ESTATICA Capitulo 2 - Fuerzas Internas en Reticulados

28/04/2014

1

Universidad Nacional de Ingeniera

CURSO DE ESTTICAAPUNTES DE CLASE

ING. SERGIO HERRERA RAMREZ

FUERZAS INTERNAS EN RETICULADOS

Universidad Nacional de IngenieraANLISIS DE ESTRUCTURAS:

Fuerzas Internas en Reticulados o Armaduras (Truss)

28/04/2014

2



1. Una armadura est formada por barras o elementos rectos conectados ensus extremos mediante nudos.

2. Para que toda la estructura este en equilibrio, cada una de sus partes (nudos)debe estarlo.

R4

R3Y

R3X

2P P

1 2 3

4 5

S3 S4 S5 S6

S7

S1 S22P

S1

S3

1

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3


3. Para su anlisis se requiere la determinacin, no slo de las fuerzasexternas, sino tambin de sus fuerzas internas. Ello desarrollando el equilibriode la estructura ( formada por varias componentes), en un diagrama decuerpo libre para cada uno de sus componentes, que deben representar lasfuerzas que las mantiene unidas.

4. Las cargas actan en los nudos y no en las barras (se desprecia el pesopropio de las barras).

5. Las cargas aplicadas en los nudos originan slo fuerzas axiales que puedenser de traccin o compresin.

C T

Cada Barra, es un elemento con fuerzas en sus extremos.

Fuerza Externa

Fuerza Interna

Barra en Compresin

Fuerza Externa

Fuerza Interna

Barra en Traccin


6. Para que una estructura coplanar sea estticamente determinada debecumplir que:

b = 2n - 3

b: nmero de barras

n: nmero de nudos

7. El anlisis de una armadura (determinacin de fuerzas internas en susbarras) se puede realizar empleando:

Mtodo de los nudos

Mtodo de las secciones

Mtodos grficos

Mtodo de las rigideces

a ser estudiado en este curso.

Empleado antiguamente paraarmaduras completas.

Usados para programarFe = k u Fi = k u~ ~ ~ ~ ~ ~ ? ?

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ANLISIS DE ARMADURAS MTODOS DE LOS NUDOS:

i. Diagrama del cuerpo libre del sistema ( FX = 0, FY = 0, MA = 0).

ii. Buscar barras con esfuerzo cero *

iii. Buscar nudos en el cual exista 2 fuerzas desconocidas como mximo y hacerel diagrama de cuerpo libre.

iv. Continuar el procedimiento (iii) hasta determinar todas las fuerzas en lasbarras. El anlisis se reduce, al clculo de las fuerzas internas en las barrasy la condicin de traccin compresin de estas.

A: Punto en que podamoseliminar el mayor nmero dereacciones incgnitas.


S1

S2

S1 = S2S3 = 0

Si en cualquier reticulado existe unnudo (sin carga) al cual concurrenslo 3 barras y 2 de estas pertenecena una misma recta, entonces elesfuerzo de la otra barra es cero.

S3

Si dos barras concurren en un nudo,y ese nudo se encuentra sin carga,entonces ninguna de las barrastrabaja: S1 = S2 = 0

S1

S2S1 = S2 = 0

* :

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Universidad Nacional de IngenieraEJEMPLO (1):

Determinar las fuerzas internas de cada una de las barra delreticulado mostrado.

Nota:

Para que una armadura sea considerada simtrica debe serlotanto en geometra como en cargas.

3 m 3 m 3 m

HA VA VEHE

A

B

C

D

E

25 Ton.50 Ton.

FG30

30 30

306060


HA

VA

X

Y

SAB

30

De un problema anterior sabemos: VA = 43.75 Ton. ( ME = 0)

VE = 31.25 Ton. ( MA = 0)

HA = 32.48 Ton. ( McIZQUIERDA = 0)

HE = 32.48 Ton. ( FH = 0)

Fy = 0 : - SAB sen 30 + VA = 0

SAB = 87.50 Ton.

