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02/12/2011

1

Estimación puntual y por intervalos

Análisis de datos y gestión veterinariaAnálisis de datos y gestión veterinaria

Departamento de Producción Animal – Facultad de Veterinaria

Universidad de Córdoba

Córdoba, 30 de Noviembre de 2011


Estimación puntual

Estimación por intervalos

Características de los estimadores

I.C. media

I.C. varianza

I.C. proporciones

I.C. diferencia de medias

I.C. diferencia de proporciones

Tamaño muestral



02/12/2011

2


N = ???? = millones de votantes

calculamosestadísticos,como la edadmedia de losvotantes de la

muestra

n = 10.000votantes

los estadísticosse utilizan comoestimadores

de los

parámetros dela población,como la edadmedia de losvotantes de la

población

Inferencias.Generalizaciones apartir de la muestra ala población.


N = ???? = millones de votantes

n = 10.000votantes

Si se calcula un único valorcomo estimador, se trata deestimación puntual

Si se calcula un intervalo en el que se tieneelevada seguridad de que contiene alverdadero parámetro, se trata deestimación por intervalos



02/12/2011

3

Estimación puntual

La presión arterial de un caballo fue medida 10 veces en unaclínica determinada:

10, 16, 5, 10, 12, 8, 4, 6, 5, 4

Hallar estimaciones puntuales para la media, varianza, desviacióntípica, y la proporción para los que la presión fue mayor que 8,5.

1 808

10i x x

n= = =∑

22 2 21 782 10·8

15,781 9

x i s x nx

n

− = − = = −

∑

2 15,78 3,97 x x s s= = = 4ˆ 0,4

10 x

x p

n= = =

Estimación puntual

Población Estimador Estimación

Media

Varianza

Desv. típica

Proporción

X

2

X σ

X σ

p

2

X S

X S

ˆ X

p

x

2

x s

x s

ˆ x

p



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4

Estimación puntual

Un estimador es insesgado si la mediade la distribución muestral es el parámetrodesconocido en la población.

( )ˆ E θ θ =

Estimador

f ( e s t i m

a d o r )

-5 -3 -1 1 3 5

0

0,1

0,2

0,3

0,4Parámetro

Estimación puntual


( )ˆ E θ θ =

Estimador

f ( e s t i m a d o r )

-5 -3 -1 1 3 5

0

0,1

0,2

0,3

0,4

Parámetro



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5

Estimación puntual


( )ˆ E θ θ =

( )

( )( )

2 2

ˆ

X

X X

X

E X

E S

E p p

µ

σ

=

=

=

La desviación típica no esun estimador insesgado

Estimación puntual

Un estimador es más eficiente que otrosi su varianza es menor.

Eficiencia relativa

( ) ( )

( )( )

1 2

2

1

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

Var Var

Var

Var

θ θ

θ

θ

<



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6


Para determinar la proporciónde botellas de lechedefectuosas, el Dpto. deControl de Calidad de unaempresa toma una muestra.

n = 10010 botellas defectuosas

ˆ 0,1 x p =

n = 1.000100 botellas defectuosas

ˆ 0,1 x p =





…pero…si n es 100 veces superior, ¿no habrámás confianza?...

ˆ 0,1 x p = ˆ 0,1 x p =



02/12/2011

7





La estimaciónpuntual,

posiblemente,coincide con la

proporciónpoblacional

La estimación puntual, másposiblemente, coincide

con la proporciónpoblacional

ˆ 0,1 x p = ˆ 0,1 x p =





…pero…si n es 100 veces superior, ¿no habrámás confianza?...

Con una “confianza” del95%: 0,035 < p < 0,254


ˆ 0,1 x p = ˆ 0,1 x p =



02/12/2011

8






ˆ 0,1 x p = ˆ 0,1 x p =

Un estimador por intervalos de unparámetro poblacional es un intervalo en elque hay una probabilidad determinada deencontrar dicho parámetro.






