Modulo de estadistica ii

MODULO DE ESTADÍSTICA II - ALBERTO QUINTO JIMÉNEZ

MODULO DE ESTADÍSTICA II

ALBERTO QUINTO JIMÉNEZEspecialista en Matemática Avanzada.

Universidad Nacional de Colombia.

FACULTAD DE HUMANIDADES

PROGRAMA DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL CHOCÓ“DIEGO LUIS CORDOBA”

2007

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OFRENDA

A mi querida tía, recordada por siempre ROSA QUINTO MOSQUERA

a mis hijos, a todos y cada uno de mis actuales y futuros alumnos.

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INDICEPAGINA

Ofrenda

Introducción

UNIDAD 1.0SUCESOS ALEATORIOS Y PROBABILIDAD. 51.1 Concepto de suceso 6

1.2 Fenómeno o Experimento Aleatorio 6

1.3 Espacio Muestral 6

1.4 Clasificación de los Sucesos 7

1.5 Análisis Combinatorio 10

1.5.1Factorial de N 10

1.5.2 Permutaciones 11

1.5.3 Variaciones Simples 12

1.5.4 Combinaciones 13

1.6 Teoría Elemental de la Probabilidad 15

1.7 Teoremas del Cálculo de Probabilidad 17

1.8 Axiomatización de la Probabilidad 20

Ejercicios

UNIDAD 2.0DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES. 31

2.1 Variables Aleatorias 32

2.2 Esperanza Matemática 32

2.3 Distribuciones de Probabilidades 34

2.3.1 Poisson 34

2.3.2 Binomial 38

2.3.3. Normal 41

Ejercicios

3


UNIDAD 3.0DECISION ESTADISTICA 54

3.0 Nociones sobre pruebas de hipótesis y métodos no parametritos 55

3.1 Pruebas de Uno y Dos Extremos 57

3.2 Reglas de Decisión 57

3.3 Errores Estadísticos 58

3.4 Potencia de una Prueba 59

3.5 Procedimientos Estadísticos en la Investigación 59

3.6 Diferencias entre las Pruebas Parámetricas y no Parámetricas 60

3.6.1 El tamaño de la muestra 62

3.7 Prueba Binomial 63

3.8 Prueba de los Signos 68

3.9 Prueba de Cox y Stuart para Tendencia 76

3.10Prueba X2 Para Diferencias en Probabilidades 2x2 78

3.11Prueba de Mc Nemar Para Cambios de Significancias 82

3.12Prueba de la Mediana 86

3.13Prueba de Bondad de Ajuste de Kolmogorov-Smirnov 91

3.14Prueba U de Mann-Whitney 95

3.15Prueba de Kruskal-Wallis 101

3.16Prueba de Sparman 106

UNIDAD 4.0ASPECTOS GENERALES SOBRE SERIES CRONOLOGICAS, NUMEROS INDICES Y TASAS. 112

4.0 Series cronológicas. 113

4.1 Componentes de una serie. 113

4.2 Determinación de la tendencia. 115

4.3 Ajuste rectilíneo. 116

4.4 Los números índices. 123

4.5 usos de los números índices. 138

4.6 Proporciones, porcentajes, razones y tasas. 148

Ejercicios aplicativos - Bibliografía.

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INTRODUCCIÓN

Cada día de nuestras vidas estamos expuestos a una amplia variedad de información numérica relativa a fenómenos como la actividad del mercado de valores, los hallazgos de estudios de mercados, los resultados de encuestas de opinión, las tasas de desempleo, los pronósticos de éxito futuro de industrias especificas y datos en general.

Es importante recordar que el tema de la estadística moderna abarca la recolección presentación y caracterización de información para ayudar tanto en el análisis de datos como en el proceso de la toma de decisiones. Por la forma en que está estructurado el modulo, es poca la preparación matemática que se requiere para entenderlo. Aquellos que hayan tomado el primer curso de estadística, no tendrán dificultad alguna para seguir la manipulación matemática y estadística en este curso. Tengo fe en que el estudiante, o el lector común, llegará a darse cuenta que en la estadística hay más que las meras matemáticas; que la Estadística, primero que todo, es una filosofía, una manera de pensar. Si el estudiante puede desarrollar los conceptos, verá la estadística simplemente como el vehículo para su expresión y comunicación de resultados.

Aspiro, en consecuencia, prestar un nuevo servicio a los educadores Colombianos; porque considero que todo lo que se hace en beneficio de los futuros ciudadanos ha de estar inspirado en un elevado anhelo de engrandecimiento patrio, y ello sólo se logra con la dedicación y el sacrificio constante de cada uno de nosotros, pues como lo expresa claramente CHARLES SUMMER, “la verdadera grandeza de las naciones está en aquellas cualidades que constituyen la grandeza del individuo”.

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UNIDAD 1.0

SUCESOS ALEATORIOS Y PROBABILIDAD

OBJETIVODE LA UNIDAD: Desarrollar una comprensión de los conceptos básicos de probabilidad que son la base necesaria para el desarrollo y estudio de distribuciones de probabilidad e inferencia estadística.

CONTENIDOS:1.1 Concepto de suceso

1.2 Fenómeno o Experimento Aleatorio

1.3 Espacio Muestral

1.4 Clasificación de los Sucesos

1.5 Análisis Combinatorio

1.5.1Factorial de N

1.5.2 Permutaciones

1.5.3 Variaciones Simples

1.5.4 Combinaciones

1.6 Teoría Elemental de la Probabilidad

1.7 Teoremas del Cálculo de Probabilidad

1.8 Axiomatización de la Probabilidad

Ejercicios

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1.1 CONCEPTO DE SUCESO

Se denomina suceso o evento (E), a cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio.

1.2 FENÓMENOS O EXPERIMENTOS ALEATORIOS

Son todos aquellos sucesos cuyos resultados están establecidos pero no se pueden predecir con exactitud a priori, o sea que en las mismas condiciones pueden presentar resultados diferentes.

Además consideramos que el fenómeno aleatorio puede ocurrir respectivamente en forma indefinida.

Los fenómenos aleatorios, se caracterizan por la imposibilidad de predecir resultados individuales; sin embargo, al repetir el mismo experimento aleatorio en condiciones idénticas los resultados promedios o globales presentan una regularidad o estabilidad sorprendente.

Así, hablamos de los fenómenos o experimentos aleatorios de lanzar una o más monedas, uno o más dados, de extraer una o más carta de una baraja, de extraer uno o más remedio de un lote, etc.

1.3 ESPACIO MUESTRAL

Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado y anotemos los posibles resultados (E):

E = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Los resultados posibles del experimento constituyen un conjunto (S)

S = { 1, 2, 3, 4, 5,6 }

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Que llamaremos espacio de los resultados o espacio muestral correspondiente al experimento aleatorio de lanzar un dado una sola vez.

En general, si tomamos el conjunto fundamental de resultados posibles de un fenómeno aleatorio, como un conjunto de puntos, tal que cada punto represente uno y sólo uno de los resultados posibles, el espacio que reúne estos puntos es espacio muestral.

. Cara.

.Cruz

Conjunto de los eventos que aparecen al lanzar una moneda al aire.

.1 .3 .6

.4 .2 .5

Conjunto de los eventos que aparecen al lanzar un dado al aire.

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1.4 CLASIFICACIÓN DE LOS SUCESOS

1.4.1 SUCESO SEGURO:Es aquel que siempre se produce al realizar un experimento aleatorio

(certeza).

EJEMPLO: En el experimento de lanzar un dado, el suceso de que salga un número menor que 7 es un suceso seguro.

1.4.2 SUCESO IMPOSIBLE

Es aquel que nunca se produce al realizar un experimento aleatorio (imposibilidad).

EJEMPLO: En el experimento de lanzar un dado, el evento de que salga un número mayor que seis es un suceso imposible.

1.4.3 INCLUSIÓN DE SUCESO

Se dice que un suceso E1 está incluido en otro E2 cuando todos los sucesos elementales de E1 pertenecen al suceso E2. Se representa con el símbolo E1 ⊂ E2 significa: E1 está contenido en E2.

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EJEMPLO: Si en el experimento de lanzar un dado al aire se consideran los dos sucesos siguientes:

E1: que salga la cifra 4.

E2: que salga una cifra par.

Se observa que E1 ⊂ E2.

1.4.4 IGUALDAD DE SUCESO

Dos sucesos son iguales cuando están formado por los mismos sucesos elementales.

EJEMPLO: En el experimento de una mujer dar luz un bebe se consideran dos sucesos.

E1 : que salga niño

E2: que no salga niña

Se observa fácilmente que E1 = E2, puesto que ambos sucesos aquí valen al suceso elemental que salga niño

1.4.5 SUCESO CONTRARIOSe denomina suceso contrario, E

_ de un determinado suceso E, al suceso formado por todos los sucesos elementales que no están en E y que pertenecen al conjunto de todos los sucesos elementales de un experimento.

EJEMPLO: En el experimento de lanzar una moneda al aire, si se considera el suceso E: que salga cruz, el suceso contrario E

_ se forma por los

sucesos que no están en E pero que pertenecen al experimento E_ :

que salga cara.

1.4.6 DOS SUCESOS (UNO U OTRO)

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Cuando se están interesados por 2 sucesos A y B, se desea que se produzca uno de los dos sucesos A ó B, es fácil comprender que esto ocurre siempre que se produce algún suceso elemental de A o B, es decir, perteneciente a la unión A ∪ B de los dos conjuntos.

EJEMPLO: Sean los sucesos A y B siguientes:

A : que salga 1 ó 2 al lanzar un dado.B : que salga 2, 5 ó 6 al lanzar un dado.

Tendrá lugar el suceso A ó B cuando se produzca uno cualquiera de los sucesos elementales de A, de B ó de A U B.

B A

1. 2. 5.

6.

1.4.7 DOS SUCESOS SIMULTÁNEOS (UNO Y OTRO)

Si se desea que se produzcan los dos sucesos A y B al mismo tiempo, basta con que se produzca uno de los sucesos elementales de la intersección de los sucesos dados, ya que por ser de la intersección A ∩ B, pertenecen al mismo tiempo a ambos conjuntos de sucesos elementales, con lo que los dos sucesos A y B se verificarán a la vez.

EJEMPLO: En el ejemplo anterior, el suceso A y B tendrá lugar cuando se verifique el suceso elemental que salga 2, ya que éste es el único suceso perteneciente a la intersección de A y B.

En el caso de que la intersección sea vacía A ∩ B = φ , se dice que los sucesos de A y B son INCOMPATIBLES, ya que por ser disjuntos no tienen ningún elemento en común y no pueden darse al mismo tiempo.

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1.4.8 MAS DE DOS SUCESOS SEGUROS

Cuando se esta interesado por más de dos sucesos, A, B, C disjuntos dos a dos que cumplen con la condición de que su reunión A U B U C requiera certezas, S, puede afirmarse que siempre se verificará uno de los sucesos A, B ó C del experimento aleatorio.

EJEMPLO: Sea el experimento de lanzar un dado al aire. Si se consideran los sucesos siguientes:

A : que salga 1 ó 2.B : que salga 3 ó 4C : que salga 5 ó 6

Se comprueba fácilmente que los 3 sucesos son disjuntos 2 a 2. Pues:

A n B = φ

A n B = φ

B n C = φ Además A U B U C es el suceso seguro.

1.5 ANÁLISIS COMBINATORIO

Las secciones que discutiremos a continuación hacen referencia a las diferentes maneras en que en un momento dado podemos ordenar, agrupar o seleccionar los elementos de un conjunto.

Este método combinatorio nos llevará al cálculo de la probabilidad a - priori de un suceso en forma más sencilla y ágil.

EJEMPLO: Si hay 3 candidatos para Gobernador y 5 para alcalde, los dos cargos pueden ocuparse de 3 x 5 = 15 formas.

1.5.1 FACTORIAL DE N.

El factorial de n se denota por n! y viene definido por

n! = n (n-1) (n - 2). . .1

Así: 5! = 5.4.3.2.1 = 120

12


4! 3! = (4.3.2.1) (3.2.1) = 144

Conviene decir que O! = 11.6 PERMUTACIONES

Una permutación de n objetos diferentes tomados de r en r es una ordenación de r objetos entre los n dados y atendiendo a la situación de cada objeto en la ordenación. El número de permutaciones de n objetos tomados de r en r se representa por n Pr, Pn,r ó P(n,r) y viene dado por

n Pr = n (n -1 ) ( n -2) ... ( n - r + 1) = n

n r!

( )!−

En particular, el número de permutaciones de n objeto tomados de n en n es

n Pn = n ( n -1 ) ( n -2 ) ... 1 = n!

EJEMPLO 1: El número de permutaciones de las letras a, b, c tomadas de dos es:

3 P2 = 3.2 = 6, estas son ab, ba, ac, bc, cb.

EJEMPLO 2: El número de permutaciones de las palabras estadística es:

111 2 2 2 2 1 1

1110 9 8 7 6 5 4 3 2112121212111

3991680016

2494800!!. !. !. !. !. !. !

. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

= = =

Puesto que hay: 1e, 2s, 2t, 2a, 2i, 1d, 1c

EJEMPLO 3: En un departamento sanitario municipal se tienen cinco oficinas adyacentes que van a ser ocupadas por cinco enfermeras A, B, C, D y E. De cuántas maneras diferentes pueden asignarse las enfermeras a las oficinas.

5P5 = 5

5 55 4 3 21

0120

1120!

( )!. . . .

!−= = =

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1.6.4 PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN

Se llaman permutaciones con repetición de n elementos, donde hay r1

iguales y de la misma clase, r2 iguales y de la misma clase etc. donde r1 + r2 +.....= n a las distintas ordenaciones que se le puedan dar al conjunto.

Se puede expresar así:

P(n,r1 ,r2 ,...) = n

r r!

! !...1 2

EJEMPLO: Cuántos números distintos, de cinco cifras, se pueden formar con el número 22111.

SOLUCIÓN: Hay dos iguales y tres iguales, luego:

p (5, 2, 3) = 5

2!312 34 512 12 3

10!!

. . . .( . )( . . )

= =

Se pueden formar 10 números distintos con el número dado.

1.7 VARIACIONES SIMPLES

En algunas circunstancias nos interesa ordenar o conocer la disposición de objetos cuando no se toman todos los elementos del conjunto a la vez.

EJEMPLO: Cuantos números de dos cifras se pueden formar con los dígitos del 1 al 5.

Evidentemente se trata de formar ordenaciones, de cinco elementos tomados de a dos y escribimos:

V5.2 = 5

5 2!

( )!−

V5.2 = 53

5 4 20!!

= =x

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EJEMPLO: De cuántas maneras se pueden elegir y disponer en un estante 3 libros tomados de un conjunto de 10.

V10.3 = 10

10 3107!

10 9 8 7!7!

720!( )!

! . . .−

= = =

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1.8 COMBINACIONES

Consideremos ahora un caso importante de la combinatoria. Frecuentemente se nos presentan situaciones en las cuales al efectuar una disposición de r objetos de n elementos, no nos interesa el orden de dicha agrupación; tal tipo de agrupaciones las denominamos combinaciones de n objetos tomados de r en r.

1.8.1 DEFINICIÓN

Se llaman combinaciones de orden r en un conjunto A, las partes o subconjuntos de r elementos del conjunto A. se denota por Cn.r , en general la formula es:

C n.r = n rVr

.

!

Si reemplazamos el valor de Vn.r por n

n r!

( )!− obtenemos la formula general

para calcular el número de combinaciones de n elementos tomados de r en r :

Cn.r. = n

r n r!

!( )!−

EJEMPLO: Las combinaciones binarias de orden dos (r =2) en el conjunto

A = a1, a2, a3 es:

a1, a2 , a1, a3 , a2, a3

Obsérvese que si cambiamos el orden de los elementos en los subconjuntos anteriores, no obtenemos conjuntos diferentes, razón por la cual decimos que en las combinaciones no nos interesa el orden.

Ahora si aplicamos las fórmulas: donde n = 3, r = 2 tenemos:

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Cn.r = n

r n r!

!( )!!

)!!!−

=−

= =32!(3 2

32!.1

3

EJEMPLO: Cuántos comités integrados por tres personas se pueden formar de un conjunto de doce personas.

C12.3 = 12!

3 12 312!3 9!

13206

220!( )! !.−

= = = comites

1.8.2 COMBINACIONES CON REPETICIÓN

En el caso de combinaciones no se permite repeticiones de sus elementos. Si se trata de formar todas las combinaciones posibles, de orden r elegidas entre las n, cuando los elementos pueden repetirse, se dice que cada grupo de estos es una combinación con repetición de orden r de los n elementos.

Como se trata de combinaciones, dos de ellas son distintas si difieren en algún elemento, por lo menos.

Por ejemplo, sea a, b, c, un conjunto de 3 elementos, entonces aa, ab, bc. etc. son distintas combinaciones con repetición de orden 2 de 3 elementos.

La formula general para este caso es:

Cn. r = [ ]( )!

! ( ) !n r

r n r r+ −

+ − −1

1

EJEMPLO: Se dispone de un recipiente con cuatro tipos de arandelas, A, B, C y D, y se van a sacar muestras de 3 arandelas cada una. Cuántas muestras distintas se pueden elegir.

SOLUCIÓN: Hay 4 tipos de arandelas y se van a formar grupos de 3 arandelas, donde se permite repeticiones (por ejemplo), dos grupos distintos pueden ser A A A, A B B, dos de estos grupos son distintos si difieren, al menos, en una arandela. Se trata de combinaciones con repeticiones de orden 3, de 4 elementos. O sea:

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C4.3 = [ ]( )!

! ( ) !!

! !4 3 1

3 4 3 1 36

3 3120

620+ −

+ − −= = =

Lo que nos permite decir que podemos sacar 20 muestras distintas.

1.9 TEORÍA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD

1.9.1 DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD:

INTRODUCCIÓN: En el lenguaje corriente al hablar acerca de cierto suceso formamos enunciados tales como:

Probablemente estudiaré ingeniería.

Posiblemente me case en enero.

Es muy probable que pruebe el examen.Es poco probable que gane el 2080 en la lotería del jueves.

Empleamos los términos, probablemente, muy probable, poco probable muchas posibilidades, en un sentido muy vago y de ninguno de los sucesos anteriores podemos asegurar que se verifique o no. Pero tales términos los podemos utilizar para describir, aunque en forma muy vaga, nuestro “grado de creencia” en que estos sucesos se verifiquen.

En efecto, podemos interpretar intuitivamente el concepto de probabilidad como una medida de la posibilidad (creencia) de ocurrencia de un suceso.

Es frecuente el empleo de expresiones tales como: el suceso A tiene menor, igual o mayor probabilidad de ocurrencia que el suceso B.

Pero tales afirmaciones no tendrán validez lógica mientras no podamos darle un sentido preciso al término probabilidad, de tal manera que nos permita asociarle a cada probabilidad de ocurrencia de los sucesos A y B un número real.

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DEFINICIÓN: Dado un experimento aleatorio cualquiera, que pueda dar lugar a varios sucesos elementales igualmente posible, se define como probabilidad de un suceso E, al cociente entre el número de sucesos favorables (SF) y el número de suceso elementales posibles (SP).

Que denotaremos:

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P (E) =

NumerodeSucesosElementalesFavorablesaENumerodesucesosElementalesPosibles

P (E) =SFSP

Esta definición es denominada REGLA DE LAPLACE. El método para obtener una medida de un suceso se basa en experimentos aleatorios; los experimentos más sencillos son: lanzar una moneda al aire, lanzar un dado, extraer una carta, seleccionar una bola de color de una urna, extraer un número de una urna, etc.

OBSERVACIONES: Es muy importante darle a entender al lector que no entiende de cartas o barajas, que en este texto trataremos de un conjunto de naipes ( Rumis) formado por 4 tipos de cartas ; diamante, trébol, rojo o corazón y negras; donde de cada carta hay 4, por ejemplo existen 4 ases, 4 jotas, 4 q, 4 cinco, etc.

La probabilidad de aparición del suceso E (llamada su ocurrencia) viene dada por.

P(E) =SFSP

= p

La probabilidad de no aparición del suceso (llamada su no ocurrencia) viene dada por

g = p (no E) = 1 - P (E) = 1 - P

Así, pues: p + q = 1 o P (E) + P (no E) = 1

El suceso “no E” a veces se denota por ª

, ,∗ −

¬E E E

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EJEMPLO 1: Determinar la probabilidad p de la aparición de un número impar en una tirada de un dado equilibrado.

SOLUCIÓN: De los 6 casos igualmente probables (1, 2, 3, 4, 5, 6) 3 casos son favorables cuando salga: 1, 3, ó 5. Entonces:

P = 3/6 = 1/2.

EJEMPLO 2: La aparición de un as, el cinco de diamante o el tres de corazón en una sola extracción de una baraja de 52 cartas.

SOLUCIÓN: El suceso puede ocurrir de 6 formas (uno cualquiera de los ases son 4, el cinco de diamante, y el tres de corazón) del total de 52 cartas igualmente probables. Entonces.

p = 6/52 = 3/26

EJEMPLO 3. En el experimento aleatorio de lanzar una moneda al aire. Los dos sucesos elementales posibles son: que salga cara ( c ) y que salga sello (s), luego la probabilidad de cara y de sello es la misma 1/2.

P ( c ) = P (s) = 1/2.

NOTA: La probabilidad del suceso seguro E, P(E) es iguala a 1, y la probabilidad del suceso imposible, es igual a cero, luego entre estos dos números o valores, 0 y 1 se sitúa la probabilidad de cualquier otro suceso A.

0 < p (A) < 1

1.9.2 TEOREMAS DEL CÁLCULO DE PROBABILIDAD

1.9.2.1. PROBABILIDAD CONDICIONAL. SUCESOS INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES.

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Dado un experimento aleatorio cualquiera que puede dar lugar, entre otros, a los sucesos A y B, se denomina probabilidad del suceso B condicionada al suceso A, y se representa mediante P ( B / A) y se lee probabilidad de que ocurra el suceso B sabiendo el suceso A ha ocurrido , o simplemente, probabilidad de B dado A.

Si el hecho de que se haya realizado el acontecimiento A no altera, en absoluto, la probabilidad de que se realice el acontecimiento B, los sucesos A y B son llamados “Independientes” y no tiene sentido hablar de probabilidad de B condicionado A.

En este caso:

P (B/A) = P (B)

En caso contrario, se dice que los sucesos A y B son “Dependiente” y: P (B/A) ≠ P (B)

Para el cálculo de la probabilidad condicional P (B/A) se utiliza la siguiente fórmula:

P (B / A ) = P B A

P A( )

( )

, Con P(A) ≠ 0

En donde P (B A) representa la probabilidad de que se verifique a la vez los sucesos A y B, P (A) la probabilidad de que se produzca el suceso A.

P (B A) = P ( B / A ). P (A)

Por analogía con esta fórmula puede decirse que:

P (A B) = P (A / B). P (B)

Pero por ser P (B /A ) = P ( A / B ) , ya que ambas expresiones indican por igual la probabilidad de que se produzca a la vez los sucesos A y B, puede escribirse indistintamente que :

P (B A) = P (A B) = P (B / A) . P (A) = P (A / B) . P (B)

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De este modo se obtienen dos fórmulas distintas para la probabilidad de que se verifiquen a la vez los dos sucesos A y B de un experimento aleatorio cualquiera.

P (A B) = P ( B / A ) . P ( A )

P (A B) = P ( A / B ) . P ( B)

Si A y B son independientes se tiene:

P (A B) = P (A ) . P ( B)

EJEMPLO1: Sea el experimento aleatorio consiste en lanzar un dado al aire. Calcular la probabilidad de obtener un 4, sabiendo que se ha obtenido un número par.

SOLUCIÓN: Sea A el suceso obtener un 4 al lanzar un dado y B el suceso de obtener un número par al lanzar un dado, luego se trata de calcular P ( A / B ). Aplicando la fórmula correspondiente se tendrá:

P ( A / B ) = P A B

P BconP B

( )( )

, ( )

≠ 0

P (B) = 3/6, puesto que de los 6 resultados posibles, sólo 3 (2, 4, 6) son favorables al experimento considerado.

P (A B) = 1/6 ya que sólo existe un resultado favorable, de los 6 posibles, que sea al mismo tiempo número par y que coincida con el número cuatro.

Por tanto:

P(A/B) = P A B

P B( )

( )//

= =1 63 6

13

EJEMPLO 2. Supóngase una caja que contenga 4 bolas blancas y 3 bolas negras. Sea A el suceso de que la primera bola extraída se negra y B el suceso de que la segunda bola extraída se negra, en extracción sin remplazamiento. Aquí A y B son sucesos dependiente.

23


SOLUCIÓN: P (A) = 3

4 337+

=

P ( B ) = P ( B / A ) = 26

, puesto que de las 3 bolas negras ya sacamos

una, y de las 7 existentes han quedado 6.

Luego:

P (A B) = P ( B / A ) . P ( A ) = 26

37

642

17

. = =

1.9.3. AXIOMATIZACION DE LA PROBABILIDAD.

La teoría de probabilidad ha sido construida partiendo de varios axiomas como lo fue la geometría, la mecánica teórica y otras ciencias. El desarrollo axiomático de las probabilidades que ha tenido mayor aceptación es el propuesto por: Andrej N. Kolmogorov (1903, ) en 1933. Kolmogorov inicia con un conjunto U de eventos simples, o sea un espacio muestra. Luego considera una familia F de subconjunto de U los cuales denomina eventos aleatorios. Esta familia de eventos debe conformar lo que en el álgebra moderna se llama un Campo de Borel. Con cada evento A del campo de eventos F hay asociado un número, llamado la probabilidad del evento A, escrito P (A) y tal que:

Axioma 1: P (A) ≥ 0 para cualquier evento A

Axioma 2: P (U) = 1

Axioma 3: P ( A ∪ B ) = P (A) + P (B), si A y B son eventos mutuamente excluyentes.

La terna (U, F, P) se llama espacio probabilístico y representan el modelo matemático usado para el estudio de los fenómenos aleatorios.

A partir de los tres axiomas se deducen varias propiedades de las probabilidades que son útiles en la solución de problemas.

P1 . P ( ∅) = 0, o sea que la probabilidad del evento imposible es cero.

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P2. O ≤ P (A ) ≤ 1. la probabilidad es un número entre 0 y 1.

P3 P ( AC ) = 1 - P (A).