FX = 0 : HA SAG SAB cos 30 = 0

SAG = -43.30 Ton.

SAG

Nudo A :

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6


XY

SAB

60

SBG

Nudo B :

FX = 0 : SAB - SBC 50 cos 60 = 0

SBC = 62.50 Ton.

FY = 0 : SBG 50 sen 60 = 0

SBG = 43.30 Ton.

FY = 0 : - SBG sen 60 + SGC sen 60 = 0

SGC = 43.30 Ton.

Nudo G :

SBC

50 Ton.

6060

SAB

SBG SGC

X

Y


Nudo E :

Nudo D :

FY = 0 : - SED sen 30 + VE = 0

SED = 62.50 Ton.

FX = 0 : - HE SEF + SED cos 30 = 0

SEF = 21.65 Ton.

FX = 0 : SDF 25 sen 60 = 0

SDF = 21.65 Ton.

FY = 0 : SED 25 sen 60 - SDC = 0

SDC = 50.00 Ton.

30

SEF

SED

X

Y

VE

HE

XY

SDF

60

SED

SDC

25 Ton.

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Nudo F :

FY = 0 : - SDC cos 60 + SFC cos 60 = 0

SFC = SDC = 21.65 Ton.6060

SFC SDC

X

Y

SEF


32.48 Ton.43.75 Ton. 31.25 Ton.

32.48 Ton.

A

B

C

D

E

25 Ton.50 Ton.

FG

C T

F.E. F.E. F.E. F.E.

43.30(T)

21.65(T)

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Hallar las fuerzas internas de cada una de las barra del reticulado mostrado.

2 m 2 m 2 m

0

9 Ton. 9 ton.

A

B

C

D

E

6 Ton.6 Ton.

FG30

30 30

306060

Observamos que existe simetra geomtrica y de cargas (respecto a un eje vertical quepasa por el nudo C), lo cual es til para disminuir la cantidad de clculos a realizar.

30 30

6 Ton.

3 m


9 Ton.

X

Y

SAB

30

SAG

Nudo A :

XY

SBA

60

SBG

Nudo B :

SBC

6 Ton.

Fy = 0 : - SAB sen 30 + 9 = 0

SAB = 18 Ton.

FX = 0 : - SAB cos 30 + SAG = 0

SAG = 15.60 Ton.

Fy = 0 : - 6 sen 60 - SBG = 0

SBG = 5.20 Ton.

FX = 0 : SBA SBC 6 cos 60 = 0

SBC = 15 Ton.

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Nudo G :

6060

SGA

SGB SGC

X

Y

SGF

Fy = 0 : SGC cos 30 - SGB cos 30 = 0

SGC = 5.20 Ton.

FX = 0 : SGF SGA + SGB sen 30 + SGC sen 30

SGF = 10.40 Ton.


9 Ton. 9 Ton.

A

B

C

D

E

6 Ton.

6 Ton.

FG15.60 T(T)

15.60 T(T)

10.40 T(T)

TC

6 Ton.

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Notar que el reticulado es simtrico respecto al eje horizontal pasa por los nudosA, E, F y C. Por lo tanto, la direccin de las reacciones (RA y RC) tambinestarn en ese mismo eje horizontal.

EJEMPLO (3):

Hallar las fuerzas internas de cada una de las barra del reticulado mostrado.

3 m 1 m

RcA

B

C

D

E FRA

3 m1 m

4 m

4 m

4 Ton.

Universidad Nacional de Ingeniera Clculo de las Reacciones: FX = 0 : RA + 4 RC = 0

(aparentemente hiperesttico)

SEB = SED = 0

Ninguna de las barras trabaja (2 barras que concurrenen un nudo y ese nudo no esta sometido a cargas).

Nudo E :

SEB

X

Y

SED

Clculo de Fuerzas en las Barras:

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Nudo F :

X

Fy = 0 : SFD sen - SFB sen = 0

SFD = SFB

FX = 0 : SFB cos + SFD cos - 4 = 0

SFB = SFD = 3.33 Ton.