ˆ 0,1 x p = ˆ 0,1 x p =

Un estimador por intervalos de unparámetro poblacional es un intervalo en elque hay una probabilidad determinada deencontrar dicho parámetro.

nivel de confianza del intervalo

( ) 1 P A Bθ α < < = −

1 α −



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9


Estimación puntual


Características de los estimadores

I.C. media

I.C. varianza

I.C. proporcionesI.C. diferencia de medias

I.C. diferencia de proporciones

Tamaño muestral

I.C. para la media: población normal yvarianza poblacional conocida

Z

f Z ( z )

-5 -3 -1 1 3 5

0

0,1

0,2

0,3

0,4

/

X Z

n

µ

σ

−= 1 IC α = −

1 α − 2

α

2

α



02/12/2011

10

I.C. para la media: población normal y

varianza poblacional conocida

Z

f Z

( z )

-5 -3 -1 1 3 5

0

0,1

0,2

0,3

0,4

/

X Z

n

µ

σ

−= 1 IC α = −

1 0,9

0,1

α

α

− =

=

5% 5%90%


1 0,9

0,1

α

α

− =

=

µ

El 90% de los intervalos de confianza contendrán la mediapoblacional



02/12/2011

11



Z

f Z

( z )

-5 -3 -1 1 3 5

0

0,1

0,2

0,3

0,4

1 0,9

0,1

α

α

− =

=/

X Z

n

µ

σ

−=

0,05 z 0,05 z −

( )/2 0,05

1,645 (1,645) 0,95 z

z z

P Z F

α =

< = =

( 1,645) 0,05 P Z > =( 1, 645) 0, 05 P Z < − =

( 1, 645 1, 645) 1 ( 1, 645) ( 1, 645) 1 0, 05 0, 05 P Z P Z P Z − < < = − > − < − = − −


( 1, 645 1, 645) 1 ( 1, 645) ( 1, 645) 1 0, 05 0, 05 P Z P Z P Z − < < = − > − < − = − −

0,90 ( 1,645 1,645) 1,645 1,645/

1,645 1,645

1,645 1,645

X P Z P

n

P X n n

P X X n n

µ

σ

σ σ µ

σ σ µ

−= − < < = − < < =

− − = < − < =

− − = − < < +

Intervalo de confianza del/ 2 / 2

/2( )

2

z z x x

n n

P Z z

α α

α

σ σ µ

α

− < < +

> =100(1 )%α −



02/12/2011

12



Una fábrica produce latas de sardinas. El peso de las latas sigueuna distribución normal, con desviación típica de 15 gr. Elcontenido de una muestra de 25 latas pesa 100 gr de media.Calcular un intervalo de confianza del 95% para elverdadero peso medio de las latas de sardinas.

100(1-α)=95, por lo que α=0,05

/2 0,025

0,025( ) 1,96 z

z z

F z

α =

=

/2 /2

1, 96·1, 2 1, 96·1, 2100 100

25 25

94,12 105, 88

z z x x

n n

α α σ σ

µ

µ

µ

− < < +

− < < + =

= < <


La longitud del intervalo de confianza depende de:

1. El número de observaciones de la muestra lo disminuye

2. La varianza lo incrementa

3. La confianza del intervalo lo incrementa



02/12/2011

13



Si el tamaño muestral es grande,

- Se puede utilizar la varianza muestral como varianzapoblacional- La población puede desviarse de la distribución normal

Intervalo de confianza del

/2 /2

/2( )

2

x x s s z z x xn n

P Z z

α α

α

µ

α

− < < +

> =

100(1 )%α −


Se preguntó a 172 ganaderos sobre sus condiciones de trabajo enuna escala de 1 (muy malas) a 5 (muy buenas). La calificaciónmedia fue de 3,28, con desviación típica de 0,70. Calcular unintervalo de confianza del 99% para la media poblacional.

100(1-α)=99, por lo que α=0,01

/ 2 0,005

0,005( ) 2,575 z

z z

F z

α =

=

/2 /2

2, 575·0, 70 2, 575·0, 704,38 4,38

172 172

4, 24 4,52

z z x x

n n

α α σ σ

µ

µ

µ

− < < +

− < < + =

= < <



02/12/2011

15


varianza poblacional desconocida

Si el tamaño muestral es pequeño, se puede utilizar ladesviación típica muestral como desviación típicapoblacional.


1, /2 1, /2

1 1, /2( )2

n x n x

n n

t s t s x xn n

P t t

α α

α

µ

α

− −

− −

− < < +

> =

100(1 )%α −

I.C. para la media: población normal yvarianza poblacional desconocida

Se estudió el porcentaje de incremento de censo ganadero (enUGM) en 17 municipios andaluces, desde el año 2.000 a laactualidad. La media muestral fue de 0,105 y la d.t. de 0,440.Calcule un intervalo para la media del 95%, asumiendo ladistribución normal de la población.

