba de una cola inferior).

Ejemplo:Un productor de cajas de cereales afirma que, en promedio, las cajas pesan 453 gramos.Hay preocupacin de que las cajas de cereal se empaqueten con un peso superior a 453 gramos.


Matemticamente, se expresa de la siguiente manera:

En este caso, dado que el signo >apunta a la regin de rechazo en la cola superior, la prueba dehiptesis para un nivel de significacin de 5%, mostrara la regin de rechazo y aceptacin de

acuerdo al diagrama 13.3.


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Fig. 13.3: Regiones de aceptacin y de rechazo para un estadstico z con un nivel de significacin del5% (prueba de una cola superior).

Pruebas de dos colas

Si en la hiptesis alternativa no se especifica una direccin, se aplica una prueba de dos colas oextremidades. Veamos un ejemplo:

En una consultora se especula que existe una diferencia entre el ingreso medio de hombres ymujeres. El gerente est preocupado y afirma que no existe tal diferencia entres los ingresos medios.


Matemticamente:

En este caso, dado que no existe una direccin del signo , la prueba de hiptesis para unnivel de significacin de 5%, mostrara la regin de rechazo y aceptacin de acuerdo al diagrama13.4.


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Fig. 13.4: Regiones de aceptacin y de rechazo para un estadstico z con un nivel de significacin del5% (prueba de dos colas).

13.4 Prueba de hiptesis para la media de una poblacin: muestras grandes

La contestacin a estas preguntas expresa una media de poblacin:

Es el ingreso medio de ejecutivos de alto nivel de $325,000 pesos? La longitud media de las barras cortadas es de 2.000 pulgadas? La edad media de los internos en reclusorios es menor de 40 aos? La cantidad media que deben quienes son subscritores de tarjeta de crdito es mayor a $

10,000 pesos? La tasa media de eficiencia de los empleados de produccin es igual a 200?

Para realizar una prueba de hiptesis para la media de una poblacin, se utiliza el estadstico zcuando el tamao de la muestra es grande (mayores a 30). La frmula es:


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2.0 0.4773 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817

2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.485 0.4854 0.4857

2.2 0.4861 0.4865 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890

2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916

2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936

2.5 0.4938 0.494 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952

2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.496 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964

Dado que el valor 0.4950 est entre 2.57 y 2.58, se utiliza un valor de Z de 2.575. Grficamente:

Fig. 13.5: Regiones de aceptacin y de rechazo para un estadstico z con un nivel de significacin del1% (prueba de dos colas).

Por consiguiente, la regla de decisin es: rechazar la hiptesis nula y aceptar la hiptesis alternativasi el valor calculado de zno queda entre la regin -2.575 y + 2.575. En caso contrario, no se rechazala hiptesis nula.

Paso 5: Tomar la muestra y llegar a una decisin.

Se analizaron las calificaciones de eficiencia de 100 empleados de produccin y se calcul que lamedia de la muestra es de 203.5. Ahora calculamos el estadstico zpara evaluar la hiptesis nula. Deacuerdo a la frmula, tenemos:

Donde:

= 16


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= 100

Sustituyendo en la frmula, tenemos:

Dado que 2.19 queda en la regin de aceptacin, la hiptesis nula que indica que la mediapoblacional no es diferente de 200, se acepta con un nivel del 0.01 o 1%. La diferencia entre 203.5 y200 puede atribuirse a una variacin aleatoria.

Observacin 1: Si en lugar de seleccionar el nivel de aceptacin del 0.01 hubiramos seleccionadoel nivel de 0.05 -en donde los valores crticos para el nivel de 0.95 de acuerdo a la tabla zde lanormal estndar es de 1.96 (0.95 entre 2 es 0.4750)-, entonces la hiptesis nula debi rechazarsecon un nivel del 0.05 o 5%

Fig. 13.6: Regiones de aceptacin y de rechazo para un estadstico zcon un nivel de significacin del5% (prueba de dos colas).

