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Universidad Nacional de Ingeniera
CURSO DE ESTTICAAPUNTES DE CLASE
ING. SERGIO HERRERA RAMREZ
FUERZAS INTERNAS EN RETICULADOS
Universidad Nacional de IngenieraANLISIS DE ESTRUCTURAS:
Fuerzas Internas en Reticulados o Armaduras (Truss)
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1. Una armadura est formada por barras o elementos rectos conectados ensus extremos mediante nudos.
2. Para que toda la estructura este en equilibrio, cada una de sus partes (nudos)debe estarlo.
R4
R3Y
R3X
2P P
1 2 3
4 5
S3 S4 S5 S6
S7
S1 S22P
S1
S3
1
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3. Para su anlisis se requiere la determinacin, no slo de las fuerzasexternas, sino tambin de sus fuerzas internas. Ello desarrollando el equilibriode la estructura ( formada por varias componentes), en un diagrama decuerpo libre para cada uno de sus componentes, que deben representar lasfuerzas que las mantiene unidas.
4. Las cargas actan en los nudos y no en las barras (se desprecia el pesopropio de las barras).
5. Las cargas aplicadas en los nudos originan slo fuerzas axiales que puedenser de traccin o compresin.
C T
Cada Barra, es un elemento con fuerzas en sus extremos.
Fuerza Externa
Fuerza Interna
Barra en Compresin
Fuerza Externa
Fuerza Interna
Barra en Traccin
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6. Para que una estructura coplanar sea estticamente determinada debecumplir que:
b = 2n - 3
b: nmero de barras
n: nmero de nudos
7. El anlisis de una armadura (determinacin de fuerzas internas en susbarras) se puede realizar empleando:
Mtodo de los nudos
Mtodo de las secciones
Mtodos grficos
Mtodo de las rigideces
a ser estudiado en este curso.
Empleado antiguamente paraarmaduras completas.
Usados para programarFe = k u Fi = k u~ ~ ~ ~ ~ ~ ? ?
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ANLISIS DE ARMADURAS MTODOS DE LOS NUDOS:
i. Diagrama del cuerpo libre del sistema ( FX = 0, FY = 0, MA = 0).
ii. Buscar barras con esfuerzo cero *
iii. Buscar nudos en el cual exista 2 fuerzas desconocidas como mximo y hacerel diagrama de cuerpo libre.
iv. Continuar el procedimiento (iii) hasta determinar todas las fuerzas en lasbarras. El anlisis se reduce, al clculo de las fuerzas internas en las barrasy la condicin de traccin compresin de estas.
A: Punto en que podamoseliminar el mayor nmero dereacciones incgnitas.
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S1
S2
S1 = S2S3 = 0
Si en cualquier reticulado existe unnudo (sin carga) al cual concurrenslo 3 barras y 2 de estas pertenecena una misma recta, entonces elesfuerzo de la otra barra es cero.
S3
Si dos barras concurren en un nudo,y ese nudo se encuentra sin carga,entonces ninguna de las barrastrabaja: S1 = S2 = 0
S1
S2S1 = S2 = 0
* :
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Universidad Nacional de IngenieraEJEMPLO (1):
Determinar las fuerzas internas de cada una de las barra delreticulado mostrado.
Nota:
Para que una armadura sea considerada simtrica debe serlotanto en geometra como en cargas.
3 m 3 m 3 m
HA VA VEHE
A
B
C
D
E
25 Ton.50 Ton.
FG30
30 30
306060
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HA
VA
X
Y
SAB
30
De un problema anterior sabemos: VA = 43.75 Ton. ( ME = 0)
VE = 31.25 Ton. ( MA = 0)
HA = 32.48 Ton. ( McIZQUIERDA = 0)
HE = 32.48 Ton. ( FH = 0)
Fy = 0 : - SAB sen 30 + VA = 0
SAB = 87.50 Ton.
FX = 0 : HA SAG SAB cos 30 = 0
SAG = -43.30 Ton.
SAG
Nudo A :
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XY
SAB
60
SBG
Nudo B :
FX = 0 : SAB - SBC 50 cos 60 = 0
SBC = 62.50 Ton.
FY = 0 : SBG 50 sen 60 = 0
SBG = 43.30 Ton.
