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Estimación de error en elementos finitos

mediante técnicas de ‘recovery’

Dpto. Ingeniería Mecánica y de MaterialesUniversitat Politècnica de València

Congreso Nacional de ingeniería Mecánica, Castellón 2012

Javier Fuenmayor

2

Motivación

Elementos finitos

• Herramienta numérica de gran aplicación en Ingeniería• Software disponible muy elaborado

– Preproceso (CAD, generación automática de mallas, ..)– Procesado, incluyendo posibles complejidades del problema (geometría,

materiales, tipos de análisis, ..)– Postproceso con facilidades para interpretación de resultados

• Método numérico → Solución aproximada– Error de discretización inherente al método

• Objetivos– Estimación de error de discretización– Automatización de análisis– Mejora de confiabilidad en resultados

¿Error en y?

y

3

Contenido

1. Introducción

2. Estimación de error de discretización

3. Problemas de contacto

4. Problemas singulares

5. Estimación de error en magnitudes de interés

4

1. Introducción

• Formulación MEF1.1 Problema elástico

N

hhhh ddd TTT tvbvvεuσ

0,:iónInterpolac:ciónDiscretiza

Cheh uuxNxu

• Solución no exacta

– Equilibrio

– Discontinuidad de tensiones entre elementos

Nh

h

enen0

tnσbσ

uy

y

hhhh VU vu todopara que, talEncontrar

• Formulación débil: P.T.V.

F. supF. vol

5

1. Introducción

1.2 Error de discretización, convergencia, h-adaptatividad

xuxuxe h cióndiscretiza deError

• Error de discretización y convergencia (refinamiento h)

• Ley de convergencia → h - adaptatividad

E

EE

u

e:relativoError

derror del energética Norma 12 hhE

σσDσσe

acthadapth

ddenergética Norma 1TT2 σDσεσuE

,min pchC cE

e

SingularidadGrado polinómico

6

Dimensión problema

1. Introducción

• h-adaptatividad

R

[1] J.F. Fuenmayor and J.L. Oliver, “Criteria to achieve nearly optimal meshes in the h-adaptive finite element method”IJNME 1996, 39(23): 4039-4061.

1

10

100

1000 10000NGDL

es(

)

dNp

NENC

e

Adaptación inicial h-uniforme

h-adaptativo

dN

NENC

e

NGDL

7


2.1 Estimadores “a posteriori”

• Técnicas de recovery– Basados en obtener una solución mejorada a partir de la solución de

elementos finitos (en general tensiones)

d12 hhE

σσDσσe

d*1*2 hhEes σσDσσe

[1] E. Hinton and J. Campbell, "Local and Global Smoothing of Discontinuous Finite Element Functionsusing a Least Squares Method“, IJNME 1974; 8:461-480.

[2] O. Zienkiewicz and J. Zhu, “The Superconvergent Patch Recovery and a-posteriory Error Estimates. Part 1; The Recovery Technique”, IJNME 1992, 8:1331-1364.

• Técnicas de construcción de * – Utilización de técnicas de mínimos cuadrados [1]– …– SPR (Superconvergent Patch Recovery) [2]

• Técnica muy utilizada en la actualidad• Buena precisión del estimador• Coste computacional razonable

*

h

8


2.2 Estimador de Zienkiewick - Zhu. Técnica SPR

• Técnica SPR de construcción de * – Ejemplo 1D – Cilindro a presión interna

• Elementos lineales • Tensiones constantes en elemento

5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Cilindro sometido a presión interna

Radio

Tens

ion

circ

unfe

renc

ial

P.G.

Solución ExactaSolución EF

5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Cilindro sometido a presión interna

Radio

Tens

ion

circ

unfe

renc

ial

P.G.


h h

h

Precisión de tensiones en puntos de integración de Gauss

9



• Técnica SPR de construcción de *– Patch: elementos conectados a un nodo– Ajuste de polinomio a partir de tensiones en PG en Patch– Obtención del valor nodal– Interpolación a partir de valores nodales

5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1Cilindro sometido a presión interna

Radio

| Ten

sion

radi

al |

P.G.


