ESTADSTICA Rama de las matemticas aplicadas, que estudia los hechos econmicos, sociales y fsicos a base de datos numricos; entre las estadsticas ms antiguas cuentan los censos de poblacin, el clculo de ganados y cosechas, etc. La estadstica es una ciencia, pues aplica el Mtodo Cientfico al ocuparse de la toma, organizacin, recopilacin y anlisis de datos, tanto para la deduccin de conclusiones, para la toma de decisiones razonables de acuerdo a tales anlisis. Poblacin: Se le llama poblacin o universo, al conjunto total de individuos u objetos que se desean investigar. Muestra: Es un grupo de una poblacin. Se utiliza cuando la poblacin es muy numerosa, infinita o muy difcil de examinar. Estadstica Descriptiva: Es la parte de la estadstica que trata solamente de describir y analizar un grupo dado sin sacar conclusiones o inferencias de un grupo mayor, a partir de ella. La estadstica descriptiva incluye las tcnicas que se relacionan con el resumen y la descripcin de datos numricos. Estos datos pueden ser grficos o pueden incluir anlisis computacional. Estadstica Inferencial: Cuando una muestra es representativa de una poblacin se pueden deducir importantes conclusiones acerca de esta, a partir de su anlisis. La inferencia estadstica comprende aquellas tcnicas por medio de las cuales se toma decisiones sobre una poblacin estadstica basadas solo en la muestra observada. Debido a que dichas decisiones se toman en condiciones de incertidumbre, entonces estas sern confiables con cierto grado de probabilidad. Considerando que las caractersticas medidas de una muestra se denominan estadsticas de la muestra, las caractersticas medidas de una poblacin estadstica, o universo se llaman parmetros de la poblacin.

ANALISIS ESTADISTICO Distribucin de Frecuencias: Las distribuciones de frecuencias, son series estadsticas ordenadas por intervalos de clases, y por lo tanto, corresponden a la clasificacin de grupo de datos, de acuerdo a una caracterstica cuantitativa. Esta distribuciones se elaboran cuando se tiene una masa de datos, para reducirla a grupos homogneos y poco numerosos, con fines de descripcin, anlisis y obtencin de indicadores. Serie simple o arreglo: Es un simple listado de la informacin obtenida de una fuente de datos. Ejemplo: Sueldos mensuales, en pesos, pagados a 20 trabajadores de una empresa, ordenados en forma ascendente:

210.000 250.000 250.000 280.000 280.000 300.000 300.000 350.000 350.000 400.000 400.000 450.000 450.000 500.000 550.000 550.000 600.000 600.000 700.000 750.000 Como el sueldo es mnimo es $210.000 y el mximo $750.000, el Rango de los salarios es: 750.000 210.000 igual a $540.000. Como esta tabla no permite tener un idea de la distribucin de los sueldos, hay que clasificarlos en un cuadro de frecuencias.

Tabla de frecuencias sin clase (datos no agrupados): Los datos de la tabla anterior se pueden resumir, al registrarse el nmero de trabajadores, de acuerdo a su sueldo.

Sueldo ($) Nmero de Obreros (Frecuencias)

210.000 1

250.000 2

280.000 2

300.000 2

350.000 2

400.000 2

450.000 2

500.000 1

550.000 2

600.000 2

700.000 1

750.000 1

Tabla de frecuencias con clase (con datos agrupados): Para ello debemos considerar cada intervalo con lmites cerrado y abierto, o sea [210.000,300.000[ La tabla siguiente la vamos a elaborar con frecuencias absolutas, estas frecuencias son las que se obtienen directamente del conteo, pero, tambin incorporaremos las frecuencias relativas que corresponden a los porcentajes de cada frecuencia absoluta, en este caso, se determina con respecto al total de trabajadores (20). Tambin incorporaremos a la tabla la frecuencia absoluta acumulada que corresponde a la frecuencia absoluta del intervalo ms la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores anteriores y la frecuencia relativa acumulada que corresponde al porcentaje de la frecuencia relativa del intervalo ms la suma de las frecuencias relativas de todos los valores anteriores. La marca de clase corresponde al valor medio de cada intervalo.