Observacin 2:Supongamos que la preocupacin de los investigadores es que la tasa de eficiencia

sea mayor a 200. En este caso, con un nivel de significacin de 0.01 o 1%, el valor crtico para elnivel de 0.99 de acuerdo a la tabla normal estndar es de 2.33 (0.990.5, debido a la simetra,buscamos en las tablas de z el valor de 0.4900).


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Fig. 13.7: Regiones de aceptacin y de rechazo para un estadstico zcon un nivel de significacin del1% (prueba de una cola).

En el problema anterior, la desviacin estndar poblacional es conocida. Sin embargo, en la mayora

de los problemas es poco probable que se conozca la desviacin estndar de la poblacin. En estecaso, podemos utilizar la desviacin estndar de la muestra, como se ilustra en el siguiente caso.

Ejemplo:

Una cadena de tiendas de autoservicio, expide su propia tarjeta de crdito. El gerente deinvestigacin desea evaluar si el saldo insoluto medio mensual es mayor de $400 pesos. El nivel designificacin se fija en 0.05. Una revisin aleatoria de 172 saldos insolutos revel que la mediamuestral es de $407 pesos con una desviacin estndar de la muestra de $38. Debera concluir elfuncionario que la media poblacional es mayor que $400 pesos, o es razonable que la diferencia de$7 entre la media muestral y poblacional se deba al azar?

Paso 1: Plantear la hiptesis nula y alternativa

Matemticamente:

Paso 2: Seleccionar el nivel de significacin.

Se utilizar un nivel de significacin de 0.05, que es , la probabilidad de cometer un error tipo I. Esdecir, la probabilidad de rechazar una hiptesis verdadera.

Paso 3: Identificar el estadstico de prueba

El estadstico adecuado es z, pues se est analizando la hiptesis sobre una media poblacionalcuando el tamao de la muestra es grande (mayores a 30). La transformacin de los datos aunidades estndares (valoresz) permite que se usen en un gran nmero de problemas diferentes.

Paso 4: Formular la regin de decisin.


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La regla de decisin se formula hallando el valor crtico de za partir la tabla de z. Puesto que es unaprueba de una cola, se busca la porcin de la cola derecha que determina la mitad del nivel designificacin, en este caso la mitad de 0.4500.

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.44061.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4485 0.4495 0.4505 0.4515

1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608

1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686

1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750


Fig. 13.8: Regiones de aceptacin y de rechazo para un estadstico z con un nivel de significacin del5% (prueba de una cola superior).

Por consiguiente, la regla de decisin es: rechazar la hiptesis nula y aceptar la hiptesis alternativasi el valor calculado de zqueda ms all del valor crtico: 1.645. En caso contrario, no se rechaza lahiptesis nula.


De acuerdo a la frmula, tenemos:

Donde:



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Dado que 2.42 queda en la regin de rechazo, la hiptesis nula que indica que la media poblacional

es de $400 pesos, se rechaza con un nivel del 0.05 o 5%. Un valor as de grande ocurrir menos de5% de las veces. El gerente de investigacin rechazara la hiptesis nula de que el saldo insolutomedio es de $400 pesos a favor de la hiptesis alternativa, que plantea que la media es mayor a$400 pesos

13.5 Prueba de hiptesis para la media de una poblacin: muestras pequeas

La distribucin t-studentfue desarrollada por William S. Gossett, un maestro cervecero de lacervecera Guinness en Irlanda, quien la public en 1908 bajo el seudnimo de Student. A Gossett leinteresaba el comportamiento de:

Cuando sdeba utilizarse como estimador de . En particular le preocupaba la discrepancia

entre sy cuando se calculaba sa partir de una muestra muy pequea. La distribucin t-studenttiene las siguientes caractersticas:

1. Como la distribucin normal, es una distribucin continua.2. Como la distribucin normal, tiene forma de campana y simtrica.3. No hay una distribucin t, sino una familia de distribuciones t. Todas tiene la misma media

igual a cero, pero sus desviaciones estndar difieren de acuerdo al tamao de la muestra n.4. La distribucin t es ms extendida y menos aguda en el centro que la distribucin normal.