FY = 0 : - SBG sen 60 + SGC sen 60 = 0
SGC = 43.30 Ton.
Nudo G :
SBC
50 Ton.
6060
SAB
SBG SGC
X
Y
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Nudo E :
Nudo D :
FY = 0 : - SED sen 30 + VE = 0
SED = 62.50 Ton.
FX = 0 : - HE SEF + SED cos 30 = 0
SEF = 21.65 Ton.
FX = 0 : SDF 25 sen 60 = 0
SDF = 21.65 Ton.
FY = 0 : SED 25 sen 60 - SDC = 0
SDC = 50.00 Ton.
30
SEF
SED
X
Y
VE
HE
XY
SDF
60
SED
SDC
25 Ton.
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Nudo F :
FY = 0 : - SDC cos 60 + SFC cos 60 = 0
SFC = SDC = 21.65 Ton.6060
SFC SDC
X
Y
SEF
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32.48 Ton.43.75 Ton. 31.25 Ton.
32.48 Ton.
A
B
C
D
E
25 Ton.50 Ton.
FG
C T
F.E. F.E. F.E. F.E.
43.30(T)
21.65(T)
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Universidad Nacional de IngenieraEJEMPLO (2):
Hallar las fuerzas internas de cada una de las barra del reticulado mostrado.
2 m 2 m 2 m
0
9 Ton. 9 ton.
A
B
C
D
E
6 Ton.6 Ton.
FG30
30 30
306060
Observamos que existe simetra geomtrica y de cargas (respecto a un eje vertical quepasa por el nudo C), lo cual es til para disminuir la cantidad de clculos a realizar.
30 30
6 Ton.
3 m
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9 Ton.
X
Y
SAB
30
SAG
Nudo A :
XY
SBA
60
SBG
Nudo B :
SBC
6 Ton.
Fy = 0 : - SAB sen 30 + 9 = 0
SAB = 18 Ton.
FX = 0 : - SAB cos 30 + SAG = 0
SAG = 15.60 Ton.
Fy = 0 : - 6 sen 60 - SBG = 0
SBG = 5.20 Ton.
FX = 0 : SBA SBC 6 cos 60 = 0
SBC = 15 Ton.
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Nudo G :
6060
SGA
SGB SGC
X
Y
SGF
Fy = 0 : SGC cos 30 - SGB cos 30 = 0
SGC = 5.20 Ton.
FX = 0 : SGF SGA + SGB sen 30 + SGC sen 30
SGF = 10.40 Ton.
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9 Ton. 9 Ton.
A
B
C
D
E
6 Ton.
6 Ton.
FG15.60 T(T)
15.60 T(T)
10.40 T(T)
TC
6 Ton.
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Notar que el reticulado es simtrico respecto al eje horizontal pasa por los nudosA, E, F y C. Por lo tanto, la direccin de las reacciones (RA y RC) tambinestarn en ese mismo eje horizontal.
EJEMPLO (3):
Hallar las fuerzas internas de cada una de las barra del reticulado mostrado.
3 m 1 m
RcA
B
C
D
E FRA
3 m1 m
4 m
4 m
4 Ton.
Universidad Nacional de Ingeniera Clculo de las Reacciones: FX = 0 : RA + 4 RC = 0
(aparentemente hiperesttico)
SEB = SED = 0
Ninguna de las barras trabaja (2 barras que concurrenen un nudo y ese nudo no esta sometido a cargas).
Nudo E :
SEB
X
Y
SED
Clculo de Fuerzas en las Barras:
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Nudo F :
X
Fy = 0 : SFD sen - SFB sen = 0
SFD = SFB
FX = 0 : SFB cos + SFD cos - 4 = 0
SFB = SFD = 3.33 Ton.
SFB
Y
SFD
4 Ton.
4
5
3
Nudo B :
4545
SBASBE = 0
SBC
Y
SBF
X
FX = 0 : - SBA cos 45 - SBF cos + SBC cos 45 = 0
FY = 0 : - SBA sen 45 - SBC sen 45 + SBF sen = 0
(a).....22BASBCS
(b).....2SS BCBA 38
Resolviendo (a) y (b):
SBC = 3.30 Ton., SBA = 0.47 Ton.
