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Corporación Universitaria Minuto de Dios Sede Bogotá Sur

GUIA DE TRABAJO

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Guía N. 3 F. Elaboración: 26/05/2014 Páginas: 8 Programa: Contaduría Pública Semestre: 3 Nº Créditos: 3 Intensidad horaria semanal: 6

Tema: Medidas de tendencia Central – Estadígrafos de posición

OBJETIVO

Identificar la media, mediana y moda como las medidas de tendencia central.

Hallar las medidas de tendencia central para datos agrupados y no agrupados.

CONTENIDO Las Medidas de Tendencia Central o Posición, se presentan como otra de las herramientas de la estadística que permiten describir un conjunto de datos. En este caso, dichas medidas, obtenidas de los mismos datos recogidos en un estudio, permiten determinar la posición que ocupa un determinado valor respecto al conjunto total de datos, considerando dicho valor como representativo del conjunto de datos. De igual forma a estos valores que se presentan como características descriptivas de una muestra y que resumen algunas de sus características suelen llamarse estadígrafos. Las medidas de tendencia central más comunes son: la media aritmética o promedio, la mediana y la moda, ya que son muy sencillas de calcular y estables, de una manera razonable, en el muestreo. RESUMEN CONCEPTOS CLAVES.


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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Guía N. 3 F. Elaboración: 26/05/2014 Páginas: 8 EJERCICIOS RESUELTOS

I. CÁLCULO DE LA MEDIA, MEDIANA Y MODA, PARA DATOS NO AGRUPADOS EJEMPLO 1: Considere el siguiente conjunto de datos: 5, 10, 8, 5, 10, 18, 5, 12, 5, 12. Calcule la media, mediana y moda.

MEDIA ∑

MEDIANA (Me)

Datos Ordenados: 5, 5, 5, 5, 8, 10, 10, 12, 12, 18; n = 10

Como n es par, la posición de la mediana es

, es decir: 5, 5, 5, 5, 8, 10, 10, 12, 12, 18

Como n es par, la mediana será el promedio entre los datos señalados: Me

MODA (MO) = 5, ya que es el dato que más se repite.

II. CÁLCULO DE LA MEDIA, MEDIANA Y MODA, PARA DATOS AGRUPADOS EN TABLAS DE FRECUENCIAS SIMPLES EJEMPLO 2: Suponga que se obtiene la información para 10 observaciones, organizadas en una tabla de frecuencias. Calcule la media, mediana y moda.

2 4 0,4 8 0,8

4 1 0,1 4 0,4

6 2 0,2 12 1,2

8 3 0,3 24 2,4

Σ 10 1 48 4,8

MEDIA ( ) Esta se puede calcular empleando la frecuencia absoluta o la frecuencia relativa.

Cálculo de la media empleando las frecuencias absolutas: ∑

Se adiciona una columna con el producto , se suman los valores de dicha columna y se opera de

acuerdo a la expresión dada en el ítem anterior.

∑

Cálculo de la media empleando las frecuencias relativas: ∑

Se adiciona una columna con el producto , se suman los valores de dicha columna y ese valor

corresponderá a la media.

∑


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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Guía N. 3 F. Elaboración: 26/05/2014 Páginas: 8

MEDIANA (Me) Para el cálculo de la mediana a partir de tablas de frecuencias simples, es necesario conocer los valores de las frecuencias absolutas acumuladas y se tienen 2 casos; para este ejemplo explicaremos el Caso A, en el siguiente ejemplo explicaremos el Caso B.

N 2 4 4

4 1 5

6 2 7

8 3 10

Σ 10

Se calcula

, en este caso es 5

Se ubica dicho valor en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas (N), si dicho valor se encuentra en esta columna, la mediana será el promedio entre los valores de las correspondientes a esa frecuencia absoluta acumulada y la siguiente.