Patch

5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1Cilindro sometido a presión interna

Radio

| Ten

sion

radi

al |

P.G.

Solución ExactaSolución alisada SPR

*σ

10

5 10 15 20

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1Cilindro (malla uniforme)

Número de nodosE

fect

ivid

ad



• Técnica SPR de construcción de *– Resultados estimación de error

E

Ees

e

e

101

10-6

Cilindro (malla uniforme)

Número de nodos

Erro

r abs

olut

o

1

1

Error exactoError estimado

11



• Técnica SPR de construcción de * para problemas 2D y 3D– Patch asociado al nodo k– Polinomio de ajuste:

...3210 xyayaxaaσ kkkkkk PPPPPP apx

k

kk

kk

G

i

Pii

hG

ii

Pi

hP σσσE1

2

1

2 axpxxxa

kkk PPP bam ihG

ii

Pi

G

ii

P σk

kk

k xxpbxpxpm

1

T

1

T ;

** σxNxσ

*σ

– Ajuste de polinomio a partir de tensiones en PG en Patch(mínimos cuadrados)

– Obtención del valor nodal

– Interpolación a partir de valores nodales

12


2.3 Mejora de la técnica SPR

• Problemas de estimación en contorno [1]– Campo mejorado en contorno poco preciso

(Patch con número reducido de elementos)

– Ejemplo: modelo 2D de cilindro sometido a presión interna(1/4)

[1] J. Ródenas, M. Tur, F. Fuenmayor and A. Vercher, “Improvement of the superconvergent patch recoverytechnique by the use of constraint equations: The SPR-C technique”, IJNME 2007, 70: 705-727.

1si11

1si1

e

e

ee

e

e

e D

DD

Desviación efectividad

+0.012

0

-0.012

*y y

13


2.3 Mejora de la técnica SPR [1]

• Incorporación de condiciones de contorno

– Sistema de coordenadas en patch de contorno

[1] J. Ródenas, M. Tur, F. Fuenmayor and A. Vercher, “Improvement of the superconvergent patch recovery technique by the use of constraint equations: The SPR-C technique”, IJNME 2007, 70: 705-727.

– Ecuaciones de restricción en ajuste: 0AR kk PPC

• Incorporación de equilibrio interno

– Ecuaciones de equilibrio en patch 0AR kk PPI

• Imposición mediante Lagrange en minimización

ARμARλAA kkkk PI

TPC

TPPC EE

14


2.3 Mejoras de la técnica SPR

• Ejemplo: Placa infinita con agujero circular

4sin234sin2sin

21

4cos234cos2cos

21

4cos234cos2cos

231

4

4

2

2

4

4

2

2

4

4

2

2

ra

ra

ra

ra

ra

ra

xy

y

x

– No mejora la efectividad global

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

10 100 1000 10000g.d.l.

Efectividad global

SPR

SPR-C

E

Ees

e

e

15


2.3 Mejora de la técnica SPR

• Ejemplo: Placa infinita con agujero circular– Mejora la efectividad local

111

11

e

e

ee

e

e

D

D

Desviación efectividadeD

16

3. Estimación de error en problemas de contacto

3.1 Modelo de contacto

• Modelos de contacto– Interacción nodo-segmento (1980/1990)

• Nodos esclavos no penetran en superficie maestra• Transmisión de fuerzas puntuales en contacto

• Precisión baja (oscilaciones de tensiones de contacto)• Pérdida de velocidad de convergencia de la solución

17


3.1 Modelo de contacto

• Interacción segmento-segmento (contacto normal)– Aproximación de presión en contacto

– Formulación débil:• Trabajo virtual de tensiones de contacto

)1(

cCCNc

hN pMp

[1] B. Yang, T.A. Laursen and X.N. Meng, “Two dimensional mortar contact methods for large deformation frictional sliding”,IJNME 2005, 62: 1183-1225.