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Nudo A :
45
SAB
X
Y
SAD
45
Nudo C :
RA
FY = 0 : - SAB sen 45 - SAD sen 45 = 0
SAB = SAD
FX = 0 : - RA + SAB cos 45 + SAD cos 45 = 0
RA = 0.66 Ton.
FY = 0 : SCB sen 45 - SCD sen 45 = 0
SCD = SCB
FX = 0 : RC + SCB cos 45 + SCD cos 45 = 0
RC = 4.66 Ton.
X45
SCB Y
SCD
45 RC
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4.66 Ton.0.66 Ton. 4 Ton.
T
C
0
0
Universidad Nacional de IngenieraEJEMPLO (4):
Para la armadura, determinar la magnitud y calidad de las fuerzasaxiales en las barras.
P
R1 = P
P
a
a
aR = 0
R6 = P
a a
1
2
3
4
5
6
7
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Universidad Nacional de Ingeniera Clculo de Reacciones:
+ M1 = 0 : P (2a) R6 (2a) = 0 R6 = P
+ FV = 0 : R6 R1 = 0 R1 = R6 = P
FY = 0 : P + S65 = 0 S65 = P
FX = 0 : S67 cos 45 = 0 S67 = 0
Clculo de Fuerzas Axiales:
X45
Y
R6 = P
S65S67
Nudo 6:
Nudo 4: Barra 24 no trabaja: S24 = 0
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PS0S45cosS:0F
P2S0P45senS:0F
171712X
1212Y
Nudo 7: Barra 27 no trabaja: S27 = 0
45
S12
X
Y
P = R1
S17
Nudo 1:
Nudo 2: Barra 25 no trabaja: S25 = 0
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Universidad Nacional de IngenieraNudo 3:
X
45
P
Y
S32
Nudo 7:
S34
X
Y
P = S71 S75
P34S045sen32S34S:0YF
P232S045cos32SP:0XF
P71S75S075S71S:0XF
Universidad Nacional de IngenieraNudo 4:
X
Y
Nudo 5:
S45
X
Y
S57
S56
S43 = P
S54
P
PSS0SS:0F 43454345Y
PSS0SS:0F
PS0PS:0F
54565456Y
5757X
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P
R1 = P
P
R6 = P
1
2
3
4
5
6
7
(C)(C)
(C)
(C)
(T)
(T)
P
P2 P
2 P
0
00
0
P (C)P P
Universidad Nacional de IngenieraEJEMPLO (5):
Determinar la magnitud y calidad de las fuerzas axiales en las barras.
3m 3m1m
3m
1m
1m
P 2P
7
1 2 3 4
5
68
R1
R8
R7
45
45
3
1
3
10
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Clculo de Fuerzas Axiales en las Barras:
Nudo 2: Barra 26 no trabaja: S26 = 0
Nudo 1, 7, 8: Por ser barras aisladas: S12 = R1 = 3.75 P
S86 = R8 = 3.75 P
S76 = R7 = 3 P
Clculo de Reacciones en los Apoyos:
+ FY = 0 : R7 P 2P = 0 R7 = 3P
+ M1 = 0 : R8 (4) + 3P (1) P (4) 2P (7) = 0 R8 = 3.75 P
+ FX = 0 : R1 R8 = 0 R1 = 3.75 P
Universidad Nacional de Ingeniera
FY = 0 : S45 sen - 2 P = 0 S45 = 6.32 P
FX = 0 : S43 - S45 cos = 0 S43 = 6 P
Nudo 4:
X
Y
2P
S45
S43
FX = 0 : S54 cos - S56 cos 45 = 0 S56 = 8.48 P
FY = 0 : S56 sen 45 - S53 - S54 sen = 0
S53 = 4 P
Nudo 5:
X45
S56
Y
S53
S54 = 6.32 P
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FY = 0 : S35 P - S36 sen = 0 S36 = 3.75 P
FX = 0 : S32 - S34 + S36 cos = 0 S32 = 3.75 P
Nudo 3:
X
S36
Y
S35 = 4 P
S32 S34 = 6 P
P
FY = 0 : S26 = 0
FX = 0 : S21 - S23 = 0 S23 = 3.75 P
Nudo 2:
X
YS26 = 0
3.75 P = S21 S23
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P 2P
7
12 3 4
5
68
R1 = 3.75 P
R8 = 3.75 P
R7 = 3 P
3.75 P
3.75 P(C)
3.75 P(C)
6 P(C)
(T)3 P
(T)
(T)4 P
0
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Universidad Nacional de IngenieraANLISIS DE ARMADURAS MTODO DE LAS SECCIONES:
Mtodo conveniente cuando se desea determinar la fuerza de una o de pocas
barras de un reticulado.