100(1-α)=95, por lo que α=0,05n – 1 = 16

1, / 2 16 ,0 ,02 5 2,120nt t α − = =

1, /2 1, /2

2,120·0, 440 2,120·0, 4400,105 0,105

17 17

0,121 0, 331

n x n xt s t s

x xn n

α α µ

µ

µ

− −− < < +

− < < + =

= − < <



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16

I.C. para proporciones de la población

(muestras grandes)

ˆ

(1 ) /

x p p Z

p n

−=

−


( ) ( )/2 /2

/2

ˆ ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ

( )2

x x x x

x x p p p p p z p p z

n n

P Z z

α α

α

α

− −− < < +

> =

100(1 )%α −

Bastante fiable con n ≥ 40

I.C. para proporciones de la población(muestras grandes)

A una muestra aleatoria de 142 clientes de una clínica veterinariase les preguntó por la calidad del servicio. 87 contestaron que “bueno” o “muy bueno”. Calcule un intervalo de confianza del95% para todos los clientes.

100(1-α)=95, por lo que α=0,05

/2 0,025 1,96 z z

α = = ( ) ( )/2 /2

ˆ ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ

0,613·0,387 0,613·0,3870,613 1,96 0,613 1,96

142 142

0, 53 0, 693

x x x x

x x

p p p p p z p p z

n n

p

p

α α

− −− < < +

− < < +

< <



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17

chi-cuadrado

f ( c h i - c

u a d r a d o )

0 10 20 30 40

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

I.C. para la varianza de una población

normal

22

1 2

( 1) xn

n s χ

σ −

−=

1 α − 2α

2

α

2

,1 / 2v α χ −2

, /2v α χ

Si la población no sigue una distribución normal, este

procedimiento es muy poco fiable

I.C. para la varianza de una poblaciónnormal

22

1 2

( 1) xn

n s χ

σ −

−=


( ) ( )

2 22

2 2

1, /2 1,1 /2

2 2 2 2

1 1, /2 1 1,1 /2

( 1) ( 1)

2 2

x x

n n

n n n n

n s n s

P P

α α

α α

σ χ χ

α α χ χ χ χ

− − −

− − − − −

− −< <

> = < =

100(1 )%α −



02/12/2011

18

I.C. para la varianza de una población

normal

Una muestra aleatoria de 15 pastillas para el dolor tiene unadesviación típica de 0,8% en la concentración del fármaco. Hallarun I.C. del 90% para la varianza poblacional.

100(1-α)=90, por lo que α=0,102 2

1, / 2 14,0,05

2 2

1,1 / 2 14,0,95

23,68

6,57

n

n

α

α

χ χ

χ χ

−

− −

= =

= =

2 22

2 2

1, /2 1,1 /2

2 2

( 1) ( 1)

14·0,64 14·0,640,378 1,364

23,68 6,57

x x

n n

n s n s

α α

σ χ χ

σ σ

− − −

− −< <

< < = < <

I.C. media, varianza y proporciones

Si la población es normal, la varianzadesconocida y n es pequeño

I.C. media (si la población no es normal, el error asumido es pequeño)

Si la población es normal y la varianzaconocida, o si n es grande

I.C. proporciones (fiable si n>40)

I.C. varianza (si la población no esnormal, es poco fiable)

1, /2nt α −

/2 z α

/2 z α

2

1, /2

2

1,1 / 2

n

n

α

α

χ

χ

−

− −



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I.C. para la diferencia de medias de dos

poblaciones normales

Un ganadero estáconsiderando el uso dedos vacunas alternativasy está interesado en ladiferencia de lasproducciones anualesmedias por oveja.

De la población con la vacuna A se extrae

una muestra aleatoria de ni individuos.

De la población con la vacuna B se extrae unamuestra aleatoria de nj individuos.

Se estudia la diferencia de medias de dos muestras independientesextraídas aleatoriamente de poblaciones normales.

I.C. para la diferencia de medias de dospoblaciones normales

Un veterinario está considerando la efectividad de unprograma de entrenamiento equino, interesado en lavelocidad de carrera.

De la población se extrae una muestraaleatoria de n individuos.

Se estudia la diferencia de medias antes y después delprograma de entrenamiento en los mismos sujetos. Estossujetos constituyen una muestra, extraída aleatoriamentede la población normal.