SFB

Y

SFD

4 Ton.

4

5

3

Nudo B :

4545

SBASBE = 0

SBC

Y

SBF

X

FX = 0 : - SBA cos 45 - SBF cos + SBC cos 45 = 0

FY = 0 : - SBA sen 45 - SBC sen 45 + SBF sen = 0

(a).....22BASBCS

(b).....2SS BCBA 38

Resolviendo (a) y (b):

SBC = 3.30 Ton., SBA = 0.47 Ton.


Nudo A :

45

SAB

X

Y

SAD

45

Nudo C :

RA

FY = 0 : - SAB sen 45 - SAD sen 45 = 0

SAB = SAD

FX = 0 : - RA + SAB cos 45 + SAD cos 45 = 0

RA = 0.66 Ton.

FY = 0 : SCB sen 45 - SCD sen 45 = 0

SCD = SCB

FX = 0 : RC + SCB cos 45 + SCD cos 45 = 0

RC = 4.66 Ton.

X45

SCB Y

SCD

45 RC

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4.66 Ton.0.66 Ton. 4 Ton.

T

C

0

0


Para la armadura, determinar la magnitud y calidad de las fuerzasaxiales en las barras.

P

R1 = P

P

a

a

aR = 0

R6 = P

a a

1

2

3

4

5

6

7

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Universidad Nacional de Ingeniera Clculo de Reacciones:

+ M1 = 0 : P (2a) R6 (2a) = 0 R6 = P

+ FV = 0 : R6 R1 = 0 R1 = R6 = P

FY = 0 : P + S65 = 0 S65 = P

FX = 0 : S67 cos 45 = 0 S67 = 0

Clculo de Fuerzas Axiales:

X45

Y

R6 = P

S65S67

Nudo 6:

Nudo 4: Barra 24 no trabaja: S24 = 0


PS0S45cosS:0F

P2S0P45senS:0F

171712X

1212Y


45

S12

X

Y

P = R1

S17

Nudo 1:


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Universidad Nacional de IngenieraNudo 3:

X

45

P

Y

S32

Nudo 7:

S34

X

Y

P = S71 S75

P34S045sen32S34S:0YF

P232S045cos32SP:0XF

P71S75S075S71S:0XF

Universidad Nacional de IngenieraNudo 4:

X

Y

Nudo 5:

S45

X

Y

S57

S56

S43 = P

S54

P

PSS0SS:0F 43454345Y

PSS0SS:0F

PS0PS:0F

54565456Y

5757X

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P

R1 = P

P

R6 = P

1

2

3

4

5

6

7

(C)(C)

(C)

(C)

(T)

(T)

P

P2 P

2 P

0

00

0

P (C)P P


Determinar la magnitud y calidad de las fuerzas axiales en las barras.

3m 3m1m

3m

1m

1m

P 2P

7

1 2 3 4

5

68

R1

R8

R7

45

45

3

1

3

10

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16


Clculo de Fuerzas Axiales en las Barras:


Nudo 1, 7, 8: Por ser barras aisladas: S12 = R1 = 3.75 P

S86 = R8 = 3.75 P

S76 = R7 = 3 P

Clculo de Reacciones en los Apoyos:

+ FY = 0 : R7 P 2P = 0 R7 = 3P

+ M1 = 0 : R8 (4) + 3P (1) P (4) 2P (7) = 0 R8 = 3.75 P

+ FX = 0 : R1 R8 = 0 R1 = 3.75 P


FY = 0 : S45 sen - 2 P = 0 S45 = 6.32 P

FX = 0 : S43 - S45 cos = 0 S43 = 6 P

Nudo 4:

X

Y

2P

S45

S43

FX = 0 : S54 cos - S56 cos 45 = 0 S56 = 8.48 P

FY = 0 : S56 sen 45 - S53 - S54 sen = 0

S53 = 4 P

Nudo 5:

X45

S56

Y

S53

S54 = 6.32 P

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FY = 0 : S35 P - S36 sen = 0 S36 = 3.75 P

FX = 0 : S32 - S34 + S36 cos = 0 S32 = 3.75 P

Nudo 3:

X

S36

Y

S35 = 4 P

S32 S34 = 6 P

P

FY = 0 : S26 = 0

FX = 0 : S21 - S23 = 0 S23 = 3.75 P

Nudo 2:

X

YS26 = 0

3.75 P = S21 S23


P 2P

7

12 3 4

5

68

R1 = 3.75 P

R8 = 3.75 P

R7 = 3 P

3.75 P

3.75 P(C)

3.75 P(C)

6 P(C)

(T)3 P

(T)

(T)4 P

0

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Universidad Nacional de IngenieraANLISIS DE ARMADURAS MTODO DE LAS SECCIONES:

Mtodo conveniente cuando se desea determinar la fuerza de una o de pocas

barras de un reticulado.

i. Diagrama del cuerpo libre del sistema: FX = 0, FY = 0, MA = 0

ii. Aislar una parte del reticulado mediante un corte, para que las fuerzas deinters (las que nos piden) se conviertan en fuerzas externas en el cuerpolibre aislado.

iii. Al hacer el corte correspondiente (dividiendo la armadura en dos partes),intervienen las fuerzas de las barras que son cortadas.

iv. En general, una seccin debe cortar a 3 barras, ya que puede determinarse 3incgnitas, usando las 3 ecuaciones de equilibrio (considerar el equilibriototal del sub-sistema). Sin embargo, hay casos especiales en que se puedencortar con xito ms de 3 barras.


Determinar las fuerzas en las barras CD, CF y GF de la estructura mostrada.

2 m 2 m 2 m

9 Ton. 9 Ton.

A

B

C

D

E

6 Ton.6 Ton.

FG30

30 30

306060

30 30

6 Ton.

1 1/2

3/2 3/2

3

a

a

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Universidad Nacional de Ingeniera Corte a Realizar: aa (consideramos la zona de la derecha) y se supone

el sentido de las fuerzas que se indican en la figura.

Indica que la direccin es contraria a lo

supuesto.

Ton.15F0)(29)21(6(1)F-

:0M

Ton.5.20F0 )23(6)3(F

:0M

Ton.10.40F0)(39)23(6)3(F

:0M

11

F

22

E

33

C

a

a

F

C

D

E

6 T

9 T

F3

F2

F1

Consideremos como fuerzas

externas


9 Ton. 9 Ton.

6 Ton.6 Ton.

6 Ton.

10.40 Ton.

( T )

T

C

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20


Determinar la fuerza en los miembros EF, HG, HJ, FG; usandosolamente una ecuacin en cada caso.

3m

3m

3m 3m 3m 3m

4m

2m

40T

40T

40T40T

A

B C

D

EF

GH

J


HA

160 T = VFHF = 80 T

3m

3m

3m 3m 3m 3m

4m

2m

40T

40T

40T40T

A

80 T

B C

D

EF

GH

J

3

32

1

12

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21


+ MD = 0 :+ G1 (4) 40 (3) = 0 G1 = 30 Ton.( SEF = 30 Ton. compresin)

Corte 1 - 1: zona de la derecha (EF = ??)

G1

G3

G4

G540 T

40 T

E

D

G2


Corte 2 - 2: zona de la derecha (FG = ??)

+ MD = 0 :+ F1 (4) 80 (4) 40 (3) = 0 F1 = 110 Ton.( SFG = 110 Ton. compresin)

160 T 80 T

F1

F2

F3

F440 T

40 T

EF

D

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Universidad Nacional de Ingeniera Corte 3 - 3: zona de la izquierda (HG = ??, HJ = ??)

X

80 T A

B

H G

CQ3

Q2

Q1

P

J

4

5

3

+ MP = 0 :- Q1 (6) + 80 (3) + 40 (4.5) = 0 Q1 = 70 Ton.

( SHG = 70 Ton. compresin)

+ FY = 0 : Q2 (sen ) - 40 = 0 Q2 = 50 Ton.