(Ver grfica 13.9)


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13.9 Comparacin entre la distribucin ty la distribucin z

Dado que la distribucin t es ms extendida que la distribucin z, los valores crticos de tpara unnivel de significacin dado son mayores en magnitud que los valores crticos correspondientes de z.Como auxiliar para determinar valores de t para diferentes tamaos de muestra de n, se han formadotablas similares a la siguiente:

Valores crticos de t

Grados delibertad(n 1)

Niveles de significacin para prueba de una cola

0.10 0.5 0.025 0.01 0.005 0.0005

Niveles de significacin para prueba dos colas

0.20 0.10 0.05 0.02 0.01 0.001

21 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.819

22 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.792

23 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.767

24 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.745

25 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.725

26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.707

27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.690

28 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.674

Ejemplo:

Un estudio en una aseguradora revela que, en promedio, cuesta $ 600 pesos la realizacin de todoslos trmites necesarios en un accidente automovilstico. Este costo se consider exorbitante encomparacin con el de otras compaas aseguradoras y se instauraron medidas para abatir loscostos. A fin de evaluar el impacto de estas nuevas medidas, se seleccion aleatoriamente unamuestra de 26 demandas recientes y se realiz un estudio de costos. Se encontr que la mediamuestral y la desviacin estndar de la muestra fueron $ 570 y $ 100, respectivamente. En el nivel0.01 o 1% de significacin, hay una reduccin en el costo promedio o la diferencia entre 570 y 600puede atribuirse al azar?

Paso 1: Plantear la hiptesis nula y alternativa.


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Matemticamente:

La prueba es de una cola, ya que slo interesa si hay una reduccin en el costo. Esta desigualdad enla hiptesis alternativa seala la regin de rechazo en la cola o extremidad izquierda de ladistribucin.



Paso 3: Identificar el estadstico de prueba.

El estadstico adecuado es t, pues se est analizando la hiptesis sobre una media poblacionalcuando el tamao de la muestra es pequeo (menores a 30).


La regla de decisin se formula hallando el valor crtico de ta partir la tabla de t. Puesto que es una

prueba de una cola, se busca la porcin de la cola izquierda en la tabla de tpara un grado de libertadde 25 (261):

Valores crticos de t

Grados delibertad(n 1)

Niveles de significacin para prueba de una cola

0.10 0.5 0.025 0.01 0.005 0.0005

Niveles de significacin para prueba de dos colas

0.20 0.10 0.05 0.02 0.01 0.001

21 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.819

22 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.792

23 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.767

24 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.745

25 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.725

26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.707

27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.690

28 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.674

Con 25 grados de libertad y un nivel de significacin del 0.01 para prueba de una cola, se utiliza unvalor de tde 2.485. Grficamente.


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Fig. 13.10 Regiones de aceptacin y de rechazo para un estadstico tcon un nivel de significacindel 1% (prueba de una cola inferior)

Por consiguiente, la regla de decisin es: rechazar la hiptesis nula y aceptar la hiptesis alternativasi el valor calculado de tqueda abajo del valor crtico: -2.486. En caso contrario, no se rechaza lahiptesis nula.



Donde:


Dado que -1.53 queda en la regin de aceptacin, la hiptesis nula que indica que la mediapoblacional del costo de trmites es de $600 pesos, se acepta con un nivel del 0.01 o 1%. Esto indicaque no hay una reduccin del costo promedio en los trmites relacionados con un accidenteautomovilstico.

13.6 Prueba de hiptesis sobre una proporcin


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Una proporcines la fraccin, porcin relativa o porcentaje que expresa la parte de la poblacin omuestra que tiene un atributo particular de inters. En el caso de las pruebas de hiptesis de laproporcin, la frmula a utilizar para el estadstico z es la siguiente:

El estadstico zpara proporciones poblacionales es adecuado cuando tanto npcomo (1 - p) sonmayores a 5.

Ejemplo:

Elecciones anteriores en un estado federal indican que es necesario que un candidato a gobernadorlogre al menos 80% de los votos en la seccin norte del estado para que resulte elegido. Uncandidato a gobernador est interesado en evaluar qu oportunidad tiene de lograr la victoria, yplanea la realizacin de una encuesta con 2000 electores registrados en dicha seccin del norte delestado.