Sueldo ($) Marca de Clase

recuencia Absoluta

Frecuencia Relativa %

Frecuencia Absoluta

Acumulada

Frecuencia Relativa

Acumulada %

200.000 300.000 250.000 5 25 5 25 300.000 400.000 350.000 4 20 9 45 400.000 500.000 450.000 4 20 13 65 500.000 600.000 550.000 3 15 16 80 600.000 700.000 650.000 2 10 18 90 700.000 800.000 750.000 2 10 20 100

Representaciones Grficas Para hacer ms clara y evidente la informacin que nos dan las tablas se utilizan los grficos. Existen mltiples tipos de grficos, pero aqu trataremos solamente de los usados ms frecuentemente, que son: grfico de barras, grfico de sectores o circular (pastel), histograma, polgono de frecuencias, la ojiva y el pictograma. Grfico de Barras: Se usa fundamentalmente para representar distribuciones de frecuencias de una variable cualitativa o cuantitativa discreta y, ocasionalmente, en la representacin de series

cronolgicas o histricas. Uno de los ejes sirve para inscribir las frecuencias, ya sean absolutas o relativas (%), y el otro para la escala de clasificacin utilizada.

Ejemplo:

Grfico circular: Se usa, fundamentalmente, para representar distribuciones de frecuencias relativas (%) de una variable cualitativa o cuantitativa discreta. En este grfico se hace corresponder la medida del ngulo de cada sector con la frecuencia correspondiente a la clase en cuestin. Si los 360 del crculo representan el 100 % de los datos clasificados, a cada 1% le correspondern 3,6. Luego, para obtener el tamao del ngulo para un sector dado bastara con multiplicar el por ciento correspondiente por 3,6 (por simple regla de tres). Ejemplo:

Histograma: Este grfico se usa para representar una distribucin de frecuencias de una variable cuantitativa continua. Habitualmente se representa la frecuencia observada en el eje Y, y en el eje X la variable

Ejemplo:

Polgono de frecuencias: Se utiliza, al igual que el histograma, para representar distribuciones de frecuencias de variables cuantitativas continuas, pero como no se utilizan barras en su confeccin sino segmentos de recta, de ah el nombre de polgono. Habitualmente se usa cuando se quiere mostrar en el mismo grfico ms de una distribucin. Ejemplo:

Ojiva: Su objetivo, al igual que el histograma y el polgono de frecuencias es representar distribuciones de frecuencias de variables cuantitativas continuas, pero slo para frecuencias acumuladas Ejemplo:

Pictograma: Se utiliza un dibujo relacionado con el tema, para representar cierta cantidad de frecuencias. Este tipo de grfica atrae la atencin por los dibujos, pero la desventaja es que se lee en forma aproximada.

Medidas de Tendencia Central

La utilidad de las medidas de tendencia central se puede ver claramente cuando es necesario determinar, por ejemplo, en qu lugar se ubica la persona promedio o tpica de un grupo, para comparar o interpretar cualquier puntaje en relacin con el puntaje central o tpico, para comparar el puntaje obtenido por una misma persona en dos diferentes ocasiones, para comparar los resultados medios obtenidos por dos o ms grupos y otros casos. Las medidas de tendencia central ms comunes son: La media aritmtica: comnmente conocida como media o promedio. Se representa por medio de

una letra M en otros casos por X . La mediana: la cual es el puntaje que es ubica en el centro de una distribucin. Se representa como Md. La moda: que es el puntaje que se presenta con mayor frecuencia en una distribucin. Se representa Mo.

Cmo calcular la mediana, la media y la moda. Para determinar la mediana, se ordenan los valores de mayor a menor o lo contrario. Se divide el total de casos entre dos, una vez el valor resultante corresponde al nmero del caso que representa la mediana de la distribucin. En muchas ocasiones, los casos son tan numerosos que no se pueden ordenar uno tras otro sino que se agrupan por frecuencia de ocurrencia en cada valor o por intervalos de clase cuando el rango de posibles valores de la variable es muy amplio. En estos casos el proceso es un poco ms complejo y requiere de la utilizacin de la siguiente frmula

i

i

if

FN

cLM1

2

iL lmite inferior de la clase mediana

c amplitud del intervalo

N nmero total de datos

1iF frecuencia absoluta acumulada de la clase anterior a la mediana

if frecuencia absoluta de la clase mediana

Para calcular la media aritmtica de un conjunto de datos, se suma cada uno de los valores y se divide entre el total de casos.

