Estimación de los Efectos de Sitio usando Ruido...
Transcript of Estimación de los Efectos de Sitio usando Ruido...
EstimaciEstimacióón de los Efectos de Sitio n de los Efectos de Sitio usando Ruido Susando Ruido Síísmicosmico
Francisco J. SFrancisco J. Sááncheznchez--SesmaSesma, M. Rodr, M. Rodrííguez, guez, M. Perton, M. Suarez y A. RodrM. Perton, M. Suarez y A. Rodrííguezguez--Castellanos Castellanos
Seminario de Modelación Matemática y Computacional
27 de marzo de 2009
Plan de la presentaciPlan de la presentacióónn1.1. Coda Coda Ondas con difracciOndas con difraccióón mn múúltipleltiple RuidoRuido
2.2. DifracciDifraccióón mn múúltiple ltiple RRéégimen difusivogimen difusivo
3.3. EquiparticiEquiparticióón n Im [Func. de Green] = correlacionesIm [Func. de Green] = correlaciones
4. Teorema de representaci4. Teorema de representacióónn
5.5. AutocorrelaciAutocorrelacióón = Im [funcin = Im [funcióón de Green en la fuente]n de Green en la fuente]
7. Casos sencillos (semiespacio, estrato, cu7. Casos sencillos (semiespacio, estrato, cuñña)a)
8. 8. ConclusionesConclusiones
Coda sísmica, ruido sísmico ambiental -Campos ‘aleatorios’, Campos difusos
Coda sCoda síísmica, ruido ssmica, ruido síísmico ambiental smico ambiental --Campos Campos ‘‘aleatoriosaleatorios’’, Campos difusos, Campos difusos
Comunmente se acepta que el ruido obscurece y que no contiene información útil. De hecho, la intuición sugiere que el esparcimiento (scattering) múltiple de las ondas las hace ininteligibles.
Teorema de RepresentaciTeorema de Representacióón de Tipo Correlacin de Tipo Correlacióónn
Ar
Brr
Weaver & Lobkis (2004), Wapenaar (2004), Van Manen, Curtis & Robertson (2006)
Correlación
[ ] {}dSTG
TGG
AliBjl
BljAilBAij
),(),(
),(),(),(Imi2*
*
rrrr
rrrrrr
−
−= ∫
SPAC (SPAC (AAuto uto CCorrelaciorrelacióón En ESPSPectral )ectral )
En 1957 K. Aki mostrEn 1957 K. Aki mostróó que que el promedio azimuthal del el promedio azimuthal del coeficiente de correlacicoeficiente de correlacióón n espacial de un campo espacial de un campo escalar estescalar estáá dado pordado por
))(
(),,0(),,(
21
0
2
0 ωωθ
ωθφωθφ
π
π
crJdr
=∫
ckkr(ωr /),cosiexp()),,( ωθωθφ =−Φ=
aquaquíí JJ00 = funci= funcióón de Bessel n de Bessel de primera especie y orden de primera especie y orden cero. De esta manera se cero. De esta manera se Puede Puede ““invertirinvertir”” c(c(ωω).).
∫=π
θθφπ
φ2
0
),(21)( drrKeiiti Aki
(1930-2005)
SPACSPACEn este mEn este méétodo se buscan las velocidades de las ondas superficiales todo se buscan las velocidades de las ondas superficiales
para encontrar la estructura. para encontrar la estructura.
Se supone que el ruido es estacionario. Se usan arreglos espaciaSe supone que el ruido es estacionario. Se usan arreglos espaciales les para hacer el promedio azimutal.para hacer el promedio azimutal.
Si ademSi ademáás el ruido es iss el ruido es isóótropo, se puede obtener el mismo resultado tropo, se puede obtener el mismo resultado con scon sóólo dos estaciones apilando las correlaciones por largos lo dos estaciones apilando las correlaciones por largos periodos de tiempo.periodos de tiempo.
