ESTADISTICA - PROBLEMARIO Nº 01

8/6/2019 ESTADISTICA - PROBLEMARIO N 01

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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE QUMICA E INGENIERA QUMICA

Tomo I de Problemario de EstadsticaING JOS MANUEL GARCA PANTIGOZO

Semestre 2009 I

INTRODUCCION

El presente trabajo consta de un conjunto de problemas y

ejercicios de Estadstica propuestos y resueltos.

Ing Jos Manuel Garca Pantigozo 2009 - I


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Semestre 2009 I

1. Conviertase la distribucin obtenida en el ejercicio anterior en una distribucin

acumulada menor que y bosqujese su ojiva

* DESARROLLO

INTERVALO CONTEO Fi Fi15.9 19.0 ||| 3 320.0 24.9 |||| |||| |||| 15 1825.0 29.9 |||| |||| |||| |||| |||| 24 4230.0 34.9 |||| |||| || 12 5435.0 39.9 |||| | 6 60

60 177

OJIVA "MENOR QUE"

0

10

20

30

40

50

60

15 20 25 30 35 40

LS

Fi

2. Las marcas de clase de una distribucin de lecturas de temperatura (dadas al

grado Celsius ms cercano ) son 16, 25, 24, 43, 52 y 61. Calclese:

(a) las fronteras de clase;

(b) los limites de clase.

* DESARROLLO



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Semestre 2009 I

3. En un estudio de dos semanas sobre la productividad de los trabajadores, se

obtuvieron los siguientes datos sobre el nmero total de piezas aceptables que

produjeron los trabajadores:

65 36 49 84 79 56 28 43 67 3643 78 37 40 68 72 55 62 22 8288 50 60 56 57 46 39 57 73 65

59 48 76 74 70 51 40 75 56 4535 62 52 63 32 80 64 53 74 3476 60 48 55 51 54 45 44 35 5121 35 61 45 33 61 77 60 85 6845 53 34 67 42 69 52 68 52 4762 65 55 61 73 50 53 59 41 5441 74 82 58 26 35 47 50 38 70

Agrpense estos datos en una distribucin que tenga las clases 20-29, 30-39,

40-49, 50-59, 60-69, 70-79 y 80-89.

* DESARROLLO

INTERVALO CONTEO fi Fi hi Hi

20 - 29 |||| 4 4 0.04 0.0430 - 39 |||| |||| ||| 13 17 0.13 0.1740 - 49 |||| |||| |||| ||| 18 35 0.18 0.3550 - 59 |||| |||| |||| |||| |||| 25 60 0.25 0.6060 - 69 |||| |||| |||| |||| 20 80 0.20 0.80

70 - 79 |||| |||| |||| 14 94 0.14 0.9480 - 89 |||| | 6 100 0.06 1.00

100 1.00

4. Convirtase la distribucin obtenida en el ejercicio 3 en una distribucin

porcentual acumulada menor que y dibjese su ojiva.

* DESARROLLO



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Semestre 2009 I

OJIVA "O MAYOR" DE ACCIDENTES

AUTOMOVILISTICOS QUE OCURREN EN UN FIN

DE SEMANA DE DICIEMBRE

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5 6 7

NUMERO DE ACCIDENTES

Fi

"mayorque"

7. Las distribuciones categricas a menudo se presentan grficamente por medio

de grficas circulares en las que un crculo se divide en sectores proporcionales a

las frecuencias (o porcentajes) con que los datos estn distribuidos entre las

categoras. Dibjese un diagrama de este tipo para representar los siguientes datos

obtenidos en un estudio en el cual a 40 conductores se les pidi juzgar la

maniobrabilidad de cierto automvil como muy buena, buena, adecuada, excelente

y malisima

* DESARROLLO

DATOCUALITATIVO

CONTEO Fi hi

Muy Buena |||| |||| 10 0.2Buena |||| |||| |||| |||| 20 0.5

Adecuada |||| | 06 0.15



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Semestre 2009 I

Excelente ||| 03 0.07Malisima | 01 0.08

40 1.00

MANIOBRABILIDAD DE CIERTO AUTOMOVIL

MUY BUENA

25%

BUENA

49%

ADECUADA

15%

EXCELENTE

8%

MALISIMA

3%

8. El pictograma de la figura 3 intenta ilustrar el hecho de que el ingreso per cpita

en Estados Unidos se duplic de $6 000 en 1977 a $12 000 en 1986 Comunica

en el pictograma una impresin adecuada del cambio real? Si no es as,

establece cmo podra ser modificado.

* DESARROLLO

El pictograma de la figura, no presenta adecuadamente el cambio real

obtenido, porque a simple vista las figuras no dan la impresin de que el area

de una de ellas sea el doble de la otra.

Podriamos modificarlo empleando un diagrama en el cual co mparemos areas,

as :



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Semestre 2009 I

1977 1986

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

INGRESOENDOLARES

1977 1986

AOS

INGRESO PER CAPITA EN EE.UU.

9. Los siguientes datos provienen de la produccin diaria de un pozo petrolero (en

barriles): 214, 203, 226, 198, 243, 225, 207, 203, 208, 200, 217, 202, 208, 212,

205 y 220. Constryase un diagrama de tallos y hojas con etiquetas en tallo 19*,

20*, ., y 24*.

* DESARROLLO

Ordenando los datos para facilitar el trabajo :

198, 200, 202, 203, 203, 205, 207, 208, 208, 212, 214, 217, 220, 225, 226, 243

19 8

20 * 0 2 3 3

20 5 7 8 8

21 * 2 4

21 7

22 * 0

22 5 6

24 * 3



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Semestre 2009 I

10. Los siguientes datos provienen de las lecturas del flujo mximo anual de un ro

en m3/s: 405, 335, 419, 267, 370, 391, 612, 383, 434, 462, 288, 317, 540, 295 y

508. Constryase un diagrama de tallos y hojas con hojas de dos digitos.

* DESARROLLO

Ordenando los datos para hacer un buen trabajo :

267, 288, 295, 317, 335, 370, 383, 391, 405, 419, 434, 462, 508, 540, 612

200* 67 88 95

300* 17 35 70 83 91

400* 05 19 34 62

500* 08 40

600* 12

11. Lstense los datos que corresponden a los siguientes diagrama de tallos y

hojas:

(a) 1* 3 2 5 7 1 4 8

(b) 23 4 0 0 1 6

(c) 2* 35 18 57 03(d) 3.2 1 7 4 4 3

* DESARROLLO

Los datos que corresponden son :

(a) 13, 12, 15, 17, 11, 14, 18



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Semestre 2009 I(b) 234, 230, 230, 231, 236

(c) 235, 218, 257, 203

(d) 3.21, 3.27, 3.24, 3.24, 3.23

12. Si se quiere construir un diagrama de tallos y hojas con ms tallos de los que

ordinariamente deberan haber, se podra utilizar * como sustituto de 0, 1, 2, 3 y 4

* como sustituto de 5, 6, 7, 8 y 9. Se obtendra as el diagrama de doble tallo

para las lecturas de humedad.

* DESARROLLO

Como son muchos datos lo haremos directamente, as :

2 * 1 2

2 6 8

3 * 4 2 3 4

3 5 6 5 7 5 9 5 8 6

4 * 3 1 0 2 0 3 4 1

4 5 8 9 8 5 6 5 7 5 7

5 * 0 3 2 1 1 4 0 2 3 3 0 2 1 4

5 9 5 6 5 8 7 6 5 7 9 6

6 * 2 2 0 0 1 3 1 1 4 2 0

6 5 5 7 8 9 8 7 5 8

7 * 4 4 0 3 2 3 4 0

7 6 8 6 9 7 5

8 * 2 4 0 2

8 8 5

13. Si de desea construir un diagrama de tallos y hojas equivalente a una

distribucin de intervalo de clase 2, se puede usar * como sustituto de 0 y 1, t en



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Semestre 2009 I

lugar de 2 y 3, para 4 y 5, s para 6 y 7, y * en lugar de 8 y 9. El diagrama de

tallos y hojas resultante se denomina diagrama de cinco tallos.

(a) Los siguientes datos son los coeficientes intelectuales (CI) de 20 aspirantes

a un programa de ingeniera para no graduados : 109, 111, 106, 106, 125,

112, 115, 109, 107, 109, 108, 110, 112, 104, 110, 112, 128, 106, 111 y 108.

(b) El siguiente esquema es parte de un diagrama de cinco tallos :

53 5 4 4 4 5 453s 6 7 6 6

53* 9 8

54 * 1

* DESARROLLO

Sustitutos * 0 y 1

t 2 y 3

f 4 y 5

s 6 y 7

8 y 9

(a) Ordenamos los 20 datos : 104, 106, 106, 106, 107, 108, 108, 109, 109, 109, 110, 110, 111, 111, 112,

112, 112, 115, 125, 128

10f 4

10s 6 6 6 7

10 8 8 9 9 9

11* 0 0 1 1

11t 2 2 2

11f 5 5

11 8

12f 5



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Semestre 2009 I12 8

(b) Las mediciones correspondientes son:

534, 534, 534, 534, 535, 536, 536, 536, 537, 538, 539, 541.