P4 . Si un evento A implica otro evento B, es decir, si A ⊂ B, entonces

P (A) ≤ P (B).

P5 . P (A1 U A2 U... Uan ) = P (A1 ) + P (A2) +...+P (An) cuando A1, A2,

An son eventos mutuamente excluyentes.

P6 . p ( A ∪ B ) = P (A ) + P (B ) - P (A ∩ B) Cuando A y B son eventos cualquiera. Esta probabilidad se llama regla de adición

P7. P ( A - B ) = P (A) - P (A ∩B). En los ejemplos siguientes veremos cómo se aplican estas propiedades.

EJEMPLO 1. Una urna contiene 6 bolas blancas, 4 rojas y 5 azules de igual tamaño, se extrae una bola al azar, cuál es la probabilidad de que esta bola sea roja?

Sea R: obtener bola roja, B: obtener bola blanca y A: obtener bola azul. Entonces:

P ( R ) = 4

6 4 5415+ +

=

Cuál es la probabilidad de que la bola sea blanca o azul?

P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ), ( eventos mutuamente excluyentes)

P (A ∪ B ) = 6

155

151115

+ =

Cuál es la probabilidad de que la bola no sea azul?

P ( AC ) = 1 - P (A)

25


P ( AC ) = 1 - 5

151015

23

= =

EJEMPLO 2. Se extrae una carta al azar de una baraja de 52 cartas (poker). Cuál es la probabilidad de obtener un As?

Sea A: obtener un as. En las 52 cartas hay 4 ases, luego P (A) = 4/52

Cuál es la probabilidad de obtener un 10 ó un diamante?

Sea B: obtener un diez y D: obtener un diamante. En la baraja hay 4 dieses y 13 diamantes y una de las cartas es el 10 diamante. Entonces.

P (B) = 4/52, P (D) = 13/52 y P (B ∩ D) = 1/52. Por lo tanto

P (B∪D) = P (B) + P (D) - P ( B∩ D)

P (B∪D) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52

EJEMPLO 3. Se lanzan dos dados una vez. Cuál es la probabilidad de obtener una suma igual a 5 con los dados?

Sea C: obtener suma igual a 5. El espacio muestral es uno de los números del 2 al 12 pero estos números no ocurren con igual probabilidad. El 5 se puede obtener cuando los dados caen: (3,2), (2,3), (1,4), (1,4) esto es, se tienen 4 casos favorables al evento C entre los 36 posibles. Luego:

P ( C) = 4/36.

De igual manera se obtienen las probabilidades para las otras sumas. Cuál es la probabilidad de obtener una suma al menos de 9?

Sea M: obtener al menos 9.

P (M) = P (obtener 9 ó 10 ó 11 ó 12)

P (M) = P ( 9) + P (10) + P (11)+ P (12)P (M) = 4/36 + 3/36 + 2/36 + 1/36 = 10/36

26


EJEMPLO 4; Un envío de 12 cajas con drogas contienen 3 cajas alteradas. Cuál es la probabilidad de obtener una caja alterada al tomar al azar 7 cajas de las 12?

Llamaremos H dicho evento.

No es fácil resolver este problema si queremos calcular directamente el número de casos favorables y posibles. En caso como éste, es recomendable acudir a la teoría del análisis Combinatorio: entonces razonamos así: el número de casos posibles es el número de combinaciones de 12 cajas tomas 7 a la vez, es decir C12.7, las cajas alteradas pueden seleccionarse entre las 3 alteradas en C3.1 formas y las 6 restantes pueden seleccionarse entre las 9 no alteradas en C9.6 formas. Por principio fundamental, tenemos que el número de casos favorables es C3.1 C9.6. Luego:

P(H) = 3 1 9 6

12 7

. .

.

C CC

Aplicando la fórmula de combinaciones:

Cn. r = n

r n r!

!( )!−

C3.1 = 3

1 3 13!

!( )!−=

C9.6 = 9!

6 9 684

!( )!−=

C12.7 = 12!

7!(12 7792

−=

)!

Luego:

P(H) = ( )( )3 84

792722

=

EJEMPLO 5. La siguiente tabla muestra al personal (animales) de un zoológico, tabulados por edad.

27


ANIMALES X≤ 25

Y26- 30

Z31 -35

W >35

TOTAL

Águilas 0 5 25 75 105Búfalo 20 30 35 35 120Caballo 3 6 6 10 25Delfín 7 15 8 12 42Elefante 200 375 442 203 1220Faisán 1 12 8 3 24Gacela 4 10 19 12 45Hipopótamo 5 25 15 10 55Ibis 20 35 50 25 130

28


Totales 260 513 608 385 1766

29


Con los datos de la tabla podemos determinar:

a) Las águilas que tienen más de 35 años: N (A ∩ W) = 75 b.) B ∪ Y, Consiste en los animales búfalos o los animales que están

entre las edades de 26 y 30 o ambos, luego :

N ( B ∪ Y ) = B + Y - ( B ∩ Y) = 120 +513 - 30 = 603. Es de anotar se resto el 30 quienes son animales que ya han sido contados puesto que están incluidos en el número 120 como el 513.

c) Supóngase se elige un animal al azar dentro de todos que se representan, cuál es la probabilidad de que este animal tenga 25 años de edad o sea más joven?

P ( X) = n Xn U( )( )

. .= = =2601766

0147 015

d) Cuál es la probabilidad de que un animal sea águila, dado que se elige

al azar del conjunto de animales que tienen más de 35 años.

P ( A / W ) = n A W

n W( )

( ). = =75

385019

e.) Cuál es la probabilidad de que un animal sea águila y de 25 años de edad o menos?.

Son eventos mutuamente exclusivos, puesto que:A ∩ X = O, luego:

P( A ∪ X ) = P (A) + P (X) = 105

1766260

17660 059 0147 0 206 0 21+ = + = =. . . .

f) Cuál es la probabilidad de que un animal elegido al azar de todos los animales sea tanto elefante como tener una edad comprendida entre 31 - 35 años

P (E ∩ Z ) = P (Z) . p (E/Z) = (608 / 1766) . (442 /608) = ( 0.34 ) ( 0.73) = 0.25

30


PROBLEMAS SOBRE LA UNIDAD 1.0

1.1 Hallar el valor de:

a) 7p3 , 9p2 , 8p3 , 6p1 , 10p3 , 4p4 b.) 8C4, 4C4, 6C1, 9C3, 5C3, 5C3, 10C4.

NOTA: ( nCr = C n.r).

1.2 Calcular el número de permutaciones que se pueden formar con las letras de la palabra matemáticas.

1. 3 De cuántas maneras puede formarse un equipo de fútbol de entre un grupo de 12 voluntarios?

1.4 De cuántas formas pueden ordenarse 6 libros en un estante, si:

a) No se da ninguna restricciónb) 2 libros determinados deben estar juntos.c.) Un libro determinado debe estar en el extremo izquierdo.

1.5 De un total de 5 Químicos y 7 Biólogos, se forman un comité de 2 Químicos y 3 Biólogos. De cuántas formas pueden formarse, si :

a.) puede pertenecer a él cualquier químico y biólogob.) un biólogo determinado debe pertenecer al comité?c.) Dos biólogos determinados no pueden estar en el comité

1.6 Un conductor de terapia de grupos en una clínica de enfermos mentales tiene 10 pacientes de los cuales debe formar un grupo de 6. Cuantas combinaciones de pacientes son posibles?

1.7 Un educador en asuntos sanitarios tiene 3 carteles para exhibir uno junto al otro en la pared del vestíbulo de un centro de salud.

En cuántas formas diferentes los puede disponer?

1.8 Supóngase que en cierto laboratorio se tiene 4 trabajos que deben realizarse en una tarde particular y existen 5 personas para llevarlos a cabo. En cuántas formas pueden asignarse las 5 personas a los 4 trabajos?

31


1.9 Un investigador tiene 4 medicamentos que desea poner a prueba, pero sólo cuenta con los suficientes animales experimentales para probar a 3 de los medicamentos. Cuántas combinaciones de medicamentos pueden poner a prueba.

1.10 Ocho animales experimentales han sido inoculados con cierta droga; tres con tipo A, tres con tipo B y dos con tipo C. Cada animal debe colocarse en una de las ocho jaulas adyacentes para su observación. Si los animales sólo se distinguen con base en el tipo que recibieron, cuántos arreglos diferentes son posibles?.

1.11 De una baraja de póquer, cuántas manos de 5 cartas cada una se puede sacar?

1.12 Un dado normal se lanza dos veces. Determinar la probabilidad de obtener un seis en ambos lanzamientos.

1.13 Una urna contiene una bola blanca y una bola negra. Se extrae una cada vez sin reposición. Determinar la probabilidad de que la primera bola sea blanca y la segunda negra.

1.14 Una urna contiene seis bolas negras y cuatro blancas. Se extrae sin reposición dos bolas, una a una. Determinar la probabilidad de seleccionar una bola blanca en la primera extracción y una bola negra en la segunda.

1.15 Determinar la probabilidad de que todas las cuatros cartas extraídas aleatoriamente y sin reposición de una baraja de 52 resulten aseas.

1.16 En una ciudad de 10.000 electores el 50% son liberales y el 50% son conservadores. Si se seleccionan dos electores aleatoriamente cuál es la probabilidad de que ambos sean liberales?.

1.17 Supóngase que P (A) = ½ y P (B) = ¼, encontrar p ( AB ) si:

a.) A y B son independienteb.) A y B son mutuamente excluyentes.

1.18 Si la P (A) = 1/3, P (B) = ¼ y P (A/B) = 1/2, en contar P ( A + B)

32


1.19 A y B juegan 12 partidas de ajedrez, de los cuales A gana 6 veces, B gana 4 y 2 terminan en tabla. Acuerdan jugar un torneo consistente en 3 partidas. Hallar la probabilidad de que:a.) A gane 3 partidasb.) D os partidas terminan en tablac.) A y B ganen alternativamente.d.) B gane al menos un partida

1.20 Se extrae una bola al azar de una caja que contiene 10 rojas, 30 blancas, 20 azules y 15 naranjadas. Hallar la probabilidad de que:

a) sea naranja o rojab) no roja o azulc.) no azuld.) blancae ) roja, blanca o azul

1.21 Un pescador atrapa 10 peces, 3 de los cuales son más pequeños que los permitidos por la ley. Un policía se le acerca y examina la pesca, pero mirando 2 peces solamente elegidos al azar. Cuál es la probabilidad de que el pescador sea multado?

1.22 De acuerdo con la tabla del ejemplo 5 de la presente unidad, calcular

a.) P (F ∩ W), P ( H / Z ) , P ( G ∪ C ) , P (I /Y)

1.23 Un joven tiene en su bolsillo una moneda de 10 centavos, una de 20, una de 25, una de 50 y otra de un peso. Al sacar simultáneamente dos monedas que posibilidad existe que:

a.) El joven saque menos de 80 centavosb.) Saque más de 50 centavosc.) Saque al menos 10 centavos

1.24 La siguiente tabla muestra la distribución de un grupo de personas:

SEXOGRUPO SANGUÍNEO MASCULINO FEMENINO TOTAL

0 113 113 226A 103 123 226B 40 37 77

33


AB 30 20 50

Total 286 293 579

Para este grupo calcular:a) La probabilidad de que un paciente elegido al azar sea femenino.b.) Sea femenino o Masculinoc) Sea masculino y de grupo B.d.) Sea femenino de grupo A.e) La probabilidad de que un paciente sea elegido de grupo ABf.) De que un paciente sea elegido de los masculinos, dado que es

grupo O.

1.25. Supongamos que la probabilidad de nacer varón es 0.51 y que se estudia familias con tres hijos. Se elige al azar una familia, hallar la siguiente probabilidad:

a.) Que todos sean varones.b) Que uno de los hijos sea mujerc.) Que todos sean mujeres.

Asuma que hay independencia entre los nacimientos

1.26 Se lanzan 2 dados. Determinar la probabilidad que :

a.) La suma de los puntos sea 8b) La suma de los puntos es menor que 5.c) La suma sea mayor que 12.

1.27 En un paquete hay 9 semillas de las cuales 2 producen flores blancas, 3 producen flores rojas y 4 producen flores amarillas.

Se extraen al azar dos semillas y se siembra. Calcular la probabilidad de que :

a.) Ambas produzcan flores blancas.b) Una produzca flor blanca y la otra rojac. ) Ambas produzcan flores del mismo color.

1.28 Un club de señorita tiene 120 socias con las siguientes características:

34


35


COLOR DE OJOS RUBIAS TRIGUEÑAS MORENAS PELIROJAS

Azul 8 4 8 7

Café 5 18 20 6

Verde 9 23 8 16

Un apuesto joven llama al club y concreta una cita con una de ellas para ir al concierto. Calcular la probabilidad de que la señorita:

a.) Sea trigueña y de ojos verde.b.) Sea pelirrojac.) Sea morena y de ojos café o verded.) Sea rubia y de ojos azulese.) Sea rubia o morena sabiendo que tiene ojos verde.

1.29 Una rata debe atravesar un laberinto de tres secciones como se ve en la figura. En la primera sección hay dos caminos, uno de ellos con comida. En la segunda hay tres caminos y al pasar por uno de ellos la rata recibe un choque eléctrico. La tercera sección consta de cuatro caminos y en un de ellos también encuentra comida. Calcule la probabilidad de que la rata atraviese el laberinto comiendo dos veces y sin sufrir un choque eléctrico

Comida Choque Comida

1.30 Empíricamente se ha estimado que la probabilidad de que germine una semilla de Olmo Americano es 0.63 y de que germine una semilla de Abeto es 0.56. Si se siembra una semilla de olmo y otra de Abeto. Calcular la probabilidad de que :

a.) Germine al menos una de ellasb.) no germine ningunac.) Germine la semilla de olmo y no la de abeto.

36


1.31 El 60% del ganado de una región fue vacunado contra un tipo especial de enfermedad. La probabilidad que tiene un animal de recuperarse es 1 en 5 si fue vacunado y de 1 en 20 si no fue vacunado. Un animal tomado al azar estaba enfermo pero se recupero. Calcular la probabilidad de que éste animal haya sido vacunado.

1.32 Se tienen dos lápices uno blanco y otro negro, las caras de ellos están numeradas 1, 2, 3, 4. Se hecha a rodar al piso para leer sus caras superiores.

a.) Establezca el espacio muestrab.) Determine la probabilidad de que la cara superior de los lápices

sea una suma de 1 ó 3c.) La suma de sus caras sea 4.d.) La suma de sus caras sea un número pare.) La suma de sus caras sea un número impar

37


UNIDAD 2.0

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

OBJETIVODE LA UNIDAD: Desarrollar una comprensión del concepto de esperanza matemática y sus aplicaciones en la toma de decisiones y mostrar cómo ciertos tipos de datos pueden ser representados por tipos particulares de modelos matemáticos.

CONTENIDOS

2.1 Variables Aleatorias

2.2 Esperanza Matemática

2.3 Distribuciones de Probabilidades

2.3.1 Poisson

2.3.2 Binomial

2.3.3 Normal

Ejercicios

38


2.1. VARIABLES ALEATORIAS

Es también llamada variable ESTOCASTICA y es una variable estadística que asume cada uno de sus valores numéricos posibles con una probabilidad definida.

Siempre que se determina la estatura, el peso o la edad de un individuo, con frecuencia se dice que el resultado es un valor de la variable respectiva. Cuando los valores obtenidos son el resultado de factores fortuitos, se dice que la variable es una variable aleatoria.

Frecuentemente se da el nombre de observaciones o, simplemente, el de medidas a los valores que resultan de procedimientos de medición.

Los valores de las variables aleatorias difieren porque en su observación escapan a nuestro control las diferencias casuales.

Los siguientes son algunos ejemplos de variables aleatorias:

2.1.1. La velocidad de una molécula de gas, Varían en cada choque molecular y cada choque, a su vez, depende de muchos factores.

2.1.2. El número de meteoritos que penetran en la atmósfera y alcanzan la superficie terrestre.

Siempre es variable debido a factores de carácter aleatorios.

2.1.3. El peso de los gramos de café cultivados en determinada región.Es variable en virtud de numerosos factores, tales como calidad del suelo y

semilla, riego, condiciones ambientales etc.

2.1.4. Momento en que se presenta las desintegraciones atómicas.

Estos momentos se presentan al azar y son independientes entre sí.

2.1.5. Número de llamadas a una central telefónica durante un año.

2.2. ESPERANZA MATEMÁTICA

39


La esperanza matemática de una variable aleatoria, es llamada comúnmente valor medio, valor esperado, o media, se define como una media ponderada de la población en donde las ponderaciones son las probabilidades de los valores de la variable aleatoria. En otras palabras, la esperanza matemática es un promedio probabilistico de los valores de la variable aleatoria.

Si P es la probabilidad de que una persona reciba una suma de dinero s, la esperanza matemática o simplemente la esperanza, se define como: ps.

Si X representa una variable aleatoria discreta que puede tomas los valores X1, X2, X3 ,....,Xk con probabilidades respectivas p1 , p2, p3 , .. .pK, donde P1 + P2 , P3 , +... + PK = 1, la esperanza de X simbolizada por

E (X), se define como:

E ( x ) = P1 X1 + P2 X2 + P3 X3 +... +PK XK = j j

j

k

p x px= ∑∑= 1

Si las probabilidades pj en esta esperanza se sustituyen por las frecuencias relativas fj / N, donde N =Σfj, la esperanza se reduce a (ΣFX)/N, que es la media aritmética ( X

_ _ ).

Cuando N crece, las frecuencias relativas Fj / N se aproximan a las probabilidades pj . Esto conduce a interpretar que E (X) representa la media de la población de la que se ha extraído la muestra.

Si se denota por X_ _ la media de la muestra, la media de la población

vendrá representa por la correspondiente letra griega ( µ ).

La esperanza también puede definirse para variables aleatorias continuas, pero la definición no requiere la utilización de cálculo avanzado.

EJEMPLO 1: Si la probabilidad de que una persona gane un premio de $ 450.000 es 0.5 su esperanza es (0.5) (450.000) = 225.000.

EJEMPLO 2: Si un hombre compra una boleta de rifa, en la que puede ganar un primer premio de $ 70.000. ó un segundo premio de $ 40.000 con posibilidades 0.002 y 0.005 respectivamente. cuál es el precio justo a pagar por la boleta de rifa .

40


E (X) = ( 70.000) (0.002) + (40.000) ( 0.005 ) = $ 140 + $ 200 = $340.

Luego el precio justo a pagar por la boleta de rifa es de $ 340.

EJEMPLO 3: Una Compañía de seguros piensa asegurar un carro en $ 800.000. La compañía estima que puede haber un pérdida total del vehículo con una probabilidad de 0.009, daños en el 50% del vehículo con una probabilidad de 0.030 y daños en un 25% del vehículo con una probabilidad de 0.07. Cuánto debe cobrar la compañía por una póliza de este tipo si desea ganar $ 2.500?

E (X) = (800.000) (0.009) + ( 400.000) (0.030 ) + (200.000) (0.07) = 7.200 + 12.000 + 14.000 = $ 33.200.

La compañía de seguros deberá cobrar $ 33.200 + 2.500 = 35.700 Por la póliza para asegurar la ganancia programada.

2.3. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

Cuando a una variable aleatoria se asocia la probabilidad, de tal manera que a cada valor de la variable le corresponde su respectiva probabilidad, se ha determinado una “distribución de probabilidad “.

Puesto que toda variable aleatoria tiene una distribución de probabilidades, diremos que las variables aleatorias discretas tienen distribuciones discretas de probabilidades y las variables aleatorias continuas tienen distribución continua de probabilidades.

Entre las distribuciones de probabilidades, algunas son tan conocidas y usuales que tienen nombre propio. por ejemplo, las distribución binominal, la distribución de Poisson, la distribución Hipergeometrica, la distribución geométrica, la distribución binominal negativa. etc. entre las discretas.

Entre las distribuciones continuas tenemos la distribución Normal, la distribución Exponencial, la distribución Gamma, la distribución Beta, la distribución Uniforme, etc.

A continuación veremos las distribuciones de probabilidades de uso más generalizado, como: binominal, normal y de poisson.

41


2.3.1 LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Nos permite determinar la probabilidad de que un suceso se presente exactamente x veces en repetidos ensayos.

Es una de las distribuciones de probabilidad que se encuentra con más frecuencia en la estadística aplicada. Se obtiene de un procesos conocido como ensayo de BERNOULLI, en honor del matemático suizo JAMES BERNOULLI (1654-1705), quien realizo importantes contribuciones en el campo de la probabilidad incluyendo, en particular a la distribución Binomial.

Cuando un solo ensayo de algún proceso o experimento puede concluir sólo a uno de los resultados mutuamente exclusivos, tales como muerto o vivo, enfermo o saludable, masculino o femenino, el ensayo se conoce como ensayo Bernoulli.

Para la aplicación de la distribución binomial se deben tener en cuenta los siguientes criterios.

2.3.1.1.-Debe existir un número exacto de pruebas repetidas. Este número corresponde a los N ensayos.

2.3.1.2.-Cada prueba realizada debe tener dos posibilidades de resultados (cara o sello ). por eso es binomial.

2.3.1.3.-La probabilidad de éxito ( p ) en un solo ensayo es un único número. Este determina la probabilidad de fallo o fracaso ( 1 - p ) denota por ( q ) donde q = 1 - p .

6.3.1.4.-Cada prueba o ensayo realizado es independiente de los demás.

2.3.1.5.-Se trata de determinar la probabilidad de éxito, exactamente, x ensayos o pruebas.

Si p es la probabilidad de ocurrencia de un suceso en un solo ensayo (llamada probabilidad de éxito ) y q = 1 - p es probabilidad de que el suceso no ocurra en un solo ensayo ( llamada probabilidad de fallo ), entonces la probabilidad de que el suceso se presente exactamente X veces en N ensayos ( es decir , X éxitos y N - X fallos ) viene dado por :

42


P(X) = N CX . PX .qN - X = N

X N XX N X

P q!!( )!−

−

Donde X = O,1, 2,...,N y N! = N (N - 1) ( N - 2 )..... 1

Se llama distribución binomial, puesto que para X = 0, 1, 2,. . ., N, corresponde sucesivo términos de la fórmula binomial o desarrollo binomial:

(q + p ) N = qN + N C1 qN-1 p + N C2 qN-2 p2 +...+pN

Donde 1, N C1 , N C2 son los coeficientes binominales

2.3.1.5 ALGUNAS PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

Media µ = NP

Varianza S2 = NPq

Desviación Típica S = Npq

Coeficiente de sesgo α3 = q p

Npq−

Coeficiente de curtosis α4 = 3 + 1 6− pq

Npq

EJEMPLO1: La probabilidad de obtener exactamente 3 caras en 7 lanzamientos de una moneda es:

P ( x = 3 ) = 7 C3 (1/2)3 (1/2)7-3 = 7!

3 4!50406 16

1128

0 4171 2!. ( )( )

. .( / ) = =

EJEMPLO 2. la probabilidad de obtener al menos 4 cara en 6 lanzamiento de una moneda es :

p ( x = 4 ) + (p (x = 5 ) + ( p (x = 6) = 6 C 4 (1/2)4 (1/2)6-4 + 6 C 5 (1/2)5

(1/2)6-5 + 6 C 6 (1/2)6 (1/2)6-6 = 1564

664

164

2264

0 34+ + = = .

43


EJEMPLO 3. Se inyecta una droga tóxica a 5 conejos. Se sabe que la droga es mortífera en un 70% de los casos, cuál es la probabilidad de que mueran 3 de los 5 conejos?

En este caso: N = 5 , X = 3, P = 0.7 , q = 0.3 luego : P (X = 3) = 5 C 3 ( 0.7)3 (0.3)2 = 0.3087

Cuando la función binomial es

P ( X ≤ r ) = x o

r

=∑ N C X pX qN - X

Dicha función está tabulada para diferentes valores de N y P, y se conoce como tabla de la distribución binomial. Mediante el siguiente ejemplo veremos como se maneja dicha tabla.

EJEMPLO 1. Por estudios hechos anteriormente se sabe que 25 de cada 100 personas de una población pertenecen al grupo sanguíneo B. Cuál es la probabilidad de que máximo 5 de 20 donantes tomados al azar tengan sangre tipo B?

Los parámetros son N = 20 y p = 0.25 entonces:

P(máximo 5 con sangre tipo B) = P(5 o menos) = P( X ≤ 5)

P (X ≤ 5) = P( X = 0 ) + P( X=1 ) + P( X = 2) + P(X=3) + P (X=4 ) + P( X=5 ).

El cálculo de esta suma es larga y engorroso. Afortunadamente disponemos de tablas de la distribución binomial en donde encontraremos que para

N = 20, r = 5 y P = 0.25: la suma vale 0.6172 luego:

P ( X ≤ 5 ) = 61.72%

b.) Cuál es la probabilidad de que al menos 3 de los 20 donantes tengan sangre tipo B ?.

44


P ( 3 o Más) = P ( X ≥ 3 )= 1 - P ( X ∠ 3)= 1 - P (X ≤ 2)= 1 - 0.0913= 0.9087

Debemos tener presente que la tabla da únicamente sumas o valores acumulados de la forma p ( X ≤ r ). Cualquier otra expresión que se tenga, debe transformarse en ésta antes de buscar los valores en la tabla.

c.) Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de los 20 donantes tenga sangre tipo B ?.

P ( X = 3 ) = P( X ≤ 3 ) - P( X ≤ 2 ) = 0.2252 - 0.0913 = 0.1339 = 13.39%

La distribución binomial se encuentra tabulada para valores de N menores que 30 y unos pocos valores de P. cuando N es muy grande y P es pequeño, o en general cuando los valores no se encuentran en la tabla, los cálculos deben hacerse con una calculadora, o también aproximando el resultado mediante la distribución de poisson.

2.3.2. DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Otro modelo probabilístico discreto de gran utilidad en estadística es este modelo, ideado por el francés SIMEON DENIS POISSON (1781, 1840) y publicado en 1837. Esta distribución ha sido usada para describir el comportamiento de eventos raros por la que se le llama también “ ley de los eventos improbables”.