ConsidConsidéérese una onda plana:rese una onda plana:
))cos(iexp()(),,( 0θθωθ −−= krωFru
0cos*
)()()()( θikre
QuPuQuPu +=
r
P
0cos*
θikrBA
BA
euu
uu −=
Q
θθο
x
yCoherencia
( )krJdeeQuPuQuPur ikrikr
0
2
00
coscos*
00
21
)()()()(),( ==== ∫
πθθ θ
πωρ
( )∫ ∑ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∞
=
π
θθεπ
2
00
00cosi
21 dmkrJ
mm
mm
Promedio azimutal de Promedio azimutal de la correlation con la correlation con respecto al respecto al áángulo de ngulo de incidenciaincidencia
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
βω
βω
μβω
μrJrYrHG 00
)2(0 i
41
i41
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Η
−=
βωω
βωω
μω rJirJrG 00 )sgn()sgn(
41),(
CausalidadCausalidad
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
βω
μrHG )2(
0i41
β/r
2222
1
β
βπμ rt
rtHG
−
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
=
t
tβ/r
β/rG/2
(Im, Re)(Re)
(Im)
β/r−
A partir del Teorema de Representación
[ ] { }∫Γ
Γ−−= ξξξξξ dTGTGG imniinmimn ),(),(),(),(),(Imi2 **ABBABA xxxxxx
[ ]),,(Im4),(),( 2* ωωω BABA xxxx ijSji GkEuu −−=
El promedio de las correlaciones cruzadas proporcional a Im[Gij(xA,xB)]
),,(),,(),,( τττ
τ−−=
∂∂ BAGBAGBAC
Colin de Verdière Teorema Fluctuación-Disipación
Se puede demostrar que
R. L. Weaver and O. I. Lobkis, Ultrasonics without a source: Thermal fluctuation correlations at MHz frequencies, Phys. Rev. Lett. 87, 134301 (2001)
O. I. Lobkis and R. L. Weaver, On the emergence of the Green’s function in the correlations of a diffuse field, J. Acoust. Soc. Am., 110, 3011-3017 (2001)
R. L. Weaver and O. I. Lobkis, Elastic wave thermal fluctuations, ultrasonic waveforms by correlation of thermal phonons, J. Acoust. Soc. Am., 113, 2611-2621 (2003)
Experimentos con ruido tExperimentos con ruido téérmicormico
Campillo & PaulCampillo & PaulScienceScience (2003)(2003)
Experimentos con coda sExperimentos con coda síísmicasmica
[ ]),,(Im]),,(Re[ 1111 ωωωω ωAAAA xxxx GeiG ti =×
Significado físico de la parte imaginaria de la Función de Green en la fuente
La parte imaginaria de la Función de Green en la fuentes proporcional a la potencia inyectada al medio por lacarga unitaria armónica.
)],(Im[4)()()( 1*2AAAAA xxxxx mmSmm GkEuuE ×−== −πμρω
Semiespacio. Problema SH antiplano.Semiespacio. Problema SH antiplano.
{ })'()(i41),( )2(
0)2(
022 krHkrHG +=μBA xx
( ))()(4
1)],(Im[ ,0022 krJkrJG +
−=
μBA xx
( ))2(1),( 0 zkJEzE +×= ∞ω
Un estrato 2D. Ondas SH antiplanasUn estrato 2D. Ondas SH antiplanas
z
xh
Fuente-Receptor ...})3(2)2(2)(21{2
1)]0,0(Im[ 00022 +±+±−
= ωτωτωτμ
JJJG
βτ /2h=
∑∞
=
−
−
−−=
022
122
)/()/()2()]0,0(Im[
nn
nfnfHGττεμπτ
...})3(2)2(2)(2)0({21Re)]0,0(Im[ )2(
0)2(
0)2(
0)2(
022 +±+±−= ωτωτωτμ
HHHHG
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
βω
μrHG )2(
0i41
β/r
2222
1
β
βπμ rt
rtHG
−
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −
=
t
tβ/r
β/rG/2
(Im, Re)(Re)
(Im)
β/r−
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
5
10
15
20
25
30
35
Frequency [Hz]
Nor
mal
ized
Am
plitu
des
G22
(0,0,ω)
Transfer Function
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
t [sec]
Non
Ca
usa
l Re
spo
nse
F-1{ixIm[G(0,0; ω)]}
z
x)
Π / 2N
)]2/)12(cos(exp[)1()(),0,(2/)1(
00 NjNikxvxv
NM
j
jjM −−−−= ∑
−=
=− πεωω
⎩⎨⎧
+=
−=
−= ∑−
=
−
impar ,2/)1(par ,2/
,)/cos1(2
,)()1()2();0,;0,(12
0
)2(0
1
llll
m
NmxR
kRHixxG
l
N
ll
m
π
μω
Función de Green
Función de Transferencia
2 4 6 8 10 12 14 16 180
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Frequency [Hz]
Nor
mal
ized
Am
plitu
des
ωxIm[G(0, 0)]
)/(sin)/(cos)/(sin)/(cos
})1(1{)()];0,0(Im[
222
22
1
chchchchA
AcG
ωξωωξω
ξρωω
×+×−
=
−−−=× −
⎩⎨⎧
=
=
11
33
for ,for ,
,
G G
c
cc
HSHS
βαρρξ
ωxIm[G11]
ωxIm[G33]
<WxW*>
<UxU*>
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
5
10
15
20
25
Frequency [Hz]
Am
plitu
des
ImG22(0,0) and Transfer Function
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
5
10
15
20
25
Frequency [Hz]
Am
plitu
des
ImG22(0,0) and Transfer Function
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50
5
10
15
20
25
Frequency [Hz]
Am
plitu
des
ImG22(0,0) and Transfer Function
ConclusionesLa coda y el ruido sísmicos suelen exhibir propiedades difusivas
En un campo difuso la isotropía conduce a la equipartición
Se ha identificado equipartición en la coda de sismos
<U(P)U*(Q)> = Jo(kr) = Im[G(P,Q)] Aki (1957)
Si hay iluminación de fondo con isotropía y equiparticiónse demuestra que para medios elásticos heterogéneos:
Si P y Q coinciden se encuentra que la densidad de energía en un campo difuso en promedio está ligadas a la función de Green
Esto implica que el ruido sísmico permite estimar los efectos de sitio
( ))()()()(
),(Im*
QPQuPu
QPG jiij uu
∝