i. Diagrama del cuerpo libre del sistema: FX = 0, FY = 0, MA = 0
ii. Aislar una parte del reticulado mediante un corte, para que las fuerzas deinters (las que nos piden) se conviertan en fuerzas externas en el cuerpolibre aislado.
iii. Al hacer el corte correspondiente (dividiendo la armadura en dos partes),intervienen las fuerzas de las barras que son cortadas.
iv. En general, una seccin debe cortar a 3 barras, ya que puede determinarse 3incgnitas, usando las 3 ecuaciones de equilibrio (considerar el equilibriototal del sub-sistema). Sin embargo, hay casos especiales en que se puedencortar con xito ms de 3 barras.
Universidad Nacional de IngenieraEJEMPLO (6):
Determinar las fuerzas en las barras CD, CF y GF de la estructura mostrada.
2 m 2 m 2 m
9 Ton. 9 Ton.
A
B
C
D
E
6 Ton.6 Ton.
FG30
30 30
306060
30 30
6 Ton.
1 1/2
3/2 3/2
3
a
a
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Universidad Nacional de Ingeniera Corte a Realizar: aa (consideramos la zona de la derecha) y se supone
el sentido de las fuerzas que se indican en la figura.
Indica que la direccin es contraria a lo
supuesto.
Ton.15F0)(29)21(6(1)F-
:0M
Ton.5.20F0 )23(6)3(F
:0M
Ton.10.40F0)(39)23(6)3(F
:0M
11
F
22
E
33
C
a
a
F
C
D
E
6 T
9 T
F3
F2
F1
Consideremos como fuerzas
externas
Universidad Nacional de Ingeniera
9 Ton. 9 Ton.
6 Ton.6 Ton.
6 Ton.
10.40 Ton.
( T )
T
C
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Universidad Nacional de IngenieraEJEMPLO (7):
Determinar la fuerza en los miembros EF, HG, HJ, FG; usandosolamente una ecuacin en cada caso.
3m
3m
3m 3m 3m 3m
4m
2m
40T
40T
40T40T
A
B C
D
EF
GH
J
Universidad Nacional de Ingeniera
HA
160 T = VFHF = 80 T
3m
3m
3m 3m 3m 3m
4m
2m
40T
40T
40T40T
A
80 T
B C
D
EF
GH
J
3
32
1
12
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Universidad Nacional de Ingeniera
+ MD = 0 :+ G1 (4) 40 (3) = 0 G1 = 30 Ton.( SEF = 30 Ton. compresin)
Corte 1 - 1: zona de la derecha (EF = ??)
G1
G3
G4
G540 T
40 T
E
D
G2
Universidad Nacional de Ingeniera
Corte 2 - 2: zona de la derecha (FG = ??)
+ MD = 0 :+ F1 (4) 80 (4) 40 (3) = 0 F1 = 110 Ton.( SFG = 110 Ton. compresin)
160 T 80 T
F1
F2
F3
F440 T
40 T
EF
D
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Universidad Nacional de Ingeniera Corte 3 - 3: zona de la izquierda (HG = ??, HJ = ??)
X
80 T A
B
H G
CQ3
Q2
Q1
P
J
4
5
3
+ MP = 0 :- Q1 (6) + 80 (3) + 40 (4.5) = 0 Q1 = 70 Ton.
( SHG = 70 Ton. compresin)
+ FY = 0 : Q2 (sen ) - 40 = 0 Q2 = 50 Ton.
( SHJ = 50 Ton. traccin)
JGCJ
HGx:Tringulosde RelacinPor
m1.5Xm4m2
m3X
40 T
Universidad Nacional de Ingeniera
HA = 80 T
160 T = VF
HF = 80 T
40T
40T
40T40T
A
B C
D
EF
GH
J
30 T110 T70 T( C )( C )( C )
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Universidad Nacional de IngenieraEJEMPLO (8):
Del reticulado compuesto, determinar las fuerzas axiales de las barrasAB, CD y EF.