Del resultado de la encuesta, se obtuvo: de los 2000 votantes potenciales en el rea del norte del

estado, 1550 tienen planes de votar por dicho candidato a gobernador. La proporcin de 0.775(1550 entre 2000) es lo suficientemente cercana a la proporcin necesaria de 0.80 para afirmar queel candidato ser elegido?


Matemticamente:


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El estadstico adecuado es z, pues se est analizando la hiptesis sobre una proporcin poblacional

cuando tanto como son mayores a 5:


La regla de decisin se formula hallando el valor crtico de za partir la tabla de z. Puesto que es unaprueba de una cola, se busca la porcin de la cola izquierda que determina la mitad del nivel designificacin, en este caso la mitad de 0.4500.

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.44061.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4485 0.4495 0.4505 0.4515

1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608

1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686

1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750


Fig. 13.11: Regiones de aceptacin y de rechazo para un estadstico z con un nivel de significacin


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del 5% (prueba de una cola inferior).

Por consiguiente, la regla de decisin es: rechazar la hiptesis nula y aceptar la hiptesis alternativasi el valor calculado de zqueda ms all del valor crtico: 1.645. En caso contrario, no se rechaza lahiptesis nula.



Donde:


Dado que -2.80 queda en la regin de rechazo, se rechaza la hiptesis nula con un nivel del 0.05

5%. La diferencia de 2.5 porcentuales entre el porcentaje muestral (77.5%) y el porcentajepoblacional necesaria para ganar la eleccin del estado (80%), es estadsticamente significativa.

Glosario

Valor crtico: nmero que es el punto divisorio entre la regin de aceptacin y la regin de rechazo.


Probabilidad y estadsticaTema 14. Inferencia en dos poblaciones

14.1 Introduccin

En algunas ocasiones, es importante realizar pruebas de comparacinentre dos poblaciones o proporciones y determinar si son iguales o no.

Ejemplo: Una compaa manufactura computadoras personales y utilizaun gran nmero de tableros con circuitos impresos. Los proveedoresofrecen precios de diversos tableros, y al que presente la oferta ms bajase le otorga un contrato. Dos de los proveedores afirman que susproductos son similares en calidad, y se desea determinar si estasituacin es correcta.

En este tipo de casos, en donde se desea conocer si dos poblaciones tienen algunacaracterstica en particular, se puede hacer uso de las pruebas de hiptesis de dos

poblaciones o de dos proporciones, segn sea el caso.


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14.2 Prueba de confianza entre dos medias poblacionales

Como se observ con anterioridad, para muestras grandes (n > 30) puede utilizarse elestadstico z para la prueba de hiptesis de medias muestrales. En el caso de las pruebas de

hiptesis entre dos medias poblacionales, tambin se utiliza el estadstico z siempre y cuandotanto como sean mayores a 30. La teora que subyace en este planteamiento se exponebrevemente:

Si un nmero grande de muestras aleatorias independientes se selecciona de dospoblaciones, la distribucin de diferencias entres las dos medias dividida entre el errorestndar de la diferencia entre las dos medias (el valor crtico) se aproxima a una distribucinnormal.

Matemticamente se expresa:

Ejemplo:

Las especificaciones para los bloques de concreto utilizados en cimientos de los edificiosindican que la media aritmtica mnima de la resistencia a la compresin de una muestra debloques debe ser de 1000 psi (libras por pulgada cuadrada). Una muestra de dos compaas,cuyas muestras de bloques indican una resistencia a la compresin superior a la mnima.

Si se aplica una prueba estadstica a los resultados muestrales y se determina que ambasmuestras pueden venir de poblaciones iguales o idnticas, el contrato para los bloques se

dividir por igual. Si las estadsticas muestrales indican que comprende dos poblaciones, alfabricante que enve los bloques con resistencia a la compresin ms alta se le adjudicar elcontrato.


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Matemticamente:

Como la hiptesis alternativa no especifica direccin (como el que la resistencia media a lacompresin de los bloques de Stanblock Company es mayor que la media de los bloques deHicompress Company), se usar una prueba de dos colas.


