Estadística en Economía

ESTADISTICA PARA ECONOMISTAS IIITERCER SEMESTRE

HORARIOS DEL MODULO

Horario de Clases:

“LUNES”

11:00 A 13:00

“JUEVES”

09:00 A 11:00

ESTRUCTURA DEL MODULO

Diapositivas

Investigaciones

Casos de estudio

Examen

APROBACIÓN

DETALLE PUNTAJE

ACTIVIDAD ACADEMICA:

AportesDeberesTalleres Investigaciones

62121

EXAMEN 4

X. BIBLIOGRAFÍA

1. Básica

TEXTO: ESTADISTICA APLICADA A LOS NEGOCIOS Y LA ECONOMIAAUTOR: LIND, MARCHAL Y WATHENEDITORIAL: MC GRAW HILL

EDICIÓN: DECIMOTERCERA

1. Complementaria

TEXTO: ESTADISTICA PARA ADMINISTRACION Y ECONOMIAAUTOR: LEVIN, RUBIN, BALDERAS, DEL VALLE Y GOMEZEDITORIAL: PRENTICE HALLEDICIÓN: SEPTIMA

TEXTO: ESTADISTICA APLICADA A LOS NEGOCIOS Y ECONOMIAAUTOR: ALLEN L. WEBSTEREDITORIAL: MC GRAW HILLEDICIÓN: TERCERA

TEXTO: ESTADISTICAAUTOR: M. SPIEGEL Y L. STEPHENSEDITORIAL: MC GRAW HILLEDICIÓN: TERCERA

TEXTO: MANUAL DE ESTADISTICA CON EXCELAUTOR: M. E. CRISTOFOLI Y M. BELLIARDEDITORIAL: OMICRON SYSTEM

EDICIÓN: PRIMERA

TEXTO: ESTADISTICA MATEMATICA CON APLICACIONESAUTOR: WACKERLY, MENDENHALL Y SCHEAFFEREDITORIAL: CENGAGE LEARNING

EDICIÓN: SEPTIMA

ESTADISTICA PARA ECONOMISTAS III

Prueba de Hipótesis de una población.Prueba de Hipótesis de dos

poblaciones.Prueba Chi Cuadrada y Análisis

de varianza.Análisis de Regresión y

Correlación.Series de Tiempo.

CAPITULO IPRUEBA DE HIPOTESIS DE UNA POBLACION

PRUEBA DE HIPOTESIS

La prueba de hipótesis comienza con una suposición (HIPOTESIS), acerca de un parámetro poblacional, recolectamos datos de muestra, elaboramos las estadísticas respectivas y determinamos que tan probable es que nuestro parámetro poblacional hipotético sea correcto.

PRUEBA DE HIPOTESIS

PoblaciónPoblación MuestraMuestra TestTestEstadísticoEstadístico

ConclusionesConclusiones

PRUEBA DE HIPOTESIS

Se desarrolla un procedimiento para probar la validez de una aseveración acerca de un parámetro poblacional, es decir, la diferencia entre el real y el hipotético y si esta es significativa o no.

PRUEBA DE HIPOTESIS

Recordaremos conceptos básicos:

Hipótesis: Enunciado acerca de una población elaborada con el propósito de poner a prueba.

Prueba de Hipótesis: Procedimiento basado en la evidencia muestral y la teoría de probabilidades; se emplea para determinar si la hipótesis es una afirmación razonable.

PRUEBA DE HIPOTESIS

Pasos para Probar una Hipótesis:

1.- Plantear las hipótesis nulas y alternativas:

Hipótesis Nula: Afirmación acerca del valor de un parámetro poblacional (H0), establecido antes de comenzar a tomar la muestra. El objetivo no es cuestionar el valor del estadístico de prueba, sino elaborar un juicio respecto a la diferencia entre este estadístico y el parámetro hipotético de la población.

Hipótesis Alternativa: Afirmación que se acepta si los datos muéstrales proporcionan evidencia suficiente de que la hipótesis nula es falsa (H1).