Sea X una variable estadstica que toma los valores nxxxx ...,,,, 321 , con frecuencias absolutas

nffff ...,,,, 321 , respectivamente, la media viene dada por:

n

i

i

n

i

ii

n

nn

f

fx

fff

fxfxfxx

1

1

21

2211

...

...

Si la variable es continua, o an siendo discreta si estn los datos agrupados en clases, se toman

como valores nxxxx ...,,,, 321 , las marcas de clase.

La moda se identifica al observar el valor que se presenta con ms frecuencia en la distribucin. Ahora bien, en el caso de datos agrupados en intervalos, es fcil determinar la clase modal (clase con mayor frecuencia), pero el valor dentro del intervalo que se presume tenga mayor frecuencia se obtiene a partir de la siguiente expresin:

21

1

DD

DcLM io

iL lmite inferior de la clase modal.

c amplitud de los intervalos.

1D diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la frecuencia absoluta de la clase

anterior.

2D diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la frecuencia absoluta de la clase

siguiente.

Cuantiles La mediana divide a la distribucin en dos partes iguales, los cuantiles son parmetros que dividen los datos de la distribucin en partes iguales. Los ms usados son: Cuartiles: Se llaman cuartiles a tres valores que dividen a la serie de datos en cuatro partes iguales.

321 , QyQQ ( cuartil primero, cuartil segundo y cuartil tercero )

Quintiles: Se llaman quintiles a cuatro valores que dividen a la serie en cinco partes iguales.

4321 ,, KyKKK ( quintil primero,... )

Deciles: Nueve valores iguales que dividen la distribucin en 10 partes iguales.

921 ...,, DyDD ( decil primero,...)

Percentiles: Noventa y nueve valores que dividen la serie en 100 partes iguales.

9921 ...,, PyPP ( percentil primero,... )

El clculo es anlogo al de la mediana.

EJERCICIOS

1. Hallar la mediana de los valores 5, 8, 13, 8, 6, 8, 10, 12, 8.

a) 5 b) 6 c) 8 d) 6,8 e) Ninguna de las anteriores

2. Para un trabajo determinado, una empresa contrata 80 operarios, 60 de ellos ganarn $ 50.000 semanales y los 20 restantes $ 70.000 a la semana. Cul es el sueldo medio de los operarios en una semana?

a) $ 50.000 b) $ 55.000 c) $ 60.000 d) $ 62.857 e) $ 70.000

3. Cul es el valor de la media en la tabla de notas siguiente, correspondiente a 10 alumnos?

Notas Frecuencias

1 - 3 1

3 5 3 5 7 6

a) 10/7 b) 10/3 c) 50/3 d) 5 e) Ninguna de las anteriores

4. En la serie de nmeros 2, 4, 4, 5, 5, 5, 17, el valor de la moda es(son):

a) 2 y 17 b) 4 c) 5 d) 4 y 5 e) 6

5. Queremos construir un grfico circular con la cantidad de veces que ha salido cada vocal en la pgina de un libro. Cuntos grados le corresponden a la letra a en el grfico?

Vocales Frecuencia

a 10

e 13

i 4

o 2

u 1

a) 10 b) 12 c) 60 d) 120 e) 150

6. En un curso hay n

n 30 alumnos y en otro curso

n

n 10 alumnos, entonces el promedio de

alumnos es:

a) 2

202

n

n b)

n

n 202 c) 20 d) 10 e)

n

101

7. En una tabla de frecuencias el intervalo 20 40, tiene frecuencia 18, la marca de clase es:

a) 18 b) 20 c) 30 d) 40 e) 60

8. La media de seis elementos es 10. Sabiendo que cinco de ellos son 8, 12, 13, 5 y 9; hallar el elemento que falta.

a) 9,5 b) 13 c) 37 d) 47 e) 60/47

9. Un alumno obtiene en tres pruebas parciales las siguientes notas: 7, 5 y 3. En el examen final consigue un 6. Si esta nota final tiene doble valor que las parciales, cul ser su nota media?