L/6 L/6 L/6 L/6L/3
L/2L/2
P 2P P 2P
A
B C
D60 60
30 30
RA RD
Reticulado
superpuesto
E F
Universidad Nacional de Ingeniera
Clculo de las Reacciones en los Apoyos:
P6
17R
0P6
192PP2PPR:0F
P6
19R
0(L)RL)65(2P)L
32(P)
3L(2P)
6L(P:0M
A
AY
D
DA
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Universidad Nacional de Ingeniera
P 2P P 2P
A
B C
D60 60
30 30
E F
Clculo de los Esfuerzos en las Barras Requeridas:
RAP
617
RDP
619
Universidad Nacional de Ingeniera
Realizamos el corte mostrado (tomamos la zona izquierda) y suponemos elsentido de las fuerzas axiales que se muestran.
P 2P
A
O
C
D
E F3
60 60
F1
F2
L
L23
RAP
617
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25
Universidad Nacional de Ingeniera
)P9
34(SP9
34F
0L)23(FL)
32(P2L)
65(P(L)P
617:0M
)P9
35(SP9
35F
0L)23(F)
3L(P2)
6L(P:0M
Traccin)P3(SP3F
0L)23(F)
6L(P2)L
62(P)
2L(P
617:0M
AB1
22D
CD2
2A
EF3
3O
Compresin
Compresin
Sentido contrario a lo supuesto
Sentido contrario a lo supuesto
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P 2P P 2P
A
B C
DE F
RD = 3.17 P2.83 P = RA
1.73 P
( T )
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Universidad Nacional de IngenieraEJEMPLO (9):
Determinar la magnitud y calidad de las fuerzas axiales en las barras.
A C
F
D E
B35T
40T
25m
10m
10m
20m
25m
5m5m
RAyRAx RCy
Universidad Nacional de Ingeniera
Clculo de Reacciones en los Apoyos:
+ FX = 0 : RAX 35 = 0 RAX = 35 T
+ MA = 0 : RCY (50) 35 (40) 40 (25) = 0 RCY = 48 T
+ FY = 0 : RAY + RCY 40 = 0 RAY = - 8 T
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Clculo de Fuerzas Axiales en las Barras:
A C
F
D E
B35T
40T
8T 35T
48T
Realizamos el corte que se muestra ypodemos hallar el valor de F1 porequilibrio en la subestructura (sumatoriade momentos en el punto P, puntodonde concurren F2 y F3)
F1
F3F2
P d
d1
40T
Universidad Nacional de Ingeniera
+ MP = 0 : + F1 (d) 40 (d1) = 0 F1Siendo necesario determinarlos valores de d y d1, para locual empleamos el siguientesistema de coordenadas:
Y
X
(25,40)
2k
W (wX,wY)
(30,20)
2k
5k
L
dP (2k,2k)
Hallamos la ecuacin de la recta L:
(40 - Y) = 40 - 20 (25 - X) Y = - 4 X + 14025 - 30
45
Hallamos las coordenadas del punto P (2k,2k) :
7 k = 50 m. (2k , 2k) = (100/7 , 100/7)
Hallamos las coordenadas del punto W (Wx,Wy) :
40 - 20 Wy - 100/7 = - 1 4 Wy - Wx = 300/725 - 30 Wx - 100/7
como el punto W pertenece a la recta L, usando laecuacin de esa recta determinamos:
(Wx , Wy) = (3620/119 , 2180/119) = (30.42 , 18.32)
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28
Universidad Nacional de IngenieraCon los valores obtenidos, ya podemos determinar las distancias d y d1:
d2 = (3620/119 - 100/7)2 + (2180/119 - 100/7)2 d = 16.63 m.
d1 = 25 - 100/7 d1 = 10.71 m.
Aplicando la ecuacin de sumatoria de momentos en el punto P: + MP = 0 : + F1 (d) 40 (d1) = 0
+ F1 (16.63) 40 (10.71) = 0 F1 = 25.76 ton.