[2] M. Tur, F.J. Fuenmayor, and P. Wriggers, “A mortar-based frictional contact formulation for large deformations using Lagrangemultipliers”, CMAME 2005, 198: 2860:2873.

[3] M. Tur, E. Giner, F.J. Fuenmayor, and P. Wriggers, “2D contact smooth formulation based on the mortar method”,CMAME 2012, 247-248: 1:14

+ ….

1c

dgp hN

hN

hN

hn

hN pdgp

c

01

– Lagrange, Lagrange aumentado, consideración de fricción, ..

• Condición de impenetrabilidad

Funciones de forma

18


3.2 Estimación de error

• Ajuste en patch de superficie de contacto

B

A

– Patch en nodo de contacto incluye elementos de ambos sólidos

– Ajuste polinómico para cada cuerpo

– Definición de ejes locales en el nodo de ensamblado del patch

– Ajuste considerando:• Continuidad de tensiones normales y

tangenciales• Tensiones tangenciales nulas en

contacto sin rozamiento

19



• Contacto cilíndrico con rozamiento

Von Mises

20

Efectividad



• Contacto cilíndrico con rozamiento

– Mejora de tensiones del algoritmo SPR-C frente al SPRError en y Error en xy

21



• Engranajes

y

x

Par transmitido por cada diente:

22

4. Estimación de error en problemas singulares

4.1 Método XFEM

• Problemas con singularidades (grietas, etc.)• Modelado MEF estándar:

– La discretización debe representar las caras de grieta– Precisión requiere refinamiento importante– Simulación costosa de crecimiento de grietas

23


4.1 Método XFEM

• Modelado de grieta mediante enriquecimiento– Funciones Heaviside → caras de grieta– Funciones que generan el primer término singular

[1] T. Belytschko and T. Black, ”Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing”, IJNME 1999, 45: 601-620.[2] N. Moës, J. Dolbow and T. Belytschko, “A finite element method for crack growth without remeshing”,

IJNME 1999, 46: 131-150.

Kk

klk

Jjjj

Iiii

h cFNHNN4

1

xxbxxaxxu

sin

2cos,sin

2sin,

2cos,

2sin4

1 rrrrF x

elementogrieta

H(x)

elementogrieta

F1(x)

extremode grieta

24


4.1 Método XFEM

• Elementos blending– Parcialmente enriquecidos, no existe partición de la

unidad, disminuyen precisión, …

[1] T.P. Fries. “A corrected XFEM approximation without problems in blending elements”. IJNME 2007; 75: 503-532[2] J. E. Tarancón, A. Vercher, E. Giner and F. J. Fuenmayor. “Enhanced blending elements for XFEM applied to

linear elastic fracture mechanics”. IJNME 2009; 77:126-148

Error en norma energética (%) Error en KI

102

103

104

105

106

10-3

10-2

10-1

100

101

Nº g.d.l.

erro

r (%

)

geo XFEM (s=0.98)geo XFEM+EBE (s=0.91)

102

103

104

105

106

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

Nº g.d.l.

erro

r (%

)

geo XFEM (s=2.00)geo XFEM+ETC (s=1.85)

• Mejora de elementos blending [1,2]– Ejemplo: Placa infinita con grieta en modo mixto (elementos cuadráticos)

EBMEBM

25

[4]



• Técnica SPR no adecuada para problemas singulares– Incorporación de términos singulares en SPR [1,2]

– Descomposición solución suave + singular [3]

[1] S. Bordas, M. Duflot and P.A. Le. “A simple error estimator for extended finite elements”. CNME 2008; 24:961-971. [2] M. Duflot and S. Bordas. “A posteriori error estimation for extended finite element by an extended global recovery”. IJNME 2008;

76:1123-1138.[3] J.J. Ródenas, O.A. González-Estrada, J.E. Tarancón and F.J. Fuenmayor. “A recovery-type error estimator for the extended finite

element method based on singular+smooth stress field splitting”. IJNME 2008;76:545-571.[4] B. Moran B and C.F. Shih. “Crack tip and associated domain integrals from momentum and energy balance”.