a) 4,2 b) 5,2 c) 5,4 d) 5,6 e) 6,7

10. Si la nica moda de los siguientes datos: 5, 5, 7, x, 7, 7, 8, 8, 9, x; es 5, entonces el valor de x es:

a) 5 b) 5,6 c) 7 d) 8 e) 9

ALTERNATIVAS 1. Hallar la mediana de los valores 5, 8, 13, 8, 6, 8, 10, 12, 8. Alternativa A: Incorrecta. Se elige el valor menor que no tiene ninguna relacin con la mediana. Alternativa B. Incorrecta. Para determinar la mediana se deben ordenar los datos en forma ascendente o descendente. Al no hacerlo se llega a esta alternativa. Alternativa C. CORRECTA. Al ordenar los datos de menor a mayor o viceversa, el valor que ocupa el lugar central es el 8, por lo tanto es la mediana. Alternativa D: Incorrecta. No corresponde sumar todos los valores dados y dividirlos por el total de ellos. Esa operacin corresponde a la media aritmtica. Alternativa E:. Incorrecta. Diversos procedimientos errneos llevan a optar por esta alternativa. 2. Para un trabajo determinado, una empresa contrata 80 operarios, 60 de ellos ganarn $ 50.000 semanales y los 20 restantes $ 70.000 a la semana. Cul es el sueldo medio de los operarios en una semana? Alternativa A: Incorrecta. Como la mayora de los operarios ganarn $ 50.000 semanales, se considera esta valor como el sueldo medio de todos los operarios de la empresa. Alternativa B. CORRECTA. Se efectan los productos 60 por 50.000 y 20 por 70.000, para determinar el total de dinero que reciben los 80 operarios. Luego se divide ese total por 80, dando como sueldo medio $ 55.000. Alternativa C. Incorrecta. El error se produce al sacar el promedio entre los dos sueldos pagados, es decir entre $ 50.000 y $ 70.000, sin considerar el nmero de operarios. Alternativa D: Incorrecta. Se determina el total de dinero a ganar por los operarios, pero luego se comete el error de dividir esta cantidad por 7, al ser una ganancia semanal. Alternativa E: Incorrecta. Se opta por el sueldo mayor sin ninguna justificacin matemtica. 3. Cul es el valor de la media en la tabla de notas siguiente, correspondiente a 10 alumnos?

Notas Frecuencias

1 - 3 1

3 5 3 5 7 6

Alternativa A: Incorrecta. Se obtiene la frecuencia total, que es 10, y se divide por 7, considerando que los datos dados son notas. Alternativa B. Incorrecta. No corresponde a la media aritmtica el cuociente entre la frecuencia total y los tres intervalos formados. Alternativa C. Incorrecta. Se determina correctamente la frecuencia total, pero luego se divide por la cantidad de intervalos de la tabla que son 3. Alternativa D: CORRECTA. Se determina la marca de clase de cada intervalo y luego se efecta el producto de sta por la respectiva frecuencia, sumando los valores obtenidos. Finalmente se

divide por el total de casos que son 10, o sea 510

663412

Alternativa E: Incorrecta. Diversos procedimientos errneos llevan a optar por esta alternativa. 4. En la serie de nmeros 2, 4, 4, 5, 5, 5, 17, el valor de la moda es(son):

Alternativa A: Incorrecta. La moda corresponde al valor con mayor frecuencia, en este caso, 2 y 17 son los que tienen menor frecuencia. Alternativa B. Incorrecta. El 4 tiene frecuencia 2 y como existe otro valor con ms frecuencia, no puede ser moda. Alternativa C. CORRECTA. La moda es el valor con mayor frecuencia, o sea, el que ms veces se repite. Alternativa D: Incorrecta. Para que los valores 4 y 5 sean moda, deben tener la mayor e igual frecuencia de todos los datos dados. Alternativa E: Incorrecta. Este valor corresponde a la media aritmtica y no a la moda. 5. Queremos construir un grfico circular con la cantidad de veces que ha salido cada vocal en la pgina de un libro. Cuntos grados le corresponden a la letra a en el grfico?

Vocales Frecuencia

a 10

e 13

i 4

o 2

u 1

Alternativa A: Incorrecta. Este valor corresponde a la frecuencia y no a los grados en el grfico circular. Alternativa B. Incorrecta. Error en la operacin al simplificar, lleva a obtener 12 para la letra a en el grfico a construir. Alternativa C. Incorrecta. Se consideran 180 y no 360 que es lo correcto. Alternativa D: CORRECTA. El total de veces que han salido las vocales son 30 y corresponden a

los 360 del grfico circular. Luego la frecuencia 10 de a equivale a

12030

36010

Alternativa E: Incorrecta. Error de planteamiento lleva a optar por esta alternativa.