Se utilizar un nivel de significacin de 0.01, que es , la probabilidad de cometer un errortipo I. Es decir, la probabilidad de rechazar una hiptesis verdadera.


El estadstico adecuado es z, pues se est analizando la hiptesis sobre una mediapoblacional cuando el tamao de la muestra es grande (mayores a 30). En ambos casos, lamuestra es bloques para cada compaa es mayor a 30.


La regla de decisin se formula hallando el valor crtico de z a partir la tabla de z. Puesto quees una prueba de dos colas, se busca la porcin de cada cola que determina la mitad del nivelde significacin: en este caso la mitad de 0.01 es 0.005. Por consiguiente, el rea deaceptacin es de 0.99. De la tabla de z, buscamos el valor de z cuyo punto es 0.4950 (0.99dividido entre 2, dada la simetra de la curva normal)

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

2.0 0.4773 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817

2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.485 0.4854 0.4857

2.2 0.4861 0.4865 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890

2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916

2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936

2.5 0.4938 0.494 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952

2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.496 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964



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Ejemplo:

Un fabricante de perfumes ha desarrollado un nuevo producto llamado Stay-Away. Variaspruebas de comparacin indican que el perfume tiene un buen potencial de mercado. Sinembargo, los departamentos de mercadotecnia y publicidad quieren planear su estrategia demanera que el producto llegue e impresione al sector ms grande posible del pblico

comprador.

Una de las preguntas es si el perfume es preferido por una proporcin mayor de mujeresjvenes o maduras.

Se seleccionaron damas aleatoriamente y se les pidi que olieran varios perfumes ensucesin, incluyendo el que suelen usar y, por supuesto, Stay-Away. La persona que realiza laprueba es la nica que conoce los nombres de los perfumes.

Un total de 100 mujeres jvenes se seleccionaron aleatoriamente, veinte de las cualeseligieron Stay-Away como el perfume que ms les agrad. Tambin se seleccionarondoscientas damas maduras y a cada una se le aplic la misma prueba estndar. 100 de las 200

prefirieron Stay-Away.


Matemticamente:

Como la hiptesis alternativa no especifica direccin (como el que la proporcin de mujeresjvenes que prefieren Stay-Away es mayor a la proporcin de mujeres maduras que loprefieren), se usar una prueba de dos colas.


Se utilizar un nivel de significacin de 0.05, que es , la probabilidad de cometer un errortipo I. Es decir, la probabilidad de rechazar una hiptesis verdadera.

Paso 3: Identificar el estadstico de prueba


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El estadstico adecuado es z, pues se est analizando la hiptesis sobre proporciones

poblacionales cuando tanto como son mayores a 5:


La regla de decisin se formula hallando el valor crtico de z a partir la tabla de z. Puesto quees una prueba de dos colas, se busca la porcin de cada cola que determina la mitad del nivelde significacin: en este caso la mitad de 0.05 es 0.025. Por consiguiente, el rea deaceptacin es de 0.99. De la tabla de z, buscamos el valor de z cuyo punto es 0.4750 (0.95dividido entre 2, dada la simetra de la curva normal)

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406

1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4485 0.4495 0.4505 0.4515

1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608

1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686

1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750

De la tabla, se utiliza un valor de Z de -1.96 para la cola izquierda, y de 1.96 para la coladerecha de la grfica. Grficamente:

Fig. 14.2 Regiones de aceptacin y de rechazo para un estadstico z con un nivel designificacin del 5% (prueba de dos colas)

Por consiguiente, la regla de decisin es: rechazar la hiptesis nula y aceptar la hiptesisalternativa si el valor calculado de z no queda entre la regin -1.96 y + 1.96. En caso contrario,no se rechaza la hiptesis nula.