45


El modelo de poisson sirve para describir una serie de fenómenos cuyos eventos se presentan como resultados al azar ya sea en el tiempo, en el espacio o el volumen. Algunos ejemplos de estos resultados pueden ser el número de : accidente de tránsito durante un período de tiempo dado, personas con enfermedades raras que llegan mensualmente a un hospital, llamadas telefónicas recibidas por una central cada minuto, partículas emitidas por segundo por una sustancia radiactiva, glóbulos rojos por volumen en una muestra de sangre, barcos que llegan semanalmente a un puerto, defectos por m2 de tela , pétalos adicionales en flores que tienen 5 pétalos normales, etc. este numero varían aleatoriamente con el tamaño de la muestra o con el intervalo de tiempo considerado.

Las características comunes a estos fenómenos que nos permite reconocerlos como fenómenos poissonianos son :

2.3.2.1. Las ocurrencias de los eventos en intervalos no traslapados son independientes.

2.3.2.2. La probabilidad de ocurrencia de un solo evento en un intervalo o espacio pequeño es pequeña y es proporcional al tamaño del intervalo o espacio considerado.

2.3.2.3. La probabilidad de dos o más ocurrencia del evento en un intervalo o espacio pequeño es despreciable o se supone igual a cero.

Una particularidad interesante de la distribución de poisson es el hecho de que la media y la varianza son iguales.

La función de densidad de poisson viene dada por la siguiente fórmula :

P (X) = X eX

λ λ−

! , con X = 0, 1, 2,...

donde la letra griega λ (lambda ) se llama parámetro de la distribución y es el número promedio de ocurrencia del evento aleatorio en el intervalo. El símbolo e = 2.71828.

Los valores de p (x) pueden calcularse mediante una tabla que da los valores de e-λ para distintos valores de λ o mediante logaritmo.

46


2.3.2.1 ALGUNAS PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN DE POISSÓN

Media µ = λ

Varianza S2 = λDesviación S = λ

Coeficiente de sesgo α3 = 1/ λ

Coeficiente de curtosis α4 = 3 + 1/λ

EJEMPLO 1.Un cátodo emite electrones a una rata promedio de 1013

electrones por segundo. Hallar la probabilidad de que no se emita ningún electrón durante un intervalo de 1 segundo.

P (0) = ( ) ( )

( )( )

13 0

1013

13

13

10

010 1

10

ee

e

−

−= =!

EJEMPLO 2. Los registros del hospital revelan que, durante este período, las Administraciones de emergencia han sido, en promedio, de 3 por día.

Encontrar la probabilidad de que:

a.) En un día dado, ocurran exactamente dos admisiones de emergencia.

P (X = 2) = 2 332!

0 224−

=e .

b.) En un día particular, no ocurra admisión de emergencia alguna.

P (X = 0 ) = 0 330

0 05−

=e!

.

47


c.) En un día particular sean administración tres ó cuatro casos de emergencia.

P (X = 3 ) + P (X = 4 ) = 3 3 4 33 33 4!

0 224 0168 0 39− −

+ = + =e e!

. . .

EJEMPLO 3.En un estudio de cierto organismo acuático, se tomaron gran número de muestra de un estanque y se contó el número de organismos que había en cada muestra. Se encontró que el número promedio organismo por muestra era de dos. Suponiendo que el número de organismo está distribuido según poisson, encontrar la probabilidad de que:

a. La siguiente muestra que se toma tenga uno o más organismos.

P ( X ≥ 1) = 1 - P ( X = O )

En la tabla se ve que, cuando λ = 2 la probabilidad de que X = 0 es de 0.1553. Por lo tanto

P ( X ≥ 1) = 1 - 0.1353 = 0.865 b. La siguiente muestra que se toma tenga exactamente 3 organismos. P ( X = 3 ) = P (X ≤ 3 ) - P ( X ≤ 2 )

= 0.8571 - 0.6767

= 0.18

2.3.3. DISTRIBUCIÓN NORMAL

Entre las distribuciones continuas de probabilidades, la distribución normal es la más conocida, usual y útil en Estadística. Esta distribución fue descubierta por ABRAHANADE MIVRE (1667, 1754) un protestante francés que debió huir a Londres, y quien, en 1733 encontró la distribución normal como el límite de la distribución binomial cuando N tiende a infinito. También

48


se atribuye la paternidad de la distribución normal a LAPLACE (1749 , 1827 ) y a GAUSS ( 1777, 1855 ) por lo que se dice a veces distribución gaussiana en vez de distribución normal. El hecho es que, históricamente, la distribución la distribución normal está relacionada con la teoría de errores en la medición, teoría fundada por Gauss y Laplace en una fecha posterior a la investigación de Moivre.

La distribución normal es un modelo probabilístico apropiado para el estudio de muchas variables aleatorias continuas tales como la estatura de los estudiantes de una universidad, el peso de objetos de una misma naturaleza, el contenido en volumen de un frasco de jarabe, los errores en la medición de una misma magnitud física, el diámetro de alguna parte para ensamblaje, la duración de las baterías y bombillas, etc.

La densidad normal está dada por:

ys

sXe= − −12

12

2 2

πµ( ) /

Donde µ es la media, S desviación típica, π = 3.141592.3.3.1. REPRESENTACIÓN GRÁFICA

Gráficamente la distribución normal se representa mediante una curva en forma de campana, llamada curva de probabilidad, campana de Gauss o curva de error. El área bajo la curva normal es igual a uno (1) ó al 100%. La media (µ) se encuentra localizada en el centro (punto medio de x) y divide la curva en dos sectores iguales, es decir, la curva es simétrica respecto a su media.

El área bajo la curva normal entre dos ordenadas X = a y X = b, siendo a ∠ b, representa la probabilidad de que x se encuentre entre a y b lo cual

se denota por p ( a ∠ x ∠ b ). 50%

49


Z X µ

Z Z1 Z2 X µ a b

2.3.3.2. TIPIFICACIÓN DE DATOS

Para hallar el área bajo la curva normal se introduce una nueva variante estadística (Z ), es decir, se hace necesario, tificar o estandarizar la variable X cuando X viene expresada en unidades de desviación.

La tipificación de datos se efectúa mediante la aplicación de la siguiente fórmula

Z XS

= − µ

La anterior fórmula antes expuesta para la densidad normal quedará reducida así:

Z XS

= − µ

y Ze= −12

12

2

π

50


Las áreas bajo la curva normal, para los diferentes valores de Z, se encuentran en una tabla normal típica de 0 a z.

2.3.3.3. PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

2.3.3.3.1.-Los términos tienden a agruparse alrededor del puntaje cero .

Esto quiere decir que a medida que los términos se apartan del eje vertical, la curva decrece.

2.3.3.3.2.-La curva normal es simétrica respecto a su eje vertical.

La altura de la curva para Z = a, exactamente igual a la altura para Z = - a.

2.3.3.3.3 Los extremos de la campana son asíntotas, lo cual significa que por más que se prolonguen nunca se intersectan con el eje horizontal

2.3.3.3.4 La media se localiza en el puntaje Z = O, ya que es el punto de equilibrio de la distribución

Según la propiedad de simetría, el eje vertical divide exactamente por la mitad el área bajo la curva, o sea que la mitad de los términos se ubica a cada lado de la vertical. Allí se localiza, por tanto, la mediana.

51


La moda se sitúa en el máximo de la curva, que es el punto correspondiente al puntaje Z = 0

Media µ = NP

Varianza S2 = Npq

Desviación típica S = √ NPq

Coeficiente de sesgo α3 = 0

Coeficiente se curtosis α4 = 3

Desviación media S =2π

= 0,79795

EJEMPLOS 1:

1. Determinar el área bajo la curva normal entre Z = -1 y Z = 1, Z = -2 y Z = +2, Z= -3 y Z = +3.

SOLUCIÓN:

Área para Z = 1 es 0.3413 (según tabla)Área para Z = -1 es 0.3413Área total 0.6826 que equivale a 68.26%

Área para Z = 2 es 0.4772Área para Z =-2 es 0.4772Área total 0.9544 que equivale a 95.4%

Área para Z = 3 = 0.4987Área para Z= 3= 0.4987Área total 0.9974 que equivale a 99.74%

Un gráfico de esta curva normal tipificada es:

52


-3 -2 -1 0 1 2 3

68.26%95.44%99.74%

EJEMPLO 2.

Un físicoterapeuta nota que las calificaciones que se obtienen en cierta prueba de habilidad manual están distribuidas aproximadamente en forma normal, con una media de 10 y una desviación estándar de 2.5 si un individuo elegido al azar realiza la prueba, cuál es la probabilidad de que obtenga una calificación de 15 o más?

SOLUCIÓN:

Tracemos el área correspondiente a esta distribución y sombreémosla,

S µ=10 15

En este caso X = 15, µ = 10 y S = 2.5, por lo tanto aplicamos:

Z XS

= − = − =µ 15 102 5

2.

Luego el área para Z = 2 es:

53


P (X ≥ 15) = P (Z ≥ 2) = 0.5 - 0.4772 = 0. 0228

EJEMPLO 3.Supóngase que se sabe que los pesos de cierto grupo de individuos están distribuidos aproximadamente en forma normal con una media de 70 Kg. y una desviación estándar de 12.5 Kg. Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar de este grupo pese entre 50 y 85 Kg?

SOLUCIÓN:

P (50 ≤ X ≤ 85) = P Z50 7012 5

85 7012 5

− ≤ ≤ −

. .

= P( -1.6 ≤ Z ≤ 1.2 )= P( -1 .6 ≤ Z ≤ O ) + P ( O ≤ Z ≤ 1.2)= 0.4452 + 0.3849= 0.8301

2.4.- RELACIÓN ENTRE LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL Y NORMAL

Si N es grande y ni p ni q están muy próximo a cero, la distribución binomial puede aproximarse estrechamente a la distribución normal con variable tipificada por:

Z X NPNPq

= −

La aproximación es tanto mejor conforme aumenta N, y en el límite es total . Esto se ve claramente en las propiedades de las distribuciones que al aumentar N, el sesgo y la curtosis de la distribución Binomial se aproximan a los de la distribución Normal. En la práctica, la aproximación es muy buena si ambos Np y Nq son superiores a 5.

2.5 RELACIÓN ENTRE LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL Y DE POISSON

54


En la distribución binomial, si N es grande, mientras que la probabilidad P de ocurrencia de un suceso está cerca de cero, de modo que q = (1 - p) está cerca de 1, el suceso recibe el nombre de “raro “. En la práctica se puede considerar un suceso como raro si el número de repeticiones del experimento (ensayos) es al menos 50 (N ≥ 50) mientras que Np es menor que 5. En tales caso la distribución binomial se aproxima mucho a la distribución de poisson con λ = Np. Esto se ve comparado las dos propiedades de cada una de las distribuciones y sustituyendo λ = Np, q ≅ 1 y p ≅ 0.

Puesto que existe una relación entre las distribuciones binomial y normal, se deduce que hay también una relación entre las distribuciones de poisson y normal. Puede en efecto ponerse de manifiesto que la distribución de poisson se aproxima ala normal con variable tipificada.

X − λλ

Cuando λ crece indefinidamente.

55


PROBLEMAS SOBRE LA UNIDAD 2.0

2.1 Responda las preguntas siguientes:

a.) Que se entiende por distribución de probabilidades de una variable aleatoria?

b.) Cómo se diferencian las variables aleatorias discretas de las continuas?

c.) Qué es una variable aleatoria ?

d.) Pueden estudiar las probabilidades sin necesidad del concepto de variable aleatoria ?. Discuta su respuesta.

ESPERANZA MATEMÁTICA

2.2 En un negocio determinado un hombre puede tener un beneficio de $ 379.000 con probabilidad 0.6 o una pérdida de $ 120.000 con probabilidad

0.4. Determinar su esperanza.

2.3 Hallar ( a ) E ( X ), ( b ) E ( X2 ), ( c) E X X(_ _

)−

2 para la

siguiente distribución de probabilidad.

X : 9 14 16 23 37

P ( X) : 1/7 1/5 4/5 3/7 1/9

2.4 Cual es precio justo a pagar para entrar en un juego en el que uno puede pagar $ 5.000 con probabilidad de 0.4 y $ 3.500 con probabilidad de 0.6.

2.5 Si llueve, un vendedor de paraguas puede ganar $ 130.000 por día. Si no llueve, puede perder $ 56.000 por día, cual es su esperanza matemática si la probabilidad de lluvia es 0.4.

56


2.6 Se ha estimado que siguiendo cierta dieta y cierto tipo de ejercicios, una persona robusta pierde 1.0 kg de su peso por semana con probabilidad 1/2, pierde 1.5 kg con probabilidad 1/4, pierde 2.0 kg con probabilidad 1/6 y pierde 2.5 kg con probabilidad 1/12. Halle la pérdida de peso esperada por semana para una persona sometida a dicha dieta.

2.7 Una lotería del país vende 10.000 billetes cada uno de 100 fracciones a un costo de $ 200 por fracción. Cada fracción ganadora recibe un premio de $ 300.000. Si una persona acostumbra comprar una fracción de esta lotería, cuánto espera ganar en promedio semanal?

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 2.8 Un vendedor de seguros vende póliza a 5 hombres, todos de las

misma edad y con buena salud. De acuerdo con las tablas actuariales, la probabilidad de que un hombre de esta edad viva 30 años más es 2/3. Hallar la probabilidad de que a los 30 años vivan:

a.) Los 5 hombres,b.) Al menos 3c.) Solamente 2d.) Al menos 1.

2.9 Supóngase que el 24 por ciento de cierta población tiene el grupo sanguíneo B. Para una muestra de tamaño 20 extraída de una población, encontrar la probabilidad de que:

a.) Se encuentren exactamente tres personas con grupo sanguíneo B.

b.) Se encuentren tres o más personas con las característica de yinterés.

c.) Se encuentren menos de tres .

2.10 Supóngase que se sabe que la probabilidad de recuperación de cierta enfermedad es de 0.4. Si 15 personas contraen la enfermedad, cuál es la probabilidad de que:

a.) Tres o más se recuperen?.b.) Cuatro o más?c. ) Menos de cinco ?

57


2.11 Supóngase que la tasa de mortalidad para cierta enfermedad es del 0.10 y supóngase que la contraen 9 personas de la comunidad. Cuál es la probabilidad de que:

a.) Ninguna sobreviva?b) El cincuenta por ciento muera?c. ) Al menos tres mueran.

2.12 El 80% de los cerdos de una región está infectado con triquinosis. Se examinan 20 cerdos de esa región, halle la probabilidad de que:

a.) A lo sumo 12 estén infectados.b.) Haya entre 13 y 16 cerdos infectadosc.) Haya más de 14 cerdos infectados.

2.13 Las gallinas ponen huevos fecundos entre las 24 y las 28 horas siguientes a su apareamiento. La vida de los espermatozoides en el cuerpo de la gallina puede prolongarse de 15 a 20 días después. En un experimento realizado para determinar la fecundidad de los huevos puestos por las gallinas después de estar separadas del gallo, se encontró que pasado cuatro días de separación, el 70% de los huevos resultaron fecundos. Si se toman 15 huevos al azar, halle la probabilidad de que todos resulten fecundo y la probabilidad de que no menos de 10 resulten fecundos.

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

2.14 Supóngase que se sabe que en cierta área de una gran ciudad, el número promedio de ratas por manzanas de casas es de cinco .Su poniendo que el número de ratas se distribuye según poisson, encuentre la probabilidad de que en una manzana elegida aleatoriamente:a.) Se tenga exactamente cinco ratas.b.) Más de cinco ratas.c.) Menos de cinco ratas.d.) Entre cinco y siete ratas, inclusive.

2.15 Supóngase que durante un periodo de varios años, el número promedio de muerte debida a cierta enfermedad no contagiosa ha sido de diez. Si el número de muertes debidas a esta enfermedad sigue la distribución de poisson, cuál es la probabilidad de que durante el año que transcurre:

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a.) Mueren exactamente siete personas de esa enfermedadb.) Mueran diez o más personasc.) Nadie muera de esa enfermedad.

2.16 Si el número medio de accidentes graves por año en una fábrica (el número de empleados es constante) es de cinco, encontrar la probabilidad de que en el año en curso:a.) Se tenga exactamente siete accidente.b.) Diez o más accidentec.) Ningún accidented.) Menos de cinco accidente.

2.17 En un estudio sobre la efectividad de un insecticida contra cierto insecto, se roció un área grande de tierra, posteriormente se examino el área en relación con los insectos vivos, seleccionando lotes cuadrados al azar y contando el número de insectos vivos por lote cuadrado. Experiencias anteriores han demostrado que el promedio de insectos vivos por lote cuadrado después de haber rociado, es de 0.5. Si el número de insectos vivos por lote cuadrado se distribuye según poisson, cuál es la probabilidad de que un lote cuadrado elegido contenga:a.) Exactamente un insecto vivo.b.) Menos de cuatro.c.) Mas de un insecto.

2.18 Se ha estimado en un 0.5% el número de nacimientos de niños vivos con alguna anomalía cromosómica. Cuál es la probabilidad de que en los próximos 2.000 niños que nazcan vivos hayan por lo menos 10 con anomalías cromosómica.

2.19 Si el 3% de las bombillas fabricadas por una compañía son defectuosas, hallar la probabilidad de que en una muestra de 100 bombillas, sean defectuosas a.) 5 Bombillasb.) Más de cincoc.) Entre 1 y 3 d.) Menos de 4.

DISTRIBUCIÓN NORMAL

2.20 Hallar el área bajo la curva normal:a.) A la izquierda de Z = - 1.78b.) A la izquierda de Z = 0.56

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c. ) A la derecha de Z = -1.45d.) A la correspondiente a Z ≥ 2.16e.) Correspondiente a - 0.80 ≤ Z ≤ 1.53f.) A la izquierda de Z = -2.52 y a la derecha de Z = 1.83

2.21 Si la altura de 300 estudiantes se distribuyen normalmente con media 68 pulgadas y desviación típica de 3 pulgadas, cuántos estudiantes tienen alturas:a.) Mayor de 72 pulgadas.b.) Menor o igual a 64 pulgadasc.) Entre 65 y 71 pulgadas inclusive.d.) Igual a 68 pulgadas.

2.22 Supóngase que las edades en la que se adquieren cierta enfermedad están distribuidas en forma aproximadamente normal con una media de 11.5 años y una desviación estándar de 3 años. Un niño acaba de contraer esta enfermedad. Cuál es la probabilidad de que el niño tenga:a.) Entre 8 ½ y 14 ½ años de edad.b.) Más de 10 años de edadc. ) Menos de 12 años.

2.23 En el estudio de las huellas digitales, una importante característica cuantitativa es el número total de surcos para los 10 dedos de un individuo.

Supóngase que los números totales de surco de los individuos en cierta población están distribuidos aproximadamente en forma normal, con una media de 140 y una desviación estándar de 50. Hallar la probabilidad de que un individuo elegido al azar de esta población tenga un número de surcos :a.) De 200 o másb.) Menos que 100c.) Entre 100 y 200

2.24 Si las capacidades de la cavidad craneana de ciertas población están distribuidas aproximadamente en forma normal, con una media de 1400 c.c y una desviación estándar de 125, encontrar la probabilidad de que una persona elegida al azar de esta población tenga una capacidad de la cavidad craneana.a.) Mayor que 1450 ccb.) Menos que 1350 ccc.) Entre 1300 y 1350 cc

60


2.25 Dada una población normalmente distribuida con una media de 75 y una varianza de 225, encontrar.

a.) P ( 50 ≤ X ≤ 100 )b.) P ( X > 90 )c.) P (X < 60 )d.) P (X ≥ 85 )e.) P ( 30 ≤ X ≤ 110)

2.26 La pérdida de agua por transpiración de una planta de maíz en un día caluroso es una variable aleatoria aproximadamente normal con media 2,7 litros y varianza 0.64 litros2. Que porcentaje de planta de maíz pierden más de 3.2 litros de agua por día caluroso.

2.27 Calcular la media, desviación típica, coeficiente de sesgo y coeficiente de curtosis de una distribución en la que P = 0.7 y N = 60, interpretar los resultados.

2.28 Responda las preguntas siguientes:

a.) Qué son los ensayos de Bernoulli.b.) Qué características determinan un fenómeno Binomial.c. ) Qué característica determina un fenómeno de poisson.d,) Cómo se estandariza un variable aleatoria.

2.29 Un dado se lanza 180 veces. Hallar la media, desviación típica, coeficiente de curtosis y coeficiente de sesgo del número de veces que aparece el 4 en este experimento.

61


UNIDAD 3.0

DECISIÓN ESTADÍSTICA

ObjetivoDe la unidad: Desarrollar la metodología de prueba de hipótesis como una técnica para analizar diferencias y tomar decisiones; determinar los riesgos implicados al tomar tales decisiones.

Contenidos:3.0 Nociones sobre pruebas de hipótesis y métodos no parametritos 3.1 Pruebas de Uno y Dos Extremos

3.2 Reglas de Decisión

3.3 Errores Estadísticos

3.4 Potencia de una Prueba

3.5 Procedimientos Estadísticos en la Investigación

3.6 Diferencias entre las Pruebas Parámetricas y no Parámetricas

3.7 Prueba Binomial

3.8 Prueba de los Signos

3.9 Prueba de Cox y Stuart para Tendencia

3.10Prueba X2 Para Diferencias en Probabilidades 2x2

3.11Prueba de Mc Nemar Para Cambios de Significancias

3.12Prueba de la Mediana

3.14Prueba de Bondad de Ajuste de Kolmogorov-Smirnov

3.15Prueba U de Mann-Whitney

3.16Prueba de Kruskal-Wallis

3.17Prueba de Sparman

Ejercicios

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3.0 NOCIONES SOBRE PRUEBA DE HIPÓTESIS Y MÉTODOS NO PARAMETRICOS

El término más ampliamente usado en la estadística moderna es la palabra “decisión”; se usa tanto porque la teoría estadística y los métodos estadísticos toman una importancia, siempre en aumento, en la confección y análisis de los criterios en los cuales se basan las decisiones.

No importa como decidamos los problemas que surgen en las ciencias naturales, en la economía, en la vida cotidiana, etc. siempre hemos de enfrentarnos, con el riesgo de escoger incorrectamente y sufrir las consecuencias que encierra.

Considérense las siguientes cinco preguntas.

1. Qué porcentaje de los cupones impresos en un período se recupera?.2. Es más eficaz la receta A que la B?.3. Es cierto que el 30% de las personas compra su marca favorita de

pasta para dientes sin importarle el precio de ésta?.4. Se encuentra este dado cargado a favor del 3?.5. Los resultados que obtienen los hombres y las mujeres en la parte

verbal de la prueba SAT, ¿son diferentes?.

Estas preguntas son de dos tipos. Las preguntas 1 y 2 piden una respuesta numérica. Las últimas tres requieren un respuesta del tipo si o no.

En muchas ocasiones, los estadísticos tratan este tipo de preguntas mediante la formulación de dos proposiciones opuestas que reciben el nombre de hipótesis. Una hipótesis estadística es una afirmación a cerca de una población. Un experimentador intenta probar o desmentir una afirmación “más allá de toda duda razonable” mediante un análisis de la muestra obtenida de esa población. Para las preguntas 3, 4 y 5 pueden obtenerse los siguientes pares de hipótesis.

3. Denótese con p = P(una persona compra su marca favorita de pasta para dientes sin importar el precio de ésta). Entonces las dos hipótesis podrían ser:

H1: El 30% de las personas compra su marca favorita sin importar el precio, p =0.30

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H2: El porcentaje de quienes son fieles a su marca es diferente del 30%, p ≠ .30.

4. Sea p= P (en un tiro, el dado muestra un 3). Las dos hipótesis podrían ser:

H1: El dado es legal, p = 1/6.

H2: El dado está cargado en favor del 3, p > 1/6

Nótese que no se considera la posibilidad de que p sea menor de 1/6.

De manera estricta, H1 y H2, en este ejemplo, no son exactamente opuestos. Las hipótesis opuestas de H2:p>1/6 es H: p≤1/6, esto es p es menor o igual a 1/6. Ocurre en muchas ocasiones que en un experimento real no se consideran ciertas alternativas. en este caso, si una persona comienza a sospechar al observar que el dado muestra muchos 3, el mismo comportamiento indica que no existe ninguna razón para tratar de establecer que se están obteniendo muy pocos 3. Sólo se desea decidir si se obtienen o no más números 3 de los que se esperaría obtener con un dado legal.

5. Sea uB el promedio de los resultados obtenidos por los hombres, y uG el promedio de las mujeres. Las hipótesis podrían ser:

H1: Los hombres y las mujeres obtienen los mismos resultados en la parte verbal de la prueba SAT, esto es, uB = uG.

H2: Los hombres y las mujeres obtienen diferentes resultados en la parte verbal de la prueba SAT, esto es, uB ≠ uG.

En general, los profesionales de la estadística prueban la hipótesis que les dice qué esperar al proporcionarle un valor específico con qué trabajar.

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Ellos hacen llamar a esta hipótesis nula y la denotan por H0. La hipótesis nula es la que presume franqueza y lealtad. Es la que ve al mundo a través de anteojos de color rosa. El dado es legal. La afirmación que se encuentra en este periódico es verdadera. Esta teoría es correcta. La hipótesis opuesta recibe el nombre de hipótesis alternativa y se denota como H1: Sin embargo, la mayor parte de las veces esta hipótesis no es de interés. Se sospecha que el dado está cargado, que el periódico está en un error, que la teoría está equivocada. En muchas ocasiones, es esta sospecha la que incita a investigar, en primer lugar, la pregunta. Algunos estadísticos se refieren a H1 como la hipótesis motivada.

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3.1 PRUEBAS DE UNO Y DOS EXTREMOS

Si se sospecha que cierta hipótesis nula es falsa, pueden formularse tres alternativas diferentes. Supóngase que una persona lee en la revista “Pets” que el 34% de las personas en Guatemala son propietarios de más de dos mascotas y se pregunta si en su localidad, Nort Southtown, el porcentaje será el mismo. Entonces, su hipótesis nula deberá ser que cifra de 34% es verdadera.

Sea P (un habitante de North Southtown es propietaria de más de dos mascotas). Entonces, H0 es p =0.34.

La hipótesis alternativa podría ser cualquiera de las siguientes.

1. Si se piensa que p es mayor de 0.34 entonces H1: p>0.342. Si se sospecha que p es menor de 0.34, entonces H1: p<0.34.3. si no se tiene ninguna idea de si el valor de p es más grande o más

pequeño de 0.34 entonces puede escribirse p ≠ 0.34.