PRUEBA DE HIPOTESIS

2.- Seleccionar el nivel de significancia:

Nivel de Significancia: Probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera (). Si suponemos que la hipótesis es correcta, entonces el nivel de significancia indicara el porcentaje de medias muéstrales que están fuera de ciertos limites. Recuerde que al caer en la zona de aceptación el estadístico, esto no prueba que H0 sea cierta; simplemente nos proporciona evidencia estadística para no rechazarla. Los mas usados son del 1%, 5% y 10%.

PRUEBA DE HIPOTESIS

La utilización de términos como “Aceptar” por “No Rechazar”, es un estándar e indica que cuando los datos de la muestra no hacen que rechacemos H0, actuamos como si la hipótesis sea cierta.

Error Tipo I: Rechazar la hipótesis nula “H0”, cuando es verdadera. Se la denota con “”. La probabilidad de ocurrencia es el nivel de significancia por lo que al escoger un alto la probabilidad de rechazar H0 siendo verdadera aumenta.

Error Tipo II: Aceptar la hipótesis nula “H0”, cuando esta es falsa. Se la denota con “”.

PRUEBA DE HIPOTESIS

3.- Identificar el estadístico de prueba Estadístico de Prueba: Valor

determinado a partir de la información muestral, que se utiliza para determinar si se rechaza la hipótesis nula. Entre los que tenemos al estadístico “z”, “t”, “Xi” y “F”.

4.- Formular la regla de decisión Valor Critico: Punto de división entre la

región en la que se rechaza la hipótesis nula y la región en la que no se rechaza la hipótesis nula.

5.- Se toma una decisión

PRUEBA DE HIPOTESIS

Prueba de dos Colas:

Determinaremos si son diferentes del valor propuesto para la media poblacional. Rechazamos H0 si la media de la muestra es significativamente mayor o menor que la media hipotética de la población.

o Ho: µ = 0o H1: µ ≠ 0o Bilateral

2

2

Región de Aceptación

Región de Rechazo

PRUEBA DE HIPOTESIS

Prueba de una Cola: Determinamos si son mayores o

menores que la media poblacional propuesta. Recházanos H0 si la media de la muestra es significativamente menor (Prueba de Cola Inferior) que la media hipotética de la población.

Ho: µ ≥ 0 H1: µ < 0

Unilateral Izquierda

Región de Rechazo

Región de Aceptación

Región de Rechazo

Región de Aceptación

Prueba de una Cola: Determinamos si son mayores o

menores que la media poblacional propuesta. Recházanos H0 si la media de la muestra es significativamente mayor (Prueba de Cola Superior) que la media hipotética de la población.

Ho: µ ≤ 0 H1: µ > 0

Unilateral Derecha

PRUEBA DE HIPOTESIS

La regla de decisión para aceptar o rechazar la Hipótesis Nula es:

Acepto Ho Rechazo Ho y Acepto

H1

Para calcular Zt para una prueba de dos colas:

1 - = Nivel de Confianza (N.C.)

(N. C.)/2 = Valor Tabla, el cual lo buscamos en la “Tabla Z”.

Para calcular Zt para una prueba de una cola:

1 - = Nivel de Confianza (N.C.)

(N. C.) – 0.5 = Valor Tabla, el cual lo buscamos en la “Tabla Z”.

tc

tc

VV

VV

PRUEBA DE HIPOTESIS

Muestra Grande y “” Conocida:

En algunos casos se conoce la “” la población sigue una distribución normal y recordando que n 30.

Muestra Grande y “” Desconocido:

En algunos casos se desconoce “” no se conoce la forma de la población por lo que deberá utilizarse “s”, recordando que “n 30”.

n

xz

__

n

sx

z

__

EJERCICIOS EN CLASE

Un fabricante de salsa de tomates, utiliza una maquina para vaciar 16 onzas de su salsa en botellas. A partir de su experiencia de varios años con dicha maquina, se sabe que la cantidad del producto en cada botella tiene una distribución normal con una media de 16 onzas y una desviación estándar de 0.15 onzas. Una muestra de 15 botellas llenadas durante la hora pasada revelo que la cantidad media por botella era de 16.017 onzas. ¿La evidencia sugiere que la cantidad media despachada es diferente de 16 onzas? Utilice un nivel de significancia de 5%

Establezca la hipótesis nula y alternativaLa probabilidad de cometer un error tipo IEnuncie la regla de decisiónDetermine el valor del estadístico de la pruebaInterprete los resultados obtenidos

EJERCICIOS EN CLASE

Suponga que se modifica el penúltimo enunciado para que diga: ¿La evidencia sugiere que la cantidad media despachada es mayor que 16 onzas?