MODA (MO)

Corresponderá al dato que tenga la mayor frecuencia absoluta. MO = 2

EJEMPLO 3: Suponga que se obtiene la información para 30 observaciones organizadas en una tabla de frecuencias. Calcule la mediana. En este ejemplo aplicaremos el Caso B para calcular la mediana en datos agrupados.

N 0 4 4

1 5 9

2 7 16

3 8 24

4 6 30

Σ 30

Se calcula

, en este caso es 15

Se ubica dicho valor en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas (N), si dicho valor NO se encuentra en la columna, se ubica el primer valor inmediatamente superior.

La mediana será el valor de correspondiente a esa frecuencia absoluta acumulada.


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III. CÁLCULO DE LA MEDIA, MEDIANA Y MODA, PARA DATOS AGRUPADOS EN TABLAS DE FRECUENCIAS CON INTERVALOS

EJEMPLO 4: Halle el valor de la media, mediana y moda de los siguientes datos agrupados.

188,6 – 203,6 203,7 – 218,7 218,8 – 233,8 233,9 – 248,9 249,0 – 264,0

3 1

13 17 3

264,1 – 279,1 3

40

Lo primero que se debe hacer es completar la tabla con las frecuencias absolutas acumuladas, las frecuencias relativas y las marcas de clase. Las celdas amarillas se adicionan para el cálculo de la media.

hi Ni

Marca de Clase

188,6 – 203,6 203,7 – 218,7 218,8 – 233,8 233,9 – 248,9 249,0 – 264,0

3 1

13 17 3

0,075 0,025 0,325 0,425 0,075

3 4

17 34 37

196,1 211,2 226,3 241,4 256,5

588,3 211,2

2941,9 4103,8 769,5

14,71 5,280 73,55 102,6 19,24

264,1 – 279,1 3 0,075 40 271,6 814,8 20,37

40 1 9429,5 235,7

MEDIA ( ) Esta se puede calcular empleando la frecuencia absoluta o la frecuencia relativa.

Cálculo de la media empleando las frecuencias absolutas: ∑

Se adiciona una columna con el producto , se suman los valores de dicha columna y se opera de

acuerdo a la expresión dada en el ítem anterior.

∑

Cálculo de la media empleando las frecuencias relativas: ∑

Se adiciona una columna con el producto , se suman los valores de dicha columna y ese valor

corresponderá a la media.

∑


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MEDIANA (Me)

Se identifica la clase o intervalo mediano, para esto se calcula inicialmente el valor de

, en este caso 20.

El intervalo mediano corresponde con el intervalo en donde la frecuencia absoluta acumulada se aproxime a este valor. En este caso el tercer intervalo, que tiene una frecuencia absoluta acumulada de 17.

hi Ni

188,6 – 203,6 203,7 – 218,7 218,8 – 233,8 233,9 – 248,9 249,0 – 264,0

3 1

13 17 3

0,075 0,025 0,325 0,425 0,075

3 4

17 34 37

264,1 – 279,1 3 0,075 40

40 1

Entonces el valor de la mediana se calcula mediante la siguiente expresión:

(

)

Para este ejemplo, tenemos los siguientes valores;

hi Ni

188,6 – 203,6 203,7 – 218,7 218,8 – 233,8 233,9 – 248,9 249,0 – 264,0

3 1

13 17 3

0,075 0,025 0,325 0,425 0,075

3 4

17 34 37

264,1 – 279,1 3 0,075 40

40 1

, se calcula restando del límite superior el límite inferior de cualquiera de los intervalos.

Entonces;

(

)

Intervalo Mediano

Intervalo Mediano

Límite Inferior del Intervalo Mediano

Frecuencia Absoluta Acumulado del intervalo anterior al intervalo mediano

Frecuencia Absoluta del intervalo mediano


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MODA (MO)

Se identifica la clase o intervalo modal, el cual corresponde al intervalo con mayor frecuencia absoluta. En este caso, el cuarto intervalo.