En la primera alternativa sólo se está interesado en aquellos valores de p que sean más grande que 0.34 y en la segunda en aquellos que sean menores de 0.34. Estas se denominan pruebas de un extremo, ya que los valores de interés se encuentran en cualquier dirección a partir de 0.34. La tercera alterativa se conoce como prueba de dos extremos, ya que los valores de interés se encuentran en cualquier dirección a partir de 0.34.

Nótese que se han formulado las hipótesis de manera tal que el signo de igualdad (=) siempre aparezca en la hipótesis nula, mientras que los signos (<) y (>) aparecen en la hipótesis alternativa para pruebas de un extremo.

La hipótesis alternativa para pruebas de dos extremos siempre contiene el signo de no es igual (≠).La elección entre una prueba de uno o de dos extremos se encuentra determinada por lo que el estadístico le interese encontrar.

3.2 REGLAS DE DECISIÓN

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Al comienzo de un experimento deben formularse dos hipótesis que tienen la característica de ser opuestas entre sí. Después deberá formularse una proposición con respecto a qué evidencia llevará a pensar que la hipótesis alternativa es verdadera. Esta proposición recibe el nombre de regla de decisión. Cuando la evidencia apoya a la hipótesis alternativa se dice que “se rechaza la hipótesis nula”. Cuando la evidencia no apoya a la hipótesis alternativa, entonces se dice que “no es posible rechazar la hipótesis nula”.

3.3 ERRORES ESTADÍSTICOS

Cuando se prueba una hipótesis nula, lo que se está tratando de decidir es si ésta es falsa o verdadera. Sin embargo, ya que la prueba estadística de hipótesis se basa en la información proporcionada por una muestra y no es posible tener la seguridad completa de que la decisión sea correcta, entones, en realidad, se encaran cuatro posibles situaciones.

3.3.1. H0 es verdadera y la información proporcionada por la muestra conduce a decidir que ésta es verdadera.

3.3.2. H0 es verdadera, pero la información proporcionada por la muestra conduce a decidir, incorrectamente, que ésta es falsa.

3.3.3. H0 es falsa y la información proporcionada por la muestra conduce a decidir, de manera correcta, que ésta es falsa.

3.3.4. H0 es falsa, pero la información proporcionada por la muestra conduce a decidir, en forma errónea, que ésta es verdadera.

En la primera y terceras situaciones, se ha tomado una decisión correcta.

En la segunda situación se rechaza una hipótesis nula que es verdadera.

Esto se conoce como error de tipo I. En la última situación no se rechaza una hipótesis nula que es falsa. Los profesionales de la estadística llaman a eso error de tipo II. La tabla siguiente proporciona un resumen de estos dos tipos de errores.

No se rechaza H0 Se rechaza H0

H0 es verdadera Correcto Error de tipo I

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H0 es falsa Error de tipo II Correcto

Se utilizará la primera letra del alfabeto griego, alfa (α), para presentar la probabilidad de cometer un error de tipo I. De manera similar, beta (β), representará la probabilidad de cometer un error de tipo II.

3.4 POTENCIA DE UNA PRUEBA

Los estadísticos hacen referencia al valor de la expresión 1 - β como la potencia de una prueba. Esta es una medida de lo buena que es una prueba para rechazar una hipótesis nula que es falsa. Mientras más “poderosa” sea una prueba, es decir mientras más cercano a uno sea el valor de 1 - β será mayor la probabilidad de rechazar una hipótesis nula que sea falsa.

Una parte importante de la teoría estadística trata el problema de encontrar una regla de decisión que haga que una prueba, de hipótesis sea lo más poderosa posible para cualquier valor dado de α. El trabajo teórico original en esta área fue desarrollado por J. Neyman y E. S. Pearson, en la década 1930 - 1940.

3.5 PROCEDIMIENTOS ESTADÍSTICOS EN LA INVESTIGACIÓN

En el campo de la salud pública sólo mediante procedimientos estadísticos podrá conocerse la composición y principales características de la población que se va a servir, los cambios que acontecen en ella, los riesgos a que está sometida y las necesidades que presenta.

La planificación de las actividades de la salud pública, el control de los programas que se están desarrollando y la evaluación final de su rendimientos y eficiencia sólo podrá llevarse a cabo mediante procedimientos estadísticos. En tal sentido la estadística es tan imprescindible para el trabajo de la salud pública, como lo es la contabilidad en las actividades del Comercio y la Industria.

El procedimiento que seguiremos en este trabajo comprende varios pasos; las cuales será aplicadas en su orden.

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3.5.1 Formación de la Hipótesis de Nulidad (Ho). Es una hipótesis de diferencias nulas; es formulada por lo común con la intención expresa de ser rechazada. Si se rechaza, puede aceptarse entonces la hipótesis alterna (H1), la cuál es la aseveración operacional de hipótesis de investigación del ser experimentado.

3.5.2 Elección de una prueba estadística (con su modelo estadístico asociado) para probar Ho. De las pruebas capaces de usarse con un diseño de investigación dado, hay que escoger aquella cuyo modelo se aproxima más a las condiciones de la investigación y cuyos requisitos satisfacen las medidas usadas en la investigación.

3.5.3 Especificación del nivel de significancia ( ∝ ) y del tamaño de la muestra (N)

3.5.4 Encuentro (o suposición) de la distribución muestral de la prueba estadística conforme a Ho.

3.5.5 Sobre los resultados obtenidos hasta a hora se toma o se define la región de rechazo.

3.5.6 Calculamos el valor de la prueba estadística con los datos obtenidos de la (s) muestra (s). Sí el valor desciende a la región de rechazo Ho, debe rechazarse; si el valor cae fuera de la región derechazo, Ho no puede rechazarse al nivel de significación escogido.

3.6 DIFERENCIA ENTRE LAS PRUEBAS PARAMÉTRICAS Y NO PARAMÉTRICAS

Aunque en cada caso, el interés se enfoca en estimar o probar una hipótesis; una prueba estadística Paramétrica, es aquella cuyo modelo especifica ciertas condiciones acerca de los parámetros de la población de la que se obtuvo la muestra investigada, que no se prueba ordinariamente, sino se supone que se mantienen. La significación de los resultados de una prueba paramétrica depende la validez de estas suposiciones. Las pruebas paramétricas también requieren de los puntajes analizados sean productos de una medición que por lo menos tenga la fuerza de una escala de intervalo

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Una prueba estadística no paramétricas es aquella cuyo modelo no especifica las condiciones de los parámetros de la población de la que se saco la muestra. Hay algunas suposiciones que se asocian con la mayorías de las pruebas estadísticas no paramétricas: observaciones independientes y variables de continuidad básica; pero estas suposiciones son pocas y muchas más débiles que las asociada con las pruebas paramétricas. Además, las no paramétricas se aplican a datos de una escala ordinal, y algunos a los de una escala nominal.

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3.6.1 Ventajas de las Pruebas Estadísticas No Paramétricas

(i) Permiten la prueba de hipótesis que no son afirmaciones acerca de valores de parámetros de población.

(ii) Puede usarse pruebas no Paramétrica cuando se desconoce la forma de la población muestreada; aunque algunas pruebas no paramétricas supongan identidad de forma de dos o más distribuciones de población. En ciertos casos, las pruebas no paramétricas suponen que la distribución de base es continua, suposición que comparten las pruebas paramétricas.

(iii) Sí los tamaños de las muestras son tan pequeños como N=6, no hay alternativa no paramétrica a menos que se conozcan exactamente la naturaleza de la distribución de la población.

(iv) Hay pruebas estadísticas no paramétricas adicionadas para observaciones hechas en poblaciones diferentes. Ninguna prueba paramétrica puede manejar tales datos sin exigirnos suposiciones aparentemente irreales.

( v) Las pruebas estadísticas no paramétricas son útiles tanto para datos inherentes a los rangos como datos cuyos puntajes aparentemente numéricos tiene fuerza de rango.

( vi) Los métodos no paramétricos son útiles para los datos simplemente clasificatorios, medidos en una escala nominal y son estos métodos más fáciles en relación con el cálculo y como consecuencia, se aplican con mayor rapidez que los procedimientos paramétricos.

3.6.2 Desventajas de las Pruebas Estadísticas No Paramétricas

(i) El uso de procedimientos no paramétricos con datos que pueden manejarse con un procedimiento paramétricos conduce a un desperdicio de datos.

(ii) Hasta el momento (al menos no conocemos) no hay métodos no paramétricos para probar las interacciones dentro del modelo de análisis de varianza.

(iii) La aplicación de algunas de las pruebas no paramétricas puede ser laboriosa para muestras grandes.

71


3.6.3 ¿Cuando se deben usar las Estadísticas no Paramétricas?

Los procedimientos no paramétricos proporcionan alternativas útiles y en muchas situaciones únicas, como las siguientes:

(i) Cuando la hipótesis que se va a verificar no incluye un parámetro de población.

(ii) Cuando los datos consisten en conteo o rangos de frecuencias, más bien que en medidas tales como: estatura, peso, puntajes de pruebas etc.

( iii) Cuando no se hacen las suposiciones necesarias para la aplicación válida de un procedimiento paramétrico.

(iv) Cuando se necesitan rápidamente los datos o información, que con el uso de procedimientos paramétricos sólo se conseguirán después de un período relativamente largo.

EL TAMAÑO DE LA MUESTRA. Muchas veces nos cuestionamos acerca del tamaño que debe tener una muestra y, sin embargo, es éste un

aspecto de gran importancia. Dado un nivel de confianza α , denominamos error de estimación, denotado por E a la máxima diferencia que permitir, con nivel de confianza 100(1 - α ) %, entre el parámetro desconocido y el estadístico utilizado como estimador.

FORMULAS PARA CALCULAR EL TAMAÑO DE LA MUESTRA:

1.0 ERROR MAXIMO DE ESTIMACIÓN:

E = n

σαΖ 2

E = 12 −

−Ζ NnN

nσ

α

Los valores de mayor uso para Ζ 2α son 1.645 para confiabilidad del 90%, 1.96 para

95% y 2.575 para una confiabilidad del 99%.

2.0 TAMAÑO DE LA MUESTRA

72


n =

EZ 2

22

2

σα

n =

( ) σ

σ

α

α22

2

2

2

1

2

2ZE

ZN

N

+−

3.0 ERROR MAXIMO PARA PROPORSIÓN: Cuando no se conoce p se toma p= 0.50

E = ( )

nppZ −1

2α

4.0 TAMAÑO DE LA MUESTRA PARA PROPORSIÓN:

n = ( )

E

ppZ2

12

2−α

n =

( )( ) ( )ppN

N

ZE

ppZ−+−

−

11

2

22

2

2

1

α

α

73


3.7. LA PRUEBA BINOMIAL

Es una de las pruebas que se encuentra con más frecuencia en la estadística aplicada. La prueba se obtiene de un proceso conocido como Ensayo de Bernoulli, en honor del matemático suizo James Bernoulli (1.654 - 1.705), quien realizo importantes contribuciones en el campo de la probabilidad. Cuando un sólo ensayo de algún proceso o experimento puede conducir sólo a uno de dos resultados mutuamente exclusivos, tales como muerto o vivo, enfermo o saludable, masculino o femenino, el ensayo se conoce como ensayo de Bernoulli .

DATO: La prueba consiste del resultado de N ensayos independientes. Cada resultado es uno u otro; “ clase 1” ó “ clase 2” pero no ambas ; el número de observaciones en la clase 1 es n1 , y el número de observaciones en la clase 2 es n2 = N - n1 ; por tanto N = n1+n2.

SUPOSICIONES: Se fundamenta esta prueba en las siguientes suposiciones

(i) Cada una de las “n” observaciones se puede clasificar según tenga o no la característica de interés.

(ii) Las “n” observaciones son mutuamente independientes

(iii) La probabilidad p de tener la característica de interés permanece constante en todo el procedimiento de muestreo.

HIPÓTESIS: Hay muchas situaciones en que un investigador desea verificar la hipótesis nula de que, en alguna población de interés, la proporción (porcentajes) de sujetos que tienen determinada característica es igual a algún valor p. Por ejemplo, un investigador en probar una hipótesis nula relacionada con la proporción de estudiantes del bachillerato que fuman, o la proporción de víctimas del cáncer que sobreviven durante cinco años o más, etc.

La hipótesis nula puede tener una hipótesis alterna bilateral o una de las dos posibles hipótesis alterna unilaterales. Es decir, siendo po alguna constante especifica 0 ≤ po ≤ 1:

(i) Prueba Bilateral o de Dos Colas

74


Ho : p = poH1 : p ≠ po

(ii) Prueba Unilateral o de Una Cola.

Ho : p ≤ poH1 : p > po

(iii) Prueba Unilateral o de Una Cola

Ho : p ≥ poH1 : p < po

PRUEBA ESTADÍSTICA

Un experimento de Bernoulli puede resultar en un éxito con una probabilidad p y en un fracaso con una probabilidad q = 1 - p . Entonces la prueba tendrá una distribución de probabilidades de la variable aleatoria ( V.a ) binomial X, el número de éxito en n experimentos independientes, es:

b ( x ; n , p ) = n Cx. px . q n - x , con X = 0,1,2,....n

La medida (µ ) y la varianza ( ∂² ) de la prueba binomial b( x ; n , p ) están dadas por :

µ = np y ∂² = npq

Estamos interesados en la probabilidad del resultado de la “clase 1”. Permitiremos que la prueba estadística T sea el número de veces del resultado es “ clase 1 “ ; esto es : T = n1

REGLA DE DECISIÓN: Dependiendo en que hipótesis sea probada i , ii, iii las reglas de decisión son diferentes :

75


(i) Prueba de Dos Colas: La región crítica de tamaño α corresponde a las 2 colas de la prueba binomial con parámetros Po y N donde el tamaño de la cola superior es de α1 y el tamaño de la cola inferior es α2 y α1 + α2 = α . Esto es en la tabla binomial para el valor particular de Po y N encontramos el número t1 tal que p ( y < t1 ) = α1 y encontramos el número t2 tal que p ( y > t2 ) = α2 o su equivalente p ( y ≤ t2 ) = 1 - α 2. Donde y es una variable aleatoria binomial con parámetros Po y N.

76


Región aceptaciónRegión rechazo Región rechazo

t1 y t2

Los valores de α1 y α2 pueden ser aproximadamente iguales el uno al otro. Entonces rechazamos Ho si T excede a t2 ( T > t2 ) o si T es menor o igual a t1 ( T ≤ t1 ), en caso contrario aceptamos Ho.

(ii) Prueba de Una sola Cola : Ya que para valores grandes de T indicaremos que ∝ es falso, la región critica de tamaños ∝ consiste para todos los valores de T Mayores que t donde t es el número obtenido de la tabla binomial , usando po y N tales que p ( y > t ) = ∝ o su equivalente p ( y ≤ t ) = 1- ∝ donde Y tiene distribución binomial con

parámetros Po y N Rechazamos Ho si T > t ; aceptamos Ho si T ≤ t.

Región rechazo

t

(iiii) Prueba de Una sola Cola : En este caso para pequeños valores de T indican que Ho es falso, la región crítica de tamaño ∝ consiste para todos valor de T ≤ t donde t es obtenida de la tabla binomial usando Po y N a si que :p ( y ≤ t ) = ∝

donde Y tiene una distribución binomial con parámetros Po y N. rechazamos Ho si T ≤ t , en otro caso aceptamos Ho

77


Región rechazo

t PROCEDIMIENTOS: Brevemente, estos son los pasos para el uso de la

prueba binomial:

(i) Se determina N, el número total de casos observados preferiblemente (N ≤ 25).

(ii) Se determina las frecuencias de ocurrencia observando en cada una de las dos categorías o “clases”

(iii) Se escoge el método para encontrar la probabilidad de ocurrencia conforme a Ho de los valores observados, o valores aún más extremos.

EJEMPLO ILUSTRATIVO. Por registro tomado por el S.S.S. (Servicio Seccional de Salud del Chocó)

en el programa E.T.V. de epidemiología se sabe que en Quibdó existieron en 1.995, 21267 casos censados con 91.584 habitantes de los cuáles se toma una muestra de sangre a 10.957 habitante. Saliendo Positivo (Malaria) 2.648 casas y 8.309 habitantes Negativos. Si denotamos los Positivos como clase 1 entonces Po= 0.24 ; puesto que Po = 2.648/10.957 = 0.24= 24%.

HIPÓTESISHo : Po = 0.24Hi : Po ≠ 0.24

Como n = 8.309 +2.648 la región crítica de tamaño ∝ = 0.05 aproximadamente puede obtener usando la aproximación para muestra grande al final de la tabla, así la región crítica corresponde para todos los valores T ≤ t1 , donde t1 = nPo + W 0.025

npo po( )1 − con ∝ = 0.05 , entonces ∝ / 2 = 0.025; W0.025 = ± 1.96

78


t1= ( 10.957) (0.24) + ( - 1.96 ) 10957 0 24 0 76( . )( . ) = 2542

t2 = ( 10.957) (0.24) + 1.96 10957 0 24 0 76( . )( . ) = 2717

El valor de T obtenido es 2648 en este experimento por lo tanto la Ho es aceptada dado que t1 < T < t2.

3.8 LA PRUEBA DE LOS SIGNOS.

La prueba de los signos es justamente la prueba binomial con Po = ½.

El uso de esta prueba se remonta a 1.710 y por lo tanto tal vez es el métodomás antiguo.Es una de las pruebas no paramétricas mas sencillas de utilizar, su nombre

proviene del hecho de que se basa en la dirección (o signos de más y menos) de un par de observaciones y no en su magnitud numérica.

Es particularmente útil cuando la medición cuantitativa es imposible o no es práctica, pudiendo aún haber cierto orden entre los miembros de cada pareja, es usada esta prueba para dos poblaciones que tienen la misma mediana, puede ser utilizada también para tendencia en una serie de medidas ordinales o como una prueba para correlación.

DATOS : Consiste del resultado de observar una muestra aleatoria bidimensional, ( x1, y1 ) , ( x2 , y2 ) , ........ , ( xi , yi ) , .......... ( xn , yn ) , en donde hay n pares de observaciones.

Dentro de cada par ( xi , yi ) una composición es hecha y la pareja es clasificada como “ + “ ( más) o “ - “ ( menos ).

Sí xi > yi la diferencia se denota con un “ +” Sí xi < yi la diferencia será denotado con un “ - ” .Sí xi = yi eliminará el par de las muestras y se reduce el tamaño de la

misma.

SUPOSICIONES: Tal vez la aplicación más frecuente de la prueba de los signos es la verificación de la hipótesis nula de que la diferencia de las medidas es 0 (cero).

79


Supongamos que designamos un conjunto de puntajes con X y otros conjuntos de puntajes comprendidos en la población relacionando con Y

Las muestras de tamaño N de cada conjuntos de puntajes producirá pares de observaciones , que se pueden designar : ( X1 , X2 ) , ( X2 , y2 ) , ...( Xi , yi ) , ........... ( Xn, yn ) :

(i) Las variables aleatorias bidimensionales ( Xi , yi ), i = 1,2,....,n son mutuamente independiente .

(ii) La escala de medida es por la mayor ordinal dentro de cada par. Esto es cada pareja ( Xi , yi ), puede determinar un “ + “ ( más) , un “ - “ ( menos ) “o “ en pares “ .

(iii) Las parejas ( Xi , Yi ) son internamente consistentes en que sí P ( +) > P ( - ) para una pareja ( Xi , Yi ) entonces P ( + ) > P ( -1 ) para todas las parejas; lo mismo sucede para P ( +) < P ( - ) y P ( +) = P ( -).

HIPÓTESIS:

(i) Prueba Bilateral

Ho : P ( Xi < Yi ) = P ( Xi > Y1 ) ∀iHi : P ( Xi < Yi ) < P ( Xi > Yi ) ∀i ó P ( Xi < Yi ) > P ( Xi > Yi ) ∀i

(ii) Prueba Unilateral

Ho : P ( Xi < Yi ) ≤ P ( Xi > Yi ) ∀i Hi : P ( Xi < Yi ) > P ( Xi > Yi ) ∀i

(iii) Prueba Unilateral

Ho : P ( Xi < Yi ) ≥ P ( Xi > Y1 ) ∀iHi : P ( Xi < Yi ) < P ( Xi > Yi ) ∀i

Es de anotar que la prueba de los signos es insesgada y consistente cuando se prueba las hipótesis de arriba.

80


La prueba es usada también para probar la siguiente contraparte en cuyo caso no es insesgada ni consistente.

(i) Prueba Bilateral: interpretamos la hipótesis nula como “ Xi y Yi “ , tomando el mismo parámetro :

Ho : E ( Xi) = E ( Yi) ∀iHi : E ( Xi) ≠ E ( Yi) ∀i

Similarmente puede hacerse la prueba para la mediana ( med) Ho : Med ( Xi) = Med ( Yi) ∀iHi : Med (Xi) ≠ Med ( Yi) ∀i

(ii) Prueba Unilateral: La hipótesis nula puede ser considerada para indicar que los valores de Xi tienden hacer mayores que los valores de yi ó viceversa. Por lo tanto:

Ho : E ( Xi ) ≥ E ( Yi ) ∀i Hi : E ( Xi) < E ( Yi) ∀i

(ii) Prueba Unilateral:

Ho : E ( Xi ) ≤ E ( Yi ) ∀i Hi : E ( Xi) > E ( Yi) ∀i

PRUEBA ESTADÍSTICA

La estadística para esta prueba denotada por T , es el número de signos “ más “ ( +) entre las N pares . Dado que bajo Ho cada par constituye un

ensayo independiente con una probabilidad para el signo “ + “ de 0.5 , la estadística T tiene una distribución binomial con P = 0.5 .

T : Nº de parejas ( Xi , Yi ) en la cuál Xi > YiT : Nº de “ +”

REGLA DE DECISIÓN

81


Es prioritario que se elimine todas las parejas empatadas y se tome a N como todas las parejas no empatadas , es decir , N = Nº total de “ + “ y “ - “

α Representará el nivel de significancia aproximado.

La regla de decisiones siguiente depende de la hipótesis a probar.

( i) Bilateral : Para N ≤ 20 se usa la Tabla Binomial con el valor aproximado para N y con P = 0.5 . Seleccionando en la tabla un valor al rededor de α/ 2 y lo llamaremos α1. El valor de Y corresponde a α1 es

llamado t. La región crítica de tamaño 2α corresponde al valor de T ≤ t o T ≥ n - t .

Rechazamos Ho si T ≤ t o si T ≥ n - t al nivel de significancia 2α1 en otro caso aceptamos Ho.

Para n > 20 se usará la aproximación:t = ½ ( n + W α/2 n )

Donde W α/2 es obtenida de la tabla si α = 0.05 entonces W α/2 = (- 1.996) y la anterior ecuación seria aproximadamente t = n/2 - √ n

(ii) Unilateral : Para grandes valores de T indica que un más “ +” es probable que un menos “ - ” como dice H1 ; así la región crítica correspondiente a valores de T ≥ n-t, donde t es hallado por medio de la tabla con P = 0.5 y n , y es aproximadamente igual a α1 . El valor correspondiente a α1 es t. Para n > 20 puede encontrarse por la aproximación

t = ½ ( n + W α n ).

Ho es rechazado al nivel de significancia α1 ( o α si el valor en la tabla es exacto ) si T ≥ n - t .

82


(iii) Unilateral : Para pequeños valores de T indica que un menos “ - ” es más probable que un mas “ +” en conformidad con H1 ; por tanto t es encontrada exactamente como en (y). La región crítica de tamaño α1 ( o α ) correspondiente al valor de T ≤ t rechazamos Ho si T ≤ t al nivel de significancia α1 ( o α en el caso de n ≥ 20)

PROCEDIMIENTOS

Para el empleo de esta prueba se usa estos pasos.

(i ) Examine cada una de las parejas ( Xi , Yi )(ii) Si Xi > Yi asigne el signo “mas “, si Xi < Yi, asigne el signo “menor; si

Xi = Yi descarte la pareja.

(iii) Represente con n el número de parejas no descartadas.

(iv) Para probar la hipótesis de no diferencia entre los efectos de algún tratamientos, compare el número de veces que se presenta el signo menos frecuente (valor observado) con los valores críticos tabulados.

(v) Si el valor observado es igual o menor que el valor tabulado para el nivel de significancia escogido, la hipótesis se rechaza; de otra manera no se rechaza.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1.

El SSS del Chocó en el programa de malaria trata de decidir si utiliza el rociado contra el zancudo (Anofele) en ciertos barrios de la Ciudad de Quibdó en orden prioritario. (Barrios periféricos y del casco urbano).

Se tomaron muestras de 1.000 casas y así detectar el número de afectados de Paludismo (Falsiparum y Vivas). Para la cual se presentan la siguiente estadística.

TABLA QUE MUESTRA LAS PERSONAS AFECTADAS POR PALUDISMO

83


BARRIOS CASACASO

POSITIVO

CASO NEGAT

IVOFALSIPARUM VIVAS

1 200 36 164 20 162 150 25 125 11 143 100 8 92 4 44 80 5 75 3 25 70 2 68 2 06 70 7 63 1 67 120 16 104 4 128 50 4 46 2 29 60 7 53 4 310 60 12 48 7 511 25 5 20 3 212 15 3 12 2 1

84


∑ 1000 130 870 63 67

85


¿De la tabla anterior se puede inferir al nivel de significancia de 0.05 que las personas afectadas de malaria “Falsifarum” son afectadas mayormente de salubridad, que los afectados de “Vivas” ?

SOLUCIÓN: Si Po , P representa las personas afectadas por Fasiparum y Vivas respectivamente entonces.

Ho : Po = PH1 : Po > Pα : 0.05

ESTADÍSTICO DE PRUEBAS

Variable Binomial con P= 1/2.