Establezca la hipótesis nula y alternativaEnuncie la regla de decisiónUna segunda muestra de 50

contenedores llenos revelo que la media es de 16.040 onzas

Determine el valor del estadístico de la prueba

Interprete los resultados obtenidos

PRUEBA DE HIPOTESIS

Muestra Pequeña y “” Desconocida:

En algunos casos se desconoce la “”, recordando que n 30.

Donde Tt se obtiene por medio de la formula:

Si es de una cola:

Si es de dos colas:

Recuerde que las características de la “Distribución t” se mantienen.

n

sx

t

__

;1n

2;1

n

EJERCICIOS EN CLASE

La vida media de una batería en un reloj digital es de 305 días. Las vidas medias de las baterías se rigen por la distribución normal. Hace poco se modifico la batería para que tuviera mayor duración. Una muestra de 20 baterías modificadas exhibió una vida media de 311 días con una desviación estándar de 12 días. ¿la modificación incremento la vida media de la batería?

Establezca la hipótesis nula y alternativaEnuncie la regla de decisiónEl nivel de significancia es de 5%Determine el valor del estadístico de la pruebaInterprete los resultados obtenidos

EJERCICIOS EN CLASE

Se programa una maquina para llenar un frasco pequeño con 9.0 gramos de medicamento. Una muestra de ocho frascos arrojo las siguientes cantidades (en gramos) por botella. ¿Si el nivel de significancia es del 1% puede concluirse que el peso medio es inferior a 9.0 gramos?

Establezca la hipótesis nula y alternativa¿Cuantos grados de libertad existen?Enuncie la regla de decisión y grafíquelaDetermine el valor del estadístico de la

pruebaInterprete los resultados obtenidos

9,20 8,70 8,90 8,60 8,80 8,50 8,70 9,00

PRUEBA DE HIPOTESIS

Proporción de la Población:

Una proporción es una fracción, razón o porcentaje que indica la parte de la muestra o población que tiene una característica determinada. Se la denota por ρ. Utilizaremos la proporción de la muestra (ρ) como estimador del de la población que es:

Se conservan los supuestos binomiales.

Donde:

π = Proporción Poblacional

n

x

z

0:

0:

1

0

H

H

0;0:

0;0:

1

0

H

Hn

z)1(

n

)1(

EJERCICIOS EN CLASE

Un informe reciente de la industria de seguros indico que 40% de las personas implicadas en accidentes de transito menores había tenido por lo menos un accidente los pasados cinco años. Un grupo de asesoría decidió investigar dicha afirmación, pues creía que la cantidad era muy grande. Una muestra de 200 accidentes de transito de este año mostro que 74 personas también estuvieron involucradas en otro accidente los pasados cinco años. Con un nivel de significancia de 1%

Establezca la hipótesis nula y alternativaEnuncie la regla de decisión y grafíquelaDetermine el valor del estadístico de la pruebaInterprete los resultados obtenidos

PRUEBA DE HIPOTESIS

Valor ρ: Para probar una hipótesis se calcula un valor Z y se

compara con un valor crítico Z con base en el nivel de significancia seleccionado.

“Es el nivel más bajo de significancia (valor α) al cual se puede rechazar la hipótesis nula. Es el área en la cola que está más allá del valor del estadístico para la muestra”.

“Es la probabilidad de observar un valor muestral tan extremo, o mas extremo, que el valor observado, dado que la hipótesis nula es verdadera. Se compara la probabilidad con el nivel de significancia”.

Si:

ρ > ; se acepta Ho

ρ < ; se rechaza Ho

PRUEBA DE HIPOTESIS

“Recordar que si la prueba es de 2 colas el resultado se multiplica por dos, si es de una cola el valor es directo”.

Este valor “ρ” es una manera de expresar que H0 no sea verdadera.