14. Los siguientes datos son los nmeros de torsiones requeridas para 12 barras de

cierta aleacin: 33, 24, 39, 48, 26, 35, 38, 54, 23, 34, 29 y 37. Calclese

(a) la media y la mediana

* DESARROLLO

Ordenando la tabla : 23, 24, 26, 29, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 48, 54

(a) Hallamos la mediana:

23 + 24 + 26 + 29 + 33 + 34 + 35 + 37 + 38 + 39 + 48 + 54 420X = ---------------------------------------------------------------------------- = --------- = 3512 12

(b) La mediana es la medida de algn dato de la muestra que la divide a esta en la mitad de datos a la

derecha y la mitad de datos a la izquierda

23, 24, 26, 29, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 48, 54

34 + 35

Luego : Me = --------------- = 34.52

15. En relacin con el ejercicio anterior, encuntrese s utilizando

(a) la frmula que define s.

(b) la frmula de clculo para s.

* DESARROLLO



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Semestre 2009 I

(a) Se sabe que s (desviacin estandar) es obtener la raiz cuadrada de la s2 ,

(varianza) que a su vez es la media de las desviaciones al cuadrado con relacin

a X (media), as :

(23-35)2 + (24-35)2 + . + (54-35)2 946s2 = ------------------------------------------------ = ------------- = 78.83

12 12

entonces : s = 8.88

529 + 576 + 676 + 841 + 1089 + 1156 + 1225 + 1369 + 1444 + 1521 + 2304 + 2916(b) s2 = [ --------------------------------------------------------------------------------------------------------- ] ..

12

23 + 24 + 26 + 29 + 33 + 34 + 35 + 37 + 38 + 39 + 48 + 54-- [ ----------------------------------------------------------------------------- ]2

12

15646 420s2 = [ -----------] - [ -------------- ]2 = 1303.83 - 1225 = 78.83

12 12

entonces : s = 8.88

16. Si el salario medio anual pagado a los ejecutivos de tres empresas de

ingeniera es de $125 000, puede alguno de ellos recibir $ 400 000?

* DESARROLLO

Se sabe que X = $ 125 000 y n = 3

Aplicando propiedades de la media : 125 000 x 3 = $ 375 000

Este resultado nos afirma que ningn ejecutivo de la empresa puede ganar $ 400 000.

17. Por error un profesor borr la calificacin que obtuvo uno de sus diez alumnos.

Si los otro nueve consiguieron las calificaciones de 43, 66, 74, 90, 40, 52, 70, 78 y



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Semestre 2009 I

92 y si la media de los diez estudiantes es de 67, qu calificacin borr el

profesor?

* DESARROLLO

Aplicando la definicin de media tendremos:

X = 43 + 64 + 74 + 90 + 40 + 52 + 70 + 78 + 92 + x----------------------------------------------------------

10Como:

605 + xX = 67 = -----------

10

Luego : 605 + x = 670 , Entonces : x = 75

18. Los siguientes datos son el nmero de minutos que en 15 das laborales una

persona tiene que esperar el autobs que la llevar a su trabajo: 10, 1, 13, 9, 5, 9,

2, 10, 3, 8, 6, 17, 2, 10 y 15. Encuntrese :

(a) la media

(b) la mediana

* DESARROLLO

Ordenando los datos: 1, 2, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 13, 15, 17

(a) La media :

1 + 2 + 2 + 3 + 5 + 6 + 8 + 9 + 9 + 10 + 10 + 10 + 13 + 15 + 17 120

X = ------------------------------------------------------------------------------- = -------- = 815 15



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Semestre 2009 I

(b) La mediana:

Como son 15 datos la mediana estar en el lugar ( 15+1 ) / 2 = 8 LUGARen este caso, Me = 9

19. En relacin con el ejercicio anterior, calculese s2 cuando:

(a) la frmula que define s2

(b) la frmula de clculo para s2

* DESARROLLO

( 1 - 8 )2 + ( 2 - 8 )2 + .. + ( 17 - 8 )2(a) S2 = -------------------------------------------------------------- =

15

49 + 36 + 36 + 25 + 9 + 4 + 0 + 1 + 1 + 4 + 4 + 4 + 25 + 49 + 81 328S2 = ------------------------------------------------------------------------------------- = -------- = 21.87

15 15

1 + 4 + 4 + 9 + 25 + 36 + 64 + 81 + 81 + 100 + 100 + 100 + 169 + 235 + 289 (8)2

(b) S2 = ------------------------------------------------------------------------------------------------ --15

S2 = 85.87 - 64 = 21.87

20. Los registros muestran que en Hermosillo, Sonora, la temperatura mxima

diaria normal cada mes es, respectivamente, de 65, 69, 74, 84, 93, 102, 105, 102,

98, 88, 74 y 66 grados Fahrenheit. Verifequese que la media de estos datos es de

85 y crtiquese la afirmacin de que, en Hermosillo, la temperatura mxima diaria

promedio de 85 grados Fahrenheit es muy confortable.

* DESARROLLO

Hallamos la media de la temperatura mxima en Hermosillo:



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Semestre 2009 I65 + 69 + 74 + 84 + 93 + 102 + 105 + 102 + 98 + 88 + 74 + 66 1020

X = ------------------------------------------------------------------------------ = ---------- = 85F12 12

* Decir que la temperatura media en Hermosillo es de 85 F es confortable, que quiere decir que una

temperatura en la cual complace a la mayoria de habitantes de Hermosillo.

21. En relacin con al ejercicio anterior, calclese la media y la mediana de los

datos de produccin diaria de un pozo de petrleo.

* DESARROLLO

(a) Ordenando los datos : 198, 200, 202, 203, 203, 205, 207, 208, 208, 212, 214, 217, 220, 225, 226,

243

Calculando la media: n = 16

198 + 200 + 202 + 203 + 203 + 205 + 207 + 208 + 208 + 212 + 214 + 217 + 220 + 225 + 226 + 243X = ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

16

3391X = ---------- = 211.94

16

(b) Como son 16 datos la mediana ser :

16 8 + 9 208 + 208Lugar ------ = 8 LUGAR Me = -------------- = -------------- = 208

2 2 2

22. Con respecto al ejercicio anterior, encuntrese la desviacin estndar del flujo

mximo anual del rio.

* DESARROLLO



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Semestre 2009 I

(b) Calculamos la Varianza:

(Xi - X)2 ( 9 - 9 )2 + ( 7 - 9 )2 + ( 15 - 9 )2 + ( 5 - 9 )2

S2 = ----------------- = ----------------------------------------------------- = 14n 4

24.En relacin con el ejercicio, calclese X y S.

* DESARROLLO

Los datos son los siguientes :

166 + 141 + 136 + 153 + 170 + 162 + 155 + 146 + 183 + 157 + 148 + 132 + 160 + 175 + 150X = -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

15

2334X = --------- = 155.6

15

Para hallar la desviacin estandar, hallamos S2

(Xi - X)2 (166 - X )2 + ( 141 - X )2 + + ( 150 - X )2

S2 = ----------------- = ------------------------------------------------------------------------n 15

nS2 =108.16 + 213.16 + 384.16 + 6.76 + 207.36 + 40.96 + 0.36 + 92.16 + 750.76 + 1.96 + 57.76 +556.96 + 19.36 + 376.36 + 31.36

n S2=2 847.6

S2= ( 2847.6 ) / 15 =189.84

entonces: S= 13.78

25.calcular la media y la varianza de las resistencias a la ruptura.

* DESARROLLO

Para hallar la media y variancia de estos datos agrupados:

INTERVALO Xi fi



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Semestre 2009 I15.0 - 19.9 17.45 320.0 - 24.9 22.45 1525.0 - 29.9 27.45 2430.0 - 34.9 32.45 1235.0 - 39.9 37.45 6

60

La media se hallaria:

(17.45 x 3 ) + ( 22.45 x 15 ) + .. + ( 37.45 x 6 ) 1662X = ------------- ----------------------------------------------------------------------- = -------- = 27.7

60 60

La variancia se hallaria:

( 17.452 x 3 ) + .. + ( 37.452 x 6 ) [ ( 17.45 x 3 ) + ... + ( 37.45 x 6 )]2

S2 = ------------------------------------------- - -------------------------------------------60 - 1 60 ( 60 - 1 )

S2 = 26.63

26. Emplese la distribucin obtenida en el ejercicio 10, para encontrar la media y

la desviacin estndar de los tiempos de ignicin. Determnese tambin el

coeficiente de variacin.

* DESARROLLO

En la tabla tenemos 80 datos; por lo tanto emplearemos k = 1 + 3.3 log (n)

k = 1 + 3.3 log (80) = 7.28 7

Xmax = 12.80

Xmin = 1.20

RECORRIDO : 12.80 - 1.20 = 11.6

INTERVALO : C = ( 11.6 ) / 7 = 1.7



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Semestre 2009 I80 - 89 84.5 6 100 0.06 1.00

100 1.00

Para hallar C.V. necesitamos la media y la desviacin estandar :

( 4 x 24.5 ) + ( 13 x 34.5 ) + ..+ ( 6 x 84.5 )X = ---------------------------------------------------------------------------- = 55.5

100

100 x ( 331,525 ) - (5550)2

S2 = ---------------------------------------- = 237.37100 x 99

entonces : S = 15.41

15.41C.V. = ----------- x 100 % = 27.77

55.5

28. En tres aos recientes, el precio del cobre fue de 69.6, 66.8 y de 66.3

centavos por libra, y el precio del carbn bituminoso fue de 19.43, 19.82 y de

22.40 dlares por tonelada corta. Cul de estos dos conjuntos de precios es

relativamente ms variable?

Dato 1 : 69.6, 66.8, 66.3

Dato 2 : 19.43, 19.82, 22.40

* DESARROLLO

Comparemos los C.V. de las dos medidas :

69.6 + 66.8 + 66.3X1 = ---------------------------- = 67.57

3

19.43 + 19.82 + 22.40X2 = --------------------------------- = 20.55



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Semestre 2009 I(b) Utilicese la distribucin obtenida en el ejercicio para calcular la mediana de

las resistencias a la ruptura agrupadas.