Tablas que relacionan personas afectadas de malaria ( Falsiparum y Vivas )

86


ESTIMACION DE CONOCIMIENTOS DE PERSONAS AFECTADAS POR LA MALARIA (FALSIPARUM-VIVAS)

DIRECCION SIGNOS

Barrios Pares Falsiparum Vivas1 ( F1, V1) 20 16 XF1 > XV1 +2 (F2 , V2) 11 14 XF2 < XV2 -3 (F3 , V3 ) 4 4 XF3 = XV3 04 (F4 , V4) 3 2 XF4 >XV4 +5 (F5 ,V5) 2 0 XF5 > XV5 +6 (F6 , V6) 1 6 XF6 < XV6 -7 (F7 ,V7) 4 12 XF7 < XV7 -8 ( F8 , V8) 2 2 XF8 = XV8 09 ( F9 , V9) 4 3 XF9 > XV9 +10 (F10 , V10) 7 5 XF10 >XV10 +11 (F11 , V11) 3 2 XF11 > XV11 +

87


12 ( F12, V12) 2 1 XF12 > XV12 +

88


Después de establecer cada Fxi > Vyi con un símbolo “ + “ y cada Fxi < Vyi con un “- “ y descartar cuando Fxi = Vyi = 0 en la tabla anterior entonces se tiene que n = 10 y X = 7 utilizando la aproximación de la curva normal se encuentra:

6.5 - 5 3. 3Z = --------------- = ---------- = --------------- = 0.9486833 ≈ 0.95 10 / 2 10 3.1622776

Entonces P = P ( X ≥ 7 ) ≈ P ( Z > 0.95 )

= 1 - P ( Z < 0.95)

= 1 - 0.8289

= 0.1711

Luego no se rechaza Ho y se concluye que las personas afectadas de malarias “falsiparum” son mayormente afectadas en salubridad.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2.

El cuadro siguiente relaciona 20 educadores que se toman la tensión arterial(Teniendo en cuenta el sístole) . En la Caja de Previsión Social del

Magisterio del Chocó.

En el programa de Hipertensión. A intervalo de 4 días de por medio para el mismo paciente;

Utilizar la prueba de los signos para probar, al nivel de significancia de 0.05,

la hipótesis nula de que los educadores asistentes al programa de hipertensión no se están haciendo adecuadamente el tratamiento por lo tanto la presión arterial (sístoles) no se les normaliza.

Sí ρo , ρ representa los educadores que se le tomo la presión arterial el 1º día y 4º día respectivamente estamos :

Ho : ρo , ρHi : ρo > ρ

89


∝ = 0.05.

ESTADÍSTICO DE PRUEBA

Variable binomial X con ρ = ½ tabla de 20 educadores que se tomaron las tensiones arterial (sístoles) a intervalo de 4 días en la Caja de Previsión Social del Magisterio del Chocó.

90


TABLA QUE MUESTRA 20 EDUCADORES QUE SE TOMARON LAS TENSIONES EN LA CAJA DE PREVISION SOCIAL MAGISTERIO DEL CHOCO

91


EDUCADORES 1º DIA 4º DIA DIREC/ DE LA DIFERENCIA

SIGNOS

1 140 150 (A1i,A4i) i=1,2-,...2 140 140 A11=A41 -3 150 160 A12 = A42 04 120 110 A13 < A43 -5 130 120 A14 >A44 +6 140 120 A15 > A45 +7 160 170 A16 > A46 -8 130 140 A17 < A47 -9 160 130 A18<A49 +

10 120 120 A110= A410 011 140 140 A0111 = A411 012 150 120 A112>A412 +13 120 130 A113<A413 -14 140 130 A114>A414 +15 120 140 A115<A415 -16 150 150 A116=A416 017 130 120 A117> A417 +18 120 140 A118< A418 -19 140 130 A119>A419 +20 150 140 A120>A420 +

92


Después de identificar el proceso de la dirección de la diferencia para establecer los signos, se tiene que:

8.5-8 (0.5)(2)n = 16 , X = 9 entonces Z = --------------- = ---------------- = 1/4= 0.25 luego , 16 /2 4

P = P ( x ≥ 9 ) ≈ P ( z > 0.25) = 1- P ( z > 0.25) = 1-0.5987 = 0.4013.

Esto implica que P = 0.4013 luego se acepta Ho , puesto 0.4013 > 0.05 luego los educadores asistente al programa de hipertensión no se hace adecuadamente el tratamiento por tanto la presión arterial ( sístole) no se les normaliza.

3.9 PRUEBA DE COX Y STUART PARA TENDENCIA

DATOS: El dato consiste de observaciones en una sucesión de M.a X1 , X2., ........, Xn arregladas en un orden particular en tal orden las muestras aleatorias son observadas . Se desea ver si existe una tendencia en la sucesión. Se agrupan las M.a en parejas ( X1 , X1 + c ) , ( X2 , X2 + c) , ....... ( Xn 1-c , Xn ) donde c = n/2 si n es par , y c= n + ½ si n es impar ( la mitad de la M.a es eliminada se reemplaza cada pareja ( Xi , Xi + c) con un “ +” si Xi < Xi + c o un “- “ si Xi > Xi +c. Eliminando los empates el número de parejas restantes es llamado N.

SUPOSICIONES:

( i) Las variables aleatorias X1 , .........,Xn son muestrealmente independiente .

(ii) La escala de medida de las Xi es al menos ordinal

(iii) Las Xi están idénticamente distribuidas, o hay una tendencia esto es las variables posteriores son más probables de ser >, más que < y viceversa.

HIPÓTESIS:

93


(i) Bilateral:Ho : p ( xi < xi +c ) = p ( xi > xi + c ) ∀iH1 : p ( xi < xi +c ) ≠ p ( xi > xi + c ) ∀i

( ii) Unilateral:

Ho : p ( xi < xi + c ) ≤ p ( xi > xi+c ) ∀iHi : p ( xi < xi + c ) > p ( xi > xi+c ) ∀i

( iv) Unilateral:

Ho : p ( xi < xi +c ) ≥ p( xi > xi + c ) ∀iHi : p ( xi < xi +c ) < p( xi > xi + c ) ∀i

La usual interpretación dada en las hipótesis anteriores es la siguiente.

(i) Ho : No existen tendencia H1 : Hay una tendencia hacia arriba o hacia abajo

(ii) Ho : No hay tendencia hacia arriba .H1 : Hay tendencia hacia arriba

(iii) Ho : No hay tendencia hacia abajoH1 : Hay tendencia hacia abajo

PRUEBA ESTADÍSTICA:

Como en la prueba de los signos T = Nº de parejas + (las parejas donde Xi + c > Xc ).

REGLA DE DECISIÓN

Es exactamente la de la prueba de los signos.

EJEMPLO ILUSTRATIVO

La razón promedio de diarrea aguda según el grupo de edad en los pacientes a consulta medica de acuerdo a los datos estadísticos de (morbilidad por consulta medica de urgencia del hospital San Francisco de Asís de Quibdó), es anotada cada mes por un periodo de dos años, la hipótesis:

94


Ho la razón de diarrea aguda en el servicio de urgencia del hospital San Francisco de Asís de la ciudad de Quibdó no es decreciente.

H1 : La razón de diarrea aguda en el servicio de urgencia del Hospital San Francisco de Asís de la cuidad de Quibdó es decreciente.

La razón de diarrea aguda es conocida siguiendo un ciclo anual y de acuerdo a un grupo de edad.

95


TABLA QUE NOS MUESTRA LOS NIÑOS AFECTADOS POR DIARREA

96


1993 1994Menor de 1 año 451 517 + 1 4 años 459 522 + 5 14 años 132 170 +15 44 años 229 276 +45 59 años 59 53 60 y más años 59 81+

97


Xi yi

98


T = Número de pareja donde el año /94 tiene un alto número de pacientes con diarrea aguda con relación a /93 (yi>Xi), lo cual es de 5 en este ejemplo.

Debido que la prueba es detectar una tendencia hacia arriba, la región crítica de tamaño 0.0730 corresponde a todos los valores T ≤ 3, ver tabla con n = 6 y P = ½ . Por consiguiente Ho es aceptada. El nivel critico ∝ es dado por

∝ = P ( T ≤ 5 / Ho es V ) = 0.387.

3.10. PRUEBA X² PARA DIFERENCIAS EN PROBABILIDADES 2x2.

DATO: Cuando los datos de investigación consisten en frecuencias de categorías discretas, pueden usarse la prueba X² para determinar la significación de las diferencias entre dos grupos independientes. La medición implicada puede ser tan vaga como escala nominal.

Los conceptos y técnicas en que se basa esta prueba fueron presentada en 1.900 por Karl Pearson (1857-1936), quién ha sido llamado el fundador de la ciencia estadística.

Un investigador puede estar interesado en saber, respecto de una población, si dos criterios de clasificación están probablemente relacionados ó no .

Una muestra aleatoria de Na observación es sacada de una población ( o antes de aplicado el tratamiento) y cada observación es clasificada en las clases 1 o 2 el Nº total en las dos clases están dada por a1 y a2 respectivamente en donde a1 + a2 = Na.

Una Nb observación es sacada de una segunda población ( o la primera población después de haber aplicado algún tratamiento), y Nº total de observaciones en la clase 1 es b1 y número total de la clase es b2 entonces b1 + b2 = Nb .

Los datos se arreglan en una tabla de contingencias 2x2.

99


CLASE 1 CLASE 2 TOTALTratamiento 1

Población 1

A A1 a2 Na

Tratamiento 2

Población 2 B B1 b2 Nb

100


TOTALES N1 N2

N

101


El número total de observación es N.

SUPOSICIONES

1. Cada muestra es una muestra aleatoria2. Las dos muestras son muestralmente independientes.3. Cada observación puede ser categórizada en la clase 1 o 2

HIPÓTESIS: La probabilidad que un elemento sea seleccionado aleatoriamente estará en la clase 2 y será denotada por p1 en la población 1 y p2 en la población 2.

(I).- Prueba Bilateral

Ho : p1 = p2H1: p1 ≠ p2


Ho : p1 ≤ p2H1 : p1 > p2

No es necesario que p1 y p2 sean conocidos

PRUEBAS ESTADÍSTICAS

N (a1 b2 - a2 b1) ² N( a1b2 - a2b1) ² T = ---------------------------------------------------------- = ---------------------------- (a1 + b1) (a2 + b2) (a1 + a2) (b1 + b2) N1 N2 Na Nb

En 1.934, Yates propuso el empleo de lo que se ha venido a llamar corrección de Yates para continuidad, cuando se esta calculando X ² , con base en una tabla de contingencia 2x2. El propósito de la corrección es mejorar la aproximación de la distribución X ² a la X ². La corrección consiste en restar 0.5 n del valor absoluto de a1b2 - a2b1 en el numerador de la ecuación.

102


N (a1b2 - a2b1 - ½ N) ²Es decir X ² (corregida) = ----------------------------------------. N1 N2 Na Nb

REGLA DE DECISIÓN:

La exacta distribución de T es difícil de tabular por que todas las diferentes combinaciones de a1 , a2 , b1 y b2, por lo tanto la gran aproximación es usada para la T , la cual es X² (1).

(y) Prueba Bilateral: Rechazar Ho a un nivel aproximado ∝ sí T > X1 - ∝ , el cuantíl ( 1 - ∝ ) de una X² (1) .

(ii) Unilateral: Calcular las proporciones de las muestras en clase 1, a1/

NA, y b1 / NB. Si a1/ NA ≤ b1 / NB, en acuerdo con Ho se acepta Ho inmediatamente. Si a1 / NA > b1 / NB, entonces calculamos T , y rechazamos Ho a un nivel aproximado de ∝ / 2, si T > X1 - ∝ , el cuantíl ( 1 - ∝ ) de una X² (1) .

PROCEDIMIENTO

Estos son los pasos para usar la prueba X² para dos muestras Independientes:

(i). Se calcula las frecuencias observada en una tabla de contingencia k x r usando las columnas de k para los grupos y las filas de r para las condiciones. Así, aquí k = 2.

(ii). Se determina la frecuencia esperada para cada una de las celdillas para obtener el producto de los totales Marginales comunes a ella y dividirlo por (N es la suma de cada grupo de totales Marginales. Representa el número total de observaciones independientes. Las N Infladas invalidan la prueba) .

El paso 2 es necesario cuando los datos están en una tabla de 2x2, lo que permiten el uso de la fórmula X² (corregida).

103


(iii) Para una tabla 2x2, se calcula X² en la formula X² (corregida). Cuando r > 2, se calcula X² con la formula X² (no corregida).

(iv). Se determina la significación de la X² observada consultando la tabla para una prueba de una cola, se divide por dos el nivel de significación señalado.

Si la probabilidad dada por la tabla es igual o menor que ∝, se rechaza Ho y se acepta H1

EJEMPLO ILUSTRATIVO

Dos enfermedades sacadas del cuadro estadístico del ISS (Causas de demanda en consulta médica por grupos de edad, resumen mensual), son muestreados aleatoriamente.

Para determinar si la proporción del grupo de 45 y más años afectada es diferente para la dos enfermedades. De la primera enfermedad (I.R.A) 424 de 1476 pacientes fueron afectadas, de la segunda enfermedad ( H.T.A) 1.216 de los 1.404 son consideradas afectados .

AFECTADAS NO AFECTADASENFERMEDAD Nº 1. 424 1.052 1.476ENFERMEDAD Nº 2 1.216 188 1.404

1.640 1.240 2.880

104


Las suposiciones son conocidas y una prueba bilateral es usada.Ho: la proporción afectada son iguales

N ( a1 + b2 - a2 + b2 )2

T = ------------------------------- n1n2 ( a1 + a2 ) (b1 + b2)

2880 [(424) (188) - (1052) (1216) ] 2

T = ------------------------------------------------------- 1476(1404) (1640) (1240)

2880 [ 79712 - 1279232 ] 2 T = ----------------------------------------- ( 1476) (1040) (1640) (1240)

2880 [ - 1199520 ] 2

T = ----------------------------------------- = 983.30 (1476) (1404) (1640) (1240)

T = 983.30

El cuantíl 0.95 de X2 (1) , es 3.841 por lo tanto la región crítica de tamaño

aproximadamente es 0.05 que corresponde a valores de T > 3.841, así Ho es aceptable.

3.11. PRUEBA DE Mc NEMAR PARA CAMBIOS DE SIGNIFICANCIA

Esta prueba es particularmente apropiada para los diseños de “antes y después “en las que cada persona es usada como su propio control, en la medida tiene la fuerza de escala nominal y ordinal. Así, podría usarse para probar la efectividad de un tratamiento particular.

DATO : El dato consiste de observaciones en n v.a bidimensionales (xi, yi); i = 1,....., n . La escala de medida para Xi e yi es normal con 2

categorías , las cuales pueden ser “ 0” y “ 1” , esto es , los valores posibles de ( xi , yi ) son ( 0,0) , ( 0,1) ; ( 1,0) y ( 1,1 ) .

En la prueba de MCNEMAR los datos son usualmente resumidos en una tabla de contingencias 2 x 2 como sigue:

105


Xi = 0 a ( números parejas donde Xi= 0 y yi = 0

b ( No de parejas donde Xi=0 y yi=1

Xi = 31 c ( número de parejas donde Xi = 1 y yi = 0

d ( # de parejas donde Xi=1 y yi=1)

SUPOSICIONES

(i) Las parejas ( xi , yi ) son mutuamente independientes

(ii) La escala de medida es nominal con 2 categorías ∀ xi , yi .

(iii) La diferencia p( xi=0 , yi=1) - p( xi=1 , yi=0) es negativa ∀i o positiva ∀i.

HIPÓTESIS

Ho : p( xi=0, yi=1) = p( xi=1, yi=0) ∀iH1 : p( xi=0, yi=1) ≠ p( xi=1, yi=0) ∀i

Esta hipótesis puede tomar una ligera forma diferente si agregamos p( xi=0, yi=0 ) a ambos lados de la ecuación en

Ho : p( xi=0, yi=1) + p( xi=0, yi=0) = p( xi=1, yi=0) + p( xi=0, yi=0)

106


El lado izquierdo de Ho incluye todas las posibilidades para yi , y aquí es igual p( xi = 0) similarmente, la parte derecha incluye todas las posibilidades para xi , y así igual p( yi=0) por consiguiente tenemos un nuevo conjunto de hipótesis en la forma :

Ho : p( xi=0) = p( yi=0) ∀iH1 : p( xi=0) ≠ p( yi=0) ∀i

Claro está, que es equivalente a:

Ho : p( xi = 1 ) = p ( yi = 1) H1 : p( xi = 1) ≠ p ( yi =1 )

PRUEBA ESTADÍSTICA

La prueba estadística para esta prueba de NCNEMAR es usualmente escrita así:

(b - c) ²T1= --------------

b + c

Sin embargo para b + c ≤ 20 se prefiere T2 = b.

Nótese que Ni T1 ni T2 depende de a o d , esto debido a que a y d representa el número de empates , y estos son descartados en el análisis .

REGLA DE DECISIÓN

Sea n = b + c. Si n ≤ 20 usar la tabla. Si ∝ es el nivel de significancia deseada ver la tabla con n = b + c y p = ½ encontrar en la tabla el ∝/2 aproximado llamado este ∝1 y el valor correspondiente y es llamado t .

Rechazar Ho si T2 ≤ t o si T2 ≥ n - t al nivel de significancia de 2∝1.

107


En otro caso aceptar Ho si n > 20 use T1 y la tabla.Rechazar Ho al nivel de significancia ∝ si T1 > 1- ∝ en donde 1- ∝ es el Cuantíl de X² ( 1 ) en otro caso acepar Ho .

PROCEDIMIENTO ( i) Se ordena las parejas en un tabla de contingencias 2 x 2 .

(ii) Se determina las frecuencias esperadas en las celdillas a y d.

(iii) Se determina la probabilidad conforme a Ho asociada con un valor tan grande como el valor observado de la X² en la tabla.

108


EJEMPLO ILUSTRATIVO.

Durante los meses de Abril - Julio del año 1996 se entrevistaron a 100 personas (M.a) que llegaron al Hospital San francisco de Asís de la Ciudad de Quibdó a utilizar el servicio.

Dichas entrevista fueron realizadas antes que las personas utilizarán los servicios y después de haberlo utilizado.

El objeto de la entrevista fue la calidad de los servicios hospitalarios de dicha entidad. Cuya respuesta fueron calificada como buena calidad o mala calidad.

64 personas manifestaron mala calidad antes de utilizar el servicio. Y 36 manifestaron buena calidad.

Después de utilizar los servicios las mismas personas expresaron su opinión de nuevo.

Aquellas personas que anteriormente manifestaron mala calidad exactamente 0.125 % cambiaron su opinión.

Las personas que anteriormente manifestaron buena calidad 0.25% exactamente cambiaron su opinión.

Los resultados arrojados por la entrevista fueron ubicado en la siguiente tabla.

DESPUES

109


BUENA CALIDAD MALA CALIDAD

ANTES

a

56

b 8

64

c 27

d 9 36

110


100

SOLUCIÓN: Se establecieron las siguientes hipótesis

Ho: A los entrevistados les interesan la entrevista preocupándole los resultados que pueda esta arrojar por el problema de la buena o mala calidad del servicio.

H1: Se establece un cambio en porcentajes en todos los entrevistados quienes manifiestan mala calidad. Considerar los Xi en ( Xi , Yi ) = 0 , si la i-ésima persona manifiesta mala calidad antes , ó , 1 si las personas que manifiestan buena calidad antes.

Análogamente yi identifica a la i-ésima persona después de la entrevista.

La estadística es:

( b - c )² (8 -27 )² ( - 19 )² 361T = ---------------- = ---------------- = ---------------- = ---------- = 10.34 b + c 8 + 27 35 35

Entonces T1 = 10,34

La región crítica de tamaño ∝ = 0.05 corresponde a todas los valores T1 > 3,84 , el cuantíl 0.95 de X² (1) de la tabla. Debido que 10, 34 > 3, 84

Entonces se rechaza la hipótesis nula y la inferencia que se hace es que los entrevistados en su mayoría están interesados de la mala calidad de los servicios hospitalarios.

3.12 LA PRUEBA DE LA MEDIANA.

Es uno de los métodos no paramétricos más simples.

La prueba de la mediana es un procedimiento para contrastar o probar si dos o más grupos (muestras) independientes (no necesariamente del mismo tamaño) provienen de poblaciones con igual mediana. Para mayor simplicidad, se limitará aquí el estudio a dos muestras solamente, pero el procedimiento se puede extender muy fácilmente a tres o más muestra.

111


DATOS : Para cada una de las K poblaciones se obtienen una muestra aleatoria de tamaño ni con i = 1,2,.... , K ; se determina la mediana combinada de la muestra . Esto es el número el cual es excedido por la mitad de las observaciones al ordenar N ( N = ni + n2 + ....+ nK ) el valor de la muestra determinada. Esta es llamada la “Gran Mediana”.

Sean a, b los números de observaciones de la muestra que excede a la gran mediana y c, d el número de observaciones que están por debajo de la gran mediana. Sean ni y n2 los números de observaciones en las dos muestras respectivamente; se obtienen una tabla 2 x 2 como sigue:

112


Números de valores Grupo Ι Grupo ΙΙ TOTALPor encima de la media a b a+bPor debajo de la gran media c d c+d

113


TOTAL a+c =n1 b+d = n2 n1 + n2 = n

114


SUPOSICIONES: Se basa esta prueba en las siguientes suposiciones:

(i) Las muestras son seleccionadas al azar (aleatoria), de sus poblaciones respectivas.

(ii) Las poblaciones son de la misma forma, difiriendo sólo en la localización.

(iii) Las muestras son independientes cada una de las otras y no necesariamente iguales.

(iv) La variable de interés es continua.

(v) La escala de medida es ordinal.

(vi) Si todas las poblaciones tienen la misma mediana , entonces todas las poblaciones tiene la misma probabilidad ρ de que una observación excede la gran mediana.

HIPÓTESIS: La hipótesis de nulidad Ho supone que todos las K poblaciones tienen la misma mediana ; la hipótesis alterna Hi supone que al menos una de las poblaciones tiene diferentes mediana ( Prueba de dos colas ) o que la mediana de una población es más alta que la otra ( prueba de una cola ) .


Si la hipótesis Ho es cierta, esto es, si las dos poblaciones de donde sean tomado las muestras tienen igual mediana, seria de esperar que la mitad de los valores de cada muestra quedaran por encima y la mitad por debajo de la gran mediana. Es decir que se esperaría que: a = c = 0.5 n1 y que b = d = 0.5 n2

Entonces, si n = n1 + n2 es mayor que 20 y cuando la frecuencia esperada en cada casilla es por lo menos 5 , se puede utilizar X² corregida por continuidad. Si la más pequeña frecuencia esperada es menor que 5, se usa la prueba de Fisher; cuando n1 + n2 es menor que 20, se usa la prueba de Fisher.

En este caso usaremos:

115


n ( ad - bc - n/ 2 ) ²X² =----------------------------------- = T

(a +b)( a+c) ( c+d)( b+d)

Que tienen un (1) grado de libertad

REGLA DE DECISIÓN.

La región crítica aproximada de tamaño α corresponde a valores de T > X 1

- α , ( 1 - α ) es el cuantíl de X² ( k-1) si T > X 1 - α rechazamos Ho.

PROCEDIMIENTOS

Estos son los pasos para el uso de esta prueba:

(i) Se determina la mediana combinada (gran mediana) de los puntajes n1 + n2

(ii) Se dividen en la mediana combinada los puntajes de cada grupo. Se registra las frecuencias resultantes en una tabla 2x2

(iii) Se encuentra la probabilidad de los valores observados por la prueba X² (según criterio).

(iv) Si la p resultante de la prueba es igual a o menor que ∝ , se rechaza Ho.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS.

Cuatro diferentes enfermedades registrada en el ISS (teniendo en cuenta el orden para cada enfermedad establecido en el anexo de causa de demanda en consulta medica por grupos de edad fecha año /95 mes, Ι - VΙ ) fueron asignada aleatoriamente a un gran número de persona para cada mes se estableció el número de individuo que padecían cada enfermedad.

116


ENFERMEDADES E.D.A SINDROME FEBRIL ANEMIA AMIBIASIS

43 29 6 349 38 19 1885 45 28 2862 48 62 2740 36 46 2351 44 38 22

Con el propósito de determinar si hay una diferencia entre las enfermedades como resultados de las causas de demanda en consulta médica por grupo de edad, se emplea la prueba de la mediana, debido a la diferencia entre las medianas de la población podría interpretar como una diferencia en el valor del grupo de edad.

Ho : Todos los grupos de edad tiene la misma mediana en la causa de demanda con consulta médica .

Hi : Por lo menos dos de los grupos de edades difieren con respuesta a la mediana en la causa de demanda en consulta médica.

Un conteo revela que existe 24 observaciones, así el promedio de la 12 ava y la 13 ava obsecración mas pequeña es la gran mediana.

117


118


ENFERMEDADES E.D.A SINDROME FEBRIL ANEMIA AMIBIASIS TOTAL

> 38 6 3 2 0 11

≤ 38 0 3 4 6 13

119


TOTALES 6 6 6 6 24

120


Los tamaños de la muestra son pequeños usando X² la región corresponde a valores de T = > 7.815 el cuantíl 0.95 de X² (c-1) = 3 ; T es calculada usando

N2 6 2

T = ------- ∑ ( )o i nia N1 − / ab i=1

(24)2 ( 6 - (6)(11)/ 24 )2 ( 3 - (6)(11)/ 24 )2

T = ------------ ------------------------ + ----------------------- + (11) (13) 6 6

(3 - (6)(11)/ 24 )2 ( 0 - (6)(11)/ 24 )2

---------------------- + ------------------------ 6 6

576 ( 6 - 2.75) 2 ( 3 - 2.75) 2 ( 3 - 2.75) 2 ( - 2.75) 2

T = -------- ------------------ + --------------- + --------------- + ------------- 143 6 6 6 6

( 6 - 2.75) 2 ( 3 - 2.75) 2 ( 3 - 2.75) 2 ( - 2.75) 2

T = 4.02 ------------------ + --------------- + --------------- + ------------- 6 6 6 6

10.56 0.0625 0.5625 7.562T = 4.02 ( ------------------ + --------------- + --------------- + -------------) 6 6 6 6T = 4.02 ( 1.76 + 0.01041 + 0.09375 + 1.26033)

T = 4.02 (3.12449) = 12.560449

121


Debido que T = 12.560449 se tiene que T = > 7.815 ===> Ho es rechazada, utilizando tabla se nota que el nivel critico es ligeramente menor que 0.001 ====> ∝ = 0.001.

3.13. LA PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE KOLMAGOROV - SMIRNOV

Cundo se desea determinar qué también se conforma la distribución teórica de los datos de la muestra o alguna distribución teórica , una prueba conocida como prueba de bondad de ajuste de Kolmagorov - Smirnov proporciona una alternativa a la prueba ji - cuadrada de bondad de ajuste .