De acuerdo a la informacin proporcionada, obtenemos primero la proporcin ponderada delas proporciones muestrales, con la siguiente frmula:


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Donde:


Ahora calculamos el estadstico z para evaluar la hiptesis nula. De acuerdo a la frmula,tenemos:

Donde:


Dado que -5.00 queda en la regin de rechazo, la hiptesis nula que indica que la proporcinde mujeres jvenes que prefieren Stay-Away es igual a la proporcin de mujeres maduras quelo prefieren, se rechaza con un nivel del 0.05 o 5%. La diferencia entre las proporciones no sedebe al azar.


Probabilidad y estadsticaTema 15. Anlisis de datos discretos


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15.1 Distribucin Chi-cuadrada

La distribucin de probabilidad Chi-Cuadrada, tambin llamada Ji-Cuadrado o Chi-Cuadrata de

Pearson, es una distribucin de varianzas muestrales ; es decir que si se extraen todas lasmuestras posibles de una poblacin normal y a cada muestra se le calcula su varianza, seobtendr la distribucin muestral de varianzas.

Matemticamente:

Las caractersticas de la distribucin Chi-Cuadrada son:

El valor calculado es siempre positivo. Existe una familia de distribuciones ji cuadrada, cada una con un grado de libertad (ver

grfica 15.1): en consecuencia, existe un nmero infinito de distribuciones. Las distribuciones no son simtricas; es decir, tienen colas estrechas que se

extienden a la derecha. Esto significa que presenta un sesgo positivo. El rea bajo la curva y sobre el eje horizontal es igual a 1. Al aumentar los grados de libertad, la distribucin se aproxima a la curva normal.


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Fig. 15.1: Distribuciones Chi-Cuadrada para distintos grados de libertad.

Dada la gran cantidad de curvas Chi-Cuadrada existentes, se ha desarrollado una tabla de losvalores crticos considerando distintos grados de libertad.

Gradosde

Libertad(g.l.)

rea de la cola derecha de la curva

0.1 0.05 0.025 0.01 0.005

1 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88

2 4.61 5.99 7.38 9.21 10.60

3 6.25 7.81 9.35 11.34 12.84

4 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86

5 9.24 11.07 12.83 15.09 16.75

6 10.64 12.59 14.45 16.81 18.55

7 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28

8 13.36 15.51 17.53 20.09 21.95

9 14.68 16.92 19.02 21.67 23.59

10 15.99 18.31 20.48 23.21 25.19

11 17.28 19.68 21.92 24.73 26.76

12 18.55 21.03 23.34 26.22 28.30

13 19.81 22.36 24.74 27.69 29.82

14 21.06 23.68 26.12 29.14 31.32

15 22.31 25.00 27.49 30.58 32.80

16 23.54 26.30 28.85 32.00 34.27

17 24.77 27.59 30.19 33.41 35.72

18 25.99 28.87 31.53 34.81 37.16

19 27.20 30.14 32.85 36.19 38.58

20 28.41 31.41 34.17 37.57 40.00

21 29.62 32.67 35.48 38.93 41.40


30/38

22 30.81 33.92 36.78 40.29 42.80

23 32.01 35.17 38.08 41.64 44.18

24 33.20 36.42 39.36 42.98 45.56

25 34.38 37.65 40.65 44.31 46.93

26 35.56 38.89 41.92 45.64 48.29

27 36.74 40.11 43.19 46.96 49.65

28 37.92 41.34 44.46 48.28 50.99

29 39.09 42.56 45.72 49.59 52.34

30 40.26 43.77 46.98 50.89 53.67

40 51.81 55.76 59.34 63.69 66.77

50 63.17 67.50 71.42 76.15 79.49

60 74.40 79.08 83.30 88.38 91.95

70 85.53 90.53 95.02 100.43 104.21

80 96.58 101.88 106.63 112.33 116.32

90 107.57 113.15 118.14 124.12 128.30

100 118.50 124.34 129.56 135.81 140.17

La distribucin Chi-Cuadrada es considerada como una prueba no paramtrica: es utilizadapara estimar la diferencia entre una distribucin observada y una distribucin terica,indicando en qu grado las diferencias entre ambas distribuciones se deben al azar, a travsde una prueba de hiptesis. A esta prueba no paramtrica se le conoce como Prueba deBondad de Ajuste.