(c) Con la distribucin obtenida en el ejercicio 3 encuntrese la mediana de los

tiempos de ignicin agrupados.

* DESARROLLO

(a)

INTERVALO Fi Fi5.0 - 8.9 3 39.0 - 12.9 10 1313.0 - 16.9 14 2717.0 - 20.9 25 52 Clase mediana21.0 - 24.9 17 6925.0 - 28.9 9 7829.0 - 32.9 2 80

j = 25

k = 27

TIC = 4

40 - 27Me = 17 + 4 [ -------------- ] = 19.08

25

(b)Copiamos la tabla de frecuencias

INTERVALO Fi Fi15.0 - 19.9 3 320.0 - 24.9 15 1825.0 - 29.9 24 42 Clase Mediana30.0 - 34.9 12 5435.0 - 39.9 6 60

60

n = 60 / 2 = 30

j = 24

k = 18



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Semestre 2009 ITIC = 5

Luego :

30 -18Me = 25 + 5 [ ----------] = 27.5

24

( c ) Copiamos la tabla de frecuencia del ejercicio 3

INTERVALOS Fi Fi1.20 - 2.89 20 202.90 - 4.59 16 364.60 - 6.29 18 54 Clase Mediana6.30 - 7.99 14 688.00 - 9.69 7 759.70 - 11.39 3 7811.40 - 13.09 2 80

n = 80

n / 2 = 40

j = 18

k = 36

Xi = 4.60

TIC = 1.70

40 - 36

Me = 4.60 + 1.70 [ --------------] = 4.9818

30.Para cada una de las siguientes distribuciones decdase si es posible calcular la

media y/o mediana. Explquense las respuestas.

* DESARROLLO



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Semestre 2009 I

(a)

GRADOS Fi Fi40 49 5 550 59 18 2360 69 27 50 Clase Mediana70 79 15 6580 89 6 71

71

n = 71

n / 2 = 35. 5

TIC = 10

Xi = 60

k =23

j =27

35.5 - 23 Me = 60 + 10 [ ----------------] = 64.63

27

(b)

INTERVALOS fi Fi< 90 3 390 99 14 17100 - 109 22 39 Clase Mediana110 - 119 19 58

119 > 7 6565

n = 65

n / 2 = 32.5

TIC = 10

Xi = 100

k = 17

j = 22



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Semestre 2009 I

* DESARROLLO

P(A B) = P(A)*P(B) = (0.8)*(0.7) = 0.56.

35 Cuatro veces se arroja un lado de un dado legal, Cul es la probabilidad de noobtener un 6 en ninguna de las cuatro ocasiones ?.

* DESARROLLO

La probabilidad es 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 = 625/1296.

36 Los cuatro ayundantes de una gasolineria deben limpiar el parabrisas de losautos de los clientes. Juan, quien atiende el 20% de todos los autos, no cumple sucometido una vez cada 20 autos; Toms quien atiende el 60% de los autos, nolimpia el prabrisas una vez cada 10 autos; Jorge quien atiende al 15% de ellos, nocumple su cometido una vez cada 10 autos; y Pedro quien atiende al 5% de losautos, no limpia el prabrisas una vez cada 20 autos. Si un cliente se queja de quesu parabrisas no fue lavado, Cul es la probabilidad de que su auto lo hayaatendido Juan ?.

* DESARROLLO

(0.20)(0.05)P(B1\ A) = ---------------------------------------------------------------------------

(0.20)(0.05) + (0.60)(0.10) + (0.15)(0.10)+ (0.05)(0.05)

P(B1\ A) = 0.114.

37 Cul es la esperanza matemtica si se puede ganar $8 cuando una modelabalanceada case del lado A ?.

* DESARROLLO

La probabilidad del lado A es 1/2 y la esperanza matemtica es 8* 1/2 = $4.



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Semestre 2009 I

5!

5P3 = ------------ = 60.(5 3)!

42. en cuntas formas diferentes pueden acomodarse 3 focos rojos, 4 amarillos y2 azules en un rbol de navidad con 9 receptculos ?.

* DESARROLLO

El nmero total de arreglos diferentes es:

9!----------- = 12603! 4! 2!

43. En cuntas formas diferentes pueden siete cientficos acomodarse en unahabitacin triple y dos habitaciones dobles en un hotel ?.

* DESARROLLO

El nmero total de particiones posibles sera:

7!---------- = 210

3! 2! 2!

44. Encuntrese el nmero de cmites que pueden formarse con 4 qumicos y 3fsicos y comprendan 2 qumicos y 1 fsico.

* DESARROLLO

El numero de formas de seleccionar 2 qumicos de 4 posibles es:

4!

4C2 = ------------ = 60.2! 2!

El nmero de formas de seleccionar 1 fsico de 3 posibles es:



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Semestre 2009 I

3!

3C1 = ------------ = 60.2! 1!

Al utilizar la regla de la multiplicacin se forman

(6)(3) = 18

comits con 2 qumicos y 1 fsico.

45. La probabilidad de que Paula apruebe matemticas es de 2/3 y la de queapruebe ingls es de de 4/9. Si la probabilidad de que apruebe ambos cursos es de, Cul es la probabilidad de que Paula apruebe al menos uno de ellos ?.* DESARROLLO

P(M E) = P(M) + P(E) P(M E)= 2/3 + 4/9 1/4= 31/36.

46. Si las probabilidades de que una persona, al comprar un nuevo automvil,seleccione el color verde, blanco, rojo o azul, son , respectivamente, 0.09, 0.15,0.21 y 0.23 Cul es la probabilidad de un comprador dado adquiera un automvilen uno de esos colores ?.

* DESARROLLOP(G W R B) = P(G) + P(W) + P(R) + P(B)

= 0.09 + 0.15 + 0.21 + 0.23= 0.68

47. Cul es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 cuando se lanza un parde dados ?.

* DESARROLLO

P(A B) = P(A) + P(B)



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Semestre 2009 I

Sea A1, A2, B1 y B2 respectivos eventos independientes de que ocurra un 7 en el primerlanzamiento, un 7 en el segundo, un 11 en el primero y un 11 en el segundo. Lo que interesa es

la probabilidad de la unin de los eventos excluyentes A1 B2 y B1A2; Por lo tanto:

P[(A1 B2) (B1A2)] = P(A1 B2) + P(B1A2)= 1/6 * 1/18 + 1/18 * 1/6= 1/54.

51. Cuntas palabras distintas pueden formarse con las letras de la palabraCASACAS ?.

* DESARROLLO

Vemos que se tienen una permutacin donde se repiten las letras C (2 veces); A(3 veces) y S(2veces).

Luego: n=7elementos; nc= 2C; nA= 3; nS= 2S

Se logra:7!

Pr=------------ = 210 palabras

2! 3! 2!

52. Si extraemos 3 cartas de una baraja de 48 cartas. De cuntas maneras sepuede hacer esta seleccin ?.

* DESARROLLO

Esto corresponde a combinaciones de 48 cartas tomadas de 3 en 3

48!

48C3 = --------------- = 17296 combinaciones3!(48-3)!

53. Un estudiantes tiene que elegir un idioma y una asignatura entre 5 idiomas y 4

asignaturas. Hallar el nmero de formas distintas en que puede hacerlo.



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Semestre 2009 I

En consecuencia, se podrn ocupar de 4* 6* 2 = 48 formas distintas.

58. De cuntas maneras distintas se pueden ordenar 5 personas en una fila ?.

* DESARROLLO

La primera persona puede ocupar un de los 5 puestos y, una vez que se ha situado en uno deellos, la segunda puede ocupar uno de los 4 restantes, etc.. Por lo tanto, se podrn colocar de5* 4* 3* 2* 1 = 120 maneras distintas.

59. De cuntas maneras se pueden colocar 7 libros sobre una estantera?.

* DESARROLLO

Nmero de formas = nmero de permutaciones de 7 libros.= 5040 maneras.

60. De cuntas maneras se pueden colocar en una fila 5 hombres y 4 mujeres deforma que ests ocupen los lugares pares ?.

* DESARROLLO

Los hombres se pueden situar de P5 maneras y las mujeres de P4 formas. Cada una de lascolocaciones de los hombres se puede asociar con una de las mujeres.Luego se podr efectuar de P5 * P4 = 120 * 24 = 2880 maneras.

61. De cuntas maneras se pueden colocar 7 cuadros diferentes en una filasabiendo que uno de ellos debe de estar en el centro ?.

* DESARROLLO

Como un cuadro en cuestin debe situarse en el centro, solo quedan 6 cuadros para colocarlosen la fila.

Por lo tanto, se puden hacer de P6= 6! = 720 maneras.

62. Del problema anterior desarrollar si ahora nos piden que uno de ellos debeestar en uno de los extremos.

* DESARROLLO



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Semestre 2009 I

Una vez colocado el cuadro en uno de los dos extremos, los otros 6 se pueden disponer de P6maneras.

En consecuencia, se pueden hacer de 2 * P6 = 1 440 maneras.

63. De cuntas maneras se pueden colocar 9 libros diferentes sobre la estanterade forma que 3 de ellos estn siempre juntos ?.

* DESARROLLO

Los libros en cuestin se pueden colocar, entre ellos, de P3 formas. Como los libros han de estarsiempre juntos, se puede considerar como uno solo. As, pues, es como si tuviramos 7 libros, elanterior ms los 6 restantes, y stos se pueden colocar de P7 formas.