2

2

Región de Aceptación

Valor ρ

ZcZc ZtZt

c

c

Z

Z

5.0

2*5.0

PRUEBA DE HIPOTESIS

Una vez que el valor de ρ se haya determinado, la conclusión en cualquier nivel α particular resulta de comparar el valor ρ con α:

1. Si p-value ≤ se rechaza la hipótesis nula al nivel de α

2. Si p-value > no se rechaza la hipótesis nula al nivel de α

EJERCICIOS EN CLASE

Un fabricante de salsa de tomates, utiliza una maquina para vaciar 16 onzas de su salsa en botellas. A partir de su experiencia de varios años con dicha maquina, se sabe que la cantidad del producto en cada botella tiene una distribución normal con una media de 16 onzas y una desviación estándar de 0.15 onzas. Una muestra de 15 botellas llenadas durante la hora pasada revelo que la cantidad media por botella era de 16.017 onzas. ¿La evidencia sugiere que la cantidad media despachada es diferente de 16 onzas? Utilice un nivel de significancia de 5%

Establezca la hipótesis nula y alternativaLa probabilidad de cometer un error tipo IEnuncie la regla de decisiónDetermine el valor del estadístico de la pruebaInterprete los resultados obtenidosDetermine el valor ρ

EJERCICIOS EN CLASE

Suponga que se modifica el penúltimo enunciado para que diga: ¿La evidencia sugiere que la cantidad media despachada es mayor que 16 onzas?

Establezca la hipótesis nula y alternativaEnuncie la regla de decisiónUna segunda muestra de 50 contenedores

llenos revelo que la media es de 16.040 onzas

Determine el valor del estadístico de la prueba

Interprete los resultados obtenidosDetermine el valor ρ

EJERCICIOS EN CLASE

Un informe reciente de la industria de seguros indico que 40% de las personas implicadas en accidentes de transito menores había tenido por lo menos un accidente los pasados cinco años. Un grupo de asesoría decidió investigar dicha afirmación, pues creía que la cantidad era muy grande. Una muestra de 200 accidentes de transito de este año mostro que 74 personas también estuvieron involucradas en otro accidente los pasados cinco años. Con un nivel de significancia de 1%

Establezca la hipótesis nula y alternativaEnuncie la regla de decisión y grafíquelaDetermine el valor del estadístico de la pruebaInterprete los resultados obtenidosDetermine el valor ρ

CAPITULO IIPRUEBA DE HIPOTESIS DE DOS POBLACIONES

PRUEBA DE HIPOTESIS

Prueba de dos colas:

Prueba de una cola:

211

210

211

210

211

210

211

210

:

:

0:

0:

:

:

0:

0:

H

H

H

H

H

H

H

H

211

210

211

210

211

210

211

210

211

210

211

210

211

210

211

210

:

:

0:

0:

:

:

0:

0:

:

:

0:

0:

:

:

0:

0:

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

H

PRUEBA DE HIPOTESIS

Muestras Grandes: Tienen que cumplirse dos supuestos:

El valor n 30

Las poblaciones son independientes

Donde:

= Varianza de la Distribución de las Diferencias en Medias Muéstrales

2

2

1

2

2

2

1

22

21

21

nn

nn

XX

XX

2

2

1

2

212

__

1

__

212

__

1

__

)()()()(

21

nn

xxxxz

XX

2

21 XX

EJERCICIOS EN CLASE

El propietario de una empresa observo una diferencia en el total de dólares de las ventas entre hombres y mujeres que emplea como agentes de ventas. Una muestra de 40 días revelo que los hombres venden una media de $1400 por concepto de venta por día. Para una muestra de 50 días, las mujeres vendieron una media de $1500 por concepto de venta por día. Suponga que la desviación estándar para los hombres es $200 y para las mujeres $250. Con un nivel de significancia de 0,05 ¿puede el propietario concluir que la cantidad media vendida por día es mayor para las mujeres?