02/12/2011

20



Se estudia la diferencia de medias antes ydespués del tratamiento en los mismossujetos que constituyen una muestra,extraída aleatoriamente de la poblaciónnormal.

Se estudia la diferencia de medias de dosmuestras independientes extraídasaleatoriamente de poblaciones normales.

Diferencia de medias con datos pareados

Diferencia de medias en muestras independientes


Se estudia la diferencia de medias antes ydespués del tratamiento en los mismos

sujetos que constituyen una muestra,extraída aleatoriamente de la poblaciónnormal.




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21




Un veterinario está considerando la efectividad de unprograma de entrenamiento equino para caballos, interesadoen la velocidad de carrera.

Se seleccionan 8 caballos para el programa deentrenamiento. Se mide la velocidad antes y después del

programa de entrenamiento, que dura 8 semanas.



caballo pre caballo post

i xi yi di xi2

1 19,4 19,6 -0,2 0,04

2 18,8 17,5 1,3 1,69

3 20,6 18,4 2,2 4,84

4 17,6 17,5 0,1 0,01

5 19,2 18 1,2 1,44

6 20,9 20 0,9 0,81

7 18,3 18,8 -0,5 0,25

8 20,4 19,2 1,2 1,44

diferencias

Si la distribución poblacional asumida esnormal, se plantea el cálculo de un intervalo deconfianza para la media poblacional

( ) x yµ µ −


i xi yi

1 19,4 19,6

2 18,8 17,5

3 20,6 18,4

4 17,6 17,5

5 19,2 18

6 20,9 20

7 18,3 18,8

8 20,4 19,2



02/12/2011

22





i xi yi di xi2

1 19,4 19,6 -0,2 0,04

2 18,8 17,5 1,3 1,69

3 20,6 18,4 2,2 4,84

4 17,6 17,5 0,1 0,01

5 19,2 18 1,2 1,44

6 20,9 20 0,9 0,817 18,3 18,8 -0,5 0,25

8 20,4 19,2 1,2 1,44

sumas 6,2 10,52

diferencias

1

1 1·6,2 0,775

8

n

i

d d n =

= = =∑2

2 2 2 2

1

1 1· 10,52 8·(0,775) 0,816

1 7

n

d i

i

s d nd n =

= − = − = −

∑




1, / 2 1, /2

1 1, /2( )

2

n d n d

x y

n n

t s t sd d

n n

P t t

α α

α

µ µ

α

− −

− −

− < − < +

> =

100(1 )%α −



02/12/2011

23





varianza conocida o

tamaño muestral grande

varianzas poblacionalesson iguales



varianza conocida-tamaño muestral

grande

2

2

2 muestras aleatorias de 2 poblaciones independientes:

observaciones de una población con y

observaciones de una población con y

x x x

y y y

n

n

µ σ

µ σ

( ) ( ) ( )

( ) ( )

e las medias muestrales

x y

X Y

E X Y E X E Y

Var X Y Var X

µ µ − = − = −

− = ( )22

y x

x y

Var Y n n

σ σ + = +

( ) ( )22

Como su distribución es normal, la variable aleatoria

tiene una distribución normal estándar

x y

y x

x y

X Y Z

n n

µ µ

σ σ

− − −=

+



02/12/2011

24




varianza conocida o tamaño muestral grande


( ) ( )2 22 2

/2 /2

/2( )2

y x x x y

x y x y

x y z x y z n n n n

P Z z

α α

α

σ σ σ σ µ µ

α

− − + < − < − + +

> =

100(1 )%α −

30 observaciones en cada muestrason, en general, suficientes paraconsiderar “tamaño muestral grande”


Para una muestra aleatoria de 96 cabras no vacunadas, el númeromedio de días con mamitis fue de 2,15 y la d.t. muestral fue de2,09 días al año. Para una muestra aleatoria independiente de 206cabras vacunadas, el número de días con mamitis fue de 1,69, cond.t. 1,91. Hallar un I.C. del 99% para la diferencia de

medias.

100(1-α)=99, por lo que α=0,01 /2 0,005 2,575 z z

α = =

( ) ( )

( ) ( )

2 22 2

/2 / 2

2 22 21,91 1,912,09 2,092,15 1,69 2,575 2,15 1,69 2,575

96 206 96 206

0,19 1,11

y y x x x y

x y x y

x y

x y

s s s s x y z x y z

n n n nα α µ µ

µ µ

µ µ

− − + < − < − + +

− − + < − < − + + =

= − < − <



02/12/2011

25





varianza conocida o

tamaño muestral grande




Se estudia la diferencia de medias de dosmuestras independientes extraídas

aleatoriamente de poblaciones normales.