La prueba recibe su nombre de A. Kolmagorov y N.V Smirnov, dos matemáticos rusos quienes introdujeron dos pruebas íntimamente relacionadas en la década de 1.930.

DATOS: Muestra aleatoria de X1, X2..... , Xn de tamaño n asociada con alguna función de distribución desconocida denotada por F (x).

SUPOSICIONES:

(i) La muestra es aleatoria.

(ii) Si la función F * (x) en Ho es continua la prueba es exacta.

HIPÓTESIS: Sea F* (x) una distribución completamente especificada.

(i) Bilateral:

Ho : F (x) = F * (x) ∀x ] - α, α [H1 : F(x) ≠ F * (x)

(ii) Unilateral

Ho : F (x) ≥ F* (x) ∀x ] - α, α [Hi : F (x) < F*(x)

(iii) Unilateral

Ho : F(x) ≤ F*(x) ∀x ] - α, α [

122


Hi : F(x) > F*(x)


Sea S(x) la función de distribución empírica basada en la muestra aleatoria X1 , X2, ...., Xn

(i) Bilateral

T1 mayor distancia vertical entre S(x) y F*(x)

T1 = Supx | F* (x) - S(x) |(ii) Unilateral : T+1

T+1 = Sup x [ F * (x) - S(x) ]

(iii) Unilateral : T1

T-1 = Sup x [ F* (x) -S(x) ]REGLA DE DECISIÓN

Rechazar Ho al nivel de significancia ∝ si T1, T+1 o T-1 excede al cuantíl (1 - ∝ ) W1- ∝ dado por la tabla.

PROCEDIMIENTOS

(i) Sea F*(x) la función distribución teórica acumulada completamente especificada bajo la hipótesis nula.

(ii) Sea Sn(x) la f de a muestra basada en n observaciones para cualquier X observada,

kSn (x) =-------------, en donde k es el número de observaciones menores ó n

iguales a X

(iii) Determinar la desviación máxima T1 definida por T1 = Supx [ F* (x) - S(x) ]

123


(iv) Si, para el nivel de significancia escogido, el valor observado de T1 es mayor o igual que el valor crítico tabulado. La hipótesis deberá ser rechazada


Una muestra aleatoria es obtenida del grupo de edad 45-59 años al 1000% a través del cuadro estadístico (10 primeras causas de morbilidad por consulta de urgencias del hospital San Francisco de Asís de la ciudad de Quibdó en enero - Diciembre / 94)

X1 = 0.198 X4 = 0.428 X7 = 0.134 X2 = 0.098 X5 = 0.083 X8 = 0.103X3 = 0.052 X6 = 0.081 X9 = 0.017

X10 = 0.026

La hipótesis nula es la función de distribución uniforme cuya expresión matemática para la distribución hipótizada es:

0, si X < 0F* (x) = X, si 0 ≤ X < 1 1, si 1 ≤ X

Formalmente la hipótesis es:

Ho: F (x) = F* (x)H1: F (x) = F* (x)

Donde F (x) es la función de distribución desconocida común de los Xi; i = 1... 10 y F* (x) es cuando se usa la prueba bilateral de Kolmagorov para la bondad de ajuste.

La región crítica de tamaños ∝ = 0.05 corresponde a valores de T1 mayor al cuantíl 0.95 igual 0.409 obtenido en tabla de T1 es obtenido graficando la función de distribución empírica S(x) encima de F* (x) .

F* (x) .

1

124


0.5

0.5 1

La distribución hipotetizada de la función

Ho: F(x) ≥ F* (x) ∀x

T1 = 0.290 S(x)

F*(x)

0.5 1.0La mayor distancia vertical que separa las dos gráficas es 0.290 lo cual

ocurre cuando X = 0.710 por que S (0.710) = 1 y F* ( 0.710 ) = 0.710 ==> T1 = Sup∝ | F* (x) - S (x) | = | F*( 0.710) - S(0.710 | = | 0.710 - 1 | = 0.290

125


Así que T1 = 0.290 luego T1 es menor 0.409 ( T1 < 0.409 ) entonces Ho es aceptada , el nivel crítico ∝ es visto en tabla y es mayor o igual que 0.20

3.14 LA PRUEBA U DE MANN - WHITNEY

Cuando se ha logrado por lo menos, una medida ordinal, la prueba U de Mann - Wihitney puede usarse para probar si dos grupos independientes han sido tomados de la misma población. Es una de las pruebas no paramétricas más poderosa y constituye la alternativa más útil ante la prueba t cuando el investigador desea evitar las suposiciones que ésta exige o si la medición en u la investigación es más vaga que la escala de intervalo.

DATOS: La prueba consiste en ordenar por rangos todas las puntuaciones en orden creciente.

Sea n1 el número de casos más pequeños de los dos grupos independientes, n2 el número de casos del más grande. Para aplicar la prueba U, se empieza por combinar las observaciones o puntajes de ambos grupos y luego se considera el grupo central.

SUPOSICIONES: Las siguientes suposiciones son necesarias para el uso valido de la prueba U, en la verificación de Ho que dos medias son iguales:

(i) Cada una de las muestras ha sido tomada al azar de su población

(ii) Hay independencia entre las observaciones dentro de cada muestra así como entre las dos muestras.

(iii) La variable aleatoria que se está considerando es continúa en ambas poblaciones.

(iv) Los datos representan medida por lo menos en una escala ordinal.

(v) Las dos f . d. de población si tienen alguna diferencia, se diferencian solamente respecto de la localización.

HIPÓTESIS:

126


La distribución de muestreo del estadístico U puede ser aproximada mediante la distribución normal cuando tanto n1 como n2 son mayor que 10 si se cumple esta condición es posible utilizar la tabla de distribución normal estándar de probabilidad para efectuar la prueba .

(i) Prueba Bilateral:

Ho : u1 : u 2H1 : u 1 ≠ u 2

(ii) Prueba unilateral o de una cola

Ho : u 2 ≤ u 1H1 : u 2 > u 0

(iii) Prueba unilateral o de una cola

Ho : u2 ≥ u 1

H1 : u 2 < u 1

PRUEBA ESTADÍSTICA.

El estadístico U posee característica que permite ahorrarse el tiempo de los cálculos , cuando las dos muestra en observación son de tamaño desigual , para valores medianamente grande de n1 y n2 , el procedimiento de contar para determinar el valor U puede ser tedioso. Una alternativa que de resultados idénticos es asignar el rango de 1 a la suma de puntajes más baja de la combinación n1 + n2, el rango 2 al siguiente puntaje menor, y así sucesivamente. Por lo tanto:

n1 (n1+1)

U = n1n2 + -------------------- - R1 ó igualmente 2

n2 (n2+1)

127


U = n1n2 + -------------------- - R2 2

REGLA DE DECISIÓN: La decisión de rechazar o no Ho en el nivel de significación ∝ depende de la magnitud de T y de cuál de las hipótesis i , ii , ó iii , se está verificando.

Se observan los siguientes criterios.

(i) Prueba de dos colas: Ho: u1 = u2 valores de T suficientemente grande o suficientemente pequeño darán lugar al rechazo. Por lo tanto, se rechaza Ho si la T calculada es menor que W α/2 o mayor que W1 - α/2 donde Wα/2 es el valor crítico de T dado en la tabla y W1 - α/2 está dado por W1 - α/2 = n1 n2 - W α/2

(ii) Prueba de una cola: Ho: u1 ≤ u2 valores suficientemente grande de T dan lugar al rechazo. Por lo tanto rechazamos Ho si T es mayor que W1 - α donde W1 - α = n1 n2 - W α

(iii) Prueba de una cola: Ho: u1 ≥ u2 valores suficientemente pequeño de T dan lugar al rechazo. Por lo tanto rechazamos Ho si la T calculada es menor que W α, donde W α, es el valor crítico de T obtenido consultando la tabla para n1 , n2 y α.

PROCEDIMIENTO.

Esto son los pasos para usar la prueba u de Mann - Whitney.

(i) Se determinan los valores n1 y n2. n1 es el número de casos en el grupo más pequeño, n2, el número de casos en el grupo más grande.

(ii) Se ordenan junto los puntajes de ambos grupos, asignado el rango de 1 al puntaje que sea algebraicamente más bajo. Los rangos van desde 1 hasta N = n1 + n2.

Se asigna a las observaciones ligadas al promedio de los rangos ligados.

(iii) Se determina el valor u contado. Por medio del estadístico y se toma el criterio según el caso de Ho.

128



Pruebe la hipótesis de que no existe diferencia entre las causas de demanda en consulta médica por grupo de edad “ 15 - 44 y 45 -59 años “ de acuerdo al resumen mensual del ISS del Chocó durante el mes de Enero - Junio de 1995.

Teniendo en cuenta el orden de enfermedades ( 12 ≤ X ≤ 21 ), donde X es el número correspondiente al orden en la tabla estadística llevada por dicha Institución durante la fecha .

Edad ==> 15-44 años ==> 4 8 29 53 62 39 63 25 42 27 39 26 20 32 24 73Edad==> 45-59 años ==> 36 38 67 46 48 57 54 25 23 26 36 33 29 32 23.

CAUSAS DE DEMANDA EN CONSULTA MÉDICA POR GRUPOS DE EDADES. RESUMEN MENSUAL EN ORDEN CRECIENTE

RANGO Nº PACIENTE

EDAD (AÑOS)

RANGO Nº PACIENTE

EDAD (AÑOS)

1 20 15 - 44 16 36 45 - 592 23 45 - 59 17 38 45 - 593 23 45 - 59 18 39 15 - 444 24 15 - 44 19 39 15 - 445 25 15 - 44 20 42 15 - 446 25 45 - 59 21 46 45 - 597 26 15 - 44 22 48 15 - 448 26 45 - 59 23 48 45 - 599 27 15 - 44 24 53 15 - 44

10 29 15 - 44 25 54 45 - 5911 29 45 - 59 26 57 15 - 4412 32 15 - 44 27 62 45 - 5913 32 45 - 59 28 63 15 - 4414 33 45 - 59 29 67 45 - 5915 36 45 - 59 30 73 15 - 44

129


Datos brutos y rangos del Nº pacientes obtenidos en la causa de demandas en consulta Medica por grupo de edad resumen mensual en el I.S.S.

130


De enero - Junio de 1995EDAD 15 - 44 RANGO EDAD 45 - 59 RANGO

20 1 23 224 4 23 325 5 25 626 7 26 827 9 29 1129 10 32 1332 12 33 1439 18 36 1539 19 36 1642 20 38 1748 22 46 2153 24 48 2362 27 54 2563 28 57 2673 30 67 29

RANGO TOTALES 236 229

131


n1 = 15 calculado u.; u = n 1 n 2 + n 1(n 1+1) / 2 - R1

n2 = 15 u = (15)(15) + 15(15+1) / 2 - 229R1 = 229 u = 225 + 120 -229R2 = 236 u = 345 - 229 u = 116, que es el estadístico de u.

Ahora calculamos a U con R2: u=1n2 + n1 ( n1 + 1 ) / 2 - R2

u= (15)(15) + 15( 15 + 1) / 2 - 236u = 109.

De estos estadísticos nos interesa el menor ( u = 109). Si se toma el valor más grande tendríamos que aplicar la transformación u = n1n2 - 116.

Si la hipótesis nula de que n1 + n2 observaciones provienen de poblaciones idénticas es verdaderas, este estadístico u tendrá una distribución de muestreo con media de:

uu= 1 2

215 15

22252

112 5n n = = =( )( ) . Media del estadístico U

Error estándar del estadístico u

un n n nσ =

+ +=

+ += =1 2 1 2 1

1215 15 15 15 1

12697512

241( ) ( )( )( )

.

PRUEBA DE HIPÓTESIS.

La distribución de muestreo del estadístico u puede ser aproximada mediante la distribución anual cuando n1 como n2 son mayores que 10 y dado que en este problema se cumple dicha condición , es posible utilizar la tabla de distribución normal Standard de probabilidad para la hipótesis de que estas muestras se extrajeron de poblaciones idénticas.

132


Ho: ρ° = ρ No hay diferencia entre las dos poblaciones, por lo cual tiene la misma media.

H1 : ρ° ≠ ρ Hay una diferencia entre la dos poblaciones; en particular tienen medias diferentes .

∝ = 0.15Dado que estamos utilizando la distribución normal como distribución de

muestreo en esta prueba (ver tabla) podemos determinar que el valor correspondiente a Z para un área de 0.425 es de 1.44, los dos límites de la región de aceptación se puede calcular así:

PRUEBA DE HIPÓTESIS DE DOS EXTREMOS EN EL NIVEL DE SIGNIFICANCIA DE 0.15

Uu - 1.44 Uu - 1.44

0.075 0.075

0.4251 0.425

Uu + 1.44 σu = 112.5 + (1.44) (24.1) = 112.5 +34.704 = 147.2 ==> limite superior.

Uu + 1.44 σu = 112.5 - (1.44) (24.1) = 112.5 - 34.704 = 77.79 ≈ 77.8 ==> limite inferior.

133


La figura muestra los limites de la región de aceptación 77.8 y 147.2 y el valor de U calculado antes es de 109; se advierte que el estadístico muestral U se encuentra dentro de 77.8 ≤ X ≤ 147.2 (región). Por tanto, se

acepta la hipótesis nula de que no existe diferencia y se infiere que los afiliados que requieren consulta médica en el ISS de acuerdo a las edades “ 15 -44 y 45 -59 años” son iguales .

3.15 LA PRUEBA DE KRUSKAL - WALLIS.

El contraste o prueba de Mann - Wnitney se puede extender a situaciones en que comparan 3 o más grupos , y entonces se le conoce como prueba H , también como prueba o “ Análisis de Varianza” de Kruskal - Wallis, por el nombre de Willian H . Kruskal y de W. allen Wallis quienes por vez primera sugirieron su empleo en 1.952.

El análisis de varianza de una clasificación por rangos de Kruskal - Wallis es una prueba extremadamente útil para decidir si K muestras independientes son de poblaciones diferentes.

DATOS: Sea nj ( j = 1 , 2, ...k) el número de observaciones en la j- ésima muestras.

Primero se combinan todas las muestras k y se arreglan las N = n1 + n2 +.... + nk observaciones en un orden ascendente , sustituyendo el rango apropiado de 1 , 2 , ... , n para cada observación . En el caso de empate (observaciones idénticas) se sigue el procedimiento usual de reemplazar las observaciones por las medias de los rangos que las observaciones tendrían si fueran diferentes, la suma de los rangos correspondientes a las nj observaciones en la muestra j se representa por la variable aleatoria Rj

SUPOSICIONES

A diferencia del análisis de varianza de un solo factor, sin embargo, este contraste no exige suposiciones de distribución normal de la población y de homogeneidad de la varianza.

Todo lo que supone es que la variable aleatorio respecto de lo cual se van a comparar los diversos grupos tenga distribución continua. Requiere, por lo menos, una medida ordinal de la variable.

134


HIPÓTESIS

La hipótesis de nulidad Ho que se va a contrastar es que los medio de las J poblaciones de donde proceden las muestras son idénticas; la alterna H1 es la de que son diferentes.

Ho : u1 = u2= u3 = uj

H1 : u1 ≠ u2 ≠ u3 = uj

PRUEBA ESTADÍSTICA

La estadística usada en la prueba de kruskal - wallis, definida por la fórmula que se da enseguida está distribuida como Chi cuadrada ( X ² ) con gl = k - 1, siempre que los tamaños de las diferentes k, muestras no sean demasiado pequeñas.

12 R²j

H =------------- ∑k j=1 --------- - 3 (n + 1) n( n + 1) n j

Donde

K = Número de grupos nj = Número de casos en la muestra de orden jn = ∑ nj , el número de casos de todos las muestras combinadas.Rj = Suma de rangos en la muestra de orden j.

REGLA DE DECISIÓN

135


Si H cae en la región crítica H > X² α con gl = k - 1 , se rechaza Ho al nivel de significancia α , de otra manera se acepta Ho.

PROCEDIMIENTOS:

Esto son los pasos para el uso de la prueba o análisis de varianza de Kruskal - Wallis,

(i) Se ordenan todas las observaciones de los k grupos en una serie, asignando rangos de 1 a n

(ii) Se determina el valor R para cada uno de los k grupos de rangos

(iii) Se usa el estadístico dependiendo del tamaño de k y del tamaño de los grupos y se toma la decisión conforme Ho y α con gl = k - 1.

EJEMPLO ILUSTRATIVO.Los siguientes datos representan el número de afiliados que fueron a

consulta médica en el ISS del Chocó, en un mes, por tres tipos de enfermedades.

Causas de Demanda en Consultas Médicas por Grupos de Edades - Resumen Mensual De Enero - Junio de 1995

ORDEN CAUSAS MENORES DE 1 AÑO

1 - 4 5 - 14 15 - 44 45 - 59 60 Y MÁS

9 E.D.A. 43 49 85 62 40 5112 SÍNDROME

FEBRIL

29 38 45 48 36 44

19 ASMA 5 18 27 42 25 24

136


Utilice la prueba de Kruskal - Wallis, al nivel de significancia de 0.05 para probar la hipótesis de que existe una diferencia significativa entre el número de afiliados que fueron a consulta médica al ISS de Enero - Junio de 1995 por E.D.A, Síndrome Febril y Asma.

La siguiente tabla muestra el número de afiliados que fueron a consulta médica al ISS del Chocó durante Enero - junio de 1995 por Eda (E), Síndrome febril (S) y Asma (A).

137


RANGO Nº PACIENTE

ENFERMED RANGO Nº PACIENT

E

ENFERMED.

1 5 A 6 29 S2 18 A 7 36 S3 24 A 8 38 S4 25 A 9 40 E

138


5 27 A 10 42 A

139


140


RANGONº

PACIENTE

ENFERM. RANGO Nº PACIENTE

ENFERM.

11 43 E 16 51 E12 44 S 17 62 E13 45 S 18 85 E14 48 S

141


15 49 E

142


Rangos de las tres enfermedades por la cual los Afiliados asistieron al ISS durante Enero - Junio de 1995.

143


ENFERMEDADESE S A91115161718

678121314

1234510

144


RE= 86 RS = 60 RA =25

N = 18, nE 6, nS= 6, nA = 6, RE = 86, RS = 60, RA = 25Ho : p1 = p2 = p3H1 : no son iguales las tres medias∝ = 0.05

Región Critica h > X20.05 = 5.991 para V = 2 (grados de libertad)

El estadístico de la prueba H asume el valor:

Hn n n

nj

jj

k R=+

− +=

∑121

3 12

1( )( )

95.10)19(366

2)25(6

2)60(6

2)86()118(18

12 =−

++

+=H

H = 10.95

Luego se decide que como h = 10.95 cae en la región crítica h > 5.991 se tiene suficiente evidencia para aceptar la hipótesis de que existe una diferencia significativa entre el número de afiliados que fueron a consulta médica al ISS de Enero - Junio de 1995 por E.D.A, Síndrome Febril y Asma.

3.16 LA PRUEBA DE SPEARMAN

Una de las medidas de correlación más simple y de más uso para el caso de dos variables, es el coeficiente de correlación por rango de Spearman; denotado por rs’, y que fue propuesto por Carl Spearman en l.904.

Esta estadística, a veces llamada r h o, es una medida de asociación que requiere que ambas variables sean medidas por lo menos en una escala ordinal, de manera que los objetos o individuos en estudios pueden colocarse en dos series ordenadas.

DATOS: Su pongamos que N individuos son ordenados de acuerdos con dos variables. X y Y , con X = X1 + X2 + X3 + Xi + Xn

145


Y = y1 +y2 + y3 + yi +... + yn. Podemos ver que la correlación; será perfecta sí y sólo sí Xi = yi ∀i. Por consiguiente, parece lógico usar las distintas diferencias di = xi - yi como una indicación de la disparidad entre los dos conjuntos de rangos.

SUPOSICIONES

(i) X e y son independientes y continuas.

(ii) Ambos variables sean medidas por lo mayor en una escala ordinal

HIPÓTESIS: Podemos emplear el coeficiente de correlación por rango Spearman como un estadístico de prueba para verificar la independencia entre X e y.

Las hipótesis que se pueden verificar y las hipótesis alternas, son:

(i) Prueba Bilateral

Ho : X e y son mutuamente independientes.


Ho : X e y son mutuamente independientes

H1 : Valores grandes de X tienden a aparearse con valores grandes de y .

(iii) : Prueba Unilateral

Ho : X e y son mutuamente independientes

H1 : Valores grandes de X tienden a aparearse con valores pequeños de y.

PRUEBA ESTADÍSTICA

146


sr

dn n

= −−

∑16

1

2

2( )

Donde:rs = Coeficiente de correlación por rangon = Número de observaciones pareados ( # de pares de datos)∑d = Sumatoria de las diferencias entre los rangos asignados a Xi y yi.

REGLA DE DECISIÓN

Si n está entre 4 y 30, comparan el valor calculado de rs , para la significación , con el valor crítico apropiado de r *s dado en la tabla

(i) Bilateral

Rechazar Ho en el nivel de significancia α si rs > r *s o rs - rs <r *s sabiendo que r *s, está localizado en la intersección de la columna marcada con α/2 y la fila correspondiente a n

(ii) Unilateral:

Rechazar Ho si rs > r *s, para α y n

(iii) Unilateral:

Rechazar Ho si rs > r *s, para α y n, Cuando n es mayor que 30, puede calcularse

t r ns

sr= −

−2

1 2

147


148


Para la significación, con valores apropiados de la distribución t de Student, con n - 2 gl.

También se puede calcular el estadístico

Z nsr= − 1

Y compararlo, para la significancia, con valores apropiados de la distribución normal estandarizada.

Si hay un gran número de empates, se puede utilizar el siguiente procedimiento.

(i) Calcular T t t= −3

12

Donde t es el número de observaciones empatadas para un rango dado en las X o en las y

(ii) Calcular Srx y d

x y=

+ − ∑∑∑∑∑

2 2

2 22 Donde

23

12x Tn nx= − −∑ ∑

2 3

12y Tn ny= − −∑ ∑

∑Tx = la suma de los valores de T para los rangos empatados de X

∑Ty = La suma de los valores de T para los rangos empatados de y

149


A menos que el número de empates sea demasiado grande, utilizando cualquiera de los métodos se obtendrá una diferencia muy pequeña en el valor de rs.

PROCEDIMIENTO(i) Dado n pares de medidas de X e y , Obtener el rango de los valores

de X desde 1 hasta n ( asignando el rango 1 al valor más `pequeño de X ) y el rango de los valores de y desde 1 hasta n ( asignando el rango 1 al valor más pequeño de y ).

(ii) Para cada par de observaciones, calcular di = (rango de xi) - (rangos de yi)

(iii) Elevar al cuadrado cada di y calcular ∑ d²

Calcular Sr nd

n= −

−∑1

6

1

2

2( ) y comparar según lo prescrito en la

hipótesis.


La hipertensión arterial es la enfermedad caracterizada, por la elevación persistente o mantenida de la presión sistólica, diastólica o ambos, demostrable por lo menos en tres temas fortuitas y que evoluciona de acuerdos con la forma clínica que adopte.

Los factores que al parecer guardan una mayor relación con la hipertensión arterial son: Edad, Raza, Herencia, Obesidad y dieta rica en sodio.

En la Caja de Previsión Social del Magisterio del Chocó, se tomaron lecturas de la presión sanguínea a 20 maestros entre las edades de 22 - 55 años.

150


Datos presentados en la siguiente tabla.EDAD Y PRESIÓN SISTOLICA SANGUÍNEA (mm.Hg) DE 20 MAESTROS DE QUIBDO -

CHOCO. Número del Maestro Edad (x) Valor Pres. Sistólica (mm.Hg) (y)

1 22 1322 24 1303 26 1154 28 1385 30 1406 33 1587 35 1288 36 1459 38 160

10 40 15611 41 16212 43 15013 45 12514 46 15515 48 17016 49 16517 50 16418 52 17419 53 18020 55 172

Se desea saber si puede concluir que el valor de la presión sistólica (mm.Hg) está inversamente correlacionada con la edad.

Entonces, las hipótesis para la prueba unilateral son:

Ho: La presión sistólica (mm.Hg) y la edad son mutuamente independientes.

H1: Existe una tendencia para crear que con la edad la presión sistólica crece. Suponiendo un ∝ = 0.05.

151


ORGANIZANDO LOS ANTERIORES DATOS POR RANGOS TENEMOSNº del Maestro Rango (x) Rango (y) Di d l

i

1 1 5 -4 162 2 4 -2 43 3 1 -2 44 4 6 -2 45 5 7 -2 46 6 12 -6 367 7 3 4 168 8 8 0 09 9 13 -4 1610 10 11 -1 111 11 14 -3 912 12 9 3 913 13 2 11 12114 14 10 4 1615 15 17 -2 416 16 16 0 017 17 15 2 418 18 19 -1 119 19 20 -1 120 20 18 2 4

∑d2i = 270

Sustituyendo los valores de la tabla de rangos en la ecuación:

S

i

sd

n n=

−∑1

61

2

2( )

( )Srr =−

= − = −6 27020 20 1

1 16207980

1 0 202

( )( )

,

rs = 0.80

Consultando en la tabla se observa que, para una prueba unilateral, ∝ = 0.05 y n = 20, el valor crítico de r*s es 0.377. Como ELrs = 0.80 calculado

es mayor que el valor crítico r*s se rechaza Ho y se concluye que las dos variables están inversamente relacionadas. Es decir, que con la edad la presión sistólica crece.

152


UNIDAD Nº 4

ASPECTOS GENERALES SOBRE

SERIES CRONOLÓGICAS, NÚMEROS ÍNDICES Y TASA

OBJETIVODE LA UNIDAD: Identificar, describir y analizar series de tiempo, determinar la importancia de la tendencia y demás componentes de una serie de tiempo,Identificar, manejar e interpretar correctamente números índices, desarrollar destrezas en la aplicación de los números índices en la gestión administrativa.

CONTENIDOS:4.0 Series cronológicas.4.1Componentes de una serie. 4.2Determinación de la tendencia. 4.3Ajuste rectilíneo.4.3.1Método de mano alzada.4.3.2 Métodos de los puntos seleccionados.4.3.3 Métodos de los semipromedios.4.3.4 Método de los mínimos cuadrados.4.4 Los números índices.4.5 Usos de los números índices.4.6 Proporciones, porcentajes, razones y tasas.