Establezca la hipótesis nula y alternativaEnuncie la regla de decisiónDetermine el valor del estadístico de la pruebaInterprete los resultados obtenidosDetermine el valor ρ

PRUEBA DE HIPOTESIS

Muestras Pequeñas: Tienen que cumplirse los supuestos:

• Las poblaciones muestreadas siguen distribución normal

• Las muestras son de poblaciones independientes

• Las desviaciones estándar de las dos poblaciones son iguales

Donde:

= Varianza Conjunta

Tt = (n1 + n2 – 2; /2) si es de dos cola

Tt = (n1 + n2 – 2; ) si es de una cola

)11(

)()(

21

2

212

__

1

__

nnS

xxt

p

p

2

)1()1(

21

222

2112

nn

SnSnS p

2pS

EJERCICIOS EN CLASE

El gerente de producción de una empresa fabricante de mobiliario de oficina desea comparar el numero de productos defectuoso producidos en el turno matutino con el del turno vespertino. Una muestra de la producción de 6 turnos matutinos y 8 vespertinos revelo el numero de defectos siguientes:

Con un nivel de significancia de 0,05 ¿hay una diferencia en el numero medio de defectos por turno?

Establezca la hipótesis nula y alternativaEnuncie la regla de decisiónDetermine el valor del estadístico de la pruebaInterprete los resultados obtenidos

matutino 5 8 7 6 9 7   

vespertino 8 10 7 11 9 12 14 9

PRUEBA DE HIPOTESIS

Prueba para Proporciones con Dos Muestras: La única diferencia con la comparación de diferencias entre dos medias de muestras independientes es el error estándar. Las muestras son tan grandes para usar la distribución normal como aproximación de la binomial.

Proporción Conjunta:

Recuerde que:

21

21212121

)1()1(

)()()()(

21

nn

Z p

21

2211

21

21

nnnn

nnXX

n

x

EJERCICIOS EN CLASE

De 150 adultos que probaron un nuevo pastel sabor durazno, 87 lo calificaron como excelente. De 200 niños muestreados,123 lo calificaron como excelente. Con un nivel de significancia de 0,10 ¿puede concluir que existe una diferencia significativa en la proporción de adultos y la proporción de niños que calificaron al nuevo sabor como excelente?

Establezca la hipótesis nula y alternativaEnuncie la regla de decisiónDetermine el valor del estadístico de la pruebaInterprete los resultados obtenidosDetermine el valor ρ

CAPITULO IIIANALISIS DE VARIANZA

DISTRIBUCION CHI - CUADRADA

1. Conocida como Distribución Ji cuadrada.

2. No puede tomar valores negativos son positivos o nulos.

3. La distribución tiene media “n - 1” y varianza “2(n - 1)”. Hay un infinito numero de distribuciones.

4. El área bajo la curva y sobre el eje horizontal es 1.

5. No tiene forma de campana (asimétrica) tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; sesgadas a la derecha.

6. Tiene mayor utilización en la inferencia estadística por ejemplo en pruebas de independencia, bondad de ajuste, estimación de varianza, estimación de la media de una población normal, en la pendiente de una recta de regresión, análisis de varianza.

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA VARIANZA DE POBLACIÓN

El Valor Estadístico de Prueba para la Comparación de Varianzas

Las varianza la calculamos con:

El estadístico de prueba sigue una distribución Ji-Cuadrada con n -1 grados de libertad. Los valores críticos se obtienen por:

Cuando es de dos colas el nivel de significancia () se la divide para dos (/2).

2

22 )1(

sn

X

111

)(2__22

__

2

n

xn

n

x

n

xxs

2

2)1(

2

2

U

L

X

X

INFERENCIA ACERCA DE UNA VARIANZA DE POBLACIÓNIntervalo de Confianza para ²:

Limite Inferior

Limite Superior

Planteamiento de la Hipótesis:

Los valores críticos dependerá si la prueba es de cola superior o inferior.

2

22

2

22

)1(

)1(

LU

UL

X

Sn

X

Sn

0:

0:2

1

20

H

H

0;0:

0;0:22

1

220

H

H

DISTRIBUCION F “FISHER”

1. Conocida como Distribución “F” de Fisher.

2. No Puede tomar valores negativos.

3. Es una distribución continua igual que la normal.

4. A medida que se incrementan los valores la curva se aproxima al eje de las “x” pero no lo toca (asintótica y tiende a la normal).