15.2 Pruebas de bondad de ajuste: Frecuencias esperadas iguales

Entre las pruebas de bondad de ajuste, la Chi-Cuadrada es una de las pruebas noparamtricas ms utilizadas. Ideada por Karl Pearson a principios de 1900, es apropiada paralos niveles de datos tanto nominal como ordinal, aunque tambin puede utilizarse para nivelesde datos nominal y de razn.

El estadstico utilizado para realizar la prueba de bondad de ajuste es:


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Como indica la definicin de la prueba de bondad de ajuste Chi-Cuadrada, el objetivo de laprueba es determinar cun bien se ajusta un conjunto observado de datos a un conjuntoesperado. La primera prueba a analizar es cuando las frecuencias esperadas son iguales.

Ejemplo:

Supongamos que existen algunas dudas respecto al funcionamiento correcto de una de las

mquinas tragamonedas de un casino en Las Vegas: existe la sospecha de que est alteradoel mecanismo de una de las ventanillas de la mquina. Como experimento, se acciona 120veces la palanca de la mquina y se registran los resultados, que se enlistan en la siguientetabla:

Dibujo en la ventanilla izquierda Nmero de veces que aparece el dibujo (fo)

Pltano 13

Cereza 33

Naranja 14

Durazno 7

Limn 36

Pera 17

Para resolver la duda, utilizaremos el procedimiento de pruebas utilizado para las pruebas dehiptesis de datos de nivel intervalo.


Matemticamente:

Si la hiptesis nula se rechaza y es aceptada, ello significar que el mecanismo hasido alterado para permitir que uno o varios dibujos aparezcan en la ventanilla con msfrecuencia que otros.



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Se utilizar un nivel de significacin de 0.05, que es , la probabilidad de cometer un errortipo I. Es decir, la probabilidad de rechazar una hiptesis nula verdadera.


El estadstico adecuado es el estadstico Chi-Cuadrado, pues se est analizando la diferenciaque existe entre una frecuencia observada y una frecuencia esperada.


La regla de decisin requiere identificar un valor crtico en la curva Chi-Cuadrada que separela regin de rechazo de la regin de aceptacin. En una prueba de Chi-Cuadrada, para obtenerel valor correcto debemos considerar los grados de libertad de la prueba definidos como k-1,donde k es representa al nmero de categoras. En nuestro caso, los grados de libertad son 5,pues existen 6 categoras.

Obtenemos el valor crtico de Chi-Cuadrada con 5 grados de libertad y con un nivel de

significancia de 0.05 ( ). Lo conseguimos de la tabla:

Gradosde

Libertad(g.l.)

rea de la cola derecha de la curva

0.1 0.05 0.025 0.01 0.005

1 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88

2 4.61 5.99 7.38 9.21 10.60

3 6.25 7.81 9.35 11.34 12.84

4 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86

5 9.24 11.07 12.83 15.09 16.75

De la tabla, se utiliza un valor crtico de Chi-Cuadrada de 11.07. Grficamente:

Fig. 15.2: Regiones de aceptacin y de rechazo para un estadstico .

Observacin: La regin de aceptacin est a la izquierda del valor crtico. Por consiguiente, laregla de decisin es: aceptar la hiptesis nula y rechazar la hiptesis alternativa si el valor


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calculado del estadstico Chi-Cuadrada es menor o igual a 11.07. En caso contrario, serechaza la hiptesis nula.


Con la muestra seleccionada, se calcula el valor de Chi-Cuadrada a travs de las frecuenciasobservadas y las frecuencias esperadas. Para calcular las frecuencias esperadas,consideremos que la mquina est preparada para que cada dibujo tenga la mismaprobabilidad de aparecer en la ventanilla. En teora, si cada dibujo tiene la misma oportunidady el experimento se hace 12 veces, puede esperarse que aparezca 2 veces cada figura.Considerando nuestro ejemplo al accionar 120 veces la palanca, se espera que aparezca 20veces cada figura:

Dibujo en la ventanillaizquierda

Frecuencias observadas Frecuencias esperadas

Pltano 13 20

Cereza 33 20

Naranja 14 20

Durazno 7 20

Limn 36 20

Pera 17 20

De acuerdo a la informacin proporcionada, obtenemos el valor de Chi-Cuadrada con lafrmula:

Donde:

Sustituyendo en la frmula, obtenemos:

Dado que 34.40 queda en la regin de rechazo, la hiptesis nula que indica no existediferencia entre el nmero de frecuencias observadas y el nmero de frecuencias esperadas:se rechaza con un nivel del 0.05 o 5%. Esto indica que la mquina tragamonedas en estudio spresenta una alteracin en la ventanilla izquierda.