Por lo tanto, se puede hacer de P3 * P7 = 3! * 7! = 30 240 formas.

64. Del problema enterior nos piden ahora hallar que 3 de ellos no estn siemprejuntos.

* DESARROLLO

El nmero de maneras en que se pueden colocar 9 libros sobre una estantera, sin ponercondicin alguna, es de 9! = 362 880 maneras .

65. Sobre una estantera se tiene que colocar 6 libros distintos de biologa, 5 dequmica y 2 de fsica, de forma que los de cada materia estn juntos. Hallar elnmero de formas en que se puede hacer.

* DESARROLLO

Los libros de biologa se pueden disponer entre s de 6! maneras, los de qumica de 5!, los defsica 2! Y los tres grupos de 3! maneras.

Por lo tanto, se pueden colocar de 6! * 5! * 2! * 3! = 1 036 800 maneras.

66. Hallar los nmeros de 5 cifras que se pueden formar con los 10 dgitospudiendo stos repetirse.

* DESARROLLO



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Semestre 2009 I

La cifra puede ser uno cualquiera de 9 dgitos(todo, excepto 0). Cada una de las otras cifraspueden ser uno cualquiera de los 10 dgitos.

Nmeros formados = 9 * 10 * 10 * 10 * 10 = 90 000 nmero.

67. Hallar los nmeros de 5 cifras que se pueden formar con los 10 dgitospudiendo stos repetirse. Cuntos de estos nmeros empienza por 40 ?.

* DESARROLLO

Las dos primeras cifras estn formadas por el nmero 40. Las otras tres pueden ser cualquierade los 10 dgitos.

Nmeros formados = 1 * 10 * 10 * 10 = 1 000 nmeros.

68. Hallar los nmeros de 5 cifras que se pueden formar con los 10 dgitospudiendo stos repetirse. Cuntos son pares ?.

* DESARROLLO

La primera cifra puede ser uno cualquiera de 9 dgitos y la ltima uno de 5 nmeros, 0, 2, 4, 6,8. Cada una de las otras tres cifras pueden ser cualquiera de los 10 dgitos.

Nmeros pares = 9 * 10 * 10 * 10 * 5 = 45 000 nmeros.

69. Hallar los nmeros de 5 cifras que se pueden formar con los 10 dgitospudiendo stos repetirse. Cuntos son divisibles po 5 ?.

* DESARROLLO

La primera cifra puede ser uno cualquiera de 9 dgitos, y la ltima pueden ser 2 nmeros, el 0 yel 5, y las otras cifras 3 cifras uno cualquiera de los 10 dgitos.

Nmeros divisibles por 5 = 9 * 10 * 10 * 10 * 2 = 18 000 nmeros.

70. Cuntos nmeros comprendidos entre 3 000 y 5 000 se pueden formar conlos 7 dgitos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, si cada uno no se puede repetir en cada nmero ?.

* DESARROLLO



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Semestre 2009 I

Como los nmeros comprendidos entre 3 000 y 5 000, constarn de 4 cifras. La primera puedeser el 3 o el 4. Los seis dgitos restantes se pueden colocar en los otros tres lugares de 6P3maneras.

Nmeros formados = 2 * 6P3 = 240 nmeros.

71. Entre 11 novelas y 3 diccionarios se seleccionan 4 novelas y 1 diccionario y secolocan en una estantera de forma que el diccionario est en el medio. Hallar elnmero de formas en que esto se puede llevar a cabo.

* DESARROLLO

Las probabilidades de seleccionar un diccionario son 3 y el nmero de variaciones de 11 novelastomadas de 4 en 4 es 11P4 .

Por lo tanto, se puede hacer 3 * 11P4 = 23 760 formas.

72. Hallar el nmero de palabras que se pueden formar con las letras de la palabraCOOPERADOR tomadas todas a la vez.

* DESARROLLO

La palabra COOPERADOR consta de 10 letras: 3 o, 2 r y 5 diferentes.

10!Nmero de palabras = --------- = 302 400.

3! 2!

73. Hallar el nmero de palabras que se pueden formar con las letras de la palabraCOOPERADOR tomadas todas a la vez. Cuntas de estas palabras tienen juntanlas tres o y cuantas empiezan por los dos r ?.

* DESARROLLO

(a) Considerando los tres o como una sola letra, tendremos 8 letras, de las cuales dos son r.8!

Nmero de palabras = ------ = 20 1602!



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Semestre 2009 I

(b) El nmero de palabras que se pueden formar con las 8 letras restantes, de las cuales hay treso, es 8! / 3! = 6 720.

74. Hallar el nmero de palabras diferentes de 5 letras que se pueden formar conlas letras de la palabra EMPUJADO, si cada letra no se emplea ms de una vez.

* DESARROLLO

Nmero de palabras = permutaciones de 8 elementos tomados de 5 en 5= 8P5 = 6 720 palabras.

75. Del problema anterior nos piden el nmero de palabras diferentes si cada letrase puede repetir(no necesitan tener significado)

* DESARROLLO

Nmero de palabras = 8 * 8 * 8 * 8 * 8 = 32 768 palabras.

76. Hallar los nmeros que se pueden formar con los 4 de los 5 dgitos 1, 2, 3, 4,5. Si stos no se pueden repetir en cada nmero.

* DESARROLLO

Nmeros formados = 5P4 = 5 * 4 * 3 * 2 = 120 nmeros.

77. Se dispone de 3 ejemplares de 4 libros diferentes. De cuntas maneras sepueden colocar en una estantera ?.

* DESARROLLO

Hay 3 * 4 = 12 libros, de los cuales cada uno est repetido 3 veces.

12!Nmero de formas = --------------- = 369 600

3! 3! 3! 3!

78. De cuntas maneras se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesaredonda

* DESARROLLO



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Semestre 2009 I

17 * 16 * 15 * 1417C4= -------------------------- = 2 380 grupos de 4 alumnos

1 * 2 * 3 * 4

83. De cuntas maneras se pueden elegir 5 idiomas de entre 8 ?.

* DESARROLLO

Nmeros de formas = nmeros de combinaciones de 8 idiomas tomados de 5 en 5.

8 * 7 * 68C5= 8C3= ----------------- = 56 formas.

1 * 2 * 3

84. De cuntas formas se pueden repartir 12 libros entre dos personas, A y B, demanera que a uno le toque 9 y al otro 3 ?.* DESARROLLO

En cada una de las divisiones de los 12 libros en 9 y 3, A recibe 9 y B recibe 3, o bien A recibe 3

y B recibe 9.

Por lo tanto, el nmero de formas es = 2 * 12C9 = 2 * 12C3 = 440 formas.

85. Determinar el nmero de tringulos diferentes que se pueden formar uniendolos sies vrtices de un xagono.

* DESARROLLO

Nmero de tringulos = nmeros de combinaciones de 6 puntos tomados de 3 en 3.

6 * 5 * 46C3 = ------------- = 20 tringulos.

1 * 2 * 3

86. Cuntos ngulos menores de 180 forman 12 semirectas que se cortan en unpunto sabiendo que ninguna de ellas puede estar en prolongacin de cualquiera delas otras ?.

* DESARROLLO

Nmero de ngulos = nmero de combinaciones de 12 elementos tomados de 2 en 2.



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Semestre 2009 I

Por lo tanto, el nmero de palabras es = 8C3 * 4C2 * 5! = 40 320.

91. De una caja que contiene 3 bolas rojas, 2 blancas y 4 azules se extrae una bolaal zar. Hallar la probabilidad p de que sea roja.

* DESARROLLO

casos favorables (3 bolas rojas)p= ------------------------------------------------ = 1/3

casos posibles ( 3 + 2 + 4 bolas)

92. del ejercicio anterior hallar la probabilidad p en caso que no sea roja y seablanca.

* DESARROLLO

(a) p = 1 1/3 = 2/3.

(b) p = 2/9.

93. Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 negras; otra bolsa contiene 3 bolasblancas y 5 negras. Se extrae una bola de cada bolsa. Determinar la probalidad pde que las dos sean blancas y que las dos sean negras.

* DESARROLLO(a) p = (4/(4+2)) * (3/(3+5)) = 1/4(b) p = (2/(4+2)) * (5/(3+5)) = 5/24

94. Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 negras; otra bolsa contiene 3 bolas

blancas y 5 negras. Se extrae una bola de cada bolsa. Determinar la probalidad pde que una sea blanca y otra negra.

* DESARROLLO

La probabilidad de que la primera bola sea blanca y la segunda negra

4/6 * 5/6 = 5/12.

La probabilidad de que la primera bola sea negra y la segunda blanca

2/6 * 3/6 = 1/8.



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Semestre 2009 I0.00400.0020

30 40 50 60 70 80 90 100

5047

40311810

4

30 40 50 60 70 80 90 100

102. Dada la siguiente distribucin de empresas segn el nmero de empleados sepide :

a) Determinarel porcentaje de empresas que tiene nmero de empleados entre 50

y 90 .

b) Determinar el porcentaje de empresas con nmero de empleados inferior a 35.