( SHJ = 50 Ton. traccin)

JGCJ

HGx:Tringulosde RelacinPor

m1.5Xm4m2

m3X

40 T


HA = 80 T

160 T = VF

HF = 80 T

40T

40T

40T40T

A

B C

D

EF

GH

J

30 T110 T70 T( C )( C )( C )

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Del reticulado compuesto, determinar las fuerzas axiales de las barrasAB, CD y EF.

L/6 L/6 L/6 L/6L/3

L/2L/2

P 2P P 2P

A

B C

D60 60

30 30

RA RD

Reticulado

superpuesto

E F


Clculo de las Reacciones en los Apoyos:

P6

17R

0P6

192PP2PPR:0F

P6

19R

0(L)RL)65(2P)L

32(P)

3L(2P)

6L(P:0M

A

AY

D

DA

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24


P 2P P 2P

A

B C

D60 60

30 30

E F

Clculo de los Esfuerzos en las Barras Requeridas:

RAP

617

RDP

619


Realizamos el corte mostrado (tomamos la zona izquierda) y suponemos elsentido de las fuerzas axiales que se muestran.

P 2P

A

O

C

D

E F3

60 60

F1

F2

L

L23

RAP

617

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25


)P9

34(SP9

34F

0L)23(FL)

32(P2L)

65(P(L)P

617:0M

)P9

35(SP9

35F

0L)23(F)

3L(P2)

6L(P:0M

Traccin)P3(SP3F

0L)23(F)

6L(P2)L

62(P)

2L(P

617:0M

AB1

22D

CD2

2A

EF3

3O

Compresin

Compresin

Sentido contrario a lo supuesto

Sentido contrario a lo supuesto


P 2P P 2P

A

B C

DE F

RD = 3.17 P2.83 P = RA

1.73 P

( T )

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Determinar la magnitud y calidad de las fuerzas axiales en las barras.

A C

F

D E

B35T

40T

25m

10m

10m

20m

25m

5m5m

RAyRAx RCy



+ FX = 0 : RAX 35 = 0 RAX = 35 T

+ MA = 0 : RCY (50) 35 (40) 40 (25) = 0 RCY = 48 T

+ FY = 0 : RAY + RCY 40 = 0 RAY = - 8 T

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Clculo de Fuerzas Axiales en las Barras:

A C

F

D E

B35T

40T

8T 35T

48T

Realizamos el corte que se muestra ypodemos hallar el valor de F1 porequilibrio en la subestructura (sumatoriade momentos en el punto P, puntodonde concurren F2 y F3)

F1

F3F2

P d

d1

40T


+ MP = 0 : + F1 (d) 40 (d1) = 0 F1Siendo necesario determinarlos valores de d y d1, para locual empleamos el siguientesistema de coordenadas:

Y

X

(25,40)

2k

W (wX,wY)

(30,20)

2k

5k

L

dP (2k,2k)

Hallamos la ecuacin de la recta L:

(40 - Y) = 40 - 20 (25 - X) Y = - 4 X + 14025 - 30

45

Hallamos las coordenadas del punto P (2k,2k) :

7 k = 50 m. (2k , 2k) = (100/7 , 100/7)

Hallamos las coordenadas del punto W (Wx,Wy) :

40 - 20 Wy - 100/7 = - 1 4 Wy - Wx = 300/725 - 30 Wx - 100/7

como el punto W pertenece a la recta L, usando laecuacin de esa recta determinamos:

(Wx , Wy) = (3620/119 , 2180/119) = (30.42 , 18.32)

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28

Universidad Nacional de IngenieraCon los valores obtenidos, ya podemos determinar las distancias d y d1:

d2 = (3620/119 - 100/7)2 + (2180/119 - 100/7)2 d = 16.63 m.

d1 = 25 - 100/7 d1 = 10.71 m.

Aplicando la ecuacin de sumatoria de momentos en el punto P: + MP = 0 : + F1 (d) 40 (d1) = 0

+ F1 (16.63) 40 (10.71) = 0 F1 = 25.76 ton.