Nudo B:
2.5a
SBA
2.5k4k 4a
SBC
SBE6.25
24.99
35T
Y
X
FX = 0 : + 35 - 2.5k + 2.5a + 6.25 = 0
FY = 0 : - 24.99 - 4k - 4a = 0
resolviendo : k = 5.1262 , a = - 11.3738
SBA = 24.17 ton. , SBC = - 53.65 ton.
[ barra BE : SBE = 25.76 ton. en traccin ]
Universidad Nacional de IngenieraNudo A:
SAB
k35T
Y
X
20.50
12.81
8T
SAC
SAD
k
FX = 0 : - 35 + 12.81 + k + SAC = 0
FY = 0 : - 8 + 20.50 + k = 0
resolviendo : k = - 12.50
SAC = 34.69 ton. , SAD = - 17.68 ton.
Nudo D:
SDE
2k
Y
X
SDFSDA k
12.5012.50
FX = 0 : + 12.50 + k - SDE = 0
FY = 0 : + 12.50 - 2k = 0
resolviendo : k = 6.25
SDE = 18.75 ton. , SDF = 13.97 ton.
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Universidad Nacional de IngenieraNudo E:
SED = 18.75
2k
Y
X
SEF
SEB
k
24.99
6.25 FY = 0 : + 24.99 - 2k = 0
resolviendo : k = 12.50
SEF = 27.95 ton.
Nudo C:
SCB
2.5k
Y
X
28.43
45.50
48T
SCA = 34.69
SCF
k
FY = 0 : + 48 45.50 + k = 0
resolviendo : k = - 2.50
SCF = - 6.73 ton.
Universidad Nacional de Ingeniera
A C
F
D E
B35T
40T
8T 35T
48T
34.69 T
18.75 T
(T)
(C)
T C
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Universidad Nacional de IngenieraEJEMPLO (10):
Determinar el valor de las cargas P y Q, si las fuerzas axiales en la barraAF = 2.25 KN (en traccin) y la barra EJ = 1.75 KN (en traccin).
3 m 3 m3 m3 m
4 m
4 m
A C D E
FG
HI
J
K
B
M N OL
P Q
RAy
RAx
RKx
Universidad Nacional de Ingeniera
Clculo de Reacciones en los Apoyos:
+ FY = 0 : RAY P Q = 0 RAY = P + Q
+ MA = 0 : RKX (8) P (6) Q (12) = 0 RKX = 0.75 P + 1.50 Q
+ FX = 0 : RKX RAX = 0 RAX = 0.75 P + 1.50 Q
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Universidad Nacional de Ingeniera
Clculo de Fuerzas P y Q: Realizamos el corte 1-1 que se muestra, para asinvolucrar las barras cuyas fuerzas internas son datosdel problema (AF y EJ)
A C D E
FG
HI
J
K
B
M N OL
P Q
RAy
RAx
RKx
1 1
Universidad Nacional de Ingeniera
F H J
K M N OL
P Q
RKx = 0.75 P + 1.50 Q
1 1F4 F5F3
F2
F6
F12.25 KN = = 1.75 KN
3 m 3 m3 m3 m
4 m
4 m
+ FY = 0 : 2.25 + 1.75 P Q = 0 P + Q = 4 (I)
Aplicando ecuaciones de equilibrio en el subsistema:
+ MF = 0 : RKX (4) P (6) Q (12) + 1.75 (12) = 0 P + 2 Q = 7 (II)
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Universidad Nacional de Ingeniera
Resolviendo las expresiones ( I ) y ( II ) :P = 1 KN
Q = 3 KN
3 m 3 m3 m3 m
4 m
4 m
A C D E
FG
H
IJ
K
B
M N OL
1 KN 3 KN
5.25 KN
5.25 KN
4 KN
2.25
KN 1.75 K
N
(T) (T)
Universidad Nacional de IngenieraNOTA:
Observar que el problema podra ser complementado de esta manera:
Determinar el valor de las cargas P y Q, si las fuerzas axiales en la barraAF = 2.25 KN (en traccin) y la barra EJ = 1.75 KN (en traccin).
As como tambin, hallar la magnitud y calidad de las fuerzas axiales delresto de las barras del reticulado.
3 m 3 m3 m3 m
4 m
4 m
A C D E
FG
H
IJ
K
B
M N OL
P Q