6. En un curso hay n

n 30 alumnos y en otro curso

n

n 10 alumnos, entonces el promedio de

alumnos es: Alternativa A: Incorrecta. Error en la operatoria algebraica lleva a obtener esta alternativa. Alternativa B. Incorrecta. Se determina la suma de ambos cursos, pero luego falta determinar el promedio. Alternativa C. Incorrecta. Se simplifican las n de las expresiones dadas, no pudiendo hacerse, lo que lleva al error de optar por esta alternativa. Alternativa D: Incorrecta. Se simplifican las n de las expresiones dadas, no pudiendo hacerse, y luego se determina el promedio con las cantidades obtenidas, lo que lleva al error de optar por esta alternativa. Alternativa E: CORRECTA. Se suman las expresiones algebraicas que representan a los alumnos

de cada curso y luego se determina su promedio, o sea, nnn

n

n

n

n

n 101

2

20

2

2

2

2022:

202

7. En una tabla de frecuencias el intervalo 20 40, tiene frecuencia 18, la marca de clase es: Alternativa A: Incorrecta. Corresponde al total de casos en el intervalo 20-40 y no a la marca de clase que es el valor medio del intervalo. Alternativa B. Incorrecta. El valor menor del intervalo no corresponde a la marca de clase, ya que este es el valor medio de l.

Alternativa C. CORRECTA. La marca de clase corresponde al valor medio del intervalo, o sea,

302

60

2

4020

Alternativa D: Incorrecta. El valor mayor del intervalo no corresponde a la marca de clase, ya que este es el valor medio de l. Alternativa E: Incorrecta. Se suman los valores extremos del intervalo, pero ese valor no corresponde a la marca de clase. 8. La media de seis elementos es 10. Sabiendo que cinco de ellos son 8, 12, 13, 5 y 9; hallar el elemento que falta. Alternativa A: Incorrecta. El error se produce al sumar los valores dados con la media y dividirla por los 6 datos del enunciado. Alternativa B. CORRECTA. Para determinar el elemento que falta se debe plantear que

106

9513128

x, de donde 47 + x = 60 y x = 13.

Alternativa C. Incorrecta. Se suman los elementos dados y se le resta la media, este error lleva a obtener 37. Alternativa D: Incorrecta. Slo corresponde a la suma de los datos dados. Alternativa E: Incorrecta. Error de operatoria algebraica lleva a que 47 + x = 60 se resuelva como 47x = 60. 9. Un alumno obtiene en tres pruebas parciales las siguientes notas: 7, 5 y 3. En el examen final consigue un 6. Si esta nota final tiene doble valor que las parciales, cul ser su nota media? Alternativa A: Incorrecta. No se considera en la suma el valor doble de la nota final, se resuelve

2,45

6357

Alternativa B. Incorrecta. No se considera en la suma el valor doble de la nota final, se resuelve

2,54

6357

Alternativa C. CORRECTA. Se suman las notas parciales y la del examen final que es doble, obtenindose 27, la que al dividirla por 5, resulta 5,4 como nota media. Alternativa D: Incorrecta. Se saca primero el promedio entre las notas parciales y luego el

promedio, considerando el examen, o sea, 6,53

17

3

665

Alternativa E: Incorrecta. Se consideran todas las notas como corresponde, pero luego se divide por 4 y no por 5 que es lo correcto. 10. Si la nica moda de los siguientes datos: 5, 5, 7, x, 7, 7, 8, 8, 9, x; es 5, entonces el valor de x es: Alternativa A: CORRECTA. Si 5 es la nica moda, necesariamente el valor de x debe ser 5, para que sea el valor con mayor frecuencia de los dados. Alternativa B. Incorrecta. Corresponde a la media de los datos dados. Alternativa C. Incorrecta. Se opta por el 7 que es el que tiene ms frecuencia de los datos dados. Alternativa D: Incorrecta. Se opta por el 8, pensando que al agregarle dos valores 8 ms, pasa a ser la moda. Alternativa E: Incorrecta. Se opta por el de menor frecuencia, demostrando no conocerse el significado de moda estadstica.