15.3 Pruebas de bondad de ajuste: Frecuencias esperadas desiguales


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Las frecuencias esperadas en el ejemplo de la mquina tragamonedas fueron todas iguales;es decir, de 120 ensayos, en teora se espera que cada tipo de figura aparezca 20 veces en laventanilla izquierda de la mquina tragamonedas. La Chi-Cuadrada tambin puede utilizarsecuando las frecuencias esperadas son desiguales.

Ejemplo:

Un estudio de admisiones a hospitales, durante un periodo de dos aos, revel estadsticasrespecto a adultos mayores residentes en centros de asistencia que fueron hospitalizadosdurante el periodo, de acuerdo a la siguiente tabla:

Nmero de ingresos en un periodo de dosaos

Porcentajedel total

1 40

2 20

3 14

4 10

5 8

6 6

7 2

Total 100%

La administradora de un hospital local desea comparar su existencia con la experiencianacional. Se seleccionaron 400 adultos mayores en centros de asistencia locales quenecesitaron hospitalizacin y se determin el nmero de veces que cada uno fue admitido ensu hospital. Las frecuencias observadas se muestran en la siguiente tabla:

Nmero de ingresos en un periodo de dosaos

Nmero depersonas

1 165

2 793 50


35/38


36/38


37/38

Donde:


Dado que 2.379 queda en la regin de aceptacin, la hiptesis nula que indica no existediferencia entre el nmero de frecuencias observadas y el nmero de frecuencias esperadas:se acepta con un nivel del 0.05 o 5%. Esto indica los resultados de la experiencia local conrespecto a los adultos mayores de centros de asistencia hospitalizados es similar a la de otraspartes del pas.

15.4 Limitaciones de la Chi-Cuadrada

Si hay un nmero inusitadamente pequeo de frecuencias esperadas en una celda, la Chi-

Cuadrada puede llevar a una conclusin errnea. Esto puede deberse a que aparece en eldenominador y la divisin entre un nmero muy pequeo produce un cociente demasiadogrande. Dos reglas de aceptacin general respecto a pequeas frecuencias de celda son:

Si slo hay dos celdas, las frecuencias esperadas en cada celda deben ser cinco oms. El clculo de la Chi-Cuadrada sera permisible en el siguiente problema:

PersonaFrecuenciasobservadas

Frecuenciasesperadas

Alfabeta 643 642

Analfabeta 7 6

Para ms de dos celdas, la no debe aplicarse si ms de 20% de las

celdas tienen frecuencias esperadas de menos de cinco. De acuerdo con esta regla,se permite calcular para la informacin gerencial en la parte izquierda de la tablasiguiente, pues solo una celda de 6, o sea 17%, contiene una frecuencia de menos decinco:

Nivel directivo Frecuenciasobservadas


Supervisor 18 16

Subgerente 39 37

Gerente 8 13

Subdirector 6 4Director 82 78


38/38

Presidente 10 15

163 163

Sin embargo, la Chi.Cuadrada no debe utilizarse para la informacin gerencial en la siguientetabla porque tres de las siete frecuencias, o sea 43%, son inferiores a cinco.

Nivel directivoFrecuenciasobservadas


Jefe de rea 30 32

Supervisor 110 113

Subgerente 86 87

Gerente 23 24

Subdirector 5 2

Director 5 4

Presidente 4 1163 263

Glosario

Prueba de Bondad de Ajuste: prueba de hiptesis para determinar el grado de las diferenciasentre una distribucin observada y una distribucin terica.

Problabilidad y Estadistica Guia 3 modulo

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