153


4.0 SERIES CRONOLOGICAS:

Las series cronológicas son casos de distribuciones bidimensionales, donde X corresponde a la variable tiempo (años, meses, días) y Y a la variable que se estudia (producción, ventas, precios, exportaciones, etc.)

Las series cronológicas, denominadas también series de tiempo, se pueden definir como una colección de datos que pertenecen a diferentes periodos.

Estas series son de gran importancia en cualquier empresa u organismo, no solo para conocer la situación actual o el comportamiento de una variable en el periodo observado sino para establecer la tendencia futura. Predicciones de producción, ventas, empleo, ingreso, población, precios y muchas otras variables socio-económicas necesarias para estudiar, para planear actividades futuras de una empresa.

Los movimientos que presentan una serie de tiempo, son producidos por una variedad de factores de carácter económico, natural o institucional.

Parte del análisis de estas series, consiste en descubrir y cuantificar dichas influencias.

Los principales factores que afectan una serie de tiempo son: tendencia, variaciones estaciónales, variaciones cíclicas y variaciones aleatorias.

4.1 COMPONENTES DE UNA SERIE :El análisis de una serie consiste en investigar los siguientes cuatro componentes cuya actuación conjunta da como resultado los valores observados:

154

a) Tendencias secular o regular: son variaciones suaves y constantes que se sucede en el periodo relativamente largo. El periodo debe ser largo, generalmente mas de cinco periodos (podrán ser años, meses, etc.), para poder establecer una línea de tendencia (recta parabólica o exponencial) que sea representativa o significativa.

b) Variaciones estaciónales: éstas, generalmente, están ligadas a las estaciones del año (verano, otoño, invierno y primavera); también corresponde a cambios periódicos que se repiten en intervalos de tiempo más cortos, por ejemplo, el consumo de energicen las 24 horas del día; el movimiento de pasajeros en buses de servicios urbanos, en un día, etc.

c) Variaciones cíclicas: son fluctuaciones a largo plazo, más o menos periódicas, que se repiten cada cierto numero de años, y que, a diferencia de las variaciones estaciónales, es difícil determinar el periodo o ciclo, ya que no se puede saber con exactitud cuando comienza y cuando termina, tal es el caso de las fluctuaciones cíclicas originadas en la actividad económica (crisis – recuperación – auge - depresión).

d) Variaciones aleatorias, accidentales o erráticas: son aquellos cambios que se presentan en forma accidental, siendo difícil su predicción. Por ejemplo, terremotos, inundaciones, huelgas, etc.


En resumen, la variable Y para algunos autores, es la suma de los anteriores factores, de tal manera que Y= T + VE+VC+VA; para otros, es el resultado del producto de estos factores. Y = T. VE. VC. VA. Sin embargo, no faltan

Resumiendo diremos que el movimiento de una serie cronológica se compone de las siguientes suposiciones:

• Un movimiento de traslación, T(t).• Un movimiento vibratorio (variación estacional), VE.• Un movimiento de oscilación (Variación cíclica) VC.• Un movimiento perturbador (variación aleatoria) VA.

Modelo o esquema aditivo: se considera que la serie está formada por la suma de los anteriores factores, de tal manera que

Y= T(t) + VE + VC + VA

Modelo o esquema multiplicativo: es el resultado del producto de estos factores

Y = T(t). VE. VC. VA.

Sin embargo, no faltan aquellos que se consideren que Y es el resultado de la combinación de suma y producto de estos factores.

La diferencia entre los modelos aditivos y multiplicativos, es que los componentes en el primero se consideran como residuos y expresan en unidades originales en el segundo, la tendencia se expresa en cantidad o valor y los otros componentes en términos porcentuales o relativos.

En la representación grafica, tomando periodos mensuales o semanales, se pueden observar mejor las variaciones estaciónales, como las aleatorias, esa es la razón por la que no se representan en la siguiente figura

155


4.2 DETERMINACIÓN DE LA TENDENCIA.La tendencia puede tomar diferentes formas: rectilínea, parabólica, exponencial o cualquier otra línea. La selección debe ser aquella que mejor represente a ese conjunto de puntos. La gráfica ayuda mucho a determinar la forma de la línea y la dirección que toma. Sin embargo, puede afirmarse, que no es posible visualizar con absoluta certeza la bondad de su adaptación, pues solamente el juicio personal y la experiencia del estadístico, son los elementos que se pueden poner en juego en la elección del mejor ajuste.

La representación gráfica se debe hacer en un plano cartesiano. En el eje horizontal o abscisa se coloca el tiempo (años, meses, semanas, días, etc.), en el eje vertical u ordenada se anotan los valores correspondientes a la variable y(producción, precios, ventas etc.). Para cada unidad de tiempo corresponderá un valor, Y, el cual se representa en el plano mediante un punto, y habrá tantos puntos como períodos observados tengamos, los que al ser unidos, darán una línea, que insinúa la tendencia que presenta esa serie, y que al ser establecida, se refleja en una línea más sencilla que la poligonal dada por los datos originales, al mismo tiempo, nos permite establecer cuál será el comportamiento futuro de esa variable.

Algunos critican este proceso de vaticinio, por el hecho de estar fundamentado en cifras históricas, que reflejan una vivencia del pasado. Sin embargo, es un hecho, que cualquier proceso futurista necesita fundamentarse en el presente y en el pasado. Se debe tener en cuenta que el comportamiento futuro de la variable, dependerá de las condiciones bajo las cuáles se dieron las informaciones; por esa razón se recomienda que una predicción no sea mayor de cinco años, ya que las condiciones pueden variar

156


por diferentes razones. Por otra parte, una buena selección de la línea nos dará una mejor aproximación entre el valor estimado y el valor real.

Su importancia, en cualquier empresa, no es discutible. En la vida comercial es interesante conocer las fluctuaciones de las ventas a través del tiempo, las causas que originan esas variaciones, y el comportamiento futuro; todo esto hará pensar sobre una posible ampliación o reducción de los inventarios de mercancía, del volumen de la producción, precios, espacio físico, etc.

Una línea que sea seleccionada para representar la tendencia de una serie cronológica continuará en la misma dirección, si las condiciones que la originan permanecen constantes. Por esto, al trazar una línea, ya sea recta, parabólica o exponencial, debemos analizar en primer lugar las causas, y evaluar la probabilidad de que así ocurra, antes de iniciar cualquier proceso de estimación.

4.3 AJUSTE RECTILÍNEOExisten varios métodos para el ajuste de una recta en una serie cronológica. Entre ellos podemos mencionar:

• Método de mano alzada.• Método de los puntos seleccionados.• Método de los semipromedios• Método de los mínimos cuadrados (este método fue visto en el curso de estadística uno)

4.3.1 Método de mano alzada o método gráfico.Este método se le conoce también con el nombre de método gráfico. Es muy utilizado por personas con mucha experiencia; con su aplicación se obtienen resultados muy satisfactorios, especialmente cuando la serie presenta muy pocas variaciones o éstas se producen en forma suave. El inconveniente que presenta este método, es la no existencia de un instrumento que juzgue adecuadamente la bondad de la línea, por otra parte, por más experta que sea la persona, una serie puede dar origen a diferentes líneas, de ahí que se le considere como un método muy subjetivo. Con una buena experiencia sobre el comportamiento de la variable, se puede lograr una buena estimación, muchas veces mejor que la obtenida mediante el método matemático.

El proceso que se sigue en la aplicación del método de mano alzada, consiste en dibujar la línea poligonal correspondiente a los datos originales, luego se estudia su comportamiento, para después trazar una línea recta a mano alzada a través de esos puntos. Si se prolonga la línea hasta el año que se desea estimar, leeremos en el eje vertical el valor, precio o cantidad

157


de Y para ese año. Algunos consideran que una vez trazada la línea (cuando es recta), se pueden determinar dos puntos, especialmente el primero y último y luego, obtener una ecuación matemática para que refleje la línea de la tendencia.

1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

En el primer caso, la producción estimada para el 2005 podría ser aproximadamente de 174 millones de pesos, si consideramos que puede bajar de acuerdo a la experiencia.

En el segundo caso, los puntos se localizan en los años 1998 y 2002. Siendo los valores de 50 y 150, con los cuales determinamos el crecimiento anual en la siguiente forma:

=b 254

5015019982002º1º2 =−=

−− puntopunto

Siendo la ecuación general Y = b x + c, se tendrá que: Y* = 25 x + 50. El valor de x será el tiempo transcurrido entre 1998 y 2005, igual a 7.

Reemplazando tenemos Y* = 25(7) + 50 = 225 el cual será el valor estimado en el 2005.

4.3.2 Método de los puntos seleccionados.

158


Este método consiste en localizar dos puntos en la serie, ojala uno al inicio de la serie y el otro al final de la misma, luego se determina la diferencia que existe entre ellos y se divide, por el número de períodos transcurridos entre esos períodos, teniendo en cuenta al iniciar el conteo, considerando cero para el primer punto o período.

Si señalamos por P1, el valor del primer punto de la serie, P2; el del segundo valor y t el número de unidades de tiempo transcurrido entre P1, y P2, se tendrá el incremento, por unidad de tiempo, simbolizado por b, siendo igual a:

=bt

PP 12 −

Considerando que la ecuación general de la recta está dada por la ecuación Y = bx + c se tendrá que el valor de c será igual al primer valor de Y simbolizado por P1.

Ejercicio 1.

Supongamos que una empresa tiene una serie de datos, sobre el valor de la producción (en millones de pesos).

AÑOS PRODUCCIÓN (millones de pesos)

a) Representar gráficamente dicha serie.b) Ajustar una recta al conjunto de puntos.

1998 32c) Estimar el valor de la producción para el 2009.

1999 242000 382001 542002 422003 662004 84

Solución:

Los años 1999 y 2003 se señalan con asterisco para indicar los puntos seleccionados en la serie;

P1, = c = $24 millones P2; = $ 66 millones

Siendo P2-P1 66 – 24 42

159


b = ------- = -------------- = ----- = 10.5 t 2003 – 1999 4

AÑOS y¡ Xi Y* 1998 32 -1 13,5 *1999 24 0 24,0 2000 38 1 34,5 2001 54 2 45,0 2002 42 3 55,5 *2003 66 4 66,0 2004 84 5 76,5

CALCULO DE Y*

10,5 (-1) + 2410,5 (0) + 2410,5(1) + 2410,5(2) + 24 10,5 (3) + 24 10,5(4) + 2410,5 (5) + 24

El incremento anual es de $ 10,5 millones; además sabiendo que c = 24, podemos escribir la ecuación para la tendencia en la serie, como:

160


Y* = bX + c siendo b=10,5 ; c= 24

Con la ecuación Y = 10,5 X + 24, se hace necesario establecer el valor de X para hacer la estimación de Y en el período 2009; se tendrá que: X = 2009 -

1999 = 10 años, por lo tanto: Y» = 10,5 (10)+ 24 = 129. Aproximadamente

para el 2009, la producción tendrá un valor de 129 millones de pesos.

Si examinamos detenidamente el anterior método, observaremos:

Es un proceso muy parecido al método gráfico, pero un poco más refinado.

No toma en cuenta sino dos valores de la variable, así que el crecimiento por cada unidad de tiempo (b) no queda influenciado por los demás valores.

Quizás el aspecto más negativo que presenta este método, es el dejar en libertad a investigador la selección de los dos puntos de referencia.

Si tomamos a P1 = 24 y P2 = 42, el coeficiente angular o el crecimiento por cada unidad de tiempo cambia, siendo en este caso más bajo que el obtenido anteriormente.

42 – 24 18 b= -------------- = ----- = 6 < 10,5 2002-1999 3

De todas maneras, es una forma de obtener una estimación más rápida que por cualquier otro procedimiento utilizado.

4.3.3 Método de los semipromedíos.El empleo de este método conlleva a una simplificación de cálculo, pero, al igual que los anteriores, presenta el inconveniente de no utilizar la totalidad de los datos, por otra parte, al incorporar uno o más datos en la serie se deben rehacer todas las operaciones. El procedimiento que se sigue en el cálculo es:

161


• Se divide la serie en dos partes, en tal forma que cada parte contenga un número impar de períodos. En algunos casos habrá necesidad de ignorar algunos períodos, especialmente los primeros de la serie.

• Se obtiene la suma de yi para cada una de las partes. El valor de la suma se coloca al frente de la observación central, en la columna denominada semisuma.

• Cada semisuma se divide por el número de períodos que contiene cada parte de la serie, obteniendo así los valores para los semipromedios.

• De ahí en adelante, se consideran dos métodos para hallar los parámetros b y c, obteniéndose con su aplicación los mismos resultados. Consideremos los datos de la tabla.

• Si se tiene que la ecuación general de la recta es Y = b x + c se tendrán dos ecuaciones normales:

(1) 31,33=1b+c (2) 64=5b+c

El valor de X dependerá del tiempo transcurrido desde el período que se toma como origen. En este ejercicio, se estableció como origen el primer período. Siendo una serie continua, se tendrán para X¡ valores de O, 1, 2, etc., (ver la tabla) a partir de ese origen.

Si multiplicamos la ecuación (1) por -1 y el resultado obtenido se lo restamos a (2), así se obtendrá el valor del coeficiente angular b:

Tabla 10.1

Conociendo el valor de b, lo reemplazamos en la ecuación (1):31,33= 8,17+c siendo: c = 31,33 - 8,17 = 23,16

162


La ecuación quedará así Y* = 8,17x+ 23,16

Si se quiere estimar el valor de Y* para el 2009 se tendrá que x = 2009 -

1998 =11 por lo tanto Y*(2009) = 89,87 + 23,16 = 113,03

También se puede utilizar otro procedimiento para calcular los parámetros b

y c.

∑ 1 = primera semisuma ∑ 2 = segunda semisuma

T1, = número de períodos en la primera parte de la serie.

T2, = número de períodos en la segunda parte de la serie.

∑2 - ∑1 192 – 94 98 b= --------- = ---------- = ------- = 8,17 T1(n-T2) 3 (7-3) 12

∑2 + ∑1 192 – 94 286c= ----------- = ---------- = ------- = 47,67 T1 + T2 3 +3 6

Y* = 8,17 X + 47,67

El origen está localizado en el centro de la serie, en este caso en 2001, donde x = O,Si estimamos el valor de Y* para el 2009, se tendrá en primer lugar que x es igual a la diferencia entre 2009 y 2001. x = 2009 - 2001 = 8

Reemplazando en la ecuación general:Y*(2009) = 8,17 (8) + 47,67 = 65,36 + 47,67 = 113,03

Con un resultado exactamente igual al obtenido por el método

anterior.

Otra forma más elemental de hacer los cálculos es:

163


=b 17.819992003

33.316412 =−

−=−

−−

tXX

Si consideramos como c = 31,33 en este punto X= O, la ecuación será:

Y* = 8,17 X + 31,33

Si deseamos estimar Y* para el 2009, se tendrá que:

x = 2009 - 1999 = 10 Y(2009) = 8,17 (10) + 31,33= 81,70 + 31,33 = 113,03

4.3.4 Método de los mínimos cuadrados.

Los métodos anteriores permiten establecer una ligera aproximación a la tendencia que presenta la serie. El método más utilizado, para realizar un buen ajuste, es el conocido como el de los mínimos cuadrados. Este método no lo veremos en este modulo por que fue visto en el modulo de estadística uno.

LOS NÚMEROS ÍNDICE

Una parte fundamental de la estadística es la reducción de grandes volúmenes de datos a formas en que se puedan hacer comparaciones y sacar conclusiones. Así la media, desviación estándar, y otras funciones describen una distribución de frecuencia. La tendencia y los índices de estación, por su parte describen series de tiempo. Los números índice son medidas estadísticas de datos relacionados, y se los utiliza para comparar estos datos a través del tiempo, sobre un territorio o de otras formas. En la práctica de administración y la economía usualmente se tiene la dificultad de no poder relacionar una variable en un momento determinado, con la misma variable pero en otro momento. Los números índice son la herramienta con la cual se puede hacer este tipo de comparaciones que pueden referirse a precios, costos, ganancias etc.

Generalmente es posible sumar elementos de la misma clase si todas las medidas están expresadas en las mismas unidades. Es posible medir la producción anual de trigo de un país sumando la que producen los agricultores individualmente, aquí todos los kilogramos de trigo son los

164


iguales, entonces el valor de la producción total tendrá sentido. Cuando se quiere medir el compuesto de cambios en la producción de varios artículos, que no se expresan en las mismas unidades de medida, no se podrá sumar las producciones ni promediarlas, en este caso se hace necesaria la utilización de los números índice.

Los números índices son cifras relativas expresadas en términos porcentuales, que sirven para indicar las variaciones que presenta una serie de observaciones, cuando se comparan respecto a una de ellas, tomada como punto de referencia, denominada período base.

Por lo general, los números índices se constituyen en series cronológicas cuando se utilizan para indicar las variaciones porcentuales de una variable a través del tiempo.

En una serie corta, el período base corresponderá al primer valor de la misma; en una serie larga, debe seleccionarse aquel período que haya sido más estable, es decir, que no presente cambios bruscos debido a factores, ya sean internos o externos. En algunas ocasiones, la selección del período base dependerá de lo que se quiera presentar, por ejemplo si se examina una serie referente a los precios de un artículo, se tendrá que el índice de variación será mucho más alto, cuanto más lejano se encuentre el período base; y será más bajo cuanto más cercano esté ese período.

Los números índices son muy usados en el análisis de las ventas, producción, precios, costos, beneficios, aumentos de capital, comercio exterior, etc., y en especial cuando se quiere comparar dos series, como por ejemplo, los cambios en los precios de dos o más artículos durante un determinado período de tiempo. Por lo tanto habrá necesidad de tener cuidado con su uso, pues a diferencia de lo que la mayoría cree, el índice no mide, sólo es un indicador que pretende reflejar el comportamiento de ciertas observaciones en forma aproximada.

Según su composición, el índice puede ser: simple o compuesto. A su vez los índices compuestos se clasifican en agregativos y de promedios. Los promedios, a su vez, se clasifican en aritméticos, geométricos, medianos, etc., siendo los más utilizados los aritméticos.

Un número índice es un indicador diseñado para describir los cambios de una variable en el tiempo, esto es, su evolución a lo largo de un determinado período.

165


Pueden intentar reflejar:

• la evolución en la cantidad de un determinado bien o servicio o de un conjunto de ellos (por ejemplo cantidades producidas o consumidas).

• la evolución en el precio de un bien o servicio o conjunto de éstos.• la evolución en el valor de un bien o servicio o de una canasta de bienes

y servicios.

En el caso de un bien o servicio determinado, el valor corriente, se expresa como el producto del precio por la cantidad correspondiente a un período establecido.

Las cantidades se miden en magnitudes físicas y pueden expresarse simplemente por el número de artículos producidos o por un número preciso de unidades escalares de longitud, de volumen o de peso. Es imperativo que la unidad física utilizada sea identificable, ya que de otra forma la noción de precio no tiene sentido. El precio es la cantidad de dinero pagada por cada unidad de producto (bien o servicio); por eso es indispensable especificar de qué unidad física se trata. La afirmación de que “el precio del trigo es de 40 dólares” no aporta absolutamente ninguna información a menos que se sepa que se está hablando de onzas de trigo, o de libras, o de kilos, o de toneladas.

Los indicadores de cantidad, sólo tienen sentido en el caso de un producto único y homogéneo; cuando se trata de varios productos, expresados en unidades físicas diferentes, es imposible sumar las cantidades, porque las unidades respectivas no son conmensurables. Por la misma razón, no tiene sentido ni utilidad sumar precios. En cambio, los valores –es decir, el resultado de multiplicar los precios por las cantidades- sí son aditivos y constituyen la base de todas las operaciones de agregación económica.

Importa establecer una clara distinción entre precios y valores. Un valor es el producto (matemático) resultante de la multiplicación de un precio por una cantidad. Un precio puede considerarse como el valor de una sola unidad de un producto dado, de donde se desprende que el único caso en que valor y precio son sinónimos es el caso especial de una sola unidad de un bien.

A los efectos de la elaboración de un determinado índice, se debe tomar como referencia un determinado período base. La elección del año o período base parte de la necesidad de un punto de comparación temporal.

166


EjemploEjemplo

Para un determinado bien o servicio, se dispone de la siguiente información sobre cantidad, precio y valor. Si la cantidad está expresada por ejemplo en términos de toneladas, el precio será precio por cada tonelada. Si la cantidad está expresada en términos de horas, el precio será por cada hora. El valor, como fue señalado, será el producto del precio por cantidad.

PERIODO CANTIDAD (q) PRECIO(p) VALOR (p*q)

0 125 2 2501 181 2.5 452.52 205 2.8 5743 115 2.9 333.5

El cálculo de índices de cantidad, precio y valor, tomando como período de

referencia (período base) el período 0, dará los siguientes resultados:

PERIODO ÍNDICE DE CANTIDAD ÍNDICE DE PRECIO ÍNDICE DE VALOR

0 100.0 100.0 100.01 144.8 125.0 181.02 164.0 140.0 229.63 92.0 145.0 133.4

Cálculo: todos los índices se calcularon tomando como referencia el período 0 (período base). En ese sentido los valores de los índices resultan de: Periodo 1 2 3Índices de Cantidad: (181 / 125) x 100 (205 / 125) x100 (115 / 125) x 100

Índices de Precios: (2.5 / 2) x 100 (2.8 / 2) x 100 (2.9 /2) x 100

Índices de Valor: (452.5 / 250) x 100 (574 / 250) x 100 (333.5 / 250) x 100

Como se aprecia, se obtuvieron tres indicadores: uno hace referencia a la evolución en cantidad del bien o servicio, otro a la evolución en precio y otro a la evolución en valor.

4.4.14.4.1 Selección del periodo baseSelección del periodo base

167


La selección del período base, adquiere una gran importancia dado que los resultados obtenidos tendrán un sentido conceptual respecto de dicho período. Es por ello que debe contar con ciertas características de normalidad.

En términos generales, ello implica que durante el período de referencia la variable cuya evolución pretenda reflejarse no haya tenido valores de excepción por algún motivo como puede ser la puesta en marcha de medidas de política económica de carácter coyuntural (temporarias), fenómenos climáticos poco frecuentes (sequías, inundaciones), acontecimientos políticos especiales, etc.Por ejemplo, si el objetivo consiste en mostrar la evolución de las cantidades producidas de un bien o un conjunto de ellos, es conveniente elegir como período de referencia uno en el cual dicha producción no haya registrado valores excepcionalmente altos o bajos.

Otra condición es que la ubicación temporal no debe estar muy alejada en el tiempo.

4.4.2 Índices simples

Un índice simple se obtiene dividiendo cada precio, cantidad o valor de una serie dada ya sea en períodos anuales, mensuales, etc. por el precio, cantidad o valor de uno de esos períodos, el cual ha sido tomado como base o punto de referencia, el resultado de ese cociente se multiplica por cien.

La fórmula general es

I = índicet = período que se analizaO = período baseXt = precio, cantidad o valor del período que se investigaX0 = precio, cantidad o valor del período considerado como base.

A veces, se cambia el símbolo X por el de P, si se refiere a precios o producción, y por Q cuando se trata de cantidades. Así por ejemplo:

168


Ejercicio 1. Supongamos los precios de un artículo en el período 1999 - 2004, según la tabla 11.1. Con estos datos, calcular los índices simples de precios con base 1999 y luego los índices simples con base 2002.

Solución:

Los índices simples con base fija se calculan de la siguiente manera:

Siendo la base Xo = 2005, se tendrá:

Si consideramos, como período base al precio de 2002 se tendrán un valor de Xo= 4000

169


Observemos que el índice de precios para 2004 con base 1999 es de 300. Dicho resultado nos indica que los precios han aumentado en un 200%. Para la lectura del índice se requiere que le restemos 100, pues corresponde al punto de partida o período base. En cambio, el índice para ese mismo año de 2004 con base 2002, nos muestra un aumento menor, es decir, apenas del 50%. Desde el punto de vista matemático, los dos resultados son equivalentes, pero en la forma como impresionan al lector, en el aspecto psicológico, son diferentes.

El índice simple también se puede calcular sin base fija, diferente al calculado anteriormente, en este caso cada índice se obtiene cambiando de base. Se dice, que en una serie, los índices son de base variable, cuando a cada observación se le divide por el valor de la observación inmediatamente anterior, multiplicándolo por 100.

Ejercicio 2. Con los datos de la tabla siguiente, calcular los índices con base variable y el respectivo porcentaje de variación.Solución:Los índices de base variable se calculan de la siguiente forma:

Debido a que no se tiene información del año anterior.

170


Los incrementos o las disminuciones que se presentan para cada período se dan respecto al año inmediatamente anterior. Así por ejemplo, el precio aumentó en un 25% para 2004, con respecto al precio de 2003.

Ejercicio 3. En enero de 2004 una fábrica pagó un total de $99.200.000.oo a 120 empleados en nómina. En julio del mismo año, la fábrica tuvo 30 empleados más en nómina y pagó $30.000.000 más que en enero. Tomando al mes de enero como base, hallar:

a) El índice de empleob) El índice del costo de mano de obra.c) Mediante la igualdad. Precio relativo x cantidad relativa. ¿Qué

interpretación podría darse al precio relativo en este caso?Solución:

a) Número índice de empleo = NIE

Número índice de empleo = NIE en cantidad relativa sería 1,25. Crecimiento del 25%.

b) Número índice del costo de mano de obra = ICMO = Salarios pagados en julio

Salarios pagados en enero

Índice de costo mano de obra = ICMO

Valor relativo = 1,3024. Crecimiento del 30,24%.

c) Precio relativo =P

171


Si lo multiplicamos por 100 se tendrá que el índice de precio es de 104,19%. Es decir, que el índice de costo medio por empleado aumentó en un 4,19% para el mes de julio en relación con el del mes de enero.