02/12/2011

26





2 muestras aleatorias de 2 poblaciones independientes:

observaciones de una población con

observaciones de una población con

común desconocida

x x

y y

n

n

µ

µ

µ

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2

2

x y

x y

x y

x y

x y

x y

Var X Y Var X Var Y n n

n n

n n

X Y Z

n n

n n

σ σ

σ

µ µ

σ

− = + = + =

+

=

− − −=

+

( ) ( )( )

( ) ( )

2 2

2 1 1

2

x x y y

x y

x y

x y

x y

n s n s s

n n

X Y t

n n s

n n

µ µ

− + −=

+ −

− − −=

+



varianzas poblacionales son iguales


( ) ( )

( ) ( )( )

2, /2 2, /2

2 2

2

2 2, /2

1 1

2

( )2

x y x y

x y x y

x y x y

n n x y n n

x y x y

x x y y

x y

n n n n

n n n n x y t s x y t sn n n n

n s n s s

n n

P t t

α α

α

µ µ

α

+ − + −

+ − + −

+ +− − < − < − +

− + −=

+ −

> =

100(1 )%α −



02/12/2011

28

I.C. para la diferencia entre dos

proporciones poblacionales(muestras grandes)

Muestras grandes significa al menos 40 observaciones


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

/2 /2

/2

ˆ ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ ˆ ˆ

( )2

y y y y x x x x

x y x y x y

x y x y

p p p p p p p p p p z p p p p z

n n n n

P Z z

α α

α

α

− −− −− − + < − < − − +

> =

100(1 )%α −

I.C. para la diferencia entre dosproporciones poblaciones

(muestras grandes)Se extrajeron dos muestras aleatorias independientes deestudiantes de veterinaria. De 120 hombres, 107 esperabantrabajar como veterinarios en un máximo de 10 años. De 141mujeres, 73 tenían la misma esperanza. Hallar un I.C. del 95%para la diferencia de proporciones.

100(1-α)=95, por lo que α=0,05 /2 0,025 1,96 z z α = =

( ) ( )0,892·0,108 0,518·0, 482 0,892·0,108 0,518·0, 482

ˆ ˆ0,892 0,518 1,96 0,892 0,518 1,96120 141 120 141

ˆ ˆ0,275 0, 473

x y

x y

p p

p p

− − + < − < − + + =

= < − <

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

/2 /2

ˆ ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ ˆ ˆ

y y y y x x x x

x y x y x y

x y x y

p p p p p p p p p p z p p p p z

n n n nα α

− −− −− − + < − < − − +



02/12/2011

29

I.C. diferencia de medias o proporciones

Población normal, muestras aleatorias eindependientes, varianza conocida o n>30

I.C. diferencia de medias

Población normal, muestra aleatoria,datos pareados

I.C. diferencia de proporciones(muestras aleatorias e independientes,n>40)

/2 z α

1, /2nt α −

Población normal, muestras aleatorias e

independientes, igualdad de varianzas 2, / 2 x yn n

t α + −

/2 z α

Tamaño de la muestra

Proporción poblacional

Varianza conocida

Varianza desconocida




02/12/2011

30




( ) ( )

( )

/2 /2

/2

/2* /2

ˆ ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ

ˆ ˆ1

0,50,25

x x x x

x x

x x

p p p p p z p p z

n n

p p L z n

z L z

n n

α α

α

α α

− −− < < +

−=

= =

100(1 )%α −

( )ˆ ˆ1 0,25 x x p p− ≤



Intervalo de confianza del 100(1 )%α −

2/2

2

*

0,25 z n

L

α =



02/12/2011

31



Varianza conocida


Varianza conocida

Varianza conocida



/2 /2

/2

z z x x

n n

z L

n

α α

α σ

µ − < < +

=

100(1 )%α −



02/12/2011

32

Varianza conocida



( )

/2

2

/22

z n

L

P Z z

α

α

σ

α

=

> =

100(1 )%α −



Varianza conocida

Varianza desconocida Varianza desconocida



02/12/2011




( )

/2

2

/22

z n

L

P Z z

α

α

σ

α

=

> =

100(1 )%α −

estimaciones de lavarianza

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