Nmero de empleados Frecuencia(fi)[0,10>

[10.20>[20,30>[30,40>[40,60>[60,80>

[80,100>[100,140>

[140,180>[180,260>

520354050302020

1515



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Semestre 2009 I

TOTAL 250

* DESARROLLO

Haciendo la distribucin de frecuencias tenemos:

Numero deempleados

fi AmplitudCi

hi Densidad(hi/ci)

100*hi%

[0,10>[10,20>[20,30>[30,40>[40,60>[60,80>[80,100>[100,140>[140,180>[180,260>

5203540503020201515

10101010202020404080

0.020.080.140.160.200.120.080.080.060.06

0.00200.00800.01400.01600.01000.00600.00400.00200.00150.0008

2%8%

14%16%20%12%8%8%6%6%

TOTAL 250 - - 100%

a) Para obtener una mejor aproximacin del porcentaje de empresas que tienen

nmero de empleados entre 50 y 90, se usa la interpolacin de la siguiente

manera.

40 50 60 80 90 100



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Semestre 2009 I20% 12% 8%

Sea P el porcentaje de empresas que tienen nmero de empleados entre 50 y 90

entonces.

P=(60-50)/(60-40).20% + 12% + (90-80)/100-80).8%

P=10% + 12% + 4% =26%

Por tanto el 26% de empresas tienen nmero de empleados entre 50 y 90.

b) De igual forma que en el caso anterior tenemos:

0 10 20 30 35 40

2% 8% 14% 16%

p1=Porcentaje de empresas con nmero de empleados inferior a 35.

= 2% + 8% + 14% + [(35-30)/(40-30)].16% = 24% + 8% = 32%

Luego, el 32% de empresas tienen nmero de empleados inferior a 35.



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Semestre 2009 I

103. Una determinada especie de animales mamferos tiene en cada cra un

nmero variable de hijos .Se observa durante un ao la cra de 35 familias,

anotandose el nmero de hijos obtenido por las familias en dicha cra .

Numero de

hijos

xi

Numero de

familias fi

hi 100 x hi Hi

0

1

2

3

4

6

2

3

10

10

5

5

0.0571

0.0857

0.2857

0.2857

0.1429

0.1429

5.71%

8.57%

28.57%

28.57%

14.29%

14.29%

0.0571

0.1428

0.4285

0.7142

0.8571

1

TOTAL 35 1 100%

Hallar la funcin de distribucin acumulada de esta tabla y trazar su grafica.

* DESARROLLO

Tenemos:

0.0000 , si x


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Semestre 2009 I

F35(x)= 0.4285 , si 2x [8,10> [10,12>

N de familias 5 10 14 8 3



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Semestre 2009 I

* DESARROLLO

En este caso, los intervalos de clase son representados porsus marcas de clase. Por tanto

tenemos:

Clases fi Marcas de clase Fi.xi

[2,4>[4,6>[6,8>

[8,10>[10,12>

5101483

357911

1550987233

TOTAL 40 268

X = fi.xi = 268 = 6.7n 4

El ingreso

promedio del grupo de 40 familias es de S/. 6.7

105. En una empresa donde los salarios tienen una media de S/.100,000 el

sindicato solicita que cada salario X, se transforme en Y, mediante la siguiente

relacin:

Y=2.5X+100

El directorio acoge parcialmente la peticin rebajando los salarios propuestos por

el sindicato en un 10%, lo que es aceptado. Se pide calcular la media aritmtica dela nueva distribucin de salarios.



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Semestre 2009 I

* DESARROLLO

Tenemos

X=100,000

Si y = 2.5X+100 Y= 2.5X + 100 = 2.5(100,000) + 100

= 250,100

Por tanto el salario que solicita el sindicato es Y =250,100

El salario propuesto por el directorio es:

Z = Y 10% Y =0.9Y Z= 0.9 Y= (0.9)(250,100) = 225,090

Luego la media de la nueva distribucin de salarios es 225,090.

106. Calcular la media de la siguiente distribucin de frecuencias.

Alturascm

60 62 64 65 66 67 68 70 71 72 73 76

Nplantas

1 1 1 1 2 2 5 1 1 2 1 1

* DESARROLLO

Tomando el origen de trabajo igual a 68 tenemos:

xi fi di fi.di

60626465

6667

1111

22

-8-6-4-3

-2-1

-8-6-4-3

-4-2



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Semestre 2009 I

68697071727376

5112111

0123458

-27/26126458

TOTAL 20 -1

di = xi - 68

X = origen + fidin

= 68 + (-1/20) = 67.95

X = 67.95 cm

107. Una distribucin de frecuencias sobre notas de estudiantes de Estadstica,

Matemtica I; presenta las frecuencias relativas h3 y h5 borrosas .Si se sabe quela media fue de 7.9. Determinar la mediana de la distribucin :

Notas de estudiantes N de estudiantesFrecuencia relativa (hi)

[0.5 , 2.5>[2.5 , 4.5>[4.5 , 6.5>

[6.5 , 8.5>[8.5 , 10.5>

[10.5 , 12.5>[12.5 , 14.5>

114 ms

0.020.10

0.16

0.100.02

0

Solucin:



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Semestre 2009 I

Usando la formula para la media (X) en trminos de las frescuencias relativa

tenemos:

K K

X = hi.xi = 7.9 , donde hi =1 i=1 i=1Completando la distribucin de frecuencias se tiene:

Clases hi Marca de clase xi hi.xi hi[0.5 , 2.5>[2,5 , 4.5>[4.5 , 6.5>[6.5 , 8.5>[8.5 , 10.5>[10.5 , 12.5>[12.5 , 14.5>14.5 o ms

0.020.10h3

0.16h5

0.100.02

0

1.53.55.57.59.511.513.5

-

0.030.355.5h31.209.5h51.150.27

-

0.020.120.320.480.880.98

1-

TOTAL 1

Luego tenemos :

hi = 1 0.02 + 0.10 + h3 + 0.16 + h3 + 0.10 + 0.02 = 1 h3 + h5 =0.60 (4)k

hi.xi =7.9 0.03 + 5.5h3 + 1.20 + 9.5 h5 + 1.15 + 0.27 = 79i=1

5.5h3+ 9.5h5 = 4.9 (5)

Resolviendo las ecuaciones (4) y (5) obtenemos

h3= 0.2 y h5= 0.4

Reemplazando los datos en la frmula

X= lmed+ (1/2 Hk-1) Cmed (H k-H k-1)

tenemos:



56/210



Semestre 2009 I

X = 8.5 + [(1/23+0.48)/(0.88-0.48)].2 =8.5 + 0.10 = 8.6

108. Dada la siguiente distribucin, determinar los cuartiles Q1 y Q3.

Intervalos

de clase

[6,16> [16,26> [26,36> [36,46> [46,56>

Fi 8 20 25 10 5

* DESARROLLO

Determinando las frecuencias acumuladas tenemos:

Clases fi Fi[6,16>

[16,26>

[26,36>

[36,46>

[46,56>

8

20

25

10

5

8

28 clase que contiene a Q1

53 clase que contiene aQ3

63

68TOTAL 68=n

Primer paso.- n/4 = 64/4 =17 vo ; 3N/4=51vo

Segundo paso.- Por las frecuencias acumuladas identificamos las clases que

contienen a

Q1 y Q3.



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58/210



Semestre 2009 I

[21,24>

[24,27>

[27,30>

------------------

------------------

------------------

------------------

------------------

------------------

------------------

------------------

0.0375

0.925

------------------

------------------TOTAL 80

Se pide:

a) Completar la tabla.

b) Interpretar f3,f4,h2 y H4.

c) Estime la edad que es excedido por el 75% de los estudiantes.

d) Halle la edad que supera a las edades de 75% de estudiantes.

* DESARROLLO

a) Completando la distribucin de frecuencias tenemos:

Clases fi Fi hi Hi

[15,18>

[18,21>

[21,24>

[24,27>

[27,30>

5

47

22

3

3

5

52

74

77

80

0.0625

0.5875

0.275

0.0375

0.0375

0.0625

0.65

0.925 clase que contiene a Q1

0.9625 clase que contiene a Q3

1



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Semestre 2009 I

TOTAL 80=n

b) f 3= 22: Hay 22 estudiantes en la muestra que tienen entre 21 aos y menos de

24 aos.

F4=77: Hay 77 estudiantes que tienen menos de 27 aos.

h2 =0.5875: 58.75% de estudiantes tienen edades mayores o iguales a 18 aos y

menos

de 21 aos.

H4=0.9625 : 96.25% de los estudiantes tienen menos de 27 aos.

c) En este caso debemos calcular el primer cuartil (Q1). Aplicando la formula

tenemos:

Q1=18 + [(20-5)/(52-5)].3

= 18 + 0.957 = 18.957

Por tanto la edad que es excedido por el 75% de los estudiantes es 18.957.

d) La edad que supera a las edades de 75% de los estudiantes , corresponde alvalor del

tercer cuartil.Aplicando la frmula se tiene:

Q3 = 21 + [(60-52)/(74-52)].3

= 21 + 1.091 = 22.091

Luego la edad que supera a las edades de 75% de estudiantes es 22.091.



60/210


61/210



Semestre 2009 I

F2 = 28< 44 < 58 =F3 y F3= 58 < 79.2 94



62/210


63/210



Semestre 2009 I

Clases fi Fi[0,30>

[30,50>

[50,70>

[70,90>

[90,100>

94

140

160

98

8

94

234

394 Clase de P65

492 Clase de P85y

P95

500

TOTAL 500

1er Paso:

Para P65 : i.n = 65(500) = 325

100 100

Para P85 : i.n = 85(500) = 425

100 100

Para P95 : i.n = 95(500) = 475|

100 100

2do paso : Aplicando las formulas correspondientes tenemos:

65(500) - 234

P65 = 50 + 100 .20 = 50 + 11.37 = 61.37



64/210



Semestre 2009 I

394 234

85(500) - 394

P85 =70+ 100 .20 = 70 + 16.53 = 86.53

492 394

Por tanto la puntuacin mxima para ser administrativo es 61.37, para jefe de

seccin 76.33 y para jefe de departamento es 86.53.