EFM 1987; 7:615-642

singsmo σσσ

*singsmo σσσ hhhσ *

singσ

*smoσ*

sing** σσσ smo

SPR - C

**, III KK

26



• Resultados – Ejemplo: Placa infinita con grieta en modo mixto

Efectividad localEfectividad

27



• Simulación ensayo fretting-fatiga (contacto cilíndrico)

P

Tks

kp

h

LL

d

R

ag

ax

y

Refinamiento h-adaptativo

[1] E. Giner, C. Navarro, M. Sabsabi, M. Tur, J. Domínguez, F.J. Fuenmayor, “Fretting fatigue life prediction using the extended finite element method ”, IJMS 2009, 53: 217-225.

28


4.2 Estimación de error• Simulación ensayo fretting-fatiga (contacto completo)

– Singularidad de esquina en contacto y de extremo grieta [1]– Simulación de cierre de grieta [2]

bulk

P P

[1] E. Giner, M. Tur, and F.J. Fuenmayor, “A domain integral for the calculation of generalized stress intensity factors in sliding complete contacts ”, IJSS 2009, 46: 938-951.[2] M. Sabsabi, E. Giner and F.J. Fuenmayor , “Experimental fatigue testing of a fretting complete contact and numerical life correlation using X-FEM ”, IJF 2011, 33: 811–822

29


5.1 Planteamiento mediante problema dual

• Buscamos:– Estimar el error en magnitudes de interés– Obtener discretizaciones adecuadas a la magnitud

uQ

Q

dQ T

Q

αuu 1

• Magnitudes de interés:

– Desplazamiento medio en Q

– Tensión media en Q

– F.I.T.

Q

dQ T

Q

ασu 1

Q jk

auxjk

auxkjk x

quuC

KQ d1 u

Vector extracción componentes

30


5.1 Planteamiento mediante problema dual

• Problema primal:

• Magnitud de interés de la solución (lineal): uQ

• Problema dual:

dd 1u

Twu

TwQ σDσεσu

N

vTu ddd TT tvbvεσ

)(d vεσ QvTw

d1 huu

hwwQE σσDσσ

• Estimador de error basado en recovery de primal y dual

d*1* huu

hwwesQE σσDσσ

• Error en magnitud de interés:

31



• Cilindro sometido a presión interna• Magnitud: tensión media x en dominio de interés

0.90

1.00

1.10

1.20

1.30

1.40

1.E+3 1.E+4 1.E+5 1.E+6g.d.l.

Efectividad

Q

esQ

EE

32



• Problema singular• Magnitudes : FIT generalizados (KIG ,KIIG )

)()()(

ueu

QQQ esh

QoI

0.80

0.90

1.00

1.10

1.20

1.E+3 1.E+4 1.E+5g.d.l.

EfectividadQ

esQ

EE

KIIG

KIG

d1

*j

kauxjk

auxkjkG x

quuC

KQ u

KI G KII G

gdl QoI QoI

1167 0,9939600 0,8086917 1,0000957 1,05122580

3097 0,9995515 0,9082397 1,0000358 1,08094500

10959 0,9999716 0,9627274 1,0000042 1,03711201

41007 0,9999984 0,9903965 1,0000004 1,01401490

Estimación de error en elementos finitos

mediante técnicas de ‘recovery’

Dpto. Ingeniería Mecánica y de MaterialesUniversitat Politècnica de València

Congreso Nacional de ingeniería Mecánica, Castellón 2012

Javier Fuenmayor

Juan José RódenasJosé Enrique TarancónJosé AlbeldaLuis M. Baeza

Eugenio GinerManuel TurFrancisco D. DeniaAna Vercher

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