Nudo B:

2.5a

SBA

2.5k4k 4a

SBC

SBE6.25

24.99

35T

Y

X

FX = 0 : + 35 - 2.5k + 2.5a + 6.25 = 0

FY = 0 : - 24.99 - 4k - 4a = 0

resolviendo : k = 5.1262 , a = - 11.3738

SBA = 24.17 ton. , SBC = - 53.65 ton.

[ barra BE : SBE = 25.76 ton. en traccin ]

Universidad Nacional de IngenieraNudo A:

SAB

k35T

Y

X

20.50

12.81

8T

SAC

SAD

k

FX = 0 : - 35 + 12.81 + k + SAC = 0

FY = 0 : - 8 + 20.50 + k = 0

resolviendo : k = - 12.50

SAC = 34.69 ton. , SAD = - 17.68 ton.

Nudo D:

SDE

2k

Y

X

SDFSDA k

12.5012.50

FX = 0 : + 12.50 + k - SDE = 0

FY = 0 : + 12.50 - 2k = 0

resolviendo : k = 6.25

SDE = 18.75 ton. , SDF = 13.97 ton.

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29

Universidad Nacional de IngenieraNudo E:

SED = 18.75

2k

Y

X

SEF

SEB

k

24.99

6.25 FY = 0 : + 24.99 - 2k = 0

resolviendo : k = 12.50

SEF = 27.95 ton.

Nudo C:

SCB

2.5k

Y

X

28.43

45.50

48T

SCA = 34.69

SCF

k

FY = 0 : + 48 45.50 + k = 0

resolviendo : k = - 2.50

SCF = - 6.73 ton.


A C

F

D E

B35T

40T

8T 35T

48T

34.69 T

18.75 T

(T)

(C)

T C

28/04/2014

30


Determinar el valor de las cargas P y Q, si las fuerzas axiales en la barraAF = 2.25 KN (en traccin) y la barra EJ = 1.75 KN (en traccin).

3 m 3 m3 m3 m

4 m

4 m

A C D E

FG

HI

J

K

B

M N OL

P Q

RAy

RAx

RKx



+ FY = 0 : RAY P Q = 0 RAY = P + Q

+ MA = 0 : RKX (8) P (6) Q (12) = 0 RKX = 0.75 P + 1.50 Q

+ FX = 0 : RKX RAX = 0 RAX = 0.75 P + 1.50 Q

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Clculo de Fuerzas P y Q: Realizamos el corte 1-1 que se muestra, para asinvolucrar las barras cuyas fuerzas internas son datosdel problema (AF y EJ)

A C D E

FG

HI

J

K

B

M N OL

P Q

RAy

RAx

RKx

1 1


F H J

K M N OL

P Q

RKx = 0.75 P + 1.50 Q

1 1F4 F5F3

F2

F6

F12.25 KN = = 1.75 KN

3 m 3 m3 m3 m

4 m

4 m

+ FY = 0 : 2.25 + 1.75 P Q = 0 P + Q = 4 (I)

Aplicando ecuaciones de equilibrio en el subsistema:

+ MF = 0 : RKX (4) P (6) Q (12) + 1.75 (12) = 0 P + 2 Q = 7 (II)

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Resolviendo las expresiones ( I ) y ( II ) :P = 1 KN

Q = 3 KN

3 m 3 m3 m3 m

4 m

4 m

A C D E

FG

H

IJ

K

B

M N OL

1 KN 3 KN

5.25 KN

5.25 KN

4 KN

2.25

KN 1.75 K

N

(T) (T)

Universidad Nacional de IngenieraNOTA:

Observar que el problema podra ser complementado de esta manera:

Determinar el valor de las cargas P y Q, si las fuerzas axiales en la barraAF = 2.25 KN (en traccin) y la barra EJ = 1.75 KN (en traccin).

As como tambin, hallar la magnitud y calidad de las fuerzas axiales delresto de las barras del reticulado.

3 m 3 m3 m3 m

4 m

4 m

A C D E

FG

H

IJ

K

B

M N OL

P Q

ESTATICA Capitulo 2 - Fuerzas Internas en Reticulados

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