112. Las cifras dadas en la tabla adjunta corresponden a miligramos de

hidroxiprolina absorbidos por un gramo de masa intestinal analizados en distintos

pacientes:

Mgr hidroxiprolina 77.3 61.2 82.4 75.9 61 70.2 65Nmero de pacientes 3 10 15 13 8 5 2

Se pide:

a) Cuantos pacientes fueron examinados?

b) Calcular la media geomtrica de la distribucin.

c) Cul es la moda?

* DESARROLLO

a) el nmero de pacientes examinados es: n = fi =56 i=1

b) Para obtener la media geomtrica conviene hacer los clculos en la siguientetabla:



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Semestre 2009 I

Xi fi log xi fi log xi

61

61.2

65

70.2

75.9

77.3

82.4

8

10

2

5

13

3

15

1.785

1.787

1.813

1.846

1.880

1.888

1.916

14.2800

17.8700

3.6260

9.2300

24.4400

5.6640

28.7400TOTAL 56 12.915 103.8500

Aplicando la formula respectiva tenemos :

7

fi log10xi

log10 G = i=1 = 103.8500 =1.8545

n 56

Luego: G= Antilog(1.8545) = 71.5

c) La moda para esta distribucin es:



66/210


67/210



Semestre 2009 I

[0.2>

[2,4>

[4,6>

[6,8>

[8,10>

[10,12>

[12,14>[14,16>

[16,18>

[18,20>

1

2

2

3

6

12

108

4

2

1

3

5

7

9

11

1315

17

19

1

6

10

21

54

132

130120

68

38

10.6

8.6

6.6

4.6

2.6

0.6

1.43.4

5.4

7.4

10.6

17.2

13.2

13.8

15.6

7.2

14.027.2

21.6

14.8

TOTAL 50 580 155.2

Se tiene:

x = f2xi = 11.6 ; D(x) = 155.2 = 3.104

n M 50

114. Calcular la varianza y la desviacin estndar y la desviacin estandar de la

siguiente distribucin muestral.

xi 5 7 8 9 11fi 2 3 5 4 2

* DESARROLLO

Completando la distribucin de frecuencias temnemos:



68/210



Semestre 2009 I

Xi fi fi.xi fi..xi

5

7

8

9

11

2

3

5

4

2

10

21

40

36

22

50

147

320

324

242

TOTAL 16 129 1083

Aplicando las formulas respectivas se tiene :

k

fi.xi

X = 129 = 8.1

16

S = 1/5 [1083 1049.76]= 1/15[33.24] = 2.22

Entonces S = 1.49



69/210



Semestre 2009 I

116. Los pesos en gramos (aproximados hasta 0.01 gramos) de 70 comprimidos

fabricados automticamente por una mquina estn representados en la siguiente

tabla.

Intervalos Frecuencias acumuladas (fi)

[1.475 , 1.525>

[1.525 , 1.575>

[1.575 , 1.625>

[1.625 , 1.675>

[1.675 , 1.725>

[1.725 , 1.775>

[1.775 , 1.825>

[1.825 , 1.875>

[1.875 , 1.925>

[1.925 , 1.975>

1

4

12

26

49

61

68

69

69

70

Se pide:

a) Calcular la media.

b) Calcular la desviacin estndar.

c) Calcular el porcentaje de productos entre X=1.55 y X + 1.55

* DESARROLLO

Sean O = 1.7 (marca de clase del intervalo con ms alta frecuencia9



70/210



Semestre 2009 I

ui = (Xi O)/c , C = 0.05

Para tener todos los clculos ordenados es conveniente formar la siguiente tabla:

Intervalos fi Marca de

clase

ui fi. ui fi. ui

[1.475 , 1.525>

[1.525 , 1.575>

[1.575 , 1.625>

[1.625 , 1.675>

[1.675 , 1.725>

[1.725 , 1.775>

[1.775 , 1.825>

[1.825 , 1.875>

[1.875 , 1.925>

[1.925 , 1.975>

1

3

8

14

23

12

7

1

0

1

1.5

1.55

1.6

1.65

1.7

1.75

1.8

1.85

1.9

1.95

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-4

-9

-16

-14

0

12

14

3

0

5

16

27

32

14

0

12

28

9

0

25

TOTAL 70 -9 163

Sustituyendo los totales de columnas en las frmulas tenemos:

a) X = O + C fi.ui /n = 1.7 + 0.05(-9/70) = 1.6936

b) S = C [ fi.ui n(U) ] = (0.05) [ 163- 70(-9/70) ]

n-1 69}

= 0.005864



71/210



Semestre 2009 I

Luego : S= (0.005864) = 0.07658

c) Calculo de X 1.5S y X + 1.5S

X = 1.5S = 1.6936 1.5(0.07658) = 1.57873

X = 1.5S = 1.6936 + 1.5(0.07658) = 1.80847

Par calcular el porcentaje de productos que tiene sus pesos entre 1.57873 y

1.80847 y primero interpolamos de la siguiente manera :

1.575 1.625 1.675 1.725 1.775 1.825

1.57873 1.80847

8 14 23 12 7

Sea N= nmero de productos que tienen sus pesos entre X 1.5S y X + 1.5S

Entonces :

N = 1.625-1.57873 *8 + 14 + 23 + 12 + 1.808447 1.775 .7 = 61

0.05 0.05

Por tanto, el porcentaje de productos que tienen sus pesos entre X = 1.55 y X+

1.5S es:



72/210



Semestre 2009 I

P = 61 100 = 87.143 %

70

117.En una clinica Infantil se han ido anotando, durante un mes, el nmero de

metros que el nio anda, seguido y sin caerse, el primer da que comienza a

caminar.Obtenindose as la tabla de Informacin adjunta.

Nmero de

nios

2 6 10 5 10 3 2 2

Nmero de

metros

1 2 3 4 5 6 7 8

Se pide:

a) Momentos respecto al origen de primero, segundo y tercer orden.

b) Momentos centrales de orden primero y tercero.

* DESARROLLO

Para hallar los momentos hacemos los clculos en la siguiente tabla:

Xi fi fi.xi fi.xi fi.xi fi(xi x) fi(xi x)

1

23

2

610

2

1230

2

2490

2

48270

-6.10

-12.30-10.50

-56.745

-51.690-11.576



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Semestre 2009 I

4

5

6

7

8

5

10

3

2

2

20

50

18

14

16

80

250

108

98

128

320

1,250

648

686

1,024

-0.25

9.50

5.85

5.90

7.90

-0.001

8.573

22.244

51.344

123.259

TOTA

L

40 162 780 4,248 0 85.41

Sustituyendo los totales de las columnas en las frmulas tenemos:

a) Momentos con respecto al origen:

M1 = fi.xi = 162/40 = 4.05

n

M2 = fi.xi = 780/40 = 19.5

n

M 3 = fi.xi = 4,248/40 = 106.2

n



74/210



Semestre 2009 I

b) Momentos respecto a la media

M1 = fi(xi x) = 0/40 = 0

n

M1 = fi(xi X) = 85.41/40 = 2.135

n

118. De cuantas maneras diferentes se pueden sentar 8 personas en una banca,

con capacidad para 5 personas ?

* DESARROLLO

Como n =8 y K=5 , el nmero total de maneras diferentes que pueden sentarse 8

peronas en una banca , con capacidad para 5 personas es:

8

A 5 = 8! = 8! = 8(7)(6)(5)(4) = 6720

(8-5)! 3!



75/210



Semestre 2009 I

119. Un omnibus parte de su paradero inicial con 6 personas a bordo y se detiene

en 10 paraderos diferentes .De cuntas maneras pueden bajar las 6 personas en

los 10 paraderos , si en un paradero pueden bajar cualquier numero de personas?

* DESARROLLO

La primera persona puede bajar en cualquiera de los 10 paraderos, la segunda lo

mismo y la sexta de igual forma, entonces el nmero total de maneras es:

10

( AR)6 = 106 = 1000,000

119. Se proyecta presentar 6 conferencistas en una reunin de padres de familia y

profesores de un colegio. El moderador del programa desea saber de cuntas

maneras diferentes se pueden situar en el escenario los 6 conferencistas en fila?

Solucin: El numero total de maneras de situar los 6 conferencistas en fila en el

escenario es:

P6 = 6! = 720

120. En una seccin de Matematica I hay 6 hombres y 4 mujeres .Cuando un

examen se realiza los estudiantes son listados de acuerdo al puntaje obtenido



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77/210



Semestre 2009 I

* DESARROLLO

a) Los libros de Matemtica pueden ordenarse de P = 6! maneras, los libros de

Estadistica

de Estadstica de P = 2! maneras, los libros de Qumica de P= 4! maneras y los

3 grupos

de libros de P = 3! = 6 maneras.

Por tanto el nmero total de ordenaciones pedido es:

(6!)(2!)(4!)(3!) = 207,360

b) Considerando los libros de Qumica como un solo libro, tenemos 9 libros que

pueden

ordenarse de P = 9! maneras. En todos los grupos los libros de Qumica estn

juntos, pero pueden ordenarse entre ellos de P = 4! = 24 maneras. Entonces el

nmero total de ordenaciones pedido es:

(9!)(4!) = 8709,120

122.De cuantas formas pueden sentarse los 12 miembros del consejo de facultad

de la facultad de Ingenieria Industrial alrededor de una mesa circular si:

a) Pueden sentarse de cualquier forma,

b) dos miembros determinados deben estar uno al lado del otro?