5. No tiene forma de campana (asimétrica) positivamente sesgada a la derecha.

6. Grados de libertad tanto en el numerador como denominador.

7. De gran uso en el análisis de varianza.

COMPARACIÓN DE LA VARIANZA DE DOS POBLACIONES NORMALES

En su momento se pidió aceptar a ciegas la igualdad de varianzas. Las varianzas de la muestra sirven como estimados de sus varianzas poblacionales respectivas, pero si analizamos mas de dos poblaciones.

La ji-cuadrada y la prueba F nos permiten probar si mas de dos poblaciones pueden ser consideradas iguales, si sus características son independientes entre si, significativas o se deben al azar, la variabilidad de una población.

INFERENCIA ACERCA DE LAS VARIANZA DE DOS POBLACIÓNEn los temas anteriores encontrábamos la diferencia

entre dos medias, sin embargo no nos dedicaremos a buscar la diferencia de dos varianzas muéstrales, sino su cociente.

Planteamiento de las Hipótesis:

Para calcular el estadístico “F” utilizamos:

Pruebas de una y dos cola, con (n – 1) para numerador y denominador

22

211

22

210

:

:

H

H22

211

22

210

:

:

H

H22

211

22

210

:

:

H

H

22

21

ss

Fp )21.1.1(

1..

ndFF IL

2,1,1.. dnF SL

1..

1..

2

1

ndgl

nnglFt

EJERCICIO EN CLASE

Una empresa que ensambla componentes eléctricos para teléfonos inteligentes. El inspector numero 1 durante los últimos 10 días han encontrado 9 productos rechazados con una desviación de estándar de 2 rechazos por día. El inspector numero 2 promedio 8,5 productos rechazados, con una desviación estándar de 1,5 rechazados durante el mismo periodo. Con un nivel de significancia de 0,05 ¿podrá concluir que hay mas variación en el numero de productos rechazados por día del inspector numero 1?

TABLA ANOVA: SUPUESTOS

ANOVA está diseñada para probar si tres o más poblaciones tiene la misma media, aunque implica un examen de las varianzas muéstrales

Se utiliza para determinar si cuando se aplica un tratamiento a una población, éste tendrá un impacto significativo en su media.

Las unidades experimentales son los objetos que reciben el tratamiento.

Los tratamientos son los niveles del factor.

El factor es la fuerza o variable cuyo impacto en tales unidades experimentales se desea medir.

TABLA ANOVA: SUPUESTOS

Son esenciales tres supuestos:

Las poblaciones son normales

Las poblaciones tienen la misma varianza

Las muestras se seleccionan independientemente

Al cumplirse estas condiciones, el estadístico de prueba es la Distribución F.

Si el número de tratamientos es “c”, el conjunto de hipótesis de prueba es:

0 1 2: ....

:c

A

H

H No todas las medias son iguales

TABLA ANOVA: MODELOS

La forma como se seleccionen los tratamientos determinara el tipo de modelo a utilizar y estos son:

Modelo de efectos fijos: en el cual se seleccionan tratamientos específicos o se fijan antes del estudio.

Modelo de efectos aleatorios: en el cual los niveles (tratamientos) utilizados en el estudio se seleccionan aleatoriamente de una población de niveles posibles.

En esta unidad nos centraremos en el modelo de efectos fijos.

TABLA ANOVA: PRUEBA

Variación total = (SS T0TAL)

Variación del tratamiento = (SST)

Variación del error = (SSE)

Variación total: es la suma de las diferencias elevadas al cuadrado entre cada observación y la media global.

Variación de tratamiento: es la suma de las diferencias elevadas al cuadrado entre la media de cada tratamiento y la media total o global.

Variación aleatoria: es la suma de las diferencias elevadas al cuadrado entre cada observación y su media de tratamiento.

SS T0TAL = SST + SSE

ANOVA A UNA VÍA: DISEÑO

COMPLETAMENTE ALEATORIO

Varias unidades experimentales se asignan aleatoriamente a diferentes niveles de un solo factor.

Se base en una comparación de la cantidad de variación en cada uno de los tratamientos.

Si de un tratamiento al otro la variación es significativamente alta, puede concluirse que los tratamientos tienen efectos diferentes en las poblaciones.

Para determinar si tratamientos diferentes tienen efectos diferentes en sus respectivas poblaciones, se compara entre la variación dentro de las muestras y la variación entre muestras.