188,6 – 203,6 203,7 – 218,7 218,8 – 233,8 233,9 – 248,9 249,0 – 264,0

3 1

13 17 3

264,1 – 279,1 3

40

Entonces el valor de la moda se calcula mediante la siguiente expresión:

(

)

Para este ejemplo, tenemos los siguientes valores;

hi Ni

188,6 – 203,6 203,7 – 218,7 218,8 – 233,8 233,9 – 248,9 249,0 – 264,0

3 1

13 17 3

0,075 0,025 0,325 0,425 0,075

3 4

17 34 37

264,1 – 279,1 3 0,075 40

40 1

Entonces;

(

)

Intervalo Modal

Intervalo Modal

Límite Inferior del Intervalo Modal

Frecuencia Absoluta del intervalo anterior al intervalo modal

Frecuencia Absoluta del intervalo modal

Frecuencia Absoluta del intervalo siguiente al intervalo modal


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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Guía N. 3 F. Elaboración: 26/05/2014 Páginas: 8 EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Unos grandes almacenes disponen de un aparcamiento para sus clientes. Los siguientes datos se refieren al número de

horas que permanecen en el aparcamiento una serie de coches:

4 4 2 4 5 3 6 3 5 3 2 1 3 7 3 1 5 1 7 2 5 2 4 7 3 6 2 2 4 1 6 4 3 3 4 5 4 3 2 4 3 2 4 4 3 6 6 4 5 5

4 5 5 1 7 4 4 3 6 5

a. Obtener la tabla de frecuencias para ese conjunto de datos. b. Calcular el tiempo medio de permanencia de los coches en el aparcamiento. c. Calcular la mediana y la moda para este conjunto de datos.

2. La distribución de los costes salariales de los 10000 empleados de una multinacional se presenta en la tabla siguiente:

SALARIOS Nº DE EMPLEADOS

0 -15000 2145

15000 – 20000 1520

20000 – 25000 840

25000 – 30000 955

30000 – 35000 1110

35000 – 40000 2342

40000 - 50000 610

50000 – 100000 328

100000 – 300000 150

a. Calcular el salario medio por trabajador. b. Calcular la mediana y la moda correspondiente.

3. Una compañía de transportes conserva los registros del kilometraje en todo su equipo rodante. A continuación se anotan los registros del kilometraje semanal de sus camiones:

810 450 756 789 210 657 589 488 876 689 1.45 560 469 890 987 559 788 943 447 775

a. Calcule la media de kilómetros que recorre el camión. b. Calcule la mediana de kilómetros que recorre el camión. c. Compare a) y b) y explique ¿cuál es la mejor medida de tendencia central de los datos?

4. Con los siguientes datos, referentes a una distribución, se pide calcular la media aritmética, la mediana y la moda.

46,1 – 54 2 50

54,1 – 62 4 58

62,1 – 70 5 66

70,1 – 78 4 74

78,1 – 86 3 82

86,1 - 94 2 90

Σ 20 -


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5. Una muestra realizada a 12 profesores de tiempo completo, en universidades privadas de la capital, se encontró que su

sueldo quincenal en miles de $, es de: 1.800, 720, 750, 1.680, 900, 720, 840, 810, 720, 810, 720, 840. Calcular la media, mediana y la moda de estos salarios ¿Cuál cree usted que sea la medida más representativa, de las tres calculadas? ¿Por qué?

BIBLIOGRAFÍA MARTINEZ, Ciro. Estadística Básica Aplicada. Tercera edición. Bogotá : Ecoe, 2006. 406p. MARTINEZ, Ciro. Estadística y Muestreo. Décima tercera edición. Colombia : Ecoe, 2012. 900p. WALPOLE, Ronald E.; MYERS, Raymond H.; MYERS, Sharon L. y YE, Keying. Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias. Octava edición. México : Pearson Educación, 2007. 840p.

Elaborado por:

Lic. Marcela Galindo

Uniminuto – Bogotá Sur y Nuevas Regionales

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