* DESARROLLO



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79/210



Semestre 2009 I

125.De cuantas maneras diferentes se pueden ordenar 3 bolas blancas, 4 rojas y

4 negras en una fila, si las bolas de igual color no se distiguen entre s?

* DESARROLLO

Se pueden ordenar de

P11 3,4,4= 11! = 11,550 maneras distintas.

3! 4! 4!

126. Un tubo de televisor se puede adquirir en 7 fabricadas De cuntas

maneras se pueden escoger 4 de las siete fbricas?

* DESARROLLO

El nmero total de maneras de escoger 4 fabricas de 7 es

7C2 = 7! = 7 6 5 = 35

4!.3! 6

128. De cuntas formas pueden 10 objetos dividirse en dos grupos de 4 y 6

objetos respectivamente?

* DESARROLLO

Esto es lo mismo que el nmero de ordenaciones de 10 objetos de los cuales 4

objetos son iguales y los otros 6 tambin son iguales entre s.

10C4 = 10!/(4!6!) = (10987)/4! = 210



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81/210


82/210



Semestre 2009 I

(a) P(4 ases) = [(4C4)(48C1)]/52C5 ] = 1/54 145

(b) P(4 ases y 1 rey) = (4C4)(4C1)/52C5 = 1/649 740

(c ) P(3 dieces y 2 jotas) = (4C3)(4C2)/52C5 = 1/108 290

(d) P(nueve, diez, jota, reina, rey) = (4C1)(4C2)(4C1)(4C1)(4C1)/52C5 = 64/162 435

(e) P(3 de un palo, 2 de otro) = [(413C3)(313C2)]/52C5 = 429/4165puesto que hay

4 formas de escoger el primer palo y 3 formas de escoger el segundo.

(f) p(ningn as) = 48C5/52C 5 = 35 673/54 145.

Luego P(al menos un as) = 1- (35 673)/54 145 = 18 472/54 145

135. Determinar la probabilidad de tres seis en 5 lanzamientos de un dado

honrado.

* DESARROLLO

Represntense los lanzamientos del dado por cinco espacis---------.Cada espacio

tendr los sucesos 6 o no 6(6). Por ejemplo, tres 6 y dos no 6 pueden ocurrir

como 66666 66666, etc.

As la probabilidad del resultado 66666 esP(66666) =P(6)P(6)P(6)P(6)P(6) = (1/6)(1/6)(5/6)(1/6)(5/6)

= (1/6)3(5/6)2

Puesto que suponemos que los sucesos son independientes. Anlogamente

P= (1/6)3(5/6)2



83/210



Semestre 2009 I

para todos los otros resultados en los cuales ocurren tres 6 y dos no 6. Pero hay

5C3 =10 de estos sucesos y son mutuamente excluyentes. Por tanto la probabilidad

pedida es

P(666 66666 ....) = 5C3(1/6)3(5/6)2 = 5!/(3!2!)(1/6)3(5/6)2 = 125/3888

136.Una caja contiene 5 bolas rojas y 4 blancas. Se extraen dosbolas sucesivamente de la caja sin reemplazamiento y se observa que la segunda

es blanca. Cul es la probabilidad de que la primera tambin sea blanca?

* DESARROLLO

P(B1/B2) = [P(B13B2)]/P(B2) = [(4/9)(3/8)]/(4/9) = 3/8

137. Las probabilidades de que un esposo y una esposa estn vivos

dentro de 20 aos estn dadas por 0.8 y 0.9 respectivamente. Hallar la

probabilidad de que en 20 aos (a) ambos vivan; (b) ninguno viva; (c) al menos

uno viva.

* DESARROLLO

Sean T, M los sucesos que el esposo y la esposa , respectivamente, estn vivos en

20 aos. Entonces P(T) =0.8 , P(M) = 0.9. Suponemos que T y M con sucesos

independientes, lo cual puede ser o no razonable.

(a) P(ambos viven) =P(T3M) =P(T)P(M) = (0.8)(0.9) = 0.72

(b)P(ninguno viva) =P(T3M) =P(T)P(M) = (0.2)(0.1) = 0.02

(c)P(a1 menos uno viva) = 1-P(ninguno viva) = 1 0.02 = 0.98



84/210



Semestre 2009 I

138. Con 7 consonantes y 5 vocales diferentes, Cuntas palabras

pueden formarse, que consten de 4 consonantes y 3 vocales? No es necesario que

las palabras tengan significado.

* DESARROLLO

Las 4 consonantes pueden elegirse de 7C4 formas, las 3 vocales de 5C3 formas y

las 7 letras resultantes (4 consonantes, 3 vocales) pueden ordenarse entre s de

7P7 = 7! formas.

Entonces:

El nmero de palabras es 7C45C37! = 35105040 = 1 764 000

140. A y B juegan lanzando alternativamente un par de dados. Quien obtenga

primero un total de 7 gana el juego. Hallar la probabilidad de que (a) quien lanza

primero los dados gane, (b) quien lanza segundo los dados gane.

* DESARROLLO

a) La probabilidad de obtener 7 en un solo lanzamiento de una pareja de dados,

supuestamente honrados, es 1/6. Si suponemos que A es el primero en lanzar

entonces funcionar en cualquieera de los casos siguientes mutuamente

excluyentes con las probabilidades asociadas indicadas:

(1) A gana en el 1er. lanzamiento. Probabilidad = 1/6.



85/210



Semestre 2009 I

(2) A pierde en el 1er lanzamiento, luego pierde B, luego gana A .

Probabilidad = (5/6)(5/6)(1/6).

(3) A pierde en el 1er. lanzamiento, pierde B, pierde A, pierde B, gana A.

Probabilidad = (5/6) (5/6) (5/6) (5/6) (1/6)

As la probabilidad de que A gane es

(1/6)+(5/6)(5/6)(1/6) + (5/6) (5/6) (6/5) (5/6) (1/6) + ......= 1/6[1 + (5/6)2 + (5/6)4 +.....] = (1/6)/[1-(5/6)2] = 6/11

donde hemos utilizado el resultado 6 del Apndice A con x = (5/6)2

b) Anlogamente la probabilidad de que B gane el juego es:

(5/6) (1/6) + (5/6) (5/6) (5/6) (1/6) + .....= (5/6) (1/6)[ [1 + (5/6) 2 + (5/6)4

+.....] = [5/36]/[1 (5/6)2] = 5/11

As iramos 6 a 5 a que el primero que lance gane. Ntese que la probabilidad de

un empate es cero ya que

(6/11) + (5/11) = 1

Esto sera verdadero se el juego fuera limitado.

141. De cuntas formas pueden sentarse 7 personas alrededor de una mesa, si (a)

pueden sentarse de cualquier forma, (b) si dos personas determinadas no deben

estar una al lado de la otra?

* DESARROLLO



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Semestre 2009 I

= 1/6 + 1/6 (1/6)(1/6) = 11/36

143. Cuntos grupos de 2 hombres y 3 mujeres se pueden formar con 5 hombres

y 7 mujeres?

* DESARROLLO

Como hay 5C2 posibles grupos de 2 hombres y 5C3 posibles grupos de 3

mujeres, entonces hay:

5 4 7 6 5 = 350 posibles grupos de 2 hombres y 3 mujeres

2 1 3 2 1

144.De un conjunto de 8 hombres y 7 mujeres. Cuantos comits de 10 miembros

se pueden formar si cada uno de ellos debe contener cuando menos 5 mujeres?

* DESARROLLO

Las condiciones del problema se cumple si el comit consta de:

(a) 5 hombres y 5 mujeres, que se pueden seleccionar de C(8 a 5) C(7 a 5) maneras .

(b) 4 hombres y 6 mujeres, que se pueden elegir de C(8 a 4) (7 a 6) maneras

(c) 3 hombres y 7 mujeres, que se pueden elegir de C (8 a 3) C (7 a 7) maneras y cada

una de estas elecciones son mutuamente excluyentes. Por tanto, aplicando el

principio de adicin, el nmero total de comits posibles es



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Semestre 2009 I

[8!/( 5!3!)] [7!/(5!2!)] + [8!/(4! 4!)] [7!/(6!)] + [8!/(3!5!)] [7!/(7!)]

= 1,722

145.Supongase que el entrenador de la seleccin peruana de Voley desea formar

su alineacin compuesta de 4 jugadoras veteranas y 2 juveniles, Cuntas

alineaciones puede formar con 6 veteranas y 6 juveniles, si todas ellas pueden

jugar en cualquier posicin?

* DESARROLLO

Como hay para hacer de 6 a 4 combinaciones posibles para hallar grupos de 4veteranas y combinaciones de 6 a 2 para los posibles grupos de juveniles, entonces

un

6 6

equipo se puede seleccionar de C4 C2 maneras. Por tanto el nmero total de

posibles alineaciones es :

[6!/(4!2!)] [6!/(2!4!)] 6! = 162,000

146. Cada pieza de un domin es marcado por dos nmeros. Las piezas son

simtricas de modo que el par de nmeros no es ordenado. Cuntas piezas

diferentes de domin pueden construirse usando los nmeros 1,2,......,n?



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Semestre 2009 I

* DESARROLLO

Como cada pieza del domino se puede marcar con dos nmeros repetidos,

entonces el nmero total de piezas de domin que se pueden construir es

(n+2-1)! = n(n+1)

(n-1)!2! 2

147. De cuantas maneras diferentes se pueden colocar 11

jugadores de ftbol en una fila de modo que el arquero y el defensa central, en

particular, no quede uno al lado del otro?