ANOVA A UNA VÍA: DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIO Efecto del tratamiento, como las muestras

diferentes tienen tratamientos distintos, la variación entre las muestras puede ser producida por los efectos de tratamientos diferentes

La razón F, es una razón de la variación entre muestras y la variación dentro de las muestras

La razón F: cuando las medias poblacionales son diferentes, el efecto del tratamiento está presente y las desviaciones entre las muestras serán grandes comparadas con la desviación del error dentro de una muestra. Por tanto, el valor F aumentará, lo cual es una razón de la variación del tratamiento y de la variación del error.

ANOVA A UNA VÍA: DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIOLa gran media de todas las observaciones del experimento:

n

XX ij

____

22

__

11 ..... n

T

n

TT

xn

nx

n

nx

n

nX

ANOVA A UNA VÍA: DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIOEl reconocimiento de las fuentes de variación permite la división de la suma de cuadrados, un procedimiento necesario para el ANOVA, tal que:

SCT = SCTR + SCE

Sumatoria de los cuadrados totales

Sumatoria de los cuadrados de los tratamientos

Sumatoria de los cuadrados de los errores

“∆ “∆ total = ∆ del tratamiento + ∆ del total = ∆ del tratamiento + ∆ del error”error”

ANOVA A UNA VÍA: DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIO Sea Xij la observación i-ésima en la muestra j-

ésima. Entonces, la suma de cuadrados total es

La gran media se resta a cada una de las observaciones. La SCT es la variación de las observaciones alrededor de la gran media elevadas al cuadrada y sumadas.

2

11

XXSCT ij

c

j

r

i

ANOVA A UNA VÍA: DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIOPara la suma de cuadrados de los tratamientos se tiene que

El número de observaciones en cada tratamiento, rj, se multiplica por las diferencias cuadradas entre la media de cada tratamiento, y la gran media.

Los resultados se suman para todos los tratamientos.

2__

XXrSCTR jj

ANOVA A UNA VÍA: DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIOLa suma de cuadrados del error se expresa como:

La media de un tratamiento se resta de cada observación en dicho tratamiento.

Las diferencias se elevan al cuadrado y se suman. Esto se hace para todos los tratamientos, y los resultados se suman.

2__

jij XXSCE

CUADRADOS MEDIOS

Una suma de cuadrados dividida por sus grados de libertad produce un cuadrado medio.

Grados de libertad es el número total de observaciones del conjunto de datos menos toda restricción que pueda aplicarse, es decir, todo valor que se calcula del conjunto de datos.

El cuadrado medio total es:

El cuadrado medio del tratamiento es:

1n

SCTCMT

11

2__

c

XXn

c

SCTRCMTR

jj

CUADRADOS MEDIOS

El cuadrado medio del error es:

2

2__

2__

*1

1*

1

jT

j

T

j

jij

Scn

nCME

n

XXn

cn

nCME

cn

XX

cn

SCECME

CUADRADOS MEDIOS

Estos cuadrados medios son sumas de los cuadrados divididas por sus grados de libertad, y como tales son varianzas.

Razón F parra una prueba de medias:

CME

CMTRFC cn

cF

TT

1

CUADRADOS MEDIOS

CMTR mide la variación entre tratamientos.

Si tienen efectos diferentes, CMTR lo reflejará a través de su incremento. La razón F se incrementará.

Por tanto, si la razón F se vuelve significativamente grande porque CMTR excede a CME por una cantidad grande, se reconoce que los efectos del tratamiento existen.

TABLA ANOVA GENERALIZADA

Fuente de Fuente de variaciónvariación

Suma de Suma de cuadradocuadradoss

Grados Grados de de libertadlibertad

Cuadrado Cuadrado mediomedio

Valor Valor FF

Entre Entre muestras muestras (tratamient(tratamiento)o)

SCTRSCTR c- 1c- 1 SCTR/(c-1)SCTR/(c-1) CMTR/CMTR/CMECME

Dentro de Dentro de muestras muestras (error)(error)

SCESCE n - cn - c SCE/(SCE/(n-cn-c))

Variación Variación totaltotal

SCTSCT n n - 1- 1