4.4.3 Índices eslabonados

El índice simple, lo mismo que el ponderado, con base variable presenta, la ventaja en primer lugar, de indicar las variaciones para cada período respecto al anterior, además se puede transformar en índices con base fija, el cual se obtiene, mediante sucesivas multiplicaciones de los relativos para cada eslabón:

Supongamos que se desea indicar la variación en el precio de 2004 respecto al precio de ese artículo en 2001. Supongamos que en la tabla anterior se tienen únicamente los precios de esos dos períodos, el cálculo del índice será:

El mismo resultado se obtiene si tuviéramos únicamente los índices de base fija, tal como lo presenta la misma tabla. Con dicha información se podrá calcular el índice, en la siguiente forma:

Ahora, si sólo se tiene una serie de índices con base variable, se podrán encadenar dichos índices, para obtener el índice con base fija:

R = es el relativo o sea y sin ser multiplicado por 100. Reemplazando se tendrá:

El encadenamiento anterior lo hemos realizado con índices simples de base variable, pero también se puede hacer utilizando índices ponderados con base variable.

172


Ejercicio 4. Un índice para 2003 revela un aumento del 20% respecto del año anterior. En 2004 alcanzó a 174, es decir, presenta un incremento anual del 18%. Calcular los índices de 2002 y 2003.

Solución:

ya que el aumento con respecto del año anterior fue del 20%.

debido a que el incremento i en ese año fue del 18%..

Se requiere determinar los . La base en este ejercicio no se conoce, por lo tanto puede ser considerado cualquier año.

Si reemplazamos se obtendrá que 174 = donde

Para obtener se hace lo mismo que para:

Reemplazando se tiene que 147,45 = x 1,20; siendo:

Ejercicio 5. Existen tres índices, cuyas cifras son: para 2002 = 107, para 2003 = 108, para 2004 = 104, es decir, que entre 2001 y 2004, el índice eslabonado aumentó en un 19%. Decir si la anterior afirmación es cierta o falsa.

Solución:

173


4.4.4 Índices agregativos simplesSon los de mayor aplicación, especialmente cuando se cuenta con una serie de precios de un grupo de artículos, dados en unidades de medida diferentes.

Estos índices se calculan teniendo en cuenta la suma de los precios, cantidades o valores de un grupo de artículos para un período, dividida por la suma de los precios, cantidades o valores para ese grupo de artículos en otro período, considerado como base.

Ejercicio 6. Con los datos de la tabla siguiente, calcular el índice agregativo de las cantidades que resultaron en mal estado de conservación, en un grupo de artículos, comprados en el mes de junio de 1999, respecto a las cantidades compradas, en mal estado de conservación, en el mes de mayo del mismo año:

Solución:

174


Un primer método, consiste en dividir la suma de las cantidades en mal estado, de los diferentes artículos en el mes de junio, por la suma de las cantidades en dicho estado de esos mismos artículos para el mes de mayo:

Este procedimiento es poco usual, ya que se realiza sumando las cantidades de un período, dividiéndola por la suma de las cantidades de otro período, por tal razón el índice no queda afectado por las variaciones grandes, que pueden presentarse en uno o varios artículos, de un período a otro; de ahí que se requiera utilizar otro método que mejor refleje esa variación y consiste en obtener los índices simples para cada artículo, luego sumarlos y dividirlos por el número de artículos considerados.

El resultado es un poco mayor al obtenido por el método anterior. Este aumento se debe a la variación que se presenta en el artículo B durante ese período.

4.4.5 Índices compuestosPara explicar los índices compuestos consideraremos como punto de partida los índices agregativos simples, utilizados en el análisis de un grupo de artículos sin tener en cuenta la importancia que algunos de ellos pueden presentar en relación al conjunto. Esa importancia se denomina ponderación.Supongamos dos artículos de consumo diario: la leche y la sal. Si cada unidad de consumo aumenta en $200 (el precio por botella y por kilo), los gastos familiares se verán más afectados por el aumento del precio en la leche que por el de la sal. Si se supone el consumo de dos botellas diarias,

175


implica un incremento en el gasto de $400 diarios, o sea $12.000 al mes, mientras que el consumo de sal, apenas de un kilo al mes, implica un incremento de $200. Esa importancia que tiene el artículo leche en relación a la sal, se denomina ponderaciónExiste gran cantidad de fórmulas para calcular índices ponderados, cuyo empleo dependerá de la naturaleza misma del problema. Recomendándose utilizar aquella fórmula que mejor refleje en una forma aproximada, las variaciones que pueden presentar los precios o cantidades de un grupo de artículos.

Generalmente en los índices que brevemente se expondrán, las ponderaciones son las cantidades o los precios. Cuando se van a calcular los índices de precios, en un grupo de artículos, las ponderaciones son las cantidades, y en el cálculo de los índices de cantidad, las ponderaciones son los precios. Los índices más conocidos y utilizados son los de Laspeyres, Paasche, Fisher, Keynes, Marshall, Edgeworth, Waish, Drobisch y Sidgwick. Veremos algunas de estas fórmulas y el procedimiento de cálculo para obtener los índices tanto de precios como de cantidad.

4.4.5.1 Índices de precios

a) índice de Laspeyres de precios. Puede interpretarse, como la relación existente, al comparar los precios actuales de un grupo de artículos con los precios de esos mismos artículos considerados en el período base, manteniéndose constante como ponderación las cantidades del período base:

Pt, = precio de los artículos en el período que se investiga PO = precio de los artículos en el período base qo = cantidad de artículos en el período base L = índice de LaspeyresI = índice de precios.

b) índice de Paasche. Se interpreta como la relación existente entre los precios actuales de un grupo de artículos, con los precios de esos mismos artículos en el período base, manteniéndose constante las ponderaciones que corresponden a las cantidades de dichos artículos dadas para el período que se investiga:

Observemos que la diferencia entre las dos fórmulas anteriores, radica únicamente en la base tomada para las ponderaciones, en la primera son las

176


qo que se refieren a las cantidades del período base y en la segunda, las qt que corresponden a las cantidades del período que se investiga.c) índice de Fisher. Es un promedio geométrico, que se define como la raíz cuadrada del producto del índice de Laspeyres por el de Paasche:

4.4.5.2 Índices de cantidad

Las fórmulas que se dan para el cálculo de los índices de cantidades de Laspeyres, Paasche y Fisher son muy parecidas a las de los precios, con la diferencia de que las ponderaciones son los precios.

Se tendrá con el cálculo de los índices de Laspeyres y Paasche una indicación de las variaciones en las cantidades para un grupo de artículos, manteniéndose constantes los precios tomados como ponderaciones. En el índice de Laspeyres las ponderaciones son los precios del período base, en cambio, en el de Paasche, son los precios del período que se investiga.El índice de Fisher es la raíz cuadrada del producto de los índices ponderados de cantidad de Laspeyres por el de Paasche.

Ejercicio 7. Con los siguientes datos, referentes a los precios (cientos de $) y cantidades (en ambos casos se han tomado valores arbitrarios) para un grupo de artículos dados para dos períodos.

177


Calcular los índices de precios y de cantidades, por las fórmulas de Laspeyres, Paasche y Fisher.

Solución:

a) Cálculo de los índices de precios:

b) Cálculo de los índices de cantidad:

178


También se puede calcular así:

Ejercicio 8. El índice de cantidad de un grupo de artículos es igual a 200, si se usa la fórmula de Fisher, y a 160 si se emplea la de Laspeyres. ¿Cuál es el índice de cantidad utilizando la fórmula de Paasche?

Ejercicio 9. Una empresa espera aumentar sus ventas en el año próximo en un 50%. ¿En qué porcentaje deberá incrementar los precios para que el ingreso total se convierta en un 250%?

Solución:Se sabe que el índice de ingreso total es igual al índice de cantidad vendida por el índice de precios:

250 = (150) x Ind. Precios

Quiere decir, que se deben aumentar los precios en un 66,67%.

Ejercicio 10. El índice de precios de Laspeyres es 2/3 del de Paasche y éste asciende a 130. ¿Cuál es el índice de Fisher?

179


Solución:

4.5 Usos de los números índices

Hemos observado con los ejercicios anteriores, algunas de las aplicaciones de los números índices; tal fue el caso al determinar las variaciones que sufren los precios, cantidades o valores de un conjunto de artículos, o aplicados en una serie de tiempo, constituida por una sola variable. Sin embargo, el uso de los números índices es mucho más amplio, especialmente en la actividad económica. Veamos algunas de las aplicaciones más importantes que tienen los números índices:

Cálculo del salario y del ingreso realMediante el uso de las siguientes fórmulas, se obtienen:

a) Salario real; b) Ingreso real:

Este proceso de convertir el salario y el ingreso nominal en real, se conoce como deflactación o sea la transformación de valores expresados a precios corrientes en valores precios constantes, con respecto a un período.

Ejercicio 11. Supongamos que un empleado en noviembre de 2003 ganaba un salario de $860.000 y en el mes de junio de 2004, su salario fue reajustado con un aumento de $124.000. Se sabe además, que los índices de precios al consumidor para los mismos meses y años son de 1.564,3 y 2.429,4, respectivamente. Se quiere saber si con el reajuste que le hicieron su salario mejoró con relación al que tenía anteriormente.

Solución:Lo primero que hacemos es el traslado de la base del índice de precios al consumidor (IPC), a 2003 pues ambos tienen la misma base (supuestamente) en 1988.

180


Lo anterior quiere decir, que los precios de los artículos de primera necesidad aumentaron para dicho período en un 55,3%, por lo tanto debe haber un porcentaje igual o mayor de incremento en el salario nominal, para que las condiciones económicas sean ¡guales o mejores, para 2004.

El salario real para junio de 2004 será:

El anterior resultado nos indica que el aumento es demasiado bajo, es decir, que a pesar de estar recibiendo más dinero que antes, o sea $984.000, este salario apenas equivale a $633.612,36 de aquel período, cuando estaba ganando $860.000.oo. El aumento debía haber sido de $475.580, o sea que su nuevo salario debería ser de $1.335.580, en vez de $984.000.

Ejercicio 12. La depreciación monetaria, en un país cualquiera, aumenta cada año. Durante el período 1998 - 2004, el aumento es de un 10%, respecto al año anterior. Corregir la siguiente serie de valores, (miles $), de la depreciación monetaria.

Solución:

181


Como el índice se incrementa en un 10% anual, a partir de 1998 se tendrán los siguientes índices:

1998 = 100% 2000 = 110 x 1.10 = 121 1999 = 100 x 1.10 =110 2001 = 121 x 1.10 = 133.1 y así sucesivamente

Luego dividimos cada valor por su respectivo índice obteniéndose de esta manera los valores corregidos.

Poder de compra

Denominado también como poder adquisitivo del dinero o valor del dinero. Se refiere a la relación existente entre la unidad monetaria y la cantidad de bienes que se pueden obtener a cambio de ella.

El poder de compra se halla mediante la aplicación de la siguiente fórmula:

y el índice de poder adquisitivo o de compra:

IO = índice de precios al consumidor, considerado como período de

referencia.

It, = índice de precios al consumidor, considerado como período que

investigamos.

182


Ejercicio 13. En el caso del ejercicio anterior, se consideró que el índice de precios al consumidor era de 1.564,3 para noviembre de 2003 y de 2.429,4 para junio de 2004. Además, cuando se hizo el cambio de base, para el mes de junio de 2004, este índice era de 155,30. Con esos datos se puede calcular tanto el poder de compra, como el índice de poder de compra para junio respecto a noviembre de 2003.

Solución

Lo anterior quiere decir, que un peso de noviembre de 2003, para el mes de junio de 2004 vale 64 centavos. Su valor se ha reducido durante ese período en 36 centavos. El índice de poder adquisitivo, se podría calcular de dos maneras diferentes, a saber: a) Multiplicando el poder de compra por 100 para expresarlo en términos porcentuales:

IPA = 0,6439 x 100 = 64,39%b) Utilizando los índices de precios al consumidor de los dos períodos considerados:

Por otra parte, conociéndose el índice de poder adquisitivo, se puede obtener el salario real. Recordemos, que en ese mismo ejercicio para el cual se calculó el IPA, el salario nominal para el mes de junio de 2004 fue de $984.000 y en noviembre, este era de $860.000.oo

SR = SN x IPA = 384.000 (0,6439) = 633.597,6 como se pudo comprobar, se obtiene, aproximadamente, el mismo resultado. Dará exacto si trabajamos con todos los decimales.

Porcentaje de des valorizaciónCorresponde a la pérdida de poder de compra para un período con respecto a otro considerado como base.

% de desvalorización = 100

183


De acuerdo con los datos anteriores, el porcentaje de desvalorización ha sido de:

% de desvalorización = 100 =¨

De noviembre de 2003 a junio de 2004, la moneda ha perdido un 35% de su poder de compra, es decir, ahora necesitamos más dinero para comprar el mismo artículo o la misma cantidad, debido al aumento en el precio.

Ejercicio 14. Cuando el I PC sube en un 25%, el índice de poder adquisitivo baja en un 20%. ¿Es cierta o falsa la información?

Solución:

= 80 - 100 = -20 es cierto, bajó en un 20%

Porcentaje de devaluación

En primer lugar, indiquemos cómo se obtiene el porcentaje de aumento o de disminución en el tipo de cambio.El tipo de cambio es la cantidad de pesos que debemos dar por un dólar.

Ejercicio 15. En Colombia desde el año de 1970 hasta 1980 el tipo de cambio ha sido:

184


Ejercicio 16. ¿El tipo de cambio de $1.529,80 significa una devaluación del peso colombiano en un 37% respecto a qué cotización?Solución:

Índice de producción y de productividadEl índice de producción se obtiene mediante la aplicación de la fórmula utilizada para calcular el índice simple:

185


El índice de productividad se puede calcular de dos formas diferentes:

a) Dividiendo cada índice de producción por su respectivo índice de obreros y el valor resultante se multiplica por 100:

b) Dividiendo la producción de cada año por el número de obreros, obteniéndose así la productividad por obrero. Luego cada valor resultante se divide por uno de la serie considerado base, dando como resultado el índice de productividad de cada año en relación al período base:

Ejercicio 17. Con los siguientes datos, obtener el índice de producción y el de productividad, tomando como base el período 1998.

Solución:

a) El índice de producción será =

186


Ejercicio 18. En 2004 el precio de un cierto bien de consumo aumentó en un 60% por encima del de 2003, mientras que su producción disminuyó en un 40%. ¿En qué porcentaje aumentó o disminuyó el índice de valor de dicho bien en 2004 respecto a 2003?Solución

Relación precios de intercambio (RPI)

187


En el comercio exterior se tienen índices de precios y de cantidad. Los primeros se denominan índices de valores unitarios, ya que el de precios (Pt, P0) se obtiene dividiendo el valor total de la mercancía (importada o exportada), por su cantidad; los segundos, o sea los índices de quantum, se denominan en esa forma por la sencilla razón que siendo la mercancía tan heterogénea, no sólo en cuanto a la unidad de medida, sino en cuanto a sus características (marca, modelo, tamaño, etc.) se debe utilizar una unidad común: kilos, la que a su vez es considerada como cantidad.

Se tienen por lo tanto índices de valores unitarios y de quantum, tanto para importación como para exportación.

La relación de precios de intercambio, como su nombre lo da a entender, es un indicador de las variaciones entre los precios de los artículos de exportación y los precios de importación. La fórmula para determinar la relación de estos precios es la siguiente:

I de valor unitario de exportaciónRPI = ——————————————————————— x 100

I de valor unitario de importación

Un índice de RPI superior a 100, indica una mejora en los términos de intercambio, y un índice inferior, corresponde a un empeoramiento de los mismos.Teniendo el RPI se puede determinar la capacidad que tiene un país para importar y se obtiene multiplicando el RPI por el relativo del quantum de exportación:

Capacidad para importar = RPI (relativo de quantum de X).

Ejercicio 19. Con los datos (arbitrarios) de la siguiente tabla, determinar la relación de precios de intercambio y la capacidad para importar, tomando como base 1998.

188


Solución:

a) Primero cambiamos la base 1995 por la de 1998, dividiendo cada índice por el primero de la serie:

(/ de valor unitario de exportación)

(/ de valor unitario de importación)

(/ de quantum de exportación)

Y así sucesivamente, se procede en cada una de las (3) tres columnas.

b) La relación de precios intercambio (RPI) se obtiene dividiendo cada índice de valor unitario de exportación (IVUX) por su respectivo índice de valor unitario de importación (IVUM).

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4.6 Proporciones, porcentajes, razones y tasas

Constantemente estamos hablando de índices o de indicadores, lo que puede dar lugar a cierta confusión acerca de términos tales como: índices, proporciones, porcentajes y tasas, así que es conveniente hacer algunas observaciones.Los números índices, tal como se ha visto, relacionan una o más variables en un período dado (colocado como numerador) con la misma variable o variables en otro período, denominado base (como denominador) y sirven para indicar las variaciones que presenta una variable en función de uno de sus valores, que se toma como referencia o término de comparación.Como cada relativo lo multiplicamos por 100, los números índices son porcentajes de variación que presenta cada valor de la variable con respecto al tomado como referencia. Estos números índices generalmente son aplicados en las series cronológicas.

La razón, la proporción y la tasa tienen en común, como los números índices, la relación entre dos valores, el uno como numerador y el otro como

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denominador, siendo el cociente de dividir una cantidad por otra, pero con las siguientes diferencias:

En la razón, el valor considerado como numerador no debe estar contenido en el valor correspondiente al denominador, en consecuencia, la razón puede ser un número superior o inferior a la unidad. En el caso de que la razón se multiplique por 100 se tiene nuevamente un porcentaje.

Supongamos que el número de personas que visitan un centro mercantil, en un día cualquiera, es de 7.000, de las cuales, 4.200 son mujeres y 2.800 hombres. Ahora si dividimos a 4.200 por 2.800 se tendrá:

La anterior relación es una razón por el hecho de que el numerador (4.200) no está contenido en el denominador (2.800). Este resultado significa que por cada hombre se tiene mujer y media, en otras palabras por cada 100 hombres, 150 mujeres visitan dicho lugar.

Nos indica que las mujeres frecuentan ese centro mercantil en un 50% más que los hombres.

Cuando el valor del numerador está incluido en el denominador, se establece una proporción, es decir, el cociente de dividir un sumando cualquiera por su total. Si tal coeficiente se multiplica por 100 se obtendrá un porcentaje,Con el ejemplo de las 7.000 personas que en un día cualquiera van a un centro mercantil, se tendrá que la proporción de hombres que lo visitan es:

Esta proporción nos indica que por cada 100 personas que van a ese centro, en un día, 40 son hombres y 60 son mujeres.Ahora, si multiplicamos por 100 se tendrá:

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Se observará que la proporción no puede ser menor que O ni mayor que 1. En términos porcentuales se dirá que es un número comprendido entre O y 100.

Ambos casos fueron considerados en la elaboración de una tabla de frecuencias y se les denominó frecuencias relativas.

A los porcentajes y a las razones, en numerosas ocasiones, se les denomina tasas; sin embargo al estudiar los cambios que se operan en una población, los porcentajes y las razones no son suficientes para analizar completamente la información disponible, siendo necesario recurrir a la elaboración de tesas.

La palabra tesa se emplea para estudiar una variable en función de otra con al que está relacionada. Estos cocientes se multiplican por 100,1.000, etc., para evitar el uso de decimales.

El mismo ejemplo que ha servido para explicar lo que es una razón, una proporción o un porcentaje, lo utilizaremos para calcular una tasa:

Con lo cual se quiere indicar que 1,45 por 1.000 de los habitantes de esta ciudad visitan el centro mercantil.La tasa específica es aquella que se basa en algunos subgrupos homogéneos de una población, sin tomar en cuenta la totalidad de la población.

Con base en el conocimiento de los índices, las proporciones, las tasas, las razones, los cocientes, y los porcentajes, se presentarán a continuación una serie de indicadores financieros, algunos de ellos de gran utilidad en el análisis de un balance.

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Object 215

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De acuerdo con esta amplia denominación, el concepto de “ TASA” tiene aplicación como expresión o cuantificación de riesgo y ha generalizado su utilización constituyéndose en un medio de expresión genérico en el campo de la planificación y de la evaluación, aunque en estadística demográfica es uno de los campos en donde con mayor intensidad se usa.

A continuación se definen e ilustran algunas de las tasas de mayor utilidad.

Tasa bruta de natalidad: Relación entre el total de nacidos vivos en un período de tiempo (generalmente un año) y la población en la mitad del período, expresada por mil.

b = BN x 1.000

Donde:

b = Tasa de natalidadB = El total de nacimientos vivos.N = El total de población a la mitad del período (generalmente comprende el Cálculo de la población a la mitad del período).

(Por imperfecciones del registro de nacimientos resulta subvaluada. No todos los nacimientos ocurridos en el período son registrados).

Tasa bruta mortalidad: Es la relación entre el total de las defunciones en un período dado y la población media del mismo período, expresada por mil.

m = DN

x 1.000

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Donde:

m = Tasa de mortalidadD = Total de defuncionesN = El total de población a mitad de período.

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(Por imperfecciones de registro de defunciones resulta subvaluada. No todas las defunciones acaecidas en el período son registradas).

Las tasas brutas (natalidad, mortalidad, etc.) permiten comparaciones someras, aunque muy útiles. Por sí solas no permiten el análisis completo del fenómeno de la mortalidad o el de natalidad, pero son la expresión de la importancia relativa de las defunciones y de los nacimientos en los grupos estudiados y permiten establecer comparaciones entre períodos. Con todo sirven como expresión de la situación demográfica en un período dado.

Tasa anual de Crecimiento natural. Es la diferencia entre la tasa bruta de natalidad y la tasa bruta de mortalidad

r = b - m

Donde:

r = Tasa anual de crecimiento o crecimiento vegetativob = Tasa de natalidadm = Tasa de mortalidad.

Tasa anual de crecimiento. Esta tasa permite conocer el ritmo anual supuesto constante, al que ha crecido la población entre dos momentos dados.

Las fórmulas con las cuales se calcula la tasa de crecimiento son de forma exponencial, correspondiente con la curva que presenta el crecimiento poblacional

N1 = N0 (1+r)t

N2 = N0. er t

Usando cualquiera de estas expresiones se puede obtener la tasa de crecimiento “r”

En las fórmulas anteriores se tiene:

r = Tasa de crecimiento

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t = Tiempo que media entre el momento inicial y el momento final de observación

N1 = Población al final del períodoN0 = Población inicial o en el momento ceroe = Base de los logaritmos naturales.

Mediante manejo algebraico las dos expresiones anteriores se transforman en:

r = antilog log 1

0 1

NNt

−

r = ln 1

0

NNt

Ejemplo: El cálculo de la tasa de crecimiento intercensal de acuerdo con los censos de población colombiana en los años 1951, 1964 y 1973 se realiza de la siguiente manera :

Fecha del censo Número de Habitantes Período intercensal

Mayo 9 de 1.951 11.548.172

Julio 15 de 1.964 17.484.508 13 años y 66 días

Octubre 24 de 1.973 22.915.229 9 años y 99 días

Fórmula 1: Tasa de crecimiento para el período de 1.951 - 1.964

N1 = 17.484.508N0 =11.548.172t = 13,18 AÑOS (66/360 = 0.18)

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r = antiloglog( . .

. .)

,

17 484 548115481721318

1

−

r = antilog (0.013668) - 1 r = 1.03197 - 1r = 0.03197 = 31.97%

Tasa de crecimiento por mil habitantes. Es decir, que la población colombiana aumentó en 32 personas por cada mil durante el período de 1951 -1964.

Fórmula 2: Tasa de crecimiento para el período 1964 - 1973

N1 = 22.915.229N0 = 17.484.508t = 9.275 años ( 99/360 = 0,275 )

r = ln . .. .,

. .

22 91522917 484 508

9 2750 029163 2916%= =

Tasa de crecimiento por mil habitantes. Lo que equivale a decir, que la población colombiana aumento en 29 personas por cada mil durante el período 1964 - 1973.

Una fórmula alternativa para calcular la tasa de crecimiento (r) es la

siguiente:

r = 2 11 0

1 0

( ). .N N

N N tk

−+

Tasa de Mortalidad Infantil.

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T.M. I. = 0DB

x 1.000

Donde:

T.M.I : Tasa de mortalidad infantil

D0: Número de muertos menores de un año en un período de referencia, generalmente un año.

B : Total de nacidos vivos en el período de referencia.

Este es uno de los indicadores que mejor resumen las condiciones y la calidad de vida de una sociedad. Su confiabilidad está directamente relacionada con la calidad y características del sistema del registro. Por ejemplo, un registro tardío del nacido vivo, conduce a sobrestimar la tasa, supuesto un registro completo de las defunciones; una imperfección en el registro de defunciones conduce a subestimar el valor de la tasa, supuesta buena calidad en el registro de los nacidos vivos.

Tasa de mortalidad por edad

Mx = X

X

DN x 1.000

Donde:

mx = Tasa de mortalidad para la edad x ( grupo de edad )

Dx = Defunciones ocurridas en personas de edad X (grupo de edad) durante el período de referencia.

Nx = Total de población en edad X (grupo de edad) en el centro del Período de referencia (generalmente en la mitad del año).

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La tasa así definida tiene por virtud describir las diferenciales de la mortalidad por edad, que de otra forma se esconden en la estructura por edad de la población. Así, se puede definir tasas de mortalidad para población joven ( por ejemplo para menores de 15 años ), para población adulta ( por ejemplo entre 15 y 60 años ) y para población vieja ( mayores de 60 años ).

Tasa de fecundidad por edad.

Fx = X

X

BNf x 1.000

Donde:

Fx = Tasa de fecundidad de mujeres en edad X (grupo de edad)

Bx = Total de nacidos vivos en mujeres de edad X durante el período de referencia, generalmente un año.

NFx = Población femenina de edad X (grupo de edad) en la mitad del período de referencia.

Este indicador también describe la diferencia que existe en el proceso reproductivo según la edad de las mujeres.

Tasas de participación por sexo y edad.

Ax = X

X

NAN

Donde:

Ax = Tasa de actividad correspondiente a una edad X.

NAx = Población Económicamente Activa para la población de edad X.

Nx = Población total de edad X.

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(Los elementos pueden referirse a hombres o mujeres en forma independiente).

Este indicador pone de manifiesto la variación significativa que ocurre por sexo y edad en la participación económica. Existe edades en la que la tasa de participación de los hombres se acerca al 100 por ciento, en tanto que la de las mujeres puede ser muy próximo a cero, entre otras atribuibles a los diversos niveles de desarrollo. La participación por zona geográfica es diferencial por sexo. Así en zonas rurales la participación de las mujeres es mínima en tanto que la de los hombres es considerada plena.

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