* DESARROLLO

Tenemos 10 jugadores sin el arquero. Estos se pueden ordenar de 10! maneras

diferentes. En cada ordenacin de 10 jugadores, el arquero puede en 9 lugares

diferentes sin estar al lado del defensa central. Entonces la solucin seria:

910! = 32659,200

149. Un muchacho tiene 4 monedas cada una de distinto valor

Cuntas sumas diferentes de dinero puede formar con las cuatro monedas?

* DESARROLLO

El muchacho puede formar grupos de una moneda, grupos de 2, grupos de 3 y

grupos de 4. Entonces, el nmero total de sumas diferentes de dinero que puede

formar el muchacho es



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Semestre 2009 I

[4!/(1! 3!)]+[4!/(3! 1!)]+[4!/(4! 0!) =15 = 2 4 1

En general, para cualquier nmero entero positivo n se tiene

n n n

C1 + C2 +...........+ C n = 2n - 1

150. De cuantas maneras diferentes se pueden izar cinco banderas de coloresdiferentes en 8 mstiles colocados en fila, si se pueden izar cualquier nmero de

ellas en cada mstil?

* DESARROLLO

La primera bandera puede ser izada en cualquiera de los 8 mastiles. Entonces este

mastil queda dividido en dos partes y por tanto, existen ahora 8+1=9 posiciones

posibles para la tercera bandera y as sucesivamente. As, el nmero total de

maneras diferentes de izar las banderas es

8(9)(10)(11)(12) = 95,040

151. Tres muchachas Mara, Magna y Maritza, compiten en un concurso de

belleza. Los premios solamente son otorgados a las que ocupan el primero y

segundo lugar.

(a) Liste los elementos del espacio muestral correspondiente al experimento.

Elegir a las dos ganadoras .

(b) Defina como subconjuntos, los eventos:A: Mara gana el concurso de belleza



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Semestre 2009 I

B: Mara gana el segundo lugar

C: Maritza y Magna ganan los premios

* DESARROLLO

a) El espacio muestral asociado a este experimento es

= {(Mara, Magna), (Mara, Maritza),(Magna, Mara), (Magna,Maritza),

(Maritza, Magna) , (Maritza, Mara)]}

b) Los eventos son los subconjuntos

A: {(Mara, Magna), (Mara, Maritza)}

B: {(Maritza, maria), (Magna, Mara)}

C: {(Magna, Maritza), (Maritza, Magna)}

152. Un experimento consiste en lanzar 2 dados y observar los nmeros que

aparecen en las caras superiores.

a) Liste los elementos del espacio muestral

b) Liste los elementos del evento a: la suma de los nmeros es 5

c) Listte los elementos del evento B: la suma de los nmeros es 12

d) Liste los elementos del evento C: el producto de los nmeros es 24

e) Liste los elementos del evento d: la suma de los nmeros es divisible por 7.

* DESARROLLO

a) el espacio muestral asociado a este experimento es:



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Semestre 2009 I

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

= (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

los eventos pedidos son:

b) A = { (1,4), (4,1), (2,3), (3,2) }

c) B = { (6,6) }

d) C ={ (6, 4), (4,6) }

e) D ={ (1,6), (6,1), (3,4), (4,3) }

153. Un experimento consiste en lanzar un dado y observar el nmero que parece

en la cara superior sean los eventos.

A: Observar un nmero impar

B: Observar un nmero mayor o igual a 4.

Liste los elementos del evento A B

* DESARROLLO

Tenemos:

= { 1,2,3,4,5,6}

A = { 1,3,5} , B:{4,5,6}

Entonces la unin de estos eventos es

A B = { el nmero que resulta es impar o es mayor o igual a 4}

= {1,3,4,5,6}



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Semestre 2009 I

154. En el Hipodromo de Monterrico, 4 caballos A,B,C y D compiten en una

carrera; A tiene 2 veces ms probabilidad de ganar que B , B tiene 2 veces s

probabilidad de ganar que C y C tiene 2 veces ms probabilidad de ganar que C y

C tiene 2 veces ms probabilidad de ganar que D.

a) Cules son las probabilidades de victoria de cada uno de los caballos?b) Cul es la probabilidad de que B o C gan?

* DESARROLLO

El espacio muestral asociado a este experimento es

= { gana A, gana B, gana C, gana D}

Es claro que para describir este experimento no usaremos el modelo

equiprobable.

Sean los eventos 1 : gana el caballo A

2 : gana el caballo B

3 : gana el caballo C

4 : gana el caballo Da) Supongamos que P(4) = P, entonces tenemos:

i) P(3) = 2P(4) = 2P, P(2) = 2P(3) = 4P y

P(1) = 2P(2) = 8p

ii)14344 = y i 3j = , i j , i, j = 1,2,3,4

Luego aplicando el axioma 2 y 3 se tiene



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Semestre 2009 I

P(142 44) = P() = 1

P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 1

8p + 4p + 2p + p =1

De donde se obtiene p = 1

15

por tanto, tenemos:

P(1) = 8/15 , P(2) = 4/15 , P(3) = 2/15 , P(4) = 1/15

b) En este caso tenemos

P(2 43) = P(2) + p(3) = (4/15) + (2/15) + (6/15)

156. Una caja contiene 24 focos de luz de los cuales 4 son defectuosos. Si una

persona extrae 10 focos de la caja al azar, y una segunda persona toma el resto de

los 14 focos . Cul es la probabilidad de que los 4 focos defectuosos sea

obtenidos por la misma persona?

* DESARROLLO

Tomando combinaciones 20C6 y 20C10 sobre todas las opciones posibles que

viene a ser 24C10.

20C6 + 20C10 = 20!/(6!14!) + 20!/(10!10!) = 2.94624

24C10. 24!/(10!14!)



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Semestre 2009 I

157. Supongamos que un comit de 12 personas es seleccionado al azar de un

grupo de 100 personas .Determine la probabilidad de que 2 personas A y B en

particular sean seleccionadas.

* DESARROLLO

98C10 = 98!/(10!88!)

100C12 100!/(12!88!)

158.Dado 20 personas .Cul es la probabilidad de que entre los 12 meses del

ao hay 4 meses que contienen cada uno 2 cumpleaos y 4 meses que contienen

cada uno 3 cumpleaos?

* DESARROLLO

12C4 8C4 [20!/(2!43!4)] = [12!/(4!8!)][8!/(4!4!)] [20!/(2!43!4)]

(12!)20 (12!)20

159.Una urna contiene 3 bolas rojas y 7 negras. Dos jugadoras A y B retiran las

bolas de la urna en forma consecutiva hasta extraer una bola roja. Encontrar la

probabilidad de que A seleccione primero a la bola roja.



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Semestre 2009 I

* DESARROLLO

= 3/10 + (763)/(1098) + (76543)/(109876)

+(7654323)/(10987654) = 0.58333 .

160.Una urna A contiene 3 bolas rojas y 3 negras, mientras que la urna B contiene

4 bolas rojas y 6 negras. Si una bola es extrada aleatoriamente de cada urna.

Cul es la probabilidad de que las bolas sean del mismo color?

* DESARROLLO

Tenemos que la probabilidad en la primera urna es de 1/2 para cada color

Rpta. 1/2

161. Un closet contiene 10 pares de zapatos. Si 8 zapatos son seleccionados

aleatoriamente.

a) Cul es la probabilidad de que no hay ningn par completo en este grupo?

* DESARROLLO

(10C8)28 = [10!/(8!2!)] 28 = 0.0914503453

(20C8) [20!/(8!12!)]

b) Cul es la probabilidad de que hay exactamente un par completo?

Solucin:



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Semestre 2009 I

10C19C626 = [10!/(1!9!)] [9!/(6!4!)] 26 = 0.106692

20C8 20!/(8!12!)

162. Con 7 consonantes y 5 vocales diferentes. Cuntas palabras pueden

formarse, que consten de 4 consonantes y 3 vocales? No es necesario que las

palabras tengan significado.

* DESARROLLO

Las 4 consonantes pueden elgirse de 7C4 formas, las 3 vocales de 5C3 formnas y las

7 letras resultantes (4 consonantes, 3 vocales) pueden ordenarse entre s de 7C7 =

7! formas. Entonces:

El nmero de palabras es 7C45C37! = 35105040 = 1 764 000

164.En un almacn hay 12 artculos de los cuales 4 son defectuosos; si se extraen

2 artculos, calcule la probabilidad de que:

a) Ambos artculos son defectuosos,

b) Ambos artculos no son defectuosos

c) por lo menos uno es defectuoso

* DESARROLLO

El espacio muestral asociado a este experimento es



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Semestre 2009 I

= {(a1, a2)/ ai = artculo defectuoso o no defectuoso i = 1,2}

El nmero total de pares de artculos extrados de 12 artculos es igual a

(12!/(2!10!))= 66; esto indica que el espacio muestral tiene 66 elementos

simples.

a) Sea el evento A: los 2 artculos selecciones son defectuosos .El nmero total de

manerasde obtener 2 artculos defectuosos de un total de 4 es (4!/2!2!) = 6 ,

luego A tiene 6 elementos.

Por tanto P(A) = (nmero de elementos de A)/(nmero de elementos de ) =

6/66 =1/11

b) Sea el evento B: los dos artculos seleccionados no son defectuosos. El nmero

de maneras de obtener 2 artculos no defectuosos de un total de 8 es (8!/(2!

6!)) = 28 , luego B tie

ESTADISTICA - PROBLEMARIO Nº 01

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